2014-2015年辽宁省沈阳市高一上学期数学期末试卷和解析

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2014-2015年辽宁省实验中学分校高一上学期数学期末试卷(解析版)

2014-2015学年辽宁省实验中学分校高一（上）期末数学试卷一、选择题：（每题5分，共计60分）1．（5.00分）集合A={y|y=x+1，x∈R}，B={y|y=2x，x∈R}，则A∩B等于（）A．（0，+∞）B．{0，1}C．{1，2}D．{（0，1），（1，2）}2．（5.00分）已知函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，21]C．（﹣∞，﹣）∩（﹣，1] D．（﹣∞，﹣）∪（﹣，1]3．（5.00分）点M（﹣3，5，2）关于y轴对称点坐标为（）A．（3，﹣5，﹣2） B．（3，5，﹣2）C．（﹣3，﹣5，﹣2）D．（3，﹣5，2）4．（5.00分）若直线mx+y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行，则m的值为（）A．B．C．2 D．﹣25．（5.00分）两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离6．（5.00分）三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（）A．0.32＜log0.32＜20.3B．0.32＜20.3＜log0.32C．log0.32＜20.3＜0.32D．log0.32＜0.32＜20.37．（5.00分）函数的零点所在的区间是（）A． B．（﹣1，0）C． D．（1，+∞）8．（5.00分）一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为（）A．2 B．C．2 D．49．（5.00分）已知互不相同的直线l，m，n与平面α，β，则下列叙述错误的是（）A．若m∥l，n∥l，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α10．（5.00分）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．（5.00分）f（x）=，若f（a2﹣4a）+f（3）＞4，则a的取值范围是（）A．（1，3） B．（0，2） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）12．（5.00分）函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[m，n]⊆D，使f（x）在[m，n]上的值域为，那么就称y=f（x）为“好函数”．现有f（x）=log a（a x+k），（a＞0，a≠1）是“好函数”，则k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．C． D．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5.00分）过点（1，2）且与直线3x+4y﹣5=0垂直的直线方程．14．（5.00分）长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．15．（5.00分）直线y=k（x﹣1）+2与曲线x=有且只有一个交点，则k的取值范围是．16．（5.00分）设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出四个命题：①c=0时，y=f（x）是奇函数；②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根；③y=f（x）的图象关于（0，c）对称；④方程f（x）=0至多有两个实数根；上述命题中正确的命题的序号是．三、解答题：（共70分）17．（10.00分）已知集合A={x|3≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}（1）求∁R（A∩B）；（2）已知C={x|a﹣1＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值集合．18．（12.00分）已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x ﹣1被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程．19．（12.00分）如图所示的三个图中，左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．另外两个是它的正视图和左视图（单位：cm）（Ⅰ）按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（Ⅲ）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG．20．（12.00分）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．21．（12.00分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC⊥BC，点D 是AB的中点．（1）求证：CD⊥平面A1ABB1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）线段AB上是否存在点M，使得A1M⊥平面CDB1．22．（12.00分）已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）=log a[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．2014-2015学年辽宁省实验中学分校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题5分，共计60分）1．（5.00分）集合A={y|y=x+1，x∈R}，B={y|y=2x，x∈R}，则A∩B等于（）A．（0，+∞）B．{0，1}C．{1，2}D．{（0，1），（1，2）}【解答】解：∵集合A={y|y=x+1，x∈R}=R=（﹣∞，+∞），B={y|y=2x，x∈R}={y|y ＞0 }=（0，+∞），故A∩B=（﹣∞，+∞）∩（0，+∞）=（0，+∞），故选：A．2．（5.00分）已知函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，21]C．（﹣∞，﹣）∩（﹣，1] D．（﹣∞，﹣）∪（﹣，1]【解答】解：由题意可得∴∴函数的定义域为（﹣∞，）∪（﹣故选：D．3．（5.00分）点M（﹣3，5，2）关于y轴对称点坐标为（）A．（3，﹣5，﹣2） B．（3，5，﹣2）C．（﹣3，﹣5，﹣2）D．（3，﹣5，2）【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点M（﹣3，5，2）关于y轴对称，∴其对称点为：（3，5，﹣2）．故选：B．4．（5.00分）若直线mx+y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行，则m的值为（）A．B．C．2 D．﹣2【解答】解：∵直线mx+y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行∴它们的斜率相等∴﹣m=∴m=﹣故选：B．5．（5.00分）两圆x2+y2﹣1=0和x2+y2﹣4x+2y﹣4=0的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离【解答】解：圆x2+y2﹣1=0表示以O1（0，0）点为圆心，以R1=1为半径的圆；圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0表示以O2（2，﹣1）点为圆心，以R2=3为半径的圆；∵|O1O2|=∴R2﹣R1＜|O1O2|＜R2+R1，∴圆x2+y2﹣1=0和圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0相交故选：B．6．（5.00分）三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是（）A．0.32＜log0.32＜20.3B．0.32＜20.3＜log0.32C．log0.32＜20.3＜0.32D．log0.32＜0.32＜20.3【解答】解：∵20.3＞1，0＜0.32＜1，log0.32＜0，∴log0.32＜0.32＜20.3，故选：D．7．（5.00分）函数的零点所在的区间是（）A． B．（﹣1，0）C． D．（1，+∞）【解答】解：因为函数，（x＞0）f（）=ln+=﹣1+＜0，f（1）=ln1+=＞0，∴f（）f（1）＜0，根据零点定理可得，∴函数的零点所在的区间（，1），故选：C．8．（5.00分）一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为（）A．2 B．C．2 D．4【解答】解：如图，有斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍，如直观图，OA'的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍，故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4．故选：D．9．（5.00分）已知互不相同的直线l，m，n与平面α，β，则下列叙述错误的是（）A．若m∥l，n∥l，则m∥n B．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α⊥βD．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α【解答】解：若m∥l，n∥l，则由平行公理得m∥n，故A正确；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误；若m⊥α，m∥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；若m⊥β，α⊥β，则由平面与平面垂直的性质得m∥α或m⊂α，故D正确．故选：B．10．（5.00分）已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图：由题意球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则=V C﹣AOB+V S﹣AOB，进而可得：V S﹣ABC所以棱锥S﹣ABC的体积为：=．故选：C．11．（5.00分）f（x）=，若f（a2﹣4a）+f（3）＞4，则a的取值范围是（）A．（1，3） B．（0，2） C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=17，若f（a2﹣4a）+f（3）＞4，则f（a2﹣4a）＞﹣13…①，当x≥0时，f（x）=x2+2x+2为增函数，此时f（x）≥2恒成立，当x＜0时，f（x）=﹣x2+2x+2为增函数，令﹣x2+2x+2=﹣13，解得x=﹣3，或x=5（舍去），由①得：a2﹣4a＞﹣3，即a2﹣4a+3＞0，解得：a∈（﹣∞，1）∪（3，+∞），故选：D．12．（5.00分）函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[m，n]⊆D，使f（x）在[m，n]上的值域为，那么就称y=f（x）为“好函数”．现有f（x）=log a（a x+k），（a＞0，a≠1）是“好函数”，则k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．C． D．【解答】解：因为函数f（x）=log a（a x+k），（a＞0，a≠1）在其定义域内为增函数，则若函数y=f（x）为“好函数”，方程必有两个不同实数根，∵，∴方程t2﹣t+k=0有两个不同的正数根，．故选：C．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．（5.00分）过点（1，2）且与直线3x+4y﹣5=0垂直的直线方程4x﹣3y+2=0．【解答】解：∵直线3x+4y﹣5=0的斜率为，∴与之垂直的直线的斜率为，∴所求直线的方程为y﹣2=（x﹣1）化为一般式可得4x﹣3y+2=0故答案为：4x﹣3y+2=014．（5.00分）长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是50π．【解答】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．故答案为：50π．15．（5.00分）直线y=k（x﹣1）+2与曲线x=有且只有一个交点，则k的取值范围是[1，3）．【解答】解：由题意可知：曲线方程表示一个在y轴右边的单位圆的一半，则圆心坐标为（0，0），圆的半径r=1，画出相应的图形，如图所示：直线y=k（x﹣1）+2，恒过（1，2），由图形过（1，2），（0，1）的直线的斜率为﹣1；过（1，2），（0，﹣1）的直线的斜率为3．综上，直线与曲线只有一个交点时，k的取值范围为[1，3）．故答案为：[1，3）．16．（5.00分）设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出四个命题：①c=0时，y=f（x）是奇函数；②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根；③y=f（x）的图象关于（0，c）对称；④方程f（x）=0至多有两个实数根；上述命题中正确的命题的序号是①②③．【解答】解：①c=0，f（x）=x|x|+bx，f（﹣x）=﹣x|﹣x|+b（﹣x）=﹣f（x），故①正确②b=0，c＞0，f（x）=x|x|+c=令f（x）=0可得，故②正确③设函数y=f（x）上的任意一点M（x，y）关于点（0，c）对称的点N（x′，y′），则．代入y=f（x）可得2c﹣y′=﹣x′|﹣x′|﹣bx′+c⇒y′=x′|x′|+bx′+c故③正确④当c=0，b=﹣2，f（x）=x|x|﹣2x=0的根有x=0，x=2，x=﹣2故④错误故答案为：①②③三、解答题：（共70分）17．（10.00分）已知集合A={x|3≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}（1）求∁R（A∩B）；（2）已知C={x|a﹣1＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值集合．【解答】解：（1）因为A={x|3≤x＜6}，B={x|2＜x＜9}所以A∩B={x|3≤x＜6}，故∁R（A∩B）={x|x＜3或x≥6}．（2）当a﹣1≥2a+1，即a≤﹣2时，C=∅，显然符合题意，当a﹣1＜2a+1即a＞﹣2时，由题意得，解得3≤a≤4．故此时3≤a≤4为所求．综上，所求a的集合是{a|a≤﹣2或3≤a≤4}．18．（12.00分）已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x ﹣1被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程．【解答】解：设圆心的坐标为C（a，0），a＞0，由题意可得圆的半径r==|a ﹣1|，圆心到直线直线l：y=x﹣1的距离d=．由弦长公式可得（a﹣1）2=+，解得a=3，或a=﹣1（舍去），故半径等于2，故圆的方程为（x﹣3）2+y2=4．19．（12.00分）如图所示的三个图中，左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．另外两个是它的正视图和左视图（单位：cm）（Ⅰ）按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（Ⅲ）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥面EFG．【解答】解：（Ⅰ）如图，画出该多面体的俯视图如下：（Ⅱ）所求多面体体积：V=V长方体﹣V正三棱锥==．（Ⅲ）证明：在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，连结AD'，则AD'∥BC'．因为E，G分别为AA'，A'D'中点，所以AD'∥EG，从而EG∥BC'．又BC'⊄平面EFG，所以BC'∥面EFG．20．（12.00分）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．【解答】解：（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2．由已知PQ=PA，可得PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化简可得2a+b﹣3=0．（2）∵PQ====，故当a=时，线段PQ取得最小值为．（3）若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R﹣1|≤PO ≤R+1．而OP===，故当a=时，PO取得最小值为，此时，b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1．故半径最小时⊙P 的方程为+=．21．（12.00分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1，AC⊥BC，点D 是AB的中点．（1）求证：CD⊥平面A1ABB1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）线段AB上是否存在点M，使得A1M⊥平面CDB1．【解答】证明：（Ⅰ）∵AC=BC，AC⊥BC，点D是AB的中点．∴CD=AB，由勾股定理可得CD⊥AB，又∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥CD，且AB∩AA1=A，∴CD⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）连结BC1，设BC1与B1C的交点为E，连结DE．∵三棱柱ABC﹣A1B1C1，CC1⊥底面ABC，CC1=BC=2，∴四边形BCC1B1为正方形．∴E为BC1中点．∵D是AB的中点，∴DE∥AC1．∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．（Ⅲ）存在点M为B，证明如下：由（Ⅰ）知CD⊥平面A1ABB1，又A1B⊂A1ABB1，∴CD⊥A1B，∵AC=BC=CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点．∴设1=C=BC=CC1，以C为原点，以CA，CB，CC1分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则A1（1，0，1），B（0，1，0），B1（0，1，1），D（，，0），∴=（﹣1，1，﹣1），=（，﹣，﹣1），∴•=0，∴A1B⊥B1D，又CD∩B1D=D，∴A1B⊥平面CDB1．从而得证．22．（12.00分）已知函数f（x）=（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）=log a[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由函数在（0，+∞）上为增函数，得到﹣2m2+m+3＞0解得，又因为m∈Z，所以m=0或1．又因为函数f（x）是偶函数当m=0时，f（x）=x3，不满足f（x）为偶函数；当m=1时，f（x）=x2，满足f（x）为偶函数；所以f（x）=x2；（2），令h （x ）=x 2﹣ax ，由h （x ）＞0得：x ∈（﹣∞，0）∪（a ，+∞） ∵g （x ）在[2，3]上有定义，∴0＜a ＜2且a ≠1，∴h （x ）=x 2﹣ax 在[2，3]上为增函数．当1＜a ＜2时，g （x ）max =g （3）=log a （9﹣3a ）=2，因为1＜a ＜2，所以．当0＜a ＜1时，g （x ）max =g （2）=log a （4﹣2a ）=2， ∴a 2+2a ﹣4=0，解得，∵0＜a ＜1，∴此种情况不存在，综上，存在实数，使g （x ）在区间[2，3]上的最大值为2．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()mf q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

