半角模型课件PPT课件
合集下载
2024年九年级中考数学专项复习 半角模型1课件
【数学思考】（2）如图②，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，D，E为BC上两点，
且∠DAE＝45°.求证：BD2＋CE2＝DE2.
证明：如图①，把△ACE绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连接DG，则
△ACE≌△ABG，∴AG＝AE，BG＝CE，∠ABG＝∠ACE＝45°.
∵∠BAC＝90°，∠GAE＝90°，∴∠GAD＝∠DAE＝45°.
正方形ABCD中，∠EAF＝45°，此为“正方形内半角模型”
Hale Waihona Puke 在底角为30°的等腰△ABC中，∠DAE＝60°，此为“60°半角模型”
2.“半角模型”的破解策略：半角模型，必旋转.
3.注意：
（1）旋转角度通常为大角的角度；
（2）旋转后，往往涉及三点共线问题（需简单证明）；
（3）旋转后，一般需要再证一对共旋转点的三角形全等.
模型解读
1.“半角模型”的基本类型
题目中出现了两个角，小角等于大角的一半，故称为“半角模型”.常见的半角关系
有“30°与60°”“45°与90°（此类模型又称之为‘正方形内半角模型’）”“60°与
120°”.
等边△ABC中，∠DAE＝30°，此为“30°半角模型”
等腰Rt△ABC中，∠DAE＝45°，此为“45°半角模型”
1.（2023·新泰模拟）如图，在等边△ABC中，在BC边上取两点D，E，使∠DAE＝
30°.若BD＝x，DE＝y，CE＝z，则以x，y，z为边长的三角形的形状为（ C ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.随x，y，z的值而定
第1题图
2.（2023·潍坊模拟）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点
半角模型课件
2、如图，有一块三角形空地，AC=BC，∠ACB=90°，
∠DCE=45°，AD=3m，BE=4m，那么这块三角形空地
的面积为
.
C
A
D
E
B
学习交流PPT
16
学习交流PPT
17
解答：
学习交流PPT
18
五、课堂小结 升华模型
畅谈本节课的收获，和同学分享交流
学习交流PPT
19
六、链接中考 实战模型
4
一、探究规律 创建模型
A
45°
1
F′ B E
D 解：延长CB，使BF'=DF，连接AF'。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD, ∠ABF ′ =∠ADF,
F∴△ADF≌△ABF′ ∴AF=AF′,∠1=∠2. ∴∠1+∠3=∠2+∠3=45° 即∠EAF′=∠EAF
∵AE=AE ∴△AEF′≌△AEF
学习交流PPT
14
四、当堂检测 巩固模型
1、如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角为120°的等
腰三角形，DB=DC，以D为顶点作一个60°角，角的两
边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN. 则BM、CN、
MN之间的数量关系为
。 BM+CN=MN.
A
N M
B
C
D
学习交流PPT
15
四、当堂检测 巩固模型
2
则BD、CE、DE之间的数量关系为 BD+CE=D。E
A
B D
C E
学习交流PPT
9
三、拓展提高 延伸模型
【变式一】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边
大角夹半角模型(共21张PPT)
B
CE
画板 变式4
A
F
D B
CE
E′
画板 变式4
(4)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，
∠B＋∠D＝180°，E、F分别是CB、DC延长线上的
点，且 EAF，1 BBE、ADDF、EF三条线段之间的
2
数量关系是否仍然成立，若不成立，请写出它们
之间的数量关系，并证明.
A
EB
F
D C
画板
１、 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），
段之间的数量关系.
画板 顺 变式１
A
45 °
BE
E′ D
F C
画板 变式１
A
45 °
1
F′
BE
D F
C
画板 逆 变式１
（1）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD， ∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点， 且 EAF1，BBAED、DF、EF三条线段之间的数量
2
关系是否仍然成立,请证明。
A
BE
D
F
画板 顺 变式２
C
能构成一个等腰三角形且顶角
A 已知：如图，等边△ABC中，点D、E在
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点D、E在斜边AB上，且∠DCE=45°,探究BE、DE、AD三条线段之间的数量关系.
具有公共端点的等线段； ———————————————————— 具有公共端点的等线段；
∠B＋∠D＝180°，E、F分别是CB、DC延长线上的点，且
， BE、DF、EF三条线段之间的数量关系是否仍然成立，若不成立，请写出
它们之间的数量关系，并证明.
———————————————————
最新中考数学教材全册知识点梳理复习 专题7.角含半角模型 课件PPT
∴EF2＝BF2＋BE'2，即EF2＝BF2＋AE2.
