高中数学不等式恒成立、能成立、恰成立问题全解析

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高考数学：不等式恒成立、能成立、恰成立问题

不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

例2、已知(),22x a x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

2、主参换位法例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围例6、若对于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max()g f x λ≥(或()()ming f x λ≤) ，得λ的取值范围。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题

１不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用庆阳二中曹久贤恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:x²≥0，在实数范围即x∈R 内恒成立能成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立.恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能使这个代数式成立,而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如:(x-1)²=0，在x=1时恰成立.可以说恰成立是恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式. 例如:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1<x<9上是恒成立但不是恰成立.常见关键词列表如下：多参数恒成立问题举例：例1: 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围.二、不等式能成立问题的处理方法:图像法、最值法若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>；若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.例2、已知不等式ax x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______例3、若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．２例4、已知函数()21ln 22f x x ax x=--（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围________.三、不等式恰好成立问题的处理方法：韦达定理法、代入法、最值法例5、不等式2ax bx 10++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则a b ⋅=___________ 例6、已知(),22x ax x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.例7、已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2+4x ，其中k 为实数。

“恒成立”“能成立”“恰成立”问题

“恒成立”“能成立”“恰成立”问题“恒成立”“能成立”“恰成立”问题在教材中虽然没有专门设计，但这些内容是高中内容的重点、难点，同时也是高考和数学竞赛的热点，又因为它们的解法多样，所以这三类问题考生容易混淆不清，作者认为分离变量法和函数法具有思路清、操作强、易掌握等特点，所以在解决“恒成立”“能成立”“恰成立”问题是很好的方法。

一、“恒成立”问题)(4)1()(4)(2m f x f x f m mx f +-≤-恒成立，则实数m 的取值范围是。

【解析】(分离变量法) 依据题意得)1(41)1()1(41222222-+--≤---m x x m m x 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒定成立，即12341222+--≤-x x m m 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒成立。

当23=x 时函数1232+--=x x y 取得最小值35-，所以354122-≤-m m ，即0)34)(13(22≥-+m m ，解得23-≤m 或23≥m 。

另解（函数法）：依据题意得)1(41)1()1(41222222-+--≤---m x x m m x 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒定成立，即≤-++--22214123m m x x 0在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x 上恒成立。

令x t 1=,则⎥⎦⎤ ⎝⎛∈32,0t ∴014123222≥-++--m m t t 在⎥⎦⎤ ⎝⎛∈32,0t 上恒成立，令=)(t g 22214123m m t t -++-- ∴0)0(≥g 且0)32(≥g ∴得23-≤m 或23≥m 【温馨提示1】本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题的第一种解法是利用分离变量转化为最值的方法求解，即对原有不等式通过度离变量的方法分离出变量式使其成为)()(x g m f ≤，然后解)(x g 这个函数的最小值得k x g ≥)(（或k x g >)(），所以k m f ≤)(，若对原有不等式通过度离变量的方法他离出变量式使其成为)()(x g m f <，然后解)(x g 这个函数的最小值得k x g ≥)(或k x g >)(，所以k m f <)(（或k m f ≤)(），其基本步骤：分离变量，构造函数，求最值。

不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

不等式的恒成立、能成立、恰成立问题1.恒成立问题：恒成立问题的基本类型类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。

解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。

类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或例2：若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 12m >- 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，R x ∈（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。

不等恒成立解法总结及例题

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用一、不等式恒成立问题的处置方式一、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A例一、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

例二、已知(),22x a x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.二、主参换位法例五、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围例六、若对于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。

适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。

例八、当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .4、数形结合例10 、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________例1一、当x ∈(1,2)时，不等式2(1)x -<log a x 恒成立，求a 的取值范围。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用

不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用问题引入：例1 ：已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ．求实数a 的取值范围．分析：思路1、通过化归最值，直接求函数12)(2+-=ax x x f 的最小值解决，即0)(min >x f 。

思路 2、通过分离变量，转化到)1(21212x x x x a +=+<解决，即min 2)21(xx a +<。

思路3、通过数形结合，化归到ax x 212>+作图解决，即12+=x y 图像在ax y 2=的上方．小结：不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：⑴若不等式()A f x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()min A f x f x <⇔的下界大于A⑵若不等式()B f x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >⇔的上界小于B 。

2、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()()maxg f x λ≥ (或()()ming f x λ≤) ，得λ的取值范围。

3．转换成函数图象问题⑴若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；⑵若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；【变式练习：】对]2,1[∈x ，0122>+-ax x →0123>+-ax x 012ln >+-→ax x 均恒成立，该如何处理？例2：已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；【分析：】1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x xx x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x x x x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．例3 设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x x ab +-≤或x b x a )10(2-+-≤；方法3：变更主元，0101)(≤-++⋅=b x a x a ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xab x x g x h ++=++=)()(求导，22))((1)(x a x a x x a x h +-=-='，由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴a b a b b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ．练习题1、设()222f x x ax =-+,当x ∈[-1,+∞]时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题

不等式恒建立、能建立、恰建立问题一、不等式恒建立问题的办理方法1、变换求函数的最值：（ 1）若不等式 f x A 在区间D上恒建立,则等价于在区间 D 上 f xmin A ， f ( x) 的下界大于 A（ 2）若不等式 f x B 在区间D上恒建立,则等价于在区间 D 上 f xmax B , f ( x) 的上界小于 A例 1、设 f(x)=x 2-2ax+2, 当 x [-1,+ ] 时，都有 f(x) a 恒建立，求 a 的取值范围。

例 2、已知f x x 2 2x a, 对随意 x 1, , f x 0 恒建立,试务实数 a 的取值范围; x例 3 、 R 上的函数 f x 既是奇函数，又是减函数，且当0,时，有2f cos2 2m sinf 2m 2 0 恒建立，务实数m的取值范围.例 4、已知函数f (x) 4 ln 4 ( 0) 在处获得极值3 c，此中 a 、b为常数.（）试ax x bx c x x 1 1确立 a 、b的值；（ 2）议论函数 f ( x) 的单一区间；（ 3）若对随意x 0 ，不等式 f ( x) 2c 2恒建立，求 c 的取值范围。

2、主参换位法例 5、若不等式ax 1 0对 x 1,2 恒建立，务实数 a 的取值范围例 6、若对于随意 a 1 ，不等式x2(a 4) x 4 2a 0 恒建立，务实数x 的取值范围例 7、已知函数a 3 3 2，此中 a 为实数．若不等式2f ( x) x x (a 1)x 1 f ( x) x x a 1对随意3 2 ＞a(0， ) 都建立，务实数 x 的取值范围．3、分别参数法（ 1）将参数与变量分别，即化为g f x （或 g f x ）恒建立的形式；（ 2）求f x在x D 上的最大（或最小）值；（ 3）解不等式g f ( x) max(或 g f x min)，得的取值范围。

