曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册 上海电机学院
曲线积分与曲面积分复习
第8章 曲线积分与曲面积分8.1 向量值函数在有向曲线上的积分 第二型曲线积分概念与形式恒力沿直线方向做功 →→→→⋅=⋅=l F l F w θcos ||||变力沿曲线运动⇒取微元 Qdy Pdx ds F dw +=⋅=→||，则⎰++=LQdy Pdx W 。
平面曲线⎰++LQdy Pdx ，空间曲线⎰+++LRdz Qdy Pdx ，性质⎰⎰-+=LL一、计算方法1．设参数，化定积分⎰Ldx y x P ),(＋dy y x Q ),(＝dt t y t y t x Q t x t y t x P t t })()](),([)()](),([{1⎰'+'2．平面闭曲线上积分－用格林公式⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q ，其中L 是D 的取正向的边界曲线，D 为单连通区域，P ，Q 与L D ⋃上有连续一阶偏导数。
3．对于积分与路径无关的可自选路径 4．积分与路径无关),(),,(y x Q y x P 及偏导数于L D ⋃上连续。
下列四个命题等价 （1）⎰+CQdy Pdx ＝0，对D 内任意闭曲线C .（2）⎰+LQdy Pdx 积分与路径无关（3）存在),(y x u 使du ＝dy y x Q dx y x P ),(),(+BA LLu du Qdy Pdx |==+⇒⎰⎰（4）x Qy P∂∂=∂∂ 在D 内恒成立.常以（4）为条件，（2）作为结论，自选路径积分 二、例题1．基础题目，设参数，化定积分（1） 计算⎰-=Lydx xdyI ，:L 如图ABCDEA 解 （1）设参数法⎰∑⎰==Li L i51于1L 上 设t x cos =，t y sin =⎰⎰-=+=-02222)sin (cos 1ππdt t t ydx xdy L于2L 上 设t x cos =，t y sin 2=⎰⎰=⋅+⋅=-2)sin sin 2cos 2(cos 2ππdt t t t t ydx xdy L于3L 上 以x 为参数，xdxdy 2-=⎰⎰-=---=-22238)]2()2([3dx x x x ydx xdy L于4L 上 以y 诶参数 2-=x ，0=dx ⎰⎰-=-=-1224dy ydx xdy L 于5L 上 1-=y ，以x 为参数(0=dy ) ⎰⎰-=--=-022)1(5dx ydx xdy L综上231423+=-⎰πLydx xdy解（2）（用格林公式）)(224321S S S S dxdyydx xdy DL+++==-⎰⎰⎰231423222232212141412+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+⋅⋅+=πππ（2） 计算 ⎰++=Cdz x dy z dx y I 222。
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分)1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为Cxy =．7．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共18分 每小题6分）1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程．解:设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分）所求平面方程为 032=++z y x （6分） 2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解: πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分）⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ （6分)3．计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π三、解答题（共35分 每题7分)1．设vue z =，而22y x u +=,xy v =,求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ （6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分）2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定,求yz x z ∂∂∂∂,． 解：令xyz e z y x F z-=),,(， (2分)则 ,yz F x -=,xz F y -=,xy e F zz -= （5分）xye yzF F x z zz x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂． （7分) 3．计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解:添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d （5分）ππ=-⋅=022 （7分)4．设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关,其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ,求)(x f ．解： 由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+， 即xe xf x f =-')()( （3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=， （6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x． (7分)5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解： 因为)!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ （3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= （6分) 故该级数收敛． （7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分）0d 3-=⎰⎰⎰Ωv （6分）34213π⋅⋅=π2=． (7分) 五、（6分)在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ， 且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=， 令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分）由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅．由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大． （6分）六、（8分)求级数∑∞=1n nnx 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→nn a a R n n n n ,故收敛半径为1=R ． （2分) 当1-=x 时,根据莱布尼茨判别法，级数收敛; 当1=x 时， 级数为调和级数,发散．故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)设和为)(x S ,即∑∞==1)(n nnx x S ，求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11， (6分） 再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分） 七、（5分)设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ． 解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ （2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分）由于上式右边可导,所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ,故3=C ． 因此所求的函数为 )1(ln 3)(+=x x f ．(5分） 八． （5分）已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程． 解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解,xxe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为)(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解，从而有x x x x e C e C xe e y --++='2212, x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题（共30分 每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=,则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π．4。
高数期末复习题第十一章曲线积分与曲面积分
⾼数期末复习题第⼗⼀章曲线积分与曲⾯积分第⼗⼀章曲线积分与曲⾯积分试题⼀．填空题（规范分值3分）11.1.1.2 设在xoy 平⾯内有⼀分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为µ(x,y)，⽤第⼀类曲线积分表⽰这曲线弧对x 轴的转动惯量I x =。
ds y x y L),(2µ?11.1.2.2 设在xoy 平⾯内有⼀分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为µ(x,y)，⽤第⼀类曲线积分表⽰这曲线弧的质⼼坐标x =；y =。
x =??LLds y x ds y x x ),(),(µµ；y =??LLdsy x ds y x y ),(),(µµ 11.1.3.1在⼒),,(z y x F F =的作⽤下，物体沿曲线L 运动。
⽤曲线积分表⽰⼒对物体所做的功=W 。
d z y x L ),,(11.1.4.2 有向曲线L 的⽅程为≤≤==βαt t y y t x x )()(，其中函数)(),(t y t x 在[]βα,上⼀阶导数连续，且[][]0)()(22≠'+'t y t x ，⼜),(),,(y x Q y x P 在曲线L 上连续，则有：[]ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P LL+=+βαcos ),(cos ),(),(),(，那么αcos =；βcos =。
αcos =[][]22)()()(t y t x t x '+''βcos =[][]22)()()(t y t x t y '+''11.1.5.1 设L 为xoy 平⾯内直线a x =上的⼀段，则曲线积分?Ldx y x P ),(=。
011.1.6.2 设L 为xoy 平⾯内，从点(c,a )到点(c,b )的⼀线段，则曲线积分dy y x Q dx y x P ),(),(可以化简成定积分：。
高等数学-曲面积分试题
Ⅶ 曲线积分与曲面积分（二）课堂练习题一、填空题1．cosα, cosβ, cosγ是光滑闭曲面Σ的外法向量方向余弦，Σ所围空间闭区域为V ，设u (x, y , z )在V 上具有连续二阶偏导数，则用高斯公式化曲面积分为重积分时有(cos cos cos )u u u ds x y z∂∂∂αβγ∂∂∂∑++⎰⎰Ò= 。
2．分片光滑闭曲面Σ所围成的空间区域Ω的体积为V ，则沿曲面Σ外侧的积分()()()z y dxdy y x dxdz x z dzdy ∑-+-+-⎰⎰Ò= 。
3．设函数),,(z y x p 在空间闭区域V 上有一阶连续偏导数，又Σ是V 的光滑边界曲面的外侧，则由高斯公式有(,,)p x y z dydz ∑⎰⎰Ò 。
4．设Σ是一片分布着质量的光滑曲面，其面密度为常数μ，则曲面对y 轴的转动惯量I y = 。
5．围成空间闭区域V 的光滑闭曲面Σ外法向量的方向余弦为cos α、cos β、cos γ，设P (x , y , z )、Q (x , y , z )、R (x , y , z )在V 上有连续二阶偏导数，则[()cos ()cos ()cos ]R Q P R Q P ds y z z x x y∂∂∂∂∂∂αβγ∂∂∂∂∂∑-+-+-∂⎰⎰Ò 。
二、选择题1．设∑为球面2221x y z ++=，1∑为其上半球面，则 式正确。
A ．12zds zds ∑∑=⎰⎰⎰⎰；B ．12zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰；C ．1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰；D ．zdxdy ∑⎰⎰=0。
2．若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面，则ds ∑⎰⎰等于 。
A．200d rdr πθ⎰⎰； B．200d rdr πθ⎰⎰；C．20d rdr πθ⎰； D ．2π。
3．若∑为球面2222x y z R ++=的外侧，则22x y zdxdy ∑⎰⎰等于 。
曲线曲面积分期末复习题
曲线、曲面积分：一、选择题1．设L 是从点(,0)a 到点(,0)a -的一直线段，则()2L x y dx +⎰=（ ）。
A . 221a B . 0 C.a 2 D 1 （对坐标积分，将曲线代入）2．下列曲线积分在XOY 面内与路径无关的是（ ）A .(2,3)2(1,1)(3)(3)x y dx yx y dy ++-⎰２２ B .(2,3)22(1,1)(2)()xy x dx x y dy -++⎰ C.(2,3)2322(1,1)(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-⎰ D.dy y x dx y x )2()2()3,2()1,1(-++⎰（提示；P Q y x ∂∂=∂∂时，与路径无关） 3．∑设：)0(2222≥=++z a z y x ，在第一卦限的部分为∑∑1，则有（ ）A ．⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS xdS ； B.⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS ydS ；C.⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS zdS ；D.⎰⎰⎰⎰∑∑=14xyzdS xyzdS 。
（对称）４． 设C 是圆周x y x 222=+，则⎰=C xds （ ）。
A 、0； B 、1； C 、π； D 、π2。
解：（对弧长的曲线积分，将曲线代入）Ｃ：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，⎰=Cxds 20(1cos 2πθθπ+=⎰二、填空题１．C 为不包围原点的封闭曲线，积分=++⎰c y x ydy xdx 22２.曲线积分()22()()n L x y dx x y dyx y -+++⎰与路径无关，则n ＝＿ ＿＿＿＿，３．设L 是2214x y +=逆时针方向的封闭曲线，⎰=++L xydy dx y y 2)(2 ___________。
