不等式复习 - 学生版

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思维拓展柯西不等式与权方和不等式的应用(新高考通用)学生版--2025届新高考数学一轮复习

思维拓展柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)一、知识点梳理一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(2)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(3)(a +b )(c +d )≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ≥0,当且仅当ad =bc 时，等号成立.)3.扩展：a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2，当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=⋯=a n :b n 时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a 2+b 2+c 2，并不是不等式的形状，但变成13•12+12+12 •a 2+b 2+c 2 就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式权方和不等式：若a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by 时，等号成立.证明1：∵a ,b ,x ,y >0要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y 只需证ya 2+xb 2xy ≥(a +b )2x +y即证xya 2+y 2a 2+x 2b 2+xyb 2≥xya 2+2xyab +xyb 2故只要证y 2a 2+x 2b 2≥2xyab (ya −xb )2≥0当且仅当ya −xb =0时，等号成立即a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a 2x +b 2y(x +y )≥(a +b )2在a ,b ,x ,y >0时，就有了a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y当a x =by时，等号成立．推广1：a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z ,当a x =b y =c z时，等号成立．2025届新高考数学一轮复习推广:2：若a i >0,b i >0，则a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2nb n ≥(a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n，当a i =λb i 时，等号成立.推广3：若a i >0,b i >0,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n≥(a 1+a 2+⋯+a n )m +1b 1+b 2+⋯+b nm，当a i =λb i 时，等号成立.二、题型精讲精练1实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则x +y 的最大值是.2设x ,y ,z ∈R ，且x +y +z =1.(1)求(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13成立，证明：a ≤-3或a ≥-1.3已知a >1,b >12，且2a +b =3，则1a -1+12b -1的最小值为()A.1B.92C.9D.12【题型训练-刷模拟】1.柯西不等式一、单选题4(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14B.12C.10D.85(23-24高二下·山东烟台·阶段练习)已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4二、填空题6(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.7(22-23高二下·浙江·阶段练习)已知x 2+y 2+z 2=1，a +3b +6c =16，则x -a 2+y -b 2+z -c 2的最小值为.8(22-23高一·全国·课堂例题)若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k 的最小值为.9(22-23高三上·河北衡水·期末)若⊙C ：x -a 2+y -b 2=1，⊙D ：x -6 2+y -8 2=4，M ，N 分别为⊙C ，⊙D 上一动点，MN 最小值为4，则3a +4b 取值范围为．10已知正实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =1，则1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b的最小值是．三、解答题11(2024·四川南充·三模)若a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2.(1)求2a +3b 的最大值；(2)求证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92.12(2024·四川·模拟预测)已知a ,b ,c 均为正实数，且满足9a +4b +4c =4．(1)求1a +1100b-4c 的最小值；(2)求证：9a 2+b 2+c 2≥1641.13(2024高三·全国·专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1．(1)若2a2+b2+c2=12，求证：0≤a≤2 5；(2)若a，b，c∈0,+∞，求证：a21-a +b21-b+c21-c≥12．2.权方和不等式一、填空题14已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为．15已知x>0，y>0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值是．16已知a>0，b>0，且2a+2+1a+2b=1，则a+b的最小值是．17(23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a,b,x,y>0，则a2x+b2y≥(a+b)2x+y，当且仅当ax=by时等号成立.根据权方和不等式，函数f x =2x+91-2x0<x<12的最小值．18(2023高三·全国·专题练习)已知正数x，y，z满足x+y+z=1，则x2y+2z+y2z+2x+z2x+2y的最小值为19(2023高三·全国·专题练习)已知x+2y+3z+4u+5v=30，求x2+2y2+3z2+4u2+5v2的最小值为20(2023高三·全国·专题练习)已知θ为锐角，则1sinθ+8cosθ的最小值为.21(2023高三·全国·专题练习)已知正实数x、y且满足x+y=1，求1x2+8y2的最小值.22(2024高三·全国·专题练习)已知a>1,b>1，则a2b-1+b2a-1的最小值是．23(2023高三·全国·专题练习)已知实数x，y满足x>y>0，且x+y=2，M=3x+2y+12x-y的最小值为.24(2024高三·全国·专题练习)已知x,y>0,1x+22y=1，则x2+y2的最小值是．25(2023高三·全国·专题练习)已知正数x,y满足4x+9y=1，则42x2+x+9y2+y的最小值为。

2023中考数学复习-专题13 一元一次不等式(组)及其应用(练透)(学生版)

专题13 一元一次不等式（组）及其应用一、单选题1．（2022·珠海市九洲中学九年级三模）若x y >，则（） A ．22x y +<+B ．22x y -<-C ．22x y <D ．22x y -<-2．（2022·浙江杭州·翠苑中学九年级二模）下列说法正确的是（） A ．若a b =，则ac bc = B ．若a b =，则a b c c= C ．若a b >，则11a b ->+D ．若1xy>，则x y >3．（2022·深圳市南山区荔香学校九年级开学考试）关于x 的不等式()122m x m +>+的解集为2x <，则m 的取值范围是（） A ．1m ≠-B ．1m =-C ．1m >-D ．1m <-4．（2022·重庆市天星桥中学九年级开学考试）已知关于x 的不等式组5720x a x -<⎧⎨--<⎩有且只有3个非负整数解，且关于x 的分式方程61a x --+a =2有整数解，则所有满足条件的整数a 的值的个数为（） A ．4B ．3C ．2D ．15．（2022·老河口市教学研究室九年级月考）不等式组2030x x -≤⎧⎨->⎩的整数解有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．（2022·山东日照·）若不等式组643x x x m +<-⎧⎨>⎩的解集是3x >，则m 的取值范围是（）A ．3m >B ．3m ≥C ．3m ≤D ．3m <7．（2022·珠海市紫荆中学九年级一模）不等式组20321x x -≥⎧⎨+>-⎩的解集是（）A ．﹣1＜x ≤2B ．﹣2≤x ＜1C ．x ＜﹣1或x ≥2D ．2≤x ＜﹣18．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级三模）若关于x 的不等式3x +m ≥0有且仅有两个负整数解，则m 的取值范围是（） A ．6≤m ≤9B ．6＜m ＜9C ．6＜m ≤9D ．6≤m ＜99．（2020·重庆梁平·）若数a 使关于x 的不等式组347x a x ≤⎧⎪+⎨>-⎪⎩有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程2233ay y+=--有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．1 10．（2022·北京市第十二中学九年级月考）某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（）A．每场比赛的第一名得分a为4B．甲至少有一场比赛获得第二名C．乙在四场比赛中没有获得过第二名D．丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题11．（2022·湖北黄石八中九年级模拟预测）不等式组3712261xx⎧->⎪⎨⎪-≥-⎩的整数解为______________．12．（2022·全国九年级课时练习）高速公路某收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每30分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口30分钟内一共通过的小客车数量记录如下：在A，B，C号是________．13．（2022·辽宁沈阳·中考真题）不等式组51350xx-<⎧⎨-≥⎩的解集是__________．14．（2022·四川省宜宾市第二中学校九年级一模）不等式组：515264253(5)x xx x-+⎧+>⎪⎨⎪+≤-⎩的解集为______．15．（2022·临沂第九中学九年级月考）不等式222xx->-的解集为_____．三、解答题16．（2022·福建厦门双十中学思明分校九年级二模）解不等式组：31320x xx+>+⎧⎨->⎩17．（2022·山东济南·中考真题）解不等式组：3(1)25,32,2x xxx-≥-⎧⎪⎨+<⎪⎩①②并写出它的所有整数解．18．（2022·福建省福州第十九中学九年级月考）解不等式组()311922x xxx⎧+>-⎪⎨+<⎪⎩19．（2022·全国九年级课时练习）某公司招聘人才，对应聘者分别进行阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的测试成绩（百分制）如表：（单位：分）（1（2）若公司将阅读能力、思维能力和表达能力三项测试得分按3:5:2的比确定每人的总成绩．①计算甲的总成绩；②若乙的总成绩超过甲的总成绩，则乙的表达能力成绩x超过多少分？20．（2022·福建省福州延安中学九年级月考）解不等式组3534(1)2x xx x-<-⎧⎨+≥-⎩，并把解集在数轴上表示．21．（2022·四川绵阳·中考真题）某工艺厂为商城制作甲、乙两种木制工艺品，甲种工艺品不少于400 件，乙种工艺品不少于680件．该厂家现准备购买A、B两类原木共150根用于工艺品制作，其中，1根A类原木可制作甲种工艺品4件和乙种工艺品2件，1根B类原木可制作甲种工艺品2件和乙种工艺品6件．（1）该工艺厂购买A类原木根数可以有哪些？（2）若每件甲种工艺品可获得利润50元，每件乙种工艺品可获得利润80元，那么该工艺厂购买A、B两类原木各多少根时获得利润最大，最大利润是多少？22．（2022·哈尔滨市第十七中学校九年级二模）毕业考试结束后，班主任罗老师预购进甲乙两种奖品奖励学生，若购进甲种奖品3件和乙种奖品2件共需要40元；若购进甲种奖品2件和乙种奖品3件共需要55元．（1）求购进甲、乙两种奖品每件分别需要多少元？（2）班主任罗老师决定购进甲、乙两种奖品共20件，且用于购买这20件奖品的资金不超过160元，则最多能购进乙种奖品多少件？23．（2022·日照港中学九年级一模）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场．某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）（2）该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：。

高考数学复习讲义不等式(学生版)

高考数学复习讲义不等式【要点提炼】考点一不等式的性质与解法1．不等式的倒数性质(1)a>b ，ab>0⇒1a <1b. (2)a<0b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ，x ∈I ；f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ，x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －p D ．log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b)x －3b<0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x<12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f(x)＋x －2≤0的解集是________________． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2}【要点提炼】考点二基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g x＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值．【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2 B ．若a<0，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为________．【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________． (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________．专题训练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|1<x<3}C ．{x|x<－1或x>3}D ．{x|x<1或x >3}2．下列命题中正确的是( )A ．若a>b ，则ac 2>bc 2B ．若a>b ，c<d ，则a c >b dC ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －dD ．若ab>0，a>b ，则1a <1b 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－2或x>lg 3}B ．{x|－2<x<lg 3}C ．{x|x>lg 3}D ．{x|x<lg 3} 4．若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b 0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．已知a>－1，b>－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94C ．1D ．0 二、多项选择题9．设f(x)＝ln x,0<aq10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB ．ln a>ln bC ．aln a<bln bD ．a －b<e a －e b12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2三、填空题 13．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a <11a a +；④a 1＋a >a1＋1a.其中正确的是________．(填序号) 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16．已知实数x ，y 满足x>1，y>0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．。

2020届高三文理科数学一轮复习《基本不等式》专题汇编(学生版)

《基本不等式》专题一、相关知识点1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)； (2)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(3)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (4)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(5)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R)．(6)a 2＋b 22≥(a ＋b )24≥ab (a ，b ∈R)．(7)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)5．重要不等式链若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 题型一基本不等式的判断1．若a ，b ∈R ，则下列恒成立的不等式是( )A.|a ＋b |2≥|ab | B ．b a ＋ab ≥2 C.a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 D ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4 2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab ≥23．下列命题中正确的是( )A ．函数y ＝x ＋1x 的最小值为2 B ．函数y ＝x 2＋3x 2＋2的最小值为2C ．函数y ＝2－3x －4x (x ＞0)的最小值为2－4 3D ．函数y ＝2－3x －4x(x ＞0)的最大值为2－4 34．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，则( )A ．R 0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为3．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为4．已知x <0，则函数y ＝4x ＋x 的最大值是5．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为6．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．7．设0<x <2，则函数y ＝x (4－2x )的最大值为________．8．若x ，y 均为正数，则3x y ＋12yx ＋13的最小值是9．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________．10．已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．11．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为12．已知x ，y 为正实数，则4x x ＋3y ＋3yx的最小值为13．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.14．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是15．已知x ，y 都为正实数，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是16．已知a >b >0，则2a ＋4a ＋b ＋1a －b的最小值为17．已知正数a ，b 满足2a 2＋b 2＝3，则a b 2＋1的最大值为________．类型二常数代换法利用基本不等式求最值1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________．2．已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则2a ＋1b 的最小值为________．3．已知正实数x ，y 满足2x ＋y ＝2，则2x ＋1y 的最小值为________．4．已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则2m ＋12n 的最小值为5．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)，且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y 的最小值是6．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为7．若直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________．8．已知a >0，b >0，函数f (x )＝a log 2x ＋b 的图像经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则1a ＋2b 的最小值为________．9．已知函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n 的最小值为10．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是11．已知直线l ：ax ＋by －ab ＝0(a >0，b >0)经过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．12．已知x ，y 均为正实数，且1x ＋2＋1y ＋2＝16，则x ＋y 的最小值为13．若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是14．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y 的最小值为________．15．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为________．16．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值．类型三通过消元法利用基本(均值)不等式求最值1．若正实数m ，n 满足2m ＋n ＋6＝mn ，则mn 的最小值是________．2．已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________．3.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________.4．已知x >0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．类型四：利用基本不等式求参数值或取值范围1．若对于任意的x ＞0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为2．已知函数y ＝x ＋mx －2(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．3．若对x >0，y >0，x ＋2y ＝1，有2x ＋1y ≥m 恒成立，则m 的最大值是________．4．已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为5．正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________．6．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为7．已知函数f (x )＝3x 2＋ax ＋26x ＋1，若存在x ∈N ＋使得f (x )≤2成立，则实数a 的取值范围为___题型三基本不等式的综合问题类型一基本不等式的实际应用问题1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．3．某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)． (1)求S 关于x 的函数关系式；(2)求S 的最大值．类型二基本不等式与函数的交汇问题1．已知A ，B 是函数y ＝2x 的图象上不同的两点，若点A ，B 到直线y ＝12的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－4)类型三基本不等式与数列的交汇问题1．已知a >0，b >0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为2．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 8－2S 4＝5，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为3．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N ＋)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是______.类型四基本不等式与解析几何的交汇问题1．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是2．当双曲线M ：x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率最小时，M 的渐近线方程为3．两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线，若m ∈R ，n4m2＋1n2的最小值为∈R，且mn≠0，则。

不等式的性质(复习课)

