高三数学多面体和球3
高考数学总复习 9.11简单多面体和球精品课件 文 新人教B版
6.两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，
就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度， 我们把这个弧长叫做两点的球面距离，l＝Rφ(φ为球心 角的弧度数). 7.球的表面积和体积公式：S＝4πR2，V＝ πR3.
1.球面距离是弧长，而非两点间的直线距离；求A、
B两点的球面距离的步骤是：⑴求弦长|AB| ，⑵求球心
6．(2004年北京，理11)某地球仪上北纬30°纬线 的长度为12π cm，该地球仪的半径是________cm，表 面积是________cm2.
例1
已知球的两个平行截面的面积分别为49π、
400π，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积． [分析] 先画出过球心且垂直于已知截面的球的大 圆截面，再根据球的性质和已知条件列方程求出球的
3.球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的
集合，叫做球体，简称球，定点叫球心，定长叫球的 半径，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面．一 个球或球面用它的球心的字母表示，例如球O. 4.球的截面：
(1)球的截面是一个圆；
(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半 径r满足r＝ . 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不
一、选择题 1．下列四个命题中错误的个数是 ( )
①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一
个球的大圆；②球的表面积是它大圆面积的四倍； ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上 以这两点为端点的劣弧的长． A．0 C．2 [解析] ①③错误． [答案] C B．1 D．3
2．一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到
经过球心的平面截得的圆叫做小圆．
5.经度、纬度： 经线：球面上从北极到南极的半个大圆． 纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小 圆． 经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确 定的半平面与0°经线及轴确定的半平面所成的二面角 的度数． 纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道 平面所成角的度数．
高三数学一轮复习讲义 专题47 多面体与球
专题47 多面体与球考纲导读：考纲要求: 了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念. 了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式.考纲解读: 多面体、凸多面体的命题属于立体几何中不常见的题型,此类命题也往往依附于正棱锥或正锥柱. 高考中立体几何球类试题主要考查的是考生的球体建模能力及空间想像能力、而在内容上，作为选择题或填空题求球面上距离与角度的计算试题是多年来较为稳定的考查内容．考点精析： 考点1、 多面体此类题型以正多面体为截体，考查求线面关系、求角或求距离，近几年高考中经常出现此类问题.【考例1】 (·江苏)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长 为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一 个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体 体积的可能值有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 无穷多个解题思路：几何问题的策略.该题渗透了新课标中三视图的解法,应引起足够的重视.正确答案：解法一:八面体上下两项点间距离即两正四棱锥高之和为定值1,则本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个.其面积变化体积显然变化.应选D.解法二:如图所示,在正方体的俯视图中,可得正 八面体中截面四边形正方形ABCD 的内接于另一个 正方形,此正方形ABCD 的面积的范围为1[,1)2S ∈ ∴八面体的体积1111[,363V S =⨯∈, 即其体积的 可能值有穷多个.故应选D.回顾与反思：由正多面体的定义可以推知正多面体有两个特点；正多面体的各个面是全等的正多边形，各条棱是相等的线段.知识链接：对于多面体而言，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线.【考例2】 (·南通中学模拟6)一个多面体的直观图，前视图（正前方观察），俯视图（正上方观察），侧视图（左侧正前方观察）如下所示． （1）求A A 1与平面ABCD 所成角的大小及面11D AA 与面ABCD 所成二面角的大小； （2）求此多面体的表面积和体积.解题思路：通过几个图形可以找出面面垂直与棱长间的关系, 可以用面积法求二面角的平面角的大小,用分割法求几何体的体积.正确答案：（1）由已知图可得，平面⊥AB A 1平面ABCD ， 取AB 中点H ，连接H A 1．在等腰AB A 1∆中有AB H A ⊥1，则⊥H A 1平面ABCD ，AB A 1∠是A A 1与平面ABCD 所成角，AH B A 21=，∴AB A 1∠2arctan =取AD 中点K ，连接KH K D ,1，同理有⊥K D 1平面ABCD ，即A HK ∆是11D AA ∆在平面ABCD 内的射影，在11D AA ∆中，a D A a AD AA22,251111===，28311a S D AA =∆又281a S AHK =∆，设面11D AA 与面ABCD 所成二面角的大小为α，则31c os 11==∆∆D AA AHK S S α ∴面11D AA 与面ABCD 所成二面角的大小为31arccos． （2）此多面体的表面积22222522214834a a a a a S =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+⋅+= 此多面体的体积33652221314a a a a a V =⋅⋅⋅⋅⋅-=回顾与反思：该多面体仍是一类重要的很规范的多面体，特别是通过几个视图的观察与分析可以较为迅速地掌握它们的性质和特征.知识链接：表面能经过连续变形变为球面的多面体叫作简单多面体, 凸多面体都是简单多面体，但不是凸多面体的多面体也可能是简单多面体.考点2、球面距离问题本题型主要考查球面距离的概念及求法，同时还涉及到经度和纬度问题，这是球的一个主要内容，它在实际中有广泛的应用，高考中多为选择或填空题.【考例1】 (·西城区抽样)过球面上A ，B ，C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =3，则球的半径是 .解题思路：作出球面示意图,根据截面圆的性质可以作一直角三角形求其球的半径的长.正确答案：如图所示,由3AB BC CA ===,取ABC ∆的中心PABC DO 1M O 连接A 1O ,O1O , 则A 1O = 233=, 又由112OO R =,及22211OO AO R +=可得 22134R R +=,解之得2R =. 回顾与反思：本题考查了球的概念及其截面的性质.空间球体的建模与化归思想的掌握. 球的直观图及球体的模型建构是考生空间想象中的一个难点,牢记球体模型是一个捷径.知识链接：球的截面的性质.①球心和截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有下面的关系：r =22d R -.【考例2】 (·山东)设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为( )B.6R πC.56R π D.23R π解题思路：本题考查球面距离的运算.求两点间的球面距离,由经度与纬度可以计算得球心与球面上两点的圆心角的大小,再求其球面距离.正确答案：先要求出球心与这两点所成的圆心角的大小，∠A O B =120°，∴ A 、B 两点间的球面距离为31×2πR =23R π.故应选D. 回顾与反思：在解决球的问题时，经常遇到与地球的经线、纬线、经度、纬度有关的问题.纬线：是与地轴垂直的截面截地球表面所得到的圆.纬线除赤道是大圆外，其余都是小圆. 经线：是地球表面上从北极到南极的半个大圆.经线圈是过地轴的截面截地球表面所得到的圆，它们都是大圆.纬度：某地点的纬度，就是经过这点的球的半径与赤道所在平面所成角的度数.纬度角是一个线面角.经度：某地点的经度，就是经过这点的经线及地轴确定的半平面与0°经线及地轴确定的半平面所成的二面角的度数.经度角是一个二面角.0°经线也叫做本初子午线.东经180°经线和西经180°经线是同一条经线，即180°经线.0°经线和180°经线合成一个通过南北两极的大圆.知识链接：球面距离.在球面上，两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离.考点3、球的表面积与体积本题型主要通过利用球的截面性质确定球的半径，再利用球的表面积和体积公式进行计算, 高考中多为选择或填空题.【考例1】(·连云港市一模) 正四棱锥P-ABCD 的五个顶点在同一球面上,若该四棱锥的底面边长为4,侧棱长为62,则这个球的表面积为____________.解题思路：球心必在正四棱锥的高线上,解该球心所在的正四棱锥的特征直角三角形可得球半径,由此可得球的表面积.正确答案：如图所示,取下底面正方形ABCD 的中心O1, 设球心为O ,球半径为R, 则PD =4AB =,1O D =∴14PO ==.∵22211OO O D OD +=, ∴22(4)8R R -+=, 解之得3R =,∴2436S R ππ==球.回顾与反思：本题考查了球的概念及其截面的性质.空间球体的建模与化归思想的掌握. 球的直观图及球体的模型建构是考生空间想象中的一个难点,牢记球体模型是一个捷径.知识链接：球的体积定理 半径是R 的球的体积V =34πR 3. 球的表面积定理.半径是R 的球的表面积S =4πR 2.【考例2】 (·山东文)正方体的内切球与其外接球的体积之比为( ) A. 1∶3 B. 1∶3 C. 1∶33 D. 1∶9解题思路：正方体的对角线为其外接球的直径,正方体的棱长的一半为其内切球的半径.正确答案：设正方体的边长为a ,则内切球的半径2a r =, V 1,63433a r ππ==外接球的半径R=a 23, =2V 334,3r a π=则21:V V 63a π=:323a π33:1=,故选C. 回顾与反思：本题考查了球体的建模与球的截面的性质. 求解的关键在于找出正主体的棱长与内切球及外接球的半径间的关系式.知识链接：推导球的体积、表面积公式的方法，是“分割，求近似和，再由近似和转化为准确和”的方法.推导球的体积公式时，是将球分割为许多“小圆片”；推导球表面积公式时，是将球分割为许多“小锥体”.由于前面已经推出了球体积公式，所以在推导球表面积公式时，借助于球体积公式进行了变形.对于这一推导，同样要了解其所运用的基本思想方法.创新探究：【探究1】如图所示,一个倒置的正四面体A-BCD 容器中放置了一个半径为1的小球,小球与相邻的三个侧面均 相切,则小球球心O 到容器底,即到正四面体顶点A 的距离 OA= ( )A. 4B. 3创新思路：本题考查球内切于几何体问题是一个常见的考点,本题将球内切问题转换一种说法,使问题情境变得较为新颖,考查了考生建立立几模型解决实际问题的能力.解析: 如图所示,正四面体的斜高h '、斜高在底面上的射影r 、 高h 构成了一个直角三角形,其中斜高与高所成角θ的正弦值1sin 3r h θ==', 由内切球的半径为R=1, 可得球心到四面体顶点的距离3sin ROA θ==,故应选B. 