【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：选修4-4.2 参数方程
2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：选修4-5-2
［命题报告·教师用书独具］考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难比较法证明不等式2、78、9、10综合法与分析法证明不等式1、5、6放缩法证明不等式3、41112一、选择题1．若实数x，y适合不等式xy〉1，x＋y≥－2，则( ) A．x>0，y〉0 B．x〈0,y<0 C．x〉0,y〈0 D．x〈0，y>0解析:x,y异号时,显然与xy>1矛盾，所以可排除C、D。
假设x<0，y〈0，则x〈错误!.∴x＋y〈y＋错误!≤－2与x＋y≥－2矛盾，故假设不成立．又xy≠0，∴x〉0，y>0.答案：A2．已知x，y∈R，M＝x2＋y2＋1，N＝x＋y＋xy，则M与N的大小关系是（）A．M≥N B．M≤NC．M＝N D．不能确定解析:M－N＝x2＋y2＋1－(x＋y＋xy)＝错误!［（x2＋y2－2xy)＋（x2－2x＋1）＋（y2－2y＋1)］＝错误!［（x－y)2＋（x－1）2＋（y－1）2］≥0.故M≥N。
答案：A3．若x>1，则函数y＝x＋错误!＋错误!的最小值为( )A．16 B．8C．4 D．非上述情况解析:y＝x＋错误!＋错误!＝x＋错误!＋错误!≥2错误!＝8,当且仅当x＝2＋错误!时等号成立．答案：B4．设M＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，则（)A．M＝1 B．M<1C．M〉1 D．M与1大小关系不定解析：∵210＋1>210，210＋2>210，…，211－1〉210，∴M＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!〈1210＋1210＋…＋1210＝1。
答案：B5．（2013年黄冈模拟)若不等式错误!≤a≤错误!在t∈（0，2］上恒成立,则a的取值范围是（)A.错误!B.错误!C.错误!D。
错误!解析：由已知错误!对任意t∈(0,2］恒成立，于是只要当t∈（0,2］时，错误!记f（t)＝t＋错误!，g(t）＝错误!＋2错误!2，可知两者都在(0，2］上单调递减，f（t）min＝f（2）＝错误!，g（t)min＝g（2）＝1,所以a∈错误!,选B。
2014年人教A版选修4-2课件 选修4-2复习与小结
对应的矩阵为
cosa sina . sina cosa
3. 几种特殊变换 (3) 反射变换:
把平面上的任一点 பைடு நூலகம் 对应到它关于直线 l 的对称点 P, 关于 x 轴的反射变换公式为 xx, y y.
对应的矩阵为
1 0
0 . 1
3. 几种特殊变换 (4) 伸缩变换:
将每个点的横坐标变为原来的 k1 倍, 纵 坐标变为原来的 k2 倍, 其变换公式为 x k1 x, y k y. 2 对应的矩阵为 k1 0 . 0 k2
3. 几种特殊变换
(1) 恒等变换: 点 P(x, y) 经变换后所得的像 P(x, y) 与点 P 相同, 记为 I, 其变换公式为
x x, y y. 对应的矩阵为 1 0 . 0 1
3. 几种特殊变换 (2) 旋转变换:
将点 P(x, y) 绕原点 O 按逆时针方向旋转 a 角得点 P(x, y), 记为 Ra , 其坐标变换公 式是 x x cosa y sina , y x sina y cosa .
3. 几种特殊变换 (5) 投影变换:
将平面上每一点 P 对应到它在已知直线 l 上的投影 P, 关于 x 轴的投影变换公式为
x x, y 0.
对应的矩阵为 1 0 . 0 0
3. 几种特殊变换 (6) 切变变换: 将每一点 P(x, y) 沿着与 x 轴平行的方向 平移 ky 个单位, 或沿着与 y 轴平行的方向平 移 kx 个单位变成点 P(x, y), 坐标变换公式 分别为 xxky, xx, yy. yykx. 对应的矩阵为 1 0 1 k . . k 1 0 1
知识要点 例题选讲 补充练习 自我检测
人教A版高考数学(理)复习课件选修部分4-4
▪ 探究提高 要熟悉常见曲线的参数方程、极 坐标方程，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线 以及过一点的直线，在研究直线与它们的位 置关系时常用的技巧是转化为普通方程解 答．
【训练
1】
在平面直角坐标系
xOy
中，求过椭圆xy＝ ＝53csions
▪ 答案 D
x＝ t，
2．(2014·湖北卷)已知曲线
C1
的参数方程是y＝
3t 3
(t 为参
数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线 C2 的极坐标方程是 ρ＝2.则 C1 与 C2 交点的直角坐标为 ________．
x＝ t， 解析 由y＝ 33t， 消去 t 得 C1 的直角坐标方程为 y＝ 33x(x≥0)，曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2＝4. 由xx＝2＋y32＝y，4， 解得 x＝ 3，y＝1. 答案 ( 3，1)
x＝x0＋rcos θ， y＝y0＋rsin θ
(θ 为参数，0≤θ≤2π)．
6．圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆ax22＋by22＝1
的参数方程为xy＝ ＝abcsions
θ， θ
(θ 为参数)．
(2)双曲线ax22－by22＝1
的参数方程为x＝coas θ， y＝btan θ
(θ 为参数)．
(3)抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为xy＝ ＝22pptt2， (t 为参数).
α， α
(α 为参数)，消去参数得(x－2)2＋(y
－1)2＝1.
由于|AB|＝2，因此|AB|为圆的直径，故直线过圆的圆心(2,1)，所
以直线 l 的方程为 y－1＝x－2，即 x－y－1＝0，化为极坐标方程
为 ρcos θ－ρsin θ＝1，即 ρ(cos θ－sin θ)＝1.
