微积分全英课件1-4-1
4-1[1]高等数学 微积分 视频教程ppt课件
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原函数一定存在；
23
6、 x xdx ______________________；
7、
dx x2 x
_______________________；
8、 ( x 2 3x 2)dx _________________；
9、 ( x 1)( x 3 1)dx _____________；
10、
(1
x)2 x
dx
=____________________
.
二、求下列不定积分：
1、
x2 dx
1 x2
2、
23x 52x dx
3x
24
3、 cos2
x 2
dx
4、
cos 2x cos2 x sin2 x dx
5、
(1
1 x2
)
x
xdx
6、
x 2 sin2 x2 1
x
sec2
xdx
证 F ( x) G( x) F( x) G( x)
f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
4
不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
解 设曲线方程为 y f ( x), 根据题意知 dy 2x, dx 即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
7
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
微积分英文版课件
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定理 . 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0
故
(x) F(x) C0 (C0 为某个常数)
即 (x) F(x) C0 属于函数族 F(x) C .
( k 为常数)
(2)
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
x 0时 ( ln x ) [ ln(x) ] 1
x
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(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
或 arccot x C
(5)
dx arcsin x C 1 x2
或 arccos x C
想到公式
1
d
u u
2
arctan u C
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例. 求 解:
dx a 1 (ax)2
d
(
x a
)
1
(
x a
)2
想到
d u arcsinu C 1u2
f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(直接配元)
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例4. 求 解:
例1. 求
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
注: 当
时
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2024版大学微积分课件(ppt版)
大学微积分课件(ppt 版)目录•微积分概述•极限与连续•导数与微分•积分学•微分方程•微积分在实际问题中的应用PART01微积分概述微积分的定义与发展微积分的定义微积分是研究函数的微分与积分的数学分支，微分研究函数在某一点的变化率，而积分则是研究函数在一定区间上的累积效应。
微积分的发展微积分起源于17世纪的物理学和几何学问题，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，逐渐发展成为一门独立的数学学科。
微积分的研究对象与意义研究对象微积分的研究对象是函数，包括一元函数和多元函数，主要研究函数的性质、图像、变化率以及函数间的相互关系等。
研究意义微积分在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如求解物理问题、优化工程设计、分析经济数据等。
微积分的基本思想与方法基本思想微积分的基本思想是通过局部近似来研究函数的整体性质，即“以直代曲”、“以不变应万变”。
基本方法微积分的基本方法包括微分法和积分法。
微分法是通过求导数来研究函数的局部性质，如单调性、极值等；积分法则是通过求原函数来研究函数的整体性质，如面积、体积等。
PART02极限与连续极限的概念与性质01极限的定义：描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。
02极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。
03无穷小量与无穷大量：定义、性质及比较。
极限的运算法则与存在准则极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法。
极限存在准则夹逼准则、单调有界准则。
连续函数的概念与性质连续函数的定义函数在某一点连续的定义及性质。
间断点及其分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）、第二类间断点。
连续函数的性质局部性质（局部有界性、局部保号性）、整体性质（有界性、最值定理、介值定理）。
连续函数的四则运算加法、减法、乘法、除法。
初等函数基本初等函数及其性质，初等函数的连续性。
复合函数的连续性复合函数连续性的判断及证明。
连续函数的运算与初等函数PART03导数与微分导数的概念与几何意义导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系描述函数图像在某一点处的局部变化率。
高等数学-微积分第1章(英文讲稿)
C alc u lus (Fifth Edition)高等数学- Calculus微积分（双语讲稿）Chapter 1 Functions and Models1.1 Four ways to represent a function1.1.1 ☆Definition(1-1) function: A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f(x), in a set B. see Fig.2 and Fig.3Conceptions: domain; range (See fig. 6 p13); independent variable; dependent variable. Four possible ways to represent a function: 1)Verbally语言描述(by a description in words); 2) Numerically数据表述(by a table of values); 3) Visually 视觉图形描述(by a graph);4)Algebraically 代数描述(by an explicit formula).1.1.2 A question about a Curve represent a function and can’t represent a functionThe way ( The vertical line test ) : A curve in the xy-plane is the graph of a function of x if and only if no vertical line intersects the curve more than once. See Fig.17 p 171.1.3 ☆Piecewise defined functions (分段定义的函数)Example7 (P18)1－x if x ≤1f(x)＝﹛x2if x＞1Evaluate f(0)，f(1)，f(2) and sketch the graph.Solution：1.1.4 About absolute value (分段定义的函数)⑴∣x∣≥0；⑵∣x∣≤0Example8 (P19)Sketch the graph of the absolute value function f(x)＝∣x∣.Solution：1.1.5☆☆Symmetry ，(对称) Even functions and Odd functions (偶函数和奇函数)⑴Symmetry See Fig.23 and Fig.24⑵①Even functions: If a function f satisfies f(－x)＝f(x) for every number x in its domain，then f is call an even function. Example f(x)＝x2 is even function because: f(－x)＝ (－x)2＝x2＝f(x)②Odd functions: If a function f satisfies f(－x)＝－f(x) for every number x in its domain，thenf is call an odd function. Example f(x)＝x3 is even function because: f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)③Neither even nor odd functions:1.1.6☆☆Increasing and decreasing function (增函数和减函数)⑴Definition(1-2) increasing and decreasing function:① A function f is called