合用题型：（ 1）参数与变量能分别；（2）函数的最值易求出。

5、高频考点：恒成立、能成立、恰成立

高频考点：恒成立、能成立、恰成立一、不等式恒成立问题的处理方法1、若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，2、若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,二、不等式能成立问题的处理方法1、若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>；2、若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上()min f x B<.三、不等式恰成立问题的处理方法1、若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；2、若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D . 补例：（1）（判别式法）若0122>+-ax x 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（11<<-a ）变式：若0122>+-ax ax 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（10<≤a ）（2）若0122>+-ax x 对]2,1[∈∀x 恒成立，求实数a 的取值范围；（1<a ）（函数最值法）（分离系数法）变式：若0122<+-ax x 对]2,1[∈∀x 恒成立，求实数a 的取值范围；（45>a ）（3）（构造函数法）若]3,1[∈∃a ，使得不等式02)2(2>--+x a ax 成立，求实数x 的取值范围；（21>-<x x 或）（4）（数形结合法）若0122>+-ax x 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（11<<-a ）变式：当21<<x 时，不等式xax log )1(2<-恒成立，求a 的取值范围；（21≤<a ）（5）思辨：已知两个函数2()816f x x x k =+-，32()254g x x x x =++，其中k 为实数.①对∀[]33，-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围；（45≥k ）②对∀[]3321，、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围；（141≥k ）③对∀)3,3(2-∈x ，总存在)3,3(1-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立，求k 的取值范围；（13≥k ）④对∀1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-，使得)()(10x f x g =成立，求k 的取值范围.（913k ≤≤）【分析及解】 ① 令k x x x x f x g x F +--=-=1232)()()(23, 问题转化为0)(≥x F 在 []3,3-∈x 上恒成立,即0)(min ≥x F 即可 ∵)2(61266)(22'--=--=x x x x x F , 由0)('=x F , 得2=x 或 1-=x .∵(3)45(3)9(1)7(2)20F k F k F k F k -=-=--=+=-，，，, ∴45)(min -=k x F , 由045≥-k , 解得 45≥k .②由题意可知当[]33，-∈x 时,都有min max )()(x g x f ≤. 由01616)('=+=x x f 得1-=x.∵k f k f --=--=-8)1(24)3(，, k f -=120)3(, ∴120)(max +-=k x f .由04106)(2'=++=x x x g 得321-=-=x x 或,∵21)3(-=-g , 111)3(=g , 1)1(-=-g , 2728)32(-=-g ,∴21)(min -=x g .则21120-≤-k , 解得141≥k .③∀)3,3(2-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立等价于)()(21x g x f ≤min:-21 存在)3,3(1-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立等价于)(1x f min )(2x g ≤ 所以218-≤--k 所以13≥k④若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，等价于()f x 的值域是()g x 的值域的子集，由②可知， 2()816f x x x k =+-在[]3,3-的值域为[]8,120k k ---+， 32()254g x x x x =++在[]3,3-的值域为[]21,111-，于是，[][]8,12021,111k k ---+⊆-，即满足 821,120111.k k --≥-⎧⎨-+≤⎩解得913k ≤≤。

不等式恒成立、能成立、恰成立问题

不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（1）若不等式()Axf>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上()minf x A>，⇔()f x的下界大于A（2）若不等式()Bxf<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上()maxf x B<,()f x的上界小于A例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。

例2、已知(),22xaxxxf++=对任意[)()0,,1≥+∞∈xfx恒成立,试求实数a的取值范围;例3、R上的函数()x f既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin2cos2>--++mfmfθθ恒成立，求实数m的取值范围.例4、已知函数)0(ln)(44>-+=xcbxxaxxf在1=x处取得极值3c--，其中a、b为常数.（1）试确定a、b的值；（2）讨论函数)(xf的单调区间；（3）若对任意>x，不等式22)(cxf-≥恒成立，求c的取值范围。

2、主参换位法例5、若不等式a10x-<对[]1,2x∈恒成立，求实数a的取值范围例6、若对于任意1a≤，不等式2(4)420x a x a+-+->恒成立，求实数x的取值范围例7、已知函数323()(1)132af x x x a x=-+++，其中a为实数．若不等式2()1f x x x a'--+＞对任意(0)a∈+∞，都成立，求实数x的取值范围．3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f xλ≥（或()()g f xλ≤）恒成立的形式；（2）求()f x在x D∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max()g f xλ≥(或()()ming f xλ≤) ，得λ的取值范围。

