圆轴扭转时的变形与刚度计算

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解 1)求外力偶矩。
MA=159.2Nm； MB=318.3Nm； MC=955Nm ； MD=5Nm 2)画扭矩图。首先计算各段扭矩 AB段： BC段： CD段： Mn1=-159.2N· m Mn2=- 477.5N· m Mn3=477.5N· m
A 1
5
3 6 0 . 75 80 10 9 . 2 10 π Mn= N mm 3 180 10 =9.63106Nmm= 9.63kNm
所以
Mnmax=9.63kNm
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传动轴如图。已知该轴转速 n=300r/min，主动轮输入功率 PC=30kW，从动轮输出功率 PD=15kW，PB=10kW，PA=5kW，材
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已知：d=40mm，G=80GPa，求： 1200Nm 2000Nm 800Nm 总扭角。 解 Mn1=1200Nm Mn2=-800Nm C B A 4 800 1000 πd 6 4 I 0.25 10 m Mn 1200Nm 32

d
MA
MB 1 2 B2
机械工业出版社 M M C 3 D

Mn/Nm
C 3 D 477.5 + x
0 159.2
477.5 Mnmax=477.5Nm
按求得的扭矩值画出扭矩图。 由图可知最大扭矩发生在BC段和CD段，即
3)按强度条件设计轴的直径
M n max πd 3 [ ] 由 Wn 式和强度条件 Wn 16 16M n max 3 16 477.5 103 d 3 mm 39.3mm π π 40

代入上式，得 (7-6)
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一传动轴如图，直径d=40mm， 1200Nm 2000Nm 800Nm 材料的切变模量G=80GPa，载荷如 图示。试计算该轴的总扭角。 C B A 800 1000 解 画出阶梯轴的扭矩图， Mn 1200Nm AB和BC段的扭矩分别为
（7-7）
[ ]值按轴的工作条件和机器的精度来确定，可查阅有关
工程手册，一般规定
精密机器的轴 一般传动轴 [ ]＝0.25/m一0.5/m [ ]＝0.5/m—1.0/m
精度较低的轴
[ ]＝1.0/m一2.5/m
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d
MA
MB B
MC 机械工业出版社 MD C D

A
料的切变模量G=80GPa， 许用切应力[ ]=40MPa，[ ]=l/m。 试按强度条件及刚度条件设计此轴直径。 P 解 1) 求外力偶矩 M 9550 。由可得 n
例7-6
5 M A 9550 N m 159.2 N m 300 10 M B 9550 N m 318.3N m 300 30 M C 9550 N m 955N m 300 15 M D 9550 N m 477.5N m 300
转的一些结论，可参阅有关
资料，这里不再阐述。
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Mn1=1200Nm
Mn2=-800Nm
例7-
80
+
0
圆轴截面的极惯性矩为
πd 4 π 404 1012 4 I m 0.25 106 m 4 32 32
AB段的扭角为
4
800Nm
x
AB
M n1l AB 1200 0.8 rad 0.048rad 9 6 GI 80 10 0.25 10
Mn [ ] GI
式中， 的单位为rad/m。 工程实际中，许用扭角[ ]的单位为()/m，考虑单位的 换算，则得
M n 180 [ ] GI π
（7-7）
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M n 180 [ ] GI π
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第二节 圆轴扭转时的变形与刚度计算
一、圆轴扭转时的变形计算

扭转变形是用两个横截面绕轴线的扭角来表示的。对于 Mn为常值的等截面圆轴，由于其很小，由几何关系可得
AB= l ， AB=R
所以
= l / R
A
Mn

Mn
R O
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AB= l ， AB=R
= l / R
将胡克定律
式中，GI反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭 刚度。 当两个截面间的Mn、G或I为变量时，需分段计算扭角， 然后求其代数和，扭角的正负号与扭矩相同。
Mn G GI M nl GI
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工程上还可能遇到非圆 截面杆的扭转，如正多边形 截面和方形截面的传动轴。 非圆截面杆扭转时，横截面 不再保持平面，即横截面要 发生翘曲。因此。务请注意， 上述平面假设导出的扭转圆 轴的应力、变形公式，对非 圆截面杆均不再适用。有关 矩形截面杆和薄壁截面杆扭
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二、圆轴扭转时的刚度计算
设计轴类构件时，不仅要满足强度要求，有些轴还要考虑
刚度问题。工程上通常是限制单位长度的扭角，使它不超过
规定的许用值[ ]。由式(7-6)可知，单位长度的扭角为
Mn GI
于是建立圆轴扭转的刚度条件为
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AB
M n1l AB 0.048rad GI
80
+
0
BC段的扭角为
800Nm
x
BC
M n 2lBC 800 1 rad 0.04rad 9 6 GI 80 10 0.25 10
由此得轴的总扭角
AC AB BC (0.048 0.04)rad 0.008rad
一空心轴外径D＝100mm，内径d=50mm，G=80GPa， [ ]=0.75/m。试 求该轴所能承受的最大扭矩Mnmax 。
解 由刚度条件式(7-7)得
M n 180 [ ] GI π
Mnmax
式中
例 7≤[]GI /180

π π I= (D4- d4)= (1004-504) mm4=9.2106 mm4 32 32