模块综合评价(二)

模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( )A ．若a ，b ，c 是等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等比数列B ．若a ，b ，c 是等比数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 是等差数列C ．若a ，b ，c 是等差数列，则2a ，2b ，2c 是等比数列D ．若a ，b ，c 是等比数列，则2a ，2b ，2c 是等差数列解析：2b 2a ＝2b －a ，2c 2b ＝2c －b ， 因为a ，b ，c 成等差数列，所以c －b ＝b －a ，所以2b －a ＝2c －b ，即2b 2a ＝2c 2b . 答案：C2．在△ABC 中，A ＝135°，C ＝30°，c ＝20，则边a 的长为( )A ．10 2B ．20 2C ．20 6 D.2063 解析：由正弦定理：a sin A ＝c sin C， 所以a ＝c ·sin A sin C ＝20×2212＝20 2. 答案：B3．不等式2x 2＋mx ＋n >0的解集是{x |x >3或x <－2}，则m ，n的值分别是( )A ．2，12B ．2，－2C ．2，－12D ．－2，－12解析：由题意知－2，3是方程2x 2＋mx ＋n ＝0的两个根，所以－2＋3＝－m 2，－2×3＝n 2，所以m ＝－2，n ＝－12. 答案：D4．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( )A ．37B ．36C ．20D ．19解析：由a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9得(m －1)d ＝9a 5＝36d ⇒m ＝37.答案：A5．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的区域为( )A BC D 解析：利用点(4，0)判断不等式(x －2y ＋1)·(x ＋y －3)<0，故排除选项A 、B 、D.答案：C6．若三条线段的长分别为3、5、7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形解析：由余弦定理：设最大角为A ，则cos A ＝9＋25－492×3×5＝－12＜0，所以A 为钝角．答案：C7．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，那么不等式4[x ]2－36[x ]＋45＜0成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，152 B ．[2，8]C ．[2，8)D ．[2，7]解析：由4[x ]2－36[x ]＋45＜0，得32＜[x ]＜157，又[x ]表示不大于x 的最大整数，所以2≤x ＜8.答案：C8．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1，2…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1的值为( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：由a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)得a 2n ＝22n ，a n >0，则a n ＝2n ，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，选C.答案：C9．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤40，x ＋2y ≤50，x ≥0，y ≥0.则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )解析：作出可行域如图所示．由于2x ＋y ＝40、x ＋2y ＝50的斜率分别为－2，－12，而3x ＋2y ＝0的斜率为－32，故线性目标函数的倾斜角大于2x ＋y ＝40的倾斜角而小于x ＋2y ＝50的倾斜角，由图知，3x ＋2y ＝z 经过点A (10，20)时，z 有最大值，z 的最大值为70.答案：C10．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为( )A ．[2，8]B ．(2，8)C ．(4，8)D ．(1，7)解析：设产销售为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.答案：A11．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )C ．4D ．2 解析：只需求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可，又(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥a ＋1＋2a ·x y ·y x＝a ＋2a ＋1，当且仅当a ·x y ＝y x时等号成立，所以(a )2＋2a ＋1≥9，即(a )2＋2a －8≥0，求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a ≥4，即a 的最小值为4.答案：C12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝( ) A.14 B.34 C.24 D.23解析：因为b 2＝ac 且c ＝2a ，由余弦定理：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知0＜x ＜6，则(6－x )·x 的最大值是________．解析：因为0＜x ＜6，所以6－x ＞0，所以(6－x )·x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫6－x ＋x 22＝9.答案：914．观察下列等式：12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n 个等式可为12－22＋32＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________．解析：分n 为奇数、偶数两种情况．第n 个等式为12－22＋32－42＋(－1)n ＋1·n 2.当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n －1)＝－n 2·（3＋2n －1）2＝－n （n ＋1）2. 当n 为奇数时，第n 个等式＝－n （n －1）2＋n 2＝n （n ＋1）2. 综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n ＋1n 2＝（－1）n ＋12n (n ＋1)． 答案：（－1）n ＋12n (n ＋1) 15．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y 2－x 22xy.又x >0，y >0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy 2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立．答案：216．