increasing on an interval I if f(x1)＜f(x2) whenever x1＜x2 in I. ①A function f is called decreasing on an interval I if f(x1)＞f(x2) whenever x1＜x2 in I.See Fig.26. and Fig.27. p211.2 Mathematical models: a catalog of essential functions p251.2.1 A mathematical model p25A mathematical model is a mathematical description of a real-world phenomenon such as the size of a population, the demand for a product, the speed of a falling object, the concentration of a product in a chemical reaction, the life expectancy of a person at birth, or the cost of emission reduction.1.2.2 Linear models and Linear function P261.2.3 Polynomial P27A function f is called a polynomial ifP(x) ＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a2x2＋a1x＋a0Where n is a nonnegative integer and the numbers a0，a1，a2，…，a n－1，a n are constants called the coefficients of the polynomial. The domain of any polynomial is R＝(－∞,＋∞).if the leading coefficient a n≠0, then the degree of the polynomial is n. For example, the function P(x) ＝5x6＋2x5－x4＋3x－9⑴Quadratic function example: P(x) ＝5x2＋2x－3 二次函数（方程）⑵Cubic function example: P(x) ＝6x3＋3x2－1 三次函数（方程）1.2.4Power functions幂函数P30A function of the form f(x) ＝x a，Where a is a constant, is called a power function. We consider several cases：⑴a＝n where n is a positive integer ，(n＝1，2，3，…，)⑵a＝1/n where n is a positive integer，(n＝1，2，3，…，) The function f(x) ＝x1/n⑶a＝n－1 the graph of the reciprocal function f(x) ＝x－1 反比函数1.2.5Rational function有理函数P 32A rational function f is a ratio of two polynomials:f(x)＝P(x) /Q(x)1.2.6Algebraic function代数函数P32A function f is called algebraic function if it can be constructed using algebraic operations ( such as addition，subtraction，multiplication，division，and taking roots) starting with polynomials. Any rational function is automatically an algebraic function. Examples: P 321.2.7Trigonometric functions 三角函数P33⑴f(x)＝sin x⑵f(x)＝cos x⑶f(x)＝tan x＝sin x / cos x1.2.8Exponential function 指数函数P34The exponential functions are the functions the form f(x) ＝a x Where the base a is a positive constant.1.2.9Transcendental functions 超越函数P35These are functions that are not a algebraic. The set of transcendental functions includes the trigonometric，inverse trigonometric，exponential，and logarithmic functions，but it also includes a vast number of other functions that have never been named. In Chapter 11 we will study transcendental functions that are defined as sums of infinite series.1.2 Exercises P 35-381.3 New functions from old functions1.3.1 Transformations of functions P38⑴Vertical and Horizontal shifts (See Fig.1 p39)①y＝f(x)＋c，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units upward.②y＝f(x)－c，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units downward.③y＝f(x＋c)，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units to the left.④y＝f(x－c)，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units to the right.⑵ V ertical and Horizontal Stretching and Reflecting (See Fig.2 p39)①y＝c f(x)，（c＞1）stretch the graph of y＝f(x) vertically by a factor of c②y＝(1/c) f(x)，（c＞1）compress the graph of y＝f(x) vertically by a factor of c③y＝f(x/c)，（c＞1）stretch the graph of y＝f(x) horizontally by a factor of c.④y＝f(c x)，（c＞1）compress the graph of y＝f(x) horizontally by a factor of c.⑤y＝－f(x)，reflect the graph of y＝f(x) about the x-axis⑥y＝f(－x)，reflect the graph of y＝f(x) about the y-axisExamples1: (See Fig.3 p39)y＝f( x) ＝cos x，y＝f( x) ＝2cos x，y＝f( x) ＝（1/2）cos x，y＝f( x) ＝cos（x/2），y＝f( x) ＝cos2xExamples2: (See Fig.4 p40)Given the graph y＝f( x) ＝( x)1/2，use transformations to graph y＝f( x) ＝( x)1/2－2，y＝f( x) ＝(x－2)1/2，y＝f( x) ＝－( x)1/2，y＝f( x) ＝2 ( x)1/2，y＝f( x) ＝(－x)1/21.3.2 Combinations of functions (代数组合函数)P42Algebra of functions: Two functions (or more) f and g through the way such as add, subtract, multiply and divide to combined a new function called Combination of function.