数学分析曲面积分18-1第一型面面积积分教学讲义
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是曲 的 u 面 曲v线 v0的切向量，
类似的, v r (u 0 ,v ) ( x v (u 0 ,v ) v y ,(u 0 ,v ) v z ,(u 0 ,v ))
是曲 的 v曲 面 u 线 u 0 的切 . 向量
2020/8/5
特别的，
r u(u0,v0),
v r(u0,v0)分别是曲 上 面
2008／05／24
第十八章 曲面积分
§18.1 第一型曲面积分
2020/8/5
一、曲面的表示
1. 显式方程 z z ( x ,y )( x ,,y ) D .
优点: 计算曲面上的点比易较 ; 容 缺点: 不能表达封闭的曲 . 面
2. 隐式方程F ( x ,y ,z ) 0 ,( x ,y ,z ) V .
2020/8/5
将 tt0代,入
d dt r tt0 u r(u 0 ,v 0)u '(t0) v r(u 0 ,v 0)v '(t0), 表明:
上过P0点 的任一条 , 它曲在 P0线 的切向, 量
都是 u r(u0,v0), v r(u0,v0)的线性组合.
上过P0的 点任一条曲线 在的 同切 一
2020/8/5
n
若极 |lT || i| 0 m 限 i1f(i, i, i) Si存,且 在 与分割 T
和 (i,i,i)( i 1 ,2 , ,n )的取法无关, 则称此
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
2020/8/5
二、第一型曲面积分
1. 定义
设是可求面积的曲面, 函数 f ( x, y, z)在
上有界, 用分割T 把 分成n小曲面块Si, 以 Si表示第i 个小曲面块的面积,
分割T
的细度||
T
||
max{
1in
Si的直径},
任取(i ,i , i ) Si ,(i 1,2,, n),
对应着 上的一段,曲 称 线为 上u曲 的.线
类似的, 令uu0, 得上v的 曲线
x x ( u 0 , v ) y , y ( u 0 , v ) z z , ( u 0 , v )
u曲线 ,v曲线均可覆盖住 . 曲面
2020/8/5
偏导向量 u r( u ,v 0 ) ( u x ( u ,v 0 ) u y ,( u ,v 0 ) u z ,( u ,v 0 ))
一、第一型曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形物质具有连续面密度 (x,y,z),求质
量 M.
类似求平面薄板质量的思想, 采用 z (k,k,k)
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
的方法, 可得
n
Mlim 0 k 1
(k, k, k)k
o
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
2020/8/5
计算 r u r v2 r u 2r v2 ( r u r v ) 2EG F2
记: E ru 2 xu2yu2zu2, Frurv xuxv yuyv zuzv, G rv 2 xv2yv2zv2.
E,F,G称为曲 的面 第一. 基本量
从而得 的 到单位法向量
n 1 (y ,z ), (z ,x ), (x ,y ) E F G 2 (u ,v ) (u ,v ) (u ,v )
通常F 会 ,F x,F y假 ,F z在 V 设 上连 . 续 曲面(在 x0,y0点 ,z0)的法向量为 n { F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) F y ( x 0 , , y 0 , z 0 ) F z ( x 0 , , y 0 , z 0 )
2020/8/5
特殊地： zz(x,y)
特殊地：
zz(x,y),(x,y)D . x x ,y y ,z z ( x ,y ) ,(x,y)D . ( (x y ,,z y ) ) zx , ( (x z,,x y ) ) zy, ( (x x ,,y y ) ) 1 ,
() 1zx 2z2 ydx.dy
D
2020/8/5
令 F ( x ,y ,z ) z z ( x ,y ),
曲面 (x0在 ,y0,z(点 x0,y0)的 ) 法向量为
(zx, zy,1) (zx, zy, 1)
上法向量
与z轴正向夹角不超. 过
2 下法向量
2020/8/5
可以把曲 的面 参数方程看 的成 映是 射
r: r ( ) ,
令vv0, 并将之代入参数(2方)得 ,程出 x x ( u , v 0 ) y , y ( u , v 0 ) z z , ( u , v 0 )
设正则曲 有 面参数向,量方程
r r ( u ,v )( u ,,v ) ,
则曲面 的面积 Βιβλιοθήκη Baidu 为
()rurv dudv EGF2dudv
((u y,,v z)) 2 ((u z,,x v)) 2 ((x u ,,v y)) 2 1/2dud
2020/8/5
(u 0 ,v 0 )对应 P 0 处 u 曲 的 的 v 曲 线 点 的 线 和 切 .
设uu(t)v, v(t)是 中的一段 并设曲线
u 0 u 0 ( t 0 )v 0 , v 0 ( t 0 ) ,这段曲r线 作在 用, 下
对应着 上的一条,曲 且曲 线线过P点 0. 它的向
量方程是 rr(u (t)v ,(t))则, drru'(t)rv'(t), dt u v
平面上.
在点 P0的切平 . 面
2020/8/5
而向量
u r(u0,v0) v r(u0,v0)是 在P 点 0的法.向量
也可写成: (y,z), (z,x), (x,y) (u,v) (u,v) (u,v) (u 0,v0)
在一般(的 u,v)对应的点处的法向量为
(y,z), (z,x), (x,y) (u,v) (u,v) (u,v)
2020/8/5
ru rv , ru rv
设 (u 0,v0),若 rr u v(u0,v0)0,则r称 (u0,v0)为
曲面 上的正则 , 否点则称为奇点.
曲面 上的点全部,称 为之 正为 则正 点 .