第2题图
（3）你还能用其他的方法证明（2）吗？
证明：（3）如图.
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACE＋∠BCF＝∠ECF＝45°.
又∵AC＝BC，
∴可将△ACE沿CE折叠，同理将△BCF沿CF折叠，
则折叠后的CA与CB重合于CA'，
可证∠EA'F＝90°，∴EF2＝A'E2＋A'F2，
△ADE≌△ADF，BD2＋CE2＝DE2.
2.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E，F是边AB上的两点，且∠ECF＝
45°.
（1）若CE'⊥CE，CE'＝CE.求证：△CAE≌△CBE'.
证明：（1）∵CE'⊥CE，∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCE'.
又∵CA＝CB，CE＝CE'，
∵∠ABC＝90°，∴∠GBF＝90°.
∵EF＝AF＋CE，AF＝CG，∴EF＝CG＋CE＝EG.
∵BE＝BE，BF＝BG，∴△BEF≌△BEG（SSS），
∴∠EBF＝∠EBG，∴∠EBF＝ ∠GBF＝45°.
（2）将△EDF沿EF翻折，若点D的对应点恰好落在BF上，求EF的长.
解：（2）如图，由折叠的性质，可知∠DFE＝∠BFE.
由（2），可知∠AFB＝∠CGB＝∠BFE，
∴∠AFB＝∠BFE＝∠DFE＝60°，∴∠FED＝30°.
设DF＝x，则EF＝2x，ED＝ x.
∵AD＝1，∴AF＝1－x.
∵AF＋CE＝EF，∴CE＝3x－1，
∴DE＝CD－CE＝1－ − ＝2－3x，
∴2－3x＝
第2题图
（3）你还能用其他的方法证明（2）吗？
证明：（3）如图.
∵∠ECF＝45°，
∴∠ACE＋∠BCF＝∠ECF＝45°.
又∵AC＝BC，
∴可将△ACE沿CE折叠，同理将△BCF沿CF折叠，
则折叠后的CA与CB重合于CA'，
可证∠EA'F＝90°，∴EF2＝A'E2＋A'F2，
△ADE≌△ADF，BD2＋CE2＝DE2.
2.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E，F是边AB上的两点，且∠ECF＝
45°.
（1）若CE'⊥CE，CE'＝CE.求证：△CAE≌△CBE'.
证明：（1）∵CE'⊥CE，∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCE'.
又∵CA＝CB，CE＝CE'，
∵∠ABC＝90°，∴∠GBF＝90°.
∵EF＝AF＋CE，AF＝CG，∴EF＝CG＋CE＝EG.
∵BE＝BE，BF＝BG，∴△BEF≌△BEG（SSS），
∴∠EBF＝∠EBG，∴∠EBF＝ ∠GBF＝45°.
（2）将△EDF沿EF翻折，若点D的对应点恰好落在BF上，求EF的长.
解：（2）如图，由折叠的性质，可知∠DFE＝∠BFE.
由（2），可知∠AFB＝∠CGB＝∠BFE，
∴∠AFB＝∠BFE＝∠DFE＝60°，∴∠FED＝30°.
设DF＝x，则EF＝2x，ED＝ x.
∵AD＝1，∴AF＝1－x.
∵AF＋CE＝EF，∴CE＝3x－1，
∴DE＝CD－CE＝1－ − ＝2－3x，
∴2－3x＝
中考数学专题复习 正方形之“半角”模型 课件
“截长”: 在EF上截取一点G,使FG=FD
也相当于翻折法、 (或轴对称)
“截长”: 在EF上截取一点H,使BE=EH
EF=BE+DF
“补短”
“截长”
“旋转” “翻折”或(轴对称)
几何主要包括线与角,既然可以从“线段”上考虑, 那能否从“角”上考虑呢?
二、模型讲解
1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°,连接EF.
三、变式训练
1、如图，在四边形中ABCD，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、 F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD， 求证：EF=BE+DF；
三、变式训练
2.如图，在四边形中ABCD，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、 F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD, 变式1中的结论 是否仍然成立？请写出证明过程.
能否通过翻折来解决问题?
二、模型讲解
1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°,连接EF. (1)求证:EF=BE+DF
延长
“补短” 全等变换-- 旋转、翻折
方法归一
既然可以“补短”,那可以“截长”吗?
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF
同理: 延长CD到点H，使BE=DH,连接AH
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF 分析: 除了延长得到△ABG, 还可以如何得到?
