5.2二次函数的图像和性质单元建构

52二次函数的图像与性质

5.2二次函数的图像与性质(4)盐城市初级中学杜爱英教学目标：1、会用描点法画出二次函数2()y a x m k =++的图像，知道二次函数2()y a x m k =++的图像与二次函数2ax y =、()2m x a y +=、k ax y +=2的图像的平移关系；2、经历探索与归纳，从特殊到一般，能够总结出二次函数2()y a x m k =++的图像的性质；3、在活动探究过程中，培养学生自主学习和合作学习的意识，发展学生的思维能力和语言表达能力.重点：知道二次函数2()y a x m k =++的图像与2ax y =、()2m x a y +=、k ax y +=2的图像的平移关系，并能够总结出二次函数2()y a x m k =++的图像的性质. 难点：探究并归纳二次函数2()y a x m k =++的图像的性质. 【学习过程】一、情景创设对于二次函数2)1(2++=x y 、212—）——（x y =，同学们想有哪些新的认识？（设计意图：让学生从二次函数形式上面观察出与前面二次函数的形式不同，观察出是形如2()y a x m k =++的二次函数，针对新形式的二次函数，激发学生求知欲，让学生说出想探究的新知内容，体现学生的学习主动性）二、探索活动活动一：画二次函数2)1(2++=x y 、212—）——（x y =的图像活动要求：每个小组分别画出2)1(2++=x y 、 212—）——（x y =的图像（设计意图：通过学生小组合作画图，让学生相互交流取点的方法，体现出最优方法）（1）同学们能说出所画的二次函数的图像的性质吗？（设计意图：学生通过观察自己所画的图像，得到图像的性质，为接下来归纳出二次函数2()y a x m k =++的图像的性质做铺垫）（2）请小组内合作，归纳出二次函数2()y a x m k =++的图像的性质.二次函数2()y a x m k =++的图像与性质，体现学生学习的主动性，培养学生合作学习的意识，发展学生的思维能力和语言表达能力）（3）结合前面所学习的二次函数的图像，同学们能说出相应的平移关系吗？（设计意图:利用课件展示图像之间的平移关系，学生说出平移的方式，学生及时补充，为归纳二次函数2()y a x m k =++的图像与2ax y =、()2m x a y +=、k ax y +=2的图像的平移关系做铺垫）（4）通过刚才特殊的二次函数的平移关系，对于二次函数2()y a x m k =++的图像，可以通过前面所学的哪些类型的二次函数的图像平移得到？（设计意图:有特殊的二次函数的图像之间的平移关系，让学生归纳出2()y a x m k =++的图像与2ax y =、()2m x a y +=、k ax y +=2的图像的平移关系，体现学生学习的主动性）活动二：设计问题活动要求：1、请每个小组针对形如2()y a x m k =++的二次函数，设计出能够利用今天所学的知识解决的问题； 2、设计的问题类型不重复；3、组长将小组内提出的问题择优收集起来.（设计意图:由每个小组自主出题选题，培养学生应用知识与整合知识的能力，每个小组的题型多样，改变以往的就题讲题的形式，培养学生的自主学习意识，每个小组交替解决问题，并对对方的回答给予及时评价，培养小组与小组之间的竞争意识）三、课堂检测1、若把函数252-=x y 的图像先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，则得到的新的函数表达式为 .2、填表（设计意图: 进一步巩固学生课堂所学知识，并及时评价）四、课堂小结通过本节课的学习，同学们有什么收获？五、布置作业。

新苏科版九年级数学下册《5章二次函数 5.2 二次函数的图像和性质 y=ax^2+k、y=a(x+m)^2的图像》教案_27

学习目标：1.经历探索二次函数y=ax2+k(a≠0)，y=a(x-h)2(a≠0)的图象作法和性质的过程；2.能够理解函数y=ax2+k(a≠0)、y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系，知道a、h对二次函数的图象的影响；3.能正确说出函数y=ax2+k(a≠0)、y=a(x-h)2的图象的性质.教学过程：一、探索二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质。

(2)在下图的直角坐标系中，描点并画出函数2y x=和21y x=+的图象；2.思考：函数y=x2+1的图象与y=x2的图象有什么关系？（1）形状相同吗?（2）相同自变量的值所对应的两个函数值有何关系？（3）从点的位置看，函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象的位置有什么关系？3.归纳：图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+ k (a≠0)的图象形状，只是位置不同；当k >0时，函数y=ax2+ k的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到；当k〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到。

