4-1第四讲：环路定理(续：求电势 电势梯度 静电场方程)
合集下载
静电场的环路定理 电势
(8-22)
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理
q
j
V V V 1 2 k q q q 1 2 n 4 r r 4 r 0 1 4 0 2 0 n
q i
电势叠加原理
V V P i r 0 i i i 4
任意带电体场中的电势
VP q
4 0r
dq
a b
即：a、b两点的电势差 = A/q0
将单位正电荷 从ab电场力作的功 与路径无关
6
例: 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ，半径分别为 R1、 R2 。 求：负极上静止电子到正极时的速度？ 解：由电势差的定义可得
A q ( V V )
( e)( U )
R
R
2
1
F
c
dl
q0
dr
b
r +dr
r
a
rb
+
积分
1 1 q q q q 0 0 A d r 2 a4 r 4 r 0 0 a r b
b
ra
q
——点电荷的电场力作功 只与被移动电荷距离场源电荷的距离相关 与路径无关
2
2.在点电荷系的电场中(或连续带电体的电场)
结论
b b b A q E d l q E d l q E d l 0 1 0 2 0 n a a a
电场强度的线积分与路径无关
电场力是保守力，静电场是保守力场。
3
二、环路定理
在任意电场中, 将q0从a
b L2 经L1
经L2
b电场力作功：
A q E d l 0 L
2020年高中物理竞赛辅导课件★★静电场的环路定理
求：负极上静止电子到正极时的速度？
解：由电势差的定义可得 A q(V V ) (e)(U )
R2 R1
U
1 2
mv2
0
即
eU
1 2
mv2
v
2eU m
Va
Vb
ab
E
dl
47
定义：电场中任意点P
VP
V 0
P
的 电势 E dl
Va
Vb
ab
E
dl
单位：伏特或焦耳/库仑, 记为V或J/C, 1V＝1J/C
一、电势差和电势 Electrbic Potential
从L1ab上E一 d节l 讨 L2论ab E可 知dl
L2
L1
q0
存在与位置
有关的态函数
a
定义：a、b两点的电势分别为Va、Vb，
则两点间的电势差为 Va Vb ab
E
dl
即：a、b两点的电势差 =
将单位正电荷
从ab电场力作的功 46
例13. 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ， 半径分别为 R1、 R2 。
即:静电场中场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零
44
注
1º若一矢量场的任意环路积分始终为零，则称该 矢量场为无旋场。
静电场两个基本性 质：
高斯定理 S E dS
1
0
qi
S内
有源场
环路定理 L E dl 0 无旋场
2º 运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，将 在磁场部分讨论。
45
第5节 电势差和电势 Electric Potential Difference and
结论
每一项都与路径无关
电场力是保守力，静电场是保守力场。
解：由电势差的定义可得 A q(V V ) (e)(U )
R2 R1
U
1 2
mv2
0
即
eU
1 2
mv2
v
2eU m
Va
Vb
ab
E
dl
47
定义：电场中任意点P
VP
V 0
P
的 电势 E dl
Va
Vb
ab
E
dl
单位：伏特或焦耳/库仑, 记为V或J/C, 1V＝1J/C
一、电势差和电势 Electrbic Potential
从L1ab上E一 d节l 讨 L2论ab E可 知dl
L2
L1
q0
存在与位置
有关的态函数
a
定义：a、b两点的电势分别为Va、Vb，
则两点间的电势差为 Va Vb ab
E
dl
即：a、b两点的电势差 =
将单位正电荷
从ab电场力作的功 46
例13. 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ， 半径分别为 R1、 R2 。
即:静电场中场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零
44
注
1º若一矢量场的任意环路积分始终为零，则称该 矢量场为无旋场。
静电场两个基本性 质：
高斯定理 S E dS
1
0
qi
S内
有源场
环路定理 L E dl 0 无旋场