【VIP专享】2014《高考调研》高考数学总复习(人教新课标)配套单元测试：选修系列4 Word版含解析
2.
B. 3x－y＋2－ 3＝0 D．x＋ 3y＋2－ 3＝0
如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝5，BC＝10，AC 与 BD 交于点 O，
过 O 点作 EF∥AD，交 AB 于 E，交 DC 于 F，则 EF＝
10
A. 3
C．10
答案 B 1
3．已知实数集 R，集合 M＝{x||x－2|≤2}，集合 N＝{x|y＝ x－1}，则
5．曲线Error!(t 为参数)与坐标轴的交点是
21 A．(0，5)、(2，0)
C．(0，－4)、(8,0)
答案 B
2
π2 4＋ B. 9
D. 3
11 B．(0，5)、(2，0)
5 D．(0，9)、(8,0)
解析 当 x＝0 时，t＝5，而 y＝1－2t，即 y＝5，得与 y 轴的交点为(0，5)；当
( )
( )
( )
π 4．在极坐标系中，点(2，3)到圆 ρ＝2cosθ 的圆心的距离为
A．2
π2 1＋ C. 9
答案 D
π 解析 由Error!可知，点(2，3)的直角坐标为(1， 3)，圆 ρ＝2cosθ 的方程为 x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心到点(1， 3)的距离为 3.
1
y＝0 时，t＝2，而 x＝－2＋5t，即 x＝2，得与 x 轴的交点为(2，0)．
6.
1
如图，E，C 分别是∠A 两边上的点，以 CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于
点 D、点 B，若∠A＝45°，则△AEC 与△ADB 的面积比为
A．2∶1
C. 2∶1
答案 A
解析 连接 BE，求△AEC 与△ABD 的面积比即求 AE2∶AB2 的值，设
2014届高考数学(理)二轮复习大题规范训练四
弋阳一中2014届高考二轮复习 大题规范练(四) 立体几何综合题(限时：60分钟)1．(2013·高考新课标全国卷)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1//平面A 1CD . (2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．2．(2014·成都市诊断检测)如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝AA 1＝2AB ＝2，∠BAC ＝90°，点D 是侧棱CC 1延长线上一点，EF 是平面ABD 与平面A 1B 1C 1的交线． (1)求证：EF ⊥A 1C ；(2)当平面DAB 与平面CA 1B 1所成锐二面角的余弦值为2626时，求DC 1的长．3．(2013·高考辽宁卷)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB ⊥BC，O为AC中点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；(3)在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．5．(2014·南昌市模拟)如图是多面体ABC－A1B1C1和它的三视图．(1)线段CC1上是否存在一点E，使BE⊥平面A1CC1，若不存在，请说明理由，若存在，请找出并证明；(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值．6．(2014·郑州市质量检测)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2a，D，E 分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥A′－BCDE.(1)在棱A′B上找一点F，使EF∥平面A′CD；(2)当四棱锥A′－BCDE的体积取最大值时，求平面A′CD与平面A′BE夹角的余弦值．大题规范练(四)1．解：(1)证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC1∥DF . 因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .(4分) (2)由AC ＝CB ＝22AB ，得AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .设CA ＝2，则D (1，1，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，2)，CD →＝(1，1，0)，CE →＝(0，2，1)，CA 1→＝(2，0，2)．(6分) 设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD →＝0，n ·CA 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.(8分)可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE →＝0，m ·CA 1→＝0，可取m ＝(2，1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63. 即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63.(12分) 2．解：(1)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，∴平面ABC ∥平面A 1B 1C 1. 又平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，平面A 1B 1C 1∩平面ABD ＝EF ， ∴EF ∥AB .(2分)∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，且∠BAC ＝90°， ∴AB ⊥AA 1，AB ⊥AC .而AA 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面ACC 1A 1. 又A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∴AB ⊥A 1C . ∴EF ⊥A 1C .(6分)(2)建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz . 设C 1D ＝t (t ＞0)．则B (1，0，0)，C (0，2，0)，D (0，2，2＋t )，A 1(0，0，2)，B 1(1，0，2)．∴A 1B 1→＝(1，0，0)，A 1C →＝(0，2，－2)． 设平面CA 1B 1的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B 1→＝0n ·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y 1－z 1＝0，令z 1＝1，则y 1＝1，∴n ＝(0，1，1)．同理，可求得平面DAB 的一个法向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，－2t ＋2.(9分) 由|cos 〈n ，m 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－2t ＋22× 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋22＝2626，得t ＝1或t ＝－23(舍去)． ∴DC 1＝1.(12分)3．解：(1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ，由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC .又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面PBC .所以平面PBC ⊥平面PAC .(4分)(2)解法一：过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图(1)，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．(6分) 在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3.又因为PA ＝1，所以A (0，1，0)，B (3，0，0)，P (0，1，1)． 故CB →＝(3，0，0)，CP →＝(0，1，1)．(8分) 设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0.所以⎩⎨⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0，1，－1)．因为AP →＝(0，0，1)，AB →＝(3，－1，0)， 设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，(10分)不妨令x 2＝1，则n 2＝(1，3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图(1)知二面角C －PB －A 为锐角，故二面角C －PB －A 的余弦值为64.(12分) 解法二：如图(2)，过C 作CM ⊥AB 于M ，因为PA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以PA ⊥CM .(6分)又因为PA ∩AB ＝A ，且PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CM ⊥平面PAB . 过M 作MN ⊥PB 于N ，连接NC ，由三垂线定理得CN ⊥PB ，所以∠CNM 为二面角C －PB －A 的平面角．(8分) 在Rt △ABC 中，由AB ＝2，AC ＝1，得BC ＝3，CM ＝32，BM ＝32.在Rt △PAB 中，由AB ＝2，PA ＝1，得PB ＝ 5.因为Rt △BNM ∽Rt △BAP ，所以MN1＝325，所以MN ＝3510.所以在Rt △CNM 中，CN ＝305，所以cos ∠CNM ＝64，所以二面角C －PB －A 的余弦值为64.(12分) 4．解：(1)∵AA 1＝A 1C ＝AC ＝2，且O 为AC 中点，∴A 1O ⊥AC . 又侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，交线为AC ，A 1O ⊂平面A 1AC ， ∴A 1O ⊥平面ABC .(4分)(2)连接OB ，如图，以O 为原点，分别以OB 、OC 、OA 1所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B (1，0，0)，C (0，1，0)，A 1(0，0, 3)，A (0，－1，0)．∴A 1C →＝(0，1，－3)，令平面A 1AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AA 1→＝n ·AB →＝0.而AA 1→＝(0，1，3)，AB →＝(1，1，0)，可求得一个法向量n ＝(3，－3，3)，∴|cos 〈A 1C →，n 〉|＝|n ·A 1C →||n |·|A 1C →|＝62×21＝217，故直线A 1C 与平面A 1AB 所成角的正弦值为217.(8分) (3)存在点E ，且E 为线段BC 1的中点． 取B 1C 的中点M ，从而OM 是△CAB 1的一条中位线，OM ∥AB 1，又AB 1⊂平面A 1AB ，OM ⊄平面A 1AB ，∴OM ∥平面A 1AB ，故BC 1的中点M 即为所求的E 点．(12分)5．解：(1)由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，A 1(0，0，2)，B (－2，0，0)，C (0，－2，0)，C 1(－1，－1，2)，则CC 1→＝(－1，1，2)，A 1C 1→＝(－1，－1，0)，A 1C →＝(0，－2，－2)．(1分)设E (x ，y ，z )，则CE →＝(x ，y ＋2，z )，EC 1→＝(－1－x ，－1－y ，2－z )．(3分)设CE →＝λEC 1→，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ－λx y ＋2＝－λ－λy ，z ＝2λ－λz则E ⎝⎛⎭⎪⎫－λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ.(4分)由⎩⎪⎨⎪⎧BE →·A 1C 1→＝0BE →·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋λ1＋λ＋2＋λ1＋λ＝0－2－λ1＋λ＋2λ1＋λ＝0，解得λ＝2，所以线段CC 1上存在一点E ，CE →＝2EC 1→，使BE ⊥平面A 1CC 1.(6分) (2)设平面C 1A 1C 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0m ·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0－2y －2z ＝0， 取x ＝1，则y ＝－1，z ＝1.故m ＝(1，－1，1)，(8分)而平面A 1CA 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13＝33，(11分)故平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值为33.(12分) 6．解：(1)点F 为棱A ′B 的中点．证明如下：取A ′C 的中点G ，连接DG ，EF ，GF ，则由中位线定理得DE ∥BC ，DE ＝12BC ，且GF ∥BC ，GF ＝12BC .(3分)所以DE ∥GF ，DE ＝GF ，从而四边形DEFG 是平行四边形，EF ∥DG . 又EF ⊄平面A ′CD ，DG ⊂平面A ′CD ，故点F 为棱A ′B 的中点时，EF ∥平面A ′CD .(5分) (2)在平面A ′CD 内作A ′H ⊥CD 于点H ，⎭⎪⎬⎪⎫DE ⊥A ′DDE ⊥CD A ′D ∩CD ＝D ⇒DE ⊥平面A ′CD ⇒DE ⊥A ′H ， 又DE ∩CD ＝D ，故A ′H ⊥底面BCDE ，即A ′H 就是四棱锥A ′－BCDE 的高． 由A ′H ≤AD 知，点H 和D 重合时，四棱锥A ′－BCDE 的体积取最大值．(7分) 分别以DC ，DE ，DA ′所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A ′(0，0，a )，B (a ，2a ，0)，E (0，a ，0)，A ′B →＝(a ，2a ，－a )，A ′E →＝(0，a ，－a )．(9分)设平面A ′BE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′B →＝0m ·A ′E →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋2ay －az ＝0ay －az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －z ＝0y ＝z ， 可取m ＝(－1，1，1)．同理可以求得平面A ′CD 的一个法向量n ＝(0，1，0)． 故cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－1×0＋1×1＋1×03×1＝33，故平面A ′CD 与平面A ′BE 夹角的余弦值为33.(12分)。
人教新课标版数学高二-练习2014人教数学选修4-4【综合检测】第二讲 参数方程
