北师大版数学八年级上第二章实数复习课件
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八上第二章实数复习课件
例1 下列各数中，哪些是有理数，哪 些是无理数？
23 ，3 5 ，3.14159265， 9 ，π，
3 1 ，( 5)2 ，3.1010010001…（相邻两 个1之间0的各数逐次加1）
无理数的判断方法：无限不循环的小数 主要有以下几种： ①开方开不尽的方根
π ②含 的数 ③是无限小数且不循环
（7）同类二次根式：几个二次根式化 成 最简二次根式 后，如果被开方数 相同，这几个二次根式就叫做同类二次 根式；化简时，有同类二次根式要合并， 可以约分的分式要约分。
二、典例精析
（一）实数的相关概念
例1 下列各数中，哪些是有理数，哪 些是无理数？
23 ，3 5 ，3.14159265， 9 ，π，
（4） a2 a
( a )2 a(a 0)
( 3 a )3 a
3 a3 a
a b ab(a 0,b 0)
a a (a 0,b 0) bb
（5）把 分母 中的根号化去，叫做分母 有理化；
（6）最简二次根式应满足的条件是：
被开方数 不含分母
，
也不含 能开得尽方的因数或因式 .
a+b=
.
• （2）.2x+1已知的平方根是±5，则5x+4的立方根是 .
【例1】下列说法正确的是
A 负数没有立方根 B -5的立方根是 3 5
C (1)2的立方根是-1 D 8 的立方根是 2
27
3
【例2】 64的立方根是 ， 3 8 的立方根是
。
【例3】解方程
(1)8x3 27 0;(2)8(x 5)3 27
【例4】（3 2）3 =
，3（-8）2 =
最新北师大版八年级数学上册第二章实数PPT
随堂练习
1 25 0， 0.23， ， ，0.303 1.下列各数： ， 2 2 7
003
(相邻两个3之间0
的个数逐次加1),1中，无理数的个数是（ ）
A.2个
π 0.303 003 【解析】选A.无限不循环小数是无理数，其中 ， 2 (相邻两个3之间0的个数逐次加1)两个是无理数，其他是有
B.3个
课堂小结 通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a， 即x2=a, 那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
无理数有_______________________________
22 1 , , ,0.3,0 7 3 实数有_________________________________
【规律方法】 无理数的特征: 1．圆周率 π 及一些最终结果含有 π 的数. 2．开方开不尽的数.
3．有一定的规律，但不循环的无限小数.
【例题】
【例 1 】求下列各数的算术平方根： （ 1 ） 625. （ 4 ） (-2)² . （ 2 ） 0.008 1. （ 3 ） 6.
（5）
.
( 6 0.25) （ ）2
.
【解析】（1）因为 25 2 625 ，所以625的算术平方根是25， 即 625 25.
（2）因为 0.09 2 0.008 1 ，所以0.008 1的算术平方根是0.09，
加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
正方形 的面积 边长 1 4 9 16 25 36
1
2
3
4
5
6
知识讲解 算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那 么这个正数x就叫做a的算术平方根.记为“ a”，读作 “根号a”. 例如：144的算术平方根是12. 特殊地：0的算术平方根是0. 记作： 0 0. 负数没有算术平方根.
数学八年级上北师大版第二章实数复习课件(26张)
13、 (5)的0 立方根是
1；
14、 与数轴上所有的点一一对应的数是（ D ）
（A）整数 （B）有理数 （C）无理数 （D）实数
在数轴上作出 5 对应的点。
52
-2
-1
0
1
25
a • b a • b (a 0,b 0) a a (a 0, b 0) bb
你能用前面的规律解这几个题 吗？
第二章实数复习课
一、知识要点
实数的定义：
有理数和无理数统称为实数.
有理数
正实数
即：实数
或：实数 零
无理数
负实数
有
正整数 限
有理数
正有理数 零
正分数
负整数
小 数 或
实数
负有理数
无
负分数
限 循
环
无理数 正无理数 负无理数
无限不循
小 数
环小数
把下列各数分别填入相应的括号内：
3 2,
1 4
,
有52 ,理π数, 和7 , 无3 8理, 数3统, 称230为, 实5数, 94
,
0,
2, 0.181818 , 0.3737737773
有理数集合
无理数集合
1.平方根的定义及性质
定义:一个数 x 的平方等于a,即x2=a,则 x 叫 a 的平方根. 记作: X = a (a≥0)
0的平方根是0. 性质:
完全平方公式:
(a b)2 a 2 2ab b2 .