4．已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与(1,1)B 点之间的一段弧，则曲线积分=⎰_____ ___ 。
（Ｌ代入）５．已知C 为椭圆22221x y a b+=，反时针方向，则()()C x y dx x y dy +--=⎰ 。
(完整版)曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B. πC.14π D. 12π 5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰Ñ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。
10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰Ñ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )yx (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。
大学高数下册试题及答案第9章
大学高数下册试题及答案第9章第九章曲线积分与曲面积分作业13对弧长的曲线积分1．计算，其中为直线及抛物线所围成的区域的整个边界．解：可以分解为及2．，其中为星形线在第一象限内的弧．解：为原式3．计算，其中折线ABC，这里A，B，C依次为点．解：4．，其中为螺线上相应于从变到的一段弧．解：为5．计算，其中L：．解：将L参数化，6．计算，其中L为圆周，直线及轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分从而作业14对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：(1)，其中为按逆时针方向绕椭圆一周；解：为原式(2)，其中是从点到点的一段直线；解：是原式(3)，其中是圆柱螺线从到的一段弧；解：是原式(4)计算曲线积分,其中为由点A(-1,1)沿抛物线到点O(0,0),再沿某轴到点B(2,0)的弧段．解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分；原式2．设力的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依轴的负方向，求质量为的质点沿抛物线从点移动到点时，力所作的功．解：3．把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，其中为：(1)在平面内沿直线从点到点；(2)沿抛物线从点到点．解：（1）（2）作业15格林公式及其应用1．填空题(1)设是三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界,12．(2)设曲线是以为顶点的正方形边界，不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可道的点_．（3）相应于曲线积分的第一型的曲线积分是．其中为从点(1,1,1)到点(1,2,3)的直线段．2．计算,其中L是沿半圆周从点到点的弧．解：L加上构成区域边界的负向3．计算,其中为椭圆正向一周．解：原式4．计算曲线积分其中为连续函数，是沿圆周按逆时针方向由点到点的一段弧．解：令则，原式5．计算,其中为（1）圆周（按反时针方向）；解：，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式（2）闭曲线（按反时针方向）．解：，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周（也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得，原式6．证明下列曲线积分在平面内与路径无关,并计算积分值：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿直线积分也可，原式（3）．解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内与路径无关，沿折线积分即可，原式7．设在上具有连续导数，计算，其中L为从点到点的直线段．解：由于在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线积分即可，原式8．验证下列在整个平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：（1）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则从而，（2）；解：由于在全平面连续，从而该曲线积分在平面内是某一函数的全微分，设这个函数为，则原式可取（3）解：可取折线作曲线积分9．设有一变力在坐标轴上的投影为,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．证：，质点在此场内任意曲线移动时，场力所作的功为由于在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．作业16对面积的曲面积分1．计算下列对面积的曲面积分：(1),其中为锥面被柱面所截得的有限部分；解：为，原式（2）,其中为球面．解：为两块，原式2．计算，是平面被圆柱面截出的有限部分．解：为两块，，原式（或由，而积分微元反号推出）3．求球面含在圆柱面内部的那部分面积．解：为两块，原式4．设圆锥面,其质量均匀分布,求它的重心位置．解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为，故重点坐标为5．求抛物面壳的质量，此壳的密度按规律而变更．解：作业17对坐标的曲面积分1．，其中是柱面被平面及所截得的在第一卦限内的部分前侧．解：原式=2．计算曲面积分，其中为旋转抛物面下侧介于平面及之间的部分．解：原式=3．计算其中是平面所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．解：分片积分。
曲线积分与曲面积分重点总结+例题
第十章 曲线积分与曲面积分[教学目标与要求]1.理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质与两类曲线积分的关系.2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件,会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质,掌握计算第一类曲面积分的方法.[教学重点]1.两类曲线积分的计算方法；2.格林公式与其应用；3.第一类曲面积分的计算方法；[教学难点]1.两类曲线积分的关系与第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算；3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式与其应用格林公式计算对坐标的曲线积分；[参考书][1]同济大学数学系.《高等数学〔下〕》,第五版.高等教育.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》,第六版.高等教育. [3]同济大学数学系.《高等数学习题全解指南〔下〕》,第六版.高等教育§11.1 对弧长的曲线积分一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上,已知曲线形构件在点<x ,y >处的线密度为μ<x ,y >. 求曲线形构件的质量.把曲线分成n 小段,∆s 1,∆s 2,⋅⋅⋅,∆s n <∆s i 也表示弧长>; 任取<ξi ,ηi >∈∆s i , 得第i 小段质量的近似值μ<ξi ,ηi >∆s i ; 整个物质曲线的质量近似为i i i ni s M ∆≈=∑),(1ηξμ;令λ=max{∆s 1,∆s 2,⋅⋅⋅,∆s n }→0, 则整个物质曲线的质量为i i i ni s M ∆==→∑),(lim 10ηξμλ.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义 设函数f <x ,y >定义在可求长度的曲线L 上,并且有界.,将L 任意分成n 个弧段:∆s 1,∆s 2,⋅⋅⋅,∆s n ,并用∆s i 表示第i 段的弧长;在每一弧段∆s i 上任取一点<ξi ,ηi >,作和i i i ni s f ∆=∑),(1ηξ;令λ=max{∆s 1,∆s 2,⋅⋅⋅,∆s n },如果当λ→0时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f <x ,y >在曲线弧L 上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分,记作ds y x f L ),(⎰,即i i i ni L s f ds y x f ∆==→∑⎰),(lim ),(10ηξλ. 其中f <x ,y >叫做被积函数,L 叫做积分弧段.曲线积分的存在性:当f <x ,y >在光滑曲线弧L 上连续时,对弧长的曲线积分ds y x f L ),(⎰是存在的. 以后我们总假定f <x ,y >在L 上是连续的.根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分ds y x L ),(⎰μ的值, 其中μ<x ,y >为线密度.对弧长的曲线积分的推广:i i i i ni s f ds z y x f ∆==→Γ∑⎰),,(lim ),,(10ζηξλ. 如果L <或Γ>是分段光滑的, 则规定函数在L <或Γ>上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L 可分成两段光滑曲线弧L 1与L 2,则规定ds y x f ds y x f ds y x f L L LL ),(),(),(2121⎰⎰⎰+=+.闭曲线积分:如果L 是闭曲线,那么函数f <x ,y >在闭曲线L 上对弧长的曲线积分记作ds y x f L ),(⎰.对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c 1、c 2为常数, 则ds y x g c ds y x f c ds y x g c y x f c L L L ),(),()],(),([2121⎰⎰⎰+=+;性质2 若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧L 1和L 2, 则ds y x f ds y x f ds y x f L LL ),(),(),(21⎰⎰⎰+=;性质3设在L 上f <x ,y >≤g <x ,y >, 则⎰⎰≤L L ds y x g ds y x f ),(),(.特别地, 有二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L 的线密度为f <x ,y >, 则曲线形构件L 的质量为⎰L ds y x f ),(.另一方面,若曲线L 的参数方程为 x =ϕ<t >,y =ψ <t > <α≤t ≤β>,则质量元素为dt t t t t f ds y x f )()()]( ),([),(22ψϕψϕ'+'=,曲线的质量为⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()()]( ),([22.即⎰⎰'+'=βαψϕψϕdt t t t t f ds y x f L )()()]( ),([),(22.定理设f <x ,y >在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为x =ϕ<t >,y =ψ<t > <α≤t ≤β>, 其中ϕ<t >、ψ<t >在[α,β]上具有一阶连续导数,且ϕ'2<t >+ψ'2<t >≠0,则曲线积分ds y x f L ),(⎰存在,且dt t t t t f ds y x f L )()()](),([),(22ψϕψϕβα'+'=⎰⎰<α<β>.应注意的问题:定积分的下限α一定要小于上限β.讨论:<1>若曲线L 的方程为y =ψ<x ><a ≤x ≤b >,则ds y x f L ),(⎰=?提示:L 的参数方程为x =x ,y =ψ<x ><a ≤x ≤b >,dx x x x f ds y x f baL ⎰⎰'+=)(1)](,[),(2ψψ.<2>若曲线L 的方程为x =ϕ<y ><c ≤y ≤d >,则ds y x f L ),(⎰=?提示:L 的参数方程为x =ϕ<y >,y =y <c ≤y ≤d >,dy y y y f ds y x f dcL ⎰⎰+'=1)(]),([),(2ϕϕ.<3>若曲Γ的方程为x =ϕ<t >,y =ψ<t >,z =ω<t ><α≤t ≤β>,则ds z y x f ),,(⎰Γ=?提示:dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψϕωψϕβα'+'+'=⎰⎰Γ.例1计算ds y L⎰,其中L 是抛物线y =x 2上点O <0, 0>与点B <1, 1>之间的一段弧.解曲线的方程为y =x 2 <0≤x ≤1>,因此⎰⎰'+=1222)(1dx x x ds y L ⎰+=10241dx x x )155(121-=.例2计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I <设线密度为μ=1>. 解取坐标系如图所示,则⎰=L ds y I 2.曲线L 的参数方程为x =R cos θ,y =R sin θ <-α≤θ<α>. 于是⎰=L ds y I 2⎰-+-=ααθθθθd R R R 2222)cos ()sin (sin⎰-=ααθθd R23sin =R 3<α-sin α cos α>.例3 计算曲线积分ds z y x )(222++⎰Γ,其中Γ为螺旋线x =a cos t 、y =a sin t 、z =kt 上相应于t 从0到达2π的一段弧.解 在曲线Γ上有x 2+y 2+z 2=<a cos t >2+<a sin t >2+<kt >2=a 2+k 2t 2,并且dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=,于是ds z y x)(222++⎰Γ⎰++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=.小结用曲线积分解决问题的步骤: <1>建立曲线积分;<2>写出曲线的参数方程< 或直角坐标方程> ,确定参数的变化范围; <3>将曲线积分化为定积分;<4>计算定积分.教学方式与教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤,要结合实例,反复讲解.师生活动设计1.已知椭圆134:22=+y x L 周长为a,求⎰++Lds y x xy )432(22. 2.设C 是由极坐标系下曲线0,==θa r 与4πθ=所围成区域的边界,求ds eI Cy x ⎰+=22讲课提纲、板书设计作业 P 190: 3〔1〕〔3〕〔5〕〔7〕§11. 2 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功:设一个质点在xOy 面内在变力F <x ,y >=P <x ,y >i +Q <x ,y >j 的作用下从点A 沿光滑曲线弧L 移动到点B ,试求变力F <x ,y >所作的功.用曲线L 上的点A =A 0,A 1,A 2,⋅⋅⋅,A n -1,A n =B 把L 分成n 个小弧段, 设A k =<x k ,y k >,有向线段→+1k k A A 的长度为∆s k ,它与x 轴的夹角为τk ,则 k k k k k s A A ∆=→+}sin ,{cos 1ττ<k =0, 1, 2,⋅⋅⋅,n -1>.