定理5 补充
若a＞b＞0 则n a ＞n b (n ∈N且 n＞1)
11
若a＞b且ab＞0 则＜
ab
定理：若a、b∈R，那么 a2+b2≥2ab （当且仅当a=b取“=”）
定理：如果是a、b正数，那么
a
2
b
≥
a b（当且仅当a=b取“=”）
（1）两个定理中条件的区别（2）两个定理的结构特征及应用（3）要注意“=”的取到，事实上在“=”处是一种边界情况
v
2两火车的间距不得ຫໍສະໝຸດ 于 2 0 千米，那么这批物资全部到
达灾区最少需要（ B ）小时
（A） 5 （B）10 （C）15 （D）20
；
安全柜；
之色/马开那双凌厉の眸子所过之处/这些人忍不住后退壹步/到最后开始溃败咯起来/马开就站在那里/以壹双眼睛/逼の这些人四处逃窜/这种威势/让为首の几佫人惊恐不已/就算荒原の最出名の凶人/都不可能凭借着目光让这些久经战斗の人溃败/可面前这佫少年做到咯/几佫人在见到马开目光落在它们身上后/它们也再无战意/随着众人壹起逃离/钟薇见到这壹幕/忍不住向马开の侧脸/马开此刻の侧脸拾分坚毅/这种坚毅/让她の有些呆滞/感受到马开身体传来の温热/钟薇那绝美の脸蛋上/飘扬起无端の绯红/醉人美艳/"再坚持几滴/就能到器宗の实力范围咯/到时候/我们就安全咯/"马开背着钟薇/对着她说道/"嗯/"钟薇点头道/"不过刀疤皇从那壹战后/就壹直没有出现/它见过你身上の不少好东西/肯定不会放过你/怕确定还有什么算计/它能有什么算计?无非确定找壹些强悍の人围杀我/"马开回答道/"它不来倒好/来の话先杀咯它/你不要轻敌/它见过你青莲の恐怖/要确定它还敢再来 /肯定会有把握/"钟薇对马开说道/&

复习不等式(学)

不等式一元二次不等式及其解法含参不等式例1 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式．跟踪训练1 (1)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．(2)解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )．命题点1在R上的恒成立问题例2对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(－2,2) D．(－2,2]命题点2在给定区间上的恒成立问题例3已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．命题点3给定参数范围的恒成立问题例4若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________．跟踪训练2函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．例5（1）已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，求实数m的取值范围．（2）已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．（3）已知二次函数f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．基本不等式利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例6 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．(3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( ) A ．f (x )有最小值4 B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4命题点2 常数代换法例7 若正数m ，n 满足2m ＋n ＝1，则1m ＋1n的最小值为( ) A ．3＋2 2 B ．3＋2C ．2＋2 2D ．3命题点3 消元法例8 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．跟踪训练3 (1)(天津)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为________．(2)(天津模拟)已知a >0，b >0，c >0，若点P (a ，b )在直线x ＋y ＋c ＝2上，则4a ＋b＋a ＋b c 的最小值为________．基本不等式的实际应用例9 2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010(k y k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本).（1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔（2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润?跟踪训练4 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m 3，深度为3 m ．如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为________ m.课时精练1．(2020·廊坊调研)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，那么不等式f (－2x )<0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－32，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－12，322．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，那么不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为( )A ．{x |－2<x <1}B ．{x |x <－2或x >1}C ．{x |0<x <3}D ．{x |x <0或x >3}3．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－2354．若对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，则x 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(2,3)D ．(3，＋∞)5．(如皋期末)若实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝⎛⎭⎫0<x <23，则4x ＋1y的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．326．设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________．7一元二次方程x 2－(k －2)x ＋k ＋1＝0有一正一负实数根，则k 的取值范围是________．8．(天津)若a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________．9．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．10．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lg x＋lg y的最大值；(2)求1x＋1y的最小值．11.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－2t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．12．已知f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(0,5)．(1)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )>0，f (x ＋k )<0的正整数解只有一个，求实数k 的取值范围； (2)若对于任意x ∈[－1,1]，不等式t ·f (x )≤2恒成立，求t 的取值范围．。

考点20利用导数证明不等式(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版

考点20利用导数证明不等式（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】导数中的不等式证明是高考的常考题型，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果【核心题型】题型一　将不等式转化为函数的最值问题待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．【例题1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知1201x x <<<，下列不等式恒成立的是（）A ．1221e e x xx x C ．1122ln ln x x x x <D ．11e ln x x >【变式1】（2024·全国·模拟预测）下列正确结论的个数为（）①13sin1010π> ②141sin sin 334< ③16tan 16> ④()tan π3sin 3->A ．1B ．2C ．3D ．4【变式2】（2024·四川成都·三模）已知函数2()ln ,f x ax x a =-ÎR .(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)设0,()()a g x f x bx >=+，且1x =是()g x 的极值点，证明：2+ln 12ln 2b a £-.【变式3】（2024·四川成都·三模）已知函数()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---Î.(1)若12a =，证明：()0f x >；(2)若函数()f x 在()0,π内有唯一零点，求实数a 的取值范围.题型二　将不等式转化为两个函数的最值进行比较若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x 与e x ，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明．【例题2】（2023·河南开封·模拟预测）已知13a =，13e 1b =-，4ln 3c =，则（）A ．a b c <，则下列结论正确的是（）A ．e 2a b<-B ．1lna b<C ．1a b<-D ．1e lnba<【变式2】（2024·浙江杭州·模拟预测）已知函数()()1122e ,e e e 1xxx x f x m m g x -=+-=++.(1)当0m =时，证明：()e xf x -<；(2)当0x <时，()g x t ³，求t 的最大值；(3)若()f x 在区间()0,¥+存在零点，求m 的取值范围.【变式3】（2024·贵州黔西·一模）已知函数29()ln 22f x x x x x =--.(1)判断()f x 的单调性;(2)证明:1352193ln(21)35721n n n n -æö++++>-+ç÷+èøL .题型三　适当放缩证明不等式导数方法证明不等式中，最常见的是e x 和ln x 与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对e x 和ln x 进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下：(1)e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时取等号；(2)ln x ≤x －1，当且仅当x ＝1时取等号．【例题1】（2024·河北沧州·一模）已知等比数列{}n a 的前n 项和为413,1,e Sn S a S >=，则数列{}n a 的公比q 满足（）A ．01q <£B ．10q -<<C ．1q >D ．1q £-【变式1】（2024·广东·模拟预测）令()sin 0.5cos1cos 2cos ,N n a n n °°°°+=+++ÎL ．则n a 的最大值在如下哪个区间中（）A ．(0.49,0.495)B ．(0.495,0.5)C ．(0.5,0.505)D ．(0.505,0.51)【变式2】（2024·全国·模拟预测）设整数1p >，1x >-且0x ¹，函数()(1)1p f x x px =+--．(1)证明：()0f x >；(2)设0x >，证明：ln(1)x x +<；(3)设*n ÎN ，证明：111321232ln(1)n n n n ++++<-+L ．【变式3】（23-24高三下·河南·阶段练习）已知函数()(1)1(1)r f x x rx x =+-->-，0r >且1r ¹．(1)讨论()f x 的单调性；(2)6332的大小，并说明理由；(3)当*n ÎN时，证明：2sin 176n kk n =<+å．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（22-23高三上·四川绵阳·开学考试）若1201x x <<<，则（）A ．2121e e ln ln x xx x ->-B ．2121e e ln ln x xx x -<-C ．1221e e x xx x >D ．1221e e x xx x <2．（2023·陕西咸阳·三模）已知12023a =，20222023eb -=，1cos 20232023c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a>>D ．a c b>>3．（23-24高三上·云南保山·期末）已知16a =，7ln 6b =，1tan 6c =，则（）A ．b a c <B ．22128x x +<C ．1212x x x x +=D ．()()()221212164f x f x x x +<+-6．（2023·福建·模拟预测）机械制图中经常用到渐开线函数inv tan x x x =-，其中x 的单位为弧度，则下列说法正确的是（）A ．inv x x ×是偶函数B ．inv x 在ππ(π,π)22k k --+上恰有21k +个零点（N k Î）C ．inv x 在ππ(π,π)22k k --+上恰有41k +个极值点（N k Î）D ．当π02x -<<时，inv sin x x x <-三、填空题7．（2023·海南·模拟预测）已知函数()1ln e x x af x --=，()1x a g x x--=，若对任意[)1,x ¥Î+，()()f x g x £恒成立，则实数a 的取值范围是 .8．（2023·河南开封·模拟预测）实数x ，y 满足()23e 31e x y x y -£--，则3xy -的值为．四、解答题9．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数()21()1ln 2f x x x =--.(1)求()f x 的最小值；(2)证明：47ln332>.10．（2024·广东佛山·二模）已知()21e 4e 52x xf x ax =-+--.(1)当3a =时，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()12120f x f x x x +++<.11．（2023·四川成都·二模）已知函数()e sin xf x x -=.(1)求()f x 在()()0,0f 处的切线方程；(2)若0x 是()f x 的最大的极大值点，求证：()01f x <<综合提升练一、单选题1．（22-23高三上·河南·阶段练习）若32e 3ln 22x yx y +-=+，其中2,2x y >>，则（）A ．e x yC ．24e xy>D ．2e x y>2．（2023·福建·模拟预测）已知ln 2a =，1e b a=-，2a c a =-，则（）A ．b c a>>B ．b a>C ．c a b>>D．c b a>>3．（2023·河北衡水·三模）若a =1b =-，c =则（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a<<D ．a c b<<4．（2023·新疆·三模）已知数列{}n a 中，11a =，若1nn nna a n a +=+（N n *Î），则下列结论中错误的是（）A ．325a =B ．1111n na a +-£C ．1ln 1nn a <-（2,N n n *³Î）D ．2111112n n a a ++-<5．（2023·河南·模拟预测）设a ，b 为正数，且2ln ab a b=-，则（）.A ．112a b<<B ．12a b<<C ．112ab <<D ．12ab <<6．（2024·上海虹口·二模）已知定义在R 上的函数()(),f x g x 的导数满足()()f x g x ¢£¢，给出两个命题：①对任意12,x x ÎR ，都有()()()()1212f x f x g x g x -£-；②若()g x 的值域为[]()(),,1,1m M f m f M -==，则对任意x ÎR 都有()()f x g x =.则下列判断正确的是（）A ．①②都是假命题B ．①②都是真命题C ．①是假命题，②是真命题D ．①是真命题，②是假命题7．（2024·四川泸州·三模）已知0x >，e ln 1x y +=，给出下列不等式①ln 0x y +<；②e 2x y +>；③ln e 0y x +<；④1x y +>其中一定成立的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2024·四川攀枝花·三模）已知正数,,a b c 满足ln e c a b b ca ==，则（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．b c a>>二、多选题9．（2023·福建龙岩·二模）已知函数()ln n f x x n x =-（*n ÎN ）有两个零点，分别记为n x ，n y （<n n x y ）；对于0a b <<，存在q 使)()()(()n n n f f f a q b a b -=-¢，则（）A ．()n f x 在()1,+¥上单调递增B ．e n >（其中e 2.71828=L 是自然对数的底数）C ．11n n n n x x y y ++-<-D ．2q a b<+10．（2023·河南信阳·模拟预测）已知,,,a b c d ÎR ，满足0a b c d >>>>，则（）A ．sin sin a b >B ．sin sin a a b b ->-C ．a bd c>D ．ad bc ab cd+>+11．（2024·河北沧州·一模）已知函数()e xf x =与函数()211g x x =+-的图象相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，且12x x <，则（）A ．121y y =B ．211exy =C ．21211y y x x ->-D ．221x y =三、填空题12．（2023·四川成都·三模）已知函数()2()2ln 32f x x a x x =+-+，a ÎR .当1x >时，()0f x >，则实数a 的取值范围为．13．（23-24高三下·广东云浮·阶段练习）若实数a ，b 满足()()221ln 2ln 1a b a b -³+-，则a b += ．14．（2024·全国·模拟预测）若实数a ，b ，c 满足条件：()2e e 2e 1a b ca b c a -++-+=-，则444abca b c ++的最大值是．四、解答题15．（2024·青海西宁·二模）已知函数()()()2222ln R f x x a x a x a =+--Î．(1)若2a =，求()f x 的极值；(2)若()()2222ln g x f x a x x =+-+，求证：()12g x ³．16．（2024·山东济南·二模）已知函数()()()22l ,n 1e x f x ax x g x x ax a =--=-ÎR .(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：()()f x g x x +³.17．（2024·上海松江·二模）已知函数ln y x x a =×+（a 为常数），记()()y f x x g x ==×.(1)若函数()y g x =在1x =处的切线过原点，求实数a 的值；(2)对于正实数t ，求证：()()()ln 2f x f t x f t t a +-³-+；(3)当1a =时，求证：e ()cos x g x x x+<.18．（2024·上海嘉定·二模）已知常数m ÎR ，设()ln mf x x x=+，(1)若1m =，求函数()y f x =的最小值；(2)是否存在1230x x x <<<，且1x ，2x ，3x 依次成等比数列，使得()1f x 、()2f x 、()3f x 依次成等差数列？请说明理由．(3)求证：“0m £”是“对任意()12,0,x x Î+¥，12x x <，都有()()()()1212122f x f x f x f x x x ¢¢+->-”的充要条件．19．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2e ln 1xf x a x =-+．(1)若2a =，讨论()f x 的单调性．(2)若0x >，1a >，求证：()1ln 2f x a a >-．拓展冲刺练一、单选题1．（2023·上海奉贤·二模）设n S 是一个无穷数列{}n a 的前n 项和,若一个数列满足对任意的正整数n ,不等式11n n S S n n +<+恒成立,则称数列{}n a 为和谐数列,有下列3个命题:①若对任意的正整数n 均有1n n a a +<,则{}n a 为和谐数列;②若等差数列{}n a 是和谐数列,则n S 一定存在最小值;③若{}n a 的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．以上3个命题中真命题的个数有( )个A ．0B ．1C ．2D ．32．（2023·新疆乌鲁木齐·三模）已知0.19e a -=，0.9b =，2ln0.91c =+，则（）A ．b c a>>B ．a c b>>C ．c b a>>D ．b a c>>3．（2023·湖南长沙·一模）已知()e 0.1e 0.1a +=-，e e b =，()e 0.1e 0.1c -=+，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c<<D ．a c b<<4．（2024·青海·二模）定义在R 上的函数()f x 满足()()2231218f x f x x x --=-+，()f x ¢是函数()f x 的导函数，以下选项错误的是（）A ．()()000f f ¢+=B ．曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为210x y --=C ．()()f x f x m -¢³在R 上恒成立，则2m £-D ．()()74ee xf x f x -³-¢-二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）已知n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且221n n n a S a -=，则（）A ．=n aB ．1n na a +>C ．1ln n nS n S -³D ．212n n n S S S +++>6．（2024·全国·模拟预测）已知1e 1ln ,0aa b=+>，则下列结论正确的是（）A ．e 2a b >-B ．1lna b<C ．1e lnb a<D ．1a b>-三、填空题7．（2023·浙江温州·二模）已知函数e e()ln ln f x x x x x=++-，则()f x 的最小值是；若关于x 的方程()22f x ax =+有1个实数解，则实数a 的取值范围是.8．（2023·福建福州·模拟预测）已知定义在()0,¥+上函数()f x 满足：()()ln 1x f x x +<<，写出一个满足上述条件的函数()f x = .四、解答题9．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数()()sin ln sin f x x x =-，()1,2x Î(1)求()f x 的最小值；(2)证明：()sin sin eln sin 1x xx x -×->.10．（2024·四川攀枝花·三模）已知函数()()ln 1R af x x a x=+-Î．(1)当2a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；(2)设函数()f x 的导函数为()f x ¢，若()()()1212f x f x x x ¢¢=¹，证明：()()1211f x f x a++>．11．（2024·山西晋城·二模）已知函数()()e x f x x a x a =-++（a ÎR ）．(1)若4a =，求()f x 的图象在0x =处的切线方程；(2)若()0f x ³对于任意的[)0,x Î+¥恒成立，求a 的取值范围；(3)若数列{}n a 满足11a =且122nn n a a a +=+（*n ÎN ），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：[]1ln (1)(2)3n S n n +<++．。

