2013年全国高校自主招生数学模拟试卷八张阳阳
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷及答案
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 参考答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ B ） A.71 B. 71-C.21 D. 21-解：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。
连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A −PB −C 的平面角。
不妨设AB =2，则22==AC PA ，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM 。
在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC 。
2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ A）A. ]31,31[-B. ]21,21[-C. ]31,41[- D. [−3，3] 解：令a x 32=，则有31||≤a ，排除B 、D 。
由对称性排除C ，从而只有A 正确。
一般地，对k ∈R ，令ka x 21=，则原不等式为2|||34|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知原不等式等价于|34|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的k ∈R 成立。
由于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-125334121134325|34|23|1|k k k k k k k k ，所以31|}34|23|1{|min R =-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于31||≤a 。
3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ D ） A.8152 B.8159 C.8160 D.8161 解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷1
解：曲线方程为+=1，直线方程为y=ax+b．
由直线图形，可知A、C中的a<0，A图的b>0，C图的b<0，与A、C中曲线为椭圆矛盾．
由直线图形，可知B、D中的a>0，b<0，则曲线为焦点在x轴上的双曲线，故选B．
在每一位(从第一位到第n－1位)小数上，数字0与1各出现2n－2次．第n位则1出现2n－1次．
∴Sn=2n－20.11…1+2n－210－n．
∴==．
三、（本题满分20分）
13．设≤x≤5，证明不等式
2++<2．
解：x+1≥0，2x－3≥0，15－3x≥0．≤x≤5．
由平均不等式≤≤．
∴2++=+++≤2．
而MN上任一异于P的点Q，都有OQ+QA=OQ+QA>OA．故点Q在椭圆C外．即折痕上所有的点都在椭圆C上及C外．
反之，对于椭圆C上或外的一点S，以S为圆心，SA为半径作圆，交⊙O于A，则S在AA的垂直平分线上，从而S在某条折痕上．
最后证明所作⊙S与⊙O必相交．
1当S在⊙O外时，由于A在⊙O内，故⊙S与⊙O必相交；
MN=－1．EM=，故EN2=3－(－1)2=2．∴EN=．所求圆柱的高=2+．
12．设Mn={(十进制)n位纯小数0.|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则=．
解：由于a1，a2，…，an－1中的每一个都可以取0与1两个数，Tn=2n－1．
2当S在⊙O内时(例如在⊙O内，但在椭圆C外或其上的点S)，取过S的半径OD，则由点S在椭圆C外，故OS+SA≥R(椭圆的长轴)．即SA≥SD．于是D在⊙S内或上，即⊙S与⊙O必有交点．
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71B. 71-C. 21D. 21-2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ）A. ]31,31[- B. ]21,21[- C. ]31,41[- D. [−3，3]3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。
则使不等式a −2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A.8152 B.8159 C.8160 D.8161 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。
若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x−c )=1对任意实数x 恒成立，则acb cos 的值等于（ ） A. 21-B. 21C. −1D. 15. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。
8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6，33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷八
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷八命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳一、选择题（36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知a 为给定的实数，那么集合M ={x | x 2-3x -a 2+2=0，x ∈R}的子集的个数为（A ） 1 （B ） 2 （C ） 4 （D ） 不确定【答】（ C ）【解】 方程x 2-3x -a 2+2=0的根的判别式Δ=1+4a 2>0，方程有两个不相等的实数根．由M 有2个元素，得集合M 有22=4个子集．2． 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点; 命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有（A ） 0个 （B ） 1个 （C ） 2个 （D ） 3个【答】（ B ）【解】 只有命题1对． 3．在四个函数y =sin|x |，y =cos|x |，y =|ctg x |，y =lg|sin x |中以π为周期、在(0，2π)上单调递增的偶函数是 （A ）y =sin|x |（B ）y =cos|x | （C ）y =|ctg x |（D ）y =lg|sin x |【答】（ D）【解】 y =sin|x |不是周期函数．y =cos|x |=cos x 以2π为周期．y =|ctg x |在（0，2π）上单调递减．只有y =lg|sin x |满足全部条件．4．如果满足∠ABC =60°，AC =12， BC =k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（A ） k =38 （B ）0<k ≤12 （C ） k ≥12 （D ） 0<k ≤12或k =38【答】（ D）【解】 根据题设，△ABC共有两类如图．易得k =38或0<k ≤12．本题也可用特殊值法，排除（A ）、（B ）、（C ）．12kCB A60°12kABC60°5．若10002)1(x x ++的展开式为200020002210xa x a x a a ++++ ，则19989630a a a a a +++++ 的值为（A ）3333（B ） 6663（C ） 9993（D ） 20013【答】（ C）【解】 令x =1可得10003=20003210a a a a a +++++ ； 令x =ω可得0=20002000332210ωωωωa a a a a +++++ ；（其中i 2321+-=ω，则3ω=1且2ω+ω+1=0）令x =2ω可得0=400020006342210ωωωωa a a a a +++++ ．以上三式相加可得10003=3（19989630a a a a a +++++ ）．所以19989630a a a a a +++++ =9993．6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）．（A ）2枝玫瑰价格高 （B ）3枝康乃馨价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定【答】（ A ）【解】 设玫瑰与康乃馨的单价分别为x 、y 元/枝．则6x +3y >24,4x +5y <22.令6x +3y =a >24,4x +5y =b <22,解出x =)35(181b a -,y =)23(91a b -.所以2x -3y =)22122411(91)1211(91⨯-⨯>-b a =0，即2x >3y ． 也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究．二、填空题（54分，每小题9分）7．椭圆θρcos 21-=的短轴长等于332． 【解】 .31)(,1)0(=-==+=c a c a πρρ故3331,32=⇒==b c a ．从而3322=b ．8．若复数z 1，z 2满足| z 1|=2，| z 2|=3，3z 1-2z 2=i -23，则z 1·z 2=i 13721330+-． 【解】由3z 1-2z 2=2111222131z z z z z z ⋅⋅-⋅⋅=)32(611221z z z z -可得=+-⨯-=--=--=i iz z z z z z z z z z 223632)23(632)23(61221122121i 13721330+-．本题也可设三角形式进行运算．9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则直线A 1C 1与BD 1的距离是66． 【解】 作正方体的截面BB 1D 1D ，则A 1C 1⊥面BB 1D 1D ．设A 1C 1与B 1D 1交于点O ，在面BB 1D 1D 内作OH ⊥BD 1，H 为垂足，则OH 为A 1C 1与BD 1的公垂线．显然OH 等于直角三角形BB 1D 1斜边上高的一半，即OH =66． 10. 不等式232log 121>+x 的解集为),4()2,1()1,0(72+∞ ．【解】232l o g 121>+x等价于232log 121>+x 或232log 121-<+x ． 即21log 121->x 或27log 11-<x． 此时2log 21-<x 或0log 21>x 或0log 7221<<-x ．∴解为x >4或0<x <1 或 1<x <722． 即解集为),4()2,1()1,0(72+∞ ．11．函数232+-+=x x x y 的值域为),2[)23,1[+∞ ．【解】232+-+=x x x y ⇒0232≥-=+-x y x x ．两边平方得2)32(2-=-y x y ，从而23≠y 且3222--=y y x ．由03222≥---=-y y y x y ⇒231032232<≤⇒≥-+-y y y y 或2≥y ．1111 HODC B AD CBA任取2≥y ，令3222--=y y x ，易知2≥x ，于是0232≥+-x x 且232+-+=x x x y ．任取231<≤y ，同样令3222--=y y x ，易知1≤x ，于是0232≥+-x x 且232+-+=x x x y ．因此，所求函数的值域为),2[)23,1[+∞ ．12． 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有 732 种栽种方案． 【解】考虑A 、C 、E 种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种方法．考虑A 、C 、E 种二种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法． 考虑A 、C 、E 种三种植物，此时共有P 43×2×2×2=192种方法． 故总计有108+432+192=732种方法．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且b 1=a 12，b 2=a 22，b 3=a 32（a 1<a 2） ，又12)(lim 21+=++++∞→n n b b b ．试求{a n }的首项与公差．【解】 设所求公差为d ，∵a 1<a 2，∴d >0．由此得 a 12(a 1+2d )2=(a 1+d )4 化简得2a 12+4a 1d +d 2=0解得d =(22±-) a 1.………………………………………………………………5分 而22±-<0，故a 1<0．若d =(22--) a 1，则22122)12(+==a a q ；若d =(22+-)a 1，则22122)12(-==a a q ；…………………………………………10分但12)(lim 21+=++++∞→n n b b b 存在，故|q |<1．于是2)12(+=q 不可能．AB C DEF从而2)12)(222(12)12(121221=+-=⇒+=--a a ．所以a 1=2-，d =(22+-) a 1=(22+-)(2-)=222-．……………………20分14．设曲线C 1：1222=+y ax （a 为正常数）与C 2：y 2=2（x +m ） 在x 轴上方仅有一个公共点P ．⑴ 求实数m 的取值范围（用a 表示）；⑵ O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0<a <21时，试求ΔOAP 的面积的最大值（用a 表示）．