吉林省实验中学2015届高三上学期第三次质量检测数学(文)试题含解析

吉林省实验中学2015届高三上学期第三次质量检测数学（文）试题（解析版）本试卷是高三文科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、导数、圆锥曲线、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、立体几何，数列，参数方程，几何证明等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

【题文】1.已知集合A={03x N x ∈<<}，B={x 121x ->},则A B ⋂=( )A. Φ B{1} C.{2} D{1，2} 【知识点】集合及其运算A1【答案解析】C 由题意得A={1，2},B={ 1x x >}则A B ⋂={2}故选C. 【思路点拨】先求出集合A ,B 再求出A B ⋂。

【题文】2.已知i 是虚数单位，复数z=(1+2i)(1-i)对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案解析】A z=(1+2i)(1-i)=1-i+2i+2=3+i 故选A 【思路点拨】先化简求出结果【题文】3.如果a>0，b>c>0，则下列不等式中不正确的是( )A.a b a c -+>-+B.0ab ac ->C.11b c> > 【知识点】不等式的概念与性质E1【答案解析】C A 中b ＞c 两边同时加-a ，不等号方向不变，正确； B 中b ＞c 两边同时乘以a ，因为a ＞0，所以不等号方向不变，正确． C 中若b=2，c=1时，错误；D 正确．故选C 【思路点拨】由不等式的性质直接判断即可．【题文】4.错误！未找到引用源。

在区间错误！未找到引用源。

上的零点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【知识点】函数与方程B9A.720B.360C.240D.120【知识点】算法与程序框图L1【答案解析】B 执行程序框图，有n=6，m=4k=1，ρ=1 第一次执行循环体，ρ=3满足条件k ＜m ，第2次执行循环体，有k=2，ρ=12 满足条件k ＜m ，第3次执行循环体，有k=3，ρ=60 满足条件k ＜m ，第4次执行循环体，有k=4，ρ=360 不满足条件k ＜m ，输出p 的值为360．故选：B ．【思路点拨】执行程序框图，写出每次循环得到的k ，ρ的值，当有k=4，ρ=360时不满足条件k ＜m ，输出p 的值为360．【题文】6.关于直线l ，m 及平面α，β,下列命题中正确的是（ ） A.若l ∥α，α β=m ，则l ∥m B.若l ∥α，m ∥α，则l ∥mC.若l ⊥α，l ∥β，则α⊥βD.若l ∥α，m ⊥l ，则m ⊥α 【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系G4 G5 【答案解析】D A ．若l ∥α，α∩β=m ，．则l ，m 平行或异面，只有l ⊂β，才有l ∥m ．故A 错；B ．若l ∥α，m ∥α，则由线面平行的性质可得l ，m 平行、相交、异面，故B 错； C ．若l ⊥α，l ∥β，则由线面平行的性质定理，l ⊂γ，γ∩β=m ，则l ∥m ，又l ⊥α，故m ⊥α，由面面垂直的判定定理得，α⊥β，故C 正确；D ．若l ∥α，m ⊥l ，则m 与α平行、相交或在平面内，故D 错．故选C ．【思路点拨】由线面平行的性质定理可判断A ；又线面平行的性质定理和面面垂直的判定定理即可判断C ；由线面平行的性质定理可判断B ；由线面平行的性质定理可判断D 【题文】7.在△ABC 中,若4a =，3b =,1cos 3A =，则B =（ ） A.π4 B.π3 C.π6 D.2π3【思路点拨】先利用同角三角函数关系求得sinA 的值，进而利用正弦定理求得sinB 的值，最后求得B ．【题文】8.函数2()xf x x a=+的图象不可能．．．是 （ ）【知识点】函数的单调性与最值B3【答案解析】D 求导数222()()a x f x x a -'=+当a<0时为减函数，所以D 不可能，故选D. 【思路点拨】先求导数确定单调性确定增减性。

