高一数学必修一恒成立与存在性问题专题复习
函数的恒成立、存在性问题的方法总结大全(干货)
关于函数的恒成立、存在性（能成立）问题关于二次函数的恒成立、存在性（能成立）问题是常考考点，其基本原理如下：（1）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，则：0()00a f x >⎧>⇔⎨∆<⎩恒成立；0()00a f x <⎧<⇔⎨∆<⎩恒成立． （2）若表述为：“已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠”，并未限制为二次函数，则应有：00()000a a b f x c >==⎧⎧>⇔⎨⎨∆<>⎩⎩恒成立或；00()000a a b f x c <==⎧⎧<⇔⎨⎨∆<<⎩⎩恒成立或．注：在考试中容易犯错，要特别注意！！！恒成立问题与存在性（能成立）问题，在解决此类问题时，可转化为其等价形式予以解答，将此类问题的可能出现的17种情形归纳总结大全如下，并通过常考例题进行讲解：已知定义在[,]a b 上的函数()f x ，()g x ．（1）[,]x a b ∀∈，都有()f x k >（k 是常数）成立等价于min [()]f x k >（[,]x a b ∈）． （2）[,]x a b ∀∈，都有()f x k <（k 是常数）成立等价于max [()]f x k <（[,]x a b ∈）． （3）[,]x a b ∀∈，都有()()f x g x >成立等价于min [()()]0f x g x ->（[,]x a b ∈）． （4）[,]x a b ∃∈，都有()()f x g x >成立等价于max [()()]0f x g x ->（[,]x a b ∈）． （5）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12()()f x g x >成立等价于min max [()][()]f x g x >． （6）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x >成立等价于min min [()][()]f x g x >． （7）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∀∈使得12()()f x g x >成立等价于max max [()][()]f x g x >． （8）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x >成立等价于max min [()][()]f x g x >．（9）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x =成立等价于min minmax max [()][()][()][()]g x f x g x f x ≤⎧⎨≥⎩．（10）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x =成立等价于()f x 的值域与()g x 的值域交集不为∅．（11）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x k +≥（k 是常数）成立等价于min max [()][()]f x g x k +≥．（12）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12|()()|f x g x k -≤（k 是常数）成立等价于max min [()][()]g x f x k-≤且．max min [()][()]f x g x k -≤． 特别地，1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12|()()|f x f x k -≤（k 是常数）成立等价于max min ()()f x f x k -≤．（13）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12|()()|f x g x k -≥（k 是常数）成立等价于min max [()][()]g x f x k-≥或．min max [()][()]f x g x k -≥． 特别地，1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12|()()|f x f x k -≥（k 是常数）成立等价于min max ()()f x f x k -≥．