(7) (2 5 3 )2 23 4; 15 9
(8) ( 5 2 )2 5 ;
5
(9) ( 2 5 )2 7 2 1; 0
13 2 (10) 1 18 4 ;
北师大版数学八年级上册第二章 实数 复习课件
开ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方的定义 求一个数a的立方根的 运算，叫做开立方，其 中a叫做被开方数 如：求8的立方根
立方根的性质
正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是0.
三 二次根式
1、定义：形如 a(a≥0) 的式子叫做二次根式，
其中a叫做被开方数. 2、性质： ⑴积的算术平方根：等于算术平方根的积；
非负数
a ≥0 （a≥0）
算术平方根具有双重非负性
平方根的定义：
若 x 2 a ，则x叫a的平方根,即
类比
当 x3 a，则x叫做什么呢？
x叫a的立方根 即：
类比
开平方的定义 求一个数a的平方根的运 算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数 如：求9的平方根
平方根的性质 一个正数有两个平方 根；0只有一个平方 根，它是0本身； 负数没有平方根.
当堂练习
1.下列说法正确的是__①__④__⑤___. ① -3 是 9 的平方根；② 25 的平方根是 5；③ -36 的 平方根是 -6；④ 平方根等于 0 的数是 0；⑤ 64 的算 术平方根是 8.
2. 下列说法不正确的是（ B ） A. 0 的平方根是 0
B. 22 的平方根是 2
C. 正数的平方根互为相反数 D. 一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
一定是二次根式的有 A. 3 个 B. 4 个
C. 5 个
（B） D. 6 个
2.(1)若式子
x
2
1
在实数范围内有意义，则
x
的取值
范围是__x_≥__1__；
(2)若式子 1 x 在实数范围内有意义，则 x 的
x2
取值范围是_x_≥__0_且___x_≠__2_.
北师大版八年级上册数学实数课件
把下列各数分别填入相应的集合内：
0.3737737773……
实数：有理数和无理数统称为实数。
有理数集合
无理数集合
• 请把下列各数分别填入相应的集合内：
正数集合
负数集合
2，实数分类：
• ①分类标准：是否是有理数。
实数
有理数 无理数
• ②分类标准：符号正负。
实数
正实数 0
负实数
• 课堂练习：课本40页，知识技能：1
与 互为倒数
，
，
想一想
1.
的绝对值是
2. a 是一个实数,它的相反数是
a的绝对值是 当a≠０时，它的倒数是
5，实数与数轴：
（1） 如图,OA=OB
数轴上的 点A对应的
数是什么？ 它介于哪
两个整数之间？
1
-2
-1
O
（2） 如果将所有实数都 标到数轴上，那么数轴 被填满了吗？
B 1A 2
实数与数轴上的点的对应关系：
３．在数轴上作出 对应的点．
7，课堂小结
通过今天的学习,说说你的收获和体会?
8，课后作业:
1.课本习题2.8
2.求
的相反数和绝对值.
8，板书设计
6，实数
1，实数概念与分类。
3，实数与相反数，倒数，绝 对值。
2，实数运算律。
4，实数与数轴。
• 谢谢观赏！
•
•
再见！
•
3，实数的运算律
1.在有理数范围内能进行哪些运算？ 用哪些运算律？那么在实数范围内呢？
2.判断下列各式成立吗？
结论：有理数的运算及运算律对实数仍然适用。
• 4，倒数，相反数，绝对值。
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对 值的意义 ，和有理数范围内的相反数、倒 数、绝对值的意义完全一样。
0.3737737773……
实数：有理数和无理数统称为实数。
有理数集合
无理数集合
• 请把下列各数分别填入相应的集合内：
正数集合
负数集合
2，实数分类：
• ①分类标准：是否是有理数。
实数
有理数 无理数
• ②分类标准：符号正负。
实数
正实数 0
负实数
• 课堂练习：课本40页，知识技能：1
与 互为倒数
，
，
想一想
1.
