自动控制原理第五章第三节控制系统开环奈奎斯特图的绘制控制系统开环奈奎斯特图的绘制
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精品文档-自动控制原理(第二版)(千博)-第5章
24
图 5-5 惯性环节的波德图
25
三、对数幅相图(Nichols图)
对数幅相图是以相角(°)为横坐标, 以对数幅频L(ω)(dB)
为纵坐标绘出的G(jω)曲线。频率ω为参变量。因此它与幅相
频率特性一样, 在曲线的适当位置上要标出ω的值, 并且要用
箭头表示ω增加的方向。
用对数幅频Hale Waihona Puke 性及相频特性取得数据来绘制对数幅相
第五章 频 域 分 析 法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 关系 第九节 德图
频率特性的基本概念 频率特性的表示方法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性 奈奎斯特稳定性判据和波德判据 稳定裕度 闭环频率特性 开环频率特性和系统阶跃响应的
利用MATLAB绘制奈奎斯特图和波
8
图 5-2 频率特性与系统描述之间的关系
9
利用频率特性曲线分析研究控制系统性能的方法称为频域 分析法。频域分析法主要有傅氏变换法和经典法。
(1) 傅氏变换法就是系统在输入信号r(t)的作用下，其输 出响应为
即把时间函数变换到频域进行计算并以此分析研究系统的方法。 (2) 经典法就是先求出系统的开环频率特性G(jω)并绘成
的对数频率
22
(1) 对数幅频特性曲线。通常用L(ω)简记对数幅频特性, 故
ω从0变化到∞时的对数幅频特性曲线如图5-3所示。
23
(2) 相频特性曲线。通常以j(ω)表示相频特性, 即 j (ω)=∠G(jω)。对于惯性环节, 有
j (ω)=-arctanTω 对不同ω值, 逐点求出相角值并绘成曲线即为相频特性曲线, 如图5-5所示。
45
图 5-11 振荡环节近似波德图
图 5-5 惯性环节的波德图
25
三、对数幅相图(Nichols图)
对数幅相图是以相角(°)为横坐标, 以对数幅频L(ω)(dB)
为纵坐标绘出的G(jω)曲线。频率ω为参变量。因此它与幅相
频率特性一样, 在曲线的适当位置上要标出ω的值, 并且要用
箭头表示ω增加的方向。
用对数幅频Hale Waihona Puke 性及相频特性取得数据来绘制对数幅相
第五章 频 域 分 析 法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 关系 第九节 德图
频率特性的基本概念 频率特性的表示方法 典型环节的频率特性 系统开环频率特性 奈奎斯特稳定性判据和波德判据 稳定裕度 闭环频率特性 开环频率特性和系统阶跃响应的
利用MATLAB绘制奈奎斯特图和波
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图 5-2 频率特性与系统描述之间的关系
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利用频率特性曲线分析研究控制系统性能的方法称为频域 分析法。频域分析法主要有傅氏变换法和经典法。
(1) 傅氏变换法就是系统在输入信号r(t)的作用下，其输 出响应为
即把时间函数变换到频域进行计算并以此分析研究系统的方法。 (2) 经典法就是先求出系统的开环频率特性G(jω)并绘成
的对数频率
22
(1) 对数幅频特性曲线。通常用L(ω)简记对数幅频特性, 故
ω从0变化到∞时的对数幅频特性曲线如图5-3所示。
23
(2) 相频特性曲线。通常以j(ω)表示相频特性, 即 j (ω)=∠G(jω)。对于惯性环节, 有
j (ω)=-arctanTω 对不同ω值, 逐点求出相角值并绘成曲线即为相频特性曲线, 如图5-5所示。
45
图 5-11 振荡环节近似波德图
控制工程基础 (第12讲) 第五章 乃魁斯特(Nyquist)稳定性判据 PPT课件
如果在s平面上曲线包围k个零点和k个极点(k=0,1,2…)，
即包围的零点数与极点数相同，则在 F(s) 平面上，
相应的封闭曲线不包围 F(s) 平面上的原点。
上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳 定判据正是建立在映射定理的基础上。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 s 以顺时针方向为正方向，在 s 平
