03 力学：第二章 运动和力-课堂练习及部分习题解答

α α
N
沿斜面方向
mg+ma0
K K K 以地面为参照系，物体加速度 a = a′ + a0
建立如图所示坐标系，据加速度分量关系
( ma0 + mg ) sin α = ma′ a′ = ( a0 + g ) sin α
y K a0 x α K a′
ax = a′ cos α = ( a0 + g ) sin α cos α a y = a0 − ( a0 + g ) sin 2 α = a0 cos 2 α − g sin 2 α
(2) 小球将离开锥面时，支持力N=0，有
0 = mg sin θ − mω 2l sin θ cos θ ⇒ ωc = g l cos θ
练习册·第二章 运动和力·第3题
Zhang Shihui
题. 小球质量为m，在水中受的浮力为常力F。当它从静止 开始沉降时，受到水的粘滞阻力为 f = kv (k为常数)。证 明：小球在水中竖直沉降的速度v与时间t的关系为
2
O
θ
H r
l
r = l sin θ
竖直面内静止 T cos θ + N sin θ − mg = 0
学习指导·第二章 运动和力·习作题9
Zhang Shihui
2
⎧ ⎪ N = mg sin θ − mω l sin θ cos θ (1) 联立可得 ⎨ 2 2 T mg cos θ m ω l sin θ = + ⎪ ⎩
题. 已知一质量为m的质点在x轴上运动，质点只受到指 向原点的引力的作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即f =-k/x2，k是比例常数。设质点在 x=A时的速度为零，求质点在x=A /4处的速度的大小．
dv dx − k dv − k dv − kx 2 ⇒ = ⇒v = = 解： a = 2 2 dx dt mx dx mx dt m
第二章 运动和力
Zhang Shihui
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学习指导·第二章 运动和力·典型例题第1题
Zhang Shihui
1 ′ ⇒ a′ ( g + a) A B A = − aB = 3
相对地面，根据相对运动加速度变换
1 1 ′ = (2a − g ) a A = a + a′ (4a + g ); aB = a + aB A = 3 3
练习册·第二章 运动和力·第8题
Zhang Shihui
题. 升降机内有一光滑斜面，固定在底板上，斜面倾角为 K α。当升降机以匀加速度 a0 竖直上升时，质量为m的物体 K A从斜面下滑。试以升降机为例，求A对地面的加速 a 度 。 解：以升降机为参照系，物体沿竖直向下 K a0 的方向受到惯性力ma0和重力的作用。
m1 g m2 g
(m1 − m2 ) g + (m2 − m1 )a ⎧ ′ = −a2 ′= ⎪a1 m1 + m2 ⇒⎨ ⎪T = 2m m ( g − a ) / (m + m ) ⎩ 1 2 1 2
学习指导·第二章 运动和力·典型例题第2题
Zhang Shihui
设m1、m2对地的加速度分别为a1、a2，据相对运动公式
mg + ma
3 辅助方程 f = μ N , a A = aB ⇒ T = (1 + μ )mg 4
学习指导·第二章 运动和力·典型例题第4题
Zhang Shihui
题. 一根细绳跨过一光滑的定滑轮，一端挂一质量为M的 物体，另一端被人用手拉着，人的质量m=M/2。若人相 对于绳以加速度a0向上爬，求人相对于地面的加速度(以 竖直向上为正)。 解：设人相对于地面的加速度为a人对地， 物体相对于地面的加速度为a物对地。 T T ⎧ ⎪T − mg = ma人对地 相对地面 ⎨ mg Mg − T = Ma ⎪ 物对地 ⎩ Mg 物对地的加速度即绳对地的加速度 a物对地 = a绳对地 人相对绳子加速度为a0，有 a人对地 = a0 + a物对地 联立可得 a人对地 = ( 2a0 + g ) 3
(1)
以M为参考系（非惯性系）对m列方程 x′: ma0 cos α + mg sin α = mamM (2) y ′: N mM + ma0 sin α − mg cos α = 0 (3) 结果为 amM
( M + m) sin α g = 2 M + m sin α