适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。

不等式恒成立

不等式恒成立、能成立、恰成立问题(高一用)【不等式恒成立问题的处理方法】“恒成立”，就是一个代数式在某一个给定的范围内总能成立.对于不等式恒成立问题，我们要注意区分清楚两种不同的情形：一种是对任意实数即x ∈(-∞,+∞)恒成立；另一种是在实数集的某个子集上，如[-2，+∞)是恒成立.它们是不同的，要区别对待.1.转换为求函数的最值.①若不等式f(x)>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上，[f(x)]min >A. ②若不等式f(x)<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上，[f(x)]max <B.例1.(1)设f(x)=x 2-2ax+2对任意的实数x 恒有f(x )≥ a 成立，求实数a 的取值范围.(2)设f(x)=x 2-2ax+2，当x ∈[-1，+∞)时，都有f(x )≥ a 恒成立，求实数a 的取值范围. 解(1) f(x)=x 2-2ax+2对任意的实数x 恒有f(x )≥ a 成立，等价于g(x)= x 2-2ax+2-a≥0对任意的实数x 恒成立，即[g(x)]min = x 2-2ax+2-a≥0或函数g(x)的图像恒在x 的上方或与x 轴只有一个交点. ∴4ac−b 24a=4(2−a)−4a 24≥0 (即∆≤0)，解得-2≤a≤1.(2) f(x)=x 2-2ax+2，当x ∈[-1，+∞)时，都有f(x )≥ a 恒成立，等价于当x ∈[-1，+∞)时，g(x)= x 2-2ax+2-a≥0恒成立，即当x ∈[-1，+∞)时，[g(x)]min = x 2-2ax+2-a≥0. ∵ 函数g(x)图像的对称轴为直线x=a ，开口向上，①当a≤-1时，函数g(x)在[-1，+∞)上单增，∴ [g(x)]min = g(-1)=a+3≥0，得-3≤a≤-1；②当a>-1时，函数g(x)的最小值在顶点处取得，∴ [g(x)]min =4ac−b 24a=4(2−a)−4a 24≥0，解得-1< a≤1. 综合①②知a 的取值范围为[-3，1].说明：此例的两个问题也可以统一为求函数f(x)分别在R 和[-1，+∞)上的最小值，再由f(x)min ≥a ，求a 的取值范围.例2.已知f(x)=x|x-a|+b ，x ∈R ．若b <0，且对任何x ∈[0，1]不等式f(x)<0恒成立，求实数a 的取值范围．解：当x=0时，a 取任意实数，不等式f(x)<0恒成立.故只需考虑x ∈(0，1]，此时原不等式变为|x-a|<−bx ，即x+bx <a <x −bx ,故(x+bx )max <a<( x −bx )min x ∈(0，1]；又函数g(x)= x+bx在(0，1]上单调递增，∴(x+bx)max =g(1)=1+b ；对于函数h(x)= x −bx x ∈(0，1]，①当b <-1时，在(0，1]上h(x)单调递减( x −bx )min =h(1)=1-b ，又1-b>1+b ，此时a 的取值范围是(1+b ，1-b)．②当-1≤b <0，在(0，1]上，h(x)= x −bx ≥2√−b ，当x=√−b 时，(x −bx )min =2√−b ，此时要使a 存在，必须有{1+b <2√−b −1≤b <0,即-1<b <2√2−3，此时a 的取值范围是(1+b ，2√−b ).综上，当b <-1时，a 的取值范围是(1+b ，1-b)；当-1≤b <2√2−3时，a 的取值范围是(1+b ，2√−b )；当2√2−3≤b <0时，a 的取值范围是∅．例3.已知函数f(x)=x 2-2ax+1，g(x)= ax，其中a>0,x ≠0.对任意x 1∈[1，2]，x 2∈[2，4]，都有f(x 1)>g(x 2)恒成立，求实数a 的取值范围.解：∵对任意x 1∈[1，2]，x 2∈[2，4]，都有f(x 1)>g(x 2)恒成立，∴ f(x)在[1,2]上的最小值与g(x)在[2，4]上的最大值应满足[f(x)]max >[g (x) ]max. 由已知易得[g (x) ]max = a2. 由于函数f(x)图像的对称轴为直线x=a ，开口向上，结合图像可知：当0<a<1时，[f(x)]max = f(1)=2-2a >a2，解得0<a<45.当a>2时，[f(x)]max = f(2)=5-4a>a 2，解得a<109，不满足a>2. 当a ∈[1，2]时，[f(x)]max = f(a)=1-a 2，解得−1−√174<a <−1+√174，∴ 1≤a ≤2.综上知实数a 的取值范围是：(0，45)∪[1，2].想一想①：已知f(x)=x 2+2x+ax对任意x ∈[1，+∞)，f(x) ≥0恒成立. 试求实数a 的取值范围.2.将主参换位在有些问题的题设条件中，出现的变量往往有两个及以上，这时，我们通常应将给出了取值范围的变量看成主变量，其它的都可看成是参数，这是非常重要的一种处理问题的方法，要引起我们的重视.例4.(1)若对于任意|a|≤1，不等式x 2+(a -4)x+4-2a>0恒成立. 求实数x 的取值范围.(2)已知函数f(x)=ax 2-3x+(a+1) ．若不等式f (x )>x 2-x -a+1对任意a>0都成立，求实数x 的取值范围．解(1)由于已知a 的取值范围，要求x 的取值范围，因此应将a 看成主变量，x 看成参数.令g(a)=(x -2)a+x 2-4x+4，则对于任意|a|≤1，x 2+(a -4)x+4-2a>0恒成立. 由于g(a)是一个以a 为自变量的一次型函数.∴ {g (−1)=x 2−5x +6>0g (1)=x 2−3x +2>0，⇒∈(−∞，1)∪(3，+∞) .(2)由题设知“ax 2-3x+(a+1)>x 2-x -a+1对任意的a ∈R +都成立，即(x 2+2)a -x 2-2x>0对任意的a>0都成立.设h(a)= (x 2+2)a -x 2-2x(a ∈R +)，由于h(a)是一个以a 为自变量的一次函数. ∴ h(0) ≥0，即-x 2-2x ≥0，解得-2≤x≤0.于是x 的取值范围是{x|-2≤x≤0}.例5.若奇函数f(x)的定义域为[-1，1]，且f (1)=1.当m ，n ∈[-1，1]，m+n ≠0时，f (m )+f(n)m+n>0，若f(t)≤t 2-2at+1对于所有的x ∈[-1，1]，a ∈[-1，1]恒成立，求实数t 的取值范围. 解：在f (m )+f(n)m+n>0中将n 用(-n)替换，又∵ f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，∴f (m )−f(n)m−n>0，由此可知奇函数f(x)在[-1，1]上单增，∴ [f(x)]max =f(1)=1.∵f(t)≤t 2-2at+1对所有的x ∈[-1，1]，a ∈[-1，1]恒成立，∴ 1≤t 2-2at+1，即t 2-2at ≥0对所有的a ∈[−1，1]恒成立，令g(a)= -2ta+t 2，则由已知有， {g (1)≥0 g(−1)≥0，解得t ∈{t|t≤-2或t=0或t ≥2}.3.分离参数在恒成立条件下，求参数的取值范围时，原则上来说，应优先考虑此法.前提是能将参数分离出来.思路是将恒成立的不等式变形为g(m) ≥f(x)(或g(m) ≤f(x))(其中m 为待求参数)的形式，然后求f(x)在x ∈D 上的最大值[f(x)]max (或最小值[f(x)]min )，再通过解不等式， g(m) ≥[f(x)]max (或g(m) ≤[f(x)]min )求出参数m 的取值范围.适用题型：(1)参数与变量能分离；(2)函数的最值易求出.例6.当x ∈(1,2)时，不等式x 2+mx+4<0恒成立，则m 的取值范围是 . 解:当x ∈(1，2)时，由不等式x 2+mx+4<0恒成立得，m<(−x 2+4x)min .令f(x)=x 2+4x=x +4x ，则易知f(x)在(1,2)上是减函数，∴ x ∈[1,2]时，f(x)max =f(1)=5，则x ∈(1,2)时，(-x 2+4x)min = -5，∴ m ≤-5.想一想②：1.对于满足|p|≤2的所有实数p ，求使不等式x 2+px+1>p+2恒成立的x 的取值范围.2.已知函数f(x)=√1+3x +a ×9x 的定义域为(-∞,1]，求实数a 的取值范围.4.数形结合例7.(1)若不等式a x ≤√x(4−x)在x ∈[0，3]时恒成立，求实数a 的取值范围.(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围. 解(1)法1.在同一直角坐标系中同时作出函数y=ax 和y=√x(4−x) 的图像，如图2.5—1.结合图像知当x=3时，y=√3，a=√33∴ 当a ≤√33在x ∈[0，3]时，总有a x ≤. √x(4−x)法2.当x=0时，不等式成立，此时a ∈R. 当x ≠0时，∵ 0<x ≤3. ∴ a≤√4−x x=√4x −1当0<x ≤3时恒成立，即a≤(√4x −1)min =√33.(2)在同一直角坐标系中同时作出函数y=(x -1)2和y=log a x 的图像，如图2.5—2.∵ x ∈ (1，2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立， ∴ a>1，又由已知当x=2时，log a 2≥(2-1)2，可得a≤2. 综上知 1< a≤2为所求.例8.定义在R 上既奇又单减的函数f(x)，当θ∈(0，π2)时，f(co s 2θ+2msinθ)+f(-2m-2)>0 恒成立.