⑴ 【解】 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(2,12222m x y y a x 消去y 得，x 2+2a 2x +2a 2m -a 2=0． ①设f (x )= x 2+2a 2x +2a 2m -a 2，问题⑴转化为方程①在x ∈(-a ，a )上有唯一解或等根．只须讨论以下三种情况：1︒ Δ=0得 m =212+a ．此时 x p = -a 2，当且仅当-a <-a 2<a ，即0<a <1时适合； 2︒ f (a )·f (-a )<0当且仅当–a <m <a ；3︒ f (-a )=0得m =a ．此时 x p =a -2a 2，当且仅当-a < a -2a 2<a ，即0<a <1时适合．f (a )=0得m =-a ，此时 x p =-a -2a 2，由于-a -2a 2<-a ，从而m ≠-a ．综上可知，当0<a <1时，m =212+a 或-a <m ≤a ；当a ≥1时，-a <m <a .……………………………………………………10分 ⑵ 【解】 ΔOAP 的面积S =21ay p ． ∵0<a <21，故-a <m ≤a 时，a m a a a <-++-<21022，由唯一性得x p =m a a a 2122-++-．显然当m =a 时，x p 取值最小．由于x p >0，从而221ax y p p -=取值最大，此时y p =22a a -，∴S =a 2a a -．当m =212+a 时，x p =-a 2，y p =21a -，此时S =21a 21a -．下面比较a 2a a -与21a 21a -的大小： 令a 2a a -=21a 21a -，得a =31.故当0<a ≤31时 , 2121)1(a a a a a -≤-．此时S max =2121a a -．当31<a <21时，2121)1(a a a a a ->-．此时S max = a 2a a -．……………20分15．用电阻值分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5 、a 6 (a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．【解】 设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为R FG ．当R i =a i ，i =3，4，5，6，R 1，R 2是a 1，a 2的任意排列时，R FG 最小．…………………………………………5分证明如下1°设当两个电阻R 1，R 2并联时，所得组件阻值为R ：则21111R R R +=．故交换二电阻的位置，不改变R 值，且当R 1或R 2变小时，R 也减小，因此不妨取R 1>R 2．2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为R AB ：2132312132121R R R R R R R R R R R RR R AB+++=++=． 显然R 1+R 2越大，R AB 越小，所以为使R AB 最小必须取R 3为所取三个电阻中阻值最小的一个．3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为R CD ：43243142142324131214111R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R AB CD ++++++=+=．图1图2若记∑≤<≤=411j i jiRR S ，∑≤<<≤=412k j i kjiRR R S ．则S 1、S 2为定值．于是4313212R R S R R R S R CD --=．只有当R 3R 4最小，R 1R 2R 3最大时，R CD 最小，故应取R 4<R 3，R 3<R 2，R 3<R 1，即得总电阻的阻值最小．……………………………………………………………………15分4°对于图3，把由R 1、R 2、R 3组成的组件用等效电阻R AB 代替．要使R FG 最小，由3°必需使R 6<R 5；且由1°，应使R CE 最小．由2°知要使R CE 最小，必需使R 5< R 4，且应使R CD 最小．而由3°，要使R CD 最小，应使R 4< R 3 < R 2且R 4< R 3 < R 1．这就说明，要证结论成立………………………………………………………20分E G图3。
2013届高三数学全国高校自主招生模拟试卷(带答案)
2013届高三数学全国高校自主招生模拟试卷（带答案）2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC，若对任意t∈R，→BA－t→BC≥→AC，则△ABC一定为A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．答案不确定2．设logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，则x的取值范围为A．12＜x＜1B．x＞12且x≠1C．x＞1D．0＜x＜13．已知集合A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为A．20B．25C．30D．424．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝π2，AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为A．15，1)B．15，2)C．1，2)D．15，2)5．设f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)，则对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件6．数码a1，a2，a3，…，a2006中有奇数个9的2007位十进制数－2a1a2…a2006的个数为A．12(102006＋82006)B．12(102006－82006)C．102006＋82006D．102006－82006二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.设f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x，则f(x)的值域是．8.若对一切θ∈R，复数z＝(a＋cosθ)＋(2a－sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为．9．已知椭圆x216＋y24＝1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x－3y＋8＋23＝0上.当∠F1PF2取最大值时，比|PF1||PF2|的值为．10．底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为12cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3．11．方程(x2006＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006x2005的实数解的个数为．12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.给定整数n≥2，设M0(x0，y0)是抛物线y2＝nx－1与直线y＝x的一个交点.试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m，y0m)为抛物线y2＝kx－1与直线y＝x的一个交点．14．将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和．记S＝1≤i ＜j≤5Σxixj．问：⑴当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值；⑵进一步地，对任意1≤i，j≤5有xi－xj≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最小值.说明理由．15．设f(x)＝x2＋a.记f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，n＝1，2，3，…，M＝{a∈R|对所有正整数n，fn(0)≤2}．证明，M＝－2，14]．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)答C．解：令∠ABC＝α，过A作AD⊥BC于D，由→BA－t→BC≥→AC，推出→BA2－2t→BA•→BC＋t2→BC2≥→AC2,令t＝→BA•→BC→BC2，代入上式，得→BA2－2→BA2cos2α＋→BA2cos2α≥→AC2，即→BA2sin2α≥→AC2,也即→BAsinα≥→AC．从而有→AD≥→AC．由此可得∠ACB＝π2．答B．解：因为x＞0，x≠12x2＋x－1＞0，解得x＞12且x≠1．由logx(2x2＋x －1)＞logx2－1，＋x2－x)＞＜x＜1，2x3＋x2－x＜2或x＞1，2x3＋x2－x＞2．解得0＜x＜1或x＞1．所以x的取值范围为x＞12且x≠1．答C．解：5x－；6x－b＞＞b6．要使A∩B∩N＝{2，3，4}，则1≤b6＜2，4≤a5＜5，即6≤b＜12，20≤a＜25．所以数对(a，b)共有C61C51＝30个．答A．解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1，0，0)(0＜t1＜1)，E(0，1，12)，G(12，0，1)，D(0，t2，0)(0＜t2＜1)．所以→EF＝(t1，－1，－12)，→GD＝(－12，t2，－1)．因为GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜12．又→DF＝(t1，－t2，0)，→DF＝t12＋t22＝5t22－4t2＋1＝5(t2－25)2＋15，从而有15≤→DF＜1．答A．解：显然f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a＋b≥0，则a≥－b，有f(a)≥f(－b)，即f(a)≥－f(b)，从而有f(a)＋f(b)≥0．反之，若f(a)＋f(b)≥0，则f(a)≥－f(b)＝f(－b),推出a≥－b，即a＋b≥0．答B．解：出现奇数个9的十进制数个数有A＝C2006192005＋C2006392003＋…＋C200620059．又由于(9＋1)2006＝k＝0Σ2006C2006k92006－k以及(9－1)2006＝k＝0Σ2006C2006k(－1)k92006－k从而得A＝C2006192005＋C2006392003＋…＋C200620059＝12(102006－82006)．填0，98]．解：f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x＝1－12sin2x－12sin22x．令t＝sin2x，则f(x)＝g(t)＝1－12t－12t2＝98－12(t＋12)2．因此－1≤t≤1ming(t)＝g(1)＝0，－1≤t≤1maxg(t)＝g(－12)＝98．故，f(x)∈0，98]．填－55，55]．解：依题意，得＋cosθ)2＋(2a－－2sinθ)≤3－5a2．－25asin(θ－φ)≤3－5a2(φ＝arcsin55)对任意实数θ成立．－，故a的取值范围为－55，55]．填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F1PF2最大，则过F1，F2，P三点的圆必定和直线l相切于点P．直线l交x轴于A(－8－23，0)，则∠APF1＝∠AF2P，即∆APF1∽∆AF2P，即|PF1||PF2|＝|AP||AF2|⑴又由圆幂定理，|AP|2＝|AF1|•|AF2|⑵而F1(－23，0)，F2(23，0)，A(－8－23，0)，从而有|AF1|＝8，|AF2|＝8＋43．代入⑴，⑵得，|PF1||PF2|＝|AF1||AF2|＝88＋43＝4－23＝3－1．填(13＋22)π．解：设四个实心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，其中O1，O2为下层两球的球心，A，B，C，D分别为四个球心在底面的射影．则ABCD是一个边长为22的正方形。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC ，若对任意t ∈R ，||→BA －t →BC ≥||→AC ，则△ABC 一定为A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．答案不确定 2．设log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，则x 的取值范围为A ．12＜x ＜1B ．x ＞12且x ≠1 C ． x ＞1 D ． 0＜x ＜13．已知集合A ＝{x |5x －a ≤0}，B ＝{x |6x －b ＞0}，a ，b ∈N ，且A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a ，b )的个数为A ．20B ．25C ．30D ．42 4．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为A ．[15，1)B ．[15，2)C ．[1，2)D ．[15，2)5．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的A . 充分必要条件B . 充分而不必要条件C . 必要而不充分条件D . 既不充分也不必要条件 6．数码a 1，a 2，a 3，…，a 2006中有奇数个9的2007位十进制数－2a 1a 2…a 2006的个数为A ．12(102006＋82006)B ．12(102006－82006) C ．102006＋82006 D ．102006－82006二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7. 设f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ，则f (x )的值域是 ．8. 