2018年北师大必修5数学《等差数列的性质及应用》习题精选含答案

第2课时等差数列的性质及应用
课后篇巩固探究
A组
1.已知等差数列{a n}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是()
A.15
B.30
C.31
D.64
解析:∵{a n}是等差数列,∴a7+a9=a4+a12,
∴a12=16-1=15.
答案:A
2.已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()
A.-1
B.1
C.3
D.7
解析:∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105,
解得a3=35,同理由a2+a4+a6=99,得a4=33.
∵d=a4-a3=33-35=-2,
∴a20=a4+(20-4)d=33+16×(-2)=1.
答案:B
3.若{a n}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有()
①{a n+3}②{}③{a n+1-a n}④{2a n}⑤{2a n+n}
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:根据等差数列的定义判断,若{a n}是等差数列,则{a n+3},{a n+1-a n},{2a n},{2a n+n}均为等
差数列,而{}不一定是等差数列.
答案:D
4.已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有()
A.a1+a101>0
B.a2+a100<0
C.a3+a100≤0
D.a51=0
解析:由题设a1+a2+a3+…+a101=101a51=0,得a51=0.
答案:D
5.若等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为()
A.a n=2n-5
B.a n=2n-3
C.a n=2n-1
D.a n=2n+1
解析:∵x-1,x+1,2x+3是等差数列的前三项,
∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0.
∴a1=x-1=-1,a2=1,a3=3,∴d=2.
∴a n=-1+2(n-1)=2n-3,故选B.
答案:B
6.在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9=.
解析:由等差数列的性质,
得(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9)=2(a2+a5+a8),
即39+(a3+a6+a9)=2×33,
故a3+a6+a9=66-39=27.
答案:27
7.若lg 2,lg(2x-1),lg(2x+3)成等差数列,则x的值是.
解析:由题意,知2lg(2x-1)=lg 2+lg(2x+3),
则(2x-1)2=2(2x+3),即(2x)2-4·2x-5=0,
∴(2x-5)(2x+1)=0,∴2x=5,∴x=log25.
答案:log25
8.已知一个等差数列由三个数构成,这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为.
答案:1,3,5或5,3,1
9.在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{a n}的通项公式.
解∵a1+a7=2a4=a2+a6,
∴a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5,
∴a2+a6=10,a2a6=9.
∴a2,a6是方程x2-10x+9=0的两根.
∴
若a2=1,a6=9,则d==2,∴a n=2n-3.
若a2=9,a6=1,则d==-2,∴a n=13-2n.
∴数列{a n}的通项公式为a n=2n-3或a n=13-2n.
10.已知f(x)=x2-2x-3,等差数列{a n}中,a1=f(x-1),a2=-,a3=f(x),求:
(1)x的值;
(2)通项a n.
解(1)由f(x)=x2-2x-3,得a1=f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x,a3=x2-2x-3,
又因为{a n}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即-3=x2-4x+x2-2x-3,解得x=0或x=3.
(2)当x=0时,a1=0,d=a2-a1=-,
此时a n=a1+(n-1)d=-(n-1);
当x=3时,a1=-3,d=a2-a1=,
此时a n=a1+(n-1)d=(n-3).
B组
1.在数列{a n}中,若a2=2,a6=0,且数列是等差数列,则a4等于()
A. B. C. D.
解析:令b n=,则b2=,b6==1.
由题意知{b n}是等差数列,
∴b6-b2=(6-2)d=4d=,∴d=.
∴b4=b2+2d=+2×.
∵b4=,∴a4=.
答案:A
2.已知数列{a n}为等差数列,且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为()
A. B.± C.- D.-
解析:∵{a n}为等差数列,∴a1+a7+a13=3a7=4π.
∴a7=,tan(a2+a12)=tan 2a7=tan=-.
答案:D
3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()
A.1升
B.升
C.升
D.升
解析:设所构成的等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,
由题意得
解得所以a5=a1+4d=.
答案:B
4.导学号33194007在等差数列{a n}中,如果a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0()
A.无实根
B.有两个相等实根
C.有两个不等实根
D.不能确定有无实根
解析:∵a4+a6=a2+a8=2a5,即3a5=9,∴a5=3.
又a4+a6=2a5=6,
∴关于x的方程为x2+6x+10=0,则判别式Δ=62-4×10<0,∴无实数解.
答案:A
5.已知log a b,-1,log b a成等差数列,且a,b为关于x的方程x2-cx+d=0的两根,则d=.
解析:由已知,得log a b+log b a=-2,即=-2,从而有(lg a+lg b)2=0,可得lg a=-lg b=lg,
即ab=1.
故由根与系数的关系得d=ab=1.
答案:1
6.导学号33194008已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为
的等差数列,则|m-n|=.
解析:由题意设这4个根为+d,+2d,+3d.
可得=2,∴d=.
∴这4个根依次为.
∴n=,m=或n=,m=.∴|m-n|=.
答案:
7.两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,那么它们共有多少相同的项?
解在数列{a n}中,a1=5,公差d1=8-5=3.
∴a n=a1+(n-1)d1=3n+2.
在数列{b n}中,b1=3,公差d2=7-3=4,
∴b n=b1+(n-1)d2=4n-1.
令a n=b m,则3n+2=4m-1,∴n=-1.
∵m,n∈N+,∴m=3k(k∈N+),
又解得0<m≤75.
∴0<3k≤75,∴0<k≤25,∴k=1,2,3, (25)
∴两个数列共有25个公共项.
8.导学号33194009已知数列{a n}中,a1=,a n a n-1+1=2a n-1(n≥2,n∈N+).数列{b n}中,b n=(n∈N+).
(1)求证:{b n}是等差数列;
(2)求数列{a n}的通项公式,并求其最大、最小项.
(1)证明由a n a n-1+1=2a n-1,得a n a n-1-a n-1=a n-1-1,
∴=b n,又b n-1=,
∴b n-b n-1==1(n≥2,n∈N+).
∵b1==-,
∴数列{b n}是以-为首项,1为公差的等差数列.
(2)解由(1)知b n=n-3.5,
又由b n=得a n=1+=1+.
点(n,a n)在函数y=+1的图像上.
显然,在区间(3.5,+∞)上,y=+1递减且y>1;在区间(0,3.5)上,y=+1递减且y<1.因此,当n=4时,a n取得最大值3;当n=3时,a n取得最小值-1.。