2º 运动电荷的场不是保守场，而是非保守场，将 在磁场部分讨论。
45
第5节 电势差和电势 Electric Potential Difference and
结论
每一项都与路径无关
电场力是保守力，静电场是保守力场。
4.4静电场的环路定理和电势
q0 q 1 1 − = 4πε 0 ra rb
静电力对单位正电荷做功与路径无关 场 静电力对单位正电荷做功与路径无关 场 强线积分与路径无关 点电荷的静电场是保 点电荷的静电场是保 守力场
个静止点电荷组成的电荷系统： 对由 n 个静止点电荷组成的电荷系统：
dq ϕ = ∫ dϕ = ∫ 4 πε 0 r q = 4 πε 0 r q = 2 2 4 πε 0 R + x
【例4.12】求均匀带电无限长圆柱面外部的电 】 势。带电圆柱面的电荷线密度为λ。 圆柱面内部场强为零，外部场强： 解 圆柱面内部场强为零，外部场强： 不能取无穷远为 λ E= 电势零点， 电势零点，否则计算 2πε 0 r 电势的积分不收敛。 电势的积分不收敛。 电势的积分不收敛。 电势零点：距轴线 远的P 电势零点：距轴线r0远的 0点 圆柱面外部任意一点的电势： 圆柱面外部任意一点的电势：
∫
b
a ( L)
E ⋅ dl = ∫
b
a ( L)
n b n ∑ Ei ⋅ dl = ∑ ∫ Ei ⋅ dl a i =1 i =1
与路径无关
E 的线积分与路径无关 任何带电系统都可看成由点电荷组成 结论： 结论：任何电荷系统的静电场都是保守力场
4.4.2 静电场的环路定理 静电场的保守性， 静电场的保守性 ，即场强的线积分与路径无 关的性质可表示为静电场的环路定理 静电场的环路定理： 关的性质可表示为静电场的环路定理： 静电场场强沿任一闭合回路的线积分（环流） 静电场场强沿任一闭合回路的线积分（环流） 都等于零
ϕ a − ϕ b = ∫ E ⋅ dl
a
点为电势零点或电势参考点， 选 P0 点为电势零点或电势参考点， 则 P点的 点的 电势： 电势：
静电场的环路定理
已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4
q
0r
2
er
VP
P
E dl
r
q
40r
2Pdr4q04r2qe0rrP dl
q > 0时, VP为正, r V, r处V= 0 min q < 0时, VP为负, r V, r处V = 0 max
2.电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为：
dA E dn V (V dV )
r E
dn
n
P1
P2
V V dV
E dn dV
E
dV dn
grad V
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dV dn
n
r E grad V
r 即:电场中某点的场强 E 等于该点电势梯度的负值
无意义
VP
P
E
dr
rP
2 0r
dr
2 0
ln
rP
r
P
P'
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
VP
P0
P
E
dl
P
P
E dl
P0
P
E dl
r0 P0
P
P
2
0r
dr
2 0
ln
r0 r
可见：当电荷分布到无穷远时，
22
归纳 电场强度与电势的关系
积分关系：
【大学物理】静电场的环路定理 电势 等势面 电势梯度
r r r r－ r l cos
r
r
r+
q l
q+
3. 连续分布电荷电场中的电势 利用电势叠加原理：
dV
dq
dq VP 4 π 0 r
r
P
使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远 处为电势零点；积分是对整个带电体的积分。 E 利用电势定义式： dl “ 0 ” P
qr E1 3 4 π 0 R
r
q E2 2 4 π 0 r
V1 E1dr E 2 dr
r R
R
q R
R
r
qr q dr dr 3 2 R 4 π r 4 π 0 R 0
2
q q q (3 R r ) 2 2 (R r ) 3 8 π 0 R 4 π 0 R 8 π 0 R
与路径无关
a
dr
任意带电体系产生的电场
任意带电体系都可以看成电荷系 q1、q2、…，移动q0， 静电力所作功为: b b q E •b dr W F dr 0
ab
q0 a• q0 ( E1 E 2 E n ) dr a( L) n b q 0 E i d r ＝ qi q0 ( 1 1 ) a( L) i 1 rbi i 4 0 rai
注意：