若对一切θ∈R ，复数z ＝(a ＋cos θ)＋(2a －sin θ)i 的模不超过2，则实数a 的取值范围为 ．9．已知椭圆x 216＋y 24＝1的左右焦点分别为F 1与F 2，点P 在直线l ：x －3y ＋8＋23＝0上.当∠F 1PF 2取最大值时，比|PF 1||PF 2|的值为 ．10．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3．11．方程(x 2006＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2004)＝2006x 2005的实数解的个数为 ． 12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 ．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 给定整数n ≥2，设M 0(x 0，y 0)是抛物线y 2＝nx －1与直线y ＝x 的一个交点. 试证明对任意正整数m ，必存在整数k ≥2，使(x 0m ，y 0m )为抛物线y 2＝kx －1与直线y ＝x 的一个交点．14．将2006表示成5个正整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5之和．记S ＝1≤i ＜j ≤5Σx i x j ．问：⑴ 当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最大值；⑵ 进一步地，对任意1≤i ，j ≤5有||x i －x j ≤2，当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最小值.说明理由．15．设 f (x )＝x 2＋a . 记f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f (f n －1(x ))，n ＝1，2，3，…，M ＝{a ∈R |对所有正整数n ，||f n (0)≤2}．证明，M ＝[－2，14]．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)答C ．解：令∠ABC ＝α，过A 作AD ⊥BC 于D ，由||→BA －t →BC ≥||→AC ，推出||→BA 2－2t →BA · →BC ＋t 2||→BC 2≥||→AC 2,令t ＝→BA · →BC ||→BC2，代入上式，得||→BA 2－2||→BA 2cos 2α＋||→BA 2cos 2α≥||→AC 2，即 ||→BA 2sin 2α≥||→AC 2,也即||→BA sin α≥||→AC ．从而有||→AD ≥||→AC ．由此可得∠ACB ＝π2．答B ．解：因为⎩⎨⎧x ＞0，x ≠12x 2＋x －1＞0，解得x ＞12且x ≠1．由log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，⇒ log x (2x 3＋x 2－x )＞log x 2⎩⎨⎧0＜x ＜1，2x 3＋x 2－x ＜2或⎩⎨⎧x ＞1，2x 3＋x 2－x ＞2．解得0＜x ＜1或x ＞1． 所以x 的取值范围为x ＞12且x ≠1．答C ． 解：5x －a ≤0x ≤a5；6x －b ＞0x ＞b6．要使A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则 ⎩⎨⎧1≤b6＜2，4≤a 5＜5，即⎩⎨⎧6≤b ＜12，20≤a ＜25．所以数对(a ，b )共有C 61C 51＝30个． 答A ．解：建立直角坐标系，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，则F (t 1，0，0)(0＜t 1＜1)，E (0，1，12)，G (12，0，1)，D (0，t 2，0)(0＜t 2＜1)．所以→EF ＝(t 1，－1，－12)，→GD ＝(－12，t 2，－1)．因为GD ⊥EF ，所以t 1＋2t 2＝1，由此推出0＜t 2＜12．又→DF ＝(t 1，－t 2，0)，||→DF ＝t 12＋t 22＝5t 22－4t 2＋1＝5(t 2－25)2＋15，从而有15≤||→DF ＜1．答A ．解：显然f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a ＋b ≥0，则a ≥－b ，有f (a )≥f (－b )，即f (a )≥－f (b )，从而有f (a )＋f (b )≥0． 反之，若f (a )＋f (b )≥0，则f (a )≥－f (b )＝f (－b ),推出a ≥－b ，即a ＋b ≥0． 答B ．解：出现奇数个9的十进制数个数有A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059．又由于(9＋1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k 92006－k以及(9－1)2006＝k ＝0Σ2006C 2006k(－1)k 92006－k 从而得A ＝C 20061 92005＋C 20063 92003＋…＋C 200620059＝12(102006－82006)． 填[0，98]．解：f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ＝1－12sin2x －12sin 22x ．令t ＝sin2x ，则f (x )＝g (t )＝1－12t －12t 2＝98－12(t ＋12)2．因此－1≤t ≤1min g (t )＝g (1)＝0，－1≤t ≤1max g (t )＝g (－12)＝98． 故，f (x )∈[0，98]．填[－55，55]．解：依题意，得|z |≤2(a ＋cos θ)2＋(2a －sin θ)2≤42a (cos θ－2sin θ)≤3－5a 2． －25a sin(θ－φ)≤3－5a 2(φ＝arcsin 55)对任意实数θ成立． 25|a |≤3－5a 2|a |≤55，故 a 的取值范围为[－55，55]． 填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F 1PF 2最大，则过F 1，F 2，P 三点的圆必定和直线l 相切于点P ．直线l 交x 轴于A (－8－23，0)，则∠APF 1＝∠AF 2P ，即∆APF 1∽∆AF 2P ，即|PF 1||PF 2|＝|AP ||AF 2|⑴ 又由圆幂定理，|AP |2＝|AF 1|·|AF 2|⑵而F 1(－23，0)，F 2(23，0)，A (－8－23，0)，从而有|AF 1|＝8，|AF 2|＝8＋43． 代入⑴，⑵得，|PF 1||PF 2|＝|AF 1||AF 2|＝88＋43＝4－23＝3－1．填(13＋22)π． 解：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，A ，B ，C ，D 分别为四个球心在底面的射影．则ABCD 是一个边长为22的正方形。
2013高校自主招生仿真模拟试题及答案2(word)
数学模拟试题(第二套)一、选择题1. 设0>a ，复数4)(i a +的实部为8-，则其虚部为（ ） A. 34 B. 24 C. 38 D.282. 在正四棱锥ABCD P -中,M ,N 分别为PB ,PD 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为2,则异面直线AM 与CN 所成角的余弦为（ ） A.61 B. 31 C.32 D.433. 椭圆1422=+y x的内接三角形的面积的最大值为（ ）A. 3B.49 C.223 D.2334. 在ABC ∆中，c b a 3=+，则C B A sin sin sin 的最大值为（ ）A. 817 B. 924 C.91 D.812325. 从3个2分和10个5分的钱币中取出一些，共可得到（ ）种面值.A. 42B. 43C. 44D. 45 6. 在ABC ∆中，在AB 上取点1C 使得AB AC 311=，在BC 上取点1A 使得BC BA 311=，在CA 上取点1B 使得CA CB 311=，1BB 与1CC 交于点2A ，1CC 与1AA 交于点2B ，1AA 与1BB 交于点2C ，则=∆∆ABCC B A S S 222（ ）A. 31 B.51 C.71 D.917. 5条直线最多把平面分成（ ）部分A. 13B. 14C. 15D.168. AB 为过抛物线x y 42=焦点F 的弦，O 为坐标原点，且150=∠OFA ， C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为（ ）A. 31B. 32C. 34D. 19. 正方形ABCD 和正方形CDFE 有两个公共顶点C ，D ，他们的位置可用矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡F DBE C A 来表示，变换S 将正方形ABCD 逆时针旋转90，即将ABDC 分别移到BDCA 的位置.变换T 将正方形CDFE 逆时针旋转 90，即将CDFE 分别移到DFEC 的位置.则下列将各顶点从原来的位置变为⎥⎦⎤⎢⎣⎡D EFC B A 的最短的变换序列是（ ） A. ST T S T 323 B. T TS STS 22 C. 22TS STS D. T TS TS 22 10. 一个圆柱形试杯，杯底的厚度不计，空杯时重心在离杯底52处，盛满水时水的重量等于试杯的重量，则当装水的高度与试杯的高度之比为（ ）时重心最低. A. 2 B. 553 C. 12- D.1553-二、解答题11. 在ABC ∆中，2c ab =.求证： 60≤∠C .12. 长度为2的线段AB 的端点在抛物线2x y =上滑动.求其中点P 的轨迹方程.13. 己知a ，b ，c 为正数.求证：1222≥+++++ba c ac b cb a .14. 1P ,2P 为抛物线x y 42=上任意两点，过两点的切线交点为Q .求证:F P F P QF 212⋅=.15. 数列{}n a 满足k k k a a a =+++122,n S 为前n 项之和. （1）若k k k a a b +=+1，求证:{}n b 为等比数列，并求公比q . （2）若11=b ，且n n S S ∞→=lim 存在，求1a 及S .答 案一、选择题二、i a a a a i a )44()16()(3244-++-=+，81624-=+-a a ，09624=+-a a ，32=a ，3=a ，虚部38443=-a a . 答案： C三、解法一:设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2，得高为2.以底面的中心O 为原点，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，则)0,1,1(-A ，)0,1,1(B ，)0,1,1(-C ，)0,1,1(--D ，)2,0,0(P ，则)22,21,21(M ，)22,21,21(--N ，)22,23,21(-=AM ，)22,23,21(-=CN .设所成的角为θ，则32||||||cos =⋅=CN AM CN AM θ. 答案： C解法二:设底西边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2，得高为2.我们平移AM 与CN 在一起.设AD 的中点为E ，PN 的中点为G .于是AM EF //，CN FG // 因为2===AB PB PA ，所以3===CN AM EF ，2321==CN FG .在DEG ∆中，而1=DE ，23=DG ，3π=∠EDG .由余弦定理，求出27=EG .所以在DEG ∆中，由余弦定理求出32cos =∠EFG . 答案： C解法三：另一种方法平移AM 与CN 在一起，即点C 移到点A .设点N 移到点Q ，则10=MQ ，在AMQ ∆中，由余弦定理求出32cos =∠EFG . 答案: C四、将椭圆沿x 轴压缩一半，我们知道圆内接正三角形面积最大，433'''=∆C B A S ，从而椭圆的内接三角形的面积2332'''==∆∆C B A ABC S S . 答案： D五、利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，)sin(3sin 3sin sin B A C B A +==+，2cos2sin32cos2sinB A B A B A B A ++=-+，2cos32cosB A B A +=-.而312cos≤+B A所以97)cos(-≤+B A ，97cos ≥C .CC C C C B A B A C B A 2sin 41sin 21sin )cos 1(21sin )]cos()[cos(21sin sin sin +=+≤+--=因为97cos ≥C ，924sin ≤C ，812562sin ≤C ，所以2813228114292sin sin sin =+≤C B A . 答案： D六、从1分到56分中不能得到的有1，3，8，l3，…，48，53，55，从3到53是公差为5的等差数列，所以共43种. 答案: B 七、作11//CC D A ，则3111==BCBA BC BD ，而AB BC 321=，故AB BD 92=，AB AB AB D C 9492321=-=，所以3411221==AC D C AB B A ，7312=AA AB .类似的方法可求出71121=AA C A ，于是1AA 上的三条线段之比1:3:3.同样，可得1BB ，1CC 上的三条线段之比也都是1:3:3.832143222212221222=⋅=⋅=∆∆C B B A B A C B S S CB AC B A ，74121121==∆∆AA B A S S C AA C B A ，3211==∆∆BCC A S S ABCC AA ，所以71327483222=⋅⋅=∆∆ABCC B A S S . 答案： D八、解略. 答案： D九、解法一：焦点)0,1(F ，)0,1(-C ，AB 方程)1(33-=x y .与抛物线方程x y 42=联立，解得)324,347(++A ，)432,347(--B ，于是21=CA k ，21-=CB k ，341tan =+-=∠CBCA CB CA k k k k ACB . 