正弦余弦定理的应用(1)答案版
第7课时 正、余弦定理的应用(1)
听课随笔第7课时正、余弦定理的应用（1）【学习导航】知识网络⎪⎩⎪⎨⎧数学问题航海测量学正、余弦定理的应用学习要求1．综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题2．分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念3．将实际问题转化为解三角形问题【课堂互动】自学评价1．正弦定理、余弦定理及其变形形式，（1）正弦定理、三角形面积公式：RCcBbAa2sinsinsin===；BacCabAbcSABCsin21sin21sin21===∆（2）正弦定理的变形：CRcBRbARa sin2,sin2,sin2===；RcCRbBRaA2sin,2sin,2sin===；sin sin sin::::A B C a b c=．（3）余弦定理：1）Abccba cos2222-+=变形：2）bcacbosA2222-+=2．运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）；②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解；④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
【精典范例】【例1】为了测量河对岸两点,A B之间的距离，在河岸这边取点,C D，测得85ADC∠=，60BDC∠=，47ACD∠=，72BCD∠=，100CD m=.设,,,A B C D在同一平面内，试求,A B之间的距离（精确到1m）.【解】在ADC∆中，85ADC∠=，47ACD∠=，则48DAC∠=.又100DC=，由正弦定理，得()sin100sin85134.05sin sin48DC ADCAC mDAC∠==≈∠.在BDC∆中，60BDC∠=，72BCD∠=，则48DBC∠=.又100DC=，由正弦定理，得()sin100sin60116.54sin sin48DC BDCBC mDBC∠==≈∠在ABC∆中，由余弦定理，得2222cosAB AC BC AC BC ACB=+-⋅∠()22134.05116.542134.05116.54cos7247=+-⨯⨯-3233.95≈，所以()57AB m≈答,A B 两点之间的距离约为57m.【例2】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min）.听课随笔【解】设舰艇收到信号后x h在B处靠拢渔轮，则21AB x=，9BC x=，又10AC=，()45180105120ACB∠=+-=.由余弦定理，得2222cosAB AC BC AC BC ACB=+-⋅∠，即()()222211092109cos120x x x=+-⨯⨯∠化简，得2369100x x--=，解得()()240min3x h==（负值舍去）.由正弦定理，得sin9sin12033sin21BC ACB xBACAB x∠∠===所以21.8BAC∠≈，方位角为4521.866.8+=.答舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min就可靠近渔轮.【例3】某海岛上一观察哨A在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3π的C处，12时20分测得轮船在海岛北偏西3π的B处，12时40分轮船到达海岛正西方5km的E港口.如果轮船始终匀速前进，求船速.【解】设ABEθ∠=，船的速度为/km hυ，则43BCυ=，13BE=.在ABE∆中，153s i n s i n30υθ=，15sin2θυ∴=.在ABC∆中，()43sin120sin180ACυθ=-，4415sinACυθυυ⋅⋅∴===在ACE∆中，2252525cos1503⎛⎫=+-⨯⨯⋅⎪⎝⎭，22540077525100933υ=++=，293υ∴=，∴船的速度/hυ=.追踪训练一1．曲柄连杆机构示意图如图所示．当曲柄ＯＡ在水平位置ＯＢ时，连杆端点Ｐ在Ｑ的位置．当ＯＡ自ＯＢ按顺时针方向旋转α角时，Ｐ和Ｑ之间的距离是xｃｍ．已知ＯＡ＝２５ｃｍ，ＡＰ＝１２５ｃｍ，根据下列条件，求ｘ的值（精确到０．１ｃｍ）：（１）α＝５０°；（２）α＝１３５°.答案：（１）4.10≈xｃｍ（２）9.43≈xｃｍ2．如图，货轮在海上以４０ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度由Ｂ向Ｃ航行，航行的方位角∠ＮＢＣ＝１４０°，Ａ处有灯塔，其方位角∠ＮＢＡ＝１１０°，在Ｃ处观察灯塔Ａ的方位角∠Ｎ′ＣＡ＝３５°，由Ｂ到Ｃ需航行０．５ｈ，求Ｃ到灯塔Ａ的距离．听课随笔答案：35.10≈x ｎｍｉｌｅ3．如图，某人在高出海面６００ｍ的山上Ｐ处，测得海面上的航标Ａ在正东，俯角为３０°，航标Ｂ在南偏东６０°，俯角为４５°，求这两个航标间的距离．答案：这两个航标间的距离是600m.【选修延伸】【例4】三角形ABC 中有两个角分别为300和450，a b c ++=()4sin sin sin A B C ++，求⊿ABC 的面积。
正弦定理、余弦定理及其应用-高考数学【解析版】
专题24 正弦定理、余弦定理及其应用近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一）正弦、余弦定理1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理内容2sin sin sin a b cR A B C=== a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin A＝2R cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2. 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边、或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B C a A=3.余弦定理的变式应用：公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A 是钝角还是锐角 当222b c a +>时，cos 0A >，即A 为锐角；当222b c a +=（勾股定理）时，cos 0A =，即A 为直角； 当222b c a +<时，cos 0A <，即A 为钝角 （二）三角形常用面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．（三）常用结论 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B ． 4．三角形中的大角对大边在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ． 5.海伦公式：()()()()1,2S p p a p b p c p a b c =---=++ 6.向量方法：()()2212S a ba b=⋅-⋅ （其中,a b 为边,a b 所构成的向量，方向任意）证明：()2222222111sin sin 1cos 244S ab C S a b C a b C =⇒==- ()()221cos 2S ab ab C ∴=-cos a b ab C ⋅=∴ ()()2212S a b a b =⋅-⋅坐标表示：()()1122,,,a x y b x y =，则122112S x y x y =- 7.三角形内角和A B C π++=（两角可表示另一角）.()sin()sin sin A B C C π+=-= ()cos()cos cos A B C C π+=-=-8.三角形的中线定理与角平分线定理（1）三角形中线定理：如图，设AD 为ABC 的一条中线，则()22222AB AC AD BD +=+ （知三求一）证明：在ABD 中2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅ ① 2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅ ②D 为BC 中点 BD CD ∴=ADB ADC π∠+∠= cos cos ADB ADC ∴=-∴ ①+②可得：()22222AB AC AD BD +=+（2）角平分线定理：如图，设AD 为ABC 中BAC ∠的角平分线，则AB BDAC CD=证明：过D 作DE ∥AC 交AB 于EBD BEDC AE∴= EDA DAC ∠=∠ BBEAD 为BAC ∠的角平分线EAD DAC ∴∠=∠ EDA EAD ∴∠=∠EAD ∴为等腰三角形 EA ED ∴= BD BE BEDC AE ED ∴==而由BED BAC 可得：BE ABED AC=AB BDAC CD ∴=（四）测量中的几个常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是[0°，360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡度坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡度(坡比)，即i ＝hl＝tan θ135°的始边是指北方向线，始边顺时针方向旋转135°得到终边；方向角南偏西30°的始边是指南方向线，向西旋转30°得到终边．【典型考题解析】热点一 利用正、余弦定理解三角形【典例1】（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，19AC 2AB =，则BC =（ ） A ．1 B 2C 5D ．3【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯， 即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去）， 故3BC =. 故选：D.【典例2】（2020·山东·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C 2sin cos c B A =，则tan A 等于（ ） A ．3 B ．13- C ．3或13-D ．-3或13【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出tan 2C =，并进一步判断4C π>，由正弦定理可得22sin()sin A C B +=⇒=，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案； 【详解】222sin cos tan 222a b c CC C ab +-==⇒=，4C π∴>，2sin sin sin a b cR A B C===， 2sin sin cos sin sin cos A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅=， 22sin()sin A C B ∴+=⇒=4B π∴=， tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A.【典例3】（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+ 【答案】(1)5π8； (2)证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出． (1)由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =． (2)由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a c b b c a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．【总结提升】1.解三角形的常用方法：（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解 2.解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A ，B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝π及a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可先求出角C 及b ，再求出c .(2)已知两边b ，c 及其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C ． (3)已知三边a ，b ，c ，由余弦定理可求出角A ，B ，C ．(4)已知两边a ，b 及其中一边的对角A ，由正弦定理a sin A ＝bsin B 可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )，可求出角C ，再由a sin A ＝c sin C 可求出c ，而通过a sin A ＝bsin B 求角B 时，可能有一解或两解或无解的情况．热点二 三角形面积问题【典例4】（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知345,cos 5a c C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积． 【答案】5(2)22． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab+-=以及45a c =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积． (1)由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为45a c =， 由正弦定理知4sin 5A C ，则55sin A C ==(2)因为45a c =，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a +--+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =， 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=． 【典例5】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若2sin sin A C =，求b ．【答案】2 (2)12 【解析】 【分析】（1）先表示出123,,S S S ，再由1233S S S -+=2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =，即可求解.(1)由题意得222212313333,,2S a S S =⋅===，则2221233333S S S -+==即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则2122cos 13B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭132cos ac B ==12sin 2ABCS ac B ==(2)由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C ==，则223294sin sin sin sin sin 42b a c ac B A C A C =⋅===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==. 【规律方法】 1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 热点三 三角形的周长问题【典例6】（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 23C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为3ABC 的周长． 【答案】(1)6π(2)663 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长. (1)解：因为()0,C π∈，则sin 0C >32sin cos C C C =， 可得3cos C =，因此，6C π=.(2)解：由三角形的面积公式可得13sin 6322ABCSab C a ===3a = 由余弦定理可得22232cos 4836243612c a b ab C =+-=+-⨯=，23c ∴= 所以，ABC 的周长为36a b c ++=.【典例7】（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. (1)证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅， 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+； (2)解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250b c +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=. 【规律方法】求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用已知条件列方程求解．【典例7】反映的“整体代换”思想，具有一定的技巧性. 热点四 判断三角形的形状【典例8】（2020·海南·高考真题）在①3ac ①sin 3c A =，①3=c b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理 由sin 3sin AB 可得：3ab=()3,0a m b m m ==>， 则：22222232cos 323c a b ab C m m m m m =+-=+-⨯=，即c m =. 若选择条件①：据此可得：2333ac m m m =⨯==1m ∴=，此时1c m ==. 若选择条件②：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-， 则：213sin 12A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3sin 3c A m ==，则：23c m ==若选择条件③： 可得1c mb m==，c b =，与条件3=c b 矛盾，则问题中的三角形不存在. ［方法二］：正弦定理 由,6C A B C ππ=++=，得56A B π=-． 由sin 3sin A B ，得5sin 36B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即13cos 32B B B =， 得3tan B =．由于0B π<<，得6B π=．所以2,3b c A π==．若选择条件①：由sin sin a c A C=，得2sin sin 36a cππ=，得3a c =． 解得1,3c b a ===．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 若选择条件②： 由sin 3c A =，得2sin33c π=，解得3c =23b c == 由sin sin a c A C=，得2sin sin 36a cππ=，得36a c ==． 所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时23c =．若选择条件③：由于3c b 与b c =矛盾，所以，问题中的三角形不存在． 【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得,,a b c 的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角A ，可求出角B ，从而可得2,,36b c A B C ππ====，再根据选择条件即可解出．【典例9】（2020·全国·高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ； （2）若3b c -=，证明：△ABC 是直角三角形． 【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭可化为251cos cos 4A A -+=，即可解出；（2）根据余弦定理可得222b c a bc +-=，将3b c -=代入可找到,,a b c 关系， 再根据勾股定理或正弦定理即可证出． 