2019届高三数学(理)复习题：模块四立体几何与空间向量第12讲 空间几何体、空间中的位置关系Word版含答案

第讲空间几何体、空间中的位置关系.()[·全国卷Ⅲ]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()图图()[·全国卷Ⅱ]一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(),(),(),(),画该四面体三视图中的正视图时,以平面为投影面,则得到的正视图可以为()图[试做]命题角度由直观图求三视图的问题关键一:注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向;关键二:注意看到的轮廓线和棱是实线,看不到的轮廓线和棱是虚线..[·全国卷Ⅰ]某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()图[试做]命题角度与三视图有关的几何体的表面积和体积问题()关键一:由三视图想象几何体的结构特征,并画出该几何体的空间图形;关键二:搞清楚几何体的尺寸与三视图尺寸的关系;关键三:利用外部补形法,将几何体补成长方体或正方体等常见几何体.()看三视图时,需注意图中的虚实线.()求不规则几何体的表面积和体积时,通常将所给几何体分割为基本的柱、锥、台体..()[·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为,母线所成角的余弦值为与圆锥底面所成角为°.若△的面积为,则该圆锥的侧面积为.()[·全国卷Ⅰ]在长方体中与平面所成的角为°,则该长方体的体积为()[试做]命题角度空间几何体的面积与体积()求规则几何体的体积,只需确定底面与相应的高,而求一些不规则几何体的体积往往需采用分割或补形思想,转化求解.()求组合体的表面积时,需注意组合体衔接部分的面积,分清侧面积和表面积..()[·全国卷Ⅰ]如图,在下列四个正方体中为正方体的两个顶点为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线与平面不平行的是()图()[·全国卷Ⅱ]α,β是两个平面是两条直线,有下列四个命题:①如果⊥⊥α∥β,那么α⊥β.②如果⊥α∥α,那么⊥.③如果α∥β⊂α,那么∥β.④如果∥,α∥β,那么与α所成的角和与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)[试做]命题角度空间中线面位置关系的判定关键一:逐个寻找反例作出否定的判断,逐个进行逻辑证明作出肯定的判断;关键二:结合长方体模型或实际空间位置作出判断,但要注意准确应用定理,考虑问题全面细致..()[·全国卷Ⅲ]设是同一个半径为的球的球面上四点,△为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为()()[·全国卷Ⅲ]在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球.若⊥,则的最大值是()ππ.[试做]命题角度多面体与球()解决与球有关的组合体问题:关键一:分清球是内切还是外接;关键二:确定球心在多面体中的位置,确定球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系;关键三:球的每个截面都是圆.()设正四面体的棱长为,则其外接球的半径,内切球的半径..[·全国卷Ⅰ]已知正方体的棱长为,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为().[试做]命题角度解决平面截正方体所形成的图形问题关键一:根据已知条件确定所求平面或与所求平面平行的平面;关键二:根据平面特点利用数形结合思想确定截面形状..()[·全国卷Ⅱ]在长方体中,则异面直线与所成角的余弦值为().()[·全国卷Ⅱ]已知直三棱柱中,∠°,则异面直线与所成角的余弦值为().[试做]命题角度解决异面直线所成角问题()关键一:先通过作图(三角形中位线、平行四边形补形)来构造平行线,再通过解三角形求解; 关键二:补形法(补成长方体、正方体)求解.()当异面直线所成角为时,两异面直线互相垂直.()用空间向量法解决.