数学分析曲面积分18-1第一型面面积积分教学讲义

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第一型曲面积分【高等数学PPT课件】

a2 h2
0
思考: 若是球面
出的上下两部分, 则

dS z

(
0
)

dS z

(

4 a ln a
h
)
被平行平面 z =±h 截
z
h o
y x h

例2. 计算
其中是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2 , 3, 4分别表示在平面 1
Σ
Σ
Ò x d S
x Σ
Ò d S
Σ

Dxz
一投：将曲面向 xoz 面投影，得 Dxz .
二代： f ( x, y, z) : y y( x, z) f ( x, y( x, z), z);
三换：
dS
1
y
2 x
(
x,
z
)

yz2( x, z)
dxdz;
3. 若曲面： x x( y, z) 则
f ( x, y, z)dS f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 dydz.
上的部分, 则 o
原式 =

Σ1 Σ2 Σ3 Σ4
xyz dS
1 x
1y
x yz d S
Σ4
4 : z 1 x y,
(x,
y)

Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x

1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
Σ
Σ1
• 线性性质.

一第一型曲面积分的概念与性质-PPT课件

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例1.
2
截出的顶部. a 被平面 z h ( 0 h a ) 解: : z a x y , ( x , y ) D x y
2 2 2
dS 计算曲面积分 z ,
2 2 2 其中是球面 x y z
z
h
o

y a
2 2 2 2 D : x y a h x y a 2 2 1zx zy a2 x2 y2
Dxy
x
ad x d y 2 dS a2h2 r dr 2 2 2 a d 0 D z 0 x ya x y a2 r2
2 2 a h 1 a 2 2 2 a ln( a r) 2 a ln 2 0 h
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定理: 设有光滑曲面
二、对面积的曲面积分的计算法
: z z ( x , y ), ( x , y ) D x y
z

f (x, y, z) 在上连续, 则曲面积分
f (x ,y ,z )d S 存在, 且有 ( )xy ( f ( x , y , z ) d S , , ) k k k k 2 2 z ( x , y ) f ( x , y , ) 1 z ( x , y ) z ( x , y ) d x d y x y D
思考: 2 2 2 2 被平行平面 z =±h 截若是球面 x y z a 出的上下两部分, 则
z
0
d S z (
)

d S a z ( 4 a ln h )
h o
x

数学分析-课件-(完整版)

x)dx
f(x)(x)0,
发散。
f (x) dx
a
比较判别法II（用极限比较）
设函数 f (在x) [a,有定) 义，在任意有限区间
[a, A上] 可积，且
(x)0s.t.x l im | f((x x))|l,
（1）若 0l，则
(
收敛 x)dx
a
收敛；
a f (x)dx
（2）若
，则
小结
第十五章多元函数的极限与连续性
§1 平面点集
§2 多元函数的极限与连续性
目录
第十六章
偏导数与全微分
§1 偏导数与全微分的概念 §2 复合函数微分法
§3 几何应用
§4 方向导数
§5 泰勒公式
小结
第十七章
隐函数存在定理
§1 单个方程的情形
§2 方程组情形
第十八章
极值与条件极值
§1 极值与最小二乘法
（2）若 a f ( x) dx
lim (xa)p| f(x)|l,
则
x a
时
收敛，
0l , p1
时
b
a f ( x发)散d。x
b
0l , p1 a f ( x) dx
设
b
a
f
( x)d有x 唯一暇点
a.
(Dirichlet)
g(x)单 a bf(调 x)xld iam x 有且 g(x) 界 0 a bf(x)g(x)d收 x 敛
(a,a]
无界。若
b
存在，则称瑕积分
b
lim
f (x)dx
收敛0，且a积分值为该极限值，记为
a f (x)dx
b

第一曲面积分

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教学目的：掌握第一型曲面积分的定义和计算公式．教学内容：第一型曲面积分的定义和计算公式． (1) 基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式． (2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式．
例. 求半径为R 的均匀半球壳的重心.
解: 设的方程为 zR 2 x2y2,(x ,y) D xy 利用对称性可知重心的坐标 xy0,而
z zd S d S
用球坐标
zRcos
dSR2sindd
R3R0202dd0202ssiinn cdod s
R3 2 R
R 2
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M(x,y,z)dS
S
第一型曲面积分与第一型曲线积分、重积分的性质
类似，例如
dSS的面.积
S
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二、第一型曲面积分的计算
定理22.1 设有光滑曲面 S:zz(x,y)(,x,y) D xy
z
S
f (x, y, z) 在 S 上连续, 则
f(x, y,z)dS
O
y
D xy
分析: 若将曲面分为前后(或左右)
z
两片, 则计算较繁.
解: 取曲面面积元素
dS2Rdz
则
I
H2Rdz
0 R2z2
2arctaHn
R
H
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▪ 第一型曲面积分的概念 ▪ 第一型曲面积分的计算
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数学分析第一型曲面积分