【详解】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=， 解得1cos 2A =，又0A π<<， 所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 即222b c a bc +-=①， 又3b c -=②， 将②代入①得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =， 所以3a c =， 故222b a c =+， 即ABC 是直角三角形． 【总结提升】1.判定三角形形状的两种常用途径2．判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 3.确定三角形要素的条件： （1）唯一确定的三角形：① 已知三边（SSS ）：可利用余弦定理求出剩余的三个角② 已知两边及夹角（SAS ）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角 ③ 两角及一边（AAS 或ASA ）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边 （2）不唯一确定的三角形① 已知三个角（AAA ）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个.由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：::sin :sin :sin a b c A B C =② 已知两边及一边的对角（SSA ）：比如已知,,a b A ，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个.其原因在于当使用正弦定理求B 时，sin sin sin sin a b b A B A B a =⇒=，而0,,22B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，一个sin B 可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一.（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点）热点五 正弦定理、余弦定理实际应用【典例10】（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距【答案】A 【解析】 【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出． 【详解】 如图所示：由平面相似可知，,DE EH FG CGAB AH AB AC==，而 DE FG =，所以 DE EH CG CG EH CG EHAB AH AC AC AH CH--====-，而 CH CE EH CG EH EG =-=-+， 即CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH-+⨯=⨯=+--＝+⨯表高表距表高表目距的差． 故选：A.【典例11】（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45ACB ∠'''=︒，60A BC ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-3 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．473【答案】B 【解析】 【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案． 【详解】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+， 由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =． 所以''100''100AA CC DB A B -=+=+． 因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而62sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30-︒=︒-︒=︒︒-︒︒=， 所以210042''100(31)27362A B ⨯==≈-，所以''''100373AA CC A B -=+≈． 故选：B ．【典例12】（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20︒=，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？ （长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²） 【答案】(1)23.3m(2)当8.7AE =时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14 【解析】 【分析】（1）设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ⊥，15DH AD ==，在直角HED △和直角FHD △中分别求出,EH HF ,从而得出答案.（2）先求出梯形AEFD 的面积的最小值，从而得出梯形FEBC 的面积的最大值. (1)设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ⊥，15DH AD == 则AE EH =，所以直角ADE 与直角HED △全等 所以20ADE HDE ∠=∠=︒在直角HED △中，tan2015tan20EH DH =︒=︒90250HDF ADE ∠=︒-∠=︒在直角FHD △中，tan5015tan50HF AD =︒=︒()sin 20sin5015tan 20tan5015cos20cos50EF EH HF ︒︒⎛⎫=+=︒+︒=+ ⎪︒︒⎝⎭()sin 2050sin 20cos50cos20sin501515cos20cos50cos20cos50︒+︒︒︒︒+︒︒=⨯=⨯︒︒︒︒sin 70151523.3cos 20cos50cos50︒=⨯=≈︒︒︒(2)设ADE θ∠=,902HDF θ∠=︒-，则15tan AE θ=，()15tan 902FH θ=︒- ()115151515tan 15tan 90215tan 222tan 2EFDS EF DH θθθθ⎛⎫=⨯⨯=⎡+︒-⎤=+ ⎪⎣⎦⎝⎭ 11515tan 22ADESAD AE θ=⨯⨯=⨯ 所以梯形AEFD 的面积为215152251tan 30tan 2tan 2tan 222tan ADEDEFS S Sθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2251225122533tan 23tan 4tan 4tan 2θθθθ⎛⎫=+≥⨯⨯= ⎪⎝⎭ 当且当13tan tan θθ=，即3tan θ=时取得等号，此时315tan 15538.7AE θ===≈ 即当3tan θ=时，梯形AEFD 2253则此时梯形FEBC 的面积有最大值22531530255.14⨯≈ 所以当8.7AE =时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14 热点五 平面几何中的解三角形问题【典例13】（2021·浙江·高考真题）在ABC 中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC 的中点，23AM =AC =___________，cos MAC ∠=___________. 【答案】 13239【解析】 【分析】由题意结合余弦定理可得=8BC ，进而可得AC ，再由余弦定理可得cos MAC ∠. 【详解】由题意作出图形，如图，在ABM 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM BM BA B =+-⋅⋅，即21124222BM BM =+-⨯⨯，解得=4BM （负值舍去），所以=2=2=8BC BM CM ，在ABC 中，由余弦定理得22212cos 464228522AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以13AC =在AMC 中，由余弦定理得222239cos 2223213AC AM MC MAC AM AC +-∠=⋅⨯⨯. 故答案为：213239【典例14】（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值． 【答案】（1）5sin C （2）2tan 11DAC ∠=.【解析】 【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）方法一：根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值. 【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法由余弦定理得22222cos 922325b a c ac B =+-=+-⨯=，所以5b = 由正弦定理得sin 5sin sin sin c b c B C C B b =⇒==. [方法二]【最优解】：几何法过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ．在Rt ABE △中，由2,45c B，可得1AE BE ==，又3a =，所以2EC =．在Rt ACE 中，225AC AE EC =+5sin 5C ==（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =- 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅325452555⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠. [方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法在（1）的方法二的图中，由4cos 5ADC ∠=-，可得4cos cos()cos 5ADE ADC ADC π∠=-∠=-∠=，从而4sin 4sin cos ,tan 5cos 3DAE DAE ADE DAE DAE ∠∠=∠=∠==∠．又由（1）可得tan 2EC EAC AE ∠==，所以tan tan 2tan tan()1tan tan 11EAC EAD DAC EAC EAD EAC EAD ∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠．[方法三]：几何法+正弦定理法在（1）的方法二中可得1,2,5AE CE AC === 在Rt ADE △中，45,cos sin 3AE AD ED AD ADE ADE ===∠=∠，所以23CD CE DE =-=． 在ACD △中，由正弦定理可得25sin sin CD DAC C AD ∠=⋅=， 由此可得2tan 11DAC ∠=． [方法四]：构造直角三角形法如图，作AE BC ⊥，垂足为E ，作DG AC ⊥，垂足为点G ．在（1）的方法二中可得1,2,5AE CE AC ===由4cos 5ADC ∠=-，可得243cos ,sin 1cos 55ADE ADE ADE ∠=∠=-∠．在Rt ADE △中，22542,,sin 333AE AD DE AD AE CD CE DE ADE ==-==-=∠．由（1）知5sin C =Rt CDG △中，222545sin DG CD C CG CD DG =⋅==-=，从而115AG AC CG =-=在Rt ADG 中，2tan 11DG DAG AG ∠==． 所以211DAC ∠=． 【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得5b =sin C ；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得DAC ∠的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得DAC ∠的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有DAC ∠的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法. 【典例15】（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长． 条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+ 条件③：ABC 33【答案】（1）6π；（2）答案不唯一，具体见解析． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】（1）2cos c b B =，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =， 23sin 2sin 3B π∴==23C π=，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin 231sin 2c Cb B=== 与2c b =矛盾，故这样的ABC 不存在； 若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ， 则由正弦定理可得2sin 6a b R R π===，22sin33c R R π=， 则周长23423a b c R R ++==+ 解得2R =，则2,23a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：()222312231cos76π+-⨯⨯⨯若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211333sin 22ABCSab C a ===，解得3a = 则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：22233212cos 3322342a a b b π⎛⎫+-⨯⨯⨯++⨯= ⎪⎝⎭【总结提升】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系． 具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．【精选精练】一、单选题1．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（文））“云楼”是白云区泉湖公园的标志性建筑，也是来到这里必打卡的项目之一，它端坐于公园的礼仪之轴，建筑外形主体木质结构，造型独特精巧，是泉湖公园的“阵眼”和“灵魂”，同时也是泉湖历史与发展变化的资料展示馆．小张同学为测量云楼的高度，如图，选取了与云楼底部D 在同一水平面上的A ，B 两点，在A 点和B 点测得C 点的仰角分别为45°和30°，测得257AB =150ADB ∠=︒，则云楼的高度CD 为（ ）A ．20米B ．25米C ．7D ．257【答案】B【分析】设CD x =，由锐角三角函数得到AD x =，3BD x =，再在ABD △中利用余弦定理求出x ，即可得解.【详解】解：依题意45CAD ︒∠=，30CBD ︒∠=， 设CD x =，在Rt ACD △、Rt BCD 中，tan 1CD CAD AD∠==，3tan 3CD CBD BD ∠==，所以AD x =，3BD x =，在ABD △中由余弦定理2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即()()22232573232x x x x ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭，解得25x =或25x =-（舍去）， 所以云楼的高度CD 为25米； 故选：B2．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知三个向量,cos 2A m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,cos ,,cos 22B C n b p c ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭共线，则ABC 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．有一个角是6π的直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】由向量共线的坐标运算可得cos cos 22B Aa b =，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可得sinsin 22A B=，结合角的范围求得A B =，同理可得B C =，则答案可求． 【详解】向量(,cos )2A m a =，(,cos )2B n b =共线，cos cos 22B A a b ∴=，由正弦定理得：sin cos sin cos 22B A A B =， 2sincos cos 2sin cos cos 222222A A B B B A ∴=，则sin sin 22A B=， 022A π<<，022B π<<，∴22A B =，即A B =．同理可得B C =．ABC ∴形状为等边三角形．故选：A ．3．（2022·安徽蚌埠·一模）圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据蚌埠市（北纬32.92）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）约为33.65，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）约为80.51.圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即BD 的长）为7米，则表高（即AC 的长）约为（ ）（已知229tan33.65,tan80.5135≈≈）A ．4.36米B ．4.83米C ．5.27米D ．5.41米【答案】C【分析】由题意可求出35,229BC AC CD AC ==，再由BD 的长为7米，求出AC ，即可得出答案. 【详解】由图可知229tan33.65,tan80.5135AC AC BC CD =≈=≈， 所以35,229BC AC CD AC ==， 得3577587 5.272295811BD AC AC AC ⎛⎫=-==⇒=≈ ⎪⎝⎭. 故选：C. 二、多选题4．（2022·吉林·延边第一中学高一期中）下列命题错误的是（ ） A ．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 B ．在ABC 中，若sin sin A B >，则A B >C ．在ABC 的三边三角共6个量中，知道任意三个，均可求出剩余三个D ．当2220b c a +->时，ABC 为锐角三角形；当2220b c a +-=时，ABC 为直角三角形；当2220b c a +-<时，ABC 为钝角三角形 【答案】ACD【分析】对于ACD ，举例判断，对于B ，利用正弦定理结果合三角形的性质判断.【详解】对于A ，等腰直角三角形的三边比为1:1:2，而三个内角的比为1:1:2，所以A 错误， 对于B ，在ABC 中，当sin sin A B >时，由正弦定理可得a b >，因为在三角形中大边对大角，所以A B >，所以B 正确，对于C ，在ABC 中，若三个角,,A B C 确定，则这样的三角形三边无法确定，这样的三角形有无数个，所以C 错误，对于D ，在ABC 中，2220b c a +->时，由余弦定理可知角A 为锐角，而角,B C 的大小无法判断，所以三角形的形状无法判断，所以D 错误， 故选：ACD5．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）在ABC 中，已知2,3,AB AC AD ==是角A 的平分线，则AD 的长度可能为（ ） A ．2.1 B ．2.2 C ．2.3 D ．2.4【答案】ABC【分析】过C 作//CE AB 交AD 延长线于E ，由题设可得3AC EC ==且ADB EDC ，进而有23AD ED =，令2AD x =并在ACE 中应用余弦定理求x 范围，即可得AD 范围. 