(精品)高等代数知识在初等数学中的应用毕业设计
初等数学与高等数学的联系及一些应用
２ ０ １ ３年 第 ３期
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在此 例 中引 人矩 阵作 为工具 使 用 了矩 阵 的性质 ， 得 以求
由概率的性质知０ ≤ Ｐ （ Ａ ｕ 当 ） ｌ ， 扶旧０ 口 ＋ ｂ — ａ ｂ ｌ
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由以上 ５个 例 子可 以看 出 ， 如 果用 初等 数 学 的知识 解 题
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发展 ， 中学教 师要 掌握 一定的高等数学的知识与方 法， 并在教 学 中与初等数 学的知识 有机结合起 来 ， 那／ ／ ， 将 能 提 高学生的思维， 开阔学生的思路 ， 培养学生的数 学修 养并提 高其解决 问题的能力。因而 ， 本文着重把 高等数 学 与初等数 学联 系起来 ， 通过几 个例子来 阐述 高等数 学在初 等数 学中的一 些重要的应用。 关键 词 ： 高等数 学； 初等数学 ； 联 系； 应用
之， 学 习高 等 数学 能 加 深 对初 等 数学 的理 解 和 掌握 ， 可 以 开 阔思 路 、 提 高数 学 修养 和解 决问 题 的 能力 。为 了解 决上 述 长
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本科生毕业论文高等代数知识在初等数学中的应用摘要 (I)Abstract (I)第一章绪论 (1)第二章高等代数与初等数学的联系 (1)2.1知识方面的区别与联系 (2)2.2思想方法方面的区别与联系 (2)2.3观念方面的区别与联系 (4)第三章多项式理论在初等数学中的应用 (5)3.1去重因式分解多项式 (5)3.2 利用因数定理分解多项式 (5)3.3利用对称多项式与轮换多项式的性质分解多项式 (6)3.4多项式的一些应用 (6)第四章行列式在初等数学中的应用 (8)4.1应用行列式判定二元二次多项式的可分解性 (8)4.2应用行列式分解因式 (9)4.3应用行列式解决数列问题 (9)第五章线性方程组在初等数学中的应用 (12)5.1 在平面解析几何上的应用 (12)5.2在空间解析几何中的应用 (13)5.3在求解二元方程组上的应用 (14)第六章柯西不等式在初等数学中的应用 (15)6.1柯西不等式在解析几何中的应用 (15)6.2柯西不等式在解其它题方面的应用 (15)第七章结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)高等代数是现代数学中一个重要的分支，是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充．高等代数是初等数学的进化．高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革．高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出．在许多问题中，如果我们能用高等代数知识解决一些初等数学中的问题，将命题转化为一般性的问题进行解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新．文章一方面介绍了高等代数与初等数学的联系，从数学知识、数学思想方法、数学观念3个方面发掘一下高等数学类课程与中学数学的联系．另一方面介绍高等代数的一些知识在初等数学的应用．如多项式、行列式、线性方程组、柯西不等式在初等数学中的应用，高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解,而是一种知识的融会贯通和发展学生的发散和联想思维．用高等代数的观点去研究初等数学史新世纪对中学数学教师的高水平要求，教师是否具有较高的教学观点，是衡量教师数学素质的重要标准．教师具有高的观点，就能从高处看清中学教材的内在结构和本质联系，把握教材的重、难点；教师具有高观点，就能从认知的角度，在知识的各部分参透高等数学的观点，培养学生的创造性、判断性思维．关键词：高等代数多项式行列式柯西不等式初等代数应用AbstractHigher algebra is an important branch of modern mathematics, which is on the basis of the elementary algebra research object for further expansion. Advanced algebra is the evolution of elementary mathematics. Advanced algebra is not only the continuation of elementary mathematics, also is the foundation of modern mathematics, only good to master the basic knowledge of advanced algebra can adapt the mathematical development and teaching materials reform. Advanced algebra in the open field of vision of knowledge, especially the role of guiding middle school problem solving, etc. In many problems, if we can use the advanced algebra knowledge to solve some problems in the elementary mathematics, converting the proposition to general problems are solved, can often get twice the result with find everything new and fresh.Higher algebra and elementary mathematics were introduced on the one the other the application of elementary mathematics. Such as polynomial, determinant, system of linear equations, cauchy inequality in elementary mathematics, the application of advanced algebra to establish mathematics is not a simple problemsolution, but a mastery of knowledge and the development of students' divergent and associative thinking. In view of the new century of see the inner structure and the essence of the middle school teaching material from a from the perspective of cognition, in the knowledge of each part searches view of第一章绪论人类的文明进步和社会发展，无时无刻不受到数学的恩惠和影响，数学科学的应用和发展牢固地奠定了它作为整个科学技术乃至许多人文科学的基础的地位，当今时代，数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透，它和其他学科的交互作用空前活跃，越来越直接地为人类物质生产与日常生活作出贡献，也成为其掌握者打开众多机会大门的钥匙．在长期开设高等代数等数学类课程的实践中一直存在两方面的问题，一方面由于中学知识难以与高等代数直接衔接，使不少大学生一接触到“数学分析”、“高等代数”等课程，就对数学专业课程产生了畏惧情绪：另一方面，由于高等代数理论与中学教学需要严重脱节，许多高师毕业生对如何用高等代数知识指导初等代数教学感到茫然．通过本文的介绍，使读者都能清楚地看到：高等代数知识在初等数学的继续喝提高，在思想方法上是初等数学的延续和扩张，在观念上是初等数学的深化和发展．这样学生学习高等代数的难度就会大大降低．高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方面．高等代数与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用．马克思曾说过：“一门学科只有成功地应用了数学时，才真正达到了完善的地步”．高等代数作为一门抽象的大学学科，虽然表面上是独立的知识体系，但并没有与初等代数内容严重脱节，而是相互参透，彼此相通。
数学专业毕业论文选题 (1)
数学专业毕业论文选题一、计算机1.数据库图书查询管理设计2.最优轧板成品率的VFP6编程3.基于VFP6的通讯录设计4.基于Mathematicn的课件设计5.用Mathematica帮助理解中数问题6.基于VFP6的成绩统计7.实用的网上共享数据库录入程序8.通用答卷统计系统的总体设计方案9.通用答卷统计系统的录入编程10.通4用答卷统计系统的统计编程11.通用答卷统计系统的报表设计12.通用答卷统计系统的帮助系统设计二、常微分方程1.一阶常微分方程的奇解的求法(或判定)1.微分方程中的补助函数3.关于奇解的运用4.曲线的包络与微分方程的奇解5.用微分方程定义初等函数6.常微分方程唯一性定理及其应用7.求一阶显微分方程积分因子的方法8.二阶线性微分方程另几种可积类型9.满足某些条件黎卡提方程的解法10.一阶常微分方程方向场与积分曲线11.变换法在求解常微分方程中用应用12.通解中任意常数C的确定及意义13.三阶常系数线笥齐次方程的求解14.三维线性系统15.二阶常系数线性非齐次方程新解法探讨16.非线性方程的特殊解法17.可积组合法与低阶方程(方程组)三、数学分析1.多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系2.费尔马最后定理初探3.求极值的若干方法4.关于极值与最大值问题5.求函数极值应注意的几个问题6.n元一次不定方程整数解的矩阵解法7.导数的运用8.泰勒公式的几种证明法及其应用9.利用一元函数微分性质证明超越不等式10.利用柯西——施瓦兹不等式求极值11.函数列的各种收敛性及其相互关系12.复合函数的连续性初探13.关于集合的映射、等价关系与分类14.谈某些递推数列通项公式的求法15.用特征方程求线性分式递推数列的通项16．谈用生成函数法求递归序列通项17.高级等差数列18.组合恒等式证明的几种方法19.斯特林数列的通项公式20.一个递归数列的极限21.关于隶属函数的一些思考22.多元复合函数微分之难点及其注意的问题23.由数列递推公式求通项的若干方法24.定积分在物理学中的应用25.一个极限不等式的证明有及其应用26.可展曲面的几何特征27.再谈微分中值公式的应用28.求极限的若干方法点滴29.试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系30.不定积分中的辅助积分法点滴四、复变函数1.谈残数的求法2.利用复数模的性质证解某些问题3.利用复函数理论解决中学复数中的有关问题3.谈复数理论在中学教学中的运用4.5.谈解析函数五、实变函数1.可测函数的等价定义2.康托分集的几个性质3.可测函数的收敛性4.用聚点原理推证其它实数基本定理5.可测函数的性质及其结构6.6.凸函数性质点滴7.凸(凹)函数在证明不等式中的应用8.谈反函数的可测性9.Lebesgue积分与黎曼广义积分关系点滴10.试用Lebesgue积分理论叙达黎曼积分的条件11.再谈CANTOR集六、高等几何1.二阶曲线渐近线的几种求法2.笛沙格定理在初等数学中的运用3.巴斯加定理在初等数学中的运用4.布里安香定理在初等数学中的运用5.二次曲线的几何求法6.二维射影对应的几何定义、性质定义、代数定义的等价性7.用巴斯加定理证明锡瓦一美耐劳斯定理8.仿射变换初等几何中的运用9.配极理论在初等几何中的运用10.二次曲线的主轴、点、淮线的几种求法11.关于巴斯加线和布利安香点的作图12.巳斯加和布利安香定理的代数证明及其应用13.关于作第四调和点的问题14.锡瓦一美耐劳斯定理的代数证明及应用15.关于一维几何形式的对合作图及应用七、概率论1.态分布浅谈3.用概率思想计算定视分的近似值3.欧拉函数的概率思想证明4.利用概率思想证明定积分中值定理5.