δσ ≈ det[(Jψ) Jψ] δuδv .
曲面的面积
一般地, 如果 I ⊂ R2 为矩形, 则 σ(ϕ(I)) = det[MT M]σ(I). 我们再看一般的 C1 参数曲面 ψ : D → R3, 设 (u0, v0) ∈ D, 在 (u0, v0) 附近有一微元 δP = [u0, u0 + δu] × [v0, v0 + δv ], 其面积为 σ(δP) = δuδv . 我们研究 ψ(δP) 的面积 δσ. 考虑 ψ 在 (u0, v0) 处的线性化 dψ, 则 δσ ≈ σ(dψ(δP)), 利用之前的讨论可得
σ = ψu × ψv du dv =
EG − F 2 du dv ,
(2)
D
D
其中
E = ψu · ψu = xu2 + yu2 + zu2, G = ψv · ψv = xv2 + yv2 + zv2, F = ψu · ψv = xuxv + yuyv + zuzv .
面积公式
特别地, 当曲面由函数 f (x, y ) ((x, y ) ∈ D) 的图像给出时, ψx = (1, 0, fx ), ψy = (0, 1, fy ), 因此
曲面的面积
我们在前面先后讨论了平面图形的面积, 空间曲线的长度. 问题: 如何定义空间曲面的面积? 这是一个远比曲线长度的定义要困难的问题. 曲线的长度可以用折线长度去逼近, 但一般来说曲面的面积不能用多面体表面的面积去逼近. 我们先来讨论一个最简单的情形. 设 v1, v2 是 R3 中线性无关的向量, 它们张成的平行四边形记为 P(v1, v2) = {x1v1 + x2v2 | 0 ≤ x1, x2 ≤ 1}. P(v1, v2) 的面积记为 σ(v1, v2). 设 v1, v2 的夹角为 θ, 则 σ(v1, v2) = v1 v2 sin θ.

第一型曲面积分

x3 + ρ cos θ ) ρ 2 sin θ dθ dϕ = ∫ ∫∫ u ( y ) dS d ρ 0 ∂B ( x , ρ )
r
从而 ψ ' ( r ) =
∂B ( x , r )
∫∫ u ( y ) dS
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0 ≤ y ≤1− x Σ4 : z =1− x − y, (x, y) ∈Dxy : 0 ≤ x ≤1 1 1−x = 3∫ x dx ∫ y(1− x − y) dy = 3 120 0 0
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例3. 计算解: 取球面坐标系, 则
2π 0
Σ : x + y +z =R .
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 积分的存在性. 则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 若∑ 是分片光滑的, 例如分成两片光滑曲面 Σ1, Σ2, 则有在光滑曲面∑ 上连续,
∫∫Σ
f (x, y, z) d S =∫∫Σ f (x, y, z) d S
1
• 线性性质.
1 2π π = ∫0 ∫0 u ( x1 + r sin θ cos ϕ , x2 + r sin θ i 4π cos ϕ , x3 + r cos θ ) sin θ dθ dϕ 1 = 4π
∂B ( 0,1)
∫∫ u ( x + rz ) dω
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1 定理二：φ ' ( r ) = 2 4π r
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定理三：设ψ ( r ) ≜
r B( x ,r )