小题空间几何体的三视图与直观图()如图,在正方体中分别为棱的中点,用过点的平面截正方体,则位于截面以下部分的几何体的侧视图为()图图()已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体最长棱的长为()图. . .[听课笔记]【考场点拨】识别三视图应注意以下几方面:()看线型,是线段、虚线还是曲线,确定此几何体是简单多面体还是旋转体;()分部分,想整体,看是简单几何体还是组合体;()对比一些熟悉的三视图模型分析,如正方体、圆锥、三棱锥的三视图模型. 【自我检测】.某几何体的正视图与俯视图如图,则其侧视图可能是()图图.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的各个面中最大面的面积为 ()图.[·北京卷]某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为()图.如图所示,在正方体中为的中点,则△在该正方体各个面上的射影可能是()图①②③④图.①④.②③.②④.①②小题空间几何体的表面积与体积()已知矩形中,把这个矩形分别以所在直线为轴旋转一周,所成几何体的侧面积分别记为,则与的比值为()()在三棱锥中⊥底面,△为正三角形,若∥,则三棱锥与三棱锥的公共部分构成的几何体的体积为()..[听课笔记]【考场点拨】高考中求几何体的表面积和体积易失分点:()计算表面积时,有些面没有计算到,有遗漏;()求组合体的表面积时没注意重合部分的面积.【自我检测】.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()图.在三棱柱中分别为棱的中点,过的截面把三棱柱分成两部分,则这两部分的体积之比为() ∶∶∶∶.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如“堑堵”指的是底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱;“阳马”指的是底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图所示,在堑堵中⊥,当堑堵的侧面积取得最大值时,阳马的体积为()图...小题多面体与球角度外接球问题在矩形中,将△沿折起,当平面⊥平面时,四面体的外接球的体积是().π.π.π.π[听课笔记]【考场点拨】解决多面体的外接球问题,关键是确定球心位置,方法是先选择多面体中的一面,确定此面多边形外接圆的圆心,再过此圆心作垂直于此面的垂线,则球心一定在此垂线上,最后根据其他顶点情况确定球心的准确位置.对于特殊的多面体还可以通过补成正方体或长方体的方法找到球心位置.【自我检测】.在三棱锥中⊥⊥,且三棱锥的体积为,则该三棱锥的外接球半径是().设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上,且球的表面积是π,若,∠π,则此直三棱柱的高是.角度内切球问题设正三棱锥的高为,且此三棱锥内切球的半径为,若二面角的正切值为,则()[听课笔记]【考场点拨】解决多面体的内切球问题,一般是将多面体分割为以球心为顶点,多面体的各面为底面的棱锥,利用多面体的体积等于各分割棱锥的体积之和求内切球的半径.【自我检测】.在三棱锥中,侧棱,当三棱锥的三个侧面的面积之和最大时,三棱锥内切球的表面积是().()π.()π.()π.()π.已知圆锥的高为,侧面积为π,若此圆锥内有一个体积为的球,则的最大值为.小题空间线面位置关系的判断角度线面位置关系()已知直线,平面α,β,且⊥α⊂β,给出下列说法:①若α∥β,则⊥;②若α⊥β,则∥;③若∥,则α⊥β;④若⊥,则α∥β.其中正确说法的序号是().①②.①③.②④.③④()如图,在正方形中分别是的中点是的中点,沿将正方形折起,使重合于点,构成四面体,则在四面体中,给出下列结论:①⊥平面;②⊥;③⊥平面;④⊥;⑤平面⊥平面.其中正确结论的序号是()图.①②③⑤.②③④⑤.①②④⑤.②④⑤[听课笔记]【考场点拨】判断空间点、线、面的位置关系,主要依赖于四个公理,平行关系和垂直关系的有关定义及定理.具体处理时可以构建长方体或三棱锥等模型,把要考查的点、线、面融入模型中,使判断简洁明了.如要否定一结论,只需找到一个反例即可.【自我检测】.