§2.3.2 平面与平面垂直的判定 导学案
2.3.2平面与平面垂直的判定导学案
2.3.2平面与平面垂直的判定导学案1、教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：●知识与技能使学生经历面面垂直定义及判定定理相关概念的产生过程，掌握并会初步应用两个平面垂直的判定定理.掌握平面与平面垂直的判定定理及其变式，能利用它们解决相关的问题。
●方法与过程通过对面面垂直相关概念及判定定理的探究，培养学生观察、分析、抽象、概括的思维水平,进一步感受转化、类比等思维方法;通过对面面垂直判定定理的应用,进一步培养学生的空间想象、推理论证等水平.●情感态度与价值观通过教师引导学生经历直观感知、操作确认等交流探索活动,激发学生的学习兴趣,使学生经历数学思维的过程,获得成功的体验.2、教学重点、难点●重点两个平面互相垂直的判定定理及其应用.●难点两个平面垂直的判定定理的归纳概括及应用。
●重、难点解决的方法策略本课通过自制模具的演示，为学生提供直观感性的材料，让学生从中自主探索，经历直观感知，操作确认，思辨论证的过程，并借助多媒体的直观演示，有________平面内的任何直线；⑵直线与平面垂直的判定定理为_________________________________________复习2：①什么是二面角？什么是二面角的平面角？②当两个平面所成的二面角____________时，这两个平面互相垂直.。
二、新课导学※探索新知（一）、平面与平面垂直定义问题1：（见课件例1）在正方体ABCD-A’B’C’D’中，二面角A’-AB-D的平面角是多少？问题2：请同学们把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书本与桌面的位置有什么关系？※新知1：面面垂直的定义：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图，α垂直β，记作αβ⊥.※探索新知（二）、平面与平面垂直的判定定理思考1：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？生活中，平面与平面垂直的例子有哪些？合作交流：学校新砌了一面墙怎样检测所砌的墙是否与地面垂直？由此实际问题如何抽象为数学问题呢探究活动：（1）拿起手中书本，让其一边垂直桌面，然后让书本绕这边实行旋转，每旋转大概60度，记录此时书本与桌面的位置关系。
人教版数学必修二2.3.2《平面与平面垂直的判定》教学教案设计
课题:平面与平面垂直的判定(新授课)
1.教学任务分析：通过教学活动，
(1)使学生了解、感受二面角的概念，感受到生活中处处有数学、数学用途广泛,增强学数学的兴趣.
(2)在二面角的概念教学中，让学生体会以下几点：
a.二面角的大小是用平面角来度量的.
b.二面角的平面角的大小由二面角的两个面的位置唯一确定.
c.平面角的两边分别在二面角的两个平面内，且两边都与二面角的棱垂直，由这个角所
确定的平面和二面角的棱垂直.
(3)了解平面与平面垂直的定义,通过探究掌握平面与平面垂直的判定定理.
(4)通过例题教学,探究确定二面角的平面角的方法,会求特殊二面角的大小.
2.教学难点、重点：
(1)重点：
确定二面角，面面垂直判定定理的应用.
(2)难点：
各种情景下确定二面角的平面角.
3.教学方式与手段：
采用“启发式”、“探究式”、“讲练结合”法.
借助多媒体电脑平台.
4.教学基本流程(总体设计)：
从生活实例让学生感性认识二面角
↓
二面角的概念
↓
二面角的平面角
↓
定义两平面垂直
↓
面面垂直的判定
↓
应用、探究
↓
课堂小结、作业
5.页面设计(相应内容逐步演示):
课题:平面与平面垂直的判定
1.二面角概念
2.确定二面角的平面角的方法
3.平面与平面垂直的定义
4.平面与平面垂直的判定定理
5.应用举例
6.小结与作业。
高中数学 第二章2.3.2平面与平面垂直的判定导学案 新人教A版必修2
2.3.2 平面与平面垂直的判定问题导学一、面面垂直的判定活动与探究1在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，E∈BB1，且BE＝EB1．求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1(注：侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱)．迁移与应用1．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有__________对．2．在四棱锥P－ABCD中，若PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是菱形，求证：平面PAC⊥平面PBD．证明面面垂直有两种基本方法：①定义法：先作(或找)出二面角的平面角，再证明该角是90°；②判定定理法：在一个平面内找(或作)出一条直线，再证明该直线与另一个平面垂直．二、求二面角的大小活动与探究2四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB．(1)求二面角A－PD－C平面角的度数；(2)求二面角B－PA－D平面角的度数；(3)求二面角B－PA－C平面角的度数．迁移与应用1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD的中点，二面角C1－AB－C的平面角是__________；二面角C1－BD－C的平面角是__________，其正切值为__________．2．在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，BC⊥AC，则二面角S－BC－A的平面角是__________．求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，再求出角的大小．三、线面垂直与面面垂直的综合应用活动与探究3如图，P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，又二面角P－CD－B为45°．(1)求证：AF∥平面PEC；(2)求证：平面PEC⊥平面PCD．迁移与应用1．过一条直线和一个平面垂直的平面有( )A．一个B．无数个C．一个或无数个D．0个2．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD．证“面面垂直”转化为“线面垂直”，证“线面垂直”转化为“线线垂直”，即线线垂直→线面垂直→面面垂直．当堂检测1．下列命题中①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是( )A．①③ B．②④ C．③④ D．①②2．对于直线a，b，c和平面α，β，已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α与β的位置关系是( )A．α⊥β B．α∥βC．α∩β＝l D．不确定3．以等腰直角三角形斜边上的高为棱，把它折成直二面角，则折后两条直角边的夹角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C与平面C1BD的位置关系是________．5．在四面体A－BCD中，BD＝2a，其余棱长均为a，则二面角A－BD－C的大小为__________．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．答案：课前预习导学【预习导引】1．两个半平面二面角的棱二面角的面α－AB－βP－AB－Qα－l－βP－l －Q2．垂直于l射线OA和OB直二面角预习交流1(1)提示：0°≤θ＜180°(2)提示：二面角α－l－β的平面角∠AOB满足的条件是：①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l．(3)提示：根据等角定理，二面角的平面角的大小与在棱上选取的点的位置无关．3．直二面角预习交流2提示：90°4．垂线a⊥α，a⊂β，则α⊥β预习交流3 提示：要证明两个平面垂直，只需在一个平面内找(或作)一条直线与另一个平面垂直，并证明即可．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：要证明平面A1EC⊥平面ACC1A1，只需在平面A1EC内找一条线与平面ACC1A1垂直．证明：取A1C的中点F，AC的中点G，连接EF，FG，BG，则GF 12AA1．又BE 12AA1，∴GF BE．∴EF∥GB．∵△ABC是等边三角形，∴BG⊥AC．∴EF⊥AC．又AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BG．∴EF⊥AA1．∵AC∩AA1＝A，∴EF⊥平面ACC1A1．∵EF⊂平面A1EC，∴平面A1EC⊥平面ACC1A1．迁移与应用1．32．证明：∵PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴PA ⊥BD ．∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ．∵PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ．∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PAC ⊥平面PBD ．活动与探究2 思路分析：(1)证明面PAD ⊥面PCD ；(2)，(3)先找出二面角的平面角，再证明该角满足平面角的定义，最后在三角形中求角的大小．解：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又四边形ABCD 为正方形，∴CD ⊥AD ．PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ． 又CD ⊂平面PCD ，∴平面PAD ⊥平面PCD ．∴二面角A －PD －C 平面角的度数为90°． (2)∵PA ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥PA ，AD ⊥PA ．∴∠BAD 为二面角B －PA －D 的平面角．又由题意∠BAD ＝90°， ∴二面角B －PA －D 平面角的度数为90°． (3)∵PA ⊥平面ABCD ， ∴AB ⊥PA ，AC ⊥PA ．∴∠BAC 为二面角B －PA －C 的平面角．又四边形ABCD 为正方形，∴∠BAC ＝45°，即二面角B －PA －C 平面角的度数为45°．迁移与应用 1．∠C 1BC ∠C 1OC 2 2．∠SCA活动与探究3 思路分析：(1)取PC 中点G ，可证AF ∥EG ；(2)证明AF ⊥平面PCD ，则EG ⊥平面PCD ，可得平面PEC ⊥平面PCD ．证明：(1)取PC 的中点G ；连接EG ，FG ．∵F 是PD 的中点，∴FG12CD ．又AE 12CD ， ∴AE FG ．∴四边形AEGF 是平行四边形．∴AF ∥EG ． 又AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC ． (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．又∵CD ⊥AD ，且PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD ． ∴CD ⊥AF ，CD ⊥PD ．∴∠PDA 是二面角P －CD －B 的平面角，即∠PDA ＝45°． 又∵PA ⊥AD ，F 是PD 中点，∴AF⊥PD．∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD．∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD．∵EG⊂平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD．迁移与应用1．C2．证明：如图所示，连接AC，与BD交于点F，连接EF．因为F为ABCD对角线AC 与BD的交点，所以F为AC的中点．又E为SA的中点，所以EF为△SAC的中位线，所以EF∥SC．又SC⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．又EF⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面ABCD．【当堂检测】1．B 2．D 3．C 4．垂直5．90°。
2.3.2面面垂直的判定导学案
§2.3.2平面与平面垂直的判定1. 掌握平面与平面垂直的判定定理及二面角的定义；2. 掌握平面与平面垂直判定定理的应用，能解决简单的二面角求解问题。
教学重点：平面与平面垂直判定。
教学难点：平面与平面垂直判定和求二面角。
使用说明： （1）预习教材，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；预习案（20分钟）一．知识链接1．直线与平面垂直的判定定理？2. 直线与平面所成的角的定义？范围？求法？探究案（30分钟）二．新知探究实例：（1）修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度。
（2）发射人造地球卫星时，根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度。
