圆轴扭转时的变形与刚度计算
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第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
圆轴扭转后横截面保持平面
第一个结论
圆轴扭转时，横截 面保持平面，平面上 各点只能在平面内转 动
圆轴扭转后横截面保持平面
假设平面不是刚性转动， 直径将变成曲线，A端观察 者看到的情形。
圆轴扭转后横截面保持平面
假设平面不是刚性转动， 直径将变成曲线，B端观察 者看到的情形。
圆轴扭转后横截面保持平面
最终结论
圆轴扭转时，横 截面 保持平面，并且 只能发生刚性转动。
圆轴扭转后横截面保持平面
变形协调方程
圆轴扭转时的变形协调方程
若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论，在dx长度 上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d，但半径不等的圆柱上产生的剪 应变各不相同，半径越小者剪应变越小。
其中P为功率，单位为千瓦（kW）； n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
P[马力]
Me
7024 n[r / min]
[N m]
若P为功率，单位为马力 （1马力=735.5 N•m/s ）
n为轴的转速，单位为转/分（r/min）
4.1外加扭力矩、扭矩与 扭矩图
max
M x,max Wp
[ ]
[ ]为许用剪应力；是指圆轴所有横截面
上最大剪应力中的最大者，
钢 [ ] (0.5 ~ 0.6)[ ] 铸铁 [ ] (0.8 ~ 1)[ ]
例题1
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大剪应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直 径之比 = 0.5。二轴长度相同。
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
圆轴扭转时横截面上的最大剪应力
圆 轴扭转时的变形和刚度计算
a＜[
]
60MP
a
可见强度满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
4）刚度校核。轴的单位长度最大扭转角为
＝
max
Tmax GIp
180＝
2．86103 N m
π 80109 P a 6.44106
m4
180 3．14
＝0．318 / m 1.1 / m
可见刚度也满足要求。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【例3.6】 一钢制传动圆轴。材料的切变模量G=79×103MPa，
许用切应力[τ]= 88.2 MPa，单位长度许用扭转角 0.5 /m，承受
的扭矩为T = 39.6 kN·m。试根据强度条件和刚度条件设计圆轴的直 径D。
【解】 1）按强度条件设计圆轴的直径。由强度条件
＝Tmax W max
床的加工精度；机器的传动轴如有过大的扭转变形，将使机器在运
转时产生较大振动。因此，必须对轴的扭转变形加以限制，即使其
满足刚度条件：
＝Tmax max GIp
式中：[ ]——单位长度许用扭转角，单位为rad/m，其数值是由轴
上荷载的性质及轴的工作条件等因素决定的，可从有关设计手册中
查到。在工程实际中，[ ]的单位通常为 /m ，因而刚度条件变为
Gπ2[ ]
3 21 8 0 3 9.6 1 03
79109 2 0.5 m 0.156m 156mm
故取D＝160mm，显然轴能同时满足强度条件和刚度条件。
目录
力学
该轴的强度和刚度。
目录
扭转\圆轴扭转时的变形和刚度计算
【解】 1）计算外力偶矩。
M eA
9549
扭转刚度计算.
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ ] =1.0°/m，工作时最 内径d=85mm，许用切应力 [ ]=60MPa，
大力偶矩M =1500N· m，G =80GPa。
(1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。
max 180M n /(GI P ) [θ ]
下列标准。 精密机械的轴 一般传动轴
(6-13)
[ ]的数值，可从有关手册中查得。一般情况下，可参照 [ ] =（0.25~0.5）°/m [ ] =(0.5~1.0) °/m [ ] =(1.0~2.5) °/m
精度要求不高的轴
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
M n Wn [ ] (0.2 403 109 60106 )N m 768N m
M M n 768N m
(2) 确定最大功率
由式（6-1）得
P M nn / 9550 (768 200/ 9550 )kW 16kW
二、刚度计算 圆轴扭转时，还要求不产生过大的扭转变形。即
第四节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
，即
max M n/W n [ ]
(6-12)
例6-4 某传动轴，已知轴的直径d=40mm，转速n=200r/min， 材料的许用切应力 60MPa ，试求此轴可传递的最大功率。
解 (1)确定许可外力偶矩
由扭转强度条件得
0.8/m ＜ [ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强
轴的扭转刚度计算
Hypermesh求解