在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的判据。这 种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。
奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形映 射基础上的 。
相角（幅角）定理：
如果闭合曲线 S 以顺时针方向为正方向，在[S]平
面上包围了Fs 的 Z 个零点和 P 个极点，但不经过
任何一个零点和极点，那么，对应的映射曲线 F 也以
奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳 定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的 概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。 它从代数判据脱颖而出，故可以说是一种几何判据。
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
2
奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用
F(s) 的轨迹将逆时针方向包围 F(s)平面上原点两次
06-7-20
控制系统系统的稳定性分析
9
s平面
B3
2
1
A0
-1
-2
F -3 -3
-2
-1
j
Im
C
2
1.5
F (s)平面
1 B1
0.5
D
E1
0 C1
F1 -0.5
-1
A
-1.5
D1
自动控制原理5.4 奈奎斯特判据
二、奈氏判据
设Gk s在s右半平面的极点数为p，则闭环系 统稳定的充要条件是：在 Gk s 平面上的
11
★奈氏判据
§5—4 奈奎斯特判据
Gk j 曲线及其镜像当从 时，将逆时
针绕（- 1，j0）点转p周。
(1) 若开环本身稳定,则p 0, 故稳定的充要条件是：
系统稳定，否则系统不稳定。 但Gk F s 1 所以F(s)的Γ曲线绕原点运动相当于 Gk j 的封闭 曲线绕(-1，j0)点运动， 因为F( s)与Gk s只差常数1。
9
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
Gk GH的封闭曲线即为 时Gk j 的
1
Mk Nk
Nk Mk Nk
Nb Nk
1
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
其中Nk s为开环特征式，Nb s为闭环特征式。
F s的特点：
1、Fs的极点 开环极点， Fs的零点 闭环极点；
2、Fs的零极点个数相等n m；
3、F s与G( s)只差常数1。
§5—4 奈奎斯特判据
[F(s)] 0
5
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
★幅角定理：设s平面上不通过F(s)任何奇点的封 闭曲线Γ包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。 当s以顺时针方向沿着封闭曲线Γ移动一周时， 则在F(s)平面上相对应于封闭曲线Γ的映射函数
j
1'
s
j 2'
F s
曲线。
因为对应于奈氏回线中：
1) 0 ； 3) 0；
只有2)半径R ， Fs 1 Gk s，
而Gk
设Gk s在s右半平面的极点数为p，则闭环系 统稳定的充要条件是：在 Gk s 平面上的
11
★奈氏判据
§5—4 奈奎斯特判据
Gk j 曲线及其镜像当从 时，将逆时
针绕（- 1，j0）点转p周。
(1) 若开环本身稳定,则p 0, 故稳定的充要条件是：
系统稳定，否则系统不稳定。 但Gk F s 1 所以F(s)的Γ曲线绕原点运动相当于 Gk j 的封闭 曲线绕(-1，j0)点运动， 因为F( s)与Gk s只差常数1。
9
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
Gk GH的封闭曲线即为 时Gk j 的
1
Mk Nk
Nk Mk Nk
Nb Nk
1
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
其中Nk s为开环特征式，Nb s为闭环特征式。
F s的特点：
1、Fs的极点 开环极点， Fs的零点 闭环极点；
2、Fs的零极点个数相等n m；
3、F s与G( s)只差常数1。