曲面积分精解共14页word资料

第一节第一类曲面积分内容要点一、第一类曲面积分的概念与性质定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ∆(i S ∆同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ∆上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积),,2,1(),,(n i S f i i i i Λ=∆⋅ζηξ并作和,),,(1∑=∆⋅ni i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在, 则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为∑⎰⎰=→∑∆=ni i i i i S f dS z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ (4.2) 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法.),(),(1)],(,,[),,(22⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f (4.3)例题选讲例1 计算曲面积分,⎰⎰∑zdS其中∑是球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部. 解 ∑的方程为.222y x a z --=∑在xOy 面上的投影区域:xy D {}.),(2222h a y x y x -≤+又,122222yx a a z z y x --=++利用极坐标故有⎰⎰⎰⎰-=∑xyD r a adxdy z dS 22 220202222r a rdr d ar a ardrd ha D xy-=-=⎰⎰⎰⎰-θθπ22022)(212h a r a In a -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=π.2haaIn π=例2（E01）计算,)(⎰⎰∑++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所截得的部分.解积分曲面∑-=,5:y z 其投影域},25),({22≤+=y x y x D xy,2)1(011222dxdy dxdy dxdy z z dS y x =-++=++=故 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=-++=++∑xyxy D D dxdy x dxdy y y x dS z y x )5(2)5(2)(.2125)cos 5(2520πθθπ=+=⎰⎰rdr r d例3（E02）计算,⎰⎰∑xyzdS 其中∑是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围四面体的整个边界曲面.解如图(见系统演示)，.2341xyzdS xyzdS ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑注意到在321,,∑∑∑上，被积函数,0),,(==xyz z y x f 故上式右端前三项积分等于零. 在4∑上，,1y x z --=所以,3)1()1(112222=-+-+=++y x z z从而⎰⎰⎰⎰∑∑=4xyzdS xyzdS ⎰⎰--=xyD dxdy y x xy ,)1(3其中xy D 是4∑在xOy 面上的投影区域.=⎰⎰∑xyzdS ⎰⎰---=xdy y x y xdx 1010)1(3dx y y x x x-⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10103232)1(3dx x x ⎰-⋅=1036)1(3.1203)33(634312=-+-=⎰dx x x x x 例4计算,dS xyz ⎰⎰∑其中∑为抛物面).10(22≤≤+=z y x z解根据抛物面22y x z +=对称性,及函数||xyz 关于yOz xOz 、坐标面对称,有dxdy y x y x xy xyzdS dS xyz xy D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+++=∑=∑2222)2()2(1)(441⎰⎰⎰⎰+=+⋅=20125122220412sin 241sin cos 4ππdr r r tdt rdr r rt t r dt.420151254141512-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰du u u例5 计算,⎰⎰∑xdS 其中∑是圆柱面,122=+y x 平面2+=x z 及0=z 所围成的空间立体的表面.解，＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑+∑∑321∑∑12，在xOy 面上得投影域.1:22≤+y x D xy于是⎰⎰⎰⎰∑==1,0xyD xdxdy xdS ⎰⎰⎰⎰∑=+=2,011xyD dxdy xxdS将)1:,(313223∑∑∑-±=x y 投影到zOx 面上，得投影域.10,11:+≤≤≤≤-x y x D xydxdz y y xxdS xdS xdS zxD z x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=∑+∑=∑221232313,12112211222π=-=-+=⎰⎰⎰⎰+-x D dz x xdxdz x x x xz所以 .00ππ=++=∑⎰⎰xdS例6（E03）计算 ,)(222⎰⎰∑++dS z y x ∑为内接于球面2222a z y x =++的八面体a z y x =++||||||表面.解被积函数222),,(z y x z y x f ++=关于三个坐标面和原点均对称.积分曲面∑也具有对称性,故原积分⎰⎰⎰⎰∑∑=1,8其中),0,,(:1>=++∑z y x a z y x 1∑在xOy 面上的投影为,0:a x D xy ≤≤,0x a y -≤≤而,y x a z --=所以.3122dxdy dxdy z z dS y x =++=dS z y xdS z y x⎰⎰⎰⎰∑∑++=++1)(8)(222222dxdy y x a y x xy D 3])([8222⎰⎰--++=dy y x a y x dxxa a⎰⎰---++=022203])([8.324a =例7（E04）求球面2222a z y x =++含在圆柱体ax y x =+22内部的那部分面积.解由对称性知，所求曲面面积A 是第一卦限上面积1A 的4倍.1A 的投影区域),0,(:22≥≤+y x ax y x D xy曲面方程,222y x a z --=故,122222yx a a z z y x --=++所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=--=++=20cos 022222224414πθθa D D yxra rdr d a yx a adxdy dxdy z z A xyxy.42)1(sin 422202a a d a-=-=⎰πθθπ例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400=R km).解取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z 轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面∑是上半球面倍半顶角为α的圆锥面所截得的部分. ∑的方程为,222y x R z --=它在xOy 面上的投影区域.sin :2222αR y x D xy ≤+于是通讯卫星的覆盖面积为).cos 1(22απ-=R A将h R R +=αcos 代入上式得 .21222h R h R h R R R A +⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为%.5.4242≈RAπ 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔32π角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面. 课堂练习1.当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dS z y x f ),,(与二重积分有什么关系?2.计算⎰⎰∑+dS y x )(22, 其中∑为锥面)(3222y x z +=被平面0=z 和3=z 所截得的部分..3. 求半径为a 的球的表面积.第二节第二类曲面积分二、第二类曲面积分的概念与性质定义1 设∑为光滑的有向曲面, 其上任一点),,(z y x 处的单位法向量,cos cos cos k j i n ρρρργβα++= 又设k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρϖ),,(),,(),,(),,(++=其中函数R Q P ,,在∑上有界, 则函数γβαcos cos cos R Q P n v ++=⋅ϖϖ则∑上的第一类曲面积分⎰⎰∑⋅dS n v ϖϖ.)cos cos cos (⎰⎰∑++=dS R Q P γβα (5.5)称为函数),,(z y x A ϖ在有向曲面∑上的第二类曲面积分.三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面∑：),(y x z z =，与平行于z 轴的直线至多交于一点，它在xOy 面上的投影区域为xy D , 则.⎰⎰⎰⎰±=∑yzD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(. (5.9)上式右端取“+”号或“-”号要根据γ是锐角还是钝角而定. 例题选讲第二类曲面积分的计算法例1 (E01) 计算曲面积分,222⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 其中∑是长方体}0,0,0|),,{(c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω的整个表面的外侧.解如图(见系统演示), 把有向曲面∑分成六部分.除43,∑∑外，其余四片曲面在yOz 面上的投影值为零,因此⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=34222dydz x dydz x dydz x .0222bc a dydz dydz a yzyzD D ⎰⎰⎰⎰=-=类似地可得,22ac b dzdx y ⎰⎰∑=.22ab c dxdy z =⎰⎰∑于是所求曲面积分为.)(abc c b a ++例2 (E02) 计算,⎰⎰∑xyzdxdy 其中∑是球面1222=++z y x 外侧在0,0≥≥y x 的部分.解把∑分成1∑和2∑两部分,1:2211y x z --=∑,1:2222y x z ---=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdydxdy y x xy dxdy y x xy xyxyD D )1(12222------=⎰⎰⎰⎰dxdy y x xyxyD ⎰⎰--=2212利用极坐标.1521sin 222=-=⎰⎰θθrdrd r r xyD 例3 (E03) 计算,)(2⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z 其中∑是旋转抛物面2/)(22y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间的部分的下侧.解 .cos cos )(dS cos )()(222dxdy x z x z dydz x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=+=+γαα 在曲面∑上，有.11cos cos x xz x -=-=-=γα ⎰⎰⎰⎰∑--+=-+∑dxdy z x x z zdxdy dydz x z ]))([()(22 dxdy y x x x y x xy D ⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)(21)()(412222.821cos )(212020222222πθθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰⎰rdr r r d dxdy y x x xy D课堂练习1.当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dxdy z y x f ),,(与二重积分有什么关系?2.计算曲面积分,⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑为平面,0=x ,0=y 1=++z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.第三节高斯公式通量与散度内容要点一、高斯公式定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P (6.1)这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为.)cos cos cos (⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y Q x P γβα 二、通量与散度一般地，设有向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρρ),,(),,(),,(),,(++=,其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，ορn 是曲面∑的单位法向量. 