第三章 机器数的表示
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1
阶 符
1
0
0
尾 符
1
0 尾数
0
1
阶码
计算机组成原理
第二节 定点数的原码、反码和补码
1. 定点数的原码表示
原码：真值x的符号数值化后的机器数，记[x]原 1) 正数的原码 真值x=+11010,n=6,则[x]原=[+11010]原=011010 即： [x]原=x+2n (0<x<2n-1) n为字长
2) 负数的反码 真值x=-11010,则[x]反=[-11010]反=100101 即： [x]反=2n-1+x (-2n-1 <x< 0) 3) 0的反码 正0的反码 [x]反=[+00000]反=000000 负0的反码 [x]反=[-00000]反=111111
计算机组成原理
第二节 定点数的原码、反码和补码
2. 定点数的反码表示
综上，字长为n的定点整数的反码定义为： x+2n (0≤x<2n-1) [x]反 = n 2 -1+x (-2n-1<x≤0)
字长为n的定点纯小数的反码定义为： x+2 (0≤x<1) [x]反= 2-2-(n-1)+x (-1<x≤0) 结论：正数的反码和原码相同，负数的反码 是对其原码除符号位外各位取反。
3. 浮点数的表示
3) 浮点数的模4补码表示如何判断溢出
溢出：当尾数用模4补码表示时，符号位为01 或10时，表示尾数溢出。尾数溢出不能说明 浮点数溢出，要进行判断。 判断溢出的步骤及例题如P39 讲：
00
11 00
001
001 111
01
10 01
0000
1000 0100
右规处理 右规处理 右规处理
计算机组成原理
第二节 定点数的原码、反码和补码
4.三种编码的总结和比较
3）加减运算 补码和反码的符号位可作为数值的一部分看待，可以和 数值位一起参加运算。 原码的符号位必须和代表绝对值的数值位分开处理。
4）表数范围 原码和反码的表数范围相对零来说是对称的。n位时，原 码和反码的表数范围都是：整数：±（2n-1-1）； 小数： ±（1-2-n+1） 补码的表示范围不对称，负数表示的范围较正数宽， 能多表示一个最小负数：-2n-1 或-1
字长为n的机器数，用2位表示符号位，则负 数的变形补码表示为： [x]变补=2n+x (-2n-2≤x< 2n-2 ) [x]变补=2+x (-1≤x<1) [-11010]变原=1111010 [11010]变原=0011010 [-11010]变反=1100101 [11010]变反=0011010 [-11010]变补=1100110 [11010]变补=0011010
0 0 … 0 1 1 1 …
2-n ≤X≤1-2-n 结论：机器数在表示时，是有一定范围的。
计算机组成原理
最小值 n位
最大值 n位
第一节 机器数的特点
3. 符号的数值化
当数字是有符号数时，把最高位当作符号位； 规定：用“0”代表正号+；用“1”代表负号-。
0 1 0 1 0 0 1
表示+101001
当用移码表示阶码时， 0≤ [x]移< 2n
1位 尾符 阶码 尾数
计算机组成原理
第三节 变形码、移码和浮点数表示
3. 浮点数的表示
例题：P40例3.17
(10)10=23 ×1.25
0 00000000011 +01111111111 0 10000000010 4 0 2
(0.25)10 =(0.01)2
由Ｎ＝2E ×Ｍ
所以该机器数所能表示的浮点数最大值为27 ×(1-2-11) 最小值为27 ×(-1) 最小绝对值为2-8 ×2-11
计算机组成原理
第三节பைடு நூலகம்变形码、移码和浮点数表示
3. 浮点数的表示
2) 规格化浮点数的尾数及其模4补码的形式
模4补码形式: 符号位有4种形式，即00、01、10、11
10·00 · ·
-2n-1
10·01 · ·
-(2n-1-1)
11·11 · · -1
00·00 · ·
0 补码
00·01 · ·
01·11 · · 2n-1-1
1
计算机组成原理
第三节 变形码、移码和浮点数表示
1. 变形码 变形码：符号位有多位，每位都是1表示负， 每位都是0表示正。
变形码的表示：有变形原码、变形反码、变形补码 三种形式。
