对数概念及其运算

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高中数学对数的运算

对数函数专题对数及对数运算【要点梳理】要点一、对数概念 1．对数的概念如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b ．其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．要点诠释：对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R ． 2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N >；（2）1的对数为0，即log 10a =；（3）底的对数等于1，即log 1a a =．3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作． 4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．要点二、对数的运算法则已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； ()log log log a a a MN M N =+ 推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；log log log a a a M M N N=-（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； log log a a M M αα=要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log 2（-3）（-5）=log 2（-3）+log 2（-5）是不成立的，因为虽然log 2（-3）（-5）是存在的，但log 2（-3）与log 2（-5）是不存在的．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a （M ±N ）=log a M ±log a N ， log a （M ·N ）=log a M ·log a N ，log a N M N M a a log log =．要点三、对数公式 1．对数恒等式：log log a b Na a N a N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有:（1）)(log log R n M M n a a n ∈=令 log a M=b ，则有a b =M ，（a b ）n =M n ，即n b n M a =)(，即n a M b n log =，即:n a a M M n log log =．（2）)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a ，令log a M=b ，则有a b =M ，则有)1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅，即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a ．【典型例题】类型一、对数的概念例1．求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-．【答案】（1）5x >；（2）1,2x x >≠且；（3）1x >-且0,1x x ≠≠ 【解析】（1）由题意50x ->，5x ∴>，即为所求．（2）由题意20,10,11,x x x +>⎧⎨->-≠⎩且即2,1,2,x x x >-⎧⎨>≠⎩且1,2x x ∴>≠且．（3）由题意2(1)0,10,11,x x x ⎧->⎨+>+≠⎩且解得1x >-且0,1x x ≠≠．【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为．【答案】1|12x x x ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且类型二、指数式与对数式互化及其应用例2．将下列指数式与对数式互化：（1）2log 164=；（2）13log 273=-；（3）3x =；（4）35125=；（5）1122-=；（6）2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】运用对数的定义进行互化．（1）4216=；（2）31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（33x =；（4）5log 1253=；（5）21log 12=-；（6）13log 92=-．【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段．举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值：（1）161log 2x =- （2）log 86x = （3）lg1000=x （4）2-2ln e x =【答案】（1）14；（2；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x ．（1）1112()212221(16)(4)444x --⋅--=====；（2）111166366628()(8)(2)2x x x ======，所以（3）10x =1000=103，于是x=3；（4）由22222ln ln 42x x e x e e e x --=-===-，得，即所以．例3．（2014 广东湛江期中）不用计算器计算：7log 203log lg25lg47(9.8)+++- 【答案】132【解析】原式323log 3lg(254)21=+⨯++23lg1032=++3132322=++=【总结升华】对数恒等式log a N a N =中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数．举一反三：【变式1】求log log log a b c b c N a ⋅⋅的值（a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0）【答案】N【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算．log log log log log log log log log ()()c a b c a b b c c Nb c N b cc N N a a b c N ⋅⋅⎡⎤====⎣⎦类型四、积、商、幂的对数例4． z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z 【解析】（1）log log log log aa a a xyx y z z=+-；（2）3535log ()log log 3log 5log a a a a a x y x y x y =+=+；（3）1log log log ()log log log 2a a a a a a yz x y z yz ==--；（4）log a211log ()log 2log log log 23a a a a a x y x y z -=+-．(有错误）【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．举一反三：【变式1】求值（1）1log 864log 325log 21025-+ （2）lg2·lg50+（lg5）2 （3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2【答案】（1）22；（2）1；（3）2．【解析】（1）1log 864log 325log 21025-+.220184082log 35log 26225=-+=⨯-+⋅=（2）原式=lg2（1+lg5）+（lg5）2=lg2+lg2lg5+（lg5）2=lg2+lg5（lg2+lg5）=lg2+lg5=1（3）原式=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2=2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2=1+lg5+lg2（lg5+lg2）=1+lg5+lg2=2．类型五、换底公式的运用例5．已知18log 9,185b a ==，求36log 45．【答案】2a ba+- 【解析】解法一：18log 9,185b a ==，18log 5b ∴=，于是181818183618181818log 45log (95)log 9log 5log 4518log 36log (182)1log 221log 9a b a ba ⨯+++=====⨯+-+．【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“log 1a a =”的灵活运用．【变式1】求值：（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++；【解析】（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++452log 233log 65)22log 2)(log 33log 23log ()9log 2log 2)(log 8log 3log 4log 3log (3233223332222=⋅⋅=++=++=类型六、对数运算法则的应用例6．求值（1）91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅（2）7lg142lg lg 7lg183-+-【解析】（1）原式=103log 2log 5log 2log 253322526-=---（2）原式=2lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(32)⨯--+-⨯ =lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20+-++--=举一反三：【变式1】计算下列各式的值（1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++【解析】（1）原式=()22lg52lg 2lg5(2lg 2lg5)lg 2++++=22lg10(lg 5lg 2)++=2+1=3；【巩固练习】一、选择题1. 有以下四个结论：①lg （lg10）=0；②ln （lne ）=0；③若10=lg x ，则x =10；④若e =ln x ，则x =e 2，其中正确的是（）A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④ 【答案】C【解析】由log 1,log 10a a a ==知①②正确．2. 下列等式成立的有（）①1lg 2100=-；②33log 2=；③2log 525=；④ln 1e e =；⑤lg 333=；A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④⑤ 【答案】B【解析】21lg lg102100-==-；3. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（）A ．(),5-∞B ． ()2,5C ．()()2,33,5D ．()2,+∞【答案】C【解析】由对数的定义可知50,20,21,a a a ->⎧⎪->⎨⎪-≠⎩所以25a <<且3a ≠，故选C ．4. 若0,1a a >≠，则下列说法正确的是（）①若M N =，则log log a a M N =；②log log a a M N =，则M N =； ③22log log a a M N =，则M N =；④若M N =，则22log log a a M N =． A ．①③ B ．②④ C ．② D ．①②③④ 【答案】C【解析】注意使log log a a M N =成立的条件是M 、N 必须为正数，所以①③④不正确，而②是正确的，故选C ．5. 若56789log 6log 7log 8log 9log 10y =⋅⋅⋅⋅，则（）A ．(0,1)y ∈B ．(1,2)y ∈C ．(2,3)y ∈D ．(3,4)y ∈ 【答案】B 【解析】55lg 6lg 7lg8lg9lg10log 101log 2lg5lg 6lg 7lg8lg9y =⨯⨯⨯⨯==+，因为50log 21<<，所以12y <<，故选B ．6. （2014江西三县月考）计算662log 3log 4+的结果是（）A ．6log 2B ． 2C ． 6log 3D ． 3【答案】B【解析】666662log 3log 4log 9log 4log 362+=+==．故选：B ．二、填空题1. 若312log 19x-=，则x = ．【答案】-13【解析】由指数式与对数式互化，可得1239x-=，解得13x =-． 2. 若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== ；【答案】12【解析】 2log 2log 3log 4log 34312a a a a a a a +=⋅=⨯=．3. 若2510a b ==，则11a b+= ．【答案】1【解析】因为210,a =所以21log 10lg 2a ==，又因为510,b =所以51log 10lg 5b ==，所以原式=lg 2lg51+=．。

