典型高考数学试题解读与变式考点对数函数的图象与性质Word版含解析

典型高考数学试题解读与变式2018版考点 7 对数函数的图象与性质 【考纲要求】1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数． 【命题规律】高考对对数函数的图象与性质考查题型一般是选择题或填空题，难度中等以下，主要考查对数运算、对数函数的性质及运用、对数函数的图象性质. 【典型高考试题变式】 （一）对数运算例1. 【2017课标1】设x 、y 、z 为正数，且235xyz==，则（ ） A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z << 【答案】D【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示.【变式1】【改变例题中指数式的底数，结论变为求x yz+的值】设x 、y 、z 为正数，且248x y z ==，则x yz+= . 【答案】92【解析】令248(1)xyzk k ===>，则2log x k =，4211log log 22y k k x ===，8211log log 33z k k x ===，所以392123xx y z x +==.【变式2】【改变例题中指数式的底数，结论变为求x 、y 、z 之间的关系式】设x 、y 、z 为正数，且346xyz==，则x 、y 、z 之间的关系式为 .【答案】1112z x y-= 【解析】设346xyzt ===，由0x >知1t >，取以t 为底的对数可得log 3log 4log 61t t t x y z ===，所以1log 3tx =，1log 4t y =，1log 6t z =，所以1111log 6log 3log 2log 422t t t t z x y -=-===， 所以1112z x y-=.（二）对数函数的性质及运用例2.【2017天津，文6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）A.a b c <<B.b a c <<C.c b a <<D.c a b <<【答案】C【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，属于基础题型，首先根据奇函数的性质和对数运算法则，()2log 5a f =，再比较0.822log 5,log 4.1,2比较大小.【变式1】【改变例题的条件】已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝12(log 3)f ，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c 【答案】B【解析】因为12(log 3)f ＝－log 23＝－log 49，所以b ＝12(log 3)f ＝f (－log 49)＝f (log 49)， log 47＜log 49，0.2－0.6＝351()5-334125322log 9=>=>，又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数， 故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，所以0.6142(0,2)(log 3)(log 7)f f f -<<，即c ＜b ＜a ，故选B.【变式2】【改变例题的结论】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则(,),(),()f a f b f c 的大小关系为 .【答案】(,)()()f a f b f c >>（三）对数函数的图像性质例3.【2010全国1】已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且()()f a f b =，则a b +的取值范围是( )A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞ 【答案】C【解析】函数()|lg |f x x =的图象如图所示，由图象知a ，b 一个大于1，一个小于1，不妨设1a >,01b <<. 因为()()f a f b =，所以1()|lg |lg ()lg lgf a a a f b b b ====-=，即1a b=， 所以1122a b b b b b+=+>⨯=. 【名师点睛】本题考查对数函数的图像性质.对数函数图象特点：当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势. 函数式中有绝对值符号，先用分段函数表示.【变式1】【把例题中的()|lg |f x x =改为()lg ||f x x =，结论变为比较大小】已知函数()lg ||f x x =在(0,)+∞上单调递增，则(2)f -、(1)f 、(2018)f 的大小关系为 .【答案】(1)(2)(2018)f f f <-<【解析】因为函数()lg ||f x x =在(0,)+∞上单调递增，所以1a >，(1)(2)(2018)f f f <<．又函数()lg ||f x x =为偶函数，所以(2)(2)f f =-，所以(1)(2)(2018)f f f <-<． 【变式2】【把例题中x 变为1x -，结论变为函数图象判断】函数y ＝lg|x －1|的图象是( )【答案】A【解析】因为lg(1),1lg |1|lg(1),1x x y x x x ->⎧=-=⎨-<⎩，当1x =时，函数无意义，故排除B 、D.又当2x =或0时，0y =，所以A 项符合题意． 【数学思想】① 数形结合思想：借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图象，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数、求不等式的解集等．② 分类讨论思想：画函数图象时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图象． 【温馨提示】①解决与对数有关的问题时：务必先研究函数的定义域；对数函数的单调性取决于底数a ，应注意底数的取值范围．②对公式要熟记，防止混用；③对数函数的单调性、最值与底数a 有关，解题时要按0<a<1和a>1分类讨论，否则易出错．④比较对数式的大小．①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论． 【典例试题演练】1． 【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛，1】已知函数5log ,0,()2,0,x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())25f f =（ ） A ．14 B ．4 C ．-4 D ．14- 【答案】A 【解析】251111()log 2,(())(2)22525254f f f f -==-∴=-==，故选A. 2．