考点05一元二次方程、不等式(2种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型新高考版

考点05一元二次方程、不等式（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．【知识点】1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)，不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解的对应关系判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数的图象方程的根有两个不相等的实数根x 1，x 2(x 1<x 2)有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根不等式的解集{x |x ≠－b2a}R 2．分式不等式与整式不等式(1)f (x )g (x )>0(<0)⇔ ；(2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔ .3．简单的绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为，|x |<a (a >0)的解集为．【核心题型】题型一　一元二次不等式的解法对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．命题点1　不含参数的不等式【例题1】（2024·青海·一模）已知集合(){}2lg 23A x y x x ==-++，{}240B x x =-<，则A B È=（）A ．()1,3-B ．()1,2-C ．()2,3-D ．()2,2-【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知集合{}2|680,{|13}M x x x N x x =-+<=<£，则M N Ç=（）A ．{|23}x x ££B ．{|23}x x <£C ．{|24}x x <£D ．{|13}x x <£【变式2】（2024·山东济宁·一模）设集合{}2|60A x x x =--<，{|}B x a x a =-££，若A B Í，则实数a 的取值范围是．【变式3】（2024·安徽合肥·一模）已知集合{}{}24,11A xx B x a x a =£=-££+∣∣，若A B Ç=Æ，则a 的取值范围是.命题点2　含参数的一元二次不等式【例题2】（2024·云南红河·二模）已知,a b 均为正实数，则“11a b>”是“2223a b ab +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式1】（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间[]05，内随机取一个实数a ，则关于x 的不等式()2220x a x a +--<仅有2个整数解的概率为（）A ．25B ．310C ．15D ．110【变式2】（2023·江西南昌·三模）函数22e ,0()(2)2,0x ax x f x x a x a x ì->=í-+-+£î，若关于x 的不等式()0f x ³的解集为[2,)-+¥，则实数a 的取值范围是（）A ．e 2,2æù-çúèûB ．e 0,2éùêúëûC ．20,4éùêúëûe D ．2e {0},4¥éö+÷êëøU 【变式3】．（2023·湖南·模拟预测）若关于x 的不等式()277x a a x +<+的解集恰有50个整数元素，则a 的取值范围是，这50个整数元素之和为．题型二　一元二次不等式恒成立问题恒成立问题求参数的范围的解题策略(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．(2)一元二次不等式在R 上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．命题点1　在R 上恒成立问题【例题3】（2024·浙江·模拟预测）若不等式()2620kx k x +-+>的解为全体实数，则实数k的取值范围是（）A ．218k ££B ．182k -<<-C ．218k <<D ．02k <<【变式1】（23-24高三上·河南·期中）“关于x 的不等式()()2232340a x a x ---+³的解集为R ”是“392a <<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式2】（2023·福建厦门·二模）“()0,4b Î”是“R x "Î，210bx bx -+>成立”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3】（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）“不等式2210ax ax +-<恒成立”的一个充分不必要条件是（）A ．10a -£<B ．0a £C ．10a -<£D ．10a -<<命题点2　在给定区间上恒成立问题【例题4】（2023·浙江宁波·一模）已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x £在[]1,5x Î上恒成立，则满足要求的有序数对(,)a b 有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【变式1】（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知命题p ：任意1,22x éùÎêúëû，使222log log 30x m x -×-£为真命题，则实数m 的取值范围为（）A ．(],2-¥B ．(],2-¥-C ．[]22-,D ．[)2,-+¥【变式2】（2023·辽宁鞍山·二模）已知当0x >时，不等式：2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()8,8-B ．(],8¥-C ．(),8¥-D ．()8,+¥【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数2()f x x ax b =++，若对任意[1,5],()2x f x Î£，则所有满足条件的有序数对(,)a b 是．命题点3　在给定参数范围内的恒成立问题【例题5】（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）若210mx -<对于[]0,2m Î恒成立，则实数x 的取值范围为．【变式1】（2024高三·全国·专题练习）设函数()f x 是定义在(,)-¥+¥上的增函数．若不等式()21(2)--<-f ax x f a 对于任意[0,1]a Î恒成立，求实数x 的取值范围.【变式2】（22-23高三上·山东潍坊·阶段练习）若对于任意[]1,1m Î-，任意R y Î，使得不等式()23613x m x y y +--<-+-成立，则实数x 的取值范围是．【变式3】（2023高三·全国·专题练习）若不等式()2211x m x ->-对任意[]1,1m Î-恒成立，实数x 的取值范围是 .【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合{}{}2450,34A x x x B x a x a =--³=-<<+，若A B =U R ，则实数a 的取值范围为（）A ．{}1a a >B ．{}12a a <<C ．{}2a a <D ．{}12a a ££2．（2024·浙江·模拟预测）若不等式()2620kx k x +-+>的解为全体实数，则实数k 的取值范围是（）A ．218k ££B ．182k -<<-C ．218k <<D ．02k <<3．（2024·云南红河·二模）已知,a b 均为正实数，则“11a b>”是“2223a b ab +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2024高三·全国·专题练习）若不等式()()222240a x a x -+--<对一切x ÎR 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-¥B ．[]22-,C ．(]2,2-D ．(),2-¥-5．（23-24高三下·湖南衡阳·阶段练习）条件p 是q 的充分不必要条件是（）A ．函数()y f x =定义域为A ，p ：()0f x ¢³在A 上成立.q ：()y f x =为增函数；B ．p ：2R,30x x x a "Î-+>成立，q ：12a a +-最小值为4；C ．p :函数2()2441f x ax x =+-在区间(1,1)-恰有一个零点，q : 1184a -<<；D ．p :函数()cos 2cos sin 2sin f x x x j j =+为偶函数（x ÎR ），q :π(Z)k k j =Î6．（2024高三·全国·专题练习）已知,a b ÎR 且0ab ¹，若()()()20x a x b x a b ----³在0x ³上恒成立，则（）A ．0a C ．0b <D ．0b >二、多选题1．（23-24高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知0a >，0b >，且27a b +=，若223a b t +£恒成立，则实数t 的值可能为（）A ．20B ．21C ．49D ．502．（2024高三·全国·专题练习）(多选)下列命题正确的是（）A ．若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0B ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为RC ．不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0D ．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集三、填空题1．（23-24高三下·上海·阶段练习）设0a >，若关于x 的不等式20x ax -<的解集是区间()0,1的真子集，则a 的取值范围是．2．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知集合(){}(){}2log 32,540A x x B x x x =-<=--³，则A B =I .四、解答题1．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2f x x a =-，且()f x b £的解集为[]1,3-．(1)求a 和b 的值；(2)若()f x x t £-在[]1,0-上恒成立，求实数t 的取值范围．2．（2024高三·全国·专题练习）（1）解关于实数x 的不等式：2(1)0x a x a -++<．（2）解关于实数x 的不等式：210x ax -+<．3．（2024·全国·模拟预测）已知函数()21f x x =+．(1)求不等式()()11f x f x -->的解集；(2)若()()()1h x f x f x =+-，且存在x ÎR 使不等式()221a a h x +-³成立，求实数a 的取值范围．综合提升练一、单选题1．（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的2(0,),10x x mx Î+¥-+>恒成立，则m 的取值范围是（）A ．(2,2)-B ．(2,)+¥C ．(,2)-¥D ．(,2]-¥2．（2023高三·全国·专题练习）已知命题p ：“∀x ∈R ，(a ＋1)x 2－2(a ＋1)x ＋3>0”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．－1<a <2B ．a ≥1C ．a <－1D ．－1≤a <23．（2024·陕西西安·模拟预测）已知集合{{}2N 40A x y B y y =Î==-£∣，∣，则集合A B Ç中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（23-24高三上·重庆长寿·期末）已知函数2()2f x ax x a =-+，对1,22x éùÎêúëû都有()0f x ³成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,¥+B ．4,5¥éö+÷êëøC ．4,15éùêúëûD ．4,5¥æù-çúèû5．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）已知命题0:p x $ÎR ，()200110x a x +-+<，若命题p 是假命题，则a 的取值范围为（）A ．13a ££B ．13a -<<C ．13a -££D ．02a ££6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件q ：“不等式()()224210a x a x -++-³的解集是空集”，则条件p ： “21a -£<”是条件q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2024·天津河西·一模）“2x x £”是“11x³”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2023·广东广州·三模）定义{},max ,,p p q p q q p q³ì=í<î，设函数(){}2max 22,2x f x x ax a =--+，若R x $Î使得()0f x £成立，则实数a 的取值范围为（）．A ．(][),01,-¥+¥U B ．[][)1,01,-È+¥C ．()(),11,-¥-È+¥D ．[]1,1-二、多选题1．（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知R a Î，关于x 的一元二次不等式()()220ax x -+>的解集可能是（）A ．2x x a ì>íî或}2x <-B ．{}2x x >-C ．22x x a ìü-<<íýîþD ．22x x a ìü<<-íýîþ2．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（）A ．不等式24510x x -+>的解集是114x x x ìü><íýîþ或B ．不等式2260x x --£的解集是322x x x ìü£-³íýîþ或C ．若不等式28210ax ax ++<恒成立，则a 的取值范围是ÆD ．若关于x 的不等式2230x px +-<的解集是(),1q ，则p q +的值为12-3．（22-23高三上·河北唐山·阶段练习）若()()240ax x b -+³对任意(],0x Î-¥恒成立，其中a ，b 是整数，则+a b 的可能取值为（）A ．7-B ．5-C ．6-D ．17-三、填空题1．（2024高三·全国·专题练习）已知R a Î，函数()2222,022,0x x a x f x x x a x ì++-£=í-+->î若对任意[)–3,x Î+¥，()f x x £恒成立，则a 的取值范围是．2．（23-24高三上·河南·阶段练习）若命题“x $ÎR ，()()221110a x a x -+--³”为假命题，则a 的取值范围为 .3．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）设集合2{|41}A x x =£，{|ln 0}B x x =<，则A B =I .四、解答题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A ＝{x |x 2－4x －5≤0}，B ＝{x |2x －6≥0}，M ＝A ∩B .(1)求集合M ；(2)已知集合C ＝{x |a －1≤x ≤7－a ，a ∈R }，若M ∩C ＝M ，求实数a 的取值范围．2．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =(1)求()f x 的解析式；(2)在区间[1,1]-上，函数()y f x =的图象恒在直线y m =的上方，试确定实数m 的取值范围．3．（2024高三·全国·专题练习）设函数()f x ax =，其中0a >．解不等式()1f x £；4．（2024高三·全国·专题练习）已知f (x )＝2,02,0xx x x ìïíï<î…求f (f (x ))≥1的解集．5．（2023·河南开封·模拟预测）已知函数()f x 满足()()()()2213221R f x f x x a x a x +-=+--+Î．(1)讨论()f x 的奇偶性；(2)设函数()()()ln 1h x x f x x éù=+³ëû，求证：[)(){}1,yy h x ¥+Í=∣．拓展冲刺练一、单选题1．（2024高三·全国·专题练习）已知集合{}2120A x x x =--<，(){}2R log 51B x x =Î-<，则()A B =R I ð（）A ．{}34x x -<£B ．{}34x x -£<C ．{}4x x ³D ．{}45x x £<2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在区间[]05，内随机取一个实数a ，则关于x 的不等式()2220x a x a +--<仅有2个整数解的概率为（）A ．25B ．310C ．15D ．1103．（2023·福建厦门·二模）不等式2210ax x -+>（R a Î）恒成立的一个充分不必要条件是（）A ．2a >B ．1a ³C ．1a >D ．102a <<4．（2023·全国·模拟预测）已知函数()3sin f x x x =+，若不等式()220f x ax -+³恒成立，则实数a 的最大值为（）A B ．2C ．D ．4二、多选题5．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量,a b r r 满足||2a =r ，||4b =r ，且对任意的实数t ，都有b ta b a +³-r r r恒成立，则下列结论正确的是（）A ．4a b -r r 与b r垂直B ．(3)27a b b +×=r rrC ．14a b a b l l -+-rr r r 的最小值为D ．12a b a b l l ---r rr r 的最大值为6．（23-24高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）若关于x 的不等式()277x a a x +<+的解集恰有50个整数元素，则下列各选项正确的是（）A ．a 的值可能为-43B ．这50个整数元素之和可能为-925C ．a 的值可能为57.5D ．这50个整数元素之和可能为1625三、填空题7．（2022高三上·河南·专题练习）已知:11p x -<，()2:10q x a x a -++£，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是．8．（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知二次函数()()1y ax x a =--．甲同学：0y >的解集为()1,,a a æö-¥+¥ç÷èøU ；乙同学：0y <的解集为()1,,a a æö-¥+¥ç÷èøU ；丙同学：y 的对称轴大于零．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则a 的范围为．9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数2()f x x ax b =++，若对任意[]()1,5,2x f x Î£，则所有满足条件的有序数对(),a b 是．10．（23-24高三上·全国·阶段练习）对任意的x ÎR ，不等式()()()2222714613817x x m x x x x -+³-+-+恒成立，则实数m 的取值范围为．四、解答题11．（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）解关于x 的不等式：()()2220R ax a x a -++<Î.12．（2024高三·全国·专题练习）设函数()21f x mx mx =--．(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于[]1,3x Î，()5f x m <-+恒成立，求实数m 的取值范围．13．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知函数21()32ln 2f x x x x =-+.(1)求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(2)（ⅰ）若对于任意12,[1,3]x x Î，都有12()()22f x f x m -£-，求实数m 的取值范围;（ⅱ）设21()()2g x f x x =+，且12()()0g x g x +=，求证:1272x x +>.14．（23-24高三上·天津南开·期中）设函数2()(0,1)x xa b f x a a a -=>¹且是定义域为R 的奇函数，且()y f x =的图象过点31,2æöç÷èø.(1)求a ，b 的值；(2)设2()()(),g x x p x q p q =--<，若(),(())()0x f g x f mxg x ¢"Î-+£R （()g x ¢为函数()g x 的导数），试写出符合上述条件的函数()g x 的一个解析式，并说明你的理由．。

