一次分式函数
一次分式型函数(1课时)
一次分式型函数一、 初中相关知识整理1、 函数的概念：在某个变化的过程中，有两个变量y x ,，如果对于x 的每一个确定的值y 都有唯一确定的值，那么就说x y 是的函数，x 叫做自变量。
（)(x f y x y =的函数可以记作是）；2、 函数表示方法：解析法、列表法、图像法；3、 函数)0(≠+=k b kx y 叫作一次函数，图像是一条直线；当0=b 时，函数)0(≠=k kx y 叫作正比例函数，图像是过原点的直线；4、 函数()0≠=k xk y 叫作反比例函数，图像是由两支曲线组成，当0>k 时，图像分布在一、三象限；当0<k 时，图像分布在二、四象限。
二、 目标要求在高中阶段，我们将会进一步讨论反比例函数的性质，将会遇到“一次分式型函数”，我们通过回顾反比例函数，补充“一次分式”函数，利用平移的思想解决一次分式型函数的图像、性质等。
用例题和练习提高解决反比例函数问题的能力。
通过对问题的探究与解决，提高思维能力，培养勇于探索的科学精神。
三、必要补充 反比例函数()0≠=k xk y 的图像是双曲线，以坐标原点为中心（对称中心），坐标轴为渐近线（无限接近，但永不相交）我们可以称函数)0(≠++=a bax d cx y 为一次分式型函数 ()ab x a bc ad a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx y +-+=+-++=++=2（分离常数法） ∴函数b ax d cx y ++=，一般可化为()0≠-=-k mx k n y 的形式，其中k n m ,,是常数，令n y y m x x -=-='',，则''xk y =，这是一个反比例函数。
因此，一次分式型函数)0(≠++=a b ax d cx y ，本质上是一个反比例函数，两者的图像，一般只相差一个平移。
四、例题讲解1基本函数作图例1、画出下列函数的图像：（1）xy 3=；（2）x y 4-=（图略） 2、图像平移例2、指出下列函数的平移变换：（1） 由()2122+-==x y x y 到 （2） 由211-==x y x y 到 （3） 由2121--=-=x y x y 到 解：⑴ 向右平移1个单位，向上平移2个单位;⑵ 向右平移2个单位；⑶ 向右平移2个单位，向上平移2个单位例3、请你说明函数232++=x x y 的图象与xy 1=的图象的关系。
一次分式型函数的对称中心
一次分式型函数的对称中心一次分式型函数，即函数的分子和分母都是一次函数的函数表达式。
其一般形式为f(x) = (ax + b)/(cx + d)，其中a、b、c、d为常数，且c和d不能同时为0。
在这篇文章中，我们将讨论一次分式型函数的对称中心及其性质。
我们来定义一次分式型函数的对称中心。
对于一次分式型函数f(x) = (ax + b)/(cx + d)，当满足f(-d/c)存在时，我们称点(-d/c, f(-d/c))为该函数的对称中心。
接下来，我们将讨论一次分式型函数对称中心的性质。
首先，我们可以证明一次分式型函数的对称中心一定在直线x = -d/c上。
这是因为在该直线上，分母为0，但分子不为0，从而可以得到一个有定义的函数值。
对于一次分式型函数f(x) = (ax + b)/(cx + d)，如果它的对称中心存在，那么它一定是该函数的一个不动点，即f(-d/c) = (-d/c, f(-d/c))。
这是因为对称中心的横坐标等于f(x)的自变量x，纵坐标等于f(x)的函数值。
进一步地，我们可以通过函数的图像来观察一次分式型函数的对称中心。
以f(x) = (2x + 1)/(3x + 2)为例，我们可以通过绘制函数的图像来找到其对称中心。
在图像上，我们可以看到一条直线x = -2/3，该直线与函数的图像有一个交点，即对称中心。
这个交点的坐标为(-2/3, -1/3)。
一次分式型函数的对称中心还具有以下性质：1. 对称性：对称中心将函数图像关于直线x = -d/c进行对称。
这意味着当点P(x, y)位于函数图像上时，对称中心A(-d/c, f(-d/c))关于直线x = -d/c的对称点P'也在函数图像上。
2. 不动点性质：对称中心满足f(-d/c) = (-d/c, f(-d/c))，即函数在对称中心处的函数值等于对称中心的坐标。
3. 发散性：对称中心是一次分式型函数的“奇点”，即在对称中心处，函数的值可能趋于无穷大或无穷小。
一次分式函数
归纳： 图象向右平移1个单位； 图象向下平移2个单位，等等．
联系和反比例函数的关系
提出问题2：作函数 的图象，并归纳一次型分式函数 图象与函数函数 的图象的关系是什么？
一次分式型函数 （ ），本质上是一个反比例函数．两者的图象，一般只相差一个平移．作函数 的图象可用“二线一点”法． 和 是双曲线的两条渐近线，点 是图象的中心对称点．
学生：反函数法、单调性法、分离系数法等求解，
一题多解
例4已知函数 ，其中 。
(1)当函数 的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值及不等式 的解集；
(2)若函数 在(－1,+ )上单调递减，求a的取值范围.
通过例题体会综合考查一次分式函数图象和性质的应用
7、教学评价设计：一次分式函数问题在高考试题中频繁出现，尤其是在近几年，各地实行自主命题后，高考试题更是百花齐放，一次分式函数试题的出现频率就更高。但不管怎样，只要我们抓住了其性质，一次分式函数问题就可迎刃而解。这样的补充课是及时有用的。
激发学习兴趣，形成积极主动的学习方式;突出数学的人文价值，提高数学文化品味;注重构建学生共同的知识基础；让学生成为课堂学习的主体，教师成为课堂上的主持人，把思考，讨论，研究的时间还给学生，让教师成为独具慧眼的发现者，善于发现学生的长处，成为学生的热情观众，精彩时报以掌声，给予充分的肯定，失误时，评论切磋，提出中肯的意见。
对于一次型分式函数 图像作法有几步？
（1）先确定x与y的取值范围： ， ，即找到双曲线的渐近线 ， ；
（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；
（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象
归纳总结
例3.（考查一次分函数的定义域和值域）求函数y= 的值域.
