典型高考数学试题解读与变式考点对数函数的图象与性质Word版含解析

典型高考数学试题解读与变式2018版

考点 7 对数函数的图象与性质 【考纲要求】

1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．

2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型．

4．了解指数函数y ＝a x

与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数． 【命题规律】

高考对对数函数的图象与性质考查题型一般是选择题或填空题，难度中等以下，主要考查对数运算、对数函数的性质及运用、对数函数的图象性质. 【典型高考试题变式】 （一）对数运算

例1. 【2017课标1】设x 、y 、z 为正数，且235x

y

z

==，则（ ） A ．235x y z <<

B ．523z x y <<

C ．352y z x <<

D ．325y x z << 【答案】D

【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示.

【变式1】【改变例题中指数式的底数，结论变为求

x y

z

+的值】设x 、y 、z 为正数，且248x y z ==，则

x y

z

+= . 【答案】

92

【解析】令248(1)x

y

z

k k ===>，则2log x k =，4211log log 22

y k k x ==

=，

8211log log 33z k k x ===，所以39

2123

x

x y z x +==.

【变式2】【改变例题中指数式的底数，结论变为求x 、y 、z 之间的关系式】设x 、y 、z 为正数，且346x

y

z

==，则x 、y 、z 之间的关系式为 .

【答案】

111

2z x y

-= 【解析】设346x

y

z

t ===，由0x >知1t >，取以t 为底的对数可得

log 3log 4log 61t t t x y z ===，

所以1log 3t

x =，1log 4t y =，1log 6t z =，所以1111

log 6log 3log 2log 422t t t t z x y -=-===， 所以1112z x y

-=.

（二）对数函数的性质及运用

例2.【2017天津，文6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若

0.8221

(log ),(log 4.1),(2)5

a f

b f

c f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）

A.a b c <<

B.b a c <<

C.c b a <<

D.c a b <<

【答案】C

【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，属于基础题型，首先根据奇函数的性质和对数运算法则，()2log 5a f =，再比较0.8

22log 5,log 4.1,2比较大

小.

【变式1】【改变例题的条件】已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，

0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝12

(log 3)f ，c ＝f (0.2

－0.6

)，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．c ＜a ＜b

B ．c ＜b ＜a

C ．b ＜c ＜a

D ．a ＜b ＜c 【答案】B

【解析】因为12

(log 3)f ＝－log 23＝－log 49，所以b ＝12

(log 3)f ＝f (－log 49)＝

f (lo

g 49)， log 47＜log 49，

0.2

－0.6

＝3

5

1()5

-334125322log 9=>=>，

又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数， 故f (x )在[0，＋∞)上是单调递减的，

所以0.6142

(0,2)(log 3)(log 7)f f f -<<，即c ＜b ＜a ，故选B.

【变式2】【改变例题的结论】已知奇函数()f x 在R 上是增函数.若

0.8221

(log ),(log 4.1),(2)5

a f

b f

c f =-==，则(,),(),()f a f b f c 的大小关系为 .

【答案】(,)()()f a f b f c >>

（三）对数函数的图像性质

例3.【2010全国1】已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且()()f a f b =，则a b +的取值范围是( )

A ．(1,)+∞

B ．[1,)+∞

C ．(2,)+∞

D ．[2,)+∞ 【答案】C

【解析】函数()|lg |f x x =的图象如图所示，

由图象知a ，b 一个大于1，一个小于1，不妨设1a >,01b <<. 因为()()f a f b =，所以1()|lg |lg ()lg lg

f a a a f b b b ====-=，即1a b

=， 所以11

22a b b b b b

+=+

>⨯=. 【名师点睛】本题考查对数函数的图像性质.对数函数图象特点：当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0

【变式1】【把例题中的()|lg |f x x =改为()lg ||f x x =，结论变为比较大小】已知函数()lg ||f x x =在(0,)+∞上单调递增，则(2)f -、(1)f 、(2018)f 的大小关系为 .

【答案】(1)(2)(2018)f f f <-<

【解析】因为函数()lg ||f x x =在(0,)+∞上单调递增，所以1a >，

(1)(2)(2018)f f f <<．

又函数()lg ||f x x =为偶函数，所以(2)(2)f f =-，所以(1)(2)(2018)f f f <-<． 【变式2】【把例题中x 变为1x -，结论变为函数图象判断】函数y ＝lg|x －1|的图象是( )

【答案】A

【解析】因为lg(1),1

lg |1|lg(1),1

x x y x x x ->⎧=-=⎨

-<⎩，

当1x =时，函数无意义，故排除B 、D.