已知α,β是两个不同的平面是一条直线,给出下列说法:①若⊥α,α⊥β,则∥β;②若∥α,α∥β,则∥β;③若⊥α,α∥β,则⊥β;④若∥α,α⊥β,则⊥β.其中正确说法的个数为().若为两条不同的直线,α为一个平面,且⊥α,则“∥α”是“⊥”的().充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件角度异面直线所成的角、线面角()已知△与△均为正三角形,且.若平面与平面垂直,且异面直线与所成的角为θ,则θ()..()已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若为底面的中心,则与平面所成角的大小为()..[听课笔记]【考场点拨】()求异面直线所成的角,一般是通过平移构建三角形求解,要注意异面直线所成的角是锐角或直角,若计算出钝角,其补角才是异面直线所成的角.()求直线与平面所成角的关键是过直线上一点作出这个平面的垂线,进而直线与直线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角.()当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系,利用向量求解.【自我检测】.如图所示为一个半圆柱,△是等腰直角三角形是线段的中点,该半圆柱的体积为π,则异面直线与所成角的正弦值为()图.....在四边形中,且⊥,现将△沿翻折到△'的位置,则在△折起至与平面重合的过程中,直线'与平面所成角最大时的正弦值为()..角度截面问题()在棱长为的正方体中为棱的中点,过点且与平面平行的截面面积为()()已知棱长为的正方体中,球与该正方体的各面都相切,则平面截此球所得的截面面积为()..[听课笔记]【考场点拨】几何体截面面积问题,关键是确定截面图形的位置、形状,所经过的点,截面面积根据有关数量进行计算.【自我检测】.已知一个棱长为的正方体被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为() ..图.过半径为的球表面上一点作球的截面,若与该截面所成的角为°,则该截面的面积是.模块四立体几何与空间向量第讲空间几何体、空间中的位置关系典型真题研析.()()[解析] ()卯眼的空间立体图如图,同时需要注意,在三视图中看不见的线用虚线表示,故选.()在空间直角坐标系中画出三棱锥,由已知可知三棱锥为题中所描叙的四面体,而其在平面上的投影为正方形,故选.[解析] 该几何体为一个三棱柱和一个三棱锥的组合体,其直观图如图所示,各个面中有两个全等的梯形,其面积之和为××..()π()[解析] ()设圆锥的底面圆的半径为,因为与圆锥底面所成角为°,所以.由∠得∠,所以··∠×××,所以,所以圆锥的侧面积为ππ.()如图,连接,易知∠即为与平面所成的角,由题易知∠°,易得.设,则有, 解得,所以该长方体的体积××..()()②③④[解析] 因为分别为对应棱的中点,所以在选项中均有∥,在选项中,有∥,所以在选项中均有与平面平行,所以选.()对于①⊥⊥α∥β,则α,β的位置关系无法确定,故错误;对于②,因为∥α,所以可过直线作平面γ与平面α相交于直线,则∥,因为⊥α,所以⊥,所以⊥,故正确;对于③,由两个平面平行的性质可知其正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.故正确的有②③④..()()[解析] ()由题易知当点到平面的距离最大时,三棱锥的体积最大.∵△,∴.设△的中心为,由等边三角形的性质得,.设球心为,则,∴,∴点到平面的距离的最大值为.故三棱锥体积的最大值为××.()当球与三侧面相切时,设球的半径为,∵⊥,∴,解得,不合题意.当球与直三棱柱的上、下底面相切时,设球的半径为,则,即,∴球的体积的最大值为π×π.[解析] 平面α与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等,只需与过同一顶点的三条棱所成的角相等即可,如图,则平面与正方体过点的三条棱所成的角相等.若点分别为相应棱的中点,易证得平面平行于平面,且六边形为正六边形.正方体棱长为,所以正六边形的边长为,可得此正六边形的面积为,而在四个选项中,选项中的值都小于,所以选..