关于均匀分布的几个问题6件概率的几种类型解题浅析7．概率思想证明恒等式8.古典概率计算中的模球模型9.独立性问题浅谈八、近世代数①集合及其子集的概念在不等式中的作用②论高阶等差数列②谈近世代数中与素数有关的重点结论④商集、商群与商环⑤关于有限映射的若干计算方法⑥关于环(Z2×2,+,、)⑦关于环(ZP2×2,+,、)(这里Zp是模p的剩余环,p为素数)⑧关于环(Z23×3,+,、)⑨关于环(zPQ2×2,+,、)(这里p、q是两个素数)⑩关于环(Znxn, +、)九、高等代数1.关于循环矩阵2.行列式的若干应用3.行列式的解法技巧4.欧氏空间与柯两不等式5.《高等代数》在中学数学中的指导作用6.关于多项式的整除问题7.虚根成对定理的又一证法及其应用8.范德蒙行列式的若干应用9.几阶行列式的一个等价定义10.反循环矩阵及其性质11.矩阵相似及其应用12.矩阵的迹及其应用13.关于整数环上的矩阵14.关于对称矩阵的若干问题15.关于反对称短阵的性质16.关于n阶矩阵的次对有线的若干问题17.关于线性映射的若干问题18.线性空间与整数环上的矩阵十、教学法1.关于学生能力与评价量化的探索2.浅谈类比在教学中的若干应用3.浅谈选择题的解法4.谈谈中学数学课自学能力的培养5.怎样培养学生列方程解题的能力6.谈通过平面几何教学提高学生思维能力7.谈数列教学与培养学生能力的体会8.创造思维能力的培养与数学教学9.数学教学中的心理障碍及其克服10.关于启发式教学11.浅谈判断题的解法12.对中学数学教学中非智力因素的认识13.数学教学中创新能力培养的探讨14.计算机辅助数学教学初探15.在数学课堂教学中运用情感教育16.在数学教学中恰当进行数学实验17.数学语言、思维及其教学18.在平面几何教学中渗透为类比、猜想、归纳推理的思想方法19.试论数学学习中的迁移20.数学例题教学应遵循的原则十一、初等数学1.数学证题中的等价变换与充要条件2.关于充要条件的理解和运用3.参数方程的运用4.极坐标方程的运用5.怎样证明条件恒等式6.不等式证明方法7.极值与不等式8.证明不等式的一种重要方法9.谈中学二次函数解析式的求法10.二元二次方程组的解11.谈数列求和的若干12.谈立体几何问题转化为平面几何问题的方法13.求异面直线距离的若干方法14.利用对称性求平面几何中的极值15.浅谈平面几何证明中的辅助线16.浅谈对称性在中学数学解题中的运用17.浅谈韦达定理的运用18.论分式方程的增根19.数列通项公式的几种推导方法20.函数的周期及其应用21.数学归纳法的解题技巧22.等价关系的几种判定方法23.数学归纳法及其推广和变形24.浅谈用几何方法证明不等式25.浅谈初等数学中的不等式与极值26.几个不等式的推广27.函数的概念及发展28.组合恒等式的初等证明法29.谈用生成函数计算组合与排列30.试论一次函数的应用。
高等数学在中学数学中的应用----毕业论文
【标题】高等数学在中学数学中的应用【作者】丁海云【关键词】高等数学中学数学联系应用【指导老师】陈强【专业】数学与应用数学【正文】1 引言近几年来，高等师范院校数学系的不少大学生对学习高等数学存在不少看法，如“现在学的高等数学好像与初等数学没有多大联系”，“学习高等数学对今后当中学数学教师作用不大”，有的甚至提出“高等数学在中学教学里根本用不上”等等．这些看法正如著名数学家克莱因早已指出的那样：“新的大学生一入学就发现，他面对的问题好像和中学里学过的东西一点也没有联系似的，当然他很快就忘了中学学的知识．但是毕业以后当了老师，他们又突然发现，要他们按老师的教法来教传统的初等数学，由于缺乏指导，他们很难辨明当前数学内容和所受大学数学训练之间的联系，于是很快坠入相沿成习的教学方法，而他们所受的大学训练至多成为一种愉快的回忆，对他们对教学毫无影响”．然而在新的数学教材中已经出现了一些基础的高等数学知识，可以说是数学发展的一种必然．现在的中学数学教师必须掌握高等数学的基础知识以适应数学发展和教材改革，而高等数学知识在开阔视野、指导数学解题、指导数学教学、对初等数学问题加以诠释等方面的作用就尤为突出了．本文探讨一些高等数学知识和方法在初等数学中的应用．2 初等数学与高等数学的联系一般说来,数学史家把数学的发展分成四个阶段(萌芽时期、初等数学时期、古典高等数学时期、现代高等数学时期)或五个时期(再加上“当代时期”)．无论何种方法，都把第二发展时期叫做“初等数学时期”，这个时期的数学知识和经验就是“初等数学”,而把第三、第四或第三、四、五阶段叫做“高等数学时期”,这些阶段的数学知识和经验就是“高等数学”．理论意义下的初等数学和高等数学是按照恩格斯(Engles)的经典分法：所谓初等数学就是指常量数学，高等数学就是指变量数学，并把笛卡尔(R?Descartes)1637年发明的解析几何看成为出现高等数学或进入高等数学时期的标志．而教育意义下的初等数学和高等数学是依据教育的发展历程和教育的等级加以区分的，即视普通初等、中等教育(即中、小学教育)阶段的数学主要内容为初等数学，视高等教育阶段的数学主要内容为高等数学．当然，由于社会和教育的思想、方法、手段尤其是教育内容都在不断发展，“初等数学”和“高等数学”也是一个变化的客体对象，两者没有严格的概念区别．事实上，数学科学是一个不可分割的整体，它的生命力在于各部分之间的有机联系，只从学科表面上看，难以看清两者之间的内在联系，这就需要深入研究初等数学，理清其中最基本的思想和方法，努力寻求初等数学和高等数学的结合点．2.1 知识方面的联系高等代数在知识上是中学数学的继续和提高．它能解释许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等．从以下几个方面说明：首先，中学代数讲多项式的加、减、乘、除运算法则.高等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论；中学代数给出了多项式因式分解的常用方法.高等代数首先用不可约多项式的严格定义解释了“不可再分”的含义，接着给出了不可约多项式的性质、唯一因式分解定理及不可约多项式在三种常见数域上的判定；中学代数讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系.高等代数接着讲一元n次方程根的定义，复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一元n次方程根的特点，有理系数一元n次方程有理根的性质及求法，一元n次方程根的近似解法及公式解简介；中学代数讲二元一次、三元一次方程组的消元解法．高等代数讲线性方程组的行列式解法和矩阵消元解法、讲线性方程组解的判定及解与解之间的关系.中学代数学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子；中学代数学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子．中学代数中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子.其次，中学几何的内容体系主要是由平面几何、立体几何和平面解析几何三部分构成．平面几何研究由点的集合而形成的平面几何图形的性质；立体几何研究空间几何图形的性质诸如直线、平面及旋转体；平面解析几何研究形与数结合的问题，重点是二次曲线理论的研究．侧重研究直线间的合同、相似极度量关系，就二次曲线而言也侧重于定义的直观描述和各自所具有的性质．作为高等几何而言，侧重于对直线形的结合关系、顺序关系及二次曲线一般理论的研究，具有普适性、全面性．中学几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型，三角形不等式为欧氏空间中两点间距离的性质提供模型，线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型.第三，高等数学分支之一数学分析的形成和发展体现了数学发展的每个新时期，不仅内容上更加丰富，更在思想方法上发生了根本性的变化．它的形成是深深扎根于初等数学基础之上，它的一些基本概念如导数、积分、无穷级数的收敛等，都是在初等数学有关问题的基础上发展起来的．如导数是在运用代数运算求直线斜率这一问题的基础上，发展成为运用极限方法求曲线上的点的斜率而形成的．可以这样讲，数学分析的形成是初等数学发展到一定阶段的必然结果．第四，集合论是关于无穷集合和超穷数的数学理论．它的建立是数学发展史上的一个里程碑，它给数学奠下了坚实的基础，其思想已渗透到数学的各个领域．它是整个数学的基础，它是数学的基本语言，同时也树立了现代数学的传统．我国中学数学中已经渗透了集合论的内容，如集合、映射及分类的思想，并使用了点集、解集合等集合论语言．综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高.它不但解释了许多中学数学未能说清楚的如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等问题，而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统．这对用现代数学的观点、原理和方法指导中学数学教学是十分有用的.2.2 思想方面的联系中学数学思想和方法主要体现为三个层次，第一层次指数学各分科的具体解题方法和解题模式，如代数中的加减消元法、代入消元法、韦达法、判别式法、公式法、非负数法、放缩法、错位相消法、复数法、数学归纳法等等；几何中的平移、旋转、对称、相似、辅助线及辅助面的作法、面积方法、体积方法、图形及几何体的割补方法、三角形奠基法等等；还有在解题教学中教师概括出来的具体解题模式、教科书给出的各种具体的解题程序和模式．第二层次指适用面很广的一些“通法”，如配方法、换元法、待定系数法、分离系数法、消元法、降次法、数形结合法、一般化与特殊化法、参数法、反证法、同一法、观察与实验、比较与分类、分解与组合、分析与综合、归纳与演绎、类比与联想、抽象与概括等等．第三层次指数学观念，即人们对数学的基本看法和概括认识，如推理意识、整体意识、抽象意识、化归意识、数学美的意识等等．在高等数学教育活动中，上述数学思想和方法将得到进一步强化，高等数学各分支学科中几乎渗透了三个层次的思想和方法，在空间解析几何、高等几何、微分几何等学科中明显渗透着第一层次的思想和方法，第二、第三层次的思想和方法是数学学习和研究的重要方法，在各层次的数学教学活动中都应该重视这些思想和方法的训练．除上述所举的思想和方法外，高等数学各分支学科中也渗透着许多新的思想和方法，如分析中的极限法、微分法、积分法等等;代数中的求公因式法、线性方程组的矩阵解法、二次型的正负判定法、线性变换法等等．现代中学数学和高等数学教学的一个显著特征就是注重知识形成过程的教学，形成和发展学生的数学思想和方法，会用数学思想和方法来解决问题．3 高等数学在中学数学中的应用用高等数学的观点、原理和方法，认识、理解和解决中学数学问题是我们大多数人的共同目的，也是高等数学价值的一种体现，尤其是在指导教学、指导解题、诠释初等数学问题等方面，体现非常明显．3.1 高等数学在中学数学教学中的作用我们知道，初等数学与高等数学之间无论在观点上还是在方法上都有着很大的区别．正因为这个原因，有许多学者就认为：学生不需要懂得什么高等数学知识，教师只要能照本本讲下去就可以了，其实这是一种误解．诚然，我们在课堂上不能把高等数学知识传授给学生，但我们作为一名教师倘若仅仅停留在本本上，那是很不够的，有时甚至连自己对一些初等数学问题也可能会感到费解，这是因为：一方面，高等数学是初等数学的继续和提高；另一方面，初等数学里很多理论遗留问题必须在高等数学中才能得以澄清．因此，我们对高等数学在初等数学教学中的作用不能掉以轻心，下面就这个问题谈谈笔者的一些初浅的体会．3.1.1 高等数学原理与中学数学教学首先，注重高等数学对初等数学的指导作用,运用原理，把握本质.多数教育工作者实践中认识到：教师只有深人研究高等数学，才能深刻把握初等数学的本质，使数学课堂教学不失科学性，做到居高临下，把课教活．如有这样一道题目：例1 解方程．解此题若按三次方程求解相当困难．但若将“”看作“未知数”，看作常量，则是一个关于“”的“一元二次方程”，，解之得= ．所以原方程的解为，.可以看出,该题很好的把握了题目的主旨—变量和函数的观点.虽然变量与函数是数学分析研究的对象,中学数学中以常量问题为主,但有时若将这些问题中的字母,甚至常数看作变量,而将字母间的关系看作函数关系,运用变量和函数的观点去考察它,会使一些问题变得容易或为解题提示一种可行的思路.另外,中学数学教材中的数学知识,由于充分考虑到数学的社会性原则和学生的可接受性原则,往往是以教育形态(不是学术形态)的呈现,因此中学数学教材中的一些知识内容不可能严谨透彻,例如高中代数中的指数函数（a> 0且a≠1）,由于中学阶段指数概念仅推广到有理数,而指数函数的定义域是实数集.然而要在中学阶段讲清这个问题是不大容易的,需要涉及极限理论.