分式函数的知识点总结
分式函数的知识点总结1. 分式函数的定义分式函数是由一个多项式除以另一个多项式得到的函数。
一般形式为$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$。
分式函数的定义域为使得分母不等于0的所有实数。
2. 分式函数的图像特点分式函数的图像通常表现为一个有限个数的部分，因为当$x$趋向于正无穷或负无穷时，分式函数的值趋向于一个有限值。
分式函数的图像通常表现为一个曲线，具有上下两个分支。
图像的特点主要有：- 在分式函数的图像中，通常会出现垂直渐近线。
- 当$c$的绝对值大于$a$的绝对值时，图像会有水平渐近线。
3. 分式函数的性质分式函数具有一些特殊的性质，包括：- 单调性：当分式函数中的常数$a$和$c$同号时，函数是单调的；当$a$和$c$异号时，函数是非单调的。
- 零点：分式函数的零点为使得分子为0的$x$的值。
- 渐近线：分式函数的图像通常会有水平、垂直渐近线。
4. 分式函数的化简分式函数的化简是将分式函数写成最简形式的过程。
化简分式函数主要有以下几种方法：- 因式分解法：将分子和分母进行因式分解，然后约去相同的因式。
- 通分法：将分子分母通分，然后化简。
- 乘除法：将分子分母乘除以某个数进行化简。
- 合并同类项：将分子分母中的同类项相加或相减。
5. 分式函数的应用分式函数在数学中有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：- 实际问题中的建模：分式函数可以用来描述一些实际问题中的关系，如人口增长模型、投资回报模型等。
- 函数的性质分析：分式函数可以用来分析函数的单调性、零点等性质。
- 数据的处理和分析：分式函数可以用来对数据进行处理和分析，如拟合曲线、数据的归一化等。
6. 分式函数的解法分式函数的解法主要包括以下几种方法：- 化简分式函数：将分式函数进行化简，使得求解更加方便。
- 求解零点：求解分式函数的零点，即使得分式函数的值为0的$x$的值。
- 利用性质求解：利用分式函数的性质，如单调性、渐近线等，对分式函数进行求解。
5一次函数与一次分式型函数
5、一次函数与一次分式型函数一、知识巩固1、一次函数：y=kx+b 为一次函数，其图象是一条直线2、反比例函数xk y =（0≠k ）的图象是双曲线，以坐标原点为中心（对称中心），以坐标轴为渐近线（无限接近，但永不相交）． 我们可以称函数bax d cx y ++=（0≠a ）为一次分式型函数． ∵b ax d cx y ++=b ax a bc d b ax a c +-++=)(ab x a bc ad a c +-+=2， ∴函数b ax d cx y ++=，一般可以化为mx k n y -=-（0≠k ）的形式，其中k n m ,,是常数．令m x x -='，n y y -='，则''x k y =，这是一个反比例函数． 因此，一次分式型函数b ax d cx y ++=（0≠a ），本质上是一个反比例函数．两者的图象，一般只相差一个平移．二、典例分析例1、画出下列函数的图象：（1）12+-=x y ；（2）xy 3=． 例2、函数y=123++x x 的图象可由函数y=x 1的图象通过怎样的变换得到？例3、画出函数212--=x x y 的图象，并说明其定义域、值域单调性与零点。
例4、函数y=1---a x x a 的图象关于点（4，-1）成中心对称，求实数a 的值．三、高考赏析（2012年高考（天津文））已知函数211x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点,则实数k 的取值范围是________四、练习提高1、若函数xk y =的图象经过点)5,2(-A ，则函数的图象分布在（ ） （A ）一、四象限 （B ）二、三象限 （C ）一、三象限 （D ）二、四象限 2、若函数22-=x y （A x ∈）的值域为}2|{-<y y ，则A 表示的区间是（ ） （A ）)2,1( （B ）)3,2( （C ）)2,(--∞ （D ）)1,(-∞3、函数y=11+x 图象的对称中心是（ ） （A ）（1，0） （B ）（1，0） （A ）（0，1） （A ）（0，1）4、函数y=1222++x x 中，函数值y 的取值范围是（ ） （A ）1＜y ≤2（B ）y ≤2 （C ）y ≤1 （D ）0＜y ≤2 5、函数212--=x x y 的图象的对称中心是 ． 6．若函数21++=x ax y 在),2(∞+-上是增函数，则实数a 的取值范围是 ． 7．函数y=33-x x 中，函数值y 的取值范围是 。
第九讲++一次分式函数
第九讲 一次分式函数【要点归纳】 形如)0,(不同时为c a dcx b ax y ++=的函数，叫做一次分式函数。
（1）特殊地，)0(≠=k xk y 叫做反比例函数； （2）一次分式函数)0,(不同时为c a d cx b ax y ++=的图象是双曲线，)0(,≠=-=c ca y c d x 是两条渐近线，对称中心为（c a c d ,-）（c ≠0）。
【典例分析】例1 说明函数13+=x x y 的图象可由函数x y 1=的图象经过怎样的平移变换而得到，并指出它的对称中心。
例2 求函数x x y +-=11在-3≤x ≤-2上的最大值与最小值。
例3 将函数xx f 1)(=的图象向右平移1个单位，向上平移3个单位得到函数)(x g 的图象 （1）求)(x g 的表达式；（2）求满足)(x g ≤2的x 的取值范围。
例4 求函数)0(123≥+-=x x x y 的值域。
例5 函数1)(-+=x a x x f ，当且仅当-1＜x ＜1时，0)(<x f （1）求常数a 的值；（2）若方程mx x f =)(有唯一的实数解，求实数m 的值。
例6 已知)0,0(>>=a x xa y 图象上的点到原点的最短距离为6 （1）求常数a 的值；（2）设)0,0(>>=a x xa y 图象上三点A 、B 、C 的横坐标分别是t ，t+2，t+4，试求出最大的正整数m ， 使得总存在正数t ，满足△ABC 的面积等于t m 。
【反馈练习】1、若函数y=2/(x-2)的值域为y≤1/3，则其定义域为_____________。
2、函数312+--=x x y 的图象关于点_____________对称。
3、若直线y=kx 与函数59++=x x y 的图象相切，求实数k 的值。
4、画出函数1||1--=x x y 的图象。
5、若函数21++=x ax y 在(-2，+∞)是增函数，求实数a 的取值范围。
一次分式型函数
一次分式型函数
一、课前准备：
1．一次分函数的定义
我们把形如 的函数称为一次分函数。
2．一次分函数的图象是双曲线
3.一次分函数 的性质
①．定义域： ；②．值域： ；
③．对称中心： ；④．渐近线方程： 和 ；
⑤．对称轴方程： 和
⑥单调性：当ad>bc时，函数在区间 和 分别单调递减；
当ad<bc时，函数在区间 和 分别单调递增；
7.函数 （ ），则 的值域是________．
8．函数y= 的值域．
9．函数y= （ ）的值域．
10．函数y= 的对称中心是．
11．函数y= 的单调增区间是．
12．若函数 在区间 上的值域为 ，则 __________．
13.若函数 的图象关于直线y＝x对称，则实数a＝.