二、探索二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象作法和性质：1.操作：在上图右边直角坐标系中，描点并画出函数y=(x+3)2的图象；2.思考：函数y=(x+3)2的图象与y=x2的图象有什么关系？（1）形状相同吗?（2）从表格中的数值看，函数y=(x+3)2的函数值与函数y=x2的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系?（3）从点的位置看，函数y=(x+3)2的图象与函数y=x 2的图象的位置有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?3.结论:函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x 2的图像沿x 轴向平移个单位长度得到,所以它是 ,这条抛物线的对称轴是，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小.4.①抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴平移了个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴平移了个单位. ②图象向左平移还是向右平移,移多少个单位长度,有什么规律吗?三、例题：1.函数y=4x 2+5的图象可由y=4x 2的图象向平移个单位得到；y=4x 2-11的图象可由 y=4x 2的图象向平移个单位得到。

新苏科版九年级数学下册《5章二次函数 5.2 二次函数的图像和性质 y=ax^2+bx+c的图像》教案_7

二次函数的性质之对称教学目标：（1）进一步深化理解二次函数图像抛物线的对称性，并学会利用其对称性解决相关问题。

（2）在探究抛物线对称性问题的过程中，培养学生数形结合思想和函数、方程思想。

教学重点：掌握抛物线的对称性的特点，并灵活运用此性质解决问题。

教学过程：引例：一门迫击炮炮弹的飞行高度y 与飞行时间t 满足二次函数关系，若发射后5秒爆炸，则问何时炮弹飞行弹道最高点？抛一个小球后1.1秒后达到最高点，如果间隔1秒同样抛第二个小球，试问从抛第一个小球开始计时何时两球高度相同？一二次函数图像抛物线是轴对称图形。

对称轴可以表示为（1）2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线2b x a =-（2）2()(0)y a x h k a =-+≠的对称轴为直线 x h = 导出结论（3）12()()(0)y a x x x x a =--≠的对称轴为直线122x x x +=二探究二次函数图像抛物线上对称点的性质与条件抛物线上任一对对称点A 、B ，点A 在B 的左侧（A x < B x ）① 离对称轴距离相等 ⇔ A 、B 为对称点 ⇔ 纵坐标相等（B A x h h x -=-即2A B x x h += ）（A B y y =） ② 开口向上的抛物线上离对称轴较近的点其纵坐标较小；开口向下的抛物线上离对称轴较远的点其纵坐标较小。

三基础题型演练：（1）2112y x x =-+ 的对称轴为直线 1x = ；2(1)3y x =-++的对称轴为直线 1x =- ；4(1)(3)y x x =-+的对称轴为直线 1x =-（2）如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为直线 2x = ．（3）如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，方程ax 2+bx +c =0的根是31x x ==-或．（4）如图，已知抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴为x =2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为（4,3）．（5）已知点A （4，y 1），B （，y 2），C （-2，y 3）都在二次函数y =（x -2）2-m 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为2y <1y <3y （2） (4) （3）（6）已知抛物线y =ax 2+2ax +m （a <0）经过点（-4，y 1）、（-2，y 2），（1，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系是 1y <3y <2y四重点例题提升例1：已知点A （x 1，5），B （x 2，5），（x 1≠x 2）都在抛物线y =a （x -2）2+3上，则x 1+x 2= ______ ，当x =时，y = ______ ．变式训练：若x m = 或x n =时（m n ≠ ），代数式223x x -+ 的值相等，求当x m n =+时代数式223x x -+的值。

5_2二次函数y=ax2的图像与性质(1)

课题：5.2二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象和性质（1）【自主学习】想一想:1. 二次函数y=ax 2(a≠0) 的图象叫做；图象关于轴对称，顶点坐标为。

2. 二次函数y=ax 2(a≠0) 的图象的开口方向与什么相关？3. 在二次函数y=ax 2(a≠0)中，当a>0时，函数值y 随x 的增大有着怎样的变化？练一练:用描点法在第一个直角坐标系中画出二次函数 2x y =和212y x =的图像，在第二个直角坐标系中画2x y -=和212y x =-图像1x… … 2x y =…… 2x y -= … (2)12y x =... (212)y x =- ……2【新知归纳】【例题教学】例1.（1）函数223y x =的开口，对称轴是，顶点坐标是；当x= 时，y 有最值是；当x 时，y 随x 的增大而减小。