4.4对数概念及其运算

练习：书本练习：书本P10
小结
a>0,a≠1,M,N>0 (1)logaM+logaN=loga(M×N) × (2)loga(M÷N)=logaM-logaN ÷ (3)logaMn=nlogaM
解1.08x=2
思考题
21000是几位数
log 2 x = p; log a y = q; log a z = r , 把a 2 p + q −3r 用x, y , z表示
log 7 2 = k
试用k表示
log8 14
小结
介绍什么是换底公式? 利用换底公式将不同底的对数处理成同底的形式
回家作业
Page 2练习部分习题4.4A组7,8,9 B组5,6
(lg 2) 2 ⋅ lg 250 + (lg 5) 2 ⋅ lg 40
log18 9 = a,18 = 5, 用a, b表示 log 36 45
4.4 对数的概念及其运算
2 对数运算法则
任取两组M、N完成下表
从中请找出同底的对数有哪些运算性质？并证明其中其中一个性质。从中请找出同底的对数有哪些运算性质？并证明其中其中一个性质。同底的对数有哪些运算性质并注意每个性质要满足什么条件才能成立
M
N
M+N
M-N
M×N ×
M÷N ÷
lgM
lgN
= log b a
例题2：求值例题： lg 2 lg 5 （1） log 4 3 ⋅ log 9 32 （2） log 10 + log 10 ）） 50 5
3x = 4 y = 6 z 例3：设x,y,z都是正数，且：都是正数，都是正数
，