长度单位全部为毫米（mm） 最大应变为1.936e-4mm 扭转角度=最大应变/(r/2)=3.872e-5rad=2.219deg 扭转刚度 Kt=T/扭转角度=4.507 Nm/deg
计算结果对比
公式计算 直径/mm 长度/mm 扭矩/N
剪切模量 Ip
扭转角度/rad 扭转角度/deg 刚度/N/deg
10
300
0.01 8.00E+10 9.82E-10
3.82E-05
2.19E-03 4.57E+00
hypermes量 2.10E+11
扭转角度/rad 扭转角度/deg 刚度/N/deg 0.00003872 0.00221849 4.5075758
轴的扭转刚度计算方法
张志军
扭转变形计算公式：
扭转角(φ)：圆轴扭转时两横截面相对转过的角度。
G—剪切弹性模量
几种材料特性举例：
公式求解：
已知：直径为10mm，长度为300mm，受到扭矩为 0.01Nm，求扭转刚度？
首先将长度单位化为米(m) Ip=π*d^4/32=9.82e-10 扭转角度=T*l/(G*Ip)=3.82e-5 rad=2.19e-3 deg 扭转刚度Kt=T/扭转角度=4.57 Nm/deg
工程力学第8章 变形及刚度计算
39
40
解 （1）静力方面 取结点 A为研究对象，分析其受 力如图 8.15（b）所示，列出平衡方程：
（2）几何方面
（3）物理方面 由胡克定律，有：
41
（4）补充方程 式（u）代入式（t），得：
再积分一次，得挠度方程
15
16
17
18
例8.5 图8.7所示等截面简支梁受集中力F作用，已 知梁的抗弯刚度为EI，试求C截面处的挠度yC和A截面 的转角θA。
19
解 取坐标系如图所示，设左、右两段任一横截面 形心的坐标、挠度和转角分别为x1，y1，θ1和x2，y2， θ2。梁的支反力为
20
2
3
8.1.2 横向变形及泊松比 定义
4
5
8.2 圆轴扭转时的变形和刚度计算
8.2.1 圆轴扭转时的变形 在7.6节中提到，圆轴扭转时的变形可用相对扭转角 φ来表示，而扭转变形程度可用单位长度扭转角θ来表示。 由7.6.2节中的式（d），即
6
8.2.2 刚度计算 有些轴，除了满足强度条件外，还需要对其变形加 以限制，如机械工程中受力较大的主轴。工程中常限制 单位长度扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
（3）物理方面 由胡克定律，可得：
37
（4）补充方程 将式（q）代入式（p），可得：
（5）求解 联立求解方程（o）和（r），可得：
38
由上例可以看出解超静定问题的一般步骤为： （1）选取基本体系，列静力平衡方程； （2）列出变形谐调条件； （3）物理方面，将杆件的变形用力表示； （4）将物理关系式代入变形谐调条件，得到补充 方程； （5）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。
34
（1）静力方面 选取右端约束为多余约束，去掉该约束并代之以多 余支反力FB，如图8.14（b）所示，称为原超静定问题 的基本体系。所谓基本体系，是指去掉原超静定结构的 所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定 结构。列出其平衡方程为：
11圆轴扭转变形与刚度计算
§7.5
圆轴扭转变形与刚度计算
m m
d T dx GI p
1
一、圆轴扭转变形公式
由
m
m
T ( x )dx 满足平面假设的圆轴： GI p ( x ) l Tl T=Const，等截面圆轴： GI p
GIp－抗扭刚度
d T dx GI p
Ti l i Ti，Ipi在各段内为常数的轴： i 1 GI pi
6
2. 用截面法求 各段内的扭矩
mB+T1=0
T1 350N m
mB+ mC+ T2=0 T2 700N m
-mD+ T3=0 T3 446N m 3. 作扭矩图
7
4. 确定最大扭矩
T max T2 700N m
5. 强度设计
max
d0
T
max
m d2 x l
10
d1
解：设距左端为 x 的任 意横截面的直径为 d(x) ， 按比例关系可得 d2
d1 d 2 x d d2 1 d2 l
x
l
m
d1
此横截面的极惯性矩为
d1 d 2 x Ip 1 32 32 d2 l
d
4
d2
or
T 180 [ ] GI p max
/ m
等截面圆轴扭转的刚度条件为：
Tmax [ ] (rad/m) GI p
or
Tmax 180 [ ] GI p
/ m
4
【例题1】
传动轴图所示。主动轮A输入功率 PA=36kw ， 从 动 轮 B 、 C 、 D 输 出 功 率 分 别 为 PB=PC=11kW ， PD=14kW ，轴的转速为 n=300r/min ， 许用切应力为[]=50MPa，切变模量为G=80GPa，单 位长度许用扭转角为[]=0.5()/m。试确定： 实心圆截面轴的直径d0；
圆轴扭转变形与刚度计算
m m
d T dx GI p
1
一、圆轴扭转变形公式
由
m
m
T ( x )dx 满足平面假设的圆轴： GI p ( x ) l Tl T=Const，等截面圆轴： GI p
GIp－抗扭刚度
d T dx GI p
Ti l i Ti，Ipi在各段内为常数的轴： i 1 GI pi
6
2. 用截面法求 各段内的扭矩
mB+T1=0
T1 350N m
mB+ mC+ T2=0 T2 700N m
-mD+ T3=0 T3 446N m 3. 作扭矩图
7
4. 确定最大扭矩
T max T2 700N m
5. 强度设计
max
d0
T
max
m d2 x l
10
d1
解：设距左端为 x 的任 意横截面的直径为 d(x) ， 按比例关系可得 d2