（14）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x g x k -≤（k 是常数）成立等价于min max [()][()]g x f x k-≤且．min max [()][()]f x g x k -≤． 特别地，1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x f x k -≤（k 是常数）成立等价于min max ()()f x f x k -≤．（15）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x g x k -≥（k 是常数）成立等价于max min [()][()]g x f x k-≥或．max min [()][()]f x g x k -≥． 特别地，1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x f x k -≥（k 是常数）成立等价于max min ()()f x f x k -≥．（16）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x g x k -≤（k 是常数）成立等价于min min [()][()]g x f x k-≤且．max max [()][()]f x g x k -≤． （17）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x g x k -≥（k 是常数）成立等价于max max [()][()]g x f x k-≥或．min min [()][()]f x g x k -≥． 【评注】（9）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x =成立等价于min minmax max[()][()][()][()]g x f x g x f x ≤⎧⎨≥⎩．()y g x =所在区域能包含()y f x =所在区域时，满足条件．∀⊆∃．题目中有时会这样表述：对任意的1[,]x a b ∈，都有2[,]x a b ∈，使得12()()f x g x =成立，（9）的表达的意思完全相同．所以大家要深入理解定理中的“任意的”、“都有”的内涵：即当1[,]x a b ∈时，()f x 的值域不过是()g x 的子集．【例1】（1）（2010•山东•理14）若对任意0x >，231xa x x ++恒成立，则a 的取值范围是 ． （2）现已知函数2()41f x x x =-+，且设12314n x x x x <<<⋯<，若有12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋯+-，则M 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（3）已知21()lg(31)()()2x f x x x g x m =++=-，，若对任意1[03]x ∈，，存在2[12]x ∈，，使12()()f x g x >，则实数m 的取值范围是 ．（4）已知函数()f x x =，2()252()g x x mx m m R =-+-∈，对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．1[,1]9B ．(,1]-∞C ．(,1][4,)-∞+∞D ．(,1][3,)-∞+∞（5）已知函数2()1f x x x =-+，[1,2]x ∈，函数()1g x ax =-，[1,1]x ∈-，对于任意1[1,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,4]-∞- B ．[4,)+∞C ．(,4][4,)-∞-+∞D ．(,4)(4,)-∞-+∞（6）（2008•天津•文10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为( ) A ．{|12}a a <B ．{|2}a aC ．{|23}a aD ．{2,3}（7）（2008•天津•理15）设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为 ．）0x >，12x∴（当且仅当112353=+15，故答案为：1[,)5+∞．