☆Definition(1-2) Combination function: Let f and g be functions with domains A and B. The functions f±g，f g and f /g are defined as follows: （特别注意符号(f±g)( x) 定义的含义）①(f±g)( x)＝f(x)±g( x)，domain ＝A∩B②(f g)( x)＝f(x) g( x)，domain ＝A∩ B③(f /g)( x)＝f(x) /g( x)，domain ＝A∩ B and g( x)≠0Example 6 If f( x) ＝( x)1/2，and g( x)＝(4－x2)1/2，find functions y＝f(x)＋g( x)，y＝f(x)－g( x)，y＝f(x)g( x)，and y＝f(x) /g( x)Solution: The domain of f( x) ＝( x)1/2 is [0，＋∞)，The domain of g( x) ＝(4－x2)1/2 is interval [－2，2]，The intersection of the domains of f(x) and g( x) is[0，＋∞)∩[－2，2]＝[0，2]Thus，according to the definitions, we have(f＋g)( x)＝( x)1/2＋(4－x2)1/2，domain [0，2](f－g)( x)＝( x)1/2－(4－x2)1/2，domain [0，2](f g)( x)＝f(x) g( x) ＝( x)1/2(4－x2)1/2＝(4 x－x3)1/2domain [0，2](f /g)( x)＝f(x)/g( x)＝( x)1/2/(4－x2)1/2＝[ x/(4－x2)]1/2 domain [0，2)1.3.3☆☆Composition of functions (复合函数)P45☆Definition(1-3) Composition function: Given two functions f and g the composite function f⊙g (also called the composition of f and g ) is defined by(f⊙g)( x)＝f( g( x)) （特别注意符号(f⊙g)( x) 定义的含义）The domain of f⊙g is the set of all x in the domain of g such that g(x) is in the domain of f . In other words, (f⊙g)(x) is defined whenever both g(x) and f (g (x)) are defined. See Fig.13 p 44 Example7 If f (g)＝( g)1/2 and g(x)＝(4－x3)1/2find composite functions f⊙g and g⊙f Solution We have(f⊙g)(x)＝f (g (x) ) ＝( g)1/2＝((4－x3)1/2)1/2(g⊙f)(x)＝g (f (x) )＝(4－x3)1/2＝[4－((x)1/2)3]1/2＝[4－(x)3/2]1/2Example8 If f (x)＝( x)1/2 and g(x)＝(2－x)1/2find composite function s①f⊙g ②g⊙f ③f⊙f④g⊙gSolution We have①f⊙g＝(f⊙g)(x)＝f (g (x) )＝f((2－x)1/2)＝((2－x)1/2)1/2＝(2－x)1/4The domain of (f⊙g)(x) is 2－x≥0 that is x ≤2 {x ︳x ≤2 }＝(－∞，2]②g⊙f＝(g⊙f)(x)＝g (f (x) )＝g (( x)1/2 )＝(2－( x)1/2)1/2The domain of (g⊙f)(x) is x≥0 and 2－( x)1/2x ≥0 ，that is ( x)1/2≤2 ，or x ≤ 4 ，so the domain of g⊙f is the closed interval[0，4]③f⊙f＝(f⊙f)(x)＝f (f(x) )＝f((x)1/2)＝((x)1/2)1/2＝(x)1/4The domain of (f⊙f)(x) is [0，∞)④g⊙g＝(g⊙g)(x)＝g (g(x) )＝g ((2－x)1/2 )＝(2－(2－x)1/2)1/2The domain of (g⊙g)(x) is x－2≥0 and 2－(2－x)1/2≥0 ，that is x ≤2 and x ≥－2，so the domain of g⊙g is the closed interval[－2，2]Notice: g⊙f⊙h＝f (g(h(x)))Example9Example10 Given F (x)＝cos2( x＋9)，find functions f，g，and h such that F (x)＝f⊙g⊙h Solution Since F (x)＝[cos ( x＋9)] 2，that is h (x)＝x＋9 g(x)＝cos x f (x)＝x2Exercise P 45-481.4 Graphing calculators and computers P481.5 Exponential functions⑴An exponential function is a function of the formf (x)＝a x See Fig.3 P56 and Fig.4Exponential functions increasing and decreasing (单调性讨论)⑵Lows of exponents If a and b are positive numbers and x and y are any real numbers. Then1) a x+y＝a x a y2) a x－y＝a x / a y3) (a x)y＝a xy4) (ab)x+y＝a x b x⑶about the number e f (x)＝e x See Fig. 14，15 P61Some of the formulas of calculus will be greatly simplified if we choose the base a .Exercises P 62-631.6 Inverse functions and logarithms1.6.1 Definition(1-4) one-to-one function: A function f is called a one-to-one function if it never takes on the same value twice；that is，f (x1)≠f (x2)，whenever x1≠x2( 注解：不同的自变量一定有不同的函数值，不同的自变量有相同的函数值则不是一一对应函数) Example: f (x)＝x3is one-to-one function.f (x)＝x2 is not one-to-one function, See Fig.2,3,4☆☆Definition(1-5) Inverse function:Let f be a one-to-one function with domain A and range B. Then its inverse function f－1(y)has domain B and range A and is defined byf－1(y)＝x f (x)＝y for any y in Bdomain of f－1＝range of frange of f－1＝domain of f( 注解：it says : if f maps x into y, then f－1maps y back into x . Caution: If f were not one-to-one function，then f－1 would not be uniquely defined. )Caution: Do not mistake the－1 in f－1for an exponent. Thus f－1(x)＝1/ f(x) ！！！Because the letter x is traditionally used as the independent variable, so when we concentrate on f－1(y) rather than on f－1(y), we usually reverse the roles of x and y in Definition (1-5) and write as f－1(x)＝y f (x)＝yWe get the following cancellation equations:f－1( f(x))＝x for every x in Af (f－1(x))＝x for every x in B See Fig.7 P66Example 4 Find the inverse function of f(x)＝x3＋6Solution We first writef(x)＝y＝x3＋6Then we solve this equation for x:x3＝y－6x＝(y－6)1/3Finally, we interchange x and y：y＝(x－6)1/3That is, the inverse function is f－1(x)＝(x－6)1/3( 注解：The graph of f－1 is obtained by reflecting the graph of f about the line y＝x. ) See Fig.9、8 1.6.2 Logarithmic functionIf a＞0 and a≠1，the exponential function f (x)＝a x is either increasing or decreasing and so it is one-to-one function by the Horizontal Line Test. It therefore has an inverse function f－1，which is called the logarithmic function with base a and is denoted log a，If we use the formulation of an inverse function given by (See Fig.3 P56)f－1(x)＝y f (x)＝yThen we havelogx＝y a y＝xThe logarithmic function log a x＝y has domain (0,∞) and range R.Usefully equations:①log a(a x)＝x for every x∈R②a log ax＝x for every x＞01.6.3 ☆Lows of logarithms :If x and y are positive