高考数学一轮复习课时规范练13函数模型及其应用理新人教A
高考数学一轮总复习 第13讲 函数模型及其应用课件 理 新人教A版
【解析】 (1)因为 x＝5 时，y＝11， 所以2a＋10＝11，所以 a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y＝x－2 3＋10(x－6)2， 单位商品利润为(x－3)元/千克，所以商场每日销售该 商品所获得利润 f(x)＝(x－3)[x－2 3＋10(x－6)2] ＝2＋10(x－3)(x－6)2(3<x<6)．
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【点评】已知函数模型求参数时，关键是根据题设条件建 立方程求解；另外要注意实际问题中定义域对最值的影响．
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素材 (sùcái
)1 (1)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已 知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时 间 t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式为 y＝ (116)t－a(a 为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列 问题：
(1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时，车流量 最大？最大车流量是多少？(精确到 0.1 百辆∕小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过 10 百辆∕小时，则汽 车的平均速度应在什么范围内？
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【分析】(1)已知车流量与平均速度之间的函数关系式，只 需解决函数取最值的条件及所取最大值，由数学问题的解 答，得实际结论；(2)由 y>10 解不等式，得实际结论．
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4.某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1000 件，根
据市场预测，销售价为每件 100 元时可全部售完，定价每提
高 1 元时，销售量就减少 5 件，若要获得最大利润，销售价
应定为每件( )
A．100 元
B．110 元
2020版高考数学一轮复习课时规范练13函数模型及其应用理北师大版
课时规范练函数模型及其应用基础巩固组.如图,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图像表示该容器中水面的高度和时间之间的关系,其中不正确的有()个个个个.在某个物理实验中,测得变量和变量的几组数据,如下表:则对最适合的拟合函数是().某产品的总成本(单位:万元)与产量(单位:台)之间的函数关系是 (<<∈),若每台产品的售价为万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()台台台台.一个人以米秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在秒的路程为米,那么,此人().可在秒内追上汽车.可在秒内追上汽车.不能追上汽车,但期间最近距离为米.不能追上汽车,但期间最近距离为米.企业投入万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加万元.为使该设备年平均费用最低,该企业年后需要更新设备..如图,动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是.()用宽(单位)表示所建造的两间熊猫居室的面积(单位);()怎么设计才能使所建造的熊猫居室面积最大?并求出每间熊猫居室的最大面积?.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量(单位:μ)与时间(单位)之间的关系近似满足如图所示的曲线.()写出第一次服药后与之间的函数解析式();()据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于μ时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.综合提升组.某房地产公司计划出租套相同的公寓房.当每套房月租金定为元时,这套公寓能全租出去;当月租金每增加元时(设月租金均为元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套公寓月租金应定为()元元元元.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金万元,他可以在至的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是()万元万元万元万元。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案函数的模型及其应用
第九节 函数的模型及其应用1．函数的实际应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．函数的综合应用了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．知识点一 几种常见函数模型函数模型 函数解析式 正比例函数模型 f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0) 一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )＝ax α＋b (a ，b 为常数，a ≠0，α≠1)“对号”函数模型 y ＝x ＋ax(a >0)易误提醒1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[自测练习]1．(2015·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.答案：D2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值． 答案：B知识点二 三种增长函数的图象与性质在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a >1)，y ＝log a x (a >1)和y ＝x n (n >0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n >0)的增长速度，而y ＝log a x (a >1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，使得当x >x 0时，有log a x <x n <a x .[自测练习]3．下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是( ) A ．v ＝1100·e xB ．v ＝100ln xC ．v ＝x 100D ．v ＝100×2x解析：只有v ＝1100·e x和v ＝100×2x 是指数函数，并且e>2，所以v ＝1100·e x的增大速度最快，故选A.答案：A考点一 一次、二次函数模型|1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元 解析：依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ， 又s A (100)＝s B (100)， ∴100k ＋20＝100m ， 得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10， 即两种方式电话费相差10元，选A. 答案：A2．经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13 t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N )．前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值．解：当1≤t ≤40，t ∈N 时， S (t )＝g (t )f (t )＝⎝⎛⎭⎫－13t ＋1123⎝⎛⎭⎫14t ＋22 ＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋2 5003，所以768＝S (40)≤S (t )≤S (12)＝2 5003.当41≤t ≤100，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝⎝⎛⎭⎫－13t ＋1123⎝⎛⎭⎫－12t ＋52＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－83， 所以8＝S (100)≤S (t )≤S (41)＝1 4912. 所以，S (t )的最大值为2 5003，最小值为8.一次函数与二次函数模型问题求解的三个关注点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法． (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．考点二 分段函数模型|有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k (1≤k ≤4，且k ∈R )个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝k ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧248－x－1，(0≤x ≤4)，7－12x ， (4<x ≤14).若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k 的值；(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．[解] (1)由题意知k ⎝ ⎛⎭⎪⎫248－2－1＝3，∴k ＝1.(2)因为k ＝4，所以y ＝⎩⎨⎧968－x－4，(0≤x ≤4)，28－2x ， (4<x ≤14).当0≤x ≤4时，由968－x－4≥4，解得－4≤x <8，所以0≤x ≤4.当4<x ≤14时，由28－2x ≥4，解得x ≤12，所以4<x ≤12. 综上可知，当y ≥4时，0≤x ≤12，所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟．(3)在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×⎝⎛⎭⎫7－12×12＋1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤248－(12－10)－1＝5，又5>4，∴在第12分钟还能起到有效去污的作用．分段函数模型问题求解的三个关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．1．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t (小时)的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)，150－50t (t >3.5)D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)，150(2.5<t ≤3.5)，150－50(t －3.5)(3.5<t ≤6.5)解析：当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ；当2.5<t ≤3.5时，x ＝150；当3.5<t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)． 