事实上,指数函数是群(R, +)到群(R+, )的同构映射,且保持序结构.同时,一些重要的数学基本定理,根据其在中学数学中的地位与作用,大都以“公理”的形式直接加以肯定,并予以直观的描述,严格的证明需通过高等数学的知识加以证明和完善.可以说,运用高等数学的知识能将中学数学中不能或很难彻底解决的基本理论加以严格地证明;反过来,中学数学中的问题也为高等数学的理论提供可靠的背景和模型.因此,教师学习和运用高等数学知识可以加深理解中学数学教学内容的安排意图,更利于提高高师生数学解题能力.其次，在教学中讲解高等数学在初等数学中的渗透，深化对中学知识的掌握高等数学中的概念、思想、方法很多已渗透到中学数学中，在教学中注意这方面的讲解，就能使学生充分地认识到高等数学对中学数学教学的指导意义，也说明教师充分认识到了“居高临下”的重要性．另外在中学数学中，对有些概念和方法没有加以解释和说明，就交给学生应用，虽然使用时能解决问题，但深入理解是不可能的．而作为未来的中学数学教师，对这些概念的理解与掌握就不能只停留在中学时的水平上，而应该更清楚和深刻．如：中学数学中把“形如a+bi(a,b都是实数)的数”叫作复数.这里的“+”是什么意思？a与bi是两个不同单位的元素，怎么可以相加？因此，这里的“+”只能看作是将a与bi连结成一个整体的符号．那么，能不能把这个符号理解为普通实数的加法符号呢？为此，就必须学习了近世代数中复数的构造性理论后才能解答.C是复数集，+，分别表示复数的加法与乘法，则（C；+，）是一个域，叫复数域.在对应关系：（a,0） a之下可证集合与实数域同构，故可把（a,0）看成实数a,即（a,0）=a，从而复数域就是实数域的一个扩域.由复数乘法的定义得.因此复数（0，1）和的性质相同.它是方程的一个根，令（0，1）=i，i为虚数单位.故任意复数（a，b）就可以写成（a，b）=（a,0）+(0,b)=a+bi中的“+”不仅是形式上的符号，它与实数算术运算中的“+”完全一致.3.1.2 高等数学观点与中学数学教学中学数学教学以渗透高等数学思想、观点,使它们相结合．现代高等数学的新思想、新理念、新观点及许多美妙而诱人的技巧和方法,使它更具有魅力．3.1.2.1 数学分析的辩证观点与中学数学教学数学分析不仅继承了初等数学的方法,而且又引进新的思想方法———极限法．运用极限方法,“常量”与“变量”、“直”与“曲”、“均匀”与“非均匀”等可实现相互转化．所以，从方法论的角度来讲，数学分析的有关知识和方法对理解和解决一些中学数学问题会起导向作用．例2 设有三次函数y= (p、q∈R)，用微分方法求函数极值.解所以当>0时，无驻点，因而也无极值点；当=0时，驻点=0，但此时在=0两侧不变号，故=0不是极值点，即=0时无极值点；当 0时，有二驻点，又所以函数在处取得极大值在处取得极小值.这从思想、方法上更有指导性的是数学分析中的辩证观点,运用这样的方法，将会使我们中学数学问题的解决思路大为开阔,方法更加灵活有效,从而摆脱对问题束手无策或盲目乱试的困境.另外高等数学知识进一步探讨和学习，可增强学生的求知欲，达到培养学生的学习兴趣．教师运用高等数学知识可以提高对学生提出的一些问题的回答的正确性及敏捷性.3.1.2.2 高等几何思想与中学数学教学高等几何对教材内容的安排一般不同于中学几何，它是先给出定义、定理而后直观解释和证明，中学几何一般是先通过实例描述而后给出重要的概念和定理．前者训练抽象思维,后者训练形象思维,出发点不同，对同一问题得出的结论相同．全面了解欧氏几何、仿射几何、射影几何的联系与区别，从本质上认识，从整体上把握，又从局部上深入，才能深刻认识动与静、特殊与一般的辩证关系．就内容而言，高等几何比中学几何丰富，而且分析问题、处理问题的观点新颖，方法独特．如对偶原则，在研究点几何的同时，也研究了线几何的内容，对二次曲线的定义，既有几何定义，又有代数定义，开拓了认识眼界．从方法论来看，高等几何对具体问题处理的方法独特，而且灵活，对解决中学几何的有关命题提供了一种新的模式，也为中学几何的有关问题提供了知识背景．如利用中心射影投影一直线到无穷远来证明中学几何问题：若在平面上给定一个与直线有关的本质上是射影性质的几何命题，则只要恰当选择射影中心和向平面，总可以使直线的象直线是上的无穷远直线．由于无穷远直线的特殊性，有时可以将原命题化成上容易证明的新命题．既然射影变换保持射影性质不变，那么只要证明了新命题,则原命题也得到了证明．3.1.2.3 集合论的观点和方法与中学数学教学集合论是整个数学的基础，它不仅是数学的基本语言，而且树立了现代数学的传统.它蕴含着极其深刻的数学思想和丰富的数学方法，对分析和理解中学数学具有指导意义.映射是集合论的有力研究工具，也是数学中十分重要的化归方法，利用映射可以把不容易研究的集合上的问题转化到容易研究的集合上去，从而实现由未知(难、复杂)到已知(易、简单)的转化.映射方法的基本思想是：当处理某问题甲有困难时，可联想适当的映射，把问题甲及关系结构R映成与它有一一对应关系且易于考察的问题及关系结构；在新的关系结构中对问题处理完毕后,再把所得结果通过逆映射反演到R,求得关于问题甲所需的结果.这样启发了解题思路,又可用来指导数学发现.如：数学模型方法. 数学模型方法是指把所考察的实际问题化为数学问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究,使实际问题得以解决的一种数学方法.中学数学中的解应用题是最简单的数学模型方法.过程如下图:图1：运用数学模型方法解题过程框图3.2 高等数学在中学数学解题过程中的作用初等数学是高等数学的基础，二者有本质的联系．将高等数学的理论应用于初等数学,使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作，是一个值得研究的课题．俗话说，站得高才能看得远．因此，笔者认为,作为中学教师，除掌握中学数学各种类型题的已熟知的初等方法外，还应善于用高等数学方法解决中学数学问题，特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用高等数学方法则易于解决的中学数学问题,从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平，促进中学数学教学．下面略几举例说明之：3.2.1 变换角度，化繁为简例3 求满足方程.解如果从中学数学考虑的话那颇费周折.但换种思路从变量和函数的观点来看是两个变量，上面的方程只能确定之间的函数关系，而不能求出其具体的值.茅盾的根源在于：中学数学中求未知数总是方程的个数和未知数的个数相同才能求出，但题目里面却是两个未知数一个方程．可以得出启发：应当设法构造出两个关于的方程.在实数范围内，将一个等式分成几个等式，最常见的方法是利用非负数，即若几个非负数之和为零，则其中每个必须为零.根据此思路，可将方程变形为进而变为，由是锐角知，上式中两项均为负，故都都等于零．从而解得.另外，许多初等数学中的问题，往往蕴含着数学中的较高层次理论的再实践的问题．如能在教学中有意将高等数学的原理、方法应用于一些初等数学的证明、计算，不仅可以开拓学生的视野，而且可使学生体会到教师所使用的高等数学的原理、方法在解决初等数学问题时的驾轻驭熟的感觉，进而更加有兴趣学习数学．3.2.2 利用函数的单调性证明不等式不等式是数学中不可缺少的工具之一，有许多不等式在数学研究中有着重要的作用.但用初等数学知识证明一些不等式比较困难，下面利用高等数学的原理和方法，就不等式的证明给出证法以帮助理解.我们知道对定义在区间（a，b）内的函数，若>0（或<0），则函数在（a,b）内严格增加（或严格减少），根据函数的单调性，可证明不等式.例4 证明不等式(其中x>0)．证明：先证：.设，则在[0,+ )单调增加，又,当时，，即：.再证：．设，则, 当时，，即：.以上方法体现了用初等数学知识证明比较难的不等式时，可充分利用高等数学的原理和方法思考，进而收到很好的效果．3.2.3 利用高等几何思想解初等几何问题在中学数学教学中往往会碰到一些初等几何问题,欲用传统的综合证法,苦于找不到解决问题的思路,而用解析法却轻而易举,可又不能将此法告知学生,面临如何将它转化为纯几何的证明方法的问题,往往十分棘手．但利用高等几何知识进行思考，可收到很好的效果．例5 过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB弦于P、Q.求证:PM=MQ. (蝴蝶定理)分析:如图2,此题若局限在平面几何范围内去研究，虽能找到多种不同的证法，如：为使、是全等三角形的对应边，宜将沿直线翻折至,则有, ,故知.这样，又将线段相等归结为角的相等，而角的相等关系在圆上又可利用圆周角定理进行转化，即因，故内接于圆.再由内接于圆和、对称得出结论.但以上结论的得出来之不易，如果我们利用高等几何的交比来证明，就非常容易了.证明:如图，E(AF，DB)=C(AF，DB) (1)E(AF，DB)=(AM，QB) (2)E(AF，DB)=(AP，MB) (3)由(1)、(2)、(3)式得(AM，QB)=(AP，MB)(AM,QB)=(AP,MB)即亦即(4)因为 AM=BM,设PM=x，MQ=y，AM=BM=a，则由(4)式得图2所以故 PM=MQ这种证法不仅简单地证明了结论，而且还把结论推广到了二次曲线的情形.即如果把“蝴蝶定理”中的园换成椭圆、双曲线、抛物线，一对平行线或一对相交直线，结论仍成立.高等数学的许多方法和技巧都能直接应用于中学数学解题，常能起到以简驭繁，并能使问题得以深化和拓广的作用．以上只是给出两个实例说明高等数学能指导中学数学解题（初等代数和初等几何），且收到了很好的效果．在教学过程中，结合具体内容，不失时机地介绍给学生，对于丰富学生的解题方法，特别是作为教师在将来的数学教学中用它来预测答案，确定初等解法的路线，构造习题，检验结果都有重要的作用．3.2.4 微积分在中学数学解题中的指导作用微积分在高等数学里占有非常高的地位，它之所以能解决初等数学不能解决的问题，其根本原因是在初等数学的基础上它引进了一种新的思想方法——极限法．俗话说，站得高才能看得远．笔者认为，作为中学数学教师，利用微积分思想解决中学数学问题特别是一些用初等数学方法难以解决或虽能解决但显得难、繁，而用微积分思想则易于解决的中学数学问题，从而拓广解题思路和技巧，提高教师专业水平．例6 分解因式.解把看作变量，看作常量.令,求对的导数得。
浅谈高等数学在初等数学中的应用
浅谈高等数学在初等数学中的应用初等数学是学习高等数学基础，高等数学是初等数学的继续和提高，它不但解释了许多初等数学未能说清楚的问题，并使许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。
本文从三个方面探讨高等数学在初等数学中的作用。
高等数学是在初等数学的基础上发展起来的，与初等数学有着紧密的联系。
站在高等数学的角度来看中学数学的某些问题又会更深刻、更全面。
运用高等数学的知识可以解决一些用初等方法难以解决的初等数学问题，以便使学生了解到高等数学对于初等数学的指导作用。
标签：初等数学;高等数学;联系;应用数学是一门科学性、概括性、逻辑性很强的学科。
它源自于古希腊，是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念。
透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。
数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。
问题的提出许多学生经常提出这样的问题：我们为什么要学这么多高等数学？这些问题长期以来困扰着我们。
本文通过讨论初等与高等数学的联系，使他们真正觉得高等数学对初等数学教学有向导性意义，帮助他们用高等数学知识去分析和理解初等数学教材，从而站得更高，对中学数学的来龙去脉看得更清楚。
一、初等数学初等数学时期从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年、由于高等数学的建立而结束。
这个时期最明显的结果就是系统地创立了初等数学，也就是现在中小学课程中的算术、初等代数、初等几何（平面几何和立体几何）和平面三角等内容。
二、高等数学内容包括函数与极限、一元函数微积分、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、级数、常微分方程等。
其中极限论是基础：微分、积分是是核心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分是从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质：级数理论是研究解析函数的主要手段：解析几何为微积分的研究提供了解析工具，為揭示函数的性质提供了直观模型：微分方程又从方程的角度把函数、微分、积分犹记得联系起来，揭示了它们之间内在的依赖转化关系。
高等代数在数学建模中的应用探讨