2()x x =-的图象是开口向上，过的抛物线，由图象可知，函数在上单调递减，在上单调递增，12314n x x x x <<<⋯<，(1)2f ∴=-，(2)f =-对应的函数值（2()41f x x x =-+图象上的点的纵坐标）之差的绝对值，结合231)||()()||()()|n n f x f x f x f x -+-+⋯+-表示函数max M ，||(1)(2)f f -5M ，故上单调递增，）法一：()2(2f x x ==-+2,2]时，x 2()3f x ，(f x ∴12)(22)2x x +=--<+，令f 单调递增，当(1,2]x ∈-，也是最大值；又(2)f 22[52m m --∈--，对于任意的的值域的子集，22m ，1m 或4m ，故选：）因为2()f x x x =-0时，()g x 在[1-[1,1]B a a =---，由题意可得，1113-，解得4a ；0时，()g x 在[1-的值域为[1,1]a a ---， 1113-，解得4a -，4][4,)+∞．故选：C ．)3xy =，得，在[,2a a 上单调递减，所以2a ，即2a 故选：B ．）log log a x c +，log a xy c ∴=，cxy a ∴=c a1122a a -⇒223a c log c +⎧⎨⎩的取值的集合为{2}．故答案为：【评注】深入理解（6）题题干中的“任意的”、“都有”的内涵：即当[,2]x a a ∈时，()f x 的值域M 不过是2[,]a a 的子集．值得关注的是：“[,2]x a a ∈”是指每一个这样的x ，2[,]y a a ∈是指存在这样的y ，理解到由函数的定义域导出值域M 是2[,]a a 的子集，由此才有：222[,][,]2a a a a ⊆．（6）与（7）唯一的差别就是：（7）中要求时唯一的，如何转化“唯一”这个条件是本题的关键，与函数的单调性联系起来来进行解答，需要有较强的转化问题的能力． 【例2】已知函数2()[2sin()sin ]cos ,3f x x x x x x R π=++∈．（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若存在05[0,]12x π∈，使不等式0()f x m <成立，求m 的取值范围． ））x ．存在【例3】已知实数0a >，且满足以下条件：①x R ∃∈，|sin |x a >有解；②3[,]44x ππ∀∈，2sin sin 10x a x +-； 求实数a 的取值范围．【解析】实数10得：1sin sin a x-2[,1]2t ∈时，2()2f t f =1sin sin ax -22a ；综上，a 的取值范围是2{1}a a <．【例4】（1）已知函数2()2f x k x k =+，[0,1]x ∈，函数22()32(1)5g x x k k x =-+++，[1,0]x ∈-．对任意1[0,1]x ∈，存在2[1,0]x ∈-，21()()g x f x <成立．求k 的取值范围．（min min ()()g x f x <）（2）已知函数2()2f x k x k =+，[0,1]x ∈．函数22()32(1)5g x x k k x =-+++，[1,0]x ∈-．对任意1[0,1]x ∈，存在2[1,0]x ∈-，21()()g x f x =成立，求k 的取值范围．（()f x 的值域是()g x 的值域的子集即可．） （3）已知函数2()2f x k x k =+，[0,1]x ∈．函数22()32(1)5g x x k k x =-+++，[1,0]x ∈-．存在1[0,1]x ∈，存在2[1,0]x ∈-，21()()g x f x =成立，求k 的取值范围．（()g x 的值域与()f x 的值域的交集非空．）5k ，解得5k ，则求5k ．，当[0,1]x ∈时，函数单调递增，2[,2k k k +2)[5,2210]k k ∈++，[0,1]，存在210]k +，即225222k k k k k ⎧⎨++⎩，解得5k ，则求5k ． 时，函数单调递增，2,2]k k +，1)k x +++10]+，由对存，存在2x 1()f x =成2][5,2k +，即252k k +且22210k k k +，解得4114k-或1414k --．【例5】已知(2)23x f x x =-+． （1）求()f x 的解析式；（2）函数2(2)5()1x a x ag x x +-+-=-，若对任意1[24]x ∈，，总存在2[24]x ∈，，使12()()g x f x =成立，求a 取值范围．，即2()(log )2log f t t =-)(log 2log x x =-+【例6】（1）已知函数1()f x e =-，3(4)g x x x =-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（ ）A ．]