第13讲 函数模型及其应用(解析版)

A． B．0.3C． D．
【分析】设汶川地震所释放出的能量是 ，唐山地震所释放出的能量是 ，由已知列式结合对数的运算性质求得 与 的值，作比得答案．
【解答】解：设汶川地震所释放出的能量是 ，唐山地震所释放出的能量是 ，
则 ， ，
， ；
．
故选： ．
【跟踪训练2-2】（2020•梅州二模）某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储存温度 （单位： 满足函数关系 为自然对数的底数， ， 为常数），若该食品在 的保鲜时间是384小时，在 的保鲜时间是24小时，则该食品在 的保鲜时间是．
∴日销售利润y＝（x﹣15）（1120﹣40x）＝﹣40 1690．
∴当这个餐厅每盒盒饭定价21.5元时，利润取最大值1690元．
故选：C．
【跟踪训练3-3】（2019秋•临沂期末）某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t（单位：分钟）满足5≤t≤20，t∈N．经测算，该路无人驾驶公交车载客量p（t）与发车时间间隔t满足： 其中t∈N．
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
题型2应用所给函数模型解决实际问题
【例2-1】（2020•山东）基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数 随时间 （单位：天）的变化规律，指数增长率 与 ， 近似满足 ．有学者基于已有数据估计出 ， ．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为
故选： ．
【例1-2】（2019秋•琼山区校级期末）两个学校 、 开展节能活动，活动开始后两学校的用电量 、 与时间 （天 的关系如图所示，则一定有
A． 比 节能效果好
B． 的用电量在 ， 上的平均变化率比 的用电量在 ， 上的平均变化率大
C．两学校节能效果一样好
D． 与 自节能以来用电量总是一样大
实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；
（2）∵ ，∴当5≤t＜l0时， ，
即 ，∵ ，当且仅当 ，即t＝6时等号成立，
所以，当t＝6时，y取得最大值38，
当10≤t≤20时， ，
则当t＝10时，y取得最大值28.4，
综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．
第13讲函数模型及其应用
思维导图
知识梳理
1．几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
（1）若 ，则 ；
（2）若太阳的星等是 ，天狼星的星等是 ，则太阳与天狼星的亮度的比值为．
【分析】（1）由 ，得 ，代入 ，即可求得 的值；
（2）设太阳的星等是 ，天狼星的星等是 ，代入 ，求得 即可．
【解答】解：（1）由 ，得 ，
又 ，
；
（2）设太阳的星等是 ，天狼星的星等是 ，
则 ，即 ，
则 ．
A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天
【分析】根据所给模型求得 ，令 ，求得 ，根据条件可得方程 ，然后解出 即可．
【解答】解：把 ， 代入 ，可得 ， ，
当 时， ，则 ，
两边取对数得 ，解得 ．
故选： ．
【例2-2】（2020•新课标Ⅲ） 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 的单位：天）的 模型： ，其中 为最大确诊病例数．当 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为
【名师指导】
求解所给函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
题型3构建函数模型解决实际问题
【例3-1】（2020春•内江期末）某公司生产某种产品，其年产量为 万件时利润为 万元，当 时，年利润为 ，当 时，年利润为 ．
A． B．
C． D．
【分析】分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项．
【解答】解：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，
图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，
所以函数的图象应一直下凹的．
故选： ．
【名师指导】
判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法
【分析】根据条件判断两个学校的变化率的大小即可．
【解答】解： 的变化率大， 的变化率小，则 比 节能效果好，
故选： ．
【跟踪训练1-1】（2019秋•武昌区期末）在 内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量 随时间 变化的图象是
【例3-3】某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 平方米，且高度不低于 米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________米．
根据以上数据，当这个餐厅每盒盒饭定价______元时，利润最大（ ）
A．16.5B．19.5C．21.5D．22
【分析】设销售单价为x元时，销售量为480﹣40（x﹣16）＝1120﹣40x，日销售利润y＝（x﹣15）（1120﹣40x）．由此能求出结果．
【解答】解：设销售单价为x元时，销售量为480﹣40（x﹣16）＝1120﹣40x，
所以当x＝20时，L（x）max＝L（20）＝2000；
当x≥40时，
所以 ，
当且仅当 ，即x＝100时，
所以L（x）max＝L（100）＝2300＞2000．
故该企业能落户新旧动能转换先行区．
【跟踪训练3-1】（2020春•东营区校级月考）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．若两颗星的星等与亮度满足 ．其中星等为 ，星的亮度为 ．
（2）分段求函数的最大值，利用二次函数的性质结合基本不等式，即可求解．
【解答】解：（1）当0＜x＜40时，L（x）＝6×100x﹣10x2﹣200x﹣2000＝﹣10x2+400x﹣2000，
当x≥40时， ，
所以 ；
（2）当0＜x＜40时，
所以L（x）＝﹣10x2+400x﹣2000＝﹣10（x﹣20）2+2000，
即太阳与天狼星的亮度的比值为 ．
故答案为： ； ．
【跟踪训练3-2】（2019秋•平谷区期末）某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如表：
单价/元
16
17
18
19
20
21
22
日销售量/盒
480
440
400
360
320
280
240
（1）求年利润L（x）（万元）关于年产量x（百个）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本）
（2）该企业决定：当企业年最大利润超过2000（万元）时，才选择落户新旧动能转换先行区．请问该企业能否落户先行区，并说明理由．
【分析】（1）根据题意利润＝销售额﹣成本，分段求年利润L（x）（万元）关于年产量x（百个）的函数关系式即可；
(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型性质比较
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
增函数
增函数
增函数
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x值增大，图象与y轴接近平行
（1）若公司生产量在 且年利润不低于400万时，求生产量 的范围；
（2）求公司年利润 的最大值．
【分析】（1）令 ，解之即可；
（2）分段讨论出 的最大值即可．
【解答】解：（1）当 时，令 ，解得 ；
（2）当 时， ，
故此时 在 上单调递增，在 上单调递减，
则此时 最大值为 ；
当 时， ，则 时， ，
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，
则a(1－x)10＝ a，即(1－x)10＝ ，
解得x＝1－ .
(2)设经过m年剩余面积为原来的 ，
则a(1－x)m＝ a，即 ，
即 ＝ ，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年．
故选： ．
【跟踪训练1-2】（2020•来宾模拟）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了 系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间 内完成房产供应量任务 ．已知房产供应量 与时间 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是
A． B．
C． D．
【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．