曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册 上海电机学院

第十章 曲线积分与曲面积分答案

一、选择题 1．曲线积分

()sin ()cos x

L f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣

⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数,且(0)0f =，则()f x = B

A ．

1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- Ｃ. 1

()2

x x e e -+ D ．0 2．闭曲线Ｃ为1x y +=的正向，则

C

ydx xdy

x y

-+=+⎰

C

Ａ．０ B.2 C.4 D.６ 3．闭曲线C 为2

2

41x y +=的正向，则

22

4C

ydx xdy

x y -+=+⎰

D

A ．2π-

B 。 2π

C 。0 D. π ４。∑为ＹOZ 平面上2

2

1y z +≤，则

2

22()x

y z ds ∑

++=⎰⎰ D

Ａ。０ B ． π C ． 14

π Ｄ． 12

π 5。设2

2

2

:C x y a +=，则

2

2()C

x

y ds +=⎰ C

A.22a π

B. 2

a π C 。 3

2a π Ｄ． 3

4a π ６。 设∑为球面2

2

2

1x y z ++=，则曲面积分

∑

［ B ］

Ａ.4π B ．2π C.π D.12

π

７。 设Ｌ是从Ｏ(0，0)到B(1,1）的直线段，则曲线积分

⎰

=L

yds ［ Ｃ ］

A 。 21

B ． 2

1

- C. 22 Ｄ。 22-

8. 设I=⎰

L

ds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0)与点（1, １）之间的一段弧,

则Ｉ=［D ]

A 。

655 Ｂ．1255 C ．6155- Ｄ。 12

1

55- 9． 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ,那么 σ 是（ D ） A ．

⎰-l ydy xdx 21; B 。 ⎰-l xdx ydy 2

1

;

C.

⎰-l xdy ydx 21; Ｄ. ⎰-l

ydx xdy 21

。

１０．设2

2

2

2

:(0)S x y z R z ++=≥,1S 为S 在第一卦限中部分，则有 C

A ．1

4S

S xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.1

4S

S yds yds =⎰⎰⎰⎰

C 。

1

4S

S zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.1

4S

S xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰

二、填空题

1。 设L 是以（0， 0), （1， 0）, （1， １), （0， １）为顶点的正方形边界正向一周,则曲线积分⎰=+-L

y dy x e

ydx )(2

—2

2．S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-s

dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(0

3.

⎰

=++-12

2

22y x y

x xdy

ydx =π2-

4．曲线积分

22()C

x y ds +⎰

，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π

５．设∑为上半球面)0z z =

≥，则曲面积分()222ds y x z ∑

++⎰⎰＝

32π

６． 设曲线C 为圆周2

2

1x y +=，则曲线积分

()2

23d C

x

y x s +-⎰ 2π .

7. 设Ｃ是以O （０，０)，A （1，0),B(0,１)为顶点的三角形边界，则曲线积分

⎰=+C ds

)y x (1+

8. 设∑为上半球面

z =，则曲面积分

∑

的值为 83

π.

9. 光滑曲面z ＝f （x ，ｙ）在xo ｙ平面上的投影区域为D ，则曲面ｚ＝f(x ，y ）的面积是

⎰⎰∂∂+∂∂+=D

d y

z

x z S σ22)()(

1 １0．设L 是抛物线3

y x =上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(24)L

x y dx -=

⎰

12

11、cos ,sin ,0x t y t z t πΓ===设为螺旋线上相应于从到的一段弧，

222()I x y z ds Γ

=++=⎰则曲线积分 ()221ππ+ .

12、设L 为222

x y a +=的正向,则22L xdy ydx

x y -=+⎰ 2π

.

三、计算题 1。L

⎰

，其中L 为圆周221x y +=，直线y

x =及ｘ轴在第一象限所围图形的边界。

解：记线段OA 方程,02y x x =≤≤，圆弧AB 方程cos ,0sin 4x y θπ

θθ

=⎧≤≤⎨=⎩ 线段OB 方程0,01y

x =≤≤.

则原式=

OA

⎰＋

AB

⎰+

OB

⎰

=0

+40

ed π

θ⎰+1

x e dx ⎰

=2(1)4

e e π

-+

＃

2．

[ln(L

y xy x dy +++,其中L 为曲线sin ,0y x x π=≤≤与直线段

0,0y x π=≤≤

所围闭区域D 的正向边界.

解：利用格林公式,

P =

[ln(Q y xy x =+,

则

P y

∂=∂，

2Q y x ∂=+∂ 故原式=

(

)D

Q P

dxdy x y ∂∂-=∂∂⎰⎰2D

y dxdy =⎰⎰sin 20

x

dx y dy π

⎰

⎰

＝

3014

sin 39

xdx π=⎰ ＃ 3.22

L

y dx x dy +⎰

，其中L 为圆周2

2

2

x y R +=的上半部分，L 的方向为逆时针。

解:L 的参数方程为cos sin x R t

y R t =⎧⎨=⎩

，t 从0变化到π。

故原式=

22220

[sin (sin )cos (cos )]R t R t R t R t dt π

-+⎰

＝3

22

[(1cos )(sin )(1sin )cos ]R

t t t t dt π

--+-⎰＝343

R - # 4．求抛物面2

2

z x y =+被平面1z =所割下的有界部分∑的面积.

解：曲面∑的方程为2

2

,(,)z x y x y D =+∈，这里D 为∑在XOY 平面的投影区域

22{(,)1}x y x y +≤。