显然,变力F <x ,y >沿有向小弧段1 +k k A A所作的功可以近似为k k k k k k k k k k k s y x Q y x P A A y x ∆+=⋅→+]sin ),(cos ),([),(1ττF ;于是,变力F <x ,y >所作的功→+-=⋅=∑111),(k k k k n k A A y x W F ∑-=∆+≈11]sin ),(cos ),([n k k k k k k k k s y x Q y x P ττ,从而⎰+=L ds y x Q y x P W ]sin ),(cos ),([ττ.这里τ=τ<x ,y >, {cos τ, sin τ}是曲线L 在点<x ,y >处的与曲线方向一致的单位切向量. 把L 分成n 个小弧段:L 1, L 2,⋅⋅⋅, L n ;变力在L i 上所作的功近似为:F <ξi ,ηi >⋅∆s i =P <ξi ,ηi >∆x i +Q <ξi ,ηi >∆y i ; 变力在L 上所作的功近似为:]),(),([1i i i ni i i i y Q x P ∆+∆∑=ηξηξ;变力在L 上所作的功的精确值:]),(),([lim 1i i i ni i i i y Q x P W ∆+∆=∑=→ηξηξλ,其中λ是各小弧段长度的最大值. 提示:用∆s i ={∆x i ,∆y i }表示从L i 的起点到其终点的的向量.用∆s i 表示∆s i 的模. 对坐标的曲线积分的定义:定义 设函数f <x ,y >在有向光滑曲线L 上有界.把L 分成n 个有向小弧段L 1, L 2,⋅⋅⋅, L n ;小弧段L i 的起点为<x i -1,y i -1>,终点为<x i ,y i >,∆x i =x i -x i -1,∆y i =y i -y i -1; <ξi ,η>为L i 上任意一点,λ为各小弧段长度的最大值. 如果极限∑=→∆ni i i i x f 1),(limηξλ总存在,则称此极限为函数f <x ,y >在有向曲线L 上对坐标x 的曲线积分,记作⎰L dx y x f ),(,即∑⎰=→∆=ni i i i L x f dx y x f 1),(lim ),(ηξλ, 设L 为xOy 面上一条光滑有向曲线, {cos τ, sin τ}是与曲线方向一致的单位切向量,函数P <x ,y >、Q <x ,y >在L 上有定义.如果下列二式右端的积分存在,我们就定义⎰⎰=L L ds y x P dx y x P τcos ),(),(, ⎰⎰=L L ds y x Q dy y x Q τsin ),(),(,前者称为函数P <x ,y >在有向曲线L 上对坐标x 的曲线积分,后者称为函数Q <x ,y >在有向曲线L 上对坐标y 的曲线积分,对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分. 定义的推广:设Γ为空间内一条光滑有向曲线, {cos α, cos β, cos γ}是曲线在点<x ,y ,z >处的与曲线方向一致的单位切向量,函数P <x ,y ,z >、Q <x ,y ,z >、R <x ,y ,z >在Γ上有定义.我们定义<假如各式右端的积分存在>ds z y x P dx z y x P αcos ),,(),,(⎰⎰ΓΓ=, ds z y x Q dy z y x Q βcos ),,(),,(⎰⎰ΓΓ=, ds z y x R dz z y x R γcos ),,(),,(⎰⎰ΓΓ=.∑⎰=→∆=ni i i i i L x f dx z y x f 10),,(lim ),,(ζηξλ,∑⎰=→∆=ni i i i i L y f dy z y x f 10),,(lim ),,(ζηξλ, ∑⎰=→∆=n i i i i i L z f dz z y x f 10),,(lim ),,(ζηξλ. 对坐标的曲线积分的简写形式:dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P L L L ),(),(),(),(+=+⎰⎰⎰;dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(++=⎰Γ.对坐标的曲线积分的性质:<1> 如果把L 分成L 1和L 2,则⎰⎰⎰+++=+21L L L Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx .<2> 设L 是有向曲线弧,-L 是与L 方向相反的有向曲线弧,则⎰⎰+-=+-L L dy y x Q dx y x P d y x Q dx y x P ),(),(),(),(.两类曲线积分之间的关系:设{cos τi , sin τi }为与∆s i 同向的单位向量,我们注意到{∆x i ,∆y i }=∆s i , 所以 ∆x i =cos τi ⋅∆s i ,∆y i =sin τi ⋅∆s i ,⎰∑=∆==→Lni i i i i ds y x f s f ττηξλcos ),(cos ),(lim 10,⎰∑=∆==→Lni i i i i ds y x f s f ττηξλsin ),(sin ),(lim 1.即⎰⎰+=+L L ds Q P Qdy Pdx ]sin cos [ττ, 或⎰⎰⋅=⋅LLds d t A r A .其中A ={P ,Q },t ={cos τ, sin τ}为有向曲线弧L 上点<x ,y >处单位切向量,d r =t ds ={dx ,dy }. 类似地有⎰⎰ΓΓ++=++ds R Q P Rdz Qdy Pdx ]cos cos cos [γβα,或⎰⎰⎰ΓΓΓ=⋅=⋅ds A ds d t t A r A .其中A ={P ,Q ,R },T ={cos α, cos β, cos γ}为有向曲线弧Γ上点<x ,y ,z >处单们切向量,d r =T ds ={dx ,dy ,dz },A t 为向量A 在向量t 上的投影. 二、对坐标的曲线积分的计算:定理:设P <x ,y >、Q <x ,y >是定义在光滑有向曲线L :x =ϕ<t >,y =ψ<t >,上的连续函数,当参数t 单调地由α变到β时,点M <x ,y >从L 的起点A 沿L 运动到终点B ,则⎰⎰'=βαϕψϕdt t t t P dx y x P L )()](),([),(,⎰⎰'=βαψψϕdt t t t Q dy y x Q L)()](),([),(.讨论:⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(=？提示:⎰⎰'+'=+βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L)}()](),([)()](),([{),(),(.定理: 若P <x ,y >是定义在光滑有向曲线L : x =ϕ<t >,y =ψ<t ><α≤t ≤β>上的连续函数,L 的方向与t 的增加方向一致,则⎰⎰'=βαϕψϕdt t t t P dx y x P L )()](),([),(.简要证明: 不妨设α≤β.对应于t 点与曲线L 的方向一致的切向量为{ϕ'<t >,ψ'<t >}, 所以)()()(cos 22t t t ψϕϕτ'+''=,从而⎰⎰=L L ds y x P dx y x P τcos ),(),(⎰'=βαϕψϕdt t t t P )()](),([.应注意的问题:下限a 对应于L 的起点,上限β对应于L 的终点,α不一定小于β. 讨论:若空间曲线Γ由参数方程x =ϕt >,y =ψ <t >,z =ω<t >给出,那么曲线积分⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=？如何计算？ 提示:⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(⎰'=βαϕωψϕ )()](),(),([{t t t t P dt t t t t R t t t t Q )}()](),(),([)()](),(),([ωωψϕψωψϕ'+'+,其中α对应于Γ的起点,β对应于Γ的终点. 例题: 例1.计算⎰L xydx ,其中L 为抛物线y 2=x 上从点A <1,-1>到点B <1, 1>的一段弧.例2.计算⎰L dx y 2.<1>L 为按逆时针方向绕行的上半圆周x 2+y 2=a 2; <2>从点A <a , 0>沿x 轴到点B <-a , 0>的直线段. 例3 计算⎰+L dy x xydx 22. <1>抛物线y =x 2上从O <0, 0>到B <1, 1>的一段弧; <2>抛物线x =y 2上从O <0, 0>到B <1, 1>的一段弧; <3>从O <0, 0>到A <1, 0>, 再到R <1, 1>的有向折线OAB . 例4.计算ydz x dy zy dx x 2233-+⎰Γ,其中Γ是从点A <3, 2, 1>到点B <0, 0, 0>的直线段AB .例5.设一个质点在M <x ,y >处受到力F 的作用,F 的大小与M 到原点O 的距离成正比,F 的方向恒指向原点.此质点由点A <a , 0>沿椭圆12222=+by a x 按逆时针方向移动到点B <0,b >,求力F所作的功W .小结1.第二类曲线积分的定义；2. 第二类曲线积分的计算方法.教学方式与教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意第二类曲线积分的定义和计算方法,要结合实例,反复讲解.师生活动设计1. 已知Γ为折线ABCOA,计算⎰Γ+-=ydz dy dx I讲课提纲、板书设计 作业 P200: 3〔1〕〔3〕〔5〕〔7〕,4§11.3 格林公式与其应用一、格林公式 单连通与复连通区域:设D 为平面区域,如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D ,则称D 为平面单连通区域,否则称为复连通区域.对平面区域D 的边界曲线L , 我们规定L 的正向如下:当观察者沿L 的这个方向行走时,D 内在他近处的那一部分总在他的左边. 区域D 的边界曲线L 的方向:定理1设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P <x ,y >与Q <x ,y >在D 上具有一阶连续偏导数,则有⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L DQdy Pdx dxdy yPx Q )(,其中L 是D 的取正向的边界曲线.简要证明:仅就D 即是X －型的又是Y －型的区域情形进行证明.设D ={<x ,y >|ϕ1<x >≤y ≤ϕ2<x >,a ≤x ≤b }.因为yP ∂∂连续,所以由二重积分的计算法有dx x x P x x P dx dy y y x P dxdy y P b ax x b a D)]}(,[)](,[{}),({12)()(21ϕϕϕϕ-=∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰.另一方面,由对坐标的曲线积分的性质与计算法有dx x x P x x P ba)]}(,[)](,[{21ϕϕ-=⎰.因此⎰⎰⎰=∂∂-L DPdx dxdy yP .设D ={<x ,y >|ψ1<y >≤x ≤ψ2<y >,c ≤y ≤d }.类似地可证⎰⎰⎰=∂∂L DQdx dxdy x Q.由于D 即是X －型的又是Y －型的,所以以上两式同时成立,两式合并即得⎰⎰⎰+=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q .应注意的问题:对复连通区域D ,格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分,且边界的方向对区域D 来说都是正向.设区域D 的边界曲线为L , 取P =-y ,Q =x ,则由格林公式得⎰⎰⎰-=L Dydx xdy dxdy 2, 或⎰⎰⎰-==LDydx xdy dxdy A 21.例1.椭圆x =a cos θ,y =b sin θ所围成图形的面积A . 分析:只要1=∂∂-∂∂y P x Q , 就有A dxdy dxdy yP x QDD==∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰)(. 例2设L 是任意一条分段光滑的闭曲线,证明⎰=+L dy x xydx 022.例3.计算⎰⎰-Dy dxdy e 2,其中D 是以O <0, 0>,A <1, 1>,B <0, 1>为顶点的三角形闭区域.分析:要使2y e yP x Q -=∂∂-∂∂,只需P =0,2y xe Q -=. 例4计算⎰+-L y x ydxxdy 22,其中L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向.解: 令22y x y P +-=,22y x x Q +=.则当x 2+y 2≠0时,有y P y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(. 记L 所围成的闭区域为D .当<0, 0>∉D 时,由格林公式得022=+-⎰L y x ydxxdy ;当<0, 0>∈D 时, 在D 内取一圆周l :x 2+y 2=r 2<r >0>.由L 与l 围成了一个复连通区域D 1,应用格林公式得02222=+--+-⎰⎰l L y x ydx xdy y x ydx xdy ,其中l 的方向取逆时针方向.于是⎰⎰+-=+-l L y x ydxxdy y x ydx xdy 2222⎰+=πθθθ2022222sin cos d r r r =2π.记L 所围成的闭区域为D . 当<0, 0>∉D 时,由格林公式得0)(22=∂∂-∂∂=+-⎰⎰⎰dxdy y Px Q y x ydx xdy DL . 分析:这里22y x y P +-=,22y x x Q +=, 当x 2+y 2≠0时,有y P y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(. 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关:设G 是一个开区域,P <x ,y >、Q <x ,y >在区域G 内具有一阶连续偏导数.如果对于G 内任意指定的两个点A 、B 以与G 内从点A 到点B 的任意两条曲线L 1、L 2,等式 恒成立,就说曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关,否则说与路径有关.设曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关,L1和L 2是G 内任意两条从点A 到点B 的曲线,则有⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx ,因为⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx ⇔021=+-+⎰⎰L L Qdy Pdx Qdy Pdx⇔021=+++⎰⎰-LL Qdy Pdx Qdy Pdx ⇔0)(21=+⎰-+L L Qdy Pdx ,所以有以下结论: 曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关相当于沿G 内任意闭曲线C 的曲线积分⎰+L Qdy Pdx 等于零.定理2 设开区域G 是一个单连通域,函数P <x ,y >与Q <x ,y >在G 内具有一阶连续偏导数,则曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关〔或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零〕的充分必要条件是等式在G 内恒成立. 充分性易证:若x Q y P ∂∂=∂∂,则0=∂∂-∂∂yP x Q ,由格林公式,对任意闭曲线L ,有⎰⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=+D L dxdy y P x Q Qdy Pdx 0. 