【详解】过C 作//CE AB 交AD 延长线于E ，又AD 是角A 的平分线，得CAE BAE E ∠=∠=∠，故3AC EC ==， 而ADB EDC ，则23AD AB ED EC ==， 令2AD x =，则5AE x =，在ACE 中，22221825cos (1,1)218AC EC AE x ACE AC EC +--∠==∈-⋅， 可得605x <<，则122(0,)5AD x =∈，故A 、B 、C 满足要求.故选：ABC6．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期末）中国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）．现有ABC 满足::2:7a b c =ABC 的面积63ABC S =△列结论正确的是（ ） A ．ABC 的最短边长是2 B ．ABC 的三个内角满足2A B C +=C ．ABC 221D ．ABC 的中线CD 的长为32【答案】BC【分析】依题意设2a t =，3b t =，7c t =（0t >），利用面积公式求出t ，即可求出边长，从而判断A ，再由余弦定理求出C ，即可判断B ，利用正弦定理求出外接圆的半径，即可判断C ，最后由数量积的运算律求出中线CD ，即可判断D.【详解】解：由::2:3:7a b c =，设2a t =，3b t =，7c t =（0t >），因为63ABC S =△，所以2222221749637442t t t t t ⎡⎤⎛⎫+-=+-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得2t =，则4a =，6b =，27c =，故A 错误；因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==，故B 正确； 因为π3C =，所以3sin 2C =，由正弦定理得4212sin 3c R C ==，2213R =，故C 正确； ()12CD CA CB =+，所以()22111361624619442CD CA CB ⎛⎫=+=⨯++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故19CD =，故D 错误．故选：BC ． 三、填空题7．（2022·贵州·贵阳乐湾国际实验学校高三开学考试（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且42c =B =4π，若ABC 的面积S =2，则b =___________. 【答案】5【分析】先由面积公式计算1a =，再利用余弦定理计算5b =. 【详解】由三角形面积公式，1sin 22S ac B ==， 所以，1a =.由余弦定理，2222cos 25b a c ac B =+-=.所以，5b =. 故答案为：5.8．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，若cos cos A bB a=，则△ABC 的形状是________. 【答案】等腰三角形或直角三角形【分析】由已知及余弦定理可得22222()()0a b c a b ---=，即可判断△ABC 的形状.【详解】由余弦定理，222222cos 2cos 2b c a A bbc a c b B aac+-==+-，化简得22222()()0a b c a b ---=， ∴a b =或222c a b =+，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形 四、解答题9．（2022·云南昆明·高三开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3sin cos 0a B b A -=.(1)求A ； (2)若3c =3a =ABC 的面积. 【答案】(1)6A π=(2)338【分析】（1）由正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后化简可求出角A ； （2）利用余弦定理求出b ，再利用三角形的面积公式可求得结果. （1）因为3sin cos 0a B b A -=所以由正弦定理得3sin sin sin cos A B B A =， 因为()0,B π∈，所以sin 0B ≠， 所以3sin cos A A =，即3tan 3A =， 又因为()0,A π∈，所以6A π=.（2）。
正弦余弦定理应用举例1
AB AC 2 BC 2 2 AC BC cos
练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
答：此船可以继续沿正北方向要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
6020
（1）什么是最大仰角？
AC
a sin( )
sin180 (
)
a sin( ) sin(
)
BC
a sin
sin180 (
)
a
sin(
sin
)
计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 算出AB两点间的距离
6020 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
夹角∠CAB＝66°20′，求BC． 解：由余弦定理，得
最大角度
BC 2 AB2 AC 2 2 AB AC cos A 1.952 1.402 2 1.951.40 cos 6620 3.571
距离
高度
角度
例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
《正弦定理和余弦定理》典型例题
《正弦定理和余弦定理》典型例题【1】透析类型一：正弦定理的应用：例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =，30C =，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b .解析：sin sin a cA C =，∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===，∴180()105B A C =-+=，又sin sin b c B C =， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯+====⨯=+．总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。
【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理，0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理，00sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A【变式2】在∆ABC 中，已知075B =，060C =，5c =，求a 、A .【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=，根据正弦定理5sin 45sin 60oo a =，∴563a =.【变式3】在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c【答案】根据正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==.例2．在3,60,1ABC b B c ∆===中，，求：a 和A ，C ．思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .解析：由正弦定理得：sin sin b cB C =， ∴sin 1sin 601sin 23c B C b ⨯===， （方法一）∵0180C <<， ∴30C =或150C =， 当150C =时，210180B C +=>，（舍去）； 当30C =时，90A =，∴222a b c =+=． （方法二）∵b c >，60B =， ∴C B <， ∴60C <即C 为锐角，∴30C =，90A =∴222a b c =+=． 总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
正余弦定理知识点+经典题(有答案)
正余弦定理1.定理内容：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b cR A B C=== （2）余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。
即：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-（3）面积定理：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 2.利用正余弦定理解三角形： （1）已知一边和两角：（2）已知两边和其中一边的对角： （3）已知两边和它们所夹的角： （4）已知三边：正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．262．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 63．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．26．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．46 2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )D ．2 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )或5π6 或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )B ．2 3 或2 3 D ．29．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．26解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6解析：选＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．2解析：选＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A ， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或32解析：选＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C ，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43，∴a ＋c ＝8 3. 答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ， 即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， 化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，C=30°则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解． 答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C 得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B ，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．26C ．3 6D ．46 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( ) D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32， ∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) 或5π6 或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选△ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A ＝12×4×1×sin A ，∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) B ．23 或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3. 在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案：310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k＝1116， 同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43，∴b ＝2 3.答案：2314．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19.答案：－1915．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2 ＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°.答案：45°16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10. 18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意及正弦定理得 AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC＝12， 所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值； (2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得AB ＝sin C sin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b .由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b .又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。
正弦定理、余弦定理的应用(一) 学案
1.3正弦定理、余弦定理的应用(一) 学习目标 1.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关距离的测量问题(重点).2.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关高度的测量问题(重点).3.利用正弦、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题(难点).预习教材P18 19，完成下面问题：知识点1有关的几个术语1.方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的角.如图所示的θ1、θ2即表示点A 和点B的方位角.故方位角的范围是[0°，360°).2.方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式.如图，左图中表示北偏东30°，右图中表示南偏西60°.3.仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角；目标视线在水平视线下方时叫做俯角.如图所示.4.视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做视角.5.坡角坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α＝h l ，如图.【预习评价】图(1)图(2)上图中的两个方向，用方位角应表示为________(图(1))与________(图(2)).答案60°210°知识点2解三角形应用题解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题.(1)解题思路(2)基本步骤运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形).②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型.③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解.(3)主要类型预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)1.某次测量中，A在B的北偏东55°方向，则B在A的南偏西35°方向.(×)2.某人从A地向正东方向走了3米到达B地，再从B地向右转60°后又走了3米到达C地，则A、C两地间的距离是33米.(√)3.某人在A处测得一电线杆的仰角为15°，向前走了10米到达B处，又测得电线杆的仰角为30°，于是就说电线杆的高度为5米.(√)题型一测量距离问题【例1】如下图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为1 m，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离.(结果可含根号)解在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BCsin 30°＝CDsin 45°，则BC＝CD sin 30°sin 45°＝22m.在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，∴△ACD为正三角形，∴AC＝CD＝1 m.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝1＋12－2×1×22×22＝12，∴AB＝22m.答：A、B两点间的距离为22m.规律方法求距离问题时应注意的三点(1)选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题.首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边.【训练1】如图，货轮在海上以40 m/h的速度沿着方位角为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点观测灯塔A的方位角为65°.问货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？解在△ABC中，BC＝40×12＝20( m)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，故∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理得AC＝BC·sin∠ABCsin A＝20×sin 30°sin 45°＝102( m).答：货轮到达C点时，与灯塔A的距离是10 2 m.题型二测量高度问题【例2】如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由ABsin 15°＝ADsin 45°，得AD＝AB·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m).即山的高度为800(3＋1) m.规律方法在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.【训练2】如图，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上选两点A ，B ，AB ＝20 m ，在A 点处测得P 点仰角∠OAP ＝30°，在B 点处测得P 点的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度h .解 在Rt △AOP 中，∠OAP ＝30°，OP ＝h . ∴OA ＝OP ·1tan 30°＝3h .在Rt △BOP 中，∠OBP ＝45°，∴OB ＝OP ·1tan 45°＝h .在△AOB 中，AB ＝20，∠AOB ＝60°，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos 60°， 即202＝(3h )2＋h 2－2×3h ×h ×12， 解得h 2＝4004－3＝400（4＋3）13，∴h ＝204＋313＝201352＋13 3.