束缚态和散射态
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图所示。
当 时，
量子概率分布过渡到经典概率分布
符合玻尔对应原理
③跃迁有选择定则：
跃迁只能逐级进行
各跃迁发出的谱频率相同，只有一条谱线
例题：设粒子处在一维无限深势阱中，
处于基态 ，求粒子的动量分布。
解：分析——由 对称，解为偶宇称态，很容易求出此对称方势阱当 时的波函数 。这是粒子按照位置的分布。按照动量的分布只要作Fourier变换即可。
可得出 ，
是势的特征长度。
这样归一化的束缚定态波函数可写为
这是δ势阱中的唯一束缚态。属于能量 。
在 中找到粒子的几率为
(b)奇宇称态
波函数可表为
由 点波函数连续性条件可得 ，所以不可能存在奇宇称束缚定态。
从物理上考虑，奇宇称态在波函数 点必为0。而δ势阱又恰在点 起作用。
所以δ势阱对奇宇称态没有影响，故而不能形成束缚态（参见P60思考题）。
（2）求实际解
利用 ，有，
代入方程（4）得所满足的方程，
这就是所谓的Hermite方程。
为方程的常点。可在 邻域用幂级数展开。
计算表明，一般情况下解为无穷级数。
当 时， ，不能满足有界条件。
为得到有界解，幂级数要求中断为一多项式。
可以证明，当 时可以得出一多项式解
此时 ，n= 0, 1, 2, …
第二项称为n界厄米多项式，宇称为 （？）
与 势垒跃变条件比较：
在 区域，Schrodinger方程可以写成为
其中 ，
解为 ，可写为 ，
利用边界条件可以知道以上两结论是一致的。
考虑到 ，要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是一维），
(a)偶宇称态
或写成
c为归一化因子。现在根据跃变条件求解。
按 的跃变条件，
因此可得出粒子能量的本征值
由归一化条件 ，
m是粒子的质量
k是谐振子的劲度系数
是谐振子的角频率
二、薛定谔方程及解
或
理想的谐振子是一个无限深势阱。因为 时， ， 为束缚态。
为化简上述方程，便于求解，引进无量纲参数，
， ，
上述方程可化为
这是个变系数常微分方程。
（1）先讨论 行为，求渐进解（此时 可略去）
对方程
其解显然可以写为 ，因为
，
根据束缚态边界条件，有 ，
作业：p82 13
§3.5 一维谐振子
经典物理的谐振子模型：分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等
量子物理的谐振子模型：黑体辐射 场量子化 等，
把场中的粒子看作谐振子
一维谐振子的本征值问题是处理量子力学问题的最基本的范例。
一、势函数
选线性谐振子的平衡位置为坐标原点，以坐标原点为零势能点，则一维线性谐振子的势能为：
束缚态和散射态
量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态
束缚态：在势阱中E<V0情况下，束缚态能量是分立的，是束缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。由前面的讨论可知，在一定的边界条件下，只有某些本征值所对应的解才是有物理意义的。
散射态：是能量连续的态，此时能量间隔趋于0，态函数是自由粒子平面波的叠加。对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在
虚线代表经典结果： 经典谐振子在原点速度最大，停留时间短
粒子出现的概率小； 在两端速度为零，出现的概率最大。
讨论：
①微观一维谐振子能量量子化
，
能量特点：
(1)量子化，等间距
(2)有零点能
符合不确定关系
概率分布特点:E<V区有隧道效应
②基态的性质
零点能
这是束缚态的一个典型特征，是测不准原理的一个直接结果。
满足下列递推关系，
是 的 次多项式。
归一化波函数为 ，
是一个实函数
其中 。
在求归一化系数A时，要用到厄米多项式的正交关系，
所以归一化波函数为
最常用的几个态，
，基态， ， （偶宇称）
，第一激发态， ， （奇宇称）
，第二激发态， ， （偶宇称）
线性谐振子波函数
线性谐振子位置概率密度
线性谐振子n=11时的概率密度分布
可以求得
而
或 ，（ ）