（2）函数214y x =-的开口，对称轴是，顶点坐标是；当x= 时，y 有最值是；当x 时，y 随x 的减小而减小。

例2.已知二次函数2y ax =的图象经过点 P(2，-2)和Q （b ，-1）, (1) 求a 、b 的值(2) 画出该函数的大致图象(3) 判断A （4，-4）、B （3，-4.5）是否在此函数图像上(4) 若点M （-1，m ），N （-2，n ）在该函数图像上，试比较m,n 的大小。

【课堂检测】抛物线y=ax 2二次项系数开口方向最值对称轴顶点坐标增减性a ﹥0a ﹤0yx123456789-1-2-3-4-5-6-7-8-9123456789-1-2-3-4-5-6-7-8-9o1. 函数22y x =的对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的右侧y 随x 的增大而，当x= 时，函数y 有最值，是 .2.函数y=3x 2与函数y=-3x 2的图象的形状，但不同.3.给出以下函数：①y=2x ；②y=-2x+1；③y ＝2x(x ＞0)；④y=x 2（x ＜-1），其中y 随x 的增大而减小的函数是。

二次函数的图像和性质(教学设计)

二次函数的图像和性质（单元整体建构）教学目标：1. 类比一次函数来研究二次函数的图像，会用描点法画二次函数的图像；2. 观察二次函数的图像初步认识二次函数的性质：形状、开口方向、对称轴、顶点坐标；3. 从“坐标的数值变化”与“图形的位置变化”着手，用平移来解释二次函数y =ax 2+k 、y =a(x +h)2、y =a(x +h)2+k 的图像与二次函数y =ax 2的图像的位置关系；4. 感受数形结合的思想方法；体验由简单到复杂、特殊到一般的研究方法；提高观察和分析问题的能力。

教学重点：掌握探究二次函数图像和性质的方法，自主探究，单元整体建构教学难点：探究的方法；分析数据，探究图像间的变换教学过程：一、前置学习研究一次函数y 1＝2x 与y 2＝2x ＋3的关系：研究一次函数y 1＝2x 与y 2＝2（x －1）的关系：二、复习导入：上课时我们学习了二次函数的定义，二次函数是继一次函数、反比例函数后的又一类函数。

请你判断一下下列函数是什么函数？①y =2x ②y =2x +3 ③y =2(x −1) ④ y =−5x⑤y =x 2 ⑥y =x 2+2 ⑦y =(x −1)2 ⑧y =x 2−2x +3一次函数y =kx +b(k ≠0),反比例函数，二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0).（板书）学习一次函数时我们学习了定义后就研究了它的图像和性质，那二次函数也是如此，类比一次函数来学习.（板书：类比）这节课我们就一起来探究二次函数的图像和性质.怎么来研究呢？（类比一次函数）我们一起来回顾一下一次函数的图像和性质是如何研究的：微课：1.研究一次函数y =kx +b(k ≠0),先研究当b =0时的正比例函数y =kx(k ≠0). 2.它的图像,通过描点法：先确定自变量的取值范围为一切实数 ,列表；描点；再按照横坐标从小到大的顺序，用平滑的曲线将各点顺次连接起来。

发现是一条直线。

5.2 二次函数的图像和性质(第3课时)(课件)九年级数学下册课件(苏科版)

＞
的两点，那么y1________y
2.(填“＞”“＜”或“＝”)
当堂检测
9.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____.
-2
10.若y=x2+(k-2)的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，
=2
>2
则k____；若顶点位于x轴下方，则k
<2 .
当堂检测
C )
A.开口向上
B.顶点坐标都是(0，0)
C.对称轴是y轴
D.在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
5.已知函数y＝x2－2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是( D )
A．x＜2
B．x＞0
C．x＞－2
D．x＜0
当堂检测
6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的
平移︱k︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称
轴是什么？顶点坐标怎样表示？
a决定开口方向和大小，k决定顶点的纵坐标.
课堂小结
与y=ax2的关系上加下减
开口方向由a的符号决定
二次函数y＝ax2＋k
的图像和性质
图像
又∵y轴是该抛物线的对称轴，
∴点A与点B关于y轴对称，
∴MA＝MB＝2，即点A的横坐标是2，