• 电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上， 当场源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零 点选取在无穷远处。 这时，空间a点的电势能：
E pa
a
q0 E dl
• 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所 共有。
环路定理
E U(gradU)
i j k x y z
矢量微分算符
直角坐标系表示
• E总是沿着指向电势减少的方向——E与Δn相反 • 在数学场论中把
U : 称作梯度
A: A:
称作散度 称作旋度
静电场的基本方程的微分形式
• 数学场论公式
A dS AdV 面积分 体积分
S
V
A dl ( A) dS 线积分 面积分
– 电场力做正功，电势能将减少 – 电场力做负功，电势能将增加
电势的定义
0 电场付出能量，能量减少
APQ WPQ
( 电 势 能 的 减 少，与 场 源 和q0均 有 关
0 电场吸收能量，能量增加
• 从中扣除q0,即引入电势
WPQ
q0
APQ q0
UPQ
Q
E dl
P
P、Q两点之间的电势差定义为
于静电场力沿任意闭合回路做功
恒等于零
Edl 0
在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径
L从 p——Q——P，电场力所做的功为
Q
P
A q0
E dl q0
P(
E
L1 )
d
l
q0
E dl
Q( L2 )
L
Q
Q
q0
E
p(L1 )
dl
q0
E dl 0
p(L2 )
Edl 0
讨论
电场强度和电势
• 已知场强 • 已知电势
可求电势 可否求场强？
等势面
等势面与电力线处处正交 证明：设一试探电荷q0沿任意一个等势面作一任意元
位移dl电场力所做的元功
dA q0 E dl q0Edlcos 0 cos 0
静电场的环路定律与电势
E dl
Q 4π 0 r
dl dr
1）公式
r
r
ˆ dr r 2
r
Q 4 0 r
2
dr
Q 4π 0 r
2）说明：
①Q含符号，
■ ②∞为电势零点。 14
（2）点电荷系的场
1）公式
P 0 P 0 E dl Ei dl Ei dl
a b
1）定义：静电场中a、b两点的电势差等于电场 力把单位正电荷从a点移到b所做的功。■ 11
2）说明： ①若求任意点的电势，则需选一电势零点 ， 如选b点为电势零点，则 a点的电势：
a E dl
a
b
②积分路径为连接a、b两点的任意路径。
③电势零点的选择(参考点)任意，视分析问题 方便而定，参考点不同电势不同。■
dq
ra
结论： 电场力的功与路径无关，只与始末位置及试 验电荷的电量有关。 对闭合路径，A=?
F dl q 0 E dl 0
■
5
2、静电场力的功的特点： 只与始末位置及试验电荷的电量有关，而与具 体的路径无关。
｛静电场是保守力场。
F d l 0
§4.4 静电场的环路定理 和电势(electric potential) 4.4.1静电场的保守性 4.4.2静电场的环路定理
4.4.3电势(electric potential)
4.4.4由电势求电场强度
1
4.4.1静电场的保守性
1、静电场力的功 （电荷q0在电场中移动时静电场力所做的功） 1）点电荷激发的场：
静电场的环路定理和电势综述
dl
P
Edr
P
E0
(r R)
V (r)
r
Q
4π 0
r
2
dr
Q 4πε0r
(r R)
R
Q
V (r) 0 dr
dr
Q
r
R 4π 0r 4π 0 R
(r R)
在球面处场强不连续，但电势却是连续的。
9.4 静电场的环路定理和电势
试验电荷在电场中某点的电势能We ，在数值上等于把 它从该点移到零电势能处(参考点)电场力所做的功。
9.4 静电场的环路定理和电势
电势能属于静电场和试验点电荷
电势能的大小是相对的
电势能是状态（位置）的单值函数
2、电势与电势差
电势
VP
WeP q0
VQ
WeQ q0
参考点
E dl
P 参考点
静电力是保守力， 静电场是无旋场
环流
电势能
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.2 电势能和电势
一、电势能、电势、电势差
WeQQ
1、电势能We
Q
WeP WeQ q0 P E dl
若设零电势能 WeQ 0
q
rQ
rP
WeP
P
q0
参考点 静电力做正功时，电势能减少
WeP q0 P E dl 电场力做负功时，电势能增加
W qU
1.601019C1V 1.601019 J
一个电子伏特的能量