2．．熟练掌握分离常数法，并会用图象的平移作一次分式型函数的图象
步骤：先用分离常数法将函数解析式化为 ，再由 图象平移得到．
例．作函数 的图象，
练习：作函数的图象： ． ．
1．函数 的图象是．
．函数 的单调增区间是．
5．函数 的对称中心是．
6.函数 （ ），则 的值域是________．
二、教学目标
1．会用“二线一点”法作一次分式型函数的图象
步骤：（1）先确定x与y的取值范围： ， ，即找到双曲线的渐近线 ， ；（2）再取与一个坐标轴的交点确定图象在“一、三象限”还是在“二、四象限”；
或当ad>bc时，在“一、三象限”；当ad<bc时，在“二、四象限”。
（3）根据双曲线的大致形状画出函数的图象．
一次分式函数
是
．
6．设曲线 y x 1 在点（3，2）处的切线与直线 ax y 1 0 垂直，则 a=
．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 1
7．若函数 y x b 在区间 a,b 4 b 2 上的值域为 2,，则 ab _____________．
x2
8．若函数 f (x) x 1 ，则函数 gx f 4x x 的零点是______________．
x3
（ 3） 已 知 函 数 f x 2x 1 ， 若 x N ， f x f 5恒 成 立 ， 则 a 的 取 值 范 围
xa
是
．
（4）若函数
f
(x)
2x
1
的图象关于直线
y＝x
对称，则实数
a＝
.
x a
【例
2】设 函 数
f
(x)
x 1 x
(x R)
，区 间
M=[a，b](a<b)，集 合
N={
y
y
f (x), x M
}，
则使 M=N 成立的实数对(a，b)有几个？
【例 3】已知函数 f (x) ax 2 a ，其中 a R 。 x 1
(1)当函数 f (x) 的图象关于点 P(－1，3)成中心对称时，求 a 的值及不等式 f (x) x 1
的解集；
(2)若函数 f (x) 在(－1,+ )上单调递减，求 a 的取值范围.
a
( b , c ) aa
xb a
o y cx a
ad bc
2.2
定义域：
x
x
b a
；
2.3 值域： y
y
c ；
a
常见分式函数的研究
复合分式函数
定义
形如f(x)=p(g(x))/q(h(x))的函数，其中g(x)和h(x)是一次 或多次多项式，p(u)和q(v)是多项式或分式函数。
01
性质
具有更复杂的性质和形态，可能存在多 个转折点、极值点等。
02
03
应用
在解决复杂数学问题、工程优化等领 域有应用，如电路分析、控制系统等。
03 分式函数的运算
分式函数在经济增长的研究中也有应用，例如GDP的增长率。通过将经
济增长表示为分式函数，可以方便地分析经济增长的规律和影响因素。
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角度计算
分式函数在几何学中还可以用于 计算角度，例如三角形的内角和、 两直线之间的夹角等。通过将角 度表示为分式函数，可以方便地 求解角度。
分式函数在物理学中的应用
速度与加速度
分式函数在物理学中常用于描述物体的速度和加速度，例如匀速运动和匀加速运动。通过将速度和加速度表示为分式 函数，可以方便地求解物体的运动轨迹和时间。
要点二
详细描述
代入法是求分式函数值的一种常用方法。首先，我们需要找 到分式函数的分子和分母，然后将自变量代入分子和分母中， 计算出函数值。例如，对于函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 5，当 x = 2 时，我们代入 x 的值，得到 f(2) = 2*2^2 + 3*2 + 5 = 17。
消去法求值
常见分式函数的研究
目录
• 分式函数的基本概念 • 分式函数的分类 • 分式函数的运算 • 分式函数的求值 • 分式函数的应用
01 分式函数的基本概念
分式函数的定义
总结词
分式多项式,分式方程,一次函数基础知识及练习题
分式多项式，分式方程，一次函数基础知识及练习题通分根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来相等但分母相同的分数，叫做通分方法是：先求出两个分数分母的最小公倍数，再根据分数的基本性质把两个分数分别化成以这个最小公倍数为分母的分数即可例如：如：把3/4和5/6通分：先求出4和6的最小公倍数12，再把3/4和5/6化成9/12和10/12就行了。
107?求：= 11935?= 5672?= 133乘法分配律乘法分配律两个数相加(或相减)再乘另一个数,等于把这个数分别同两个加数（减数）相乘,再把两个积相加（相减）,得数不变。
用字母表示：（a+b）x c=axc+bxc 还有一种表示法：a(b+c)=ab+ac 例如：25×404 =25×(400＋4) =25×400＋25×4=10000＋100=10100 乘法分配律的逆运用25×37+25×3 =25×(37+3)=25×40 =1000乘法分配律还可以用在小数、分数的计算上。
例题:25×404=25×(400＋4)＝25×400＋25×4＝10000＋100=10100 乘法分配律的反用：35×37+65×37 =37×(35+65) =37×100 =3700 乘法分配律的反用：35×37+65×37 =37×(35+65) =37×100 =3700合并同类项合并同类项就是逆用乘法分配律。
把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项。
如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且各字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项。
如2ab与－3ab，m2n与nm2都是同类项。
特别地，所有的常数项也都是同类项。
把多项式中的同类项合并成一项，叫做同类项的合并（或合并同类项）。
第1节 一次型分式函数的图象性质-解析版