将△ADF绕点A顺时针旋转90°
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF 分析: 旋转是全等变换,还可以利用其它全等变换吗? 平移与翻折
也相当于翻折法、 (或轴对称)
“截长”: 在EF上截取一点H,使BE=EH
EF=BE+DF
“补短”
“截长”
“旋转” “翻折”或(轴对称)
几何主要包括线与角,既然可以从“线段”上考虑, 那能否从“角”上考虑呢?
二、模型讲解
1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°,连接EF.
三、变式训练
1、如图，在四边形中ABCD，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、 F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD， 求证：EF=BE+DF；
三、变式训练
2.如图，在四边形中ABCD，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、 F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= 12∠BAD, 变式1中的结论 是否仍然成立？请写出证明过程.
能否通过翻折来解决问题?
二、模型讲解
1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°,连接EF. (1)求证:EF=BE+DF
延长
“补短” 全等变换-- 旋转、翻折
方法归一
既然可以“补短”,那可以“截长”吗?
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF
同理: 延长CD到点H，使BE=DH,连接AH
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF 分析: 除了延长得到△ABG, 还可以如何得到?
将△ADF绕点A顺时针旋转90°
二、模型讲解 1.在正方形中，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=45°, 连接EF.(1)求证:EF=BE+DF 分析: 旋转是全等变换,还可以利用其它全等变换吗? 平移与翻折
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
旋转中的“半角”模型
商河县郑路中学
杨春利
学习目标:
（1）理解掌握“半角”模型，明确符合半角模型的特征(一)； （2）用心经历探究模型演变过程，体会“从特殊到一般”（二）、
“分类”、 “化归”的研究思想，发展自己观察、比较、分析 推理能力（一二三）； （3）明确辅助线的构造原理（一），进一步培养综合 运用知识 解决问题的能力。
D 解：延长CB，使BF'=DF，连接AF ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD, ∠ABF ′ =∠ADF, F∴△ADF≌△ABF′ ∴AF=AF′,∠1=∠2. ∴∠1+∠3=∠2+∠3=45° 即∠EAF′=∠EAF ∵AE=AE ∴△AEF′≌△AEF
C ∴EF'=EF ∴BE+DF=BE+BF′=EF′=EF
学习重点：“半角”模型的辨别（一）及灵活应 用
学习难点：辅助线的添加及说明能力（一）。
一、探究规律 创建模型
【探究一】 在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点， 且∠EAF＝45°，探究BE、DF、EF三条线段之间的数量关系.
A
D
F
B
E
C
画板
一、探究规律 创建模型
A
45 °
1
F′ B E
一、探究规律 创建模型
E'
A
D
A
D
F
F
F' B
E
C
B
E
C
辅助线方法一
辅助线方法二】 如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=AD， 点E、F分别在边BC、CD上，∠BAD=120°，∠EAF=60°， 猜想BE、EF、DF之间有什么关系？ BE+DF=EF
试着说明理由。
D
A
F
D
A
F
BE
C
F'
B
E
C
一、探究规律 创建模型
A
D
D
F
A
F
F' B
E
C
F'
B
E
C
★观察以上两个题目，你发现了什么？
二、一试身手 体验模型
【从特殊到一般】1、如图，已知AB=AC，在∠BAC内部∠BAC 共顶点的一个角∠DAE= 1∠BAC，并且有∠B+∠C=180°.
2
则BD、CE、DE之间的数量关系为BD+CE=DE。
MN、DN之间的数量关系为
。
A
D
A
D
NF M
B
E
C
N' B
NF M
E
C
三、拓展提高 延伸模型
A
D
A
D
F
NF
M N'
F' B
E
C
B
E
C
★总结：对于正方形中的半角模型存在那些数量关系？
四、当堂检测 巩固模型
1、如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角为120°的
等腰三角形，DB=DC，以D为顶点作一个60°角，角 的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN. 则 BM、CN、MN之间的数量关系为 BM+CN。=MN.
.
21
A
N M
B
C
D
四、当堂检测 巩固模型
2、如图，有一块三角形空地，AC=BC，∠ACB=90°，
∠DCE=45°，AD=3m，BE=4m，那么这块三角形空地
的面积为
.
C
A
D
E
B
.
17
解答：
.
18
五、课堂小结 升华模型
畅谈本节课的收获，和同学分享交流
六、链接中考 实战模型
青春从不辜负拼尽全力的你
A
B D
C E
三、拓展提高 延伸模型
【变式一】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在 边BC、CD上，∠EAF=45°.若正方形边长为2，则 △FEC的周长为 4.