电子伏特是近代物理学中能量单位
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V (P)
静电场的环路定理电势能等势面场强与电势的关系PPT课件
LF
dl
0
A
D
可以证明在静电场中有
E dl 0 L
C
B
E dl E dl E dl E dl E dl 0
L
ACB
BDA
ACB
ADB
在静电场中，场强沿任意闭合路径的环路积分
等于零。称为静电场的环路定理。
二、电势能 电势
静电场是保守场，可引入仅与位置有关 Q
的电势能概念。用WP和WQ分别表示试探
三、电势的计算 (electric potential ) 1. 点电荷产生的电场中的电势分布
可用场强分布和电势的定义直接积分。
p
E r
E
q
4π 0r 2
er
Vp
E dl
p
p
q
4π 0
r
2
dr
q
Vp
q
4π 0rp
正点电荷周围的场电势为正 离电荷越远，电势越低。
负点电荷周围的场电势为负
V内
Vq内
Vq内
q
4 0
(1 R1
1 R2
)
V外 Vq外 Vq外 0
这样二球面电势差为：
V内
V外
q
4 0
1 (
R1
1 R2
rQ
q0
电荷q0在电场中P点和Q点的电势能。电场 q 力对试探电荷q0所作的功可以表示为
rP
P
APQ q0 E dl WQ WP q0UQP
3
PQ
实际中为了确定q0在电场中一点的电势能，必须 选择一个电势能为零的参考点。
由于电势能的减小与试探电荷之比，完全由电
场在P、Q两点的状况所决定。可把(WP/q0)-(WQ/q0)
静电场的环路定理和电势
若令 E p(b) 0
(0)
(0)
Ep(a)
(a)
F dl
q0
E dl
(a)
3 电势
定义：把一个单位正电荷从静电场中 P1点移到 P2 点，电场力作的功等于 P1点到P2点电势的减量。
P1
P2
两点之间的电势差， 并不仅由这两点处的电场决定， 它取决于电场的分布。
设 P2为电势为零的参考点，2 =0
对无限大电荷分布， 选有限远 的适当点为电势零点。
实际上：常选大地或机壳的公共线 为电势零点。
例1：求点电荷 q 的电势分布。
【解】 利用电势定义（积分法）
取无限远为电势零点,
()
E dl ( p)
r
q
4 π 0r 2
dr
q
4 π0r
0
q
r
P
∞
r dl
q> 0 r
q< 0
--------点电荷的电势公式
取某一距离直线为 r0 的 P0点的电势为零。
任一点 P 的电势
P0
rP
Edl P
P P0
P’
P0
Edl Edl
P
P
r0
r0
0
dr
r 2 π0r
rP
P’
r0
> 0
0 r0
r0
dr
r 2 π0r
P0
r > r0 的点，电势为负,
r = r0 的点，电势为零,
由场强叠加原理
可以证明：
任意点电荷系或连续带电体的静电场也是保守力场。
常用下式表示静电场 的保守性：
……称为静电场的环路定理
静电场的环路定理静电场力的功电势能
静电场力的功
02
电场力的定义
电场力是电荷在电场中受到的 力，其大小和方向由电场强度
和电荷的乘积决定。
电场力的大小为 F=qE，其 中 F 是电场力，q 是电荷量，
E 是电场强度。
电场力的方向与电场强度的方 向相同，即由正电荷指向负电
荷。
电场力做功的计算
电场力做功可以通过积分计算，即 W=∫F·dr，其中 W 是电场力做的功， F 是电场力，dr 是位移矢量。
在匀强电场中，电场力做功可以通过 W=qEd计算，其中 W 是电场力做 的功，q 是电荷量，E 是电场强度，d 是位移。
在非匀强电场中，需要计算电场力在路径上的积分来计算电场力做的功。
电场力做功的特点
01
电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关。
02
电场力做功是标量，没有方向。
03
电场力做功的过程是能量转化的过程，可以转化为其他形式 的能量。
电势能
03
电势能的定义
电势能是指电荷在电场中由于位置差 异而具有的能量。
电势能是电荷与电场共同具有的能量， 其大小由电场强度和电荷量共同决定。
电势能是相对的，与零电势点的选择 有关。
电势能的变化规律
1
电场力做功与路径无关，只与初末位置有关。
2
电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电 势能增加。
3
静电力做功与电荷的运动路径无关，只与初末位 置有关。
电势能与电场力的关系
01
电场力做功等于电势能的减少量。
02
电势能的变化量等于电场力做的功。
03 电势能与电场力做功的关系是能量守恒定律在静 电场中的具体表现。
THANKS.