（3）随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？它们的取值范围分别是?组长评价： 教师评价：问题3：二面角的有关概念及度量（2）二面角的度量--------二面角的平面角 我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？ 应该怎样刻画二两角的大小呢？（模型演示）二面角的平面角：在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。
说明：（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA ⊥l ，OB ⊥l ”；（2）∠AOB 的大小与点O 在l 上位置无关；（3）二面角的大小可以用它的平面角来度量，范围：],0[πθ∈； （4）直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。
问题4：两个平面互相垂直的概念：。
记作：。
怎样画能体现两个平面垂直？问题5：两个平面垂直的判定定理：。
符号语言：。
作用：。
高中数学人教A版必修2《2.3.2平面与平面垂直的判定》教案2
必修二平面与平面垂直的判定【教学目标】1.探究平面与平面垂直的判定定理，二面角的定义及应用，培养学生的归纳能力.2.掌握平面与平面垂直的判定定理的应用，培养学生的空间想象能力.3.引导学生总结求二面角的方法,培养学生归纳问题的能力.【重点难点】教学重点:平面与平面垂直判定.教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角.【课时安排】1课时【教学过程】复习两平面的位置关系：（1）如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.（2）如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交. 两平面平行与相交的图形表示如图1.图1导入新课前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角问题.推进新课新知探究提出问题①二面角的有关概念、画法及表示方法.②二面角的平面角的概念.③两个平面垂直的定义.④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：①二面角的有关概念.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图2（教师和学生共同动手）.直立式：平卧式：(1) (2)图2二面角的表示方法：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.图3如果棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.②二面角的平面角的概念.如图4,在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.图4再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成角∠A′O′B′.因为OA ∥O′A′,OB ∥O′B′，所以∠AOB 及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同,即∠AOB=∠A′O′B′.从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关.由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角.③直二面角的定义.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. 直二面角的画法：如图5.图5④两个平面垂直的判定定理.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 两个平面垂直的判定定理符号表述为：⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB ⇒α⊥β. 两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.图6证明如下：已知AB⊥β，AB∩β=B，AB⊂α.求证：α⊥β.分析：要证α⊥β,需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角.证明：设α∩β=CD，则由AB⊂α,知AB、CD共面.∵AB⊥β，CD⊂β,∴AB⊥CD，垂足为点B.在平面β内过点B作直线BE⊥CD,则∠ABE是二面角αCDβ的平面角.又AB⊥BE，即二面角αCDβ是直二面角,∴α⊥β.⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直.应用示例例1 如图7,⊙O在平面α内，AB是⊙O的直径，PA⊥α，C为圆周上不同于A、B的任意一点.图7求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O所在平面为α,由已知条件，PA⊥α,BC⊂α,∴PA⊥BC.∵C为圆周上不同于A、B的任意一点,AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC.又∵PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，∴BC⊥平面PAC.∵BC⊂平面PBC,∴平面PAC⊥平面PBC.变式训练如图8，把等腰Rt △ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD=AC ，图8（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ；（2）求二面角CBDA 的余弦值.（1）证明：由题设,知AD=CD=BD,作DO ⊥平面ABC ，O 为垂足，则OA=OB=OC.∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中点.∴O ∈AB ，即O ∈平面ABD.∴OD ⊂平面ABD.∴平面ABD ⊥平面ABC.（2）解:取BD 的中点E ，连接CE 、OE 、OC,∵△BCD 为正三角形，∴CE ⊥BD.又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE ⊥BD.∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角.同（1）可证OC ⊥平面ABD.∴OC ⊥OE.∴△COE 为直角三角形.设BC=a ，则CE=a 23，OE=a 21，∴cos ∠OEC=33=CE OE . 点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.例2 如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤角的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m 时人升高了多少？（精确到0.1 m ）图9解：取CD 上一点E ，设CE=10 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作EF ⊥AB ，垂足为F ，并连接FG ,则FG ⊥AB,即∠EFG 就是河堤斜面与水平面ABG 所成二面角的平面角,∠EFG=60°,由此,得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×2352321=⨯≈4.3（m ）. 答：沿直道行走到10 m 时人升高约4.3 m.变式训练已知二面角αABβ等于45°，CD ⊂α，D ∈AB ，∠CDB=45°.求CD 与平面β所成的角.解：如图10，作CO ⊥β交β于点O ，连接DO ，则∠CDO 为DC 与β所成的角.图10过点O 作OE ⊥AB 于E ，连接CE ，则CE ⊥AB.∴∠CEO 为二面角αABβ的平面角，即∠CEO=45°.设CD=a,则CE=a 22,∵CO ⊥OE ，OC=OE ， ∴CO=a 21.∵CO ⊥DO,∴sin ∠CDO=21=CD CO . ∴∠CDO=30°,即DC 与β成30°角.点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C ，作另一个半平面β的垂线，垂足为O,然后通过垂足O 作棱AB 的垂线，垂足为E,连接AE,则∠CEO 为二面角α-AB-β的平面角.这一过程要求学生熟记.拓展提升如图11，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N 是PB 中点，过A 、D 、N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点.图11（1）求证：EN ∥平面PCD ；（2）求证：平面PBC ⊥平面ADMN ；（3）求平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的正切值.(1)证明：∵AD ∥BC,BC ⊂面PBC,AD ⊄面PBC,∴AD ∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN,∴AD ∥MN.∴MN ∥BC.∴点M 为PC 的中点.∴MN 21BC. 又E 为AD 的中点，∴四边形DENM 为平行四边形.∴EN ∥DM.∴EN ∥面PDC.（2）证明：连接PE 、BE,∵四边形ABCD 为边长为2的菱形，且∠BAD=60°, ∴BE ⊥AD.又∵PE ⊥AD,∴AD ⊥面PBE.∴AD ⊥PB.又∵PA=AB 且N 为PB 的中点,∴AN ⊥PB.∴PB ⊥面ADMN.∴平面PBC ⊥平面ADMN. （3）解：作EF ⊥AB ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD,∴AB ⊥PF.∴∠PFE 就是平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的平面角. 又在Rt △AEB 中，BE=3，AE=1，AB=2,∴EF=23. 又∵PE=3,∴tan ∠PFE=233=EF PE =2,即平面PAB 与平面ABCD 所成的二面角的正切值为2.课堂小结知识总结：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题.作业课本习题2.3 A组1、2、3.。
人教新课标版数学高一必修2导学案 2.3.2平面与平面垂直的判定教师版
2.3.2平面与平面垂直的判定【教学目标】1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角；3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.3.2平面与平面垂直的判定》课件“新课导入”部分，让学生与大家分享自己的了解。
通过互相交流，引入本节课要学习的知识.二、自主学习知识点一二面角1．定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．2．相关概念：①这条直线叫二面角的棱，②两个半平面叫二面角的面．3．画法：4．记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q，或P－AB－Q.5.二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点二平面与平面垂直1．平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：记作：α⊥β.2．判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β三、合作探究问题1观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？答案二面角．问题2平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？答案二面角的平面角．问题3建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案都是垂直．探究点1定义法判定两平面垂直例1如图，在四面体ABCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.解因为△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.在△ABD中，AB＝a，BE＝12BD＝22a，所以AE＝AB2－BE2＝22a.同理CE＝22a，在△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a.由于AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，所以AE⊥面BCD.又AE⊂面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.反思与感悟 1.利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两平面垂直，其判定的方法是：(1)找出两相交平面的平面角；(2)证明这个平面角是直角；(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直．