第一章 函数与导数第1节 一次型分式函数的图象性质知识与方法我们把函数()ax bf x cx d +=+()0,c ad bc ≠≠称为一次型分式函数，这类函数的图象一定是双曲线，且有垂直渐近线d x c =-，水平渐近线a y c =，对称中心,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭.在理解并熟悉了这些性质的基础上，可以快速地作出函数()y f x =的图象，解决一些常见的问题.典型例题【例1】函数()211x f x x -=-在[]2,3上的值域为________. 【解析】()f x 图象的两条渐近线分别为1x =和2y =，且()01f =，据此可作出()f x 的大致图象如图，由图可知()f x 在[]2,3上，所以()()max 23f x f ==，()()min 532f x f ==，故()f x 在[]2,3上的值域为5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【答案】5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦变式 函数()43sin 2sin xf x x+=-的值域为_________.【解析】设sin t x =，则11t -≤≤，且()432tf x t+=-，函数432ty t +=-图象的两条渐近线分别为2t =和3y =-，且过点()0,2，所以其大致图象如图所示，由图可知432t y t +=-在[]1,1-上，故max 7y =，min 13y =，从而函数()f x 的值域为1,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【答案】1,73⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例2】（2021·新课标Ⅰ卷）设函数()11xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ）（A ）()11f x -- （B ）()11f x -+ （C ）()11f x +- （D ）()11f x ++【解析】解法1：A 项，()()()()11221111111x xf x f x x x-----=-=⇒--+-不是奇函数，故A 项错误； B 项，()()()()1121111111x f x f x x x---+=+=⇒-++-是奇函数，故B 项正确；至此本题已可选出答案， C 项，()()()()112211111112x x f x f x x x -+++-=-=⇒+-+++不是奇函数，故C 项错误； D 项，()()()()11211111112x f x f x x x -+++=+=⇒+++++，不是奇函数，故D 项错误. 解法2：由题意，()f x 的图象的对称中心为()1,1--，故将其右移1个单位，上移1个单位，得到的图象关于就原点对称，恰好为奇函数，即()11f x -+为奇函数，故选B. 【答案】B【例3】函数()52x f x x m-=+的图象关于直线y x =对称，则m =_________. 【解析】由题意，函数()52x f x x m -=+的对称中心为点1,22m A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象关于直线y x =对称，所以点A 在直线y x =上，从而122m=-，故1m =-.【答案】1-.【例4】函数()xf x x a=-在()1,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是________.【解析】由题意，()f x 的图象的两条渐近线分别为x a =和1y =，如图，要使()f x 在()1,+∞上，首先应有1a ≤，其次，()2212f a=<-，所以0a <，故a 的取值范围是(),0-∞.【答案】(),0-∞强化训练1.（★★）函数()125xf x x -=+在[]2,0-上的最大值为_______. 【解析】()f x 的图象的两条渐近线分别为52x =-和12y =，且()105f =，据此可作出()f x 的大致图象如图，由图可知()f x 在[]2,0-上，所以()()max 23f x f =-=.【答案】32.（★★）函数()2sin 2sin 4xf x x -=+的值域为_________.【解析】设sin t x =，则11t -≤≤，且()224t f x t -=+，函数224t y t -=+的两条渐近线分别为2t =-和12y =-，且过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以其大致图象如图所示，由图可知函数224ty t -=+在[]1,1-上， 从而()()max2132142y --==⨯-+，min 2112146y -==⨯+，故函数()f x 的值域为13,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【答案】13,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.（★★★）函数()22x kf x x +=-与()3log 2y x =-在()3,+∞上有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________.【解析】显然()3log 2y x =-在()3,+∞上，由题意，()22x kf x x +=-在()3,+∞也， 函数()22x kf x x +=-的两条渐近线为2x =和2y =，其大致图象如图所示，由图可知应有()362f k =+<，从而4k <-. 【答案】(),4-∞-4.（★★★）在数列{}n a 中，1n n ca n +=+()c ∈R ，则对于任意的正整数n ，有（ ）（A ）1n n a a +< （B ）1n n a a +> （C ）n a 与1n a +的大小与c 有关 （D ）n a 与1n a +的大小与n 有关【解析】解析：设()1x cf x x +=+，则函数()y f x =的图象的渐近线为1x =-和1y =，且过点()0,c ，所以()y f x =的大致图象有三种可能，如图，若为图1，则1c <，此时()f x 在()1,-+∞上，因为()n a f n =，所以{}n a 是递增数列，从而1n n a a +<； 若为图2，则1c >，此时()f x 在()1,-+∞上，所以{}n a 是递减数列，从而1n n a a +>；若为图3，则1c =，所以()1f x =()1x ≠-，从而1n a =，故1n n a a +=，综上所述，n a 与1n a +的大小与c 有关，选C.【答案】C5.（★★★）已知定义在R 上的函数()f x 满足()222,012,10x x f x x x ⎧+≤<⎪=⎨--≤<⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在[]7,3-上的实根之和为（ ）（A ）9- （B ）10- （C ）11- （D ）12-【解析】画出函数()y f x =的图象如图所示，函数()y g x =的图象的两条渐近线分别为2x =-和2y =，且过点()1,3D -，其图象如图，由图可知两个函数的图象在[]7,3-上共有5个交点，分别为图中的A 、B 、C 、E 、F ，其中A 和F 、B 和E 、C 和D 两两关于点()2,2-对称，所以这六个点的横坐标之和为4312-⨯=-，但()f x 的图象上不包括点D ，且点D 的横坐标为1-，故两个函数图象交点的横坐标之和为()12111---=-，即方程()()f x g x =在[]7,3-上的实根之和为11-. 【答案】C。