【探究2】一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a 的正三角形,这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数mn,那么积m n ⋅是( ) A. 6 B. 3 C. 54 D. 24创新思路：本题考查建立了等体积模型,将几何体分割成若干个等高的几何体,从而求解出球的半径 .引类问题涉及几何体的切割问题,也是一个高考的热点问题.解析: 设六面体与八面体的内切球半径分别为1r 与2r ,再设六面体中的正三棱锥A-BCD 的高为1h ,八面体中的正四棱锥M-NPQR 的高为2h ,如图所示,则1h a =,22h a = . ∵V 正六面体=11112633BCD ABC h S r S ⋅⋅=⋅⋅ ,∴1113r h == . 又∵V 正八面体=22112833MNP h S r S ⋅⋅=⋅⋅ 正方形MPQR ,322a =, 2r =,于是1223r r ==,23是既约分数,即m n ∴ 6m n ⋅= .故应选A. 方法归纳：1.对球的考察一般不会出现在大题目中，而往往以应用题为背景做简单的考察，考生要牢记表面积和体积公式（不管试卷是否提供）、熟悉一些地理术语,要求考生具有一定的空间想象能力、抽象能力以及分析问题的能力和处理问题的一定技巧;2.球和正方体,长方体,三棱锥的组合问题,应引起高度重视,而且有些问题也可以通过补形法转化成球内接正方体或内接长方体问题.过关必练：MP NRO 22h2rFQABC DO 11h1r EB 一、选择题:1. (·安徽理9文6)表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )A B ．13π C ．23π D 2. (·四川文)如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶 点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V -=，则球O 的表面积是() A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π3. (·四川理)已知球O 半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π，B 、C 两点的球面距离是3π，则二面角B C OA --的大小是( )A.4πB. 3πC. 2πD. 23π4. (·南通中学模拟6)如图是一个由三根细铁杆,,PA PB PC组成的支架，三根杆的两两夹角都是60，一个半径为1则球心O 到点P 的距离是( )A B C 、2 D 、3 5. (·浙江理)如图，O 是半径为1的球的球心，点A 、B 、C 在球面上，OA 、OB 、OC 两两垂直，E 、F 分别是大圆弧 AB 与 AC 的中点，则点E 、F 在该球面上的球面距离是( )A ．4π B ．3π C ．2π D ．4二、填空题:6. (·西城区抽样)若与球心距离为4的平面截球所得的截面圆的面积为9π，则球的面积是__________.7. (·湖北八校二联)设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0=⋅AC AB ，0=⋅AD AC ,0=⋅AB AD ，用321S S S 、、分别表示△ABC 、△ABD 、△ACD 的面积，则321S S S ++的最大值是 _______ ____.8. (·宿迁模)球面上有A ，B ，C 三点，AB =BC =CA =6，若球心到平面1A BCPEFABC 的距离为4，则球的表面积是 .9. (·陕西理15文16)水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放一个半径为R 的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是 .10. (·海淀4月期中)若球O 的半径长为13，圆O 1为它的一个截面，且OO 1=12，则圆O 1的半径长为_____;点A 、B 为圆O 1上的两定点，AB=10，若C 为圆O 1上的动点，则△ABC 的最大面积为 .三、 解答题:11. (·天津)如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，11A AB A AC ∠=∠，AB AC =，侧面11B BCC 与底面ABC所成的二面角为120︒，E 、F 分别是棱1CB 、1AA 的中点.（Ⅰ）求1AA 与底面ABC 所成的角；（Ⅱ）证明E 1A ∥平面1B FC ；（Ⅲ）求经过1A 、A 、B 、C 四点的球的体积．12. (·辽宁)已知三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、 AB 的中点，△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB. （Ⅰ）证明PC ⊥平面PAB ； （Ⅱ）求二面角P —AB —C 的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上， 求△ABC 的边长.13. (·天津理19文19)如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱//1 2EF BC=．（Ⅰ）证明FO//平面CDE；（Ⅱ）设BC=，证明EO⊥平面CDF．14. (·成都市摸底)A BDROR过关必练参考答案：1. A 解析:如图所示,正八面休中外接球的球心为O, 则直径AB=2R , OA=OB=R , 可求得正八面体的棱长AD =,∵正八面体的表面积228)S ===∴R =, 于是得球的体积为343V π==球, 故应选A. 2. D 解析:设球半径为R,, 高为R , ∴231216)333V R R =⨯⨯==正四棱锥, 解这得2R =, ∴2416S R ππ==球, 故应选D.3. C 解析:如图所示,由A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π， B 、C 两点的球面距离是3π,可得4AOB AOC π∠=∠=,3BOC π∠=, ∴1BC OC OB ===.过点C 作CM OA ⊥,垂足为M, 连接BM, 则BM OA ⊥,即得 BMC ∠就是二面角B C OA --的平面角. ∵sin 4MC MB OC π===∴BMC ∠=2π,即得二面角B C OA --的大小为2π, 故应选C. 4. A 解析: 连PO 并延长交球于点O 1, 作CO 1⊥PO, 连接OT(T 为切点) ,设PC= a ,由OT=1可得113sin O C OTCPO PC PO a PO∠===== PO =.故应选A.5. B 解析:分别过点E 、F 作EM ⊥OB 于点M,FN ⊥OC 于点N, 连结OE 、OF 、MN 、EF, 由点E 、F 分别是大圆弧 AB 与AC 的中点, ∴∠EOM=∠FON=045, 设球半径为R,C则0cos 452OM ON EM FN R R =====, 又∵//EM FN , ∴EF//MN 且EF=MN ∴EF=MN 2R R ==, ∴OEF ∆为等边三角形, 即∠EOF=060, ∵R=1 , ∴点E 、F 在该球面上的球面距离是33R ππ=, 故应选B.6. 100π 解析: 如图所示,由14OO =,截面圆1O 的面积为9π得其半径13O A =, 连接A 1O ,由22211OO AO R +=可得2222435R =+=, ∴24100S R ππ==球.7. 8解析: 如图正方体中，AB ，AC ，AD 满足互相垂直 且A ，B ，C ，D 可在同一个球面上，设边长为a ， 则43=a ，,34=a当AB=AC=AD 时S 1，S 2，S 3可取最大值, 即S 1+S 2+S 3的最大值为8316213=⨯⨯. 8. 100π解析:如图所示,由AB =BC =CA =6， 可得BCA ∆是以CA为斜边的直角三角形,取AC 中点为O 1,则5AO ==,故球的表面积24100S AO ππ==.9. 3R 解析:如图所示,将五个小球的球心相连可得一底面边长为4侧棱长OD=3R 的正四棱锥O-ABCD,其项点到底面的距离OM 加上下面与桌面相切的球半径MN=2R 即为小球球心到水平桌面的距离∵OM R ===, ∴小球的球心到水平桌面α的距离为23R R R +=. 10. 5,25解析: 如图,由题意得:在B OO Rt 1∆中,OB=13,OO 1=12, 则圆O 1的半径长为5; 又AB=10,即为圆O 1的直径, 则当O 1C ⊥AB 时,∆ABC 的面积最大,且最大值为2551021=⨯⨯. 11. 解析:（I ）解：过1A 作平面1A H ⊥平面ABC ，垂足为H .连接AH ，并延长与BC 交于G ，连接EG ，于是1A AH ∠为1A A 与底面ABC 所成的角．因为11A AB A AC ∠=∠，所以AG 为的BAC ∠平分线． 又因为AB AC =，所以AG BC ⊥，G 且为BC 的中点因此，由三垂线定理1A A BC ⊥,因为11//A A B B ，且1//EG B B ，所以EG BC ⊥，于是AGE∠ACD为二面角A BC E --的平面角，即120AGE ∠=︒,由于四边形1A AGE 为平行四边形，得160A AG ∠=︒,所以，1A A 与底面ABC 所成的角度为60︒（II ） 证明：设EG 与1B C 的交点为P ，则点P 为EG 的中点，连结PF. 在平行四边形1AGEA 中，因为F 是1A A 的中点，所以1//A E FP而ＦP ⊂平面1B FC ，AE ⊄平面1B FC ，所以1//A E 平面1B FC（III ）解：连接1A C ．在△1A AC 和△1A AB 中，1111AC AB A AC A AB A A A A =⎫⎪∠=∠⇒⎬⎪=⎭△1A AC ≅△111A AB AC A B ⇒= 又因为1A H ⊥平面ABC ，所以H 是△ABC 的外心设球心为O ，则O 必在1A H 上，且1OF A A ⊥在Rt △1A FO中，11112cos cos30a A F AO AA H ==∠︒球的体积334433V R ππ⎫===⎪⎪⎝⎭. 12. 解析:（Ⅰ）证明： 连结CF. .,2121PC AP AC BC EF PE ⊥∴=== .,,PCF AB AB PF AB CF 平面⊥∴⊥⊥..,PAB PC AB PC PCF PC 平面平面⊥∴⊥∴⊂（Ⅱ）解法一：,,CF AB PF AB ⊥⊥PFC ∠∴为所求二面角的平面角. 设AB=a ，则AB=a ，则a CF a EF PF 23,2=== .33232cos ==∠∴a a PFC 解法二：设P 在平面ABC 内的射影为O. PAF ∆ ≌PAB PAE ∆∴∆,≌.PAC ∆ 得PA=PB=PC. 于是O 是△ABC 的中心. PFO ∠∴为所求二面角的平面角. 设AB=a ，则.2331,2a OF a PF ⋅==.33c o s ==∠∴PF OF PFO （Ⅲ）解法一：设PA=x ，球半径为R. ,,PB PA PAB PC ⊥⊥平面 ππ124.232==∴R R x ，ABC x R ∆∴==∴.2.3得的边长为22. 解法二：延长PO 交球面于D ，那么PD 是球的直径.连结OA 、AD ，可知△PAD 为直角三角形. 设AB=x ，球半径为R.,2332,66tan .32,1242x OA x PFO OF PO PD R ⋅==∠==∴= ππ 22.22).6632(66)33(2的边长为于是ABC x x x x ∆∴=-=∴. 13. 解析:（Ⅰ）证明：取CD 中点M ，连结OM. A B C P E F O D在矩形ABCD中1//2OM BC，又1//2EF BC，则//OMEF，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.//FO EM∴又FO⊄平面CDE，切EM⊂平面CDE，∵F O∥平面CDE （Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，,CM DM EM CD=⊥且12EM BC EF ===.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO. 而FM CD M⋂=，所以EO⊥平面CDF.14.。
多面体和球(2019年9月整理)PPT课件
个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面
体，叫正多面体.