()()[解析] ()方法一:以为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示,则()(,)(,),所以(,)(,),所以<,>,所以异面直线与所成角的余弦值为.方法二:如图,在长方体的面的一侧再补填一个完全一样的长方体,连接.易知∥,所以异面直线与所成的角即为与所成的角.因为,所以.在△中∠,所以异面直线与所成角的余弦值为.()方法一:建立如图所示的空间直角坐标系,则()()(),所以(),故异面直线与所成角θ的余弦值θ.方法二:如图,将该直三棱柱补充成直四棱柱,其中∥且,则可得∥且,图中∠即为异面直线与所成的角或所成角的补角.在△中,所以∠.故异面直线与所成角的余弦值为.考点考法探究小题例()()[解析] ()取的中点,连接,则为过点的平面与平面的交线.延长,交的延长线于点,连接,交于点,连接,则为过点的平面与平面的交线.同理,连接并延长,交的延长线于点,连接,交于点,连接,则为过点的平面与平面的交线.所以过点的平面截正方体所得的截面为图中的正六边形.故可得位于截面以下部分的几何体的侧视图为选项中的图.故选.()根据三视图作出几何体的直观图如图所示,可计算得,故该几何体最长棱的长为.【自我检测】[解析] 由俯视图与正视图可知,该几何体是一个三棱柱挖去一个圆柱后剩余的部分,因此其侧视图是矩形且内部有一条虚线,虚线靠近矩形的左边部分,只有选项符合题意,故选.[解析] 由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥.结合三视图中的数据可得△×××××,故此几何体的各个面中最大面的面积为.故选.[解析] 由三视图可得该几何体的直观图如图所示,且⊥平面,∴△和△均为直角三角形.又∵⊥⊥∩,∴⊥平面,∴⊥,∴△为直角三角形.故选.[解析] 从上下方向看,△的射影为图①所示的情况;从左右方向看,△的射影为图④所示的情况;从前后方向看,△的射影为图④所示的情况.故选.小题例()()[解析] ()设,则π··π··,∴.故选.()根据题意画出如图所示的几何体,三棱锥与三棱锥的公共部分构成的几何体为三棱锥.∵△为正三角形,∴△×××.∵⊥底面∥,∴四边形为矩形,则为与的中点,∴三棱锥的高为,∴三棱锥的体积××.故选.【自我检测】[解析] 根据三视图可得,该几何体为如图所示的四棱锥,则该几何体的表面积×××××××××.[解析] 根据题中的条件可知,截面与的交点为靠近的四等分点,所以该截面将三棱柱分成了一个三棱台和一个几何体.设三棱柱的体积,而三棱台的体积,所以几何体的体积,所以所得的两部分的体积之比为∶,故选.[解析] 根据题意,设,则有,堑堵的侧面积侧()×()≤,当且仅当时取等号,此时阳马的体积××××××,故选.小题例[解析] 设矩形的对角线的交点为,由矩形的性质结合题意可知×.在翻折过程中的长度不变,据此可知点为四面体外接球的球心,外接球的半径,∴外接球的体积ππ×π.【自我检测】[解析] 取的中点,连接,则,即为三棱锥的外接球球心.设外接球的半径为,则××,∴.故选.[解析] 设,球的半径为.由题意知△外接圆的半径为·.∵ππ,∴,又,∴,故直三棱柱的高是.例[解析] 取线段的中点,设在底面内的射影为,连接.设,则×,易知∠为二面角的平面角,∴∠,∴.设三棱锥的表面积为,体积为,则,即×××,化简得.【自我检测】[解析] 其中一个侧面的面积△×××∠∠,要使此面积最大,则∠°.同理可知,当两两垂直时,三棱锥的三个侧面的面积之和最大.设三棱锥的内切球的球心为,则到三棱锥的四个面的距离与球的半径相等.因为,所以,可得△,△,△,△的面积分别为,,所以三棱锥×()·××,解得,所以内切球的表面积()π..[解析] 设圆锥的母线长为,底面圆的半径为,则ππ,即,又,所以.当球的体积最大时,该球为圆锥的内切球,设内切球的半径为,则×()×××,故,所以π×π.小题例()()[解析] ()由⊥α,α∥β⇒⊥β,而⊂β,所以⊥,①正确;⊥α⊂β,α⊥β时的位置关系不确定,②不正确;由⊥α∥⇒⊥α,而⊂β,所以α⊥β,③正确;⊥α⊂β⊥时,α,β的位置关系不确定,④不正确.故选.()构成的四面体如图所示.因为⊥⊥,所以折叠后⊥⊥,又∩,所以⊥平面,所以①正确;由⊥平面⊂平面,可知⊥,所以②正确;因为⊥平面,且过一点有且只有一条直线垂直于一个平面,所以⊥平面是不正确的,所以③不正确;连接,由题意知⊥,且,所以⊥,又⊥∩,所以⊥平面,又因为⊂平面,所以⊥,所以④正确;因为⊥平面,且⊂平面,所以平面⊥平面,所以⑤正确.