求实数m 的取值范围.解法1.由f(co s 2θ+2msinθ)+f(-2m-2)>0，得f(co s 2θ+2msinθ)>-f(-2m-2)，∵ f(x)为奇函数，yxy3 图2.5—1xy1 图2.5—2∴f(co s 2θ+2msinθ)>f(2m2)，又∵f(x)为R 上的减函数，∴(co s 2θ+2msinθ<2m+2，⇒si n 2θ−2msinθ+2m+1>0，令t=sin θ，∵θ∈(0，π2)，∴ t ∈(0，1)，则问题转换为 t 2-2mt+2m +1>0当t ∈(0，1)时恒成立. 设g(t)= t 2-2mt+2m +1，结合图2.5—3知， {m ≤0,g(0)≥0,或{m ≥1,g(1)≥0,或解得m ≥−12 为所求.法2.由法1得t 2-2mt+2m +1>0当t ∈(0，1)时恒成立. ⇒ t 2+1>2m(t -1)，⇒m>t 2+12(t−1) ，令t -1=u ∈(-1，0)，∴ m >12(u +2u +2)，u ∈(−1，0).因此 m ≥[12(u +2u +2)]max =−12 即m ≥−12为所求.5.转换为集合的包含关系例9.当x ∈(13，3)时，|log a x|<1恒成立，求实数a 的取值范围.解：∵ |log a x|<1，∴ -1<log a <1. 当a>1时，1a <x <a ，则问题转化为， (13，3)⊆(1a ，a)，∴ {a ≥3,1a ≤13，，解得a ≥3. 当0<a<1时，a<x<1a ，∴(13，3)⊆(a ，1a )，∴ {1a ≥3,a ≤13，，解得0<a ≤13.综上知实数a 的取值范围为0<a ≤13或a ≥3.想一想③：1.请利用图像再解本节例1(2). 设f(x)=x 2-2ax+2，当x ∈[-1，+∞)时，都有f(x )≥ a 恒成立，求实数a 的取值范围.2.已知三个不等式①x 2-4x+3<0，②x 2-6x+8<0，，③2x 2-9x+m<0．要使同时满足①②的所有x 的值也满足③，求实数m 的取值范围.【不等式能成立问题的处理方法】“能成立”也就是一个代数式在某一个给定的范围内，存在使这个代数式成立的值.使代数式成立的值可能是一个、两个或无穷多个. 同时，在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值.所谓不等式在某个区间D 上“能成立”问题，即对应的不等式在这个区间D 上有解，或者说解集非空，相当于存在x 0使得不等式成立.一般地，有下列对应的结论. ①若在区间D 上存在实数x 0使不等式f(x)>A 成立⇔在区间D 上[f(x)]max >A. ②若在区间D 上存在实数x 0使不等式f(x)<B 成立⇔在区间D 上[f(x)]min <B. ③若在区间D 上存在实数x 0使不等式A<f(x)<B 成立⇔y=f(x)的值域⊇(A ，B).上述的三个结论也可以统一地用函数y=f(x)的值域与对应范围的包含关系来处理. 对于①，可看成函数y=f(x)的值域⊇(-∞，A)；对于②，可看成函数y=f(x)的值域⊇(B ，+∞).例10.若关于x 的不等式x 2-ax -a≤-3有解，求实数a 的取值范围．.0<∆解：令f(x)=x2-ax-a.则关于的不等式x2-ax-a≤-3有解⇔f(x) ≤−3的解集非空⇔f(x)≤-3 在R上能成立⇔[f(x)]min≤-3.∵[f(x)]min=−4a+a24，∴ −4a+a24≤-3，解得a≤-6或a≥2.想一想④：若不等式kx2+k-2<0有解，求实数k的取值范围.【不等式恒成立、能成立的混合问题】①设函数f(x)、g(x)对任意的x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使得f(x1)≥g(x2)，则f min(x) ≥g min(x).②设函数f(x)、g(x)对任意的x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使得f(x1)≤g(x2)，则f max(x)≤ g max(x).③设函数f(x)、g(x)若存在x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使得f(x1)≥g(x2)，则f max(x) ≥g min(x).④设函数f(x)、g(x)若存在x1∈[a，b]，存在x2∈[c，d]，使得f(x1)≤g(x2)，则f min(x) ≤g max(x).对于①可先将带有存在性语句的那个式子g(x2)看成是定值，带有任意的那个式子f(x1)看成是恒成立，则有f min(x) ≥g(x2)，再将f min(x)看成定值利用能成立得到f min(x) ≥g min(x). 对于②可类似地处理.对于③可将任何一个带有存在性语句的那个式子如g(x2)看成是定值，利用能成立得到f max(x) ≥g(x2)，再将f max(x)看成定值利用能成立得到f max(x) ≥g min(x).对于④可类似地处理.例11.已知两函数f(x)=x+2，g(x)=(0.5)x-m，对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)>g(x2)，则实数m的取值范围为.解:对任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)>g(x2)，等价于g(x)=(0.5)x-m在[1,2]上的最小值14−m小于在f(x)=x+2在[0，2]上的最小值2，即2>14−m，∴m>-74.例12.已知两函数f(x)=-x2+2x-c，g(x)=-2x+1.(1)若对任意x∈[−3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求实数c的取值范围.(2)存在x∈[−3，3]，使f(x)≤g(x)成立，求实数c的取值范围.(3)对任意x1，x2∈[−3，3]，都有f(x1) ≤g(x2)，求实数c的取值范围.(4)存在x1，x2∈[−3，3]，都有f(x1) ≤g(x2)，求实数c的取值范围.解:(1)设h(x)=g(x)-f(x)=x2-4x+c+1，问题转化为x∈[−3,3]时，h(x)≥0恒成立，故h min(x)≥0.易知x∈[−3,3]时，h min(x)=h(2)= c-3，h min(x)=h(-3)=c+22.∴ h min(x)=c-3≥0,得c≥3.(2)据题意：存在x∈[−3，3]，使f(x)≤g(x)成立，即h(x)=g(x)-f(x)≥0在x∈[−3，3]上有解，故h max(x) ≥0，由(1)知h max(x)=c+22，于是得c≥-22.(3)它与(1)虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意x1，x2∈[−3，3]，都有f(x1) ≤g(x2)的充要条件是：f max(x) ≤g min(x) x∈[−3，3].∵f max(x)=f(1)=1-c，g min(x)=g(3)=-5,∴1-c≤-5,得c≥6.(4)存在x1，x2∈[−3，3]，都有f(x1) ≤g(x2)，等价于f min(x)≤g max(x2)，而f min(x)=f(-3)-15-c,g max(x2)=g(-3)=7，∴ -c-15≤7，得c≥-22.【不等式恰好成立问题的处理方法】“恰成立”，也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的，或曰这个代数式只有在这个范围内成立，在这个范围外的值都不能使这个代数式成立.不等式恰成立问题，若说其解集是M，则M的端点值就一定是对应方程的根；若说函数f(x)的值域为[a，b]，等价于不等式a≤f(x) ≤b 的解集为[a ，b].例13.(1)若不等式ax 2+bx+2<0的解集为{x|1<x<2}.则a+b=___________. (2)已知f(x)=x 2+3x+ax，当x ∈[2，+∞)的值域是[1，+∞).试求实数a 的值.解(1)∵ 不等式ax 2+bx+2<0的解集为{x|1<x<2}，∴ 方程ax 2+bx+2=0的两根为1或2.由韦达定理知{ a >0，b a=3，2a =2，⇒{a =1b =−3，⇒a +b =−2.(2)这是一个恰成立问题，它相当于x 2+3x+ax≥1的解集是x ∈[2，+∞).由x 2+3x+ax≥1，⇒x 2+2x+ax≥0，从而不等式x 2+2x+a ≥0的解集为x ∈[2，+∞)，∴ x=2是方程x 2+2x+a=0的一个根，易得 a= -8.想一想⑤：若对于不等式|x -2|+|x+1|<a ，存在实数x ，使此不等式成立的实数a 的集合是M.对于任意x ∈[0,5]使此不等式恒成立的实数a 的集合为N ，求集合M ，N ．习题2.51.已知不等式kx 2+kx+6x 2+x+2>2对任意的实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.2.已知不等式x 2-2x+a>0对任意的x ∈[2，3]恒成立. 求实数a 的取值范围.3.对任意的a ∈[-2，2]，函数f(x)=x 2+(a -4)x+4-2a 的值恒为正.求x 的取值范围.4.若不等式x 2-log m x<0在(0，12)内恒成立，则实数m 的取值范围.5.①若x ，y 满足方程x 2+(y -1)2=1，不等式x+y+c ≥0恒成立.求实数c 的范围. ②若x ，y 满足方程x 2+(y -1)2=1，x+y+c=0.求实数c 的范围.6.设f(x)=lg1x +2x +3x +⋯+(n−1)x +n x an，其中a 为实数，n 为任意给定的自然数，且n ≥2，如果f(x)当x ∈(−∞，1]时有意义，求a 的取值范围.7.