2．此类问题在证明平面角是直角时常用勾股定理的逆定理，解答时要特别注意．探究点2面面垂直的判定定理判定两平面垂直例2如图，在四棱锥P-ABCD中，若PA⊥平面ABCD且ABCD是菱形．求证：平面PAC⊥平面PBD.证明∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.反思与感悟利用面面垂直的判定定理证明两平面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中的一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直．探究点3求二面角的大小例3如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．(1)求点C 到平面A 1ABB 1的距离；(2)若AB 1⊥A 1C ，求二面角A 1－CD －C 1的平面角的余弦值．解 (1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB ，又CD ⊥AA 1，故CD ⊥面A 1ABB 1，所以C 到平面A 1ABB 1的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝ 5.(2)如图，取D 1为A 1B 1的中点，连接DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1－CD －C 1的平面角． 因CD ⊥面A 1ABB 1，AB 1⊂面A 1ABB 1，所以AB 1⊥CD ，又已知AB 1⊥A 1C ，A 1C ∩CD ＝C ，所以AB 1⊥面A 1CD ，故AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A .因此AA 1AD ＝A 1B 1AA 1，即AA 21＝AD ·A 1B 1＝8， 得AA 1＝2 2.从而A 1D ＝AA 21＋AD 2＝2 3.所以，在Rt △A 1DD 1中，cos ∠A 1DD 1＝DD 1A 1D ＝AA 1A 1D ＝63. 反思与感悟 求二面角的大小应注意做题的顺序，一般情况下，是先作出二面角的平面角，然后证明它是二面角的平面角，接着是求出这个角的值，最后说明二面角为多少度．这个过程可以简记为：作(找)、证、求、答．四、当堂测试1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是()A．平行B．可能重合C．相交且垂直D．相交不垂直答案 C解析由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.2．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()A．①③B．②④C．③④D．①②答案 B解析①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．故选B.3.如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO ＝45°，则二面角A－BC－O的大小为________．答案60°解析如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC.又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD⊂平面AOD，∴AD⊥BC.∴∠ADO 是二面角A －BC －O 的平面角．由AO ⊥α，OB ⊂α，OC ⊂α，知AO ⊥OB ，AO ⊥OC .又∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°，∴设AO ＝a ，则AC ＝2a ，AB ＝2a .在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∴BC ＝AC 2＋AB 2＝6a ，∴AD ＝AB ·AC BC ＝2a ·2a 6a＝233a . 在Rt △AOD 中，sin ∠ADO ＝AO AD ＝a 233a ＝32. ∴∠ADO ＝60°.即二面角A －BC －O 的大小是60°.4.如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：面EFC ⊥面BCD .证明 ∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD .∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD .又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥面EFC .∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?1．求二面角的步骤简称为“一作二证三求”．2．作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则∠AOB为二面角的平面角或其补角，如图③，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．3．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．。
高一数学必修二2.3.1直线与平面垂直的判定2.3.2平面与平面垂直的判定导学案(解析版)
2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.2平面与平面垂直的判定一、课标解读（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理； （2）使学生掌握直线和平面所成角的概念（3）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（4）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（5）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
二、自学导引问题1：（1）请同学们观察图片，说出旗杆与地面、树干与地面的位置有什么关系？（2）请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？ （3）思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？有什么生活实例能验证这一关系呢？直线与平面垂直的定义：用符号语言表示为：问题2：如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD 、DC 与桌面接触）.观察并思考：①折痕AD 与桌面垂直吗？DCBA②如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？ 直线与平面垂直的判定定理：用符号语言表示为：问题3：直线与平面所成角的概念？问题4：怎样作出二面角的平面角？问题5：平面与平面垂直的定义？问题6：两个平面互相垂直的判定方法有哪些？ 三、典例精析例1 已知两两垂直所在平面外一点，是PC PB PA ABC P ,,∆,H 是ABC ∆ 的垂心.求证：⊥PH 平面ABC变式训练1 如图所示，ABC PA O C O AB 平面上的一点，为圆的直径，为圆⊥, F CP AF E BP AE 于于⊥⊥,.求证：AEF BP 平面⊥例2 如图所示,已知 60,90=∠=∠=∠CSA BSA BSC ,又SC SB SA ==. 求证:平面SBC ABC 平面⊥变式训练２ 如图所示,在四面体ABCD 中,AC CD CB AD AB a BD =====,2 =a ,求证:平面BCD ABD 平面⊥._ C例3 如图所示,已知的斜线，是平面内，在平面ααOA BOC ∠且AOCAOB ∠=∠=60,a OC OB OA ===,a BC 2=,求所成的角与平面αOA .变式训练3 如图所示，在矩形ABCD 中，3,33==BC AD ,沿着对角线BD 将BCD ∆折起，使点C 移到'C 点，且'C 点在平面ABD 上的射影O 恰在AB 上.（1）求证：D AC BC ''平面⊥（2）求直线AB 与平面D BC '所成角的正弦值四、自主反馈1. 如图BC 是Rt ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α 垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是 （ ）A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个2.下列说法正确的是 ( ) A ．直线a 平行于平面M ，则a 平行于M 内的任意一条直线 B ．直线a 与平面M 相交，则a 不平行于M 内的任意一条直线C ．直线a 不垂直于平面M ，则a 不垂直于M 内的任意一条直线D ．直线a 不垂直于平面M ，则过a 的平面不垂直于M3.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB =90°，AC =AA 1=a ，则点A 到平面A 1BC 的距离是 ( )A.aB. 2aC.22a D. 3a 4.已知PA 、PB 、PC 是从点P 发出的三条射线，每两条射线的夹角都是60︒，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为 。
高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定导学案 新人教A版必修2(3)
浙江省温州市苍南县巨人中学高中数学 2.3.2 平面与平面垂直的判定导学案新人教A版必修2一、预案知识点1：二面角的定义__________________________________________________________________知识点2：度量二面角的大小（二面角的平面角）二面角的平面角：_______________________________________________________________知识点3：两个平面互相垂直两个平面互相垂直：_________________________________________两个互相垂直的平面画法：平面 与β垂直，记作：_________知识点4：面面垂直的判定定理判定两个平面互相垂直的定理: _______________________________________二、导案1.学习目标:1）．正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；2）．掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用。
2.学习重、难点重点: 平面与平面垂直的判定；难点:选取恰当的位置作出二面角的平面角来解题。
3.教学过程：问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：观察打开的门与门框所在平面所成的角，请你类比平面角尝试用数学的语言来描述它。
问题3：我们常说“把门开大些”，是指哪个角大一些？我们应该怎样刻画二面角的大小呢？问题4：这个角的边与二面角的棱有什么关系？角AOB的大小与点O在L上的位置有关吗？问题5：教室相邻的两个面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱平面及其度数。
问题6：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，即αβ⊥，请同学给出面面垂直的判定定理？例2：已知AB ⊥平面BC D ，BC ⊥CD 你能发现哪些平面互相垂直，为什么？例3:如图四面体ABCD 的棱BD 长为2，其余各棱长均为2，求二面角A-BD-C 的大小。
高中数学人教A版必修二教案：2.3.2平面与平面垂直的判定
中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.
（二）教学重点、难点
重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小.
（三）教学方法
实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合.
教学过程
教学内容
师生互动
设计意图
问题 1：平面几何中“角”
学生自由发言，教师小
是怎样定义的？
结，并投影两个平面所成角
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1．平面与平面垂直的定义， 下注意事项.
生自学能力,
记法与画法.
师：以教室的门为例， 通过实验，
一般地，两个平面相交， 由于门框木柱与地面垂直， 培养学生观
是 EF 的中
点，现在沿
SE，SF 及
EF 把这个正
方形折成一个四面体，使
G1，G2，G3 三点重合，重合后 的点记为 G，则在四面体 S –
EFG 中必有（ A ）
A．SG⊥EFG 所在平面
随堂练习
B．SD⊥EFG 所在平面
C．GF⊥SEF 所在平面
D．GD⊥SEF 所在平面
2．如图，已知 AB⊥平面
OA 和 OB，则射线 OA 和 OB
构成的∠AOB 叫做二面角的平
面角.