d1 d 2 x d d2 1 d2 l
x
l
m
d1
此横截面的极惯性矩为
d1 d 2 x Ip 1 32 32 d2 l
d
4
d2
or
T 180 [ ] GI p max
/ m
等截面圆轴扭转的刚度条件为：
Tmax [ ] (rad/m) GI p
or
Tmax 180 [ ] GI p
/ m
4
【例题1】
传动轴图所示。主动轮A输入功率 PA=36kw ， 从 动 轮 B 、 C 、 D 输 出 功 率 分 别 为 PB=PC=11kW ， PD=14kW ，轴的转速为 n=300r/min ， 许用切应力为[]=50MPa，切变模量为G=80GPa，单 位长度许用扭转角为[]=0.5()/m。试确定： 实心圆截面轴的直径d0；
材料力学-第4章圆轴扭转时的强度与刚度计算
B
I
C
A
II
D
III
I
II
III
M
x
0
确定各段圆轴内的扭 矩。
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
3 ． 建立 Mx － x 坐 标系，画出扭矩图 建 立 Mx － x 坐 标 系，其中x轴平行于 圆轴的轴线，Mx轴垂 直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩 值，标在 Mx － x 坐标 系中，得到相应的点 ，过这些点作x轴的 平行线，即得到所需 要的扭矩图。
P M e 9549 [N m] n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/ 分（r/min）。 如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s），则
P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 剪应力互等定理 剪切胡克定律
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件 结论与讨论
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
绘出扭矩图：
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
B C
I
外加扭力矩、扭矩与扭矩图 A III D II
I 扭矩Mn-图
II
III
159.2
（+）
（-）
63.7 159.2
M n,max 159.2( N m)
（在CA段和AD段）
I
C
A
II
D
III
I
II
III
M
x
0
确定各段圆轴内的扭 矩。
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
3 ． 建立 Mx － x 坐 标系，画出扭矩图 建 立 Mx － x 坐 标 系，其中x轴平行于 圆轴的轴线，Mx轴垂 直于圆轴的轴线。将 所求得的各段的扭矩 值，标在 Mx － x 坐标 系中，得到相应的点 ，过这些点作x轴的 平行线，即得到所需 要的扭矩图。
P M e 9549 [N m] n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/ 分（r/min）。 如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s），则
P[马力] M e 7024 [N m] n[r / min]
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 剪应力互等定理 剪切胡克定律
圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计 圆杆扭转时的变形及刚度条件 结论与讨论
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
工程中承受扭转的圆轴
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
绘出扭矩图：
第4章 圆轴扭转时的强度与刚度计算
B C
I
外加扭力矩、扭矩与扭矩图 A III D II
I 扭矩Mn-图
II
III
159.2
（+）
（-）
63.7 159.2
M n,max 159.2( N m)
（在CA段和AD段）
工程力学第8章 变形及刚度计算
第8章 变形及刚度计算
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
56
8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
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8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
53
54
工程力学-圆轴扭转变形分析
P=7.5kW,轴的转速n=80r/min。试选择实心圆轴的直径d和空心圆轴的外
径d 2。己知空心圆轴的内外径之比=d 1/d 2=0.8,许用扭转切应力 [τ]=40MPa。
解：（1）外力偶矩为
M e 9550 7.5 N m 895 .3 N m 80
（2）扭矩为 T = Me = 895.3N· m （3）实心圆轴直径 根据强度条件
各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其分布 规律如图
圆轴扭转时，最大切应力 max 发生在圆轴表面。当ρ=R 时，其值为：
TR T max Ip IP / R
令 Wp