答案： C解法二：如图，利用抛物线的定义，将原题转化为：在直角梯形ABCD 中， 30=∠BAD ，DA EF //，2=EF ，AD AF =，BC BF =，求AEB ∠.21tan tan ===∠=∠AFGF ADDE EAD AEF .类似的，有21tan tan =∠=∠EBC BEF ，AEF BEF AEF AEB ∠=∠+∠=∠2，342tan tan =∠=∠AEF AEB . 答案： C十、经检验A 、B 都能实现所要求的变换，但A 较短. 答案： A十一、设试杯的高为1，重量为1，重心最低时在水面上，设这时的高度为h ，则h h h h ⋅+=⋅+⋅)1(5212，05422=-+h h ，1553-=h . 答案： D7.解答题11. 利用正弦定理，将条件中边的关系化为角的关系，C B A 2sin sin sin =，C B A B A 2sin 2)cos()cos(=+--，C C B A 2sin 2cos )cos(=+-，02)cos(cos cos 22=--++B A C C .而1)cos(≤-B A ，所以01cos cos 22≥-+C C ，0)1cos 2)(1(cos ≥-+C C ，21cos ≥C ， 60≤∠C .12. 设),(00y x P ，),(11y x A ，),(22y x B ，AB 的斜率为k ，则AB 的方程为)(00x x k y y -=-，代入抛物线方程，得0002=-+-y kx kx x .k x x =+21，而P 是AB的中点，02x k =.再代入，得02202002=-+-y x x x x ，2000x y x x -±=，200212||x y x x -=-. 故2412||1||20020212=-⋅+=-+=x y x x x k AB ，1)14)((20200=+-x x y ，所以P 的轨迹方程为1)14)((22=+-x x y ，即14122++=x x y .13. 用A ，B ，C 表示三个分母，则 924AC B a -+=，924BA C b -+=，924CB A c -+=即要证9242424≥-++-++-+C CB A B B AC A A C B . 因为15444≥+++++C B A BAC AC B ，即15)(4)(≥+++++CB BA AC CA B C A B ，而由公式33abc c b a ≥++，得3≥++C A B C A B，3≥++C B BA AC，从而得证.14. 证法一：设),(111y x P ，),(222y x P ，),(00y x Q ，则F P 1的方程)(211x x y y +=，即22211y x y y +=，F P 2的方程22222y x y y +=.联立，得4210y y x =，2210y y y +=.于是4116)2()14()1(2221222122122120202y y y y y y y y y x QF+++=++-=+-=F P F P x x x x x x 21212121)1)(1(1⋅=++=+++=证法二：设准线为l ，作l Q P ⊥11，l Q P ⊥22，则F P Q P 111=，F P Q P 222=，Q P 1平分F P Q 11∠，Q P 2平分F P Q 22∠，则Q P 1，Q P 2分别为1FQ ，2FQ 的垂直平分线，即Q 是21Q FQ ∆的外心.因此本题可以转化为，在ABC ∆中，外心为Q ，AC 的垂直平分线1QP 交AB 的垂线1AP 于点1P ，BC 的垂直平分线2QP 交AB 的垂线2BP 于点2P ，求证212BP AP CQ⋅=.证明过程如下：设AC 的中点为D ，在D AP 1Rt ∆中，Ab DAP AD AP sin 2sin 11=∠=.同理Ba BP sin 22=.故2221sin 2sin 2sin 2sin 2CQ R BbA aBaA bBP AP ==⋅=⋅=⋅.15. （1）由题意得k k k k a a a a +=++++112)(2，即k k b b 211=+，21=q .三、由])21(1[32)(22112221112-----=-⋅⋅⋅+--=k k k b a b b b a a ，111232lim b a a k k -=-∞→；1121112212])21(1[32)(a b a b b b a k k k ---⋅=--⋅⋅⋅+-=--，11232lim a b a k k -=∞→. 因为S 存在，032lim lim lim 11212=-===∞→-∞→∞→b a a a a k k k k k k ，则323211==b a .所以11232311212)]41(1[34)(-------+=+⋅⋅⋅+++=k k k k k a b b b a S .故])41(1[3412312kk k b b b S --=+⋅⋅⋅++=-，34lim lim lim 212====∞→-∞→∞→k k k k k k S S S S .。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷五
5．设三位数 n=¯¯¯ abc，若以 a，b，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三 位数 n 有( ) A．45 个 B．81 个 C．165 个 D．216 个 6．顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面 圆内的点，O 为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为 B，OH⊥PB，垂足为 H，且 PA=4，C 为 PA 的 中 点 ， 则 当 三 棱 锥 O － HPC 的 体 积 最 大 时 ， OB 的 长 为 ( ) 5 A． 3 2 5 B． 3 6 C． 3 2 6 D． 3
4 14．在平面直角坐标系 xOy 中，给定三点 A(0， )，B(－1，0)，C(1，0)，点 P 到直线 BC 的距 3 离是该点到直线 AB、AC 距离的等比中项． ⑴ 求点 P 的轨迹方程； ⑵ 若直线 L 经过ABC 的内心(设为 D)，且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点，求 L 的斜率 k 的取 值范围．
6
B．
12
5 或 12
5 C． 或 6 12
的 (
2．已知 M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的 m∈R，均有 M∩N，则 b 取 值 范 围 是 ) A．[－ 6 6 ， ] 2 2 B．(－ 6 6 ， ) 2 2 2 3 2 3 C．(－ ， ] 3 3 2 3 2 3 D．[－ ， ] 3．不 3 3
； 3 ． 3
2 2 1 2 1 ∴ AA12=A1M2+MN2+NA2－2A1M·NAcos，12= + + －2 cos，cos= ． 3 3 3 3 2 =60． 10．设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得 k2－pk也是一个正整数，则 k= 2 p2 1 2 2 p 解：设 k －pk=n，则(k－ ) －n = ，(2k－p+2n)(2k－p－2n)=p2，k= (p+1)2． 2 4 4 1 11． 已知数列 a0， a1， a2， „， an， „满足关系式(3－an+1)(6+an)=18， 且 a0=3， 则∑ 的值是 a i=0 i 1
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳一、填空题（64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ． 二、解答题（56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二参考答案1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合}6,2,0,3{-=A ．2．(,(1,)-∞+∞. 提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ．设)4sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且0≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3．-1. 提示：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+．又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a ．4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示：不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+.又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππZ )．因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案； 所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．6. 提示：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设M P ,分别为CD AB ,的中点，则N 在DP 上，且DP ON ⊥，CD OM ⊥．因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得32s i n ,31c o s ==θθ．在△DMN 中，33233232,121=⋅⋅=⋅===DP DN CD DM ．由余弦定理得231312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN ，故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径3322sin ===θMN OD ．故球O 的半径3=R ．7．)2,1(-或)6,9(-．提示： 设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得 0482=--y y ，则821=+y y ，421-=⋅y y ．又12,122211+=+=y x y x ，所以182)(22121=++=+y y x x ， 11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ． 因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅CB CA ，即有0)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ，即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，A BC DOP MN即03161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ．故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．8．15. 提示：=n a C65400320020023n n n--⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ． 当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C 5388620023-⋅⋅，在C !114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡， 同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C !108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数．因此，整数项的个数为15114=+．9．因为)21()(++-=b b f a f ，所以 |)2lg(||)21lg(||)121lg(||)1lg(|+=+=+++-=+b b b b a ， 所以21+=+b a 或1)2)(1(=++b a ，又因为b a <，所以21+≠+b a ，所以1)2)(1(=++b a ．又由|)1lg(|)(+=a a f 有意义知10+<a ，从而2110+<+<+<b b a ，于是2110+<<+<b a ．所以1210)2(6)2(6)1(101)21610(>+++=+++=+++b b b a b a ． 从而]210)2(6lg[|]210)2(6lg[|)21610(+++=+++=++b b b b b a f ． 又2lg 4)21610(=++b a f ，所以2lg 4]210)2(6lg[=+++b b ， 故16210)2(6=+++b b ．解得31-=b 或1-=b （舍去）． 把31-=b 代入1)2)(1(=++b a 解得52-=a ．所以 52-=a ，31-=b ．10．（1）由原式变形得112)1)(1(211--++-=++n n n n n t a a t a ，则2111)1(212)1(21111+-+-+=-++=-+++n n n n n n n n n t a t a t a a t a ． 记n n n b t a =-+11，则221+=+n n n b b b ，21221111=--=-+=t t t a b ． 又211,211111=+=+b b b n n ，从而有 221)1(111n n b b n =⋅-+=， 故 n t a n n 211=-+，于是有 1)1(2--=nt a n n ．（2）n t n t a a n n n n )1(21)1(211--+-=-++ [])1)(1()1()1()1(211--++++-+++++-=n n n t t n t t t n n n t[][])()()1()1()1(2)1()1()1(211---++-+-+-=+++-+-=n n n n n n t t t t t n n t t t nt n n t[]132212)1()1()1()1(2-----++++++++++-=n n n n n t t t t t t n n t ， 显然在)1(0≠>t t 时恒有01>-+n n a a ，故n n a a >+1．11．（1）设直线l ：m x y +=31，),(),,(2211y x B y x A ． 将m x y +=31代入143622=+y x 中，化简整理得03696222=-++m mx x ．于是有2369,322121-=-=+m x x m x x ，232,2322211--=--=x y k x y k PB PA ． 则PA PB k k +==，上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x )2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m 0122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+PB PA k k ．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．（2）若︒=∠60APB 时，结合（1）的结论可知3,3-==PB PA k k ． 直线PA 的方程为：)23(32-=-x y ，代入143622=+y x 中，消去y 得0)3313(18)331(69142=-+-+x x ．它的两根分别是1x 和23，所以14)3313(18231-=⋅x ，即14)3313(231-=x ．所以7)133(23|23|)3(1||12+=-⋅+=x PA ．同理可求得7)133(23||-=PB ．所以1||||sin 6021249PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒==。