静电场的环路定理、静 电场力的功、电势能
大学物理学-环路定理与电势
dW q0 E dl q0 Edl cos 0
cos 0
900
★ 电场强度方向与等势面正交，即电力线与等势面正交,电场强度的方向为电势降
落的方向。
★ 等势面的疏密度可直观地描述电场中场的强弱，（规定使任意相邻的两等势面
之间的电势差相等）。
大学物理学
章目录
节目录
上一页
q
x 0, U0
4 πε0 R
x R, U P
x
E
4 0 ( x 2 R2 )3 / 2
q
q
q
4πε0 x
x 0 , E0 0
x R, E0 0
U
q
4 πε 0 R
q
4πε0
O
大学物理学
x 2 R2
x
x
O
章目录
节目录
上一页
下一页
9.2 环路定理与电势
大学物理学
章目录
节目录
上一页
下一页
9.2 环路定理与电势
二 静电场的环路定理
根据保守力的性质有
q0
E dl q0
E dl
ABC
ADC
q0 (
E dl
ABC
E dl ) 0
C
B
D
E
A
CDA
ර ⋅ dԦ = 0
静电场中电场强度沿闭合路径的线积分等于零。
四、电势与电势差
电势能依赖于空间位置（a）与电荷的电量（q 0)，为了仅仅描述电场能
量的性质，可以引入电势：
静电场环路定理电势能和电势.pptx
V
dV
1dq
Q440r0
r
Q
dq
Q
4 0 R2 x 2
(解毕 )
第23页/共43页
x a
x V (x) dr R o Qr
4 0R
o
x
课堂练习 求均匀带电园盘( R, σ )轴线上电势分布。
提示： 建立坐标系，取元，如图所示。
选∞处为电势零点，则：
dV 2dqrdr 4 0 r 2 x 2
q
r
r
r
4
q
0 r 2
dr
aq r
r 10V
E
8V 6V
V (r )
q
4 0r
( 球对称分布 )
等势面分布
第14页/共43页
课堂练习 求半径为R均匀带电 Q 的球面电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r) r E dr
0
E(r) Q
4 0r 2
(r R) (r R)
r
4
即：电势 V 的叠加为标量叠加，而 叠加，后者运算较繁。
的叠加却为矢量
E
第13页/共43页
E
☻由于静电场的保守特性，
b
V与a积分路a 径E无 dr
关，可选取一合理的路径进行积分。
例 求点电荷 q 的电势分布。
解 选∞处为电势零点，则：
V (r)
E dr
E dr cos 0
(r (r)
R)
E
dr
R
E
dr
E dr
r
r
R
V (r) 0
Q
R 4 0r2
dr
cos
0
Q
04环路定理电势-PPT精选文档
b
E
q0 E d l
意义：电荷在静电场中某点的电势能等于将此电荷由 该点沿任意路径移到电势能零点的过程中电场力所作 的功。
6
势能零点 对有限带电体，通常规定无穷远 E q E d l pa 0 a 处为电势能零点。 即： Ep 0,
dA q 0 4 0r
2
dl r
r d r
a
cdr F
dr
E
2
q dA q dr 0 2 4 0r
在 q 的电场中将检验电荷 q0 从 a 点移动到 b 点，电场 力作功为：
b r b
rb
b
r d r
q
q0 ra a
dl r
r dr F
b a
例1、用场强分布和电势的定义直接积分求点电荷产 p 生的电场中的电势分布。 E
E 解：
q
q q dr U U U E d l 2 p p r 4 p 0 r 4 0 r
40r
e 2 r
q
r
正点电荷周围的场电势为离正电荷越远，电势越低。 负点电荷周围的场电势为离负电荷越远，电势越高。
10
3.电势迭加原理 由场强叠加原理和电势的定义，可得电势叠加原理。 表述：一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。
表达式：U ( E E ) d l (p ) Ed l 1 2 p p q i U ( p ) E d l i i r p 1 4 r 0i
静电场的保守性 电势
(第三章第4节)
1
环路定理
电子伏特
电子伏特：能量单位
带有电量+e或-e的粒子飞跃一个电势差为1V的 区间，电场力对它作的功(从而粒子本身获得 这么多能量（动能）——1eV
19 19
1eV 1.6010 C 1V 1.6010
1keV 103 eV 千 1GeV 109 eV 吉
2005.2.
J
直角坐标系表示
E总是沿着指向电势减少的方向——E与Δn相反 在数学场论中把
U :
A:
A :
例题
2005.2.
称作梯度
称作散度
称作旋度
北京大学物理学院王稼军编写
静电场的基本方程的微分形式
数学场论公式
A dS AdV
S V
面积分 体积分
A dl ( A) dS
P
电势能的 改变量
q0在 P点 的电势能
q0在 Q点 的电势能
电势增量
可以与重力做功类比
电场力做正功，电势能将减少 电场力做负功，电势能将增加
2005.2.