学习指导·第二章 运动和力·习作题9
Zhang Shihui
题. 顶角为2θ 的直圆锥体，底面固定在水平面上。质量 为m的小球系在绳的一端，绳的另一端系在圆锥的顶 点，绳长为l (不能伸长)，质量不计。圆柱面是光滑的， 今使小球在圆锥面上以角速度ω 绕OH轴匀速转动，求： (1)锥面对小球的支持力N和细绳的张力T； (2)当ω增大到ωc 时，小球将离开锥面，问 ωc 及T又各是多少？ 解：小球在水平面内做半径为r的圆周运 动，绳对小球的拉力为Τ，圆锥面对小球 的支持力为Ν，小球所受重力为mg。 根据牛二律 T sin θ − N cos θ = ma = mω r
mg − F v= (1 − e k
−
kt m
)
dv 证明：据牛二律 mg − kv − F = ma = m dt dv = dt 分离变量得 (mg − kv − F ) / m
初始条件 t=0，v=0
K F K f
K mg
K a
x
∫
v
0
kt − mg − F dv (1 − e m ) = ∫ dt ⇒ v = k (mg − kv − F ) / m 0 t
G G G K G G ′ + a , a2 = a2 ′ +a a1 = a1 ′ + a, a2 = a2 ′ +a a1 = a1
写3; 2m2 a ⎧ ⎪a1 = m1 + m2 ⎪ 将a'代入，求得 ⎨ ⎪a = (m2 − m1 ) g + 2m1a 2 ⎪ m1 + m2 ⎩
v −k − k A 4 dx ⇒ vdv = dx ⇒ ∫ vdv = 2 2 ∫ A 0 mx m x
6k 1 2 3k 1 2 k⎛4 1⎞ ⇒v= ⇒ v = ⎜ − ⎟ ⇒ v = mA 2 mA 2 m⎝ A A⎠
学习指导·第二章 运动和力·典型例题第2题
Zhang Shihui
题. 升降机内有一装置如图示，悬挂的两物体的质量各为 m1，m2且m1≠m2，若不计绳及滑轮质量，不计轴承处摩 擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度a（方向向下）运动 时，两物体的加速度是多少？绳内的张力是多少？ 解：以升降机为参考系，隔离m1、m2受力 分析。设为m1、m2相对升降机的加速度分 a 别为a1'、a2'， a1'=-a2'，取向下为正方向。 m1 m2 ′ ⎧m1 g − T − m1a = m1a1 由牛二律 ⎨ ′ T + m1a T + m2 a ⎩m2 g − T − m2 a = m2 a2
N地M
ma 0
α
mg
y′ ′ x m G a 0 M
y
x
α
′ NMm
G a0
M
Mg
学习指导·第二章 运动和力·典型例题第5题(不完全相同)
Zhang Shihui
N Mm
ma 0
α
mg
y′ ′ x m G a 0 M
N地M
y
x
α
′ NMm
G a0
M
以地面为参考系对M列方程
Mg
x:
N mM sin θ = Ma0
学习指导·第二章 运动和力·典型例题第5题(不完全相同)
Zhang Shihui
题. 如图，m与M保持接触 ，各接触面处处光滑， 求：m下滑过程中，相对M的加速度amM 。 m 解：画隔离体受力图 K M相对地面加速运动,运动加速度设为 a0 以M为参考系画m 的受力图
N Mm
α
M
以地面为参考系画 M的受力图
学习指导·第二章 运动和力·典型例题第3题
Zhang Shihui
题. 图示系统置于以a=(1/2)g的加速度上升的升降机内， A、B两物体质量相等，均为m。A是放在水平桌面上 的。绳子不伸长，它和定滑轮的质量不计。A与桌面间 摩擦系数为μ。物体A在桌面上加速滑动，绳中张力是多 大？ 解：以升降机为参照系，升降机加 f N T a 速上升，为非惯性参照系。 A 水平方向 T − f = ma A T mg + ma A B 竖直方向 mg + ma − N = 0 B 竖直方向 mg + ma − T = ma B
练习册·第二章 运动和力·第7题
Zhang Shihui
题. 如图所示，轻滑轮两边分别悬挂A、B两物体，它们的 质量分别为mA和mB，当轻滑轮在外力作用下以加速度a上 升时，求物体A和B的加速度aA和aB（mB=2mA ）。 解：以竖直向上为正方向。相对滑轮
a
T − mA g = m A a′ A ′ T − mB g = mB aB ′ a′ A = − aB