则沿曲面∑的第二类曲面积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑++=⋅=⋅=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d n A S d A ρρρρρο称为向量场A ρ通过曲面∑流向指定侧的通量. 而zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂ 称为向量场A ρ的散度，记为A div ϖ，即zR y Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂=ϖ. (6.5)例题选讲利用高斯公式计算例1（E01）计算曲面积分,)()(⎰⎰∑-+-xdydz z y dxdy y x 其中∑为柱面122=+y x 及平面3,0==z z 所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧（图10-6-2）.解 ,)(x z y P -=,0=Q ,y x R -=,z y x P -=∂∂,0=∂∂y Q ,0=∂∂zR利用高斯公式，得原式=⎰⎰⎰Ω-dxdydz z y )(（利用柱面坐标）⎰⎰⎰Ω-=dz rdrd z r θθ)sin (rdz z r dr d ⎰⎰⎰-=10320)sin (θθπ.29π-= 例2（E02）计算 ,)()(22⎰⎰∑-+-dxdy z x dzdx y z 其中∑为旋转抛物面221y x z --=在10≤≤z 部分的外侧.解作辅助平面∑=1,0:z 则平面∑1与曲面∑围成空间有界闭区域,Ω 由高斯公式得⎰⎰∑-+-dxdy z x dzdx y z )()(22 ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-+---+-=11)()()()(2222dxdy z x dzdx y z dxdy z x dzdx y z⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω---=1)()2(2dxdy z x dv⎰⎰⎰⎰⎰--=-xyD r d x rdz dr d σθπ22011022.434cos 0)1(42012212πππθθππ-=+-=⋅--=⎰⎰⎰rdr r d dr r r 例3（E03）计算,)cos cos cos (222⎰⎰∑++dS z y x γβα 其中∑为锥面222z y x =+)0(h z ≤≤, γβαcos ,cos ,cos 为此曲面外法线向量的方向余弦.解补充平面),(:2221h y x h z ≤+=∑取1∑的上侧，则1∑+∑构成封闭曲面，设其所围成空间区域为.Ω 于是⎰⎰∑+∑++1)cos cos cos (222dS z y x γβα ⎰⎰⎰Ω++=dv z y x )(2⎰⎰⎰+++=h y x D dz z y x dxdy xy22)(2⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=--==+ππθ200422222.21)()(222h D D h yx h rdr r h d dxdy y x h zdz dxdy xyxy而 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑===++11,)cos cos cos (422222xyD h dxdy h dxdy z dS z y x πγβα故 .2121)cos cos cos (444222h h h dS z y x πππγβα-=-=++⎰⎰∑例4（E04）证明: 若∑为包围有界域Ω的光滑曲面, 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∆dV z v z u y v y u x v x u dS n uvudV v 其中nu ∂∂为函数u 沿曲面∑的外法线方向的方向导数，u ,v 在Ω上具有一阶和二阶连续偏导数，符号222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.证因为=∂∂n u γβαcos cos cos z u y u xu∂∂+∂∂+∂∂n u ρ⋅∇=，其中}cos ,cos ,{cos γβα=n ρ是∑在点),,(z y x 处的外法线的方向余弦，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑⋅∇=⋅∇=∂∂dS n u v dS n u v dS nuv)[()(ρρdS z u v y u v x u v ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=γβαcos cos cos dv z u v z y u v y x u v x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=.dv z v z u y v y u x v x u udv v ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎝⎛⎪⎭⎫∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∆=将上式右端移至左端即得所要证明的等式. 通量与散度例5（E05）求向量场k z j y ix r ρρρρ++=的流量(1) 穿过圆锥)0(222h z z y x ≤≤≤+的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.解设21,S S 及S 分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量Q ⎰⎰+⋅=S S d r ρρ⎰⎰⎰=Vdv r div ρ⎰⎰⎰=Vdv 3.3h π=(1) 穿过底面向上的流量1Q ⎰⎰+⋅=S S d r ρρ⎰⎰=≤+=hz z y x zdxdy 222⎰⎰≤+=222z y x hdxdy .3h π=(2) 穿过侧表面向外的流量2Q 1Q Q -=.0= 课堂练习1.利用高斯公式计算,)()()(222⎰⎰+-+-+-S dxdy xy z dzdx xz y dydz yz x其中+S 为球2222)()()(R c z b y a x =-+-+-面的外侧.第四节斯托克斯公式环流量与旋度斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面∑的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系. 分布图示★ 斯托克斯公式★ 例1★ 例2★ 例3★ 空间曲线积分与路径无关的条件 ★ 三元函数的全微分求积 ★ 环流量与旋度★ 例4★ 例5★ 例6★ 斯托克斯公式的向量形式★ 向量微分算子 ★ 内容小结 ★课堂练习 ★ 习题11-7★返回内容要点一、斯托克斯公式定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑.⎰++=LRdz Qdy Pdx (7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx RQ P zy x dxdydzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成.cos cos cos ⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx dS RQPzy x γβα二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度设向量场,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρρ++=则沿场A ρ中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分⎰++=ΓCRdz Qdy Pdx称为向量场A ρ沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,, 称为向量场A ρ的旋度，记为A rot ρ，即.k y P x Q j x R z P i z Q y R A rot ρρρρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=旋度也可以写成如下便于记忆的形式：RQ Pz y x k j i A rot ∂∂∂∂∂∂=ρρρρ.四、向量微分算子：,k zj y i x ρρρ∂∂+∂∂+∂∂=∇例题选讲利用斯托克斯公式计算例1（E01）计算曲线积分,⎰Γ++ydz xdy zdx 其中Γ是平面1=++z y x 被三坐标面所截成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.解按斯托克斯公式，有,⎰⎰⎰∑++=++Γdxdy dzdx dydz ydz xdy zdx由于∑的法向量的三个方向余弦都为正，再由对称性知:,3⎰⎰⎰⎰=∑++xyD d dxdy dzdx dydz σ所以 .23=++⎰Γydz xdy zdx例2 计算曲线积分,)()()(222222dz y x dy x z dx z y -+-+-⎰Γ其中Γ是平面2/3=++z y x 截立方体：,10≤≤x ,10≤≤y 10≤≤z 的表面所得的接痕，从x 轴的正向看法，取逆时针方向.解取∑为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量,3}3,1,1{=n ρ即,31cos cos cos ===λβα原式dS yx x y z y z y x z⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222313131⎰⎰∑++-=dS z y x )(34.293322334-=-=∑⋅-=⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dS 例3（E02）计算,)()()(222222⎰Γ+++++dz y x dy z x dx z y 式中Γ是).0,0(2,222222><<=+=++z R r rx y x Rx z y x此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面Rx z y x 2222=++上的最小区域保持在左方. 解由斯托克斯公式，有原式⎰⎰∑-+-+-=dS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(2γβαdS R z y x R y x z R x z y ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=)()(1)( ⎰⎰∑-=dS y z )(2(利用对称性)⎰⎰⎰⎰∑=∑=dS R zdS γcos ..2222R r d R Rdxdy rx y x πσ==∑=⎰⎰⎰⎰≤+例4 求矢量场k z j xy i x A ρϖϖϖ222+-=在点()2,1,10M 处的散度及旋度.解 A div ρzA y A x A zy x ∂∂+∂∂+∂∂=z x x 2)2(2+-+=.2z =故0M A div ρ.4=A rot ρk y A x A j xA z A i z A y A x y zx x z ρρρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=k y j i ρρρ)02()00()00(--+-+-=.2k y ρ-= 故0M A rot ρ.2k ρ-= 例5（E03）设,32222yz xy y x u -+= 求grad u ； div(grad u )；rot(grad u ). 解 gradu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=z u y u x u ,,}.6,4,2{yz xy xy -=div(gradu)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂-∂+∂∂+∂∂=z yz y xy x xy )6()4()2(y x y 642-+=).(4y x -=rot(gradu).,,222222⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂=x y u y x u z x u x z u y z u z y u 因为22232yz xy y x u -+=有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故rot(gradu).0=注：一般地，如果u 是一单值函数，我们称向量场A ϖ=grad u 为势量场或保守场，而u 称为场A ϖ的势函数.例6（E04）设一刚体以等角速度k j i z y x ϖϖϖϖωωωω++=绕定轴L 旋转，求刚体内任意一点M 的线速度v ϖ的旋度.解取定轴l 为z 轴，点M 的内径r ρOM =,k z j y i x ρρρ++=则点M 的线速度v ρr ρρ⨯=ωzy x kjiz y x ωωωρρρ=,)()()(k x y j z x i y z y x x z z y ρρρωωωωωω-+-+-=于是v ρrot xy z x y z z y x kj i y x x z z y ωωωωωω---∂∂∂∂∂∂=ρρρ)(2k j i z y x ρρρωωω++=.2ωρ=即速度场v ρ的旋等于角速度ωρ的 2 倍. 课堂练习1. 计算,)()()(222⎰-+-+-AmB dz xy z dy xz y dx yz x 其中AmB 是螺线πϕϕϕ2,sin ,cos h z a y a x ===从)0,0,(a A 到),0,(h a B 的一段曲线.2. 物体以一定的角速度ω依逆时针方向绕Oz 轴旋转, 求速度v ρ和加速度w ρ在空间点),,(z y x M 和已知时刻t 的散度和旋度.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条： 1、宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子。