一次分式型、“耐克”函数
课题1：一次分式型函数、“耐克”函数● 教学目标：掌握一次分式型函数的定义、图像和性质，常见的分式型符合函数的性质和运算技巧；掌握赖克函数的定义、图像和性质，常见与赖克函数相符合函数的性质和运算技巧；2 若20a a -<，函数在区间,a -∞- ⎪⎝⎭，,a -+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； （3）对称性：关于',b cO a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称； （4）渐近线：直线b x a =-，c y a=是曲线的两条渐近线；图一：20d bc a a -> 图二：20d bc a a-<4、典型例题：例1、已知函数()1x f x x =+，求111(1)(2)()(3)((4)()234f f f f f f f ++++++的值。
例2、已知函数()221x f x x=+，求()111(1)(2)(3)2010()()()232010f f f f f f f +++++++++的值。
答案：120092。
（1）定义域：{}0x x ≠；值域：当00a b >⎧⎨>⎩，或00a b <⎧⎨<⎩时，值域为(),2,ab ⎡-∞-+∞⎣； 当00a b <⎧⎨>⎩，或00a b >⎧⎨<⎩时，值域为(),-∞+∞。
（2）单调性：①当00a b >⎧⎨>⎩时，当x ⎛∈ ⎝时，函数是减函数；当x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，函数是减函数；当,x ⎛∈-∞ ⎝时，函数是增函数；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，函数是增函数；②当00a b <⎧⎨<⎩时，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，函数是减函数；当,x ⎛∈-∞ ⎝时，函数是减函数；当x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，函数是增函数；当x ③当0a <⎧时，0,x ∈+∞，函数是减函数；x ∈()16,0,t t ⎫-∈+∞⎬⎭，则集合B = 解】{2x -≤例2、（2011年湖南卷第10题）设,x y R ∈，且0xy ≠，则2222114x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为 ； 答案：9例3、（2011年重庆卷第7题）已知0,0,2a b a b>>+=，则14ya b=+的最小值是（）A．72 B．4 C．92D．5答案：C●板书设计。
一次分式型函数的对称中心
一次分式型函数的对称中心在数学中，分式型函数是一种特殊的函数形式，其表达式为分子和分母都是多项式的比值。
这种函数在数学和工程领域有着广泛的应用，其中对称中心是一个重要的概念。
对称中心是指分式型函数的图像关于某个点对称。
具体来说，如果对于函数f(x)，存在一个实数a，使得对于任意的x，都有f(a-x) = f(a+x)，那么a就是函数的对称中心。
在函数图像中，对称中心可以看作是一个镜像轴，将图像分成两部分，两部分关于对称中心对称。
对称中心的概念可以帮助我们更好地理解和分析分式型函数的性质。
下面我们通过几个例子来说明对称中心的作用。
考虑函数f(x) = 1/x。
这是一个常见的分式型函数，其图像是一条双曲线。
我们可以发现，对于任意的实数a，都有f(a-x) = 1/(a-x) = 1/(a+x) = f(a+x)，即函数的对称中心为a=0。
这意味着在图像中，关于y轴对称的点对应的x值之和为0。
这个性质对于分式型函数的对称性分析非常重要。
考虑函数f(x) = (x^2-1)/(x-1)。
这也是一个分式型函数，其图像是一条抛物线。
我们可以发现，对于任意的实数a，都有f(a-x) = ((a-x)^2-1)/(a-x-1) = (a-x+1)/(a-x-1) = (a+x-1)/(a+x+1) = f(a+x)，即函数的对称中心为a=1。
这意味着在图像中，关于x=1这条直线对称的点对应的x值之和为2。
这个性质对于分式型函数的图像研究非常有帮助。
考虑函数f(x) = (x^3-8)/(x^2-4)。
这是一个稍微复杂一些的分式型函数，其图像是一条闭合的曲线。
我们可以发现，对于任意的实数a，都有f(a-x) = ((a-x)^3-8)/((a-x)^2-4) = (a-x+2)/((a-x-2)(a-x)) = (a+x-2)/((a+x-2)(a+x)) = f(a+x)，即函数的对称中心为a=2。
这意味着在图像中，关于x=2这条直线对称的点对应的x 值之和为4。
一次分式函数
一次分式函数
一次分式函数是一类非常重要的函数，在数学中扮演着非常重要的角色。
它是一个由有理分式组成的连续函数，可以表示为P(x)/Q(x)，其中P、Q是两个多项式。
一次分式函数拥有非常强大的表示能力，它既可以表示连续函数，也
可以表示离散函数。
它是一种图形化函数，因此可以很容易地通过绘
图来理解函数的性质。
它也可以用来分析函数的局部特点，比如极值、拐点和波动性等，从而了解函数的变化趋势。
一次分式函数也可以用来保存数据，它可以把数据表示为函数，从而
可以更精确地描述和分析数据的性质。
因此，一次分式函数也常常被
用来作为数据分析的工具。
一次分式函数也可以用来定义不同的运算操作，比如取余运算、乘方
运算、对数运算和乘法等。
它们对于实现复杂算法有着重要的意义。
总之，一次分式函数在数学中应用广泛，它可以把复杂的数据和运算
表示为一个简单的函数，从而使得精确分析更加容易。
因此，一次分
式函数在数学中扮演着非常重要的角色，不仅在数学学科中，而且在
各种科学和工程领域都有广泛的应用，对人类的发展和进步起着重要
的作用。
第七课----一次与分式函数
6.函数
y 3x x2
的单调区间
{y|y≠-1}
是 (-∞,-2),(-2,+∞) ，值域是
对
称中心为___(-_2_,-_1_)______
7(-.2已,2知)则函a数=__y___ax___aa2=x-2 的对称中心为
8.已知函数 y a x 在(-2,+∞) x2
上是减函数，求a的取值范围. a>-2
一次函数 反比例函数 一次分式函数
对勾函数
一次函数
一、定义：形如y=ax+b(a≠0)的函数 二、定义域：R 三、值域：R 四、单调性：a>0增；a<0减 五、奇偶性：b=0,奇函数；b≠0,非奇非偶 六、图象：一条直线
1.若函数f(x)=(2a-1)x-3是R上的增函 数，则a的取值范围是__a_>_1_/2______
(-2,1)
反比例函数