8 位移码表示的机器数是其对应的真值在数轴上向右平 移了 128 个位置。 负数 正数 +127 机器数
0
-128
移码表示范围： 00000000 ~ 11111111
计算机组成原理
第三节 变形码、移码和浮点数表示
2. 定点数的移码
几个问题： 1、符号问题
2、0的移码 0的移码也具有0的唯一性 3、 -2n-1的移码 [-2n-1]移= 2n-1 -2n-1 = 0 4、与补码的关系 [x]补= 2n+x = 2n-1 + 2n-1 + x= 2n-1 + [x]移 同一个真值的补码与移码的异同是： 数值部分相同，而符号位正好相反。
1 1 0 0 1 0 1
表示-100101
计算机组成原理
第一节 机器数的特点
4. 小数点的位置有一定的约定方式
在机器数中，根据小数点的位置是否固定分为定点表示和浮点表示。
定点表示：小数点的位置固定不变。
Xn-1 Xn-2Xn-3…X1X0 Xn-1 Xn-2Xn-3…X1X0
浮点表示：小数点的位置不定。则二进制数 X可以表示成：X=2r· x。r为阶码,x为尾数。
00
11 01
010
010 000
00
11 00
1000
0100 1010
无 无 溢出
计算机组成原理
第三节 变形码、移码和浮点数表示
3. 浮点数的表示
4) 浮点数的一般表示格式
1位 1位
尾符
阶符
阶码
尾数
阶码用移码表示，好处是阶码的符号位可以省略
即：由[x]移=2n-1+x (-2n-1≤x< 2n-1 )可知：
计算机组成原理
第二节 定点数的原码、反码和补码
4.三种编码的总结和比较
1）机器数与真值间的转换 对于正数:符号为0，其数值部分同真值的数值部分； 对于负数:符号为1，数值位各有不同的表示：
原码：同真值的数值位相同
补码：真值的数值位各位取反，末位加1。 反码：真值的数值位各位取反。 2）零的表示
原码和反码都有+0和-0两种零的表示法； 补码可唯一表示零。
即： [x]补=2n+x (-2n-1 <x< 0)
计算机组成原理
第二节 定点数的原码、反码和补码
3. 定点数的补码表示
3) 0的补码 正0的补码 [+0]补= 2n+(+0) =000000
负0的补码 [-0]补 = 2n+(-0) =000000 可知： 正0与负0相等，即0在补码上具有唯一性。 4) -2n-1的补码 [-2n-1]补= 2n+(-2n-1) = 2n-1 (2-1)= 2n-1 = [2n-1]补
2) 负数的原码 真值x=-11010,则[x]原=[-11010]原=111010 即： [x]原=2n-1-x (-2n-1 <x< 0) 3) 0的原码 [+0]原=000000
[-0]原=100000
计算机组成原理
第二节 定点数的原码、反码和补码
1. 定点数的原码表示
综上，字长为n的定点整数的原码定义为： x+2n (0≤x<2n-1) [x]原 = n-1 2 -x (-2n-1<x≤0)
计算机组成原理
第二节 定点数的原码、反码和补码
3. 定点数的补码表示
补码：正数的补码和原码相同，负数的补码是 对其原码除符号位外各位取反加1，记[x]补 1) 正数的补码
[x]补=[x]原 2) 负数的补码 即：[x]补= 2n + x (0<x<2n-1)
真值x=-11010,则[x]补=[-11010]反+ 1 =100110
1
0
1
1
0
1
0
计算机组成原理
第三节 变形码、移码和浮点数表示
3. 浮点数的表示
练习：P38例3.14
解：可知
[x]补=2n+x (-2n-1≤x< 2n-1 ) [x]补=2+x (-1≤x<1)
4位阶码是整数，用补码所能表示的最大值和最小值分别为： 24-1-1 =7和-24-1 =-8 12位尾数是纯小数，它所能表示的补码最大值和最小值为： 1-2-11和-1
计算机组成原理
第三节 变形码、移码和浮点数表示
3. 浮点数的表示
1) 浮点数的原、反、补码表示 即是把浮点数的阶码和尾数用原、反或补 码表示 把浮点数x=2-11×0.11010分别用原码、反 码、补码表示如下：
原码： 反码： 补码：
1 0 1 1 0 1 1 0 1 0
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0100 (1023)10 … 0
移码表示 0100 … 0 4 0000 0000 0000