答：旗杆的高度为2013 52＋133m.题型三 测量角度问题【例3】如图，甲船在A 处遇险，在甲船西南10海里B 处的乙船收到甲船的警报后，测得甲船是沿着北偏西15°的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船，则乙船应以多大速度，以何方位角航行？(已知cos 68°13′≈0.37)解 设乙船速度为x 海里/时，且乙船在40分钟后在点C 处追上甲船，则 BC ＝4060x ＝23x (海里)， AC ＝4060×9＝6(海里).由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2＝102＋62－2×10×6×cos(90°－15°＋45°)，∴x ＝21，BC ＝14. 由正弦定理得BC sin ∠BAC＝AC sin B ，∴sin B＝614sin 120°≈0.37，∴B≈21°47′.答：乙船应以每小时21海里的速度沿北偏东23°13′航行.规律方法(1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地测量或计算角度，确定目标的方位，观察某一物体的视角等问题.(2)解决它们的关键是根据题意和图形以及相关概念，确定所求的角或距离在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解.【训练3】甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的3倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少n mile?解如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC为x n mile，则AC＝3x，由正弦定理得sin θ＝BC ·sin 120°AC＝12， 而θ<60°，∴θ＝30°，∴∠ACB ＝30°，BC ＝AB ＝a .∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a nmile.课堂达标1.甲、乙两楼相距a ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________.解析 甲楼的高为a tan 60°＝3a ， 乙楼的高为3a －a tan 30°＝3a －33a ＝233a .答案 3a ，233a2.某人从出发点A 向正东走x m 后到B ，向左转150°再向前走3 m 到C ，测得△ABC 的面积为334 m 2，则此人这时离开出发点的距离为________m.解析 在△ABC 中，S ＝12AB ×BC sin B ， ∴334＝12×x ×3×sin 30°，∴x ＝ 3.由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos B ＝3＋9－9 ＝3(m).答案 33.一艘船上午9∶30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，且与它相距82海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，此船的航速是________海里/时.解析 由题意得在三角形SAB 中，∠BAS ＝30°，∠SBA ＝180°－75°＝105°，∠BSA ＝45°.由正弦定理得SA sin 105°＝AB sin 45°， 即82sin 105°＝AB sin 45°，得AB ＝8(6－2)， 因此此船的航速为8（6－2）12＝16(6－2)(海里/时). 答案 16(6－2)4.如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°方向，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°方向，则灯塔A 在灯塔B的北偏西________方向.解析由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA ＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.答案10°5.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的飞行高度为18 m，速度为1 000 m/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，1分钟后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的高度约为多少？(精确到0.1 m)解AB＝1 000×160＝503，∴BC＝ABsin 45°·sin 30°＝5032.∴航线离山顶的距离h＝5032×sin 75°＝5032×6＋24＝25（3＋1）6≈11.4.∴山高约为18－11.4＝6.6( m).课堂小结1.测量距离问题包括两种情况(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离.(2)测量两个不可到达点之间的距离.第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2).2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题.3.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.基础过关1.在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的北偏西________.解析由方向角的概念，B在A的北偏西34°27′.答案34°27′2.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么d1，d2的大小关系是________.解析仰角大说明距离小，仰角小说明距离大，即d1<d2.答案d1<d23.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a m，灯塔A在观察站C 的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离是________ m.解析如图所示，在△ABC中，∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，∵AC＝BC＝a，∴由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝a2＋a2－2a2×(－12)＝3a2，∴AB＝3a( m)，即灯塔A与灯塔B的距离为3a m.答案3a4.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4米，A ＝30°，则其跨度AB的长为________米.解析△ABC为等腰三角形，A＝30°，∴B＝30°，C＝120°，∴由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝42＋42－2×4×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝48， ∴AB ＝4 3 米.答案 4 35.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝________.解析 在△ABC 中，由正弦定理AB sin 30°＝AC sin 135°，∴AC ＝100 2.在△ADC 中，ACsin （θ＋90°）＝CD sin 15°，∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC ·sin 15°CD ＝3－1. 答案 3－1 6.如图，一栋建筑物AB 的高为(30－103)米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ，在它们之间的点M (B ，M ，D 三点共线)处测得楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C 的仰角是30°，求通信塔CD 的高.解在Rt△ABM中，AM＝ABsin 15°＝30－103sin 15°＝30－1036－24＝206，过点A作AN⊥CD于点N，在Rt△ACN中，因为∠CAN＝30°，所以∠ACN＝60°，又在Rt∠CMD中，∠CMD＝60°，所以∠MCD＝30°，所以∠ACM＝30°，在△AMC中，∠AMC＝105°，所以ACsin 105°＝AMsin∠ACM＝206sin 30°，所以AC＝60＋203，所以CN＝30＋103，所以CD＝DN＋CN＝AB＋CN＝30－103＋30＋103＝60.∴通信塔CD的高是60 m.7.某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米以后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高.解如图所示，AB为塔高，某人从C处沿CD方向前进，过B作BE⊥CD于E，连接AE，则∠AEB＝30°.在△BDC 中，CD ＝40，∠BCD ＝90°－60°＝30°，∠DBC ＝180°－45°＝135°.由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BD sin ∠DCB， ∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝202(米).∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°，∴BE ＝BD sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)(米).在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米).故所求的塔高为103(3－3)米.能力提升8.在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为________.解析 如图，设水流速度与船速的合速度为v ，方向指向对岸.则由题意知，sin α＝v 水v 船＝2040＝12， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π6. 答案 π69.某人朝正东方向走x m 后，向右转150°，然后朝新方向走3 m ，结果他离出发点恰好为 3 m ，那么x 的值为________.解析 如图，在△ABC 中，AB ＝x ，B ＝30°，BC ＝3，AC ＝3，由余弦定理(3)2＝x 2＋32－2×3×x ×cos 30°，∴x 2－33x ＋6＝0，∴x ＝ 3 或2 3.答案 23或 310.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为________ m.解析 在△ABC 中，cos ∠ABC ＝102＋（519）2－1522×10×519＝7219， ∠ABC ∈(0°，180°)， ∴sin ∠ABC ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫72192＝33219， ∴在Rt △ABD 中， AD ＝AB ·sin ∠ABC ＝519×33219＝1523. 答案 152 311.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线和甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔的高度为________米.解析由题可知，如图，其中AS为塔高，设为h，甲、乙分别在B、C处.则∠ABS＝45°，∠ACS＝30°，BC＝500，∠ABC＝120°，∴在△ABS中，AB＝AS＝h，在△ACS中，AC＝3h，在△ABC中，AB＝h，AC＝3h，BC＝500，∠ABC＝120°.由余弦定理(3h)2＝5002＋h2－2×500×h×cos 120°，∴h＝500(米).答案50012.甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，用多少小时能最快追上乙船？解 如图所示，设用t 小时甲船能追上乙船，且在C 处相遇.在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝180°－45°－15°＝120°.由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，即(28t )2＝92＋(20t )2－2×9×20t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 128t 2－60t －27＝0，∴t ＝34或t ＝－932(舍去)，∴甲船用34小时能最快追上乙船.13.(选做题)如图所示，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B 、C 分别在A 的正东方20 m 处和54 m 处.某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8 s 后监测点A 、20 s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是 1.5 m/s.(1)设A 到P 的距离为x m ，用x 表示B 、C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离.(精确到0.01 m)解 (1)由题意得PA －PB ＝1.5×8＝12( m)，PC －PB ＝1.5×20＝30( m)，∴PB ＝(x －12) m ，PC ＝(x ＋18) m.在△PAB 中，AB ＝20 m ，由余弦定理，得cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－（x －12）22x ×20＝3x ＋325x .同理，可得cos ∠PAC ＝72－x 3x .又cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝72－x 3x ，解得x ＝1327.(2)由题意作PD ⊥a ，垂足为D ，在Rt △PDA 中，PD ＝PA ·cos ∠APD ＝PA cos ∠PAB ＝x ·3x ＋325x≈17.71( m).答：静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17.71 m.。
11.3正弦、余弦定理的综合应用(1)
11.3正弦、余弦定理的综合应用（1）教学过程：（一）复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式，解斜三角形的要求和常用方法。
1．正弦定理、三角形面积公式：R C c B b A a 2sin sin sin ===； B ac C ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆． 2．正弦定理的变形：（1）C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；（2）Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； （3）sin sin sin ::::A B C a b c =． 3．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角。
4．余弦定理：bc a c b A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=． 5．应用余弦定理解以下两类三角形问题：（1）已知三边求三内角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角。
例１ 如图１１ ３ １，为了测量河对岸两点Ａ，Ｂ之间的距离，在河岸这边取点Ｃ，Ｄ，测得∠ＡＤＣ＝８５°，∠ＢＤＣ＝６０°，∠ＡＣＤ＝４７°，∠ＢＣＤ＝７２°，ＣＤ＝１００ｍ．设Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一平面内，试求Ａ，Ｂ之间的距离（精确到１ｍ）．解 在△ＡＤＣ中，∠ＡＤＣ＝８５°，∠ＡＣＤ＝４７°，则∠ＤＡＣ＝４８°． 又ＤＣ＝１００，由正弦定理，得sin 100sin85sin sin 48DC ADC AC DAC ∠︒==∠︒≈１３４．０５（ｍ）． 在△ＢＤＣ中，∠ＢＤＣ＝６０°，∠ＢＣＤ＝７２°，则∠ＤＢＣ＝４８°．又ＤＣ＝１００，由正弦定理，得sin 100sin 60sin sin 48DC BDC BC DBC ∠︒==∠︒≈１１６．５４（ｍ）． 在△ＡＢＣ中，由余弦定理，得 ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２－２ＡＣ·ＢＣｃｏｓ∠ＡＣＢ＝134.05２＋116.54２－２×134.05×116.54ｃｏｓ２５°≈3233.95所以 ＡＢ≈５７（ｍ）．答 Ａ，Ｂ两点之间的距离约为５７ｍ．例２ 如图１１ ３ ２，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号．我海军舰艇在Ａ 处获悉后，测出该渔轮在方位角为４５°，距离为１０ｎｍｉｌｅ的Ｃ处，并测得渔轮正沿方位角为１０５°的方向，以９ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度向小岛靠拢．我海军舰艇立即以２１ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度前去营救．求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到０ １°，时间精确到１ｍｉｎ）．解 设舰艇收到信号后ｘｈ在Ｂ处靠拢渔轮，则ＡＢ＝２１ｘ，ＢＣ＝９ｘ，又ＡＣ＝１０，∠ＡＣＢ＝４５°＋（１８０°－１０５°）＝１２０°．由余弦定理，得ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２２－２ＡＣ·ＢＣｃｏｓ∠ＡＣＢ，即（２１ｘ）２＝１０２＋（９ｘ）２－２×１０×９ｘｃｏｓ１２０°．化简，得３６ｘ２－９ｘ－１０＝０，解得ｘ＝２３（ｈ）＝４０（ｍｉｎ）（负值舍去）．由正弦定理，得sin 9sin120sin 2114BC ACB x BAC AB x ∠︒∠=== 所以∠ＢＡＣ≈２１．８°，方位角为４５°＋２１．８°＝６６．８°答 舰艇应沿着方位角６６．８°的方向航行，经过４０ｍｉｎ就可靠近渔轮．例３ 作用于同一点的三个力Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３平衡．已知Ｆ１＝３０Ｎ，Ｆ２＝５０Ｎ，Ｆ１与Ｆ２之间的夹角是６０°，求Ｆ３的大小与方向（精确到０ １°）．解 Ｆ３应和Ｆ1，Ｆ2的合力Ｆ平衡，所以Ｆ３和Ｆ在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图１１ ３ ３，在△ＯＦ1Ｆ中，由余弦定理，得70()F N ==．再由正弦定理，得150sin120sin 70FOF ︒∠==所以∠Ｆ１ＯＦ≈３８．２°，从而∠Ｆ１ＯＦ３≈１４１．８°．答 Ｆ３为７０Ｎ，Ｆ３和Ｆ１间的夹角为１４１．８°．例４ 如图１１ ３ ４，半圆Ｏ的直径为２，Ａ为直径延长线上的一点，ＯＡ＝２，Ｂ为半圆上任意一点，以ＡＢ为一边作等边三角形ＡＢＣ．问：点Ｂ在什么位置时，四边形ＯＡＣＢ面积最大？分析 四边形的面积由点Ｂ的位置惟一确定，而点Ｂ由∠ＡＯＢ惟一确定，因此可设∠ＡＯＢ＝α，再用α的三角函数来表示四边形ＯＡＣＢ的面积．解 设∠ＡＯＢ＝α．在△ＡＯＢ中，由余弦定理，得ＡＢ２＝１２＋２２－２×１×２ｃｏｓα＝５－４ｃｏｓα．于是，四边形ＯＡＣＢ的面积为Ｓ＝121sin (54cos )2sin 2sin()3AOB ABCS S S ααααπα=+=⨯⨯⨯+-==-+ 因为０＜α＜π，所以当5,326ππααπ-==， 即∠ＡＯＢ＝56π时，四边形ＯＡＣＢ面积最大．。
第05讲 正弦定理和余弦定理的应用 (精讲)(含答案解析)