2014-2015学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2014-2015学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．∅B．{1}C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5.00分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，则f[f（5）]的值为（）A．1 B．2 C．4 D．53．（5.00分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（﹣3，﹣4，5）关于平面xOz的对称点的坐标为（）A．（3，﹣4，5）B．（﹣3，﹣4，﹣5）C．（3，﹣4，﹣5） D．（﹣3，4，5）4．（5.00分）过点A（2，﹣4）且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为（）A．x+2y﹣8=0 B．2x﹣y﹣8=0 C．x+2y﹣4=0 D．2x﹣y=05．（5.00分）函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）6．（5.00分）圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0公切线条数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5.00分）由函数y=lg（1﹣2x）的图象得到函数y=lg（3﹣2x）的图象，只需要（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移2个单位D．向右平移2个单位8．（5.00分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）A．42+6B．30+6C．66 D．449．（5.00分）已知幂函数f（x）=（m∈Z）在区间（0，+∞）上是单调增函数，且y=f（x）的图象关于y轴对称，则f（﹣2）的值为（）A．16 B．8 C．﹣16 D．﹣810．（5.00分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α且n∥β，则α∥βB．若m⊥n，m∥α且n∥β，则α⊥βC．若m∥α且n⊥m，则n⊥α D．若m⊥n，m⊥α且n⊥β，则α⊥β11．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）12．（5.00分）对于平面直角坐标系中任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），我们将|x1﹣x2|+|y1﹣y2|定义为PQ两点的“耿直距离”．已知A（0，0），B（3，1），C（4，4），D（1，3），设M（x，y）是平面直角坐标系中的一个动点．若使得点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和取得最小值，则点M应位于下列哪个图中的阴影区域之内．（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．（5.00分）若=，则x=．14．（5.00分）若直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0互相垂直，则m的值为．15．（5.00分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，这个球的表面积是4π，则这个三棱柱的体积是．16．（5.00分）已知f（x）=在区间（m2﹣4m，2m﹣2）上能取得最大值，则实数m的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知函数f（x）=的定义域为A，B={y|y=（）x，﹣4≤x≤0}．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若C={x|m﹣6≤x≤4m}且B⊆C，求m的取值范围．18．（12.00分）已知直线l：3x+4y+3=0和圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0．（Ⅰ）判断直线l与圆C的位置关系；（Ⅱ）若P是直线l上的动点，PA是圆C的一条切线，A是切点，求三角形PAC 的面积S的最小值．19．（12.00分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB=AC，BC=CD，∠BCD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）再若AB=CB=4，AD=2，求三棱锥A﹣BCD的体积．20．（12.00分）提高五爱隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况，现将隧道内的车流速度记作υ（单位：千米/小时），车流密度记作x（单位：辆/千米）．研究表明：当隧道内的车流密度达到180辆/千米时，会造成该路段道路堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为50千米/小时；当30≤x≤180时，车流速度υ是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0＜x≤180时，求函数υ（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多少时，车流量（单位时间内通过隧道内某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•υ（x）可以达到最大，并求出最大值．21．（12.00分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、M、N分别是AB、AA1、BC1的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABC；（Ⅱ）再若AC=BC，BB1=AB，试在BB1上找一点F，使A1B⊥平面CDF，并证明你的结论．22．（12.00分）已知圆M的圆心在x轴上，半径为1，直线l：y=3x﹣1被圆M 所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设A（0，t），B（0，t+4）（﹣3≤t≤﹣1），过A，B两点分别做圆M的一条切线，相交于点C，求由此得到的△ABC的面积S的最大值和最小值．2014-2015学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5.00分）已知集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B=（）A．∅B．{1}C．{0，2}D．{0，1，2}【解答】解：集合A={0，1}，B={1，2}，则A∪B={0，1，2}．故选：D．2．（5.00分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，则f[f（5）]的值为（）A．1 B．2 C．4 D．5【解答】解：由表格可知：f（5）=2，f[f（5）]=f（2）=4．故选：C．3．（5.00分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（﹣3，﹣4，5）关于平面xOz的对称点的坐标为（）A．（3，﹣4，5）B．（﹣3，﹣4，﹣5）C．（3，﹣4，﹣5） D．（﹣3，4，5）【解答】解：空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（﹣3，﹣4，5）关于平面xOz的对称点的坐标是（﹣3，4，5）．故选：D．4．（5.00分）过点A（2，﹣4）且与直线2x﹣y+3=0平行的直线方程为（）A．x+2y﹣8=0 B．2x﹣y﹣8=0 C．x+2y﹣4=0 D．2x﹣y=0【解答】解：与直线2x﹣y+3=0平行的直线的斜率为：2，所求直线方程为：y+4=2（x﹣2）．即2x﹣y﹣8=0．故选：B．5．（5.00分）函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【解答】解：易知函数f（x）=3x+x﹣3在R上是增函数且连续，f（0）=1+0﹣3＜0，f（1）=3+1﹣3＞0；故函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）；故选：C．6．（5.00分）圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0公切线条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0的圆心C1（﹣2，﹣2），半径r1=2，圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0的圆心C2（2，1），半径r2=3，|C1C2|==5，∵|C1C2|=r1+r2，∴圆C1：x2+y2+4x﹣4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣10y+13=0相外切，∴圆C1：x2+y2+4x+4y+4=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0公切线条数为3条．故选：C．7．（5.00分）由函数y=lg（1﹣2x）的图象得到函数y=lg（3﹣2x）的图象，只需要（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移2个单位D．向右平移2个单位【解答】解：函数y=lg（1﹣2x）的图象向右平1个单位可得函数y=lg[1﹣2（x ﹣1）]=lg（3﹣2x）．故选：B．8．（5.00分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是（）A．42+6B．30+6C．66 D．44【解答】解：由三视图可得多面体的底面是侧视图，高为3的四棱柱，所以该多面体的表面积是+2×3+4×3+3××2=42+6，故选：A．9．（5.00分）已知幂函数f（x）=（m∈Z）在区间（0，+∞）上是单调增函数，且y=f（x）的图象关于y轴对称，则f（﹣2）的值为（）A．16 B．8 C．﹣16 D．﹣8【解答】解：∵幂函数f（x）=（m∈Z）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）=（m∈Z）是偶函数，又∵幂函数f（x）=（m∈Z）在（0，+∞）上为增函数，∴﹣m2+2m+3是偶数且﹣m2+2m+3＞0，∵m∈N*，∴m=1，∴幂函数f（x）=x4，f（﹣2）=16．故选：A．10．（5.00分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α且n∥β，则α∥βB．若m⊥n，m∥α且n∥β，则α⊥βC．若m∥α且n⊥m，则n⊥αD．若m⊥n，m⊥α且n⊥β，则α⊥β【解答】解：A．若m∥n，m∥α且n∥β，则α∥β或α与β相交．故A错误，B．若m⊥n，m∥α且n∥β，则α⊥β或α与β相交．故B错误，C．若m∥α且n⊥m，则n⊥α或n∥α或n⊂α，故C错误，D．若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α，若n⊥β，则α⊥β，故D正确，故选：D．11．（5.00分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【解答】解：∵f（x）=x2+2x=（x+1）2﹣1在（0，+∞）上单调递增又∵f（x）是定义在R上的奇函数根据奇函数的对称区间上的单调性可知，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增∴f（x）在R上单调递增∵f（2﹣a2）＞f（a）∴2﹣a2＞a解不等式可得，﹣2＜a＜1故选：B．12．（5.00分）对于平面直角坐标系中任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），我们将|x1﹣x2|+|y1﹣y2|定义为PQ两点的“耿直距离”．已知A（0，0），B（3，1），C （4，4），D（1，3），设M（x，y）是平面直角坐标系中的一个动点．若使得点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和取得最小值，则点M应位于下列哪个图中的阴影区域之内．（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知M（2，2）满足椭圆，点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和为：12．当M（1，1）时，点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和为12．排除C，当M（0，0）时，点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和为16．排除A，当M（1，3）时，点M到A、B、C、D的“耿直距离”之和为12．排除D，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13．（5.00分）若=，则x=．【解答】解：∵=，∴=2﹣3，∴log3x=﹣3，∴x=3﹣3=，故答案为：．14．（5.00分）若直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0互相垂直，则m的值为或﹣2．．【解答】解：∵直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0互相垂直，∴（m+2）（m﹣2）+3m（m+2）=0，即（m+2）（m﹣2+3m）=0，解得m=或﹣2故答案为：或﹣215．（5.00分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，这个球的表面积是4π，则这个三棱柱的体积是．【解答】解：如图所示，设球心为O，上下底面的中心分别为O1，O2，球O与三个侧面相切的切点分别A，B，C．设球的半径为R，∵球的表面积是4π，∴4πR2=4π，解得R=1．∴O1O2=2，为三棱柱的高．在等边三角形中，由OA=OB=OC=1，可得AB==，可得三棱柱的底面边长=．∴三棱柱的底面面积S==3．∴这个三棱柱的体积=S•O1O2=6．故答案为：6．16．（5.00分）已知f（x）=在区间（m2﹣4m，2m﹣2）上能取得最大值，则实数m的取值范围为（1，3] ．【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，结合图象可知，；解得，1＜m≤3；故实数m的取值范围为（1，3]；故答案为：（1，3]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10.00分）已知函数f（x）=的定义域为A，B={y|y=（）x，﹣4≤x≤0}．（Ⅰ）求A∩B；（Ⅱ）若C={x|m﹣6≤x≤4m}且B⊆C，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，log2（x﹣1）≥0，故x≥2；故A=[2，+∞），∵﹣4≤x≤0，∴1≤（）x≤16，故B=[1，16]，故A∩B=[2，16]；（Ⅱ）∵C={x|m﹣6≤x≤4m}，B=[1，16]，且B⊆C，∴，解得，4≤m≤7．18．（12.00分）已知直线l：3x+4y+3=0和圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0．（Ⅰ）判断直线l与圆C的位置关系；（Ⅱ）若P是直线l上的动点，PA是圆C的一条切线，A是切点，求三角形PAC 的面积S的最小值．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0化为标注方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，圆心坐标为C（1，1），半径为r=1（I）∵圆心C（1，1）到直线l：3x+4y+3=0的距离为d==2＞r∴直线l与圆相离；（II）由切线的性质可知，PA⊥AC，且AC=1∴当PC⊥l时，PC取得最小值2∴PA的最小值为此时，△PAC面积取得最小值S===△PAC19．（12.00分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB=AC，BC=CD，∠BCD=60°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）再若AB=CB=4，AD=2，求三棱锥A﹣BCD的体积．【解答】（I）证明：如图所示，取BC的中点O，连接OD，AD．∵BC=CD，∠BCD=60°．∴△BCD是正三角形，∴OD⊥BC，又∵AB=AC，∴OA⊥BC．∵OA∩OD=O，∴BC⊥平面OAD．∴AD⊥BC．（II）解：又AB=CB=4，AB=AC，∴△ABC是正三角形，∵△BCD是正三角形，∴OA=OD=2，∴△OAD是正三角形，==3．∴S△OAD∴三棱锥A﹣BCD的体积V===4．20．（12.00分）提高五爱隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况，现将隧道内的车流速度记作υ（单位：千米/小时），车流密度记作x（单位：辆/千米）．研究表明：当隧道内的车流密度达到180辆/千米时，会造成该路段道路堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为50千米/小时；当30≤x≤180时，车流速度υ是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0＜x≤180时，求函数υ（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多少时，车流量（单位时间内通过隧道内某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•υ（x）可以达到最大，并求出最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，当0≤x≤30时，v（x）=50；当30≤x≤180时，设v（x）=ax+b，由已知可得，解得．所以函数υ（x）=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=当0≤x≤30时，f（x）=50x为增函数，∴当x=30时，其最大值为1500．当30≤x≤180时，f（x）=﹣x2+60x=﹣（x﹣90）2+2700，当x=90时，其最大值为2700，综上，当车流密度为90辆/千米时，车流量最大，最大值为2700辆．21．（12.00分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、M、N分别是AB、AA1、BC1的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABC；（Ⅱ）再若AC=BC，BB1=AB，试在BB1上找一点F，使A1B⊥平面CDF，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接A1H（H为B1C1的中点），由M、N分别为AA1、BC1的中点可得，MN∥A1H，又∵A1H⊂平面A1B1C1，MN⊄平面A1B1C1，∴MN∥平面A1B1C1．∴由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，从而有MN∥平面ABC；（Ⅱ）解：作DE⊥A1B交A1B于E，延长DE交BB1于F，连接CF，则A1B⊥平面CDF，点F即为所求．∵CD⊥平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B，∴CD⊥A1B．又A1B⊥DF，DF∩CD=D，∴A1B⊥平面CDF．∴此时点F为靠近B的四等分点．22．（12.00分）已知圆M的圆心在x轴上，半径为1，直线l：y=3x﹣1被圆M 所截得的弦长为，且圆心M在直线l的下方．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）设A（0，t），B（0，t+4）（﹣3≤t≤﹣1），过A，B两点分别做圆M的一条切线，相交于点C，求由此得到的△ABC的面积S的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（a，0）由题设知，M到直线l的距离是d=，l被圆M所截得的弦长为，则2=，解得d=，由=，解得a=1或﹣，由圆心M在直线l的下方，则a=1，即所求圆M的方程为（x﹣1）2+y2=1；（Ⅱ）设过A（0，t）的切线为y=kx+t，由直线和圆相切的条件：d=r=1，可得=1，解得k=，即切线方程为y=x+t①同理可得过B的切线方程为y=x+t+4②，由①②解得交点C（，），由﹣3≤t≤﹣1，则1≤4+t≤3，t++4∈[，2]，又|AB|=4+t﹣t=4，则△ABC的面积为S=|AB|•=4=4（1﹣），由﹣3≤t≤﹣1，可得t2+4t+1=（t+2）2﹣3∈[﹣3，﹣2]，则当t=﹣2时，△ABC的面积S取得最小值，且为；当t=﹣1或﹣3时，S取得最大值，且为6．。

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2013～2014学年度上学期期末考试高一年级数学科试卷命题学校：大连市第二十四中学命题人：庄杰校对人：李响第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）下列四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出，涂在答题卡上.1.已知集合，集合，则集合C 中的元{1,2},{1,2,3}A B =={|,,}C t t x y x A y B ==+∈∈素个数是（）（A ）4 (B) 5(C) 6 (D)72.已知空间两条不同的直线和两个不同的平面，则下列命题正确的是（）,m n ,αβ（A ）若则 (B) 若则//,,m n αα⊂//m n ,,m m n αβ⋂=⊥n α⊥(C) (D) 若则//,//,//m n m n αα若则//,,,m m n αβαβ⊂⋂=//m n3.在空间直角坐标系中，以点为顶点的是以为(4,1,9),(10,1,6),(,4,3)A B C x -ABC ∆BC 底边的等腰三角形，则实数x 的值为（）（A ）-2 (B) 2 (C) 6 (D)2或64.设，则（）2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩(5)f =（A ）10 (B) 11 (C) 12 (D)135.已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）（A ）(B) (C) (D)2332361131036.已知函数，对于满足的任意，下列结论：()21xf x =-120x x <<12,x x （1）；（2）2121()[()()]0x x f x f x --<2112()()x f x x f x <（3）；（4）2121()()f x f x x x ->-1212()()(22f x f x x xf ++>其中正确结论的序号是（）（A ）（1）（2） (B)（1）（3）(C)（2）（4）(D) (3)(4)7.设是x 轴上的不同两点，点P 的横坐标为2，|PA|=|PB|,若直线PA 的方程为,A B ，则直线PB 的方程是（）10x y -+=（A ） (B) (C) (D) 50x y +-=210x y --=240y x --=270x y +-=8.下列结论：①函数和是同一函数；②函数的定义域为y =2y =(1)f x -，则函数的定义域为；③函数的递增区间为[1,2]2(3)f x 22log (23)y x x =+-；④若函数的最大值为3，那么的最小值就是.(1,)-+∞(21)f x -(12)f x -3-其中正确的个数为( ) （A ）0个 (B) 1个 (C) 2个(D) 3个9.曲线与直线有两个不同的交点时，实数k 的1(22)y x =-≤≤24y kx k =-+取值范围是（）（A ） (B) (C) (D) 53(,]1245(,)12+∞13(,)3453(,(,)124-∞⋃+∞10.已知为偶函数，当时，，满足的实数的()f x 0x ≥2()(1)1f x x =--+1[()]2f f a =a 个数为（）（A ）2 (B) 4(C) 6 (D) 811.在正三棱锥S-ABC 中，外接球的表面积为，M ，N 分别是SC,BC 的中点，且36π,则此三棱锥侧棱SA=（）MN AM ⊥（A ）1(B) 2(D) 12.定义函数,若存在常数C ，对于任意的，存在唯一的，使(),y f x x D =∈1x D ∈2x D ∈得，则称函数在D 上的“均值”为C ，已知12()()2f x f x C +=()f x ，则函数上的均值为（）()lg ,[10,100]f x x x =∈()lg ,[10,100]f x x x =∈在（A ）(B)(C)(D) 103234110第Ⅱ卷选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设是定义在R 上的奇函数，且的图象关于直线对称，则()f x ()y f x =12x ==________(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++14.若圆心在直线的圆M 与直线相切，则圆M 的标准方程y x =4x y +=是_____________15.函数定义域为，则满足不等式的实数11()()22x f x x a =+-(,1)(1,)-∞⋃+∞()ma f a ≥m 的集合____________16.如图，三个半径都是10cm 的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同于水平面，则这个碗的半径R 是________________cm三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数4()42xxf x =+（1）若，求的值；01a <<()(1)f a f a +-（2）求的值.122012()()()201320132013f f f +++ 18. （本小题满分12分）已知的顶点,过点的内角平分线所在直线方程ABC ∆(31)A -，B 是，过点C 的中线所在直线的方程是4100x y -+=610590x y +-=（1）求顶点B 的坐标；（2）求直线BC 的方程；19. （本小题满分12分）如图C,D 是以AB 为直径的圆上的两点，,F 是AB 上的一点，且,将圆沿AB 折起，使点C 2AB AD AC BC ===13AF AB =在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知CE =(1)求证：AD 平面BCE ⊥（2）求证AD//平面CEF ；（3）求三棱锥A-CFD 的体积20．（本小题满分12分）某跨国饮料公司对全世界所有人均GDP （即人均纯收入）在0.5—8千美元的地区销售，该公司M 饮料的销售情况的调查中发现：人均GDP 处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中（x 表示人均GDP,单位：千美元；y 表示年人均M 饮料的销量，单位：升），用哪个来描述人均,饮料销量与地区的人均GDP 的关系更合适？说明理由.（A ） (B) (C) (D) 2()f x ax bx =+()log a f x x b =+()xf x a b =+()f x x bα=+(2)若人均GDP 为1千美元时，年人均M 饮料的销量为2升；人均GDP 为4千美元时，年人均M 饮料的销量为5升；把你所选的模拟函数求出来.;(3)因为M 饮料在N 国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件影响，M 饮料在人均GDP 不高于3千美元的地区销量下降5%，不低于6千美元的地区销量下降5%，其他地区的销量下降10%，根据（2）所求出的模拟函数，求在各个地区中，年人均M 饮料的销量最多为多少？21. （本小题满分12分）已知圆，直线，22:228810M x y x y +---=:90l x y +-=过上一点A 作,使得，边AB 过圆心M ，且B,C 在圆M 上，求点A 纵l ABC ∆45BAC ∠=坐标的取值范围。

2014-2015年辽宁省沈阳二中高一上学期数学期末试卷(解析版)