§5—4 奈奎斯特判据
[F(s)] 0
5
★幅角定理（续）
§5—4 奈奎斯特判据
★幅角定理：设s平面上不通过F(s)任何奇点的封 闭曲线Γ包围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。 当s以顺时针方向沿着封闭曲线Γ移动一周时， 则在F(s)平面上相对应于封闭曲线Γ的映射函数
j
1'
s
j 2'
F s
曲线。
因为对应于奈氏回线中：
1) 0 ； 3) 0；
只有2)半径R ， Fs 1 Gk s，
而Gk
自动控制原理第五章
•表5-1 RC网络的幅频特性和相频特性数据
A( )
( )
0 1 0
1 0.707
45
2 0.45
5 0.196
0
63.4 78.69 90
图5-2 RC网络的幅频和相频特性
图5-3 RC网络频率特性的幅相曲线
对数频率特性图又称伯德图（Bode图），包 括对数幅频特性和对数相频特性两条曲线， 其中，幅频特性曲线可以表示一个线性系 统或环节对不同频率正弦输入信号的稳态 增益；而相频特性曲线则可以表示一个线 性系统或环节对不同频率正弦输入信号的 相位差。对数频率特性图通常绘制在半对 数坐标纸上，也称单对数坐标纸。
图5-20控制系统结构图
将系统的开环频率特性函数按典型环节划分， 可以分解为： ( j 1) ( ( j ) 2 ( j ) 1) k
m1 m2
G ( j ) H ( j )
k
2 l
2
l l
( j )
0
k 1 n1
( i s 1) ( 2 ( j ) 2 2 j j ( j ) 1) j
图5-19 Ⅱ型三阶系统幅相频率特性图
讨论更一般的情况，对于如图5-20所示的闭 环控制系统结构图，其开环传递函数为 G( s) H ( s) ，可以把系统的开环频率特性写作如 下的极坐标形式或直角坐标形式：
G( j)H ( j) G( j)H ( j) e j () P() jQ()
•图5-6积分环节频率特性的极坐标图
在伯德图上，积分环节的对数频率特性为
L( ) lg A( ) lg G( j ) lg ( ) 2
图5-7积分环节的伯德图
自动控制原理第5章_线性控制系统的频率特性分析法
5. 2控制系统开环传递函数的对数频率特性
5.2.2 系统伯德图的绘制
开环对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤： （1）把系统开环传递函数化为标准形式，即化为典型环节的传递函
数乘积，分析它的组成环节； （2）确定一阶环节、二阶环节的转折频率，由小到大将各转折频率
标注在半对数坐标图的频率轴上； （3）绘制低频段渐近特性线； （4）以低频段为起始段，从它开始每到一个转折频率，折线发生转
开环极点的个数。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.4 控制系统的相对稳定性
开环频率特性 G( j)H( j)在剪切频率 c处所对应的相角与 180 之差称为相角裕度，记为 ，按下式计算
(c ) (180 ) 180 (c )
开环频率特性 G( j)H的( 相j)角等于 时所1对80应的角频率称为相
闭环系统稳定的充要条件是，当 由 0 时0，开 环奈奎斯 特曲线逆时针方向包围( )点 周1, j。0 是具P有2 正实部P 的开 环极点的个数。 需注意，若开环传递函数含有 v 个积分环节，所谓 由 0 0 ，指的 是由 0 0 0 ，此时奈 奎斯特曲线需顺时针增补 v 角度的无穷大半径的圆弧。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.1 奈奎斯特稳定判据
若闭环系统在[ s]右半平面上有 个P开环极点，当 从 变化到
时，奈奎斯特曲线 G( j对)H点( j) 的包围1周, j数0 为 （ 为逆时N针，
为顺N 时 0针），则系统N<在0[ ]右半平面上的闭环极点s的个数为 。
折，斜率变化规律取决于该转折频率对应的典型环节的种类； （5）如有必要，可对上述折线渐近线加以修正，一般在转折频率处
自动控制原理5第三节极坐标图
当w 时，A(w) 0，(w) 180，P(w) 0，Q(w) 0
24
令Q(w ) 0，解得与实轴交点 w 2
1
T1T2 T1Td T2Td
注意与实轴交点有交点 的条件为： T1T2 T1Td T2Td 0
Td (T1 T2 ) T1T2
P(w )
K ( T1T2 T1 T2
w Im
w 0
Re
w
一阶微分环节的奈氏图
② 一阶微分：
A(w) 1 T 2w2，(w) tg1Tw