答案：D考点三 指数函数模型|已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是θ＝m ·2t＋21－t (t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． [解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立， 即m ·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝y ，则0<y ≤1，∴m ≥2(y －y 2)恒成立， 由于y －y 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.求解指数函数模型的三个注意点(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，主要有人口增长、银行利率、细胞分裂等问题．(2)应用指数函数模型时，注意先设定模型，再求有关数据． (3)y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解．2．(2015·江苏连云港模拟)把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气温度是θ0，t 分钟后物体的温度θ可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e －t ln 32求得，现有60 ℃的物体放在15 ℃的空气中冷却，当物体温度为35 ℃时，冷却时间t ＝________分钟．解析：由已知条件可得35＝15＋(60－15)·e －t ln 32，解得t ＝2.答案：22.利用函数模型求解实际问题【典例】 (12分)已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2(0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10).(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)[思路点拨] (1)由R (x )中分段写出W 与x 的解析式． (2)分两段求利润的最大值，比较后得出结论． [规范解答] (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；(2分)当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x ) ＝98－1 0003x－2.7x .(4分)∴W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10(0<x ≤10)，98－1 0003x－2.7x (x >10).(5分)(2)①当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，可知当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x∈(9,10]时，W ′<0，(6分)∴当x ＝9时，W 取极大值，即最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6.(7分)②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x≤98－21 0003x·2.7x ＝38，(8分) 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，(9分)故当x ＝1009时，W 取最大值38(当1 000x 取整数时，W 一定小于38)．(10分)综合①②知，当x ＝9时，W 取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．(12分)[模板形成]A 组 考点能力演练1．设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )解析：注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.答案：D2．已知某种动物的繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，则到第8年它们将发展到( )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只解析：由题意，繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只，∴100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A.答案：A3.某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距离地面3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)( )A ．6.9 mB ．7.0 mC ．7.1 mD ．6.8 m解析：建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y ＝ax 2(a <0)，设点A 的坐标为(4，－h )，则C (3,3－h )，将这两点的坐标代入y ＝ax 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－h ＝a ·42，3－h ＝a ·32，解得⎩⎨⎧a ＝－37，h ＝487≈6.9，所以厂门的高约为6.9 m. 答案：A4．(2015·青岛模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x (正常情况0≤x ≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y 元．要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资在平均分数左右变化不大，则下列函数最符合要求的是( )A ．y ＝(x －50)2＋500B ．y ＝10x25＋500C ．y ＝11 000(x －50)3＋625D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]解析：由题意知，函数单调递增，且先慢后快，在x ＝50左右增长近乎为0且函数值在600左右，最小值为500，A 是先减后增，B 由指数函数知是增长越来越快，D 由对数函数增长速度越来越慢，C 是y ＝x 3的平移和伸缩变换而得，最符合题目要求，故选C.答案：C5．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1、y 2分别是2万元、8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：设仓库到车站的距离为x 千米，由题意得y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，其中x >0，又当x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，故k 1＝20，k 2＝45.所以y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x＝45x ，即x ＝5时取等号． 答案：A6．(2015·西宁五中片区四校联考)某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km 后到10 km(含10 km)每走1 km 加价0.5元，10 km 后每走1 km 加价0.8元，某人坐出租车走了12 km ，他应交费________元．解析：本题考查数学知识在实际问题中的应用．某人坐出租车走了12 km ，他应交费6＋0.5×7＋0.8×2＝11.1元．答案：11.17．(2015·北京朝阳统考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (万元)与机器运转时间x (x ∈N *)(年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25，则每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：本题考查应用均值不等式解答实际问题．据已知每台机器的年平均利润关于运转时间x 的函数关系式为g (x )＝f (x )x ＝－x 2＋18x －25x＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，据均值不等式可得g (x )＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤18－2 x ×25x ＝8，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时取得等号．答案：5 88．某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．则矩形温室的蔬菜的种植面积最大值是________m 2.解析：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则ab ＝800 m 2.蔬菜的种植面积S ＝(a －4)·(b －2)＝ab －4b －2a ＋8＝808－2(a ＋2b )．∴S ≤808－42ab ＝648(m 2)．当且仅当a ＝2b ，即a ＝40 m ，b ＝20 m 时，S max ＝648 m 2.答案：6489．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2， 所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (2)设投资债券类产品x 万元，则投资股票类产品(20－x )万元．则收益(单位：万元)为y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)． 设t ＝20－x (0≤t ≤25)，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3， 所以当t ＝2，即x ＝16时，收益最大，最大收益为3万元．10．某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋1；③f (x )＝x (x －q )2＋p (以上三式中p ，q 均为常数，且q >1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f (0)＝4，f (2)＝6，求出所选函数f (x )的解析式(注：函数定义域是[0,5]，其中x ＝0表示8月1日，x ＝1表示9月1日，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p .(2)对于f (x )＝x (x －q )2＋p ，由f (0)＝4，f (2)＝6，可得p ＝4，(2－q )2＝1，又q >1，所以q ＝3，所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)．(3)因为f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)，所以f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，令f′(x)<0，得1<x<3.