北京大学物理学院王稼军编写
电势的定义
0 电 场 付 出 能 量 ， 能 量少 减 APQ WPQ (电 势 能 的 减 少 与 场 源 和 0均 有 关 ， q 电 场 吸 收 能 量 ， 能 量加 增 0
静电场的环路定理
静电场力做功与路径无关 等价 于静电场力沿任意闭合回路做功 恒等于零 E dl 0
在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径 L从 p——Q——P，电场力所做的功为
Q P L
Q
A q0 E d l q0 E d l q0 E d l
环路定理电势能电势.ppt
（任意路径）
电势能为受电场力作用的电荷与场源电荷所共有。
电势能是相对量，其大小与零势能的参考点选 择有关。
电势能是标量，可正可负。
2、电势
电场力的性质用电场强度E描述，电场中能量的性质描 述，引入电势的概念
若考察电场中某点的电势能性质，实验表明：
Wa∝q0
Wa 常数 q0
且发现常数只与
五、等势面
等势面的概念： 静电场中，电势相等的点所组成的曲面：
U (x, y, z) C
常用一组等势面描述静电场，并规定相邻两等势面 之间的电势差相等。
+
点电荷的电场线与等势面
+
电偶极子的电场线与等势面
++ ++ + + + + +
平行板电容器的电场线与等势面
等势面与电场线的关系:
2、运用高斯定理和电势的定义计算电势：
当场强函数已知或能用高斯定律很方便求出时，
直接用
Ua
E dl
a
求电势。
例3 半径为 R 的均匀带电球体，带电量为 q，求
电势分布。
q R
解
E
U
E
(r
)
E
qr
4
0
q
R
3
4
0
r2
(r (r
点电荷的电势：设 U 0
Ua a E dl
q
4 0 ra
Edr
a
q
ra 40r2 dr ra a
q
• 正电荷激发的电场中，各点的电势为正；反之。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
d
cosdS
r2
正电荷一侧：
,
/
2, cos
0,
S
d
0
d
cosdS
r2
,
/
2, cos
0,
S
d
0
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
电偶极层两侧 的电势跃变
具体考察图中两点
当该两点趋于偶极 层表面时，相对应 的立体角之差：
P 立体角 ＋ P 立体角 －
4
电偶极矩 e el
U ( p) e d e
4 0 S
4 0
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
: (r, n)夹角
P点的电场强度
电偶极层的电势和场强只与对场点所
曲面S对场
张的立体角有关
点P所张的
几何上决定，电偶极层两侧立体角有
立体角
的跃变 负电荷一侧：
E U ( p) e 4 0
一组静电场的基本微分方程
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
S
E dS
EdV
V
q
0
1
0
V
dV
E
0
有源
无旋
E dl ( E) dS 0 E 0
L
S
E
0
E 0
场方程的微分形式
将E
U代入 E
0
E (U )
2U
0
得 2U 泊松方程, 0
第Hale Waihona Puke 讲2013/3/6求电势 电场强度和电势、电势梯度 电偶极层的场强和电势 导体序言 对应录像07、08
北京大学物理学院王稼军编写
求电势 用电势定义求：
U P
E dl
P
用电势叠加原理求 UP dU
P35例题11－12自己看
补充题两个均匀带电的同心球面，半径分别为 Ra和Rb，带电总量分别为Qa和Qb,求图中Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ区内的电势分布
1 dS r
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
1 r'
r
1
l cos
r (1
1
l cos
)
1 r
1
l cos
r
r
1 r
l cos
r2
1 r'
1 r
l
cos
r2
代入U ( p)
面元dS在垂直
U ( p)
1
4 0
S
el cosdS
r2
于矢径r方向
的投影
cosdS
r2
d
定义电偶极层强度：——单位面积上的
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
物质中的电荷 在电场的作用 下重新分布
互相影响场分布、 互相制约
达到某种新的平衡
场分布
不同的物质会对电场作出不同的响应，在静电场 中具有各自的特性。
是场与物质的相互作用问题
力学：只涉及物质的机械性质，对其本身研究甚少。 电磁学：较多地讨论场，而对物质本身的电磁性质也
方法一：已知场强求电势
E1 0
E2
1
4 0
Qa r2
E3
1
4
0
Qa Qb r2
0 r Ra Ra r Rb
r Rb
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
III
U3
r E3
dl
1
4 0
Qa
Qb r
II
U2
E dl
r
Rb r
E2
dl
Rb E3 dl
Qa (1 1 ) Qa Qb 1 (Qa Qb )
4 0 r Rb 4 0Rb 4 0 r Rb
I
U1
E dl
r
Ra r
E1