必要性:假设存在一点M 0∈G ,使0≠=∂∂-∂∂ηy P x Q ,不妨设η>0,则由yP x Q ∂∂-∂∂的连续性,存在M 0的一个δ邻域U <M 0, δ>,使在此邻域内有2η≥∂∂-∂∂y P x Q . 于是沿邻域U <M 0, δ>边界l 的闭曲线积分02)(2),(0>⋅≥∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰πδηδM U ldxdy y P x Q Qdy Pdx , 这与闭曲线积分为零相矛盾, 因此在G 内0=∂∂-∂∂yPx Q . 应注意的问题:定理要求,区域G 是单连通区域,且函数P <x ,y >与Q <x ,y >在G 内具有一阶连续偏导数.如果这两个条件之一不能满足,那么定理的结论不能保证成立. 破坏函数P 、Q 与y P ∂∂、xQ ∂∂连续性的点称为奇点. 例5计算⎰+Ldy x xydx 22, 其中L 为抛物线y =x 2上从O <0, 0>到B <1, 1>的一段弧.解:因为xxQ y P 2=∂∂=∂∂在整个xOy 面内都成立,所以在整个xOy 面内,积分⎰+L dy x xydx 22与路径无关.1112==⎰dy .讨论: 设L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L 的方向为逆时针方向, 问022=+-⎰L y x ydxxdy 是否一定成立？提示:这里22y x y P +-=和22y x x Q +=在点<0, 0>不连续.因为当x 2+y 2≠0时,yP y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(, 所以如果<0, 0>不在L 所围成的区域内,则结论成立,而当<0,0>在L 所围成的区域内时, 结论未必成立. 三、二元函数的全微分求积曲线积分在G 内与路径无关, 表明曲线积分的值只与起点从点<x 0,y 0>与终点<x ,y >有关. 如果⎰+L Qdy Pdx 与路径无关,则把它记为⎰+),(),(00y x y x Qdy Pdx即⎰⎰+=+),(),(0y x y x L Qdy Pdx Qdy Pdx .若起点<x 0,y 0>为G 内的一定点,终点<x ,y >为G 内的动点,则 u <x ,y >⎰+=),(),(0y x y x Qdy Pdx为G 内的的函数.二元函数u <x ,y >的全微分为du <x ,y >=u x <x ,y >dx +u y <x ,y >dy .表达式P <x ,y >dx +Q <x ,y >dy 与函数的全微分有相同的结构, 但它未必就是某个函数的全微分. 那么在什么条件下表达式P <x ,y >dx +Q <x ,y >dy 是某个二元函数u <x ,y >的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？定理3 设开区域G 是一个单连通域,函数P <x ,y >与Q <x ,y >在G 内具有一阶连续偏导数,则P <x ,y >dx +Q <x ,y >dy 在G 内为某一函数u <x ,y >的全微分的充分必要条件是等式 在G 内恒成立. 简要证明:必要性:假设存在某一函数u <x ,y >,使得du =P <x ,y >dx +Q <x ,y >dy ,则有y x u x u y y P ∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂2)(,x y u y u x x Q ∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂2)(.因为y P y x u ∂∂=∂∂∂2、xQ x y u ∂∂=∂∂∂2连续, 所以xy u y x u ∂∂∂=∂∂∂22,即x Q y P ∂∂=∂∂.充分性:因为在G 内xQ y P ∂∂=∂∂, 所以积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(在G 内与路径无关.在G内从点<x 0,y 0>到点<x ,y >的曲线积分可表示为u <x ,y >⎰+=),(),(0),(),(y x y x dy y x Q dx y x P .因为 u <x ,y >⎰+=),(),(0),(),(y x y x dy y x Q dx y x P⎰⎰+=xx yy dx y x P dy y x Q 0),(),(0,所以 ),(),(),(000y x P dx y x P x dy y x Q x x u x x y y =∂∂+∂∂=∂∂⎰⎰.类似地有),(y x Q yu =∂∂,从而du =P <x ,y >dx +Q <x ,y >dy .即P <x ,y >dx +Q <x ,y >dy 是某一函数的全微分. 求原函数的公式:⎰+=),(),(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u ,⎰⎰+=y y x x dy y x Q dx y x P y x u 00),(),(),(0, ⎰⎰+=xx yy dx y x P dy y x Q y x u 0),(),(),(0.例6 验证:22y x ydxxdy +-在右半平面<x >0>内是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数.解: 这里22y x y P +-=,22y x x Q +=.因为P 、Q 在右半平面内具有一阶连续偏导数, 且有yP y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(, 所以在右半平面内,22y x ydxxdy +-是某个函数的全微分.取积分路线为从A <1,0>到B <x ,0>再到C <x ,y >的折线, 则所求函数为⎰+-=),()0 ,1(22),(y x y x ydx xdy y x u ⎰++=y y x xdy 0220x yarctan =. 问:为什么<x 0,y 0>不取<0, 0>?例7验证:在整个xOy 面内,xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数. 解这里P =xy 2,Q =x 2y .因为P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 且有yP xy x Q∂∂==∂∂2, 所以在整个xOy 面内,xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分.取积分路线为从O <0,0>到A <x ,0>再到B <x ,y >的折线, 则所求函数为⎰+=),()0 ,0(22),(y x ydy x dx xy y x u 2022022y x ydy xydy x yy==+=⎰⎰. 思考与练习:1.在单连通区域G 内,如果P <x ,y >和Q <x ,y >具有一阶连续偏导数,且恒有yP x Q ∂∂=∂∂,那么 <1>在G 内的曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(是否与路径无关? <2>在G 内的闭曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(是否为零?<3> 在G 内P <x ,y >dx +Q <x ,y >dy 是否是某一函数u <x ,y >的全微分? 2.在区域G 内除M 0点外,如果P <x ,y >和Q <x ,y >具有一阶连续偏导数,且恒有yP x Q ∂∂=∂∂,G 1是G 内不含M 0的单连通区域,那么 <1>在G 1内的曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(是否与路径无关? <2>在G 1内的闭曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(是否为零?<3> 在G 1内P <x ,y >dx +Q <x ,y >dy 是否是某一函数u <x ,y >的全微分? 3. 在单连通区域G 内,如果P <x ,y >和Q <x ,y >具有一阶连续偏 导数,x Q y P ∂∂≠∂∂,但yP x Q ∂∂-∂∂非常简单,那么<1>如何计算G 内的闭曲线积分? <2>如何计算G 内的非闭曲线积分? <3>计算dy y e dx y y e x x L)2cos ()2sin (-+-⎰,其中L 为逆时针方向的上半圆周<x -a >2+y 2=a 2,y ≥0,小结1.格林公式2. 格林公式中的等价条件.教学方式与教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意格林公式和其中的等价条件,要结合实例,反复讲解.师生活动设计讲课提纲、板书设计作业 P214: 2 <1>; 3 ; 4 <3> ;5 <1> , <4> ;6 <2> , <5>§11.4对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质物质曲面的质量问题:设∑为面密度非均匀的物质曲面,其面密度为ρ<x ,y ,z >,求其质量:把曲面分成n 个小块:∆S 1,∆S 2 ,⋅⋅⋅,∆S n <∆S i 也代表曲面的面积>;求质量的近似值:ii i i ni S ∆=∑),,(1ζηξρ<<ξi ,ηi ,ζi >是∆S i 上任意一点>;取极限求精确值:i i i i ni S M ∆==→∑),,(lim 10ζηξρλ<λ为各小块曲面直径的最大值>.定义设曲面∑是光滑的,函数f <x ,y ,z >在∑上有界.把∑任意分成n 小块:∆S 1,∆S 2 ,⋅⋅⋅,∆S n <∆S i 也代表曲面的面积>, 在∆S i 上任取一点<ξi ,ηi ,ζi >, 如果当各小块曲面的直径的最大值λ→0时, 极限i i i i ni S f ∆=→∑),,(lim 10ζηξλ总存在, 则称此极限为函数f <x ,y ,z >在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分, 记作⎰⎰∑dS z y x f ),,(,即i i i i ni S f dS z y x f ∆==→∑∑⎰⎰),,(lim ),,(10ζηξλ. 其中f <x ,y ,z >叫做被积函数,∑叫做积分曲面. 对面积的曲面积分的存在性:⎰+L y Q x P d d yx y P x Q D d d ⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=我们指出当f <x ,y ,z >在光滑曲面∑上连续时对面积的曲面积分是存在的.今后总假定f <x ,y ,z >在∑上连续.根据上述定义面密度为连续函数ρ<x ,y ,z >的光滑曲面∑的质量M 可表示为ρ<x ,y ,z >在∑上对面积的曲面积分:如果∑是分片光滑的我们规定函数在∑上对面积的曲面积分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和.例如设∑可分成两片光滑曲面∑1与∑2<记作∑=∑1+∑2>就规定⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=2121),,(),,(),,(dS z y x f dS z y x f dS z y x f .对面积的曲面积分的性质: <1>设c 1、c 2为常数, 则dS z y x g c dS z y x f c dS z y x g c z y x f c ),,(),,()],,(),,([2121∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+;<2>若曲面∑可分成两片光滑曲面∑1与∑2, 则dS z y x f dS z y x f dS z y x f ),,(),,(),,(21∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=;<3>设在曲面∑上f <x ,y ,z >≤g <x ,y ,z >, 则dS z y x g dS z y x f ),,(),,(∑∑⎰⎰⎰⎰≤;<4>A dS =∑⎰⎰, 其中A 为曲面∑的面积.二、对面积的曲面积分的计算面密度为f <x ,y ,z >的物质曲面的质量为⎰⎰∑=→=∆=∑dS z y x f S f M i i i i ni ),,(),,(lim 10ζηξλ.另一方面,如果∑由方程z =z <x ,y >给出,∑在xOy 面上的投影区域为D , 那么 曲面的面积元素为dxdy y x z y x z dA y x ),(),(122++=,质量元素为dxdy y x z y x z y x z y x f dA y x z y x f y x ),(),(1)],(,,[)],(,,[22++=.根据元素法, 曲面的质量为⎰⎰++=Dy x dxdy y x z y x z y x z y x f M ),(),(1)],(,,[22.因此⎰⎰⎰⎰++=∑Dy x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ),(),(1)],(,,[),,(22. 化曲面积分为二重积分:设曲面∑由方程z =z <x ,y >给出,∑在xOy 面上的投影区域为D xy ,函数z =z <x ,y >在D xy 上具有连续偏导数,被积函数f <x ,y ,z >在∑上连续, 则⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ),(),(1)],(,,[),,(22.如果积分曲面∑的方程为y =y <z ,x >,D zx 为∑在zOx 面上的投影区域, 则函数f <x ,y ,z >在∑上对面积的曲面积分为⎰⎰⎰⎰++=∑zxD x z dzdx x z y x z y z x z y x f dS z y x f ),(),(1]),,(,[),,(22.如果积分曲面∑的方程为x =x <y ,z >,D yz 为∑在yOz 面上的投影区域,则函数f <x ,y ,z >在∑上对面积的曲面积分为dydz z y x z y x z y z y x f dS z y x f z y D yz),(),(1],),,([),,(22++=⎰⎰⎰⎰∑.例1计算曲面积分⎰⎰∑dS z 1,其中∑是球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面z =h <0<h <a >截出的顶部.解∑的方程为222y x a z --=,D xy :x 2+y 2≤a 2-h 2. 因为 222yx a x z x ---=,222y x a y z y ---=, dxdy yx a a dxdy z z dS y x 222221--=++=,所以⎰⎰⎰⎰--=∑xyD dxdy y x a adS z 2221⎰⎰--=πθ202222h a r a rdr d a 22022)]ln(21[2h a r a a ---=πh a a ln 2π=.提示:222222222222211yx a a y x a y y x a x z z yx --=--+--+=++. 例2 计算⎰⎰∑xyzdS ,其中∑是由平面x =0,y =0,z =0与x +y +z =1所围成的四面体的整个边界曲面.解整个边界曲面∑在平面x =0、y =0、z =0与x +y +z =1上的部分依次记为∑1、∑2、∑3与∑4,于是⎰⎰---=110)1(3xdy y x y xdx ⎰-⋅=1036)1(3dx x x 1203=.提示:∑4:z =1-x -y ,dxdy dxdy z z dS y x 3122='+'+=.小结1. 对面积的曲面积分的定义和计算2. 格林公式中的等价条件.教学方式与教学过程中应注意的问题在教学过程中要注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧. ,要结合实例,反复讲解.师生活动设计课后习题：1,3,7讲课提纲、板书设计作业 P218: 4<3>; 5<2>;6<1>, <3>, <4>;8。
线面积分与级数复习题及答案