【题文】9.已知命题：“1a =”是“当02ax x x>+≥时，”的充分必要条件； 命题：．则下列命题正确的是（ ）A.命题∧是真命题B.命题（⌝）∧是真命题C.命题∧（⌝）是真命题 D.命题（⌝）∧（⌝）是真命题【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件A2【题文】10.已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足(1)5f =，对任意实数x 都有()3f x '<，则不等式()32f x x <+的解集为（ ）A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.(,1)-∞D.(1,)+∞pq02,0200>-+∈∃x x R x p q pqpqpq【知识点】导数的应用B12【答案解析】D 记g （x ）=f （x ）-3x ，∵对任意实数x 都有f′（x ）＜3， ∴g′（x ）=f′（x ）-3＜0，∴g （x ）定义在R 上的单调递减函数． ∵f （1）=5，∴g （1）=f （1）-3=5-3=2．∵f （x ）＜3x+2，∴f （x ）-3x ＜2，∴g （x ）＜g （1）． ∵g （x ）定义在R 上的单调递减函数，∴x ＞1．故选D ．【思路点拨】本题可以构造函数g （x ）=f （x ）-3x ，利用函数g （x ）的单调性将不等式转化为两个函数值的大小，得到自变量的大小关系，从而得到本题结论 【题文】11.已知函数1()3x f x a-=+(a >0且a ≠1)的图象过定点P ,且点P 在直线mx ＋ny －1＝0(m >0，且n >0)上，则1m ＋4n 的最小值是 ( ) A.12B.16C.25D.24a b+≤E6【题文】12.已知(0,)2x π∈，且函数12sin ()sin 2xf x x +=的最小值为m ，若函数21()42()864(0)4x g x x mx x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，则不等式()1g x ≤的解集为（） A.(,)42ππB. (4πC.D. )2πa b+≤ E6【思路点拨】利用三角函数的平方关系和商数关系及基本不等式即可得出f （x ）的最小值即b ．再利用一元二次不等式的解法、交集与并集的运算即可得出．第Ⅱ卷（非选择题）【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分。

【题文】13.在等比数列}{n a 中，12341,2,a a a a +=+=则5678a a a a +++=________ 【知识点】等比数列及等比数列前n 项和D3【答案解析】12 设{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2=1，a 3+a 4=q 2（a 1+a 2）=2，∴q 2=2， ∴a 5+a 6=q 2（a 3+a 4）=4，a 7+a 8=q2（a 5+a 6）=8，∴a 5+a 6+a 7+a 8=12．故答案为：12． 【思路点拨】可设{a n }的公比为q ，利用a 1+a 2=1，a 3+a 4=2，可求得q 2，从而可求得a 5+a 6与a 7+a 8．【题文】14.已知函数()f x 的导函数为)f x '（,且满足()2)ln ,)=f x xf e x f e '=+（则（____ 【知识点】导数的应用B12【思路点拨】利用求导法则求出f （x ）的导函数，把x=e 代入导函数中得到关于f′（e ）的方程，求出方程的解即可得到f′（e ）的值． 【题文】15.已知⎩⎨⎧≥<+-=)1()1(1)2()(x a x xa x f x满足：对任意实数12,x x ，当21x x ≠时都有0)()(2121>--x x x f x f 成立，那么a 的取值范围是___________【题文】16.设定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足以下三个条件时，称()f x 为“友谊函数”：（1）对任意的[]()0,10x f x ∈≥，总有； （2）()11f =；（3）若12120,01x x x x ≥≥+≤且，则有()()()1212f x x f x f x +≥+成立， 则下列判断正确的有_________ ①()f x 为“友谊函数”，则()00f =； ②函数()g x x =在区间[]0,1上是“友谊函数”；③若()f x 为“友谊函数”，且()()121201x x f x f x ≤<≤≤，则.【知识点】函数及其表示B1【答案解析】①②③ ①因为f （x ）为“友谊函数”， 则取x 1=x 2=0，得f （0）≥f （0）+f （0），即f （0）≤0， 又由f （0）≥0，得f （0）=0，故①正确； ②显然g （x ）=2x -1在[0，1]上满足：（1）g （x ）≥0；（2）g （1）=1， 若x 1≥0，x 2≥0，且x 1+x 2≤1，则有g （x 1+x 2）-[g （x 1）+g （x 2）]=2x 1+x 2-1-[（2x 1-1）+（2x 2-1）]=（2x 1-1）（2x 2-1）≥0，即g （x 1+x 2）≥g （x 1）+g （x 2），满足（3） 故g （x ）=2x -1满足条件（1）﹑（2）﹑（3）， 所以g （x ）=2x -1为友谊函数．故②正确； ③因为0≤x 1＜x 2≤1，则0＜x 2-x 1＜1，所以f （x 2）=f （x 2-x 1+x 1）≥f （x 2-x 1）+f （x 1）≥f （x 1）， 故有f （x 1）≤f （x 2）．故③正确； 故答案为：①②③．【思路点拨】①直接取x 1=x 2=0，利用f （x 1+x 2）≥f （x 1）+f （x 2）可得：f （0）≤0，再结合已知条件f （0）≥0即可求得f （0）=0； ②按照“友谊函数”的定义进行验证；③由0≤x 1＜x 2≤1，则0＜x 2-x 1＜1，故有f （x 2）=f （x 2-x 1+x 1）≥f （x 2-x 1）+f （x 1）≥f （x 1），即得结论成立．【题文】三、解答题本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