的绝对值是
2. a 是一个实数,它的相反数是
a的绝对值是 当a≠０时，它的倒数是
5，实数与数轴：
（1） 如图,OA=OB
数轴上的 点A对应的
数是什么？ 它介于哪
两个整数之间？
1
-2
-1
O
（2） 如果将所有实数都 标到数轴上，那么数轴 被填满了吗？
B 1A 2
实数与数轴上的点的对应关系：
３．在数轴上作出 对应的点．
7，课堂小结
通过今天的学习,说说你的收获和体会?
8，课后作业:
1.课本习题2.8
2.求
的相反数和绝对值.
8，板书设计
6，实数
1，实数概念与分类。
3，实数与相反数，倒数，绝 对值。
2，实数运算律。
4，实数与数轴。
• 谢谢观赏！
•
•
再见！
•
3，实数的运算律
1.在有理数范围内能进行哪些运算？ 用哪些运算律？那么在实数范围内呢？
2.判断下列各式成立吗？
结论：有理数的运算及运算律对实数仍然适用。
• 4，倒数，相反数，绝对值。
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对 值的意义 ，和有理数范围内的相反数、倒 数、绝对值的意义完全一样。
最新北师大版八年级数学上册第二章实数PPT
【例题】
【例 1 】求下列各数的算术平方根： （ 1 ） 625. （ 4 ） (-2)² . （ 2 ） 0.008 1. （ 3 ） 6.
256 （5）
.
( 6 0.25) （ ）2
.
【解析】（1）因为 25 2 625 ，所以625的算术平方根是25， 即 625 25.
（2）因为 0.09 2 0.008 1 ，所以0.008 1的算术平方根是0.09，
课堂小结 通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a， 即x2=a, 那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
2.正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，
负数没有算术平方根.
2 平方根
第2课时
学习目标
1.了解平方根的概念，会用根号表示一个正数的平方根， 并进行相关的计算.
加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
正方形 的面积 边长 1 4 9 16 25 36
1
2
3
4
5
6
知识讲解 算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那 么这个正数x就叫做a的算术平方根.记为“ a”，读作 “根号a”. 例如：144的算术平方根是12. 特殊地：0的算术平方根是0. 记作： 0 0. 负数没有算术平方根.
得到：3
练习： 64
3
125
体会:（1）求一个负数的立方根,可以先求出这个负数绝对 值的立方根,然后再取它的相反数. （2）负号可从“根号内” 直接移到“根号外” .
典例透析 例1 求下列各数的立方根.
8 （5 ） . 125
（1）－27； （2）27； （3）－0.216； （4）0；
北师大版数学八年级上册全册复习ppt课件
北师大版八年级上册 期末总复习典型题
CONTEN
目T录
第一章 勾股定理 第二章 实数
第三章 位置与坐标 第四章 一次函数
第五章 二元一次方程组
第六章 数据分析 第七章 平行线的证明
第一章 勾股定理
知识归纳
1．勾股定理
定义：如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么a2＋b2＝c2
各种表达形式：在 RБайду номын сангаас△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分
找出格点C，使△ABC是面积为1个平方单位的直角三角形，这样
的点有____6____个．
图1－8 图1－9
[解析] 如图1－9，当∠A为直角时，满足面积为1的点是A1、 A2；当∠B为直角时，满足面积为1的点是B1、B2；当∠C为直角 时，满足面积为1的点是C、C1，所以满足条件的点共有6个．
3.已知三角形的三边为 a＝34，b＝54，c＝1，这个三角形是 直角三角形吗？
6.B、C 是河岸边两点，A 为对岸岸上一点，测得∠ABC＝45°， ∠ACB＝45°，BC＝50 m，则河宽 AD 为( )
B
A．25 2 m B．25 m
50 C. 3 3 m