综上可知,正确结论的序号为①②④⑤,故选.【自我检测】[解析] ①若⊥α,α⊥β,则∥β或⊂β,①不正确;②若∥α,α∥β,则∥β或⊂β,②不正确;③若⊥α,α∥β,则⊥β,③正确;④若∥α,α⊥β,则∥β或⊂β或与β相交,④不正确.故选.[解析] 由⊥α且∥α,能推出⊥,充分性成立;若⊥α且⊥,则∥α或⊂α,必要性不成立.因此“∥α”是“⊥”的充分不必要条件,故选.例()()[解析] ()方法一:取的中点,连接.∵正三角形与正三角形所在平面互相垂直,∴⊥.分别取的中点,连接,则∥∥,则∠为异面直线与所成的角,易得,在△中,由余弦定理得∠,即θ.方法二:如图所示,取的中点,连接.∵正三角形与正三角形所在平面互相垂直,∴⊥⊥⊥.以为原点所在直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则()()()(),∴()(),故<,>,∴θ.()取的中点,连接,则由题易知点在上.∵⊥底面,∴∠为与平面所成的角,又平面∥平面,∴∠的大小等于与平面所成角的大小.∵×(),∴··,解得.又为正三角形的中心,∴,∴在△中∠,∴∠.故选.【自我检测】[解析] 设底面半圆的半径为,由×π,得.易得⊥,所以,又∥,所以异面直线与所成的角为∠,易知∠.[解析] 设与交于点,因为,所以⊥,因此在翻折过程中'在平面内的射影在直线上,所以∠'是直线'与平面所成的角.由已知可得',在△'中,设',则由余弦定理得∠',因为>,所以≥(当且仅当时取等号),此时∠'最大,且∠'.例()()[解析] ()取的中点的中点,则四边形即为所求的截面.根据正方体的性质,可得,易知四边形为菱形,所以其面积××,故选.()由题知△是边长为的等边三角形,所以所求截面为△的内切圆,可得截面圆的半径为,所以截面圆的面积为π.【自我检测】[解析] 如图所示,在正方体中分别为的中点.由三视图可知,该几何体是正方体截取棱台后剩余的部分.易知截面为等腰梯形,且,截面的高为,则截面的面积为.π[解析] 过半径为的球表面上一点作球的截面,若与该截面所成的角为°,则截面圆的半径是× °,故该截面的面积为π×()π.[备选理由] 例为一道高考题,考查对三视图的认识,并且通过计算对直观图中的各棱长作出准确判断;例以正方体为载体,较容易入手,考查空间想象能力和计算能力;例是三视图、多面体、球的综合问题,解决该问题的关键是根据三视图将几何体还原,从而得到该几何体是直三棱柱,最后利用长方体的外接球的特征求得结果;例考查异面直线所成的角,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问题来解决.例[配例使用] [·北京卷]某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为()[解析] 将四棱锥放在棱长为的正方体中,该四棱锥为''',如图所示.该四棱锥最长的棱为正方体的体对角线'',故选.例[配例使用] [·江苏卷]如图所示,正方体的棱长为,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.[答案][解析] 该几何体是一个正八面体,而正八面体是由两个相同的正四棱锥组成的,由图可知一个正四棱锥的高为,底面边长为,所以正八面体的体积××()×.例[配例使用]中国古代数学名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体,其三视图如图所示,则其外接球的表面积为().ππππ[解析] 由三视图可得该几何体是一个直三棱柱,将其扩展为长方体,易得长方体的长、宽、高分别是,该几何体的外接球为对应的长方体的外接球,而长方体的体对角线长为,所以该几何体外接球的半径为,故外接球的表面积为π×π,故选.例[配例使用]在四棱锥中⊥平面,底面是边长为的正方形为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()..[解析] 延长到,使,过作∥,且,连接.因为∥,所以四边形为平行四边形,所以∥.又∥∥,所以四边形为平行四边形,所以与共线,则∠为异面直线与所成的角或其补角.在△中,所以由余弦定理得∠.。