所以函数f(x)在(1,3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．B组高考题型专练1．(2015·高考四川卷)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e kx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是() A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时解析：由已知得192＝e b，①48＝e22k＋b＝e22k·e b，②将①代入②得e22k＝14，则e11k＝12，当x＝33时，y＝e33k＋b＝e33k·e b＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.答案：C2．(2013·高考湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()解析：小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.答案：C3．(2015·高考浙江卷)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz解析：采用特值法进行求解验证即可，若x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是az＋by＋cx.答案：B4．(2015·高考北京卷)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A．6升B．8升C．10升D．12升解析：因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 600－35 000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B.答案：B5．(2014·高考湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76 000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．解析：(1)当l＝6.05，则F＝76 000vv2＋18v＋121＝76 000v＋18＋121v，由基本不等式v＋121v≥2121＝22，得F≤76 00022＋18＝1 900(辆/小时)，故答案为1 900.(2)l＝5，F＝76 000vv2＋18v＋100＝76 000v＋18＋100v，由基本不等式v＋100v≥2100＝20，得F≤76 00020＋18＝2 000(辆/小时)，增加2 000－1 900＝100(辆/小时)，故答案为100. 答案：(1)1 900(2)100。
新高考数学一轮复习 课时规范练13 函数的图象 新人教A版高三全册数学试题
课时规范练13 函数的图象基础巩固组1.函数f(x)={3x,x≤1,log13x,x>1,则y=f(x+1)的图象大致是()2.已知f(x)=2x,则函数y=f(|x-1|)的图象为()3.(2019河北衡水同卷联考,6)函数f(x)=e2x+1x e x的图象大致为()4.(2019湖南衡阳三模,8)函数f(x)=|x|+xx(其中a∈R)的图象不可能是()5.函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是()A.f(x)=x+sin xB.f(x)=cos xxC.f(x)=x(x-π2)(x-3π2)D.f(x)=x cos x6.已知函数f(x)=x2+e x-12(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()A.(-√e)B.(-∞,√e)C.(√e√e)D.(-√e,√e)7.(2019河北衡水同卷联考,7)下列函数中,其图象与函数y=log2x的图象关于直线y=1对称的是()A.y=log22x B.y=log24xC.y=log2(2x)D.y=log2(4x)8.(2019湖北省一月模拟,7)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,-1x,x >0,g (x )=-f (-x ),则函数g (x )的图象是( )9.(2019吉林实验中学模拟)函数f (x )=x +1x的图象与直线y=kx+1交于不同的两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),则y 1+y 2= .10.已知函数f (x )={-x 2+2x ,x ≤0,ln(x +1),x >0.若|f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是 .综合提升组11.(2019河南郑州三模,5)我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.如函数f (x )=x 4|4x -1|的图象大致是( )12.(2019山东青岛二中期末)已知f (x )={-2x ,-1≤x ≤0,√x ,0<x ≤1,则下列函数的图象错误的是( )13.(2019北师大实验中学模拟)如图,矩形ABCD 的周长为8,设AB=x (1≤x ≤3),线段MN 的两端点在矩形的边上滑动,且MN=1,当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时,线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ,记G 围成的区域的面积为y ,则函数y=f (x )的图象大致为( )14.已知f (x )={|lg x |,x >0,2|x |,x ≤0,则函数y=2f 2(x )-3f (x )+1的零点个数是 .15.如图,过原点O 的直线AB 与函数y=log 9x 的图象交于A 、B 两点,过A 、B 分别作x 轴的垂线,与函数y=log 3x 的图象分别交于D 、C 两点,若BD 平行于x 轴,则点A 的坐标为 ,四边形ABCD 的面积为 .创新应用组16.(2019安徽江淮十校联考)若直角坐标系内A,B两点满足:(1)点A,B都在f(x)图象上;(2)点A,B 关于原点对称,则称点对(A,B)是函数f(x)的一个“和谐点对”,(A,B)与(B,A)可看作一个“和谐点对”.已知函数f(x)={x2+2x,x<0,2e x,x≥0,则f(x)的“和谐点对”有()A.1个B.2个C.3个D.4个17.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为()参考答案课时规范练13函数的图象1.B将f(x)的图象向左平移一个单位即得到y=f(x+1)的图象.故选B.2.D f(|x-1|)=2|x-1|.当x=0时,y=2.可排除选项A,C.当x=-1时,y=4.可排除选项B.故选D.3.A由f(x)=e2x+1x e x =1x(e x+e-x)为奇函数,可排除C和D;当x>0时,f(x)>0可排除B,故选A.4.C当a=0时,f(x)=|x|,且x≠0,故A符合;当x>0时,且a>0时,f(x)=x+xx≥2√x,当x<0时,且a>0时,f(x)=-x+xx 在(-∞,0)上为减函数,故B符合;当x<0时,且a<0时,f(x)=-x+xx≥2√-x,当x>0时,且a<0时,f(x)=x+xx在(0,+∞)上为增函数,故D符合,故选C.5.D由函数的图象可知函数是奇函数,排除C;又f(x)=x+sin x=0,函数只有一个零点,所以A不正确;函数的图象可知,x=0是函数的零点,而f(x)=cos xx,x≠0,所以B不正确.故选D.6.B由已知得与函数f(x)的图象关于y轴对称的图象的解析式为h(x)=x2+e-x-12(x>0).令h (x )=g (x ),得ln(x+a )=e -x -12,作函数M (x )=e -x-12(x>0)的图象,显然当a ≤0时,函数y=ln(x+a )的图象与M (x )的图象一定有交点.当a>0时,若函数y=ln(x+a )的图象与M (x )的图象有交点,则ln a<12,则0<a<√e .综上a<√e .故选B .7.B 设P (x ,y )为所求函数图象上的任意一点,它关于直线y=1对称的点是Q (x ,2-y ),由题意知点Q (x ,2-y )在函数y=log 2x 的图象上,则2-y=log 2x ,即y=2-log 2x=log 24x ,故选B .8.D 集合A={x|x 2<4}={x|-2<x<2},集合B={x|-1<x ≤3},全集为R ,所以∁R B={x|x ≤-1,或x>3},所以A ∩(∁R B )={x|-2<x ≤-1},故选D .9.2 因为f (x )=x +1x=1x+1,所以f (x )的图象关于点(0,1)对称,而直线y=kx+1过(0,1)点,故两图象的交点(x 1,y 1),(x 2,y 2)关于点(0,1)对称,所以x 1+x 22=1,即y 1+y 2=2.10.[-2,0] 可画出|f (x )|的图象如图所示.当a=0时,|f (x )|≥ax=0恒成立,所以a=0满足题意;当a>0时,在x<0时,|f (x )|≥ax=0恒成立,所以只需x>0时,ln(x+1)≥ax 成立.对比对数函数与正比例函数的增长速度发现,一定存在ln(x+1)<ax 的时刻,所以a>0不满足条件;当a<0时,在x>0时满足题意;当x ≤0时,只需x 2-2x ≥ax 成立,即直线在抛物线下方,即a ≥x-2恒成立,则a ≥-2.综上,a 的取值范围为[-2,0].11.D 根据题意,函数f (x )=x 4|4x -1|,则f (-x )=(-x )4|4-x -1|=x 4·4x |4x -1|,易得f (x )为非奇非偶函数,排除A,B;当x →+∞时,f (x )=x 44x -1→0,排除C .故选D .12.D 在坐标平面内画出函数y=f (x )的图象,将函数y=f (x )的图象向右平移1个单位长度,得到函数y=f (x-1)的图象,因此A 正确;作函数y=f (x )的图象关于y 轴的对称图形,得到y=f (-x )的图象,因此B 正确;y=f (x )在[-1,1]上的值域是[0,2],因此y=|f (x )|的图象与y=f (x )的图象重合,C 正确;y=f (|x|)的定义域是[-1,1],且是偶函数,当0≤x ≤1时,y=f (|x|)=√x ,这部分的图象不是一条线段,因此选项D 不正确.故选D .13.D 由题意可知,点P 的轨迹为图中虚线所示,其中四个角均是半径为12的扇形.因为矩形ABCD 的周长为8,AB=x ,则AD=8-2x 2=4-x ,所以y=x (4-x )-π4=-(x-2)2+4-π4(1≤x ≤3),显然该函数的图象是二次函数图象的一部分,且当x=2时,y max =4-π4∈(3,4),故选D .14.5 方程2f 2(x )-3f (x )+1=0的解为f (x )=12或1.作出y=f (x )的图象,由图象知零点的个数为5.15.(2,log92)32log32由题意知点D和点B的纵坐标相等,设点D的横坐标为a,点B的横坐标为b,则有log3a=log9b.∵log3a=log9a2,∴b=a2.又A(a,log9a),B(a2,log9a2)在一条过原点的直线上,∴x2x =log9x2log9x=2,∴a2=2a,∴a=2.故四个点坐标为A(2,log92),B(4,log32),C(4,log34),D(2,log32),∴S ABCD=12×(4-2)(log34-log32+log32-log92)=32log32.16.B作出函数y=x2+2x(x<0)的图象关于原点对称的图象,看它与函数y=2e x(x≥0)的图象的交点个数即可,观察图象可得交点个数为2,即f(x)的“和谐点对”有2个.17.B由题意可得f(π2)=2√2,f(π4)=√5+1,即f(π2)<f(π4),由此可排除C,D项;当3π4≤x≤π时,f(x)=-tan x+√tan2x+4,可知x∈[3π4,π]时,f(x)的图象不是线段,可排除A项,故选B项.。
2021高考数学大一轮复习考点规范练13函数模型及其应用理新人教A版
大.