【2017山东省烟台市期末】已知1a b >>， 01c <<，则下列不等式正确的是（ ）A. c c a b <B. a bc c > C. log log a b c c > D.log log c c a b >【答案】C3.【2017河南濮阳市一高检测】函数21()log (12)1f x x x =-++的定义域为（ ） A ．1(0,)2 B ．1(,)2-∞ C ．1(1,0)(0,)2-D ．1(,1)(1,)2-∞--【答案】D【解析】由120x ->，10x +≠，得12x <且1x ≠-，所以函数21()log (12)1f x x x =-++的定义域为1(,1)(1,)2-∞--，故选D.4．【2018安徽合肥市调研】若函数()f x 为奇函数，当0x >时， ()2log f x x =，则1(())2f f =（ ）A. 2-B. 1-C. 0D. 1 【答案】C【解析】()()2211(())(log 11log 1022f f f f f ==-=-=-=，故选C. 5．【江西九江地区2017届高三七校联考，7】若函数22()log (3)f x x ax a =--在区间(,2]-∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,4)-∞B ．(4,4]-C ．(,4)[2,)-∞+∞D ．[4,4)-【答案】D【解析】由题意得230x ax a -->在区间(,2]-∞-上恒成立且22a≥-，即2(2)(2)30a a ---->且4a ≥-，解得实数a 的取值范围是[4,4)-，选D.6．【2017山东省德州市模拟】函数()()1ln 12f x x =-的定义域为( )A. 1(,)2-∞-B. 1(0,)2C. ()(),00,-∞+∞ D.()1,0(0,)2-∞【答案】D【解析】函数()()1ln 12f x x =-有意义，可得1−2x >0,且ln(1−2x )≠0，解得x <12且x ≠0，即有定义域为(−∞,0)∪(0,12). 故选D. 7．【2017吉林省梅河口五中模拟】函数()()212log 23f x x x =+-的单调增区间是( )A. (),3-∞-B. (],3-∞- C. (),1-∞- D. ()3,1--【答案】A8.已知()()ln ,0ln ,0x x x f x x x x -->⎧=⎨--+<⎩，则关于m 的不等式11()ln 22f m <-的解集为（ ）A ．1(0,)2B ．()0,2C ．11(,0)(0,)22- D ．()()2,00,2-【答案】C【解析】()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，且左增右减，注意到()12ln22f =-，故112,2m m <->，解得11(,0)(0,)22m ∈-.故选C. 9．【2017河南百校联考】已知()1154279722,(),(),log 979xxf x a b c --=-===，则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a << 【答案】B【解析】()22x xf x -=-为单调递增函数，而11154427997()()(),log 09779a b c -==>==<，所以()()()f c f b f a <<，故选B.10.【2017福建省三明市模拟】若0a >， 0b >，且lg a 和lg b 的等差中项是1，则11a b+的最小值是 ． 【答案】15【解析】因为lg lg lg 2a b ab +==，所以100ab =，所以111112?5a b a b +≥=（当且仅当a b =时等号成立）.11.【湖北2017届百所重点校高三联考，11】设函数()()()211,ln 31f x x g x ax x =-+=-+，若对任意[)10,x ∈+∞，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的最大值为 ．【答案】9412.【2017河南省广东省佛山市检测】函数()211log 1axf x x x+=--为奇函数，则实数a = ．【答案】1【解析】因为函数()f x 为奇函数，所以()221111log log 11ax axf x x x x x-+-=-=-+-+-，即1111x axax x++=--，所以1a =． 13.【2017辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校联考】已知函数()f x 是在定义域R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞单调递增，若实数a 满足()()221log (log )21f a f f a+≤，则a 的取值范围是 .【答案】1[,2]2【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，而2221log log log 10a a+== ，221log log a a=-，所以()221log (log )f a f a = ，由已知不等式化简有()()2log 1,f a f ≤因为()f x 在[)0,+∞为增函数，所以22log 11log 1a a ⎧≤⎪⎨-≤≤⎪⎩，所以122a ≤≤.14.【2017江西九江地区联考】设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域； （2）求()f x 在区间3[0,]2上的值域.【解析】（1）因为(1)2f =，所以log 42(0,1)a a a =>≠，所以2a =.由10,30,x x +>⎧⎨->⎩得(1,3)x ∈-，所以函数()f x 的定义域为(1,3)-.（2）22222()log (1)log (3)log (1)(3)log [(1)4]f x x x x x x =++-=+-=--+，所以当(1,1]x ∈-时，()f x 是增函数；当(1,3)x ∈时，()f x 是减函数.函数()f x 在3[0,]2上的最大值是2(1)log 42f ==，函数()f x 在3[0,]2上的最小值是2315()log 24f =，所以()f x 在区间3[0,]2上的值域是215[log ,2]4. 15.【2016上海卷】已知a ∈R ，函数()f x =21log ()a x+. （1）当 1a =时，解不等式()f x >1；（2）若关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值；（3）设a >0，若对任意t ∈1[,1]2，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【解析】（1）由21log (1)1x +>，得112x+>，解得{}|01x x <<．（2）()2221log ()log 0a x x++=有且仅有一解，等价于21()1a x x+=有且仅有一解，等价于210ax x +-=有且仅有一解． 当0a =时，1x =，符合题意； 当0a ≠时，140a ∆=+=，14a =-． 综上，0a =或14-．。