2014-2015学年辽宁省沈阳二中高一（上）期末数学试卷一、选择题（每题5分，共40分）1．（5.00分）设集合P=，则下列关系中正确的是（）A．m⊆P B．m∉P C．{m}∈P D．{m}⊊P2．（5.00分）函数y=的定义域是（）A．（1，2]B．（1，2） C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）3．（5.00分）已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若α∩β=m，m⊥n，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n 4．（5.00分）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=ln（x+2） B．C．D．5．（5.00分）在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（x，4，3）为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为（）A．﹣2 B．2 C．6 D．2或66．（5.00分）已知函数f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2，则有（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜17．（5.00分）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2y﹣x﹣4=0 D．2x+y﹣7=08．（5.00分）曲线y=+1（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是（）A．（，]B．（，+∞） C．（，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）9．（5.00分）已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．10．（5.00分）三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．10π11．（5.00分）已知函数f（x）=﹣x2﹣2x，g（x）=若方程g[f（x）]﹣a=0的实数根的个数有4个，则a的取值范围（）A． B．[1，+∞）C．（1，+∞）D．12．（5.00分）已知x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0，求的最大值（）A．2 B．C．D．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）设f（x）=，则f（5）的值为．14．（5.00分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=25，点P（﹣1，7），过点P作圆的切线，则该切线的一般式方程为．15．（5.00分）已知函数f（x）=x2+ax+3﹣a，若x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．16．（5.00分）已知函数f（x）=|log x|的定义域为[a，b]，值域为[0，t]，用含t的表达式表示b﹣a的最大值为M（t），最小值为N（t），若设g（t）=M（t）﹣N（t）．则当1≤t≤2时，g（t）•[g（t）+1]的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10.00分）若0≤x≤2，求函数y=的最大值和最小值．18．（12.00分）求过点A（2，﹣1），圆心在直线y=﹣2x上，且与直线x+y﹣1=0相切的圆的方程．19．（12.00分）如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=，AC=BC，F是AB上一点，且，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E 在BD上，已知．（1）求证：AD⊥平面BCE；（2）求证：AD∥平面CEF；（3）求三棱锥A﹣CFD的体积．20．（12.00分）已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，（1）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．21．（12.00分）已知函数f（x）=log a是奇函数（a＞0且a≠1）（1）求m的值；（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明；（3）当a＞1，时，f（x）的值域是（1，+∞），求a的值．22．（12.00分）已知函数f（x）=x+（m为正的常数），它在（0，+∞）内的单调变化是：在内递减，在内递增．其第一象限内的图象形如一个“对号”．请使用这一性质完成下面的问题．（1）若函数g（x）=2x+在（0，1]内为减函数，求正数a的取值范围；（2）若圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0与直线l：y=kx相交于P、Q两点，点M（0，b）且MP⊥MQ．求当b∈[1，+∞）时，k的取值范围．2014-2015学年辽宁省沈阳二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．（5.00分）设集合P=，则下列关系中正确的是（）A．m⊆P B．m∉P C．{m}∈P D．{m}⊊P【解答】解：集合P==[0，]，m=20.3∈（1，2）⊆[0，]，故{m}⊊P，故选：D．2．（5.00分）函数y=的定义域是（）A．（1，2]B．（1，2） C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）【解答】解：∵log2（x﹣1），∴x﹣1＞0，x＞1根据，得出x≤2，又在分母上不等于0，即x≠2∴函数y=的定义域是（1，2）故选：B．3．（5.00分）已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若α∩β=m，m⊥n，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m⊂β，α∩β=n，则m∥n【解答】解：A中m∥α，m与α无公共点，故l与α内的直线平行或异面，故A 错误；B中n与α可以是任意的位置关系，故B错误；C中m与n可以是任意的位置关系，故C错误；D为线面平行的判定定理，故正确．故选：D．4．（5.00分）下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=ln（x+2） B．C．D．【解答】解：A，y=ln（x+2）在（﹣2，+∞）上为增函数，故在（0，+∞）上为增函数，A正确；B，在[﹣1，+∞）上为减函数；排除BC，在R上为减函数；排除CD，在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，排除D故选：A．5．（5.00分）在空间直角坐标系中，以点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（x，4，3）为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值为（）A．﹣2 B．2 C．6 D．2或6【解答】解：∵以点A（4，1，9），B（10，﹣1，6），C（x，4，3）为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，∴|AB|=|AC|∴=，∴7=，∴x=2或x=6故选：D．6．（5.00分）已知函数f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2，则有（）A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1【解答】解：f（x）=|lgx|﹣（）x有两个零点x1，x2即y=|lgx|与y=2﹣x有两个交点由题意x＞0，分别画y=2﹣x和y=|lgx|的图象发现在（0，1）和（1，+∞）有两个交点不妨设x1在（0，1）里x2在（1，+∞）里那么在（0，1）上有2﹣x1=﹣lgx1，即﹣2﹣x1=lgx1…①在（1，+∞）有2﹣x2=lg x2…②①②相加有2﹣x2﹣2﹣x1=lgx1x2∵x2＞x1，∴2﹣x2＜2﹣x1即2﹣x2﹣2﹣x1＜0∴lgx1x2＜0∴0＜x1x2＜1故选：D．7．（5.00分）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2y﹣x﹣4=0 D．2x+y﹣7=0【解答】解：由于直线PA的倾斜角为45°，且|PA|=|PB|，故直线PB的倾斜角为135°，又当x=2时，y=3，即P（2，3），∴直线PB的方程为y﹣3=﹣（x﹣2），即x+y﹣5=0．故选：A．8．（5.00分）曲线y=+1（﹣2≤x≤2）与直线y=kx﹣2k+4有两个不同的交点时实数k的范围是（）A．（，]B．（，+∞） C．（，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【解答】解：由y=k（x﹣2）+4知直线l过定点（2，4），将y=1+，两边平方得x2+（y﹣1）2=4，则曲线是以（0，1）为圆心，2为半径，且位于直线y=1上方的半圆．当直线l过点（﹣2，1）时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时1=﹣2k+4﹣2k，解得k=，当直线l与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心（0，1）到直线kx﹣y+4﹣2k=0的距离d=，解得k=，要使直线l：y=kx+4﹣2k与曲线y=1+有两个交点时，则直线l夹在两条直线之间，因此＜k≤，故选：A．9．（5.00分）已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体为直三棱柱消去一个棱锥，其直观图如图：其中AB=BC=2．AB⊥BC，D为侧棱的中点，侧棱长为2，∴几何体的体积V=×2×2×2﹣=．故选：D．10．（5.00分）三棱锥P﹣ABC三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为，则该三棱锥的外接球表面积为（）A．4πB．6πC．8πD．10π【解答】解：三棱锥P﹣ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，设PA=a，PB=b，PC=c，则ab=，bc=，ca=，解得，a=，b=1，c=．则长方体的对角线的长为=．所以球的直径是，半径长R=，则球的表面积S=4πR2=6π故选：B．11．（5.00分）已知函数f（x）=﹣x2﹣2x，g（x）=若方程g[f（x）]﹣a=0的实数根的个数有4个，则a的取值范围（）A． B．[1，+∞）C．（1，+∞）D．【解答】解：f（x）=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1≤1；当x≤0时，g（x）≤1；故当a≤1时，f（x）+1=a；f（x）=a﹣1≤0；故f（x）=a﹣1有两个解；②当0＜﹣（x+1）2+1≤1，即0＜x＜2时；f（x）+≥1；（当且仅当f（x）=时，等号成立）且当f（x）∈（0，]时，f（x）+∈[1，+∞）；当f（x）∈[，1]时，f（x）+∈[1，]；故当a=1时，f（x）=，有两个解；当1＜a＜时，f（x）=b∈（0，）或f（x）=c∈（，1）；分别有两个解，共4个解；当a=时，f（x）=b∈（0，）或f（x）=1；故有三个解；综上所述，当1≤a＜时，方程g[f（x）]﹣a=0的实数根的个数有4个；故选：A．12．（5.00分）已知x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0，求的最大值（）A．2 B．C．D．【解答】解：∵x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=9，令x=2+3cosθ，y=1+3sinθ，则==+2，令k=，则k表示直线y=k（x+5）与圆x2+y2=9由公共点，则≤3，解得，取k=时，取得最大值+2=．∴的最大值为．故选：B．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）设f（x）=，则f（5）的值为11．【解答】解：∵f（x）=，∴f（5）=f[f（11）]=f（9）=f[f（15）]=f（13）=11．故答案为：11．14．（5.00分）已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=25，点P（﹣1，7），过点P作圆的切线，则该切线的一般式方程为3x﹣4y+31=0．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=25的圆心为C（2，3），半径r=5．P在圆上．由题意，设方程为y﹣7=k（x+1），即kx﹣y+7+k=0．∵直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=25相切，∴圆心到直线l的距离等于半径，即d==5，解之得k=，因此直线l的方程为y﹣7=（x+1），化简得3x﹣4y+31=0．故答案为：3x﹣4y+31=0．15．（5.00分）已知函数f（x）=x2+ax+3﹣a，若x∈[﹣2，2]时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围[﹣7，2] ．【解答】解：原不等式变成：x2+ax+3﹣a≥0，令f（x）=x2+ax+3﹣a，则由已知条件得：，或，或，解可得：a∈∅；解：可得：﹣7≤a≤﹣4；解：可得：﹣4＜a≤2；综上：﹣7≤a≤2；∴a的取值范围为[﹣7，2]．故答案为：[﹣7，2]16．（5.00分）已知函数f（x）=|log x|的定义域为[a，b]，值域为[0，t]，用含t的表达式表示b﹣a的最大值为M（t），最小值为N（t），若设g（t）=M（t）﹣N（t）．则当1≤t≤2时，g（t）•[g（t）+1]的取值范围是[6，72] ．【解答】解：由题意，M（t）=3t﹣3﹣t，N（t）=1﹣3﹣t；g（t）=（3t﹣3﹣t）﹣（1﹣3﹣t）=3t﹣1；g（t）•[g（t）+1]=（3t﹣1）3t；∵1≤t≤2，∴3≤3t≤9；∴6≤（3t﹣1）3t≤72；故答案为：[6，72]．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10.00分）若0≤x≤2，求函数y=的最大值和最小值．【解答】解：y=﹣3×2x+5=（2x）2﹣3×2x+5令2x=t，则y=t2﹣3t+5=+，因为x∈[0，2]，所以1≤t≤4，所以当t=3时，y min=，当t=1时，y max=．所以函数的最大值为，最小值为．18．（12.00分）求过点A（2，﹣1），圆心在直线y=﹣2x上，且与直线x+y﹣1=0相切的圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，﹣2a），圆的方程为（x﹣a）2+（y+2a）2=r2（2分）则（6分）解得a=1，（10分）因此，所求得圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2（12分）19．（12.00分）如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=，AC=BC，F是AB上一点，且，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E 在BD上，已知．（1）求证：AD⊥平面BCE；（2）求证：AD∥平面CEF；（3）求三棱锥A﹣CFD的体积．【解答】（1）证明：依题意：AD⊥BD∵CE⊥平面ABD∴CE⊥AD∵BD∩CE=E，∴AD⊥平面BCE．（2）证明：Rt△BCE中，，∴BE=2（5分）Rt△ABD中，，∴BD=3．（6分）∴．∴AD∥EF∵AD在平面CEF外∴AD∥平面CEF．（3）解：由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，且ED=BD﹣BE=1∴F到AD的距离等于E到AD的距离，为1．∴．∵CE⊥平面ABD∴．20．（12.00分）已知点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，（1）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程（2）若点Q在直线l1：x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．【解答】解：（1）设P点的坐标为（x，y），∵两定点A（﹣3，0），B（3，0），动点P满足|PA|=2|PB|，∴（x+3）2+y2=4[（x﹣3）2+y2]，即（x﹣5）2+y2=16．所以此曲线的方程为（x﹣5）2+y2=16．（2）∵（x﹣5）2+y2=16的圆心坐标为M′（5，0），半径为4，则圆心M′到直线l1的距离为：=4，∵点Q在直线l1：x+y+3=0上，过点Q的直线l2与曲线C（x﹣5）2+y2=16只有一个公共点M，∴|QM|的最小值为：=4．21．（12.00分）已知函数f（x）=log a是奇函数（a＞0且a≠1）（1）求m的值；（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明；（3）当a＞1，时，f（x）的值域是（1，+∞），求a的值．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）在其定义域内恒成立，即，∴1﹣m2x2=1﹣x2，∴m=﹣1或m=1（舍去），∴m=﹣1．（2）当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，当a＞1时，函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，证明如下，由（1）得，设，任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2∴，∵x1＞1，x2＞1，x1＜x2∴t（x1）＞t（x2），即；所以当a＞1时，函数f（x）在区间（1，+∞）上为减函数；所以当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数；（3）当a＞1时，在上为减函数，要使f（x）在上值域是（1，+∞），即，可得．令在上是减函数．所以，所以．所以．22．（12.00分）已知函数f（x）=x+（m为正的常数），它在（0，+∞）内的单调变化是：在内递减，在内递增．其第一象限内的图象形如一个“对号”．请使用这一性质完成下面的问题．（1）若函数g（x）=2x+在（0，1]内为减函数，求正数a的取值范围；（2）若圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0与直线l：y=kx相交于P、Q两点，点M（0，b）且MP⊥MQ．求当b∈[1，+∞）时，k的取值范围．【解答】解：（1）由对勾函数的图象和性质，可知函数在内为减函数．依题意，，故得a≥2∴a 的取值范围是[2，+∞）．（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2） ∵MP ⊥MQ ， ∴k MP •k MQ =﹣1 ∴，即x 1x 2+（y 1﹣b ）（y 2﹣b ）=0 又y 1=kx 1，y 2=kx 2∴x 1x 2+（kx 1﹣b ）（kx 2﹣b ）=0，即（*）由得：（1+k 2）x 2﹣2（1+k ）x +1=0由△=[2（1+k ）]2﹣4（1+k 2）=8k ＞0得k ＞0① 且，代入（*）中得即．由对勾函数的图象和性质知，在b ∈[1，+∞）时为增，故．∴，得k ≥1②由①②得k ≥1．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。

高一数学第一学期期末测试题和答案

高一数学第一学期期末测试题本试卷共4页，20题，满分为150分钟，考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{13,4,5,7,9}=A ，B {3,5,7,8,10}=，那么=AB （）A 、{13,4,5,7,8,9}，B 、{1,4,8,9}C 、{3,5,7}D 、{3,5,7,8} 2．cos()6π-的值是（）A B ． C ．12 D ．12- 3．函数)1ln()(-=x x f 的定义域是（）A ． ),1(+∞B ．),1[+∞C ． ),0(+∞D ．),0[+∞ 4．函数cos y x =的一个单调递增区间为 ( ) A ．,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()0,π C ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),2ππ 5．函数tan(2)4y x π=+的最小正周期为（）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 6．函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（） A ．(1,2) B ．(,3)e C ．(2,)e D ．(,)e +∞7．已知0.30.2a=，0.2log 3b =，0.2log 4c =，则（）A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. c>b>a 8．若函数23()(23)m f x m x-=+是幂函数，则m 的值为（）A 、1-B 、0C 、1D 、2 9．若1tan()47πα+=，则tan α=（）A 、34 B 、43C 、34-D 、43-10．函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．已知函数()()()2log 030x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩，则()0f f =⎡⎤⎣⎦ . 12．已知3tan =α，则ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-= ；13．若cos α=﹣，且α∈（π，），则tan α= ．14．设{1,2,3,4,5,6},B {1,2,7,8},A ==定义A 与B 的差集为{|},A B x x A x B A A B -=∈∉--，且则（）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（满分12分）（1）4253sin cos tan()364πππ-（2）22lg 4lg 25ln 2e -+-+16．（满分12分）已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭)(R x ∈ (1)求()f x 的振幅和初相;(2)该函数图象可由)(sin R x x y ∈=的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？17.（本题满分14分）已知函数()sin 2cos 21f x x x =+-（1）把函数化为()sin(),(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>的形式，并求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的最大值及()f x 取得最大值时x 的集合； 18.（满分14分）()2sin(),(0,0,),()62.1(0)228730(),(),sin 35617f x x A x R f x f ABC A B C f A f B C πωωπωππ=->>∈+=+=-已知函数且的最小正周期是（）求和的值；（）已知锐角的三个内角分别为，，，若求的值。