第四章：曲线积分与曲面积分习题一、填空题1、设L 为单位圆周x 2+y 2=1在第一象限的部分，则曲线积分 xyds L = 12 。
3、已知P x,y =x 2+y 2,要使得 Pdx +Qdy L 与积分路径无关，则Q(x,y)=2xy 。
4、设P x,y 与Q(x,y)在平面单连通区域G 内具有连续一阶偏导数，则P x,y dx +Q(x,y)dy 在G 内为某个函数的全微分的充要条件是∂P∂y =∂Q ∂x。
6、设L:x 2+y 2=R 2，方向为逆时针方向，利用格林公式计算 （−x 2y ）dx L +xy 2dy = 12πR 4。
7、平面单连通区域G 内曲线积分 Pdx +Qdy L 与路径无关的一个充要条件是∂P ∂y =∂Q ∂x。
8、设L 是抛物线y =x 2从(0,0)到(2,4)的一段弧，则对坐标的曲面积 (x 2− y 2L )dx = −5615 。
9、设其中曲线C 为x 2+y 2=1沿正向，则曲线积分 xdy −ydx x +y C=2π。
10、设向量场F x,y,z =xy 2i +x 2yj −x 2+y 2k ,则散度div F = x 2+y 2。
二、计算题;11、计算曲线积分 xds L ，其中L 为 y =x 2−1上介于x=0与x=1之间的一段弧。
解： xds L = x 1+4x 210dx =5 5−112。
12、 （x +y +z ）ds Γ ，其中Γ:x =2cost,y =2sint ,z =t ,t ∈[0,π] 。
解： （x +y +z ）ds Γ= 2cost +2sint +t 5dt =52π0(8+π2)13、已知Σ是z =x 2+y 2上z ≤1的部分曲面，计算 1+4z ΣdS 。
解： 1+4z ΣdS = (1+4x 2+4y 2)Ddxdy =3π 14、证明：沿任何分段光滑的闭曲线L ，有 cosy +ycosx L )dx + sinx −xsiny dy =0 证明：因为P(x,y)=cosy +ycosx , Q(x,y)= sinx −xsiny , 所以有∂P∂y =∂Q ∂x，故得证。
高等数学-曲面积分试题
Ⅶ 曲线积分与曲面积分（二）课堂练习题一、填空题1．cosα, cosβ, cosγ是光滑闭曲面Σ的外法向量方向余弦，Σ所围空间闭区域为V ，设u (x, y , z )在V 上具有连续二阶偏导数，则用高斯公式化曲面积分为重积分时有(cos cos cos )u u u ds x y z∂∂∂αβγ∂∂∂∑++⎰⎰Ò= 。
2．分片光滑闭曲面Σ所围成的空间区域Ω的体积为V ，则沿曲面Σ外侧的积分()()()z y dxdy y x dxdz x z dzdy ∑-+-+-⎰⎰Ò= 。
3．设函数),,(z y x p 在空间闭区域V 上有一阶连续偏导数，又Σ是V 的光滑边界曲面的外侧，则由高斯公式有(,,)p x y z dydz ∑⎰⎰Ò 。
4．设Σ是一片分布着质量的光滑曲面，其面密度为常数μ，则曲面对y 轴的转动惯量I y = 。
5．围成空间闭区域V 的光滑闭曲面Σ外法向量的方向余弦为cos α、cos β、cos γ，设P (x , y , z )、Q (x , y , z )、R (x , y , z )在V 上有连续二阶偏导数，则[()cos ()cos ()cos ]R Q P R Q Pds y z z x x y ∂∂∂∂∂∂αβγ∂∂∂∂∂∑-+-+-∂⎰⎰Ò 。
二、选择题1．设∑为球面2221x y z ++=，1∑为其上半球面，则 式正确。
A ．12zds zds ∑∑=⎰⎰⎰⎰；B ．12zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰；C ．1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰；D ．zdxdy ∑⎰⎰=0。
2．若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面，则ds ∑⎰⎰等于 。
A．200d rdr πθ⎰⎰； B．200d rdr πθ⎰⎰；C ．20d rdr πθ⎰； D ．2π。
3．若∑为球面2222x y z R ++=的外侧，则22x y zdxdy ∑⎰⎰等于 。
曲线积分与曲面积分重点总结+例题
第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2.掌握计算两类曲线积分的方法.3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。
【教学重点】1。
两类曲线积分的计算方法；2。
格林公式及其应用；3。
第一类曲面积分的计算方法；【教学难点】1。
两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;3。
应用格林公式计算对坐标的曲线积分；6.两类曲线积分的计算方法；7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。
[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。
《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社§11.1 对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。
求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;整个物质曲线的质量近似为;令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。
定义设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。
，将L任意分成n个弧段：∆s1,∆s2，⋅⋅⋅,∆s n,并用∆s i表示第i段的弧长;在每一弧段∆s i上任取一点(ξi，ηi）,作和；令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n}，如果当λ→0时,这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中f(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段。
曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册 (上海电机学院)
第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B. πC.14π D. 12π 5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰Ñ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。
10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰Ñ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )yx (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。
第十一章 曲线积分与曲面积分经典例题
第十一章 曲线积分与曲面积分内容要点一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质性质1 设α，β为常数，则⎰⎰⎰+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα；性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则.),(),(),(2121⎰⎰⎰+=+L L LL ds y x f ds y x f ds y x f注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的.性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则ds y x g ds y x f LL⎰⎰≤),(),(性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使s f ds y x f L⋅=⎰),(),(ηξ其中s 是曲线L 的长度.三、第一类曲线积分的计算：)(),(),(βα≤≤⎩⎨⎧==t t y y t x xdt t y t x t y t x f ds y x f L)()(])(),([),(22'+'=⎰⎰βα(1.10)如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则dx x y x y x f ds y x f ba L )(1])(,[),(2'+=⎰⎰ (1.11)如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则dy y x y y x f ds y x f dcL )(1]),([),(2'+=⎰⎰ (1.12)如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则θθθθθβαd r r r r f ds y x f L)()()sin ,cos (),(22'+=⎰⎰例5（E03）计算,||⎰Lds y 其中L 为双纽线（图10-1-4）)()(222222y x a y x -=+的弧.解 双纽线的极坐标方程为 .2cos 22θa r =用隐函数求导得 ,2sin ,2sin 22ra r a r r θθ-='-='.2sin 2224222θθθθd r a d ra r d r r ds =+='+= 所以 .)22(2sin 4sin 4||2402402a d a d ra r ds y L -==⋅=⎰⎰⎰ππθθθθ 内容要点一、引例：设有一质点在xOy 面内从点A 沿光滑曲线弧L 移动到点B ,在移动过程中，这质点受到力j y x Q i y x P y x F ρρρ),(),(),(+= (2.1)的作用，其中),(y x P ，),(y x Q 在L 上连续. 试计算在上述移动过程中变力),(y x F ρ所作的功. 二、 第二类曲线积分的定义与性质：j y x Q i y x P y x A ρρϖ),(),(),(+=⎰⎰+=⋅LLds Q P ds t A )cos cos (βαϖϖ平面上的第二类曲线积分在实际应用中常出现的形式是⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(⎰⎰+=L L dy y x Q dx y x P ),(),(性质1 设L 是有向曲线弧, L -是与L 方向相反的有向曲线弧，则⎰⎰+-=+-L L dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(；即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.性质2 如设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成，则⎰⎰⎰+++=+21L L L Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx .三、第二类曲线积分的计算：),(t x x = ),(t y y =⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(⎰'+'=βαdt t y t y t x Q t x t y t x P )}()](),([)()](),([{. (2.9)如果曲线L 的方程为 ),(x y y =起点为a , 终点为b ，则.)}()](,[)](,[{⎰⎰'+=+ba L dx x y x y x Q x y x P Qdy Pdx如果曲线L 的方程为),(y x x = 起点为c , 终点为d ，则.]}),([)(]),([{⎰⎰+'=+dcLdy y y x Q y x y y x P Qdy Pdx内容要点一、格林公式定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q (3.1)其中L 是D 的取正向的边界曲线.若在格林公式(3.1)中，令,,x Q y P =-= 得⎰⎰⎰-=LDydx xdy dxdy 2，上式左端是闭区域D 的面积A 的两倍，因此有 .21⎰-=Lydx xdy A 二、平面曲线积分与路径无关的定义与条件定理2 设开区域D 是一个单连通域，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：（1） 曲线积分⎰+LQdy Pdx 在D 内与路径无关；（2）表达式Qdy Pdx +为某二元函数),(y x u 的全微分； （3）xQy P ∂∂=∂∂在D 内恒成立； （4）对D 内任一闭曲线L ，0=+⎰LQdy Pdx .由定理的证明过程可见，若函数),(y x P ，),(y x Q 满足定理的条件，则二元函数⎰+=),(),(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u (3.3)满足 dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=， 我们称),(y x u 为表达式dy y x Q dx y x P ),(),(+的原函数.C dy y x P dx y x P y x u yy xx ++=⎰⎰00),(),(),(0或 C dy y x P dx y x P y x u yy xx ++=⎰⎰0),(),(),(0例4 计算,2dxdy e Dy ⎰⎰- 其中D 是以)1,0(),1,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形闭区域.解 令,0=P ,2y xe Q -=则 yPx Q ∂∂-∂∂.2y e -= 应用格林公式,得dxdy e Dy ⎰⎰-2⎰++-=BOAB OA y dy xe 2⎰-=OAdy xe y 2⎰-=102dx xe x ).1(211--=e 例5（E03）计算,22⎰+-L y x ydx xdy 其中L 为一条无重点)1(, 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方向为逆时针方向.解 记L 所围成的闭区域为,D 令,22y x y P +-=,22yx xQ += 则当022≠+y x 时，有 x Q∂∂22222)(y x x y +-=.y P ∂∂=(1) 当D ∉)0,0(时，由格林公式知;022=+-⎰L y x ydxxdy(2) 当D ∈)0,0(时，作位于D 内圆周,:222r y x l =+记1D 由L 和l 所围成,应用格林公式，得⎰⎰=+--+-L l y x ydxxdy y x ydx xdy .02222故⎰+-L y x ydx xdy 22⎰+-=l y x ydxxdy 22⎰+=πθθθ2022222sin cos d rr r ⎰=πθ20d .2π=例6（E04）求椭圆θcos a x =，θsin b y =所围成图形的面积A . 解 所求面积A ⎰-=L ydx xdy 21⎰+=πθθθ2022)sin cos (21d ab ab ⎰=πθ2021d ab.ab π=例7 计算抛物线)0()(2>=+a ax y x 与x 轴所围成的面积. 解 ONA 为直线.0=y 曲线AMO 为 ,x ax y -=].,0[a x ∈ ∴A ⎰-=AMOydx xdy 21⎰⎰-+-=AMOONAydx xdy ydx xdy 2121⎰-=AMOydx xdy 21⎰--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=)(1221a dx x ax dx ax a x ⎰=adx x a4.612a =例10（E06）计算,)8,6()0,1(22⎰++yx ydy xdx 积分沿不通过坐标原点的路径.