(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2y ＝3t 2－1(0≤t ≤5)表示的曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆弧 D ．射线答案：A2．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)，若Q (－2，23)是圆上一点，则参数θ的值是( )A.π3B.2π3 C.4π3 D.5π3 答案：B3．直线y ＝2x ＋1的参数方程是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2y ＝2t 2＋1(t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t －1y ＝4t ＋1(t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1y ＝2t －1(t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θy ＝2sin θ＋1(θ为参数) 答案：C4．参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋ty ＝3－4－t2(t 为参数)表示的曲线为( )A ．半圆B ．圆C ．双曲线D ．椭圆答案：A5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是( )A ．2x －y ＋4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．2x －y ＋4＝0 x ∈[2,3]D ．2x ＋y －4＝0 x ∈[2,3] 答案：D6．已知集合A ＝{(x ，y )|(x －1)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y x ·yx －2＝－1}，C ＝{(ρ，θ)|ρ＝2cosθ，θ≠k π4，k ∈Z }，D ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ，θ≠k π，k ∈Z }，下列等式成立的是( )A ．A ＝B B ．B ＝DC ．A ＝CD ．B ＝C答案：B7．设圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋r cos θy ＝－5＋r sin θ(θ为参数)上有且仅有两点到直线－4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则r 的取值范围是( )A ．4<r <6B ．5<r <7C ．3<r <5D ．6<r <7答案：A8．抛物线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4t 2＋1y ＝4t (t 为参数)，则它在y 轴正半轴上的截距是( )A ．1B ．2C ．4D ．不存在答案：B9．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋2cos θy ＝3＋2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1y ＝6t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( )A ．相交过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离答案：B10．参数方程⎩⎨⎧x ＝1ty ＝1tt 2－1(t 为参数)所表示的曲线是( )答案：D11．椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( )A ．3 B.11 C.10 D ．2 2答案：C12．已知抛物线C 的方程是y ＝x 2－2x sec θ＋2＋sin 2θ2cos 2θ，则其顶点的轨迹为( )A ．双曲线B ．抛物线C ．圆D ．椭圆答案：A二、填空题(本大题共4小题．把答案填在题中横线上)13．一个动点在直角坐标平面上做匀速直线运动，在第1秒内，动点由A (1,2)移动到B (2,1)，以时间t 为参数，该动点轨迹的参数方程是________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t y ＝2－t14．直线l 经过点M 0(1,5)，倾斜角是π3，且与直线x －y －23＝0交于点M ，则|M 0M |的长为________．答案：10＋6 315．设直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t 2y ＝3＋32t (t 为参数)，则它的斜截式方程为________．答案：y ＝3x ＋3－2 316．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．解析：由sin 2t ＋cos 2t ＝1得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，过原点O 及切点(1,1)的直线的斜率为1，故切线l 的斜率为－1，所以切线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的方程可得ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，即2ρsin(θ＋π4)－2＝0，化简得ρsin(θ＋π4)＝ 2.答案：ρsin(θ＋π4)＝ 2三、解答题(本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5cos φy ＝4sin φ(φ为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－3t y ＝4t (t 为参数)． 解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φy ＝4sin φ，∴⎩⎨⎧x5＝cos φy4＝sin φ.两边平方相加，得x 225＋y 216＝cos 2φ＋sin 2φ＝1，即x 225＋y 216＝1. ∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆．(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－3t y ＝4t ，∴由t ＝y4代入x ＝1－3t ，得x ＝1－3·y4，∴4x ＋3y －4＝0.∴它表示过(0，43)和(1,0)的一条直线．18．求以椭圆x 2＋4y 2＝16内一点A (1，－1)为中点的弦所在直线的方程．解：设以A (1，－1)为中点的弦所在的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θy ＝－1＋t sin θ(θ为参数)，把它代入x 2＋4y 2＝16得(1＋t cos θ)2＋4(－1＋t sin θ)2＝16.即(cos 2θ＋4sin 2θ)t 2＋2(cos θ－4sin θ)t －11＝0.∵弦以A (1，－1)为中点，∴交点所对应的参数t 1和t 2有：t 1＋t 2＝0， ∴－cos θ－4sin θcos 2θ＋4sin 2θ＝0，∴cos θ－4sin θ＝0， ∴tan θ＝14，∴所求的直线方程为y ＋1＝14(x －1)，即x －4y －5＝0.19．已知x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求S ＝3x －y 的最值．解：由(x －1)2＋(y ＋2)2＝4可知曲线表示以(1，－2)为圆心，半径等于2的圆． 令x ＝1＋2cos θ，y ＝－2＋2sin θ，则 S ＝3x －y ＝3(1＋2cos θ)－(－2＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ＝5＋210sin(θ＋φ)(其中tan φ＝6－2＝－3)．