第4章控制系统的稳定性及其分析
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自动控制原理 孟华 第4章习题解答
4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数1)(+=s K s G 试用解析法绘出K 从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： (2，j 0)，(0+j 1)，(3+j 2)。
解：根轨迹如习题4-1答案图所示。
（-2，+j 0）在根轨迹上；(0,+j 1), (-3, +j 2) 不在根轨迹上。
习题4-1答案图4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。
)12()13()(++=s s s K s G试用解析法给出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解： 解析法：K =0时：s=-1/2，0；K =1：s=-122；K =-∞：s=-∞，-1/3。
根轨迹如习题4-2答案图所示。
习题4-2答案图4-3 已知系统的开环传递函数)1()1()()(-+=s s s K s H s G ，试按根轨迹规则画出该系统的根轨迹图，并确定使系统处于稳定时的K 值范围。
解：分离点：；会合点： ；与虚轴交点：±j 。
稳定的K 值范围：K >1。
根轨迹如习题4-3答案图所示。
习题4-3答案图4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为2*)4)(1)(1()(+-+=s s s K s G （1）试粗略画出K *由0到∞的根轨迹图；（2）分析该系统的稳定性。
解：稳定性分析：系统不稳定。
根轨迹如习题4-4答案图所示。
-10-505-8-6-4-22468Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s习题4-4答案图4-5 设控制系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2*++-+=s s s s s K s H s G ，试绘制系统根轨迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。
解：渐近线：=60°，180°；=-2/3；复数极点出射角55°；分离会合点和；与虚轴交点和；使系统稳定的开环增益为 ＜K ＜ (即 ＜K *＜。
现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
经典控制理论——第四章2
开环零极点对系统的影响
图a,b
开环零、极点对系统的影响
图4-13c,d,e,f 开环零、极点对系统的影响
我们以图（a）所示系统为参照，在它基础上增加 开环零、极点，研究它们对系统的影响。当K>0时， 图（a），（b）代表的系统始终是稳定的，但图 （b）代表的系统可以选择到一对比图（a）离虚轴 更远的闭环极点，这说明增加合适的位于虚轴左侧 的开环零点，既可以增加稳定裕度又可以提高快速 性。
水轮机调速系统就存在这种现象。
（a）
（b）
（c）
闭环零点对时间响应的影响
用根轨迹法分析系统的暂态特性
由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置 后，就可以按第三章所介绍的方法来分析系统 的暂态品质。
小 结
根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般 是根轨迹增益）为参变量而画出的闭环特征方 程式的根轨迹图。根据系统开环零、极点在s 平面上的分布，按照一定的规则，就能方便的 画出根轨迹的大致形状。 根轨迹图不仅使我们能直观的看到参数的变化 对系统性能的影响，而且还可以用它求出指定 参变量或指定阻尼比相对应的闭环极点。根据 确定的闭环极点和已知的闭环零点，就能计算 出系统的输出响应及其性能指标，从而避免了 求解高阶微分方程的麻烦。
这里提出了一个重要的设计理念：鲁棒性设计。 理论分析与工程实际总是有差距的，不注意这种差距， 有时会闹出笑话。一个控制系统的设计，需要充分考 虑工程实际中的非理想因素，比如：建模误差、参数 不准、外部干扰等。 建立系统数学模型时，总要忽略一些非线性、小 时间常数等因素，这叫建模误差；建立数学模型时， 对实际系统参数的测量或估计不可能百分之百的准确， 而且运行中系统参数也会变化，这说明参数不准是普 遍存在的；来自外部环境的干扰更是五花八门、难以 统计，未建模的干扰会使运动偏离理论轨迹。所以， 要使理论上设计的系统能够真正用于实际，必须保证 在上述非理想因素下设计目标仍然能达到或基本达到， 这样的控制系统称为具有鲁棒性的系统。
现代控制第四章
试确定系统平衡状态，以及在平衡状态附近的稳定性。
x1 x2 0 x1 0 解： 1)找xe点 2 x2 a(1 x1 )x2 x1 0 x2 0 则xe 0 0
T
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x1 x2 2) 线性化 x2 x1 ax2 0 1 则 A 1 a
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
4. 不稳定
如果对于某个实数ε 0和任一实数δ 0, 不管δ这个实数多么小，由S(δ)内出发的状态 轨线，至少有一个轨线超过S(ε)，则称这种平 衡状态xe不稳定． 几何意义：（P160,fig.4 3)
练习：