高等代数在数学建模中的应用探讨一、高等代数在数据处理中的应用在现代社会中，数据处理和分析已经成为了重要的工作内容。
高等代数中的线性代数和矩阵论在数据处理中有着重要的应用。
以矩阵为基础的数据分析方法，可以很好地描述和解释数据之间的关系。
主成分分析（PCA）是一种常用的降维方法，可以通过矩阵分解和特征值分解来实现。
在机器学习领域，矩阵运算也是不可或缺的工具，如矩阵相乘、转置等操作都是基于线性代数的理论。
高等代数中的向量空间理论也为数据处理提供了重要的数学工具。
在多维数据分析中，向量空间的概念和相关理论可以帮助我们更好地理解数据的结构和特征。
通过向量空间的方法，可以实现对数据的分类、聚类、降维等操作，从而更好地理解和利用数据。
网络分析是研究网络结构和性质的一门学科，广泛应用于社交网络、通信网络、互联网等领域。
高等代数中的图论和代数结构理论为网络分析提供了丰富的数学工具和方法。
图的邻接矩阵和拉普拉斯矩阵是研究网络结构和性质的重要工具，它们可以帮助我们分析网络的连通性、聚类性、稳定性等特征。
在网络中的信息传播和传输问题中，高等代数的概念和方法也有着重要的应用，如马尔科夫链、随机游走等模型都是基于概率论和线性代数的理论构建的。
优化和控制是一门研究如何最大化或最小化系统性能的学科，其应用涉及到工程、物理、经济等多个领域。
高等代数中的最优化理论和线性代数为优化和控制问题的求解提供了丰富的数学方法。
线性规划、非线性规划、凸优化等优化方法都是基于高等代数的理论构建的。
在控制理论中，状态空间和传递函数等概念也是基于矩阵和向量空间的理论构建的。
通过高等代数的方法，可以较好地描述和分析系统的动态特性、稳定性和控制性能。
密码学是一门研究如何保护信息安全的学科，其应用涉及到网络安全、通信安全等领域。
高等代数中的数论和代数结构理论为密码学提供了重要的数学基础。
在公钥密码学中，大数分解问题和离散对数问题都是基于数论和代数结构的理论来解决的。
高等代数方法在中学数学中的应用
a + b − a 2 − b 2 + a b = −1 。
xA + xB 2
2k 2 +1
p 、y H =
由 CH = AH 可得 x C =
2 x2 A + yA 2 2 + yB xB 2 xC
4k 2 + 2 k2
p 。代入计算可得：
xA xB xC 0
yA 1 yB 1
0 0 1 1
x=2p。
当然，利用上述结论证明该题运算比较烦琐，要求 对行列式的计算很熟练，但方法简单、思路清晰且易于 掌握。
图1
分析：设圆 H 交 x 轴于点 C ，只需证 O 、 A 、 C 、
B 四点共圆方可。而这四点的坐标容易求出，从而可用
2．利用齐次线性方程组的解的理论解应用题
我们知道，齐次线性方程组
上述结论证明。至于第二问，求出其半径表达式，讨论 方可。 证明：依题意，设直线 AB 的方程为 y = k ( x − 2 p )
2 2 xH + yH =
两点 A 、 B ，以线段 AB 为直径做圆 H （ H 为圆心） ， 试证明抛物线的顶点在圆 H 的圆周上；并求圆 H 的面 积最小时直线 AB 的方程。
y
4+ 4k 2 + 2 k4 p， 故要使
B
只需 k → ∞ ， 此时直线 AB 的方程为： 圆 H 的面积最小，
H o A Q C x
(x1 + x 2 + " + x n )2 ≥ 4 ( x1 x 2 + x 2 x 3 + " + x n x1 ) ，
结论得证。 例 6 （参考文献[5]113 页第 14 题） 已知 x, y, z ∈ R ，
高中数学论文 高等数学与初等数学的联系及一些应用
高等数学与初等数学的联系及一些应用摘要：众所周知，初等数学是高等数学的基础，高等数学是初等数学的延伸和发展。
由于现阶段数学数字化时代的发展，中学教师要是掌握一定的高等数学的知识与方法，并在教学中与初等数学的知识有机结合起来，那么将能提高学生的思维，开阔学生的思路，培养学生的数学修养并提高其解决问题的能力。
因而，本文着重把高等数学与初等数学联系起来，通过几个例子来阐述高等数学在初等数学中的一些重要的应用。
关键词：高等数学；初等数学；应用1.引言数学是一门概括性、逻辑性很强的学科，将它从自然科学中分离出来而成为一门独立的学科与自然科学、社会科学并驾齐驱，在修完高等数学课程之后才能体会到这个主张是非常科学的。
因此有人把它叫做思维的体操，也有人把它称作其他自然科学必备的基础工具。
这些都是基于这种认识和理解，是有一定的道理的。
中小学的数学，即使是高中数学的教学，它所要承担的教学任务和培养的目标只能是学会基本的运算和简单的推理，由于学生的接受能力有限，更深一层次的研究只能在大学进行。
只有通过大学高等数学各门必修课程和选修课程的学习和理解，才能深切感受到数学这门充满生机、古老的学科的庞大的体系和深邃的理论，才能认识到数学区别于其他学科的三种特性：抽象性、严谨性和高度的概括性。
2. 国内外研究现状大学课程学习的思维单向性很强。
大学的学习给学生的感觉是用中学知识去学习大学课程中的内容，学生几乎感觉不到能用大学知识解决中学数学中的问题或对解中学数学问题有什么帮助。
“用”的观念淡薄了，“学”的热情自然而然的就少了。
抓住高等数学与初等数学之间的联系，加强高等数学对初等数学的指导作用及高等数学在初等数学中的一些应用是本课题研究的重点和关键问题。
中学数学教材中的教学难点经常让新教师费劲口舌，但学生仍然晕头转向，不知其意。
比如极限定义、集合和函数等。
一位新数学教师在解释从非空数集A 到数集B的映射是函数时常常讲不清楚函数的值域到底是不是B。
211272525_矩阵理论——在初等数学中的应用
矩阵理论在初等数学中的应用吴应富(浙江省杭州市夏衍中学ꎬ浙江杭州３１００１７)摘㊀要:高等代数是数学系大一新生的必修科目ꎬ每一位高中数学教师都学习过这门课程.但是ꎬ大部分数学教师认为:大学数学知识与高中数学没有太大联系ꎬ故线性代数的知识早已被抛到九霄云外.当然ꎬ这样的认知是很自然的ꎬ因为在大学课本中鲜有介绍线性代数理论在初等数学中的应用.新课程标准中提到:高中数学课程的基本理念之一是 构建共同基础ꎬ提供发展平台.为了满足部分对数学有兴趣的学生更高的数学需求ꎬ在人教版«普通高中课程标准实验教科书 矩阵与变换(选修４－２)»中介绍了一些简单的二阶矩阵知识ꎬ但现行的新版教材中将这块内容删掉了.本文将介绍利用线性代数中的矩阵理论解决初等数学中的部分经典问题.关键词:矩阵ꎻ线性代数ꎻ数列中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０９－００５０－０４收稿日期:２０２２－１２－２５作者简介:吴应富(１９９０.７－)ꎬ男ꎬ浙江省乐清人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀由于本文涉及线性代数中矩阵的知识ꎬ若有需要ꎬ可参考本文的参考文献[１]ꎬ当然也可以选择其它的高等代数或线性代数教材.与微积分一样ꎬ矩阵也是数学知识体系中非常有力的工具.笔者将介绍矩阵理论在求数列通项中的应用以及在分式线性函数迭代中的应用.１二阶矩阵的幂为了方便本文定理的证明ꎬ这里ꎬ我们先介绍二阶矩阵幂的求法.我们将二阶矩阵Ａ分为两种类型ꎬ类型一:复数域上的二阶矩阵Ａ有两个不相等的特征根ꎻ类型二:复数域上的二阶矩阵Ａ有两个相等的特征根.为了求这两种类型的二阶矩阵的任意次正整数幂ꎬ我们给出以下引理.引理１㊀若复数域上的二阶矩阵Ａ有两个不相等的特征根ｘ１与ｘ２ꎬ则存在某个可逆矩阵Ｔꎬ使得Ａｎ＝Ｔｘｎ１００ｘｎ２æèççöø÷÷Ｔ－１.由线性代数知识知ꎬ矩阵Ｔ就是二阶矩阵Ａ的两个特征向量构成的矩阵ꎬ容易求得.再由公式Ｔ－１＝１ＴＴ∗ꎬ即可求出Ｔ－１(其中Ｔ指矩阵Ｔ的行列式ꎬＴ∗指矩阵Ｔ的伴随矩阵).也就是说ꎬ类型一中的二阶矩阵Ａ的任意有限次正整数幂由引理１彻底解决.接下来笔者将介绍类型二中的矩阵Ａ的任意有限次正整数幂的求法.引理２㊀若复数域上的二阶矩阵Ａ＝ａｂｃｄæèçöø÷有两个相等的特征根ｘ０ꎬ则Ａｎ＝ｘｎ０００ｘｎ０æèççöø÷÷＋ｎｘｎ－１０００ｘｎ－１０æèççöø÷÷ａ－ｘ０ｂｃｄ－ｘ０æèççöø÷÷.引理２彻底解决了类型二中的二阶矩阵Ａ的任意有限次正整数幂.至此ꎬ我们彻底解决了复数域上的二阶矩阵的任意有限次正整数幂问题.在具体解题时ꎬ不必背引理１和引理２ꎬ只需掌握求解方法即可.２二阶矩阵在分式线性函数迭代中的应用引理３㊀记ｆ(ｘ)＝ｃｘ＋ｄａｘ＋ｂꎬｆ１(ｘ)＝ｆ(ｘ)ꎬｆ２(ｘ)＝ｆ[ｆ１(ｘ)]ꎬ ꎬｆｎ(ｘ)＝ｆ[ｆｎ－１(ｘ)]ꎬ若记ｆ(ｘ)对应的矩阵为ｃｄａｂæèçöø÷ꎬ则ｆｎ(ｘ)对应的矩阵为ｃｄａｂæèçöø÷ｎ.例１㊀已知ｆ(ｘ)＝４ｘ－３２ｘ－１ꎬ记ｆ１(ｘ)＝ｆ(ｘ)ꎬｆ２(ｘ)＝ｆ[ｆ１(ｘ)]ꎬ ꎬｆｎ(ｘ)＝ｆ[ｆｎ－１(ｘ)]ꎬ求ｆ１０(ｘ).解㊀由引理３知ꎬ我们只需求Ａ１０＝４－３２－１æèçöø÷１０即可求得ｆ１０(ｘ).而矩阵Ａ的特征方程ｘ２－３ｘ＋２＝０的两根为ｘ１＝１ꎬｘ２＝２.接下来我们可以利用引理１的方法ꎬ求得矩阵Ａ属于特征根ｘ１＝１的特征向量为线性方程组－３３－２２æèçöø÷ｘｙæèçöø÷＝００æèçöø÷的一个基础解系１１æèçöø÷ꎬ矩阵Ａ属于特征根ｘ２＝２的特征向量为线性方程组－２３－２３æèçöø÷ｘｙæèçöø÷＝００æèçöø÷的一个基础解系３２æèçöø÷.即存在Ｔ＝１３１２æèçöø÷与Ｔ－１＝－２３１－１æèçöø÷ꎬ使得Ｔ－１ＡＴ＝１００２æèçöø÷ꎬʑ(Ｔ－１ＡＴ)１０＝１００１０２４æèçöø÷⇒Ａ１０＝Ｔ１００１０２４æèçöø÷Ｔ－１＝３０７０－３０６９２０４６－２０４５æèçöø÷.ʑ我们得到ｆ１０(ｘ)＝３０７０ｘ－３０６９２０４６ｘ－２０４５.笔者对例题的编写源于引理３ꎬ由例１我们看到ꎬ矩阵理论在初等数学中也大有用武之地ꎬ是解决很多数学问题强有力的工具.虽然在高考中不会出现这样的考题ꎬ但是矩阵理论之于热爱数学的学生和教师而言可以开阔视野ꎬ激发学习与研究数学的兴趣ꎬ是大有裨益的.３特征根法求数列的通项公式在多数高中数学竞赛教材中都有提及利用特征根法求二阶实系数线性递推公式的数列通项问题.比起待定系数法而言要简单许多ꎬ只需记住几个简洁的结论即可快速解题ꎬ深受竞赛学子的追捧.但是多数竞赛教材并未提及该方法的来源ꎬ这令多数阅读教材的师生仅知其然而不知其所以然.笔者将于此给出一个满意的解答.定理１㊀二阶齐次线性递推公式ａｎ＋２＝ｐａｎ＋１＋ｑａｎ所对应的特征方程为ｘ２＝ｐｘ＋ｑꎬ(１)若特征方程有两个不相等的非零复根ｘ１ꎬｘ２ꎬ则ａｎ＝Ａｘｎ１＋Ｂｘｎ２(其中Ａ＝ａ１ｘ２－ａ２ｘ１(ｘ２－ｘ１)ꎬＢ＝ａ２－ａ１ｘ１ｘ２(ｘ２－ｘ１))ꎻ(２)若特征方程有两个相等的非零复根ｘ０ꎬ则ａｎ＝Ａｘｎ－１０＋Ｂ(ｎ－１)ｘｎ－１０.(其中Ａ＝ａ１ꎬＢ＝ａ２－ａ１ｘ０ｘ０).(注:若存在特征根０ꎬ则ｑ＝０ꎬａｎ{}是等比数列ꎬａｎ{}的通项容易求得ꎬ此处不再讨论.)证明㊀(１)方法一㊀(初等证法ꎬ仅证明结论正确ꎬ不揭示结论来源)由复数域上多项式根与系数的关系:ｘ１＋ｘ２＝ｐꎬｘ１ｘ２＝－ｑ得ａｎ＋２－ｘ１ａｎ＋１＝ｘ２(ａｎ＋１－ｘ１ａｎ).ʑａｎ＋１－ｘ１ａｎ＝(ａ２－ｘ１ａ１)ｘｎ－１２ꎬʑａｎ＝ｘ１ａｎ－１＋(ａ２－ｘ１ａ１)ｘｎ－２２ꎬ等式两边同除以ｘｎ－２２得ｘ２２ａｎｘｎ２＝ｘ１ｘ２ａｎ－１ｘｎ－１２＋(ａ２－ｘ１ａ１)ꎬ记ｂｎ＝ａｎｘｎ２ꎬ则ｘ２２ｂｎ＝ｘ１ｘ２ｂｎ－１＋ａ２－ｘ１ａ１ꎬ由构造法得ｘ２２[ｂｎ－ａ２－ｘ１ａ１ｘ２(ｘ２－ｘ１)]＝ｘ１ｘ２[ｂｎ－１－ａ２－ｘ１ａ１ｘ２(ｘ２－ｘ１)]⇒ｂｎ－ａ２－ｘ１ａ１ｘ２(ｘ２－ｘ１)＝[ａ１ｘ２－ａ２－ｘ１ａ１ｘ２(ｘ２－ｘ１)]ｘ１ｘ２æèçöø÷ｎ－１.整理并化简得ａｎ＝ａ１ｘ２－ａ２ｘ１(ｘ２－ｘ１)ｘｎ１＋ａ２－ａ１ｘ１ｘ２(ｘ２－ｘ１)ｘｎ２.方法二㊀(矩阵法ꎬ揭示结论来源)我们将数列的递推公式写成矩阵相乘的形式:ａｎ＋２ａｎ＋１æèççöø÷÷＝ｐｑ１０æèçöø÷ａｎ＋１ａｎæèççöø÷÷ꎬ逐次迭代得ａｎａｎ－１æèççöø÷÷＝ｐｑ１０æèçöø÷ｎ－２ａ２ａ１æèççöø÷÷.记矩阵Ａ＝ｐｑ１０æèçöø÷的特征方程为ｘ－ｐ－ｑ－１ｘ＝０⇒ｘ２－ｐｘ－ｑ＝０两个不同的特征根为ｘ１ꎬｘ２.由引理１知ꎬ我们容易计算矩阵Ａ的ｎ－２次幂.我们先求得矩阵Ａ属于特征根ｘ１的特征向量为ｘ１－ｐ－ｑ－１ｘ１æèççöø÷÷ｘｙæèçöø÷＝００æèçöø÷的一个基础解系ｘ１１æèçöø÷ꎬ同理我们可求得矩阵Ａ属于特征根ｘ２的特征向量为ｘ２１æèçöø÷.即我们构造Ｔ＝ｘ１ｘ２１１æèçöø÷ꎬ有Ｔ－１ＡＴ＝ｘ１００ｘ２æèççöø÷÷ꎬＴ－１＝１ＴＴ∗＝１ｘ１－ｘ２１－ｘ２－１ｘ１æèççöø÷÷.容易计算得到:Ａｎ－２＝Ｔｘｎ－２１００ｘｎ－２２æèççöø÷÷Ｔ－１ꎬ将矩阵Ｔ与Ｔ－１代入得Ａｎ－２＝１ｘ１－ｘ２ｘｎ－１１－ｘｎ－１２－ｘ２ｘｎ－１１＋ｘ１ｘｎ－１２ｘｎ－２１－ｘｎ－２２－ｘ２ｘｎ－２１＋ｘ１ｘｎ－２２æèççöø÷÷.又由ａｎａｎ－１æèççöø÷÷＝Ａｎ－２ａ２ａ１æèççöø÷÷可得ａｎ＝ａ１ｘ２－ａ２ｘ１(ｘ２－ｘ１)ｘｎ１＋ａ２－ａ１ｘ１ｘ２(ｘ２－ｘ１)ｘｎ２.