Ip R
max
T Wp
Wp称为扭转截面系数，它表示截面抵抗扭转破坏的能 力，单位是（mm）3。
工程中承受扭转的圆轴通常采用实心圆轴和空心圆轴两种形
max
T 16T 3 Wp πd
16 T 3 16 895.3 d 3 m 0.048m 48mm 6 [ ] 3.14 40 10
（4）空心圆轴外径
根据强度条件
max
T 16T 3 4 Wp πd 2 (1 )
16 T 16 895.3 3 d2 m 4 6 4 [ ](1 ) 3.14 40 10 (1 0.8 )
3
0.058m 58m m
内径d 1=α×d 2= 0.8×58 mm = 46.4mm
（5）比较重量
在长度相等、材料相同的情况下，空心圆轴与实心圆 轴重量之比等于横截面面积之比，即
四、圆轴扭转时的强度 计算
圆轴的扭转的强度条件
max
Tmax Wp
扭转刚度
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T
D
D 2
FD 扭矩： 扭矩： T = 2
簧丝横截面上的应力： 簧丝横截面上的应力：
FS
1、剪力 F 引起的 τ1 近似 、 S 认为是均匀分布 2、扭矩 T 引起的 τ 2 按照 、 圆轴扭转计算
τ1
τ 2max
簧丝横截面上的应力： 簧丝横截面上的应力：
τ1 =
π
F d2
4F = πd 2
τ1
A d
簧丝横截面上的应力： 簧丝横截面上的应力：
τ max
8FD d = +1 A 3 πd 2D
τ1
τ 2max
A
对于簧丝的直径 d 远小 于弹簧的中径D的情况 的情况， 于弹簧的中径 的情况，
d
τ max
8FD ≅ πd 3
在考虑簧丝的曲率和
τ1 分布不均匀时： 分布不均匀时：
二、圆轴扭转刚度的计算 ϕ ′= ϕ 单位长度扭转角
l
T 显然 ϕ′ = GIP
圆轴扭转刚度条件为： 圆轴扭转刚度条件为：
ϕ′ ≤ [ϕ′]
单位长度扭转角的许可值
[ϕ′] ( ) m
0
圆轴扭转刚度条件为： 圆轴扭转刚度条件为：
T 180 GI × π ≤ [ϕ′] P m ax
Tmax =155 N ⋅ m
轴的强度条件为： 轴的强度条件为：
Tmax 16Tmax = = ≤ [τ ] 3 πD W t
16Tmax
MⅡ
T(N ⋅ m)
MⅢ
MⅣ
τ max
D≥3
π [τ ]
=3
16×155 π × 40×106
39.3
T
D
D 2
FD 扭矩： 扭矩： T = 2
簧丝横截面上的应力： 簧丝横截面上的应力：
FS
1、剪力 F 引起的 τ1 近似 、 S 认为是均匀分布 2、扭矩 T 引起的 τ 2 按照 、 圆轴扭转计算
τ1
τ 2max
簧丝横截面上的应力： 簧丝横截面上的应力：
τ1 =
π
F d2
4F = πd 2
τ1
A d
簧丝横截面上的应力： 簧丝横截面上的应力：
τ max
8FD d = +1 A 3 πd 2D
τ1
τ 2max
A
对于簧丝的直径 d 远小 于弹簧的中径D的情况 的情况， 于弹簧的中径 的情况，
d
τ max
8FD ≅ πd 3
在考虑簧丝的曲率和
τ1 分布不均匀时： 分布不均匀时：
二、圆轴扭转刚度的计算 ϕ ′= ϕ 单位长度扭转角
l
T 显然 ϕ′ = GIP
圆轴扭转刚度条件为： 圆轴扭转刚度条件为：
ϕ′ ≤ [ϕ′]
单位长度扭转角的许可值
[ϕ′] ( ) m
0
圆轴扭转刚度条件为： 圆轴扭转刚度条件为：
T 180 GI × π ≤ [ϕ′] P m ax
Tmax =155 N ⋅ m
轴的强度条件为： 轴的强度条件为：
Tmax 16Tmax = = ≤ [τ ] 3 πD W t
16Tmax
MⅡ
T(N ⋅ m)
MⅢ
MⅣ
τ max
D≥3
π [τ ]
=3
16×155 π × 40×106
39.3
圆轴扭转时的强度和刚度计算
A1 / A2 = [π (D 2 − d 2 ) / 4] /(πD 2 2 / 4) = (90 2 − 852 ) / 612 = 0.235
传动轴满足强度要求。 2)刚度校核 传动轴的极惯性矩为
I P = 0.1D 4 (1 − a 4 ) = {0.1 × 90 4 [1 − (85 / 90 ) 4 ]}mm 4 = 134 × 10 4 mm 4 θ max = 180 M n /(πGI P )
= (180 × 1500 × 10 3 / 80 × 10 3 × 134 × 10 4 π ) × 10 3 °/m
= 0.8°/m ＜ [θ ]
传动轴满足刚度要求。 (2)计算实心轴的直径
1)按强度条件设计(设直径为D1)。若实心轴与空心轴强 度相同，当材料相同时，它们的抗扭截面系数应相等，即
W n = πD 13 / 16 = πD 3 (1 Βιβλιοθήκη a 4 ) / 16由此得
D 1 = D3 1 − a 4 = [90 × 3 1 − (85 / 90) 4 ]mm = 53mm
根据扭转刚度条件，可以解决三类问题， 即校核刚度、 设计截面和确定许可载荷 。
例6-5 汽车传动轴AB由45号无缝钢管制成，外径D=90mm,
[ 内径d=85mm，许用切应力 [τ ]=60MPa，θ ] =1.0°/m，工作时最
大力偶矩M =1500N·m，G =80GPa。 (1)试校核其强度及刚度。 (2)若将AB轴改为实心轴，试求其直径。 (3)比较空心轴和实心轴的重量。 解 (1)试校核其强度及刚度。 1) 强度校核 传动轴各截面上的扭矩均为
θ max = 180M n /(πGI P ) ≤ [θ ]
(6-13)
圆轴扭转时的变形、刚度计算
功率分别为 剪切弹性模
N A =10 kW，N B G＝80GPa，若
=12 kW，N D=18
＝50MPa，
kW。材料的