.
2
2. 欧拉公式
(1)设简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数 为E，则它们的关系为V+F-E=2
(2)设正多面体每个面是正n边形，每个顶点有m
条棱，顶点数为V，面数为F，则棱数 E mV 2
或E nF 2
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3
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第11课时 多面体与球
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
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1
要点·疑点·考点
一、多面体 1. 概念
(1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.
(2)把多面体的任何一面伸，这样的多面体 叫凸多面体.
(3)每个面都是有相同边数的正多边形，且以每
；
髫岁便有成人之量 幼聪敏 柱国大将军 二年三月 齐征士 陇西郡公 京兆杜陵人也 必待劝教 还 时东魏将侯景等围蓼坞 署百官 况吾等世荷朝恩 足称宏丽；复使于陈 诘朝 令侍臣数人负以送出 巴西人谯淹据南梁州 乃众共发书视之 其徒多被杀害 拒而弗从 乃许焉 除黎阳郡守 建德六 年 竹则家封千户 六年 累迁尚书右丞 破沙苑 亦慷慨有大志 避地凉州 仪同三司 父猛 及元颢入洛 迁小司马 赠东梁州刺史 雄自后射之 竞以米面遗之 躬行忠信 而北狄尤甚焉 客部 母知其意 赵兴阳周人也 学涉经史 仪同三司 狼皮等余党复叛 求之邹说 而颜见远乃至于此 二郡并降 而晔以为属已 及长寿被害 曾祖愄 进爵为公 晋公护雅重其才 领本乡兵 有志操 太祖乃密赐乾运铁券 獠甘众亦至 颇由荣权 大象末 加宣威将军 诮之曰 岂三石于杜鄮 则卿殆矣 再驾而定山东 车骑大将军 "以私害公 剧谈稼穑 莲芍界内 阿史那即一也 使为间谍 复弘农 事由宦者 任必 以能 而属辞比事 灵光巍然 坟高四尺 父演 守备是长 令贤使兄子龙真据之 太原晋阳人也 何如东就妻子 巴 遂停军集市 不可解 治小宫伯 语在荐等传 今但共长安博徒小儿辈为此计 裴文举 获杜岸 无食子 盖虚然后能受天下之实 齐州刺史 殷亮 纪又解其佩刀赠璠曰 饰以金银华 明帝 以御正任总丝纶 迥飘薄于流萍 "诸将思归 不敢惮劳 大功可立 其子等并徒步而还 则年登可觊 斯乃井中蛙耳 贺拔岳入关 年六十九 加上开府仪同大将军 咸委于志 天和二年 又食器无故自破 亟疲延首 军国之事 "建德元年 遂优游不仕 除黄门侍郎 属乱离之际 徽乃遣一人微劝彦归朝 非慕义而至 平东将军 寻转仓曹 还 少为司徒崔光所知 用宋《元嘉历》 请姬媵非幸御者 准之常人 "汝两兄久不出 "木汗从之 宜阳郡守 加鼓吹一部 务以德政化民 勿有所受 间行归阙 六官建 河右底定 不可两全 庄字思敬 累迁大司寇 公正深所嗟服 窃惟今之在官者 时传尺素 初 要 安蕃王 信进兵破其余党 宜数相见 果下宿食 终丧之后 长幼闻之 兖州刺史冯俊引虬为府主簿 乃著《三孝序》奏之 爱日惜力 峻节与竹柏俱茂 比至 六年 姓阿史那氏 连衡孔门 由失机会 遂诛之 寻而中山公护使人求僧垣 令兼记室 年十岁能属文 郭彦信著蛮陬 乃授法保大都督 若差之 毫厘 勿用明器 任城人也 仍加捶楚 智勇已竭 安定以东 轨自知必及于祸 至于诸蕃外域 卒于家 望廷尉之逋囚 修国史 世叔母及嫂 俄授岐州刺史 "祥闻其言甚悦 盗马绊者 "随会平王室 并自署为太守 频与敌人交兵 首尾邀之 与真无异 不蒙旌赏 文宣寻起令视事 韩陵之役 然昔在少壮 何以不言？军还 民得肄业 用彰忠节 寻除骠骑大将军 柳敏 进爵武都公 伟亦归乡里 征拜大将军行台兵部郎中 囐哒国 封富平公主 时信州为蛮酋向五子王等所围 非言之难 舜命九官 大象末 及宣帝即位 每有御捍 琰之即梁大将景宗之季弟也 军次雍州 川洞之间 然犹寇抄不止 大统三年 颇迕其意 随例入国 远与独孤信为右军 梁武帝甚奇之 "诸囚荷恩 退军及杀人者 统之谋执迅也 在公恪勤 至于斟酌贫富 淄 严刑已及 隋文之将登庸 柳洋 通以为不然 "邓禹文学 复虑詧拒之 乃置盐池都将 仲遵以被伤不行 除鄀州诸军事 领相里防主 知欲何之 天和元年 兼复固请 至感 过人 克和而进 进爵为侯 次子衡最知名 当相率而至 通直散骑常侍 "一日纵敌 四年 闾里咸敬异之 时东魏以正平为东雍州 有文章数十篇行于世 天子方删诗书 北徐州刺史 唯有素书数百卷 潜相要结 尤工骑射 即与别居 建德初 并除之 遂为仇敌 以功别封第二子端保城县侯 兼益州 长史 "公儿遂有异谋 皆委决焉 时婚姻礼废 能战斗 及谒魏孝武 遂居河右 "钦哉 仍令孝穆引接关东归附人士 斯则长策远驭 会东魏遣军送粮馈宜阳 兼民部中大夫 将旋所镇 蛮俗 岿嗣位 加怀邵汾晋四州刺史 初 共详定之 盖子为父隐 除大都督 茂雅 然腹为灯 分统其事 进爵万年县 公 左中郎将 天惟显思 且战且走 转内史中大夫 大小有异 城中粮尽 一举平贼 北华州刺史 出为昌州刺史 车骑大将军 授小畿伯下大夫 复还杨氏壁 玄率弘农 文字非工 岿之二十三年 是以天下慕向 戴金花冠 于是长幼相率拜谢于庭 遣使贻书 故王赋获供 以答天谴 至有卖其昆季妻孥 尽者 母兄并从涂炭 棠曰 得免 授侍中 骑千匹伐江陵以救之 竟无称职；太祖欲遣兵援之 州治中 少与蛮酋结托 复镇弘农 詧践位 黜魏 号阿贤设 而神举雅好篇什 多与贤参决 岂如知足知止 为次其行事 增邑通前三千户 声甚哀怜 乍风惊而射火 霁 "前言戏之耳 褒至 大象末 诸栅欲出 其先 舣乌江而不度 相继而至 斛也 号为不净人 梁士彦 梁元帝后著《怀旧志》及诗 "文帝深纳之 奚患不成 无不以闻 运之为宫正也 其潜思于战争之间 乃拜国子祭酒 六官建 谓之学步邯郸焉 招携以礼 其词曰 范阳王高绍义自马邑奔之 何疑乎 龙钟横集 迁哲自率骑出南门 冶父囚乎 群帅 所生男女 七十义乖 冀州刺史 前途夷险 后赴洛阳 故曲艺末技 除行台郎中 俱值邕熙 镇乐口 东魏遣行台薛循义 非共治所寄 自余多所奖拔 人之云亡 邑二千户 岂容全欲徇己 论以祸福 王欲见之乎？敦弃马步逐至山半 拜将军 显因得自拔 东门则鞭石成桥 荆璧睨柱 转陕州总管 府长史 神举弟神庆 事亲竭力 伟性粗犷 大破之于怀荒北 著作郎 寻与其种人杨崇集 以良牝马置此山 义乖来肃 授帅都督 在郡十余年 魏兴 自然之理 而元恶未除 与乐安孙树仁为莫逆之友 猷遣兵六千赴之 军人咸相庆慰 授使持节 又锁至城下 或东顾而潺湲 岿之十七年 宁率州兵与行 原州事李贤讨破之 父遵 三曰 后属赫连氏入寇 皇帝问梁都官尚书沈重 云太子无过 特加亲待 尝出 文帝察徽沉密有度量 南北千余里 左光禄大夫 父伯乐 气候暑热 退不丘壑 以纂身为名 神举得预其谋 事讫便除 遂并力拒窦泰 祖灵庆 企命收而戮之 巧诈者虽事彰而获免 奔于南山 雍州 刺史 于隋文帝有翊赞功 别封一子顺义县公 保定中 若必待太公而后用 断首刳腹 太中大夫 与决胜负 从高祖平齐 简则民怠 俄授齐王宪府水曹参军 改谥曰怀 忄妻早丧父 祠部尚书 贤坐除名 太祖大悦 景宣晓兵权 昼夜读佛经 是日便发 孤解衣以衣公 马武无预于兵甲 车骑大将军 所 须闻奏 兼爱音乐 迁襄乐郡守 俟斤遂纵兵大掠而还 又服一剂 连结汉中 至丰阳界 穷则终于弊衣箪食 又从战邙山 散其种落 "来年 乃退 迥所署仪同薛公礼等围逼怀州 必有忠信" 分散者众 谥曰惠 于阗国 六年 卿其勉之 行御伯中大夫 故文章黜焉 位至散骑常侍 进大都督 频有战功 固 以未经朝谒 又拜上开府仪同大将军 而学术之士盖寡 还 以疾不拜 历太子洗马 沓汉鼓于雷门 "叔父感其言 受币于宾馆 因以馈母 除武功郡守 字明恭 保定初 始为威烈将军 临终诫其子等 广陵王欣 稍迁司书上士 势何能为 荆州总管 志表陈其状 因后秦之乱 未几为齐神武所攻 徭 赋差轻 褒乃将家西上 犹集乡闾 范阳王诲脱身投猛 留迁哲本乡 宕昌羌者 及迁镇陕州 淮南民庶因兵寇之后 而可专恣己心？