对数与对数运算法则

对数与对数运算法则对数是数学中一个重要的概念，在很多领域中都有广泛的应用，比如数学、物理、工程等。

它能够简化大数值的运算和计算复杂问题，也有助于解决各种类型的方程和不等式。

本文将探讨对数的含义，以及对数运算的法则。

1.对数的含义：对数最基本的定义是，对于一个正数a，如果b是一个正数且满足a 的b次方等于另一个正数x，那么b就是以a为底x的对数，记为log_a(x)。

其中a被称为对数的底数，x被称为真数，b被称为对数。

用数学语言描述对数，可以写作a^b=x，等价于log_a(x)=b。

2.对数运算的法则：对数运算有一系列的基本法则，可以简化对数的运算和推导。

2.1对数的互换性：如果a>0且a≠1，且m、n是正数，那么log_a(m×n)=log_a(m)+log_a(n)。

这条法则允许我们将乘法变成加法。

2.2对数的逆运算性：如果a>0且a≠1，那么对于正数m和任意正数b，有：a^(log_a(m))=m。

换句话说，当对数与指数运算发生时，可以互相抵消。

2.3对数的对换性：如果a>0且a≠1，且m、n是正数，那么log_a(m/n)=log_a(m)-log_a(n)。

这条法则允许我们将除法变成减法。

2.4对数的幂次性：如果a>0且a≠1，那么对任意正数m和正数b，有：log_a(m^b)=b×log_a(m)。

换句话说，可以通过幂次运算将对数与指数运算进行交换。

2.5对数的换底公式：对于任意正数a、b和c，有：log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)。

这条法则允许我们将对数底数的换成任意值，并以其他常见的底数来计算。

3.对数运算的应用：3.1科学计数法：对数可以简化大数值的表示。

通过对数运算，我们可以将一个很大或很小的数字表示为以10为底的对数形式。

例如，1,000,000可以写成log_10(1,000,000)=63.2方程的求解：对数可以帮助解决一些涉及指数和幂函数的方程。

对数概念及运算

2、自然对数：以无理数e为底的对数，记为LnN
E=2.71828……
例题分析部分：
将下列指数式写出对数式：
⑴.54 625; ⑵.25 1 ; ⑶.3a 81; ⑷.(1)m 5.73
32
3
将下列对数式写成指数式
⑴.
log
1 2
16

4;
⑵.log
2
1 128

7
⑶.lg 0.01 2; ⑷.ln 10 2.303
用计算器计算各对数值(结果精确对0.01） lg5.24 lg348 lg0.02 lg82 lg2.83
lg0.3
猜想对数为正时，真数N的范围；为负呢？用指数函数的性质解析你的结论。
求x的值
1.log3 x2 2;
Байду номын сангаас
2.log x
4

1 2
;
3.log3 (log2 x) 0
其中，a叫做对数的底数，N叫真数
对数概念
定义解读： 1、零和负数没有对数，真数为正数，即
N>0 2、1的对数为0，即loga1=0 3、底数的对数为1，即logaa=1
a N 4、对数恒等式： loga N
特别注意：底数a的要求：a>0且a≠1
对数的概念
1、常用对数：以10为底的对数，记为lgN 一个正数的常用对数=整数+正的纯小数。整数可正可负可为零，它叫常用对数的首数正的纯小数叫常用对数的尾数。
对数概念及运算
对数概念
假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年时的2倍？
已知底数和幂的值，求指数的问题

对数的运算与对数函数

1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作，其中a 叫做对数的，N 叫做对数的。

即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。

自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。

3．对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：⑴log ()log log a a a M N M N ⋅=+；（积的对数等于对数的和）推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ ⑵log log log aa a MM N N=-；（商的对数等于对数的差） ⑶log log (R)a a M M ααα=∈，则log a = 。

⑷log a N a N =2．换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>）换底公式的意义：把以一个数为底的对数换成以另一个大于0且不等于1的数为底的对数，以达到计算、化简或证明的目的．推广：⑴1log log a b b a=⑵log log log log a b c a b c d d =， ⑶1log log n a a M M n =，则log na m M = 。

特别地：log log 1a b b a =知识要点对数运算与对数函数【例1】求下列各式中x 的取值范围。

（1）2log (5)x +（2）1log (10)x x --【例2】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。

（1） 1642= （2） 9132=- （3） 481log 3=（4） 6125log -=a （5）lg0.0013=-；（6）ln100=4.606【例3】计算（1）lg 4lg 25+ （2）22log 24log 6-（3）531log ()3（4） 001.0lg （5）e1ln （6）1lg【巩固1】3log =2log =(2log (2= 21log 52+=【巩固2】）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －2【巩固3】计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ .知识要点【例4】（1）（2 。