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
2. 渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且当t无限增长时， 轨迹不仅不超出S(ε)，而且最终收敛于xe，则称这 种平衡状态xe渐近稳定． 几何意义：（P160,fig.4 2)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
3. 大范围渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，而且从状态空间中 所有初始状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称 这种平衡状态xe大范围渐近稳定．
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第四章
稳定性与李氏方法
§4-1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
一. 平衡状态(xe )
设所研究系统的齐次状态方程为 X(t) f(x, t) 若对所有t,状态x满足X(t) 0，则称该状态x 为平衡状态，记为xe．故有下式成立： f(xe , 0 t)
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
第4章 系统稳定性
第4章 系统稳定性及其李雅普诺夫稳定 章 Chapter 4 System Stability & Lyapunov Stability
4.1 稳定性一般概念 4.1 Concept of the System Stability
对于一个实际的控制系统， 对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其 重要的问题， 重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地 发挥作用的。从直观上看， 发挥作用的。从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系 在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置， 统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内， 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定， 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会 回到原来的平衡位置。 回到原来的平衡位置。
(4 − 2)
式中X(t)为n维状态向量，f(X,t)是状态向量 和显式时间 的n 为 维状态向量 维状态向量， 是状态向量X和显式时间 式中 是状态向量 和显式时间t的 维向量函数。 不一定是线性定常的。 维向量函数。 f(X,t)不一定是线性定常的。如果对于 ，状态 e总 不一定是线性定常的 如果对于t，状态X 满足： 满足：
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 李雅普诺夫第一法（间接法） 4.3 First Method of the Lyapunov (Indirect Method)
李雅普诺夫第一法通过分析系统微分方程的显式解来分析系 统的稳定性，对线性定常系统， 统的稳定性，对线性定常系统，它可以直接通过系统的特征根情 况来分析。 况来分析。李雅普诺夫第一法的基本思路与经典控制论中的稳定 性判别思路基本一致。 性判别思路基本一致。 设线性定常系统的动态方程为： 设线性定常系统的动态方程为：
4.1 稳定性一般概念 4.1 Concept of the System Stability
对于一个实际的控制系统， 对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其 重要的问题， 重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地 发挥作用的。从直观上看， 发挥作用的。从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系 在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置， 统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内， 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定， 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会 回到原来的平衡位置。 回到原来的平衡位置。
(4 − 2)
式中X(t)为n维状态向量，f(X,t)是状态向量 和显式时间 的n 为 维状态向量 维状态向量， 是状态向量X和显式时间 式中 是状态向量 和显式时间t的 维向量函数。 不一定是线性定常的。 维向量函数。 f(X,t)不一定是线性定常的。如果对于 ，状态 e总 不一定是线性定常的 如果对于t，状态X 满足： 满足：
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 李雅普诺夫第一法（间接法） 4.3 First Method of the Lyapunov (Indirect Method)