则其纵坐标y＝ ×22＋1＝2，即点A的坐标为(2，2)，

故点M的坐标为(0，2)．
大而______，当x=___时，取得最____值，这个值等于___.
0
5
减小
大
y轴

5.2《二次函数的图像和性质(2)》教学课件

下，对称轴为y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最高点．
1．二次函数y＝ax² 的图像是一条抛物
线，抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴． 2．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点． 3．当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．
深入思考
观察y＝ax² 的图像，你还能发现什么？
例1
已知二次函数
y ＝ m － 1 x m
2
＋m
的图像开口向下．
（1）求m的值和函数表达式．（2）若y随x的增大而增大，求x的取值范围；若y随x的增大而减小呢？解：（1）由题意知：m－1＜0且m² ＋m＝2，则m＝－2．（2）当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小．
当x＞0时，y随x的增大而增大；
当x＝0时，y有最小值，最小值为0．
（2）a＜0时，当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＝0时，y有最大值，最大值为0．
巩固练习
你能快速说出下列函数图像的开口方向、
顶点坐标、对称轴、增减性、最大（小）值吗？
（1） y＝－3x² ；（2） y＝0.6x²；（3） y＝0.75x² ；（4） y＝－100x² ．
a＞0时，y轴左边的图像下降，y轴右边的图像上升. a＜0时，y轴左边的图像上升，y轴右边的图像下降.
如何用x、y的值的变化来描述图像的上升、下降？
a＞0时，由y轴左边的图像下降可以知道：当x＜0时，随着x增大y减小； a＜0时，由y轴左边的图像上升可以知道：当x＜0时，随着x增大y增大．
对于二次函数y＝ax² 的图像（1）a＞0时，当x＜0时，y随x的增大而减小；
的
图像各有什么特征，并与同学交流．

苏科版九年级数学下册_5.2.2二次函数y=ax2+k,y=a(x+ h)2,y=a(x+h)2+k

感悟新知
2. 二次函数y=a(x+h)2的图像与性质
函数
y=a(x＋h)2(a>0)
知2－讲
y=a(x＋h)2(a<0)
图像
开口方向顶点坐标
对称轴顶点位置
增减性
向上
向下
(h，0)
直线x=h
当h>0 时，顶点在y 轴的左侧(即x 轴的负半轴上)；当h<0 时，顶点在y 轴的右侧(即x 轴的正半轴上)
感悟新知
特别解读：
知4－讲
①抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x＋h)2，y=a(x－h)2+k中a
值相等，所以这四条抛物线的形状、大小完全一样，
故它们之间可互相平移得到.
②抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，所不
同的是，左右平移时，只针对常数h进行变化，而上下
平移时，只针对常数k进行变化，可简记为左加右减自
当k为正数时，向上平移；“下减”表示当k为负数时，
向下平移；“纵变横不变”表示坐标的平移规律，即：
抛物线平移时其对应点的纵坐标改变而横坐标不变.
感悟新知
知1－讲
例 1 [模拟·镇江] 将抛物线y=－2x2－1 向上平移 3个单位长度后，得到的抛物线的表达式是__y_=_－__2_x_22_＋__12_____.
解题秘方：根据上加下减的规律，直接在函数表达式上加 3 可得新函数的表达式. 2
感悟新知
知1－讲
解：∵抛物线y=－2x2－1 向上平移 3 个单位长度，
∴ y=－2x2－1+
3 2
，即y=－2x2+
1 2
.
2
感悟新知
知1－讲

二次函数的性质及图像分析

二次函数的性质及图像分析引言：二次函数是高中数学中一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。

本文将介绍二次函数的性质及图像分析，帮助读者更好地理解和应用二次函数。

一、二次函数的定义与一般形式二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。

其中，a决定了二次函数的开口方向和开口的大小，b决定了二次函数的对称轴位置，c决定了二次函数的纵轴截距。

二、二次函数的图像特点1. 开口方向：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。

2. 对称轴：二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。

3. 零点：二次函数与x轴的交点称为零点，即使y=0的解，可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0得到。

4. 极值点：当二次函数开口向上时，函数的最小值称为极值点；当二次函数开口向下时，函数的最大值称为极值点。

5. 函数增减性：二次函数的增减性与a的正负有关，当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。

三、二次函数图像的分析与应用1. 开口方向的影响：二次函数的开口方向决定了函数的增减性和极值点的位置。

在实际问题中，可以通过二次函数的开口方向来判断某一现象的趋势，例如物体的抛射运动中，开口向上的二次函数可以表示物体上升的高度，开口向下的二次函数可以表示物体下降的高度。