对数的运算

对数的运算对数运算是高等数学中的一个重要概念，在数学和科学领域起到了广泛的应用。

它是指一个数以另一个数为底的幂，可以用来解决各种实际问题，帮助我们处理和分析复杂的数学关系。

本文将详细介绍对数运算的基本概念、性质以及在实际问题中的应用。

一、对数基本概念1.1 对数的定义对数的定义如下：如果aⁿ⁽˟⁾=b，那么称n为以a为底b的对数，记作n=logₐb，其中a称为底数，b称为真数，n称为对数。

1.2 对数的特性与性质对数有以下几个重要的性质：（1）logₐa=1，即以a为底a的对数为1；（2）logₐ1=0，即以a为底1的对数为0；（3）logₐ(mn)=logₐm+logₐn，即对数的乘法公式；（4）logₐ(m/n)=logₐm-logₐn，即对数的除法公式；（5）logₐ(mᵏ)=klogₐm，即对数的幂运算公式。

二、对数的应用2.1 对数在数学领域的应用对数在数学领域的应用非常广泛，它可以被应用于各个数学分支中。

其中，对数在代数学、微积分学、概率论、数论以及数值计算等方面起到了重要的作用。

在代数学中，对数可以简化复杂的指数运算，使得问题更易于处理和分析。

在微积分学中，对数可以被应用于解决各种复杂的微分方程问题，提供更为便捷的求解方法。

在概率论中，对数可以计算概率的对数，从而简化计算并降低计算量。

在数论中，对数可以帮助研究数与数之间的关系，解决各种数论问题。

2.2 对数在科学领域的应用对数在科学研究中也有重要应用。

例如，在天文学领域，对数可以帮助测定恒星的亮度和距离；在物理学领域，对数可以处理物体的变化趋势和相关性；在化学领域，对数可以计算溶液的浓度和酸碱度。

此外，对数还被广泛应用于数据处理、信号处理、图像处理等领域。

在这些领域中，对数运算可以提高数据的处理效率，并简化复杂性的计算。

2.3 对数在经济领域的应用在经济领域，对数运算也有着重要的应用。

例如，在经济增长模型中，对数可以被应用于计算经济增长速率和预测经济发展趋势。

对数的概念及运算法则

对数的概念及运算法则对数是数学中的一个概念，它表示一个数相对于一些给定的底数的幂。

在日常生活中，对数经常被用来解释指数增长或减少的情况。

首先，对数的定义是：对于给定的正数a（a ≠ 1），将正数x表达为底数a的幂的等式，即x = a^m (m为任意实数)，称m为x的以a为底的对数，记作m =log[底数a](x)，即m = loga(x)。

对数有以下几个重要特点：1.底数必须是一个正数，并且不能等于12.对数函数中x的取值范围为正实数，因为负数和0的对数不存在。

3.对数的结果m可以是任意实数，包括正数、负数和零。

对数具有一些重要的性质和运算法则，下面介绍其中的一些：1.换底公式：对于任意给定的x和任意的正数a、b（a、b≠1），有以下等式成立：loga(x) = logb(x) / logb(a)换底公式可以将一个对数用另一个底数的对数表示，这样在计算和比较对数时更加方便。

2.加减法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x、y，有以下等式成立：loga(x * y) = loga(x) + loga(y)loga(x / y) = loga(x) - loga(y)加减法法则可以将对数的乘法和除法分解为对数的加法和减法，简化对数运算。

3.乘方法则：对于任意给定的正数a和任意的正数x和正整数n，有以下等式成立：loga(x^n) = n * loga(x)乘方法则可以将对数中的指数化简为对数本身的乘法。

4.对数的乘法和除法法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：loga(x^b) = b * loga(x)loga(b^x) = x * loga(b)乘法和除法法则可以将指数中的对数化简为对数本身的乘法或除法。

5.对数的幂次法则：对于任意给定的正数a、b和任意的正数x，有以下等式成立：a^(loga(x)) = x如果a ≠ 1，则loga(a^x) = x幂次法则可以将对数中的幂次化简为原指数。