numbers, then①log a(xy)＝log a x＋log a y②log a(x/y)＝log a x－log a y③log a(x)r＝r log a x where r is any real number1.6.4 Natural logarithmsNatural logarithm isl og e x＝ln x ＝ythat is①ln x ＝y e y＝x② ln(e x)＝x x∈R③e ln x＝x x＞0 ln e＝1Example 8 Solve the equation e5－3x＝10Solution We take natural logarithms of both sides of the equation and use ②、③ln (e5－3x)＝ln10∴5－3x＝ln10x＝(5－ln10)/3Example 9 Express ln a＋(ln b)/2 as a single logarithm.Solution Using laws of logarithms we have:ln a＋(ln b)/2＝ln a＋ln b1/2＝ln(ab1/2)1.6.5 ☆Change of Base formula For any positive number a (a≠1), we havel og a x＝ln x/ ln a1.6.6 Inverse trigonometric functions⑴Inverse sine function or Arcsine functionsin－1x＝y sin y＝x and －π/2≤y≤π / 2，－1≤x≤1 See Fig.18、20 P72Example13 ① sin－1 (1/2) or arcsin(1/2) ② tan(arcsin1/3)Solution①∵sin (π/6)＝1/2，π/6 lies between －π/2 and π / 2，∴sin－1 (1/2)＝π/6② Let θ＝arcsin1/3，so sinθ＝1/3tan(arcsin1/3)＝tanθ＝ s inθ/cosθ＝ (1/3)/(1－s in2θ)1/2＝1/(8)1/2Usefully equations:①sin－1(sin x)＝x for －π/2≤x≤π / 2②sin (sin－1x)＝x for －1≤x≤1⑵Inverse cosine function or Arccosine functioncos－1x＝y cos y＝x and 0 ≤y≤π，－1≤x≤1 See Fig.21、22 P73Usefully equations:①cos－1(cos x)＝x for 0 ≤x≤π②cos (cos－1x)＝x for －1≤x≤1⑶Inverse Tangent function or Arctangent functiontan－1x＝y tan y＝x and －π/2＜y＜π / 2 ，x∈R See Fig.23 P73、Fig.25 P74Example 14 Simplify the expression cos(ta n－1x).Solution 1 Let y＝tan－1 x，Then tan y＝x and －π/2＜y＜π / 2 ，We want find cos y but since tan y is known, it is easier to find sec y first:sec2y＝1 ＋tan2y sec y＝(1 ＋x2 )1/2∴cos(ta n－1x)＝cos y ＝1/ sec y＝(1 ＋x2)－1/2Solution 2∵cos(ta n－1x)＝cos y∴cos(ta n－1x)＝(1 ＋x2)－1/2⑷Other Inverse trigonometric functionscsc－1x＝y∣x∣≥1csc y＝x and y∈(0，π / 2]∪(π，3π / 2]sec－1x＝y∣x∣≥1sec y＝x and y∈[0，π / 2)∪[π，3π / 2]cot－1x＝y x∈R cot y＝x and y∈(0，π)Exercises P 74-85Key words and PhrasesCalculus 微积分学Set 集合Variable 变量Domain 定义域Range 值域Arbitrary number 独立变量Independent variable 自变量Dependent variable 因变量Square root 平方根Curve 曲线Interval 区间Interval notation 区间符号Closed interval 闭区间Opened interval 开区间Absolute 绝对值Absolute value 绝对值Symmetry 对称性Represent of a function 函数的表述（描述）Even function 偶函数Odd function 奇函数Increasing Function 增函数Increasing Function 减函数Empirical model 经验模型Essential Function 基本函数Linear function 线性函数Polynomial function 多项式函数Coefficient 系数Degree 阶Quadratic function 二次函数（方程）Cubic function 三次函数（方程）Power functions 幂函数Reciprocal function 反比函数Rational function 有理函数Algebra 代数Algebraic function 代数函数Integer 整数Root function 根式函数（方程）Trigonometric function 三角函数Exponential function 指数函数Inverse function 反函数Logarithm function 对数函数Inverse trigonometric function 反三角函数Natural logarithm function 自然对数函数Chang of base of formula 换底公式Transcendental function 超越函数Transformations of functions 函数的变换Vertical shifts 垂直平移Horizontal shifts 水平平移Stretch 伸张Reflect 反演Combinations of functions 函数的组合Composition of functions 函数的复合Composition function 复合函数Intersection 交集Quotient 商Arithmetic 算数。
大学微积分课件(PPT版)
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
《微积分》PPT课件
公式.
微积分Ⅰ
第九章
重积分
10
说明: ① 使用公式 (1) 必须是 X－ 型域, 使用公式 (2) 必 须是 Y － 型域. ② 若积分区域既是 X － 型区域又是 Y－ 型区域,
则有
f ( x, y ) d x d y
dx
a
d
y
y 2 ( x)
D b
x 1 ( y)
微积分Ⅰ
第九章
重积分
6
在 [a, b] 上任意取定一点 x0, 作平行于 yOz 面的平
面 x = x0, 则该平面截曲顶柱体所得的截面是一个以区 间 [ 1 (x0), 2 (x0) ] 为底、曲线 z = f (x0 , y) 为曲边的 曲边梯形.
z
z f ( x, y)
y
A( x0 )
2
R
它的底为 D {( x, y ) | 0 y R2 x 2 , 0 x R},
微积分Ⅰ
第九章
重积分
23
∴所求体积为
8
R
0
R 2 x 2 dx
R2 x 2
0
dy
8 ( R 2 x 2 )dx
0
R
16 3 R . 3
微积分Ⅰ
第九章
重积分
24
1 x
y x
1
微积分Ⅰ
第九章
重积分
21
说明: ① 计算二重积分时, 选择积分次序是比较重要的 一步, 积分次序选择不当, 可能会使计算繁琐, 甚至无
法计算. 一般地, 既要考虑积分区域 D 的形状, 又要考
虑被积函数 f (x, y) 的特性. ② 应遵循 “能积分, 少分快, 计算简” 的原则.
《微积分英文》课件 (2)
Types of Limits
One-sided limits
Limits approached
from one direction
Limits at infinity
Behavior of functions at
infinity
● 02
第2章 Limits and Continuity
01 Definition of a limit
Explanation of what a limit is
02 Properties of limits
Key characteristics of limits
03 Calculating limits algebraically
Graphing functions by analyzing their derivatives and key points
Higher Order Derivatives
Second derivative
Rate of change of the rate of
change
nth derivative
● 03
第3章 Differentiation
Derivatives and Rates of
Change
A derivative is defined as the rate of change of a function at a given point. Notation for derivatives includes symbols such as f'(x) or dy/dx. Derivatives can be interpreted as rates of change in various realworld applications.