计算机组成原理
(10)10的十六进制表示为(4024 0000 0000 0000)16
第四节 机器数表示形式的变换
1. 补码与真值x的转换公式
由[x]补=2n x0+x 知 x=-2n x0 + [x]补
计算机组成原理
第三节 变形码、移码和浮点数表示
2. 定点数的移码(移码通常用于表示浮点数的阶码。)
对于字长为n的定点整数，真值x的移码为：
[x]移=2n-1+x (-2n-1≤x< 2n-1 )或[x]移=x (mod 2n-1) 字长为n的定点纯小数，真值x的移码为： [x]移=1+x (-1≤x<1) 练习：x1=+10101,x2=-10101 [x1]移= 25 +x1=100000+10101=110101 [x2]移= 25 +x2=100000-10101=001011 可见，移码中的符号位与原、反、补码中相反 “1”表示正，“0”表示负，即正用1，负用0表 示 计算机组成原理
第三章 机器数的表示
1. 机器数的特点
2. 定点数的原码、反码和补码
3. 变形码、移码和浮点数表示
4. 机器数表示形式的变换
计算机组成原理
第一节 机器数的特点
1. 机器数用二进制数码表示
两个概念：
二进制数在用来表示机器数方面的特点： 机器数：在机器内存放的正负号数码化的数。
1. 可用任何具有两个不同稳定状态的元件来表示。
当x ≥0时， x0=0，则x= [x]补 当x ≤0时， x0=1，则x= -(2n –1-[x]补+1) 结论:X为正时，真值等于其补码 X为负时，数值等于其补码按位取反加1
例：P42例3.19
讲：n=8, x0=1 x= -(28 –1-[x]补+1)=-1100110
计算机组成原理
第二节 定点数的原码、反码和补码
4. 练习
设定长为n的定点整数，第一位是符号位，请用数轴形 式说明原码、反码、补码表示的范围及可能的数码组合。
11·11 · · -(2n-1-1) 10·00 · · -(2n-1-1) 10·01 · · -1 11·10 · · -1 10·00 00·00 · · · · 0 原码 11·11 00·00 · · · · 0 反码 00·01 · · 1 00·01 · · 1 01·11 · · 2n-1-1 01·11 · · 2n-1-1
规格化：表示尾数时对应真值的小数点后第一位应 是1 综上：模4补码规格化形式为形如00.1·或11.0·的样 · · · · 式 非规格化形式如00.0 ·或11.1 ·，则可用左规方法 · · · · 规格化处理
00 010 00 0100
左规处理
00
001
00
1000
计算机组成原理
第三节 变形码、移码和浮点数表示
字长为n的定点纯小数的原码定义为： x+2 (0≤x<1) [x]原= 20-x (-1<x≤0) 结论：真值x的原码是符号位用0表示正，1表 示负，数值部分保持不变。
计算机组成原理
第二节 定点数的原码、反码和补码
2. 定点数的反码表示
反码：记[x]反 1) 正数的反码 [x]反=[x]原 即：[x]反=x+2n (0<x<2n-1)
真值：在机器外存放的由正负号表示的数。
2. 四则运算简单。 3. 节省存储设备。
4. 便于逻辑代数应用。
计算机组成原理
第一节 机器数的特点
2. 机器数所表示数值的范围有限
1. 机器数表示不带符号的整数
0 0 … 0 1 1 1 … 1 1
最小值 n位
最大值 n位
1≤X≤2n-1
1 1
2. 机器数表示不带符号的纯小数
计算机组成原理
第二节 定点数的原码、反码和补码
3. 定点数的补码表示
综上，字长为n的定点整数的补码定义为： [x]补=2n+x (-2n-1≤x< 2n-1 )
字长为n的定点纯小数的补码定义为： [x]补=2+x (-1≤x<1) 补码的优点： I、减法可以用加法实现； II、符号位可以参与运算； III、0唯一性。 IV、表示范围大
阶 符
1
0
0
尾 符
1
0 尾数
0
1
阶码
计算机组成原理
第二节 定点数的原码、反码和补码
1. 定点数的原码表示
原码：真值x的符号数值化后的机器数，记[x]原 1) 正数的原码 真值x=+11010,n=6,则[x]原=[+11010]原=011010 即： [x]原=x+2n (0<x<2n-1) n为字长