对数的运算法则及公式

对数的四则运算法则
总结词
对数的四则运算法则是 log(M)+log(N)=log(MN)，log(M)log(N)=log(M/N)， log(M)*log(N)=log(M)+log(N)， log(M)/log(N)=log(M)-log(N)，其中M和 N都为正数。
详细描述
对数的四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法。在加法中，
例题二：对数的换底公式应用题
要点一
总结词
要点二
详细描述
换底公式是解决对数应用题的重要工具。
换底公式是log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)，其中c可以是任何正实数，但通常取为10或自然对数e。利用换底公式可以将不同底数的对数转化为同底的对数，从而简化计算。
例题三：对数的四则运算法则应用题
对数的运算性质
换底公式
log(a)b=log(c)a/log(c)b，其中c为任意正实数，但通常取e
或10。
对数的乘法法则
log(a)b+log(a)c=log(a)b×c。
对数的除法法则
log(a)b/c=log(a)b-log(a)c。
复合对数
对于形如log(a)(b)×log(a)(c)的式子，可以转化为
对数的书写规范
01
在数学符号中，对数的书写要规范，如log_b(N)中，底数b 不能省略不写。
02
对数的书写顺序一般为先写底数，后写真数，如log_a(N)。
03
当底数为10时，常用lg表示，当底数为e时，常用ln表示。
对数的单位转换
对数的单位转换是指将不同底的对数转换为同一底的对数。
对数的单位转换可以通过换底公式实现，换底公式为：log_b(N) = log_c(N) / log_c(b)，其中c为任意正实数。

对数的基本性质和运算公式

对数的基本性质和运算公式对数是数学中非常重要和常用的概念，它在许多领域都有广泛的应用。

对数的基本性质和运算公式包括对数的定义、对数的性质、对数的运算规则以及一些常用的对数公式等。

本文将详细介绍这些基本性质和运算公式。

一、对数的定义：对数是指数运算的逆运算。

设a为一个正实数，b为一个正实数且不等于1，若满足b^x = a，其中x为实数，则称x为以b为底a的对数，记作x = log_b a。

其中，a称为真数，b称为底数，x称为对数。

在对数的定义中，底数和真数的位置可以互换，即x = log_b a等价于 a = b^x。

二、对数的性质：1.对数的定义保证了对数的唯一性，即对于给定的底数和真数，对数是唯一的。

2.对于不同的底数，同一个真数的对数是不同的。

3.当底数为1时，对数不存在，因为1的任何次幂都等于14. 当真数为1时，对数等于0，即log_b 1 = 0。

5.当底数为0时，对数不存在，因为0无法作为一个数的底数。

6.当0<b<1时，对数是负数；当b>1时，对数是正数；当b=1时，对数等于0。

三、对数的运算规则：1.对数的乘法法则：log_b (a * c) = log_b a + log_b c2.对数的除法法则：log_b (a / c) = log_b a - log_b c3.对数的幂法法则：log_b (a^p) = p * log_b a，其中p是任意实数。

这些运算规则可以用来简化对数运算或者将对数转化成乘法和除法的形式。

四、常用的对数公式：1.自然对数和常用对数之间的换底公式：log_b a = log_c a / log_c b，其中b和c是底数。

2.e为底的自然对数：自然对数是以e (自然常数)为底的对数，记作ln(x)。

3.常用对数：常用对数是以10为底的对数，记作log(x)。

4.对数性质的推广：log_b a^n = n * log_b alog_b √(a) = 1/2 * log_b a这些对数公式在计算和解决问题时都有常用的作用。

3.2.1 对数概念与运算

log a (MN) = log a M + log a N (1) M log a = log a M − log a N ( 2) N n log a M = nlog a M(n ∈ R) ( 3)
①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”…… ②有时逆向运用公式 ③真数的取值范围必须是 (0,+∞) ④对公式容易错误记忆，要特别注意：
3.2.1 对数概念与运算
一.对数的定义：对数的定义：
一般地，如果一般地，如果a ( a > 0 , a ≠ 1 )的b次幂的次幂等于N，等于，就是 ab = N 那么数b叫做以a为底N的对数，的对数，叫做以记作: logaN = b 其中a叫做对数的底数, 叫做真数。其中叫做对数的底数 N叫做真数。叫做对数的底数叫做真数
log 3 9 = 2 ⇒
3 =9
2
（2） log 5 125 = 3 ⇒

53 = 125
1 2 = 4 1 −4 3 = 81
−2
1 （3） log 2 = −2 ⇒ 4 1 = −4 ⇒ （4） log 3 81
练习 3.求下列各式的值（1）（2）（3）（4）（5）（6）
log 5 25 = 2
x2 y
3
xy (1)log a ; (2) log a z xy 解（1） log a = log a ( xy ) − log a z z = log a x + log a y − log a z
z
解（2） log a
x2 y
3
z
= log a ( x 2 y ) − log a z
1 2
1 2
三.积、商、幂的对数运算法则：