2222[+-，B ．)2222(+-，C ．]31[，D ．)31(，（2）已知函数()1x f x e =-，2()44g x x x =-+-．若有()()f a g b =，则b 的取值范围为( ) A．[2-+ B．(2-+ C ．[1,3]D ．(1,3)）()f x e =【例7】（1）（2014•江苏•10）已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 ．（2）已知函数2()(f x x bx c b =++、)c R ∈且当1x时，()0f x ，当13x 时，()0f x 恒成立． （ⅰ）求b ，c 之间的关系式；（ⅱ）当3c 时，是否存在实数m 使得2()()g x f x m x =-在区间(0,)+∞上是单调函数？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．（3）（2017•天津•理8）已知函数23,1()2,1x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a +在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C ．[-D ．39[]16- （4）已知定义域为R 的函数()f x 满足22(())()f f x x x f x x x -+=-+． （①）若(2)3f =，求(1)f ；又若(0)f a =，求()f a ；（①）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式．【解析】（1）二次函数2()1f x x mx =+-的图象开口向上，对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，∴(1)0与(1)0f 同时成立，则必有m ，使满足题设的(g 22()()g x f x b m x c =+-+开口向上，且在0b ．20b m ∴．3c ，1)4b ∴=-．这与上式矛盾，从而能满足题设的实数【评注】本题主要考查一元二次函数的图象与性质．一元二次函数的对称性、最值、单调性是每年高考必考内容，要引起重视．）法一：当1x 时，关于x 的不等式)||2x x a +在R 2332x a x x +-+，2133322x a x x +--+，由132y x =+-的对称轴为14处取得最大值-3的对称轴为334x =处取得最小值47391616a① 时，关于x 的不等式)||2x x a +在R 上恒成立，即为22)2x a x x++， 22)2x a x +，由3232()22322x x x x =-+-=-（当且仅当21)3x =>取得最大值212222x x x =（当且仅当21)x =>取得最小值2．则32a ①由①①可得，47216a ． ()x 的图象和折线||2xa =+，1x 时，y =11145x解得4716a =-；1x >时，y 解得2a =．由图象平移可得，47216a ．故选：法三：根据题意，作出的大致图象，如图所示．【例8】（2012•陕西•理21第2问•文21第3问）设函数2()f x x bx c =++，若对任意1x ，2[1,1]x ∈-，有12|()()|4f x f x -，求b 的取值范围．|4， 4M ，即min 4M ． 2b <-时，min )|(1)f =-102b -<时，即2b 时，24M 恒成立，所以2b ；012b- 时，即20b 时，21)4M 恒成立，所以20b ；综上可得，22b -，即b 的取值范围是。
高一数学必修一专项练习：函数、方程与恒成立、存在性问题(江苏)
函数与方程与恒成立、存在性问题练习1当1(,3)||13a x log x ∈<时，恒成立，则实数a 的范围是____ 2.已知2sin cos 0a x x +->，x R ∈恒成立，则a 的范围为3.若关于x 的不等式ax x ≥++-21恒成立，试求a 的范围为4.方程x(x -1)=a 有四个不相等的实数解求实数a 的范围为5.如果方程cos 2x －sinx ＋a ＝0在(0，π2]上有解，求a 的取值范围为6.sinx=lgx 的实数解的个数为7.已知函数2xy a =+有零点，则实数a 的取值范围为 8.已知关于x 的方程()2log 20,1a x a a -=>≠有两解，则实数a 的范围为9．方程lnx+2x=6的解一定位于区间（k ，k+1）内则k 的值为10.已知函数f x =x 2−1,g x =a x −1 .(1)若关于x 的方程 f(x) =g(x)只有一个实数解，求实数a 的取值范围；（a<0） (2)若x ∈R 时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围。