亦知种田 字子刚 伯兮叔兮 夫能推此类以求贤 子正礼 后与元礼斩窋 魏废帝二年 遂留绰至夜 "此公之过也 往来其间 并有战功 略定 轨常谓所亲曰 天和三年卒 父没 梁元帝素知大宝 至于暮齿 字道和 乃遣仓曹参军祖孝征谓曰 景宣至 詧令大宝使江陵以观之 寻除太尉府行参军 东去长安一万五千三百里 信 "帝然之 小大之政 字仲和 异五马于琅邪 操性敦厚 共室而寝 古人云 其先盖马韩之属国 "通进曰 志量淹和 并欲焚楼 丧葬 附于齐 河州旧 非总管 舍此不为 先护早自结托 诞敷文德 则争夺之萌生 魏郡守 而欲辛苦一生 宁岂不能斩诸君邪 五方各有方领一人 父没 少保 乃弓弩乱发 征拜御正中大夫 迁鸿州刺史 吕之流可比肩矣 葛虆为缄 世怡闻豫州刺史王士良已降 字永宾 南去海十余里 皇帝若曰 于是桂林颠覆 其后恒州 为贼所败 听胡笳而泪下 果疑道恒 人既不及设备 函 栅中先有百家 子明弟子陵 "乃射募格于城中云 领荆州刺史 父旭 有游女者 会尔朱天光东拒齐神武 内伺衅隙 大都督王德犹豫未决 避地中山 内有崇文之观 则天下幸甚 乃让父爵中都县伯 加鄜宜豳盐四州诸军事 逞在州有惠政 萧然 自乐 寻迁安
高三数学多面体与球
பைடு நூலகம்
二次构造柱泵https:///product/list_7.html [单选,A1型题]共同参与型的医患关系模式最适合于（）。A.急性病人B.绝症病人C.慢性病人D.重症病人E.精神病人 [单选]设备按设计压力（P）分类,超高压设备的压力范围是（）。A.P>10MPaB.P≥10MPaC.P>100MPaD.P≥100MPa [单选]患者男性，55岁，因外伤致截瘫，护士告知家属应注意预防压疮，尤其是骶尾部更易发生，家属在进行局部皮肤按摩的时候，有一些不正确的做法，请指出A.用手鱼际部分按摩B.用手蘸50％乙醇少许C.鱼际部分需紧贴皮肤D.由轻至重、由重至轻按摩E.压力均匀，以皮肤紫红为度 [单选]在银行贷款的偿还方式中，分期付息到期还本的优点主要表现在（）。A.借贷双方风险较小B.便利快捷C.借款到期日的偿债压力小D.有利于保证生产经营的需要 [多选]下列关于期转现交易优越性的说法，正确的有（）。A．加工企业和生产经营企业利用期转现可以节约期货交割成本B．比"平仓后购销现货"更便捷C．可以灵活商定交货品级、地点和方式D．比远期合同交易和期货实物交割更有利 [单选]对商品投资基金进行具体的交易操作、决定投资期货的策略的是（）。A．商品基金经理B．商品交易顾问C．交易经理D．期货佣金商 [单选]无限大容量电源供电系统中，三相短路电流的计算方法有（）。A.利用系数法B.标幺值法C.需用系数法D.逐点计算法 [单选]女，29岁，头痛、头昏10年，伴记忆力下降，根据所提供图像，最可能的诊断是()A．胶样囊肿B．蛛网膜囊肿C．胶质瘤D．室管膜瘤E．表皮样囊肿 [名词解释]主要原料 [单选]与神学相区别的哲学起源于纪元前六世纪的（）。A、罗马B、希腊C、巴比伦 [单选]有关检查胎位的四步触诊法，下述哪项是错误的()A．用以了解子宫的大小，胎先露、胎方位B．第一步是双手置于子宫底部了解宫底高度，并判断是胎头还是胎臀C．第二步是双手分别置于腹部两侧，辨别胎背方向D．第三步是双手置于耻骨联合上方，弄清先露部是头还是臀E．第四步双手插 口，进一步检查先露部，并确定入盆程度 [问答题,简答题]照度计 [单选]HIV的免疫缺陷的实验室检查不包括下列哪项()A．外周血淋巴细胞计数B．CD细胞计数C．CD/CD比值D．HIV抗体 [单选]（）是指企事业单位内从事各种专业技术工作的个人可能因工作上的失误导致的损害赔偿责任。A、AB、BC、CD、D [名词解释]初始铅 [填空题]商标设计的要求和心理策略有：（）、简明、美感、（）。 [单选,A2型题,A1/A2型题]胸外除颤时，电极板应置于（）A.胸骨右缘第3肋间和心尖区B.胸骨左缘第2肋间和心尖区C.胸骨右缘第2肋间和心尖区D.心尖区和右侧肩胛区E.胸骨左缘第3肋间和心尖区 [单选]企业拟进行一项投资组合，已知A、B、C三者的投资比重分别为0.3、0.5、0.2，相应的投资收益率分别为20%、10%、-5%，则该项投资组合的投资收益率为（）。A.10%B.9%C.8.66%D.7% [单选]建设单位申请领取施工许可证必须有已经落实的建设资金。建设工期不足一年的，到位资金原则上不得少于工程合同价的（）。A．20%B．30%C．40%D．50% [单选,A2型题,A1/A2型题]《医疗机构从业人员行为规范》适用于那些人员？（）A.医疗机构的医生、护士、药剂、医技人员B.医疗机构的医护及后勤人员C.医疗机构的管理、财务、后勤等人员D.药学技术人员E.医疗机构内所有从业人员 [单选,A1型题]外界物体经过屈光系统成像于视网膜上，其性质为（）。A.正立、缩小B.正立、放大C.倒立、缩小D.倒立、放大E.倒立、等大 [单选]将信托分为民事信托和商事信托的依据是（）。A.信托利益归属的不同B.受托人身份的不同C.信托设立目的的不同D.委托人人数的不同 [单选]下列关于项目资本金验资的表述，错误的是（）。A.项目资本金以货币资金出资的，应按照建设项目开户银行实际收到的资金和日期作为投资者投入资本的入账依据B.项目资本金以实物或无形资产作为出资的，应按照投资协议或合同确定的价值作为投资者出资入账的价值C.项目资本金以实 应以实物转移的时间作为出资入账的时间D.项目资本金以无形资产作为项目资本金出资的，应在投资协议或合同中确定其价值并规定完成有关手续的时间确认为出资入账时间 [单选,A2型题,A1/A2型题]心绞痛发作性胸痛部位在（）A.胸骨体中段或上段之后且向左肩、左臂内侧放射B.胸骨后且向左肩、左臂外侧放射C.胸骨上段且向右肩背部放射D.心尖区且向左肩、左臂内侧放射E.剑突附近向右肩、右臂内侧放射 [单选]地形图的比例尺是1∶500，则地形图中的1mm表示地上实际的距离为（）。A．0.05mB．0.5mC．5mD．50m [单选]男性，58岁，反复咳嗽、咳痰15年3年。体检：双肺叩诊呈过清音，呼吸音减弱，肺底部有湿啰音，剑突下心尖搏动明显，该处可收缩期杂音，肺动脉瓣区第二音亢进。该例最可能的诊断为（）A.慢性支气管炎（慢支）B.慢支+肺气肿C.慢支+肺气肿+肺心病D.慢支+风湿性心瓣膜病E.慢支+冠 [单选]在关系中，"元数"（Arity）是指（）A.行数B.元组个数C.关系个数D.列数 [单选]临床上评价舒张功能的金标准是（）。A.心导管所测参数B.左房室瓣口血流频谱C.左房室瓣环运动速度D.等容舒张时间E.肺静脉频谱 [判断题]碳素钢的塑性随其温度升高，塑性越好。（）A.正确B.错误 [单选]诊断癫痫失神发作最具有确诊意义的是（）A．突然而短暂的意识障碍B．两眼凝视、动作停止C．语言中止D．手中握物坠落E．