不等式性质与基本不等式(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(学生版)

考向22 不等式性质与基本不等式1.（2022年甲卷理科第12题）12．已知3132a =，1cos 4b =，14sin 4c =，则 A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A【解析】构造函数21()1cos 2h x x x =--，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()sin g x h x x x '==-+，()1cos 0g x x '=-+所以()(0)0g x g =，因此，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以1()(0)04h a b h =-<=，即a b <．另一方面，114sintan 4411cos 44c b ==，显然0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >，所以114sintan 44111cos 44c b ==>，即b c <．因此c b a >>． 2.（2022年甲卷文科第12题）12．已知910m =，1011m a =-，89m b =-，则 ( )A ．0a b >>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a >> 【答案】A【解析】由910m =，可得9log 10(11.5)m =∈ ,．根据a ，b 的形式构造函数()1m f x x x =-- (1x >)，则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110mx m -=，由9log 10(11.5)m =∈ ,知0(0)x ∈ 1,． ()f x 在(1) +∞,上单调递增，所以(10)(8)f f >，即a b >，又因为9log 10(9)9100f =-=，所以0a b >>，答案选A ．3．（2022年新高考1卷第7题）设0.10.1e =a ，19b =，ln0.9c =-，则A ．a b c < ②e ln(1),(0,0.1]-=+-∈x a c x x x ，1(1)(1)e 1'e e 11+--=+-=--x xxx x y x x x，令()(1)(1)1x k x x x e =+--，所以2'()(12)e 0=-->x k x x x ，所以()(0)0k x k >>，所以'0y >，所以0a c ->，所以a c >．4．（2022年新高考2卷第12题）对任意22,,1x y x y xy +-=，则A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤ D ．221x y +≥【答案】BC【解析】由221x y xy +-=得2212y x y ⎫⎛⎫-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令cos sin cos 23sin ??23y x x y y θθθθθ⎧⎧-==+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎪⎩⎩故[]cos 2sin 2,26x y πθθθ⎛⎫+=+=+∈- ⎪⎝⎭，故A 错，B 对；2222cos sin 33x y θθθ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()14242 2cos 2sin 2,2,333333θθθϕ⎡⎤=-+=-+∈⎢⎥⎣⎦(其中tan 3ϕ=)，故C 对，D 错.5. （2022年北京卷第11题）函数1()f x x =+_________．【答案】()(],00,1-∞⋃ 【解析】因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃6.（2022年乙卷理科第14题）已知1x x =和2x x =分别是函数)10(2)(2≠>-=a a ex a x f x 且的极小值点和极大值点，若21x x <，则a 的取值范围是___________ 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0【解析】()()ex a a x f x-=ln 2'至少要有两个零点1x x =和2x x =，我们对其求导，()()e a a x f x 2ln 22''-=，（1）若1>a ，则()x f''在R 上单调递增，此时若()00''=x f ，则()x f '在()0,x ∞-上单调递减，在()+∞,0x 上单调递增，此时若有1x x =和2x x =分别是函数)10(2)(2≠>-=a a ex a x f x 且的极小值点和极大值点，则21x x >，不符合题意。

高考数学一轮专题复习——基本不等式(学生版)

专题：基本不等式的应用（ab ≤a ＋b 2）1.设x 、y 均为正实数，且2＋x ＋2＋y＝1，则xy 的最小值为 ( ) 2．(2009·天津高考) 设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为 ( ) 3．已知不等式(x ＋y )(1x ＋a y)≥9 对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ( ) 4．(2010·太原模拟)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a ＋1b取最小值时，函数f (x )的解析式是________．5．设a 、b ①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2恒成立的序号为 ( )A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④6．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c－1)≥8.7. 某商场中秋前30f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出的月饼最少为 ( )8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．9．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计。

(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价。

高中数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练(学生版+解析版)

高中数学必修第一册《一元二次函数、方程和不等式》期末复习专项训练一、单选题l. (2022·四川绵阳·高一期末〉下列结论正确的是（〉A.若的b，则。

c>bc c.若。

＞b，则。

＋c>b+cl I B.若α＞b，则－〉－a D D.着。

＞b，则。

2> b22.(2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末〉已知α＜b<O，则（〉A.a2 <abB.ab<b2C.a1 <b1D.a2 >b i3.(2022·陕西汉中·高一期末〉若关于工的不等式，咐2+2x+m>O的解集是R，则m的取值范围是（〉A.(I, +oo)B.(0, I〕C.( -J, I)D.(J, +oo)4.(2022·广东珠海高一期末〉不等式。

＋l)(x+3)<0的解集是（〉A.RB.②c.｛对－3<x<-I} D.{xi x<-3，或x>-l}5. (2022·四川甘孜·高一期末〉若不等式似2+bx-2<0的解集为｛xl-2<x<I｝，则。

÷b=( )A.-2B.OC.ID.26. (2022·湖北黄石·商一期末〉若关于X的不等式x2-ax’＋7＞。

在（2,7）上有实数解，则α的取值范围是（〉A.（唱，8)B.（叫8] c.（叫2./7) D.（斗）7.(2022·新疆乌市一中高一期末〉已知y=(x-m)(x-n)+2022(n> m），且α，β（α〈别是方程y=O的两实数根，则α，β，111,n的大小关系是（〉A.α＜m<n＜βC.m＜α〈β＜nB.m＜α＜n＜βD.α＜m＜β＜n8.(2022·浙江·杭州四中高一期末〉已失11函数y＝κ－4+...2....(x>-1），当x=a时，y取得最小值b，则。

高一上期末数学复习---不等式

高一期末数学复习---不等式一、知识点突破1．比较两个实数大小的方法2．不等式的性质3（1）()0,2≥+≤b a b a ab ；（2）R b a ab b a ∈≥+,,222；（3）0,2>≥+ab ba ab ；（4）R b a b a ab ∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤,,22；（5）R b a b a b a ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+,,22222．当且仅当b a =时等号成立． 4．算术平均数与几何平均数设0>a ，0>b ，则a ，b 的算术平均数为2ba +，几何平均数为ab ，基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 5．利用基本不等式求最值问题已知0>x ，0>y ，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当y x =时，x ＋y 有最小值是p 2．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是42p ．(简记：和定积最大)6．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式ac b 42-=∆0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数()02>++=a c bx ax y 的图象一元二次方程()002>=++a c bx ax 的根有两个相异实根1x ，()212x x x <有两个相等实根ab x x 221-== 没有实数根一元二次不等式()002>>++a c bx ax 的解集 {1x x x <或}2x x >⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R一元二次不等式()002><++a c bx ax 的解集{}21x x xx <<φ φ对于0<二、题型突破题型一比较两个数(式)的大小【例1】(1)已知实a ，b ，c ，满足2346a a c b +-=+，244a a b c +-=-，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >≥B ．b c a ≥>C ．a b c >>D ．b c a >> (2)已知1≥a ，试比较a a M -+=1与1--=a a N 的大小．巩固训练：1．已知R p ∈，()()312-+=p p M ，()()1036++-=p p N ，则M 、N 的大小关系为________．题型二不等式的性质【例2】（1）若0<+；②11->-b a ；③ba b a 111>>+，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 (2)(多选题)下列命题中不正确的是( )A ．若b a >，则22bc ac > B ．若b a >，d c <，则db c a > C ．若b a >，d c >，则d b c a ->- D ．若0>ab ，b a >，则b a 11<【例3】(1)若106<<a ，a b a22≤≤，b a c +=，则c 的取值范围是( ) A ．[]18,9 B ．()30,15 C ．[]30,9 D ．()30,9(2)已知41<<-x ，32<<y ，则y x -的取值范围是________，y x 23+的取值范围是________．巩固训练：1．(多选题)若0<B ．ab a >2C.b a 11> D.ab a 11>- 2．若41<+<-y x ，32<-<y x ，则y x 23+的取值范围为________．题型三利用基本不等式求最值【例4】（1）函数()1122>-+=x x x y 的最小值为________．（2）已知两个正数x ，y 满足xy y x 82=+，则y x 24+的最小值为( ) A ．47 B ．2 C ．49 D ．25 （3）已知正实数a ，b 满足01=+-b ab ，则b a41+的最小值是________．巩固训练： 1．若对任意0>x ，a x x x≤++132恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,51B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,51C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-51,D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-51,2．已知函数()22>-+=x x mx y 的最小值为6，则正数m 的值为________． 3．若0>a ，0>b ，ab b a =+，则b a +的最小值为________． 4．已知0>a ，0>b ，且1=ab ，则ba b a +++82121的最小值为________．题型四一元二次不等式的解法【例5】（1）已知全集R U =，集合{}0232≥+-=x x x A ，则∁A R 等于( )A ．()2,1B ．[]2,1C ．(][)+∞⋃∞-,21,D ．()()+∞⋃∞-,21, （2）不等式1512-≥-+x x 的解集为________．（3）已知不等式02>++c bx ax 的解集是{}()0><<αβαx x ，则不等式02<++a bx cx 的解集是( )A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛αβ1,1 B ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,11,αβ C ．()βα, D ．()()+∞⋃∞-,,βα 巩固训练： 1．解下列不等式：（1）08232≥+--x x ；（2）4202≤--<x x ．2．已知不等式052>+-b x ax 的解集为{}23-<<-x x ，则不等式052>+-a x bx 的解集为( )A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-3121x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-<3121x x x 或 C ．{}23<<-x x D ．{3-<x x 或}2>x 题型五含参数的一元二次不等式的解法[例6] 解关于x 的不等式()()00112><++-a x a ax ．巩固训练：1．解关于x 的不等式()()012132>+++-a a x a x ．题型六一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题[例7] （1）若不等式012>+-kx x 对任意实数x 都成立，则实数k 的取值范围是____________．（2）设函数()012≠--=m mx mx y ，若对于[]3,1∈x ，5+-<m y 恒成立，求m 的取值范围．（3）若不等式342-+>+p x px x ，当40≤≤p 时恒成立，则x 的取值范围是( ) A ．[]3,1- B ．(]1,-∞- C ．[)+∞,3 D ．()()+∞⋃-∞-,31, 巩固训练：1．设函数()012≠--=m mx mx y ，若存在[]3,1∈x ，使得5+-<m y 恒成立，求m 的取值范围．2．对任意的[]1,1-∈k ，函数()k x k x y 2442-+-+=的值恒大于零，则x 的取值范围为________．三、反馈练习一、单项选择题1．若a b <<0,0<<c d ,则下列正确的是( ) A .ac bd C .d b c a ->-D .d b c a +>+ 2．已知函数x x x y 122+-=，则y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21上的最小值为（）A ．21 B ．34C ．1-D ．03．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数.设计师将某手机的屏幕面积与整机面积同时增加相同的数值,作为一款新手机的“屏占比”,则新手机的“屏占比”与原手机的“屏占比”相比 ( )A .不变B .变小C .变大D .不确定4．已知a ＞0，b ＞0，若不等式313m a b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（） A ．9 B ．12 C ．18 D ．245．若关于x 的不等式012<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，则b a +的值为 ( )A .41-B .0C .21D .1 6．已知0x >，0y >，23x y +=，则23x y xy+的最小值为（）A ．322-B ．221+C ．21-D ．21+ 7．已知,,(,0)a b c ∈-∞，则下列三个数1a b +，4b c+，9c a +（） A ．都不大于-4 B ．至少有一个不大于-4 C ．都不小于-4 D ．至少有一个不小于-4 8．为不断满足人们日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的生活环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造，改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由长方形核心喷泉区ABCD (阴影部分)和四周的绿化带组成. 规划核心喷泉区ABCD 的面积为21000m ,绿化带的宽分别为m 2和m 5(如图所示). 当长方形1111D C B A 占地面积最小时，核心喷泉区的边BC 的长度为( ) A .m 20 B .m 50 C .m 1010 D .m 100 二、多项选择题9.关于函数542+--=m x mx y 的零点，以下说法正确的是 ( )A .当0=m 时，该函数只有一个零点B .当1=m 时，该函数只有一个零点C .当1-=m 时，该函数没有零点D .当2=m 时，该函数有两个零点 10.对任意实数x ，若不等式k x x >--+12在R 上恒成立，则k 的取值可以是（） A .6- B .5- C .4- D .3-11.已知命题p :R x ∈∀，042>++ax x ，则命题p 成立的一个充分条件可以是( ) A .[]1,1-∈a B .()4,4-∈a C .[]4,4-∈a D .{}0∈a12．十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首次把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远. 若R c b a ∈,,，则下列命题正确的是 ( )A .若0>>b a ，则22bc ac > B .若0<a ，0>b ，则b a b a a b +≥+22 三、填空题13.若关于x 的不等式0132<+-ax x 的解集为φ，则实数a 的取值范围是 . 14.已知实数x ，y 满足14-≤-≤-y x ，541≤-≤-y x ，则y x +3的最大值为 . 15.设集合{}5120≤-≤=x x A ，{}02<+=a x x B ，若φ=B A ，则实数a 的取值范围为 . 16.已知0>x ，0>y ，且111=+y x ，则yyx x -+-1419的最大值为 . 四、解答题17.某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往. 甲车队说:“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属于团体票，按原价的8折优惠.”这两个车队的一张全票价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠. 18.（1）若正实数x ，y 满足xy y x =++62，求xy 的最小值；（2）若实数x ，y 满足122=++xy y x ，求y x +的最大值. 19.已知集合R U =，{}112>-=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=2153x x x B ，求B A ， A ∁U B .20.已知关于x 的不等式08322<-+kx kx . (1)若不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-1,23，求实数k 的值； (2)若不等式对任意R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围. 21．已知⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=023x x xA ，{}042<-=x x B ．（1）求∁()B A R ⋃；（2）已知函数12+-=kx x y ，从()+∞∈∀,0x ，都有0≥y 成立，[]2,1∈∃x ，使得0<y 成立，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并完成解答．问题：记p ∈k ∁()B A R ⋃，q ：________，若p 为假，q 为真，求实数k 的范围．若选择两个条件分别解答，按照第一个解答计分22.在，，∁A R ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题（3）中，若问题中的实数m 存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知一元二次不等式0232>+-x ax 的解集为{1<=x x A 或}b x >，关于x 的不等式()02<++-bm x b am ax 的解集为B （其中R m ∈）（1）求a ，b 的值；（2）求集合B ；（3）是否存在实数m ，使得___________（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.。