(２)方法一㊀(初等证法ꎬ仅证明结论正确ꎬ不揭示结论来源)由(１)得ａｎ＝ｘ０ａｎ－１＋(ａ２－ｘ０ａ１)ｘｎ－２０ꎬ等式两边同除以ｘｎ－２０得ａｎｘｎ０{}是首项为ａ１ｘ０ꎬ公差为ａ２－ｘ０ａ１ｘ２０的等差数列.ʑａｎ＝ａ１ｘｎ－１０＋(ｎ－１)ａ２－ｘ０ａ１ｘ０ｘｎ－１０.方法二㊀(矩阵法ꎬ揭示结论来源)由复数域上多项式根与系数的关系:ｐ＝２ｘ０ꎬｑ＝－ｘ２０ꎬＡｎ－２＝２ｘ０－ｘ２０１０æèçöø÷ｎ－２＝[ｘ０００ｘ０æèççöø÷÷＋ｘ０－ｘ２０１－ｘ０æèççöø÷÷]ｎ－２.由引理２知ꎬＡｎ－２＝ｘ０００ｘ０æèççöø÷÷ｎ－２＋(ｎ－２)ｘ０００ｘ０æèççöø÷÷ｎ－３ｘ０－ｘ２０１－ｘ０æèççöø÷÷＝(ｎ－１)ｘｎ－２０(２－ｎ)ｘｎ－１０(ｎ－２)ｘｎ－３０(３－ｎ)ｘｎ－２０æèççöø÷÷ꎬ又由ａｎａｎ－１æèççöø÷÷＝Ａｎ－２ａ２ａ１æèççöø÷÷可得ａｎ＝(ｎ－１)ａ２ｘｎ－２０＋２ａ１ｘｎ－１０－ｎａ１ｘｎ－１０＝ａ１ｘｎ－１０＋(ｎ－１)ａ２－ｘ０ａ１ｘ０ｘｎ－１０.证毕.定理１的两个小结论都采用了两种方法进行证明ꎬ其中方法一高中生亦能理解ꎬ但是留给我们一连串巨大的问号.是谁这么聪明发明了这个方法?数列的特征根又是什么?事实上从方法二就能看出特征根法求数列通项的本源ꎬ数列并没有特征根ꎬ特征根是矩阵的.定理１只是用初等数学的语言将结论表示给中学生看ꎬ它的优点在于避开了高等数学ꎬ但笔者认为作为数学教师ꎬ追本溯源才能真正理解该方法的本质ꎬ才能发现更多类似定理１的有趣结论.事实上ꎬ数列可以理解为一种特殊的矩阵ꎬ故矩阵理论在数列中的应用是非常广泛的.对于这些中学课本与大学课本都未涉及的经典应用ꎬ笔者将给出以下例题.例２㊀求著名的斐波那契数列的通项:已知ａ１＝ａ２＝１ꎬａｎ＋２＝ａｎ＋１＋ａｎ求ａｎ.解㊀由定理１ꎬ求得特征方程ｘ２＝ｘ＋１的两根为ｘ１＝１＋５２ꎬｘ２＝１－５２.利用待定系数法及ａ１＝ａ２＝１求得Ａ＝１５ꎬＢ＝－１５.ʑａｎ＝５５１＋５２æèçöø÷ｎ－５５１－５２æèçöø÷ｎ.例３㊀㊀已知ａ１＝ａ２＝１ꎬａｎ＋２＝６ａｎ＋１－９ａｎꎬ求ａｎ.解㊀特征根为ｘ１＝ｘ２＝３ꎬ利用待定系数法求得Ａ＝１ꎬＢ＝－２３.ʑａｎ＝(５－２ｎ)３ｎ－２.由例２ꎬ例３我们看出ꎬ用特征根法求二阶线性递推公式的通项是多么的简洁ꎬ求系数Ａ与Ｂ时不必背定理１的结论ꎬ只需使用待定系数法求解即可.例４㊀已知ａ１＝－１３ꎬａ２＝１９ꎬ３ａｎ＋２＝２ａｎ＋１＋ａｎ＋１ꎬ求ａｎ.解㊀ａｎ＋２＝２３ａｎ＋１＋１３ａｎ＋１３①ａｎ＋１＝２３ａｎ＋１３ａｎ－１＋１３②①式减去②式我们得到:ａｎ＋２－ａｎ＋１＝２３(ａｎ＋１－ａｎ)＋１３(ａｎ－ａｎ－１)ꎬ令ｂｎ＝ａｎ＋１－ａｎ得ｂｎ＋１＝２３ｂｎ＋１３ｂｎ－１.计算特征方程ｘ２＝２３ｘ＋１３的根为ｘ１＝１ꎬｘ２＝－１３.再由待定系数法求得Ａ＝１４ꎬＢ＝－７１２.故ｂｎ＝１４－７１２(－１３)ｎꎬ再利用累加法容易求得ａｎ＝ｎ４－７１６＋７１６(－１３)ｎ.例５㊀已知ａ１＝－１ꎬａ２＝１ꎬａｎ＋２＝２ａｎ＋１＋３ａｎ＋３ｎꎬ求ａｎ.解㊀等式两边同除以３ｎ即可转化为例４的类型ꎬ这里不再赘述ꎬ只给出本题的参考答案:ａｎ＝１１６[(４ｎ－７)３ｎ＋７(－１)ｎ].由例４ꎬ例５我们看出ꎬ非齐次的二阶线性递推公式以及部分非线性的递推公式求通项只需稍作处理即可转化为齐次线性递推公式.至此ꎬ定理１即可彻底解决二阶线性递推公式求通项的问题.当然例３的解法很多ꎬ例如我们可以使用母函数法ꎬ这将涉及数学分析中的幂级数理论ꎬ且计算量较特征根法要大很多ꎬ这里就不作介绍了ꎬ感兴趣的读者可参考本文的参考文献[４]第８３页例３.３６.例６㊀已知ａ１＝ａ２＝２０１８ꎬａｎ＋２＝－ａｎ＋１－ａｎꎬ求ａｎ.解㊀特征根为ｘ１＝－１＋３ｉ２ꎬｘ２＝－１－３ｉ２ꎬ由待定系数法求得Ａ＝Ｂ＝－２０１８.ʑａｎ＝－２０１８[(－１＋３ｉ２)ｎ＋(－１－３ｉ２)ｎ].例７㊀已知ａ１＝１ꎬａ２＝２ꎬａｎ＋２＝(ｉ＋１)ａｎ＋１－ｉａｎꎬ求ａｎ.解㊀特征根为ｘ１＝ｉꎬｘ２＝１ꎬ由定理１得:ａｎ＝１２(ｉ－１)ｉｎ＋１２ｉ＋３２.由例６ꎬ例７我们看出ꎬ定理１对虚特征根以及虚系数的二阶线性递推公式求通项也是非常方便的.细心的读者或许已经发现笔者编制的例４是周期为３的周期数列ꎬ求通项的意义并不大ꎬ但是此题仍具有一定的代表性.５笔者的点滴感悟作为高中数学教师ꎬ笔者以为ꎬ高观点下的初等数学更显深刻ꎬ更显本质.掌握一些与高中数学有关的高等代数㊁数学分析㊁解析几何㊁初等数论㊁复变函数㊁概率论等大学数学知识是大有裨益的.于学生ꎬ我们倡导积极主动㊁勇于探索的学习方式ꎻ于己ꎬ又何尝不应如此?毕竟ꎬ学习ꎬ是一辈子的事情.参考文献:[１]张禾瑞ꎬ郝鈵新.高等代数(第五版)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００７.[２]蔡小雄ꎬ孙惠华.新课标高中数学竞赛通用教材(高二分册ꎬ第三版)[Ｍ].杭州:浙江大学出版社ꎬ２００９.[３]陈唐明.矩阵求法递推数列通项公式再探[Ｊ].高中数学教与学ꎬ２０１０(０９):１１－１３.[４]李胜宏ꎬ李名德.高中数学竞赛培优教程(专题讲座)(第二版)[Ｍ].杭州:浙江大学出版社ꎬ２００９. [５]欧阳光中ꎬ朱学炎ꎬ金福临ꎬ陈传璋.数学分析下册(第三版)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００７.[６]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２００３.[责任编辑:李㊀璟]。
数学(本科)毕业论文题目汇总
数学毕业(学位)论文题目汇总一、数学理论1。
试论导函数、原函数的一些性质。
ﻫ２。
有界闭区域中连续函数的性质讨论及一些推广。
ﻫ3。
数学中一些有用的不等式及推广.4。
函数的概念及推广.ﻫ5。
构造函数证明问题的妙想。
6.对指数函数的认识。
ﻫ7。
泰勒公式及其在解题中的应用。
8。
导数的作用。
9。
Ｈiｌbert空间的一些性质。
ﻫ10。
Banaｃｈ空间的一些性质。
ﻫ１1。
线性空间上的距离的讨论及推广。
12。
凸集与不动点定理．ﻫ１3。
Hｉlberｔ空间的同构．ﻫ1４。
最佳逼近问题。
ﻫ１5。
线性函数的概念及推广．ﻫ1６.一类椭圆型方程的解．18.线性赋范空间上的模等价。
1７。
泛函分析中的不变子空间。
ﻫ19.范数的概念及性质．２0。
正交与正交基的概念。
22。
隐函数存在定理的再证明。
ﻫ２3.线性空间的等距同构。
2１。
压缩映像原理及其应用.ﻫ24。
列紧集的概念及相关推广。
２５。
Lebｅsguｅ控制收敛定理及应用。
26。
Lebｅｓｇue积分与Rieｍann积分的关系。
27。
重积分与累次积分的关系.28。
可积函数与连续函数的关系。
２９。
有界变差函数的概念及其相关概念。
ﻫ30。
绝对连续函数的性质。
3１.Lｅbesguｅ测度的相关概念。
33。
可测函数的定义及其性质。
ﻫ３４．分部积分公式的32。
可测函数与连续函数的关系。
ﻫ推广。
35。
Fatoｕ引理的重要作用。
36.不定积分的微分的计算。
ﻫ37。
绝对连续函数与微积分基本定理的关系。
ﻫ3８。
Ｓchwartz 不等式及推广。
39。
阶梯函数的概念及其作用.40。
Fourｉer级数及推广。
ﻫ４1.完全正交系的概念及其作用。
ﻫ42。
Ｂanach空间与Hｉlbe ｒｔ空间的关系。
44。
数学分析中的构造法证题术,43。
函数的各种收敛性及它们之间的关系。
ﻫ4５。
用微积分理论证明不等式的方法4６.数学分析中的化归法47。
微积分与辩证法49。
在上有界闭域的D中连续函数的性质４8. 积分学中一类公式的证明ﻫ51。
高等代数在中学数学解题中的若干应用的论文
高等代数在中学数学解题中的若干应用的论文人们常有一种片面的观点，认为高校里所学的专业知识在中学数学中几乎无用，其理由是从初等数学到高等数学，在研究问题和处理问题的方式上存在着较大的区别．其实这是一种误解，正因为有这样的区别，才使我们从中学数学的解题思维定式中走出来，用一种更深远的眼光来看中学数学问题．高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革．高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出．下面就来探讨一些高等代数知识在中学数学解题中的应用．初等数学中的某些问题看起来比较复杂，甚至难以下手，但用线性相关的方法却显得比较简单，通过从多方面多角度的思考能提高分析问题解决问题的能力．2.1求代数式的取值范围初等数学中某些线性相关问题，若采用一般的初等解题方法不相关地去看待，则会使计算繁难，且容易出错;利用高等数学中线性相关的思想方法来处理，则会使问题简单明了，易于解决．运用线性相关知识研究函数性质的问题，研究对象常以复合函数的形式出现，解决这一类型的问题往往采用新旧结合，或以新方法解决旧问题．2.2解决某些二元不定方程例3利有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，购乙7件，丙1件，共需315元，若购甲4件，乙10件，丙4件，共需420元，现购甲、乙、丙各1件，共需多少元？答:甲乙丙各购1件，共需105元．中学数学中有很多题涉及到了对一些因式的分解，虽然中学数学中有很多方法可以解决．但对于某些问题如果构造与之对应的行列式，然后用行列式的性质去解决，会起到事半功倍的效果．3.1应用于因式分解从上面两个例子可以看出，解此类数学问题的关键是构造行列式，以行列式为桥梁，把原型变形为不同的行列式，再利用行列式的性质加以解题．利用矩阵的性质和定理，可以很好的解决某些数列问题．在此例题中引入矩阵作为工具使用了矩阵的性质，轻而易举地求出了通项公式．从上例可知，使用柯西—施瓦兹不等式重要的是构造一个合适的欧氏空间，特别是构造内积运算，并找到两个合适的向量．高等代数在中学数学解题中的应用远不止上述几个方面，但通过上述问题的解决不难看出高等代数完全可以作为一种工具来解决中学数学中的问题，从而为解决中学数学问题提供了别开生面的思路．但我们也要了解高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解，而是一种知识的融会贯通．只有我们掌握好高等代数的课程，才能将它更好的用于将来所从事的中学数学教学工作中．内容仅供参考。
高等代数的课程设计
高等代数的课程设计一、教学目标本课程的教学目标是使学生掌握高等代数的基本概念、理论和方法，培养学生的高等代数思维能力和解决问题的能力。
具体目标如下：1.知识目标：使学生掌握矩阵、线性方程组、特征值与特征向量、二次型等基本概念和性质；理解线性变换、特征空间、特征值等基本概念和性质；掌握矩阵运算、线性方程组的求解、特征值和特征向量的求法等基本方法。
2.技能目标：培养学生运用高等代数知识和方法解决实际问题的能力，如线性方程组的求解、二次型的最小二乘法等；培养学生运用数学软件进行高等代数运算和分析的能力。
3.情感态度价值观目标：培养学生对高等代数学科的兴趣和好奇心，激发学生的学习积极性和主动性；培养学生勇于探索、善于合作的科学精神，提高学生的创新能力和团队协作能力。
二、教学内容根据教学目标，本课程的教学内容主要包括以下几个部分：1.矩阵和线性方程组：矩阵的基本概念、矩阵的运算、线性方程组的求解方法。
2.线性变换和特征值特征向量：线性变换的概念和性质、特征值和特征向量的概念和性质、线性变换的应用。
3.二次型：二次型的概念和性质、二次型的标准形和规范形、二次型的最小二乘法。
4.高等代数的应用：线性方程组的应用、二次型的应用、线性变换的应用等。
三、教学方法为了实现教学目标，本课程将采用以下教学方法：1.讲授法：通过教师的讲解，使学生掌握高等代数的基本概念、理论和方法。
2.讨论法：学生进行课堂讨论，培养学生的高等代数思维能力和解决问题的能力。
3.案例分析法：通过分析实际案例，使学生了解高等代数在实际问题中的应用。
4.实验法：引导学生运用数学软件进行高等代数运算和分析，提高学生的实际操作能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将采用以下教学资源：1.教材：选用国内知名出版社的高等代数教材，如《高等代数》（华工版）、《高等代数》（复旦版）等。
2.参考书：推荐学生阅读一些高等代数的经典著作和学术文章，如《矩阵分析与应用》、《线性代数及其应用》等。
最新毕业论文多项式恒等定理在初等数学中的应用