＝0.3º/m，
试按强度条件和刚度条件设计此轴的直径。
解（1）求外力偶矩
MA MB
MC
d
M M
A B
9549 9549
NA
n NB
n
9549 10 318(N m) 300
工程力学
圆轴扭转时的变形、刚度计算
一、变形：（相对扭转角）
MT
GIP
d
dx
d
dx
MT GIP
d MT dx
GIP
MT dx L GIP —— T T (x) MT L
GIP —— T=常量
单位：弧度（rad）。 GIP——抗扭刚度。
MT L
GIP
——T=常量,且分段。
注意： “MT” 代入其“＋、－”号
AB
MT 3 M D 573（N·m)
(Nm) MT
d
MC
MD
(a)
C
D
573 N∙m
x
MT max 700N m
318 N∙m
(b)
（3）按强度条件设计轴的直径：由强度条件 700N∙m
max
MT ,max Wp
[ ]
Wp
d 3
16
得
d 3 16M n max
16 700103 3
9549 12 382(N m) 300
A
B
C
MC
9549
NC n
9549 40 300
1273(N m)
MD
第5节 圆轴扭转时的变形和刚度计算
第六章 圆轴的扭转
第五节 圆轴扭转时的变形和刚度计算
一、扭转变形 扭转角：圆轴扭转时，两横截 面相对转过的角度称为这两截 面的相对扭转角。 T d dx l l GI P
A M BO
M
若在圆轴的l长度内，T、G、IP 均为常数， Tl GI P 则圆轴两端截面的相对扭转角为：
A空 A实 4
(D d )
2 2
4
45
2
1245 0 . 61 2025
可见空心圆轴所用材料只占实心轴所用材料 的61%，节约了材料。
T2 M
B
A C D
M
468Nm
468 1168 700 N m
3-3截面的扭矩
T3 M
C
350 N m
绘出的扭矩图如图所示。显然AC段扭矩最大， 由于是等截面圆轴，故危险截面在AC段内。
第六章 圆轴的扭转
3） 强度校核
max
T 700 16 Pa 3 9 WP 45 10
第六章 圆轴的扭转
例6-3 传动轴如图所示，已知轴的直径d=45mm， 转速n =300r/min。主动轮A输入的功率PA=36.7KW； 从动轮B、C、D输出的功率分别为PB=14.7KW，PC= PD=11KW。轴材料的剪切弹性模量G=80GPa，许用切 应力[ ]=40MPa，单位长度的许用扭转角[ ]=1.5/m， 试校核轴的强度和刚度。
T 700 16 38 . 4 MPa 3 4 WP D (1 )
700 16
4 6
3
(1 0 . 7 ) 38 . 4 10
m 0 . 049 m 49 mm
第五节 圆轴扭转时的变形和刚度计算
一、扭转变形 扭转角：圆轴扭转时，两横截 面相对转过的角度称为这两截 面的相对扭转角。 T d dx l l GI P
A M BO
M
若在圆轴的l长度内，T、G、IP 均为常数， Tl GI P 则圆轴两端截面的相对扭转角为：
A空 A实 4
(D d )
2 2
4
45
2
1245 0 . 61 2025
可见空心圆轴所用材料只占实心轴所用材料 的61%，节约了材料。
T2 M
B
A C D
M
468Nm
468 1168 700 N m
3-3截面的扭矩
T3 M
C
350 N m
绘出的扭矩图如图所示。显然AC段扭矩最大， 由于是等截面圆轴，故危险截面在AC段内。
第六章 圆轴的扭转
3） 强度校核
max
T 700 16 Pa 3 9 WP 45 10
第六章 圆轴的扭转
例6-3 传动轴如图所示，已知轴的直径d=45mm， 转速n =300r/min。主动轮A输入的功率PA=36.7KW； 从动轮B、C、D输出的功率分别为PB=14.7KW，PC= PD=11KW。轴材料的剪切弹性模量G=80GPa，许用切 应力[ ]=40MPa，单位长度的许用扭转角[ ]=1.5/m， 试校核轴的强度和刚度。
T 700 16 38 . 4 MPa 3 4 WP D (1 )
700 16
4 6
3
(1 0 . 7 ) 38 . 4 10
m 0 . 049 m 49 mm
工程力学基础课件：第7章 圆轴扭转时的应力变形分析及强度和刚度设计
实心圆截面
空心圆截面
薄壁圆环截面
t/R0<1/10
I p
d 2 23d D4
0
32
I
p
D4
32
(1
4)
I p R02 dA 2R03t
WT
D4
D
/ 32 2
D3
16
WT
I p D3 (1 4 )
D 2 16
WT
Ip R0
2R02t
例：由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模
3. 静力学关系
G
G
d
dx
静力等效原理（合力矩定理）
分力系：分布于横截面上的剪应力
合力系：扭矩MT
A ( dA) MT
G
G
d
dx
MT
A ( dA)
(G d dA) G d
A dx
dx
2dA
A
引入记号
Ip
2dA
A
WT
Ip R
G
d
dx
G
MT GI p
max
MT R Ip
MT Ip /R
dx
扭转圆轴时横截面上距离圆心 处的剪应变
2. 物理关系
对线性弹性材料，根据剪切胡克定律，在弹性范围内有
G
G
d
dx
tan 1 G
O
推论一：圆轴扭转时横截面上只有垂直于半径方向的剪应力， 而无正应力。
推论二：横截面上各点剪应变与该点到轴心的距离成正比。
推论三：横截面上各点剪应力与该点到轴心的距离成正比。
d MT
dx GI p
MT
Ip
max
材料力学课件：第3章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度计算计算
韧性材料:不耐剪,最大剪应力所处截面是”最短木板”! 破坏方式是被剪断!