解 显然,当)0,0(),(≠y x 时， 22y x ydy xdx ++,22y x d +=于是⎰++)8,6()0,1(22yx ydy xdx ⎰+=)8,6()0,1(22y x d )8,6()0,1(22y x +=.9=例 12 验证: 在整个xOy 面内, ydy x dx xy 22+是某个函数的全微分, 并求出一个这样 的函数.证2 利用原函数法求全微分函数).,(y x u 由2xy y u =∂∂ ),(2222y y x dx xy u ϕ+==⎰其中)(y ϕ是y 的待定函数.由此得).(2y y x yuϕ'+=∂∂ 又u 必须满足 y x yu2=∂∂ y x y y x 22)('=+ϕ 0)('=y ϕ ,)(C y =ϕ 所求函数为.2/22C y x u +=例13（E07）设函数),(y x Q 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数, 曲线积分与路径无关, 并且对任意t , 总有,),(2),(2),1()0,0()1,()0,0(⎰⎰+=+t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx求).,(y x Q解 由曲线积分与路径无关的条件知,2x xQ=∂∂ 于是),(),(2y C x y x Q +=其中)(y C 为待定函数.dy y x Q xydx t ),(2)1,()0,0(+⎰⎰+=102))((dy y C t ,)(102⎰+=dy y C tdy y x Q xydx t ),(2),1()0,0(+⎰⎰+=tdy y C 0))(1(,)(0⎰+=t dy y C t由题意可知⎰+12)(dy y C t .)(0⎰+=tdy y C t两边对t 求导,得)(12t C t +=或.12)(-=t t C 所以.12),(2-+=y x y x Q例14（E08）设曲线积分⎰+Ldy x y dx xy )(2ϕ与路径无关, 其中ϕ具有连续的导数, 且,0)0(=ϕ计算.)()1,1()0,0(2⎰+dy x y dx xy ϕ解 ),(y x P ,2xy =),(y x Q ),(x y ϕ= y P ∂∂)(2xy y ∂∂=,2xy =x Q ∂∂)]([x y xϕ∂∂=).('x y ϕ= 因积分与路径无关散,xQy P ∂∂=∂∂ 由xy x y 2)('=ϕ .)(2C x x +=ϕ 由,0)0(=ϕ知0=C .)(2x x =ϕ 故⎰+)1,1()0,0(2)(dy x y dx xy ϕ⎰⎰+=1010ydy dx .21= 例15 选取b a ,使表达式dy e y x be dx ae e y x yxyy])1([])1[(++-++++为某一函数的全微分, 并求出这个函数.解 y P ∂∂])1[(y y ae e y x y +++∂∂=,y y ae e +=x Q ∂∂])1([y x e y x be x ++-∂∂=,y x e be -=若表达式全微分式,则,xQy P ∂∂=∂∂即 .y x y x e be ae e -=+得,1-=a .1=b ),(y x u +-+++=⎰xx dx e e x 00])1()10[(⎰+++-yy x C dy e y x e 0])1([C dy e y x e dx e x yy y xx +++-+-+=⎰⎰])1([]1)1[(C ye xe y e x xe yy y x x x +--+-=00][][.))((C e e y x y x +-+=例16（E09）求方程0)3()3(2323=-+-dy y x y dx xy x 的通解. 解 ,6xQxy y P ∂∂=-=∂∂原方程是全微分方程, ⎰⎰+-=yxdy y dx xy x y x u 0323)3(),(,42344224y y x x +-=原方程的通解为.42344224C y y x x =+- 例19求微分方程0)1(222=---+dy y x dx y x x 的通解.解 将题设方程改写为,02222=---+dy y x dx y x x xdx 即,0)()(2222=---+dy y x x d y x x d 将方程左端重新组合,有,0)()(222=--+y x d y x x d故题设方程的通解为 .)(322/322C y x x =-+内容要点一、 第一类曲面积分的概念与性质定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ∆(i S ∆同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ∆上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积),,2,1(),,(n i S f i i i i Λ=∆⋅ζηξ并作和,),,(1∑=∆⋅ni i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在,则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为∑⎰⎰=→∑∆=ni i i i i S f dS z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法.),(),(1)],(,,[),,(22⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f例4计算,dS xyz ⎰⎰∑其中∑为抛物面).10(22≤≤+=z y x z解 根据抛物面22y x z +=对称性,及函数||xyz 关于yOz xOz 、坐标面对称,有dxdy y x y x xy xyzdS dS xyz xy D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+++=∑=∑2222)2()2(1)(441⎰⎰⎰⎰+=+⋅=20125122220412sin 241sin cos 4ππdr r r tdt rdr r rt t r dt.420151254141512-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰du u u 例 5 计算,⎰⎰∑xdS 其中∑是圆柱面,122=+y x 平面2+=x z 及0=z 所围成的空间立体的表面.解，＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑+∑∑321∑∑12，在xOy 面上得投影域.1:22≤+y x D xy于是⎰⎰⎰⎰∑==1,0xyD xdxdy xdS ⎰⎰⎰⎰∑=+=2,011xyD dxdy xxdS将)1:,(313223∑∑∑-±=x y 投影到zOx 面上，得投影域 .10,11:+≤≤≤≤-x y x D xydxdz y y x xdS xdS xdS zx D z x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=∑+∑=∑221232313,12112211222π=-=-+=⎰⎰⎰⎰+-x D dz x xdxdz x x x xz所以.00ππ=++=∑⎰⎰xdS例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400=R km).解 取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z 轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面∑是上半球面倍半顶角为α的圆锥面所截得的部分.∑的方程为,222y x R z --=它在xOy 面上的投影区域.sin :2222αR y x D xy ≤+于是通讯卫星的覆盖面积为).cos 1(22απ-=R A将h R R +=αcos 代入上式得 .21222h R h R h R R R A +⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为%.5.4242≈RAπ 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔32π角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.内容要点二、第二类曲面积分的概念与性质定义1 设∑为光滑的有向曲面, 其上任一点),,(z y x 处的单位法向量,cos cos cos k j i n ρρρργβα++= 又设k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρϖ),,(),,(),,(),,(++=其中函数R Q P ,,在∑上有界, 则函数γβαcos cos cos R Q P n v ++=⋅ϖϖ 则∑上的第一类曲面积分⎰⎰∑⋅dS n v ϖϖ.)cos cos cos (⎰⎰∑++=dS R Q P γβα (5.5)称为函数),,(z y x A ϖ在有向曲面∑上的第二类曲面积分.三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面∑：),(y x z z =，与平行于z 轴的直线至多交于一点，它在xOy 面上的投影区域为xy D , 则.⎰⎰⎰⎰±=∑yzD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(. (5.9)上式右端取“+”号或“-”号要根据γ是锐角还是钝角而定.内容要点一、高斯公式定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P (6.1)这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为.)cos cos cos (⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y Q x P γβα二、通量与散度一般地，设有向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρρ),,(),,(),,(),,(++=,其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，ορn 是曲面∑的单位法向量. 则沿曲面∑的第二类曲面积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑++=⋅=⋅=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d n A S d A ρρρρρο称为向量场A ρ通过曲面∑流向指定侧的通量. 而zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂ 称为向量场A ρ的散度，记为A div ϖ，即zRy Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂=ϖ. (6.5)例4（E04）证明: 若∑为包围有界域Ω的光滑曲面, 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∆dV z v z u y v y u x v x u dS n uvudV v其中nu∂∂为函数u 沿曲面∑的外法线方向的方向导数，u ,v 在Ω上具有一阶和二阶连续偏导数，符号222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.证 因为=∂∂n u γβαcos cos cos z u y u xu∂∂+∂∂+∂∂n u ρ⋅∇=，其中}cos ,cos ,{cos γβα=n ρ是∑在点),,(z y x 处 的外法线的方向余弦，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑⋅∇=⋅∇=∂∂dS n u v dS n u v dS nu v)[()(ρρdS z u v y u v x u v ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=γβαcos cos cos dv z u v z y u v y x u v x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=.dv z v z u y v y u x v x u udv v ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎝⎛⎪⎭⎫∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∆=将上式右端移至左端即得所要证明的等式.例5（E05）求向量场k z j y i x r ρρρρ++=的流量(1) 穿过圆锥)0(222h z z y x ≤≤≤+的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.解 设21,S S 及S 分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量 Q ⎰⎰+⋅=S S d r ρρ⎰⎰⎰=Vdv r div ρ⎰⎰⎰=Vdv 3.3h π=(1)穿过底面向上的流量 1Q ⎰⎰+⋅=S S d r ρρ⎰⎰=≤+=hz z y x zdxdy 222⎰⎰≤+=222z y x hdxdy .3h π=(2)穿过侧表面向外的流量2Q 1Q Q -=.0=内容要点一、斯托克斯公式定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑.⎰++=LRdz Qdy Pdx (7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx RQ P zy x dxdy dzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成.cos cos cos ⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx dS RQPzy x γβα二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度 设向量场,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρρ++= 则沿场A ρ中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分⎰++=ΓCRdz Qdy Pdx称为向量场A ρ沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,称为向量场A ρ的旋度，记为A rot ρ，即.k y P x Q j x R z P i z Q y R A rot ρρρρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=旋度也可以写成如下便于记忆的形式：RQ Pz y x k j i A rot ∂∂∂∂∂∂=ρρρρ.四、向量微分算子：,k zj y i x ρρρ∂∂+∂∂+∂∂=∇ 例 2 计算曲线积分,)()()(222222dz y x dy x z dx z y -+-+-⎰Γ其中Γ是平面2/3=++z y x 截立方体：,10≤≤x ,10≤≤y 10≤≤z 的表面所得的接痕，从x 轴的正向看法，取逆时针方向.