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第十一章广义积分
§1 无穷限广义积分
定积分的两个限制
积分区间的有界性被积函数的有界性实践中，我们却经常要打破这两个限制。如：关于级数收敛的Cauchy积分判别法；概率统计中，随机变量的空间通常是无限的；第二宇宙速度；物理中的函数；量子运动；‥‥‥
无穷限积分的定义
设函数在有定义，在任意有限区间上可积。若存在，则称之为在上的广义积分，记为此时亦称积分收敛；若不存在，则称积分发散。
P.S. 为一符号，表示的是一无穷积分；而当它收敛时，还有第二重意义，可用来表示其积分值。
1. 2. 当，均收敛时，定义显然，的值与的选取无关。
类似地，我们可以给出其它无穷积分的定义：
特别地，我们若可利用Taylor公式，求得
则
时收敛，时发散，时,只能于时推得收敛。
Question
我们将参照物取为幂函数，而有了上述的比较判别法；那么，将参照物取为指数函数，结果又如何呢？无穷限的广义积分有着与级数非常类似的比较判别法，都是通过估计其求和的对象大小或收敛于0的速度而判断本身的敛散性；而且，我们还有Cauchy积分判别法，使某些级数的收敛与某些无穷限积分的收敛等价了起来。那么，是否可以将关于级数中结论推广至无穷限积分中来呢？某些结论不能推广的原因是什么呢？
1. 结合律
对于收敛级数，可任意加括号，即
2. 交换律
仅仅对于绝对收敛的级数，交换律成立而对于条件收敛的级数，是靠正负抵消才可求和的，故重排后结果将任意。可见，绝对收敛才是真正的和。
定理 10.19 若级数绝对收敛，其和为，设为的任意重排，则亦绝对收敛，且和仍为
第十章数项级数
§5 无穷级数与代数运算有限和中的运算律，如结合律，交换律，分配律，在无穷和中均不成立。具体地，我们有下面的一些结论。