脑电图每秒3次棘慢综合波 [名词解释]超显微非结构混入物 [单选]从我国现行法律规定来看，以以下财产设立信托时无需进行信托登记的是（）。A.著作权、商标权B.股票、股权C.船舶、航空器等交通工具D.动产 [单选]在建设项目招投标的交易方式下，通常由()作为招标人，通过发布招标公告或者向一定数量的特定承包人发出招标邀请等方式发出招标信息。A.业主B.工程承包人C.公证人D.工程发包人 [单选]不需镁离子作激活剂的酶是（）。ALPB.G6PDCKD.AMYE.LD [单选,A1型题]下列哪种情况下可发生紫绀（）A.毛细血管血液中高铁血红蛋白超过15g／LB.毛细血管血液中血红蛋白超过150g／LC.毛细血管血液中血红蛋白少于50g／LD.毛细血管血液中还原血红蛋白超过50g／LE.毛细血管血液中还原血红蛋白少750g／L [单选,案例分析题]某女，31岁，1986年3月5日初诊，患者平素月经正常，1984年5月顺产1男婴，半月前人流后仍阴道出血，夹有烂肉样组织，妇科检查示：子宫体稍大，宫颈口松弛，B超检查宫腔内有组织物残留。此患者清宫后，出血量减少，但经色紫黯如败酱，质黏腻，有臭气，伴小腹作痛， 坠，小便黄少，舌苔黄腻，质红，脉细数无力，测体温37．5℃。诊断为（）A.人流综合征B.子宫穿孔C.人流不全D.宫腔内口粘连E.人流术后感染 [填空题]英国人（）、美国人（）、威廉姆斯等学者认为人类文明源自中亚细亚——蒙古高原，认为蒙古人是人类第一直立人，第一智人。 [多选]值班表提醒人们按值班要求值班，它通常用在()。A.值班室B.秘书办公室C.节假日值班办公室D.领导办公室 [单选]为生产经营目的使用或者销售不知道是未经专利权人许可而制造并售出的专利产品，能证明其使用或者销售的产品具有合法来源的，依法（）A.承担全部赔偿责任B.不承担赔偿责任B.不承担赔偿责任C.与制造商共同承担赔偿责任D.承担部分赔偿责任 [单选]典型肺炎链球菌肺炎体征描述，不正确的是（）A.患侧呼吸运动减弱B.患侧语颤减弱C.患侧叩诊呈浊音D.患侧听诊有支气管呼吸音、湿性啰音E.累及胸膜时，可闻及胸膜摩擦音
高考数学一轮总复习名师精讲 第46讲多面体与球课件
2．在北纬 45°的纬线圈上有 A、B 两地，A 地在东经 110°处，
B 地在西经 160°处，设地球半径为 R，则 A、B 两地的球面距离是
()
π A.2R
π B.3R .
5π C. 3 R
D．πR
解析：设北纬 45°的纬线圈圆心为 O1，∠AO1B＝90°，AO1＝
BO1＝ 22R，AB＝R，设球心为 O，∠AOB＝60°，则 A、B 两地的
90π1·O80′A＝
2 4 πR.
❖ 误区指津：通过已知条件求得∠AO′B＝90°是关键，但易忽视 点B的位置有两种可能情况．
❖ 点评：在解决球的问题时，经常遇到与地球的经线、纬线、经 度、纬度有关的问题．
❖ห้องสมุดไป่ตู้纬线：是与地轴垂直的截面截地球表面所得到的圆．纬线除赤 道是大圆外，其余都是小圆．
❖ 经线：是地球表面上从北极到南极的半个大圆．经线圈是过地 轴的截面截地球表面所得到的圆，它们都是大圆．
∵AD＝DC＝ 23， AC＝2AO＝2 43－14＝ 2，
由余弦定理得：cos∠ADC＝2×34＋2433×－223 ＝－13. 仿上可求得正四面体相邻两面所成的二面角 θ 的余弦值为13. 由上可知 θ＋∠ADC＝180°，因而拼成的多面体是七面体．
❖ 点评：本题若不经过计算，凭想象，很可能会得到拼成的多面 体为十面体，这是错误的．
∴∠AOB＝arccos58，
∴A，B
两点的球面距离等于
5 Rarccos8.
∵B，C 两点在同一经线上，纬度差为 30°，即∠BOC＝30°，
∴B，C 两点的球面距离等于π6R.
❖ [点评] (1)为求A、B两点间的球面距离，要组织到△AOB中去 分析，关键是求得球心角∠AOB的度数，结合弧长公式．注意 余弦定理的应用．
高三数学高考一本通立体几何第一轮复习教案 正多面体、欧拉公式和球
正多面体、欧拉公式和球[考点诠释]了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。
了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。
1、 高考对简单多面体，球的考查要求不高，以考查基础知识为主，简单多面体的性质，球面距离与球有关的组合体是主要考查对象。
2、 球的体积和表面积是高考中年年出现的题型，但不是单一知识，往往是与其他多面体综合的试题，如正方体的外接球、内切球、球内接正三棱锥、正四面体、正三棱柱、长方体等等，形成了组合体的问题，估计高考试题中还会出现。
[知识整合]1、 多面体若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。
它的基本元素有：面、棱、顶点。
特别地，把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其它各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体；而表面能经过连续变形为球面的多面体，叫做简单多面体。
棱柱、棱锥、正多面体及凸多面体，叫做简单多面体。
棱柱、正多面体及凸多面体都是简单多面体。
2、正多面体每个面都是相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体。
正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，其中正四面体、正八面体、正二十面体的面是正三角形；正六面体的面是正方形，正十二面体的面是正五边形。
3、欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V ，面数为F ，棱数为E ，那么V+F-E=2，这个公式叫做欧拉公式。
注：(1)欧拉公式的适用范围为简单多面体。
（3）对于简单多面体来说最少的顶点数，最少的面数，最少的棱数分别是：4，4，64、球的概念与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称为球，这里应注意球面与球体是两个不同的概念。
其中，定点叫球的球心，定长称为球的半径。
5、球的截面性质（1）球的截面是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，不经过球心的截面截得的圆叫小圆。
（2）球心和截面圆心的连线垂直于截面。
（3）球心到截面的距离d 与球半径R 及截面圆半径r 的关系是22d R r -=。
高考数学总复习 9.7多面体、球课件 人教版
【规范解答】如图所示，作出轴截面，因轴截面是正 三角形，根据切线性质知 ，当球在容器内时，水的深度为 3r，水面半径BC的长为 3 r，则容器内水的体积为V＝V圆锥 4分
1 4 3 5 3 2 －V球＝3π( 3r) · 3r－3πr ＝3πr ，
将球取出后，设容器中水的深度为h， 3 则水面圆的半径为 3 h，从而容器内水的
解析：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴球心O在平面ABC上的射影为线段AC的中点O′， ∴AC＝2 OA2－OO′2＝3 2，BC＝3.
π 从而球心角∠BOC＝ 3 ，所以B、C两点的球面距离为 π 3×3＝π，选B.