正则曲面处处存面在和切法平向 , 量 而且法向量的方 数向 的和 选参 择. 无关
2020/8/5
类似的, v r (u 0 ,v ) ( x v (u 0 ,v ) v y ,(u 0 ,v ) v z ,(u 0 ,v ))
是曲 的 v曲 面 u 线 u 0 的切 . 向量
2020/8/5
特别的，
r u(u0,v0),
v r(u0,v0)分别是曲 上 面
2008／05／24
第十八章 曲面积分
§18.1 第一型曲面积分
2020/8/5
一、曲面的表示
1. 显式方程 z z ( x ,y )( x ,,y ) D .
优点: 计算曲面上的点比易较 ; 容 缺点: 不能表达封闭的曲 . 面
2. 隐式方程F ( x ,y ,z ) 0 ,( x ,y ,z ) V .
2020/8/5
将 tt0代,入
d dt r tt0 u r(u 0 ,v 0)u '(t0) v r(u 0 ,v 0)v '(t0), 表明:
上过P0点 的任一条 , 它曲在 P0线 的切向, 量
都是 u r(u0,v0), v r(u0,v0)的线性组合.
上过P0的 点任一条曲线 在的 同切 一
2020/8/5
n
若极 |lT || i| 0 m 限 i1f(i, i, i) Si存,且 在 与分割 T
和 (i,i,i)( i 1 ,2 , ,n )的取法无关, 则称此
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
2020/8/5
二、第一型曲面积分
1. 定义
设是可求面积的曲面, 函数 f ( x, y, z)在
上有界, 用分割T 把 分成n小曲面块Si, 以 Si表示第i 个小曲面块的面积,
分割T
的细度||
T
||
max{
1in
Si的直径},
任取(i ,i , i ) Si ,(i 1,2,, n),
对应着 上的一段,曲 称 线为 上u曲 的.线
类似的, 令uu0, 得上v的 曲线
x x ( u 0 , v ) y , y ( u 0 , v ) z z , ( u 0 , v )
u曲线 ,v曲线均可覆盖住 . 曲面
2020/8/5
偏导向量 u r( u ,v 0 ) ( u x ( u ,v 0 ) u y ,( u ,v 0 ) u z ,( u ,v 0 ))
一、第一型曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形物质具有连续面密度 (x,y,z),求质
量 M.
类似求平面薄板质量的思想, 采用 z (k,k,k)
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
的方法, 可得
n
Mlim 0 k 1
(k, k, k)k
o
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的 x
2020/8/5
计算 r u r v2 r u 2r v2 ( r u r v ) 2EG F2
记: E ru 2 xu2yu2zu2, Frurv xuxv yuyv zuzv, G rv 2 xv2yv2zv2.
E,F,G称为曲 的面 第一. 基本量
从而得 的 到单位法向量
n 1 (y ,z ), (z ,x ), (x ,y ) E F G 2 (u ,v ) (u ,v ) (u ,v )
通常F 会 ,F x,F y假 ,F z在 V 设 上连 . 续 曲面(在 x0,y0点 ,z0)的法向量为 n { F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) F y ( x 0 , , y 0 , z 0 ) F z ( x 0 , , y 0 , z 0 )
2020/8/5
特殊地： zz(x,y)
特殊地：
zz(x,y),(x,y)D . x x ,y y ,z z ( x ,y ) ,(x,y)D . ( (x y ,,z y ) ) zx , ( (x z,,x y ) ) zy, ( (x x ,,y y ) ) 1 ,
() 1zx 2z2 ydx.dy
D
2020/8/5
令 F ( x ,y ,z ) z z ( x ,y ),
曲面 (x0在 ,y0,z(点 x0,y0)的 ) 法向量为
(zx, zy,1) (zx, zy, 1)
上法向量
与z轴正向夹角不超. 过
2 下法向量
2020/8/5
可以把曲 的面 参数方程看 的成 映是 射
r: r ( ) ,
令vv0, 并将之代入参数(2方)得 ,程出 x x ( u , v 0 ) y , y ( u , v 0 ) z z , ( u , v 0 )
设正则曲 有 面参数向,量方程
r r ( u ,v )( u ,,v ) ,
则曲面 的面积 Βιβλιοθήκη Baidu 为
()rurv dudv EGF2dudv
((u y,,v z)) 2 ((u z,,x v)) 2 ((x u ,,v y)) 2 1/2dud
2020/8/5
(u 0 ,v 0 )对应 P 0 处 u 曲 的 的 v 曲 线 点 的 线 和 切 .
设uu(t)v, v(t)是 中的一段 并设曲线
u 0 u 0 ( t 0 )v 0 , v 0 ( t 0 ) ,这段曲r线 作在 用, 下
对应着 上的一条,曲 且曲 线线过P点 0. 它的向
量方程是 rr(u (t)v ,(t))则, drru'(t)rv'(t), dt u v
平面上.
在点 P0的切平 . 面
2020/8/5
而向量
u r(u0,v0) v r(u0,v0)是 在P 点 0的法.向量
也可写成: (y,z), (z,x), (x,y) (u,v) (u,v) (u,v) (u 0,v0)
在一般(的 u,v)对应的点处的法向量为
(y,z), (z,x), (x,y) (u,v) (u,v) (u,v)
2020/8/5
ru rv , ru rv
设 (u 0,v0),若 rr u v(u0,v0)0,则r称 (u0,v0)为
曲面 上的正则 , 否点则称为奇点.
曲面 上的点全部,称 为之 正为 则正 点 .
正则曲面处处存面在和切法平向 , 量 而且法向量的方 数向 的和 选参 择. 无关
2020/8/5