2013高校自主招生数学仿真模拟试题及答案1
数学模拟试题(第一套)一、选择题1.在ABC ∆中， 120=∠C ，12=+b a ，C ∠的角平分线为CD ，则CD 的最大值为()A. 12+B. 12-C. 13+D. 13-2.正四棱锥ABCD P -底面边长和侧面棱长均为10，PC 上一点Q ，2=CQ ，则从A 沿正四棱锥表面到Q 的最短路径长位于区间（ ）内.A. )13,12(B. )14,13(C. )15,14(D. )16,15(3.设0>a ,复数5)(i a +的虚部为-4，则其实部为( )A. 4B. -4C. 1D.-14.在ABC ∆中,c b a 4=+，则B A cos cos +的最大值为( )A. 61B. 31C. 21D. 325.长为4的线段AB 的两个端点在抛物线x x y +=2上，则其中点P 到x 轴的最短距离为( )A. 2B.23 C. 1 D.216.有A ，B ，C 三个景点，假设在一段时间内，它们之间的游客流向具有这样的规律:每经过一定时间A 景点的游客会到B 景点，B 景点的游客会到C 景点，而C 景点的游客会有三分之一到A 景点，三分之一到B 景点，其余三分之一留在原地，则经过一段时间达到平衡状态时，A ，B ，C 三个景点的游客数量之比为（ ）A. 1:1:1B. 3:2:1C. 2:2:1D. 3:2:2 7.半径为1的圆内接正八边形，其中内三角形的最大面积为（ ） A. 2 B. 1 C.221+ D.238.一块豆腐一刀切成2块，2刀4块，那么连续5刀最多切成( )块 A. 25 B. 27 C. 30 D. 329.一个封闭的圆台状容器，壁厚忽略不计，里面装有水，正立时水面高占容器高1/4，在瓶壁齐水面处做个记号，倒立时水面仍齐刚才的记号.则圆台下底与上底半径之比为（ ）A.56692- B.3111692- C.56692+ D.511692+10.设σ是坐标平面按逆时针方向绕原点做角度为52π的旋转，τ表示坐标平面关于直线x y =的反射.用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用kσ表示连续k 次σ的变换，则=τστστσσ357（ ）A. στB. τσC.τσ2D. 2τσ二、解答题11.正四面体ABCD 的棱长为4，BD 的中点为P ，CD 上一点E ，1=CE .求点P 到平面ABE 的距离.12.数列{}n a 满足k k k a a a 2312+=++，n S 为前n 项之和. (1)若k k k a a b -=+1，求证: {}n b 为等比数列，并求公比q ； (2)若31=a ，且n n S S ∞→=lim 存在，求1b 及S .13.在锐角ABC ∆中，c b a 32=+，求角C 的最大值.14.已知a ，b ，c 为正数，求证:c b a bcabca++≥++22215.在ABC ∆中，22=++c b a ，求三角形面积的最大值.答 案1.选择题1. ABC BCD ACD S S S ∆∆∆=+，C ab C a CD C b CD sin 212sin212sin21=⋅+⋅，ba ab C ba ab CD +=+=2cos2.令t bb b ba ab =--=+122，则0)1(22=++-t b t b .因为210<<b ，1210<+<t ，11<<-t ，08)3(8)1(22≥--=-+=∆t t t ，223+≥t （舍去）或223-≤t ，即223-≤CD ，12-≤CD . 答案：B2. 有两种可能最短的路径：①绕过底面，路径长为3201849)310(22+=++；②绕过侧面，路径长为244)35()2510(22=+-+.相比，前者较短，位于)15,14(之间.答案 C3. i a a a a a i a )1105()510()(24355+-++-=+.由4110524-=+-a a ，得01224=+-a a ，12=a ，1=a ，则实部451035-=+-a a a .答案： B4. 利用正弦定理：将边的关系转化为角的关系，)sin(4sin 4sin sin B A C B A +==+，2cos2sin42cos2sinB A B A B A B A ++=-+，2cos42cosB A B A +=-.两边同乘以2cos2BA -，得)c o s (c o s 4)c o s (1B A B A +=-+，而1)c o s (≤-B A ，21cos cos ≤+B A .答案： C5. 抛物线方程可换为412-=x y ，准线为21-=y ，要使点P 到x 轴的距离最短，就是A ，B 到准线的距离之和最短，所以AB 经过焦点A ，B 到准线的距离之和为4，点P 到准线的距离为2，到x 轴的距离为23. 答案: B6. 设到达平衡状态时，A ，B ，C 三个景点的游客数量分别为x ，y ，z ，则3z x =,3z x y +=,3z y z +=,所以3:2:1::=z y x . 答案： B7. 证明面积最大时，顶点在正八边形的边上.当其中两个顶点固定时，第三个顶点在正八边形的顶点时面积较大，从而三角形的三个顶点都在正八边形的顶点上.连接外接圆的圆心到三角形的三个顶点，得到三个圆心角分别为 90， 135， 135，从而面积为212135sin 21135sin 2190sin 21+=++， 答案： C8. 3刀8块，4刀15块，5刀27块. 答案： C9. 由已知水的体积占容器体积的一半.将容器侧面延长，上方得到一个圆锥，设下底半径比上底半径长x 倍.(上方圆锥体积)+(以下底为底的圆锥体积)= 2(以水面为底的圆锥体积)，而三个圆锥的高之比为)1(:)431(:1x x ++，所以333)431(2)1(1x x +=++，0)48125(2=--x x x ，56692+=x ，所以圆台下底与上底半径之比为5116921+=+x答案： D10. 解法一:把一个向量),(y x =α，经过τστστσσ357变换后进行检验即知. 答案： B解法二:⋅⋅⋅====3322τσστσσστστ，且15=σ，所以σττσστστσστσσστστστσσ===422334357))()((. 答案： B 解法三:τστσστσσστσττσστστστσσ====103737357. 答案： BB. 解答题11. 先求D 到面ABE 的距离，取AB 的中点F ，考虑CDF ∆，32==DF CF ，31cos =∠CDF ，32sin =∠CDF .连接EF .由余弦定理，得DE EF ==3.作EF DH ⊥，易证DH 为点D 到面ABE 的距离，CDF DF DFE DF DH ∠=∠⋅=sin sin22=.取BE 的中点Q ，连接PQ ，则DE PQ //，DE PQ 21=，所以点P 到面ABE 的距离为点D 到面ABE 的距离的一半，为2.12. （1）由k k k a a a 2312+=++转化为k k k k a a a a 22)(3112+-=-+++，)(32112k k k k a a a a --=-+++，即k k b b 321-=+.故{}n b 为等比数列，公比32-=q .（2）qqb a b b a a nn n --+=+⋅⋅⋅++=+1111111，1115331lim b qb a a n n +=-+=∞→，而n n S ∞→li m 存在，0533lim 1=+=∞→b a n n ，则51-=b .1lim +∞→=n n S S)]()([lim 11111n n b b a b a a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++=∞→)]2()1[(lim 21n n n nb b b a n +⋅⋅⋅++-+=∞→)2(lim 21n n nb b b +⋅⋅⋅++-=∞→)21(lim 51-∞→+⋅⋅⋅++=n n nqq设)1|(|1)(32<-=⋅⋅⋅++=x xx x x x x f .由2')1(1)(x x f -=，得259)1(1)(2'=-=q q f .故59)(5'==q f S .十三、设t C =cos ，将它与a c b 23-=一起代入0cos 2222=--+c C ab b a ，得08)126()54(22=++-+c ac t a t ，由0)54(84)126(2≥+⋅-+=∆t t ，得92102-≥t 或92102+-≤t （舍去），所以C ∠的最大值92102arccos-.十四、利用柯西不等式，得 22222222)()())((c b a b bca abc cac b a bcabca++=⋅+⋅+⋅≥++++，则c b a bcabca++≥++222十五、首先证明当ABC S ∆取最大值时，b a =.假设b a ≠，找一点D ，使得2b a BD AD +==.考虑以A ，B 为焦点，长轴长为b a +的椭圆，可知ABD ∆的高大于ABC ∆的高，所以ABC ABD S S ∆∆>，即ABC S ∆未取到最大值.当b a =时，1=+c a ，取AB 的中点D ，则ADC ∆为直角三角形，2222)2()1(2)2(22c c c c a c DC AD S S ADC ABC --=-=⋅==∆∆23448341cc c +-=令234483c c c y +-=，则08241223'=+-=c c c y ，02632=+-c c ，311+=c （舍去）或311-，此时3326132)311(4148342-=-⨯=+-=∆c c c S ABC .。
(全国版)2013年普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟组合试卷08 文
【步步高】（全国版）2013届高三数学 名校强化模拟测试卷08 文第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.【改编题】若集合A ＝｛－1，0，1｝，B ＝｛y ｜y ＝cosx ，x ∈A ｝，则A ∩B ＝ A ．｛0｝ B ．｛1｝ C ．｛0，1｝ D ．｛－1，0，1｝3. 【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】i 是虚数单位，1233ii+等于 A.13412i + B.33i + C.33i - D. 13412i -3. 【2013届安徽省示范高中高三9月模底考试】样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为＝（ ） A 、305 B 、65C 、2D 、24. 【2013云南省第一次高中毕业生统一检测复习】抛物线22x y =的焦点坐标是 （A ）1(,0)2 （B ）1(0,)2（C ）(1,0) （D ）(0,1)5. 【2012年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测】若实数yx z x y x y x y x 230001,+=⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-则满足的最小值是A ．0 B. 1 C. 3 D. 9 【答案】B【解析】可行域如图，可知B(0,1),O(0,0),由1=011(),=022x y A x y -+⎧-⎨+⎩，，显然当目标函数2z x y '=+过点O 是取得最小值为0，故23x y z +=的最小值为1.6. 【原创题】右图所示的是根据输入的x 值计算y 的值的程序框图，若x 依次取数列)(162*∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧+N n n n 中的项，则所得y 值的最小值为A.16B.8C.4D.32 【答案】16 【解析】2*1616,8(48,n n N n n x n n+∈=+≥==≥当时，“”成立），即由程序框图可知，当x=8是运行=2y x ，故此时y 值的最小值为16.7. 【广东省珠海市2013届高三9月摸底一模考试】如图是某几何体的三视图，则此几何体的体积是 A ．36 B ．108 C ．72 D ．180 【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是一个有正四棱柱和上面的一个正四棱锥，其体积为1662+663=108.3⨯⨯⨯⨯⨯ 8. .