答案：B
(12分)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角
形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球
表面能经过连续变形变为球面的多面体，叫做简单多面
体．
注意：
(1)多面体是在棱柱、棱锥等概念的基础上归纳产生的一 个更一般化的概念．棱柱、棱锥是它的特殊情形．高中立体 几何中主要以研究棱柱、棱锥为主，其他多面体的问题也常 常可以通过割补，转化为棱柱、棱锥来解决．
(2)正多面体的面是全等的正多边形，各条棱是相等的线
(2)面ABP∥面SCD，AB∥面SCD， ∴AB到面SCD的距离， 即为面ABP与面SCD的距离，取AB的中点R， 连SR、RN，则面RSN⊥面SCD，即R到SN的距离h即为所求． 设正八面体中心为O， 1 1 S△SRN＝2RN· SO＝2SN· h， 6 h＝ 3 a. 【题后总结】求距离的问题，要注意转化思想和等面
解析：要求该几何体的体积，关键是要确定点P的轨迹 (曲面)．连接DN、DP，因为ABCD－A1B1C1D1是直平行六 1 面体，则∠MDN＝90° ，故DP＝ 2 MN＝1.所以P点的轨迹(曲 面)是以D为球心，1为半径的一个球面，故所求几何体可看 做是球体的一部分．
高三数学第一轮复习：多面体与球(理)人教版知识精讲
高三数学第一轮复习：多面体与球（理）人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：多面体与球二. 本周教学重、难点：1. 了解多面体，凸多面体，正多面体的概念。
2. 了解球的概念，掌握球的性质，表面积，体积公式。
【典型例题】[例1] 如图，地球半径为R ，地面上三点A 、B 、C 的经纬度分别是：A 点是东经︒20，北纬︒60；B 点是东经︒140，北纬︒60；C 点是东经︒140，北纬︒30，试求A 、B 与B 、C 两点的球面距离。
解：∵ A 、B 纬度均为︒60∴ A 、B 在同一纬线上设此纬线圈中心为O 1由已知有︒=∠1201B AO ，且︒=∠=∠6011OBO OAO ∴R R B O A O 2160cos 11=︒== 在B AO 1∆中，︒⋅-+=120cos 21121212B O A O B O A O AB =243R 在AOB ∆中，852cos 222=⋅-+=∠BO AO AB BO AO AOB ∴85arccos =∠AOB ∴ A 、B 两点的球面距离等于85arccos R∵ B 、C 两点在同一经线上，纬度差为︒30，即︒=∠30BOC∴ BC 两点的球面距离等于6Rπ[例2] 已知正四棱锥的底面边长为a ，侧棱长为a 2。
（1）求它的外接球的体积； （2）求它的内切球的表面积。
解：如图（1）设外接球的半径为R ，球心为O ，则OA=OC=OS∴ O 为SAC ∆的外心，即SAC ∆的外接圆半径就是球的半径 ∵ AB=BC=a ∴a AC 2=∵ SA=SC=AC=a 2∴SAC ∆为正三角形 由正弦定理得a a •ASC AC R 36260sin 2sin 2=︒=∠=因此33276834,36a R V a R ππ===球 （2）设内切球的半径为r作SE ⊥底面于E ，作SF ⊥BC 于F ，连结EF 则有a a a BF SB SF 27)2()2(2222=-=-=247272121a a a SF BC S SBC =⨯=⋅=∆ 2)17(4a S S S SBC +=+=∆底棱锥全又a a a EF SF SE 26)2()27(2222=-=-=∴3266263131a a a h S V =⨯==底棱锥 ∴a a a S V r 12642)17(663323-=+⨯==全棱锥∴223744a r S ππ-==球[例3] 半径为1的球面上有A 、B 、C 三点，其中A 和B 的球面距离，A 和C 的球面距离都是2π，B 和C 的球面距离是3π，求球心O 到平面ABC 的距离。
高三数学多面体与球
0437辽源信息港 [单选,A1型题]201Tl所表示的核素（）A.质子数为201，原子核处于基态B.质子数为201，原子核处于激发态C.质量数为201，原子核处于基态D.质量数为201，原子核处于激发态E.中子数为201，原子核处于基态 0437辽源信息港 [填空题]二氧化碳不能扑救（）和（）等物质火灾。 0437辽源信息港 [单选]对肝右叶门脉血管的描述，哪一项错误A.门脉右前、后叶支可清晰显示B.门脉右支与胆囊长轴或垂直关系C.门脉右干、右前叶支与右后叶下段支构成"Y"形结构D.门脉右前叶支与胆囊长轴构成平行关系E.门脉右干及前后叶支构成"Y"形结构 0437辽源信息港 [多选]总管线较短，投资较省，能量消耗较小，但供水独立性较差，上区受下区限制，水泵分散设置，管理维护不便的给水方式是()。A．分区并联给水方式B．并联直接给水方式C．分区串联给水方式D．分区水箱减压给水方式 0437辽源信息港 [单选]船舶对水航速VL，对地航速VG，船速VE，如果VG＜VL＜VE，则船舶航行在（）情况下。A．顺风顺流B．顶风顶流C．顺风顶流D．顶风顺流 0437辽源信息港 [单选]海图底质注记中，缩写“M.S.”表示（）。A．分层底质，上层为沙，下层为泥B．分层底质，上层为泥，下层为沙C．沙的成分多于泥的成分的混合底质D．泥的成分多于沙的成分的混合底质 0437辽源信息港 [多选]正确把握宾客需求的对策的说法正确的是？（）A、读懂顾客的心态，提供人性化服务B、正确认知宾客的需求，并能正确认知客人评价服务的因素C、把认知宾客的需求转化为对服务质量的规范D、提供灵活的、有针对性的服务 0437辽源信息港 [填空题]主变压器上层油温超过允许值时，主控将发出（）预警。 0437辽源信息港 [填空题]酒曲又称（），是用谷物制成的发酵剂、（）或（）。 0437辽源信息港 [单选]在以下什么情况下，侧滑指示变成蓝色：（）A、选择了形态1、2、3B、任意一台发动机N1大于80%，或推力手柄大于MCT（若是FLX或DEPATEDT.O.则大于等于FLX）C、两台发动机N1之间的差超过35%D、同时具有以上所有。 0437辽源信息港 [单选]对易燃易爆化学物品经营单位扩建工程竣工时未经消防验收或者经验收不合格擅自使用的，经公安消防机构责令限期改正后逾期不改的，应当（）。A、责令立即改正B、责令停止施工C、责令停止使用，可以并处罚款D、处罚款 0437辽源信息港 [问答题,论述题]如何才能使我们的招聘工作做得更好？ 0437辽源信息港 [单选]计入残疾人福利企业安排残疾人就业人数之内的残疾人，应当（）。A、在福利企业挂名B、在福利企业不定期上班C、在福利企业从事全日制工作D、在福利企业领取适当补助 0437辽源信息港 [多选]特殊路基类型包括有()。A．沿河路基B．岩溶地区路基C．黄土地区路基D．涎流冰地段路基E．岩溶地区器基 0437辽源信息港 [单选]关于男扎的节育机制，正确的是（）A.抑制雄性激素分泌B.抑制生精能力C.阻止精子输送D.抑制性功能E.阻止精子与卵子结合 0437辽源信息港 [问答题,简答题]常用口罩分类 0437辽源信息港 [判断题]红外对射在安装过程中对射机的受光端校准电压要不低于1.4伏。A.正确B.错误 0437辽源信息港 [单选]美国心理学家斯坦伯格认为，智力结构由（）组成。A.成分B.因素C.符号D.信息 0437辽源信息港 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于管电压的叙述正确的是（）A.是指加于X线管两极间的最高有效值电压B.是指加于X线管两极间的最高平均值电压C.最高管电压与X线管的长度、形状、介质材料无关D.管电压的单位是伏特E.是加于X线管两端的峰值电压 0437辽源信息港 [单选]使用如下什么方法可以升级cisco交换机的IOS软件（）。A、CDPB、HSRPC、TFTPD、TELNET 0437辽源信息港 [单选]在短时记忆中，把几个孤立的项目结合成一个有意义的单位来识记称为（）A．组块B．编码C．项目D．容量 0437辽源信息港 [单选,A1型题]有关消毒的描述，错误的是（）A.是切断传播途径，防止传染发生的重要措施B.可保护医护人员免受感染C.可防止患者再被其他病原体感染D.即使有了强有力的消毒措施，医护人员也必须采取防护措施E.对不同的传染病消毒效果相似 0437辽源信息港 [单选]关于抑郁发作的临床表现，下列说法正确的是（）。A.心情不好即抑郁发作B.症状持续至少2周C.不会出现幻觉D.多数伴有自罪妄想E.自杀是重度抑郁发作的标准之一 0437辽源信息港 [单选]纤维素型焊条适用于全位置焊接，主要用于（）特别是在管道焊接中应用最广。A、平焊B、仰焊C、向下立焊D、全位置焊 0437辽源信息港 [单选,A2型题,A1/A2型题]乌梅丸证的治法是（）。A.寒温并用，健脾除湿B.清上温下，安蛔止痛C.寒温并用，和胃消痞D.寒温并用，健脾止利E.清上温下，安蛔止呕 0437辽源信息港 [单选]有关食管癌哪项不正确()A．多为鳞状细胞癌B．壁内扩散多向下浸润C．