则动量在 间的几率为 。
其中
（注意：这里不能用δ函数来表示上述积分）
作业：P81-82 6, 8, 11
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分别处理的。实际上二者有极其密切的联系。下面将予以讨论
2、 势阱中的束缚态
对 势阱，有
，
见右图。
在 处， 。
为游离态（自由态），E可取任何连续值。
时则可能存在束缚态，此时E取分立值。以下讨论 的情况。
定态Schrodinger方程为，
积分 可得出 势阱跃变条件，
基态位置概率分布
是个Gauss分布
量子：在x= 0处概率最大
在其它范围也能找到粒子。
经典：在 处的粒子速率最大，概率最小。
基态谐振子只允许在 （ ）的区域中运动，而 为经典禁区。
在 处，势能
为总能量。
为振动转折点， 属于经典禁区。
见右图。
但按照量子力学观点，粒子仍有一定几率出现在这个区域。容易算出此几率为
其中 。
显然 ，而且 。
现在让 ， ，而对δ势垒， （？）
若保持 （常数），则方势垒将趋于一个δ势垒 。
利用 ， 得，
当 ， （Hale Waihona Puke Baidu持 ）时，
但
且当 时，
代入 ，
由 得
即
此恰为前述 的跃变条件。
2、束缚能级与透射振幅极点的关系
束缚能级与散射问题有着密切的关系。下面以一维势阱为例进行分析。
散射问题中我们取 ，而在势阱束缚态的 。
对 的透射振幅，
如把 的透射振幅解析延拓到 时，我们来研究束缚能级与透射振幅极点的关系。
先讨论δ函数势阱，
，
此时透射振幅由
其中 ， 。
（注意已将势垒透射振幅表达式中的 ）
如解析延拓到E<0能阈（k为虚），由 ，则S有单极点（一阶极点 ）。
此时，
由前可知，此恰为δ势阱的唯一束缚能级。
对于方势阱，其解析延拓情况可参阅教材相关内容。
2、 势与方势的关系， 跃变的条件
δ势是一种短程相互作用的理想模型，可堪称方位势的一种特殊情况，原则上，它可以从方势的解取极限而得到。
从δ势求解更为方便。 不连续，但粒子流密度 连续。
以下仅讨论 的跃变条件。
考虑粒子对方势垒的散射。
在其内部，Schrodinger方程为
考虑粒子能量 情况，在势垒内部（ ），波函数可表为
当 时，
量子概率分布过渡到经典概率分布
符合玻尔对应原理
③跃迁有选择定则：
跃迁只能逐级进行
各跃迁发出的谱频率相同，只有一条谱线
例题：设粒子处在一维无限深势阱中，
处于基态 ，求粒子的动量分布。
解：分析——由 对称，解为偶宇称态，很容易求出此对称方势阱当 时的波函数 。这是粒子按照位置的分布。按照动量的分布只要作Fourier变换即可。
可得出 ，
是势的特征长度。
这样归一化的束缚定态波函数可写为
这是δ势阱中的唯一束缚态。属于能量 。
在 中找到粒子的几率为
(b)奇宇称态
波函数可表为
由 点波函数连续性条件可得 ，所以不可能存在奇宇称束缚定态。
从物理上考虑，奇宇称态在波函数 点必为0。而δ势阱又恰在点 起作用。
所以δ势阱对奇宇称态没有影响，故而不能形成束缚态（参见P60思考题）。
（2）求实际解
利用 ，有，
代入方程（4）得所满足的方程，
这就是所谓的Hermite方程。
为方程的常点。可在 邻域用幂级数展开。
计算表明，一般情况下解为无穷级数。
当 时， ，不能满足有界条件。
为得到有界解，幂级数要求中断为一多项式。
可以证明，当 时可以得出一多项式解
此时 ，n= 0, 1, 2, …
第二项称为n界厄米多项式，宇称为 （？）
与 势垒跃变条件比较：
在 区域，Schrodinger方程可以写成为
其中 ，
解为 ，可写为 ，
利用边界条件可以知道以上两结论是一致的。
考虑到 ，要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是一维），
(a)偶宇称态
或写成
c为归一化因子。现在根据跃变条件求解。
按 的跃变条件，
因此可得出粒子能量的本征值
由归一化条件 ，
m是粒子的质量
k是谐振子的劲度系数
是谐振子的角频率
二、薛定谔方程及解
或
理想的谐振子是一个无限深势阱。因为 时， ， 为束缚态。
为化简上述方程，便于求解，引进无量纲参数，
， ，
上述方程可化为
这是个变系数常微分方程。