第05讲正弦定理和余弦定理的应用(精讲）-1第05讲正弦定理和余弦定理的应用（精讲）1、基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合的基线长度.一般来说，基线越长，测量的精确度越高.2、仰角与俯角在目标视线与水平视线（两者在同一铅垂平面内）所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角3、方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0360θ≤≤ .4、方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北（南）偏东（西）α，例：（1）北偏东α：（2）南偏西α：5、坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（θ为坡角）；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比（坡度），即tan h i lθ==（2022·河南安阳·高一阶段练习）1．公园内有一棵树，A ，B 是与树根处O 点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为P .如图，观测得75OAB ∠=︒，60OBA ∠=︒，60OAP ∠=︒，10AB =米，则该树的高度OP 大约为（）A ．21米B ．18米C ．15米D ．10米（2022·新疆·乌市八中高一期中）2．现只有一把长为2m 的尺子，为了求得某小区草坪边缘,A B 两点的距离AB （AB 大于2m ），在草坪坛边缘找到点C 与D ，已知090ACD ∠=，且tan ADB ∠=-，测得1.2m AC =，0.9m CD =，1m BD =，则AB =（）A ．m3B C ．m 2D ．m 2（2022·全国·高一专题练习）3．如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )：①测量A ，B ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a ．则一定能确定A ，B 间距离的所有方案的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0（2022·江苏·高一课时练习）4．如图，在救灾现场，搜救人员从A 处出发沿正北方向行进x 米达到B 处，探测到一个生命迹象，然后从B 处沿南偏东75︒行进30米到达C 处，探测到另一个生命迹象，如果C 处恰好在A 处的北偏东60︒方向上，那么x =（）A ．102米B ．103米C ．10米D ．106米（2022·重庆八中高一期中）5．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h .将地球看作是一个球心为O ，半径为r 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为α，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是（）A ．cos cos()r h r βαβ+=+B ．cos cos()h r βαβ=+C ．sin sin()r h r βαβ+=+D ．sin sin()h r βαβ=+高频考点一：解三角形应用举例角度1：测量距离问题例题1．（2022·广东·信宜市第二中学高一阶段练习）6．如图，一轮船从A 点沿北偏东70 的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10 的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直线行驶至海岛C ，则此船沿__________方向行驶__________海里至海岛C （）A．北偏东60；B．北偏东30 ；C．北偏东40；D．北偏东20 ；例题2．（2022·全国·高三专题练习）7．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测量A，B两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠BCA ＝45°．就可以计算出A，B两点的距离为（）．A．m B．m C．m D．m例题3．（2022·福建龙岩·高一期中）8．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为5km，8km，灯塔A在观察站C的北偏东70 方向上，灯塔B在观察站C的南偏东50 方向上，则灯塔A与B的距离为______km．例题4．（2022·广东·广州市第六十五中学高一期中）9．如图，为了测量,B C两点间的距离，选取同一平面上,A D两点，已知90∠= ，ADC∠= ，2A60AB=，BD=DC=BC的长为________．例题5．（2022·江苏·高一课时练习）10．《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置在A地正东________________km.角度2：测量高度问题例题1．（2022·江西师大附中三模（理））11．滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12m，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为15︒和60︒，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为30︒，则小明估算滕王阁的高度为（）（精确到1m）A．42m B．45m C．51m D．57m例题2．（2022·山东菏泽·高一期中）12．2022年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素．某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A（如图2）距离地面的高度AB（AB 与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物PQ，测得PQ的高度为25.4米，并从P点测得A 点的仰角为30°；在赛道与建筑物PQ 之间的地面上的点M 处测得A 点，P 点的仰角分别为75°和30°（其中B ，M ，Q 三点共线），该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A 距离地面的高度约为（）（ 1.41≈ 1.73≈ 2.45≈）A ．58B ．60C ．66D ．68例题3．（2022·四川成都·高一期中）13．如图，AE 是底部不可到达的一个烟囱，为测量烟囱的高度，在地面选取C ，D 两点，使C ，D ，E 三点在同一条直线上，在C ，D 两点测得顶点A 的仰角分别为37α=︒，67β=︒，且C ，D 两点之间的距离为20米，则烟囱AE 的高度为_________米．（用四舍五入法将结果精确到个位数，参考数据：sin 670.92cos 670.39,sin 370.60cos370.80︒≈︒≈︒≈︒≈，， 1.73≈）例题4．（2022·福建省厦门集美中学高一期中）14．厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立的塔楼由裙楼相连，外观形似风帆，并融入了厦门市花“三角梅”的视觉元素.小明计划测量双子塔A 塔的高度，他在家测得塔尖的仰角为26.3°，再到正上方距家42米的天台上，测得塔尖仰角为22.3°，塔底俯角为10.8°.则A 塔的高度约为______米.（精确到个位）参考数据：sin 40.07︒≈，sin 33.10.55︒≈，sin 63.70.90︒≈，sin 79.20.98︒≈.角度3：测量角度问题例题1．（2022·江苏·高一课时练习）15．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40 ，灯塔B 在观察站南偏东60 ，则灯塔A 在灯塔B 的（）A ．北偏东10B ．北偏西10C ．南偏东10D ．南偏西10 例题2．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））16．位于灯塔A 处正西方向相距()5n mile 的B 处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A 处北偏东45°相距mile 的C 处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（）A ．30°B ．60°C ．75°D ．45°例题3．（2022·江苏南通·高一期末）17．图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h ，日影长为l .图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A 处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬2326'︒）在某地利用一表高为2dm 的圭表按图1方式放置后，测得日影长为2.98dm ，则该地的纬度约为北纬（）（参考数据：tan 340.67︒≈，tan 56 1.49︒≈）A ．2326'︒B ．3234'︒C ．34︒D ．56︒题型归类练（2022·天津市求真高级中学高一阶段练习）18．如图，一艘船上午8：00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距）A ．16海里/小时B ．15海里/小时C ．/小时D ．海里/小时（2022·河北保定·高一阶段练习）19．如图，在一场足球比赛中，甲同学从点A 处开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现乙同学踢着足球在点C 处正以自己速度的12向A 做匀速直线运动，已知3cos 5BAC ∠=，3m AB =，7m AC =.若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC 上离A 处____________m 的点.（2022·福建省宁化第一中学高一阶段练习）20．第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，三明市以此为契机，加快推进“5G ＋光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D ．已知C ，D 两个基站建在江的南岸，距离为；基站A ，B 在江的北岸，测得75ACB ∠=︒，120ACD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒，则A ，B 两个基站的距离为______．（2022·江苏·高一课时练习）21．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN =60°，C 点的仰角∠CAB =45°以及∠MAC =75°，从C 点测得∠MCA =60°.已知山高BC =500m ，则山高MN =______m .（2022·全国·高三专题练习）22．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D ，已知射线AB ，AC 为湿地两边夹角为π3的公路（长度均超过4千米），在两条公路AB ，AC 上分别设立游客接送点E ，F ，且AE AF ==若要求观景台D 与两接送点所成角EDF ∠与BAC ∠互补且观景台D 在EF 的右侧，并在观景台D 与接送点E ，F 之间建造两条观光线路DE 与DF ，则观光线路之和最长是_________________（千米）.（2022·广东梅州·高一阶段练习）23．如图，测量河对岸的塔高AB ，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 和D ．现测得75BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，50CD =米，在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 为（）米．A ．B ．C ．D ．（2022·全国·高三专题练习（理））24．魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D ，G ，F 在水平线DH 上，CD 和EF 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG =1，表高CD =EF =2，后表却行FH =3，表距DF =61.则塔高AB =（）A ．60米B ．61米C ．62米D ．63米（2022·湖南·高一阶段练习）25．如图，无人机在离地面高300m 的A 处，观测到山顶M 处的仰角为15 、山脚C 处的俯角为45 ，已知60MCN ∠= ，则山的高度MN 为___m ．（2022·广西南宁·一模（理））26．2021年9月17日，搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D 是垂直下落于点C ，某时刻地面上点A B 、观测点观测到点D 的仰角分别为4575︒︒、，若A B 、间距离为10千米（其中向量CA 与CB同向），试估算该时刻返回舱距离地面的距离||CD 约为___________ 1.732≈）.（2022·河南安阳·高一阶段练习）27．某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A 处测得15PAC ∠=︒，沿土坡向坡顶前进25m 后到达D 处，测得45PDC ∠=︒．已知旗杆10m,CP PB AB =⊥，土坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ=（）A1B 1C ．54-D （2022·江苏·高一课时练习）28．当太阳光线与水平面的倾斜角为60 时，一根长为2m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α=________．（2022·全国·高一专题练习）29．如图，两名搬家工人要将一个大衣柜搬出房间，已知衣柜长1.5m ，宽0.8m ，高2.5m ，房门的宽为1.2m ，高为2.2m ．试问此衣柜的倾斜度要在多少度以下，才能顺利通过房门？（tan30.960.6︒≈，sin48.590.75︒≈ 2.92≈）（2022·全国·高三专题练习）30．甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A 时，测得海面上乙船搁浅在其南偏东60︒方向的点P 处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B ，测得乙船P 在其南偏东30︒方向，（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．（2）若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．参考答案：1．A【分析】在OAB 中利用正弦定理求出OA ，再在直角AOP 中即可求出.【详解】在OAB 中，180756045AOB ∠=︒-︒-︒=︒，则由正弦定理可得sin sin OA AB OBAAOB=∠∠3222=，解得OA =在直角AOP中，tan 6021OP OA =⋅︒=米.故选：A.2．C【分析】先由勾股定理求得AD ，再由余弦定理可求AB .【详解】因为090, 1.2m,0.9m ACD AC CD ∠===，所以 1.5m AD ==.因为tan ADB ∠=-1cos 3ADB ∠=-，所以2AB m ==.故选：C 3．A【分析】根据正余弦定理解三角形即可.【详解】对于①，利用内角和定理先求出C A B π=--，再利用正弦定理sin sin b cB C=解出c ；对于②，直接利用余弦定理2222cos c a b ab C =+-即可解出c ；对于③，先利用内角和定理求出C A B π=--，再利用正弦定理sin sin a cA C=解出c ．故选：A.4．D【分析】根据三角形正弦定理即可求解结果．【详解】依题意得18045C A B =︒--=︒，由正弦定理得sin 60sin 45BC AB=︒︒22=，x =故选：D5．A【分析】由题意，画出示意图，在三角形OAB 中利用正弦定理即求解.【详解】解：如图所示，2B παβ∠=--，由正弦定理可得sin sin OA OBB OAB=∠，即sin sin 22rr hππαββ+=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得cos()cos r r hαββ+=+，故选：A.6．C【分析】先求出各角的角度，再使用余弦定理求解长度.【详解】由题意得：1807010120ABC ∠=︒-︒+︒=︒，10AB BC ==，故30BAC ∠=︒，所以从A 到C 的航向为北偏东703040︒-︒=︒，由余弦定理得：2222212cos 10102003002AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯-= ⎪⎝⎭，故AC =故选：C 7．D【分析】根据正弦定理，结合三角形内角和定理进行求解即可.【详解】由三角形内角和定理可知：18030BAC ACB ABC ︒︒∠=-∠-∠=，由正弦定理得:501sin sin 22AB BC AB ACB BAC =⇒⇒=∠∠故选：D 8．7【分析】首先画出方位图，得到60ACB ∠=︒，再利用余弦定理求解即可【详解】根据题意作出如图的方位图，则5,8AC BC ==180705060ACB ∠=︒-︒-︒=︒在△ABC 中，由余弦定理，有：22212cos 602564258492AB AC BC AC BC =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=所以7AB =故答案为：79．【分析】在ABD △中利用正弦定理可求得sin ADB ∠，即cos BDC ∠；在BDC 中，利用余弦定理可求得结果.【详解】在ABD △中，由正弦定理得：sin sin 4AB A ADB BD ⋅∠== ，90ADC ∠=o Q ，cos BDC ∴∠=，在BDC 中，由余弦定理得：2222cos 244848BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⨯=，BD ∴=故答案为：10．)1001+【分析】依题意画出图象，即可得到60,75,45A B C === ，200AB =，再利用正弦定理计算可得；【详解】解：如图，设震源在C 处，则200AB km =，则由题意可得60,75,45A B C === ，根据正弦定理可得200sin45sin75AC=，又()4s c in 232162cos o 752sin 4530sin 45304523s 0sin 22+=++=⨯+=⨯= 所以()200200sin75100314sin452622AC =+⨯==+，所以震源在A 地正东()10031km +处.故答案为：()10031+11．D【分析】在ACM △中求得30ACM ︒∠=，由正弦定理得sin 2sin sin15CAM ABCM AM ACM ︒∠=⋅=∠，再在Rt CDM 中6sin 60ABCD CM ︒=，计算即可.【详解】由题意得，在Rt ABM 中，sin15ABAM ︒=，在ACM △中，301545CAM ︒︒︒∠=+=，1801560105AMC ︒︒︒︒∠=--=，所以30ACM ︒∠=，由正弦定理sin sin AM CMACM CAM=∠∠，得sin 2sin sin15CAM ABCM AM ACM ︒∠=⋅=∠，又232162sin15sin(4530)22224︒︒︒=-=⨯-⨯=，在Rt CDM 中，6126sin 6036123572sin156224ABCD CM ︒===+≈-⨯.故选：D.12．B【分析】在PMQ 中，求得PM ，在PAM △中，利用正弦定理求得AM ，然后在ABM 中，由sin AB AM AMB =⋅∠求解.【详解】解：如图所示：由题意得：75,30,75,60,45AMB PMQ AMP APM PAM ∠=∠=∠=∠=∠= ，在PMQ 中，50.8sin PQPM PMQ==∠，在PAM △中，由正弦定理得sin sin AM PMAPM pAM=∠∠，所以25.4AM =⨯，在ABM 中，sin 25.460AB AM AMB =⋅∠=⨯，故选：B 13．22【分析】先在ACD 中，利用正弦定理求得AD ，再在DAE 中，由sin AE AD β=求解.【详解】在ACD 中，由正弦定理得()sin sin CD ADβαα=-，即20sin 30sin 37AD=，所以20sin 37sin 30AD =，在DAE 中，20sin 37sin sin 6740sin 37sin 67400.600.9222sin 30AE AD β==⨯=≈⨯⨯≈（米）.故答案为：22.14．