《微积分英文版》课件
Limits and continuity
Definition: A limit is the value that a function approaches as the input approaches a certain point Continuity means that the function doesn't have any breaks or jumps at any point
Course structure
03
The course is divided into several modules, each focusing on a specific topic in calculus Learners can complete the course at their own pace and in any order of the modules
Properties: One side limits, absolute continuity, uniform continuity, etc
Differentiation
Definition: The derivative of a function at a point is the slope of the tangent line to the graph of the function at that point It can be used to find the rate of change of a function
Integral definition: The integral of a function is a measure of the area under its curve It is calculated by finding the limit of the sum of areas of rectangles under the curve as the width of the rectangles approaches zero
微积分英文版课件
极限和连续性的关系：极限是连续 的必要条件，但不是充分条件
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
连续性：函数在某点或某区间上的 连续性
极限和连续性的应用：在微积分中， 极限和连续性是解决许多问题的基 础
导数：函数在 某一点的斜率， 表示函数在该
点的变化率
微分：函数在 某一点的增量， 表示函数在该
点的变化量
定义：含有两个未知函数 及其导数的方程
形式：ax^2+bx+c=0
解：通过求解特征方程得 到
应用：广泛应用于物理、 工程等领域
高阶微分方程：含有未知函数及其高阶导数的方程 线性微分方程组：含有未知函数及其导数的线性方程组 求解方法：包括积分法、幂级数法、拉普拉斯变换法等 应用领域：广泛应用于物理、化学、工程等领域
级数的形式
应用：在微积 分、数学分析、 物理等领域有
广泛应用
例子：泰勒级 数在求解微分 方程、积分方 程、傅里叶变 换等方面有重
要应用
感谢您的观看
汇报人：PPT
物理概念：力、速度、加速度、质量、能量等
几何概念：直线、平面、曲线、曲面、体积、面积等
物理和几何的结合：力与运动的关系、力与能量的关系、力与几何形状的关系等
微积分在物理和几何中的应用：微积分在力学、光学、电磁学等领域的应用，以及在几何学、 拓扑学等领域的应用。
微积分基本概念
极限：函数在某点或某区间上的极 限值
微积分在物理中 的应用：微积分 在物理中的应用 广泛，如力学、 电磁学、热力学 等
微积分在工程中 的应用：微积分 在工程中的应用 广泛，如建筑、 机械、电子等
微分方程
定义：含有一个未 知函数和一个未知 函数的导数的方程
微积分英文版课件
Applications of Derivatives
Local Extrema
Discover how derivatives help identify local maximums and minimums of functions.
Mean Value Theorem
Explore the mean value theorem and its applications in calculus.
Gradients and Directional Derivatives
2
derivatives and their applications in multivariable calculus.
Learn about gradients and
directional derivatives for
Derivatives
1
Definition of a Derivative
Uncover the definition and
Differentiability and Continuity
2
fundamental properties of derivatives.
Understand the relationship
Discover the conditions for a function to be continuous and its implications.
Explore the different types of discontinuities and their characteristics.
Conclusion
Review of Key Concepts
《微积分入门》课件
目录
• 微积分简介 • 极限与连续性 • 导数与微分 • 积分 • 微分方程
01
微积分简介
微积分的起源
01
微积分的起源可以追溯到古 代数学，如希腊数学家阿基 米德对面积和体积的研究。
02
微积分的发展在17世纪取得 了突破，以牛顿和莱布尼茨
的工作为基础。
03
微积分在18世纪和19世纪得 到了进一步的发展和完善， 成为现代数学的重要分支。
反常积分
反常积分的定义
反常积分又称为瑕积分，它是在一个区间上定义的，但与常规的定积分有所不同。反常 积分分为两种：一种是无穷区间上的反常积分，另一种是有限区间上无界函数的反常积
分。
反常积分的性质
反常积分也具有一些重要的性质，如可加性、区间可加性等。这些性质在处理一些特殊 函数或解决一些实际问题时非常有用。
微积分的应用
01
微积分在物理学、工程学、经济学、生物学等领域 有着广泛的应用。
02
微积分可以用来解决速度、加速度、功率、电流、 压力、密度等问题。
03
微积分在金融领域中可以用来计算股票价格、投资 回报率等。
微积分的基本概念
01
极限
极限是微积分的基本概念之一 ，它描述了函数在某一点的变
化趋势。
02
05
微分方程
微分方程的建立与求解
总结词
理解微分方程的建立过程，掌握求解微 分方程的基本方法。
VS
详细描述
微分方程是描述数学模型中变量之间变化 关系的工具，通过理解问题背景和数学模 型，可以建立微分方程。求解微分方程的 方法包括分离变量法、常数变异法、参数 变异法等，这些方法能够求解各种类型的 微分方程。
微积分英文课件PPT (2)
x 1 0 1/3 1 2
f (x) 3 4 0 3 4 / 3 0 3 2
4.2 The Mean Value Theorem
Rolle’ s Theorem: Let f be a function that satisfy the following three hypotheses:
f (c) 0
c
Caution: The conditions cannot be weakened.
Y
Example
f (x) x x [1,1]
-1
0 1X
Example
f (x) x2 x [0,1]
Y 0 1X
Caution:
The conditions is sufficient, but not necessary.
f (x) x3 at x 0
2)There may be an extreme value even when f (c) does not exist.
For example: f (x) x at x 0
Fermat’s Theorem does suggest that we should at least start looking for extreme values of f at the
1) f is continuous on the closed interval [a,b]. 2) f is differentiable on the open interval (a,b). 3) f (a) = f (b)
Then there is a number c in (a,b) such that f (c) 0
The maximum and minimum values of f are called the extreme values of f.