dl
Rb Ra
E2
dl
Rb E3 dl
0 1 (Qa Qb ) Qa Qb 1 (Qa Qb )
4 0 Ra Rb 4 0Rb 4 0 Ra Rb
U (r) 1 q
4 0 r
微分
dU (r)
1
4 0
q r2
dr
因为相邻等势面电势差为一定值，所以有
dr r , dU U
r 4 0 r 2 U
q
半径之差∝r2
定值
而
E
1 r2
r 越 大 r 2越 大，等 势面 间 距越 大，越 稀，E越 小
r 越 小 r 2越 小，等 势面 间 距越 小，越 密，E越 大
等势面
等势面与电力线处处正交 证明：设一试探电荷q0沿任意一个等势面作一任意元
位移dl电场力所做的元功
dA q0 E dl q0Edlcos 0 cos 0
E dl
2
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
等势面密集处场强大，稀疏处场强小
证明：设：电场中任意两个相邻等势面之间的电势差 为一定的值，按这一规定画出等势面图（见图），以 点电荷为例，其电势为
静电场的基本
若＝0 2U＝0 拉普拉斯方程
微分方程
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
静电场中的导体 价电子
p78/p95 1-46、52、57、62 内层电子
物质的电结构
单个原子的电结构
原子内部壳 层的电子
受外层电 子的屏蔽
一般都填满了 每一个壳层
在原子中 结合得比 较紧
填充在最外层的电子与核的结合较弱，容易摆脱原子 核的束缚——称为价电子——自由电子
U n
U l
1
cos
,或 U l
U n
cos
U l
U n
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
结论：两等势面间U沿Δn 方向的变化率比沿 其他任何方向的变化率都大
电势梯度
方向： 沿电势变化最快的方向
大小： U
n
在三微空间
U n
U或gradU
电势梯度与场强的关系
Q
U E dl En
U1外 U 2外
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
小结：
求一点电势要已知这点到无穷远的场强分 布；
电势叠加要先求各带电体单独存在时的电 势，然后再叠加；
电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠 加容易
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
电场强度和电势
已知场强 已知电势
可求电势 可否求场强？
涉及得很少。 物质与场是物质存在的两种形式 物质性质非常复杂（要特别注意我们课程中讨论这种
问题所加的限制）
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
电势梯度
场有分布，沿各方向存在不同的方向微商
梯度：最大的方向微商
如 速度梯度 温度梯度等
沿l的方向微商可以表示为
U
U
lim
l l o l
若取垂直方向，即场强方向n，则沿该方向的
方向微商为 U lim U 显然 n l cos
n n o n
有
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
电偶极层 p43
设想一厚度均匀的曲 面薄壳，两面带有符
号相反的面电荷 e
——电偶极层，如图， 求P点的电势和场强
r' r l cos , : (r, n)夹角
U ( p)
1
4
0
edS'
S' r'
1
4
0
S'
( e )dS
r
1
4
0
S
e
1 r'
E
lim
U U
P
n 0 n n
Δn 很小，
场强E变化不大
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
E U(gradU)
i j k x y z
矢量微分算符
直角坐标系表示
E总是沿着指向电势减少的方向——E与Δn相反 在数学场论中把
U : 称作梯度
A: 称作散度
A:
小结 例题
称作旋度
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
方法二：电势叠加
内壳单独存在
外壳单独存在
r Ra r Ra
U内
Qa
4 0Ra
U外
Qa
4 0r
r Rb r Rb
U内
Qb
4 0Rb
U外
Qb
4 0r
各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的
电势的叠加 Ⅰ：
Ⅱ： Ⅲ：
U1内 U 2内 U1外 U 2内
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
导体、绝缘体和半导体
虽然所有固体都包含大量电子，但导电性能差 异很大
导体：
• 导体中存在着大量的自由电子 • 电子数密度很大，约为1022个/cm3
绝缘体
• 基本上没有参与导电的自由电子
半导体
• 半导体中自由电子数密度较小， • 约为 1012～1019个/cm3
电偶极层两侧的电 势跃变：
U ( p )
U ( p )
e 4 0
(
)
e 4 0
4
e 0
2013/3/6
北京大学物理学院王稼军编写
静电场的基本方程的微分形式
数学场论公式
AdS AdV 面积分 体积分
S
V
A dl ( A)dS