D．25 3 m
图 1－10
7．如图1－11，已知△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，
以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是__8_81_π____．
图1－19
15.一个棱长为6的木箱(如图1－20)，一只苍蝇位于左面的壁 上，且到该面上两侧棱距离相等的A处．一只蜘蛛位于右面壁上 ，且到该面与上、下底面两交线的距离相等的B处．已知A到下 底面的距离AA′＝4，B到一个侧面的距离BB′＝4，则蜘蛛沿这 个立方体木箱的内壁爬向苍蝇的最短路程为多少？
CONTEN
目T录
第一章 勾股定理 第二章 实数
第三章 位置与坐标 第四章 一次函数
第五章 二元一次方程组
第六章 数据分析 第七章 平行线的证明
第一章 勾股定理
知识归纳
1．勾股定理
定义：如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么a2＋b2＝c2
各种表达形式：在 RБайду номын сангаас△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分
找出格点C，使△ABC是面积为1个平方单位的直角三角形，这样
的点有____6____个．
图1－8 图1－9
[解析] 如图1－9，当∠A为直角时，满足面积为1的点是A1、 A2；当∠B为直角时，满足面积为1的点是B1、B2；当∠C为直角 时，满足面积为1的点是C、C1，所以满足条件的点共有6个．
3.已知三角形的三边为 a＝34，b＝54，c＝1，这个三角形是 直角三角形吗？
6.B、C 是河岸边两点，A 为对岸岸上一点，测得∠ABC＝45°， ∠ACB＝45°，BC＝50 m，则河宽 AD 为( )
B
A．25 2 m B．25 m
50 C. 3 3 m
D．25 3 m
图 1－10
7．如图1－11，已知△ABC中，∠C＝90°，BA＝15，AC＝12，
以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是__8_81_π____．
图1－19
15.一个棱长为6的木箱(如图1－20)，一只苍蝇位于左面的壁 上，且到该面上两侧棱距离相等的A处．一只蜘蛛位于右面壁上 ，且到该面与上、下底面两交线的距离相等的B处．已知A到下 底面的距离AA′＝4，B到一个侧面的距离BB′＝4，则蜘蛛沿这 个立方体木箱的内壁爬向苍蝇的最短路程为多少？
北师大版八年级数学上册 第二章 实数 2.2 平方根 课件(共28张PPT)
（1）算术平方根的概念，式子 a 中的双
重非负性：一是a≥0， 二是 a ≥0． 〔2〕算术平方根的性质： 一个正数的算术平方根是一个正数；
0的算术平方根是0； 负数没有算术平方根．
〔3〕求一个正数的算术平方根的运算与平 方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关 系求非负数的算术平方根．
大
开
1、假设x 34y 23 z0 ，
二、求以下各数的算术平方根：
36，114241 ，15，0.64， 10，4
2，25
．( 5 ) 0
6
解:(1) 因为62=36,所以36的算术平方根是6,即 36 6 ;
(2) 因为 (11)2 121 ,所以 121 的算术平方根是 11 ,
12 144
144
12
即 121 11 ; 144 12
( 12的) 2算术平方根是
1
，2
的4 2 算术平方根是
2，
重要结论： 1、正数有一个算术平方根 2、0的算术平方根是0 3、负数没有算术平方根 4、算术平方根等于它本身的数是0或1
5、
练一练：1、填空：
（1） 方根是
的平方等于 1.96，所以 1.96 的算术平 ；
（2）36 的算术平方根是 ； 9 的算术平方根是 ； 16
49 〔1〕900；〔2〕1；〔3〕64 ；〔4〕14．
解:(1) 因为302=900,所以900的算术平方根是30, 即 900 30 ;
(2)因为12=1,所以1的算术平方根是1,即 1 1
(3)因为 (7 )2 49 ,所以 49 的算术平方根
8 64
64
是
7 8,
即
49 64
7
(完整版)北师大版八年级上册数学-第二章实数复习课
如果将所有有理数都标到数轴 上,那么数轴被填满了吗?
在数轴上作出 5 的对应点.