李雅普诺夫第一法通过分析系统微分方程的显式解来分析系 统的稳定性，对线性定常系统， 统的稳定性，对线性定常系统，它可以直接通过系统的特征根情 况来分析。 况来分析。李雅普诺夫第一法的基本思路与经典控制论中的稳定 性判别思路基本一致。 性判别思路基本一致。 设线性定常系统的动态方程为： 设线性定常系统的动态方程为：
第4章汽车制动稳定性控制系统分析
2.防抱死制动系统的作用 防抱死制动系统能防止汽车在常规制动过程中由于车轮 完全抱死而出现的后轴侧滑、前轮丧失转向能力等现象，从 而充分发挥轮胎与路面间的潜在附着力，最大限度地改善汽 车的制动性能，以提高汽车在制动过程中的方向稳定性和转 向操纵能力，从而满足行车安全的需要。
ABS的作用
目前欧、美、日、韩等国家和地区的汽车使用最多的ABS 的品牌有德国的博世（Bosch）、德国戴维斯公司的坦孚 （TEVES），另外还有美国德尔科公司（Delco）、美国本 迪克斯公司（BENDIX）等。
如果后轮抱死，汽车的制动稳定性就会变差，抵抗横向 外力的能力很弱，后轮稍有外力(如侧向风力或地面障碍物阻 力)作用就会发生侧滑(甩尾)，甚至出现调头(即突然出现 180°转弯)等危险现象，如图4-3（b）所示。
（a）前轮防滑控制 （b）后轮防滑控制 有无ABS的比较（蓝车无ABS，灰车有ABS）
综上所述，为了获得最佳制动效能和制动时的方向稳定 性，应将车轮滑移率控制在最佳滑移率范围（20%左右）内。 因此，通过采用ABS，使汽车在制动过程中自动调节车轮的 制动力，防止车轮抱死滑移，从而缩短制动距离，提高方向 稳定性，增强转向控制能力，减少交通事故的发生。
3.ABS的控制方式分类 1）四通道控制方式 为了对四个车轮的制动压力进行独立控制，在每个车轮 上各安装一个转速传感器，并在通往各制动轮缸的制动管路 中各设置一个制动压力调节分装置（通道）。 对应于双制动管路的H型（前后）或X型（对角）两种布 置形式，四通道ABS也有两种布置形式，如图4-5所示。使 用四通道控制方式的常见车型有：奥迪（前轮驱动）、红旗 轿车、广州本田（X型）。
（b）四传感器前后布置
（c）三传感器前后布置
图4-6 三通道控制方式
现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性
0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般 问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常 微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先 求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称 为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提 供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观 点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把 叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系 统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
9
现代控制理论
第4章 李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间
第四章 稳定性分析——劳斯判据(4-1)
2。若特征根中有一个或一个以上正实部根，即根的位 置分布在S平面的右半部，则，表明系统不稳定； 3。若特征根中具有一个或一个以上实部的根为零（虚 根），即根的位置正好分布在S平面的虚轴上，而其余的根 均位于S平面的左半部，此时系统处于临界稳定状态，输出 呈等幅振荡，系统在扰动信号消失后也不能恢复到原来的平 衡位置，按照稳定性定义，也属于不稳定系统。
5
结论：
线性系统稳定的充要条件是：
闭环系统特征方程的所有根均具 有负实部；或者说，闭环传递函数的 极点均分布在平面的左半部。
6
第二节
劳斯稳定判据
特征方程根的分布
系统是否稳定 方程的系数 。
劳斯稳定判据就是根据特征方程的系数 来分析系统的稳定性的一种判据，它避免 了直接求特征方程根的繁琐过程。劳斯稳 定判据一般简称为劳斯判据。
6
8
T
19
例：设系统特征方程为： s 8s 10s 2 0 试判别系统的稳定性，并分析有几个根位于垂线 s 1 与虚轴之间。 解：列出劳斯表
3 2
s3 s2 s1 s0
1 10 8 2 9.75 0 2 0
因劳斯表中第一列元素无符号变化，所以系统稳 定。 令： s s1 1
0
Re
22
要使系统稳定，第一列元素的符号均应大于零 由此得： 1。 K 0,2T 0, 即：T 0 2。 (2 T )(K 1) 2TK 0 T 2(KK11)
18
则稳定条件为： T 0 , 0< K <
K
6
4
2
T 2 T 2
K
T 2 T 2
系统稳定区域
4
0
2
k 2r n
5
结论：
线性系统稳定的充要条件是：
闭环系统特征方程的所有根均具 有负实部；或者说，闭环传递函数的 极点均分布在平面的左半部。
6
第二节
劳斯稳定判据
特征方程根的分布
系统是否稳定 方程的系数 。
劳斯稳定判据就是根据特征方程的系数 来分析系统的稳定性的一种判据，它避免 了直接求特征方程根的繁琐过程。劳斯稳 定判据一般简称为劳斯判据。
6
8
T
19