2) 负数的反码 真值x=-11010,则[x]反=[-11010]反=100101 即： [x]反=2n-1+x (-2n-1 <x< 0) 3) 0的反码 正0的反码 [x]反=[+00000]反=000000 负0的反码 [x]反=[-00000]反=111111
计算机组成原理
第二节 定点数的原码、反码和补码
2. 定点数的反码表示
综上，字长为n的定点整数的反码定义为： x+2n (0≤x<2n-1) [x]反 = n 2 -1+x (-2n-1<x≤0)
字长为n的定点纯小数的反码定义为： x+2 (0≤x<1) [x]反= 2-2-(n-1)+x (-1<x≤0) 结论：正数的反码和原码相同，负数的反码 是对其原码除符号位外各位取反。
3. 浮点数的表示
3) 浮点数的模4补码表示如何判断溢出
溢出：当尾数用模4补码表示时，符号位为01 或10时，表示尾数溢出。尾数溢出不能说明 浮点数溢出，要进行判断。 判断溢出的步骤及例题如P39 讲：
00
11 00
001
001 111
01
10 01
0000
1000 0100
右规处理 右规处理 右规处理
计算机组成原理
第二节 定点数的原码、反码和补码
4.三种编码的总结和比较
3）加减运算 补码和反码的符号位可作为数值的一部分看待，可以和 数值位一起参加运算。 原码的符号位必须和代表绝对值的数值位分开处理。
4）表数范围 原码和反码的表数范围相对零来说是对称的。n位时，原 码和反码的表数范围都是：整数：±（2n-1-1）； 小数： ±（1-2-n+1） 补码的表示范围不对称，负数表示的范围较正数宽， 能多表示一个最小负数：-2n-1 或-1
字长为n的机器数，用2位表示符号位，则负 数的变形补码表示为： [x]变补=2n+x (-2n-2≤x< 2n-2 ) [x]变补=2+x (-1≤x<1) [-11010]变原=1111010 [11010]变原=0011010 [-11010]变反=1100101 [11010]变反=0011010 [-11010]变补=1100110 [11010]变补=0011010
0 0 … 0 1 1 1 …
2-n ≤X≤1-2-n 结论：机器数在表示时，是有一定范围的。
计算机组成原理
最小值 n位
最大值 n位
第一节 机器数的特点
3. 符号的数值化
当数字是有符号数时，把最高位当作符号位； 规定：用“0”代表正号+；用“1”代表负号-。
0 1 0 1 0 0 1
表示+101001
当用移码表示阶码时， 0≤ [x]移< 2n
1位 尾符 阶码 尾数
计算机组成原理
第三节 变形码、移码和浮点数表示
3. 浮点数的表示
例题：P40例3.17
(10)10=23 ×1.25
0 00000000011 +01111111111 0 10000000010 4 0 2
(0.25)10 =(0.01)2
由Ｎ＝2E ×Ｍ
所以该机器数所能表示的浮点数最大值为27 ×(1-2-11) 最小值为27 ×(-1) 最小绝对值为2-8 ×2-11
计算机组成原理
第三节பைடு நூலகம்变形码、移码和浮点数表示
3. 浮点数的表示
2) 规格化浮点数的尾数及其模4补码的形式
模4补码形式: 符号位有4种形式，即00、01、10、11
10·00 · ·
-2n-1
10·01 · ·
-(2n-1-1)
11·11 · · -1
00·00 · ·
0 补码
00·01 · ·
01·11 · · 2n-1-1
1
计算机组成原理
第三节 变形码、移码和浮点数表示
1. 变形码 变形码：符号位有多位，每位都是1表示负， 每位都是0表示正。
变形码的表示：有变形原码、变形反码、变形补码 三种形式。
8 位移码表示的机器数是其对应的真值在数轴上向右平 移了 128 个位置。 负数 正数 +127 机器数
0
-128
移码表示范围： 00000000 ~ 11111111
计算机组成原理
第三节 变形码、移码和浮点数表示
2. 定点数的移码
几个问题： 1、符号问题
2、0的移码 0的移码也具有0的唯一性 3、 -2n-1的移码 [-2n-1]移= 2n-1 -2n-1 = 0 4、与补码的关系 [x]补= 2n+x = 2n-1 + 2n-1 + x= 2n-1 + [x]移 同一个真值的补码与移码的异同是： 数值部分相同，而符号位正好相反。