2
1 -1 0
1 25 3
一个实数a
-2 -1 0
1A 2
每个实数都可以用数轴上的 一个点来表示;反过来,数轴上的每 一个点都表示一个实数.即实数和 数轴上点是一一对应的. 数轴上一个点 有一个实数 点 数
有一个实数 数轴上一个点 数 点
5、a、b互为相反数，c与d互为倒数则a+1+b+cd=
2
。
6、实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图1－1所示，则
它们从小到大的顺序是 c<d<b<a
。
c d 0 ba
图1－1－1
其中：
a b a+b
d c -d-c
cb b-c a d a-d
➢ 典型例题解析
例1、（1） 3 的倒数是 1/3 ；
（2） 3 －2的绝对值是 2- 3；
（3）若 x 1, y 2，且xy>0，x+y= 3或-3 。
解方程（4）（x-1)3 =12 （5） 2（3x-1)2=8
知识点三：实数的运算
a • b a • b (a 0,b 0) a a (a 0, b 0) bb
你能用前面的规律解这几个题 吗？
3、下列语句中正确的是（D） (A) -9的平方根是-3 (B) 9的平方根是3
(C) 9的算术平方根是 3
（D） 9的算术平方根是3
4、下列运算中，正确的是（ A）
(A） 1 25 1 1 144 12
（B） (4)2 4
（C） 22 22 2 （D） 1 1 1 1 9
知识点二：算术平方根、平方根、立方根联系和区别
北师大版数学八年级上册 第二章 实数 复习课件(共31张PPT)
例4：x取何值时， 4 x 有意义？
4 x 0, x 4
1、基本概念
算术平方根：如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数 x叫做a的算术平方根；特别的，0的算术平方根是0； 平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的 平方根； 立方根：如果一个数x的立方等于a，那么这个数x叫做a的 立方根。
同学们，不管你现在的成绩 怎么样，不管你现在的基础怎么样 ，只要坚定信念，超越自我，你就 有了努力的方向，你就有了奋斗的 目标，你就有了生活的动力，你就 有了成功的希望！
独立
知识的升华
作业
P
1 3 老3师期望:
习 悟 做完题目后,一定要“ ”到点东西,纳入到自
己的认知结构中去.
13. 9( y 3)2 1
解
4
方
解:( y 3)2 1
程：
36
1
y 3
36
y 3 1 6
y 19 或y 17
6
6
14. 2（ 7 x 2）3 125 0
3
解: 27(x 2)3 125
3
(x 2)3 125
3
27
2 125
3、绝对值：整数的绝对值是其本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是 其相反数。
易错 例1、 5 的相反数是
5
，倒数是
5 5 ，绝对值是
5
。
c 例2、 3.14 的值是(
)
A. 3.14- 2 B. 3.14 C. –3.14
D. 无法确定
常考 例3、已知 2 2x 1 y 22 4 z 0，
(4 4 3 3) 1 (4 4 3 3)
北师大版八年级数学上册第二章实数估算课件
为.
4. 实数与数轴之间的关系 (1)实数和数轴上的点是 一一对应 的. (2)在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数 大 .
1. 若a为实数，则( D )
C
3.5，10% 4，0，2016
【基础训练】 1. 下列说法正确的是( D ) A.实数包括有理数、无理数和零 B.有理数包括正有理数和负有理数 C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数 D.无论是有理数还是无理数都是实数 2. 如图，以数轴的单位长度为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，正 方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是( D )
第二章 实数
6 实数
1. 有理数可以用 有限 小数或 无限循环 小数表示.无限 不循环 小数叫做无理数. 2. 有理数 和无理数 统称为实数.实数也可以分为 正实数 、 0 、 负实数 . 3. 相反数、倒数、绝对值的有关概念 (1) 只有符号不同 的两个数，称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数 互为相反数.0的相反数是 0 . (2) 乘积是1 的两个数互为倒数，0 没有 倒数. (3)一般地，数轴上表示数a的点 与原点的距离叫做数a的绝对值.0的绝对值是 0. (4)a是一个实数，它的相反数为 -a ，绝对值为 |a| ；如果a≠0，那么它的倒数
3. 已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子一定正确的是（ D ）
4. 把下列各数填入相应的集合内：0.898 998 999 8…(相邻两个8之间9的个数 逐次加1)，
【提升训练】
8. 在数轴上近似地表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“<” 连接：
Hale Waihona Puke 【拓展训练】 9.在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出2个有理数和2个无理数， 再用“+，-，×，÷”中的3种符号将选出的4个数进行3次运算，使得运算的结 果是一个正整数.