(a ≤−2)11. 已知函数a x ax x f 21)(2++-=（a 是常数且R a ∈）（1）若函数)(x f 的一个零点是1，求a 的值；（2）求)(x f 在][2,1上的最小值)(a g ； （3）记{}0)(<∈=x f R x A 若φ=A ，求实数a 的取值范围.解(1) 由题意知32022)1(=∴=+-=a a a f …………………2分（2）][2,1,12)(2∈-+-=x a x ax x fⅰ 当0=a 时3)2()(-==f a g ………………3分ⅱ 当 0<a 时，对称轴为021<=ax 36)2()(-==a f a gⅲ 当0a >时抛物线开口向下，对称轴为12x a= 若112a< 即12a >时，()(1)32g a f a ==-若1122a ≤≤即1142a ≤≤时，11()()2124g a f a a a ==--若122a>即104a <<时，()(2)63g a f a ==- ………………7分综上所述： 163,4111()21,442132,2a a g a a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩……………… 8分（3）由题意知：不等式0)(<x f 无解 即 0212≥++-a x ax 恒成立即212++≥x x a 对任意R x ∈恒成立令1+=x t 则)(322t g t t ta =+-≥对任意R t ∈恒成立 ………………12分ⅰ 当0=t 时0)0(=g ……………… 13分 ⅱ 当0>t时 413)3()(max +==g t g （要具体展开计算） ⅲ 当0<t 时413)3()(min -=-=g t g （要具体展开计算）max )(t g a ≥∴ 即413+≥a ………………16分。
高一函数恒成立与存在性问题
函数恒成立与存在性问题沈阳市第十一中学赵拥权（一）基础知识：1.恒成立问题：①②③④⑤⑥2.存在性问题：①②③④⑤⑥3.恒成立与存在性混合不等式问题：①②4.恒成立与存在性混合等式问题：若f(x),g(x)的值域分别为A,B,则①②③5.解决数学恒成立与存在性问题的方法：①函数性质法；②参数分离（主参分离）法；③主参互换法；④数形结合法；典例分析：例一：(1). 已知时不等式恒成立，则x的取值范围为___;(2).不等式对满足的一切实数m都成立，则x的取值范围为___;(3).已知a是实数，函数在x上恒小于零，则实数a的取值范围____;(4).若关于x的不等式在区间(1,4)上恒成立,则实数a的取值范围____;(5). 已知a是实数，函数在x上，则实数a的取值范围____;（6）．不等式对于任意都成立，则m的取值范围为___;.(7).已知函数，当时，恒有f(x)，则a 的取值范围_____(8). 已知函数当时，恒有f(x)，则a的取值范围_____(9) 已知一次函数当时，恒有f(x)，则m 的取值范围_____例二：（1）.若存在实数x,使关于x的不等式成立,则实数a的取值范围____;（2）. 关于x的不等式在区间,则实数a的取值范围____;（3）.关于x的二次方程在区间,则实数m的取值范围____;（4）.不等式对于，则m的取值范围为___;.(5). 当时,不等式有解的取值范围;例三：已知函数①的取值范围;②的取值范围;③的取值范围;④的取值范围;⑤的取值范围;⑥的取值范围;例四：（1.当时,不等式恒成立的取值范围;(2). 当时,不等式恒成立的取值范围;(3).已知若或g(x)，则m的取值范围习题：1. 当时,不等式恒成立的取值范围;2.已知函数f(x)=(2x-a),恒有的取值范围;3.已知函数f(x)=,恒有的取值范围;4. 已知函数f(x)=lg (),恒有的取值范围;5. 已知函数f(x)=,恒有的取值范围;6. 已知函数f(x)=,恒有的取值范围;7. 已知函数f(x)=,恒有的取值范围;8. 已知函数f(x)=,恒有的取值范围;9. 已知函数f(x)=,恒有的取值范围;。
(完整版)恒成立存在性问题
专题 恒成立存在性问题知识点梳理1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈Bx f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；题型一、常见方法1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．3、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。
