E数学分析10-2

若A(x) 在 [a , b] 上连续, 则Ω 的体积为
V = ∫ A( x )dx .
a
b
证 设T : a = x0 < x1 < L < xn = b 是 [ a , b ] 的一分割,
[ xi −1 , xi ] 上 A( x ) 的最大、最小值分别为 M i , mi ,
则第 i 个小薄片的体积 ∆Vi 满足 mi ∆xi ≤ ∆Vi ≤ M i ∆xi ,
a
b
||
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例1 求由两个圆柱面 x 2 + y 2 = a 2 与 z 2 + x 2 = a 2 所 围立体的体积. 围立体的体积
z
a
O
x
a
x0
a
y
解 先求出立体在第一卦限的体积 V1 . ∀x0 ∈ [0, a ] ,
2 x = x0 与 立体 的 截面 是 边 长为 a 2 − x0 的 正 方 形,
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所以 A( x ) = a 2 − x 2 , x ∈ [0, a ]. 于是求得
16 3 V = 8V1 = 8∫0 ( a − x )dx = a 3
a 2 2
以下讨论旋转体的体积. 以下讨论旋转体的体积
设 f 是 [a , b ] 上连续函数，Ω 是由平面图形
A = {( x , y ) 0 ≤ | y | ≤ | f ( x ) | , a ≤ x ≤ b}
练习题
1. 设平面图形由 y = sin x , 所围， 所围， 求 1.)平面图形绕 轴旋转所得旋转体体积。 平面图形绕x轴旋转所得旋转体体积 平面图形绕 轴旋转所得旋转体体积。 2.)平面图形绕 轴旋转所得旋转体体积。 平面图形绕y轴旋转所得旋转体体积 平面图形绕 轴旋转所得旋转体体积。
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y
r
旋转一周所得环状立体的体积. 旋转一周所得环状立体的体积 解 x 2 + ( y − R)2 = r 2 的上下半圆分别为
R
y = f2 ( x) = R + r 2 − x 2 ,
O
x
y = f1 ( x ) = R − r − x .
2 2
因此 A( x ) = π f 22 ( x ) − π f12 ( x ) = 4π R r 2 − x 2 ,
1
和 y 轴 所围 平 面 图形 绕 y
O
轴 旋 转 一周 而 得 . 因此
1
x
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V =π
( ∫ x dy + ∫ x dy ) = π ( ∫ y dy + ∫ (2 − y)dy )
1 2 2 2 1 2 2 0 1 0 1
y =π 3
3 1
y2 2 7 + π(2 y − ) = π. 2 1 6 0
从而
V = 8π R ∫
r
0
r 2 − x 2 dx = 2π 2 r 2 R.
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例3 求 由 区 域 ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1 , x ≤ y ≤ 2 − x 2
绕 y 轴旋转一周所得立体的体积.
{
}
y
解 旋转体由曲线
2
y, x= 2 − y,
y ∈ [0,1] y ∈ [1, 2]
绕 x 轴旋转一周所得的旋转体 , 则
A( x ) = π f 2 ( x ) , x ∈ [a , b],
V = π ∫ f ( x )dx .
2 a b
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平面图形： 平面图形： ( x, y) | 0 ≤ x ≤ g(y), c ≤ y ≤ d } { 绕y轴旋转所得旋转体体积 轴旋转所得旋转体体积
x = 0, x = π 及 y = 0
2. 求 y = x 与 x 轴及直线 x = 4 围成的图形 轴旋转所得旋转体体积。 分别绕 x 轴和 y 轴旋转所得旋转体体积。
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V = ∫c πg 2 ( y )dy
d
平面图形： { (x, y) | 0 ≤ y ≤ f(x), a ≤ y ≤ b } 平面图形： 绕y轴旋转所得旋转体体积 轴旋转所得旋转体体积
V = 2 π ∫a xf(x) dx
前页 后页 返回b来自2求由圆 x 2 + ( y − R )2 ≤ r 2 (0 < r < R ) 绕 x 轴
于是
∑m ∆ x
i =1 i
n
i
≤ V = ∑ ∆Vi ≤ ∑ M i ∆xi .
i =1 i =1
n
n
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当 T → 0 时,
∑ M ∆x
i =1 i
n
i
→ ∫ A( x )dx ,
a
b
∑m ∆x
i =1 i
n
i
→ ∫ A( x )dx .
a
b
因此 V = ∫ A( x ) dx .
§2 由平行截面面积求体积
Ω 为三维空间中一立体 它夹在垂直于 x 轴的两平 为三维空间中一立体,它夹在垂直于
之间(a 面 x = a , x = b 之间 < b). ∀x ∈ [a , b] , 作垂直于 x 轴的平面, 轴的平面,截得 Ω 的截面面积为 A(x).
A( x )
a
b
x
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