数学分析教案(华东师大版)第二十二章曲面积分

第二十二章曲面积分教学目的：1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明确它们的联系；2•掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。

教学重点难点：本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积分。

教学时数：18学时§ 1 第一型曲面积分一. 第一型面积分的定义：1.几何体的质量：已知密度函数，分析平面区域、空间几何体的质量定义及计算2.曲面的质量：3.第一型面积分的定义：定义及记法.,面积分J［血忙.4.第一型面积分的性质：第一型面积分的计算1. 第一型曲面积分的计算Th22.2设有光滑曲面-； .1，上二.T.：「为一7■上的连续函数,则例4 计算积分',其中■是球面iv J，-被平面_ : '工所截的顶部. P281§第二型曲面积分曲面的侧:1.单侧曲面与双侧曲面：2.双侧曲面的定向：曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧.设法向量为二二I…I . ■ ■ I,则上侧法线方向对应第三个分量 ...，即选+ ”号时，应有:«■■■ .■，亦即法线方向与［轴正向成锐角.类似确定其余各侧的法线方向闭合曲面分内侧和外侧.第二型曲面积分:1. 稳流场的流量：以磁场为例.P2842.第二型曲面积分的定义：P284 .闭合曲面上的积分及记法.3.第二型曲面积分的性质：线性，关于积分曲面块的可加性.第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系：4.设丹为曲面£的指定法向,贝U^P{^y.z）dydz + Q（扎y ⑵沏x+ R（扎恥）必妙二心力益”刃+ R(x,y r2)cos(«,z)^.三第二型曲面积分的计算：----- 三.Th22!.2 设R（XJ⑵是定义在光滑曲面S ：Z = Z（X J）,（兀刃E D 0上的连续函数,以S的上侧为正侧（即co论⑵〉0）,则有⑵必妙二禺如.证P类似地，对光滑曲面&廿⑵，（丿⑵E D』，在其前侧上的积分丿⑵妙必=卩（粉必）妙血.对光滑曲面J .m . J ： - D :,在其右侧上的积分计算积分][--'■■-：-■ ' 「匚二二…J 时,通常分开来计算三个积分为此，分别把曲面投影到YZ 平面,ZX 平面和XY 平面上化为二重积分进行计算•投影域的侧由曲面、的定向决定.P287 例2 计算积分二，_为球面-I ；-- 「— 取外侧.解对积分 1分别用石和门记前半球面和后半球面的外侧，则有 -:f T…一计算积分 '/是球面"''7，- -丨在因此,外侧,因此,H—‘IL + It...=对积分则有\i ---亠"，分别用二：「H」—=乍和一二记右半球面和左半球面的-2 1 ■S *J J0 -12 -y 2d^dy = -JZ S 3 . 综上,[]'- ■■§ 3 Gauss 公式和Stokes 公式一.Gauss 公式：Th22.6 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面 J 围成.若函数P,Q,R 在 V上连续，且有连续的一阶偏导数，则对积分分别用一和 :-记上半球面和下半球面的外侧则有因此,『’八―J =—dxdydz = + Qdzdx + Bdxdy ,其中、取外侧•称上述公式为 Gauss 公式或 OcTporpa —G CKU 公式.设V 是矽型区域（即Z-型体），其边界曲面£由曲面:「一二〔：下侧，,> ■ --7； ■.>；；.-■；上侧，,■. ■< -.: [IT —」厂「「「Fa* 3曙dP dQ 3R dxdy __ 以及垂直于二'平面的柱面-. .（外侧）组成. 注意到只证dy az dxdydz-I ■■-.--'取外侧.解一「： :- -■. .vi<, 一匚:卷1堂彳込1今兰+聖芒訂dx f dy f 3z dx dy dz由Gauss 公式什’例2 计算积分\ [■-■ ■ ■ ■■'■ ■.■ -，其中J 是边长为」的正方体V 的表面取外侧.V : ：. .■ _ : _ i . P291解应用Gauss 公式,有可类证「F 必矽曲=妙也，[存dxdydz =只Qdzdx以上三式相加，即得Gauss 公式.一为球面面下方的部分，取外法线方向V 的表面外侧,由Gauss 公式,有=3j 『xdy 占二弘锥体v 的体积=3'yjr = 64兀;JJ xdydz + ydzdx + zdxdy = 4例1 设v 是三维空间的区域，其内任何封闭曲面都可不通过 v 外的点连续收缩为V 上的一点.又设函数「二二匚1、 J 二「匚I 和工二二匚1在V 上有连续的偏导数•「表示V 内任一不自交的光滑封闭曲面，•是：■的外法线•试证明：对V 内任意曲面：'恒有£[Pc 阳（丹卫）+Q CO 5（MJ ） + Rc 阳（加⑵肉=0、3F 3Q SR A的充要条件是 1-在V 内处处成立.8x dy 3z a 位屮”）必妙必= ay^—a dy = a计算积分『一二一一…；,一为锥面二二在平解设："为圆■ _' ■.■ : ■取上侧则]•/构成由其所围锥体=64兀[0 + X ）必= 因而,低户亦他耳+ 肮0£（科⑵= ^Pdydz + Qdzdx+ &te妙.—：由Gauss公式直接得到.-：反设不然,即存在点二：.「.二_二V使/ 3P 3Q QR r■ - - 亠，' 3x dy dz叫、、「、dP dQ dR yf w不妨设其.I.l.由■'' 在点丄，一连续，存在以点丄，一为中心且在V dy azf3P 3Q 3R、、一.内的小球f ,使在其内有.以一表示小球1：：的表面外侧，5x dy dz就有IT J谄逍呼卜处＞。