北师大版八年级数学上册-第二章实数(同步+复习)精品串讲课件
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第二章
实数
八年级（下）
第一单元：认识无理数
一．无理数的存在性探索
1. 探究：
① ② 什么是有理数：整数和分数统称为有理数。 不是有理数的数：π、正方形的面积为2、3、5、 6、7，13---时，它们的边长。--- 广泛存在。 X2=a（a ≥0），当我们知道a求x 时，结果可能 是有理数，也可能不是有理数。
—
二．算术平方根
1. 2. 定义：一个正数a有两个平方根±√a— ，其中 — 正的平方根√a叫做a的算术平方根。 — √a 表示a 的算术平方根。规定：0的算术平 方根是0。显然：负数没有算术平方根。 重要性质：
① ② ③ √a的非负性：a ≥0，√a≥0( 双非负）。 √a是非负数a的算术平方根；-√a是算术平方根的 相反数（另外一个平方根）。 √a开得尽是运算；开不尽可能就是个数（最写）
（5） 81
三．平方根与算术平方根的区别与联系
1. 2. 3. 4.
5.
a≥0时：√a，-√a，±√a的区别与联系。 区别一：正数有两个平方根，它们的和为零。 有一个算术平方根。 区别二：表示方法不同： √a； ±√a 区别三：取值范围不同：正数的算术平方根 一定是正数，平方根一正一负互为相反数。 联系：平方根包含算术平方根；被开方数都 必须是非负数；0的平方根和算术平方根都 是 0。
（ 5） (－ 4 )2的 算 术 平 方 根 是 ＿ ＿ 4 10 （ 6） 10的 算 术 平 方 根 是 ＿ ＿
1＿ .2 36=＿ ＿ 1.44=＿
6
3 1 2 =＿ ＿ 25=＿ ＿ 2 4
5
【练习】 求下列各数的算术平方根：
（1）900； （4）14
第二章
实数
八年级（下）
第一单元：认识无理数
一．无理数的存在性探索
1. 探究：
① ② 什么是有理数：整数和分数统称为有理数。 不是有理数的数：π、正方形的面积为2、3、5、 6、7，13---时，它们的边长。--- 广泛存在。 X2=a（a ≥0），当我们知道a求x 时，结果可能 是有理数，也可能不是有理数。
—
二．算术平方根
1. 2. 定义：一个正数a有两个平方根±√a— ，其中 — 正的平方根√a叫做a的算术平方根。 — √a 表示a 的算术平方根。规定：0的算术平 方根是0。显然：负数没有算术平方根。 重要性质：
① ② ③ √a的非负性：a ≥0，√a≥0( 双非负）。 √a是非负数a的算术平方根；-√a是算术平方根的 相反数（另外一个平方根）。 √a开得尽是运算；开不尽可能就是个数（最写）
（5） 81
三．平方根与算术平方根的区别与联系
1. 2. 3. 4.
5.
a≥0时：√a，-√a，±√a的区别与联系。 区别一：正数有两个平方根，它们的和为零。 有一个算术平方根。 区别二：表示方法不同： √a； ±√a 区别三：取值范围不同：正数的算术平方根 一定是正数，平方根一正一负互为相反数。 联系：平方根包含算术平方根；被开方数都 必须是非负数；0的平方根和算术平方根都 是 0。
（ 5） (－ 4 )2的 算 术 平 方 根 是 ＿ ＿ 4 10 （ 6） 10的 算 术 平 方 根 是 ＿ ＿
1＿ .2 36=＿ ＿ 1.44=＿
6
3 1 2 =＿ ＿ 25=＿ ＿ 2 4
5
【练习】 求下列各数的算术平方根：
（1）900； （4）14
北师大版八年级数学上册课件 第2章 第1节 认识无理数(共32张PPT)
算一算
1
x
x2 ?