P(w) 1，Q(w) Tw
w
Im
一阶微分环节的极坐标 图为平行于虚轴直线。
频率w从0→∞特性曲线
相当于纯微分环节的特 性曲线向右平移一个单 位。
w 0 Re
w
12
二阶微分环节的频率特性
5
P() 0，Q() 0
w
0
w1 T
Re
w 0
惯性环节的奈氏图
极坐标图是一个圆，对 称于实轴。证明如下：
P(w
)
1
K
T 2w
2
Q(w
)
KTw 1 T 2w 2
Q(w) Tw P(w )
Im
w
0
w1 T
Re w 0
P
1
K
T 2w
2
1
K (Q
)2
P
整理得： (P K )2 Q2 ( K )2
n/2(弧度)。并且只要在原点处存在极点，极坐标图在w=0的幅
22 值为无穷大。
⒊ 增加有限零点
设
G5 ( s)
s(T1s
K 1)(T2s
1)
A(w)
自动控制原理第五章
第五章 频域分析法目的：①直观，对高频干扰的抑制能力。
对快(高频)、慢(低频)信号的跟踪能力。
②便于系统的分析与设计。
③易于用实验法定传函。
§5.1 频率特性一. 定义)()()()(1n p s p s s s G +⋅⋅⋅+=θ在系统输入端加一个正弦信号：t R t r m ωsin )(⋅=))(()(22ωωωωωj s j s R s R s R m m -+⋅=+⋅=↔ 系统输出：))(()()()()(1ωωωθj s j s R p s p s s s Y m n-+⋅⋅+⋅⋅⋅+=t j t j e A e A t y t y ωω⋅+⋅+=↔-瞬态响应)()(1若系统稳定，即)(s G 的极点全位于s 左半平面，则 0)(l i m 1=∞→t y t稳态响应为：tj tj ss eA eA t y ωω⋅+⋅=-)(而)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m -⋅-=+⋅+⋅⋅=-=)(21)()(22ωωωωωj G R jj s s R s G A m j s m ⋅=-⋅+⋅⋅== ∴t j m tj m ss e j G R je j G R j t y ωωωω⋅⋅+⋅-⋅-=-)(21)(21)( =])()([21t j t j m e j G e j G R jωωωω-⋅--⋅⋅ 又)(s G 为s 的有理函数，故)()(*ωωj G j G -=，即φωωj e j G j G )()(= φωωj e j G j G -=-)()(∴][)(21)()()(φωφωω+-+--⋅=t j t j mss e e j G R jt y =)sin()(φωω+⋅⋅t j G R m =)sin(φω+⋅t Y m可见：对稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，其稳态响应也是一个同频率的正弦信号。
其幅值是输入正弦信号幅值的)(ωj G 倍，其相移为)(ωφj G ∠=。
自动控制原理课件第五章
1 幅相频率特性
• • •
曲线或极坐标图。 在复平面，把频率特性的模和角同时表示出来的图就是 幅相曲线或极坐标图。 它是以 为参变量，以复平面上的矢量 G ( j ) 表示的一 种方法。 例 惯性环节幅相频率特性
G ( j ) k 1 jT k 1 T
2 2
•幅相频率特性曲线：又称奈奎斯特（Nyquist）
模从- 相角从-/2-3/2
-1
Im
ω
∞
Re
ω ω
0
系统开环对数频率特性例题2
系统开环对数频率特性
系统开环对数频率特性例题3
系统开环传函：
G (s)
-1 -1 0.05 0.1 1 2 10 100 -2 -90°
20 lg 40 20 lg 1 0 . 05 20 lg
L( )
为横坐标，
为纵坐标。
5-3 典型环节及开环频率特性 一、典型环节的频率特性p177
•要求掌握以下各环节幅相频率特性及对数频率 特性。
比例环节、微分环节、 积分环节、 惯性环 节、 振荡环节、 一阶微分环节、 二阶微分 环节、 延时环节。 非最小相位环节 开环传函中包含右半平 面 的零点或极点。
比例 G( s ) k , G( j ) k , 积分 ( s ) , G ( j ) G , s j 微分
1 1
k, 0
1
, 90
G( s ) s, G( j ) j ,
, 90
惯性环节（对比一阶微分环节）
G( s) 1 Ts 1 1 1 T
s
G ( j ) e
j
cos j sin
自动控制原理第五章PPT课件
s (1 0 .1 s)
s1 0 .1 s
比例环节
一阶微分环节
积分环节
惯性环节
.