【2013年河南省开封市高考数学一模试卷】已知直线ax ﹣by ﹣2=0与曲线y=x 3在点P （1，1）处的切线互相垂xyBA O-1x-y+1=0x+y=0x+2y=0直，则为（ ） A ．B ．C ．D ．9. 【山东省日照市2012届高三下学期5月份模拟训练】要得到函数)42cos(3π-=x y 的图象，可以将函数x y 2sin 3=的图象（A ）沿x 轴向左平移8π个单位 （B ）沿x 向右平移8π个单位 （C ）沿x 轴向左平移4π个单位 （D ）沿x 向右平移4π个单位10. 【山东省泰安市2012届高三第一次模拟考试】F 1、F 2为双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的焦点，A 、B 分别为双曲线的左、右顶点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且满足∠MAB=30°，则该双曲线的离心率为（ ） A212 B 213 C 193 D 19211. 【原创题】如图，平面四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，CDBD BD ⊥=,2，将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥BD A '平面BCD ，若四面体BCD A -'顶点在同一个球面上，则该球的体积为A. π23B. π3C. π32D. π212. 【2013年临沂市高三教学质量检测考试】已知函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[0,1]x ∈时，2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是(A) (0,)+∞ (B) 1(0,]2 (C) 1(0,]4 (D) 11[,]43【答案】CDCBA 'D CB A第11题【解析】由)()1(x f x f -=+得，)()2(x f x f =+，所以函数)(x f 为周期为2的周期函数，又因为函数)(x f 为偶函数，有)()()1(x f x f x f -=--=+-，所以有)1()1(+=+-x f x f ，所以函数)(x f 关于1=x 对称，令0)1()()(=+-=x k x f x g ，得函数)1()(+=x k x f ，令函数)1(+=x k y ，做出函数)(x f 和函数)1(+=x k y 的图象，如图：当直线)1(+=x k y 必须过点)1,3(C 时有4个交点，此时直线)1(+=x k y 的斜率为41)1(301=---=k ，要使函数)1()()(+-=x k x f x g 有四个零点，则直线的斜率410≤<k ，选C.第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
高考数学测试卷全国高校自主招生数学模拟试卷8
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷八一、选择题（36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确嘚．请将正确答案嘚代表字母填在题后嘚括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出嘚代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知a 为给定嘚实数，那么集合M={x| x 2-3x-a 2+2=0，x ∈R}嘚子集嘚个数为（A ）1（B ）2（C ） 4（D ） 不确定【答】（ C ）【解】 方程x 2-3x-a 2+2=0嘚根嘚判别式Δ=1+4a 2>0，方程有两个不相等嘚实数根．由M 有2个元素，得集合M 有22=4个子集．2． 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等嘚点;命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等嘚点; 命题3 长方体中，必存在到各面距离相等嘚点. 以上三个命题中正确嘚有（A ） 0个 （B ） 1个 （C ） 2个 （D ） 3个 【答】（ B）【解】 只有命题1对．3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以π为周期、在(0，2π)上单调递增嘚偶函数是（A ）y=sin|x|（B ）y=cos|x| （C ）y=|ctgx|（D ）y=lg|sinx|【答】（ D ）【解】 y=sin|x|不是周期函数．y=cos|x|=cosx 以2π为周期．y=|ctgx|在（0，2π）上单调递减．只有y=lg|sinx|满足全部条件．4．如果满足∠ABC=60°，AC=12， BC=k 嘚△ABC 恰有一个，那么k 嘚取值范围是（A ） k=38 （B ）0<k ≤12 （C ） k ≥12 （D ） 0<k ≤12或k=38 【答】（ D ）【解】 根据题设，△ABC共有两类如图．易得k=38或0<k ≤12．本题也可用特殊值法，排除（A ）、（B ）、（C ）． 5．若10002)1(x x ++嘚展开式为200020002210x a x a x a a ++++ ，则19989630a a a a a +++++ 嘚值为（A ）3333（B ） 6663（C ） 9993（D ） 20013【答】（ C ）【解】 令x=1可得10003=20003210a a a a a +++++ ；令x=ω可得0=20002000332210ωωωωa a a a a +++++ ；（其中i 2321+-=ω，则3ω=1且2ω+ω+1=0）令x=2ω可得0=400020006342210ωωωωa a a a a +++++ ．以上三式相加可得10003=3（19989630a a a a a +++++ ）．所以19989630a a a a a +++++ =9993．6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨嘚价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨嘚价格之和小于22元，则2枝玫瑰嘚价格和3枝康乃馨嘚价格比较结果是（）．12kCBA 60°12kABC60°（A ）2枝玫瑰价格高 （B ）3枝康乃馨价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定 【答】（ A）【解】 设玫瑰与康乃馨嘚单价分别为x 、y 元/枝．则6x+3y>24,4x+5y<22.令6x+3y=a>24,4x+5y=b<22,解出x=)35(181b a -,y=)23(91a b -.所以2x-3y=)22122411(91)1211(91⨯-⨯>-b a =0，即2x>3y ． 也可以根据二元一次不等式所表示嘚区域来研究．二、填空题（54分，每小题9分） 7．椭圆θρcos 21-=嘚短轴长等于332．【解】 .31)(,1)0(=-==+=c a c a πρρ故3331,32=⇒==b c a ．从而3322=b ．8．若复数z 1，z 2满足| z 1|=2，| z 2|=3，3z 1-2z 2=i -23，则z 1·z 2=i 13721330+-． 【解】由3z 1-2z 2=2111222131z z z z z z ⋅⋅-⋅⋅=)32(611221z z z z -可得=+-⨯-=--=--=i iz z z z z z z z z z 2323632)23(632)23(61221122121i 13721330+-．本题也可设三角形式进行运算．9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1嘚棱长为1，则直线A 1C 1与BD 1嘚距离是66． 【解】 作正方体嘚截面BB 1D 1D ，则A 1C 1⊥面BB 1D 1D ．设A 1C 1与B 1D 1交于点O ，在面BB 1D 1D 内作OH ⊥BD 1，H为垂足，则OH 为A 1C 1与BD 1嘚公垂线．显然OH 等于直角三角形BB 1D 1斜边上高嘚一半，即OH=66．10. 不等式232log 121>+x 嘚解集为),4()2,1()1,0(72+∞ ． 1111HODC B ADCBA【解】232log 121>+x 等价于232log 121>+x 或232log 121-<+x ． 即21log 121->x 或27log 121-<x． 此时2log 21-<x 或0log 21>x 或0log 7221<<-x ．∴解为x >4或0<x<1 或 1<x<722． 即解集为),4()2,1()1,0(72+∞ ．11．函数232+-+=x x x y 嘚值域为),2[)23,1[+∞ ．【解】232+-+=x x x y ⇒0232≥-=+-x y x x ．两边平方得2)32(2-=-y x y ，从而23≠y 且3222--=y y x ．由03222≥---=-y y y x y ⇒231032232<≤⇒≥-+-y y y y 或2≥y ． 任取2≥y ，令3222--=y y x ，易知2≥x ，于是0232≥+-x x 且232+-+=x x x y ．任取231<≤y ，同样令3222--=y y x ，易知1≤x ，于是0232≥+-x x 且232+-+=x x x y ．因此，所求函数嘚值域为),2[)23,1[+∞ ．12． 在一个正六边形嘚六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻嘚两块种不同嘚植物．现有4种不同嘚植物可供选择，则有 732 种栽种方案． 【解】考虑A 、C 、E 种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种方法．考虑A 、C 、E 种二种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法． 考虑A 、C 、E 种三种植物，此时共有P 43×2×2×2=192种方法． 故总计有108+432+192=732种方法．AB C DEF三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且b 1=a 12，b 2=a 22，b 3=a 32（a 1<a 2） ，又12)(lim 21+=++++∞→n n b b b ．试求{a n }嘚首项与公差．【解】 设所求公差为d ，∵a 1<a 2，∴d>0．由此得 a 12(a 1+2d)2=(a 1+d)4 化简得2a 12+4a 1d+d 2=0解得d=(22±-) a 1.………………………………………………………………5分 而22±-<0，故a 1<0．若d=(22--) a 1，则22122)12(+==a a q ；若d=(22+-)a 1，则22122)12(-==a a q ；…………………………………………10分但12)(lim 21+=++++∞→n n b b b 存在，故|q|<1．于是2)12(+=q 不可能．从而2)12)(222(12)12(121221=+-=⇒+=--a a ．所以a 1=2-，d=(22+-) a 1=(22+-)(2-)=222-．……………………20分14．设曲线C 1：1222=+y ax （a 为正常数）与C 2：y 2=2（x+m ） 在x 轴上方仅有一个公共点P ．⑴ 求实数m 嘚取值范围（用a 表示）；⑵ O 为原点，若C 1与x 轴嘚负半轴交于点A ，当0<a<21时，试求ΔOAP 嘚面积嘚最大值（用a 表示）．⑴ 【解】 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(2,12222m x y y a x 消去y 得，x 2+2a 2x+2a 2m-a 2=0． ①设f(x)= x 2+2a 2x+2a 2m-a 2，问题⑴转化为方程①在x ∈(-a ，a)上有唯一解或等根．只须讨论以下三种情况：1︒ Δ=0得 m=212+a ．此时 x p = -a 2，当且仅当-a<-a 2<a ，即0<a<1时适合；2︒ f(a )·f(-a)<0当且仅当–a<m<a ；3︒ f(-a)=0得m=a ．此时 x p =a-2a 2，当且仅当-a< a-2a 2<a ，即0<a<1时适合．f(a)=0得m=-a ，此时 x p =-a-2a 2，由于-a-2a 2<-a ，从而m ≠-a ．综上可知，当0<a<1时，m=212+a 或-a<m ≤a ；当a ≥1时，-a<m<a.……………………………………………………10分 ⑵ 【解】 ΔOAP 嘚面积S=21ay p ． ∵0<a<21，故-a<m ≤a 时，a m a a a <-++-<21022，由唯一性得x p =m a a a 2122-++-．显然当m=a 时，x p 取值最小．由于x p >0，从而221a x y p p -=取值最大，此时y p =22a a -，∴S=a 2a a -．当m=212+a 时，x p =-a 2，y p =21a -，此时S=21a 21a -．下面比较a 2a a -与21a 21a -嘚大小： 令a 2a a -=21a 21a -，得a=31.故当0<a ≤31时 , 2121)1(a a a a a -≤-．此时S max =2121a a -．当31<a<21时，2121)1(a a a a a ->-．此时S max = a 2a a -．……………20分15．用电阻值分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5 、a 6 (a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6) 嘚电阻组装成一个如图嘚组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你嘚结论．【解】 设6个电阻嘚组件（如图3）嘚总电阻为R FG ．当R i =a i ，i=3，4，5，6，R 1，R 2是a 1，a 2嘚任意排列时，R FG 最小．…………………………………………5分证明如下1°设当两个电阻R 1，R 2并联时，所得组件阻值为R ：则21111R R R +=．