（2）二面角的平面角的大
小与 O 点位置无关.
（3）二面角的平面角的范
围是[0，180°]
（4）平面角为直角的二面
角叫做直二面角.
探索新知
二、平面与平面垂直
学生自学，教师点拔一
培养学
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平面与平面垂直的判定导学案
课题：2.3.2平面与平面垂直的判定【使用说明及学法指导】1.阅读探究课本P67-P69的基础知识，自主高效预习，完成预习自学提纲；2.结合课本基础知识和例题，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。
3.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。
【学习目标】1.掌握面面垂直的定义．2．掌握面面垂直的判定定理，并能用来证明面面垂直．3．掌握二面角及其平面角的概念，会求简单二面角的大小．4.通过自主学习、合作讨论探究，体验学习的快乐;5.小组合作探究时，激情投入.【预习案】一.复习旧知1．直线与平面垂直的判定定理是：．2．直线和平面所成的角是．3．空间两个不重合平面的位置关系有．二．预习新知1．二面角的有关概念(1)半平面的定义：平面的一条直线，把这个平面分成部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角的定义：从一条直线出发的两个所组成的叫做二面角．其中的直线叫做二面角的，这两个半平面叫做二面角的．(3)二面角的记法：棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角 .有时为了方便，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作 .如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角或二面角(4)二面角的平面角：在二面角的棱l上取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做．(5)直二面角：平面角是的二面角叫做直二面角．2．两个平面垂直(1)两个平面互相垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．(2)表示法：两个互相垂直的平面通常画成如下图(1)(2)所示的样子，此时把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直．平面α与β垂直，记为 .(3)两个平面互相垂直的判定定理①文字语言：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直．②符号语言：.提示：要证明两个平面互相垂直，只有根据两个平面互相垂直的定义，证明由它们组成的二面角是直二面角，因此必须作出它的一个平面角，并证明这个平面角是直角．如何作平面角呢？根据平面角的定义，可以作BE⊥CD，使∠ABE为二面角α-CD-β的平面角．学生独自写出证明过程．证明：思考1．作二面角的平面角的目的是什么？提示：平面角就是一个平面图形，可将二面角的求值问题转化到平面内进行，求其平面角的大小．2．作二面角的平面角的关键是什么？提示：二面角的平面角的三要素：(1)角的顶点在二面角的棱上．(2)角的两边分别在表示二面角的两个半平面内．(3)角的两边分别和二面角的棱垂直．【学以致用】1.建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，为什么？2.检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了．为什么？如果不转动呢？【预习自测】1．下列说法错误的是( )A．过二面角的棱上某一特殊点，分别在两个半平面内引垂直于棱的射线，则这两条射线所成的角即为二面角的平面角B．和二面角的棱垂直的平面与二面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角C．在二面角的一个面内引棱的垂线，该垂线与其在另一面内的射影所成的角是二面角的平面角D．二面角的平面角可以是一个锐角、一个直角或一个钝角2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于( )A.32B.22C. 2D. 33．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是( )A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC4．如图，把直角三角形ABC 沿斜边上的高CD 折成直二面角A －CD －B 后，互相垂直的平面有______对．【我的疑惑】_____________________________________________________________________________________【探究案】 探究案一:面面垂直例：⊙O 在平面α内，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥α，C 为圆周上不同于A 、B的任意一点．求证：平面PAC ⊥平面PBC ． 探究案二: 二面角问题 已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于________．【课堂小结】1.平面与平面垂直的判定定理 应用此定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现了面面垂直向线面垂直的转化．2.利用二面角证明平面垂直面面垂直就是二面角的大小是90°，可转化为其平面角的计算来证明．二面角大小的计算3.求二面角大小的步骤是：(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．【训练案】1．在下列关于直线l ，m 与平面α，β的命题中，正确的命题是( ) A ．若l ⊂β且α⊥β，则l⊥α B ．若l⊥β且α∥β，则l⊥α C ．若l⊥β且α⊥β，则l∥α D ．若α∩β＝m 且l∥m，则l∥α 2．已知三条直线m ，n ，l ，三个平面α，β，γ，则在下面四个命题中，正确的是( )A.⎭⎪⎬⎪⎫α⊥γβ⊥γ⇒α∥β B.⎭⎪⎬⎪⎫m⊥βl⊥m ⇒l∥βC.⎭⎪⎬⎪⎫m∥γn⊥γ⇒m∥nD.⎭⎪⎬⎪⎫m⊥γn ⊂γ⇒m⊥n 3．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( ) A ．相等 B ．互补C ．互余 D ．无法确定 4．以下三个命题中，正确的命题有( )①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面； ③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 5．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是( )A ．相等 B ．互补 C ．相等或互补 D ．不能确定 6．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE、△CDF、△BEF折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P ，那么在四面体P－DEF 中，必有( )A ．DM⊥平面PEFB ．PM⊥平面DEFC ．平面PDE⊥平面PEFD ．平面PDE⊥平面DEF7．若二面角αlβ的平面角是锐角，点P 到α、β和棱l 的距离分别为22、4和42，则二面角的大小为________．8．已知平面α、β，直线a ，若α⊥β，α∩β＝直线l ，a⊥l，a∥α，则a 与β的位置关系为________． 9．如图，在空间四边形ABCD 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、F 、G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点． 求证：平面BEF⊥平面BGD. 10．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝7，点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，且DE⊥A 1E.求证：平面A 1DE⊥平面ACC 1A 1.11．如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD⊥BD，点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证： (1)直线EF∥平面ACD ；(2)平面EFC⊥平面BCD.【我的收获】 。
平面与平面垂直的判定导学案
2.3.2平面与平面垂直的判定【自主学习】1、二面角(1)定义：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角(如图)． 叫做二面角的棱，叫做二面角的面．记法： ，在α，β内，分别取点P 、Q 时，可记作 ；当棱记为l 时，可记作 或 .2、二面角的平面角:①定义：在二面角α－l －β的棱l 上任取一点O ，如图所示，以点O 为垂足，在 分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB 叫做 ． ②直二面角：平面角是 的二面角．3、面面垂直的定义(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：如图（3）记作： .4、两平面垂直的判定(1)文字语言：一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直．(2)图形语言：如图．(3)符号语言： ⇒【释疑点拨】1．对于二面角及其平面角的理解(1)二面角是一个空间图形，而二面角的平面角是平面图形，二面角的大小通过其平面角的大小表示，体现了由空间图形向平面图形转化的思想．(2)二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.2．对于平面与平面垂直的判定定理的理解平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到一条直线和另一个平面垂直即可．【交流展示】例1 如图，已知AB ⊥平面BCD,BC ⊥CD,你能发现那些平面互相垂直，为什么？例2 已知AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同与A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC[例3] 四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A－PD－C平面角的度数；(2)求二面角B－PA－D平面角的度数；(3)求二面角B－PA－C平面角的度数．[思路点拨] (1)证明面PAD⊥面PCD； (2)定义法确定二面角；(3)∠BAC为所求角，可求．【达标训练】1、如图，P是边长为22的正方形ABCD外一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且PC＝5，求二面角P-BD-A的余弦值。
人教版高中数学(必修二)导学案：2.3.2平面和平面垂直的判定(无答案)
高二数学 SX-G2-B2-U2-L2.3.22.3.2 《平面与平面垂直的判定》导学案编写人： 审核：高二数学组 编写时间：一、教学目标：1、掌握二面角及其平面角的相关知识2．掌握面面垂直的定义和判定定理；并用来解决相关知识二、教学重难点平面与平面垂直的判定；三、教法指导:1、阅读教材，查阅资料。
四、知识链接:1、二面角的定义：__________________________________________________，下图中的二面角可记作： ；也可记作： 。
如果将棱记作l ，那么这个二面角记作： 或 。
2、二面角的大小由 来度量，二面角的 是多少度，就说这个二面角是多少度。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
例1：如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求： （ⅰ）二面角C-BB 1-A 的大小（必做） （ⅱ）二面角C-BD-B 1的大小（必做）五、教学过程: (一) 二面角问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？ACBB 1A 1DC 1D 1它们有什么共同的特征？问题3、二面角的有关概念角二面角图形A边顶点 O B边Aβ棱lB α定义从平面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形构成射线—点（顶点）一射线表示∠AOB问题5（二）平面与平面垂直的定义及其判定定理定义定理三种语言知识小结：平面与平面垂直的判定方法有哪些？（三）例题分析题型一、面面垂直的定义及判定定理的应用例1 如图，在四面体ABCD中，2a ，AB=AD=CB=CD=AC=a 求证：平面ABD⊥平面BCD.练习：如图，在三棱锥V ABC -中，90oVAB VAC ABC ∠=∠=∠=，试判断平面VBA 与平面VBC 之间的位置关系，并说明理由。