一、定义：形如y=k/x(k≠0)的函数 二、定义域:(-∞,0)∪(0,+∞) 三、值域：(-∞,0)∪(0,+∞) 四、单调性：k>0,在(-∞,0) ，(0,+∞)都递 减； k<0,在(-∞,0),(0,+∞)上都递增 五、奇偶性：奇函数
六、图象：双曲线
函数y=(ax+b)/(cx+d)(c≠0,a,b不同时为0）
a 0, (,2 y x a(a 0) x
a ] [2
a ,)
4.单调性:a<0时,在(-∞,0),(0,+∞)都是增函数
a>0时，增区间为，(, a ), ( a,)
减区间为(-a,0),(0,a)
5.奇偶性：奇函数
- 10
10 8 6 4 2
巧借齐一次分式函数模型解决数学问题
巧借齐一次分式函数模型解决数学问题李鑫斌(福建省龙海第一中学ꎬ福建龙海３６３１００)摘㊀要:齐一次分式函数模型是一类重要的函数模型.文章举例说明齐一次分式函数在数学中的应用ꎬ阐述借助模型化思想解决数学问题的重要性ꎬ以提高学生的数学分析能力ꎬ解题能力ꎬ培养数学建模素养.关键词:齐一次分式ꎻ函数图象ꎻ数学建模中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２５－００４９－０３收稿日期:２０２３－０６－０５作者简介:李鑫斌(１９９４.２－)ꎬ从事高中数学教育研究.基金项目:福建省教育科学 十四五 规划２０２２年度 协同创新 (含帮扶项目)专项课题 新课程大单元理念下高中数学集体备课模式构建 (项目编号:Ｆｊｘｃｚｘ２２－０７３)㊀㊀齐一次分式函数是高中阶段重要的基本初等函数ꎬ可以看成是反比例函数的推广.从数学建模的角度看待该函数ꎬ可以将齐一次分式函数看成一种模型.借助齐一次分式函数模型解决数学问题往往可以化繁为简.形如ｆｘ()＝ａｘ＋ｂｃｘ＋ｄ的函数称为齐一次分式函数ꎬ图象有对称中心－ｄｃꎬａｃæèçöø÷ꎬ两条渐近线ｘ＝－ｄｃꎬｙ＝ａｃ.函数的图象夹在两条渐近线内.１在指数函数中的应用例１㊀已知函数ｆｘ()＝２ｘ－１２ｘ＋１ꎬ考查函数ｆｘ()在定义域上的单调性及值域.解析㊀定义域ｘɪＲ.令ｕ＝２ｘ>０ꎬｙ＝ｕ－１ｕ＋１.画出齐一次分式函数ｙ＝ｕ－１ｕ＋１的图象ꎬ如图１.图１㊀ｙ＝ｕ－１ｕ＋１的图象由于当ｕɪ０ꎬ＋ɕ()时ꎬｙ＝ｕ－１ｕ＋１单调递增ꎬｕ＝２ｘ在定义域上单调递增ꎬ所以函数ｆｘ()在Ｒ上单调递增.由于当ｕɪ０ꎬ＋ɕ()时ꎬｙɪ－１ꎬ１()ꎬ故ｆｘ()ɪ－１ꎬ１().２对数函数中的应用例２㊀已知函数ｙ＝ｆｘ()＝ｌｏｇａｘ－２ｘ＋２ꎬ其中ａ>０９４且ａʂ１.若对于ｘɪ－４ꎬ－３[]ꎬｆｘ()>ｌｏｇａ(ａ２－５ａ＋９)恒成立ꎬ求实数ａ的取值范围.解析㊀当ｘɪ－４ꎬ－３[]时ꎬ画出齐一次分式函数ｙ＝ｘ－２ｘ＋２的图象ꎬ如图２所示.图２㊀ｙ＝ｘ－２ｘ＋２的图象当ｘɪ－４ꎬ－３[]时ꎬｙ＝ｘ－２ｘ＋２单调递增ꎬｙɪ３ꎬ５[]ꎬ即ｘ－２ｘ＋２ɪ３ꎬ５[].由已知可得ｌｏｇａａ２－５ａ＋９()<ｆｘ()ｍｉｎ.当ａ>１时ꎬｆｘ()ɪｌｏｇａ３ꎬｌｏｇａ５[]ꎬ则ｌｏｇａａ２－５ａ＋９()<ｌｏｇａ３ꎬ此时２<ａ<３ꎻ当０<ａ<１时ꎬｆｘ()ɪｌｏｇａ５ꎬｌｏｇａ３[]ꎬ则ｌｏｇａａ２－５ａ＋９()<ｌｏｇａ５ꎬ此时０<ａ<１.所以ａɪ０ꎬ１()ɣ２ꎬ３().３在三角函数中的应用例３㊀求函数ｆｘ()＝ｓｉｎｘ２ｓｉｎｘ＋１的值域.解析㊀令ｔ＝ｓｉｎｘꎬｔɪ－１ꎬ－１２[öø÷ɣ－１２ꎬ１æèç].则ｙ＝ｔ２ｔ＋１.画出图象ꎬ如图３所示.图３㊀ｙ＝ｔ２ｔ＋１的图象显然当ｔɪ－１ꎬ－１２[öø÷ɣ－１２ꎬ１æèç]时ꎬｙɪ－ɕꎬ１３æèç]ɣ１ꎬ＋ɕ[).４在数列中的应用例４㊀设等差数列ａｎ{}满足ａ１＝１ꎬａｎ>０(ｎɪＮ∗)ꎬ其前ｎ项和为Ｓｎꎬ若数列Ｓｎ{}也为等差数列ꎬ则Ｓｎ＋１０ａ２ｎ的最大值是.解析㊀由已知有２Ｓ２＝Ｓ１＋Ｓ３ꎬ２２ａ１＋ｄ＝ａ１＋３ａ１＋３ｄ.故ｄ＝２.则ａｎ＝２ｎ－１ꎬＳｎ＝ｎ２.所以Ｓｎ＋１０ａｎ２＝ｎ＋１０()２２ｎ－１()２＝ｎ＋１０２ｎ－１æèçöø÷２.画出齐一次分式函数ｙ＝ｘ＋１０２ｘ－１图象.如图４.图４㊀ｙ＝ｘ＋１０２ｘ－１的图象当ｘɪ１２ꎬ＋ɕæèçöø÷时ꎬｙ＝ｘ＋１０２ｘ－１单调递增.由于ｎɪＮ∗ꎬ所以当ｎ＝１时ꎬＳｎ＋１０ａ２ｎ有最大值ꎬ为１２１.５在圆锥曲线中的应用例５㊀已知双曲线Ｃ的离心率为ｅꎬ左㊁右焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ点Ｍ在Ｃ的左支上运动且不与顶点重合ꎬ记Ｉ为ΔＭＦ１Ｆ２的内心ꎬλ＝ｔａｎøＩＦ１Ｆ２ｔａｎøＩＦ２Ｆ１ꎬ若ｅɪ２ꎬ４[]ꎬ则λ的取值范围为.解析㊀设ΔＭＦ１Ｆ２内切圆的半径为ｒꎬ则０５ｔａｎøＩＦ１Ｆ２＝ｒｃ－ａꎬｔａｎøＩＦ２Ｆ１＝ｒｃ＋ａ.故λ＝ｃ＋ａｃ－ａ＝ｅ＋１ｅ－１.画出齐一次分式函数ｙ＝ｘ＋１ｘ－１图象ꎬ如图５.图５㊀ｙ＝ｘ＋１ｘ－１的图象当ｘɪ２ꎬ４[]时ꎬｙ＝ｘ＋１ｘ－１单调递减.故当ｅɪ２ꎬ４[]时ꎬλɪ５３ꎬ３[].６综合性问题例６㊀已知函数ｆｘ()＝１－ｘｘ＋１２(ｘ>０).当ｍ>ｎ>０时ꎬ函数ｆｘ()的定义域与值域均为ｍꎬｎ[]ꎬ求所有ｍꎬｎ的值.解析㊀先画出齐一次分式函数ｙ＝１－ｘｘ的图象(如图６)ꎬ接着画出ｙ＝１－ｘｘ的图象(如图７)ꎬ最后画出ｙ＝１－ｘｘ＋１２的图象(如图８).图６㊀ｙ＝１－ｘｘ的图象当０<ｘɤ１时ꎬｙ＝１ｘ－１＋１２＝１ｘ－１２.当０<ｎ<１<ｍ时ꎬｆｘ()在ｘɪｎꎬｍ[]的最小值为ｆ１()＝１２.图７㊀ｙ＝｜１－ｘｘ｜的图象㊀㊀㊀㊀图８㊀ｙ＝｜１－ｘｘ｜＋１２的图象又ｆｘ()ɪｎꎬｍ[]ꎬ所以ｎ＝１２.由于当ｎ＝１２时ꎬｆ１２æèçöø÷＝３２ꎬ故当ｘɪ１２ꎬｍ[]时ꎬｆｘ()ɪ１２ꎬ３２[]ꎬ所以ｍ＝３２.齐一次分式函数在高中课本中并没有系统地讲解ꎬ但是在平时的解题中不乏出现它们的身影.高考试题中有时也会涉及到ꎬ主要考查图象的识别及其性质的应用[１].本文从数学建模的观点出发ꎬ将该函数看成一种模型ꎬ简要介绍了利用该模型来求解函数的值域问题.对于分式中的ｘꎬ除了把它看成单一的变量之外ꎬ更应该看成一个整体ꎬ是某一个表达式ꎬ如ｓｉｎｘꎬｃｏｓｘꎬａｘꎬｘ等ꎬ这是整体思想的一个体现[２].另外对于本文所举例题ꎬ其实不乏多解ꎬ但是综合分析比较ꎬ运用本文方法不仅容易理解㊁接受ꎬ而且容易将其推广至一类题目ꎬ具有探究价值.正如马丁 迦德纳所言:数学的真谛在于不断寻求越来越简单的方法解决复杂问题.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[２]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.普通高中数学课程标准解读(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]１５。
湘教版高考总复习数学精品课件 第3章函数与基本初等函数 课时规范练 幂函数、对勾函数及一次分式函数
4 + 3sin
11.函数f(x)= 2-sin 的值域为
解析 设 t=sin x,则-1≤t≤1,且
1
[ ,7]
3
4+3
8
y=
=-3+ ,函数
2-
2-
.