脆性材料:不耐拉,最大拉应力所处截面是”最短木板”! 破坏方式是被拉断!
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转强度设计
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转强度设计
与拉伸强度设计相类似，扭转强度设计时，首先需要根 据扭矩图和横截面的尺寸判断可能的危险截面；然后根据 危险截面上的应力分布确定危险点（即最大剪应力作用 点）；最后利用试验结果直接建立扭转时的强度设计准则。
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转实验与扭转破坏现象
韧性材料与脆性材料扭 转破坏时，其试样断口有着 明显的区别。韧性材料试样 最后沿横截面剪断，断口比 较光滑、平整。
铸铁试样扭转破坏时沿 45°螺旋面断开，断口呈细 小颗粒状。
经济学术语中的“木桶效应”，是说对于一个沿口 不齐的木桶而言，它盛水的多少并不在于木桶上那 块最长的木板，而在于木桶上最短的那块木板。
已知：钢制空心圆轴的外直径D＝100 mm，内直径d＝50 mm。若要求轴在2 m长度内的最大相对扭转角不超过1.5()，材 料的切变模量G＝80.4 GPa。
试： 1． 求该轴所能承受的最大扭矩； 2． 确定此时轴内最大剪应力。
解： 1．确定轴所能承受的最大扭矩 根据刚度设计准则，有
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
＝
max
Mx WP
＝16M x πd13
＝16
1.5kN πd13
m
103
＝50.9
106
Pa
据此，实心轴的直径
d1＝3
16 1.5kN m 103＝53.1103 m＝53.1mm π 50.9 106 Pa
脆性材料:不耐拉,最大拉应力所处截面是”最短木板”! 破坏方式是被拉断!
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转强度设计
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转强度设计
与拉伸强度设计相类似，扭转强度设计时，首先需要根 据扭矩图和横截面的尺寸判断可能的危险截面；然后根据 危险截面上的应力分布确定危险点（即最大剪应力作用 点）；最后利用试验结果直接建立扭转时的强度设计准则。
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转实验与扭转破坏现象
韧性材料与脆性材料扭 转破坏时，其试样断口有着 明显的区别。韧性材料试样 最后沿横截面剪断，断口比 较光滑、平整。
铸铁试样扭转破坏时沿 45°螺旋面断开，断口呈细 小颗粒状。
经济学术语中的“木桶效应”，是说对于一个沿口 不齐的木桶而言，它盛水的多少并不在于木桶上那 块最长的木板，而在于木桶上最短的那块木板。
已知：钢制空心圆轴的外直径D＝100 mm，内直径d＝50 mm。若要求轴在2 m长度内的最大相对扭转角不超过1.5()，材 料的切变模量G＝80.4 GPa。
试： 1． 求该轴所能承受的最大扭矩； 2． 确定此时轴内最大剪应力。
解： 1．确定轴所能承受的最大扭矩 根据刚度设计准则，有
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
＝
max
Mx WP
＝16M x πd13
＝16
1.5kN πd13
m
103
＝50.9
106
Pa
据此，实心轴的直径
d1＝3
16 1.5kN m 103＝53.1103 m＝53.1mm π 50.9 106 Pa
第九章扭转杆件的强度与刚度计算
max
Tmax GIp
180
Tmax
180
G ( D4 / 32)
[]
D4
32Tmax 180
G 2 []
0.0297 m
D 30 mm
作业： 9-1； 9-2； 9-7； 9-8
BA
M x(CB)l GJp
M x(BA)l GJp
0.5 32
8.21010 0.14 (5000 2000)
1.86103弧度 1.86103 180
0.107
9-2 圆轴扭转时的强度和刚度计算
圆轴扭转强度条件
强度条件:
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件:
max
Tmax GIp
3．计算相对扭转角
根据dϕ/dx=Tx/(GIp)，这是单位长度的扭转角，相距 dx的两个截面的扭转角为dϕ=Txdx/(GIp)。在AB和
BC中扭矩沿长度方向无变化，因此两个端截面（A和
B，B和C）的相对扭转角为ϕ=Tx/(GIp)。但二者是反
向的。于是C截面相对于A截面的相对扭转角为
C A
CB
G
G
G
d
dx
切应力沿半 径呈线性分 布。
3 静力关系 横截面上内 力系对圆心 的矩应等于 扭矩T。
A
d
A
T