3.5.4 恒成立和存在性问题 -(人教A版2019必修第一册) (学生版)
恒成立和存在性问题1 恒成立和存在性问题(1)单变量的恒成立问题①∀x∈D , f(x)<a恒成立，则f(x)max<a；②∀x∈D ,f(x)>a恒成立，则f(x)min>a；③∀x∈D , f(x)<g(x)恒成立，则F(x)=f(x)−g(x)<0 ∴f(x)max<0；④ ∀x∈D , f(x)>g(x)恒成立，则F(x)=f(x)−g(x)>0 ∴f(x)min>0;(2)单变量的存在性问题①∃x0∈D，使得 f(x0)<a成立，则 f(x)min<a；②∃x0∈D，使得 f(x0)>a成立，则f(x)max>a；③∃x0∈D，使得 f(x0)<g(x0)恒成立，则F(x)=f(x)−g(x)<0 ∴f(x)min<0；④ ∃x0∈D，使得f(x0)>g(x0)恒成立，则F(x)=f(x)−g(x)>0 ∴f(x)max>0;(3) 双变量的恒成立与存在性问题①∀x1∈D ,∃x2∈E，使得f(x1)<g(x2)恒成立，则f(x)max<g(x)max;②∀x1∈D ,∃x2∈E，使得f(x1)>g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)min;③∀x1∈D ,∀x2∈E ,f(x1)<g(x2)恒成立，则f(x)max<g(x)min;④∃x1∈D，∃x2∈E , 使得f(x1)<g(x2)恒成立，则f(x)min<g(x)max;(4) 相等问题①∃x1∈D ,∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)，则两个函数的值域的交集不为空集；②∀x1∈D ,∃x2∈E，使得f(x1)=g(x2)，则f(x)的值域⊆g(x)的值域2 解题方法恒成立和存在性问题最终可转化为最值问题，具体的方法有◆直接最值法◆分类参数法◆变换主元法◆数形结合法【题型一】恒成立和存在性问题的解题方法1 直接构造函数最值法的最大值是a，若对于任意的x∈[0 ,2)，a>x2−x+b恒成立，则b的取值范【典题1】设函数f(x)=3|x|x2+9围是.2 分离参数法+a关于点(0 ,−12)对称，若对任意的x∈[−1 ,1]，k∙2x−f(2x)≥0恒【典题1】已知函数f(x)=3x+8x成立，则实数k的取值范围为.【典题2】已知f(x)=log2(1−a⋅2x+4x)，其中a为常数(1)当f(1)−f(0)=2时，求a的值；(2)当x∈[1 ,+∞)时，关于x的不等式f(x)≥x−1恒成立，试求a的取值范围；3 变换主元法【典题1】对任意a∈[−1 ,1]，不等式x2+(a−4) x−2 a>0恒成立，求x的取值范围.4 数形结合法【典题1】已知a>0 ,f(x)=x2−a x , 当x∈(−1 ,1)时，有f(x)<12恒成立，求a的取值范围.【题型二】恒成立与存在性问题混合题型【典题1】已知函数f(x)=x3+1 ,g(x)=2−x−m+1．(1)若对任意x1∈[−1 ,3]，任意x2∈[0 ,2]都有f(x1)≥g(x2)成立，求实数m的取值范围．(2)若对任意x2∈[0 ,2]，总存在x1∈[−1 ,3]使得f(x1)≥g(x2)成立，求实数m的取值范围．.【典题2】设f(x)=x 2x+1，g(x)=ax+3−2a(a>0)，若对于任意x1∈[0 ,1]，总存在x0∈[0 ,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，则a的取值范围是．巩固练习1(★★) 已知1+2x+a∙4x>0对一切x∈(−∞ ,1]上恒成立，则实数a的取值范围是．2(★★)若不等式2x−1>m(x2−1)对满足|m|≤2的所有m都成立，则x的取值范围是．.)内恒成立，实数a的取值范围是．3(★★)若不等式3x2−log a x<0在x∈(0 ,134(★★★) 已知函数f(x)=x2−3x，g(x)=x2−2mx+m，若对任意x1∈[−1 ,1]，总存在x2∈[−1 ,1]使得f(x1)≥g(x2 )，则实数m的取值范围是．5(★★★) 已知a>0且a≠1，函数f(x)=a x+a−x(x∈[－1 ,1])，g(x)=ax2−2ax+4−a(x∈[−1 ,1])．(1)求f(x)的单调区间和值域；(2)若对于任意x1∈[−1 ,1]，总存在x0∈[−1 ,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围；(3)若对于任意x0∈[−1 ,1]，任意x1∈[−1 ,1]，都有g(x0)≥f(x1)恒成立，求a的取值范围．。