辽宁省沈阳二中2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案

沈阳二中2014——2015学年度上学期期中考试高一（17届）数学试题命题人：高一数学组审校人：高一数学组说明：1.测试时间：120分钟总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x －1＞0}，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B ＝( )A ．{x |x ＞1}B ．{x |x ＞0}C ．{x |x ＜－1}D ．∅ 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝1，y ＝x 0B ．y ＝lgx 2，y ＝2lgxC ．y ＝|x|，y ＝(x )2D ．y ＝x ，y ＝33x3．已知x ，y 为正实数，则( )A. 2lg x ＋lg y＝2lg x ＋2lg y B. 2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y C. 2lg x ·lg y＝2lg x ＋2lg y D. 2lg(xy )＝2lg x ·2lg y4．函数y ＝的定义域是( )A ．[1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[0,1]D ．(0,1]5．函数y ＝x 2与函数y ＝|lg x |的图象的交点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．36．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)7.a 、b 是两条异面直线，A 是不在a 、b 上的点，则下列结论成立的是（）A. 过A 有且只有一个平面平行于a 、bB. 过A 至少有一个平面平行于a 、bC. 过A 有无数个平面平行于a 、bD. 过A 且平行a 、b 的平面可能不存在8.幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（）A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ．)2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ．)2(21x x f +=2)()(21x f x f + D ．无法确定9．已知函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则f (f (1e2))的值为( )A.1ln 2B ．－1ln2C ．－ln 2D ．ln 210．f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且f (x )－g (x )＝e x ，则有( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)11.定义在R 上的函数R x x fx f ∈-且对于任意的反函数为),()(1，都有=-+-=+---)4()1(,3)()(11x f x f x f x f 则（）A ．0B ．-2C ．2D ．42-x12.设定义域为R 的函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=--11121x ax x f x ，若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则a 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．（0，32） C ．（1，2） D ．（1，32）∪（32，2）第Ⅱ卷（90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13.1324lg 293-14．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x 21m m －－的图象不过原点，则实数m 的值是________． 15.知a ＝23.0，b ＝3.0log 2，c ＝20.3，则a ，b ，c 三个数的大小关系是________ (按从小到大的顺序排列).__________)ln()(),0(21)(.1622的取值范围是则轴对称的点，的图像上存在关于a y a x x x g x e x x f x ++=<-+=三、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（满分10分）已知集合A＝{x|18≤2x＋1≤16}，B＝{x|m＋1≤x≤3m－1}．(1)求集合A；(2)若B⊆A，求实数m的取值范围．18.（满分12分）如图，在三棱锥S ABC-中，D、E、F分别是棱AC、BC、SC上的点，且2CD DA=，2CE ES=，2CF FB=，G是AB的中点.求证：SG∥平面DEF19.（满分12分）已知函数f(x)＝log a(ax－x)(a＞0，a≠1为常数)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若a＝2，x∈[1,9]，求函数f(x)的值域．20.（满分12分）已知函数f(x)＝2a·4x－2x－1.(1)当a＝1时，求函数f(x)的零点；(2)若f(x)有零点，求a的取值范围．21.已知函数9()log (91)x f x kx =++(k ∈R )是偶函数．（1）求k 的值；（2）若函数()y f x =的图象与直线12y x b =+没有交点，求b 的取值范围；（3）设()94()log 33x h x a a =⋅-，若函数()f x 与()h x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.22.已知12()|31|,()|39|(0),x x f x f x a a x R =-=⋅->∈，且112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩ （1）当a =1时，求()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，若方程0)(=-m x f 有4个不等的实根，求实数m 的范围；（3）当29a ≤<时，设2()()f x f x = 所对应的自变量取值区间的长度为l （闭区间[m ,n ]的长度定义为m n -），试求l 的最大值.沈阳二中2014——2015学年度上学期期中考试高一（ 17 届）数学答案1.A. 2 .D 3.D. 4.D 5.B 6.B 7.D 8.A 9.C . 10.D 11. A 12. D 13.1214.1 15.b <a <c 16.），（e ∞- 17. (1)A ＝{x |18≤2x ＋1≤16}，有2－3≤2x ＋1≤24，于是－3≤x ＋1≤4，－4≤x ≤3，则A ＝{x |－4≤x ≤3}． -----------5 (2)若B ＝∅，即m ＋1>3m －1，即m <1时，满足题意，----------------------7 若B ≠∅，即m ＋1≤3m －1，即m ≥1时， ⎩⎨⎧m ＋1≥－43m －1≤3得－5≤m ≤43，即1≤m ≤43，综上，实数m 的取值范围为(－∞，43]．-------------------------------1018.略 ------------------------12 19.解：(1)ax －x ＞0⇒x (a x －1)＞0，∵x ＞0，∴a x －1＞0，∵a ＞0，∴x ＞1a.∴x ＞1a 2，所以定义域为(1a2，＋∞)．----------------------------------6(2)a ＝2时，f (x )＝log 2(2x －x )，令2x －x ＝t 则t ＝2x －x ＝2(x －14)2 18---------------------------------8因为x ∈[1,9]，所以t ∈[1,15]，----------------------------------10所以log 21≤log 2(2x －x )≤log 215，即0≤f (x )≤log 215所以函数f (x )的值域为[0，log 215]．--------------------------1220.解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1.令f (x )＝0，即2·(2x )2－2x －1＝0，解得2x ＝1或2x ＝－12(舍去)．∴x ＝0，∴函数f (x )的零点为x ＝0. --------------------------4 (2)解法一：若f (x )有零点，则方程2a ·4x －2x －1＝0有解----------------6 于是2a ＝2x ＋14x＝(12)x ＋(14)x ----------------------------------------------------------10∵(12)x >0，∴2a >14－14＝0，即 a >0.------------------------------12解法二：令t ＝2x ，∵x ∈R ，∴t >0，则方程2at 2－t －1＝0在(0，＋∞)上有解． ------------------------6 ①当a ＝0时，方程为t ＋1＝0，即t ＝－1<0，此时方程在(0，＋∞)无解．-----------------------------------------8 ②当a ≠0时，令g (t )＝2at 2－t －1，若方程g (t )＝0在(0，＋∞)上有一解，则ag (0)<0，即－a <0，解得a >0. 若方程g (t )＝0在(0，＋∞)上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧ag 0>0，Δ＝1＋8a ≥0，14a >0，无解-------------------------------------------10 综上所述，所求实数a 的范围是(0，＋∞)． --------------------------1221.(1) 因为()y f x =为偶函数，所以,()()x f x f x ∀∈-=-R ，即 99log (91)log (91)x x kx kx -+-=++对于x ∀∈R 恒成立.于是9999912log (91)log (91)log log (91)9xx x x xkx x -+=+-+=-+=-恒成立, 而x 不恒为零，所以12k =-. ------------------------------------4(2) 由题意知方程911log (91)22x x x b +-=+即方程9log (91)x x b +-=无解.令9()log (91)x g x x =+-，则函数()y g x =的图象与直线y b =无交点.因为99911()log log 199xx x g x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭()g x 在(),-∞+∞上是单调减函数. 因为1119x +>，所以91()log 109x g x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭.所以b 的取值范围是(],0.-∞---------------8(3) 由题意知方程143333x x x a a +=⋅-有且只有一个实数根．令30x t =>，则关于t 的方程24(1)10a t at ---=(记为(*))有且只有一个正根.-----------10若a =1，则34t =-，不合, 舍去；若1a ≠，则方程(*)的两根异号或有两相等正跟.由304a ∆=⇒=或－3；但3142a t =⇒=-，不合，舍去；而132a t =-⇒=；方程(*)的两根异号()()110 1.a a ⇔-⋅-<⇔> 综上所述，实数a 的取值范围是{3}(1,)-+∞． -------------------------------------------------------------------1222.解: (1)当1a =时,2()|39|x f x =-.故⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=0,310,13)(1x x x f x x ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,392,93)(2x x x f xx易知当5log 3=x 时)()(21x f x f =所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≤-<≤-≥-=0,315log 0,1325log ,392,93)(33x x x x x f x x xx -------------------------------------3（2）m x f =)(，可画出=y )(x f 和m y =的图像，由数形结合可知，当)1,0(∈m 时方程0)(=-m x f 有4个不等的实根 -----6 （3）当39log x a≥时,因为390x a ⋅-≥,310x ->, 所以由21()()(39)(31)(1)380x x x f x f x a a -=⋅---=--≤,解得38log 1x a ≤-, 从而当3398log log 1x a a ≤≤-时,2()()f x f x = 当390log x a≤<时,因为390x a ⋅-<,310x -≥,所以由21()()(93)(31)10(1)30x x x f x f x a a -=-⋅--=-+≤,解得310log 1x a ≥+, 从而当33109log log 1x a a≤<+时,2()()f x f x = 当0x <时,因为21()()(93)(13)8(1)30x x x f x f x a a -=-⋅--=-->, 从而2()()f x f x = 一定不成立综上得,当且仅当33108[log ,log ]11x a a ∈+-时,2()()f x f x =, 故33381042log log log [(1)]1151l a a a =-=+-+- 从而当2a =时,l 取得最大值为312log 5-------------------------------12。

沈阳市高一(上)期末数学试卷(1)含答案解析

高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分）1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∩B为（）A．{1，2，3}B．{2，3}C．{1，2}D．（0，3））2．（5分）已知角α在第三象限，且sinα=﹣，则tanα=（）A．B．C．D．3．（5分）的值为（）A．B．C．1 D．﹣14．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2+ab，则△ABC的内角C为（）A．150°B．120°C．60°D．30°5．（5分）设函数f（x）=，则f（2）+f（﹣log23）的值为（）A．4 B．C．5 D．66．（5分）若sin（）=，sin（2）的值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知f（x）=sin2x+2cosx，则f（x）的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣，则下列说法正确的是（）A．f（x）是周期为的奇函数B．f（x）是周期为的偶函数C．f（x）是周期为π的奇函数D．f（x）是周期为π的偶函数9．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），当x∈（0，3）时，f（x）=x2，则f（64）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣98 D．9810．（5分）函数的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移π个单位长度B．向左平移π个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度11．（5分）奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[f （x）﹣f（﹣x）]＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）12．（5分）将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线x=对称，且f（0）＞0，则φ=（）A．B． C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分）13．（5分）已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），则实数a=．14．（5分）已知sin，且α∈（0，），则tan的值为．15．（5分）已知f（x）=x2﹣ax+2a，且在（1，+∞）内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．16．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，sinB=sinC，则边c=．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=2x﹣sin2x﹣．（I）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（II）求函数f（x）的单调区间．18．（12分）若0，0，sin（）=，cos（）=．（I）求sinα的值；（II）求cos（）的值．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC．（I）求角B的大小；（II）若b=2，求△ABC周长的最大值．20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，函数的图象关于点（）中心对称，且过点（）．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若方程2f（x）﹣a+1=0在x∈[0，]上有解，求实数a的取值范围．21．（12分）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c，若△ABC的面积为2，sin（A﹣B）+sinC=sinA，b=3．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求边a，c的值．22．（12分）设函数f（x）=a2x+ma﹣2x（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=f（x）﹣2kf（）+2a﹣2x在[0，1]上的最小值为2，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分）1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}，则A∩B为（）A．{1，2，3}B．{2，3}C．{1，2}D．（0，3））【解答】解：∵集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x2﹣3x＜0}={x|0＜x＜3}，∴A∩B={1，2}．故选：C．2．（5分）已知角α在第三象限，且sinα=﹣，则tanα=（）A．B．C．D．【解答】解：∵角α在第三象限，且sinα=﹣，∴cosα=﹣．∴．故选：C．3．（5分）的值为（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：==．故选：B．4．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足a2+b2=c2+ab，则△ABC的内角C为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：△ABC中，a2+b2=c2+ab，∴a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，C∈（0°，180°），∴C=60°．故选：C．5．（5分）设函数f（x）=，则f（2）+f（﹣log23）的值为（）A．4 B．C．5 D．6【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（2）=log22=1，f（﹣log23）==3，∴f（2）+f（﹣log23）=1+3=4．故选：A．6．（5分）若sin（）=，sin（2）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin（）=，∴sin（2）=cos[﹣（2）]=cos（）=cos2（）=．故选：A．7．（5分）已知f（x）=sin2x+2cosx，则f（x）的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：f（x）=sin2x+2cosx，=1﹣cos2x+2cosx，=﹣（cosx﹣1）2+2，当cosx=1时，f（x）max=2，故选：D8．（5分）已知函数f（x）=cos2x﹣，则下列说法正确的是（）A．f（x）是周期为的奇函数B．f（x）是周期为的偶函数C．f（x）是周期为π的奇函数D．f（x）是周期为π的偶函数【解答】解：函数f（x）=cos2x﹣=（2cos2x﹣1）=cos2x，∴f（x）是最小正周期为T==π的偶函数．故选：D．9．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），当x∈（0，3）时，f（x）=x2，则f（64）=（）A．﹣4 B．4 C．﹣98 D．98【解答】解：由（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的周期函数，又∵又当x∈（0，3）时，f（x）=x2，∴f（64）=f（6×11﹣2）=f（﹣2）=f（2）=22=4．故选：B．10．（5分）函数的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象（）A．向右平移π个单位长度B．向左平移π个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：根据函数的图象，可得A=1，=﹣，∴ω=3，再根据五点法作图可得3×+φ=π，∴φ=，f（x）=sin（3x+）．为了得到g（x）=sin（3x+）的图象，只需将f（x）的图象向左平移个单位长度，故选：D．11．（5分）奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[f （x）﹣f（﹣x）]＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）【解答】解：若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，又∵f（1）=0，∴f（﹣1）=0，则当x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，1）上时，f（x）＜0，f（x）﹣f（﹣x）＜0；当x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）上时，f（x）＞0，f（x）﹣f（﹣x）＞0，则不等式x[（f（x）﹣f（﹣x）]＞0的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），故选：C．12．（5分）将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线x=对称，且f（0）＞0，则φ=（）A．B． C．D．【解答】解：将函数f（x）=2sin（x+2φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度之后，可得y=2sin（x++2φ）的图象，根据所得图象关于直线x=对称，可得++2φ=kπ+，即φ=﹣，k ∈Z．根据且f（0）=2sin2φ＞0，则φ=，故选：B．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分）13．（5分）已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），则实数a=2．【解答】解：∵已知f（x）=x+log a x的图象过点（2，3），故有2+log a2=3，求得a=2，故答案为：2．14．（5分）已知sin，且α∈（0，），则tan的值为2．【解答】解：由sin，得，∴sin（）=1，∵α∈（0，），∴∈（），则=，即，∴tanα=tan．∴tan=1+1=2．故答案为：2．15．（5分）已知f（x）=x2﹣ax+2a，且在（1，+∞）内有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（8，+∞）．【解答】解：∵二次函数f（x）=x2﹣ax+2a在（1，+∞）内有两个零点，∴，即，解得8＜a．故答案为：（8，+∞）．16．（5分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，sinB=sinC，则边c=3．【解答】解：△ABC中，a=2，cosC=﹣，sinB=sinC，∴b=c，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=22+c2﹣2×2×c×（﹣），化简得5c2﹣3c﹣36=0，解得c=3或c=﹣（不合题意，舍去），∴c=3．故选：3．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．（10分）已知函数f（x）=2x﹣sin2x﹣．（I）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（II）求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2x﹣sin2x﹣=（1+cos2x）﹣sin2x﹣=﹣sin2x+cos2x=﹣2sin（2x﹣）；﹣﹣﹣﹣（3分）∴f（x）的最小正周期为π，﹣﹣﹣﹣（4分）对称轴方程为x=+，k∈Z；﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）；﹣﹣﹣﹣（8分）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．﹣﹣﹣﹣（10分）18．（12分）若0，0，sin（）=，cos（）=．（I）求sinα的值；（II）求cos（）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵0，∴，又sin（）=，∴cos（）=，∴sinα=sin[﹣（）]=sin cos（）﹣cos sin（）=；（Ⅱ）∵0，∴，又cos（）=，∴sin（）=．∴cos（）=cos[（）+（）]=cos（）cos（）﹣sin（）sin（）=．19．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC．（I）求角B的大小；（II）若b=2，求△ABC周长的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵由（2a﹣c）cosB=bcosC，可得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC，可得：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵A∈（0，π），sinA＞0，∴可得：cosB=，∴由B=，B∈（0，π），B=．﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）∵2R==，a=sinA，c=sinC，﹣﹣﹣﹣（6分）∴可得三角形周长：a+b+c=sinA+sinC+2=sinA+sin（﹣A）+2=4sin（A+）+2，﹣﹣﹣﹣（9分）∵0＜A＜，＜A+＜，可得：sin（A+）∈（，1]．﹣﹣﹣﹣（11分）∴周长的最大值为6．﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，函数的图象关于点（）中心对称，且过点（）．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若方程2f（x）﹣a+1=0在x∈[0，]上有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期为T==π，由ω＞0，得ω=2；由函数f（x）的图象关于点（）中心对称，∴2×+φ=kπ，φ=﹣+kπ，k∈Z；又|φ|＜，∴φ=﹣；又f（x）过点（），∴Asin（2×﹣）=1，解得A=2，∴函数f（x）=2sin（2x﹣）；（II）方程2f（x）﹣a+1=0，∴a=4sin（2x﹣）+1；又x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴4sin（2x﹣）+1∈[﹣1，5]，∴实数a的取值范围是[﹣1，5]．21．（12分）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c，若△ABC的面积为2，sin（A﹣B）+sinC=sinA，b=3．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）求边a，c的值．【解答】解：（Ⅰ）由sin（A﹣B）+sinC=sinA，得sinAcosB﹣cosAsinB+sin（A+B）=sinA即2sinAcosB=sinA，∵sinA≠0，∴cosB=．sinB=（Ⅱ）由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣ac⇒a2+c2﹣ac=9…①又∵s=ac•sinB=2，∴ac=6…②△ABC由①②解得，∵a＞c，∴a=3，c=2．22．（12分）设函数f（x）=a2x+ma﹣2x（a＞0，a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若f（1）=，且g（x）=f（x）﹣2kf（）+2a﹣2x在[0，1]上的最小值为2，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得f（0）=0，1+m=0，解得m=﹣1，则f（x）=a2x﹣a﹣2x，f（﹣x）=a﹣2x﹣a2x=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，则m=﹣1成立；（Ⅱ）由f（x）=a2x﹣a﹣2x，f（1）=，可得a2﹣a﹣2=，解得a=2，则f（x）=22x﹣2﹣2x，设y=g（x）=22x+2﹣2x﹣2k（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2k（2x﹣2﹣x）+2，设t=2x﹣2﹣x，y=t2﹣2kt+2x∈[0，1]，可得t∈[0，]，当k＜0时，y min=2成立；当0≤k≤时，y min=2﹣k2=2，解得k=0成立；当k≥时，ymin=﹣3k+=2，解得k=不成立，舍去．综上所述，实数k的取值范围是（﹣∞，0]．。

辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一上学期第二次段考数学试卷

辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一上学期第二次段考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设P={x|x＜2}，Q={x|x2＜1}（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．过两点（﹣1，1）和（0，3）的直线在x轴上的截距为（）A．﹣B．C．3D．﹣33．若，则函数f（x）的定义域为（）A．B．（0，+∞）C．D．4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b=（）A．4B．6C．8D．125．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β6．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是（）A．B．C．D．7．若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）为增函数，那么g（x）=的图象是（）A．B．C．D．8．如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．189．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是6，则判断框内m的取值范围是（）A．（12，20 C．（30，42.50，60），70，80），90，10070，90）的人数为34人．（1）求图中x的值及n；（2）由频率分布直方图，求此次考试成绩平均数的估计值．19．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC 折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求几何体D﹣ABC的体积．20．已知方程C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且|MN|=，求m的值．21．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D、E分别为A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且．（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．22．设函数f（x）=x|x﹣a|（a∈R）（1）讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当x∈时，f（x）的最大值为，求实数a的取值范围．辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一上学期第二次段考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设P={x|x＜2}，Q={x|x2＜1}（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：求出集合Q，即可推出P⊆Q，得到选项．解答：解：因为Q={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，又P={x|x＜2}，所以Q⊆P，故选B．点评：本题考查集合之间的包含关系的判断，基本知识的应用．2．过两点（﹣1，1）和（0，3）的直线在x轴上的截距为（）A．﹣B．C．3D．﹣3考点：直线的两点式方程．分析：先由两点式写出直线方程，再求截距．解答：解：由两点式，得=，即2x﹣y+3=0，令y=0，得x=﹣，即在x轴上的截距为﹣．点评：要掌握直线的五种方程形式，并学会相互转化．3．若，则函数f（x）的定义域为（）A．B．（0，+∞）C．D．考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：的定义域为{x|}，由此能够求出结果．解答：解：的定义域为：{x|}，即{x|}，解得{x|﹣＜x＜0}．故选C．点评：本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，若甲运动员的中位数为a，乙运动员的众数为b，则a﹣b=（）A．4B．6C．8D．12考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：根据给出的两组数据，把数据按照从小到大排列，根据共有11个数字，写出中位数、众数，再求差，得到结果．解答：解：由题意知，∵甲运动员的得分按照从小到大排列是7，8，9，15，17，19，23，24，26，32，41，共有11 个数字，最中间一个是19，∴a=19；乙运动员得分按照从小到大的顺序排列是5，7，8，11，11，13，20，22，30，31，40，共有11个数据，出现次数最多的一个是11，∴b=11∴a﹣b=8故选：C．点评：本题考查中位数，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题，考查最基本的知识点．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：由α⊥β，m⊂α，n⊂β，可推得m⊥n，m∥n，或m，n异面；由α∥β，m⊂α，n⊂β，可得m∥n，或m，n异面；由m⊥n，m⊂α，n⊂β，可得α与β可能相交或平行；由m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β．解答：解：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及空间中直线与平面的位置关系，属基础题．6．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：转化思想．分析：表示圆上动点与原点O连线的斜率，画出满足等式（x﹣2）2+y2=3的图形，由数形结合，我们易求出的最大值．解答：解：满足等式（x﹣2）2+y2=3的图形如图所示：表示圆上动点与原点O连线的斜率，由图可得动点与B重合时，此时OB与圆相切，取最大值，连接BC，在Rt△OBC中，BC=，OC=2易得∠BOC=60°此时=故选D点评：本题考查的知识点是简单线性规划，分析出表示圆上动点与原点O连线的斜率，是解答本题的关键．7．若函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）为增函数，那么g（x）=的图象是（）A．B．C．D．考点：指数函数的单调性与特殊点；函数的图象．专题：图表型．分析：要想判断函数g（x）=的图象，我们可以先观察到函数的解析式中x的取值范围，得到其定义域从而得到图象的大致位置，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象即可．解答：解：∵函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）为增函数，∴a＞1，⇒，考察函数g（x）=的定义域：由得x＞﹣1，则函数的定义域为：（﹣1，+∞），即函数图象只出现在直线x=﹣1轴右侧；又函数g（x）=可看成g（x）=u，u=的复合，其中g（x）=u和u=均在各自的定义域是减函数，从而得出函数g（x）=在区间（﹣1，+∞）上递增，且当x=0时，g（0）==0，即图象过原点，分析A、B、C、D四个答案，只有C满足要求．故选C．点评：要想判断函数的图象，我们先要求出其定义域，再根据解析式，分析其单调性、奇偶性、周期性等性质，根据定义域、值域分析函数图象所处的区域，根据函数的性质分析函数图象的形状，如果还不能判断的话，可以代入特殊值，根据特殊点的位置进行判断．8．如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．18考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以正视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．解答：解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为3，底边上的高为：=，故底面积S=3×=3，又因为棱柱的高为3，故V=3×3=9，故选B．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何体的形状及相应底面面积和高是解答本题的关键．9．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是6，则判断框内m的取值范围是（）A．（12，20 C．（30，422，+∞）．考点：其他不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；作图题．分析：作函数y=和函数y=（a﹣1）x的图象，根据不等式解集的几何意义，求出不等式的解集即可．解答：解：根据不等式解集的几何意义，作函数y=和函数y=（a﹣1）x的图象（如图），从图上容易得出实数a的取值范围是a∈2，+∞）．点评：本题考查无理不等式的解法，考查作图能力，计算能力，是基础题．15．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：要使函数在R上为增函数，须有f（x）在（﹣∞，1上递增，在（1，+∞）上递增，且，所以有，解得﹣3≤a≤﹣2，故a的取值范围为．故答案为：．点评：本题考查函数的单调性，考查学生解决问题的能力，属中档题．16．如图，四面体ABCD中，DA=DB=DC=1，且DA、DB、DC两两互相垂直，在该四面体表面上与点A距离是的点形成一条曲线，这条曲线的长度是．考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题．专题：空间位置关系与距离．分析：先求出DG，DH的长，利用直角三角形的边角关系求出∠DAp4，∠DAp1，得到∠DAP4=∠BAP1，弧长公式求得=，以及，的大小，这条曲线的长度是各个弧长．解答：解：如图勾股定理求出DP4===DP1tan∠DAP4==，∴∠DAP4==∠DAP1，∴∠CAP4=∠P1AB==，∴由弧长公式得==×=，==×=，∴曲线长为×=，这条曲线的长度是π，故答案为：．点评：本题考查了运用弧长公式求解空间几何体表面的最短距离问题，属于中档题，关键是确定弧对应的圆心角，运用公式求解．三、解答题（本大题共6小题，共70分)17．设关于x的不等式x（x﹣a﹣1）＜0（a∈R）的解集为M，不等式x2﹣2x﹣3≤0的解集为N．（Ⅰ）当a=1时，求集合M；（Ⅱ）若M⊆N，求实数a的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：（Ⅰ）当a=1时，由已知得一元二次不等式x（x﹣2）＜0，解之即可得集合M；（Ⅱ）由已知得N={x|﹣1≤x≤3}．下面对字母a进行分类讨论：①当a＜﹣1时，②若a=﹣1时，③若a＞﹣1时，分别表示出集合M，又N={x|﹣1≤x≤3}，利用M⊆N，即可求得a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，由已知得x（x﹣2）＜0．解得0＜x＜2．所以M={x|0＜x＜2}．…（Ⅱ）由已知得N={x|﹣1≤x≤3}．…①当a＜﹣1时，因为a+1＜0，所以M={x|a+1＜x＜0}．因为M⊆N，所以﹣1≤a+1＜0，解得﹣2≤a＜﹣1；…②若a=﹣1时，M=∅，显然有M⊆N，所以a=﹣1成立；…③若a＞﹣1时，因为a+1＞0，所以M={x|0＜x＜a+1}．又N={x|﹣1≤x≤3}，因为M⊆N，所以0＜a+1≤3，解得﹣1＜a≤2．…综上所述，a的取值范围是．…点评：本小题主要考查一元二次不等式的解法、集合之间的包含关系、集合关系中的参数取值问题等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想．属于基础题．18．某班n位学生一次考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间是（40，50），60，70），80，90），．若成绩在区间0，1hslx3y3h时，f（x）的最大值为，求实数a的取值范围．考点：函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可讨论f（x）的奇偶性；（2）根据函数的最值，结合分段函数即可得到结论．解答：解：（1）a=0，f（x）=x|x|，∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），f（x）为奇函数；a≠0，f（x）=x|x﹣a|，f（1）=|a﹣1|，f（﹣1）=﹣|a+1|，f（1）±f（﹣1）≠0，∴f（x）为非奇非偶函数（2）①若a≤0，则②若a＞0，则（i）（ii）（iii）综上：点评：本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数最值的应用，利用分段函数结合二次函数的图象和性质是解决本题的关键．。

辽宁省沈阳市东北育才学校2014_2015学年高一数学上学期第一次段考试卷(含解析)