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析：由题意知，sin B ＋cos B ＝2，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫B ＋π4＝2，所以B ＝π4，根据正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，可得2sin A ＝2sin π4，所以sin A ＝12，又a <b ，故A ＝π6. 答案：π6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{a n }中，a 1＝8，a 3＝4.(1)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最大值及使得S n 最大的序号n 的值；(2)设b n ＝1n （12－a n ）(n ∈N *)，求T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n ∈N *)． 解：(1){a n }的等差数列，公差d ＝a 3－a 13－1＝－2，所以a n ＝10－2n .设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝n （a n ＋a n ）2＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814， 于是，当n 取4或5时，S n 最大，S n max ＝20.(2)b n ＝1n （12－a n ）＝1n ·（2n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋ ⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋1 ＝n 2（n ＋1）. 18．(本小题满分12分)一缉私艇发现在北偏东45°方向，距离12 n mile 的海面上有一走私船正以10 n mike/h 的速度沿南偏东75°方向逃窜．缉私艇的速度为14 n mile/h ，若要在最短时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏45°＋α的方向去追，求追上走私船所需的时间和α角的正弦值．解：设A ，C 分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x 小时后在B 处追上(如图所示)．则有AB ＝14x ，BC ＝10x ，∠ACB ＝120°，(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，所以x ＝2，AB ＝28，BC ＝20，sin α＝20sin 120°28＝5314. 所以所需时间为2小时，α角的正弦值为5314. 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 2－ax ＋b .(1)若不等式f (x )<0的解集是{x |2<x <3}，求不等式bx 2－ax ＋1>0的解集；(2)当b ＝3－a 时，f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为不等式x 2－ax ＋b <0的解集是{x |2<x <3}，所以2，3是方程x 2－ax ＋b ＝0的解，由韦达定理得a ＝5，b ＝6.故不等式bx 2－ax ＋1>0为6x 2－5x ＋1>0，解不等式6x 2－5x ＋1>0得其解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <13，或x >12. (2)据题意f (x )＝x 2－ax ＋3－a ≥0恒成立，则Δ＝a 2－4(3－a )≤0， 解不等式a 2－4(3－a )≤0得－6≤a ≤2.所以实数a 的取值范围为－6≤a ≤2.20．(本小题满分12分)设f (x )＝16x x 2＋8(x ＞0)． (1)求f (x )的最大值；(2)证明：对任意实数a ，b ，恒有f (a )＜b 2－3b ＋214.(1)解：因为x ＞0，所以f (x )＝16x x 2＋8＝16x ＋8x ≤162 x ·8x ＝1642＝22， 当且仅当x ＝8x，即x ＝22时，等号成立． 所以当x ＝22时，f (x )max ＝2 2.(2)证明：令g (b )＝b 2－3b ＋214，b ∈R ， 则g (b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322＋3， 所以当b ＝32时，g (b )min ＝3， 因为f (x )max ＝22，所以f (x )max ＜g (b )min ，故对任意实数a ，b ，恒有f (a )＜b 2－3b ＋214. 21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0)，(1)若不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)，求a ，b 的值；(2)若f (1)＝2，a ＞0，b ＞0，求1a ＋4b的最小值． 解：(1)因为不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)，所以－1和3是方程f (x )＝0的两实根，从而有：⎩⎨⎧f （－1）＝a －b ＋5＝0，f （3）＝9a ＋3（b －2）＋3＝0，即⎩⎨⎧a －b ＋5＝0，3a ＋b －1＝0，解得：⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4.(2)由f (1)＝2，a ＞0，b ＞0得到a ＋b ＝1，所以1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2 b a ·4a b ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，a ＋b ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝23时“＝”成立； 所以1a ＋4b的最小值为9. 22．(本小题满分12分)据市场分析，某蔬菜加工点，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y (万元)可以看成月产量x (吨)的二次函数．当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．(1)写出月总成本y (万元)关于月产量x (吨)的函数关系．(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润；(3)当月产量为多少吨时，每吨平均成本最低，最低成本是多少万元？解：(1)y ＝a (x －15)2＋17.5(a ∈R ，a ≠0)，将x ＝10，y ＝20代入上式得，20＝25a ＋17.5，解得a ＝110，所以y ＝110(x －15)2＋17.5(10≤x ≤25)． (2)设利润为Q (x )，则Q (x )＝1.6x －y ＝1．6x －⎝ ⎛⎭⎪⎫110x 2－3x ＋40＝ －110(x －23)2＋12.9(10≤x ≤25)， 因为x ＝23∈[10，25]，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元．(3)y x ＝110x 2－3x ＋40x ＝110x ＋40x －3≥ 2 x 10·40x－3＝1. 当且仅当x 10＝40x，即x ＝20∈[10，25]时上式“＝”成立． 故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元．。