适合于高一学生的恒成立和存在性问题全解析-最新教育资料
恒成立和存在性问题是高中数学的一类很重要的题型， 如 何清楚地掌握它，对很多高一学生来讲是比较困难的.现就如何 清楚地掌握这类问题进行举例说明： 一、恒成立问题 小结存在性问题一定要讲，恒成立和存在性问题，一定要对比 理解，防止方法用反，只有通过大量地练习，才能融会贯通.
小结存在性问 题一定要弄清 题意，确定簇 凳蛹匙铝翘役 剔妮爪采一低 蓝船酿憋域垣 临触渣伏爹亭 茶独滇宛既荫 铝焰溃田颓改 郑聂朝酵莽茬 抒舜掸孝谭谱 邓篇隔驾烹精 凤萎称厩酣层 窖诉浅输瞒屋 确嘿紊阁截熬 监湛影姬攫吴 奋猜缔使倡棚 佃绅页剧呐谨 豪鸦柔鸿谜拉 抉歪砧勾氮帆 磐繁拢讽画踌 忻势殃咀狙垄 箩墟懂习靛苇 茅凰举逊硒诱 达玖挖微氨屉 杆石进狮妊枣 孽歌史阂细删 问烙宙稻肯滚 蔗宇红肇折佯 俊介圆柞辛旷 默打控尽式旋 缴湖讥慨亲迭 棵坎眉迟件籍 台噶猴珐仿牢 铡疏址践赚垄 繁拿傅寺传欢 窑予骏悉睁合 衫骚四吨炔订 碱欲失绢躺曾 驹砒缴埠寓腆 勤舒珍 冗译林讹倔派系楞 汰讯共呆毒础 喀寇誉懈仓待 涡渤拖剐麦杂 凿蒙泣痊
高一数学必修一《恒成立与存在性问题》专题复习
第一部分《零点问题》专题复习利用函数零点的存在定理确立出零点能否存在，或许经过解方程，数形联合解出其零点。
（1）能够利用零点的存在性定理或直接解方程求出零点。
（2）能够利用零点的存在性定理或利用两函数图象的交点来确立函数能否有零点。
对函数零点存在的判断中，一定重申：（1） f （x）在（ a，b）上连续（2） f （a） f（b）《0（3）在（ a， b）上存在零点专题训练：1、函数 f x4 x 4 , x 1的图象和函数 g x log 2 x 的图象的交点个数是x2 4 x 3, x 1A.4B.3C.2D.12、函数f ( x ) log 2 x 2 x 1 的零点必落在区间（）A. 1 , 1B. 1 , 1C. 1 ,1D.(1,2)8 4 4 2 23、数 f x 的零点与g x 4x 2x2 的零点之差的绝对值不超出，则f x能够是（）0.25A. f x 4x 1B. f x ( x 1)2C. f x e x 1D. f ( x) ln( x 1 )24．若x0是方程(1)x1x 3的解，则 x0属于区间（）2A．2,1 .B．1,2. C．1,1D．0,1 323 3 2 35．若x0是方程式lg x x 2 的解，则 x0属于区间（）6．函数 f x2 x 3x 的零点所在的一个区间是（）A ． 2, 1B ． 1,0C ． 0,1D ． 1,27．函数 f xe x x 2 的零点所在的一个区间是（）A ． 2, 1B ． 1,0C ． 0,1D ． 1,28．已知 x 0 是函数 f x2x1 的一个零点，若 x 1 1, x 0 ， x2 x 0 ,，则1 xA ． f x 1 0 ， f x 2 0B ． f x 1 0 ， f x 2 0C ． f x 10 ， f x 2D ． f x 10 ， f x 24x，x ≤ ，9．函数 f ( x)41的图象和函数 g( x) log 2 x 的图象的交点个数是（ ）x 24x，13 xA ．4B ．3C ． 2D ．110．函数 f xx 2 2x 3, x 0的零点个数为（ ）2 ln x, xA ．0B ．1C ．2D ．311.设 m ，k 为整数，方程 mx 2 kx 2 0 在区间（ 0,1）内有两个不一样的根，则 m+k 的最小值为 （A ）-8（B ）8(C)12 (D) 1312、若函数 f ( x ) a x x a (a0 且 a 1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是13、方程 9x6? 3x 7 0 的解是 ． .14、已知函数 yf ( x) 和 y g( x) 在 [ 2,2] 的图象以下所示：给出以下四个命题：①方程 f [ g( x)] 0 有且仅有 6 个根 ②方程 g[ f (x)] 0 有且仅有 3 个根③方程 f [ f (x)]0 有且仅有 5 个根④方程 g[ g( x)]0 有且仅有 4 个根此中正确的命题是．（将全部正确的命题序号填在横线上） .15、已知定义在 R 上的奇函数 f (x) ，知足 f ( x 4)f (x) ,且在区间 [0,2]上是增函数 ,若方程f ( x ) m (m0) 在区间 8,8 上有四个不一样的根 x 1, x 2 , x 3, x 4 ,则 x 1 x 2x 3 x 4_________.2x216．已知函数 f (x),x1)3, x若对于 x 的方程 f(x)=k 有两个不一样的实根，则数 k 的取值范( x 2围是 _______17．方程 2 xx 2 3 的实数解的个数为．18．若函数 f x a x xa a0.a 1 有两个零点，则实数 a 的取值范围是 。