23
非最小相位环节 ：开环零点、极点位于S平面右 半部分
➢ 比例环节：-K
➢ 惯性环节：1/(-Ts+1)，式中. T>0
24
最小相位系统与非最小相位系统
除比例环节外，非最小相位环节和与之对应的最小相位环节的区别在于开环零极点的 位置，非最小相位环节对应于s右半平面开环零点或极点，而最小相位环节对应于s左半 平面开环零点或极点。
• 对于不稳定系统则不可以通过试验方法来确定，因 为输出响应稳态分量中含有由系统传递函数的不稳
定极点产生的发散或震荡分量。
.
8
线性定常系统的传递函数为零初始条件下，输出与输入的拉氏变换之比
其反变换为
G(s)= C(s) R(s)
g(t) 1 jG(s)estds
2 j j 式中位于G(s)的收敛域。若系统稳定，则可取零，如果r(t)的傅氏变换 存在，可令s=j,则有
d () 是 关 于 的 奇 函 数 。
.
5
.
6
因而
1
G (j) c b 2 2 ( () ) d a 2 2 ( () ) 2 ,
G (j) a r c ta n b ()c () a ()d () a ()c () d ()b ()
G ( j )c a (( )) jjd b ( ( ) )G (j )ej G (j)
Tddut0u0ui
TRC
uo t
取拉氏变换并带入初始条件uo0
1
1 A
U o ( s ) T s 1 [ U i( s ) T u o 0 ] T s 1 [ s 2 2 T u o 0 ]
自动控制原理--奈奎斯特稳定判据及应用
Ⅱ
F( j)
Ⅲ Ⅰ
F(s)与Gk (s) 的关系图。
11
若奈氏曲线G( jω )H( jω )逆时针包围(−1, j0)点的次数R等于位于右半平面上开环极 点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不
稳定。
约束条件：在原点和虚轴上无零极点。奈氏轨迹不 能穿过零极点。
讨论：当奈氏曲线通过(−1,j0)点，则表示闭环系 统
。式中， zi , p j
(s pj)
为F(s)的零、极点。
j 1
结论：F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
F(S)平面的坐标原点就是G(S)H(S)平面的
点（-1，0j）
3
F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指
定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 d s都可以在 F(s)平面上找到一个相应的点d f ，d f 称为 ds 在F(s)平面上的映射。
若考虑平面G( jω )H( jω )，则相当于曲线F( jω )左
移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面
原点对应于GH平面(−1, j0)点
G( jω )H( jω ) = F( jω ) −1
∴若要系统稳定，则Z=P−R=0，R为GH 映射曲线绕
(−1,j0)点次数
10
Gk ( j )
P：s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的极点 Z： s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的零点 R： F平面上被封闭曲线 f 包围的原点的次数
若R为正，表示 f 逆时针运动，包围原点圈数； 若R为0，表示 f 逆时针运动，不包围原点圈数； 若R为负，表示 f 顺时针运动，包围原点圈数。
6
F( j)
Ⅲ Ⅰ
F(s)与Gk (s) 的关系图。
11
若奈氏曲线G( jω )H( jω )逆时针包围(−1, j0)点的次数R等于位于右半平面上开环极 点数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不
稳定。
约束条件：在原点和虚轴上无零极点。奈氏轨迹不 能穿过零极点。
讨论：当奈氏曲线通过(−1,j0)点，则表示闭环系 统
。式中， zi , p j
(s pj)
为F(s)的零、极点。
j 1
结论：F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
F(S)平面的坐标原点就是G(S)H(S)平面的
点（-1，0j）
3
F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指