《高等数学微积分》课件
实际应用
极值问题在经济学、物理学等领域有广泛应 用，如成本最小化、利润最大化等。
曲线的长度
曲线长度公式
利用微积分计算曲线的长度。
参数方程
通过参数方程将曲线表示为参数的函数，便于计算长度。
实际应用
在工程、地理等领域，需要计算各种曲线的长度，如河流长度、 道路长度等。
面积和体积
面积和体积公式
利用微积分计算平面图形的面积和空间图形的体积。
结合律
微积分运算还具有结合律，即函数的微积分运算顺序不影响结果。
交换律
此外，微积分运算还满足交换律，即函数的微积分运算满足交换律 。
微积分运算的法则
分部积分法
分部积分法是微积分运算中的一 种重要方法，它将两个函数的乘 积的导数转化为两个函数的导数 的乘积，从而简化了计算过程。
换元法
换元法是微积分运算中的另一种 重要方法，它通过引入新的变量 来简化计算过程。
如何提高微积分的计算能力？
总结词：掌握计算方法 总结词：细心谨慎 总结词：多做练习题
详细描述：提高微积分的计算能力需要熟练掌握各种计 算方法，如极限的计算、导数的计算和积分的计算等。 掌握这些方法可以更快更准确地完成计算。
详细描述：在微积分的计算过程中，需要细心谨慎，避 免因粗心大意而导致的错误。仔细检查每一步的计算过 程，确保准确性。
微分
微分的定义与性质
微分是函数在某一点附近的小变化量，它描述了函数在该点附近的变化趋势。微分具有一些重要的性质，如线性性、 可加性和可乘性。
微分的计算方法
包括微分的四则运算法则、复合函数的微分法则、隐函数的微分法则等。这些方法可以帮助我们快速准确地计算函数 的微分。
微分的应用
微分在许多领域都有广泛的应用，如近似计算、误差估计、优化问题等。例如，在近似计算中，微分可 以用来估计函数在某一点的近似值；在优化问题中，微分可以用来寻找函数的极值点。
《微积分》课件
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
高等数学-微积分第1章（英文讲稿）
高等数学-微积分第1章（英文讲稿）C alc u lus (Fifth Edition)高等数学- Calculus微积分（双语讲稿）Chapter 1 Functions and Models1.1 Four ways to represent a function1.1.1 ☆Definition(1-1) function: A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f(x), in a set B. see Fig.2 and Fig.3Conceptions: domain; range (See fig. 6 p13); independent variable; dependent variable. Four possible ways to represent a function: 1)Verbally语言描述(by a description in words); 2) Numerically数据表述(by a table of values); 3) Visually 视觉图形描述(by a graph);4)Algebraically 代数描述(by an explicit formula).1.1.2 A question about a Curve represent a function and can’t represent a functionThe way ( The vertical line test ) : A curve in the xy-plane is the graph of a function of x if and only if no vertical line intersects the curve more than once. See Fig.17 p 171.1.3 ☆Piecewise defined functions (分段定义的函数)Example7 (P18)1－x if x ≤1f(x)＝﹛x2if x＞1Evaluate f(0)，f(1)，f(2) and sketch the graph.Solution：1.1.4 About absolute value (分段定义的函数)⑴∣x∣≥0；⑵∣x∣≤0Example8 (P19)Sketch the graph of the absolute value function f(x)＝∣x∣.Solution：1.1.5☆☆Symmetry ，(对称) Even functions and Odd functions (偶函数和奇函数)⑴Symmetry See Fig.23 and Fig.24⑵①Even functions: If a function f satisfies f(－x)＝f(x) for every number x in its domain，then f is call an even function. Example f(x)＝x2 is even function because: f(－x)＝ (－x)2＝x2＝f(x)②Odd functions: If a function f satisfie s f(－x)＝－f(x) for every number x in its domain，thenf is call an odd function. Example f(x)＝x3 is even function because: f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)③Neither even nor odd functions:1.1.6☆☆Increasing and decreasing function (增函数和减函数)⑴Definition(1-2) increasing and decreasing function:① A function f is called increasing on an interval I if f(x1)＜f(x2) whenever x1＜x2 in I. ①A function f is called decreasing on an interval I if f(x1)＞f(x2) whenever x1＜x2 in I.See Fig.26. and Fig.27. p211.2 Mathematical models: a catalog of essential functions p251.2.1 A mathematical model p25A mathematical model is a mathematical description of a real-world phenomenon such as the size of a population, the demand for a product, the speed of a falling object, the concentration of a product in a chemical reaction, the life expectancy of a person at birth, or the cost of emission reduction.1.2.2 Linear models and Linear function P261.2.3 Polynomial P27A function f is called a polynomial ifP(x) ＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a2x2＋a1x＋a0Where n is a nonnegative integer and the numbers a0，a1，a2，…，a n－1，a n are constants called the coefficients of the polynomial. The domain of any polynomial is R＝(－∞,＋∞).if the leading coefficient a n≠0, then the degree of the polynomial is n. For example, the function P(x) ＝5x6＋2x5－x4＋3x－9⑴Quadratic function example: P(x) ＝5x2＋2x－3 二次函数（方程）⑵Cubic function example: P(x) ＝6x3＋3x2－1 三次函数（方程）1.2.4Power functions幂函数P30A function of the form f(x) ＝x a，Where a is a constant, is called a power function. We consider several cases：⑴a＝n where n is a positive integer ，(n＝1，2，3，…，)⑵a＝1/n where n is a positive integer，(n＝1，2，3，…，) The function f(x) ＝x1/n⑶a＝n－1 the graph of the reciprocal function f(x) ＝x－1 反比函数1.2.5Rational function有理函数P 32A rational function f is a ratio of two polynomials:f(x)＝P(x) /Q(x)1.2.6Algebraic function代数函数P32A function f is called algebraic function if it can be constructed using algebraic operations ( such as addition，subtraction，multiplication，division，and taking roots) starting with polynomials. Any rational function is automatically an algebraic function. Examples: P 321.2.7Trigonometric functions 三角函数P33⑴f(x)＝sin x⑵f(x)＝cos x⑶f(x)＝tan x＝sin x / cos x1.2.8Exponential function 指数函数P34The exponential functions are the functions the form f(x) ＝a x Where the base a is a positive constant.1.2.9Transcendental functions 超越函数P35These are functions that are not a algebraic. The set of transcendental functions includes the trigonometric，inverse trigonometric，exponential，and logarithmic functions，but it also includes a vast number of other functions that have never been named. In Chapter 11 we will study transcendental functions that are defined as sums of infinite series.1.2 Exercises P 35-381.3 New functions from old functions1.3.1 Transformations of functions P38⑴Vertical and Horizontal shifts (See Fig.1 p39)①y＝f(x)＋c，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units upward.