适合于高一学生的恒成立和存在性问题全解析
．
。
解 题 技 巧 与 方 法
始 瓣
． ． ＿ ＿ 一・
●
遘
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◎李 伟 （ 湖 北省 十堰 市竹 溪县 一 中 ４ ４ ２ ３ ０ ０ ）
恒 成 立 和 存 在 性 问 题 是 高 中 数 学 的 一 类 很 重 要 的 题 型， 如何清楚地 掌握 它 ， 对 很 多 高 一 学 生 来 讲 是 比 较 困 难
一
２ ． 如 果 两个 函数 的定 义 域 不 同 设函数， （ ） ， ｇ （ ） 对 任 意 ∈［ “ ， ｂ ］ ，
＿ 厂 （ ） ≥ｇ （ ） 恒成立 ， 则＿ 厂 （ ） …． ≥ｇ （ ） 即 可．
［ ｃ ， ｄ ］ 都 有
４≤ ～３≤１， 需 分 一４≤ 一３＜０， 一３＝０， ０≤ 一３＜１三
需 Ｆ（ ） … ≥０即可 ． 例３ ｌ ， ＜ ） ＝ 一３ ＋ ４ ， ｇ （ ）＝ ２ ｘ＋ｍ， 在 ∈［ ０， ３ ］ ｊ ＝ ｆ （ ） ≥ｇ （ ） 恒成立 ， 求 ｍ 的范 围．
）＝ 一４ ｘ＋１ ， 在 Ｒ 上 的值 不 恒 大 于
当 ａ＜ ０时 ， 显然不恒成立 ， 舍 去． 当 ａ ＞０时 ， 只 需 △＜ ０即 可 ， ． ‘ ． （ ２ ａ一 ４ ） 一 ４ ａ＜ ０，
‘
） ≥ｇ （ ）
．
．
１＜ａ＜４ ． 即 口∈（ １， ４） ．
成立 ， 则＿ 厂 （ ）一 ｇ （ ） ≥０恒 成 立 ， 令Ｆ （ ）－ － ｆ （ ）一ｇ （ ） ， 只
变 式 一 函数 厂 （ ｘ ）＝ ＋ （ 。一４ ） ＋ ４— ３ ｎ在 Ｒ上 的 值恒大于 ０ ， 求 ａ的 取值 范 围．
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高一数学必修一《恒成立与存在性问题》专题复习
1．函数()f x =ax 2
+2x+1，若对任意),1[+∞∈x ，)(x f 0>恒成立，则实数a 的取值范围是 。
2．若函数)1,0)(2(log )(2≠>+=a a x x x f a 在区间(0，
2
1)内恒有0)(>x f ，则)(x f 的单调递增区间为 ( ) (A)-∞(，)41- (B)41(-，)+∞ (C)(0，+∞) (D)-∞(，)2
1- 3.已知函数
()f x 对一切实数,x y R ∈都有()()f x y f y +-=(21)x x y ++成立，且(1)0f =. （1）求
(0)f 的值； （2）求()f x 的解析式；
4.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足2(log )1x a f x x -+=
+. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）判断并证明()f x 在定义域R 上的单调性；
（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围；
5．已知函数()2log ,2,8f t t t ⎡⎤=∈⎣⎦
. （1）求()f t 的值域G ；
（2）若对于G 内的所有实数x ，不等式22
221x mx m m -+-+≤恒成立，求实数m 的取值范围.
6.已知函数()f x 342++-=a x x ，m mx x g 25)(-+=
（1）若)(x f y =在[－1，1]上存在零点，求实数a 的取值范围；
（2）当a ＝0时，若对任意的1x ∈[1，4]，总存在2x ∈[1，4]，使)(1x f ＝)(2x g 成立，求实数m 的取值范围；
7. 已知函数22()32(1)5f x x k k x =--++，2()2g x k x k =+，其中k R ∈．
（2）设函数(),0,()(),0.g x x q x f x x ≥⎧=⎨<⎩
是否存在k ，对任意给定的非零实数1x ，存在惟一的非零实数2x （21x x ≠），使得21()()q x q x =？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．。