定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 d s都可以在 F(s)平面上找到一个相应的点d f ，d f 称为 ds 在F(s)平面上的映射。
若考虑平面G( jω )H( jω )，则相当于曲线F( jω )左
移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面
原点对应于GH平面(−1, j0)点
G( jω )H( jω ) = F( jω ) −1
∴若要系统稳定，则Z=P−R=0，R为GH 映射曲线绕
(−1,j0)点次数
10
Gk ( j )
P：s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的极点 Z： s平面上被封闭曲线 s 包围的F(S)的零点 R： F平面上被封闭曲线 f 包围的原点的次数
若R为正，表示 f 逆时针运动，包围原点圈数； 若R为0，表示 f 逆时针运动，不包围原点圈数； 若R为负，表示 f 顺时针运动，包围原点圈数。
6
自动控制理论奈氏判据
ω = 3.16
{ 1− 0.1ω2 = 0
− K0
1.1ω 2
=
−1
K0 = 11 K0 < 11 29
小结
映射定理
奈氏判据
闭环系统稳定的充分必要条件是:
当ω 从 −∞ 到 +∞ 变化时,开环极坐标 图 G( jω)H ( jω) 在GH平面上逆钟向包围
(−1, j0) 点的次数等于系统的开环右极 点数。
5.4.1 映射定理
s ¨ F(s)
s平面 ¨ Cs曲线
F平面 ¨ CF曲线
5
5.4 用频率法分析系统稳定性
映射定理(应用)
F (s) = K (s + Z1 )(s + Z 2 ) (s + P1 )(s + P2 )(s + P3 )
Im
F (s)平面
F (s)
0
Re
注意:幅角的方向
CF
修改后的奈氏轨迹
开环传函（右极点），映射，极坐标图，
映射定理 →→→ 奈氏判据
30
7
5.4 用频率法分析系统稳定性
5.4.2 奈氏(Nyquist)判据 闭环系统稳定的充分必要条件是:
当ω 从−∞ 到 +∞ 变化时,开环极坐标 图 G( jω)H ( jω) 在GH平面上逆钟向包围
(−1, j0) 点的次数等于系统的开环右极 点数。
简单、精炼，一句话！
8
5.4 用频率法分析系统稳定性
自动控制理论
Automatic Control Theory
1
上节课要点复习
系统开环对数频率特性的绘制要点 系统开环极坐标图的绘制要点 系统开环对数频率特性→系统开环极坐标图 最小相位系统与非最小相位系统
自动控制原理5奈魁斯特稳定判据
Friday, May 22, 2020
7
这里需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是 满足柯西幅角条件的？
2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开环 频率特性GH( j)相联系？
第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向
做一条曲线s包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特 路径。如下图：
我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此 开环频率特性是已知的。设想：
如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据 柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次 数应为：N F (s) |右半零点数 F (s) |右半极点数
闭环系统右半极点数 开环系统右半极点数 当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。
Friday, May 22, 2020
9
①中由，分Gk母( j阶)可数求比得分F子( j阶)数，高而，Gk所( j以)是当开s 环 频 率e特j 性时。，G一k (般s) 在G0k
d f (0, j1)
Friday, May 22, 2020
4
同样我们还可以发现以下事实：s平面上As BsCs Ds Es FsGs H s曲线 s 映射到F(s)平面的曲线为 s ，如下图：
s平面 As Bs
Hs
2 1
Gs Fs
Cs
F (s)平面
Ds
s顺时针