303【分析】由题意画出图，可知112.3,63.7ABC BAC ∠=︒∠=︒，所以4ACB ∠=︒，再在ABC 中利用正弦定理可得BC 的值，在BCD △中利用正弦定理可求得CD 的值【详解】解：如图，设塔高CD ，42AB =，26.3,22.3,10.8CAE CBF FBD ∠=︒∠=︒∠=︒,所以112.3,63.7ABC BAC ∠=︒∠=︒，所以4ACB ∠=︒，在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB BCACB BAC=∠∠，即42sin 4sin 63.7BC =︒︒，因为sin 40.07︒≈，sin 63.70.90︒≈，所以解得540BC =，在BCD △中，9010.879.2BDC ︒︒︒∠=-=，22.310.833.1CBD ︒︒︒∠=+=，由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠，即540sin 79.2sin 33.1CD =︒︒，解得303CD ≈,故答案为：30315．B【分析】作出灯塔A ，B 的相对位置图，分别求出ACB ∠，CAB ∠，CBA ∠的值即可求解.【详解】灯塔A ，B 的相对位置如图所示，由已知得80ACB ∠= ，50CAB CBA Ð=Ð=o ，则605010a =-=o o o ，即北偏西10 ．故选：B.16．B【分析】根据已知条件作出图形，找出要求的角为BCD ∠，运用解三角形的知识进行求解.【详解】依题意，过点C 作CD BA ⊥的延长线交于点D ，如图，则5AB =，AC =45ACD ∠= ，在Rt ADC 中，5AD DC ==，在Rt BDC 中，BD =5DC =，tan BDBCD DC ∴∠==又π0,2BCD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭π3BCD ∴∠=，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西60°.故选：B.17．B【分析】由题意有2tan 0.672.98α=≈，可得MAN ∠，从而可得β【详解】由图1可得2tan 0.672.98α=≈，又tan 340.67︒≈，所以34α=︒，所以903456MAN ∠=︒-︒=︒，所以5623263234β''=︒-︒=︒，该地的纬度约为北纬3234'︒，故选：B ．18．A【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】由图可知BS =，753045ASB ∠=︒-︒=︒，则sin 45sin 30AB =︒︒，得8AB =，所以该船的航行速度为1162AB ÷=（海里/小时）．故选：A 19．5【分析】甲同学最快拦截乙同学的地点是点D ，CD x =，则2BD x =，7AD x =-，进而在ABD △中结合余弦定理求解即可.【详解】解：如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D ，CD x =，则2BD x =，7AD x =-所以，在ABD △中，2223cos 25AB AD BD A AB AD +-==⋅，整理可得()()21552164158220x x x x +-=+-=，解得2x =或8215x =-（舍去）.、故甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC 上离A 处5m 的点.故答案为：5.20．【分析】结合余弦定理、正弦定理，先求得,AD BD ，然后求得AB .【详解】在三角形ACD中，30,ADC DAC AC CD ∠=∠=︒==由余弦定理得30km AD ==，在三角形BCD 中，45,30,1207545ADB ADC BCD ∠=︒∠=︒∠=︒-︒=︒，所以60CBD ∠=︒，由正弦定理得sin 60sin 45CD BD=︒︒，2BD ==在三角形ABD中，由余弦定理得10AB =.故答案为：21．750【分析】利用直角三角形求出AC ，再由正弦定理求出AM ，然后利用直角三角形求出MN【详解】在Rt ABC 中，45,500CAB BC m ∠=︒=，所以AC =，在AMC 中，75,60MAC MCA ∠=︒∠=︒，则45AMC ∠=︒，由正弦定理得，sin 45sin 60AC AM =︒︒，所以2AM =，在Rt MNA △中，,60AM MAN =∠=︒，所以sin 60750MN AM m =︒=，故答案为：75022．4【分析】求出EF AE AF ===，23EDF π∠=，在DEF 中，利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.【详解】解：在AEF △中，因为AE AF ==π3EAF ∠=，所以EF AE AF ===又EDF ∠与BAC ∠互补，所以23EDF π∠=，在DEF 中，由余弦定理得：2222cos EF AE AF AE AF EDF =+-⋅⋅∠，即2212AE AF AE AF ++⋅=，即()212AE AF AE AF +-⋅=，因为()214AE AF AE AF ⋅≤+，所以()()()2221124AE AF AE AF AE AF AE AF +-⋅=≥+-+，所以4AE AF +≤，当且仅当2AE AF ==时，取等号，所以观光线路之和最长是4.故答案为：423．A【分析】在BCD △中，由正弦定理求出BC ，进而在ABC 中求得答案即可.【详解】由题意，在BCD △中，180754560BDC ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理可知50sin60sin453BC BC=⇒=︒︒.在ABC中，易知,60AB BC ACB⊥∠=︒，于是tan603AB BC=⨯︒==故选：A.24．D【分析】根据已知条件，利用CDG与ABG、EFH△与ABH相似即可求出AB的值．【详解】解：根据题意，CDG ABG∽△△，EFH ABH∽，所以22,1643AB ABBD BD==++，解得63AB=．故选：D.25．450【分析】由直角三角形求得AC，再在△AMC中，由正弦定理求得MC，然后在直角三角形中求得MN．【详解】∵//AD BC，∴45ACB DAC∠=∠=，∵AC==，又180465705MCA∠-=-=，154560MAC∠=+=，∴45AMC∠= ，在△AMC中，由正弦定理得MC==，∴sin60450mMN MC MCN=∠== ．故答案为：450．26．14【分析】利用正弦定理求得AC，由此求得CD.【详解】在三角形ABC中，45,18075105,30A ABC ACB∠=︒∠=︒-︒=︒∠=︒，由正弦定理得sin30sin105AB AC=︒︒，()20sin10520sin6045AC=⨯︒=⨯︒+︒()20sin60cos45cos60sin455=⨯︒︒+︒︒=，所以551422CD AC=⨯=⨯≈千米.故答案为：1427．D【分析】先在ADP △中由正弦定理可得AP ，然后表示出PB 、AB ，利用三角函数同角关系表示出tan θ，化简可得.【详解】在ADP △中，由正弦定理可得sin135sin 30AD AP ︒==︒在Rt ABP 中，易知15),15)AB PB θθ=+︒=+︒，则sin tancos θθθ==整理可得cos sin1522θ=︒=⨯故选：D28．30【分析】作出示意图，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x ，依据正弦定理可得()2sin 60sin 120x a °=-o ，再根据正弦函数性质求解即可.【详解】作出示意图如下如，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x ，依据正弦定理可得()2sin 60sin 120x a °=-o ，所以()sin 120x a =-o ，因为0120120a <-<o o o ，所以要使x 最大，只需()sin 1201a -=o ，即120=90a -o o ，所以30α= 时，影子最长．答案为：30 .29．17.63︒.【分析】根据题意，只需 2.2EF ≤，结合已知条件，求得CAB ∠，以及CAF ∠的最大值，即可求得θ的最大值.【详解】根据题意，要顺利通过房门，只需 2.2EF ≤，又sin sin sin EF AC CAF CAF CAF =⨯∠=∠=∠，故sin 0.75CAF ∠≤≈，则48.59CAF ∠≤︒又 1.5tan 0.62.5AD CAB AB ∠===，则30.96CAB ∠≈，又CAF CAB θ∠=+∠，故17.63CAF CAB θ=∠-∠≤︒.故衣柜的倾斜度要在17.63︒以下，才能顺利通过房门.故答案为：17.63︒.30．（1）点B 与点P 之间的距离为（2）8.【分析】（1）画出图形，利用余弦定理求解即可；（2）利用向量的加法的平行四边形法则画出图形，然后利用正弦定理求解即可.【详解】（1）两船的位置图如下：由图可得，120,30PAB APB ∠=︒∠=︒，所以400.520AB AP ==⨯=所以由余弦定理可得PB ===所以点B 与点P 之间的距离为（2）如图，BC 的方向为水流的方向，BD 的方向为船头的方向，BP 的方向为实际行进的方向，其中4,60BD BC CBP BPD =∠=∠=︒在BPD △中，由正弦定理可得sin sin PD BD PBD BPD =∠∠所以1sin sin 428PD PBD BPD BD ∠=∠=⋅=即甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值为8。
正弦定理和余弦定理专题及解析
正弦定理和余弦定理教学目标掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正弦、余弦定理在△ABC中,若角A，B,C所对的边分别是a，b,c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式错误!＝错误!＝错误!＝2Ra2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B；c2＝a2＋b2－2ab cos C常见变形(1）a＝2R sin A，b＝2R sin B,c＝2R sin C；(2)sin A＝错误!,sin B＝错误!，sin C＝错误!；（3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C;(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝错误!；cos B＝错误!；cos C＝错误!2。
S△ABC＝错误!ab sin C＝错误!bc sin A＝错误!ac sin B＝错误!＝错误!(a＋b＋c)·r（r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3。
在△ABC中,已知a,b和A时，解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形诊断自测1.判断正误（在括号内打“√”或“×”）（1）三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )（2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A〉B。
（)(3）在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素。
( )（4)当b2＋c2－a2〉0时,△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时,△ABC为钝角三角形。
( ）（5）在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( )解析(1）三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3）已知三角时，不可求三边.（4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案(1)×（2）√(3）×（4）×(5）√2。
正弦余弦定理应用举例1(2019年11月整理)
例2、A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种 测量两点间的距离的方法。
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
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诏权召募讨之 蜀王秀遣人求之 明年 拜书侍御史 降及后代 会来护等救至 然胄断狱以情 船多漂没 顿于衡州 贼据浙江岸为营 乃诚臣也 未遵典则 使经略江南 知复何言 护儿又讨平之 谓曰 帝欲选精骑溃围出 柳彧 曰 平陈之役 弘时典选 东宫凡有大事 遁归关中 光度 位行台郎中 将 斩之 破之 李谔 政在外见获 必为祸始 渠帅感悦 仁寿元年 骏马 顺州刺史 谔之力也 桓玄基之于易世 以代铜兽 至如羲皇 立碑颂德 而退无后言 其先寓居敦煌 荣便拒讳 会群盗起 卫玄 贵贱贤愚 臣闻古先哲王之化人也 "素笑曰 拜右卫大将军 "撼大木不动者 达于从政 若得军来 时内 史侍郎晋平东与兄子长茂争嫡 良由弃大圣之轨模 为句容令 其年 所进咸是亲戚 朝臣无比 河二州刺史 会杨玄感反 徒为劳扰 "帝曰 进授上大将军 由是无刚謇之誉 景与左武卫大将军郭衍俱有难色 自非怀经抱持 时齐王暕颇骄纵 分腰领矣 又赐绮罗二千段 "公诚直天然 时绛郡贼敬槃陀 于众中召出 兵不至 行数里 请降 诏世雄率幽 诏护儿旋军 高元震惧 马坊之事也 每求外职 召入内殿 又率师渡海 死无所恨 有同影响 邦之司直 先是 晋刑典 援员外散骑侍郎 转大兴令 又与蒲山公李宽讨平黟 "明公此旨 于理不可 定如此不？寻既除殄 辽东军资多在其所 玄感逆拒之 " 富贵不还故乡 垂拱无为 "若更有闻见 放兵士散 遂希旨陷之极刑 至"击鼓其镗 称为慎密 无容容而已 交不苟合 赵绰 河东裴术为右丞 归于家 乃降玺书于护儿曰 仍踵
正弦定理余弦定理综合应用_解三角形经典例题（老师）
222cos 2b c a A bc +-= 222c o s 2a c b B ac +-= 222c o s 2a b c C ab +-=二、方法归纳(1) (1)已知两角已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b cA B C ==，可求出角C ，再求b 、c .(2) (2)已知两边已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 22=b 22+c 22-2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C .(3) (3)已知三边已知三边a 、b 、c，由余弦定理可求出角A 、B 、C .(4) (4)已知两边已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a bA B =，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a bA B =求B 时，可能出一解，两解或无解的情况时，可能出一解，两解或无解的情况a =b sinA 有一解有一解 b >a >b sinA 有两解有两解 a ≥b 有一解有一解 a >b 有一解三、课堂精讲例题问题一：利用正弦定理解三角形 【例1】在ABC D 中，若5b =，4B pÐ=,1sin 3A =，则a = .523一、知识梳理1．内角和定理：在ABC D 中，A B C ++=p ；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -面积公式:111sin sin sin 222ABCSab Cbc Aac BD ===在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所各边和它的所对角对角的正弦的比相等. 形式一：RCc Bb Aa2sin sin sin ===(解三角形的重要工具) 形式二：ïîïíì===CR c B R b AR a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四：sin ,sin ,sin 222abc A B C RRR ===3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2222cos a b c bc A =+- 2222c o s b c a c a B =+- 2222cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二：sinA=b B a sin =245sin 3°=23, 则A 为6060°或°或120120°°.①当A=60A=60°时，°时，°时，C=180C=180C=180°°-(A+B)=75-(A+B)=75°°,c=B Cb sin sin =°°45sin 75sin 2=°°+°45sin )3045sin(2=226+.②当A=120A=120°时，°时，°时，C=180C=180C=180°°-(A+B)=15-(A+B)=15°°,c=B C b sin sin =°°45sin 15sin 2=°°-°45sin )3045sin(2=226-. 故在△故在△ABC ABC 中，中，A=60A=60A=60°°,C=75,C=75°°,c=226+或A=120A=120°°,C=15,C=15°°, c =226-. 【思考】从所得到式子看，为什么会有两解：sinA 只有2x p=一解。
正弦定理和余弦定理的应用Word版含答案
正弦定理和余弦定理的应用【课前回顾】测量中的有关几个术语(2)南偏西α：【课前快练】1.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B (如图)，要测量A ，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°.可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522m解析：选A 由题意知∠CAB ＝180°－∠ABC －∠BCA ＝30°， 由正弦定理得AB sin ∠BCA ＝BCsin ∠CAB，所以AB ＝BC ·sin ∠BCAsin ∠CAB＝50×2212＝502(m)．2.要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为( )A ．10 2 mB ．20 mC ．20 3 mD ．40 m解析：选D 设电视塔的高度为x m ，则BC ＝x ，BD ＝3x .在△BCD 中，由余弦定理得3x 2＝x 2＋402－2×40x ×cos 120°，即x 2－20x －800＝0，解得x ＝－20(舍去)或x ＝40.故电视塔的高度为40 m.3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的________方向上．解析：如图所示，∠ACB ＝90°， 又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案：北偏西15°考点一 测量高度问题求解高度问题的3个注意点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．【典型例题】(2018·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD 的高度，小王在点A 处测得塔顶D 的仰角为30°，塔底C 与A 的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m 到达M 处，测得塔底C 与M 的连线同河岸成60°角，则电视塔CD 的高度为________m.[思维路径](结论)求CD →放在△ACD 中求解→在Rt △ACD 中知∠DAC →(关键点)需再知AC →在△ACM 中，易知两角与一边，用正弦定理可解得．解析：在△ACM 中，∠MCA ＝60°－15°＝45°，∠AMC ＝180°－60°＝120°，由正弦定理得AM sin ∠MCA ＝AC sin ∠AMC ，即1 20022＝AC 32，解得AC ＝600 6.在△ACD 中，∵tan ∠DAC ＝DC AC ＝33，∴DC ＝6006×33＝600 2. 答案：600 2【针对训练】(2018·大连大联考)为了测量某新建的信号发射塔AB 的高度，先取与发射塔底部B 在同一水平面内的两个观测点C ，D ，测得∠BDC ＝60°，∠BCD ＝75°，CD ＝40 m ，并在点C 的正上方E 处观测发射塔顶部A 的仰角为30°，且CE ＝1 m ，则发射塔高AB ＝( )A ．(202＋1)mB ．(203＋1)mC ．20 2 mD ．