2. 对称轴的作用：二次函数的对称轴决定了函数图像的对称性。

在实际问题中，对称轴可以帮助我们找到函数图像的关键点，例如求解二次函数的最值、求解二次函数与其他图像的交点等。

3. 零点的意义：二次函数的零点表示函数与x轴的交点，即函数的解。

在实际问题中，零点可以帮助我们求解方程，解决实际问题，例如求解二次方程来确定某一物体的位置、时间等。

4. 极值点的应用：二次函数的极值点表示函数的最值，可以帮助我们求解最优解问题。

在实际问题中，可以通过求解二次函数的极值点来确定某一问题的最优解，例如求解最短路径、最大利润等。

5.2 二次函数的图像和性质(1)

抛物线关于y轴对称．
当x＜0时，y随x增大而增大．
当x＞0时，y随x增大而减小．抛物线开口向下．
5.2 二次函数的图像和性质(1)
比较函数y＝－x2与y＝x2图像，说出图像
特征的异同点．
5.2 二次函数的图像和性质(1)
在同一坐标系上画函数y＝2x² ，y＝－2x² ，
y＝
1 x² 和y＝ - 1x² 图像，并说出图像特征． 2 2
解：列表如下：
2 4 3 9 ... ...
描点、连线得函数图像如下：
5.2 二次函数的图像和性质(1)
观察函数y＝x2图像，说出图像特征．
抛物线关于y轴对称．当x＜0时，y随x增大而减小．当x＞0时，y随x增大而增大．
图像有最低点（0,0），即x=0时，y有最小值0
抛物线开口向上．
5.2 二次函数的图像和性质(1)
5.2 二次函数的图像和性质(1)
我们学习了一次函数和反比例函数的图像的画法，并借助图像研究了它们的的性质，那么二次函数的图像是怎样的？二次函数有什么性质？我们将用类似方法来研究二次函数,本节课我们来研究比较特殊的二次函数y=ax2的图像与性质。
5.2 二次函数的图像和性质(1)
根据二次函数解析式y=x2，你能说出它的图像有什么特征？（1）图像过原点；（2）图像位于x轴及其上方；（3）图像向左、右无限延伸；（4）图像过关于y轴对称。
5.2 二次函数的图像和性质(1)
画函数图像步骤：列表
描点
连线
研究函数性质方法：数形结合
二次函数的图像是怎样的？二次函数有什么性质？
Hale Waihona Puke 5.2 二次函数的图像和性质(1)

二次函数的定义、图像及性质

二次函数的定义、图像及性质一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.②当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）A B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。

5.2二次函数的图像与性质(3)

课题：5.2二次函数的图像与性质（3）主备人：张亚元学生姓名学习内容：2)(h x a y -=与2ax y =2)(h x a y -=与k h x a y +-=2)(函数图像之间的关系。