Es
示意图 f 逆时针
曲线 s是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0）， 不包围其零点（-2）；曲线f 包围原点，且逆时针运动。
N1 ( s)
N2 (s)
《自动控制原理》教学参考 第五章
第5章频域分析教学要求掌握系统频率特性分析与系统幅角之间的关系，掌握乃奎斯特图和伯德图的绘制方法，根据系统的乃奎斯特图和伯德图分析系统的性质。
教学重点⑴了解频率特性的基本概念，掌握其不同的表示方法；⑵了解典型环节的频率特性；⑶熟练掌握伯德图和乃奎斯特图的绘制方法；⑷理解和掌握乃奎斯特稳定判据，会用乃奎斯特判据判断系统的稳定性；⑸熟练掌握系统稳定裕量的物理含义和计算方法；⑹建立开环频率特性和系统瞬态特性之间的对应关系，能够定性地分析系统的瞬态性能；⑺了解闭环系统频率特性及其和系统瞬态特性的关系。
教学难点频率特性的绘制，频率特性与系统时域指标之间的关系，频域指标。
课时安排本章安排理论讲授12课时，实验4课时。
教学大纲一．频率特性的基本概念1．频率特性的定义2．频率特性的图形表示方法二．典型环节的频率特性1．比例环节2．积分环节3．惯性环节4．微分环节5．振荡环节6．滞后环节三．开环系统频率特性图的绘制1．开环幅相频率特性的特点2．系统伯德图的绘制3．最小相位系统和非最小相位系统四．频域稳定性判据1．乃奎斯特稳定性判据2．对数频率特性判据3．系统的稳定裕量五．开环频率特性与系统性能的关系1．开环对数频率特性的基本性质2．系统特性和闭环频率特性的关系主要概念1．频率特性 2．幅频特性 3．相频特性 4．乃奎斯特图 5．伯德图6．最小相位系统 7．非最小相位系统 8．乃奎斯特稳定性判据 9．幅角原理 10．辅助函数11．对数频率特性判据 12．相位裕量 13．增益裕量 14．截止频率 15．转折频率 16．带宽17．低频段、中频段、高频段实验 典型系统的频率特性测试一．实验目的1．掌握测量典型一阶系统和二阶系统频率特性曲线的方法； 2．掌握软件仿真求取一阶和二阶系统开环频率特性的方法。
二．实验内容1．搭建一阶惯性环节，绘制其频率特性曲线； 2．搭建典型二阶环节，绘制其频率特性曲线；3．用软件仿真求取一阶和二阶系统频率特性曲线，跟实验结果加以比较。
自动控制原理-5.4奈氏判据
稳定性。
5.4.1 辅助函数F(s)
R(s)
+﹣
图示的控制系统中，G(s)
C(s) G(s)
和H(s)是两个多项式之比
H(s)
1
G(s) M1(s)
N 开环传递函数为：
1
(
s)
H(s) M2(s) N2(s)
Gk (s) G(s)H(s) 闭环传递函数为：
M1(s)M2(s) N1(s)N2(s)
（1）0型系统(开环没有串联积分 0 环节的系统)
s为包s围平虚面轴s 和整个右映半射平面。F(s)
正虚轴 j (:0)
F(j) ( : 0)
s
负虚轴 j (: 0)
F(j) ( : 0)
半径的半圆
( 1, j0)点
5
F(j)和G(j)H(j)只相差常数1。 F(j)包围原点就 是G(j)H(j)包围(-1，j0)点。
R=2 z = p R = 2
kT1T2
T1 T2
1
∴ 闭环系统是不稳定的 。
当 kT1T2 > 1 T1 T2
R=0
z = p R= 0
=0+
∴ 闭环系统是稳定的 。
Im
0
Re
增补线
16
(3) 由奈氏判据判稳的实际方法
用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制从
j 1
F(s)曲线从B点开始，绕原点顺时针方向转了一圈。 4
幅角原理：如果封闭曲线内有Z个F(s)的零点， P个F(s)
的极点 ，则s 沿封闭曲线s 顺时针方向转一圈时，在F(s)
平面上，曲线F(s)绕其原点逆时针转过的圈数R为P和Z之
《自动控制原理》第五章 第3讲
例3: 某系统G(jω)H(jω)轨迹如下，已知有2个开环 极点分布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。 解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面(P=2)， G(jω)H(jω)轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有2次正穿越， N+ − N− = 2 −1 1次负穿越，因为：N= ,= 1 求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统。 .