3.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金 120 万元,他
可以在 t1 至 t4 的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在 t4 时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是( )
A.40 万元 答案:C
B.60 万元
C.120 万元 D.14CD 分成两部分,记位于直线 l 左侧阴影部分的面积为 f(t),则函数 s=f(t)的图象大致是
()
5
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答案:C
t2,0 ≤ t ≤ 2 ,
解析:依题意得 s=f(t)=
2
-(t- 2)2 + 1, 2 < t ≤ 2,
2
分段画出函数的图象可得图象如选项 C 所示,故选 C.
1
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解析:甲 6 元时该商人全部买入甲商品,可以买 120÷6=20(万份),在 t2 时刻全部卖出,此时获利 20×2=40(万元),乙 4 元时该商人全部买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在 t4 时刻全部卖 出,此时获利 40×2=80(万元),共获利 40+80=120(万元),故选 C.
C.24 h
D.28 h
答案:C 解析:由题意,得(0,192)和(22,48)是函数 y=ekx+b 图象上的两个点,
所以
192 = eb,
①
48 = e22k+b.
②
由②得,48=e22k·eb,③
把①代入③得 e22k= 48 = 1,即(e11k)2=1,所以 e11k=1 .
192 4
4
2
所以当储藏温度为 33℃时,保鲜时间 y=e33k+b=(e11k)3·eb=1 ×192=24(h).
新教材高考数学一轮复习课时规范练13数学建模_函数模型及其应用含解析新人教A版
课时规范练13 数学建模——函数模型及其应用基础巩固组1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时，消耗10 L汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台3.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元4.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车t2米，那么，此人() 开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t内的路程为s=12A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车，但期间最近距离为14米D.不能追上汽车，但期间最近距离为7米5.设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了(1.2x)%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.186.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使，至少应过滤次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)杂质含量减少137.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y=a e-bt cm3，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间.综合提升组9.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和am(0<a<12).不考虑树的粗细，现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f(a)(单位:m2)的图象大致是()10.某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年11.如图，直角边长为2 cm的等腰直角三角形ABC，以2 cm/s 的速度沿直线l向右运动，则该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(单位:cm2)与时间t(单位:s)的函数关系(设0≤t≤3)为，y的最大值为.12.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·q x;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p，q均为常数，且q>1).(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4，f(2)=6，求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0，5]，其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，以此类推);(3)在(2)的条件下预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.创新应用组13.声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg I给出，其中I为声强(单位:W/m2).10-12(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2，求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7 W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息?参考答案课时规范练13 数学建模——函数模型及其应用1.D 从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40km/h 时的燃油效率大于5km/L ，故乙车消耗1L 汽油的行驶路程可大于5km ，所以选项A 错误;由图可知以相同速度行驶相同路程甲车消耗汽油最少，所以选项B 错误;甲车以80km/h 的速度行驶时的燃油效率为10km/L ，故行驶1小时的路程为80km ，消耗8L 汽油，所以选项C 错误;当最高限速为80km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以选项D 正确.2.C 设利润为f (x )万元，则f (x )=25x-(3000+20x-0.1x 2)=0.1x 2+5x-3000(0<x<240，x ∈N *).令f (x )≥0，得x ≥150，故生产者不亏本时的最低产量是150台.故选C .3.B 由题意，设利润为y 元，租金定为(3000+50x )元(0≤x ≤70，x ∈N )，则y=(3000+50x )(70-x )-100(70-x )=(2900+50x )(70-x )=50(58+x )(70-x )≤5058+x+70-x 22=204800，当且仅当58+x=70-x ，即x=6时，等号成立，故每月租金定为3000+300=3300(元)时，公司获得最大利润，故选B . 4.D 已知s=12t 2，车与人的间距d=(s+25)-6t=12t 2-6t+25=12(t-6)2+7.当t=6时，d 取得最小值7.所以不能追上汽车，但期间最近距离为7米，故选D .5.B 由题意，分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100-x )[1+(1.2x )%]t ，则{0<x <100,x ∈N *,(100-x )[1+(1.2x )%]t ≥100t , 解得0<x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16，故选B . 6.8 设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%1-13n≤0.1%，即23n ≤120，所以n lg 23≤-1-lg2，解得n ≥7.39，所以n=8.7.16 当t=0时，y=a ，当t=8时，y=a e -8b =12a ，所以e -8b =12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y=a e -bt =18a ，e -bt =18=(e -8b )3=e -24b ，则t=24，所以再经过24-8=16(min)，容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.解(1)根据所给的曲线，可设y={kt ,0≤t ≤1,(12) t -a ,t >1.当t=1时，由y=4，得k=4，由121-a=4，得a=3.则y={4t ,0≤t ≤1,(12) t -3,t >1.(2)由y ≥0.25，得{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12) t -3≥0.25,解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-116=7916(h).9.B 设AD 的长为x m ，则CD 的长为(16-x )m ，则矩形ABCD 的面积为x (16-x )m 2.因为要将点P 围在矩形ABCD 内，所以a ≤x ≤12.当0<a ≤8时，当且仅当x=8时，u=64;当8<a<12时，u=a (16-a ).画出函数图象可得其形状与B 选项接近，故选B .10.C 若2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300×1.12n 万元，由1300×1.12n >2000，可得lg1.3+n lg1.12>lg2，所以n ×0.05>0.19，得n>3.8，所以第4年，即2022年全年投入的科研经费开始超过2000万元，故选C .11.y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,2-12(2t -4)2,2<t ≤32 如题图，当0≤t<1时，重叠部分面积y=12×2t ×2t=2t 2;当1≤t ≤2时，重叠部分为直角三角形ABC ，重叠部分面积y=12×2×2=2(cm 2); 当2<t ≤3时，重叠部分为梯形，重叠部分面积y=S △ABC -12(2t-4)2=2-12(2t-4)2=-2t 2+8t-6.综上，y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,-2t 2+8t -6,2<t ≤3,故可得y 的最大值为2.12.解(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )=x (x-q )2+p.(2)对于f (x )=x (x-q )2+p ，由f (0)=4，f (2)=6，可得p=4，(2-q )2=1，又q>1，所以q=3，所以f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5).(3)因为f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5)，所以f'(x )=3x 2-12x+9， 令f'(x )<0，得1<x<3.所以函数f (x )在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月，10月两个月内价格下跌. 13.解(1)当声强为10-6W/m 2时，由公式Y=10lgI 10-12，得Y=10lg10-610-12=10lg106=60(分贝).(2)当Y=0时，由公式Y=10lgI 10-12，得10lg I 10-12=0.所以I10-12=1，即I=10-12W/m 2，则最低声强为10-12W/m 2.(3)当声强为5×10-7W/m2时，声强级为Y=10lg5×10-7=10lg(5×105)=50+10lg5(分贝)，10-12因为50+10lg5>50，故这两位同学会影响其他同学休息.。