辽宁省沈阳市东北育才学校201 4-2015学年高一上学期第一次段考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}2．若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（）A．直线与平面平行B．直线与平面相交C．直线上至少有一个点在平面内D．直线上有无数多个点都在平面外3．如图，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定4．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β5．正方体与其外接球的表面积之比为（）A．B．2：πC．3：πD．6：π6．函数f（x）=2|x|﹣x2的图象为（）A．B．C．D．7．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（）A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α8．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥A1﹣B1BC的体积为（）A．B．C．1 D．9．已知平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，AC⊥l，垂足为C，BD⊥l，垂足为D （点C，D不重合），若AC＞BD，则（）A．AD＞BC，∠ABC＞∠BAD B．AD＞BC，∠ABC＜∠BADC．AD＜BC，∠ABC＞∠BAD D．AD＜BC，∠ABC＜∠BAD10．已知正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为的球面上，M，N分别为PA，AB的中点．若MN⊥CM，则球心到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．11．如图，设平面α∩平面β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B，D，如果再增加一个条件，就可以推出BD⊥EF．现有：①AC⊥β；②AC∥EF；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上．那么上述三个条件中能成为增加条件的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个12．若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，平面α∥β∥γ，直线l、m分别与α、β、γ相交于点A、B、C和点D、E、F．若，DF=20，则EF=．14．在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，这个球与圆柱的侧面及两个底面都相切，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．记圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，则m与n的大小关系是．15．水平桌面α上放有4个半径均为2的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放一个半径为1的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是．16．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．（Ⅰ）当a=1时，求集合∁R A；（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．18．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，PA⊥AD，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．（1）求证：BC∥平面EFG；（2）求三棱锥E﹣AFG的体积．19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AD中点，F为B1C1中点．（Ⅰ）求证：A1F∥平面ECC1；（Ⅱ）在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．20．已知m为常数，函数f（x）=为奇函数．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若m＞0，试判断f（x）的单调性（不需证明）；（Ⅲ）当m＞0时，若存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f（2）≤0能成立，求实数k 的最大值．21．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（1）求证：BC∥平面A1DE；（2）求证：BC⊥平面A1DC；（3）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．22．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（Ⅰ）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．注：函数在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增．辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一上学期第一次段考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，则集合A∩B=（）A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4} C．{1，2} D．{0}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接利用交集运算得答案．解答：解：∵A={0，1，2，3}，B={1，2，4}，∴A∩B={0，1，2，3}∩{1，2，4}={1，2}，故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，是基础的会考题型．2．若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（）A．直线与平面平行B．直线与平面相交C．直线上至少有一个点在平面内D．直线上有无数多个点都在平面外考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：若一直线上有一点在已知平面外，则直线与平面相交或平行．解答：解：若一直线上有一点在已知平面外，则直线与平面相交或直线与平面平行，∴直线上有无数多个点都在平面外．故选：D．点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．3．如图，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．无法确定考点：直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：通过证明AC⊥平面PBC，得出AC⊥BC，即可得出△ABC是直角三角形．解答：解：△ABC是直角三角形，说明如下；∵A∈α，C∈α，∴AC⊂α；又∵PB⊥α，∴PB⊥AC；又∵PC⊥AC，PB∩PC=B，∴AC⊥平面PBC；又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC；∴△ABC是直角三角形．故选：A．点评：本题考查了空间中的垂直关系的判断问题，解题时应明确线线垂直和线面垂直的判断与性质是什么，是基础题．4．若l、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）A．若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βC．若l⊥n，m⊥n，则l∥m D．若l⊥α，l∥β，则α⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：对于A，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；对于B，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；对于C，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理；对于D，考虑面面垂直的判定定理．解答：解：选项A中，l除平行n外，还有异面的位置关系，则A不正确．选项B中，l与β的位置关系有相交、平行、在β内三种，则B不正确．选项C中，l与m的位置关系还有相交和异面，故C不正确．选项D中，由l∥β，设经过l的平面与β相交，交线为c，则l∥c，又l⊥α，故c⊥α，又c⊂β，所以α⊥β，正确．故选D．点评：本题考查空间直线位置关系问题及判定，及面面垂直、平行的判定与性质，要综合判定定理与性质定理解决问题．5．正方体与其外接球的表面积之比为（）A．B．2：πC．3：πD．6：π考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小，因此可得到外接球的直径，进而求得半径R，再代入球的表面积公式可得球的表面积．解答：解：设正方体的棱长为a，不妨设a=1，正方体外接球的半径为R，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：2R=a，即R==；所以外接球的表面积为：S球=4πR2=3π．则正方体的表面积与其外接球表面积的比为：6：3π=2：π．故选B．点评：本题考查正方体与球的知识，正方体的外接球的概念以及正方体棱长与其外接球的直径之间的数量关系，球的表面积的计算．6．函数f（x）=2|x|﹣x2的图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性和函数取值的是否对应进行判断即可．解答：解：∵函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，∴排除B，D．∵f（0）=1﹣0=0＞0，∴排除C，故选：A．点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性和函数取值符合是否对应是解决函数图象的基本方法．7．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（）A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α考点：空间点、线、面的位置．专题：空间位置关系与距离．分析：对两条不相交的空间直线a与b，有a∥b 或a与b是异面直线，从而得出结论．解答：解：∵两条不相交的空间直线a和b，有a∥b 或 a与b是异面直线，∴一定存在平面α，使得：a⊂α，b∥α．故选B．点评：本题主要考查立体几何中线面关系问题，属于基础题．8．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥A1﹣B1BC的体积为（）A．B．C．1 D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：求出棱柱的体积，然后求解棱锥的体积即可．解答：解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，棱柱的底面面积为：=．棱柱的体积为：SH==3．由三棱锥的体积的推导过程可知：三棱锥A1﹣B1BC的体积为：V三棱柱=×3=1．故选：C．点评：本题考查棱锥的体积的求法，三棱锥与三棱柱的体积关系，基本知识的考查．9．已知平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，AC⊥l，垂足为C，BD⊥l，垂足为D （点C，D不重合），若AC＞BD，则（）A．AD＞BC，∠ABC＞∠BAD B．AD＞BC，∠ABC＜∠BADC．AD＜BC，∠ABC＞∠BAD D．AD＜BC，∠ABC＜∠BAD考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意得，在Rt△ACD和Rt△BDC中，由∠ACD=∠BDC=90°，CD=CD，AC＞BD，从而AD＞BC．由已知得sin，sin∠ABC=，从而∠ABC＞∠BAD．解答：解：由题意得，在Rt△ACD和Rt△BDC中，∵∠ACD=∠BDC=90°，CD=CD，AC＞BD，∴AD＞BC．∵平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，BD⊥l，垂足为D，∴BD⊥α，∴sin，∵AC⊥l，垂足为C，∴AC⊥β，∴sin∠ABC=，∵AC＞BD，∴sin∠ABC＞sin∠BAD，∵∠ABC和∠BAD都是锐角，∴∠ABC＞∠BAD．故选：A．点评：本题考查线段大小的比较，考查角的大小的比较，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为的球面上，M，N分别为PA，AB的中点．若MN⊥CM，则球心到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．考点：点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意，可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，此正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点，球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P﹣ABC在面ABC上的高，由此能求出球心到截面ABC的距离．解答：解：∵正三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在半径为的球面上，∴PA，PB，PC两两垂直，∴可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分，如右图，此正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点，球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥P﹣ABC在面ABC上的高，∵球半径r=，∴正方体的棱长为2，∴正三棱锥P﹣ABC在面ABC上的高为，∴球心到截面ABC的距离为．故选：C．点评：本题考查球心到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．如图，设平面α∩平面β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B，D，如果再增加一个条件，就可以推出BD⊥EF．现有：①AC⊥β；②AC∥EF；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上．那么上述三个条件中能成为增加条件的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：空间中直线与直线之间的位置关系．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：①因为AC⊥β，且EF⊂β，所以AC⊥EF．又AB⊥α，且EF⊂α，所以EF⊥AB．因为AC∩AB=A，AC⊂平面ACBD，AB⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD，所以BD⊥EF．所以①可以成为增加的条件．②若AC∥EF，则AC∥平面α，所以BD∥AC，所以BD∥EF．所以②不可以成为增加的条件．AC与α，β所成的角相等，AC与EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF与平面ACDB不垂直，所以就推不出EF与BD垂直．所以②不可以成为增加的条件．③AC与CD在β内的射影在同一条直线上因为CD⊥α且EF⊂α所以EF⊥CD．所以EF与CD在β内的射影垂直，AC与CD在β内的射影在同一条直线上所以EF⊥AC因为AC∩CD=C，AC⊂平面ACBD，CD⊂平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，因为BD⊂平面ACBD所以BD⊥EF．所以③可以成为增加的条件．故选：C．点评：本题考查能成为增加条件的命题个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12．若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由于该四面体不是正四面体所以可以分成两种情况①侧棱长为2，2，1，底边长为2，2，2②底边长为2，2，1，侧棱长为1，2，2，由于运算量较大，故用排除法求解．解答：解：由于四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体体，可以分成两种情况①侧棱长为2，2，1，底边长为2，2，2②底边长为2，2，1，侧棱长为1，2，2进一步来求它们的体积相对较麻烦，故使用排除法求出当侧棱长为2，2，2时底边长为1，1，1时利用锥体上顶点在下底面上的射影在中心位置，进一步求得h=V==故选：C点评：本题考查的知识点：正四面体的定义，及体积的运算公式，排除法在实际问题中的应用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图，平面α∥β∥γ，直线l、m分别与α、β、γ相交于点A、B、C和点D、E、F．若，DF=20，则EF=15．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：分两种情况：（1）直线l和m在同一平面内（2）直线l和m不在同一平面内，即l和m异面然后利用面面平行的性质定理得到线线平行，进一步利用平行线分线段成比例定理得到结果．解答：解：分两种情况：（1）直线l和m在同一平面内，连结AD，BE，CF 平面α∥β∥γ，AD∥BE∥CF，，DF=20，求得：EF=15；（2）直线l和m不在同一平面内，即l和m异面，过D作DH∥AC，平面α∥β∥γ，∴AB=DG，BC=GH，进一步得GE∥HF，利用平行线分线段成比例得：，DF=20，求得：EF=15，故答案为：15．点评：本题考查的知识要点：面面平行的性质定理，直线的位置关系，平行线分线段成比例定理．14．在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，这个球与圆柱的侧面及两个底面都相切，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现．记圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，则m与n的大小关系是m=n．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设球的半径为R，利用圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，可得πR2•2R=m•，2πR•2R+2πR2=4πR2，即可得出结论．解答：解：设球的半径为R，则∵圆柱的体积是球的体积的m倍，圆柱的表面积是球表面积的n倍，∴πR2•2R=m•，2πR•2R+2πR2=4πR2∴m=n．故答案为：m=n．点评：本题考查球的体积和表面积，考查学生的计算能力，比较基础．15．水平桌面α上放有4个半径均为2的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放一个半径为1的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是3．考点：点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意可知：球心的连线组成底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥，求出顶点到底面的距离，即可顶点小球的球心到水平桌面α的距离．解答：解：由题意，5个球心组成一个正四棱锥，这个正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，求得它的高为1，所以小球的球心到水平桌面α的距离是3．故答案为：3．点评：本题考查点、线、面间的距离计算，球的性质，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是基础题．16．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，2）．考点：特称命题．专题：函数的性质及应用．分析：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则f（x）不是单调函数，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分类讨论不同情况下函数的单调性，综合讨论结果可得答案．解答：解：由题意得，即在定义域内，f（x）不是单调的．分情况讨论：（1）若x≤1时，f（x）=﹣x2+ax不是单调的，即对称轴在x=满足＜1，解得：a＜2（2）x≤1时，f（x）是单调的，此时a≥2，f（x）为单调递增．最大值为f（1）=a﹣1故当x＞1时，f（x）=ax﹣1为单调递增，最小值为f（1）=a﹣1，因此f（x）在R上单调增，不符条件．综合得：a＜2故实数a的取值范围是（﹣∞，2）故答案为：（﹣∞，2）点评：本题考查的知识点是函数的性质及应用，其中根据已知分析出函数f（x）不是单调函数，是解答的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|x2﹣2ax﹣8a2≤0}．（Ⅰ）当a=1时，求集合∁R A；（Ⅱ）若a＞0，且（﹣1，1）⊆A，求实数a的取值范围．考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）直接把a=1代入x2﹣2ax﹣8a2≤0，然后求解一元二次不等式化简A，由补集概念得答案；（Ⅱ）求解不等式x2﹣2ax﹣8a2≤0化简A，然后由（﹣1，1）⊆A结合两集合端点值间的关系列不等式组得答案．解答：解：（Ⅰ）当a=1时，x2﹣2ax﹣8a2≤0化为x2﹣2x﹣8≤0，解得：﹣2≤x≤4．∴A={x|﹣2≤x≤4}．∁R A={x|x＜﹣2或x＞4}；（Ⅱ）由|x2﹣2ax﹣8a2≤0，且a＞0，得﹣2a≤x≤4a．∴A={x|﹣2a≤x≤4a}．由（﹣1，1）⊆A，得，解得a．∴实数a的取值范围是．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合包含关系的判断与应用，是基础题．18．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，PA⊥AD，且PA=AD=2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．（1）求证：BC∥平面EFG；（2）求三棱锥E﹣AFG的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：（1）由E，F分别是线段PA、PD的中点，得到EF∥AD，由ABCD为正方形，得到BC∥AD，再由直线平行于平面的判定定理得到BC∥平面EFG．（2）由平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，得到GD⊥平面AEF，由此先证明EF⊥AE，再由题设条件求三棱锥E﹣AFG的体积．解答：（1）证明：∵E，F分别是线段PA、PD的中点，∴EF∥AD．…又∵ABCD为正方形，∴BC∥AD，∴BC∥EF．…又∵BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，∴BC∥平面EFG …（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，即GD⊥平面AEF．…又∵EF∥AD，PA⊥AD，∴EF⊥AE．…又∵AE=EF==1，GD==1，．∴×GD=．…点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的计算．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化立体问题为平面问题．19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AD中点，F为B1C1中点．（Ⅰ）求证：A1F∥平面ECC1；（Ⅱ）在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（I）利用平行四边形和四棱柱的性质，证出FM∥A1A且FM=A1A，得四边形AA1FM是平行四边形，从而FA1∥AM．再根据平行四边形ABCD中，E、M分别为AD、BC中点，得四边形AMCE是平行四边形，所以CE∥AM．由此可得CE∥A1F，结合线面平行判定定理，得到A1F∥平面ECC1．（II）取CD中点G，连接BG，利用正方形的性质结合三角形全等，可得BG⊥EC．由CC1⊥平面ABCD，得CC1⊥BG，结合线面垂直判定定理，得BG⊥平面ECC1．说明在CD上存在中点G，使得BG⊥平面ECC1．解答：解：（Ⅰ）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，取BC中点M，连接AM，FM．∵平行四边形BB1C1C中，F、M分别是B1C1、BC的中点，∴FM∥B1B且FM=B1B．…∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥B1B且AA1=B1B∴FM∥A1A且FM=A1A，得四边形AA1FM是平行四边形．∴FA1∥AM．∵平行四边形ABCD中，E为AD中点，M为BC中点，∴AE∥MC且AE=MC．得四边形AMCE是平行四边形．…∴CE∥AM，可得CE∥A1F．∵A1F⊄平面ECC1，EC⊂平面ECC1，∴A1F∥平面ECC1．…（Ⅱ）结论：在CD上存在一点G，使BG⊥平面ECC1取CD中点G，连接BG…在正方形ABCD中，DE=GC，CD=BC，∠ADC=∠BCD，∴△CDE≌△BCG，得∠ECD=∠GBC．…∵∠CGB+∠GBC=90°，所以∠CGB+∠DCE=90°，得BG⊥EC．…∵CC1⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，∴CC1⊥BG，又∵EC∩CC1=C．EC、CC1⊆平面ECC1．∴BG⊥平面ECC1．故在CD上存在中点G，使得BG⊥平面ECC1．…点评：本题给出正四棱柱，求证线面平行并探索线面垂直，着重考查了空间线面垂直、平行的判定与性质等知识，属于中档题．20．已知m为常数，函数f（x）=为奇函数．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若m＞0，试判断f（x）的单调性（不需证明）；（Ⅲ）当m＞0时，若存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f（2）≤0能成立，求实数k 的最大值．考点：函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）直接由f（﹣x）=﹣f（x）恒成立整理得到（m2﹣1）（2x+1）=0恒成立，由此求得m的值；（Ⅱ）当m＞0时有m=1，代入原函数借助于指数函数的单调性判断f（x）的单调性；（Ⅲ）判断出函数f（x）的奇偶性，结合单调性把存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f （2）≤0能成立，转化为存在x∈[﹣2，2]，使得k≤e x+x+2能成立．利用导数求出函数g（x）=e x+x+2在[﹣2，2]上的最大值得答案．解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=为奇函数，∴对于其定义域内的任意x有f（﹣x）=﹣f（x），即，整理得：（m2﹣1）（2x+1）=0恒成立．∴m2=1，m=±1；（Ⅱ）若m＞0，则m=1，函数f（x）==．∵2x为增函数，∴f（x）==为减函数；（Ⅲ）当m＞0时，函数f（x）为减函数，又f（﹣x）=，∴f（x）为奇函数．由存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f（2）≤0能成立，得存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）≤﹣f（2）=f（﹣2）能成立．即e x+x﹣k≥﹣2，也就是k≤e x+x+2能成立．令g（x）=e x+x+2．则g′（x）=e x+1＞1．∴g（x）=e x+x+2在[﹣2，2]上为增函数．．∴若存在x∈[﹣2，2]，使得f（e x+x﹣k）+f（2）≤0能成立，则实数k的最大值为e2+4．点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了函数的性质，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函数的最值，解答此题（Ⅲ）的关键在于对题意的理解，是中档题．21．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（1）求证：BC∥平面A1DE；（2）求证：BC⊥平面A1DC；（3）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线线平行⇒线面平行证明（1）；根据线面垂直⇔线线垂直可证（2）；设AD=x或设DC=x，利用垂直关系判定△，△A1CB，△A1DC的形状，构造以A1B为变量，x 为自变量的函数，求函数的最小值即可．解答：解：（本小题共14分）（1）证明：∵DE∥BC，DE⊂面A1DE，BC⊄面A1DE∴BC∥面A1DE…（2）证明：在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，∴AD⊥DE∴A1D⊥DE．又A1D⊥CD，CD∩DE=D，∴A1D⊥面BCDE．由BC⊂面BCDE，∴A1D⊥BC．BC⊥CD，A1D∩CD=D，∴BC⊥面A1DC．…（3）设DC=x则A1D=6﹣x由（Ⅱ）知，△A1CB，△A1DC均为直角三角形．，即==…当x=3时，A1B的最小值是．即当D为AC中点时，A1B的长度最小，最小值为．…点评：本题考查线面平行、垂直的判定与空间中点、点距离的最值问题．设出变量，构造函数利用求函数最值的方法求解，是此类题的常用方法．22．对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（Ⅰ）若f（x）=2x+m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若f（x）=4x﹣m2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．注：函数在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由局部奇函数的定义：存在x∈[﹣1，1]，f（﹣x）=﹣f（x），这样求出m=，所以要求m的取值范围，只要求函数的值域，而该函数的值域，根据利用导数求函数最值的方法求解，即先求该函数在[﹣1，1]上的极值，比较端点值，从而求出最值；（Ⅱ）根据局部奇函数的定义：f（x）+f（﹣x）=0，得到4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0，令2x+2﹣x=n（n≥2），带入上式得n2﹣2mn+2m2﹣8=0，关于n的方程有解，所以求出n=m，所以需要m+≥2，即，同过讨论m和2的关系解该不等式便得实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）根据局部奇函数的定义，存在x∈[﹣1，1]，使f（﹣x）=2﹣x+m=﹣2x﹣m；∴，令g（x）=，则g′（x）=；∴﹣1≤x＜0时，，∴，g′（x）＜0；0＜x≤1时，，∴，g′（x）＞0；∴g（0）=2是g（x）在[﹣1，1]上的最小值，又g（﹣1）=g（1）=，所以g（x）的最大值是；∴2，∴，∴；即实数m的取值范围为；（Ⅱ）根据局部奇函数的定义知，存在x∈R，使f（x）+f（﹣x）=0；∴4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2m2﹣6=0；令2x+2﹣x=n（n≥2），则：n2﹣2mn+2m2﹣8=0，可将该式看成关于n的方程，n在[2，+∞）有解；∴，m∈；∴（1）；①当2≤m≤，时（1）式恒成立；②当时，，将该不等式整理成m2﹣2m﹣2≤0，解得；∴；综上得m的取值范围为[1﹣，2]．点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，函数极值的概念，利用导数求函数最值的过程，以及解一元二次不等式．。

2014—2015学年上期高一数学期末考试试卷及答案

2014—2015学年上期高一数学期末考试试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合(){}/lg 1A x y x /==-，{}2/230B y y y =--≤，则()A B ⋂=A ． {}/13x x <<B ． {}/13y y ≤≤C ． {}/13x x <≤D ． {}/13x x ≤< 2、下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（） A ．1y x=B ．x y e -=C ．lg y x =D ．21y x =-+ 3、如果直线m //直线n ，且m //平面α，那么n 与α的位置关系是（） A ．相交 B ． n //α C ． n ⊂α D ． n //α或n ⊂α 4、两直线230x y ++=与410x my ++=平行，则它们之间的距离为（）A ．B ．C ．D ． 45、设 4.20.6a =，0.67b =， 0.6log 7c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ． c b a <<B ． c a b <<C ． a c b <<D ． a b c <<6、已知四棱锥的三视图如图所示，则四棱锥的四个侧面中面积最大的是（）A ．3B ．C ．6D ．87、已知()222,0,0x x x f x x ax x ⎧-≥=⎨+<⎩是偶函数，则()2log 45a y x x =--的单调递增区间为（）A ． (),2-∞B ．(),1-∞-C ． ()2,+∞D ． ()5,+∞8、三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与面11BB C C 所成角的大小是（）A ． 45B ． 30C ． 90D ． 609、函数()2log 4f x x x =+-的零点所在的区间是（） A ． 12⎛⎫,1 ⎪⎝⎭B ． ()1,2C ． ()2,3D ． ()3,410、直三棱柱111ABC A B C -，体积为V ，P 、Q 分别为侧棱1AA 、1CC 上的点，且1AP C Q =，则四棱锥B APQC -的体积是（） A ．12V B ． 13V C ． 14V D ． 15V11、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()2221232f x x a x a a =-+--；若x R ∀∈，()()1f x f x -≤，则实数a 的取值范围为（）A ． 1166⎡⎤-,⎢⎥⎣⎦ B ．⎡⎢⎣⎦ C ． 1133⎡⎤-,⎢⎥⎣⎦ D ．⎡⎢⎣⎦12、当a 为任意实数时，直线()210ax y a --+=恒过定点M ，则以M 为圆心，并且与圆222410x y x y ++-+= 外切的圆的方程为（）A ．()()22229x y -++= B ．()()22229x y +++= C ．()()222216x y -+-= D ．()()222216x y -++=332正视图侧视图俯视图4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2014--高一数学试题答案及评分标准