Im
Im
(－1，j0)
+
0
Re
(－1，j0)
_
0
Re
正穿越
负穿越
Im
G ( jω ) H ( jω )
＋
＋ － (−1, j 0)
ω= ∞ 0
Re
ω
N +＝2
N −＝1
若G(jω)H(jω)轨迹起始或终止于 (-1, j0)以左的 负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+ 1/2 次穿越和 -1/2次穿越。
5-3 频域稳定判据
奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判 别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝 对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨 论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能 的途径。
一、奈氏判据的数学基础
R( s)
−
G (s) H (s)
C (s)
如图，n阶系统的开环传递函数为：
Gk ( s ) = G ( s ) H ( s )
Im
P=0
ω = 0+
Im
P =1
ω =0
+
ω= ∞
0
R
∞
Re
R
∞
−K
ω= ∞
0
Re
−1 −1 −1
N =0 不穿过(-1,j0)点，
自动控制原理第五章第三部分
正穿越
负穿越
1
正穿越
负穿越
1
伯德图上的正、负穿越
L( )
c
()
负穿越 正穿越
正穿越--在L()>0范围内从下向上穿越 -180。线(相角增加) 负穿越--在L()>0范围内从上向下穿越 -180。线(相角减小)
四、条件稳定系统
若开环传递函数在开右半s平面的极点数P＝0，当开 环传递函数的某些系数(如开环增益)改变时，闭环系统的 稳定性将发生变化。这种闭环稳定有条件的系统，称为条 件稳定系统。
若无论开环传递函数的系数怎样变化，系统总是不稳 定的，这样的系统称为结构不稳定系统。
闭环传函的单位阶跃响应
闭环传函的单位阶跃响应
闭环传函的单位阶跃响应
闭环传函的单位阶跃响应
5.4 稳定裕度
Im GH平面
一、相角裕度(相角裕量)
截止频率(剪切频率)c ： GK(j)与单位圆交点处的频率。
j 1
Ⅰ型系统:
K
lim
s0
GK
(s)
lim
0
e
jq
'
e jq '
半径：∞
角度：
22
0
2
2 0
Ⅱ型系统:
lim
s0
GK
(s)
K
lim
R' 0
(
R
'e
jq
'
)2
e j2q '
0
半径：∞ 角度：
奈氏图如下图所示：
Im
开环极点为1/T P=1
自动控制原理第五章第3-5节
奈魁斯特稳定判据总结 利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性
闭环特征多项式 F(s)=1+G(s)H(s)
奈魁斯特轨迹 奈魁斯特轨迹包围F(s)=1+G(s)H(s)的零极点问题可以等效为 F(s)包围原点的问题
• 奈魁斯特轨迹顺时针包围F(s)的一个零点，F(s)顺时针方向包围原点一次
F ( s) 1 G( s) H ( s) 0 是闭环特征方程。
si , i 1,2,...z F ( s )的零点 pi , i 1,2,...p F ( s )的极点
一、柯西定理（围线映射）定理
第五章频率特性分析
柯西定理：
F ( s ) 1 G( s ) H ( s )
C’将以逆时针方向包围原点一次。
[s] C C’ [F(s)]
[s] C
C’
[F(s)]
一、柯西定理（围线映射）定理
第五章频率特性分析
§3 奈魁斯特稳定判据及应用
（4）如果围线C以顺时针方向包围F(s)的z个零点和p个极点， 则围线映射C’将以顺时针方向包围F(s)原点N次，N=z-p。 若z>p, N为正值, 顺时针包围; 若z<p, N为负值, 逆时针包围。 [s] C C’ [F(s)]
4、奈魁斯特稳定判据应用
例2 开环为二阶系统，利用奈魁斯特稳定判据判别系统的闭 环稳定性。
(1) GH K T 2 s 2 2Ts 1 ( 2)GH K T 2 s 2 2Ts 1 ( 3)GH K T 2 s 2 2Ts 1
（2）当s 平面上的围线C不包围F(s)的零点和极点时，围线C’
必定不包围F(s)平面的坐标原点。
一、柯西定理（围线映射）定理