1 1 0 0 1 0 1
表示-100101
计算机组成原理
第一节 机器数的特点
4. 小数点的位置有一定的约定方式
在机器数中，根据小数点的位置是否固定分为定点表示和浮点表示。
定点表示：小数点的位置固定不变。
Xn-1 Xn-2Xn-3…X1X0 Xn-1 Xn-2Xn-3…X1X0
浮点表示：小数点的位置不定。则二进制数 X可以表示成：X=2r· x。r为阶码,x为尾数。
00
11 01
010
010 000
00
11 00
1000
0100 1010
无 无 溢出
计算机组成原理
第三节 变形码、移码和浮点数表示
3. 浮点数的表示
4) 浮点数的一般表示格式
1位 1位
尾符
阶符
阶码
尾数
阶码用移码表示，好处是阶码的符号位可以省略
即：由[x]移=2n-1+x (-2n-1≤x< 2n-1 )可知：
计算机组成原理
第二节 定点数的原码、反码和补码
4.三种编码的总结和比较
1）机器数与真值间的转换 对于正数:符号为0，其数值部分同真值的数值部分； 对于负数:符号为1，数值位各有不同的表示：
原码：同真值的数值位相同
补码：真值的数值位各位取反，末位加1。 反码：真值的数值位各位取反。 2）零的表示
原码和反码都有+0和-0两种零的表示法； 补码可唯一表示零。
即： [x]补=2n+x (-2n-1 <x< 0)
计算机组成原理
第二节 定点数的原码、反码和补码
3. 定点数的补码表示
3) 0的补码 正0的补码 [+0]补= 2n+(+0) =000000
负0的补码 [-0]补 = 2n+(-0) =000000 可知： 正0与负0相等，即0在补码上具有唯一性。 4) -2n-1的补码 [-2n-1]补= 2n+(-2n-1) = 2n-1 (2-1)= 2n-1 = [2n-1]补
2) 负数的原码 真值x=-11010,则[x]原=[-11010]原=111010 即： [x]原=2n-1-x (-2n-1 <x< 0) 3) 0的原码 [+0]原=000000
[-0]原=100000
计算机组成原理
第二节 定点数的原码、反码和补码
1. 定点数的原码表示
综上，字长为n的定点整数的原码定义为： x+2n (0≤x<2n-1) [x]原 = n-1 2 -x (-2n-1<x≤0)
计算机组成原理
第二节 定点数的原码、反码和补码
3. 定点数的补码表示
补码：正数的补码和原码相同，负数的补码是 对其原码除符号位外各位取反加1，记[x]补 1) 正数的补码
[x]补=[x]原 2) 负数的补码 即：[x]补= 2n + x (0<x<2n-1)
真值x=-11010,则[x]补=[-11010]反+ 1 =100110
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1
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计算机组成原理
第三节 变形码、移码和浮点数表示
3. 浮点数的表示
练习：P38例3.14
解：可知
[x]补=2n+x (-2n-1≤x< 2n-1 ) [x]补=2+x (-1≤x<1)
4位阶码是整数，用补码所能表示的最大值和最小值分别为： 24-1-1 =7和-24-1 =-8 12位尾数是纯小数，它所能表示的补码最大值和最小值为： 1-2-11和-1
计算机组成原理
第三节 变形码、移码和浮点数表示
3. 浮点数的表示
1) 浮点数的原、反、补码表示 即是把浮点数的阶码和尾数用原、反或补 码表示 把浮点数x=2-11×0.11010分别用原码、反 码、补码表示如下：
原码： 反码： 补码：
1 0 1 1 0 1 1 0 1 0
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0
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0100 (1023)10 … 0
移码表示 0100 … 0 4 0000 0000 0000
计算机组成原理
(10)10的十六进制表示为(4024 0000 0000 0000)16
第四节 机器数表示形式的变换