高一数学试题参考答案及评分标准第1页（共4页）2014年沈阳市高中一年级教学质量监测数学试题参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共60分)1.A2.B3.C4.A5.B6.A7.B8.B9. D 10.C 11.B 12.C 二、填空题(每小题5分，共20分)13. 16 14.1 15.50π 16.230x y +-= 三、解答题(共6小题，共70分)17. 解：由已知，得,{|0}A y y =＞, …………………………………………………… 3分{}|01B x x =≤≤， ………………………………………………………………… 6分（1）A B ={}|01x x ＜≤；………………………………………………………… 8分（2）{}0A B x x = ≥.……………………………………………………………… 10分 18. 证明：（1）因为平面PAD ⊥底面ABCD,平面PAD 底面AB C D =AD ，又PA ⊂平面PAD ，PA AD ⊥，所以PA ⊥底面ABCD. (5)分（以上五条，每缺一条就扣一分）（2）因为,2,AB CD CD AB E =∥为CD 的中点，所以AB DE ∥，且AB DE =.所以四边形ABED 为平行四边形, 所以.BE AD ∥ ………………………………… 8分又因为BE ⊄平面PAD ,AD ⊂平面PAD , ……………………………………… 10分所以BE ∥平面PAD .……………………………………………………………… 12分 19. (方法一) 直线l 方程为40-+=mx y ，到圆心C ()0,0的距离241=+d m .又圆C 的半径2=r . ………………………………………………………………… 3分（1）若直线l 与圆C 相切，则=d r ，即2421=+m .…………………………… 5分解得23=m ，所以3=±m .……………………………………………………… 7分高一数学试题参考答案及评分标准第2页（共4页）所以直线l 方程为340-+=x y 或340+-=x y . …………………………… 8分（2）若直线l 与圆C 相离，则d r ＞，即2421m +＞. ………………………… 10分解得23m ＜，所以33m -＜＜,即m 的取值范围是()3,3-. …………… 12分(方法二)把直线:4=+l y mx 方程带入圆22:4+=C x y ，得()2218120+++=mx mx ， ……………………………………………………… 3分其判别式()()2284121∆=-⨯⨯+m m . ………………………………………… 5分（1）若直线l 与圆C 相切，则0∆=，解得23=m ，所以3=±m . ………… 7分所以直线l 方程为340-+=x y 或340+-=x y . …………………………… 8分（2）若直线l 与圆C 相离，则0∆<. ………………………………………… 10分解得23m ＜，所以33m -＜＜,即m 的取值范围是()3,3-. …………… 12分20. 证明：（1）（方法一）若0=B ，则0≠A ，所以两条直线变为：12=-=-C C x x A A，，所以两条直线都与x 轴垂直，所以1l ∥2l 或重合.又由于12≠C C ，所以1l ∥2l . ……………………………………………………… 2分若0≠B ，则两直线方程化为11:=--C A l y x B B；22:=--C A l y x BB.所以111=-=-C A k b B B，；222=-=-C A k b BB，.又12≠C C ，所以12=k k 且12≠b b ，即两直线的斜率相等且在y 轴上的截距不等，所以1l ∥2l . ………………………………………………………………………… 6分 (方法二)因为0-=AB BA ，所以1l ∥2l 或重合. 又因为()2121.-=-BC BC B C C当0≠B 时，因为12≠C C ，所以210-≠BC BC ，因此1l ∥2l ；………………… 2分当0=B 时，0≠A ，所以两条直线变为：12,=-=-C C x x A A ，所以两条直线都与x 轴垂直，所以1l ∥2l 或重合.又由于12≠C C ，所以1l ∥2l . ……………………………………………………… 6分高一数学试题参考答案及评分标准第3页（共4页）（2）在1l 上任取一点()11,P x y ，则111+=-Ax By C .所以1l 与2l 之间的距离等于点P 到2l 的距离， …………………………………… 9分 112212222++-==++Ax By C C C d A BA B. …………………………………………… 12分21. 解：由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为3的正三角形，三棱柱的高3=h ，……………………………………………… 2分（1）底面是高为3的正三角形，易知底面边长为2，所以底面面积12332=⨯⨯=s ，所求体积33==V sh . …………………… 4分（2）连接1A B ，且11= A B AB O ，因为正三棱柱侧面是矩形，所以点O 是1A B 的中点， ………… 5分（方法一）若11,BC AB D ∥平面连接DO ，111111,,BC A BC AB D A BC DO ⊂⋂=平面平面平面, 所以∥1,BC D O 所以DO 是11∆A BC 的中位线，所以D 为11A C 的中点.即D 为11A C 的中点时，11BC AB D ∥平面. ………………………………… 8分（方法二）若D 为棱11A C 的中点. 连接DO ，所以DO 是11∆A BC 的中位线，所以1,BC DO ∥又⊂DO 1AB D 平面，11BC AB D ⊄平面，所以11BC AB D ∥平面. 即D 为11A C 的中点时，11BC AB D ∥平面. ………………………………… 8分（方法三）在11∆A BC 中，过O 作OD BC ∥1，交11A C 与D ，所以OD 为11∆A BC 的中位线，所以11D A C 为的中点，又1DO AB D ⊂平面， 11,BC AB D ⊄平面所以11.C B AB D ∥平面即D 为11A C 的中点时，11BC AB D ∥平面. ………………………………… 8分（3）（方法一）在正三棱柱111111ABC -A B C A B C 中，三角形为正三角形，所以⊥111B D AC ，又由三棱柱性质知11111,A B C ACC A ⊥平面平面且1111111,A B C ACC A A C = 平面平面 1⊂BD 平面111A B C ，所以11,B D AA D ⊥平面 ……………………………… 10分 11,B D AB D ⊂又平面所以⊥11平面平面AB D AA D . ………………………… 12分高一数学试题参考答案及评分标准第4页（共4页）（方法二）在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，三角形A 1B 1C 1为正三角形，所以B 1D ⊥A 1C 1，又因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥B 1D. AA 1 A 1C 1=A 1，AA 1⊂平面A A 1D ，A1C1⊂平面A A1D ，所以B1D ⊥平面A A1D ，………………………………………… 10分又B 1D ⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D ⊥平面AA 1D. (12)分22. 解：（1）由已知，函数()y =f x 的定义域为{}-|11＜＜x x ，因为()()aa x xf x f x x x1-1+-=l og =-l og =-1+1-, 所以()=y f x 为奇函数，…………………………………………………………… 2分设12,x x 是()1,1-上的任意两个实数，且21Δ=-0＞x x x ，则()()11221211log 11log x x x x x f x f y aa-+--+=-=∆.因为()()21212121112()01111x x x x x x x x ++--=----＞,所以当a ＞1时，()y f x =在()-1,1上是增函数；当0＜a ＜1时，()y f x =在()-1,1上是减函数. …………………………………… 4分所以原不等式可化为()()212f t t f t ---＜.当a ＞1时，由22122111t t t t t t ----<---⎧⎪⎨⎪⎩＞＜，得13t ＜＜；…………………………………… 6分当0＜a ＜1时，由22122111t t t t t t -------⎧⎪⎨⎪⎩＞＞＜，得32t ＜＜. ………………………………… 8分(如果函数的奇偶性和单调性没有证明，但不等式解对扣2分.)（2）当a ＞1时，()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则由(0)0f =，112f =⎛⎫⎪⎝⎭，得a=3. ……………………………………………………………………………… 10分当0＜a＜1时，()f x在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时(0)1f=无解.综上可知，a=3. ……………………………………………………………………12分高一数学试题参考答案及评分标准第5页（共4页）。

2014-2015学年高一数学上学期期末考试试题含解析

2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题说明：1．本卷共有三个大题，21个小题，全卷满分150分,考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U （A ∪B ）=（） A ．{1，3，4}, B ．{3，4}, C ．{3}, D ．{4} 2．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（） A ．球, B ．三棱锥, C ．正方体, D ．圆柱 3．若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（） A ．1：2, B ．1：4, C ．1：8, D ．1：164．已知点M （a ，b ）在圆O ：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是（） A ．相切, B ．相交, C ．相离, D ．不确定 5．在下列命题中，不是公理的是（） A ．平行于同一个平面的两个平面平行B ．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线6．由表格中的数据可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间是(,1)()k k k Z +∈，则k 的值为A ．-1B ．0C ．1D ．27．若函数11()2xy m -=+的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．1m ≥D ．01m <≤8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(0,2]C ．[1,2]D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．若定义在区间[-2015，2015]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[-2015，2015]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）-2014，且x ＞0时，有f （x ）＞2014，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（）A ．2014B ．2015C ．4028D ．403010．一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下，M 、N 分别为1A B 、11B C 的中点．下列结论中正确的个数有①直线MN 与1A C 相交． ② MN BC ⊥． ③MN //平面11ACC A ． ④三棱锥1N A BC -的体积为1316N A BC V a -=． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共计25分．请将正确答案填在答题卷相应位置．） 11．函数22log (1)y x x =--的定义域为___________．12．在z 轴上与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点C 的坐标为．13．已知集合2{(,)49}A x y y x ==-，{(,)}B x y y x m ==+，且A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______________．14．已知函数1333,1()log ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩，则满足不等式1()()9f m f ≤的实数m 的取值范围为．15．下列四个命题：其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）设全集为U R =，集合(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，{}2|log (2)4B x x =+<．（1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知{}|21C x x a x a =><+且，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知直线1l ：10ax by ++=，（,a b 不同时为0），2l ：(2)0a x y a -++=，（1）若0b =且12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当3b =且12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．18．（本小题满分12分）已知幂函数21()(22)m f x m m x +=-++为偶函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()2(1)1y f x a x =--+在区间（2，3）上为单调函数，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）20．（本小题满分13分）已知圆C 的方程:04222=+--+m y x y x ,其中5m <．（1）若圆C 与直线042:=-+y x l 相交于M ,N 两点，且MN =,求m 的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l ，若存在，求出c 的范围，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1axg x x -=-．（1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D C B A C D D C B2、答案D分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等解答：球的三视图均为圆，且大小均等；正四面体的三视图可以形状都相同，大小均等；正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱故选D点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题3、4、6、7、8、9、10、二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．(]2,1 12．14 (0,0,)913．[7,72]-14．31[,log 5]915．①④⑤三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）．解：（1）由0216,x <+<得(2,14)B =-， ……………………………2分又(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，故阴影部分表示的集合为()(,3][14,)R A C B ⋂=-∞-⋃+∞ ； ……………………5分（2）① 21a a ≥+，即1a ≥时，C =∅，成立； ………………………9分② 21a a <+，即1a <时，(2,1)(2,14)C a a =+⊆-，114,22,a a +≤⎧⎨≥-⎩得11a -≤<， ………………………11分综上所述，a 的取值范围为[1,)-+∞． …………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）当0b =时，1l ：10ax +=，由12l l ⊥知(2)0a -=，…………4分解得2a =；……………6分（2）当3b =时，1l ：310ax y ++=，当12//l l 时，有3(2)0,310,a a a --=⎧⎨-≠⎩…………8分解得3a =， …………………9分此时，1l 的方程为：3310x y ++=，2l 的方程为：30x y ++=即3390x y ++=，…………11分则它们之间的距离为229142333d -==+分 18．（本小题满分12分）解：（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得 1m =或12m =-……3分当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去． ∴2()f x x =． ……………………6分（2）由（1）得22(1)1y x a x =--+，即函数的对称轴为1x a =-， …………8分由题意知22(1)1y x a x =--+在（2，3）上为单调函数，所以12a -≤或13a -≥， ………11分即3a ≤或4a ≥． …………12分19．（本小题满分12分）解：20．（本小题满分13分）．解：（1）圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(22，圆心 C （1，2），半径 m r -=5，则圆心C （1，2）到直线:240l x y +-=的距离为 5121422122=+-⨯+=d ………3分由于5MN =125MN =，有2221()2r d MN =+， ,)52()51(522+=-∴m 得4=m ． …………………………6分（2）假设存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l 的距离为55， ……7分由于圆心 C （1，2），半径1=r ，则圆心C （1，2）到直线02:=+-c y x l 的距离为 511532122122-<-=++⨯-=c c d ， …………10分解得5254+<<-c ． …………13分21．（本小题满分14分）解：（1）因为函数)(x g 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即11log 11log 2121---=--+x ax x ax ，即axx x ax --=--+1111，得1±=a ，而当1=a 时不合题意，故1-=a ． ……4分（2）由（1）得：11log )(21-+=x x x g ，下面证明函数11log )(21-+=x x x g 在区间(1,)+∞上单调递增，证明略． ………6分所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上单调递增，所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上的值域为]1,2[--，所以2)(≤x g ，故函数)(x g 在区间]3,35[上的所有上界构成集合为),2[+∞．……8分（3）由题意知，3)(≤x f 在),0[+∞上恒成立．3)(3≤≤-x f ，x x x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--41221414． xx x xa ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴21222124在),0[+∞上恒成立． min max 21222124⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴x x x x a ……………………10分设t x =2，t t t h 14)(--=，t t t p 12)(-=，由),0[+∞∈x 得1≥t ,设121t t ≤<，21121212()(41)()()0t t t t h t h t t t ---=>， ()()1212121221()()0t t t t p t p t t t -+-=<, 所以)(t h 在),1[+∞上递减，)(t p 在),1[+∞上递增， ………………12分 )(t h 在),1[+∞上的最大值为5)1(-=h ，)(t p 在),1[+∞上的最小值为1)1(=p ．所以实数a 的取值范围为]1,5[-． …………………14分。