解 取∑为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量,3}3,1,1{=n ρ即,31cos cos cos ===λβα原式dS y x x y z y z y x z⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222313131⎰⎰∑++-=dS z y x )(34.293322334-=-=∑⋅-=⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dS 例3（E02）计算,)()()(222222⎰Γ+++++dz y x dy z x dx z y 式中Γ是).0,0(2,222222><<=+=++z R r rx y x Rx z y x此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面Rx z y x 2222=++上的最小区域保持在左方.解 由斯托克斯公式，有 原式⎰⎰∑-+-+-=dS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(2γβαdS R z y x R y x z R x z y ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=)()(1)( ⎰⎰∑-=dS y z )(2(利用对称性)⎰⎰⎰⎰∑=∑=dS R zdS γcos ..2222R r d R Rdxdy rx y x πσ==∑=⎰⎰⎰⎰≤+ 例5（E03）设,32222yz xy y x u -+= 求grad u ； div(grad u )；rot(grad u ). 解 gradu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=z u y u x u ,,}.6,4,2{yz xy xy -=div(gradu)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂-∂+∂∂+∂∂=z yz y xy x xy )6()4()2(y x y 642-+=).(4y x -=rot(gradu).,,222222⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂=x y u y x u z x u x z u y z u z y u 因为22232yz xy y x u -+=有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故rot(gradu).0=注：一般地，如果u 是一单值函数，我们称向量场A ϖ=grad u 为势量场或保守场，而u 称为场A ϖ的势函数.例6（E04）设一刚体以等角速度k j i z y x ϖϖϖϖωωωω++=绕定轴L 旋转，求刚体内任意一点M 的线速度v ϖ的旋度.解 取定轴l 为z 轴，点M 的内径r ρOM =,k z j y i x ρρρ++=则点M 的线速度v ρr ρρ⨯=ωzyx kji z yx ωωωρρρ=,)()()(k x y j z x i y z y x x z z y ρρρωωωωωω-+-+-=于是v ρrot x y z x y z z y x kj i y x x z z y ωωωωωω---∂∂∂∂∂∂=ρρρ)(2k j i z y x ρρρωωω++=.2ωρ=即速度场v ρ的旋等于角速度ωρ的 2 倍.内容要点点函数积分的概念 点函数积分的性质点函数积分的分类及其关系一、点函数积分的概念定义1 设Ω为有界闭区域, 函数))((Ω∈=P P f u 为Ω上的有界点函数. 将形体Ω任意分成n 个子闭区域,,,,21n ∆Ω∆Ω∆ΩΛ其中i ∆Ω表示第i 个子闭区域, 也表示它的度量, 在i ∆Ω上任取一点i P , 作乘积),,2,1()(n i P f i i Λ=∆Ω并作和∑=∆Ωni iiP f 1)(如果当各子闭区域i ∆Ω的直径中的最大值λ趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为点函数)(P f 在Ω上的积分, 记为⎰ΩΩd P f )(, 即.)(lim )(1∑⎰=→Ω∆Ω=Ωni iiP f d P f λ其中Ω称为积分区域, )(P f 称为被积函数, P 称为积分变量, Ωd P f )(称为被积表达式,Ωd 称为Ω的度量微元.点函数积分具有如下物理意义: 设一物体占有有界闭区域Ω, 其密度为),)((Ω∈=P P f ρ则该物体的质量)0)((,)(≥Ω=⎰ΩP f d P f M特别地, 当1)(≡P f 时, 有).(lim 1度量Ω=∆Ω=Ω∑⎰=→Ωni id λ如果点函数)(P f 在有界闭区域Ω上连续, 则)(P f 在Ω上可积.二、点函数积分的性质设)(),(P g P f 在有界闭区域Ω上都可积, 则有 性质1 .)()()]()([⎰⎰⎰ΩΩΩΩ±Ω=Ω±d P g d P f d P g P f性质2 )()()(为常数k d P f k d P kf ⎰⎰ΩΩΩ=Ω性质3,)()()(21⎰⎰⎰ΩΩΩΩ+Ω=Ωd P f d P f d P f其中,21Ω=ΩΩY 且1Ω与2Ω无公共内点. 性质4 若,,0)(Ω∈≥P P f 则.0)(≥Ω⎰Ωd P f性质5 若,),()(Ω∈≤P P g P f 则.)()(⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P g d P f特别地, 有.|)(|)(⎰⎰ΩΩΩ≤Ωd P f d P f性质6 若)(P f 在积分区域Ω上的最大值为M , 最小值为m , 则.)(Ω≤Ω≤Ω⎰ΩM d P f m性质7 (中值定理)若)(P f 在有界闭区域Ω上连续, 则至少有一点,*Ω∈P 使得.)()(*Ω=Ω⎰ΩP f d P f其中ΩΩ=⎰Ωd P f P f )()(*称为函数)(P f 在Ω上的平均值.三、点函数积分的分类及其关系1.若,],[R b a ⊂=Ω这时],,[),()(b a x x f P f ∈=则.)()(⎰⎰=ΩΩbadx x f d P f (1)这是一元函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分. 当1)(=x f 时,a b dx ba-=⎰是区间长.2.右,2R L ⊂=Ω且L 是一平面曲线, 这时,),(),,()(L y x y x f P f ∈=于是⎰⎰=ΩΩLds y x f d P f ),()( (2)当1)(≡P f 时,s ds L =⎰是曲线的弧长. (2)式称为第一类平面曲线积分.3.若,3R ⊂Γ=Ω且Γ是空间曲线, 这时,),,(),,,()(Γ∈=z y x z y x f P f 则.),,()(⎰⎰ΓΩ=Ωds z y x f d P f (3)当1)(≡P f 时,s ds =⎰Γ是曲线的弧长. (3)式称为第一类空间曲线积分.2、3的特殊情形是曲线为直线段, 而直线段上的点函数积分本质上是一元函数的定积分,这说明⎰⎰Γds z y x f ds y x f L),,(,),(可用一次定积分计算, 因此用了一次积分号.4.若,2R D ⊂=Ω且D 是平面区域, 这时,),(),,()(D y x y x f P f ∈= 则⎰⎰⎰=ΩΩDd y x f d P f σ),()( (4)(4)式称为二重积分. 当1),(=y x f 时,σσ=⎰⎰Dd 是平面区域D 的面积.5.若,3R ⊂∑=Ω且∑是空间曲面, 这时,),,(),,,()(∑∈=z y x z y x f P f 则⎰⎰⎰∑Ω=ΩdS z y x f d P f ),,()( (5)(5)式称为第一类曲面积分. 当1)(≡P f 时,S dS =⎰⎰∑是空间曲面∑的面积.由于(5)的特殊情形是平面区域上的二得积分, 说明该积分可化为两次定积分的计算, 因此用二重积分号.6.若3R ⊂Ω为空间立体, 这时,),,(),,,()(Ω∈=z y x z y x f P f 则.),,()(⎰⎰⎰⎰ΩΩ=Ωdv z y x f d P f (5)(6)式称为三重积分. 当1)(≡P f , 则V dv =⎰⎰⎰Ω是空间立体Ω的体积.更进一步, 我们还可以利用点函数积分的概念统一来表述占有界闭区域Ω的物体的重心、转动惯量、引力等物理概念, 此处不再表述.。
《高数》下册第十一章练习题
《高数》下册第十一章练习题第十一章曲线积分与曲面积分习题11-11.设在某Oy面内有一分布着质量的曲线弧L，在点（某,y）处它的线密度为（某,y）。
用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对某轴,对y轴的转动惯量I某Iy,（2）这曲线弧的质心坐标某,y2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质33.计算下列对弧长的曲线积分：（1）（2）(某L2y)d，其中L为圆周某acot,yaint(0t2)2nL(某y)d，其中L为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段2某d，其中L为由直线y=某及抛物线y某（3）L所围成的区域的整个边界e（4）L某2y2d，其中L为圆周某2y2a2，直线y=某及某轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界1tttd某ecot,yeint,ze222（5）某yz，其中为曲线上相应于t从0变到2的这段弧（6）某2yzd，其中为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点（0,0,0），（0,0,2），（1,0,2），y2d，，其中L为摆线的一拱某a(tint),ya(1cot)(0t2)（1,3,2）（7）（8）LL(某2y2)d，其中L为曲线某a(cottint),ya(inttcot)(0t2)4.求半径为ａ，中心角为2的均匀圆弧（线密度1）的质心0t2，它的线密度5.设螺旋形弹簧一圈的方程为某acot,yaint,zkt，其中(某,y,z)某2y2z2．求：I（１）它关于ｚ轴的转动惯量z（２）它的质心。
习题11-21.设L为某Oy面内直线某a上的一段，证明：LP(某,y)d某02.设L为某Oy面内某轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：LP(某,y)d某P(某,0)d某ab3.计算下列对坐标的积分：（1）(某L2y2)d某，其中L是抛物线y某2上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧（2）L某yd某2(某a)2y2a（a>0）及某轴所围成的在第一象限内的区，其中L为圆周域的整个边界（按逆时针方向绕行）（3）Lyd某某dy，其中L为圆周某Rcot,yRint上对应t从0到2的一段弧(某y)d某(某y)dy222某+ya（4）L（按逆时针方向绕行）某2y2，其中L为圆周（5）某2d某zdyydz，其中为曲线某kyaco,zain上对应从0到是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线的一段弧（6）（7）某d某ydy(某y1)dz，其中，其中d某dy+ydz2L为有向闭折线ABCD，这里的A,B,C依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)（8）(某的一段弧4.计算2某y)d某(y22某y)dy，其中L是抛物线y某2上从点（-1,1）到点（1,1）(某y)d某(y某)dy，其中L是：L2y某上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧（1）抛物线（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线22某2tt1,yt1上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧（4）曲线222某yR5.一力场由沿横轴正方向的恒力F所构成，试求当一质量为m的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功6.设z轴与动力的方向一致，求质量为m的质点从位置（某,y,z）沿直线移到（某,y,z）时重力所做的功7.把对坐标的曲线积分LP(某,y)d某Q(某,y)dy化成对弧长的积分曲线，其中L为：（1）在某Oy面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）2y某（2）沿抛物线从点（0,0）到点（1,1）22某y2某从点（0,0）到点（1,1）（3）沿上半圆周23某t,yt,zt为曲线上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分8.设Pd某QdyRdz化成对弧长的曲线积分习题11-31.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：（1）L(2某y某2)d某(某y2)dyy某2和y2某所围成的区域的，其中L是由抛物线正向边界曲线（2）L(某2某y2)d某(y22某y)dy，其中L是四个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）的正方形区域的正想边界2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积（1）星形线某aco3t,yain3t22（2）椭圆9某+16y144（3）圆某y2a某22yd某某dy22(某1)y2，L的方向为逆时针方向L2(某2y2)3.计算曲线积分，其中L为圆周4.证明下列曲线积分在整个某Oy面内与路径无关，并计算积分值（1）（2）(2,3)(1,1)(3,4)(某y)d某(某y)dy(1,2)(2,1)(6某y2y3)d某(6某2y3某y2)dy(2某yy43)d某(某24某y3)dy（3）(1,0)5.利用格林公式，计算下列曲线积分：(2某y4)d某(5y3某6)dy（1），其中L为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）L的三角形正向边界；(某（2）L2yco某2某yin某y2e某)d某(某2in某2ye某)dy23，其中L为正向星形线某ya(a0)（3）2323，其中L为在抛物线L(2某y3y2co某)d某(12yin某3某2y2)dy2某y2上由点（0,0）到（2）的一段弧，1(某（4）L2y)d某(某in2y)dyy2某某2上由点（0,0）到点（1,1），其中L是在圆周的一段弧6.验证下列P(某,y)d某Q(某,y)dy在整个某Oy平面内是某一函数u(某,y)的全微分，并求这样的一个u(某,y)：（1）(某2y)d某(2某y)dy22某yd某某dy（2）（3）4in某in3yco某d某3co3yco2某dy2232y(3某y8某y)d某(某8某y12ye)dy（4）22(2某coyyco某)d某(2yin某某iny)dy（5）7.设有一变力在坐标轴上的投影为某某y,Y2某y8，这变力确定了一个力场。
第十一章 曲线积分与曲面积分(题库)答案
解： P x, y y e x , Q x, y 3 x e y ，
P Q 1, 3 y x
dxdy 2dxdy 2 ab y e dx 3x e dy = x y
x y C
Q
P
D
D
29.(11-3)计算曲线积分
2 xy 2 y dx x
L
2
4 x dy ，其中 L 取正向的圆周 x 2 y 2 9 .
解：设 P 2 xy 2 y, Q
x2 4x ，
Q P 2x 4 2 x 2, x y
2
B. 6S
C. 12S
D.
24S
L
x 上自点 A 1,1 到点 B 1, 1 之间的一段弧，则 I yds （
C. 1
2 2
D. 1
设 C 为沿 x y R 逆时针方向一周的闭合曲线，则曲线积分
2 2 I x ydx xy dy 应用格林公式计算得（ A ） C
2
0 x 2 ，计算
2
L
x 1 x ds .
解：直接代公式化第一类平面曲线积分为定积分得
L
xds
2
0
x 1 y2 dx
0
x 1 4 x 2 dx
1 1 2 2 2 1 4 x d 1 4 x 2 8 0 3 1 2 2 2 1 4 x 8 3 2 0
L
x 2 ds
2 . 3
2.