题型二 二面角的求法例2已知:如图在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-A 1C 1-B 1的正切值. 思路分析：解答求二面角问题的关键是根据已知条件先找出或作出平面角.练习：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中：（1）二面角A 1-AB-D 的大小为：（2）二面角D 1-AB-D 的大小为： （3）二面角D 1-BC-D 的大小为题型三 二面角的定义及面面垂直判定定理的内容 例3 判断是非:（1）两个相交平面组成的图形叫做二面角.（ ）（2）异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补.（ ）（3）二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角.（ ） （4）二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.（ ）VABC（5）若平面α⊥平面β,则α内的所有直线都与β垂直.（ ）（6）若平面α和平面β不垂直，则平面α内所有直线与β都不垂直.（ ）变式：过空间一点引和二面角两个面垂直的射线，则此二射线夹角和二面角的平面角的大小是（ ）A.相等B.互补C.相等或互补D.以上都不对 六、当堂检测1．已知PA ⊥正方形ABCD 所在的平面，垂足为A ，连结,,,,PB PC PD AC BD ，则互相垂直的平面有 （ ）()A 5对 ()B 6对 ()C 7对 ()D 8对2．若三个平面γβα,,，之间有α⊥γ，β⊥γ，则α与β （ ）()A 垂直 ()B 平行()C 相交 ()D 以上三种可能都有3．在四面体ABCD 中，3,2AB AC AD ===，且60DAC BAC BAD ∠=∠=∠=o， 求证：平面BCD ⊥平面ADC4．如图，四棱锥P ABCD -是的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是,AB PD的中点，又二面角P CD B --的大小为45o， （1）求证：//AF 面PEC ；（2）求证：平面PEC ⊥平面PCD ； （3）设2,AD CD ==A 到平面PEC 的距离；A BCDPEFBADC5．三棱锥P ABC -中，,PB PC AB AC ==，点D 为BC 中点，AH PD ⊥于H 点，连BH ， 求证：平面ABH ⊥平面PBC七、教学反思：八．课后巩固1、如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足l=β∩γ，l ∥α，m ⊂α，m ⊥γ，那么有（ ）A.α⊥γ和l ⊥mB.α∥γ和m ∥βC.m ∥β且l ⊥mD.α∥β和α⊥γ 2、正方体AC 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1和A 1D 1的中点，则截面AMN 与平面A 1MN ，所成的角的正弦值是（ ） A.552 B.83C.322D.36 3．如图正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F M N 分别是111111,,,A B BC C D B C 的中点， 求证：平面MNF ⊥平面ENF 。
高中数学《平面与平面垂直的判定》导学案
2．3.2平面与平面垂直的判定课前自主预习知识点一二面角的定义1．有关概念：一般地，从□1一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条□2直线叫做二面角的棱，这□3两个半平面叫做二面角的面，棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角□4α－AB－β，二面角的范围是□5[0°，180°]．2．二面角的平面角(1)定义：一般地，以二面角的□6棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作□7垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的□8角叫做二面角的平面角．(2)必备的三个条件：①角的顶点在二面角的□9棱上；②角的两边分别在二面角的□10两个半平面内；③角的两边分别与二面角的□11棱垂直．3．二面角的大小及求法(1)二面角的大小可以□12用它的平面角来度量，二面角的□13平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是□14直角的二面角叫做直二面角．(2)二面角大小的求法①作：□15依据题中的条件作出一平面角；②证：□16证明所作出的平面角是二面角的平面角(用二面角的平面角的定义证)；③求：□17求出这个平面角的大小即为二面角的大小(构造三角形解三角形来求)．知识点二两个平面互相垂直的定义1．两个平面互相垂直的定义(1)两个平面相交，如果□1它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面□2互相垂直．(2)图形(3)表示：平面α垂直平面β，表示为□3α⊥β.2．两平面垂直的判定定理(1)定理：一个平面过□4另一个平面的垂线，则这两个平面□5垂直．(2)符号表示：若□6a⊥β，a⊂α，则□7α⊥β.(3)定理的作用：□8证两平面垂直．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义．(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的．因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．3．有助于判断面面垂直的结论(1)m∥n，m⊥α，n⊂β⇒α⊥β；(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β；(3)α∥β，γ⊥α⇒γ⊥β.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关．()(2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的．()(3)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)过一点可作________个平面与已知平面垂直．(2)(教材改编，P69练习)若∠AOB是锐二面角α－l－β的平面角，则l与平面AOB的位置关系是________．(3)(教材改编，P69，例3)如图，空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么图中互相垂直的平面有________．答案(1)无数(2)l⊥平面AOB(3)平面ABD⊥平面BCD，平面ACD⊥平面BCD3．在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是()A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β答案D课堂互动探究探究1求二面角例1四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB.求：(1)二面角A－PD－C的平面角的度数；(2)二面角B－P A－D的平面角的度数；(3)二面角B－P A－C的平面角的度数．解(1)∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD，又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，P A∩AD＝A.∴CD⊥平面P AD，又CD⊂平面PCD，∴平面P AD⊥平面PCD.∴二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.(2)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AD⊥P A.∴∠BAD为二面角B－P A－D的平面角．又由题意可得∠BAD＝90°，∴二面角B－P A－D的平面角的度数为90°.(3)∵P A⊥平面ABCD，∴AB⊥P A，AC⊥P A.∴∠BAC为二面角B－P A－C的平面角．又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.即二面角B－P A－C的平面角的度数为45°.[条件探究]在本例中，若求二面角P－BC－D的平面角的度数又该如何解？解∵P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴P A⊥BC.又∵BC⊥AB，且AB∩AP＝A，∴BC⊥平面P AB.∴BC⊥PB.∴∠PBA为二面角P－BC－D的平面角．在Rt△P AB中，AP＝AB.∴∠PBA＝45°.∴二面角P－BC－D的平面角为45°.拓展提升1.确定二面角的平面角的方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．2．求二面角大小的步骤(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．【跟踪训练1】如图，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且P A＝AC，求二面角P－BC－A的大小．解由已知P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又∵P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.而PC⊂平面P AC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由P A＝AC知△P AC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.探究2用定义法证明平面与平面垂直例2如图所示，在四面体A－BCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD.证明∵AB＝AD＝CB＝CD＝a，∴△ABD与△BCD是等腰三角形．∴取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE.∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角．在△ABD中，AB＝a，BE＝12BD＝22a，∴AE＝AB2－BE2＝22a.同理CE＝22a.在△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a，∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，即二面角A－BD－C的平面角为90°.∴平面ABD⊥平面BCD.拓展提升用定义证明两个平面垂直的步骤利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：①找出两个相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个平面互相垂直．【跟踪训练2】如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.证明：平面AEC⊥平面AFC.证明如图，连接BD，设BD∩AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝ 3.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝3，且EG⊥AC.同理可得FG⊥AC，所以∠EGF为二面角E－AC－F的平面角，在Rt△EBG中，可得BE＝2，故DF＝22.在Rt△FDG中，可得FG＝6 2.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝2，DF＝22，可得EF＝322.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.即二面角E－AC－F的平面角为90°，所以平面AEC⊥平面AFC.探究3利用判定定理证明面面垂直例3如图所示，在四面体A－BCD中，CB＝CD，AD⊥BD.且E，F分别是AB，BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.证明(1)∵E，F分别是AB，BD的中点，∴EF∥AD.又EF⊄平面ACD，AD⊂平面ACD，∴直线EF∥平面ACD.(2)∵EF∥AD且AD⊥BD，∴EF⊥BD.又CB＝CD，F为BD的中点，∴CF⊥BD.由CF∩EF＝F，因此，BD⊥平面EFC.∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.