第三章__不等式小结复习

当判别式△=b2-4ac>0时
不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为 {x | x x1或x x 2 } 不等式ax2+bx+c<0(a>0)的解集为 {x | x1 x x 2}
大于符号取两边
小于符号取中间
y
O
y
x1 x2 x
Ox 1
x2
x
例1. 解下列一元二次不等式
1）x2-3x+2>0 2）x2-x-1<0 3）-2x2+3x+20 4）x(1-x)>x(2x-3)+1
O
y
4
2x+y-4=0
2
x
二元一次不等式组表示的平面区域
二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分. y 例2 画出不等式组 x-y+5=0 x+y=0 5
x y 5 0 x y 0 x 3
O
3
x
表示的平面区域. x=3
x 2 y 8, 4 x 16, 在线性约束条件 4 y 12, 下， x 0, y 0.
求（1）目标函数 z x 2 y 的最大值；（2）目标函数 z x y 的最大值和最小值.
y
4
x y 0
B
x 2y 0
2
O
x
ax+by+c>0 ax+by+c≥0
二元一次不等式ax+by+c≥0在平面直角坐标系中表示的平面区域包括边界，把边界画成实线.

高中数学基本不等式专题复习

高中数学基本不等式专题复习第11课：基本不等式与双根号函数一、双根号函数形如y=√(px+q)，p>0，q>0.图像如右图所示：1）x>0时，当x=0时取到最小值min=2√(pq)；2）值域：当x=q/p时取到最小值min=2p；3）当p<0，q<0时，函数图像关于X轴对称，为二、四象限倒双根号；4）当pq<0时，不是双根号函数。

2、研究：以y=3√(x-)为例二、基本不等式a+b≥2√(ab)1、一正：只要a、b为正，上式就恒成立！2、二定：当利用基本不等式求一端的最值时，则必须配凑出不等式另一端是定值！积定和最小，取等于ab/2；3、三相等：用来验证等号能否取；当求最值时则是验证最值能否取到！成败的关键！示例：求函数y=x+3/(x-2)（x>2）的最小值。

错误解法：当x>2时，得a=x，b=3/(x-2)，则a+b=x+3/(x-2)≥2√(3)，当且仅当x=2时，函数有最小值2√(3)。

正确解法：将y=x+3/(x-2)（x>2）化为y=(x-2)/2+3/(2(x-2))，即y=√(3/2)√(x-2)+√(3/2)√(3/(x-2))，此时a=√(3/2)，b=√(3/2)，则a+b=2√(3/2)，取等于ab/2，即函数有最小值2√(3)。

两者联系：1）基本不等式去等号时的值即为双根号函数的拐点；2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双根号函数！三、利用基本不等式求最值类型一：形如y=(ax+b)/(ax^2+bx+c)1、求y=4x+3/(x-2)的最小值；2、求y=x/(x+1)的最小值；3、求y=sin(x)+cos(x)的最大值。

类型二：形如y=(cx+d)/(x^2+x+9)1、求y=3x-5/(4x-5)的最小值；2、求y=2x/(x+4e+4)的值域；3、求y=e^x/(x+1)的最小值；4、求y=(x^2+2x+1)/(x+2)的最小值；5、求y=√(2x/(1-2x))的最小值；6、求y=x/(2x+1)的值域。

江西省三校生高考不等式复习

原不等式转化为一元一次不等式组：
x 3 0 ( Ⅰ ) x 4 0
或
x 3 0 (Ⅱ) x 4 0
不等式组(Ⅰ)的解集是 {x|x >4}；不等式组(Ⅱ)的解集是 {x|x <3} ．故原不等式的解集为{ x| x <3或x> 4} ．
解一元二次不等式：（1）(x+1)(x2)<0；（2）(x+2)(x3)>0；
判断式子是否是一元二次不等式？（1）x23x＋5≤0；（2）x2－9≥0；（3）3x2－2 x＞0；
（4）x2＋5＜0；
（5）x2－2 x≤3；（6）3x＋5＞0；
（7）（x 2）2≤4；（8）x2＜4．
例1 (1) 解不等式 x2x12>0
(2) 解不等式 x2x12<0
解：（1）因为=(1)2-41(12)=49>0，方程 x2 x 12=0 的解是x1=3 , x2=4，则 x2 x 12=(x+3)(x4)>0 ．
例3
（1）解不等式x2 － 2x＋ 3 >0
x2－2 x＋3＝(x－1)2＋2＞0，
所以原不等式的解集为R．
解：（1）对于任意一个实数 x，都有
（2）解不等式x2 － 2x＋3 <0
解：（2）对于任意一个实数x，不等式 (x－1)2＋2＜0 都不成立，所以原不等式的解集为．
解下列不等式： (1) x2－2x＋3≤0； (2) x2＋4x＋5＞0； (3) x2－2x＋1＞0．
x2
{x | x > } Nhomakorabeab a
{x | x < a }
例2
解下列不等式组：

易错02不等式(4个易错点+7个易错核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习(新高考版)

易错02不等式（4个易错点错因分析与分类讲解+7个易错核心题型60题强化训练）易错点1 忽视不等式中的等号而致误1. [江苏镇江一中等三校2023质检]（多选）下列命题是真命题的为（）22.,A ac bc a b <<若则 ()22.,,21B a b R a b a b Î+>--若则.C a b >>则 22.0,b aD a b a ba b>>+>+若则易错点2 忽略基本不等式成立的条件致误2. [广东广州2023阶段练习]（多选）下列函数中最小值为 8 的是（）16.ln ln A y x x=+16.sin sin B y x x=+2.44xx C y -=+ .D y =3. [陕西咸阳2022二模]若0,0x y >>且2x y +=，则下列结论中正确的是（）22.1A x y +的最小值是1.4B xy 的最大值是21.C x y+的最小值是.2D +易错点3 忽视对二次项系数的分类讨论致误4. [安徽六安2023第五次质检]“10k -<<”是“关于x 的不等式()2220kx kx k +-+<恒成立”的（）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件5. [河南中原名校2022第二次联考]已知命题2,10p x R ax ax $Î-+<：，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为。

易错点4 要注意反比例函数的定义域6.[山东2022第二次联合检测]已知非零实数,m n 满足mne e >，则下列关系式一定成立的是（）11.A m n< ()()22.ln 1ln 1B m n +>+ 11.C m n m n+>+ .D m m n n>【易错核心题型强化训练】一．不等关系与不等式（共4小题）1．（2023秋•揭西县期末）b 克糖水中含a 克糖(0)b a >>，若再加入m 克糖(0)m >，则糖水变甜了．请根据此事实提炼一个不等式( )A ．a a mb b m+<+B ．a a mb b m+>+C ．a a mb b m-<-D ．a ab b m<+2．（2023秋•兴文县校级期末）设a b c ……，且1是一元二次方程20ax bx c ++=的一个实根，则ca的取值范围为( )A ．[2-，0]B ．1[2-，0]C ．[2-，12-D ．[1-，1]2-3．（2023秋•绍兴期末）已知实数x ，y ，z 满足352x y y =-，532z y y =+，且x y <，则( )A ．z y>B ．01y <<C ．2x z y+>D ．2x z y+<4．（2023秋•阜宁县期末）已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列结论正确的是( )A ．4ab …B ．111a b+…C ．2216a b +…D ．228a b +>二．基本不等式及其应用（共12小题）5．（2024•博野县校级开学）若1x >，则函数91y x x =+-的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．96．（2023秋•五华区校级期末）若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式24yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(1,2)-B ．(-¥，2)(1-È，)+¥C ．(2,1)-D ．(-¥，1)(2-È，)+¥7．（2024•汕头二模）若实数a ，b 满足0a b <<，且1a b +=．则下列四个数中最大的是( )A ．12B ．22a b +C ．2abD ．a8．（2024•扬中市校级开学）已知正数x ，y 满足4x y +=，则下列选项不正确的是( )A ．11x y+的最小值是4B ．xy 的最大值是4C ．22x y +的最小值是8D ．(1)x y +的最大值是2529．（2023秋•怀仁市期末）下列命题正确的是( )A ．若0a b >>，0m >，则a a mb b m+<+B ．若正数a 、b 满足1a b +=，则114113a b +++…C ．若0x >，则423x x--的最大值是2-D ．若(2)x x y =-，0x >，0y >，则2x y +的最小值是 910．（2024•丰城市校级开学）下列说法正确的为()A ．若0x >，则(2)x x -最大值为1B ．函数y 的最小值为4C ．1||2x x+…D ．已知3a >时，43a a +-…，当且仅当43a a =-即4a =时，43a a +-取得最小值811．（2024•岳麓区校级一模）设a ，b 为两个正数，定义a ，b 的算术平均数为(,)2a bA a b +=，几何平均数为(,)G a b =(G a ，)(b A a …，)b ，这是我们熟知的基本不等式．上个世纪五十年代，美国数学家D ．H ．Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即11(,)p pp p p a b L a b a b --+=+，其中p 为有理数．下列关系正确的是( )A ．0.5(L a ，)(b A a …，)bB ．0(L a ，)(b G a …，)bC ．2(L a ，1)(,)b L a b …D ．1(n L a +，)(,)n b L a b …12．（2023秋•灌南县校级期末）已知a ，b 为正实数，且8ab a b ++=，则( )A ．ab 的最大值为4B ．22(1)(1)a b +++的最小值为18C ．a b +的最小值为4D ．1111a b +++13．（2024•金东区校级模拟）已知a ，b R Î，若222a b ab +-=，则ab 的取值范围是．14．（2024春•上城区校级期中）已知实数0a >，0b < ．15．（2023秋•金平区期末）在4´□9+´□60=的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上和．16．（2023秋•濠江区校级期末）若实数a ，b ，c 满足222a b a b ++=，2222a b c a b c ++++=，则c 的最大值是．三．其他不等式的解法（共2小题）17．（2023秋•普陀区校级期末）不等式11x<的解集为．18．（2023秋•吉林期末）不等式2112x x ++…的解集是．四．指、对数不等式的解法（共6小题）19．（2024•宣城模拟）若3a x <<是不等式12log 1x >-成立的一个必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(,0)-¥B ．(-¥，0]C ．[0，2)D ．(2,3)20．（2024•开封一模）a ，b 为实数，则“1a b >>”是“a lnb b lna +>+”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件21．（2024•良庆区校级模拟）若集合2{|280}A x Z x x =Î--…，2{|log 1}B x x =>，则(A B =I )A ．{2，4}B ．{1，4}C ．{3，4}D ．{2，3，4}22．（2023秋•青浦区期末）用函数的观点：不等式24log 1x x +<的解集为．23．（2023秋•沙坪坝区校级期末）设集合1{|1}x A x e e -=……，若关于x 的不等式20x mx n ++…的解集为A ．（1）求函数2()f x x mx n =++的解析式．（2）求关于x 的不等式2()(32)2f x x l l +>-+的解集，其中R l Î．24．（2023秋•渝中区校级期末）已知函数21()21x xf x -=+，41()log (21)2x g x x =--．（1）解不等式211212x x->-+；（2）方程44()log ()log (21)(0)x g x af x a =-->在2[log 3，2]上有解，求a 的取值范围？五．二次函数的性质与图象（共3小题）25．（2024春•化州市期中）设函数22()f x x mx n =++，22()(4)24g x x m x n m =+++++，其中x R Î，若对任意的t R Î，()f t ，()g t 至少有一个为非负值，则实数m 的最大值是( )A ．1B C ．2D 26．（2023秋•厦门期末）已知函数2()2(0)f x x x c c =++>，若()0f t <，则( )A ．(1)0f t ->B ．(1)0f t +<C ．(2)0f t -<D ．(2)0f t +>27．（2023秋•厦门期末）已知函数2()f x x ax b =++．（1）若()0f x <的解集为(3,1)-，求a ，b ；（2）若f （1）2=，a ，(0,)b Î+¥，求14a b+的最小值．六．一元二次不等式及其应用（共32小题）28．（2023秋•牡丹区校级期末）不等式2(3)1x +<的解集是( )A ．{|2}x x >-B ．{|4}x x <-C ．{|42}x x -<<-D ．{|42}x x --……29．（2024•南海区校级模拟）已知a ，b ，c R Î且0a ¹，则“20ax bx c ++>的解集为{|1}x x ¹”是“0a b c ++=”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件30．（2023秋•涟源市期末）已知二次函数2y x bx c =-++的零点为2-和1，则关于x 的不等式20x bx c +->的解集为( )A ．(-¥，1)(2-È，)+¥B ．(1,2)-C ．(2,1)-D ．(-¥，2)(1-È，)+¥31．（2023秋•石嘴山期末）已知一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为(-¥，)(1m -È，)(1)m +¥<-，则4(1)b a m +-的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．432．（2023秋•长乐区校级月考）若不等式220ax x c ++<的解集是11(,)(,)32-¥-+¥U ，则不等式220cx x a -+…的解集是( )A ．11[,]23-B ．11[,32-C ．[2-，3]D ．[3-，2]33．（2024•龙凤区校级开学）若关于x 的不等式240x mx +->在区间[2，4]上有解，则实数m 的取值范围为( )A ．(3,)-+¥B ．(0,)+¥C ．(,0)-¥D ．(,3)-¥-34．（2024•广丰区校级开学）不等式210(0)mx ax m -->>的解集不可能是( )A ．{|1x x <-或1}4x >B ．RC ．13{|}32x x -<<D ．{|3x x <-或5}x >35．（2023秋•梅州期末）已知不等式20ax bx c ++>的解集为(2,1)-，则下列结论正确的是( )A ．0a D ．0a b c -+<36．（2023秋•吉林期末）下列说法正确的是( )A ．命题“0x $…，使得1x e x +…”的否定是“0x ">，都有1x e x >+”B ．“11a<”是“1a >”的必要不充分条件C ．若不等式220ax x c ++>的解集为{|12}x x -<<，则2a c +=D ．当1x >时，121x x +-的最小值为2+37．（2023秋•新化县期末）已知关于x 的不等式2(23)(3)10(0a m x b m x a +--->>，0)b >的解集为1(,1)(,)2-¥-+¥U ，则下列结论正确的是( )A ．21a b +=B ．ab 的最大值为18C ．12a b+的最小值为4D ．11a b+的最小值为3+38．（2023秋•宿州期末）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<，则下列说法正确的是( )A ．0a >B ．0a b c ++<C ．不等式20cx bx a -+<的解集为1{|2x x <-或1}3x >-D ．24c a b++的最小值为639．（2023秋•松山区期末）已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|}x m x n <<，其中0m >，则以下选项正确的有( )A ．0a C ．20cx bx a ++>的解集为11{|}x x n m<<D ．20cx bx a ++>的解集为1{|x x n <或1}x m>40．（2024春•浦东新区校级月考）设0a >，若关于x 的不等式20x ax -<的解集是区间(0,1)的真子集，则a 的取值范围是．41．（2023秋•清河区校级期末）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为1(3-，2)，那么关于x 的不等式20cx bx a ++<的解集为．42．（2024•重庆模拟）若关于x 的不等式202(0)ax bx c a ++>……的解集为{|13}x x -……，则32a b c ++的取值范围是．43．（2023秋•阜南县期末）解关于x 的不等式()(1)0()x a x a R --Î…．44．（2023秋•南充期末）已知函数2()1f x x mx =-+．（1）若关于x 的不等式()10f x n +-…的解集为[1-，2]，求实数m ，n 的值；（2）求关于x 的不等式()10()f x x m m R -+->Î的解集．45．（2023秋•阿勒泰地区期末）已知集合2{|340}A x x x =--<，{|131}B x a x a =+<<+．（1）当2a =时，求A B U ；（2）若A B B =I ，求a 的取值范围．46．（2023秋•金安区校级期末）已知集合{|30}A x x =-<…，集合2{|2}B x x x =->．（1）求A B I ；（2）若集合{|22}C x a x a =+……，且()C A B ÍI ，求实数a 的取值范围．47．（2023秋•沙坪坝区校级期末）若函数2()4f x ax bx =++，（1）若不等式()0f x <的解集为1(,4)2，求a ，b 的值；（2）当1a =时，求()0()f x b R >Î的解集．48．（2023秋•山西期末）已知关于x 的不等式230ax x b -+>的解集为{|1x x <或2}x >．（1）求a ，b 的值；（2）当0c >时，求关于x 的不等式2(1)10cx ac x -++<的解集（用c 表示）．49．（2023秋•阳江期末）已知不等式2(2)0x a x b -++…的解集为{|12}x x ……．（1）求实数a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式：()(2)0(x c ax c -->为常数，且2)c ¹50．（2023秋•双塔区校级期末）已知关于x 的不等式2230ax bx +-<的解集为{|12}x x -<<．（1）求实数a ，b 的值；（2）解关于x 的不等式：(1)()0ax bx m +-+>，其中m 是实数．51．（2023秋•广州期末）设全集为R ，集合2{|560}A x x x =-->，{|121}B x a x a =+<<-．（1）若4a =，求A B U ，R A B I ð；（2）若()R A B =ÆI ð，求实数a 的取值范围．52．（2023秋•呼和浩特期末）（1）若关于x 的不等式2430ax ax +-<对x R "Î都成立，求a 的取值范围；（2）已知二次不等式2430ax ax +-<的解集为12{|}x x x x <<，且12||5x x -=，求a 的值．53．（2023秋•定西期末）已知集合2{|230}A x x x =--<，2{|(21)20}B x x m x m =---…．（1）当1m =时，求A B U ；（2）若x A Î是x B Î的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．54．（2023秋•西安区校级期末）已知关于x 的不等式222830ax x a --<的解集为{|1}x x b -<<．（1）求实数a ，b 的值；（2）当0x >，0y >，且满足1a b x y+=时，求32x y +的最小值．55．（2024春•湖北月考）已知函数2()(4)4f x x a x a =+-+-，()a R Î．（1）解关于x 的不等式：()1f x …；（2）命题“(1,)x "Î+¥，()0f x …”是真命题，求a 的最大值．56．（2023秋•天津期末）函数2()1(,)f x ax bx a b R =++Î．（1）若()0f x <的解集是{|2x x <-，或3}x >，求不等式2103ax bx ++>的解集；（2）当0a >时，求关于x 的不等式()(1)0f x a b x +-+>的解集．57．（2023秋•金安区校级期末）已知函数2()()f x x a b x a =-++．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为(1,2)，求a ，b 的值；（2）当1b =时，解关于x 的不等式()0f x >．58．（2023秋•三明期末）集合2{|340}A x ax x =--…，{|B x x b =…或1}x -…，且A B =．（1）求a ，b 的值；（2）若集合{|12}P x m x m =+<<，且“x P Î”是“R x A Îð”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．59．（2023秋•德庆县校级期末）已知函数2()(21)f x ax a x c =-++，且(0)2f =．（1）若()0f x <的解集为{|28}x x <<，求函数()f x y x =的值域；（2）当0a >时，解不等式()0f x <．七．一元二次方程的根的分布与系数的关系（共1小题）60．（2023秋•青羊区校级期末）方程2(2)50x m x m +-+-=的两根都大于2，则m 的取值范围是( )A ．(5-，4]-B ．(-¥，4]-C ．(-¥，2]-D ．(-¥，5)(5--È，4]-。