例：设系统特征方程为： s 8s 10s 2 0 试判别系统的稳定性，并分析有几个根位于垂线 s 1 与虚轴之间。 解：列出劳斯表
3 2
s3 s2 s1 s0
1 10 8 2 9.75 0 2 0
因劳斯表中第一列元素无符号变化，所以系统稳 定。 令： s s1 1
0
Re
22
要使系统稳定，第一列元素的符号均应大于零 由此得： 1。 K 0,2T 0, 即：T 0 2。 (2 T )(K 1) 2TK 0 T 2(KK11)
18
则稳定条件为： T 0 , 0< K <
K
6
4
2
T 2 T 2
K
T 2 T 2
系统稳定区域
4
0
2
k 2r n
精品文档-自动控制原理(第二版)(千博)-第4章
其中一条
根轨迹终止于开环零点, 即－1/τ, 另一条终止于无穷远处。
其根轨迹图如图4-5所示。
21
图 4-5 例 4-3系统的根轨迹
22
四、实轴上的根轨迹(法则四) 在坐标轴上向右看去，实轴上凡有奇数个零点和极点的区
段就是根轨迹的一部分。即实轴上根轨迹区段的右侧, 实数 零点和实数极点数目之和应为奇数。
解出s1=－0.423, s2=－1.578(舍去)。 即s1为此系统的分离点。
49
例4-6 已知D(s)=s(s+2)+K*(s+4)=0, 求闭环系统根轨迹 的分离点和会合点。
解因
所以
50
［方法一］ 按式(4-10)先写出D=s(s+2), 则D′=2s+2、 N=s+4, 则N′=1, 将D、D′、N、N′代入式(4-10)中，得
(1) 渐近线的条数(分支数), 有n－m条。
25
(2) 渐近线的夹角ja。假设在无穷远处有特征根sk, 则s 平面上所有开环有限零点zi和极点pj的向量相角都相等, 即 ∠(sk－zi)=∠(sk－pj)=ja, 用它代入相角条件式(4-6), 得
26
所以渐近线的夹角为 (4-7)
当k=0时, 渐近线的夹角最小, k增大时, 夹角值重复出现, 所以独立的渐近线只有n－m条。
则有(n－m)条根轨迹终止于无穷远处。 将式(4-5)左边取极限, 得
18
例 4-3 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为 试确定根轨迹的分支数及起点、终点。
19
解 将开环传递函数改写成 式中,
20
开环传递函数分母多项式的最高阶次n=2, 故根轨迹的分
支数为2(即有两条根轨迹)。
现代控制理论 第四章 李雅普诺夫稳定性理论
p11 p11 0, p21
p12 p22
0, ,
p 0
30
2.如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则
V ( x) x Px
T
是正半定的。
3.如果矩阵P的奇数阶主子行列式为负值， T 偶数阶主子行列式为正值，则 V ( x) x Px 是负定的。 即:
p11 p12 p1n p11 p12 n (1) p11 0, (1) 0, , (1) p21 p22
16
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1. 线性定常系统稳定性的特征值判据
Ax x(0) x0 t 0 x
1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：
Re(i ) 0
Re( i ) 0
i 1,2, n i 1,2, n
17
19
上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1
令
f2 fn
T
x x1 x2 xn
T
x x f ( xe )
x x xe
f A T x
x xe
则线性化系统方程为： x
Ax
20
结论： 1) 若 Re(i ) 0 i 1,2,, n ，则非线性系 统在xe 处是渐近稳定的，与 g ( x) 无关。 2) 若 Re(i ) 0 , Re( j ) 0 , i j 1,, n 则非线性系统不稳定。 3) 若Re(i ) 0，稳定性与g ( x) 有关，
9
4.2 李雅普诺夫稳定性的定义
1.李雅普诺夫意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一 个实数 ( , t0 ) 0 满足
自动控制原理第四版习题答案
02
鲁棒控制系统的设计目标是使系统在不确定性和干扰作用下 仍能保持其稳定性和性能。
03
鲁棒控制理论中常用的方法有鲁棒性分析、鲁棒控制器设计 等。
06
习题答案解析
第1章习题答案解析
1.1
简述自动控制系统的基本组成。答案：一个典型的自动控制系统由控制器、受控对象、执行器、传感 器等部分组成。
1.2
简述开环控制系统和闭环控制系统的区别。答案：开环控制系统是指系统中没有反馈环节的系统，输 出只受输入的控制，结构相对简单；而闭环控制系统则有反馈环节，输出对输入有影响，结构相对复 杂。
20世纪60年代末至70年代，主要研究多变量线 性时不变系统的最优控制问题，如线性二次型最 优控制、极点配置等。
智能控制理论
20世纪80年代至今，主要研究具有人工智能的 控制系统，如模糊逻辑控制、神经网络控制等。
02
控制系统稳定性分析
稳定性定义
01
内部稳定性
系统在平衡状态下受到扰动后，能 够回到平衡状态的性能。
步骤
时域分析法包括对系统进行数学建模、 系统稳定性分析、系统性能分析和系 统误差分析等步骤。
缺点
时域分析法需要对系统的数学模型进 行详细的分析，对于复杂系统的分析 可能会比较困难。
频域分析法
步骤
频域分析法包括对系统进行数学建模、系 统稳定性分析和系统性能分析等步骤。
定义
频域分析法是在频率域中对控制系 统进行分析的方法。它通过对系统 的频率响应进行分析，来描述系统