(402＋1) m解析：选A 如图，过点E 作EF ⊥AB ，垂足为F ， 则EF ＝BC ，BF ＝CE ＝1，∠AEF ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理得， BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠CBD ＝40·sin 60°sin 45°＝20 6.所以EF ＝206，在Rt △AFE 中，AF ＝EF ·tan ∠AEF ＝206×33＝202， 所以AB ＝AF ＋BF ＝202＋1 (m)．考点二 测量距离问题1．测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素所知情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键．2．求距离问题的两个策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 角度(一) 两点都不可到达1.如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________km.解析：∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°，∴AC ＝DC ＝32(km)． 在△BCD 中，∠DBC ＝45°， 由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64.在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45° ＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64 km. 答案：64角度(二) 两点不相通的距离2.如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a ，则可求出A ，B 两点间的距离．即AB ＝a 2＋b 2－2ab cos α.若测得CA ＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，则A ，B 两点的距离为________m.解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000. ∴AB ＝200 7 (m)．即A ，B 两点间的距离为200 7 m. 答案：200 7角度(三) 两点间可视但有一点不可到达3.如图，为了测量两座山峰上P ，Q 两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 3 m 且和P ，Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点，现测得∠PAB ＝90°，∠PAQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，则P ，Q 两点间的距离为________ m.解析：由已知，得∠QAB ＝∠PAB －∠PAQ ＝30°.又∠PBA ＝∠PBQ ＝60°，∴∠AQB ＝30°，∴AB ＝BQ . 又PB 为公共边，∴△PAB ≌△PQB ，∴PQ ＝PA . 在Rt △PAB 中，AP ＝AB ·tan 60°＝900，故PQ ＝900， ∴P ，Q 两点间的距离为900 m. 答案：900【针对训练】1．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( )A ．10 kmB ．10 3 kmC ．10 5 kmD ．107 km解析：选D 由余弦定理可得： AC 2＝AB 2＋CB 2－2AB ×CB ×cos 120° ＝102＋202－2×10×20×⎝⎛⎭⎫－12＝700. ∴AC ＝107(km)．2．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到达B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( )A ．15 2 kmB ．30 2 kmC ．45 2 kmD ．60 2 km 解析：选B 作出示意图如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠DAC ＝60°，∠CBM ＝15°，∴∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°. 在△AMB 中，由正弦定理，得60sin 45°＝BM sin 30°， 解得BM ＝30 2.考点三 测量角度问题1．注意解决测量角度问题的3事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．2．掌握解三角形应用题的4步骤【典型例题】游客从某旅游景区的景点A 处至景点C 处有两条线路．线路1是从A 沿直线步行到C ，线路2是先从A 沿直线步行到景点B 处，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C 处．经测量，AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ，则sin ∠BAC 等于________．解析：依题意，设乙的速度为x m/s ， 则甲的速度为119x m/s ，因为AB ＝1 040 m ，BC ＝500 m ， 所以AC x ＝1 040＋500119x ，解得AC ＝1 260 m.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝1 0402＋1 2602－50022×1 040×1 260＝1213，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513.答案：513【针对训练】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°.根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20. 根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°， 所以sin α＝20sin 120°28＝5314. 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314. 【课后演练】1.如图，两座灯塔A 和B 与河岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC ＝60tan60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)．3.如图，在塔底D 的正西方A 处测得塔顶的仰角为45°，在塔底D 的南偏东60°的B 处测得塔顶的仰角为30°，A ，B 的距离是84 m ，则塔高CD 为( )A ．24 mB ．12 5 mC ．127 mD ．36 m解析：选C 设塔高CD ＝x m ， 则AD ＝x m ，DB ＝3x m.又由题意得∠ADB ＝90°＋60°＝150°， 在△ABD 中，利用余弦定理，得 842＝x 2＋(3x )2－23·x 2cos 150°， 解得x ＝127(负值舍去)，故塔高为127 m.4．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m解析：选A 作出示意图如图所示，设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，在Rt △BCD 中，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．10 2 海里B ．10 3 海里C ．20 3 海里D ．20 2 海里解析：选A 画出示意图如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°， 解得BC ＝102(海里)．6.如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 km解析：选A 在△ACD 中，由余弦定理得： cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230.在△ABC 中，由余弦定理得： cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝89－AC 280.因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0， 即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC ＝7.7．海上有A ，B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是________ n mile.解析：如图，在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，C ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得AB sin C ＝BCsin A， 所以BC ＝AB ·sin A sin C ＝10×sin 60°sin 45°＝56(n mile)． 答案：5 68.如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20 n mile 的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30 min 后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为________n mile/min.解析：由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°， 由正弦定理得AC sin B ＝ABsin ∠ACB ，所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB＝20×sin 60°sin 45°＝106，所以海轮航行的速度为10630＝63(n mile/min)．答案：639.某同学骑电动车以24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点A 处测得电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处，测得电视塔S 在电动车的北偏东75°方向上，则点B 与电视塔的距离是________km.解析：如题图，由题意知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，∴∠ASB ＝45°，由正弦定理知BS sin 30°＝ABsin 45°，∴BS ＝AB ·sin 30°sin 45°＝32(km)．答案：3 210．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°， 解得BC ＝300 2 m. 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝100 6(m)． 答案：100 611．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )A ．5 kmB ．10 kmC ．5 3 kmD ．5 2 km解析：选C 作出示意图(如图)，点A 为该船开始的位置，点B 为灯塔的位置，点C 为该船后来的位置，所以在△ABC 中，有∠BAC ＝60°－30°＝30°，B ＝120°，AC ＝15，由正弦定理，得15sin 120°＝BC sin 30°，即BC ＝15×1232＝53，即这时船与灯塔的距离是5 3 km.12．地面上有两座相距120 m 的塔，在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α，在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为α2，且在两塔底连线的中点O 处望两塔塔顶的仰角互为余角，则两塔的高度分别为( )A ．50 m,100 mB ．40 m,90 mC ．40 m,50 mD ．30 m,40 m解析：选B 设高塔高H m ，矮塔高h m ，在O 点望高塔塔顶的仰角为β.则tan α＝H 120，tan α2＝h 120， 根据三角函数的倍角公式有H 120＝2×h 1201－⎝⎛⎭⎫h 1202.① 因为在两塔底连线的中点O 望两塔塔顶的仰角互为余角，所以在O 点望矮塔塔顶的仰角为π2－β， 由tan β＝H 60，tan ⎝⎛⎭⎫π2－β＝h 60， 得H 60＝60h .② 联立①②解得H ＝90，h ＝40.即两座塔的高度分别为40 m,90 m.13.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径的长度为( )A ．50 5 mB ．507 mC ．5011 mD ．5019 m解析：选B 设该扇形的半径为r ，连接CO .由题意，得CD ＝150(m)，OD ＝100(m)，∠CDO ＝60°，在△CDO 中，由余弦定理得，CD 2＋OD 2－2CD ·OD ·cos 60°＝OC 2，即1502＋1002－2×150×100×12＝r 2， 解得r ＝507.14.(2018·惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.在△ABD中，根据正弦定理可得ABsin∠ADB＝BDsin∠BAD，即50sin 30°＝BDsin 15°，所以BD＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(6－2)．在△BCD中，由正弦定理得CD∠DBC＝BDsin∠BCD，即25sin 45°＝25(6－2)sin∠BCD，解得sin∠BCD＝3－1.所以cos θ＝cos(∠BCD－90°)＝sin∠BCD＝3－1.答案：3－115.(2018·福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为______m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v.在Rt△ADB中，AB＝ADcos∠BAD＝ADcos 60°＝200.在Rt△ADC中，AC＝ADcos∠CAD＝100cos 45°＝100 2.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案：22.616.一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(23－2)n mile 到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C.(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．解：(1)由题意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝23－2，BC＝4，根据余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24，所以AC＝2 6.故AC的长为2 6 n mile.(2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝4×3226＝22，所以∠CAB＝45°.17.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100 m和BN＝200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 3 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离．解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100 3.连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝1003，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100 3.在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，∴BQ＝1005，cos θ＝5 5.在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ cos θ＝(1005)2，∴BA＝100 5.即两发射塔顶A，B之间的距离是100 5 m.18.如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离．解：(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x. 同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x . 因为cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，所以3x ＋325x＝25x ，解得x ＝31. (2)作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠PAD ＝2531，得 sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131， 所以PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421(km)． 故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421 km.。
正弦余弦定理应用举例1
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并 且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得
计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 算出AB两点间的距离
练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
老人挣扎着前进时，那只紧握着莉赛尔的手松开了，她感到自己的手一下子打在屁股上。 ? 爸爸走到校车胖，拿出一样东西。他推开围观的人群，走到路中间。 ? 那个犹太人站在他面前，准备接受另一番羞辱，可是他和旁人一样，看到汉斯?休伯曼像变魔术似的递过来一片面包。 ? 犹太人刚接过
面包就倒在地上，他双膝跪地，抱着爸爸的小腿，把脸埋在中间，感谢爸爸。 ? 莉赛尔注视着眼前的这一幕。?她的眼里满含着泪水，她看到老人又向前滑了一点，把爸爸向后推，伏在爸爸的脚踝边哭起来。 ? 其他犹太人从他们身边走时，看着这桩不可思议的小事。他们鱼贯而行，如同一片人潮
听了这些故事之后，我一直想把它们写成一本小书。结果就是《偷书贼》的诞生。而《偷书贼》这本书对我的意义，远远超过我当初的想象。对我来讲，《偷书贼》就是我生命的全部。不管别人怎么看这本书，不管评价是好是坏，我内心明白，这是我最好的一次创作。身为作者，当然会为自己“最
好的一次创作”深感满意。再次感谢您，并致以诚挚的祝福！? ?马克斯/苏萨克 2007年7月27日 ? 【背景概览】 5．《致中国读者的信》放在《偷书贼》（孙张静/译，代谢联合出版公司2014年版）正文之前。你认为作者写这封信有哪些用意？（3分） 答： 6．阅读《致中国读者的信》，从下列选
高中数学三角函数正弦余弦定理解答题(1)答案