拓展提升证明面面垂直的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”．(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．【跟踪训练3】如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD，点E在棱PB上．求证：平面AEC⊥平面PDB.证明∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，∴AC⊥平面PDB.又∵AC ⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.探究4折叠问题例4如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.(1)求证：平面PDE⊥平面P AD；(2)求二面角P－AD－E的大小．解(1)证明：由AB⊥BE，得AP⊥PE，同理，DP⊥PE.又∵AP∩DP＝P，∴PE⊥平面P AD.又PE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面P AD.(2)如图所示，取AD 的中点F ，连接PF ，EF ，则PF ⊥AD ，EF ⊥AD ，∴∠PFE 就是二面角P －AD －E 的平面角． 又PE ⊥平面P AD ，∴PE ⊥PF . ∵EF ＝AB ＝2， PF ＝(2)2－1＝1，∴cos ∠PFE ＝PF EF ＝22.∴二面角P －AD －E 的大小为45°. 拓展提升折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题．解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量．【跟踪训练4】 如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.证明如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.∵AB＝12AD，E是AD的中点，∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四边形BCDE中，CD⊥MN，又∵MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN，∴CD⊥A′N.∵DE∥BC且DE＝12BC，∴BE必与CD相交．又∵A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.又∵A′N⊂平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.1.作二面角的平面角的方法(1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如下图①，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如上图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角．如图③，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．2.常用的两个平面互相垂直的判定方法(1)定义法，(2)判定定理法．课堂达标自测1．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是()A．相等B．互补C．互余D．相等或互补答案D解析如图过二面角内任一点A作AB⊥α，AC⊥β，垂足分别为B，C，过B，C作交线的垂线，垂足为D.∴∠BDC为二面角的平面角．∵∠B＋∠C＝180°.∴∠A＋∠D＝180°.因为线线角的范围为[0°，90°]，所以∠A为两垂线所成的角或其补角．所以两角为互补或相等关系．2. 在四棱锥P－ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，且底面ABCD 为矩形，则下列结论中错误的是()A．平面P AB⊥平面P ADB．平面P AB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面P AD答案C解析由面面垂直的判定定理知：平面P AB⊥平面P AD，平面P AB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面P AD，A，B，D正确．3. 如图，三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－P A－C的大小为()A．90° B．60°C．45° D．30°答案A解析因为P A⊥平面ABC，BA⊂平面ABC，CA⊂平面ABC，所以BA⊥AP，CA⊥AP.因此，∠BAC即为二面角B－P A－C的平面角，又∠BAC＝90°，故选A.4．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，P A⊥平面ABC，则此图形中有________个直角三角形．答案4解析∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，又∵AB⊥BC，P A∩AB＝A，∴BC⊥平面APB，PB⊂平面APB，∴BC⊥PB，∴△PBC为直角三角形，又∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，∴△P AB与△P AC为直角三角形，又∵△ABC为直角三角形，∴共4个直角三角形．5．如图，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，点P，M分别是SC和SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线PC所成的角为60°.(1)求证：平面MAP⊥平面SAC；(2)求二面角M－AC－B的平面角的正切值．解(1)证明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，AC∩SC＝C，BC⊥平面SAC，又∵P，M分别是SC，SB的中点，∴PM∥BC，PM⊥平面SAC，又PM⊂平面MAP，∴平面MAP⊥平面SAC.(2)同(1)，可证AC⊥平面SBC，∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M－AC－B的平面角，∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴过点M 作MN ⊥CB 于N 点，连接AN ，MN ∥PC ，则∠AMN ＝60°，在△CAN 中，CN ＝PM ＝1，AC ＝1，由勾股定理得AN ＝ 2.在Rt △AMN 中，MN ＝AN tan ∠AMN ＝2·33＝63.在Rt △CNM 中，tan ∠MCN ＝MN CN ＝631＝63， 故二面角M －AC －B 的平面角的正切值为63.课后课时精练 A 级：基础巩固练一、选择题1．从空间一点P 向二面角α－l －β的两个面α，β分别作垂线PE ，PF ，E ，F 为垂足，若∠EPF ＝60°，则二面角的平面角的大小是( )A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．不确定答案 C解析 若点P 在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P 在二面角外，则二面角的平面角为60°.2．对于直线m ，n 和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( ) A ．m ⊥n ，m ∥α，n ∥β B ．m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α C ．m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α D ．m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β答案 C解析 ∵n ⊥β，m ∥n ，∴m ⊥β，又m ⊂α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β.3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝23，CC1＝2，则二面角C－BD－C1的大小是()A．30° B．45° C．60° D．90°答案A解析过点C作CE⊥BD于E，连接C1E，则∠CEC1为二面角的平面角，由等面积公式得CE＝23×232×23＝6，tan∠CEC1＝CC1CE＝26＝33，所以∠CEC1＝30°.4．如图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列说法中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDEC．平面ABD⊥平面BDCD．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案B解析由条件得AC⊥DE，AC⊥BE，又∵DE∩BE＝E，∴AC⊥平面BDE，又∵AC⊂平面ADC，AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE，故选B.5. 如图，在三棱锥P－ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面P AB与平面ABC所成二面角的平面角答案D解析A正确，∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC；B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；D错误，∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面P AB与平面ABC 所成二面角的平面角．二、填空题6．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，P A＝6，那么二面角P－BC－A的大小为________．答案90°解析取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP＝OA＝3，P A＝6，所以△POA为等腰直角三角形，∠POA＝90°.7．如图所示，一山坡的坡面与水平面成30°的二面角，坡面上有一直道AB，它和坡脚的水平线成30°的角，沿这山路行走20 m后升高_________m.答案5解析如图，过B作BH⊥水平面，过H作HC⊥坡脚线，连接BC，则∠BAC＝30°，由BH⊥AC，HC⊥AC，BH∩HC＝H，知AC⊥平面BHC，从而BC⊥AC，所以∠BCH为坡面与水平面所成二面角的平面角，所以∠BCH＝30°，在Rt△ABC和Rt△BCH中，因为AB＝20 m，所以BC＝AB·sin30°＝10 m，所以BH＝BC·sin30°＝5 m.8．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________.答案1解析∵AD⊥BC，∴BD⊥AD，CD⊥AD，∴∠BDC为平面ABD与平面ACD所成二面角的平面角，∴∠BDC ＝90°，又∵AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴BD＋CD＝AB2＋AC2＝2，∴BD＝CD＝2，折叠后，2在Rt△BDC中，BC＝BD2＋CD2＝1.三、解答题9. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，P A＝PC＝2a.求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面P AC⊥平面PBD；(3)∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．证明(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD.∵AD⊂平面ABCD，DC⊂平面ABCD，且AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD.又∵AC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．B级：能力提升练10．在直角梯形ABCD中，∠D＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝12AB＝a(如图所示)，将△ADC沿AC折起，将D翻到D′，记平面ACD′为α，平面ABC为β，平面BCD′为γ.(1)若二面角α－AC－β为直二面角，求二面角β－BC－γ的大小；(2)若二面角α－AC－β为60°，求三棱锥D′－ABC的体积．解(1)在直角梯形ABCD中，由已知△DAC为等腰直角三角形，∴AC＝2a，∠CAB＝45°.如图所示，过C作CH⊥AB，垂足为H，则AH＝CH＝a.由AB＝2a，可得BC＝2a，∴AC⊥BC.取AC的中点E，连接D′E，则D′E⊥AC.∵二面角α－AC－β为直二面角，∴D′E⊥β.又∵BC⊂平面β，∴BC⊥D′E.∵AC∩D′E＝E，∴BC⊥α.而D′C⊂α，∴BC⊥D′C，∴∠D′CA为二面角β－BC－γ的平面角．由于∠D′CA＝45°，∴二面角β－BC－γ为45°.(2)如图所示，过D′作D′O⊥β，垂足为O，连接OE，∵AC⊂β，∴D′O⊥AC.又由(1)可知AC⊥D′E，D′O与D′E相交于点D′，∴AC⊥平面D′EO.∴AC⊥OE.∴∠D′EO为二面角α－AC－β的平面角，∴∠D′EO＝60°.在Rt△D′OE中，D′E＝12AC＝22a，D′O＝32D′E＝64a.∴V三棱锥D′－ABC＝13S S△ABC·D′O＝13×12S AC·BC·D′O＝16×2a×2a×64a＝612a3.。