它通过分析系统的频率响 应，并根据频率响应的性 质来判断系统的稳定性。
如果频率响应曲线超出奈 奎斯特圆，则系统是不稳 定的。
根轨迹法
根轨迹法是一种图解方法，用 于分析线性时不变系统的稳定
鲁棒控制系统的设计目标是使系统在不确定性和干扰作用下 仍能保持其稳定性和性能。
03
鲁棒控制理论中常用的方法有鲁棒性分析、鲁棒控制器设计 等。
06
习题答案解析
第1章习题答案解析
1.1
简述自动控制系统的基本组成。答案：一个典型的自动控制系统由控制器、受控对象、执行器、传感 器等部分组成。
1.2
简述开环控制系统和闭环控制系统的区别。答案：开环控制系统是指系统中没有反馈环节的系统，输 出只受输入的控制，结构相对简单；而闭环控制系统则有反馈环节，输出对输入有影响，结构相对复 杂。
20世纪60年代末至70年代，主要研究多变量线 性时不变系统的最优控制问题，如线性二次型最 优控制、极点配置等。
智能控制理论
20世纪80年代至今，主要研究具有人工智能的 控制系统，如模糊逻辑控制、神经网络控制等。
02
控制系统稳定性分析
稳定性定义
01
内部稳定性
系统在平衡状态下受到扰动后，能 够回到平衡状态的性能。
步骤
时域分析法包括对系统进行数学建模、 系统稳定性分析、系统性能分析和系 统误差分析等步骤。
缺点
时域分析法需要对系统的数学模型进 行详细的分析，对于复杂系统的分析 可能会比较困难。
频域分析法
步骤
频域分析法包括对系统进行数学建模、系 统稳定性分析和系统性能分析等步骤。
定义
频域分析法是在频率域中对控制系 统进行分析的方法。它通过对系统 的频率响应进行分析，来描述系统
它通过分析系统的频率响 应，并根据频率响应的性 质来判断系统的稳定性。
如果频率响应曲线超出奈 奎斯特圆，则系统是不稳 定的。
根轨迹法
根轨迹法是一种图解方法，用 于分析线性时不变系统的稳定
自动控制原理(第三版)第4章根轨迹法(4)
由图可见，当开环极点位置不变，而在系统中 附加开环负实数零点时，可使系统根轨迹向s左 半平面方向弯曲，或者说，附加开环负实数零 点将使系统的根轨迹图发生趋向附加零点方向 的变形，而且这种影响将随开环零点接近坐标 原点的程度而加强。
根据图4-29，利用劳斯判据的方法 不难证明，当 z1 2 时，
4.4.1 用根轨迹分析系统的稳定性
闭环系统稳定的充分必要条件是闭环极点必须位于s平面的左 半平面，即根轨迹要全部落于左半S平面系统才稳定。参数在 一定范围内取值才能稳定的系统称为条件稳定系统。对于条件 稳定系统，可由根轨迹图确定使系统稳定的参数取值范围。 例4-11 设某单位反馈系统的开环传递函数如下：
时，闭环系统是稳定。 但是当 14 K * 64 及 K * 195 时，系统不稳定。
用根轨迹分析系统稳定性的方法和步骤：
（1）根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则 绘制出系统的根轨迹图。
（2）由根轨迹在s平面上的分布情况分析系统的稳定性。
如果全部根轨迹都位于s平面左半部，则说明无论开环根轨迹 增益为何值，系统都是稳定的； 如根轨迹有一条（或一条以上）的分支全部位于s平面的右 半部，则说明无论开环根轨迹增益如何改变，系统都是不稳 定的； 如果有一条（或一条以上）的根轨迹从s平面的左半部穿过虚轴 进入s面的右半部（或反之），而其余的根轨迹分支位于s平面 的左半部，则说明系统是有条件的稳定系统，即当开环根轨迹 增益大于临界值 Kc* 时系统便由稳定变为不稳定（或反之）。 此时，关键是求出开环根轨迹增益的临界值 Kc*
式中， A0 1，A1 0.1，B 0.9，C 0.83 ， 于是上式改写为
1 0.1 0.9s 0.83 C (s) s s 2.34 ( s 0.33)2 0.582 1 0.1 ( s 0.33) 0.58 0.9 s s 2.34 ( s 0.33)2 0.582
根据图4-29，利用劳斯判据的方法 不难证明，当 z1 2 时，
4.4.1 用根轨迹分析系统的稳定性
闭环系统稳定的充分必要条件是闭环极点必须位于s平面的左 半平面，即根轨迹要全部落于左半S平面系统才稳定。参数在 一定范围内取值才能稳定的系统称为条件稳定系统。对于条件 稳定系统，可由根轨迹图确定使系统稳定的参数取值范围。 例4-11 设某单位反馈系统的开环传递函数如下：
时，闭环系统是稳定。 但是当 14 K * 64 及 K * 195 时，系统不稳定。
用根轨迹分析系统稳定性的方法和步骤：
（1）根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则 绘制出系统的根轨迹图。
（2）由根轨迹在s平面上的分布情况分析系统的稳定性。
如果全部根轨迹都位于s平面左半部，则说明无论开环根轨迹 增益为何值，系统都是稳定的； 如根轨迹有一条（或一条以上）的分支全部位于s平面的右 半部，则说明无论开环根轨迹增益如何改变，系统都是不稳 定的； 如果有一条（或一条以上）的根轨迹从s平面的左半部穿过虚轴 进入s面的右半部（或反之），而其余的根轨迹分支位于s平面 的左半部，则说明系统是有条件的稳定系统，即当开环根轨迹 增益大于临界值 Kc* 时系统便由稳定变为不稳定（或反之）。 此时，关键是求出开环根轨迹增益的临界值 Kc*
式中， A0 1，A1 0.1，B 0.9，C 0.83 ， 于是上式改写为
1 0.1 0.9s 0.83 C (s) s s 2.34 ( s 0.33)2 0.582 1 0.1 ( s 0.33) 0.58 0.9 s s 2.34 ( s 0.33)2 0.582
上海交大815考研控制理论基础控制理论基础(I)第4章__控制系统的稳定性分析
设系统 特征根为p1、p2、…、pn-1、pn
D ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 . .a n . 1 s a n 0
a1
a0
n
(1)1 pi
i1
各根之和
a2
a0
n
(1)2 pipj
i2
每次取两根乘积之和
全部根具
a3
a0
n
(1)3 pipjpk
i3
每次取三根乘积之和
控制理论基础 (I)
第四章 控制系统的稳定性分析
➢稳定性的定义
控制系统在外部拢动作用下偏离其原来的平衡状 态，当拢动作用消失后，系统仍能自动恢复到原 来的初始平衡状态。 注意：以上定义只适
用于线形定常系统。
(a)外加扰动
School of Mechanical & Power Engineering, SJTU
d1
c1 c2 c1
|a0 a4 |
b2
a1 a5 a1
| a1 a5 |
c1
b1 b3 b1
| b1 b3 |
d2
c1 c3 c1
性质：第一列符号改变次数== 系统特征方程含有
正实部根的个数。
School of Mechanical & Power Engineering, SJTU
B(s) D(s)
K
B(s)
k
a0 (spi) [s(j jj)][s(j jj)]
i1
j1
理想脉冲函数作用下 R(s)=1。 对于稳定系统,t 时,输出量 c(t)=0。
School of Mechanical & Power Engineering, SJTU
控制工程基础课后习题答案
根据频率响应的特性，设计控制系统。
详细描述
通过调整系统的传递函数，可以改变系统的 频率响应特性。在设计控制系统时，我们需 要根据实际需求，调整传递函数，使得系统 的频率响应满足要求。例如，如果需要提高 系统的动态性能，可以减小传递函数在高频 段的增益。
06 第五章 控制系统的稳定性 分析
习题答案5-
习题答案
• 习题1答案：该题考查了控制系统的基本概念和组成。控制系统的基本组成包 括被控对象、传感器、控制器和执行器等部分。被控对象是实际需要控制的物 理系统或设备；传感器用于检测被控对象的输出状态，并将检测到的信号转换 为可处理的电信号；控制器根据输入的指令信号和传感器的输出信号，按照一 定的控制规律进行运算处理，并输出控制信号给执行器；执行器根据控制信号 对被控对象进行控制操作，使其达到预定的状态或性能要求。
控制工程基础课后习题答案
目 录
• 引言 • 第一章 控制系统概述 • 第二章 控制系统的数学模型 • 第三章 控制系统的时域分析 • 第四章 控制系统的频域分析 • 第五章 控制系统的稳定性分析 • 第六章 控制系统的校正与设计
01 引言
课程简介
01
控制工程基础是自动化和电气工 程学科中的一门重要课程，主要 涉及控制系统的基本原理、分析 和设计方法。
总结词
控制系统校正的概念
详细描述
控制系统校正是指在系统原有基础上，通过加入适当的 装置或元件，改变系统的传递函数或动态特性，以满足 性能指标的要求。常见的校正方法有串联校正、并联校 正和反馈校正等。校正装置通常安装在系统的某一环节 ，以减小对系统其他部分的影响。
习题答案6-
总结词
控制系统设计的一般步骤
习题答案5-
总结词
详细描述
通过调整系统的传递函数，可以改变系统的 频率响应特性。在设计控制系统时，我们需 要根据实际需求，调整传递函数，使得系统 的频率响应满足要求。例如，如果需要提高 系统的动态性能，可以减小传递函数在高频 段的增益。
06 第五章 控制系统的稳定性 分析
习题答案5-
习题答案
• 习题1答案：该题考查了控制系统的基本概念和组成。控制系统的基本组成包 括被控对象、传感器、控制器和执行器等部分。被控对象是实际需要控制的物 理系统或设备；传感器用于检测被控对象的输出状态，并将检测到的信号转换 为可处理的电信号；控制器根据输入的指令信号和传感器的输出信号，按照一 定的控制规律进行运算处理，并输出控制信号给执行器；执行器根据控制信号 对被控对象进行控制操作，使其达到预定的状态或性能要求。
控制工程基础课后习题答案
目 录
• 引言 • 第一章 控制系统概述 • 第二章 控制系统的数学模型 • 第三章 控制系统的时域分析 • 第四章 控制系统的频域分析 • 第五章 控制系统的稳定性分析 • 第六章 控制系统的校正与设计
01 引言
课程简介
01
控制工程基础是自动化和电气工 程学科中的一门重要课程，主要 涉及控制系统的基本原理、分析 和设计方法。
总结词
控制系统校正的概念
详细描述
控制系统校正是指在系统原有基础上，通过加入适当的 装置或元件，改变系统的传递函数或动态特性，以满足 性能指标的要求。常见的校正方法有串联校正、并联校 正和反馈校正等。校正装置通常安装在系统的某一环节 ，以减小对系统其他部分的影响。
习题答案6-
总结词
控制系统设计的一般步骤
习题答案5-
总结词
第四章 计算机控制系统分析1(稳定性分析)
lim y (k ) = lim ∑ Ai pik = 0
§4.2 离散控制系统的稳定性分析 本节首先讨论线性定常离散系统的稳定性分析，主要介绍 本节首先讨论线性定常离散系统的稳定性分析， z 域中的朱雷（Jury ）和劳斯稳定判据。进一步讨论李雅 域中的朱雷（Jury）和劳斯稳定判据。 普诺夫稳定性分析。 普诺夫稳定性分析。 1．Z域中闭环系统的稳定性分析 ． 域中闭环系统的稳定性分析 朱雷（Jury） （1）朱雷（Jury）稳定判据 在应用朱雷稳定判据时，首先根据闭环 闭环特征方程式 在应用朱雷稳定判据时，首先根据闭环特征方程式 的多项式的系数构造一个表格。为此， 的 P(z) 的多项式的系数构造一个表格。为此，将式改写为
a1
zn
a0
1 2 3 4 5 6
an−1 an-2
⋅⋅⋅ a2
a0
a1a2a3an−2an−1
an