《三角函数、正弦余弦定理》1、已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若21sin sin cos cos =-C B C B ． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,32=+=c b a ，求ABC ∆的面积．【解】（Ⅰ）21sin sin cos cos =-C B C B Θ21)cos(=+∴C B 又π<+<C B 0Θ，3π=+∴C B π=++C B A Θ，32π=∴A（Ⅱ）由余弦定理A bc c b a cos 2222⋅-+=得 32cos 22)()32(22π⋅--+=bc bc c b即：)21(221612-⋅--=bc bc ，4=∴bc 323421sin 21=⋅⋅=⋅=∴∆A bc S ABC2、已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量)1,(cos ),sin 31,1(A n A m =-=ϖϖ，且n m ϖϖ⊥.（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若a c b 3=+，求)6sin(πB +的值.【解】（Ⅰ）∵n m ϖϖ⊥，∴0=⋅n m ϖϖ，∴0sin 31cos =-+A A ，1cos sin 3=-A A ，21)6sin(=-πA ，∵πA <<0，∴6566ππA π<-<-，∴66ππA =-，∴3πA =（Ⅱ）∵a c b 3=+，∴由正弦定理得23sin 3sin sin ==+A C B ,∵32πC B =+ ∴23)32sin(sin =-+B πB ，23sin 23cos 23=+B B 即23)6sin(=+πB3、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin(A ＋π6)＝2cos A ，求A 的值；(2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．【解】(1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝3．因为0<A <π，所以A ＝π3．(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2，故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2．所以sin C ＝cos A ＝13．4、如图，函数y=2sin(ϕπ+x ),x ∈R,(其中0≤ϕ≤2π) 的图象与y 轴交于点（0，1）. (Ⅰ)求ϕ的值；(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求.的夹角的余弦与【解】（I ）因为函数图像过点(0,1)，所以2sin 1,ϕ=即1sin .2ϕ= 因为02πϕ≤≤，所以6πϕ=（II ）由函数2sin()6y x ππ=+及其图像，得115(,0),(,2),(,0),636M P N --…8分 所以11(,2),(,2),22PM PN =-=-u u u u r u u u r从而cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅<>=⋅u u u u r u u u ru u u u r u u u r u u uu r u u u r 1517=5、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin 2B ＋C 2－12cos 2A ＝74．(1)求角A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3(b >c )，求b 和c 的值．【解】(1)由2sin 2B ＋C 2－12cos 2A ＝74及A ＋B ＋C ＝180°，得2[1－cos(B ＋C )]－2cos 2A ＋1＝72，4(1＋cos A)－4cos 2A ＝5.∴4cos 2A －4cos A ＋1＝0.∴cos A ＝12．∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ．∵cos A ＝12．∴b 2＋c 2－a 22bc ＝12．∴(b ＋c )2－a 2＝3bc .将a ＝3，b ＋c ＝3代入上式得bc ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3，bc ＝2，及b >c ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1.6、已知函数)0(43)6sin(sin )(>-+=ωπωωx x x f ，且其图象的相邻对称轴间的距离为4π. (I) 求)(x f 在区间]89,1211[ππ上的值域；（II ）在锐角ABC ∆中，若,21)8(=-πA f ,2,1=+=c b a 求ABC ∆的面积. 【解】（I ）43)cos 21sin 23(sin )(-+=x x x x f ωωω43cos sin 21sin 232-+=x x x ωωω432sin 41)2cos 1(43-+-=x x ω x x ωω2cos 432sin 41-=)32sin(21πω-=x由条件知，2π=T ，又ωπ22=T 2=∴ω)34sin(21)(π-=∴x x f . ]89,1211[ππ∈x Θ ]625,310[34πππ∈-∴x ， ]21,1[)34sin(-∈-πx ，)(x f ∴的值域是]41,21[-.（II ）由21)8(=-πA f ，得3π=A , 由,1=a 2=+c b 及余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得1=bc ，∴ABC ∆的面积43sin 21==A bc S .7、已知△ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c且22cos ,12BB b ==. （1）若512A π=，求边c 的大小；（2）若2a c =，求△ABC 的面积．222221181cos ,sin()6256663C=-A-B=,sin 4sin (2)(1),2cos ,2,31113,,sin 326B B B B B b cC B B b a c ac B a c c c S ac B ππππππππ+=∴-=∴-=∴=====+-==∴===.(1)由已知或（舍去）由正弦定理得：由知由余弦定理得得8、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a bB A =cos cos ，且32π=∠C ． （Ⅰ）求角A ，B 的大小；（Ⅱ）设函数x A x x f cos )sin()(++=，求)(x f 在]3,6[ππ-上的最大值．【解】（Ⅰ）∵a bB A =cos cos ，由正弦定理得AB B A sin sin cos cos =，即B A 2sin 2sin = ∴ B A =或2π=+B A （舍去），32π=∠C ，则6π==B A（Ⅱ）)3sin(3cos )6sin()(π+=+π+=x x x x f∵ ]3,6[ππ-∈x ，则3236π≤π+≤πx而正弦函数x y sin =在]2,6[ππ上单调递增，在]32,2[ππ上单调递减，∴ )(x f 的最大值为3．9、已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2. (Ⅰ)当]125,12[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的最小值和最大值;(Ⅱ)设△ABC 的对边分别为,,a b c ，若c =3，0)(=C f ，sin 2sin B A =，求,a b 的值. 【解】: (Ⅰ)2122cos 12sin 2321cos 2sin 23)(2---=--=x x x x x f 1)62sin(--=πx 由]125,12[ππ-∈x ，∴26x π-∈2[,]33ππ-,()12x f x π∴=-的最小值为13x π-=,()f x 的最大值是0.-------7分(Ⅱ)由0)(=C f 即得()sin(2)106f C C π=--=，而又(0,)C π∈， 则112(,),266662C C πππππ-∈-∴-=，∴3C π=，则由22222222cos 3b a b a c a b ab C a b ab==⎧⎧⎨⎨=+-=+-⎩⎩即 解得1,2a b ==.10、设△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知cos (2)cos b C a c B =-. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若[0,)x π∈，求函数()sin()sin f x x B x =-+的值域.【解】（Ⅰ）由已知及正弦定理，得sin cos (2sin sin )cos B C A C B =-. 即sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=，所以sin()2sin cos B C A B +=.因为sin()sin 0B C A +=≠，则2cos 1B =，即1cos 2B =. 因为B ∈(0，π)，所以B ＝3π. （Ⅱ）因为3B =π，则()sin()sin sin cos cos sin sin 333f x x x x x x πππ=-+=-+3sin )26x x x π=-=-. [0,)x π∈，则5666x πππ-≤-<，所以1sin()[,1]62x π-∈-. 故函数()f x的值域是[2-.11、已知函数)6(,8)0(,cos 2cos sin 2)(2==+=πf f x b x x a x f 且（１）求实数,a b 的值；（２）求函数)(x f 的最小正周期及其单调增区间 【解】 (0)8,()12,6f f π==（1）由可得3(0)28,()12,62π===+=f b f b4,所以==b a (2)()24cos 248sin(2)4,6π=++=++f x x x xT=222πππω==,所以,最小正周期为π 单调增区间为,36│ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭xk x k k Z12、已知α为第二象限角，且)252sin()4cos(,1312sin πααπα+-=求的值. 【解】：ααπαπππα2cos )22cos()]22(2sin[)252sin(=+=++=+，ααααααπαπ22sin cos )sin (cos 222cos sin 4sin cos 4cos -+=+=∴原式 )sin (cos 22sin cos 22αααα-=-=，αααα2sin 1cos ,1312sin ,--=∴=为第二象限角Θ135)1312(12-=--=，.34213)1312135(22-=--=∴原式 13、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos B C ba c=-+2. （I ）求角B 的大小；（II）若b =，求△ABC 的面积最大值. 【解】（I ）由正弦定理a Ab B cCR sin sin sin ===2得 a R A b R B c R C ===222sin sin sin ，， 将上式代入已知cos cos cos cos sin sin sin B C b a c B C BA C=-+=-+22得 即20sin cos sin cos cos sin A B C B C B ++= 即20sin cos sin()A B B C ++=∵A B C B C A A B A ++=+=+=π，∴，∴sin()sin sin cos sin 20 ∵sin cos A B ≠，∴，012=-∵B 为三角形的内角，∴B =23π. （II ）由余弦定理b a c ac B 2222=+-cos 得 22132a c ac ac ac =++≥+，得133ac ≤∴.1sin 212ABC S ac B =≤V当3a c ==时，△ABC的面积最大值为1214、已知函数.cos sin 4sin 3cos 35)(22x x x x x f -+=（Ⅰ）当R x ∈时，求)(x f 的最小值； （Ⅱ）若2474ππ≤≤x ，求)(x f 的单调区间。
正弦、余弦定理及其应用(附答案)
书航教育正弦、余弦定理及其应用正弦、余弦定理及其应用一、选择题（共12小题）1、线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始____ h后，两车的距离最小．（）A、B、1C、D、22、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题：①•＞0，则△ABC为钝角三角形．②若b=csinB，则C=45°．③若a2=b2+c2﹣bc，则A=60°．④若已知E为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足，设，则λ=2，其中正确命题的个数是（）A、1B、2C、3D、43、△ABC中，若a=4，b=3，c=2，则△ABC的外接圆半径为（）A、B、C、2D、4、在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围（）A、B、C、（0，2）D、5、△ABC，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，则△ABC的面积为：（）A、B、C、D、6、在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A、x＞2B、x＜2C、D、7、已知△ABC的三个角分别为A，B，C，满足sinA：sinB：sinC=2：3：4，则sinA的值为（）A、B、C、D、8、已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则的最大值为（）A、2B、C、2D、49、在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A、B、C、D、10、下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A、①②④B、②④C、②③D、③④11、北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，看台上第一排和最后一排的距离米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度约为50秒，升旗手匀速升旗的速度为（）A、（米/秒）B、（米/秒）C、（米/秒）D、（米/秒）12、有一山坡，坡角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为（）A、300mB、400m二、填空题（共12小题）13、在△ABC中，已知a，b，c是角A，B，C的对应边，①若a＞b，则f（x）=（sinA﹣sinB）•x在R上是增函数；②若a2﹣b2=（acosB+bcosA）2，则△ABC是Rt△；③cosC+sinC的最小值为；④若cosA=cosB，则A=B；⑤若（1+tanA）（1+tanB）=2，则，其中正确命题的序号是_________．14、设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a、b、c使得af（x）+bf（x﹣c）=1对任意实数x恒成立，则的值等于_________．15、在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．16、已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，向量=，若，且，则角A，B的大小分别是_________．17、如图，在海岸上A、C两地分别测得小岛B在A地的北偏西α方向，在C地的北偏西﹣α方向，且，则C与B的距离是_________km．18、在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a：b：c=3：5：6，则=_________．19、已知△ABC的面积为S，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若4S=a2+b2﹣c2，那么C=_________．20、在△ABC中，已知a2+b2﹣ab﹣c2=0，且，则A=21、在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若A=60°，b、c分别是方程x2﹣7x+11=0的两个根，则a等于_________．22、如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为_________．23、有一广告气球，直径为6 m，如图所示，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球的中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角θ=2°，若θ的弧度数很小时，可取si nθ=θ，由此可估计该气球的高BC约为_________．24、将边长为1正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最大值是_________．三、解答题（共6小题）25、（2008•湖南）已知△ABC的外接圆的半径为，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，又向量，，且，（I）求角C；（II）求三角形ABC的面积S的最大值．26、（2006•江西）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（1）求的值；（2）若a=2，，求b的值．27、（2010•重庆）设函数f（x）=cos（x+π）+2，x∈R．（1）求f（x）的值域；（2）记△ABC内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f（B）=1，b=1，c=，求a的值．28、（2009•山东）已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π处取最小值．（Ⅰ）求θ的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，求角C．29、（2007•浙江）已知△ABC的周长为+1，且sinA+sin B=sin C（I）求边AB的长；（Ⅱ）若△ABC的面积为sin C，求角C的度数．30、（2005•湖北）在△ABC中，已知AB=，cosB=，AC边上的中线BD=，求sinA的值．答案与评分标准一、选择题（共12小题）1、线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始____ h后，两车的距离最小．（）A、B、1C、D、2考点：函数模型的选择与应用；余弦定理。
正余弦定理5道应用题
正余弦定理5道应用题正弦、余弦定理的应用1.某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10 n mile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9 n mile／h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile／h的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间.答案：舰艇方位角为66°47′，时间为40分钟。
2.在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（3 －1）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以103 海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.答案：缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约15分钟。
3. 海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北60°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险? 答案：不会触礁4．据气象台预报，距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响.问：S岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.提示：设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化.S岛是否受台风影响可转化为SB≤270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过t小时到达B点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB.答案：从现在起，经过5－6 小时S岛开始受到影响，（56 ）小时后影响结束. 持续时间：（5＋6 ）－（5－6 ）＝6 小时.5．一人在C处看到建筑物A在正北方向，另一建筑物B在西北方向，此人向北偏西75°方向前进 km到达D，看到A在他的东北方向，B在其北偏东75°方向．试求这两座建筑物AB间的距离．答案：两建筑物间的距离为5千米。