多项式恒等定理在初等数学中的应用The Applications of Polynomial Identity Theorem in Elementary Mathematics专业: 数学与应用数学作者:指导老师:学校二○摘要多项式恒等定理在多项式代数中占有重要地位. 它是多项式代数中一个重要定理——待定系数法的理论依据. 本文给出了多项式相等和恒等的定义与多项式恒等定理, 并介绍了利用多项式恒等定理证明组合恒等式, 进行多项式因式分解等初等数学中的几个方面的应用.关键词: 多项式; 恒等; 多项式恒等定理; 待定系数法; 因式分解; 二项式定理AbstractPolynomial Identity Theorem plays an important role in the polynomial algebra. It is an important algebraic polynomial theorem, and it is based on the theory for the undetermined coefficient method. In this paper, the definition of the same polynomials and Polynomial Identity Theorem have been given, and we introduced some applications of the polynomial identity theorem in elementary mathematics, such as using it to prove combinatorial identities and to factorize polynomial.Keywords: polynomial; identity; Polynomial Identity Theorem; undetermined coefficient method; factorization; Binomial Theorem目录摘要 (I)Abstract (II)0 引言 (1)1 多项式恒等定理的有关理论 (1)2 多项式恒等定理在初等数学中的应用 (4)2. 1待定系数法 (4)2. 2 在三角中恒等式中的应用 (7)2. 3证明恒等式 (8)2. 4 因式分解 (10)2. 5 多项式恒等定理解决二项式问题的应用 (12)参考文献 (14)0 引言多项式恒等定理在多项式代数中占有非常重要的地位. 对于形式表达式, 多项式)(x f 与)(x g 恒等即: 除去系数为零的项外, 同次项系数全相等. 从函数的观点考察, 数域P 上一个次数不超过n 的非零多项式)(x f 在P 中至多有n 个根, 因此, 当x 取1+n 个不同的值时, 0)(=x f , 那么一定有0)(≡x f . 由此推出, 两个次数均不超过n 的多项式)(x f 和)(x g , 如果对于x 的1+n 个不同的值, 都有)()(x g x f =, 那么)()(x g x f ≡. 关于多项式恒等定理的一些研究见文[3]-[5]. 它不仅是待定系数法的理论依据, 同时在初等数学中还有更广泛的应用. 在这篇文章中, 我们给出了多项式恒等定理相关的理论及证明, 并探讨它在初等数学中的应用.1 多项式恒等定理的有关理论定义1]1[ 设n 是一非负整数. 形式表达式,011a x a x a n n n n +++-- （1）其中n a a a ,,10全属于数域P , 称为系数在数域P 中的一元多项式, 或者简称为数域P 上的一元多项式.定义2 如果在多项式)(x f 与)(x g 中, 除去系数为零的项外, 同次项的系数全相等, 那么)(x f 与)(x g 就称为相等, 记为)()(x g x f =.系数全为零的多项式称为零多项式, 记为0.定义3 两个代数式恒等是指其中的文字用任何值代入时（当然要有意义）总是相等. 常用记号""≡表示恒等.定理1 若数域P 上的多项式)(x f 恒等于零, 即0)(≡x f , 则0)(=x f . 证明：对多项式（1）的次数n 用数学归纳法.证定理对于1=n 成立.设)(x f 形如01a x a +. 若对于x 的任意值, 0)(≡x f , 令0=x , 则0)0(0a f ==, 故00=a ；再令1=x , 即01=a , 故)(0)(x x f =. 定理对于1=n 的情况成立.（2）假设定理对于1-=m n 成立, 推证对于m n =成立.设)(x f 形如011a x a x a m m m m +++-- .由于0)(≡x f , 用x 2代x , 得011)2()2()2(a x a x a x f m m m m +++≡-- 01111222a x a x a x a m m m m m m ++++≡--- . （3）由（2）式, 又可得01112222)(2a x a x a x a x f m m m m m m m m m ++++≡-- . （4）由于0)(≡x f ,故0)2(≡x f , .式-（3）式, 得0)12()12(2)12(202222111≡-++-+-------a x a x a m m m m m m m .上式左边是一个1-=m n 情形的多项式, 它恒等于零. 由归纳假定, 必须其所有系数都是零：0)12(211=---m m a , 0)12(2222=---m m a , , 0)12(0=-a m .于是, 0021====--a a a m m . 多项式0)(≡x f , 化为0=m m x a . 令1=x , 又得0=m a .定理2 数域P 上非零多项式)0()(0111≠++++=--n n n n n a a x a x a x a x f )0()(0111≠++++=--m m m m m b b x b x b x b x g恒等的充要条件是)()(x g x f =.证明：充分性. 即由)()(x g x f =推出)()(x g x f ≡.设)()(x g x f =, 即n m =, 且对应系数相等. 那么)(x f 和)(x g 是同一个多项式, 当然是恒等的.必要性. 即由)()(x g x f ≡推出)()(x g x f =.若次数不等, 设m n >, 让)(x f 减去)(x g , 得0)()()(001111≡-+-++-+++++b c x b a x b a x a x a m m m m m n n .等式左边是x 的多项式, 由于它恒等于零, 根据定理1, 0=n a , 与已知矛盾. 故)(x f 与)(x g 次数相等：n m =. 所以)()()()()()(0)(00111110111b a x b a x b a x b a x g x f a x a x a x a x f m m m m m m m m m m -+-++-+-≡-≡++++=-----由定理1,0,,0,00011=-=-=---b a b a b a m m m m .或001111,,,,b a b a b a b a m m m m ====-- .所以 )()(x g x f =.定理3 多项式恒等定理：数域P 上两个多项式)()(x g x f ≡（或)()(x g x f =）的充要条件是n i b a i i ,,1,0, ==.证明：根据定理2, )()(x g x f ≡的充要条件是)()(x g x f =. 只需证)()(x g x f =的充要条件是n i b a i i ,,1,0, ==. 由定义1, )()(x g x f =, n m =, 且同次项对应的系数相等, 即n i b a i i ,,1,0, ==. 反过来, n i b a i i ,,1,0, ==,0)()()()()(00111=-++-+-=----b a x b a x b a x g x f n n n n n n .故)()(x g x f =.特别0)(≡x f 的充要条件是n i a i ,,1,0,0 ==.定理4 ][x P 中n 次多项式)0(≥n 在数域P 中的根不可能多于n 个, 重根按重数计算.本定理的证明过程参见参考文献[2]第25页.定理5 如果多项式)(),(x g x f 的次数都不超过n , 而它们对1+n 个不同的数121,,,+n ααα 有相同的值, 即)()(i i g f αα=, 1,,2,1+=n i ,那么)()(x g x f =.证明： 由定理的条件, 有.1,,2,1,0)()(+==-n i g f i i αα这就是说, 多项式)()(x g x f -有1+n 个不同的根. 如果,0)()(≠-x g x f 那么它就一定是一个次数超过n 的多项式, 由定理3, 它不可能有1+n 个根. 因此, )()(x g x f =.因为数域P 中有无穷多个数, 所以上述结论表明, 多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的. 数域上的多项式既可以用形式表达式来处理, 也可以作为函数来处理. 定理2、定理3和定理5从两个不同的方面阐述了多项式恒等的条件, 它们是等价的.2 多项式恒等定理初等数学中的应用2.1 待定系数法定理2与定理3是多项式代数中一个重要方法——待定系数法的理论依据. 所谓待定系数法, 是假定一个多项式的等式成立, 某些未知的系数先形式的写出来, 再根据变量的某些特定数值或系数之间的关系, 列出以待定系数为未知量的方程组, 解这些方程组就可以得到所求的系数.例1 已知三次多项式)(x f 在x =-1, 0, 1, 2时函数值分别为1, 2, 3, 2, 试写出这个多项式.解： 令d cx bx ax x f +++=23)(, 由条件可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++==+-+-2248321d c b a d c b a d d c b a 解之得2,34,0,31===-=d c b a 所以23431)(3++-=x x x f .例2 若多项式c x c b a x c a x f ++++++=)()33()(2与 a x d x d b x g 2)1()()(3++++= 相等, 求d c b a ,,,, 并把多项式写出来.解：由条件知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=+a c d c b a c a d b 210330 解之得57,56,57,53-=-==-=d c b a 所以5652)()(--==x x g x f . 例3 多项式5)(23+++=bx ax x x f 在x =0, 1, 2时的函数值是同一个数, 试写出这个多项式.解：由条件知132465++=++=b a b a解得2,3=-=b a所以523)(23++-=x x x x f .例4 已知多项式7)(+=ax x f , , 且922)()(2++=+x x x g x f . 试求b a ,的值. 解：)7()2()2()7()()(2222b x a x b x x ax x g x f ++++=++++=+ 对R x ∈∀都有922)7()2(222++=++++x x b x a x ,比较等式两边对应的同次项的系数, 得⎩⎨⎧=+=+972222b a 解之得, 2,2±==b a .例5 已知)(x f 为一次函数且34)]([-=x x f f , 求)(x f . 分析： 先将)(x f 用一次函数的形式写出, 然后再根据题设条件得到待定系数应满足的条件.解： 由题设条件可设)0()(≠+=a b ax x f , 则b b ax a b ax f ++=+)()(b ab x a ++=234-=x比较两边对应项系数得⎩⎨⎧-=+=342b ab a , 解之得⎩⎨⎧-==12b a 或 ⎩⎨⎧=-=32b a . 例6 已知)(x f 是三次函数, 且3)0(=f , 0)0(='f , 3)1(-='f , 0)2(=f 求函数)(x f 的解析式.解：设)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f , 则c bx ax x f ++='23)(2.将已知条件代人得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++='=='=+++===323)1(0)0(0248)2(3)0(c b a f c f d c b a f d f 解以上方程组得23=a , 415-=b , 0=c , 3=d .一般已知函数的类型求函数表达式时, 先用待定系数法设出函数表达式, 然后再用方程（或方程组）求解待定系数.2.2 在三角中恒等式中的应用在三角恒等问题中, 某些时候利用多项式恒等定理可以化繁为简.例7证明C B A B A C C B A C B A C B A sin cos cos 4)sin()sin()sin()sin(=--++-+++-+++. 分析：这是一个三角恒等问题, 常规方法是利用三角函数的有关公式进行恒等变换, 这样运算量比较大, 观察等式可知左右两边均为关于C sin 的一次多项式, 因而我们可以考虑运用多项式恒等定理.