【金识源】高中数学1.2.1任意角的三角函数(二)学案新人教A版必修4

2
∴sin 2α ＋ cos 2α ＝ 1. 综上所述，对于任意角 【典型例题】
α，都有
sin
2
α ＋ cos
2
α ＝1.
1 例 1 在单位圆中画出满足 sin α ＝ 2的角 α 的终边，并求角 α 的取值集
合．
1
1
解 已知角 α 的正弦值， 可知 MP＝ 2，则 P点纵坐标为 2. 所以在
1
0， 2
.
过这点作
x
轴的平行线，交单位圆于 P1，P2 两点，则 OP1， OP2 是角 α 的终边，因而角
＝ 2kπ
＋
π 6
或
5π α ＝ 2kπ ＋ 6 ， k∈Z} ．
α 的集合为 { α | α
小结 作已知角的正弦线、余弦线、正切线时，要确定已知角的终边，再画线，同时要分清所 画线的方向，对于以后研究三角函数很有用处． 跟踪训练 1 根据下列三角函数值，作角 α 的终边，然后求角的取值集合：
的有向线段 AT 就叫角 α 的正切线． 问题 2 作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线．
(1) － π； (2) 17π； (3) 10π .
4
6
3
探究点三 三角函数线的应用
三角函数线是三角函数的几何表示， 是任意角的三角函数定义的一种“形”的补充， 线段的
长度表示了三角函数绝对值的大小，线段的方向表示了三角函数值的正负．仔细观察单位圆中
sin
2
2
α ＋ cos α ＝ 1；
当 α 的终边落在 y 轴上时， |sin α| ＝ 1， cos α ＝0，
sin
2
2
α ＋ cos α ＝ 1；
当 α 的终边不落在坐标轴上时， sin α ＝ MP，cos α ＝OM. 在 Rt△ OMP中， | MP| 2＋ | OM| 2 ＝| OP| 2＝ 1.
的作图工具．
2．三角函数线是有向线段， 字母顺序不能随意调换， 正弦线、 正切线的正向与 y 轴的正向相同，
向上为正，向下为负；余弦线的正向与 x 轴的正向一致，向右为正，向左为负；当角
α的
终边与 x 轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角
α 的正弦值和正切值都为 0；
当角 α 的终边与 y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在 .
圆中的有向线段
、 、 分别叫做角 α 的正弦线、余弦线、正切线．记作：
sin α ＝ ， cos α ＝ ， tan α ＝ .
探究点一 三角函数的定义域 任意角的三角函数是在坐标系中定义的，角的范围是使函数有意义的实数集．根据任意角 三角函数的定义可知正弦函数 y＝ sin x 的定义域是 __；余弦函数 y＝ cos x 的定义域是 __； 正切函数 y＝ tan x 的定义域是 ____________________________ ．在此基础上，可以求一 些简单的三角函数的定义域．例如： (1) 函数 y＝ sin x＋ tan x 的定义域为 ________________ ．
．
(2) 因为角 α 的正切值等于－ 1，所以 AT＝－ 1，在单位圆上过点 A(1,0) 的切线上取 AT＝－ 1，连接 OT，OT所在直线与单位圆交于 P1、P2 两点，OP1，
3π OP2 是角 α 的终边，则角 α 的取值集合是 { α | α＝ 2kπ ＋ 4 或 α ＝ 2kπ
＝ OM， OP＝ 1.
在 Rt△ OMP中，由两边之和大于第三边得 MP＋OM>OP，即 sin α ＋cos α >1.
问题 3 若 α 为任意角， 根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律探究
sin 2α ＋cos 2α 与 1 的
关系．
解 当 α 的终边落在 x 轴上时， sin α ＝ 0，|cos α | ＝1，
π 答案 { x| x∈Ｒ且 x≠ kπ ＋ 2 ， k∈Z} (2) 函数 y＝ sin x的定义域为 ________________ ．
1
答案 { x|2 kπ ≤ x≤２kπ ＋π ， k∈Z}
(3) 函数 y＝ lg cos x 的定义域为 ________________ ．
答案
{
x|2
1.2.1 任意角的三角函数
【学习要求】
1．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域． 2．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切． 3．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． 【学法指导】
1．三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具，
利用三角函数线可以解或证明
三角不等式， 求函数的定义域及比较大小， 三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象
kπ
－π2
<x
<2kπ
＋
π 2
，
k
∈Z}
探究点二 三角函数线的作法
问题 1 请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？ 答 过任意角 α 的终边与单位圆的交点 P，过点 P 向 x 轴作垂线，垂足为 M，则由垂足 M指向 点 P的有向线段 MP就叫做 α 的正弦线，位于 x 轴上，由原点指向垂足 M的有向线段 OM就是 α 的余弦线． 过点 A(1,0) 作单位圆的切线，切线与角 α 的终边或其反向延长线交于点 T，则由 A 指向交点 T
三角函数线的变化规律，回答下列问题．
问题 1 若 α 为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得：
sin α 的范围是
； cos α 的范围是
.
问题 2 若 α 为第一象限角，证明 sin α ＋ cos α >1.
证明 设角 α 的终边与单位圆交于点 P，过 P作 PM⊥ x 轴，垂足为 M，则 sin α ＝ MP，cos α
1．三角函数的定义域
正弦函数 y＝ sin x 的定义域是 _______． 2．三角函数线
x 的定义域是 __；余弦函数
y＝ cos x 的定义域是
__；正切函数
y＝tan
如图，设单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A，与角 α 的终边交于 P 点．过点 P 作 x 轴的
垂线 PM，垂足为 M，过 A 作单位圆的切线交 OP的延长线 ( 或反向延长线 ) 于 T 点．单位
1 (1)cos α＝ 2； (2)tan α ＝－ 1.
1
1
1
解
(1) 因为角 α 的余弦值为 2，所以 OM＝ 2，则在 x 轴上取点
，0 2
，过该
点作 x 轴的垂线， 交单位圆于 P1、P2 两点，OP1，OP2 是所求角 α 的终边，α 的取值集合为： { α| α
＝
2kπHale Waihona Puke ±π 3，
k∈Z}