∵－1≤sin(θ＋φ)≤1，∴当sin(θ＋φ)＝1时，S 有最大值，为S max ＝5＋210， 当sin(θ＋φ)＝－1时， S 有最小值，为S min ＝5－210. ∴S 最大值为S max ＝5＋210； S 最小值为S min ＝5－210.20．已知A (m,0)，|m |≤2，椭圆x 24＋y 2＝1，P 在椭圆上移动，求|PA |的最小值．解：设P (2cos θ，sin θ)，则 |PA |2＝(2cos θ－m )2＋sin 2θ ＝4cos 2θ－4m cos θ＋m 2＋sin 2θ ＝3cos 2θ－4m cos θ＋1＋m 2 ＝3(cos θ－23m )2＋1－m 23.∴当－32≤m ≤32时，|PA |min ＝1－m 23；当32＜m ≤2时，|PA |min ＝2－m ； 当－2≤m ＜－32时，|PA |min ＝2＋m .21．如图，已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值．证明：设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数， B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，∴|OQ |＝|2cos φ1－sin φ|.∴|OP |·|OQ |＝|2cos φ1＋sin φ|×|2cos φ1－sin φ|＝4.即|OP |·|OQ |＝4为定值．22．已知抛物线C 1：y 2＝x ＋7与圆C 2：x 2＋y 2＝5.(1)求证：C 1与C 2无交点；(2)过点P (a,0)作与x 轴不垂直的直线l 交C 1于A 、D 两点，交C 2于B 、C 两点，且|AB |＝|CD |，求a 的取值范围．解：(1)证明：两方程联立，消去y ，得x 2＋x ＋2＝0， ∵Δ＝1－4×2＝－7<0， ∴两曲线无交点．(2)设直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)代入y 2＝x ＋7.得t 2sin 2α－t cos α－a －7＝0. 则Δ1＝cos 2α＋4(a ＋7)sin 2α>0， ① 且t 1＋t 2＝cos αsin 2α.将l 的方程代入x 2＋y 2＝5，得t 2＋2at cos α＋a 2－5＝0.Δ2＝4a 2cos 2α－4(a 2－5)>0，②且t ′1＋t ′2＝－2a cos α，由|AB |＝|CD |， ∴AD 与BC 的中点必重合， ∴t 1＋t 2＝t 1′＋t 2′. 即cos αsin 2α＝－2a cos α⇒sin 2α＝－12a(∵cos α≠0)． ③ 将③分别代入①②，得⎩⎨⎧1＋12a －42a(a ＋7)>0，a 2(1＋12a)－a 2＋5>0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧－272<a <0，－10<a .又由③－12a <1⇒a <－12，∴－10<a <－12.。
2014高考数学总复习(人教新课标理科)单元测试：选修系列4含解析
选修系列4综合测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求）1．已知直线l的参数方程为错误!(t为参数)，则其直角坐标方程为（）A。
错误!x＋y＋2－错误!＝0 B。
错误!x－y＋2－错误!＝0C．x－错误!y＋2－错误!＝0 D．x＋错误!y＋2－错误!＝0答案B解析∵错误!∴y－2＝错误!（x－1),即错误!x－y＋2－错误!＝0.2.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝10，AC与BD 交于点O，过O点作EF∥AD，交AB于E,交DC于F，则EF＝A。
错误!B。
错误!C．10 D．20答案B3．已知实数集R，集合M＝{x｜|x－2｜≤2｝,集合N＝{x|y ＝错误!}，则M∩（∁R N)＝( )A．｛x|0≤x<1} B．{x｜0≤x≤1}C．｛x｜1〈x≤4｝D．{x|1≤x≤4｝答案B解析由已知得M＝｛x｜0≤x≤4｝，N＝{x｜x〉1}，∴M∩(∁R N)＝｛x｜0≤x≤4}∩{x｜x≤1}＝{x|0≤x≤1｝．4．在极坐标系中，点（2，错误!）到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为（)A．2 B.错误!C。
1＋π29D。
错误!答案D解析由错误!可知，点（2,错误!)的直角坐标为(1，错误!），圆ρ＝2cosθ的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1,则圆心到点(1，错误!）的距离为错误!.5．曲线错误!(t为参数）与坐标轴的交点是( A．(0,错误!)、(错误!,0) B．(0，错误!)、（错误!，0）C．(0，－4）、（8,0）D．(0，错误!）、(8，0)答案B解析当x＝0时，t＝错误!，而y＝1－2t,即y＝错误!，得与y轴的交点为(0，错误!）；当y＝0时,t＝错误!，而x＝－2＋5t，即x＝错误!,得与x轴的交点为(错误!，0）．6。
如图，E，C分别是∠A两边上的点，以CE为直径的⊙O交∠A的两边于点D、点B,若∠A＝45°，则△AEC与△ADB的面积比为( )A．2∶1 B．1∶2C。
高考总复习 数学选修4-4-2
选考部分
数学
高考总复习人教A版 · (理)
x＝3＋4t 4．直线 y＝4－5t
(t为参数)的斜率为________．
选考部分
数学
高考总复习人教A版 · (理)
π x2 5．已知经过点M(－1,1)，倾斜角为 的直线l和椭圆 4 4 y2 ＋ 2 ＝1交于A，B两点，求线段AB的长度及点M(－1,1)到 A，B两点的距离之积．
选考部分
数学
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15 (2)∵中点M所对应的参数为tM＝ ，将此值代入直线的 16 标准参数方程(*)，则 3 15 41 x＝2＋5×16＝16 M点的坐标为 y＝4×15＝3 5 16 4 41 3 即M(16，4)． (3)|AB|＝|t2－t1|＝ t1＋t22－4t1t2 5 ＝ 73. 8
选考部分
数学
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2．常见曲线的参数方程的一般形式 (1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为
x＝x ＋tcosα 0 y＝y0＋tsinα
(t为参数) P0P 的数
设P是直线上的任一点，则t表示有向线段 量． (2)圆的参数方程
x＝rcosθ y＝rsinθ
选考部分
数学
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x2 y2 【例 3】 如图所示， 已知点 M 是椭圆a2＋b2＝1(a>b>0) 上在第一象限的点，A(a,0)和 B(0，b)是椭圆的两个顶点， O 为原点，求四边形 MAOB 的面积的最大值． 思路分析：本题可利用椭圆的参数方程，把面积的最
大值问题转化为三角函数的最值问题．
(θ为参数)
选考部分
【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练：选修4-4.1 坐标系