2
问：x是整数（或分数）吗？
剪一剪
把两个边长为1的小正方形通过剪、 拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
1 1
1 1
拼一拼
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 11:00:52 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
(2)无限小数都是无理数; （ ╳ ）
(3)无理数都是无限小数; （ √ ）
(4)有理数是有限小数. （ ╳ ）
强调
无理数是无限不循环小数， 有理数是有限小数或无限循环小数.
c 例3 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为25的正方形；
B.面积为 4 的正方形； 25
C.面积为8的正方形；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
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第二章 实数复习
一、算术平方根、平方根、立方根 1、基本概念
算术平方根：如果一个正数x的平方等于a， 那么这个正数x叫做a的算术平方根；特别的， 0的算术平方根是0；
平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这 个数x叫做a的平方根；
立方根：如果一个数x的立方等于a，那么这 个数x叫做a的立方根。
3
例4：
1.已知等腰三角形两边长a,b满足
a 2b a b 9 0
求此等腰三角形的周长
1 2x 1 1 2x 2.已知y= 2
求2（x+y）的平方根
例5：计算
1 32 3 1 48 6 ; 2 3 6 2 3 27 1 ; 4 28 700 3 7 3
3 2
已知m n, 求（n m） （m n） 的值
3 2
3
二、实数
3、实数的运算、化简
含有根号的数化简的两个要求： 被开方数不含有开得尽方的因数；
被开方数不含有分母，最后结果中分母不 能是无理数
化简
3 32， ， 2 8
1 2
例1：
8是
64
的平方根
±8
64的平方根是
64 =
实数 a
-2
-1
0
1
2
二、实数
3、实数的运算、化简
a a=
2
a
a
a 0
0
a 0 a 0
(a 0)
a
2
a
4.计算
32 2 2 3 2 3
是负数 是正数 等于本身 是负数
等于它的相反数
32 2
2 3
2 3
2 2 3
3 2
原式 2 2 3 2 3 （ 3 2） 2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3
4 2 3
3
a a3Leabharlann a 为任何数 a a
3
3
3
3
a为任何数 a a a为任何数
3
已知a 0, 求 a a 的值
8
9的平方根是 3
3 4 16 的立方根是
大于 17小于 11 的所有整数为
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3
x取何值时，下列各式有意义 例2：
(1)
4 x
(2)
4 x
2
(3)
1 3 2x 1
例3：
如果要求误差小于1 ， 估算 50的大小 比较大小： 23和5； 10和 5
解: ( y 3) 2
36
解:
1 y 3 36
19 17 y 或y 6 6
27 ( x )3 125 3 2 3 125 (x ) 3 27
x 2 3 125 3 27
1 y 3 6
x
x 1
2 5 3 3
当方程中出现平方时，若有解，一般都 有两个解；当方程中出现立方时，一般 都有一个解
算术平方根 开平方
乘 方
互为逆运算
开 方
平方根 立方根
负的平方根
开立方
例：已知 3x 4 y 6 y 9 0, 求 xy的值
2
二、实数
1、无理数
无理数定义
无理数常见的三种形式
(1)和 相关的
(2)构造型的无理数；如0.01001000100001 ； 3 根号类
区分无理数和无限小数
二、实数
2、实数
实数定义
实数分类
整数 分数
有理数 实 数
正整数 0 负整数 正分数 负分数
自然数
无理数
正无理数
负无理数
二、实数 2、实数 实数和数轴上点的对应关系
和实数相关的概念。例如：的倒数是-
1
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数 轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一 一对应的。
3
a的取值
性 质
正数 0 负数 开
a≥
0
a
0
≠
a a≥ 0
0 没有
a
a 是任何数
0 负数（一个）
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
没有
方
等于本身
0,1
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方 0 0,1,-1
一、算术平方根、平方根、立方根 4、乘方与开方之间的关系
一、算术平方根、平方根、立方根 2、关系式表示
2 x a x 0） 算术平方根：若 （ 则x叫a的算术平方根
即 x a
平方根：若 x a
2
则x叫a的平方根即 x
a
立方根：若 x3 a
则x叫a的立方根即 x 3 a
3
a
注意:
这个根指数3是绝对不可省 的.