(新课标)2020年高考数学一轮总复习 函数模型及应用课时规范练(理)(含解析)新人教A版
2-9 函数模型及应用课时规范练(授课提示：对应学生用书第233页)A 组 基础对点练1．(2017·开封质检)用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( A ) A ．3米 B ．4米 C ．6米D ．12米2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间 加油量/升加油时的累计里程/千米2017年5月1日 12 35 000 2017年5月15日4835 600在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( B ) A ．6升 B ．8升 C ．10升D ．12升3．(2017·辽宁期末)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过( )min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一( B ) A ．8 B ．16 C ．24D ．32解析：依题意有a ·e－b ×8＝12a ，∴b ＝ln 28， 若容器中只有开始时的18时，则有a ·＝18a ，解得t ＝24.∴再经过24－8＝16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一．故选B. 4．(2017·镜湖区校级期中)有一组实验数据如表所示：x 1 2 3 4 5 y1.55.913.424.137A ．y ＝log a x (a ＞1)B ．y ＝ax ＋b (a ＞1)C ．y ＝ax 2＋b (a ＞0)D ．y ＝log a x ＋b (a ＞1)解析：通过所给数据可知y 随x 的增大而增大，其增长速度越来越快，而A ，D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C.5．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x6．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：/件)应为( C ) A ．4 B ．5.5 C ．8.5D ．107．(2017·山东济南模拟)某种动物的繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( A ) A ．200只 B ．300只 C ．400只D ．500只8．(2017·广西模拟)某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是 12 h(车身长度不计)．解析：设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了⎝ ⎛⎭⎪⎫36×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202＋400 km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202＋400v ≥12，当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取“＝”． 故这些汽车以2003km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.9．(2018·沙市区一模)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)．弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为23π，弦长等于9米的弧田．按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积比实际面积少 9π－2732－278m 2. 解析：扇形半径r ＝3 3 m ，扇形面积等于12·2π3·(33)2＝9π(m 2)．弧田实际面积＝9π－12r 2sin 2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9π－2734 m 2.圆心到弦的距离等于12r ，所以矢长为12r .按照上述弧田面积经验公式计算得12(弦×矢＋矢2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫9×332＋274＝274⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12. ∴9π－2734－274⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12＝9π－2732－278.按照弧田面积经验公式计算结果比实际少⎝⎛⎭⎪⎫9π－2732－278 m 2.10．某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)． (1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又据题意知200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r (300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因r ＞0，又由h ＞0可得r ＜53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)因V (r )＝π5(300r －4r 3)，故V ′(r )＝π5·(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)．当r ∈(0,5)时，V ′(r )＞0，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,53)时，V ′(r )＜0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8.即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．B 组 能力提升练1．(2018·西城区期末)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( C )A.12 B ．13 C.16D ．110解析：由题意可得pH ＝－lg[H ＋]∈(7.35,7.45)，且[H ＋]·[OH －]＝10－14，∴lg [H ＋][OH －]＝lg[H ＋]2＋14＝2lg[H ＋]＋14，∵7.35＜－lg[H ＋]＜7.45， ∴－7.45＜lg[H ＋]＜－7.35， ∴－0.9＜2lg[H ＋]＋14＜－0.7， 即－0.9＜lg [H ＋][OH －]＜－0.7，∵lg 12＝－lg 2≈－0.30，故A 错误，lg 13＝－lg 3≈－0.48，故B 错误， lg 16＝－lg 6＝－(lg 2＋lg 3)≈－0.78，故C 正确，lg 110＝－1，故D 错误，故选C. 2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( D )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 3．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( B ) A ．ax ＋by ＋cz B ．az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz4．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税，已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( C ) A ．2 800元 B ．3 000元 C ．3 800元D ．3 818元5．(2018·海淀区校级期中)某商品的价格在近4年中不断波动，前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是( D ) A ．不增不减 B ．约增1.4% C ．约减9.2%D ．约减7.8%解析：设原来的价格为x ，则最后一年的价格为x ·(1＋20%)2(1－20%)2＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫24252＝0.9216x .故约减7.8%.6．(2017·黄冈期末)中国古代数学名著《九章算术》中的“引葭赴岸”是一道名题．根据该问题我们拓展改编一题：今有边长为12尺的正方形水池的中央生长着芦苇，长出水面的部分为2尺，将芦苇牵引向池岸，恰巧与水岸齐接．如图，记正方形水池的剖面图为矩形ABCD ，芦苇根部O 为池底AB 的中点，顶端为P (注：芦苇与水面垂直)，在牵引顶端P 向水岸边点D 的过程中，当芦苇经过DF 的三等分点E (靠近D 点)时，设芦苇的顶端为Q ，则点Q 在水面上的投影离水岸边点D 的距离为 1．53 尺．(注：5≈2.236，3≈1.732，精确到0.01尺)解析：设水深为x 尺，则x 2＋62＝(x ＋2)2，解得，x ＝8. ∴水深为8尺，芦苇长为10尺，以AB 所在的直线为x 轴，芦苇所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，在牵引过程中，点P 的轨迹是以O 为圆心，半径为10的圆弧，其方程为x 2＋y 2＝100(－6≤x ≤0,8≤y ≤10)，①E 点的坐标为(－4,8)，∴OE 所在的直线方程为y ＝－2x ，②设点Q 坐标为(x ，y )，由①②联立解得x ＝－2 5.故点Q 在水面上的投影离水岸边点D 的距离为6－25≈1.53尺．7．为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (万元)与隔热层厚度x (厘米)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值． 解析：(1)当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40， ∴C (x )＝403x ＋5.∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10，设3x ＋5＝t ，t ∈[5,35]， ∴y ＝2t ＋800t－10≥22t ·800t－10＝70，当且仅当2t ＝800t，即t ＝20时等号成立，这时x ＝5，f (x )的最小值为70，即隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元．8．(2017·重庆巴蜀中学模拟)某市近郊有一块大约500米×500米的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，要建设如图所示的一个总面积为3 000平方米的矩形场地，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米．(1)分别用x 表示y 和S 的函数关系式，并给出定义域； (2)怎样设计能使S 取得最大值，并求出最大值．解析：(1)由已知xy ＝3 000，得y ＝3 000x，其定义域是(6,500)．S ＝(x －4)a ＋(x －6)a ＝(2x －10)a ， ∵2a ＋6＝y ，∴a ＝y 2－3＝1 500x－3，∴S ＝(2x －10)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1 500x －3＝3 030－⎝ ⎛⎭⎪⎫15 000x ＋6x ，其定义域是(6,500)．(2)S ＝3 030－⎝⎛⎭⎪⎫15 000x ＋6x ≤3 030－26x ·15 000x＝3 030－2×300＝2 430，当且仅当15 000x＝6x ，即x ＝50∈(6,500)时，等号成立，此时，x ＝50，y ＝60，S max ＝2 430.∴设计x ＝50米，y ＝60米，a ＝27米时，运动场地面积最大，最大值为2 430米．。