预习指导：阅读教材p14——15的内容。

教学过程：1、用描点法在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）列表：（2）描点，连线（3）从表中的数值看，函数221x y =，2)2(21+=x y ，2)2(21-=x y （42、研究2)(h x a y -=与2ax y =的图像有什么关系？由2ax y =如何变化可以得到2)(h x a y -=的图像？3、 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：（1）．抛物线2)1(-=x y 的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线2x y =向平移个单位得到的．(2)．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． 22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向4、函数3)2(212+-=x y 的图像时抛物线吗？试用描点法画出它的图像，它的图像与2)2(21-=x y 的图像有什么关系？探索你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．小结：二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．课堂练习：1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （）A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为．3．抛物线4)2(212-+-=x y 可由抛物线221x y -=向平移个单位，再向平移个单位而得到． *4、把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．【课后作业】一、感受·理解1．抛物线y=12（x－3）2，则此抛物线的顶点坐标是_______．2．抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3•个单位，得到的抛物线表达式为__________．3．抛物线y=2x2沿x轴向_____平移________个单位，再沿y轴向_____平移____个单位，可以得到抛物线y=2（x+2）2－3．4．将抛物线y=ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点（3，－1），那么移动后的抛物线的关系式为________．5．抛物线y=2（x－3）2+7•的开口方向是________，•顶点坐标为_______，•对称轴是________．6．根据图中的抛物线，当x______时，y随x的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小．7．有3个二次函数，甲：y=x2－1；乙：y=－x2+1；丙：y=x2+2x－1，则下列叙述中正确的是（）A．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与乙的图形重合;B．甲的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合;C．乙的图形经过适当的平行移动后，可以与丙的图形重合;D．甲、乙、丙3个图形经过适当的平行移动后，都可以重合二、思考·运用8．用配方法将函数y=12x2－2x+1化为y=a（x－h）2+R的形式是（）A．y=12（x－2）2－1 B．y=12（x－1）2－1C．y=12（x－2）2－3 D．y=12（x－1）2－39．二次函数y=－3（x－2）2+9的图像的开口方向，对称轴和顶点坐标分别为（）A．开口向下，对称轴为x=－2，顶点为（2，9）;B．开口向下，对称轴为x=2，顶点为（2，9）;C．开口向上，对称轴为x=－2，顶点为（－2，9）;D．开口向上，对称轴为x=2，顶点为（－2，－9）10．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（）A．h=m B．k=n C．k>n D．h>0，k>011．在同一坐标系中，画出函数y=12（x－1）2+1和函数y=12（x+2）2－1的图象，•并回答下列问题：（1）分别指出这两条抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）抛物线y=12（x+2）2－1经过怎样的平移可得到抛物线y=12（x－1）2+1？三、探究·拓展12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c<0；②a－b+c<0；③b+2a<0；④abc>0，其中所有正确结论的序号是（）A．③④B．②③C．①④D．①②③13．函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，x=13为该函数图象的对称轴，根据这个函数图象，你能得到关于该函数的哪些性质和结论？（写出四个即可）。

九年级数学下第5章二次函数5.2二次函数的图象和性质5.2.4二次函数y=a(x+h)2+k的图

8 【中考·泰安】对于抛物线 y＝－12(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线 x＝1；③ 顶点坐标为(－1，3)；④当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小．其中正确结论的个数为( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
9 【2021·绍兴】关于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最大值或最小值，下列说法正确的是( D ) A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
可知 m＝－2；若函数在 x＝n 时取得最小值，则 2m＝－ (n－1)2＋5，由 n＝2.5 可得 m＝181(不合题意，舍去)．综上，m＋n＝－2＋2.5＝0.5. 易错提示：应注意不同情况的分类讨论，否则容易漏解．
12 【2021·盐城】已知抛物线y＝a(x－1)2＋h经过点(0，－3)和(3，0)．
解：∵h＝2.6，球从点 O 正上方 2 米的点 A 处发出， ∴抛物线 y＝a(x－6)2＋2.6 过点(0，2)，即 2＝a(0－6)2＋2.6，解得 a＝－610. 故 y 与 x 的函数关系式为 y＝－610(x－6)2＋2.6.
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月下午5时34分22.4.517:34April 5, 2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022年4月5日星期二5时34分49秒17:34:495 April 20
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谢谢观赏
You made my day!
以点 A 为圆心，以 3 2长为半径画圆，交 y 轴于点(0，－3)(不包括点 B)；综上所述，当△ABM 为等腰三角形时，点 M 的坐标分别为 (0，0)、(0，3－3 2)、(0，3＋3 2)、(0，－3)．

二次函数的图像与性质

二次函数的图像与性质二次函数是中学数学中的重要内容之一，它在数学中有着广泛的应用。

本文将围绕二次函数的图像与性质展开讨论，帮助读者更好地理解和应用二次函数。

1. 二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。

其中，a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；b决定了二次函数的对称轴位置，对称轴的方程为x = -b/2a；c决定了二次函数与y轴的交点。

2. 二次函数的图像特点（1）开口方向：根据a的正负值可以判断二次函数的开口方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