（1）先讨论 行为，求渐进解（此时 可略去）
对方程
其解显然可以写为 ，因为
，
根据束缚态边界条件，有 ，
作业：p82 13
§3.5 一维谐振子
经典物理的谐振子模型：分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等
量子物理的谐振子模型：黑体辐射 场量子化 等，
把场中的粒子看作谐振子
一维谐振子的本征值问题是处理量子力学问题的最基本的范例。
一、势函数
选线性谐振子的平衡位置为坐标原点，以坐标原点为零势能点，则一维线性谐振子的势能为：
束缚态和散射态
量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态
束缚态：在势阱中E<V0情况下，束缚态能量是分立的，是束缚态边界条件下求解定态波动方程的必然结果。由前面的讨论可知，在一定的边界条件下，只有某些本征值所对应的解才是有物理意义的。
散射态：是能量连续的态，此时能量间隔趋于0，态函数是自由粒子平面波的叠加。对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在
虚线代表经典结果： 经典谐振子在原点速度最大，停留时间短
粒子出现的概率小； 在两端速度为零，出现的概率最大。
讨论：
①微观一维谐振子能量量子化
，
能量特点：
(1)量子化，等间距
(2)有零点能
符合不确定关系
概率分布特点:E<V区有隧道效应
②基态的性质
零点能
这是束缚态的一个典型特征，是测不准原理的一个直接结果。
满足下列递推关系，
是 的 次多项式。
归一化波函数为 ，
是一个实函数
其中 。
在求归一化系数A时，要用到厄米多项式的正交关系，
所以归一化波函数为
最常用的几个态，
，基态， ， （偶宇称）
，第一激发态， ， （奇宇称）
，第二激发态， ， （偶宇称）
线性谐振子波函数
线性谐振子位置概率密度
线性谐振子n=11时的概率密度分布
可以求得
而
或 ，（ ）
则动量在 间的几率为 。
其中
（注意：这里不能用δ函数来表示上述积分）
作业：P81-82 6, 8, 11
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分别处理的。实际上二者有极其密切的联系。下面将予以讨论
2、 势阱中的束缚态
对 势阱，有
，
见右图。
在 处， 。
为游离态（自由态），E可取任何连续值。
时则可能存在束缚态，此时E取分立值。以下讨论 的情况。
定态Schrodinger方程为，
积分 可得出 势阱跃变条件，
基态位置概率分布
是个Gauss分布
量子：在x= 0处概率最大
在其它范围也能找到粒子。
经典：在 处的粒子速率最大，概率最小。
基态谐振子只允许在 （ ）的区域中运动，而 为经典禁区。
在 处，势能
为总能量。
为振动转折点， 属于经典禁区。
见右图。
但按照量子力学观点，粒子仍有一定几率出现在这个区域。容易算出此几率为
其中 。
显然 ，而且 。
现在让 ， ，而对δ势垒， （？）
若保持 （常数），则方势垒将趋于一个δ势垒 。
利用 ， 得，
当 ， （Hale Waihona Puke Baidu持 ）时，
但
且当 时，
代入 ，
由 得
即
此恰为前述 的跃变条件。
2、束缚能级与透射振幅极点的关系
束缚能级与散射问题有着密切的关系。下面以一维势阱为例进行分析。
散射问题中我们取 ，而在势阱束缚态的 。
对 的透射振幅，
如把 的透射振幅解析延拓到 时，我们来研究束缚能级与透射振幅极点的关系。
先讨论δ函数势阱，
，
此时透射振幅由
其中 ， 。
（注意已将势垒透射振幅表达式中的 ）
如解析延拓到E<0能阈（k为虚），由 ，则S有单极点（一阶极点 ）。
此时，
由前可知，此恰为δ势阱的唯一束缚能级。
对于方势阱，其解析延拓情况可参阅教材相关内容。
2、 势与方势的关系， 跃变的条件
δ势是一种短程相互作用的理想模型，可堪称方位势的一种特殊情况，原则上，它可以从方势的解取极限而得到。
从δ势求解更为方便。 不连续，但粒子流密度 连续。
以下仅讨论 的跃变条件。
考虑粒子对方势垒的散射。
在其内部，Schrodinger方程为
考虑粒子能量 情况，在势垒内部（ ），波函数可表为