即: T A d A
G d d A G d
A
dx
dx
2 d A
A
记
Ip
2d A
A
T
GIp
d
dx
横截面对圆心O的极惯性矩。
d T
d x GIp
记
Ip
2d A
18圆轴扭转的强度和刚度计算
圆轴扭转刚度条件 上两式中， max 的单位为rad/m，而工程上单位长度许
用扭转角的单位一般用给出，因此，应用时要注意单位的 统一。考虑和的单位换算，则得：
maxTGmPIax180[]
对于一般传动轴[， ] 为0.5/m~1/m，对于精密
机器和仪表中的轴，[ ] 值可根据有关设计标准和规范
确定。
15
圆轴扭转变形时校核
扭 转 角：
Tl
GI P
强度条件：
max
Tmax[]
Wp
刚度条件： maxTGmIapx[]
归纳总结
16
实例分析
【例1】一等截面圆轴，以转速n=300r/min，传递功率 P=331kW，若圆轴材料的许用切应力为40MPa，单位 长度许用扭转角为0.5o/m，材料的切变模量G=80GPa。 试计算圆轴最小直径。
21
巩固练习
【练习2】如图所示，切蔗机主轴由电动机经三角 皮带轮带动。已知电动机功率P=35kW，主轴转速 n=580r/min，主轴直径d=120mm，轴的许用切应 力为：[]40MP，a 试校核主轴强度（不考虑传动 损耗）。
22
任务归纳
任务归纳
掌握两种校核 —— 强度和刚度 会求一种应力 —— 截面切应力
13
Байду номын сангаас
刚度条件
圆轴扭转刚度条件
一般来说，对于有精度要求和限制振动的机械，都需 要考虑轴的刚度满足要求。在扭转问题中，通常是限制最 大的单位长度扭转角不得超过单位长度许用扭转角。应此， 对于等截面圆轴，其扭转刚度条件为：
T
max
max
GIP
[ ]
对于变截面圆轴：
maxGTPI
用扭转角的单位一般用给出，因此，应用时要注意单位的 统一。考虑和的单位换算，则得：
maxTGmPIax180[]
对于一般传动轴[， ] 为0.5/m~1/m，对于精密
机器和仪表中的轴，[ ] 值可根据有关设计标准和规范
确定。
15
圆轴扭转变形时校核
扭 转 角：
Tl
GI P
强度条件：
max
Tmax[]
Wp
刚度条件： maxTGmIapx[]
归纳总结
16
实例分析
【例1】一等截面圆轴，以转速n=300r/min，传递功率 P=331kW，若圆轴材料的许用切应力为40MPa，单位 长度许用扭转角为0.5o/m，材料的切变模量G=80GPa。 试计算圆轴最小直径。
21
巩固练习
【练习2】如图所示，切蔗机主轴由电动机经三角 皮带轮带动。已知电动机功率P=35kW，主轴转速 n=580r/min，主轴直径d=120mm，轴的许用切应 力为：[]40MP，a 试校核主轴强度（不考虑传动 损耗）。
22
任务归纳
任务归纳
掌握两种校核 —— 强度和刚度 会求一种应力 —— 截面切应力
13
Байду номын сангаас
刚度条件
圆轴扭转刚度条件
一般来说，对于有精度要求和限制振动的机械，都需 要考虑轴的刚度满足要求。在扭转问题中，通常是限制最 大的单位长度扭转角不得超过单位长度许用扭转角。应此， 对于等截面圆轴，其扭转刚度条件为：
T
max
max
GIP
[ ]
对于变截面圆轴：
maxGTPI
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解 1)求外力偶矩。
MA=159.2Nm； MB=318.3Nm； MC=955Nm ； MD=5Nm 2)画扭矩图。首先计算各段扭矩 AB段： BC段： CD段： Mn1=-159.2N· m Mn2=- 477.5N· m Mn3=477.5N· m
A 1
5
3 6 0 . 75 80 10 9 . 2 10 π Mn= N mm 3 180 10 =9.63106Nmm= 9.63kNm
所以
Mnmax=9.63kNm
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传动轴如图。已知该轴转速 n=300r/min，主动轮输入功率 PC=30kW，从动轮输出功率 PD=15kW，PB=10kW，PA=5kW，材
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已知：d=40mm，G=80GPa，求： 1200Nm 2000Nm 800Nm 总扭角。 解 Mn1=1200Nm Mn2=-800Nm C B A 4 800 1000 πd 6 4 I 0.25 10 m Mn 1200Nm 32
d
MA
MB 1 2 B2
机械工业出版社 M M C 3 D
Mn/Nm
C 3 D 477.5 + x
0 159.2
477.5 Mnmax=477.5Nm
按求得的扭矩值画出扭矩图。 由图可知最大扭矩发生在BC段和CD段，即
3)按强度条件设计轴的直径