（2）对称轴：对称轴是二次函数图像的一条特殊直线，其方程为x = -b/2a。

对称轴将图像分为两个对称的部分。

（3）顶点：二次函数图像的最高点或最低点称为顶点，顶点的横坐标为对称轴的横坐标，纵坐标可以通过代入计算得到。

（4）零点：二次函数与x轴的交点称为零点，即函数值为0的点。

零点可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0得到。

3. 二次函数的平移通过对二次函数进行平移，可以改变其图像的位置。

平移的方式有两种：平移横坐标和平移纵坐标。

（1）平移横坐标：将二次函数的横坐标都加上一个常数h，可以使得图像向左平移h个单位；将横坐标都减去一个常数h，可以使得图像向右平移h个单位。

（2）平移纵坐标：将二次函数的纵坐标都加上一个常数k，可以使得图像向上平移k个单位；将纵坐标都减去一个常数k，可以使得图像向下平移k个单位。

4. 二次函数的最值二次函数的最值即为顶点的纵坐标，最大值对应开口向下的二次函数，最小值对应开口向上的二次函数。

最值可以通过求解二次函数的顶点坐标得到。

5. 二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。

例如，抛物线的形状可以用二次函数来描述，因此可以应用于物体的抛射运动问题；二次函数也可以用于建模和预测，如根据历史数据拟合二次函数，预测未来的趋势。

5.2二次函数的图像与性质（1）教案-苏科版九年级数学下册

集体备课教案纸教学内容5.2二次函数的图像与性质（1）课型新课主备教师备课时间12.24使用教师教学目标1、用列表描点法作出二次函数的图像，从中获得研究函数图像性质的经验；2、能准确的说出二次函数图像的形状、开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性等性质；教学重点在用列表描点法作图像过程中获得研究函数图像和性质的经验教学难点归纳二次函数图像的性质教具ppt活动一：探究函数和的图像问题1：大家还记得画函数图像的一般步骤吗？列表、描点、连线。

问题2：画出函数和的图像： ……………………二次备课学生自学共研的内容方法（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）回顾知识点，仔细思考。

从每一个知识点入手OyxOyx活动二：利用图像探究和的性质观察这两个图像，你能说说函数和有什么性质吗？请你与同学交流。

活动三：类比探究的性质（1）猜想一下：对函数图像有什么影响吗？（2）请观看课件，你能结合上面的讨论归纳函数的性质吗？图像开口方向顶点坐标对称轴增减性最值教师施教提要（启发、精讲、活动等让每一位学生都能够融入到课堂中来。

课堂检测填表图像特征函数的最值开口方向顶点坐标对称轴增减性 23y x -= 当x ＝ y 最( )值＝ 231x y =当x ＝ y 最( )值＝年级：九年级科目：数学单元：二次函数板书设计教后感会用描点法画函数y ＝ax 2能根据图像认识和理解二次函数y ＝ax 2的性质；体会数学研究问题由具体到抽象．．．．．、特殊到一般．．．．．的思想方法§5.2二次函数图像性质1一、自主先学：学生活动1 数学思想… … … … … … 二、合作互学：学生活动2 教师点拨… … … … … …。

二次函数的图像和性质分析

二次函数图像的平移和变换
向上平移：增加常数项b的值向下平移：减小常数项b的值向左平移：增加x的系数a的值向右平移：减小x的系数a的值
二次函数的性质
二次函数的开口方向
开口方向与二次项系数a有关，当 a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
开口方向与一次项系数b和常数项c 无关。
添加标题
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的
根的关系
ห้องสมุดไป่ตู้
二次函数与一元二次方程的
图像关系
二次函数与一元二次方程的
系数关系
二次函数与一元二次方程在实际问题中的
应用
二次函数与三角函数的关系
二次函数与三角函数图像的相似性
二次函数与三角函数的周期性
二次函数与三角函数的对称性
二次函数与三角函数的极值点
添加标题
添加标题
添加标题
开口大小与二次项系数a的绝对值有关，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
二次函数的开口方向与对称轴的位置有关，对称轴在y轴左侧时，开口向上；对称轴在y轴右侧时，开口向下。
二次函数的对称轴
二次函数图像的对称轴是x=-b/2a
对称轴的性质：当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-b/2a
计算梯形面积：利用二次函数表示梯形的上底、下底和高，进而求出面积
计算圆和椭圆面积：将圆和椭圆看作是无数个小的等腰三角形，利用二次函数表示这些三角形的面积，进而求出整个圆或椭圆的面积
计算抛物线形物体面积：利用二次函数表示抛物线形物体的面积，进而求出其表面积或体积

九年级数学下第五章二次函数5.2二次函数的图象与性质5.2.3二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)

