一次分式函数

苏州市学案

一、课前准备：

【自主梳理】

1．一次分函数的定义

我们把形如y cx d (a ax b 2．一次分函数的图象和性质y cx d ( a 0, ad bc ) ax b

2.1 图象：其图象如图所示

.

y

x

b

a

b c o x

(, )

a a

ax+b

一次分式型函数y = cx+d (x∈D) 0, ad bc) 的函数称为一次分函数。

y

o c x

y

a

y c b c

( , )

a

ad bc

a a

x b

ad

bc

a

2.2 定义域：2.3 值域：x x

b

；

a y y

c

；

a

2.4 对称中心：b ,

c；

a a

2.5 渐近线方程： x b和 y c ；

a a

2.6 单调性：当 ad>bc 时，函数在区间

( ,

b ) 和

(

b , ) 分别单调递减；

当

ad

函

b) 和 ( b

,

a a

数在区间

( ,

) 分别单调递

增；

a a

【自我检测】

1．函数 y 1

1

．的图象是

x 1

y y y y 1 1 1

1 O

1

x

O

1

-1

O x

-1 O x

x

(A) (B) (C) (D) 2．函数 f ( x)

3x 1

的定义域是 ．

1 x x x 1

3．

y

0 的值域是 ． x 4．函数 f

( x)

2x 1

的单调增区间是 ． x 3

5．函数 f

( x)

2x 1

的对称中心是 ． x 3

6．函数 f ( x) x 是

函数．（填 “奇 ”“偶 ”“非奇非

偶 ”）

x

二、课堂活动：

【例 1】填空题：

（ 1）函数 f

( x)

2x 1

（ x 2,5 ），则 f x 的值域是 ________． x 3

（ 2）函数 f

( x)

2x 1

（ x 5, 4 (2,5) ），则 f x 的值域是 ________． x 3

（ 3）已知函数 f

x

2x 1

，若 x N ， f x f 5 恒成立，则 a 的取值范围是 ． x a （ 4）若函数 f

(x) 2x 1

的图象关于直线 y ＝ x 对称，则实数 a ＝

.

x a

2 】（ 2004 年 江 苏 ） 设 函 数 f ( x) x

【

例

(x R) ， 区 间 M=[a ， b](a

集 合

1 x

N={ y y f (x), x M } ，则使 M=N 成立的实数

对 (a ， b)有几个？

【例 3】已知函数 f

( x) ax 2 a，其中 a R 。

x 1

(1)当函数 f ( x) 的图象关于点P(－ 1，3)成中心对称时，求 a 的值及不等式

f ( x)

x 1的

解

集；

(2)若函数f ( x) 在 (－ 1,+ )上单调递减，求 a 的取值范围 .

课堂小结

高考试题对一次分式函数的考查，主要体现在对一次分式函数图象的识别和性质的应用上。因此，抓住了以上七个方面的内容，也就抓住了解决一次分式函数试题的要害，也就能有效地解决一次分式函数问题。

三、课后作

业

1．函数 y= x 2

的值域 ．

3x 4

2．函数 y= x 2

（ x 1或 x

2 ）的值域

． 3x 4

3．函数 y= x

2

的对称中心是

． x 4

4．函数 y= x 2 的单调增区间是 ．

x 4 5．已知函数 f x = x 2

，若若 x N ， f x f 5 恒成立，则 a 的取值范围

是 ．

x 1 x a

6．设曲线 y 在点（ 3， 2）处的切线与直

线 ax y 1 0 垂直，则 a= ．

x 1 7．若函数

y

x b 在区间 a,b 4 b 2 上的值域为 2, ，则 a b

______________ ． x 2

x 1

4x x 的零点是 ______________ ．

8．若函数 f (x) ，则函数 g x f x 9．记函数 f (x) 的定义域为 D ，若存在 x 0 D ，使 f x 0 x 0 成立，则称以 x 0 , y 0 为坐标的 点是函数 f ( x) 的图象上的 “稳定点 ”。若函数 f x 3x 1

的图象上有且只有两个相异的 “稳定 x a

点 ”，求实数 a 的取值范围。