【题文】17.（本小题满分12分） 已知函数()cos (sin cos )1f x x x x =-+． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当π[,0]2x ∈-时，求函数()f x 的最大值和最小值． 【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】（Ⅰ）π（2）最小值π()8f -=最大值π()12f -=（2）解：由 π02x -≤≤，得5πππ2444x --≤≤-． 所以 π1sin(2)4x --≤ 所以π1)42x -+≤1，即()1f x ≤． 当ππ242x -=-，即π8x =-时，函数()f x 取到最小值π()8f -=当52442x x πππ-=-=-时，即时，函数()f x 取到最大值π()12f -= 【题文】18.（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++，曲线()y f x =上点(1,(1))P f 处的切线方程为310x y -+=.(1)若()y f x =在2x =-时有极值，求()y f x =的表达式； (2)在（1）的条件下求()y f x =在[3,2]-上的最值及相应的x 的值.H ABCDP MQy=f （x ）的表达式；（2）令f′（x ）=3x 2+4x-4=0，解出极值点，代入求极值与端点的函数值，从而求最值及相应的x 的值．【题文】19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，其中2PA PD AD ===，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点．(1) 求证：AD PQB ⊥平面；(2) 若平面PAD ⊥平面ABCD ，且M 为PC 的中点，求四棱锥M ABCD -的体积． 【知识点】空间中的垂直关系G5 【答案解析】（1）略（2）1 （1）PA PD =，Q 为中点，AD PQ ∴⊥连DB ，在ADB ∆中，AD AB =，60BAD ︒∠=，ABD ∴∆为等边三角形，Q 为AD 的中点，AD BQ ∴⊥,PQ BQ Q ⋂=,PQ ⊂平面PQB ,BQ ⊂平面PQB ∴AD ⊥平面PQB .（2）连接QC ,作MH QC ⊥于H .PQ AD ⊥,PQ ⊂平面PAD ,平面PAD ⋂平面ABCD AD=,平面PAD ⊥平面ABCD ， PQ ABCD ∴⊥平面 ,QC ⊂ABCD 平面 , PQ QC ∴⊥ //PQ MH ∴. ∴MH ABCD ⊥平面,又12PM PC =,11222MH PQ ∴===. 在菱形ABCD 中，2BD =, 方法一01sin 602ABD S AB AD Λ=⨯⨯⨯1=222⨯⨯,∴2ABD ABCD S S ∆==菱形M ABCDV -13ABCD S MH ∆=⨯⨯13=⨯1=．方法二AC ===∴11222ABCD S AC BD =⨯⨯=⨯=菱形, M ABCD V -13ABCD S MH =⨯⨯菱形113=⨯=【思路点拨】利用线线垂直证明线面垂直，先求出面积利用体积公式求解。