知2－讲
例2 [期末·南通] 关于抛物线y＝－x2－2x－3，下列说法中错误的是( C ) A. 开口向下 B. 对称轴是直线x＝－1 C. 当x＞－1 时，y随x的增大而增大 D. 顶点坐标为(－1，－2)
知2－讲
解题秘方：紧扣函数表达式中的系数和二次函数的性质逐一判断各个选项中的说法是否正确
当x= －2ba 时，
4ac－b2
y最小值= 4a
当x= －2ba 时， y最大值= 4ac－b2
4a
活学巧记：
知2－讲
曲线名叫抛物线，线轴交点是顶点，顶点纵标是最值.
如果要画抛物线，描点平移两条路.
提取配方定顶点，平移描点皆成图.
列表描点后连线，五点大致定全图.
若要平移也不难，先画基础抛物线，
顶点移到新位置，开口大小都不变
a>0
a<0
开后方向
对称轴
向上
向下
对称轴顶点坐标
增减性
最值
知2－讲
直线 x=－2ba
(－2ba，4ac4－a b2)
当x< －2ba 时，y 当x< －2ba 时，y 随随x的增大而减小；x 的增大而增大；当x> －2ba 时，y随当x> －2ba 时，y 随 x的增大而增大 x的增大而减小
又∵
4ac－b2 4×(－1)×(－3)－(－2)2
4a =
4×(－1)
=－2，∴顶点坐
标是(－1，－2)，故选项D 正确.
方法总结：
知2－讲
若不画图像直接得出函数图像的特征，则必须根据
函数图像的特征与二次函数表达式中系数之间的
关系来确定.对于抛物线y=ax2+bx+c，其中a决定

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质总结二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。

下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。

一、图像特征：1.开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。

2.顶点：-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。

3.对称轴（y轴）：- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。

4.最值：-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。

5.零点：- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；-二次函数可能有0个、1个或2个零点；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

6.增减性：-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。

二、性质总结：1.函数的解析式：- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；-通过解析式可以得到函数的图像特征。

2.零点：-零点是指函数与x轴的交点；- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

建构单元认知的整体框架——《二次函数的图像和性质》起始课教学设计与思考

建构单元认知的整体框架——《二次函数的图像和性质》起始课教学设计与思考陈金英"，王华民*（1.江苏省无锡市蠡园中学，214072）.江苏省无锡市滨湖区教研中心，214125）摘要:“单元整体建构课”的教学目标是让学生管中窥豹，建构单元认知的框架结构，从整体上把握研究方向和路径，了解主体内容和，以发学思维，提升数学素养％《二次函数的图像和性质》一节起始课的教学设计，阐述对“单元整体建构课”总体特点、设计策略、实施价值的思考。

关键词：单元整体建构课知识结构研究《二次函数的图像和质》在日常的数学教学中，教师往往将内容进行分割与细化，重点关注一些具体的知识和问题，缺乏整体％碎片式教学，虽然能使学；度有所下降，但学生收获的多是“点状”内容，容易形成“只见树木，不见森林”的学习状况％为改变状况，江苏省中小学教学研究室正学教学一的课型——单元整体建构课。

其中的“单元”是指知识结构相对完整的教学内容,可以是教材中的一章或一节%而“单元整体建构课”的教学目标是，让学生管中窥豹，建构单元认知的框架结构，从整体上把握研究方向和，了解主体内容和方法，以学提学素养％2019年江苏省初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动的课题之一便是苏科版初中数学九年级下册第5章第2节《二次函数的图像和性质》的整体建构％陈金英为参赛者执教了这节“单元整体建构课”％以下分享这节课的教学设计和对“单元整体建构课”的教学思考％一、教学目标《二次函数的图像和性质》一节是《二次函数》一章的核心内容％它是在学生学习了一次函数、反比例函数的图像和性质以及二次函数概念的基础上教学的,也是学生后续学习二次函数的确定与应用的基础。

基于对“单元整体建构课”的认识，我们制订了如下教学目标：（1）建构二次函数图像和性质的研究路径和方法）2）会用“描点法”画出二次函数y=a$(##0)的图像，了解由函数y=a$的图像到y=a($-%*、y=a$*+n(a$0)的图像，再到y=a$+%)*+&(a$0)的图像的形成过程，了解函数y=a$+'$+c(a$0)的图像是一条抛物线;认识函数的开口方向、顶点坐标、对称轴和增减性等性质;(3)感受类比、转化、数形结合、从特殊到一般的数学思想，培养观察、操作、分析、归纳等良好的学习习惯。