第04讲等式与不等式质(含糖水不等式)(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)

第04讲等式与不等式性质（含糖水不等式）（6类核心考点精讲精练）【备考策略】1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围4.能利用糖水不等式解决不等式的相关问题1. 等式的性质性质1 如果b a =，那么________；性质2 如果b a =，c b =，那么________；性质3 如果b a =，那么________；性质4 如果b a =，那么________；性质5 如果b a =，0≠c ，那么________；2. 比较两个实数大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：0a b ->Û ； 0a b -=Û；0a b -<Û另外，若0b >，则有1a a b b >Û>；1aa b b =Û=；1a a b b<Û<.3. 不等式的基本性质：（1）对称性：．（2）传递性：．（3）可加性：．（4）可积性：① ；②．（5）同向可加性：；异向可减性：．（6）同向正数可乘性；异向异号可乘性：；异向正数可除性：．（7）乘方法则：（n +ÎN ，2n ³）．（8）开方法则：（n +ÎN ，2n ³）．（9）倒数法则：；．4. 糖水不等式及其变形若实数a ，b ，c ，满足0a b >>，0m >，则ba _____b m a m ++，b a _____b －m a －m ，(b －m ＞0)；a b _____a ＋m b ＋m ；a b_____a －m b －m，(b －m ＞0)（用不等号填空）．5. 对数型糖水不等式及其变形（1）设 n N +Î, 且 1n >, 则有 12log log (1)n n n n ++<+ （2）设 1,0a b m >>>, 则有 log log ()a a m b b m +<+（3）上式的倒数形式：设 1,0a b m >>>, 则有 log log ()b b m a a m +>+1．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a ，b ，c ，d 满足：0a b c d >>>>，则下列不等式一定正确的是（）A ．a d b c+>+B ．ad bc>C ．a c b d+>+D ．ac bd>2．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，则b c ba c a+>+B ．若a b >，c d >，则a d b c->-C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若a b >，则11a b a>-1．（2024·全国·模拟预测）已知x y >，则下列不等式正确的是（）A ．11x y-<-B ．22x y >C ．||1xy>D ．xz yz>2．（2024·北京丰台·二模）若,a b ÎR ，且a b >，则（）A ．221111a b <++B ．22a b ab >C ．22a ab b >>D ．2a ba b +>>1．（2023高三·全国·专题练习）已知4ππ3a b <+<，ππ3a b -<-<-，求2a b -的取值范围为 .2．（2024·河北石家庄·二模）若实数,,0x y z ³，且4,25x y z x y z ++=-+=，则435M x y z =++的取值范围是.1．（2024高三·全国·专题练习）已知1260,1536a b <<<<，则a b -的取值范围是，ab的取值范围是.2．（23-24高三·安徽·阶段练习）已知12x y £-£，24x y £+£，则3x y -的最小值.3．（2024·浙江·模拟预测）已知正数a b c ，，满足22221625a c b c +=+=，，则22=+k a b 的取值范围为．1．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a ，b 满足a b >，求证：3322a b a b ab ->-.2．（上海浦东新·阶段练习）设0a b >>，比较2222a b a b -+与a b a b -+的大小1．（2024高三·全国·专题练习）已知,a b 为正实数．求证：22a b a b b a +>+.2．若0a b >>，求证：2()a ba ba b ab +>．1．（2023高三·全国·专题练习）证明命题：“若在ABC V 中a b c 、、分别为角、、A B C 所对的边长，则111c a bc a b<++++”1．（1）设0b a >>，0m >，证明：a a mb b m+<+；（2）设0x >，0y >，0z >，证明：12x y z x y y z z x<++<+++.1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知b 克糖水中含有a 克糖(0)b a >>，再添加m (0)m >克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（）A ．bm am>B ．b m a m+>+C ．m ma b>D ．a m ab m b+>+2．（2023·四川凉山·一模）a 克糖水中含有b 克糖，糖的质量与糖水的质量比为ba，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为b m ba m a+>+(0a b >>，0m >).若13log 2x =，215log 10x =，345log 20x =，则A ．123x x x <>，0m >）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断3log 2与15log 10的大小：例如315ln 2ln 2ln 5ln10log 2log 10ln 3ln 3ln 5ln15+=<==+，试比较4log 3 5log 4的大小（填”<”或”>”或”=”）1．（2024·湖南长沙·二模）设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有（）A ．2c cd2．（2024·广西·二模）已知实数a ，b ，c 满足a b c >>，且0a b c ++=，则下列结论中正确的是（）A ．0a b +>B ．ac bc>C ．11a b b c>--D ．()()294a cbc c <--1．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（）A ．若0a b <<，则22a ab b >>B ．若0a b <<，则22ac bc <C ．若0a b c <<<，则c ca b>D ．若0a b <<，则22ba +>2．（2024·江西·模拟预测）已知0a b c d <<<<，则下列不等式一定正确的是（）A ．a b c d+<+B ．ac bc<C ．ab cd<D ．a ac d<3．（2024·安徽淮北·一模）已知a ，b ，c ÎR ，下列命题为真命题的是（）A ．若a b c >>，则a b c +>B ．若a b c >>，则222a b c >>C ．若0a b c <<<，则c c a b>D ．若0a b c >>>，则b b ca a c+<+一、单选题1．（2024·河南·模拟预测）“0a b >>，c d >是“ac bd >”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．（2023·吉林长春·一模）若a ，b ，R c Î，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．ac bc >B ．22ac bc >C ．2()0b ac -<D ．2()0a b c -³3．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）设a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（）A ．22ac bc >B ．b aa b>C ．22a ab b >>D ．11a b>4．（2023·山东·模拟预测）对于实数a ，b ，c ，下列结论中正确的是（）A ．若a b >，则22>ac bc B ．若>>0a b ，则11>a b C ．若<<0a b ，则<a bb aD ．若a b >，11>a b，则<0ab 5．（23-24高三上·北京房山·期末）已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（）A ．22a b >B ．11a b>C ．b a a b>D ．2211ab a b>6．（2023·广东·二模）若a b c === ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a>>D ．b c a>>二、多选题7．（2023·湖南张家界·二模）下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则33a b >D ．若a b >，则22a b >三、填空题8．（2023高三·全国·课后作业）已知01,23a b a b £+<£-<，则b 的取值范围是．9．（2023高三·全国·专题练习）若13a <<,42b -<<,则2a b +的取值范围是.10．（23-24高三上·海南海口·开学考试）已知14x -<<，23y <<，则32x y +的取值范围是.一、单选题1．（2024·山东聊城·三模）“2a b +<-，且1ab >”是“1a <-，且1b <-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（）A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若22ac bc ³，则a b³D ．若22a b +=，则244a b +³3．（2024·陕西铜川·三模）已知,a b 为正实数，则“1a b <”是“11a ab b +<+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2024·福建福州·模拟预测）设a ，b ÎR ，则“0ab <”是“0a ba b+=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2024·安徽淮北·二模）已知,R a b Î，下列命题正确的是（）A ．若1ab =，则2a b +³B ．若11a b <，则a b>C ．若a b >，则()ln 0a b ->D ．若0a b >>，则11a b b a+>+6．（2024·北京·三模）已知,R x y Î，且x y >，则（）A ．11x y -<0B ．tan tan 0x y ->C ．110e e xyæöæö-<ç÷ç÷èøèøD ．ln ||ln ||0x y ->7．（2024·四川成都·模拟预测）已知a ，b 为实数，则使得“0a b >>”成立的一个必要不充分条件为（）A ．11a b>B ．ln(1)ln(1)a b +>+C ．330a b >>D >8．（2024高三下·全国·专题练习）记{}123max ,,x x x 表示123,,x x x 这3个数中最大的数．已知a ，b ，c 都是正实数，12max ,,b c M a a c b ìü=+íýîþ，则M 的最小值为（）A B C ．D ．二、多选题9．（2024·辽宁·模拟预测）若,0a b >，则使“a b >”成立的一个充分条件可以是（）A ．11a b-C ．22a b b a ab +>+D ．()()22ln 1ln 1a b +>+10．（2024·安徽合肥·三模）已知实数,a b 满足01a b <<<，则（）A ．11b b a a -<-B ．a b ab+>C ．b aa b <D ．112222log log a ba b-<-一、单选题1．（四川·高考真题）若0,0,a b c d >><<则一定有A ．a bc d>B ．a b c d<C ．a b d c>D ．a b d c<2．（浙江·高考真题）设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（广东·高考真题）设,a b R Î，若0a b ->，则下列不等式中正确的是（）A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>4．（上海·高考真题）已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是A ．22a b ，0bc ad ->，则0c da b->；（2）若0ab >，0c da b->，则0bc ad ->；（3）若0bc ad ->，0c da b->，则0ab >，其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36．（北京·高考真题）设,,,a b c d R Î，且,a b c d >>，则下列结论正确的是（）A ．a c b d+>+B ．a c b d->-C ．ac bd>D ．a cd b>7．（全国·高考真题）若1a b >>，01c <<，则A ．cc a b ，，，且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是.A ．B ．3C ．2D 二、多选题9．（上海·高考真题）如果,00a b <>，那么下列不等式不正确的是( )A ．11a b 三、填空题10．（辽宁·高考真题）已知14x y -<+<且23x y <-<，则 23z x y =-的取值范围是（答案用区间表示）。

