2.2_圆内接四边形的性质与判定定理(1)

一般地, 任意四边形都有外接圆吗?
A D A D A D
A D
O B C B C
B
C B C
4 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征? 1 1 如图（1）连接OA,OC.则∠B= . ∠D=
360 1 B D 360 0 180 0 2
1 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
【温故知新】
圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆心角的一半。 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2 半 圆(或直径)所对的圆周角是直角;
证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线, ∴OD//AC. 又∵∠DEC=90º
E D C
∴∠ODE=90º
又∵D在圆周上,
A O
B
∴DE是⊙O是切线..
16 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和 过C点的切线互相垂直,垂足为D. 求证:AC平分∠DAB. 证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.
证明：(1)如果点D在⊙O外部。则
∠AEC+∠B=180°因∠B+∠D=180°
A E D
得∠ D=∠AEC与“三角形外角大于任意
B
O
不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。
（1）
C
(2)如果点D在⊙O内部。则∠B+∠E=180° A
3.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC 平行于弦AD. 求证:DC是⊙O的切线.
C
D
3 1 4 2
A
O
B
△COD与COB全等
20 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
圆内角定理: AB与CD相交于圆内一点P. ⌒ ⌒ AD的度数与BC的度数和的一半等于∠APD的度数.
∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC 同样矛盾。∴点D不可能在⊙O内。
B
O D E
C
（2）
综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。
7 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆. 当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种 情形分别论证,最后获证结论的方法---------穷举法 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角， 那么它的四个顶点共圆.
C D P A P A B C D B
思考:
E
当P由圆内移动到圆外是,有何结论? ⌒ ⌒ BC与AD的度数差的一半等于∠APD的度数. 1⌒ 1 ⌒ 证明: ∵∠ACD= 2AD ∠CAB= 2 BC 且∠BAC= ∠P+ ∠ACP ∴ ∠P= ∠BAC- ∠ACP ⌒ ⌒ 即∠APD的度数等于 BC与AD度数的一半.
l
A
M
反 证 法
假设不垂直, 作OM⊥ l 因“垂线段最短”,
O
故OA>OM, 即圆心到直线距离小于半径. 这与线圆相切矛盾.
推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
思考:
切线的性质定理逆命题是否成立?
14 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
0
2
2
D
C

0
A
同理可得: A C 180

B
性质定理1
圆内接四边形的对角互补
D
（1）
将线段AB延长到点E,得到图（2）
C
由于ABC EBC 180 . 0 而ABC D 180 . EBC D.
0
A
（2）
B
E
性质定理2
圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
∴Q,F,P,C四点共圆。 ∴∠QFC=∠QPC. 又∵CF⊥AB ∴∠QFC与∠QFA互余.
而∠A与∠QFA也互余. ∴∠A=∠QFC. ∴∠A=∠QPC. ∴A,B,P,Q四点共圆
10 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
习题2.2 1.AD,BE是△ABC的两条高，
E
C
90º 的圆周角所对的弦是直径.
3 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
二.圆内接四边形的性质与判定定理
圆内接多边形-----所有顶点都在一个圆上的多边形.
思考: 这个圆称多边形的外接圆. 任意三角形都有外接圆.那么 任意正方形有外接圆吗?为什么?
任意矩形有外接圆吗?
等腰梯形呢?
5 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线与圆的位置关系
性质定理1
圆内接四边形的对角互补
如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.
性质定理2
圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角， 那么它的四个顶点共圆.
性质定理的逆命题成立吗？
6 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
D
求证：∠CED=∠ABC.
A o B
2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同 一个圆周上。
3.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相 交于E,EG平分∠E,且与BC,AD分别相交于F,G.
求证： ∠CFG=∠DGF.
A F G C D B
E
11 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 在直线上任取异于A的点B.
l
A
B
连OB.
则在Rt△ABO中
OB>OA=r
O
故B在圆外
.直线与圆只有一个公共点, 是切线.
15 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.
∴CE//DF .
D
A
C
O1
E B
O2
F
9 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
例2 如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC,
FQ⊥AC.
C P
求证：A,B,P,Q四点共圆
证明：连接PQ。 在四边形QFPC中，
A F
Q
B
∵FP⊥BC FQ⊥AC.
∴∠FQA=∠FPC=90º .
∴OC⊥CD.
D C
又∵AD⊥CD,
∴OC//AD.由此得 ∠ACO=∠CAD. ∵OC=OA. ∴ ∠CAO=∠ACO. ∴ ∠CAD=∠CAO. 故AC平分∠DAB.
A O
B
17 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
习题2.3
1.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O与腰AB相切于点D.
12 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
三. 圆的切线的性质及判定定理
圆与直线的位置关系:
相交-----有两个公共点 相切-----只有一个公共点 相离-----没有公共点
13 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径
D C
A
B
E
8 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
例1 如图， 都经过A,B两点。经过点A的 ⊙ O1与⊙ O2 直线CD与⊙ O1交于点C,与⊙O2交与点经过点B的直 ⊙ O2交与点F. 线EF与 ⊙O1交于点E,与 求证：CE//DF.
证明：连接AB
∵四边形ABEC是 O1 的内 接四边形。 ∴∠BAD=∠E. ∵四边形ADFB是 O2 的内 接四边形。 ∴∠BAD+∠F=180° ∴∠E+∠F=180°
求证:AC与⊙O相切.
D
A
E
B
O
C
18 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系
2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA 上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过Q作⊙O的切 线交OA的延长线于R,. 求证:RP=RQ
B
P O Q
A R
∠AQO= ∠APQ
19 [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系