解下列方程： 2 3 1 27 2 1. 9( y 3) 2. （x ） 125 0 3 4 1 2
一、算术平方根、平方根、立方根 3、性质及区别
算术平方根：算术平方根双重非负性；算术 平方根等于本身的数
平方根：非负数有算术平方根；正数的两个 平方根互为相反数；平方根等于本身的数
立方根：任何数都有立方根；立方根等于本 身的数
算术平方根、平方根、立方根联系和区别
算术平方根 表示方法 平方根 立方根
一、算术平方根、平方根、立方根 1、基本概念
算术平方根：如果一个正数x的平方等于a， 那么这个正数x叫做a的算术平方根；特别的， 0的算术平方根是0；
平方根：如果一个数x的平方等于a，那么这 个数x叫做a的平方根；
立方根：如果一个数x的立方等于a，那么这 个数x叫做a的立方根。
3
例4：
1.已知等腰三角形两边长a,b满足
a 2b a b 9 0
求此等腰三角形的周长
1 2x 1 1 2x 2.已知y= 2
求2（x+y）的平方根
例5：计算
1 32 3 1 48 6 ; 2 3 6 2 3 27 1 ; 4 28 700 3 7 3
3 2
已知m n, 求（n m） （m n） 的值
3 2
3
二、实数
3、实数的运算、化简
含有根号的数化简的两个要求： 被开方数不含有开得尽方的因数；
被开方数不含有分母，最后结果中分母不 能是无理数
化简
3 32， ， 2 8
1 2
例1：
8是
64
的平方根
±8
64的平方根是
64 =
实数 a
-2
-1
0
1
2
二、实数
3、实数的运算、化简
a a=
2
a
a
a 0
0
a 0 a 0
(a 0)
a
2
a
4.计算
32 2 2 3 2 3
是负数 是正数 等于本身 是负数
等于它的相反数
32 2
2 3
2 3
2 2 3
3 2
原式 2 2 3 2 3 （ 3 2） 2 2 3 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 3
4 2 3
3
a a3Leabharlann a 为任何数 a a
3
3
3
3
a为任何数 a a a为任何数
3
已知a 0, 求 a a 的值
8
9的平方根是 3
3 4 16 的立方根是
大于 17小于 11 的所有整数为
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3
x取何值时，下列各式有意义 例2：
(1)
4 x
(2)
4 x
2
(3)
1 3 2x 1
例3：
如果要求误差小于1 ， 估算 50的大小 比较大小： 23和5； 10和 5
解: ( y 3) 2
36
解:
1 y 3 36
19 17 y 或y 6 6
27 ( x )3 125 3 2 3 125 (x ) 3 27
x 2 3 125 3 27
1 y 3 6
x
x 1
2 5 3 3
当方程中出现平方时，若有解，一般都 有两个解；当方程中出现立方时，一般 都有一个解
算术平方根 开平方
乘 方
互为逆运算
开 方
平方根 立方根
负的平方根
开立方
例：已知 3x 4 y 6 y 9 0, 求 xy的值
2
二、实数
1、无理数
无理数定义
无理数常见的三种形式
(1)和 相关的
(2)构造型的无理数；如0.01001000100001 ； 3 根号类
区分无理数和无限小数
二、实数
2、实数
实数定义
实数分类
整数 分数
有理数 实 数
正整数 0 负整数 正分数 负分数
自然数
无理数
正无理数
负无理数
二、实数 2、实数 实数和数轴上点的对应关系
和实数相关的概念。例如：的倒数是-
1
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数 轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的点是一 一对应的。
3
a的取值
性 质
正数 0 负数 开
a≥
0
a
0
≠
a a≥ 0
0 没有
a
a 是任何数
0 负数（一个）
正数（一个） 互为相反数（两个） 正数（一个）
没有
方
等于本身
0,1
求一个数的平方根 求一个数的立方根 的运算叫开平方 的运算叫开立方 0 0,1,-1
一、算术平方根、平方根、立方根 4、乘方与开方之间的关系
一、算术平方根、平方根、立方根 2、关系式表示
2 x a x 0） 算术平方根：若 （ 则x叫a的算术平方根
即 x a
平方根：若 x a
2
则x叫a的平方根即 x
a
立方根：若 x3 a
则x叫a的立方根即 x 3 a
3
a
注意:
这个根指数3是绝对不可省 的.
解下列方程： 2 3 1 27 2 1. 9( y 3) 2. （x ） 125 0 3 4 1 2
一、算术平方根、平方根、立方根 3、性质及区别
算术平方根：算术平方根双重非负性；算术 平方根等于本身的数
平方根：非负数有算术平方根；正数的两个 平方根互为相反数；平方根等于本身的数
立方根：任何数都有立方根；立方根等于本 身的数
算术平方根、平方根、立方根联系和区别
算术平方根 表示方法 平方根 立方根