故交换二电阻嘚位置，不改变R 值，且当R 1或R 2变小时，R 也减小，因此不妨取R 1>R 2．2°设3个电阻嘚组件(如图1)嘚总电阻为R AB ：2132********1R R R R R R R R R R R R R R AB +++=++=．显然R 1+R 2越大，R AB 越小，所以为使R AB 最小必须取R 3为所取三个电阻中阻值最小嘚一个．3°设4个电阻嘚组件(如图2)嘚总电阻为R CD ： 43243142142324131214111R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R AB CD ++++++=+=．若记∑≤<≤=411j i jiRR S ，∑≤<<≤=412k j i kjiRR R S ．则S 1、S 2为定值．于是4313212R R S R R R S R CD --=．只有当R 3R 4最小，R 1R 2R 3最大时，R CD 最小，故应取R 4<R 3，R 3<R 2，R 3<R 1，即得总电阻嘚阻值最小．……………………………………………………………………15分4°对于图3，把由R 1、R 2、R 3组成嘚组件用等效电阻R AB 代替．要使R FG 最小，由3°必需使R 6<R 5；且由1°，应使R CE 最小．由2°知要使R CE 最小，必需使R 5< R 4，且应使R CD 最小．而由3°，要使R CD 最小，应使R 4< R 3 < R 2且R 4< R 3 < R 1．这就说明，要证结论成立………………………………………………………20分图1BAR 1R 3R 2图2DCR 3R 4R 1R 2 E GR1AR2R4R6R3R5BCDF G图3。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳一、填空题（64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ． 5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ． 二、解答题（56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二参考答案1．{3,0,2,6}-. 提示：显然，在A 的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以15853)1()(34321=+++-=+++a a a a ，故54321=+++a a a a ，于是集合A 的四个元素分别为5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5＝0，5－8＝－3，因此，集合}6,2,0,3{-=A ．2．(,](1,)2-∞-+∞ . 提示：设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ．设)4sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且0≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．3．-1. 提示：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+．又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是ab b a 22=+． ②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎪⎩⎪⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,12,12b a故1log -=b a ．4．⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ. 提示：不等式 )cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-等价于θθθθ5353cos 71cos sin 71sin +>+.又5371)(x x x f +=是),(+∞-∞上的增函数，所以θθcos sin >，故 ∈+<<+k k k (45242ππθππZ )． 因为)2,0[πθ∈，所以θ的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛45,4ππ． 5．15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：（1）有一个项目有3人参加，共有3600!5!51537=⋅-⋅C C 种方案；（2）有两个项目各有2人参加，共有11400!5!5)(21252527=⋅-⋅⋅C C C 种方案；所以满足题设要求的方案数为15000114003600=+．6提示：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设M P ,分别为CD AB ,的中点，则N 在DP 上，且DP ON ⊥，CD OM ⊥．因为︒=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得32sin ,31cos ==θθ．在△DMN 中，33233232,121=⋅⋅=⋅===DP DN CD DM ．由余弦定理得231312)3(1222=⋅⋅⋅-+=MN ，故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径3322sin ===θMNOD ．故球O 的半径3=R ．7．)2,1(-或)6,9(-．提示： 设)2,(),,(),,(22211t t C y x B y x A ，由⎩⎨⎧==--,4,0122x y y x 得 0482=--y y ，则821=+y y ，421-=⋅y y ．又12,122211+=+=y x y x ，所以182)(22121=++=+y y x x ， 11)(24212121=+++⋅=⋅y y y y x x ．A BC DOP MN因为︒=∠90ACB ，所以0=⋅，即有0)2)(2())((212212=--+--y t y t x t x t ，即0)(24)(21212212214=⋅++-+⋅++-y y t y y t x x t x x t ，即03161424=---t t t ，即0)14)(34(22=--++t t t t ．显然0142≠--t t ，否则01222=-⋅-t t ，则点C 在直线012=--y x 上，从而点C 与点A 或点B 重合．所以0342=++t t ，解得3,121-=-=t t ．故所求点C 的坐标为)2,1(-或)6,9(-．8．15. 提示：=n a C 65400320020023nnn--⋅⋅．要使)951(≤≤n a n 为整数，必有65400,3200nn --均为整数，从而4|6+n ． 当=n 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，3200n -和65400n-均为非负整数，所以n a 为整数，共有14个．当86=n 时，=86a C 5388620023-⋅⋅，在C !114!86!20086200⋅=中，!200中因数2的个数为1972200220022002200220022002200765432=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡， 同理可计算得!86中因数2的个数为82，!114中因数2的个数为110，所以C 86200中因数2的个数为511082197=--，故86a 是整数．当92=n 时，=92a C 10369220023-⋅⋅，在C !108!92!20092200⋅=中，同样可求得!92中因数2的个数为88,!108中因数2的个数为105,故C 86200中因数2的个数为410588197=--，故92a 不是整数． 因此，整数项的个数为15114=+．9．因为)21()(++-=b b f a f ，所以 |)2lg(||)21lg(||)121lg(||)1lg(|+=+=+++-=+b b b b a ，所以21+=+b a 或1)2)(1(=++b a ，又因为b a <，所以21+≠+b a ，所以1)2)(1(=++b a ．又由|)1lg(|)(+=a a f 有意义知10+<a ，从而2110+<+<+<b b a ，于是2110+<<+<b a ．所以1210)2(6)2(6)1(101)21610(>+++=+++=+++b b b a b a ． 从而]210)2(6lg[|]210)2(6lg[|)21610(+++=+++=++b b b b b a f ． 又2lg 4)21610(=++b a f ，所以2lg 4]210)2(6lg[=+++b b ， 故16210)2(6=+++b b ．解得31-=b 或1-=b （舍去）． 把31-=b 代入1)2)(1(=++b a 解得52-=a ． 所以 52-=a ，31-=b ．10．（1）由原式变形得112)1)(1(211--++-=++n n n n n t a a t a ，则2111)1(212)1(21111+-+-+=-++=-+++n n n n n n n n n t a t a t a a t a ． 记n nn b t a =-+11，则221+=+n n n b b b ，21221111=--=-+=t t t a b ． 又211,211111=+=+b b b n n ，从而有 221)1(111n n b b n =⋅-+=， 故 n t a n n 211=-+，于是有 1)1(2--=nt a n n ．（2）nt n t a a n n n n )1(21)1(211--+-=-++[])1)(1()1()1()1(211--++++-+++++-=n n n t t n t t t n n n t[][])()()1()1()1(2)1()1()1(211---++-+-+-=+++-+-=n n n n n n t t t t t n n t t t nt n n t[]132212)1()1()1()1(2-----++++++++++-=n n n n n t t t t t t n n t ， 显然在)1(0≠>t t 时恒有01>-+n n a a ，故n n a a >+1．11．（1）设直线l ：m x y +=31，),(),,(2211y x B y x A ． 将m x y +=31代入143622=+y x 中，化简整理得03696222=-++m mx x ．于是有2369,322121-=-=+m x x m x x ，232,2322211--=--=x y k x y k PB PA ． 则PA PB k k +==，上式中，分子)23)(231()23)(231(1221--++--+=x m x x m x)2(26))(22(322121--+-+=m x x m x x )2(26)3)(22(2369322----+-⋅=m m m m 0122626312322=+-+--=m m m m ，从而，0=+PB PA k k ．又P 在直线l 的左上方，因此，APB ∠的角平分线是平行于y 轴的直线，所以△PAB 的内切圆的圆心在直线23=x 上．（2）若︒=∠60APB 时，结合（1）的结论可知3,3-==PB PA k k ． 直线PA 的方程为：)23(32-=-x y ，代入143622=+y x 中，消去y 得0)3313(18)331(69142=-+-+x x ．它的两根分别是1x 和23，所以14)3313(18231-=⋅x ，即14)3313(231-=x ．所以7)133(23|23|)3(1||12+=-⋅+=x PA ．同理可求得7)133(23||-=PB ．所以1||||sin 60212PAB S PA PB ∆=⋅⋅⋅︒==。
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十三
取CD中点G，则AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE是二面角A—CD—E的平面角．由BD⊥AC，作平面BDF⊥棱AC交AC于F，则∠BFD为二面角B—AC—D的平面角．
AG=EG=，BF=DF=，AE=2=2．
由cos∠AGE=cos∠BFD，得=．
解：只要考虑|AP|最长与最短时所在线段扫过的面积即可．
设P(1+cosθ，θ)，
则|AP|2=22+(1+cosθ)2－2·2(1+cosθ)cosθ=－3cos2θ－2cosθ+5
=－3(cosθ+)2+≤．且显然|AP|2能取遍[0，]内的一切值，故所求面积=π．
4．已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________。
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
二、填空题(本题满分54分，每小题9分)
1．集合{x|－1≤log10<－，x∈N*}的真子集的个数是．
2．复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，·z2的实部为零，z1的辐角主值为，则z2=_______．
3．曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______．
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十三
命题人：南昌二中高三（01）班张阳阳
一、选择题(本题满分36分，每题6分)
1．把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( )
2013年自主招生数学试题及答案