bn−1 bn-2 bn−3 bn−4
b0 b1 b2 b3
⋅⋅⋅ b 1
b0
bn−2 bn−1
cn−2 cn−3 cn−4 cn−5 ⋅⋅⋅
c0 c1 c2 c3 ⋅⋅⋅
c0
cn−2
2n − 4
2n − 3
K ( z) = R( z ) =
0 1 m
z n + a1 z n−1 + ⋅⋅⋅ + an
R 函数， 若系统输入为 δ 函数， ( z ) = 1 ，系统的输出为
b j z m− j ∑ Y ( z ) = K ( z ) R( z ) = ai z n −i ∑
i =0 j =0 n
m
(4.6)
图4.8 S平面主带右半平面的映射
根据与前述相同的分析方法，可得出S右半平面主带区在 根据与前述相同的分析方法 ，可得出 右半平面主带区在 Z平面上映射为单位圆的外部区域，如图 所示。 平面上映射为单位圆的外部区域， 所示。 平面上映射为单位圆的外部区域 如图4.8所示
《计算机控制及网络技术》-第4章 计算机控制系统分析
Ts
d 2 z exp 1 2 s
d z 2 s
s域到z域的映射
由于左半平面的σ为负值，所以左半s平面对 应于 ｜z｜=eTσ<1 s平面的虚轴表示实部σ=0和虚部ω从-∞变到+∞， 映射到z平面上，表示｜z｜=eTσ=e0=1，即单位圆 上，和θ=Tω也从-∞变到+∞，即z在单位圆上逆时 针旋转无限多圈。简单地说，就是s平面的虚轴 在z平面的映射为一单位圆, 如图4.2所示。
第四章 计算机控制系统分析
计算机控制系统要想正常工作，首先要满足稳定性 条件，其次还要满足动态性能指标和稳态性能指标，这 样才能在实际生产中应用。对计算机控制系统的稳定性、 动态特性和稳态性能进行分析是研究计算机控制系统必 不可少的过程。
4.1 计算机控制系统的稳定性分析
4.2 计算机控制系统的动态过程 4.3 计算机控制系统的稳态误差 4.4 离散系统根轨迹
修尔—科恩稳定判据
该判据提供了一种用解析法判断离散系统稳定性的 途径。设离散控制系统的特征方程为
1 G( z ) 0
其中G(z)一般为两个多项式之比，用W(z)表示特征方程 的分子，即
W ( z ) a n z n a n1 z n1 a1 z a0 0
把系数写成如下所示的行列式形式
s域到z域的映射
将s平面映射到z平面，并找出离散系统稳定时其闭 环脉冲传递函数零、极点在z平面的分布规律，从而获得 离散系统的稳定判据。令
s j
则有
S平面内频率相差采样频率 整数倍的零点、极点都映 射到Z平面同一位置
z e e
Ts
T ( j )
e e e e
T
d 2 z exp 1 2 s
d z 2 s
s域到z域的映射
由于左半平面的σ为负值，所以左半s平面对 应于 ｜z｜=eTσ<1 s平面的虚轴表示实部σ=0和虚部ω从-∞变到+∞， 映射到z平面上，表示｜z｜=eTσ=e0=1，即单位圆 上，和θ=Tω也从-∞变到+∞，即z在单位圆上逆时 针旋转无限多圈。简单地说，就是s平面的虚轴 在z平面的映射为一单位圆, 如图4.2所示。
第四章 计算机控制系统分析
计算机控制系统要想正常工作，首先要满足稳定性 条件，其次还要满足动态性能指标和稳态性能指标，这 样才能在实际生产中应用。对计算机控制系统的稳定性、 动态特性和稳态性能进行分析是研究计算机控制系统必 不可少的过程。
4.1 计算机控制系统的稳定性分析
4.2 计算机控制系统的动态过程 4.3 计算机控制系统的稳态误差 4.4 离散系统根轨迹
修尔—科恩稳定判据
该判据提供了一种用解析法判断离散系统稳定性的 途径。设离散控制系统的特征方程为
1 G( z ) 0
其中G(z)一般为两个多项式之比，用W(z)表示特征方程 的分子，即
W ( z ) a n z n a n1 z n1 a1 z a0 0
把系数写成如下所示的行列式形式
s域到z域的映射
将s平面映射到z平面，并找出离散系统稳定时其闭 环脉冲传递函数零、极点在z平面的分布规律，从而获得 离散系统的稳定判据。令
s j
则有
S平面内频率相差采样频率 整数倍的零点、极点都映 射到Z平面同一位置
z e e
Ts
T ( j )
e e e e
T
控制工程基础第四章控制系统的稳定性分析
此阵列称为劳斯阵列（劳斯表）。其中，各未知元素 b1,b2,b3,b4,，
c1 , c2 , c3 , c4 , ，
e1,e2 ,
f
,
1
g 1
根据下列公式计算：
b1
a1
a2 a0 a1
a3
,b2
a1
a4 a0 a1
a5
,b3
a1
a6 a0 a1
a7
,
c1
b1
a3 a1b2 b1
,
c2
b1
X
0
(s)
s
A1 p
A2 s p
Aj s p
An s p
1
2
j
n
式中，A1，A2，…，Aj，…，An为待定系数。对其进行拉氏反变换，
得单位脉冲响应函数为
x A e A e A e A e (t)
pt 1
pt 2
pjt
pt n
0
1
2
j
n
A e n
j 1
pt j
j
根据稳定性的定义，若系统稳定，应有
a a a a 0
0
0
0
ao (s
p )(s 1
p )(s 2
p) n
0
式中，p1，p2，…，pn为系统的特征根。
由根与系数的关系可知，若使全部特征根p1，p2，…，pn均具有 负实部，系统必须满足以下条件： （1）特征方程的各项系数a0，a1，a2，…，an都不等于零。 （2）特征方程的各项系数a0，a1，a2，…，an的符号都相同。 在控制工程中，一般取a0为正值，则系统稳定的必要条件为：特征方 程的各项系数a0，a1，a2，…，an均必须为正值。若a0为负值，可在特 征方程的两边同乘以-1使其变为正值。
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4.2 系统的稳定性判据