A
D
F
B
E
C
三、拓展提高 延伸模型
【变式二】如图，正方形ABCD中，点E、F
分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，连接
BD，分别交AE、AF于点M、N，则BM、
MN、DN之间的数量关系为
。
A
D
NF M
B
E
C
三、拓展提高 延伸模型
小组合作要求； 1、先独立思考。 2、小组内互相交流方法、思路、疑惑，互相帮助。 3、选出代表，向全班同学展示。
三、拓展提高 延伸模型
【变式二】如图，正方形ABCD中，点E、F
分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，连接
BD，分别交AE、AF于点M、N，则BM、
商河县郑路中学
杨春利
学习目标:
（1）理解掌握“半角”模型，明确符合半角模型的特征(一)； （2）用心经历探究模型演变过程，体会“从特殊到一般”（二）、
“分类”、 “化归”的研究思想，发展自己观察、比较、分析 推理能力（一二三）； （3）明确辅助线的构造原理（一），进一步培养综合 运用知识 解决问题的能力。
D 解：延长CB，使BF'=DF，连接AF ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD, ∠ABF ′ =∠ADF, F∴△ADF≌△ABF′ ∴AF=AF′,∠1=∠2. ∴∠1+∠3=∠2+∠3=45° 即∠EAF′=∠EAF ∵AE=AE ∴△AEF′≌△AEF
C ∴EF'=EF ∴BE+DF=BE+BF′=EF′=EF
学习重点：“半角”模型的辨别（一）及灵活应 用
学习难点：辅助线的添加及说明能力（一）。
一、探究规律 创建模型
【探究一】 在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点， 且∠EAF＝45°，探究BE、DF、EF三条线段之间的数量关系.
A
D
F
B
E
C
画板
一、探究规律 创建模型
A
45 °
1
F′ B E
一、探究规律 创建模型
E'
A
D
A
D
F
F
F' B
E
C
B
E
C
辅助线方法一
辅助线方法二】 如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=AD， 点E、F分别在边BC、CD上，∠BAD=120°，∠EAF=60°， 猜想BE、EF、DF之间有什么关系？ BE+DF=EF
试着说明理由。
D
A
F
D
A
F
BE
C
F'
B
E
C
一、探究规律 创建模型
A
D
D
F
A
F
F' B
E
C
F'
B
E
C
★观察以上两个题目，你发现了什么？
二、一试身手 体验模型
【从特殊到一般】1、如图，已知AB=AC，在∠BAC内部∠BAC 共顶点的一个角∠DAE= 1∠BAC，并且有∠B+∠C=180°.
2
则BD、CE、DE之间的数量关系为BD+CE=DE。
MN、DN之间的数量关系为
。
A
D
A
D
NF M
B
E
C
N' B
NF M
E
C
三、拓展提高 延伸模型
A
D
A
D
F
NF
M N'
F' B
E
C
B
E
C
★总结：对于正方形中的半角模型存在那些数量关系？
四、当堂检测 巩固模型
1、如图，△ABC是正三角形，△BDC是顶角为120°的
等腰三角形，DB=DC，以D为顶点作一个60°角，角 的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN. 则 BM、CN、MN之间的数量关系为 BM+CN。=MN.
.
21
A
N M
B
C
D
四、当堂检测 巩固模型
2、如图，有一块三角形空地，AC=BC，∠ACB=90°，
∠DCE=45°，AD=3m，BE=4m，那么这块三角形空地
的面积为
.
C
A
D
E
B
.
17
解答：
.
18
五、课堂小结 升华模型
畅谈本节课的收获，和同学分享交流
六、链接中考 实战模型
青春从不辜负拼尽全力的你
A
B D
C E
三、拓展提高 延伸模型
【变式一】如图，正方形ABCD中，点E、F分别在 边BC、CD上，∠EAF=45°.若正方形边长为2，则 △FEC的周长为 4.
A
D
F
B
E
C
三、拓展提高 延伸模型
【变式二】如图，正方形ABCD中，点E、F
分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，连接
BD，分别交AE、AF于点M、N，则BM、
MN、DN之间的数量关系为
。
A
D
NF M
B
E
C
三、拓展提高 延伸模型
小组合作要求； 1、先独立思考。 2、小组内互相交流方法、思路、疑惑，互相帮助。 3、选出代表，向全班同学展示。
三、拓展提高 延伸模型
【变式二】如图，正方形ABCD中，点E、F
分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，连接
BD，分别交AE、AF于点M、N，则BM、