②y＝f(x)－c，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units downward.③y＝f(x＋c)，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units to the left.④y＝f(x－c)，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units to the right.⑵ V ertical and Horizontal Stretching and Reflecting (See Fig.2 p39)①y＝c f(x)，（c＞1）stretch the graph of y＝f(x) vertically bya factor of c②y＝(1/c) f(x)，（c＞1）compress the graph of y＝f(x) vertically by a factor of c③y＝f(x/c)，（c＞1）stretch the graph of y＝f(x) horizontally by a factor of c.④y＝f(c x)，（c＞1）compress the graph of y＝f(x) horizontally by a factor of c.⑤y＝－f(x)，reflect the graph of y＝f(x) about the x-axis⑥y＝f(－x)，reflect the graph of y＝f(x) about the y-axisExamples1: (See Fig.3 p39)y＝f( x) ＝cos x，y＝f( x) ＝2cos x，y＝f( x) ＝（1/2）cos x，y＝f( x) ＝cos（x/2），y＝f( x) ＝cos2xExamples2: (See Fig.4 p40)Given the graph y＝f( x) ＝( x)1/2，use transformations to graph y＝f( x) ＝( x)1/2－2，y＝f( x) ＝(x－2)1/2，y＝f( x) ＝－( x)1/2，y＝f( x) ＝2 ( x)1/2，y＝f( x) ＝(－x)1/21.3.2 Combinations of functions (代数组合函数)P42Algebra of functions: Two functions (or more) f and g through the way such as add, subtract, multiply and divide to combined a new function called Combination of function.☆Definition(1-2) Combination function: Let f and g be functions with domains A and B. The functions f±g，f g and f /g are defined as follows: （特别注意符号(f±g)( x) 定义的含义）①(f±g)( x)＝f(x)±g( x)，domain ＝A∩B②(f g)( x)＝f(x) g( x)，domain ＝A∩ B③(f /g)( x)＝f(x) /g( x)，domain ＝A∩ B and g( x)≠0Example 6 If f( x) ＝( x)1/2，and g( x)＝(4－x2)1/2，find functions y＝f(x)＋g( x)，y＝f(x)－g( x)，y＝f(x)g( x)，and y＝f(x) /g( x)Solution: The domain of f( x) ＝( x)1/2 is [0，＋∞)，The domain of g( x) ＝(4－x2)1/2 is interval [－2，2]，The intersection of the domains of f(x) and g( x) is[0，＋∞)∩[－2，2]＝[0，2]Thus，according to the definitions, we have(f＋g)( x)＝( x)1/2＋(4－x2)1/2，domain [0，2](f－g)( x)＝( x)1/2－(4－x2)1/2，domain [0，2](f g)( x)＝f(x) g( x) ＝( x)1/2(4－x2)1/2＝(4 x－x3)1/2domain [0，2](f /g)( x)＝f(x)/g( x)＝( x)1/2/(4－x2)1/2＝[ x/(4－x2)]1/2 domain [0，2)1.3.3☆☆Composition of functions (复合函数)P45☆Definition(1-3) Composition function: Given two functions f and g the composite func tion f⊙g (also called the composition of f and g ) is defined by(f⊙g)( x)＝f( g( x)) （特别注意符号(f⊙g)( x) 定义的含义）The domain of f⊙g is the set of all x in the domain of g such that g(x) is in the domain of f . In other words, (f⊙g)(x) is defined whenever both g(x) and f (g (x)) are defined. See Fig.13 p 44 Example7 If f (g)＝( g)1/2 and g(x)＝(4－x3)1/2find composite functions f⊙g and g⊙f Solution We have(f⊙g)(x)＝f (g (x) ) ＝( g)1/2＝((4－x3)1/2)1/2(g⊙f)(x)＝g (f (x) )＝(4－x3)1/2＝[4－((x)1/2)3]1/2＝[4－(x)3/2]1/2Example8 If f (x)＝( x)1/2 and g(x)＝(2－x)1/2find composite function s①f⊙g ②g⊙f ③f⊙f④g⊙gSolution We have①f⊙g＝(f⊙g)(x)＝f (g (x) )＝f((2－x)1/2)＝((2－x)1/2)1/2＝(2－x)1/4The domain of (f⊙g)(x) is 2－x≥0 that is x ≤2 {x ︳x ≤2 }＝(－∞，2]②g⊙f＝(g⊙f)(x)＝g (f (x) )＝g (( x)1/2 )＝(2－( x)1/2)1/2The domain of (g⊙f)(x) is x≥0 and 2－( x)1/2x ≥0 ，that is( x)1/2≤2 ，or x ≤ 4 ，so the domain of g⊙f is the closed interval[0，4]③f⊙f＝(f⊙f)(x)＝f (f(x) )＝f((x)1/2)＝((x)1/2)1/2＝(x)1/4The domain of (f⊙f)(x) is [0，∞)④g⊙g＝(g⊙g)(x)＝g (g(x) )＝g ((2－x)1/2 )＝(2－(2－x)1/2)1/2The domain of (g⊙g)(x) is x－2≥0 and 2－(2－x)1/2≥0 ，that is x ≤2 and x ≥－2，so the domain of g⊙g is the closed interval[－2，2]Notice: g⊙f⊙h＝f (g(h(x)))Example9Example10 Given F (x)＝cos2( x＋9)，find functions f，g，and h such that F (x)＝f⊙g⊙h Solution Since F (x)＝[cos ( x＋9)] 2，that is h (x)＝x＋9 g(x)＝cos x f (x)＝x2Exercise P 45-481.4 Graphing calculators and computers P481.5 Exponential functions⑴An exponential function is a function of the formf (x)＝a x See Fig.3 P56 and Fig.4Exponential functions increasing and decreasing (单调性讨论)⑵Lows of exponents If a and b are positive numbers and x and y are any real numbers. Then1) a x+y＝a x a y2) a x－y＝a x / a y3) (a x)y＝a xy4) (ab)x+y ＝a x b x⑶about the number e f (x)＝e x See Fig. 14，15 P61Some of the formulas of calculus will be greatly simplified if we choose the base a .Exercises P 62-631.6 Inverse functions and logarithms1.6.1 Definition(1-4) one-to-one function: A function f iscalled a one-to-one function if it never takes on the same value twice；that is，f (x1)≠f (x2)，whenever x1≠x2( 