1. 补码与真值x的转换公式
由[x]补=2n x0+x 知 x=-2n x0 + [x]补
计算机组成原理
第三节 变形码、移码和浮点数表示
2. 定点数的移码(移码通常用于表示浮点数的阶码。)
对于字长为n的定点整数，真值x的移码为：
[x]移=2n-1+x (-2n-1≤x< 2n-1 )或[x]移=x (mod 2n-1) 字长为n的定点纯小数，真值x的移码为： [x]移=1+x (-1≤x<1) 练习：x1=+10101,x2=-10101 [x1]移= 25 +x1=100000+10101=110101 [x2]移= 25 +x2=100000-10101=001011 可见，移码中的符号位与原、反、补码中相反 “1”表示正，“0”表示负，即正用1，负用0表 示 计算机组成原理
第三章 机器数的表示
1. 机器数的特点
2. 定点数的原码、反码和补码
3. 变形码、移码和浮点数表示
4. 机器数表示形式的变换
计算机组成原理
第一节 机器数的特点
1. 机器数用二进制数码表示
两个概念：
二进制数在用来表示机器数方面的特点： 机器数：在机器内存放的正负号数码化的数。
1. 可用任何具有两个不同稳定状态的元件来表示。
当x ≥0时， x0=0，则x= [x]补 当x ≤0时， x0=1，则x= -(2n –1-[x]补+1) 结论:X为正时，真值等于其补码 X为负时，数值等于其补码按位取反加1
例：P42例3.19
讲：n=8, x0=1 x= -(28 –1-[x]补+1)=-1100110
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第二节 定点数的原码、反码和补码
4. 练习
设定长为n的定点整数，第一位是符号位，请用数轴形 式说明原码、反码、补码表示的范围及可能的数码组合。
11·11 · · -(2n-1-1) 10·00 · · -(2n-1-1) 10·01 · · -1 11·10 · · -1 10·00 00·00 · · · · 0 原码 11·11 00·00 · · · · 0 反码 00·01 · · 1 00·01 · · 1 01·11 · · 2n-1-1 01·11 · · 2n-1-1
规格化：表示尾数时对应真值的小数点后第一位应 是1 综上：模4补码规格化形式为形如00.1·或11.0·的样 · · · · 式 非规格化形式如00.0 ·或11.1 ·，则可用左规方法 · · · · 规格化处理
00 010 00 0100
左规处理
00
001
00
1000
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第三节 变形码、移码和浮点数表示
字长为n的定点纯小数的原码定义为： x+2 (0≤x<1) [x]原= 20-x (-1<x≤0) 结论：真值x的原码是符号位用0表示正，1表 示负，数值部分保持不变。
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第二节 定点数的原码、反码和补码
2. 定点数的反码表示
反码：记[x]反 1) 正数的反码 [x]反=[x]原 即：[x]反=x+2n (0<x<2n-1)
真值：在机器外存放的由正负号表示的数。
2. 四则运算简单。 3. 节省存储设备。
4. 便于逻辑代数应用。
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第一节 机器数的特点
2. 机器数所表示数值的范围有限
1. 机器数表示不带符号的整数
0 0 … 0 1 1 1 … 1 1
最小值 n位
最大值 n位
1≤X≤2n-1
1 1
2. 机器数表示不带符号的纯小数
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第二节 定点数的原码、反码和补码
3. 定点数的补码表示
综上，字长为n的定点整数的补码定义为： [x]补=2n+x (-2n-1≤x< 2n-1 )
字长为n的定点纯小数的补码定义为： [x]补=2+x (-1≤x<1) 补码的优点： I、减法可以用加法实现； II、符号位可以参与运算； III、0唯一性。 IV、表示范围大