对数概念及其运算

M
n
n m
loga
M m, n
R, m
0。
用语言文字叙述对数运算法则为两个正数的积的对数等于这两个对数的和；两个正数的商
的对数等于这两个正数的对数的差；一个正数的 n 次方的对数，等于这个正数的对数的
n 倍。【例 3】下列各式与 lg ab 相等的是（）
c
( A) lg ab lg c Blg a lg b lg c Clg a lg b lg c Dlg ab lg c
【例 4】计算：
1lg 0.012; 3log2 3 log2 5;
2log4 42 3 4 ;
4log5
3 2
log5
5 4
log5
2
.
知识点 3 换底公式 1.换底公式
logb
N
loga N loga b
a
0, a
1,b
0, b
1,
N

0
2.换底公式的推论
1loga
b
1 logb
a
a
0,
a
1,
b
0,
b
1
2loga b logam bm a 0, a 1,b 0
3logam
bn
n m
loga
ba
0, a
1,b
0, m
0
【例 5】计算：
1log8 32;
2log25 4 log8 5;
3log4 3 log8 3log3 2 log9 2;
4log2
1 25
log3
x2 3(
3xx
x
0)
0
（A）①②③
（B）①②④

对数函数及其运算

对数函数及其运算2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算1) 对数的定义如果 $a=N(a>0$ 且 $a\neq 1)$，则 $x$ 叫做以 $a$ 为底$N$ 的对数，记作 $x=log_aN$，其中 $a$ 叫做底数，$N$ 叫做真数。