证：设)sin()sin()sin()sin()(sin B A C C B A C B A C B A C f --++-+++-+++=,C B A C g sin cos cos 4)(sin =则)(sin C f 与)(sin C g 都是C sin 的一次多项式. 令C =0, 则0)sin()sin()sin()sin()0(sin =--+-++-++=B A B A B A B A f ,00sin cos cos 4)(sin ==B A A g ,故)0(sin )0(sin g f =；令A C =,则B A B B A B B A A f cos 2sin 2)sin()2sin(sin )2sin()(sin =-+-+++=,B A A g cos 2sin 2)(sin =所以)(sin )(sin A g A f =,由定理4, )(sin )(sin C g C f =,即C B A B A C C B A C B A C B A sin cos cos 4)sin()sin()sin()sin(=--++-+++-+++. 例8 求证)6(sin )3cos(cos sin 22απαπαα--++的值与α无关. 证： 令)6(sin )3cos(cos sin )cos ,(sin 22απαπαααα--++=f , 则)cos ,(sin ααf 是关于αsin 与αcos 的次数为2的多项式.令0=α, 则416sin 3cos )0cos ,0(sin 2=-=ππf ； 令3πα=, 则 41)36(sin 32cos 3cos 3sin )3cos ,3(sin 22=--+=πππππππf ； 令3πα-=, 则41)36(sin )3cos()3(sin ))3cos(),3(sin(22=+--+-=--ππππππf . 即当3,0πα±=时,41)cos ,(sin =ααf , 由定理4, 原式41≡, 从而)6(sin )3cos(cos sin 22απαπαα--++的值与α无关. 2.3 证明恒等式恒等式的证明是中学数学常见的问题之一. “两个多项式)(x f 与)(x g 相等, 对于任意的x , 都有)()(x g x f =.” 根据这条结论, 在证明某些恒等问题时, 我们可以构造两个相等的多项式函数, 然后将特定的数赋值给自变量, 即可得欲证之式. 当等式两边的次数n 较低时, 我们还可以根据定理4, 将1+n 个特殊的函数值进行比较, 即可得欲证之式.例9 已知+∈N n , 求证1321232-=++++n n n n n nn nC C C C . 证：设n x x f )1()(+=, 则)()(x g x f =因此)()(x g x f '=', 而1)1()(-+='n x n x f ,因此可得12112)1(--+++=+n n n n n n x nC x C C x n令1=x , 即得所证之式.例10 已知数列{}n a 的通项为12-⋅=n n n a , 其前n 项和为n S , 证明12)1(+-=n n n S .证：设x x x x g x x x x f n n--=+++=1)1()(,)(2 则)()(x g x f =(当1≠x 时） 因此)()(x g x f '=', 易算得2112)1(1)1()(,321)(-++-='++++='+-x x n nx x g nx x x x f n n n 由)2()2(g f '='即得12)1(21+⋅+-⋅=+n n n n n S , 化简即得欲证之式.例11 证明：)1/()12(1131211210+-=++++++n C n C C C n n n n n n . 证：设132210113121)(++++++=n n n n n n x C n x C x C x C x f , 则 n n n n n n n x x C x C x C C x f )1()(2210+=++++=' 从而C n x x f n +++=+1)1()(1, 又当0=x 时有C n f ++==110)0( 因此11+-=n C 故11)1()(1+-+=+n x x f n令1=x 原恒等式得证.例12试证恒等式2222))(())(())(())(())(())((x b c a c b x a x c a b c b a x c x b c a b a c x b x a =----+----+----. 分析: 如果直接计算相当麻烦, 容易看出, 等式两边都是关于x 的二次多项式. 并且c b a x ,,=时两边的值相等, 所以我们考虑用多项式恒等定理.证： 令 ))(())(())(())(())(())(()(222b c a c b x a x c a b c b a x c x b c a b a c x b x a x f ----+----+----=, 则)(x f 与)(x g 都是关于x 的2次多项式. 令a x =则22)(,)(a a g a a f ==, 故)()(a g a f =；令b x =, 则22)(,)(b b g b b f ==, 故)()(b g b f =；令c x =则22)(,)(c c g c c f ==, 故)()(c g c f =. 由定理4, )()(x g x f =. 即2222))(())(())(())(())(())((x b c a c b x a x c a b c b a x c x b c a b a c x b x a =----+----+----. 例13 试证恒等式1))()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()((=------+------+------+------c d b d a d c x b x a x b c a c d c b x a x d x a b d b c b a x d x c x d a c a b a d x c x b x 证：令))()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(()(c d b d a d c x b x a x b c a c d c b x a x d x a b d b c b a x d x c x d a c a b a d x c x b x x f ------+------+------+------=则)(x f 的次数不会超过3, 由于1)()()()(====d f c f b f a f , 所以1)(≡x f . 即 1))()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()((=------+------+------+------c d b d a d c x b x a x b c a c d c b x a x d x a b d b c b a x d x c x d a c a b a d x c x b x .2.4 因式分解“若两个多项式相等, 则它们同次的对应项系数一定相等. ”用这条结论可以处理 因式分解问题.例14 分解233222+++-+y x y xy x .解：先分解二次项：))(3(3222y x y x y xy x -+=-+所以原式一定能分解成))(3(b y x a y x +-++的形式. 将它展开得ab y a b x b a y xy x +-+++-+)3()(3222与原式比较对应项的系数, 得⎪⎩⎪⎨⎧==-=+2133ab a b b a解之得1,2==b a .所以, 原式=)1)(23(+-++y x y x .例15 分解4925322-++-+y x y xy x解：先分解二次项：)2)(3(25322y x y x y xy x +-=-+所以原式一定能分解成)2)(3(b y x a y x +++-的形式. 将它展开得ab y b a x b a y xy x +-+++-+)2()3(25322与原式比较对应项的系数, 得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+49213ab b a b a解之得1,4-==b a .所以, 原式=)12)(43(-++-y x y x .例16 分解2234+++x x x .解：先试其中一种，即分解为两个二次式 ，则)2)(1)2)(1(22222234-+-+++++=+++bx x ax x bx x ax x x x x 或（)2)(1(22++++bx x ax x2)2()12()(234++++++++=x b a x ab x b a x2234+++=x x x则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+021121b a ab b a解之得，2,1=-=b a 成立，故)22)(11(222234+++-=+++x x x x x x x我们可以看到运用多项式恒等定理, 不但能解决一元二次多项式的因式分解问题, 同时也能解决二元二次多项式的因式分解问题.2.5 多项式恒等定理解决二项式问题的应用二项式定理：n n n n n n n nn n b ab C b a C b a C a b a +++++=+----1122211)( 例17 已知n xx )1(2-的展开式中第3项与第5项的系数之比为143, 则展开式中常数项是 . 分析 由已知条件可求出n 的值. 再利用通项求出r .解: 由14342=n n C C , 得05052=--n n . 解得10=n ,5-=n (舍).由222010102101)1()1()(r r r r r r rr x C xx C T ---+-=-⋅=, 令 02220=--r r ,∴ 8=r . 故常数项45)1(210810818==-=+C C T .例18 已知7722107)21(x a x a x a a x ++++=- ,求7210a a a a ++++ 的值.分析: 展开二项式7766672227177)2()2()2()2(1)21(x x C x C x C x -+-++-+-+=-则72271772102221++++=++++ C C a a a a根据多项式恒等定理，上式即为7)21(x +展开式中各项系数之和.解: 710a a a +++ 即为7)21(x +展开式中各项的系数之和. ∴218737710==+++a a a .引申：已知n n n x a x a a bx a +++=+ 10)(，求n a a a +++ 10、131-+++n a a a 、),2(20N k k n a a a n ∈=+++ .解:比较系数发现，n a a a +++ 10即为n x b a )(+展开式中各系数之和；131-+++n a a a 即为n bx a )(+展开式中各系数之和与n bx a )(-展开式中各系数之和相减的差的一半，；n a a a +++ 20即为n bx a )(+展开式中各系数之和与n bx a )(-展开式中各系数之和相加的和的一半，所以n b a a a a )(710+=+++])()[(21131n n n b a b a a a a --+=+++- ])()[(2120n n n b a b a a a a -++=+++ . 二项式定理本身是一个恒等式,对待恒等式通常利用多项式恒等定理(两个多项式恒等,则对应项系数分别相等).致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对周老师表示衷心的感谢!参考文献[1]李师正. 多项式代数[M]. 山东人民出版社,1981.[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京:高等教育出版社,2003.[3]毕明黎,王丽. 利用求导法证明恒等式举隅[J]. 中学数学研究,4(2008).[4]刘秀英. 多项式恒等定理的应用[J]. 菏泽师专学报,5(1999).[5]赵运锋. 因式分解之浅谈[J]. 甘肃教育,1(2006).。
高等代数在中学数学中的一些应用
1 行列式的应用
111 应用于因式分解
因式分解是中学数学的一个重要内容 ,虽然在中学数学中有很多方法可以解决因式分解问题 ,但对
于某些因式分解问题如果构造与之对应的行列式 ,然后使用行列式的性质去解决 , 会起到事半功倍的效
果。 例 1 对 a3 + b3 + c3 - 3 abc 因式分解。
ui + 1
1
,A=
1 ,则有 U i = AUi - 1 ,且 U0 =
u1
= 1 ,于是 , U1 = AU0 , U2 = AU1 = A2 U0 , …,
ui
10
u0
1
Un = AnU0 ,
因为
1+ 5 2
A= P
1
1+ 5 1- 5
P - 1 ,其中 P = 2
2 , P- 1 =
5
- 1- 5 25 ,
Jul. 2006 Vol. 27 Suppl .