注解：不同的自变量一定有不同的函数值，不同的自变量有相同的函数值则不是一一对应函数) Example: f (x)＝x3is one-to-one function.f (x)＝x2 is not one-to-one function, See Fig.2,3,4 ☆☆Definition(1-5) Inverse function:Let f be a one-to-one function with domain A and range B. Then its inverse function f －1(y)has domain B and range A and is defined byf－1(y)＝x f (x)＝y for any y in Bdomain of f－1＝range of frange of f－1＝domain of f( 注解：it says : if f maps x into y, then f－1maps y back into x . Caution: If f were not one-to-one function，then f－1 would not be uniquely defined. )Caution: Do not mistake the－1 in f－1for an exponent. Thus f－1(x)＝1/ f(x) Because the letter x is traditionally used as the independent variable, so when we concentrate on f－1(y) rather than on f－1(y), we usually reverse the roles of x and y in Definition (1-5) and write as f－1(x)＝y f (x)＝yWe get the following cancellation equations:f－1( f(x))＝x for every x in Af (f－1(x))＝x for every x in B See Fig.7 P66Example 4 Find the inverse function of f(x)＝x3＋6Solution We first writef(x)＝y＝x3＋6Then we solve this equation for x:x3＝y－6x＝(y－6)1/3Finally, we interchange x and y：y＝(x－6)1/3That is, the inverse function is f－1(x)＝(x－6)1/3( 注解：The graph of f－1 is obtained by reflecting the graph of f about the line y＝x. ) See Fig.9、8 1.6.2 Logarithmic function If a＞0 and a≠1，the exponential function f (x)＝a x is either increasing or decreasing and so it is one-to-one function by the Horizontal Line Test. It therefore has an inverse function f－1，which is called the logarithmic function with base a and is denoted log a，If we use the formulation of an inverse function given by (See Fig.3 P56)f－1(x)＝y f (x)＝yThen we havelogx＝y a y＝xThe logarithmic function log a x＝y has domain (0,∞) and range R.Usefully equations:①log a(a x)＝x for every x∈R②a log ax＝x for every x＞01.6.3 ☆Lows of logarithms :If x and y are positive numbers, then①log a(xy)＝log a x＋log a y②log a(x/y)＝log a x－log a y③log a(x)r＝r log a x where r is any real number1.6.4 Natural logarithmsNatural logarithm isl og e x＝ln x ＝ythat is①ln x ＝y e y＝x② ln(e x)＝x x∈R③e ln x＝x x＞0 ln e＝1Example 8 Solve the equation e5－3x＝10Solution We take natural logarithms of both sides of the equation and use ②、③ln (e5－3x)＝ln10∴5－3x＝ln10x＝(5－ln10)/3Example 9 Express ln a＋(ln b)/2 as a single logarithm.Solution Using laws of logarithms we have:ln a＋(ln b)/2＝ln a＋ln b1/2＝ln(ab1/2)1.6.5 ☆Change of Base formula For any positive number a (a≠1), we havel og a x＝ln x/ ln a1.6.6 Inverse trigonometric functions⑴Inverse sine function or Arcsine functionsin－1x＝y sin y＝x and －π/2≤y≤π / 2，－1≤x≤1 See Fig.18、20 P72Example13 ① sin－1 (1/2) or arcsin(1/2) ② tan(arcsin1/3)Solution①∵sin (π/6)＝1/2，π/6 lies between －π/2 and π / 2，∴sin－1 (1/2)＝π/6② Let θ＝arcsin1/3，so sinθ＝1/3tan(arcsin1/3)＝tanθ＝s inθ/cosθ＝(1/3)/(1－s in2θ)1/2＝1/(8)1/2Usefully equations:①sin－1(sin x)＝x for －π/2≤x≤π / 2②sin (sin－1x)＝x for －1≤x≤1⑵Inverse cosine function or Arccosine functioncos－1x＝y cos y＝x and 0 ≤y≤π，－1≤x≤1 See Fig.21、22 P73Usefully equations:①cos－1(cos x)＝x for 0 ≤x≤π②cos (cos－1x)＝x for －1≤x≤1⑶Inverse Tangent function or Arctangent functiontan－1x＝y tan y＝x and －π/2＜y＜π / 2 ，x∈R See Fig.23 P73、Fig.25 P74Example 14 Simplify the expression cos(ta n－1x).Solution 1 Let y＝tan－1 x，Then tan y＝x and －π/2＜y＜π / 2 ，We want find cos y but since tan y is known, it is easier to find sec y first:sec2y＝1 ＋tan2y sec y＝(1 ＋x2 )1/2∴cos(ta n－1x)＝cos y ＝1/ sec y＝(1 ＋x2)－1/2Solution 2∵cos(ta n－1x)＝cos y∴cos(ta n－1x)＝(1 ＋x2)－1/2⑷Other Inverse trigonometric functionscsc－1x＝y∣x∣≥1csc y＝x and y∈(0，π / 2]∪(π，3π / 2]sec－1x＝y∣x∣≥1sec y＝x and y∈[0，π / 2)∪[π，3π / 2]cot－1x＝y x∈R cot y＝x and y∈(0，π)Exercises P 74-85Key words and PhrasesCalculus 微积分学Set 集合Variable 变量Domain 定义域Range 值域Arbitrary number 独立变量Independent variable 自变量Dependent variable 因变量Square root 平方根Curve 曲线Interval 区间Interval notation 区间符号Closed interval 闭区间Opened interval 开区间Absolute 绝对值Absolute value 绝对值Symmetry 对称性Represent of a function 函数的表述（描述）Even function 偶函数Odd function 奇函数Increasing Function 增函数Increasing Function 减函数Empirical model 经验模型Essential Function 基本函数Linear function 线性函数Polynomial function 多项式函数Coefficient 系数Degree 阶Quadratic function 二次函数（方程）Cubic function 三次函数（方程）Power functions 幂函数Reciprocal function 反比函数Rational function 有理函数Algebra 代数Algebraic function 代数函数Integer 整数Root function 根式函数（方程）Trigonometric function 三角函数Exponential function 指数函数Inverse function 反函数Logarithm function 对数函数Inverse trigonometric function 反三角函数Natural logarithm function 自然对数函数Chang of base of formula 换底公式Transcendental function 超越函数Transformations of functions 函数的变换Vertical shifts 垂直平移Horizontal shifts 水平平移Stretch 伸张Reflect 反演Combinations of functions 函数的组合Composition of functions 函数的复合Composition function 复合函数Intersection 交集Quotient 商Arithmetic 算数。