曲面积分的概念与性质.

闭曲面有内侧与外侧之分
曲面在坐标面上的投影
在有向曲面上取一小块曲面S 用()xy表示S在xOy面上的投影区域的面积假定S上各点处的法向量与z轴的夹角的余弦cos有相同的符号(即cos都是正的或都是负的)
我们规定S在xOy面上的投影(S)xy为
(S
)xy

n
lim
||T||0 i1
f (i ,i , i )Si

I,
且与分割 T 及 (i ,i , i )
的取法无关, 则称此极限为f ( x, y, z) 在 S上的第一型曲面积分,
记为
I f ( x, y, z)dS .
(1)
S
第二型曲面积分的概念
有向曲面通常我们遇到的曲面都是双侧的
n
lim
||T ||0
i 1
(i ,i , i )Si
,
其中 T {S1 , S2 ,...,Sn } 为曲面块的分割，Si 表
示小曲面块 Si 的面积，(i ,i , i ) 为 Si 中任意一点， || T || 为分割 T 的细度，即为诸 Si 中的最大直径.
定义1 设 S 是空间中可求面积的曲面, f ( x, y, z)为
给出是速度场中的一片有向曲面函数v(x y z)在上连续求在
单位时间内流向指定侧的流体的质量即流量
•把曲面分成n小块 S1 S2 Sn(Si也代表曲面面积) •在Si上任取一点(i i i ) •通过流向指定侧的流量近似为
面积分
•函数R(x y z)在有向曲面上对坐标x、y z)dxdy

lim
0

i1
R(i,i,
i
)(Si)xy

一第一型曲面积分的概念与性质省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

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I (
3 1)
1
d
0
x
1 x
x xd S d S
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例7. 计算I
x2
dS y2
z2
,
其中
是介于平面
z 0, z H 之间旳圆柱面 x2 y2 R2.
分析: 若将曲面分为前后(或左右)
z
两片, 则计算较繁.
解: 取曲面面积元素
dS 2 Rdz
则
I
H 2 R dz
0 R2 z2
Dx y
1 zx2 (x, y) z y2 (x, y)dxd y
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阐明: 1) 假如曲面方程为
x x( y, z), ( y, z) Dyz 或 y y(x, z), (x, z) Dxz
可有类似旳公式. 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS
§14.2.1.第一型曲面积分
一、第一型曲面积分旳概念与性质二、第一型曲面积分旳计算法
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一、第一型曲面积分旳概念与性质
引例: 设曲面形物质具有连续面密度 (x, y, z), 求质
量 M.
类似求平面薄板质量旳思想, 采用 z (k ,k , k )
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
M d S
3 1 4 ( x2 y2 ) d xdy
Dx y
2
3 d
2
r
1 4r2 dr
0
0
6 1 2 1 4 r 2 d(1 4 r 2 ) 13 80
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第一型曲面积分(北工大)课件

曲面积分的微分定理
总结词
曲面积分的微分定理是指在进行第一型曲面积分时，如果被积函数是某个标量场的梯度函数，那么积分结果等于该标量场在积分区域上的增量。
详细描述
微分定理的具体形式是：如果被积函数是某个标量场u的梯度函数 grad u，那么第一型曲面积分的结果等于该标量场在积分区域上的增量。这个定理可以用于计算某些物理量（如力、势能等）在某个区域上的分布情况。
总结词
圆柱面是三维空间中以直线为轴线，以实数r为半径的曲面。
详细描述
圆柱面的一型曲面积分可以通过将圆柱面分割成若干个小曲面片，然后计算每个小曲面片的面积，最后求和得到。具体计算过程中，需要利用圆柱面坐标系进行坐标变换，将圆柱面上的点映射到直角坐标系中，以便进行积分计算。
圆锥面
总结词
圆锥面是三维空间中以点为中心，以直线为轴线，以实数r为半径的曲面。
05
曲面ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分的应用举例
曲面的面积计算
总结词
利用第一型曲面积分计算曲面的面积
详细描述
在几何学中，曲面面积的计算是一个常见的问题。通过第一型曲面积分，我们可以将曲面分成若干个小曲面元，然后计算这些小曲面元的面积，最后求和得到整个曲面的面积
。
流体流速的计算
要点一
总结词
利用第一型曲面积分计算流体在曲面上的流速
参数方程的转换
在某些情况下，曲面可能已经给出了直角坐标方程，但为了计算方便，我们需要将其转换为参数方程。转换的方法是通过消去直角坐标方程中的平方项，将其化为参数方程的形式。
面积元素的确定
面积元素的定义
面积元素是微小的曲面面积，用于计算曲面积分。在第一型曲面积分中，面积元素与曲面的法向量有关。