高等代数在中学数学中的一些应用
曹福桃
(南宁外国语学校 ,广西 南宁 530006)
[ 摘 要 ] 以几个例子说明了高等代数作为一种工具在中学数学中的一些应用 。 [ 关键词 ] 高等代数 ;中学数学 ;构造法 [ 中图分类号 ] G63316 [ 文献标识码 ] A [ 文章 编号 ] 1002 - 5227(2006) S - 0135 - 03
在标准内积下 ,有 :
( a1 b1 +
a 2 b2 +
…+
a n bn )
2
≤(
a
2 1
+
a
2 2
+
…+ a2n)
陈盛高等代数在中学数学解题中的应用之欧阳体创编
高等代数在中学解题中的应用数学与计算机科学学院数学与应用数学专业 101301028陈盛指导教师黄坤阳讲师【摘要】高等代数作为初等数学与高等数学的纽带，可见高等数学与中学数学有着密切的联系。
将高等代数与中学数学解题联系在一起有着其必然的意义。
本文阐明高等代数在中学数学解题中的应用意义，并归纳和总结了高等代数在中学数学解题中常用的知识点，主要从行列式在中学数学解题中的应用、矩阵在中学数学解题中的应用、线性方程组在中学数学解题中的应用三个方面进行解析。
【关键词】行列式；矩阵；线性方程组Application of Higher Algebra in middle school in problem solvingScienceSchool of mathematics and Computer Sciences, mathematics and applied mathematics 101301028 Chen Sheng Instructor Huang Kunyang lecturer【Abstract】: the higher algebra as the link of elementary mathematics and higher mathematics, visible and middle school mathematicsmathematics are closely linked. The higher and middle school mathematics solving algebraic problems together with its inevitablesignificance. This paper explains that theapplication significance of Higher Algebra in middle school mathematics, and summarizes the common higher algebra in middle school mathematicsknowledge, mainly carries on the analysis from the application,determinant in middle school mathematics matrix of three aspects of application, in middle school mathematics linear equations in middle school mathematics the.【Keywords】: determinant; matrix; linear equations引言:高等代数是高等学校的一门基础课程，它也是数学专业的一门敲门砖。
高等代数课程设计
高等代数课程设计1. 前言高等代数是数学基础学科中的重要分支之一，在自然科学、工程技术和经济管理等领域中有广泛的应用。
本篇文档将介绍高等代数课程设计的相关内容，以帮助同学们更好地完成高等代数课程设计。
2. 设计目标本次高等代数课程设计的主要目标是：•通过巩固和拓展同学们的高等代数知识，提高其解决实际问题的能力和水平；•让同学们能够掌握高等代数的基本概念、理论方法及算法；•培养同学们的科学研究能力和创新意识。
3. 设计内容3.1 课程大纲本次高等代数课程设计的教学大纲如下：章节内容1 向量空间及其基本性质2 线性方程组及其解法3 矩阵及其基本性质章节内容4 矩阵的特征值与特征向量5 相似矩阵及其应用6 内积空间及其基本性质7 正交矩阵及其应用8 广义逆矩阵及其应用9 线性变换及其基本概念10 线性变换的基本矩阵及其应用3.2 课程设计题目本次高等代数课程设计有以下几个题目，每个题目都要求同学们进行具体的计算或证明。
1.求解线性方程组Ax=b的解及其存在唯一性条件，并证明其解的表示式唯一。
2.求解矩阵A的特征值和特征向量，并证明其特征向量组成的集合是向量空间。
3.证明相似矩阵具有相同的特征值，并说明它们之间的关系。
4.求解内积空间V中的所有正交基及其规范化形式，并证明正交基的唯一性。
5.证明一组矩阵构成的集合在向量空间V内的运算仍然是线性的，并说明该集合所构成的子空间是什么。
4. 设计要求为了顺利完成本次高等代数课程设计，同学们需要注意以下几个要求：1.参考资料应严格按照学校要求使用，不得出现盗抄、剽窃等现象；2.计算结果应准确无误，证明过程要严谨详尽；3.代码实现应规范清晰，注释明确；4.同学们需要自己独立完成本次高等代数课程设计，不得抄袭作弊。
5. 总结高等代数课程设计是巩固和提高同学们高等代数知识的重要途径，通过独立思考和探索，同学们可以更好地掌握和应用高等代数理论及方法，提高自己的科学研究能力和创新意识。
高等数学在初等数学中的应用【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学高等数学在初等数学中的应用一、前言部分随着新课程改革的不断进行，高等数学的知识在高考所占的比重也越来越大，所以，作为高中教师，就必须认真研究新的课程标准、新的考试大纲，认真研究、分析高中数学中的新知识——高等数学的知识方法在中学数学中的应用问题。
高等数学是在初等数学的基础上发展起来的．与初等数学有着紧密的联系。
许多初等数学无法解答的问题高等数学都给出了解答。
因此，帮助学生学会用高等数学的思想、方法，从不同的角度去研究初等数学的问题。
这些问题可以是与中学教学内容密切相关，但又未能完全解决，而应用所学高等数学知识可以解决的理论、方法问题，也可以是初等数学中己经解决，而运用高等数学的知识，从另一更高的角度重新认识初等数学中重要的概念、理论实质及其背景，还可以借助于高等数学的方法来统一处理和解决初等数学中一些或一类问题(尽管这些问题可以用初等的方法来解决)等等。
总之，应用高等数学的方法使学生对初等数学的本质，以及与高等数学之间的内在联系，有了深刻的认识。
所以本论文选题的基本内容是高等数学方法在初等数学中的应用研究。
主要论述的高等数学的方法有微积分方法、行列式、Lagrange插值公式、Laplace展开定理、线性方程组的方法。
本论文研究了初等数学、高等数学的概念、范畴、关系，能使学生对此三个相关联的概念加以区别；同时以大量、翔实的中学数学的范例为依据，尤其是近几年的高考试题，充分说明了高等数学方法在解决初等数学的相关问题上，具有明显的作用，并且尽可能地使用现有中学数学教材讲到的知识、方法。
本论文运用高等数学的先进观点地分析和处理中学数学内容的问题，主要表现为以下三个方面：一是将高等数学的思想和办法渗透到初等数学中去；二是用具体材料来说明高等数学对初等数学的指导意义：三是指出初等数学某些难以处理的问题的高等数学背景。
二、主题部分1. 初等数学[1]初等数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识。
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本科生毕业论文高等代数知识在初等数学中的应用摘要 (I)Abstract (I)第一章绪论 (1)第二章高等代数与初等数学的联系 (1)2.1知识方面的区别与联系 (2)2.2思想方法方面的区别与联系 (2)2.3观念方面的区别与联系 (4)第三章多项式理论在初等数学中的应用 (5)3.1去重因式分解多项式 (5)3.2 利用因数定理分解多项式 (5)3.3利用对称多项式与轮换多项式的性质分解多项式 (6)3.4多项式的一些应用 (6)第四章行列式在初等数学中的应用 (8)4.1应用行列式判定二元二次多项式的可分解性 (8)4.2应用行列式分解因式 (9)4.3应用行列式解决数列问题 (9)第五章线性方程组在初等数学中的应用 (12)5.1 在平面解析几何上的应用 (12)5.2在空间解析几何中的应用 (13)5.3在求解二元方程组上的应用 (14)第六章柯西不等式在初等数学中的应用 (15)6.1柯西不等式在解析几何中的应用 (15)6.2柯西不等式在解其它题方面的应用 (15)第七章结论 (18)参考文献 (19)致谢 (20)高等代数是现代数学中一个重要的分支，是在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充．高等代数是初等数学的进化．高等代数不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等代数的基础知识才能适应数学发展和教材改革．高等代数知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出．在许多问题中，如果我们能用高等代数知识解决一些初等数学中的问题，将命题转化为一般性的问题进行解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新．文章一方面介绍了高等代数与初等数学的联系，从数学知识、数学思想方法、数学观念3个方面发掘一下高等数学类课程与中学数学的联系．另一方面介绍高等代数的一些知识在初等数学的应用．如多项式、行列式、线性方程组、柯西不等式在初等数学中的应用，高等代数应用于中学数学并不是简单的一题多解,而是一种知识的融会贯通和发展学生的发散和联想思维．用高等代数的观点去研究初等数学史新世纪对中学数学教师的高水平要求，教师是否具有较高的教学观点，是衡量教师数学素质的重要标准．教师具有高的观点，就能从高处看清中学教材的内在结构和本质联系，把握教材的重、难点；教师具有高观点，就能从认知的角度，在知识的各部分参透高等数学的观点，培养学生的创造性、判断性思维．关键词：高等代数多项式行列式柯西不等式初等代数应用AbstractHigher algebra is an important branch of modern mathematics, which is on the basis of the elementary algebra research object for further expansion. Advanced algebra is the evolution of elementary mathematics. Advanced algebra is not only the continuation of elementary mathematics, also is the foundation of modern mathematics, only good to master the basic knowledge of advanced algebra can adapt the mathematical development and teaching materials reform. Advanced algebra in the open field of vision of knowledge, especially the role of guiding middle school problem solving, etc. In many problems, if we can use the advanced algebra knowledge to solve some problems in the elementary mathematics, converting the proposition to general problems are solved, can often get twice the result with find everything new and fresh.Higher algebra and elementary mathematics were introduced on the one the other the application of elementary mathematics. Such as polynomial, determinant, system of linear equations, cauchy inequality in elementary mathematics, the application of advanced algebra to establish mathematics is not a simple problemsolution, but a mastery of knowledge and the development of students' divergent and associative thinking. In view of the new century of see the inner structure and the essence of the middle school teaching material from a from the perspective of cognition, in the knowledge of each part searches view of第一章绪论人类的文明进步和社会发展，无时无刻不受到数学的恩惠和影响，数学科学的应用和发展牢固地奠定了它作为整个科学技术乃至许多人文科学的基础的地位，当今时代，数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透，它和其他学科的交互作用空前活跃，越来越直接地为人类物质生产与日常生活作出贡献，也成为其掌握者打开众多机会大门的钥匙．在长期开设高等代数等数学类课程的实践中一直存在两方面的问题，一方面由于中学知识难以与高等代数直接衔接，使不少大学生一接触到“数学分析”、“高等代数”等课程，就对数学专业课程产生了畏惧情绪：另一方面，由于高等代数理论与中学教学需要严重脱节，许多高师毕业生对如何用高等代数知识指导初等代数教学感到茫然．通过本文的介绍，使读者都能清楚地看到：高等代数知识在初等数学的继续喝提高，在思想方法上是初等数学的延续和扩张，在观念上是初等数学的深化和发展．这样学生学习高等代数的难度就会大大降低．高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方面．高等代数与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用．马克思曾说过：“一门学科只有成功地应用了数学时，才真正达到了完善的地步”．高等代数作为一门抽象的大学学科，虽然表面上是独立的知识体系，但并没有与初等代数内容严重脱节，而是相互参透，彼此相通。
因此在数与教的过程中，要学会融会贯通，灵活运用．应用于初等代数是有意义的，它使高等代数知识和方法得到一定的应用．它将使学生从中学的解题思维定势中走出来，用一种更广阔的眼光看初等数学问题，这才是教与学的真正目的，这对逐步把学生培养成一名合格的数学教师是重要的．第二章高等代数知识与初等数学的联系高等数学类课程在知识上是中学数学的继续和提高，在思想方法上是中学数学的沿用和扩张，在观念上是中学数学的深化和发展．高等代数与中学数学在思想方法方面的联系主要体现在抽象化思想、分类思想、结构思想、类比推理思想、公理化方法等方面．注意与中学数学的联系对比不但可以降低高等代数课的学习难度，而且增强了高等代数课对培养中学数学教师的指导作用．高等代数作为数学的基础学科，与初等数学有很多联系，参考文献【1】从数学知识、数学思想、数学观念三个方面讨论高等代数与初等数学的区别与联系．2.1知识方面的区别与联系初等数学讲多项式的运算法则而高等代数在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论．初等数学讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系．高等代数接着讲一元次方程根的定义，复数域上一元次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一次方程根的特点，有理系数一元次方程有理根的性质及求法，一元次方程根的近似解法及公式解简介．初等数学学习的整数、有理数、实数、复数为高等代数的数环、数域提供例子．初等数学学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等代数的向量空间提供例子．初等数学中的坐标旋转公式成为高等代数中坐标变换公式的例子．初等几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型，三角形不等式为欧氏空间中2点间距离的性质提供模型，线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型．综上所述可知，高等代数在知识上的确是中学数学的继续和提高．它不但解释了许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等，而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等代数系统．这对用现代数学的观点、原理和方法指导初等数学教学是十分有用的．2.2思想方法方面的区别与联系2.3观念方面的区别与联系在初等数学中初步萌生的若干数学观念，包括数学研究的对象，数学研究的特点等，在高等代数中将得到深化和发展．关于数学研究的对象，由初等数学研究的数、代数式、方程、函数等内容，初等几何研究的点、线、面、常见图形等内容，不难看出：数学研究的对象是现实世界的数量关系和空间形式．然而这个观念在高等代数等后继课程中却不断受到冲击．首先，集合的包含关系，多项式的整除关系，向量的线性关系，矩阵的等价、相似、合同关系已不再是传统意义下的数量关系．其次，向量空间、欧氏空间也不再局限于有直观意义的空间形式．高等代数等近、现代数学课程都说明：数学是一门应用抽象量化方法研究关系、结构、模式的科学．这一新的观念对于指导中学教改是至关重要的．关于数学研究的特点，人们普遍认为是抽象性、严谨性和应用的广泛性，然而仅从中学数学是很难深刻体会到这些特点的．首先看抽象性．中学数学中，从用字母表示数，诸多数学概念的形成已使学生初步体会到抽象的含义和作用．但是对数学科学如何借助于抽象而不断发展却知之甚微，通过高等代数等后继课程的学习，这样的例子就渐渐多了起来．第三章多项式理论在初等数学中的应用3.1去重因式分解多项式引理3.1【2】若一个多项式有重因式，比如12012()()()()k k kn f x a p x p x p x =()1,2,)i p x F i n = 在数域上不可约，则可求与的最大公因式． 分析：我们利用以上的引理，令12012()()=()()()()k k kn f x F x a p x p x p x d x = ，其中是最大公因式，则分解可转化为分解,一方面与有相同的不可约因式，另一方面一般情况下次数低于的次数。