4+3
y=
图象的两条渐近线分
2-
别为 t=2 和 y=-3,且过点(0,2),所以由图象(图略)可知
调递增,故
1
ymax=7,ymin=3,从而
( BCD )
A.f(x)在区间(1,+∞)单调递增
B.f(x)图象关于y轴对称
C.f(x)在定义域内只有1个零点
D.f(x)的值域为[0,1]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
解析
4
3
由于 f(2)=5,f(3)=5,所以 f(2)>f(3),因此 f(x)在区间(1,+∞)内不是单调递增
1
1 α 1
f(3)=(3) =3
=
1
,故选
4
B.
2.(2024·上海浦东模拟)设m∈R,若幂函数y= 2 -2+1 定义域为R,且其图
象关于y轴对称,则m的值可以为( C )
A.1
B.4
C.7
D.10
解析 由题意知m2-2m+1>0⇒m≠1,因为其图象关于y轴对称,所以函数为偶
函数,则结合选项m的值可以为7,故选C.
-
-1 > 8-2,
调递减,因为 f(a-1)<f(8-2a),可得 -1 > 0,
8-2 > 0,
解得 3<a<4,即实数 a 的取值范围为(3,4).
专题11 一次分式函数
专题11 一次分式函数【方法点拨】1． 一次分函数的定义我们把形如(0,)cx dy a ad bc ax b +=≠≠+的函数称为一次分式函数. 2． 一次分式函数(0,)cx dy a ad bc ax b+=≠≠+的图象和性质（1）图象：.（2）性质：①定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x ；2.3 值域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠a c y y ； ②对称中心：⎪⎭⎫⎝⎛-a c ab ,； ③渐近线方程：b x a =-和cy a=； ④单调性：当ad>bc 时，函数在区间(,)ba-∞-和(,)ba-+∞分别单调递减；当ad<bc 时，函数在区间(,)b a -∞-和(,)ba-+∞分别单调递增. 【典型例题】例1 设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b ](a <b )，集合N ={M x x f y y ∈=),(}，则使M =N 成立的实数对(a ，b )有几个？【解析】函数f （x ）= (0)11(0)1x x x x xx x x ⎧-≥⎪⎪+-=⎨+⎪-<⎪-⎩其图象如下图所示，由图象可知，y =f （x ）在Ｒ上是连续单调递减函数。
而N =｛y |y =f （x ），x ∈M ｝表示函数定义域为Ｍ＝［a ，b ］时其值域为Ｎ。
由Ｍ＝Ｎ得解得a =b =0，这与a <b 矛盾，所以0个.例2 已知函数2()1ax af x x +-=+，其中a R ∈.(1)当函数()f x 的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a 的值； (2)若函数()f x 在(－1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围. 【答案】（1）a ＝3； （2）{}1a a <. 【分析】(1)部分分式2(1)2222()111ax a a x a af x a x x x +-++--===++++ 所以()f x 的对称中心为(－1，a )，与P(－1，3)比较得a ＝3. (2)由2()1ax af x x +-=+知x ＝－1为()f x 的一条渐近线，又由一次分函数的性质知，当且仅当1(2)1a a ⨯->⨯，即a <1时，()f x 在(－1,+∞)上单调递减，故a 的范围是{}1a a <. 点评：一次分式型函数的最常用变形手段“部分分式”（其核心就是分子‘凑’分母），其常用方法有凑配、换元、长除法等.例3 求函数2121x x y -=+的值域.【答案】（－1,1）【分析】令2(0)xt t =>，则2121x x y -=+为11t y t -=+与2(0)x t t =>复合而成而12111t y t t -==-++，故在0t >递增，所以1y >- 又当t →+∞时，1y →故2121x x y -=+的值域是（－1,1）.【巩固练习】1．函数y=432-+x x 的值域 ．2．函数y=432-+x x （21><x x 或）的值域 ．3．函数y=42-+-x x 的对称中心是 ．4．函数y=42-+-x x 的单调增区间是 ．5．已知函数()x f =ax x -+-2，若*∈∀N x ，()()5f x f ≤恒成立，则a 的取值范围是 ．5．若函数2+-=x b x y 在区间()4,+b a 上的值域为()+∞,2，则=ba ______________． 6．记函数)(x f 的定义域为D ，若存在D x ∈0，使()00x x f =成立，则称以()00,y x 为坐标的点是函数)(x f 的图象上的“稳定点”.若函数()ax x x f +-=13的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，求实数a 的取值范围.()2-<b【答案与提示】1．【答案】 13y y ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭2．【答案】 ()()2,11,3⋃- 3．【答案】（4，-1）4．【答案】 ()()+∞∞-,4,4, 5．【答案】65<<a 5．【答案】1616．【答案】【解析】由题意：方程x ax x =+-13，即()0132=+-+x a x 有两个不等于-a 的相异实根， ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠+--+->--=∆∴01304322a a a a 3115-≠<>⇒a a a 且或.。
高考题中的一次分式函数图象问题
高考题中的一次分式函数图象问题
陆建强
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】2006(000)003
【摘要】函数图象是高考的必考内容，在这几年的高考中再现率很高．一次分式函数的图象综合了平移变换、伸缩变换，有时还涉及到对称变换，所以一直被高考命题者看好．
【总页数】1页(P37)
【作者】陆建强
【作者单位】江苏省宜兴市阳羡高级中学,214200
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.部分分式法在求解函数问题中的妙用 [J], 胡小平;胡廷娇;陈容;兰秘
2.高考试题中有关函数图象的考查分析 [J], 袁文贵
3.课例：一次函数的图象（第1课时）——正比例函数的图象 [J], 黎春玉;
4.应重视以抽象函数为背景的高考函数命题趋势——近几年高考试题中的抽象函数问题的评析与思考 [J], 袁建民;熊群;刘南山
5.用《几何画板》探究一次函数的图象与性质——兼介绍课件《一次函数的图象与性质》的制作 [J], 王海凌;曾庆丰
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苏州市学案
一、课前准备：
【自主梳理】
1．一次分函数的定义
我们把形如y cx d (a ax b 2．一次分函数的图象和性质y cx d ( a 0, ad bc ) ax b
2.1 图象：其图象如图所示
.