求使关于p 的不等式x 2+px+1<2x+2在p ∈[-2，2]有解的x 的取值范围.8.设命题P:x 1，x 2是方程x 2-ax -2=0的两根，不等式|m 2-5m -3|≥|x 1-x 2|对任意的a ∈[-1，1]恒成立.命题Q ：不等式|x -2m|-|x|>1(m>0)有解.若命题P 和命题Q 都是真命题，求m 的值范围.9.已知函数f(x)=x 2-2x ，g(x)=ax+2(a>0).若x 1∈[-1，2]，x 2∈[-1，2]，使得f(x 1)=g(x 2). 求实数a 的取值范围.10.已知函数f(x)=x 2-2ax+5.若f(x)在区间(-∞，2]上单减，且对任意x 1，x 2∈[1，a+1]，总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4，求实数a 的取值范围. 11.已知f(x)=x 2+2x+ax，当∈[1，+∞)，f(x)的值域是[0，+∞)，试求实数a 的值.∀∃数学花絮柯西与柯西不等式柯西(Cauchy，Augustin Louis 1789~1857).出生于巴黎.幼年时，由于他父亲国会议员的身份，使其有机会接触到同为议员的拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家，并得到他们的悉心指导.但是，由于身体的原因，少年时代的柯西把主要精力放在对文学的研究上.20多岁时，柯西在数学方面的发展极为迅速，正应验了当年拉格朗日所言“柯西会超越我们所有人.”在当时的数学界，比柯西还具有“洪荒之力”和优秀绝伦的只有一个人——高斯，这位无与伦比的科学巨人.在很多数学专业书籍里面(如“数学分析”，“常微分方程”，“初等数论”，“复变函数”等)常常可以看到柯西耕耘的身影；很多数学的定理和公式也都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式，柯西中值定理，柯西分布⋯⋯等等.柯西的创造力很惊人，从他23岁写出第一篇论文到68岁逝世的45年中，他共发表了800多篇论文，出版了7本专著.1849年仅在法国科学院8月至12月的9次会上，他就提交了24篇短文和15篇研究报告.他的文章朴实无华、充满新意. 27岁的柯西就当选为法国科学院院士，同时，还是英国皇家学会会员和几乎所有外国科学院的院士.柯西对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严密的表述与证明方法.在这方面他写下了三部专著：《分析教程》（1821年）、《无穷小计算教程》（1823年）、《微分计算教程》(1826—1828年).他的这些著作，摆脱了微积分单纯的几何、运动的直观理解和物理现象的解释，引进了严格的分析上的叙述与论证，从而形成了微积分的现代体系.今天教科书中的微积分概念就是柯西建立起来的.人们通常将柯西看作是近代微积分学的奠基者.柯西的另一个重要贡献是发展了复变函数的理论，并取得了一系列重大成果.柯西对物理学、力学和天文学都做过深入研究.特别在固体力学方面，奠定了弹性理论的基础，在这门学科中以他的名字命名的定理和定律就有16个之多，仅凭这项成绩，就足以使他跻身于世界杰出的科学家之列.在中学阶段，我们在数学里接触到柯西是从“柯西不等式”开始的.下面，就柯西不等式作一些简单的拓展.【柯西不等式】设有两组实数a i，b i，i=1，2，3，⋯，n.则有(a12+a22+⋯+a n2)( b12+b22+⋯+b n2)≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2当且仅当b1=b2=⋯=b n=0或a1b1=a2b2=⋯=a nb n时，取等号.证明思路：1.构造二次函数或一元二次方程，利用判别式；2.利用向量数量积的性质|m⃗⃗⃗ |∙|n⃗ |≥|m⃗⃗⃗ ∙n⃗ |.【变形形式1】a1b1+a2b2+⋯a n b n≤|a1b1+a2b2+⋯a n b n|≤√a12+a22+⋯a n2√b12+b22+⋯b n2.当且仅当b1=b2=⋯=b n=0或a1b1=a2b2=⋯=a nb n时，取等号.推证思路：在柯西不等式的基础上两边开方，并利用绝对值不等式传递.【变形形式2】(a1+a2+⋯+a n)( b1+b2+⋯+b n)≥(√a1b1+√a2b2+⋯+√a n b n)2.当且仅当b1=b2=⋯=b n=0或a1b1=a2b2=⋯=a nb n时取等号.其中a i，b i为非负实数，i=1,2,⋯，n.推证思路：将a i→√a i，b i→√b i即可.【变形形式3】√a12+a22+⋯+a n2+√b12+b22+⋯+b n2≥√(a1±b1)2+(a2±b2)2+⋯+(a n±b n)2.当且仅当b1=b2=⋯=b n=0或a1b1=a2b2=⋯=a nb n时，取等号.推证思路：令m=(a1，a2，⋯a n)，n=(b1，b2，⋯b n).再利用n维向量模的三角不等式：|m|+|n|≥|m±n|即可.【变形形式4】a12 b1+a22b2+⋯+a n2b n≥(a1+a2+⋯+a n)2b1+b2+⋯+b n.当且仅当b1=b2=⋯=b n=0或a1b1=a2b2=⋯=a nb n时，取等号.其中a i为任意实数，b i为非负实数，i=1，2，3，⋯，n.推证思路：构造两组数√b i，i√b i即可.【变形形式5】a1 b1+a2b2+⋯+a nb n≥(a1+a2+⋯+a n)2a1b1+a2b2+⋯+a n b n当且仅当b1=b2=⋯=b n=0或a1b1=a2b2=⋯=a nb n时，取等号.其中a i，b i为非负实数，i=1，2，3，⋯，n.推证思路：构造两组数√a i b i，√a i bi即可.柯西不等式的应用是十分广泛的，比如平面内，点到直线的距离公式就可以利用它来推证.已知点P(x0，y0)及直线l: Ax+By+C=0，则点P到直线l的距离为00√A+B.证明：设点P1(x1，y1)是l上任意一点，∴Ax1+By1+C=0，⇒Ax1+By1= -C.∵|PP1|=√(x−x0)2+(y−y0)2，由柯西不等式得，√A2+B2√(x−x0)2+(y−y0)2≥|A(x-x0)+B(y-y0)|=| Ax1+By1-( Ax0+By0)|=| Ax0+By0+C |∴|PP1|≥00√A+B ，当且仅当y−y0x−x0=BA，即PP1⊥l时取等号，因此，|PP1|的最小值为00√A2+B2，而|PP1|的最小值就是点P到直线l的距离，∴d =00√A+B.【参考答案】想一想①：法1.等价于h(x)=x2+2x+a≥0对任意x∈[1，+∞)恒成立，又等价于当x≥1时，[h(x)]min≥0恒成立.由于h(x)在[1，+∞)上为增函数，则[h(x)]min=h(1)=a+3≥0，∴a≥-3为所求.法2.∵f(x)=x+ax+2，当a≥0且x≥1时，f(x) ≥0恒成立.又当a<0时，由f′(x)=1−ax2>0知，f(x)在∈[1，+∞)上单增，可得-3≤a<0.综合知a≥-3为所求.法3.由法1，h(x)=x 2+2x+a≥0对任意x ∈[1，+∞)恒成立，得a≥-(x 2+2x)对任意x ∈[1，+∞)恒成立，∴ a≥[-(x 2+2x)]max =-3.想一想②：1.提示：变换主参. x<-3或x>1.2.提示：转换为1+3x +a·9x≥0，对任意的x≤1恒成立.即a ≥−(13)x −(13)2x ，可得a ≥−49.想一想③：1.参考例6.答案同前.2.m ≤9.想一想④：不等式kx 2+k -2<0有解⇔k <2x 2+1有解⇔k <(2x 2+1)max =2，∴ k<2为所求.想一想⑤：M={a|a>3}.N={a|a>9}.习题2.51.[2,10).2. a>0.3. x<0或x>4. 4. [116，1). 5.①利用圆的参数方程.c ≥√2−1②利用圆心到直线的距离d ≤1.c ∈[−1−√2，−1+√2]. 6.转化为a >−[(1n )x +(2n )x +⋯+(n−1n)x](n ≥2)，对于x ∈(−∞，1]恒成立.造函数g(x)= −[(1n )x +(2n )x +⋯+(n−1n)x]，注意到函数g(x)单增，可得a>-n−12.7. (-1，1)∪(1，3). 8. 12<m≤5或m≥6.9.当x ∈[-1，2]时，f(x)∈[-1，3]. ∵ a>0，∴ g(x)∈[-a+2，2a+2].又∵ 若∀x 1∈[-1，2]，x 2∈[-1，2]，使得f(x 1)=g(x 2). ∴ [-1，3][-a+2，2a+2].因此{−a +2≤−12a +2≥3，解得a ≥3. 10.∵ 函数f(x)=x 2-2ax+5.若f(x)在区间(-∞，2]上单减，∴a ≥2. 又∵对任意x 1，x 2∈[1，a+1]，总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4，∴ f(x)max -f(x)min ≤4.由于函数f(x)=x 2-2ax+5的对称轴x=a 在区间[1，a+1]内，且图像的开口向上，∴ f(x)min =f(a)=5-a 2. 又∵ (a-1)-(a+1-a)=a-2≥0， ∴ f(x)max =f(1)=6-2a ，由f(x)max -f(x)min ≤4解得 -1≤a≤3，结合a ≥2知，实数a 的取值范围为[2，3].又∵ f ‘(x )=16x =16 ，可得[f(x)]max =f(3)=120-k. 令120-k≤-21，解得k≥141. 11.这是一个恰成立问题，它相当于f(x)=x 2+2x+ax≥0的解集是x ∈[1，+∞).令f(1)=0，得a= -3.∃⊆。