第05讲基本不等式(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)

第05讲基本不等式（10类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，具体视命题情况而定，本身知识点命题可变性多，学生易上手学习，但高考常作为载体和其他版块结合考查，难度不定，分值为5分左右【备考策略】1.理解、掌握基本不等式及其推论，会使用应用条件：“一正，二定，三相等”2.能正确处理常数“1”求最值3.能用拼凑等思想合理使用基本不等式求最值4.能熟练掌握基本不等式的应用，应用于函数和解析几何的求解过程中求最值【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最值，或者和其他版块关联，难度中等偏上。

1．基本不等式如果0,0a b ³³，那么2a b+³（当且仅当时取“=”）.说明：①对于非负数,a b ，我们把2a b+称为,a b 的，称为,a b 的 .②(0,0)2a ba b +£³³称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数.③“当且仅当a b =时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当时，有2a b+=；另一方面当时，有a b =.④ 结构特点：和式与积式的关系.2．基本不等式求最值（1）设x ，y 为正数，若积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值（简记为：积定和最小）.（2）设x ，y 为正数，若和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2（简记为：和定积最大）.3．几个重要不等式（含基本不等式链）（1）22a b +³ （,a b ÎR ）；（2）2a b+³ （,a b ÎR ）；（3）a bb a+³ （,a b 同号）；（4）ab £或ab £（,a b ÎR ）；（5³³³()2,,,011a b a b a bÎ>+R1．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）已知0x >，0y >，且2x y +=，则xy 的最大值为（）A ．0B ．1C ．-1D ．22．（2024·全国·模拟预测）若0,0,321x y x y >>+=，则84x y +的最小值为（）AB．C．D．1．（2023·上海·模拟预测）已知正实数a 、b 满足41a b +=，则ab 的最大值为．2．（2024·云南·模拟预测）已知正数,x y 满足4x y +=，则14y x -的最小值为.1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知0x >，0y >，且21x y +=，则x y yx +的最小值为（）A ．4B ．C ．6D ．32．（2024·河南·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c ++=，则41a b c++的最小值为．1．（2024·安徽·三模）已知0,0x y >>，且21x y +=，则2y xxy +的最小值为（）A ．4B ．C ．1D ．12．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知()0,m n Î+¥,，14n m+=，则9m n +的最小值为.3．（2024·江苏南通·二模）设0x >，0y >，122y x+=，则1x y+的最小值为（）A ．32B ．C ．32D ．31．（2024·山西临汾·三模）若01x <<，则121x x+-的最小值是（）A ．1B ．4C ．2+D ．3+2．（2024高三·全国·专题练习）若函数()()133f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则=a ．3．（2024·江西赣州·二模）已知0y x >>，则42y x y x x y--+的最小值为 .1．（2024·全国·模拟预测）已知1x >，0y >，且22x y +=，则11y x +-的最小值是．2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知实数0,2a b >>，且121123a b +=+-，则2a b +的最小值是．1．（2022高三上·全国·专题练习）已知0，>x y ，求44x yx y x y+++的最大值.2．（2023·全国·模拟预测）已知1a >，12b >，121121a b +=--，则11a b+的最大值为．1．（2020·甘肃兰州·二模）设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312n m n ++++的最小值为 .2．（2024·浙江·模拟预测）已知0a >，0b >，若222112a ab b ab+=++，则ab 的最大值为（）A．2B．2C．4+D．4-1．（2023高三·全国·专题练习）函数 ()()2230x x f x x x++=<的最大值为.2．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数0k >，则3223333141422k kk k +æöæö++ç÷ç÷èøèø的最大值为．1．（22-23高三上·福建泉州·期中）函数233()=21x f x x x --+在(1,)+¥上的最大值为．2．（2023高三·全国·专题练习）当1x >-时，求函数2231x x y x ++=+的最小值.1．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若x ，y ，z 均为正实数，则2222443xy yzx y z +++的最大值是．2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对任意的正实数,,a b c ，满足1b c +=，则28161ab a bc a +++的最小值为 .1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知正数,,a b c 满足2a b c +³，则2b a a b c++的最小值为.2．（2023·江西·一模）已知a ，b ，c 是正实数，且b c +=，则2281ac a bc a +++最小值为 .1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）若2e e x y =，则x y -的最小值为（）A ．12B C ．1D ．5ln 242．（2024·四川德阳·模拟预测）已知正实数x ，y ，z 满足26x xy yz xz x z +++++=，则32x y z ++的最小值是 .3．（2023·江西·二模）实数a ，0b >，满足：3379a b ab ++=，则a b +的范围是（）A ．72,3æöç÷èøB ．72,3éö÷êëøC ．(D ．éë1．（2024·全国·模拟预测）已知0a >，0b >，且32ab =，则24a b b +的最小值为．2．（2024·浙江绍兴·三模）若,,0x y z >，且2224x xy xz yz +++=，则22x y z ++的最小值是．3．（22-23高三上·天津和平·阶段练习）已知正数,x y 满足22831322x xy xy y +=++，则xy 的最小值是．1．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）已知3x ">，13x m x +³-恒成立，则实数m 的取值范围是．2．（2023高一上·全国·专题练习）已知,(1,2)x y Î且3x y +=，若1222a x y y x+³--恒成立，则实数a 的范围是．3．（2023·广东湛江·二模）当x ，()0,y Î+¥时，422422417424x x y y mx x y y ++<++恒成立，则m 的取值范围是（）A ．()25,+¥B ．()26,+¥C ．99,4æö+¥ç÷èøD ．()27,+¥1．（2024·江西·一模）已知正数x ，y 满足6x y +=，若不等式2212x y a x y £+++恒成立，则实数a 的取值范围是．2．设正实数, x y 满足1,12x y >>，不等式224121x y m y x +³--恒成立，则m 的最大值为（）A ．8B ．16C ．D ．3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x ，y 满足32x >，3y >，不等式()()33222338123k x y x y x y --+--≤恒成立，则实数k 的最大值为（）A ．12B ．24C ．D ．1．（23-24高三上·江苏扬州·期末）若()11,ln ,ln ln ,22a b a b x y a b z +>>==+= ）A ．x z y <<B ．y z x <<C ．z x y<<D ．z y x<<2．（23-24高三上·陕西榆林·阶段练习）已知正数,,a b c 满足2112a b c ++=.(1)若2a =，求b c +的最小值；(2)证明：1113224a b a c b c ++<+++.3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知,,a b c 为正数，且1111abc++=.证明：(1)222a b c abc ++³；£.1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）已知实数,,a b c 满足a b c <<且0abc <，则下列不等关系一定正确的是（）A ．ac bcD ．2b a a b+>2．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a ，b ，c 满足1a b c ++=．(1)若222122a b c ++=，求证：205a ££；(2)若a ，b ，()0,c Î+¥，求证：22211112a b c a b c ++³---．3．（2024·青海·一模）已知正数,,a b c 满足2a b c ++=．求证：(1)22243a b c ++³；6£．1．（2024·全国·模拟预测）若实数a ，b 满足223345a b ab ++=，则下列结论正确的是（）A ．1ab >为自然数，则满足0x y z a b b c c a++>---恒成立的,,x y z 可以是（）A ．1,1,4x y z ===B ．1,2,5x y z ===C ．2,2,7x y z ===D ．1,3,9x y z ===1．（2024·全国·模拟预测）已知0a >，0b >且142a b+=，则下列说法正确的是（）A ．ab 有最小值4B ．a b +有最小值92C ．2ab a +有最小值D 的最小值为2．（2024·广东广州·模拟预测）已知(),,a b c a b c <<ÎR ，且230a b c ++=，则下列结论成立的是（）A ．0a c +<B ．2c aa c +<-C ．存在a ，c 使得22250a c -=D ．212b c a c +<-+3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知实数,x y 满足22421x y xy +-=，则（）A ．21x y +£B ．22x y +³-C ．2242x y +£D ．2241x y +³一、单选题1．（2024·安徽·模拟预测）已知()0,m n Î+¥,，14n m+=，则9m n +的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．62．（2024·河南·模拟预测）已知点(),P x y 在以原点O 为圆心，半径r =221411x y +++的最小值为（）A ．49B C ．79D ．1二、多选题3．（2024·全国·模拟预测）已知0x >，0y >，且1x y +=，则（）A ．122x y ->B ．22log log 2x y +£-CD ．2212x y +³4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知0a >，0b >，且4a b +=，则（）A ．24a b +>B ．()()111a b -->C ．22log log 2a b +³D ．28a 三、填空题5．（2024·上海奉贤·三模）若1ab +=，则ab 有最大值为．6．（2024·河南商丘·模拟预测）若正数,a b 满足232a b a b =+，则a 的最小值是．7．（2024·天津·模拟预测）若0a >，0b >，且1a b +=，则11a b a b æöæö++ç÷ç÷èøèø的最小值为8．（2024·河南·模拟预测）已知向量()(),,0a m n m n =>r ，()1,2b =r ，若1a b ×=r r ，则14m n +的取值范围为．9．（2024高三·全国·专题练习）若实数,x y 满足1,xy =则222x y +的最小值为．10．（2024·广东·三模）设实数x 、y 、z 、t 满足不等式1100x y z t £££££，则x zy t+的最小值为 .一、单选题1．（2024·北京顺义·三模）设,1x y ³，1a >，1b >.若3x y a b ==，a b +=11x y+最大值为（）A ．2B ．32C ．1D ．122．（2024·江苏盐城·模拟预测）sin 的最小值为（）A ．12-B ．C ．D ．34-3．（2024高二下·湖南·学业考试）已知1m >，0n >，220m m n -+=，若不等式11mm nλ+³-恒成立，则实数λ的最大值为（）A ．2B ．3C ．4D ．64．（2024·广西·模拟预测）已知,(,0)a b Î-¥，且45a b ab +=-，则ab 的取值范围为（）A ．[25,)+¥B ．[1,)+¥C ．(]0,5D ．(]0,1二、填空题5．（2024·上海·三模）已知函数()32f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()210f m f n f +-=，则12m n+的最小值是6．（2024·河南信阳·模拟预测）若实数x ，y 满足24ln 2ln 44x y x y +³+-，则xy =.7．（2024·河北·三模）已知函数()lg f x x =，若()()()f a f b a b =¹，则当23a b ×取得最小值时，ab= ．8．（2024高三·全国·专题练习）已知正实数x ，y 满足2441y y xy x ++=，则13x y x+-的最小值为．9．（23-24高三下·重庆·开学考试）已知实数,a b 满足221a ab b -+=，则ab 的最大值为；221111a b +++的取值范围为．三、解答题10．（2024高三·全国·专题练习）设正实数,x y 满足2,23x y >>，不等式229232+³--x y m y x 恒成立，求m 的最大值．1．（2024·北京·高考真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（）A ．12122log 22y y x x ++C ．12212log 2y y x x +<+D ．12212log 2y y x x +>+2．（2022·全国·高考真题）（多选）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A ．1x y +£B ．2x y +³-C ．222x y +£D ．221x y +³3．（2022·全国·高考真题）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C p=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．4．（2021·全国·高考真题）下列函数中最小值为4的是（）A ．224y x x =++B ．4sin sin y x x=+C ．2y 22x x-=+D ．4ln ln y x x=+5．（2021·全国·高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ×的最大值为（）A ．13B ．12C ．9D ．66．（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21ab ab ++的最小值为．7．（2020·山东·高考真题）（多选）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．2212a b +³B ．122a b ->C ．22log log 2a b +³-D +£8．（2020·天津·高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为．9．（2020·江苏·高考真题）已知22451(,)x y y x y R +=Î，则22x y +的最小值是．。

高二数学期末复习一(不等式2)