y
x
b
a
b c o x
(, )
a a
ax+b
一次分式型函数y = cx+d (x∈D) 0, ad bc) 的函数称为一次分函数。
y
o c x
y
a
y c b c
( , )
a
ad bc
a a
x b
ad
bc
a
2.2 定义域：2.3 值域：x x
b
；
a y y
c
；
a
2.4 对称中心：b ,
c；
a a
2.5 渐近线方程： x b和 y c ；
a a
2.6 单调性：当 ad>bc 时，函数在区间
( ,
b ) 和
(
b , ) 分别单调递减；
当
ad<bc 时，
函
b) 和 ( b
,
a a
数在区间
( ,
) 分别单调递
增；
a a
【自我检测】
1．函数 y 1
1
．的图象是
x 1
y y y y 1 1 1
1 O
1
x
O
1
-1
O x
-1 O x
x
(A) (B) (C) (D) 2．函数 f ( x)
3x 1
的定义域是 ．
1 x x x 1
3．
y
0 的值域是 ． x 4．函数 f
( x)
2x 1
的单调增区间是 ． x 3
5．函数 f
( x)
2x 1
的对称中心是 ． x 3
6．函数 f ( x) x 是
函数．（填 “奇 ”“偶 ”“非奇非
偶 ”）
x
二、课堂活动：
【例 1】填空题：
（ 1）函数 f
( x)
2x 1
（ x 2,5 ），则 f x 的值域是 ________． x 3
（ 2）函数 f
( x)
2x 1
（ x 5, 4 (2,5) ），则 f x 的值域是 ________． x 3
（ 3）已知函数 f
x
2x 1
，若 x N ， f x f 5 恒成立，则 a 的取值范围是 ． x a （ 4）若函数 f
(x) 2x 1
的图象关于直线 y ＝ x 对称，则实数 a ＝
.
x a
2 】（ 2004 年 江 苏 ） 设 函 数 f ( x) x
【
例
(x R) ， 区 间 M=[a ， b](a<b) ，
集 合
1 x
N={ y y f (x), x M } ，则使 M=N 成立的实数
对 (a ， b)有几个？
【例 3】已知函数 f
( x) ax 2 a，其中 a R 。
x 1
(1)当函数 f ( x) 的图象关于点P(－ 1，3)成中心对称时，求 a 的值及不等式
f ( x)
x 1的
解
集；
(2)若函数f ( x) 在 (－ 1,+ )上单调递减，求 a 的取值范围 .
课堂小结
高考试题对一次分式函数的考查，主要体现在对一次分式函数图象的识别和性质的应用上。
因此，抓住了以上七个方面的内容，也就抓住了解决一次分式函数试题的要害，也就能有效地解决一次分式函数问题。
三、课后作
业
1．函数 y= x 2
的值域 ．
3x 4
2．函数 y= x 2
（ x 1或 x
2 ）的值域
． 3x 4
3．函数 y= x
2
的对称中心是
． x 4
4．函数 y= x 2 的单调增区间是 ．
x 4 5．已知函数 f x = x 2
，若若 x N ， f x f 5 恒成立，则 a 的取值范围
是 ．
x 1 x a
6．设曲线 y 在点（ 3， 2）处的切线与直
线 ax y 1 0 垂直，则 a= ．
x 1 7．若函数
y
x b 在区间 a,b 4 b 2 上的值域为 2, ，则 a b
______________ ． x 2
x 1
4x x 的零点是 ______________ ．
8．若函数 f (x) ，则函数 g x f x 9．记函数 f (x) 的定义域为 D ，若存在 x 0 D ，使 f x 0 x 0 成立，则称以 x 0 , y 0 为坐标的 点是函数 f ( x) 的图象上的 “稳定点 ”。
若函数 f x 3x 1
的图象上有且只有两个相异的 “稳定 x a
点 ”，求实数 a 的取值范围。
10．已知函数 f x x 1 a (x a),
a x
（ 1）证明：对定义域内的所
有x，都有 f 2a x f x 2 0 。
（ 2）当 f
x 的定义域为 a 1 , a 1 时，求 f x 的值域。
2
四、纠错分析
题号错题原因分析
错
题
卡
答 案 ：【 自 我 检 测 】 1 ． B
2 ．
x x1
3 ． y y1 4．
, 3 , 3, 5． （ -3，
2）
例
1． （ 1）
5, 9 （ 2） 3
, 9
11,9
8 5 8
2 （ 3） 5 a 6（ 4） a ＝－
2.
y
x
0)
x 1 ( x
例 2． 分析：函数 f
（ x ） = - x
O x
1 x x
( x
0)
1 x
其图象如右图所示，由图象可
知，
y=f （ x ）在Ｒ上是连续单调递减函数。
而 N= ｛ y|y=f （ x ）， x ∈ M ｝表示函数定义域为Ｍ＝［ a ， b ］时其值域为Ｎ。
由Ｍ＝Ｎ得解得 a=b=0，这与 a<b 矛盾，
所以 0 个 .
点评：本题考查了一次分式函数、分段函数的解析式、单调性和函数的定义域、值
域与集合等知识。
解题过程是由定义域与值域相等的特性建立方程，考查方程的思想和创新能力。
其中，函数大致图象的作出起到了关键作用。
例 3 分析： (1)函数 f ( x) ax 2
a
的对称中心为 (－1， a)，与 P(－ 1， 3)比
较得 a
x 1
＝ 3。
此时 f ( x)
3x 1
，不等式 f ( x) x 1，即 3x
1 x 1
3x 1 ( x 1) 0 x(x 3) x 1 x
1
x 1
x(x 1)( x 30 0 ，由序轴标根法即得解集为 x x 1或 0 x 3 ；
x 0
1 (2)由 f ( x) ax
2 a
知 x ＝ -1 为 f ( x) 的一条渐近线， 又由一次分函数的性质 2.6 知，当
x 1
且仅当 1 (2 a) 1 a ，即 a<1 时， f ( x) 在 (－
1,+ )上单调递减，故 a 的范围是 a a 1 。
三、课后作业
1
1．
y y
3 2．3,1 1,2 3．（4， -1）4．,
4 , 4,
5． 5 a 6
6．-2
1
7．
16
1
8．
2
3x 1
9．解：由题意：方程
x a
2
x ，即 x 2 a 3 x 1 0有两个不等于 -a 的相异实根，
a 3 4 0
a 2 a 3 a 1 0 a 5或 a 1且
a
1
3
10．（1）略（ 2）
f x x 1 a 1 1， f x 在 a 1
,a 1 上单调递增，
所
a x x a 2
以 f x 的值域
为3, 1 。