负数和零没有对数。

对数式与指数式的互化：$x=log_aN \Leftrightarrowa=N(a>0,a\neq 1,N>0)$。

2) 几个重要的对数恒等式log_a1=0$，$log_aa=1$，$log_ab=b$。

3) 常用对数与自然对数常用对数：$lgN$，即 $log_{10}N$；自然对数：$lnN$，即 $log_eN$（其中$e=2.…$）。

4) 对数的运算性质如果 $a>0,a\neq 1,M>0,N>0$，那么：加法：$log_aM+log_aN=log_a(MN)$。

减法：$log_aM-log_aN=log_a(\frac{M}{N})$。

数乘：$nlog_aM=log_a(M^n)$，其中 $n\in R$。

log_aN=N^a$。

log_{ab}M=\frac{log_aM}{log_ab}$，其中 $b\neq 0,n\in R$。

5) 换底公式：$log_aN=\frac{log_bN}{log_ba}$。

2.2.2 对数函数及其性质1) 对数函数函数名称：对数函数。

定义：函数 $y=log_ax(a>1,a\neq 1)$ 叫做对数函数。

图象：图象过定点 $(1,0)$，即当 $x=1$ 时，$y=0$。

定义域：$(0,+\infty)$。

值域：$(-\infty,+\infty)$。

过定点：图象过定点 $(1,0)$。

奇偶性：非奇非偶。

单调性：在 $(0,+\infty)$ 上是增函数，在 $(0,1)$ 上是减函数。

函数值的变化情况：当 $x>1$ 时，$y=log_ax>0$，$y$ 随 $x$ 增大而增大。

对数的运算法则及公式

对数的运算法则及公式一、对数的基本概念在数学中，对数是数学运算中的一个重要概念。

对数是指一个数在某个给定的底数下的指数。

换句话说，对数是指数运算的逆运算。

对数通常表示为log，其中log表示对数，底数表示为a，指数表示为x，因此，用数学符号表示为loga x。

对数的底数必须大于0且不等于1，而对数的结果是指数的值。

对数的运算法则和公式是在数学中使用对数进行计算时的基本规则。

二、对数的运算法则1.对数的乘法法则在对数的乘法法则中，当两个对数具有相同的底数时，它们的乘积等于它们的指数之和。

具体地说，如果loga x和loga y是以相同底数a为对数的两个数，那么它们的乘积可以表示为loga (xy)，即loga x + loga y。

例如，如果log₂4和log₂8是以底数2为对数的两个数，那么它们的乘积可以表示为log₂ (4 × 8)，即log₂ 32。

根据对数的乘法法则，log₂ 32可以被写为log₂ 4 + log₂ 8，即2 + 3，结果为5。

2.对数的除法法则在对数的除法法则中，当两个对数具有相同的底数时，它们的商等于它们的指数之差。

具体地说，如果loga x和loga y是以相同底数a为对数的两个数，那么它们的商可以表示为loga (x/y)，即loga x - loga y。

例如，如果log₅25和log₅5是以底数5为对数的两个数，那么它们的商可以表示为log₅ (25/5)，即log₅ 5。

根据对数的除法法则，log₅ 5可以被写为log₅ 25 - log₅ 5，即2 - 1，结果为1。

3.对数的幂法则在对数的幂法则中，一个对数的幂等于它的指数乘以另一个数的对数。

具体地说，如果loga x是以底数a为对数的数，并且b是任意正数，则它们的幂可以表示为loga x^b，即bloga x。

例如，如果log₃2是以底数3为对数的数，并且4是任意正数，那么它们的幂可以表示为log₃2^4，即4log₃2。

数学对数运算

数学对数运算数学对数运算是数学中的一种重要运算方法，它在各个领域都有广泛的应用。

对数运算可以简化复杂的数学问题，使得计算更加方便和高效。

本文将介绍数学对数运算的基本概念、性质以及应用。

一、对数的定义与性质对数是指数运算的逆运算。

设a和b是正数，且a≠1，那么如果满足等式b=a^x，其中x是一个实数，那么x就是以a为底b的对数，记作x=loga(b)。

其中，a称为对数的底数，b称为真数。

对数运算有以下几个基本性质：1. loga(1)=0，即任何数以自身为底的对数都为0；2. loga(a)=1，即任何数以自身为底的对数结果为1；3. loga(a^m)=m，即底数和结果的幂相等时，对数结果等于幂；4. loga(mn)=loga(m)+loga(n)，即底数相同的两个数相乘，对数结果等于各自对数的和；5. loga(m/n)=loga(m)-loga(n)，即底数相同的两个数相除，对数结果等于各自对数的差；6. loga(m^p)=ploga(m)，即对数的幂等于幂的系数乘以对数。