控制系统稳定的必要和充分条件是闭环传递函数的全部极点（即 特征方程的根）均位于[s]平面左半部，即闭环系统特征方程的根 均具有负实部，则系统稳定。
系统的稳定判据有解方程稳定判据，劳斯稳定判据，奈魁斯特稳 定判据和对数幅相频率特性稳定判据等。
1．解方程稳定判据（求解闭环传递函数特征方程法）
2
图 4.2(a) 和 (b) 分别是在开环下稳定和不稳定的状态下， 而 取值为0到 ，判断其系统是否稳定，经判断两系统 均稳定。
Im
ω =+∞ [s]
Im
ω =+∞
[s]
（-1，j0）
ω =0 ω
Re
（-1，j0）
ω =0 ω
Re(a) m=0 Nhomakorabea(b) m=2
图4.2 开环幅相频率特性曲线
如再给定一闭环系统的特征方程为s5-2s4+2s3+4s2-11s-10=0,判断系 统是否稳定，如若不稳定有多少个极点在[S]平面的右半部。 首先进行必要条件的判断就没有满足，此系统不稳定。但是要知有 多少个极点在[S]平面的右半部，列劳斯阵列表为
s5 s4 s3 s2 s1 s0
an 1 an2 2 an4 -11 an1 -2 an3 4 a -10 n 5
s 3 an 1 an2 2 s 2 an1 3 an3 k 1 b1 s o s c1 b1 c1 k
11 2 k 6 33 k 3
根据劳斯阵列第一列均应为正值，则 b1 0 , c1 0 ,这样由不 等式可知,当 0 k 6 时系统是稳定的。
3．奈魁斯特稳定判据（简称奈氏判据）
奈氏判据是按开环传递函数的幅相频率特性（奈氏图或 称极坐标图）来判断闭环系统是否稳定。 如何判断要根据系统开环状态下稳定和不稳定两种情况 进行。
（1）开环状态下是稳定的（即是开环传递函数特征方程在[S]平面 右半部无极点，即 m=0 。一般习惯上把开环系统积分环节的零根作 为左根处理），闭环状态下稳定的充分和必要条件是：开环幅相频 率特性G(s)H(s)曲线不包围[S]平面上的（-1，j o）点。 （2）开环状态下是不稳定的（其开环传递函数的特征方程在[S] 平面右半部有m个极点）闭环状态下稳定的充分和必要条件是：当 从- 到+ 时，开环幅相频率特性G(s)H(s)曲线逆时针方向包围 （-1，j o）点m周。如果 从0到 时，开环幅相频率特性曲线应 m 逆时针方向包围（-1，j o）点应为 周。
第4章控制系统的稳定性及其分析
4.1 4.2 4.3 4.4 系统的稳定性 系统的稳定性判据 系统的稳定裕量 液压仿形刀架控制系统的 综合分析与计算
4.1 系统的稳定性
线性系统的稳定性是系统自身的固有特性，它和系统的输入信号 无关，仅取决于特征方程的根。 系统稳定的充分和必要条件是闭环系统的特征方程的根均具有负 实部。 系统的稳定性分为大范围内稳定和小范围内稳定。 大范围内稳定是指如果系统受到扰动后，不论它的初始偏差多大， 都能以足够的精度恢复到初始平衡状态。 小范围内稳定是指如果系统受到扰动后，只有当它的初始偏差小 于某一定值时，才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态。 线性的稳定系统必须在大范围和小范围内都稳定。 而非线性系统或者是线性化后的非线性系统只是在小范围内稳定， 而在大范围内却不稳定。
式中各项可写成行列式
1 an b1 an 1 an 1
1 an b3 an 1 an 1
an 2 an an 3 an 2 an 1 an 3 an 1
an 6 an 7
b2
1 a n 1
an a n 1
a n4 a n 5
2
特征方程的根为
s1.2 1 1 4Tk 2T
可见，此系统两个根均具有负实部，所以系统稳定。 从控制系统稳定性的判断上为什么不只用解方程稳定判据， 而提出其它稳定性判据，其原因是求解三阶以上特征方程 非常困难。
2．劳斯稳定判据
劳斯稳定判据是利用闭环系统特征方程的系数来进行稳 定性判断。该判据是从稳定的必要条件和充分条件两方面 来判断。 （1）稳定的必要条件 闭环系统特征方程的各项系数均为正实数值。
（2）稳定的充分条件
劳斯阵列的第一列中所有项都具有正号。
如闭环系统的特征方程为
an s n an1 s n1 a1 s a0 0
按特征方程列写劳斯行列表
sn s n 1 sn2 s n 3 s1 s0 an an 1 b1 c1 an 2 a n 3 b2 c2 an 4 an 5 b3 c3
4．对数幅相频率特性稳定判据
该判据是按开环传递函数的对数幅相频率特性（波德图）来判断 闭环系统是否稳定。 如何进行判断也要根据开环状态下稳定和不稳定两种情况进行。
b1=4 c1=-4 d1=-26 -10
b2=-16 c2=-10
0
劳斯阵列第一列变换三次符号，即说明有三个极点在[S] 平面右半部。第一列中的符号变换次数即为正实部根数。 由此可见劳斯稳定判据有三个功能：
① 可进行稳定性判断。
② 可判断不稳定情况下有几个正实部根，即有几个极点在[S]平面右 半部。 ③ 可求控制系统的增益，即放大系数K。
判断如图4.1所示单位负反馈系统是否稳定。
Xi(s)
k s (Ts 1)
图4.1 系统传递框图
Xo(s)
其系统闭环传递函数为
k X o ( s) k s(Ts 1) G( s) 2 k X i (s) 1 Ts s k s(Ts 1) 特征方程为
Ts s k 0
1 a n 1 c1 b1 b1
a n 3 b2
1 a n 1 c2 b1 b1
a n 5 b3
给定一闭环系统的特征方程为
s 3 3s 2 2s k 0 ,
求当k等于何值时系统才稳定。
首先进行必要条件的判断，即特征方程的各项系数均应大 于零，即 k>0，然后再进行充分条件的判断。 现列写特征方程的劳斯行列表为