选修4-4 第1讲(时间：45分钟 分值：100分)一、选择题1. [2013·渝北模拟]极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A. 两个圆 B. 两条直线C. 一个圆和一条射线D. 一条直线和一条射线答案：C解析：原方程等价于ρ＝1或θ＝π，前者是半径为1的圆，后者是一条射线．故选C. 2. [2013·中山检测]若曲线的极坐标方程为ρ2＝40016cos 2θ＋25sin 2θ，则这条曲线化为直角坐标方程为( )A. x 225＋y 216＝1 B. x 220＋y 216＝1 C. x 216＋y 225＝1 D. x 216＋y 220＝1 答案：A解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为16x 2＋25y 2＝400，即x 225＋y 216＝1，故选A.3. 在极坐标系中，点(2，π3)到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A. 2B.4＋π29C.1＋π29D. 3答案：D解析：点(2，π3)和ρ＝2cos θ的圆心在平面直角坐标系中分别为(1，3)和(1,0)．故选D.4. [2013·海淀模拟]在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A. (1，π2)B. (1，－π2)C. (1,0)D. (1，π)答案：B解析：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为(1，－π2)．5. [2013·株洲模拟]在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为( )A. 22B. 2 3C. 42D. 4 3答案：D解析：直线ρsin(θ＋π4)＝2可化为x ＋y －22＝0，圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，由圆中的弦长公式得2r 2－d 2＝242－(222)2＝4 3.6. [2013·天津模拟]方程ρ＝－2cos θ和ρ＋4ρ＝42sin θ的曲线的位置关系为( )A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切答案：B解析：方程ρ＝－2cos θ和ρ＋4ρ＝42sin θ即ρ2＝－2ρcos θ和ρ2－42ρsin θ＋4＝0.曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为 x 2＋y 2＋2x ＝0和x 2＋y 2－42y ＋4＝0，分别配方，得(x ＋1)2＋y 2＝1，x 2＋(y －22)2＝4，分别表示圆心为C 1(－1,0)，半径为r 1＝1的圆和圆心为C 2(0，22)，半径为r 2＝2的圆．∵|C 1C 2|＝3＝r 1＋r 2，∴两圆外切． 二、填空题7. [2013·广东模拟]在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．答案：(2，3π4)解析：曲线ρ＝2sin θ化为直角坐标系方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由ρcos θ＝－1可化为x ＝－1.将x ＝－1代入x 2＋y 2－2y ＝0得y ＝1，因此交点的直角坐标为(－1,1)，化为极坐标为(2，3π4)． 8. [2013·怀化模拟]在极坐标系中，点P (1，π2)到曲线l ：ρcos(θ＋π4)＝322上的点的最短距离为________．答案：2 2解析：由题意，得曲线l ：ρcos(θ＋π4)＝22(ρcos θ－ρsin θ)＝322，所以曲线l 的普通方程为x －y －3＝0，点P 的直角坐标为P (0,1)，所以点到直线的距离d ＝|－1－3|2＝2 2.9. [2013·宜宾模拟]在极坐标系中，射线θ＝π3(ρ≥0)与曲线C 1：ρ＝4sin θ的异于极点的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝8sin θ的异于极点的交点为B ，则|AB |＝________.答案：2 3解析：射线θ＝π3(ρ≥0)化为直角坐标方程为y ＝3x (x ≥0)，曲线C 1：ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，曲线C 2：ρ＝8sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16，联立⎩⎨⎧ y ＝3x (x ≥0)，x 2＋(y －2)2＝4，解得⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝3，故点A (3，3)．联立⎩⎨⎧y ＝3x (x ≥0)，x 2＋(y －4)2＝16，解得⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6，故点B (23，6)．所以|AB |＝(23－3)2＋(6－3)2＝2 3. 三、解答题10. [2013·潮洲模拟]在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ， 即(x －1)2＋y 2＝1.直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1， 解得a ＝2或a ＝－8.11. [2013·德阳质检]在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M 、N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos(θ－π3)＝1，得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)M 点的直角坐标为(2,0)． N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为(1，33)， 则P 点的极坐标为(233，π6)，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．12. [2013·长春模拟]已知曲线C 1和C 2的极坐标方程分别为ρ＝62cos(θ－π4)和ρcos(θ＋π4)＝42，长度为1的线段AB 的两端点在曲线C 2上，点P 在曲线C 1上，求△P AB 面积的最大值和最小值．解：曲线C 1：ρ＝62cos(θ－π4)＝6cos θ＋6sin θ，即ρ2＝6ρcos θ＋6ρsin θ，所以其直角坐标方程为x 2＋y 2＝6x ＋6y ， 即(x －3)2＋(y －3)2＝18；曲线C 2：ρcos(θ＋π4)＝42表示直线y ＝x －8，因为圆C 1的圆心(3,3)到直线的距离d ＝42>32＝r ，即直线与圆相离，所以圆上的点P 到直线的距离的最大值为d ＋r ＝72，最小值为d －r ＝ 2.所以△P AB 面积的最大值为12×1×72＝722，最小值为12×1×2＝22.。
2014高三总复习人教A版数学(理)配套：选修41 第1讲
不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.了解平行线分线段成比例定理． 2. 会证明、应用直角三角形射影定理.
选修4-1 第1讲
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金版教程 ·高三数学
课前自主导学 核心要点研究 经典演练提能 限时规范特训
1个重要应用 射影定理的两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的 高，二者缺一不可；应用射影定理可求直角三角形的边长、面 积等有关量，同时还可用于研究相似问题，比例式等问题．
选修4-1 第1讲
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课前自主导学 核心要点研究 经典演练提能 限时规范特训
奇思妙想：若本例中，“AB＝4AF，EH＝8，求DF的长” 改为“HD＝2DF，BF＝3，求AB的长”，如何求解？
解：∵HD＝2DF，又∵HD＝DE， ∴HHFE＝14，∴AAFB＝14. ∴BAFB＝34，∵BF＝3，∴AB＝4.
选修4-1 第1讲
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金版教程 ·高三数学
课前自主导学 核心要点研究 经典演练提能 限时规范特训
[变式探究] 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P为 AD上一点，CF∥AB，BP延长线交AC，CF于点E，F，求证： PB2＝ PE·PF.