沈阳市2014年高一上学期统考数学试题及答案

2014年沈阳市高中一年级教学质量监测数学命题：沈阳市第四中学吴哲东北育才双语学校胡滨审题：沈阳市教育研究院周善富第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．垂直于同一个平面的两条直线（） A ．平行 B ．垂直C ．相交D ．异面2．图中阴影部分可以表示为（）A ．MN B ．()()U U M N C ．()()U U M N D ．MN3．下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（）A B C D 4．圆C 1: (x-1)2+y 2=1与圆C 2: x 2+(y-2)2=4的位置关系是（） A ．相交 B ．相离C ．外切D ．内切5．下列各图中,以x 为自变量的函数的图象是（）A B C D 6．过点(1，0)与直线x-2y-2=0平行的直线的方程是（）A. 210x y --=B. 210x y -+=C. 220x y +-=D.210x y +-= 7．已知()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,且满足()()112f g -+=,()()114f g +-=,则()1g =（） A ．4B ．3C ．2D ．18．已知直线l ：0x y -=和点()0,2M ，则点M 关于直线l 的对称点'M 的坐标是（）A ．()2,2B ．()2,0C ．()0,2-D ．()1,1 9．圆222210x y x y +--+=的圆心为点C ，下列函数图象经过点C 的是（）A.5y x =-B.1y x =-C.21xy =+ D. ()2log 2y x = 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），那么此几何体的表面积．．．（单位：cm 2）是（） A ．102B ．128C ．144D ．18411．已知集合,,A B C ,{A =直线}，{B =平面}，,C A B =若,,,a A b B c C ∈∈∈给出下列命题：①a b a c c b⇒⎧⎨⎩∥∥∥；②a ba c cb ⊥⇒⊥⎧⎨⎩∥；③a ba c c b⊥⇒⊥⎧⎨⎩∥.其中正确的命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．312．给出下列命题：①函数()1212,,1y x y x y x -===-，3y x =中，有三个函数在区间()0,+∞上单调递增；②若log 3log 30,m n <<则01n m <<<；③已知函数()()233,2,log 1,2x x f x x x -=-⎧⎪⎨⎪⎩≤＞那么方程()12f x =有两个实数根.其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：将试题答案用黑色笔答在答题卡上,答在试卷上无效.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上） 13．已知()342log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，则x = .14．直线210ax y ++=与直线()220x a y a +-+=垂直，则a = .15．若长方体一个顶点上三条棱的长分别是3，4，5(单位：cm)，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积(单位：cm 2)是 .16．若函数()()log 11a f x x =--(0a ＞且1)a ≠的图象过定点A ，直线()()11m x m y ++--20m =过定点B ，则经过,A B 的直线方程为 .三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(本小题满分10分)已知集合{}|2xA y y ==，集合{}2|B x y x x==-.求:（1）A B ；（2）A B .18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中,∥AB CD ,2=CD AB ,平面⊥PAD 底面ABCD ， ⊥PA AD ,E 是CD 的中点,求证:（1）⊥PA 底面ABCD ；（2）∥BE 平面PAD .19．(本小题满分12分)已知直线:4l y mx =+，圆22:4C x y +=.（1）若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值和直线l 的方程；（2）若直线l 与圆C 相离，求实数m 的取值范围.20．(本小题满分12分)已知两条直线221122:0,:0,(0l Ax By C l Ax By C A B ++=++=+≠且12)C C ≠.求证：（1）12l l ∥；（2）1l 与2l 之间的距离是1222C C d A B-=+.21．(本小题满分12分)已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，主视图及左视图是矩形. （1）求出该几何体的体积；（2）D 是棱11A C 上的一点，若使直线11BC AB D ∥平面,试确定点D 的位置，并证明你的结论；（3）在（2）成立的条件下，求证:平面11AB D AA D ⊥平面.22．(本小题满分12分)已知函数()()1log 011a xf x a a x+=≠-＞且.（1）若()()2120f t t f t --+-＜，求实数t 的取值范围；（2）若10,2x ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域是[]0,1，求实数a 的值.2014年沈阳市高中一年级教学质量监测数学试题参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共60分)二、填空题(每小题5分，共20分)13. 16 14.1 15.50π 16.230x y +-= 三、解答题(共6小题，共70分)17. 解：由已知，得,{|0}A y y =＞, …………………………………………………… 3分{}|01B x x =≤≤， ………………………………………………………………… 6分（1）A B ={}|01x x ＜≤；………………………………………………………… 8分（2）{}0AB x x =≥.……………………………………………………………… 10分18. 证明：（1）因为平面PAD ⊥底面ABCD,平面PAD底面ABCD =AD ，又PA ⊂平面PAD ，PA AD ⊥，所以PA ⊥底面ABCD. ………………… 5分（以上五条，每缺一条就扣一分）（2）因为,2,AB CD CD AB E =∥为CD 的中点，所以AB DE ∥，且AB DE =.所以四边形A B E D 为平行四边形, 所以.BE AD ∥ ………………………………… 8分又因为BE ⊄平面PAD ,AD ⊂平面PAD , ……………………………………… 10分所以BE ∥平面PAD .……………………………………………………………… 12分 19. (方法一) 直线l 方程为40-+=mx y ，到圆心C ()0,0的距离241=+d m .又圆C 的半径2=r . ………………………………………………………………… 3分（1）若直线l 与圆C 相切，则=d r ，即2421=+m .…………………………… 5分解得23=m ，所以3=±m .……………………………………………………… 7分所以直线l 方程为340-+=x y 或340+-=x y . …………………………… 8分（2）若直线l 与圆C 相离，则d r ＞，即2421m +＞. ………………………… 10分解得23m ＜，所以33m -＜＜,即m 的取值范围是()3,3-. …………… 12分 (方法二)把直线:4=+l y mx 方程带入圆22:4+=C x y ，得()2218120+++=m xmx ， ……………………………………………………… 3分其判别式()()2284121∆=-⨯⨯+m m . ………………………………………… 5分（1）若直线l 与圆C 相切，则0∆=，解得23=m ，所以3=±m . ………… 7分所以直线l 方程为340-+=x y 或340+-=x y . …………………………… 8分（2）若直线l 与圆C 相离，则0∆<. ………………………………………… 10分解得23m ＜，所以33m -＜＜,即m 的取值范围是()3,3-. …………… 12分 20. 证明：（1）（方法一）若0=B ，则0≠A ，所以两条直线变为：12=-=-C C x x AA，，所以两条直线都与x 轴垂直，所以1l ∥2l 或重合.又由于12≠C C ，所以1l ∥2l . ……………………………………………………… 2分若0≠B ，则两直线方程化为11:=--C A l y x BB；22:=--C A l y x BB.所以111=-=-C A k b BB，；222=-=-C A k b BB，.又12≠C C ，所以12=k k 且12≠b b ，即两直线的斜率相等且在y 轴上的截距不等，所以1l ∥2l . ………………………………………………………………………… 6分 (方法二)因为0-=AB BA ，所以1l ∥2l 或重合. 又因为()2121.-=-BC BC B C C当0≠B 时，因为12≠C C ，所以210-≠BC BC ，因此1l ∥2l ；………………… 2分当0=B 时，0≠A ，所以两条直线变为：12,=-=-C C x x AA，所以两条直线都与x 轴垂直，所以1l ∥2l 或重合.又由于12≠C C ，所以1l ∥2l . ……………………………………………………… 6分（2）在1l 上任取一点()11,P x y ，则111+=-Ax By C .所以1l 与2l 之间的距离等于点P 到2l 的距离， …………………………………… 9分 112212222++-==++Ax By C C C d A BA B. …………………………………………… 12分21. 解：由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为3的正三角形，三棱柱的高3=h ，……………………………………………… 2分（1）底面是高为3的正三角形，易知底面边长为2，所以底面面积12332=⨯⨯=s ，所求体积33==V sh . …………………… 4分（2）连接1A B ，且11=A BAB O ，因为正三棱柱侧面是矩形，所以点O 是1A B的中点， ………… 5分（方法一）若11,BC AB D ∥平面连接DO ，111111,,BC A BC AB D A BC DO ⊂⋂=平面平面平面, 所以∥1,BC D O 所以DO 是11∆A BC 的中位线，所以D 为11A C 的中点.即D 为11A C 的中点时，11BC AB D ∥平面. ………………………………… 8分（方法二）若D 为棱11A C 的中点. 连接DO ，所以DO 是11∆A BC 的中位线，所以1,BC DO ∥又⊂DO 1AB D 平面，11BC AB D ⊄平面，所以11BC AB D ∥平面. 即D 为11A C 的中点时，11BC AB D ∥平面. ………………………………… 8分（方法三）在11∆A BC 中，过O 作OD BC ∥1，交11A C 与D ，所以OD 为11∆A BC 的中位线，所以11D A C 为的中点，又1DO AB D ⊂平面， 11,BC AB D ⊄平面所以11.C B AB D ∥平面即D 为11A C 的中点时，11BC AB D ∥平面. ………………………………… 8分（3）（方法一）在正三棱柱111111ABC -A B C A B C 中，三角形为正三角形，所以⊥111B D A C ，又由三棱柱性质知11111,A B C ACC A ⊥平面平面且1111111,A B C ACC A A C =平面平面1⊂B D 平面111A B C ，所以11,B D AA D ⊥平面 ……………………………… 10分 11,B D AB D ⊂又平面所以⊥11平面平面AB D AA D . ………………………… 12分（方法二）在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，三角形A 1B 1C 1为正三角形，所以B 1D ⊥A 1C 1，又因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥B 1D. AA1A 1C 1=A 1，AA 1⊂平面AA 1D ，A 1 C 1⊂平面AA 1D ，所以B 1D ⊥平面A A1D ， (10)分又B 1D ⊂平面A B 1D ，所以平面A B 1D ⊥平面A A 1D. ………………………… 12分22. 解：（1）由已知，函数()y =fx 的定义域为{}-|11＜＜x x ，因为()()aa x xf x f x x x1-1+-=l og =-l og =-1+1-, 所以()=y fx 为奇函数，…………………………………………………………… 2分设12,x x 是()1,1-上的任意两个实数，且21Δ=-0＞x x x ，则()()11221211log 11log x x x x x f x f y aa-+--+=-=∆.因为()()21212121112()01111x x x x x x x x ++--=----＞,所以当a ＞1时，()y f x =在()-1,1上是增函数；当0＜a ＜1时，()y f x =在()-1,1上是减函数. …………………………………… 4分所以原不等式可化为()()212f t t f t ---＜.当a ＞1时，由22122111t t t t t t ----<---⎧⎪⎨⎪⎩＞＜，得1t ＜；…………………………………… 6分当0＜a ＜1时，由22122111t t t t t t -------⎧⎪⎨⎪⎩＞＞＜，得2t ＜. ………………………………… 8分(如果函数的奇偶性和单调性没有证明，但不等式解对扣2分.)（2）当a ＞1时，()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则由(0)0f =，112f =⎛⎫⎪⎝⎭，得a =3. ……………………………………………………………………………… 10分当0＜a ＜1时，()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时(0)1f =无解.综上可知，a =3. …………………………………………………………………… 12分。

辽宁省沈阳市东北育才学校14—15学年上学期高一第一次阶段考试数学(附答案) (1)

辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一上学期第一次阶段考试数学试题一、选择题1.若集合{}0123A =,,,，{}124B =,,，则集合AB =A.{}01234,,,,B.{}1234,,,C.{}12,D.{}0 2.若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是 A.直线与平面平行 B.直线与平面相交C.直线上至少有一个点在平面内D.直线上有无数多个点都在平面外3.如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P α∉，PB α⊥，C 是平面α内异于A 和B 的动点，且PC AC ⊥，则ABC ∆为 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定4.若l 、m 、n 是互不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中正确的是 A.若αβ⊥，l α⊂，n β⊂，则n l ⊥ B.若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥ C.若l n ⊥，m n ⊥，则//l n D.若l α⊥，//l β，则αβ⊥5.正方体与其外接球的表面积之比为 A.3:π B.2:π C.3:π D.6:π9.已知平面α⊥平面β，l αβ=，A α∈，B β∈，AC l ⊥，垂足为C ，BD l ⊥，垂足为D （点C ，D 不重合），若AC BD >，则 A.AD BC >，ABC BAD ∠>∠B.AD BC >，ABC BAD ∠<∠αβCDlA BC.AD BC <，ABC BAD ∠>∠D.AD BC <，ABC BAD ∠<∠10.已知正三棱锥P ABC -M ，N 分别为PA ，AB 的中点. 若MN CM ⊥，则球心到平面ABC 的距离为1 11.如图，设平面α平面EF β=，AB α⊥，CD α⊥，垂足分别为B ，D ，如果再增加一个条件，就可以推出BD EF ⊥. 现有：①AC β⊥；②//AC EF ；③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上. 那么上述三个条件中能成为增加条件的个数是 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个12.若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是．．．．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图，平面////αβγ，直线l 、m 分别与α、β、γ相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F . 若13AB BC =，20DF =，则EF = . 14.在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，这个球与圆柱的侧面及两个底面都相切，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现. 记圆柱的体积是球的体积的m 倍，圆柱的表面积是球表面积的n 倍，则m 与n 的大小关系是 . 15.水平桌面α上放有4个半径均为2的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.在这4个球的上面放一个半径为1的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是 .16.已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在1x ，2x R ∈，且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）已知集合{}22|280A x x ax a =--≤. （Ⅰ）当1a =时，求集合R C A ；（Ⅱ）若0a >，且(1,1)A -⊆，求实数a 的取值范围.βαAEFBDCαβγlmABC D EF18.（本题满分12分）如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，PA AD ⊥ ，且2PA AD ==，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点.（Ⅰ）求证：//BC 平面EFG ；（Ⅱ）求三棱锥A EFG -的体积.19.（本题满分12分）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，E 为AD 中点，F 为11B C 中点. （Ⅰ）求证:1//A F 平面1ECC ；（Ⅱ）在CD 上是否存在一点G ，使BG ⊥平面1ECC ？若存在，请确定点G 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.20.（本题满分12分）已知m 为常数，函数2()12xxm f x m -=+⋅为奇函数.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若0m >，试判断()f x 的单调性（不需证明）；（Ⅲ）当0m >时，若存在[2,2]x ∈-，使得()(2)0x f e x k f +-+≤能成立，求实数k 的最大值．21.（本题满分12分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，3BC =，6AC =，D ，E 分别是AC ，AB 上的A1A点，且//DE BC . 将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2．（Ⅰ）求证：BC ⊥平面1A DC ；（Ⅱ）当点D 在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．22.（本题满分12分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．（Ⅰ）若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．注：函数1y x x=+在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增.参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） CDADB ABCAC CD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.15 14.m n = 15.3 16.2a <三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）解：（Ⅰ）当1=a 时，解不等式0822≤--x x ，得42≤≤-x …………………3分∴{}|4R C A x x =>或x<-2 ………………………………………4分（Ⅱ）∵22280x ax a --≤，∴0)2)(4(≤+-a x a x又∵0a > ∴24a x a -≤≤∴[]2,4A a a =- ……………………………………………7分又∵()1,1A -⊆ ∴1214aa -≥-⎧⎨≤⎩…………………………………………9分解得21≥a ，故实数a 的取值范围是1[,)2+∞ …………………………………10分18.（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵E ，F 分别是线段PA ，PD 的中点∴//EF AD……………………2分又∵ABCD 为正方形，∴//BC AD ∴//BC EF……………………4分又∵BC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG∴//BC 平面EFG ………………………………………………6分（Ⅱ）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥∴CD ⊥平面PAD ，即GD ⊥平面AEF ……………………………………8分又∵//EF AD ，PA AD ⊥，∴EF AE ⊥ ……………………………………10分又∵112AE EF AD ===，112CD CD ==∴13A EFG G AEF AEF V V S CD --∆==⨯⨯=111111326⨯⨯⨯⨯= …………………12分 19.（本题满分12分）（Ⅱ）在CD 上存在一点G ,使BG ⊥平面1ECC取CD 中点G ，连结BG ……………………………………………7分在正方形ABCD 中，DE GC =，CD BC =，ADC BCD ∠=∠ ∴CDE BCG ∆≅∆ ∴ECD GBC ∠=∠ ∵90CGB GBC ∠+∠=︒ ∴90CGB DCE ∠+∠=︒∴BG EC ⊥ ……………………………………………10分 ∵ABCD BG 平面⊂且1CC BG ⊥,1EC CC C =∴BG ⊥平面1ECC .故在CD 上存在中点G ，使得BG ⊥平面1ECC …………………………12分 20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）由()()0f x f x -+=得2201212x xx xm m m m ----+=+⋅+⋅ 即2120212x xxxm m m m ⋅--+=++⋅ ∴(21)(12)(2)(2)0x x x x m m m m ⋅-+⋅+-+= ∴22(1)(21)0x m -+=∴21m =，故1m =± …………………………4分（Ⅱ）若0m >，则1m =此时122()11212x x xf x -==-++在R 上单调递增减 …………………………6分（Ⅲ）∵()f x 为奇函数∴()(2)0x f e x k f +-+≤即()(2)(2)x f e x k f f +-≤-=- 由（Ⅱ）知()f x 在区间[2,2]-上单调递减∴2x e x k +-≥-即2xk e x ≤++ …………………………9分令()2x g x e x =++，则()g x 在区间[2,2]-上为增函数∴[2,2]x ∈-时，()g x 的最大值为2(2)4g e =+ …………………………11分∴24k e ≤+，故k 的最大值为24e + …………………………12分21.（本题满分12分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，90C ∠=，//DE BC∴AD DE ⊥∴1A D DE ⊥，又1A D CD ⊥，CDDE D =∴1A D ⊥平面BCDE 由BC ⊂平面BCDE ∴1A D BC ⊥ ∴BC CD ⊥， CDBC C =∴BC ⊥平面1A DC …………………………6分（Ⅱ）设DC x =，则16A D x =-由（Ⅱ）可知，1ACB ∆，1A DC ∆均为直角三角形1A B =1A B =当3x =时，1A B 的最小值是即当D 为AC 中点时，1A B的长度最小，最小值为…………………12分22.（本题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，22x x m m -+=--即222210x x m +⋅+=在区间[1,1]-内有解令2x t =，∵[1,1]x ∈- ∴1[,2]2t ∈则2210t mt ++=在区间1[,2]2内有解 …………………………………3分令2()21g t t mt =++，则(0)10g =>由15()024(2)440g m g m ⎧=+≥⎪⎨⎪=+≤⎩或244012215()024(2)440m m g m g m ⎧∆=-≥⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪=+≥⎪⎪=+≥⎩…………………………………5分得514m -≤≤-或1m =- 即514m -≤≤- …………………………………6分或解：依题意，22x x m m -+=--即222x x m -+=-在区间[1,1]-内有解令2x t =，∵[1,1]x ∈- ∴1[,2]2t ∈则12t m t +=-在区间1[,2]2内有解 …………………………………3分 ∵1t t +在区间1[,1]2上单调递减，在区间[1,2]上单调递增∴15[2,]2t t +∈ …………………………………………5分 ∴52[2,]2m -∈，故514m -≤≤- …………………………………6分（Ⅱ）若12()423xx f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”则()()f x f x -=-即2442(22)260xxx x m m --+-++-=令22x x t -=+，则2442xxt -=++，故2442x x t -+=-，2t ≥∴222280t mt m -+-=在区间[2,)+∞内有解 ……………………8分令22()228h t t mt m =-+-（2t ≥）则有2(2)2440h m m =--≤或22244(28)02 (2)2440 m m m h m m ⎧∆=--≥⎪>⎨⎪=-->⎩……………10分解得11m ≤≤+1m <≤综上，1m ≤≤………………………………………12分。

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