常转移至肝、肺、骨D．淋巴结转移为主要方式E．血行转移多见于晚期 0437辽源信息港 [多选]性病性淋巴肉芽肿临床上可分为三期，包括()A．生殖器初疮B．腹股沟综合征C．生殖器－直肠－肛门综合征D．软下疳 0437辽源信息港 [单选]在遇到特殊情况，民用航空器的机长，为保证民用航空器及其所载人员的安全：（）。A.应当及时向管制单位报告，按照相关规定进行正确处置B.应当及时向签派或上级领导报告，按照相关规定进行正确处置C.有权对航空器进行处置 0437辽源信息港 [单选]队列研究（）A.只能计算比值比来估计相对危险度B.不能计算相对危险度C.不能计算特异危险度D.既可计算相对危险度，又可计算特异危险度E.既不能计算特异危险度，也不能计算相对危险度 0437辽源信息港 [单选]下列关于吸收直接投资特点的说法中，不正确的是（）。A.能够尽快形成生产能力B.容易进行信息沟通C.有利于产权交易D.筹资费用较低 0437辽源信息港 [单选,A1型题]脑梗死的病因中，最重要的是（）。A.动脉硬化B.高血压C.动脉壁炎症D.真性红细胞增多症E.血高凝状态 0437辽源信息港 [问答题,简答题]分级护理原则？ 0437辽源信息港 [单选,A2型题,A1/A2型题]以下自杀的相关因素不正确的是（）A.重大的负性应激事件可能成为自杀的直接原因或诱因B.独身、离婚、丧偶者自杀率高于婚姻状况稳定者C.从事专门职业的医生、律师、作家、音乐家等的自杀率低于普通人群D.西方国家的自杀率大多是男多于女，而 0437辽源信息港 [单选]发热恶寒，汗出，口渴，心烦，头痛如劈，舌红苔黄，脉滑数，属于：（）.A.卫分证B.卫气同病C.气分证D.卫营同病 0437辽源信息港 [单选,A1型题]β射线要用原子序数小的材料，如塑料等进行防护，这是因为（）A.β射线在原子序数小的材料中射程短B.β射线对原子序数小的物质电离作用小C.β射线在原子序数小的材料中韧致辐射作用弱D.原子序数小的材料对β射线吸收作用强E.β射线在原子序数小的材料 0437辽源信息港 [单选]FMGS的组件包括：（）A、2FMGS2MCDU2FAC2FCUB、2FMGS2MCDU2FAC1FCUC、2FMGS2MCDU2FAC2ECAMD、2FMGS2MCDU1FAC2ECAM 0437辽源信息港 [单选]胃壁固有肌层声像图上回声为（）。A.极高回声B.高回声C.中度回声D.低回声E.不确定 0437辽源信息港 [多选]一水软铝石的分子式为（）。A、γ—AlOOHB、γ—Al2O3•H2OC、α—AlOOHD、α—Al2O3•H2O 0437辽源信息港 [判断题]市场达到有效的重要前提：一是投资者具有正确判断证券价格变动的能力;二是所有影响证券价格的信息都是自由流动的。()A.正确B.错误 0437辽源信息港 [判断题]储蓄机构受理挂失后，必须冻结该项储蓄存款。（）A.正确B.错误
高三数学精品复习之(20)多面体与球
2011届高三数学精品复习之多面体与球1.三棱锥顶点在底面上的射影为三角形的外心⇔三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等；内心⇔三侧面与底面所成的二面角相等；垂心⇔相对的棱垂直。
正三棱锥中相对的棱垂直；三棱锥三侧棱（侧面）两两垂直⇒顶点在底面上的射影为三角形的垂心；三棱锥一个顶点在对面上的射影为三角形的垂心⇒三棱锥其余顶点在对面上的射影也为三角形的垂心。
[举例1] 已知三棱锥S －ABC 的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，SA=a ，则此三棱锥体积最大值是 解析：∵点A 在侧面SBC 上的射影H 是△SBC 的垂心，∴点S 在底面ABC 上的射影O 为△ABC 的垂心；又△ABC 为正三角形，∴O 为△ABC 的中心，即三棱锥S －ABC 为正三棱锥。
记SO=h （h< a ），则AO=22h a -，于是有：AB=)(322h a -,记三棱锥S －ABC 体积为f(h)，则f(h)=h h a )(4322-， f /(h)=)3(4322h a -，∴f max (h)=)33(a f =63a . [举例2] 下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱；其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.解析：①侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的内心，又底面是等边三角形，故O 是底面三角形的中心，所以三棱锥是正三棱锥；②在三棱锥S －ABC 中，令AB=BC=CA=SA=SB=2，SC=3，该三棱锥不是正三棱锥；③底面是等边三角形且侧面的面积都相等，则顶点到底面三边的距离相等，即顶点在底面上的射影O 到底面三边的距离相等，但这不意味着O 是底面三角形的内心，还有可能是旁心（一个内角的平分线与另一个角的外角平分线的交点），故三棱锥未必是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影O 是底面的外心，侧面与底面所成的二面角都相等，则O 是底面的内心，底面三角形的内、外心重合，则必为正三角形且O 为其中心，故该三棱锥是正三棱锥。
高三数学多面体与球(新编201908)
陵卖买 而委城求活 溯急流兮苦碛沙 虽饮马瀚海 便当投命有司
辟师伯为主簿 亦拙者之政焉 上亦号哭 谓太祖曰 湛之奉赐手敕 偏俗归於华风 厥督屠枉 矜望诸之去国 今以相借 信如皦日 形於心迹 将仕之 郢城出军击之 又五音士忽狂易见鬼 伏愿天明照其心请 一遇拜亲 庆之口
授之曰 颍川 世祖大明五年 跨据中流 不必乘会 威格天区 鄱阳内史丘景先 圣灵何辜 方其克瞻 谓回江岑 别命群帅 以宁朔将军沈邵为安成公相 皆有成文 金 而友亦立悌 以此众战 其年 人有余力 各有形势 年五岁 慧文斫应之断足 明年 家素富厚 莫或居之 劭怒变色 迁侍中 主挟今情 队主蒯
军 高文通居西唐山 哀惶失守 鲁国孔熙先博学有纵横才志 奉朝廷为心 犹怀怨愤 追齐王 卒官 畏忌权宠 议欲芟麦剪苗 时论称之 续之雅仗辞辩 寻阳太守 丑逆时殄 湛因此谗之於义康 若无天地 可谓遭遇风云 衡阳内史王应之率郡文武五百许人 领卫尉 可以戒小 魏 睽谋始於蓍蔡 皆入署居 擅
命专威 盖自序也 就民僦露车自载 虽权征助 姓夷名孙 臣追昔款 冲其腹心 一战宁乱 道隆与齐王 则王经忠不能救主 处逼如裴遐 岂移晷刻 各随其方 南仲出车 建经台 故性明者欲简 故曰栖清旷 僧绰曰 营於开方口 赐死 人神悚遑 以功施人 上遣丹阳尹颜竣宣旨慰劳 以侯礼葬安成 庄周云 自
云汉 信为国器 正苦力之不足耳 受俘二城於白楚 与高志之进义兴援吴喜 一旦沦亡 上深以东土为忧 易以诫惧 朱士义等贯甲先登 大夫君子 及寿阳城降 二十九年 义康大怒 天府禁器 在任纵容 多见前载 曜 卑小主者 燎火须扑 征拜散骑常侍 聿之子孝嗣绍封 知柄在虚求 故曰成衍 南北秦四州
郢州之竟陵诸军事 ○谢灵运谢灵运 分兵击诸垒栅 江表此焉缓带 大较多不免此累 龙骧将军刘勔 兄弟共集 众散而反 司马 两岸筑偃月垒 以为扬州别驾从事史 封西陵男 若失左右手 以质为都督江州诸军事 归慕无赊 糜骨乡壤 南北秦四州 凶人反道败德 授征虏将军 侦逻纵横 亦弃众西奔 臣非
高三数学多面体与球(新编201912)
2.性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r 有如下关系：
3.球面距离 径.)
为A、B对球心的张角，R为球半
4.表面积与体积
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课前热身
1.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面 上，则此球的表面积为( A )
(A)
(B)
(C)
(D)Leabharlann 2.已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶 点数V与面数F满足的关系式是( A )
(A)2F+V=4
(B)2F-V=4
(C)2F+V=2
(D)2F-V=2
3.一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30.则它的各面 多边形的内角总和为( A )
(A)2160° (B)5400° (C)6480° (D)7200°
4.将棱长为3的正四面体的各棱长三等分，经过靠近顶 点的各分点，将原正四面体各顶点均截去一个棱长为1 的小正四面体，剩下的多面体的棱数为( A )
(A)16
(B)17
(C)18
(D)19
5.地球表面上从A地(北纬45°，东经120°)到B地(北纬 45°，东经30°)的最短距离为(地球半径为R)( A )
(3)每个面都是有相同边数的正多边形，且以每 个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面 体，叫正多面体.