恒成立能成立问题总结(详细)

恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。

这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。

感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。

在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。

一、函数法（一）构造一次函数利用一次函数的图象或单调性来解决对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有： {⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(;0)(0)(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立例1 若不等式m mx x ->-212对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。

解析：将不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)(<m g 恒成立。

…由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-0)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22x x x x g g解得231271+<<+-x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。

小结：解题的关键是将看来是解关于x 的不等式问题转化为以m 为变量，x 为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。

练习:(1)若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围。

（2）对于40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，求x 的取值范围。

（答案：或）&（二）构造二次函数利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。

高考数学：不等式恒成立、能成立、恰成立问题

不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处理方法1、转换求函数的最值：（1）若不等式()Axf>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上()minf x A>，⇔()f x的下界大于A（2）若不等式()Bxf<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上()maxf x B<,()f x的上界小于A例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a恒成立，求a的取值范围。

例2、已知(),22xaxxxf++=对任意[)()0,,1≥+∞∈xfx恒成立,试求实数a的取值范围;例3、R上的函数()x f既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin2cos2>--++mfmfθθ恒成立，求实数m的取值范围.例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

恒成立,能成立,恰成立

恒成立，能成立，恰成立作者：汪程来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2012年第12期摘要：证不等式的恒成立、能成立与恰成立求参数范围问题是一种常见的题型，也是高考的热点之一. 这三类问题既有区别又有联系，在教学过程中很多学生容易混淆，它们的意义和转化方法是不同的. 本文结合实例来辨析这三种问题的区别和联系.关键词：不等式；恒成立；能成立；恰成立；辨析不等式恒成立、能成立、恰成立时求参数范围的问题既有区别又有联系，容易混淆，下面举例说明.恒成立例1 （1）若不等式x-4+x-3>a对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是______；（2）若不等式x2-2mx+2m+1>0对0≤x≤1的实数x恒成立，则实数m的取值范围是______；（3）对于满足0≤p≤4的实数p，使x2+px>4x+p-3恒成立的x的取值范围是______.解：（1）即（x-4+x-3）min>a.由绝对值的几何意义知，当且仅当3≤x≤4时，x-4+x-3取到最小值（最小值是1），从而得实数a的取值范围是（-∞，1）.（2）设f（x）=x2-2mx+2m+1（0≤x≤1），题意即f（x）min>0，通过分类讨论可求出f （x）min，进而求解本题.但以下的分离常数法更简洁：题意即不等式x2-2mx+2m+1>0对0≤x0），得x2+1>2m（x-1）（0≤x该式成立，即2-2m（3）题意即当0≤p≤4时，f（p）=（x-1）p+x2-4x+3>0恒成立，即f（p）min>0，它又等价于f（0）=x2-4x+3>0，f（4）=x2-1>0，从而可求得x的取值范围是（-∞，-1）∪（3，+∞）.能成立例2 若存在实数x，使不等式x-4+x-3解：题意即（x-4+x-3）min恰成立例3 若关于x的不等式1x+2x+…+（n-1）x+nxa>0（n>1，且n是已知的整数）恰在x 解：题意即关于x的不等式x+x+…+x>-a的解集为（-∞，1）.设f（x）=x+x+…+x，则f（x）是R上的减函数（因为f（x）的每一项都是减函数）.又x∈（-∞，1）？圳f（x）>f（1），所以题意即f（x）>-a？圳f（x）>f（1）.注意到f（x）是R上的减函数，所以-a=f（1）（若-a-a不能推出f（x）>f（1）；若-a>f （1），则f（x）>f（1）不能推出f（x）>-a），得-a=f（1）=，a=，所求a的取值范围是.。

专题二不等式恒成立、能成立问题(解析版)