选修4-1 第1讲
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选修4-1 第1讲
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课前自主导学 核心要点研究 经典演练提能 限时规范特训
例3 [2013·东城区模拟] 如图，在Rt △ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证： ABCC33＝ABEF.
[审题视点] 由三角形ABC为直角三角形，因此可以利用 射影定理，寻找边AC与AD、AB之间的关系，同理可以得到边 BC 与 BD 、 AB 之 间 的 关 系 ， 再 根 据 △ADE∽△DBF ， △ADE∽△ABC，得到有关比例式，最终得到所求证的结果．
2014高考复习理科数学(人教A版)选修4-4.2参数方程
标方程是 x2+y2=1,可知曲线 C2是以原点为圆心,1 为半径的圆.题意就是求
= =
������0 ������0
+ +
RRcsoins������������,,0≤θ<2π.
4.椭圆的参数方程
(1)中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆������������22 + ������������22=1(a>b>0)的一个参数方程
是
������ = ������cos������, ������ = ������sin������ (φ
5.写出椭圆(������-1 )2 + (������+2)2=1 的参数方程.
3
5
【解】设������-31=cosθ ,������+52=s inθ ,则
������ = 1 + 3cos������,(θ 为参数),即为所求的参数方程. ������ = -2 + 5sin������
T 题型一参
于是 sinθ=
1-cos2
θ
=
2 5
5.
������ = 1,
因此
������
=
2 5
5
.
故交点坐标为
1,
2 5
5
.
2.将参数方程
������
= ������
2 + sin2 = sin2θ
θ,(θ
为参数)化为普通方程为
.
【答案】 y=x-2(0≤y≤1)
3.参数方程
������
=
������
+
的面积为(2������'
2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：选修4-4-2
1.[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难参数方程与普通方程互化2、3、79、10直线与圆的参数方程1、4、51112圆锥曲线的参数方程3、6、7、89一、选择题1．(2013年湖南十二校联考)若直线的参数方程为错误!(t为参数），则直线的倾斜角为( ）A．30°B．60°C．120° D．150°解析:由直线的参数方程知,斜率k＝错误!＝错误!＝－错误!＝tan θ，θ为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150°.答案：D2．参数方程为错误!（0≤t≤5)的曲线为( )A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线解析:化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，即x－3y－5＝0，由于x＝3t2＋2∈［2，77］，故曲线为线段．故选A.答案：A3．曲线错误!(θ为参数)中两焦点间的距离是( ）A. 6 B。
错误!C．2错误!D．2错误!解析：曲线化为普通方程为错误!＋错误!＝1，∴c＝错误!,故焦距为2错误!.答案：C4．若直线2x－y－3＋c＝0与曲线错误!(θ为参数）相切，则实数c等于（)A．2或－8 B．6或－4C．－2或8 D．4或－6解析：将曲线错误!（θ为参数)化为普通方程为x2＋y2＝5，由直线2x－y－3＋c＝0与圆x2＋y2＝5相切，可知错误!＝错误!,解得c＝－2或8。
答案：C5．(2013年淮南模拟)已知曲线C ：错误!（θ为参数)和直线l ：错误!（t 为参数，b 为实数），若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1,则b ＝( ）A 。
错误!B ．－错误!C ．0D ．±错误!解析：将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到错误!＝1，解得b ＝±错误!.答案：D二、填空题6．（2013年西安八校联考）已知曲线C ：错误!(参数θ∈R )经过点错误!，则m ＝________.解析：将曲线C ：错误!（参数θ∈R )化为普通方程为x 2＋错误!＝1,将点⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12代入该椭圆方程，得m 2＋错误!＝1，即m 2＝错误!，所以m＝±错误!。
2014届高考数学人教A版(理)一轮复习限时规范训练选修4-2矩阵与变换
选修4-2 矩阵与变换(时间：30分钟 满分：60分)1.(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A (0，0)，B (－2，0)，C (－2，1)，设k ≠0，k ∈R ，M ＝，N ＝，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求实数k 的值．可知A 1(0，0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知|k |＝2×1＝2. ∴k 的值为－2或2.2．(2011·江苏)已知矩阵A ＝，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12)．求向量α，使得A 2α＝β.∴⎩⎨⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2. ∴α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12)，即α＝(－1，2)．(1)求实数a 、b 、c 、d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程．解 (1)由题设得：⎩⎨⎧c ＋0＝2，2＋ad ＝0，bc ＋0＝－2，2b ＋d ＝0.解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－1，c ＝2，d ＝2.(2)∵矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)，∴可取直线y ＝3x 上的两点(0，0)，(1，3)，得点(0，0)，(1，3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(0，0)，(－2，2)．从而，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y ＝－x .4．(2013·南通调研)已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求矩阵A .解 由特征值、特征向量定义可知，Aa 1＝λ1a 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得⎩⎨⎧a －b ＝－1，c －d ＝1. 同理可得⎩⎨⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8.解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1. 因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1. 5．(2011·福建卷)设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a >0，b >0)． (1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2， 则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. ∴2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎨⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上， ∴x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.6．(2012·福建)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝(a >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)求A 2的逆矩阵． 解 ①设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)．又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.因为a >0，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.所以|A 2|＝1，(A 2)－。
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选修4-4 第2讲
(时间：45分钟 分值：100分)
一、选择题
1. [2013·黔江模拟]直线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t
y ＝1－t (t 为参数)的倾斜角的大小为( )
A. －π
4
B. π4
C. π
2 D. 3π4
答案：D
解析：由题意知该直线方程为x ＋y ＝2，所以k ＝－1，α＝3π
4
.