【人教A版】2012高三数学理全套解析一轮复习课时作业13函数模型及其应用
课时作业13 函数模型及其应用时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元解析：设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，设总利润为L (x )， 则L (x )＝L 1＋L 2＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x ) ＝－0.15x 2＋3.06x ＋30(0≤x ≤15)．L (x )在[0,10.2]上递增，在(10.2，＋∞)上递减， ∴当x ＝10时，L (x )最大，L (x )max ＝45.6(万元)． 故选B. 答案：B2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则x ，y ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b x C ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx解析：由表格数据逐个验证， 知模拟函数为y ＝a ＋b x . 答案：B3．(2011·惠州模拟)如下图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是( )解析：圆锥形漏斗中液面开始下降的速度慢，后来下降的速度越来越快，故选B.4．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费(扣税前)为( )A ．2800元B ．3000元C ．3800元D ．3818元解析：设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额y 为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (x ≤800)(x －800)×14% (800<x ≤4000)11%·x (x >4000). 如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3800. 答案：C5．(2011·泰安第一次模拟)某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2010年的年产量约为( )A ．60万吨B ．61万吨C ．63万吨D ．64万吨解析：依题意，设年增长率为x ， 则40(1＋x )10＝50，即(1＋x )10＝54，∴该钢厂2010年的年产量约为50(1＋x )10＝50×54＝62.5(万吨)，故选C.答案：C6．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年 解析：由题知第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2(n ∈N *)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52，∴1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．二、填空题(每小题5分，共15分)7．某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3公里以内为起步价8元(即行程不超过3公里，一律收费8元)，若超过3公里除起步价外，超过部分再按1.5元/公里收费计价，若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是________元．解析：乘车里程数为7.4，则付费应为8＋1.5×4.4＝14.6，四舍五入后乘客应付的车费为15元．答案：158．如下图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是________．①这几年人民生活水平逐年得到提高； ②人民生活费收入增长最快的一年是2000年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年；④虽然2002年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．解析：由题意，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活费收入指数”在2000年～2001年最陡，故②正确；“生活价格指数”在2001年～2002年上涨速度不是最快的，故③不正确；由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确．答案：①②④9．(2010·北京)如右图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动．设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则函数f (x )的最小正周期为________；y ＝f (x )在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为________．说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向与沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC 可以沿x 轴负方向滚动．解析：不难想象，从某一个顶点(比如A )落在x 轴上的时候开始计算，到下一次A 点落在x 轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x 轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4.下面考虑P 点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P 点从x 轴上开始运动的时候，首先是围绕A 点运动14个圆，该圆半径为1，然后以B 点为中心，滚动到C 点落地，其间是以BP 为半径，旋转90°，然后以C 为圆心，再旋转90°，这时候以CP 为半径，因此最终构成的图象如下：因此不难算出这块的面积为π＋1. 答案：4 π＋1 三、解答题(共55分)10．(15分)(2010·湖北调研)甲乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图．请你根据提供的信息说明：(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(总产量)比第1年的扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模(总产量)最大？说明理由．解：(1)甲中图象经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y 甲＝15x ＋45(x >0)．乙中图象经过(1,30)和(6,10)两点，从而求得其解析式为y 乙＝－4x ＋34(x >0)． 当x ＝2时，y 甲＝15×2＋45＝65，y 乙＝－4×2＋34＝26， y 甲y 乙＝65×26＝31.2.所以第2年全县鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万只．(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万只)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万只)．可见，第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第1年的缩小了．(3)设第m (m ∈N *)年的总出产量为n (万只)， 那么n ＝y 甲y 乙＝(15m ＋45)(－4m ＋34)＝－45(m －94)2＋1254.因此，当m ＝2时，n 取最大值31.2. 即第2年规模最大．11．(20分)(2011·宜昌调研)某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场，如下图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成，跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮，已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．(1)设半圆的半径OA ＝x (米)，试建立塑胶跑道面积S 与x 的函数关系式S (x )； (2)由于条件限制x ∈[30,40]，问当x 取何值时，运动场造价最低？ 解：(1)塑胶跑道面积S ＝π[x 2－(x －8)2]＋8×10000－πx 22x×2＝80000x ＋8πx －64π(8<x <100π)． (2)设运动场造价为y 元，y ＝150(80000x ＋8πx －64π)＋30(10000－80000x －8πx ＋64π)＝960(10000x ＋πx )－7680π＋300000(30≤x ≤40)，y ′＝960π－9600000x 2.当30≤x ≤40时，y ′<0， 所以函数y 在[30,40]上是减函数． 故当x ＝40时，函数y 的值最小． 即当x ＝40时，运动场造价最低．——探究提升——12．(20分)(2009·上海卷)有时可用函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋15ln a a －x，x ≤6，x －4.4x －4，x >6描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N *)，f (x )表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关．(1)证明：当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(127,133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．(1)证明：当x ≥7时， f (x ＋1)－f (x )＝0.4(x －3)(x －4).而当x ≥7时，函数y ＝(x －3)(x －4)单调递增，∴当x ≥7时，掌握程度的增长量f (x ＋1)－f (x )总是下降． (2)解：由题意可知0.1＋15ln aa －6＝0.85，整理得aa －6＝e 0.05， 解得a ＝e 0.05e 0.05－1·6＝20.50×6＝123.0，123．0∈(121,127]．由此可知，该学科是乙学科．高≒考╝试]题ω库。
2022版新高考数学人教A版一轮作业课件：十三 函数模型及其应用
)
【解析】选B.若x＝0，则此时库存为10吨，则库存的一半为5吨加工成饲 料，则y1＝0，y2＝5，此时f0 ＝0＋5＝5，排除A，若x＝10，则此时库存为 10＋10＝20吨，则库存的一半为10吨加工成饲料，若全部被加工的是陈粮， 则y2＝10，若全部被加工的是新粮，则y1＝10，此时f10 ＝10＋10＝20， 若x＝20，则此时库存为10＋20＝30吨，则库存的一半为15吨加工成饲料， 若全部被加工的是陈粮，则y2＝10，若全部被加工的是新粮，则y1＝15，此 时f20 ＝10＋15＝25，排除D， 因为0，5 ，10，20 ，20，25 三点不共线，所以不可能是直线，故排除 C，故选B.