面面垂直的判定导学案r
单位: 邹城市第二高级中学 编制: 饶兴国 审核: 代少春 时间: 2015.12.051 / 4高一数学导学案(14) §2.3.2平面与平面垂直的判定2015级 班 姓名: 学号一、知识链接1、直线与平面垂直的判定（定理、图形、符号语言）2..列举生活中两个面成一定角的例子二、新知探究 探究一： 二面角1.二面角的相关概念：（1）半平面:_______________ ___ __________.（2）二面角: __________ _______________. （3）二面角的棱: ____________ ________________. （4）二面角的面______________ _______________. 2.二面角的画法及表示：用不同的形式表示下列各组二面角____________________ __________________ ___________________ 探究二：二面角的平面角 观察思考：把一张长方形的纸按图折成一个二面角βα--l ，改变二面角的大小时，你能发现哪些角度在变化，能不能用我们学过的一个角表示该二面角的变化？1、二面角的平面角：_____________ _ ______________________. 2 在图中作出该二面角的一个平面角AOB ∠. 回答下列问题： （1）作二面角的平面角时需满足哪些条件？（2）AOB ∠的大小与点O 在直线l 上的位置有关吗？（3）二面角的平面角的取值范围是多少？（4）什么叫做直二面角？A B CE FD A B αβlαβ C DE F N Mαβl探究三：平面与平面垂直的判定如图， 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？ 分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角的度数.1、 面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说__________ ________.记作：___ __. （能否用定义来判定两个平面是否垂直 ?）例1.如图，已知三棱锥A-BCD 中，△ABC 与△ACD 均为边长为2的正三角形，6 BD .证明：面ABC ⊥面ACD总结：利用定义法证明两个平面垂直的步骤：2、平面与平面垂直的判定定理：文字语言：__________________ ____________________.图形语言：符号语言：_________________________ ______________.例2.如图,AB 是 ⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是 圆周上不同于A,B 的任意一点.求证:平面PAC ⊥平面PBC.【课堂小结】1.本节课我们学到了那些相关概念？2.在这节课中我们用到了怎样的数学思想方法？3.你学会了几种方法证明两个平面垂直?αβγAB C DABCD【课堂检测】1.以下四个命题，正确的是（ ）. A.两个平面所成的二面角只有一个 B.两个相交平面组成的图形叫做二面角C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关2.对于直线,m n ,平面,αβ,能得出αβ⊥的一个条件是（ ）.A.,//,//m n m n αβ⊥B.,,m n m n αβα⊥=⊂C.//,,m n n m βα⊥⊂D.//,,m n m n αβ⊥⊥3.在正方体1111ABCD A B C D -中,过,,A C D 的平面与过1,,D B B 的平面的位置关系是（ ）.A.相交不垂直B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行4.在三棱锥A —BCD 中，若AD ⊥BC ，BD ⊥AD ，△BCD 是锐角三角形，那么必有A.平面ABD ⊥平面ADCB.平面ABD ⊥平面ABCC.平面ADC ⊥平面BCD.平面ABC ⊥平面BCD5.设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件：①l ⊥α；②l ∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，那另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的个数为 A.3 B.2 C.1 D.06.已知a ，b 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A ．若.//,,,//b a b a 则βαβα⊂⊂B ．若αα与a a ,⊥所成角等于b 与β所成角，则a//b.C ．若.//,//,,ββααb b a a 则⊥⊥D ．若.,,,b a b a ⊥⊥⊥⊥则βαβα7.已知直线l m 、,平面βα、,且βα⊂⊥l m ,,给出下列命题:①若α∥β,则m⊥l ;②若α⊥β,则m∥l ;③若m⊥l ，则α∥β;④若m∥l ,则α⊥β 其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48.如果一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是 （写出你认为正确的序号）.①相等 ②互补 ③相等或互补④不确定9.若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直,则它和这条斜线的位置关系为____ ___.10.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的半平面,则这两个二面角的大小关系是 .12.4,, ,,3,12,.l AB cm AC BD AC l BD l AC cm BD cm CD αβαβαβ⊥=⊥⊥==如图，平面平面，在与的交线上取线段分别在平面和平面内，求线段的长13.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB=60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB=CD=C 求证：BD ⊥平面AED14.如图，AC ⊥面BCD ，BD CD ⊥，设ABC ∠=1θ，2CBD θ∠=，3ABD θ∠=， 求证：312cos cos cos θθθ=图T 1415.如图，在正方体中，,E F 是棱A B ''与D C ''的中点，求面EFCB 与面ABCD 所成二面角的正切值(取锐角).图T 15。
平面与平面垂直的判定(优秀经典导学案)
2.3.2平面与平面垂直的判定一、课时目标1.了解二面角及其平面角的概念，并会求二面角的大小.2.掌握两个平面互相垂直的定义和画法．(重点)3.理解并掌握两个平面垂直的判定定理，并能解决有关面面垂直的问题．(难点)二、自主学习1、知识点（一）概念平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为．从一条直线出发的两个所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的，这两个半平面叫做二面角的图示平面角文字在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于的射线，则这两条射线构成的叫做这个二面角的平面角图示符号OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围0°≤∠AOB≤180°规定二面角的大小可以用它的来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是的二面角叫做直二面角记法棱为l，面分别为α，β的二面角记为．如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角.图示2、知识点（二）(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作．(2)画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的垂直．如图所示．(3)判定定理文字语言一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，⇒α⊥β作用判断两个平面三、课堂练习1．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC2．已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝()A．2B.3C. 2 D．13．如图2－3－21所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，二面角B－PA－C的大小等于________．图2－3－214．如图2－3－22所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD.图2－3－22。
【人教版】高中数学必修一导学案 2.3.2平面与平面垂直的判定与性质导学案
第二章2.3.2 平面与平面垂直的判定与性质【学习目标】2. 理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；1. 理解和掌握两个平面垂直的性质定理及其应用；2. 进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想.【学习重点】平面与平面垂直的判定与性质【知识链接】（1）若直线垂直于平面，则这条直线垂直于平面内的任何直线；（2）直线与平面垂直的判定方法有：（3）直线与平面垂直的性质定理有：__________________________________________________.【基础知识】1.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.图1中的二面角可记作：二面角ABαβ--或lαβ--或P AB Q--.图1 图22.如图2，在二面角lαβ--的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线,OA OB，则射线OA和OB构成的AOB∠叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角. 3.两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.如图3，α垂直β，记作αβ⊥.图34.两个平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.（简记：线面垂直，面面垂直）反思：定理的实质是什么?5.平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.（简记：面面垂直，线面垂直）两个平面垂直的性质还有：⑴如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在这个平面内；⑵如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面；⑶三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直.【例题讲解】例1 如图4，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于,A B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.（教材）l图4例2如图5，已知平面,αβ，αβ⊥，直线a 满足a β⊥，a α⊄，求证：a ∥面α.图5例3 如图6，平面α⊥平面γ，βγ⊥平面平面，l αβ=I ，求证：l γ⊥.（教材73页5题）图6【达标检测】1. 对于直线,m n ,平面,αβ,能得出αβ⊥的一个条件是（ C ）. A.,//,//m n m n αβ⊥ B.,,m n m n αβα⊥=⊂I C.//,,m n n m βα⊥⊂ D.//,,m n m n αβ⊥⊥2. 下列命题错误的是（ A ）.A.αβ⊥⇒α内所有直线都垂直于βB.αβ⊥⇒α内一定存在直线平行于βC.α不垂直β⇒α内不存在直线垂直βD.α不垂直β⇒α内一定存在直线平行于β3. 已知αβ⊥，下列命题正确个数有（ C ）. ①αβ内的已知直线必垂直于内的任意直线②αβ内的已知直线必垂直于内的无数条直线 ③α内的任一直线必垂直于βA.3B.2C.1D.04. 已知αβ⊥，,a b αβ⊂⊂，b 是α的斜线，a ⊥b ，则a 与β的位置关系是（ C ）. A.a ∥β B. a 与β相交不垂直 C. a β⊥ D.不能确定5. 若平面αβ⊥平面，直线a α⊂，则a 与β的位置关系为相交或平行或在面内.6. 直线m 、n 和平面α、β满足m n ⊥，m α⊥,αβ⊥，则n 和β的位置关系为相交或平行或在面内.7. 如图8，,,CD CD AB αββ⊥⊂⊥，CE ,EF ⊂α，90FEC ∠=°，求证：面EFD ⊥面DCE .图88. 如图9，AC ⊥面BCD ，BD CD ⊥，设ABC ∠=1θ，2CBD θ∠=，3ABD θ∠=，求证：312cos cos cos θθθ=图9βαD F EC B A。