第一类曲面积分教学课件讲议

（按照曲面的不同情况分为三种）
思考题
在对面积的曲面积分化为二重积分
的公式中, 有因子 1zx2 z2y, 试说明
这个因子的几何意义.
思考题解答
dS是曲面元的面积,
cons,(z)
1 1zx2z2y
故 1zx2 z2y是曲面法线与 z轴夹角的余弦
的倒数.
一、填空题:
练习题
1 、已知曲面的面积为 a , 则 10 ds _ _ _ _ _ _ _ ；
4 、 3 zds _ _ _ _ _ , 其中为抛物面 z 2 ( x 2 y 2 )
在
xoy
面上方的部分；
5 、 ( x 2 y 2 ) ds _ _ _ _ _ _ , 其中为锥面 z x 2 y 2 及平面 z 1所围成的区域的整个边界曲面.
课程结束，谢谢观赏
2 、 f ( x , y , z ) ds = f ( x ( y , z ), y , z ) _ _ _ _ _ _ _ _ dydz ；
D yz
3 、设为球面 x 2 y 2 z 2 a 2 在 xoy 平面的上方部
分 , 则 ( x 2 y 2 z 2 ) ds _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
第一类曲面积分
二、对面积的曲面积分的定义
1.定义设曲面是光滑的, 函数fSi （Si 同时也表示
第i小块曲面的面积）,设点(i,i,i)为Si 上
任意取定的点,作乘积f(i,i,i n
)Si
,
并作和 f(i,i,i)Si , 如果当各小块曲面
i1
的直径的最大值0时, 这和式的极限存在,
2 . 若曲面 : y y (x ,z)

第一型曲面积分(北工大)课件

利用对称性简化计算
总结词
利用曲面的对称性质，简化第一型曲面积分的计算。
详细描述
如果曲面具有对称性，例如关于x轴、y轴或原点对称，我们可以利用这些对称性质来简化第一型曲面积分的计算。通过选择适当的坐标系或改变积分的顺序，可以减少需要计算的定积分数量或简化计算过程。这种方法要求对曲面的对称性有深入的理解和分析。
02
微分学主要研究函数的变化率，包括极限理论、导数、微分等
概念。
积分学则研究函数的累积量，包括不定积分、定积分等概念。
03
曲面积分在微积分中的地位
曲面积分是微积分中一个重要的概念，它涉及到二维平面和三维空间的曲面。
曲面积分可以用来计算曲面上的面积、体积和其他几何量，是解决实际问题的重要工具。
物理意义
曲面积分在物理中有重要的应用，如计算流体流过曲面时的流量、计算磁场穿过曲面的通量等。
物理应用
在物理中，曲面积分可以用来解决许多实际问题，如计算管道内的流体压力、分析电磁波的传播等。
02
第一型曲面积分的计算方法
投影法
总结词
将曲面投影到某一坐标平面，将第一型曲面积分化为二重积分，从而简化计算。
性质
曲面积分具有线性性质、可加性、对称性等基本性质，这些性质在计算曲面积分时非常重要。
曲面积分的几何意义
几何意义
曲面积分可以理解为在曲面上沿着某个方向的面积的累积，这个累积的过程可以用定积分来计算。
几何应用
曲面积分在几何上有着广泛的应用，如计算曲面面积、求曲面上的质心等。
曲面积分的物理意义
第一型曲面积分(北工大)课件
xx年xx月xx日
• 曲面积分的基本概念 • 第一型曲面积分的计算方法 • 第一型曲面积分的应用 • 第二型曲面积分与第一型曲面积

一型曲面积分

一型曲面积分
一型曲面积分是指对给定的曲面S上的面积分进行计算。

其计算方法是：首先将曲面S划分为若干个小曲面，然后对每个小曲面上的积分进行计算，最后将所有小曲面上的积分相加得到整个曲面S上的积分值。

具体来说，一型曲面积分可以表示为：∮(f(x,y,z)dS)，其中f(x,y,z)是定义在曲面S上的函数，dS是曲面S的面积微元。

在进行一型曲面积分计算时，需要注意以下几点：
1.确定积分曲面S的形状和范围；
2.选择合适的函数f(x,y,z)来表示曲面S上的点；
3.确定积分曲面S的法向量方向；
4.根据具体问题选择合适的积分方法进行计算。

一型曲面积分是一种重要的数学工具，可以用于计算曲面上的积分问题。

在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的积分方法和计算方法，以确保计算结果的准确性和可靠性。

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