二、常用对数和自然对数常用对数是以10为底的对数，记作log10(x)或者简写为log(x)。

自然对数是以常数e≈2.71828为底的对数，记作ln(x)。

常用对数和自然对数在数学和工程领域中有广泛的应用。

常用对数和自然对数的关系可以用换底公式表示：loga(b)=logc(b)/logc(a)。

其中，a、b、c都是正数，且a≠1，b≠1，c≠1。

三、对数运算的应用1. 对数在数学领域中的应用对数运算在数学中有广泛的应用，例如在指数运算、函数图像、数列等方面。

对数可以简化复杂的指数运算，方便计算和推导。

在函数图像中，对数函数具有特殊的性质，可以描述一些特殊的曲线。

而在数列中，对数可以帮助我们研究数列的增长规律和性质。

2. 对数在科学和工程领域中的应用对数运算在科学和工程领域中有广泛的应用，例如在测量和估算、数据处理和分析、信号处理等方面。

对数函数的概念和计算

对数函数的概念和计算对数函数是数学中常见且重要的函数之一，它在很多领域都有着广泛的应用。

本文将介绍对数函数的概念及其计算方法，并探讨其在数学和实际问题中的应用。

一、对数函数的概念在数学中，对数函数是指以某个固定的正数为底的对数。

常见的对数函数有以10为底的常用对数函数（log），以及以自然常数e为底的自然对数函数（ln）。

对数函数以“log”或“ln”开头，后面紧跟底数和真数，用“=”连接。

二、对数函数的计算方法1. 常用对数函数的计算方法以10为底的常用对数函数，可以用公式表示为：log10(x) = y，其中x为底数，y为真数。

例如，log10(100) = 2，表示以10为底，100的对数是2。

2. 自然对数函数的计算方法以自然常数e为底的自然对数函数，可以用公式表示为：ln(x) = y，其中x为底数，y为真数。

例如，ln(e^3) = 3，表示以e为底，e的平方的对数是3。

3. 对数函数的性质及运算法则对数函数具有以下性质和运算法则：- 对数函数和指数函数互为反函数。

即loga(a^x) = x和a^(loga(x)) = x，其中a为底数，x为实数。

- 对数函数具有乘法性质。

即loga(x * y) = loga(x) + loga(y)，其中a为底数，x和y为正实数。

- 对数函数具有除法性质。

即loga(x / y) = loga(x) - loga(y)，其中a为底数，x和y为正实数。

- 对数函数具有幂函数性质。

即loga(x^n) = n * loga(x)，其中a为底数，x为正实数，n为实数。

三、对数函数的应用对数函数在数学和实际问题中有着广泛的应用，以下是几个典型的应用例子：1. 在数学中，对数函数可以用于解决指数方程。

例如，若已知a^x= b，我们可以将其转化为对数方程x = loga(b)来求解x的值。

2. 在金融领域，对数函数可以用于计算复利和投资增长。

由于对数函数以指数的形式增长，因此可以用于计算复利的投资增长率。

对数的概念及运算法则

对数的概念及运算法则一、对数的概念对数是数学中的一个重要概念，用于描述幂运算的逆运算。

我们知道，幂运算指的是将一个数称为底数，对这个数进行n次连乘，所得的结果称为指数，用表示为a^n。

那么对数就是为了解决这样一个问题：已知指数n和指数运算的结果a^n，如何求得底数a呢？以10为底的对数叫做常用对数，常用对数的符号一般表示为log。

以e（欧拉常数）为底的对数叫做自然对数，自然对数的符号一般表示为ln。

数学定理：当且仅当a＞0且a≠1时，a^x=b就是严格单调函数。

二、对数的含义对数的定义表明，对数是乘法运算的逆运算。

例如，3^2=9可以表示为log_3(9)=2，意味着以3为底，9的对数是2、这个式子表示的意思是：指数2是将3乘以自身后得到9的结果。

因此，通过对数，我们可以将指数问题转化为乘法问题，更容易解决。

三、对数的运算法则对数有一些运算法则，这些法则可用于简化对数的计算。

1. 乘法法则：log_a(m*n) = log_a(m) + log_a(n)这个法则表示，当求两个数的乘积的对数时，可以将这两个数的对数相加。

例如，log_2(8*4) = log_2(8) + log_2(4) = 3 + 2 = 52. 除法法则：log_a(m/n) = log_a(m) - log_a(n)这个法则表示，当求两个数的商的对数时，可以将这两个数的对数相减。

例如，log_10(100/10) = log_10(100) - log_10(10) = 2 - 1 = 13. 幂法则：log_a(m^p) = p * log_a(m)这个法则表示，当求一个数的指数的对数时，可以将指数与对数相乘。

例如，log_3(9^2) = 2 * log_3(9) = 2 * 2 = 44. 换底公式：log_a(n) = log_b(n) / log_b(a)这个法则表示，当求一个数的底为a的对数时，可以将其换算为以任意底b为底的对数。

对数的运算法则及公式是什么

对数的运算法则及公式是什么对数是数学中的一个重要概念，它在科学计算、数据处理和各个领域中都具有广泛的应用。

对数的运算法则及公式是用来简化对数运算的规则和公式，使得计算更加简便和高效。

本文将介绍对数的运算法则及常用的公式，并附上相应的解释和例子。

一、对数的基本概念在开始介绍对数的运算法则及公式前，首先需要了解对数的基本概念。

对数是指数运算的逆运算，可以将指数问题转化为对数问题。

具体来说，对于给定的正数a和正数b，如果满足以下等式：b = a^x那么x就是以a为底，b为值的对数，记作x = loga b。

其中，a被称为对数的底数，b被称为对数的真数，x被称为对数的指数。

二、对数的运算法则1. 对数相乘法则loga (b * c) = loga b + loga c对数相乘法则表明，两个数的乘积的对数等于这两个数分别取对数后相加。

例如，log2 (4 * 8) = log2 4 + log2 8 = 2 + 3 = 5。

2. 对数相除法则loga (b / c) = loga b - loga c对数相除法则表明，两个数的商的对数等于这两个数分别取对数后相减。

例如，log10 (100 / 10) = log10 100 - log10 10 = 2 - 1 = 1。

3. 对数的幂法则loga (b^c) = c * loga b对数的幂法则表明，一个数的指数的对数等于这个数取对数后再乘以指数。

例如，log3 (2^4) = 4 * log3 2 = 4 * 0.63 = 2.52。

三、对数的公式1. 换底公式对于任意的正数a、b和c，换底公式可以表示为：loga b = logc b / logc a换底公式可以用来将任意底数的对数转换为以其他底数的对数。

例如，log3 9 = log10 9 / log10 3 = 0.95。

2. 对数的积公式loga (b * c) = loga b + loga c对数的积公式是对数相乘法则的另一种形式，它表示对数值相乘等于对数分别相加。