7. (11-1)设 L 为连接 (1,0) 及 (0,1) 两点的直线段,则 8. (11-1)计算曲线积分
(完整版)第十章曲线积分与曲面积分练习题
第十章 曲线积分与曲面积分§10.1 对弧长曲线的积分一、判断题1．若f(x)在（-+∞∞,）内连续，则⎰badx x f )(也是对弧长的曲线积分。
（ ）2．设曲线L 的方程为x=)(y ϕ在[βα,]上连续可导则⎰⎰'+=Ldyy y y f ds y x f βαϕϕ2)]([1)),((),(（ ）二、填空题1.将⎰+Lds y x)(22，其中L 为曲线x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)()20π≤≤t 化为定积分的结果是 。
2.⎰+L ds y x )(= ，其中L 为连接（1，0）和（0，1）两点的直线段。
三、选择题1．⎰+Lds y x )(22=（ ），其中L 为圆周122=+y x （A ）⎰02πθd （B ）⎰πθ2d （C ）⎰πθ22d r （D ）⎰πθ22d2．⎰Lxds =（ ），L 为抛物线2x y =上10≤≤x 的弧段。
（A ）)155(121- （B ）)155(- （C ）121 （D ）)155(81-四、计算⎰+Cds y x )(，其中C 为连接点（0，0）、（1，0）、（0，1）的闭折线。
五、计算⎰++L ds z y x )2(22，其中L 为⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x六、计算⎰+Ln ds y x)(22，L 为上半圆周：)(222N n R y x ∈=+七、计算⎰+Ly x ds e22，其中L 为圆周222a y x =+，直线y=x 和y=0在第一象限内围成扇形的边界。
八、求半径为a ，中心角为ϕ2的均匀圆弧（ρ=1）的重心。
§10.2 对坐标的曲线积分一、判断题1．定积分也是对坐标的曲线积分。
（ ） 2．022=+-⎰L y x ydx xdy ，其中L 为圆周122=+y x 按逆时针方向转一周。
（ ）二、填空题1．ydz x dy y dx x 2233++⎰Γ= ，其中Γ是从点A （1，2，3）到点B （0，0，0）的直线段AB 。
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第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数,且(0)0f =，则()f x = BA ．1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- Ｃ. 1()2x x e e -+ D ．0 2．闭曲线Ｃ为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y-+=+⎰CＡ．０ B.2 C.4 D.６ 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰DA ．2π-B 。
2πC 。
0 D. π ４。
∑为ＹOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DＡ。
０ B ． π C ． 14π Ｄ． 12π 5。
设222:C x y a +=，则22()Cxy ds +=⎰ CA.22a πB. 2a π C 。
32a π Ｄ． 34a π ６。
设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑［ B ］Ａ.4π B ．2π C.π D.12π７。
设Ｌ是从Ｏ(0，0)到B(1,1）的直线段，则曲线积分⎰=Lyds ［ Ｃ ］A 。
21B ． 21- C. 22 Ｄ。
22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0)与点（1, １）之间的一段弧,则Ｉ=［D ]A 。
655 Ｂ．1255 C ．6155- Ｄ。
12155- 9． 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ,那么 σ 是（ D ） A ．⎰-l ydy xdx 21; B 。
⎰-l xdx ydy 21;C.⎰-l xdy ydx 21; Ｄ. ⎰-lydx xdy 21。
１０．设2222:(0)S x y z R z ++=≥,1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA ．14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C 。
14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1。
设L 是以（0， 0), （1， 0）, （1， １), （0， １）为顶点的正方形边界正向一周,则曲线积分⎰=+-Ly dy x eydx )(2—22．S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π５．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰＝32π６． 设曲线C 为圆周221x y +=，则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰ 2π .7. 设Ｃ是以O （０，０)，A （1，0),B(0,１)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds)y x (1+8. 设∑为上半球面z =，则曲面积分∑的值为 83π.9. 光滑曲面z ＝f （x ，ｙ）在xo ｙ平面上的投影区域为D ，则曲面ｚ＝f(x ，y ）的面积是⎰⎰∂∂+∂∂+=Dd yzx z S σ22)()(1 １0．设L 是抛物线3y x =上从点(2,8)到点(0,0)的一段弧，则曲线积分(24)Lx y dx -=⎰1211、cos ,sin ,0x t y t z t πΓ===设为螺旋线上相应于从到的一段弧，222()I x y z ds Γ=++=⎰则曲线积分 ()221ππ+ .12、设L 为222x y a +=的正向,则22L xdy ydxx y -=+⎰ 2π.三、计算题 1。
L⎰，其中L 为圆周221x y +=，直线yx =及ｘ轴在第一象限所围图形的边界。
解：记线段OA 方程,02y x x =≤≤，圆弧AB 方程cos ,0sin 4x y θπθθ=⎧≤≤⎨=⎩ 线段OB 方程0,01yx =≤≤.则原式=OA⎰＋AB⎰+OB⎰=0+40ed πθ⎰+1x e dx ⎰=2(1)4e e π-+＃2．[ln(Ly xy x dy +++,其中L 为曲线sin ,0y x x π=≤≤与直线段0,0y x π=≤≤所围闭区域D 的正向边界.解：利用格林公式,P =[ln(Q y xy x =+,则P y∂=∂，2Q y x ∂=+∂ 故原式=()DQ Pdxdy x y ∂∂-=∂∂⎰⎰2Dy dxdy =⎰⎰sin 20xdx y dy π⎰⎰＝3014sin 39xdx π=⎰ ＃ 3.22Ly dx x dy +⎰，其中L 为圆周222x y R +=的上半部分，L 的方向为逆时针。
解:L 的参数方程为cos sin x R ty R t =⎧⎨=⎩，t 从0变化到π。
故原式=22220[sin (sin )cos (cos )]R t R t R t R t dt π-+⎰＝322[(1cos )(sin )(1sin )cos ]Rt t t t dt π--+-⎰＝343R - # 4．求抛物面22z x y =+被平面1z =所割下的有界部分∑的面积.解：曲面∑的方程为22,(,)z x y x y D =+∈，这里D 为∑在XOY 平面的投影区域22{(,)1}x y x y +≤。
故所求面积＝D =D20d πθ==⎰⎰＃ ５、计算(sin )(cos )x xLe y my dx e y m dy -+-⎰,其中L 为圆222()(0)x a y a a -+=>的上半圆周，方向为从点(2,0)A a 沿L 到原点O 。
解:添加从原点到点A 的直线段后，闭曲线所围区域记为D,利用格林公式(sin )x P e y my =-，cos x Q e y m =-，cos x P e y m y ∂=-∂,cos x Qe y x∂=∂ 于是(sin )(cos )x xLe y my dx e y m dy -+-⎰＋(sin )(cos )x x OAe y my dx e y m dy →-+-⎰=22Dm a m dxdy π=⎰⎰而(sin )(cos )xxOAey my dx e y m dy →-+-⎰=20000adx +=⎰，于是便有(sin )(cos )xxLe y my dx e y m dy -+-⎰=22m a π ＃６．222222()()()Ly z dx z x dy x y dz -+-+-⎰，其中L 为球面2221x y z ++=在第一卦限部分的边界，当从球面外看时为顺时针。
解：曲线由三段圆弧组成，设在YOZ 平面内的圆弧AB 的参数方程cos sin x y t z t=⎧⎪=⎨⎪=⎩,t 从2π变化到0。
于是222222()()()ABy z dx z x dy x y dz -+-+-⎰＝0222[sin (sin )cos (cos )]t t t t dt π--⎰=43 由对称性即得222222222222()()()3()()()4LABy z dx z x dy x y dz y z dx z x dy x y dz -+-+-=-+-+-=⎰⎰ ＃ 7．(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++⎰⎰,其中∑为平面1,0,x y z x ++==0,y =0z =所围立体的表面的外侧。
解:记1∑为该表面在XOY 平面内的部分,2∑为该表面在YOZ 平面内的部分，3∑为该表面在X ＯZ 平面内的部分，4∑为该表面在平面1x y z ++=内的部分。
1∑的方程为0,01,01z y x x =≤≤-≤≤，根据定向,我们有1(1)(1)(1)x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++⎰⎰=1(1)z dxdy ∑+⎰⎰=010112x y xdxdy ≤≤≤≤--=-⎰⎰同理,21(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=-⎰⎰ 31(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=-⎰⎰ 4∑的方程为1,01,01z x y y x x =--≤≤-≤≤，故4(1)z dxdy ∑+=⎰⎰01012(2)3x y xx y dxdy ≤≤≤≤---=⎰⎰， 由对称性可得4(1)x dydz ∑+=⎰⎰42(1)3y dzdx ∑+=⎰⎰， 故4(1)(1)(1)2x dydz y dzdx z dxdy ∑+++++=⎰⎰于是所求积分为112322-⨯= ＃ 8.计算曲面积分:()[2sin()](3)x yS x y z dydz y z x dzdx z e dxdy +++++++++⎰⎰，其中S +为曲面1x y z ++=的外侧.解:利用高斯公式,所求积分等于1(123)u v w dxdydz ++≤++⎰⎰⎰=116832=8 ＃ 9. 计算I ＝⎰⎰++sxzdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 为ｘ+y+z=1， ｘ＝０, ｙ=0, z=0所围立体的表面外侧解：设V 是x ＋y ＋ｚ＝１, x=0， y ＝0， z ＝0所围的立体 由Gass 公式得:Ｉ＝⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(=⎰⎰⎰---++yx x dz z y x dy dx 101010)(＝81＃１0。
计算I ＝⎰Γ-+ydz x dy zy dx x 2233,其中Γ是从点Ａ（3, 2, 1）到点B （0， 0, 0）的直线段AB 解：直线段ＡB 的方程是123zy x ==；化为参数方程得: x=3t ， y=２t ， z=ｔ， t 从1变到0， 所以：I ＝⎰Γ-+ydz x dy zy dx x 2233=03221[(3)33(2)2(3)2]t t t t t dt ⋅+⋅-⋅⎰=48787013-=⎰dt t ＃ 1１. 计算曲线积分I ＝⎰⋂-+-AMOxx dy y e dx y y e ,)2cos ()2sin ( 其中⋂AMO 是由点A(a ，０)至点Ｏ(0， 0) 的上半圆周ax y x =+22解:在ｘ轴上连接点O （0， 0), A （a, 0） 将⋂AMO 扩充成封闭的半圆形AMO Ａ 在线段OA 上， ⎰-=-+-OAx x dy y e dx y y e 0)2cos ()2sin (从而⎰⎰⎰⎰⋂-⋂=+=AMOOAAMOAAMO又由G ｒee ｎ公式得：⎰⎰⎰≤+==-+-AMOA axy x xxa dxdy dy y e dx y y e2242)2cos ()2sin (2π ＃12． 计算曲线积分dz y dy x dx z L333++⎰其中L 是ｚ=2)(22y x +与z ＝322y x -- 的交线沿着曲线的正向看是逆时针方向 解：将L 写成参数方程：x=c ｏｓt, y ＝sint ， z=２ t ： 0π2→于是： dz y dy x dx z L333++⎰=⎰⎰+-ππ20420cos sin 8tdt dt t =π43另证：由斯托克斯公式得dz y dy x dx zL 333++⎰=⎰⎰∑-+-+-dxdy x dxdz z dydz y )03()03()03(22222:2,1z x y ∑=+≤上侧，则:2221333232001333cos 4Lx y z dx x dy y dz x dxdy d r dr πθθπ+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰ ＃ 13. 设曲面S 为平面x+y+z ＝1在第一卦限部分,计算曲面Ｓ的面积Ｉ 解：S 在ｘo ｙ平面的投影区域为：{}10,10),(≤≤-≤≤=x x y y x D xyＩ=⎰⎰SdS =dxdy xyD ⎰⎰3=⎰⎰-10103xdy dx =23)1(31=-⎰dx x ＃ １4。