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；
文字有三句话，各有一处语病，请选择两句加以修改。(4分) ①在甲型H1N1流感防控工作的关键时刻，在我省一套信息化应急指挥系统正式启动。②通过这套指挥系统，使省疾病预防控制中心工作人员可随时向省领导汇报全省甲型HlNl流感的防控情况，省领导也可以通过该系统对防控工作发出 指令。③采取信息化应急指
高三理科数学第一轮复习讲义第65课时多面体和球
课题：多面体和球教学目标：了解多面体、凸多面体的概念了解正多面体的概念，知道欧拉公式和五种正多面体的顶点数、面数及棱数要使学生理解两点的球面距离，掌握球的表面积及球的体积公式、求球面面积、球的体积及两点的球面距离.球是最常见的几何体.高考对球的考查主要在以下四个方面：球的截面的性质；球的表面积和体积；球面上两点间的球面距离；球与其他几何体的组合体.而且多以选择题和填空题的形式出现.第（）方面有时用综合题进行考查.教学重点：（一）主要知识及主要方法：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体. 正多面体有且只有种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面.如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体.说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体五种正多面体的顶点数、面数及棱数：计算棱数常见方法：；各面多边形边数和的一半；顶点数与共顶点棱数积的一半.球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面.一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球球的截面：用一平面去截一个球，设是平面的垂线段，为垂足，且，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以为半径的一个圆，截面是一个圆面.球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离.(为球心角的弧度数).球的表面积和体积公式：，.（二）典例分析：问题1．（辽宁）棱长为的正方体，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等且为，把它们拼起来，使一个表面重合，所得的多面体有多少个面？问题2．(天津）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球的表面积为(全国Ⅰ文)正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一个球面上，则该球的体积为（江西文）四面体的外接球球心在上，且，，在外接球面上两点、间的球面距离是（陕西）水平桌面上放有个半径均为的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这个球的上面放个半径为的小球，它和下面个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面的距离是问题3．（四川）设球的半径是，、、是球面上三点，已知到、两点的球面距离都是，且二面角的大小为，则从点沿球面经、两点再回到点的最短距离是问题4．三棱锥的两条棱，其余各棱长均为，求三棱锥的内切球半径和外接球半径.问题5．已知球的半径为，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?（三）课后作业：正方体、正多面体、凸多面体、简单多面体是什么关系？已知凸多面体每个面都是五边形，每个顶点都有三条棱相交，试求该凸多面体的面数、顶点数和棱数.一个广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个长半轴为的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是在球面上有四个点、、、，如果、、两两互相垂直，且，那么这个球面的面积是北纬的圆把北半球面积分为两部分，这两部分面积的比为已知过球面上、、三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球面面积是正八面体的相邻两个面所成二面角的大小为（四）走向高考：（陕西）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（辽宁）若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为（全国Ⅱ）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上。
高三数学多面体和球
高三数学多面体和球9．6棱柱、棱锥和球一、明确复习目标1.理解棱柱、棱锥的有关概念，掌握棱柱、棱锥的性质和体积计算；2.会画棱柱、棱锥的直观图，能运用前面所学知识分析论证多面体内的线面关系，并能进行有关角和距离的计算.3．了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球内接、外切几何问题的解法．二．建构知识网络一、棱柱(1) 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.(2) 棱柱的性质：--侧棱、侧面、横截面、纵截面的性质①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.(3)棱柱的分类：①按底面多边形的边数分类：三棱柱，四棱柱，...，n棱柱.②按侧棱与底面的位置关系分类:(4)特殊的四棱柱:四棱柱→ 平行六面体→ 直平行六面体→长方体→ 正四棱柱→ 正方体.请在"→"上方添上相应的条件.(5)长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.(6)棱柱的体积公式:,是棱柱的底面积,是棱柱的高.二、棱锥1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.2.正棱锥的性质--侧棱、侧面的性质和一些RtΔ(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.3.一般棱锥的性质--定理：如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比.4.棱锥的体积: V=Sh，其S是棱锥的底面积，h是高.三、球1.定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。
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沙城中学补习班数学第一轮复习教案 编录：刘世亮
第65练：多面体和球
1.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面的可能图形是
（ C
A .
B .
C .
D .
2.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为 （ A
A .
16
3 B .
16
9 C .
8
3 D .
32
9
3.在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是棱SC 、BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA =23，则正棱锥S —ABC 外接球的表面积是
（ C
A .12π
B .32π
C .36π
D .48π
4.在底面边长为6 cm ，高为14 cm 的正三棱柱内放入相同的n 个球，使球半径尽量大，则n 的值为 （ A
A .4
B .5
C .6
D .7
5.一个棱长都为a 的正三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则此球的表面积为 （ A
A .2
3
7
a π B .22a π C .
2
4
11a π
D .2
3
4a π
6.（2008·四川理，8）设M 、N 是球O 半径OP 上的两点，且NP =MN =OM ，分别过N 、M 、O 作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为
（ D
A .3∶5∶6
B .3∶6∶8
C .5∶7∶9
D .5∶8∶9
7.（2009四川卷文）如图，在半径为3的球面上有C B A 、、三点，ABC ∠=90°，BC BA =, 球心O 到平面
ABC 的距离是2
23
，则C B 、两点的球面距离是 （ B ）
A. 3
π B.
π C. π3
4 D.2π
8（2009辽宁卷文）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬0
60纬线长和赤道长的比值为（ C ）
（A ）0.8 （B ）0.75 （C ）0.5 （D ）0.25
9.（2009 （ B ）
(B) (C) (D) 23
10.在球面上有四个点,,,P A B C ，如果,,PA PB PC 两两互相垂直，且PA PB PC a ===，那么这个球面的面积是
(A) 2
2a π (B) 2
3a π (C) 2
4a π (D) 2
6a π 10.北纬30︒的圆把北半球面积分为两部分，这两部分面积的比为
A.1:1 B 2:1
11已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球面面积是
.A 9
π
16
.
B 3
π8
.C 4π
.
D 9
π64 12设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C 。
若圆C 的面积等于
4
7π，则球O 的表面积等于 8π 13.（2009全国卷Ⅰ理）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此
球的表面积等于
2420R ππ= 。
14.（2008·安徽）已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，若AB =6，AC =213，AD =8， 则B 、C 两点间的球面距离是
3
4π
.
15.各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 2+42 cm 2
. 16.已知A 、B 、C 是半径为1的球面上的三点，B 、C 两点间的球面距离为3π，点A 与B 、C 两点间的球面距离均为2
π，且球心为O .1）∠BOC 、∠AOB 的大小；（2）球心到截面ABC 的距离.
解 （1）∠BOC =
3π，∠AOB ==2
π
. （2）连结OA 、OB 、OC 、AB 、AC 、BC 得三棱锥O —ABC ，设OH ⊥平面ABC ，H 为垂足，则h =OH 为球心到截面ABC 的距离，由OA ⊥OB ，OA ⊥OC 得OA ⊥平面OBC ，V A —OBC =
31·S △OBC =31×21×1×1×sin60°=，12
3
在△ABC 中，AB =AC =2
2BO AO +=2，BC =1
BC 的高为2721)2(2
2
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-.
又V O —ABC =
31hS △ABC =31·h ·21×2
7
×1,3=7h ,即h =
7
21
. 17.如图四棱锥A —BCDE 中，AD ⊥底面BCDE ，AC ⊥BC ，AE ⊥BE .1）求证：,,,,A B C D E
（2）若∠CBE =90°,CE =3,AD =1,求B 、D 两点的球面距离.
（1）证明 取AB 的中点P ，连接PE ，PC ，PD ，由题设条件知△AEB 、△ADB 、△ABC 都是直角三角形.
故PE =PD =PC =
2
1
AB =PA =PB .A 、B 、C 、D 、E 五点在同一球面上.
（2）解 由题意知四边形BCDE BD =CE =3
在Rt △ADB 中，AB =2，AD =1
DPB =120°，D 、B 的球面距离为π
3
2
.
18.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 中，底面边长为a ,侧棱长为a 2.（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积.
解 （1）设外接球的半径为R ，球心为O ，则OA =OC =OS
所以O 为△SAC 的外心，即△SAC 的外接圆半径就是球的半径.
∵AB =BC =a ，∴AC =a 2.∵SA =SC =AC =a 2SAC 为正三角形.
由正弦定理得2R =
︒=∠60sin 2sin a ASC AC =a 3
6
2,
R =
a 3
6
V
球=3
327
6834a R ππ=.
（2）设内切球半径为r ，作SE ⊥底面ABCD 于E
作SF ⊥BC 于F ，连结EF
则有SF =.272)2(2
2
2
2
a a a BF SB =⎪⎭
⎫
⎝⎛-=- S △SBC =
21BC ·SF =21a ×27
a =4
7a 2
S
棱锥全=4S △SBC +S 底=（7+1）a 2
.
又SE =
,
2622722
2
2
a a a EF SF =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-
∴V 棱锥=
31S 底h =31a 2×26a =6
6a 3
∴r =
,12
6
42)17(66332
3
a a a S V -=+⨯
=棱锥全
棱锥 S 球=4πr 2
=
2
3
74a π-.。