强化专题2 不等式恒成立、能成立问题在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养．【技巧目录】一、“Δ”法解决恒成立问题二、数形结合法解决恒成立问题三、分离参数法解决恒成立问题四、主参换位法解决恒成立问题五、利用图象解决能成立问题六、转化为函数的最值解决能成立问题【例题详解】一、“Δ”法解决恒成立问题例1 若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[]2,0-B ．(]2,0-C ．()2,0-D ．()(),20,-∞-⋃+∞ 【答案】B【分析】讨论0a =和0a <两种情况，即可求解.【详解】当0a =时，不等式成立；当0a ≠时，不等式2220ax ax --<恒成立，等价于()()20,2420,a a a <⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩20a ∴-<<．综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ．【小结】(1)如图①一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)在R 上恒成立⇔一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R ⇔二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象恒在x 轴上方⇔y min >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.(2)如图②一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)在R 上恒成立⇔一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为R ⇔二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象恒在x 轴下方⇔y max <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.二、数形结合法解决恒成立问题例2 当1≤x ≤2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求m 的取值范围．【详解】令y ＝x 2＋mx ＋4.∵y <0在[1,2]上恒成立．∴x 2＋mx ＋4＝0的根一个小于1上，另一个大于2.如图，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ＋4<0，4＋2m ＋4<0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5<0，2m ＋8<0. ∴m 的取值范围是{m |m <－5}．【小结】结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x 轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．三、分离参数法解决恒成立问题例3 若不等式x 2+ax +1≥0在x ∈[－2，0）时恒成立，则实数a 的最大值为（）A ．0B ．2C ．52D ．3 【答案】B【分析】用分离参数法分离参数，然后用基本不等式求最值后可得结论．【详解】不等式x 2+ax +1≥0在[2,0)x ∈-时恒成立，即不等式x x x x a 112--=+-≤在[2,0)x ∈-时恒成立.()()()2121-=-⋅-≥-+x x x x ，当且仅当1x x -=-，即x =－1时，等号成立，所以a ≤2，所以实数a 的最大值为2. 故选：B ．【小结】通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．四、主参换位法解决恒成立问题例4 已知[]1,1a ∈-，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为___________. 【答案】(,1)(3,)-∞+∞【分析】设()()2244f a x a x x =-+-+，即当[]1,1a ∈-时，()0f a >，则满足()()1010f f ⎧->⎪⎨>⎪⎩解不等式组可得x 的取值范围．【详解】[]1,1a ∈-，不等式()24420x a x a +-+->恒成立即[]1,1a ∈-，不等式()22440x a x x -+-+>恒成立设()()2244f a x a x x =-+-+，即当[]1,1a ∈-时，()0f a >所以()()1010f f ⎧->⎪⎨>⎪⎩，即22320560x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得3x >或1x < 故答案为：(,1)(3,)-∞+∞【小结】转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．五、利用图象解决能成立问题例5 当1<x <2时，关于x 的不等式x 2＋mx ＋4>0有解，则实数m 的取值范围为________．【答案】{m |m >－5}【详解】记y ＝x 2＋mx ＋4，则由二次函数的图象知，不等式x 2＋mx ＋4>0(1<x <2)一定有解，即m ＋5>0或2m ＋8>0，解得m >－5.【小结】结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决．六、转化为函数的最值解决能成立问题例6 若存在x ∈R ，使得4x ＋m x 2－2x ＋3≥2成立，求实数m 的取值范围．【详解】∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴4x ＋m ≥2(x 2－2x ＋3)能成立，∴m ≥2x 2－8x ＋6能成立，令y ＝2x 2－8x ＋6＝2(x －2)2－2≥－2，∴m ≥－2，∴m 的取值范围为{m |m ≥－2}．【小结】能成立问题可以转化为m >y min 或m <y max 的形式，从而求y 的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围．【过关训练】1．若关于x 的不等式220mx x m ++>的解集是R ，则m 的取值范围是（）A ．（1，+∞）B ．（0，1）C ．（-1，1）D ．[1，+∞）【答案】A【分析】分0m =和0m ≠两种情况求解【详解】当0m =时，20x >，得0x >，不合题意，当0m ≠时，因为关于x 的不等式220mx x m ++>的解集是R ，所以20Δ440m m >⎧⎨=-<⎩，解得1m ，综上，m 的取值范围是（1，+∞），故选：A2．若集合2{|10}A x ax ax =-+≤=∅，则实数a 的取值集合为（）A ．{|04}a a <<B ．{|04}a a ≤<C ．{|04}a a <≤D ．{|04}a a ≤≤【答案】B【分析】分00a a =≠，，两种情况求解即可【详解】当0a =时，不等式等价于10<，此时不等式无解；当0a ≠时，要使原不等式无解，应满足20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<；综上，a 的取值范围是[)0,4．故选：B ．3．若R x ∈，210ax ax ，则实数a 的取值范围是（）A ．()4,0-B ．(]4,0-C ．[)4,0-D ．[]4,0-【答案】B【分析】分两种情况讨论：0a =和0Δ0a <⎧⎨<⎩，解出实数a 的取值范围，即得. 【详解】对R x ∈，210ax ax ，当0a =时，则有10-<恒成立；当0a <时，则20Δ40a a a <⎧⎨=+<⎩，解得40a . 综上所述，实数a 的取值范围是(]4,0-.故选：B.4．“x ∀∈R ，2230x ax a -+>”的充要条件是（）A ．12a -<<B ．0<<3aC ．13a <<D ．35a << 【答案】B【分析】“x ∀∈R ，2230x ax a -+>”等价于24120a a ∆=-<,解不等式求得答案.【详解】“x ∀∈R ，2230x ax a -+>”等价于24120a a ∆=-< ，即0<<3a ，故“x ∀∈R ，2230x ax a -+>”的充要条件是0<<3a ，故选：B5．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．(][),01,-∞+∞ 【答案】A【分析】当0k =时，该不等式成立，当0k ≠时，根据二次函数开口方向及判别式列不等式解决二次不等式恒成立问题.【详解】当0k =时，该不等式为80≥，成立；当0k ≠时，要满足关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，只需()2036480k k k k >⎧⎨-+≤⎩，解得01k <≤，综上所述，k 的取值范围是[]0,1，故选：A.6．已知关于x 的不等式²4x x m -≥对任意(]0,3x ∈恒成立，则有（）A ．4m ≤-B ．3m ≥-C ．30m -≤<D ．40m -≤< 【答案】A【分析】由题意可得2min (4)m x x ≤-，由二次函数的性质求出24y x x =-在(]0,3上的最小值即可【详解】因为关于x 的不等式²4x x m -≥对任意(]0,3x ∈恒成立，所以2min (4)m x x ≤-，令224(2)4y x x x =-=--，(]0,3x ∈，所以当2x =时，24y x x =-取得最小值4-，所以4m ≤-故选：A7．若对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，则m 的取值范围是（）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞ 【答案】A【分析】由题知对任意的2[1,0],242x m x x ≥-∈--恒成立，进而求[1,0]x ∈-，()2214y x =--最值即可得答案.【详解】解：因为对任意的2[1,0],2420x x x m ∈--+++≥恒成立，所以对任意的2[1,0],242x m x x ≥-∈--恒成立，因为当[1,0]x ∈-，()[]22142,4y x =--∈-，所以()2max 2424m x x --≥=，[1,0]x ∈-，即m 的取值范围是[4,)+∞故选：A8．若两个正实数,x y 满足12+1=x y ，且不等式2+32+<y x m m 有解，则实数m 的取值范围是（） A ．(4,1)- B ．(1,4)-C ．()(),41,-∞-+∞ D ．()(),14,-∞-⋃+∞ )()1,+∞.9．已知命题p ：“15x ∃≤≤，250x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．4a <B ．4aC ．4a >D ．4a >-【答案】A【分析】依据题意可将题目转换为非p 命题为真的补集，即“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”对应a 取值集合的补集，进一步只需限制端点小于等于0即可求解【详解】由题意，当15x ≤≤时，不等式250x ax -->有解，等价于“15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立”为真时对应a 取值集合的补集若15x ∀≤≤，250x ax --≤恒成立为真命题，需满足， 25550a --≤且150a --≤，解得4a ≥．因此p 命题成立时a 的范围时4a <故选：A ．10．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．(,2)-∞-C ．(6,)-+∞D ．(,6)-∞-【答案】B【分析】构造函数2()42f x x x a =---，若不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，可得函数2()42f x x x a =---在区间(1,4)内的最大值大于0即可，根据二次函数的图象和性质可得答案．【详解】令2()42f x x x a =---，则函数的图象为开口朝上且以直线2x =为对称轴的抛物线，故在区间(1,4)上，()f x f <（4）2a =--，若不等式2420x x a --->在区间(1,4)内有解，则20a -->，解得2a <-，即实数a 的取值范围是(,2)-∞-.故选：B ．11．已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞12．设函数2()2f x ax ax =--，若对任意的[1,3]x ∈，()22f x x a >--恒成立，则实数a 的取值范围为_____________.13．已知关于x 的不等式244x mx x m +>+-．(1)若对任意实数x ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于04m ≤≤，不等式恒成立，求实数x 的取值范围．【详解】（1）若对任意实数x ，不等式恒成立，即2440x mx x m +--+>恒成立则关于x 的方程2440x mx x m +--+=的判别式()()24440m m ∆=---+<，即240m m -<，解得04m <<，所以实数m 的取值范围为(0,4)．（2）不等式244x mx x m +>+-，可看成关于m 的一次不等式()21440m x x x -+-+>，又04m ≤≤，所以224404(1)440x x x x x ⎧-+>⎨-+-+>⎩，解得2x ≠且0x ≠，所以实数x 的取值范围是()()(),00,22,-∞⋃⋃+∞．14．设2(1)2y ax a x a =+-+-，若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；19．设函数()21f x mx mx =--．(1)若对于2,2x ，()5f x m <-+恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于[]2,2m ∈-，()5f x m <-+恒成立，求x 的取值范围． 2,2x，f 2,2x 恒成立，对于2,2x 恒成立．261324x ⎫-+⎪⎭2,2x ，则1,2．20．已知函数y ＝mx 2－mx －6＋m ，若对于1≤m ≤3，y <0恒成立，求实数x 的取值范围．【详解】y <0⇔mx 2－mx －6＋m <0⇔(x 2－x ＋1)m －6<0.∵1≤m ≤3，∴x 2－x ＋1<6m恒成立， ∴x 2－x ＋1<63⇔x 2－x －1<0⇔1－52<x <1＋52. ∴x 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－52<x <1＋52.。