2．[2013·钦州模拟]参数方程⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝cos 2θy ＝sin θ(θ为参数)所表示的曲线为( )
A. 抛物线一部分
B. 一条抛物线
C. 双曲线的一部分
D. 一条双曲线
答案：A
解析：y 2＋x ＝1，∵x ∈[0,1]，y ∈[－1,1]，∴是抛物线的一部分．
3. 已知在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 22＋y 2
3＝1上的一个动点，则S ＝x
＋y 的取值范围为( )
A. [5，5]
B. [－5，5]
C. [－5，－5]
D. [－5，5]
答案：D
解析：因椭圆x 22＋y 2
3＝1的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2cos φy ＝3sin φ
(φ为参数)，故可设动点P 的坐标为
(2cos φ，3sin φ)，其中0≤φ<2π，因此S ＝x ＋y ＝2cos φ＋3sin φ＝5(25cos φ＋3
5
sin φ)＝5sin(φ＋γ)，其中tan γ＝
6
3
，所以S 的取值范围是[－5，5]，故选D. 4. [2013·合肥模拟]已知圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1＋cos α
y ＝1＋sin α(α为参数)，当圆心C 到直线
kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( )
A. 1
3
B. 15
C. －1
3
D. －15
答案：D
解析：⊙O 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，∴圆心C (－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0过定点A (0，－4)，故当CA 与直线kx ＋y ＋4＝0垂直时，圆心C 到直线距离最大，∵k CA ＝－5，∴－k ＝15，∴k ＝－15
.
5. [2013·皖南八校联考]已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧
x ＝1＋12
t
y ＝3
2t
(t 为参数)，以原点O 为极
点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ，则直线l 被圆
所截得的弦长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：D
解析：由题意知，直线l 的普通方程为3x －y －3＝0，由极坐标系与直角坐标系的关系知，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，设AB 的中点为M ，在Rt △AMC 中，AC ＝5，CM ＝|3－2－3|
3＋1＝1，∴AM ＝5－1＝2，∴AB ＝2AM
＝4.故截得的弦长为4.
6. [2013·台州质检]如果曲线C ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a ＋2cos θ
y ＝a ＋2sin θ(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距
离为2，那么实数a 的取值范围是( )
A. (－22，0)
B. (0,22)
C. (－22，0)∪(0,22)
D. (1,22)
答案：C
解析：将曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝a ＋2cos θ，y ＝a ＋2sin θ
(θ为参数)转化为普通方程，即(x －a )2＋(y
－a )2＝4，由题意可知，问题可转化为以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C 总相交，根据两圆相交的充要条件得0<2a 2<4，∴0<a 2<8，解得0<a <22或－22<a <0.
二、填空题
7. [2013·伊春模拟]在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋s y ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝t ＋2y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB |＝________. 答案： 2
解析：直线l 的普通方程为x ＋y ＝2，由线l 的普通方程为y ＝(x －2)2(y ≥0)，联立两方
程得x 2－3x ＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以|AB |＝ 2.
8. [2013·邵阳模拟]若圆C 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos θ＋1
y ＝3sin θ
(θ为参数)，则圆C 的圆心坐标为________，圆C 与直线x ＋y －3＝0的交点个数为________．
答案：(1,0) 2
解析：由圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3cos θ＋1
y ＝3sin θ
消去参数，得(x －1)2＋y 2＝9，所以圆心为(1,0)，
半径为3，圆心(1,0)到直线x ＋y －3＝0的距离为d ＝|－2|
2
＝2<3，所以直线与圆有2个交点．
9. [2013·唐山模拟]已知点P (x ，y )在曲线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋cos θy ＝sin θ
(θ为参数，θ∈[π，2π])上，则
y
x 的取值范围是________．
答案：[0，
3
3
] 解析：由条件可知点P 在圆(x ＋2)2＋y 2＝1的下半圆周上，如图
设k ＝y x ＝y －0x －0，
则k ＝k PO ，
即直线PO 与半圆有公共点时，斜率的取值范围． 又直线与圆相切时k ＝33.∴y x ∈[0，33
]． 三、解答题
10. [2013·扬州模拟]已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π
4)＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程；
(2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解：(1)原方程变形为 ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0. x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.
(2)圆的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝2＋2cos α，
y ＝2＋2sin α
(α为参数)，
所以x ＋y ＝4＋2sin(α＋π
4
)．
所以x ＋y 的最大值为6，最小值为2.
11. [2013·嘉兴模拟]已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝3＋3cos θ
y ＝1＋3sin θ
(θ为参数)，以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π
6
)＝0.
(1)写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程； (2)求圆C 截直线l 所得的弦长．
解：(1)消去参数θ，得圆C 的普通方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9. 由ρcos(θ＋π6)＝0，得32ρcos θ－1
2ρsin θ＝0.
∴直线l 的直角坐标方程为3x －y ＝0.
(2)圆心(3，1)到直线l 的距离为d ＝|3×3－1|
(3)2＋12
＝1. 设圆C 截直线l 所得弦长为m ， 则m
2＝r 2－d 2＝9－1＝2 2. ∴m ＝4 2.
12. [2013·福建调研]在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方
程为⎩⎨⎧
x ＝3cos αy ＝sin α
(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π
2
)，判断点P 与直线l 的位置关系；
(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．
解：(1)把极坐标系下的点P (4，π
2)，化为直角坐标，得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)
满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．
(2)因为点Q 在曲线C 上，则Q 的坐标为(3cos α，sin α)． 从而点Q 到直线l 的距离为
d ＝|3cos α－sin α＋4|
2＝2cos (α＋π
6)＋4
2
＝2cos(α＋π
6
)＋2 2.
由此得，当cos(α＋π
6
)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。