M n max πd 3 [ ] 由 Wn 式和强度条件 Wn 16 16M n max 3 16 477.5 103 d 3 mm 39.3mm π π 40
代入上式，得 (7-6)
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一传动轴如图，直径d=40mm， 1200Nm 2000Nm 800Nm 材料的切变模量G=80GPa，载荷如 图示。试计算该轴的总扭角。 C B A 800 1000 解 画出阶梯轴的扭矩图， Mn 1200Nm AB和BC段的扭矩分别为
（7-7）
[ ]值按轴的工作条件和机器的精度来确定，可查阅有关
工程手册，一般规定
精密机器的轴 一般传动轴 [ ]＝0.25/m一0.5/m [ ]＝0.5/m—1.0/m
精度较低的轴
[ ]＝1.0/m一2.5/m
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d
MA
MB B
MC 机械工业出版社 MD C D
A
料的切变模量G=80GPa， 许用切应力[ ]=40MPa，[ ]=l/m。 试按强度条件及刚度条件设计此轴直径。 P 解 1) 求外力偶矩 M 9550 。由可得 n
例7-6
5 M A 9550 N m 159.2 N m 300 10 M B 9550 N m 318.3N m 300 30 M C 9550 N m 955N m 300 15 M D 9550 N m 477.5N m 300
转的一些结论，可参阅有关
资料，这里不再阐述。
退出
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Mn1=1200Nm
Mn2=-800Nm
例7-
80
+
0
圆轴截面的极惯性矩为
πd 4 π 404 1012 4 I m 0.25 106 m 4 32 32
AB段的扭角为
4
800Nm
x
AB
M n1l AB 1200 0.8 rad 0.048rad 9 6 GI 80 10 0.25 10
Mn [ ] GI
式中， 的单位为rad/m。 工程实际中，许用扭角[ ]的单位为()/m，考虑单位的 换算，则得
M n 180 [ ] GI π
（7-7）
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M n 180 [ ] GI π
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第二节 圆轴扭转时的变形与刚度计算
一、圆轴扭转时的变形计算
扭转变形是用两个横截面绕轴线的扭角来表示的。对于 Mn为常值的等截面圆轴，由于其很小，由几何关系可得
AB= l ， AB=R
所以
= l / R
A
Mn
Mn
R O
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AB= l ， AB=R
= l / R
将胡克定律
式中，GI反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭 刚度。 当两个截面间的Mn、G或I为变量时，需分段计算扭角， 然后求其代数和，扭角的正负号与扭矩相同。
Mn G GI M nl GI
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工程上还可能遇到非圆 截面杆的扭转，如正多边形 截面和方形截面的传动轴。 非圆截面杆扭转时，横截面 不再保持平面，即横截面要 发生翘曲。因此。务请注意， 上述平面假设导出的扭转圆 轴的应力、变形公式，对非 圆截面杆均不再适用。有关 矩形截面杆和薄壁截面杆扭
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二、圆轴扭转时的刚度计算
设计轴类构件时，不仅要满足强度要求，有些轴还要考虑
刚度问题。工程上通常是限制单位长度的扭角，使它不超过
规定的许用值[ ]。由式(7-6)可知，单位长度的扭角为
Mn GI
于是建立圆轴扭转的刚度条件为
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AB
M n1l AB 0.048rad GI
80
+
0
BC段的扭角为
800Nm
x
BC
M n 2lBC 800 1 rad 0.04rad 9 6 GI 80 10 0.25 10
由此得轴的总扭角
AC AB BC (0.048 0.04)rad 0.008rad
一空心轴外径D＝100mm，内径d=50mm，G=80GPa， [ ]=0.75/m。试 求该轴所能承受的最大扭矩Mnmax 。
解 由刚度条件式(7-7)得
M n 180 [ ] GI π
Mnmax
式中
例 7≤[]GI /180
π π I= (D4- d4)= (1004-504) mm4=9.2106 mm4 32 32