【解析】设矩形花园中与x相邻的另一边长为y m，则4x0 ＝404－0 y ，即y＝40 －x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大． 答案：20
4．(多选)某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买x吨，运 费为9万元/次，一年的总储存费用为4x万元，要使一年的总运费与总储存费 用之和最小，则下列说法正确的是( ) A．x＝10时费用之和有最小值 B．x＝45时费用之和有最小值 C．最小值为850万元 D．最小值为360万元
【解析】选BD.一年购买某种货物900吨，若每次购买x吨，则需要购买9x00 次，运费是9万元/次， 一年的总储存费用为4x万元，所以一年的总运费与总储存费用之和为9x00 ×9 ＋4x，
二、填空题(每小题5分，共15分) 6．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg
1－9N0 中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出 的字数．则当N＝40时，t＝____________.(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477)
【数学】高考数学总复习课时规范练13函数模型及其应用文新人教A版
【关键字】数学课时规范练13 函数模型及其应用基础巩固组1.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台2.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大成本,每套公寓月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元3.一个人以/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=t,那么,此人()A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为D.不能追上汽车,但期间最近距离为4.某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的成本与投资成正比,其关系如图①;B产品的成本与投资的算术平方根成正比,其关系如图②(注:成本和投资单位:万元).图①图②(1)分别将A,B两种产品的成本表示为投资的函数关系式;(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部资金投入到A,B两种产品的生产中.①若平均投入生产两种产品,可获得多少成本?②如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大成本?其最大成本为多少万元?〚导学号〛5.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.6.A,B两城相距,在两城之间距A城x km处建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站与城市距离不得小于.已知供电费用等于供电距离(单位:km)的平方与供电量(单位:亿千瓦时)之积的0.25倍,若A城供电量为每月20亿千瓦时,B城供电量为每月10亿度.(1)求x的取值范围;(2)把月供电总费用y表示成x的函数;(3)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用y最少?〚导学号〛综合提升组7.某市明年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造.据调查,改造后预计该市在一个月内(以30天计),民族文化旅游人数f(x)(单位:万人)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足f(x)=4,人均消费g(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足g(x)=104-|x-23|.(1)求该市旅游日收益p(x)(单位:万元)与时间x(1≤x≤30,x∈N*)的函数关系式;(2)若以最低日收益的15%为纯收入,该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.8.(2017江苏无锡模拟)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·qx;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示,x=1表示,以此类推);(3)在(2)的条件下研究下面课题:为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.〚导学号〛9.现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是底面为正方形的四棱锥P-A1B1D1,下部的形状是正四棱柱(底面为正方形的直棱柱)ABCD-A1B1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是四棱锥的高PO1的4倍,O1,O分别为底面中心.(1)若AB=,PO1=,则仓库的容积是多少?(2)若四棱锥的侧棱长为,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?创新应用组10.(2017江苏南京、盐城二模)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形的边长为x厘米,矩形纸板的两边AB,BC的长分别为a厘米和b 厘米,其中a≥b.(1)当a=90时,求纸盒侧面积的最大值;(2)试确定a,b,x的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.答案：1.C设成本为f(x)万元,则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0<x<240,x∈N*).令f(x)≥0,得x≥150,∴生产者不亏本时的最低产量是150台.2.B由题意,设成本为y元,租金定为(3 000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),则y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤50=204 800,当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B.3.D已知s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7.当t=6时,d取得最小值7.4.解 (1)设A,B两种产品都投资x万元(x≥0),所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元,由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2,根据题图可得f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2(x≥0).(2)①由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6,故总利润y=8.25(万元).②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元,则y=(18-x)+2,0≤x≤18.令=t,t∈[0,3 ],则y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.故当t=4时,y max==8.5,此时x=16,18-x=2.所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润8.5万元.5.解 (1)根据所给的曲线,可设y=当t=1时,由y=4,得k=4,由=4,得a=3.则y=(2)由y≥0.25,得解得≤t≤5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-(h).6.解 (1)由题意可知x的取值范围为10≤x≤90.(2)y=5x2+(100-x)2(10≤x≤90).(3)因为y=5x2+(100-x)2=x2-500x+25 000=,所以当x=时,y min=.故核电站建在距A城 km处,才能使供电总费用y最少.7.解 (1)由题意知p(x)=f(x)g(x)=4(104-|x-23|)(1≤x≤30,x∈N*).(2)由p(x)=①当1≤x≤23时,p(x)=4(81+x)=4≥4=400,当且仅当x=,即x=9时,p(x)取得最小值400.②当23<x≤30时,p(x)=4(127-x)=4.设h(x)=-x,则有h'(x)=--1<0,故h(x)在(23,30]上为减函数,则p(x)在(23,30]上也是减函数,所以当x=30时,p(x)min=4=400>400.所以当x=9时,p(x)取得最小值400万元.因为两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%=648>600,所以600万元的投资可以在两年内收回.8.解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在给出的函数中应选模拟函数f(x)=x(x-q)2+p.(2)对于f(x)=x(x-q)2+p,由f(0)=4,f(2)=6,可得p=4,(2-q)2=1,又q>1,所以q=3,所以f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5).(3)因为f(x)=x3-6x2+9x+4(0≤x≤5),所以f'(x)=3x2-12x+9,令f'(x)<0,得1<x<3.所以函数f(x)在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.9.解 (1)由PO1=2 m知O1O=4PO1=8 m.因为A1B1=AB=6 m,所以四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=·A1·PO1=×62×2=24(m3);正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2·O1O=62×8=288(m3).所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).(2)设A1B1=a m,PO1=h m,则0<h<6,O1O=4h.连接O1B1.因为在Rt△PO1B1中,O1+P=P,所以+h2=36,即a2=2(36-h2).于是仓库的容积V=V柱+V锥=a2·4h+a2·h=a2h=(36h-h3),0<h<6,从而V'=(36-3h2)=26(12-h2).令V'=0,得h=2或h=-2(舍).当0<h<2时,V'>0,V是单调增函数;当2<h<6时,V'<0,V是单调减函数.故h=2时,V取得极大值,也是最大值.因此,当PO1=2 m时,仓库的容积最大.10.解 (1)因为矩形纸板ABCD的面积为3 600平方厘米,故当a=90时,b=40,所以纸盒的侧面积S=2×x(90-2x)+2×x(40-2x)=-8x2+260x,x∈(0,20).因为S=-8x2+260x=-8,故当x=时,侧面积最大,最大值为平方厘米.(2)纸盒的体积V=(a-2x)(b-2x)x=x[ab-2(a+b)x+4x2],x∈,b≤60.V=x[ab-2(a+b)x+4x2]≤x(ab-4x+4x2)=x(3 600-240x+4x2)=4x3-240x2+3 600x.当且仅当a=b=60时等号成立.设f(x)=4x3-240x2+3 600x,x∈(0,30).则f'(x)=12(x-10)(x-30).于是当0<x<10时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,10)内单调递增;当10<x<30时,f'(x)<0,所以f(x)在(10,30)内单调递减.因此当x=10时,f(x)有最大值f(10)=16 000,此时a=b=60,x=10.故当a=b=60,x=10时纸盒的体积最大,最大值为16 000立方厘米.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。