2013年自主招生数学试题一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（ ）A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(x x x x -=+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <， 所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫 做（ ）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1x x-的值是（ ）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数ky x=的图像还必过点（ ）A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m nm n m n -=+，那么51*22＝（ ）A.54B.5C.3D.96、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（ ）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（ ）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且θ=，则角θ所对的弦长等于（ ）A.8B.10C. D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（ ）深的水才能完全淹没筷子。
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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷八 命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳一、选择题（36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．1．已知a 为给定的实数，那么集合M ={x | x 2-3x -a 2+2=0，x ∈R}的子集的个数为（A ）1（B ）2 （C ） 4（D ） 不确定【答】（ C）【解】 方程x 2-3x -a 2+2=0的根的判别式Δ=1+4a 2>0，方程有两个不相等的实数根．由M 有2个元素，得集合M 有22=4个子集．2． 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点;命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有（A ） 0个 （B ） 1个 （C ） 2个 （D ） 3个【答】（ B）【解】 只有命题1对．3．在四个函数y =sin|x |，y =cos|x |，y =|ctg x |，y =lg|sin x |中以π为周期、在(0，2π)上单调递增的偶函数是 （A ）y =sin|x | （B ）y =cos|x | （C ）y =|ctg x |（D ）y =lg|sin x |【答】（ D）【解】 y =sin|x |不是周期函数．y =cos|x |=cos x 以2π为周期．y =|ctg x |在（0，2π）上单调递减．只有y =lg|sin x |满足全部条件．4．如果满足∠ABC =60°，AC =12， BC =k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是（A ） k =38 （B ）0<k ≤12 （C ） k ≥12 （D ） 0<k ≤12或k =38【答】（ D）【解】 根据题设，△ABC 共有两类如图．易得k =38或0<k ≤12．本题也可用特殊值法，排除（A ）、（B ）、（C ）． 5．若10002)1(x x ++的展开式为200020002210x a x a x a a ++++ ，12kCBA60°12kABC60°则19989630a a a a a +++++ 的值为（A ）3333 （B ） 6663 （C ） 9993 （D ） 20013【答】（ C）【解】 令x =1可得10003=20003210a a a a a +++++ ； 令x =ω可得0=20002000332210ωωωωa a a a a +++++ ；（其中i 2321+-=ω，则3ω=1且2ω+ω+1=0）令x =2ω可得0=400020006342210ωωωωa a a a a +++++ ．以上三式相加可得10003=3（19989630a a a a a +++++ ）． 所以19989630a a a a a +++++ =9993．6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（）． （A ）2枝玫瑰价格高 （B ）3枝康乃馨价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定【答】（ A）【解】 设玫瑰与康乃馨的单价分别为x 、y 元/枝．则6x +3y >24,4x +5y <22.令6x +3y =a >24,4x +5y =b <22,解出x =)35(181b a -,y =)23(91a b -.所以2x -3y =)22122411(91)1211(91⨯-⨯>-b a =0，即2x >3y ．也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究．二、填空题（54分，每小题9分） 7．椭圆θρcos 21-=的短轴长等于332．【解】 .31)(,1)0(=-==+=c a c a πρρ故3331,32=⇒==b c a ．从而3322=b ．8．若复数z 1，z 2满足| z 1|=2，| z 2|=3，3z 1-2z 2=i -23，则z 1·z 2=i 13721330+-．【解】由3z 1-2z 2=2111222131z z z z z z ⋅⋅-⋅⋅=)32(611221z z z z -可得=+-⨯-=--=--=iiz z z z z z z z z z 2323632)23(632)23(61221122121i13721330+-．本题也可设三角形式进行运算．9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则直线A 1C 1与BD 1的距离是66．【解】 作正方体的截面BB 1D 1D ，则A 1C 1⊥面BB 1D 1D ．设A 1C 1与B 1D 1交于点O ，在面BB 1D 1D 内作OH ⊥BD 1，H 为垂足，则OH 为A 1C 1与BD 1的公垂线．显然OH 等于直角三角形BB 1D 1斜边上高的一半，即OH =66．10. 不等式232log121>+x的解集为),4()2,1()1,0(72+∞ ．【解】232l o g 121>+x等价于232log 121>+x 或232log 121-<+x ． 即21log121->x或27log121-<x．此时2log21-<x 或0log21>x 或0log7221<<-x ．∴解为x >4或0<x <1 或 1<x <722． 即解集为),4()2,1()1,0(72+∞ ． 11．函数232+-+=x x x y 的值域为),2[)23,1[+∞ ．【解】232+-+=x x x y ⇒0232≥-=+-x y x x ．两边平方得2)32(2-=-y x y ，从而23≠y 且3222--=y y x ．由03222≥---=-y y y x y ⇒231032232<≤⇒≥-+-y y y y 或2≥y ．任取2≥y ，令3222--=y y x ，易知2≥x ，于是0232≥+-x x 且232+-+=x x x y ．任取231<≤y ，同样令3222--=y y x ，易知1≤x ，于是0232≥+-x x 且232+-+=x x x y ．1111 HODCBA D CBAAB C DEF因此，所求函数的值域为),2[)23,1[+∞ ．12． 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有 732 种栽种方案． 【解】考虑A 、C 、E 种同一种植物，此时共有4×3×3×3=108种方法．考虑A 、C 、E 种二种植物，此时共有3×4×3×3×2×2=432种方法． 考虑A 、C 、E 种三种植物，此时共有P 43×2×2×2=192种方法． 故总计有108+432+192=732种方法．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且b 1=a 12，b 2=a 22，b 3=a 32（a 1<a 2） ，又12)(lim 21+=++++∞→n n b b b ．试求{a n }的首项与公差．【解】 设所求公差为d ，∵a 1<a 2，∴d >0．由此得 a 12(a 1+2d )2=(a 1+d )4 化简得2a 12+4a 1d +d 2=0 解得d =(22±-) a 1.………………………………………………………………5分而22±-<0，故a 1<0．若d =(22--) a 1，则22122)12(+==a a q ；若d =(22+-)a 1，则22122)12(-==aa q ；…………………………………………10分但12)(lim 21+=++++∞→n n b b b 存在，故|q |<1．于是2)12(+=q 不可能．从而2)12)(222(12)12(121221=+-=⇒+=--a a ．所以a 1=2-，d =(22+-) a 1=(22+-)(2-)=222-．……………………20分14．设曲线C 1：1222=+y ax （a 为正常数）与C 2：y 2=2（x +m ） 在x 轴上方仅有一个公共点P ．⑴ 求实数m 的取值范围（用a 表示）；⑵ O 为原点，若C 1与x 轴的负半轴交于点A ，当0<a <21时，试求ΔOAP 的面积的最大值（用a 表示）．⑴ 【解】 由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(2,12222m x y y a x 消去y 得，x 2+2a 2x +2a 2m -a 2=0． ①设f (x )= x 2+2a 2x +2a 2m -a 2，问题⑴转化为方程①在x ∈(-a ，a )上有唯一解或等根．只须讨论以下三种情况：1︒ Δ=0得 m =212+a ．此时 x p = -a 2，当且仅当-a <-a 2<a ，即0<a <1时适合；2︒ f (a )·f (-a )<0当且仅当–a <m <a ；3︒ f (-a )=0得m =a ．此时 x p =a -2a 2，当且仅当-a < a -2a 2<a ，即0<a <1时适合．f (a )=0得m =-a ，此时 x p =-a -2a 2，由于-a -2a 2<-a ，从而m ≠-a ． 综上可知，当0<a <1时，m =212+a 或-a <m ≤a ；当a ≥1时，-a <m <a .……………………………………………………10分 ⑵ 【解】 ΔOAP 的面积S =21ay p ．∵0<a <21，故-a <m ≤a 时，a m a a a <-++-<21022，由唯一性得x p =m a a a 2122-++-．显然当m =a 时，x p 取值最小．由于x p >0，从而221ax y p p -=取值最大，此时y p =22a a -，∴S =a 2a a -． 当m =212+a 时，x p =-a 2，y p =21a -，此时S =21a 21a-．下面比较a 2a a -与21a 21a -的大小：令a 2a a -=21a 21a -，得a =31.故当0<a ≤31时 , 2121)1(aa a a a -≤-．此时S max =2121aa-．当31<a <21时，2121)1(aa a a a ->-．此时S max = a 2a a -．……………20分15．用电阻值分别为a 1、a 2、a 3、a 4、a 5 、a 6 (a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．【解】 设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为R FG ．当R i =a i ，i =3，4，5，6，R 1，R 2是a 1，a 2的任意排列时，R FG 最小．…………………………………………5分证明如下1°设当两个电阻R 1，R 2并联时，所得组件阻值为R ：则21111R R R +=．故交换二电阻的位置，不改变R 值，且当R 1或R 2变小时，R 也减小，因此不妨取R 1>R 2．2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为R AB ：2132312132121R R R R R R R R R R R R R R AB +++=++=．显然R 1+R 2越大，R AB 越小，所以为使R AB 最小必须取R 3为所取三个电阻中阻值最小的一个．3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为R CD ：43243142142324131214111R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R ABCD++++++=+=．若记∑≤<≤=411j i jiRR S ，∑≤<<≤=412k j i k jiR RR S ．则S 1、S 2为定值．于是4313212R R S R R R S R CD --=．只有当R 3R 4最小，R 1R 2R 3最大时，R CD 最小，故应取R 4<R 3，R 3<R 2，R 3<R 1，即得总电阻的阻值最小．……………………………………………………………………15分4°对于图3，把由R 1、R 2、R 3组成的组件用等效电阻R AB 代替．要使R FG 最小，由3°必需使R 6<R 5；且由1°，应使R CE 最小．由2°知要使R CE 最小，必需使R 5< R 4，且应使R CD 最小．而由3°，要使R CD 最小，应使R 4< R 3 < R 2且R 4< R 3 < R 1．这就说明，要证结论成立………………………………………………………20分图 1BAR 1 R 3R 2图2DCR 3R 4R 1R 2E G图3R 1 A R 2 R 4R 6R 3R 5B CD F GE。