高中数学《平面与平面的垂直判定》导学案
第二章 直线、平面垂直的判定及性质§2.3.2 平面与平面垂直的判定一、学习目标(1)掌握二面角和两个平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系.(2) 会用所学知识求两平面所成的二面角.【重点、难点】教学重点：平面与平面垂直的判定定理.教学难点：判定定理的应用及二面角的求法.二、学习过程【情景创设】1.复习直线与平面垂直的判定（定理、图形、符号语言）.2.探究：已知三棱锥P-ABC ，作PO ⊥底面ABC ，垂足为O ，当给定什么已知条件时，O 分别是三角形ABC 的外心、垂心？3.实际需要引出二面角的定义：修筑水坝、发射人造地球卫星.【导入新课】1.二面角的定义：①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－）②二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：000180θ<<.2.平面与平面垂直的判定：①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作αβ⊥. （能用定义来判定两个平面是否垂直？）②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直→面面垂直）三、典例分析：例1：如图，AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC .例2.如图,在三棱锥P-ABC 中,D,E,F 分别为棱PC,AC,AB 的中点.已知PA ⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线PA∥平面DEF. (2)平面BDE⊥平面ABC.例3. 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,且PB=2PA,则二面角P-BC-A的大小为________.四、总结反思1.二面角的定义、二面角的平面角.2.二面角平面角的求法、平面与平面垂直的判定.3.可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直,进一步转化为处理线线垂直问题.4.证明平面与平面垂直,只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的直线垂直即可.五、随堂检测1．选择题（1）设有直线m,n和平面α,β,则下列结论中正确的是( )①若m∥n,n⊥β,m⊂α,则α⊥β;②若m⊥n,α∩β=m,n⊂α,则α⊥β;③若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β.A.①②B.①③C.②③D.①②③（2）空间四边形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,则给出下列四种关系,正确的是( )A.平面ABC⊥平面ADCB.平面ABC⊥平面ADBC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面BDC（3）在正方体ABCD -A′B′C′D′的6个面中,与平面ABCD垂直的平面的个数为( )A.1B.2C.3D.4（4）三棱锥的顶点在底面的射影为底面正三角形的中心,高3是,侧棱长为7,那么侧面与底面所成的二面角是( )A.60°B.30°C.45°D.75°（5）已知a⊂α,b⊂β,c⊂β,a⊥b,a⊥c,则( )A.α⊥βB.α与β相交C.α∥βD.以上都有可能（6）.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线的夹角与二面角的平面角的关系是( )A.相等B.互补C.相等或互补D.无法确定2.填空题（7)已知a,b,c是不重合的直线,α,β是不重合的平面,以下结论正确的是________(将正确的序号都填上).①若a∥b,b⊂α,则a∥α;②若a⊥b,a⊥c,b⊂α,c⊂α,则a⊥α;③若a⊥α,a⊂β,则α⊥β;④若a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,则α∥β.（8）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为5，则侧面与底面所成二面角的大小为．3.简答题（9）如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC⊥平面PBC.(2)若AB=2,AC=1,PA=1,求二面角C-PB-A的余弦值.。
2.3.2面面垂直的判定
必修一 2.3.2平面与平面垂直的判定（一） 导学案 年级高一 学科数学 授课时间_______ 主备人张连君审核人孟凌云 答题人________ ◆课 题：2.3.2平面与平面垂直的判定（一）◆课 型：新授课◆学习目标：1. 理解二面角、二面角的平面角等概念；2. 会求二面角的大小；3.熟练掌握面面垂直的判定定理◆重点难点：求二面角的大小；会利用面面垂直的判定定理解决相关问题；◆学法指导：合作探究◆学习过程【导入课程】复习回顾（1）线面垂直的判定定理：________________________________________________（2）求线面角的方法：____________________________________________________（3）线面角的范围：_____________________【自主学习】1、（1）二面角：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做____________,___________叫做二面角的面。
（2）如右图中的二面角可以记为。
βα--l 的二面角也可以记为、为βα，面分别AB 棱为 ，把二、个半平面内分别取点。
为了方便也可以在两Q P AB βα--。
为Q AB P 面角记--（3）二面角的平面角：如图在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，以点O 为垂足，在两个半平面内作垂直于棱的射线OA 和OB ，则AOB ∠叫做二面角的平面角。
【注】①二面角不是个角，是一个图形；二面角的平面角是一个角；②的大小与点AOB ∠在O 上的l 位置有没有关系？二面角的平面角唯一吗？（4）根据二面角的定义，写出二面角的取值范围：_____________________;特别的，当两个平面βα、所成二面角是__________的时候,我们就说这两个平面相互垂直，记作__________.在下方分别画一个锐二面角、钝二面角、直二面角，并作出它们的平面角。
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《§2.3.2 平面与平面垂直的判定》导学案
编写：赵刚审稿人：高一数学组编写时间：2013年8月18日
班级组别组名姓名
【学习目标】:
1. 能说出二面角的有关概念，会作二面角的平面角，
2. 能说出面面垂直的定义，能熟记并会证明面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；
3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化.
【学习重、难点】
学习重点:：能熟记并会证明面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；能求简单二面角平面角的大小；
学习难点：会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小，初步学会用定理证明垂直关系；【学法指导及要求】:
1、认真研读教材P67---P69页，认真思考、独立规范作答，认真完成每一个问题，每一道习题，不会的先绕过，做好记号；
2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律，及时整理到解错题本上，多复习记忆。
【知识链接】
1、⑴若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线；
⑵直线与平面垂直的判定定理为_________________________________________.
2、⑴什么是直线与平面所成的角?
⑵直线与平面所成的角的范围为_____________.
【学习过程】
探究1：二面角的有关概念
问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与
地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同
特征是什么?
1、二面角的定义及相关概念
半平面：
二面角：
二面角的表示：如右图
二面角的画法：（1）卧式法（2）立式法
探究2：二面角的大小怎么确定呢？
二面角的平面角：如图，
叫做二
面角的平面角。
直二面角：叫直二面角.
反思：⑴两个平面相交，构成几个二面角? 它们的平面角的大小有什么关系？
⑵二面角的大小范围是多少？
⑶二面角的平面角必须满足哪几个条件？
（4）二面角平面角的大小和O点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？
探究3：两个平面垂直的定义，画法
问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？
定义; 两个平面互相垂直：
两个互相垂直的平面画法：
平面α与β垂直，记作：
探究4：两个平面垂直的判定
问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？
平面与平面垂直的判定定理：
符号语言： 证明:
典型例题
例1 如图，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O
所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任意一点，求证：平面PAC ⊥平面PBC
.
例2 如图，在正方体中，求面A D CB ''与面ABCD 所成二面角的大小（取锐角）. .
例3. 如图在空间四边形SABC 中，ASC ∠=90°，60ASB BSC ∠==°，SA SB SC ==， ⑴求证：平面ASC ⊥平面ABC .
⑵求二面角S AB C --的平面角的正弦值.
【归纳小结】
【达标训练】
1. 以下四个命题，正确的是（ ）.
A.两个平面所成的二面角只有一个
B.两个相交平面组成的图形叫做二面角
C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个
D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关
2. 对于直线,m n ,平面,αβ,能得出αβ⊥的一个条件是（ ）. A 、,//,//m n m n αβ⊥ B 、,,m n m n α
βα⊥=⊂
C 、//,,m n n m βα⊥⊂
D 、//,,m n m n αβ⊥⊥
3. 在正方体1111ABCD A B C D -中，过,,A C D 的平面与过1,,D B B 的平面的位置关系是（ ）. A.相交不垂直 B.相交成60°角 C.互相垂直 D.互相平行
4. 二面角的大小范围是________________.
5. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为_______. .【学习反思】
【课后作业】.
1. 如图11-8，AC ⊥面BCD ，BD CD ⊥，设ABC ∠=
1θ，2CBD θ∠=，3ABD θ∠=，求证：312cos cos cos θθθ=
2. 如图11-8，在正方体中，,E F 是棱A B ''与D C ''的中点，求面EFCB 与面ABCD 所成二面角的正切值.（取锐角）
3. 二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面α内一点A ，作AB β⊥于点B ，再作BO l ⊥于O ，连接OA ，则AOB ∠即为所求平面角.(为什么?)。