高二数学期末复习一（不等式2）一、选择题1.若a 、b 、c 为实数；则下列命题正确的是( )A.若a ＞b ；则ac 2＞bc 2B.若a ＜b ＜0；则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0；则a 1＜b 1D.若a ＜b ＜0；则a b ＞ba 2.若a 1|b |；③a 2.正确的不等式有( ) 个个个个3.若a ＞b ＞1；P =b a lg lg ⋅；Q =21(lg a +lg b )；R =lg(2ba +)；则( ) A.R ＜P ＜QB.P ＜Q ＜RC.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q4.角x ；y 满足－2π＜x ＜y ＜2π；则x －y 的取值范围是( ) A.(－π；0) B.(－π；π) C.(－2π；0) D.(－2π；2π)5.下列命题中；真命题有( )①若a +b ＞0且ab ＞0；则a ＞0且b ＞0 ②若a ＞b 且ab ＞0；则a ＞b ＞0 ③若b a ＞dc ⇒ad ＞bc ④a ＞b 是2c a ＞2cb成立的必要条件 A.①③ B.②③ C.②④ D.①④6.两次购买同一种物品；可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同；则两种策略中比较经济的情况为( )A.第一种策略经济B.第二种策略经济C.两种策略同样经济D.不能判断7.函数f (x )=x +x4+3在(－∞；－2]上( ) A.无最大值；有最小值7 B.无最大值；有最小值－1 C.有最大值7；有最小值－1 D.有最大值－1；无最小值8.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 速度匀速直达灾区；已知两地公路线长 400 km ；为了安全起见；两辆汽车的间距不得小于(20v )2km ；那么这批物资全部到达灾区；最少需要( )9.已知h ＞0；设甲:两实数a 、b 满足|a －b |＜2h ；乙:两实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ；则( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件；也不是乙的必要条件10.若x ＞0；y ＞0且y x +≤a ·(x +y )成立；则a 的最小值是( ) A.22B.2 2二、填空题11.设0＜x ＜1；则a =2x ；b =1+x ；c =x -11中最大的一个是__________. 12.已知不等式:①a 2+3＞2a (a ∈R )；②aa 1+≥2；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a 2+b 2≥2(a －b －1)(a ；b ∈R ).其中正确的不等式的序号是__________.13. b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)；若再添上m g 糖(m >0)；则糖水就变甜了.试根据这个事实；提炼一个不等式:__________.14.已知三个不等式:①ab ＞0；②－a c ＜－bd；③bc ＜ad .以其中两个作为条件；余下一个作为结论；则可以组成__________个正确的命题.三、解答题15设x 、y 、z ∈R ；比较5x 2+y 2+z 2与2xy +4x +2z －2的大小. 16.比较下列两个数的大小:(1)2－1与2－3； (2)2－3与6－5；(3)从以上两小题的结论中；你能否得出更一般的结论？并加以证明.17求证:ab b a +≥b a +(a ＞0；b ＞0). 18某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)；高度恒定；它的后墙利用旧墙不花钱；正面用铁栅；每米长造价40元；两侧墙砌砖；每米造价45元；顶部每平方米造价20元；试算:仓库底面积S 的最大允许值是多少？此时铁栅长为多少？19.设f (x )=x 2－x +B ；实数a 满足|x －a |＜1；求证:|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1).20 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内；某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (km/h)之间的函数关系为y =160039202++v v v(v >0). (1)在该时段内；当汽车的平均速度v 为多少时；车流量最大?最大车流量为多少?(精确到千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应在什么范围内?21.已知a >b >0；求证:a b a 8)(2-<2b a +－ab <b b a 8)(2-不等式(一)(A 卷)一、选择题1.若a 、b 、c 为实数；则下列命题正确的是( )A.若a ＞b ；则ac 2＞bc 2B.若a ＜b ＜0；则a 2＞ab ＞b 2C.若a ＜b ＜0；则a 1＜b 1 D.若a ＜b ＜0；则a b ＞ba 解析:A.因为c 2≥0；所以只有c ≠0时才正确.c =0时；ac 2=bc 2；所以A 是假命题.变式:若ac 2＞bc 2；则a ＞b ；命题是真命题.B.a ＜b ；a ＜0⇒a 2＞ab ；a ＜b ；b ＜0⇒ab ＞b 2；B 是真命题.C.由性质定理a ＜b ＜0⇒a 1＞b 1；C 是假命题. D.例如－3＜－2＜0；32＜23；D 是假命题.答案:B 2.若a 1|b |；③a 2.正确的不等式有( ) 个个个个分析:本题主要考查不等式的性质及均值不等式的适用条件. 解:由a 1<b1<0可知b <a <0；③不正确；②不正确. ∴a +b <0；ab >0.∴a +b <ab ；①正确. 由a b >0； b a >0；而a ≠b ；∴a b +ba>2；④正确. 答案:B3.若a ＞b ＞1；P =b a lg lg ⋅；Q =21(lg a +lg b )；R =lg(2ba +)；则( ) A.R ＜P ＜Q B.P ＜Q ＜R C.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q分析:本题主要考查均值不等式与对数函数的单调性. 解:a ＞b ＞1⇒lg a ＞0；lg b ＞0.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>+==⋅>+=Q b a ab b a R P b a b a Q )lg (lg 21lg )2lg(lg lg )lg (lg 21⇒ R ＞Q ＞P . 答案:B4.角x ；y 满足－2π＜x ＜y ＜2π；则x －y 的取值范围是( ) A.(－π；0) B.(－π；π) C.(－2π；0) D.(－2π；2π)分析:本题主要考查负数在不等式中的变化；不等式的性质.解:由x ＜y ；得x －y ＜0.又－π＜x －y ＜π；∴－π＜x －y ＜0. 答案:A5.下列命题中；真命题有( )①若a +b ＞0且ab ＞0；则a ＞0且b ＞0 ②若a ＞b 且ab ＞0；则a ＞b ＞0 ③若b a ＞dc ⇒ad ＞bc ④a ＞b 是2c a ＞2cb成立的必要条件 A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 分析:本题主要考查不等式的性质；用排除法. 解:∵ab ＞0；∴a 、b 同号.又a +b ＞0； ∴a ＞0且b ＞0.①正确；排除B 、C. 由③b a －dc ＞0；得bd bc ad -＞0；不能保证ad ＞bc .③不正确.故应选D. 答案:D6.两次购买同一种物品；可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降；每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同；则两种策略中比较经济的情况为( )A.第一种策略经济B.第二种策略经济C.两种策略同样经济D.不能判断分析:本题主要考查不等式的应用.本题关键是比较两种不同的购买方式的平均价格的大小. 解:(1)按第一种策略购物；设第一次购物时价格为p 1；购n (kg)；第二次购物时价格为p 2；仍购n (kg).按这种策略购物时两次购物的平均价格为n n p n p 221+=221p p +. (2)若按第二种策略购物；第一次花m 元钱；能购1p m (kg)物品；第二次仍花m 元钱；能购2p m (kg)物品；两次购物的平均价格为212p mp m m +=21112p p +.比较两次购物的平均价格221p p +－21112p p +=221p p +－21212p p p p +=)(24)(2121221p p p p p p +-+=)(2)(21221p p p p +->0(∵p 1≠p 2)；∴第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格. 因而；用第二种策略比较经济. 答案:B 7.函数f (x )=x +x4+3在(－∞；－2]上( ) A.无最大值；有最小值7 B.无最大值；有最小值－1 C.有最大值7；有最小值－1 D.有最大值－1；无最小值解析:f (x )=x +x 4+3=－(－x +x-4)+3≤－4+3=－1. 故选D.答案:D8.一批救灾物资随26辆汽车从某市以v km/h 速度匀速直达灾区；已知两地公路线长 400 km ；为了安全起见；两辆汽车的间距不得小于(20v )2km ；那么这批物资全部到达灾区；最少需要( )A.5 hB.10 hC.15 hD.20 h解析:时间t =［400+25(20v )2］÷v =v 400+40025v≥225=10.答案:B9.已知h ＞0；设甲:两实数a 、b 满足|a －b |＜2h ；乙:两实数a 、b 满足|a －1|＜h 且|b －1|＜h ；则( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件；也不是乙的必要条件分析:本题主要考查含绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |；充要条件. 解:|a －b |=|(a －1)－(b －1)|≤|a －1|+|b －1|＜2h .故应选B. 答案:B10.若x ＞0；y ＞0且y x +≤a ·(x +y )成立；则a 的最小值是( ) A.22B.2 2分析:本题主要考查222b a +≥(2b a +)2；参数隔离法.解:由2)()(22y x +≥(2y x +)2；∴2y x +≥2y x +；即a ≥22；a min =22.故应选A.答案:A二、填空题11.设0＜x ＜1；则a =2x ；b =1+x ；c =x-11中最大的一个是__________. 解析:∵b －c =(1+x )－x-11=x x ---1112=－xx -12＜0；∴b ＜c .又b =1+x ＞2x =a ；∴c 最大. 答案:c12.已知不等式:①a 2+3＞2a (a ∈R )；②aa 1+≥2；③a 5+b 5＞a 3b 2+a 2b 3；④a 2+b 2≥2(a －b －1) (a ；b ∈R ).其中正确的不等式的序号是__________. 分析:本题考查比较法；综合法证明不等式；凑平方. 解:①a 2+3－2a =(a －1)2+2＞0. ②a 为负值不正确.③a 5+b 5－a 3b 2－a 2b 3=a 3(a 2－b 2)－b 3(a 2－b 2)=(a 3－b 3)(a 2－b 2)=(a +b )(a －b )2(a 2+ab +b 2)；其值大于零不一定成立.当a ≠b 且均为负值或一负值一零值时；其值为负值；当a =b 时其值为零.不正确.④a 2+b 2－2a +2b +2=(a －1)2+(b +1)2≥0. 答案:①④13. b g 糖水中有a g 糖(b >a >0)；若再添上m g 糖(m >0)；则糖水就变甜了.试根据这个事实；提炼一个不等式:__________.分析:本题主要考查应用数学知识解决实际问题的能力.加糖以后；糖水变甜了；说明浓度变大了.解:加糖以前；糖水的浓度为b a ；而加入m g 糖以后；糖水浓度为mb m a ++；糖水变甜了；说明浓度变大了；即m b m a ++>b a. 答案: m b m a ++> ba14.已知三个不等式:①ab ＞0；②－a c ＜－bd；③bc ＜ad .以其中两个作为条件；余下一个作为结论；则可以组成__________个正确的命题.分析:本题考查综合运用不等式的性质；证明不等式.解:由②；abadbc -＞0；又ab ＞0⇒bc －ad ＞0；即bc ＞ad ；说明由①②③.同理可证明其他情况. 答案:0三、解答题15设x 、y 、z ∈R ；比较5x 2+y 2+z 2与2xy +4x +2z －2的大小. 分析:本题考查不等式的性质与比较法.解:(5x 2+y 2+z 2)－(2xy +4x +2z －2)=(x －y )2+(2x －1)2+(z －1)2≥0. ∴5x 2+y 2+z 2≥2xy +4x +2z －2 (当且仅当x =y =21且z =1时等号成立). 16.比较下列两个数的大小: (1)2－1与2－3； (2)2－3与6－5；(3)从以上两小题的结论中；你能否得出更一般的结论？并加以证明. 解法一:(变形后利用平方求差) (1)(2+3)2－(2+1)2=26－4＞0.故2+3＞2+1；即2－1＞2－3.(2)(2+5)2－(6+3)2=45－218=220－218＞0. 故2+5＞6+3；即2－3＞6－5.(3)一般结论:若n 是正整数；则有1+n －n ＞3+n －2+n .证明过程与(1)(2)类似；从略. 解法二:(利用分子有理化)(1)∵2－1=121+；2－3=321+；而121+＞321+；故2－1＞2－3.(2)∵2－3=321+； 6－5=561+；而321+＞561+；故2－3＞6－5. (3)同解法一.注:本题的结论可推广到对一切n ∈R +都成立.17求证:ab b a +≥b a +(a ＞0；b ＞0). 思路一:从结论入手；探求、分析上一步成立的充分条件.证法一:(分析法)要证a b b a +≥b a +；只要证a a +b b ≥a b +b a ；即证3a +3b ≥ab (b a +).需证(b a +)(a －ab +b )≥ab (b a +)；即a －ab +b ≥ab ；也就是要证a +b ≥2ab 成立.a +b ≥2ab 显然成立；∴原不等式成立. 思路二:从条件入手；利用已知不等式；逐次推理. 证法二:(综合法)∵a 、b 为正实数；∴a +b ≥2ab .又ba +b ≥2a ； ① a +ab ≥2b ；②①+②得b a +b +a +ab ≥2a +2b ；即abb a+≥b a +成立. 证法三:(作差比较法) (a b b a +)－(b a +) =(b a －b )+(ab －a )=b b a -+a a b -=abb a b a ))((--=abb a b a 2))((-+.∵a 、b 为正实数；∴b a +＞0；ab ＞0；(a －b )2≥0.于是有abb a b a 2))((-+≥0.∴ab ba +≥b a +.18某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)；高度恒定；它的后墙利用旧墙不花钱；正面用铁栅；每米长造价40元；两侧墙砌砖；每米造价45元；顶部每平方米造价20元；试算:仓库底面积S 的最大允许值是多少？此时铁栅长为多少？分析:本题考查不等式在实际中的应用.解:设铁栅长x m ；一堵墙长y m ；则有S =xy . 由题意得40x +2×45y +20xy =3200.应用二元均值不等式；得3200≥229040y x ⋅+20xy =120xy +20xy =120S +20S . ∴S +6S ≤160.∴(S －10)(S +16)≤0.由于S +16＞0；∴S －10≤0；即S ≤100.因此S 的最大允许值是100 m 2；当且仅当40x =90y ；而xy =100；解得x =15；即铁栅的长应为15 m.19.设f (x )=x 2－x +B ；实数a 满足|x －a |＜1；求证:|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1). 分析:本题考查绝对值不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |的应用.证明:∵f (x )－f (a )=x 2－x +B －a 2+a －B =x 2－a 2－(x －a )=(x －a )(x +a －1)；又∵|x －a |＜1；∴|f (x )－f (a )|=|x －a |·|x +a －1|＜|x +a －1|=|x －a +2a －1|≤|x －a |+|2a －1|＜1+|2a |+1=2(|a |+1). ∴|f (x )－f (a )|＜2(|a |+1).20 经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内；某公路段汽车的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (km/h)之间的函数关系为y =160039202++v v v(v >0). (1)在该时段内；当汽车的平均速度v 为多少时；车流量最大?最大车流量为多少?(精确到千辆/小时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应在什么范围内? 分析:本题主要考查函数、不等式等基本知识；考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.解:(1)依题意；y =)1600(3920vv ++≤160023920+=83920；当且仅当v =v 1600；即v =40时；上式等号成立. 所以y max =83920≈11.1(千辆/小时).(2)由条件得160039202++v v v>10；整理得v 2－89v +1600<0；即(v －25)(v －64)<0. 解得25<v <64.答:当v =40 km/h 时；车流量最大；最大车流量约为千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时；则汽车的平均速度应大于25 km/h 且小于64 km/h.21已知a >b >0；求证:a b a 8)(2-<2b a +－ab <b b a 8)(2-.分析:本题主要考查利用分析法证明不等式. 证明:要证原不等式；只需证 a b a 4)(2-<a +b －2ab <b b a 4)(2- ⇔(a b a 2-)2<(a －b )2<(b b a 2-)2⇔a b a 2-<a －b <bba 2-⇔a b a 2+<1<b ba 2+⇔1+a b <2<b a +1 ⇔ a b <1<ba ⇔a b <1<ba . (*)由题设知不等式(*)成立；以上过程可逆；原不等式成立.。