不等式恒成立能成立恰成立问题经典教程

不等式恒成立、能成立、恰成立问题一、不等式恒成立问题的处置方式一、转换求函数的最值：（1）假设不等式()A x f >在区间D 上恒成立,那么等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A （2）假设不等式()B x f <在区间D 上恒成立,那么等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例一、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

例二、已知(),22xax x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确信a 、b 的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）假设对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。

二、主参换位法例5、假设不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围例6、假设关于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。

(不)等式的恒,能,恰成立问题(必修1专用)

（不）等式的恒成立,能成立,恰成立等问题一．知识点：1.恒成立问题不等式(),f x A x D >∈恒成立⇔()min ,f x A x D >∈不等式(),f x B x D <∈恒成立⇔()max ,f x B x D <∈.2. 能成立问题(),x D f x A ∃∈>使⇔()max ,f x A x D >∈．（即()A x f >在区间D 上能成立） (),x D f x B ∃∈<使⇔,()min ,f x B x D <∈．（即()B x f <在区间D 上能成立） (),x D f x m ∃∈=使⇔m N ∈，N 为函数(),y f x x D =∈的值域．（即()f x m =在区间D 上能成立）3. 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立⇔不等式()A x f >的解集为D . 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立⇔不等式()B x f <的解集为D ,二．题型（一）．不等式恒成立问题的处理方法1．转换求函数的最值：例1．(2000年,上海卷)已知()[)220,1,x x a f x x x++=≥∈+∞恒成立,试求实数a 的取值范围;【分析及解】本题是一个恒成立问题。

解法一：分类讨论求函数()f x 的最小值。

当0a >时用对勾函数，当0a <时利用函数的单调性。

解法二：()022≥++=xa x x x f 对任意[)+∞∈,1x 恒成立等价于()022≥++=a x x x ϕ对任意[)+∞∈,1x 恒成立,又等价于1≥x 时,()x ϕ的最小值0≥成立.由于()()112-++=a x x ϕ在[)+∞,1上为增函数, 则()()31min +==a x ϕϕ,所以 3,03-≥≥+a a . 2．主参换位法例2．若对于任意1a ≤，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围解析：()(),13,x ∈-∞+∞ 3．分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g t f x ≥（或()()g t f x ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()()max g t f x ≥ (或()()min g t f x ≤) ，得t 的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．例3．当()1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，求m 的取值范围 .解析: 当(1,2)x ∈时，由240x mx ++<得24x m x +<-.令244()x f x x x x +==+，则易知()f x 在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x ∈时()(1)5max f x f ==，则2min 4()5x x +->-∴5m ≤-.4．数形结合例4 ．若对任意x R ∈,不等式x ax ≥恒成立，求实数a 的取值范围．解析：对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即11a -≤≤．例5．当()1,2x ∈时，不等式()21log a x x -<恒成立，求a 的取值范围．解：1<a ≤2.二．（不）等式能成立问题的处理方法1．转换求函数的最值：例1 若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解析：是不等式能成立的问题. 设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥2．分离参数法求值域例若关于x 的二次方程()2110x m x +-+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．解析：解法一：利用根的分布来做．解法二：分离参数法axy x由题意知0x ≠，所以原题等价于()(]2110,0,2x m x x +-+=∈有解，即(]11,0,2m x x x-=+∈有解，而()(]1,0,2x x x xϕ=+∈的值域是[)2,+∞，所以[)12,m -∈+∞ 解得1m ≤-．三．不等式恰成立问题的处理方法()0f x >在区间[],a b 上恰成立，1. ()21f x ax bx =++恰在区间11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上为正，求,a b解：3,2a b =-=- ．2.已知函数()()()lg ,10x x f x a b a b =->>>，是否存在实数,a b ，使得()f x 恰在()1,+∞上取正值，且()3lg 4?f =若存在，求出,a b 的值，若不存在，说明理由．解：假设存在这样的实数,a b ．∵()f x 恰在()1,+∞上取正值∴()0f x >的解集是()1,+∞又因为()()lg x x f x a b =-在()0,+∞上单调递增，所以()10f =．由()()103lg 4f f =⎧⎪⎨=⎪⎩可得331410a b a b a b -=⎧⎪-=⎨⎪>>>⎩，解得12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ？※3. (2000年,上海卷) 已知(),22xa x x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.【分析及解】是一个恰成立问题,？这相当于()022≥++=xa x x x f 的解集是[)+∞∈,1x . 当0≥a 时,由于1≥x 时,()3222≥++=++=xa x x a x x x f ,与其值域是[)+∞,0矛盾, 当0<a 时, ()222++=++=xa x x a x x x f 是[)+∞,1上的增函数. 所以,()x f 的最小值为()1f ,令()01=f ,即.3,021-==++a a解析：当0<a 时函数单调才会是恰成立问题．练一练：1.已知f (x )＝m (x －2m )·(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若∀x ∈R ，f (x )＜0与g (x )＜0二者至少一个成立，则m 的取值范围是__(－4,0)________．解析：易知1x <时()0g x <，故只需1x ≥时()0f x <即可．显然0m ≥不满足条件；当0m <时，对称轴302m x -=<，故只需(1)0f <，解得40m -<<. 2．(2005年春，北京理) 若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是；若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是．【分析及解】第一个填空是不等式恒成立的问题．设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞ ()0>⇔x f 在()+∞∞-,上恒成立()0min >⇔x f ,即(),0442min >+-=a a x f 解得04<<-a 第二个填空是不等式能成立的问题. 设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集 ()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6-≤x 或2≥x .。

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