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课时规范练13 函数模型及其应用一、基础巩固组1.某产品的总成本y (单位:万元)与产量x (单位:台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x 2(0<x<240,x ∈N *),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A.100台B.120台C.150台D.180台2.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套公寓月租金应定为( )A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元3.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t 内的路程为s=t 2米,那么,此人( )12A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米4.某企业生产A,B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图①;B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②(注:利润和投资单位:万元).图①图②(1)分别将A,B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式;(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部资金投入到A,B 两种产品的生产中.①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?②如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润为多少万元?5.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.6.A,B两城相距100 km,在两城之间距A城x km处建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站与城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位:km)的平方与供电量(单位:亿千瓦时)之积的0.25倍,若A城供电量为每月20亿千瓦时,B城供电量为每月10亿千瓦时.(1)求x的取值范围;(2)把月供电总费用y表示成x的函数;(3)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用y最少?〚导学号21500519〛二、综合提升组7.某市明年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造.据调查,改造后预计该市在一个月内(以(1+1x) 30天计),民族文化旅游人数f(x)(单位:万人)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足f(x)=4,人均消费g(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足g(x)=104-|x-23|.(1)求该市旅游日收益p(x)(单位:万元)与时间x(1≤x≤30,x∈N*)的函数关系式;(2)若以最低日收益的15%为纯收入,该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.8.(2017江苏无锡模拟)某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·q x;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);(3)在(2)的条件下研究下面课题:为保证养殖户的经济效益,当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销,请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.〚导学号21500520〛9.现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是底面为正方形的四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱(底面为正方形的直棱柱)ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是四棱锥的高PO1的4倍,O1,O分别为底面中心.(1)若AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少?(2)若四棱锥的侧棱长为6 m,则当PO1为多少时,仓库的容积最大?三、创新应用组10.(2017江苏南京、盐城二模)在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD,然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设小正方形的边长为x厘米,矩形纸板的两边AB,BC的长分别为a厘米和b厘米,其中a≥b.(1)当a=90时,求纸盒侧面积的最大值;(2)试确定a,b,x的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.〚导学号21500521〛课时规范练13 函数模型及其应用1.C 设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0<x<240,x∈N*).令f(x)≥0,得x≥150,∴生产者不亏本时的最低产量是150台.2.B 由题意,设利润为y元,租金定为(3 000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),则y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤50=204 800,(58+x +70-x 2)2当且仅当58+x=70-x ,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B .3.D 已知s=t 2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t 2-6t+25=(t-6)2+7.121212当t=6时,d 取得最小值7.4.解 (1)设A,B 两种产品都投资x 万元(x ≥0),所获利润分别为f (x )万元、g (x )万元,由题意可设f (x )=k 1x ,g (x )=k 2,x 根据题图可得f (x )=0.25x (x ≥0),g (x )=2(x ≥0).x (2)①由(1)得f (9)=2.25,g (9)=2=6,故总利润y=8.25(万元).9②设B 产品投入x 万元,A 产品投入(18-x )万元,该企业可获总利润为y 万元,则y=(18-x )+2,0≤x ≤18.14x 令=t ,t ∈[0,3 ],x 2则y=(-t 2+8t+18)14=-(t-4)2+14172.故当t=4时,y max ==8.5,172此时x=16,18-x=2.所以当A,B 两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润8.5万元.5.解 (1)根据所给的曲线,可设y={kt ,0≤t ≤1,(12)t -a ,t >1.当t=1时,由y=4,得k=4,由=4,得a=3.(12)1-a则y={4t ,0≤t ≤1,(12)t -3,t >1.(2)由y ≥0.25,得{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12)t -3≥0.25,解得t ≤5.116≤因此服药一次后治疗有效的时间为5-(h).116=79166.解 (1)由题意可知x 的取值范围为10≤x ≤90.(2)y=5x 2+(100-x )2(10≤x ≤90).52(3)因为y=5x 2+(100-x )2=x 2-500x+25 00052152=,152(x -1003)2+50 0003所以当x=时,y min =1003500003.故核电站建在距A 城 km 处,才能使供电总费用y 最少.10037.解 (1)由题意知p (x )=f (x )g (x )=4(104-|x-23|)(1≤x ≤30,x ∈N *).(1+1x )(2)由p (x )={4(1+1x )(81+x )(1≤x ≤23,x ∈N *),4(1+1x )(127-x )(23<x ≤30,x ∈N *).①当1≤x ≤23时,p (x )=4(81+x )(1+1x )=4482+2=400,(82+x +81x )≥( x ·81x )当且仅当x=,即x=9时,p (x )取得最小值400.81x ②当23<x ≤30时,p (x )=4(127-x )(1+1x )=4(126+127x -x ).设h (x )=-x ,则有h'(x )=--1<0,127x 127x 2故h (x )在(23,30]上为减函数,则p (x )在(23,30]上也是减函数,所以当x=30时,p (x )min =4=400>400.所以当x=9时,p (x )取得最小值400万元.(126+12730-30)730因为两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%=648>600,所以600万元的投资可以在两年内收回.8.解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在给出的函数中应选模拟函数f (x )=x (x-q )2+p.(2)对于f (x )=x (x-q )2+p ,由f (0)=4,f (2)=6,可得p=4,(2-q )2=1,又q>1,所以q=3,所以f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5).(3)因为f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5),所以f'(x )=3x 2-12x+9,令f'(x )<0,得1<x<3.所以函数f (x )在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.9.解 (1)由PO 1=2 m 知O 1O=4PO 1=8 m .因为A 1B 1=AB=6 m,所以四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积V 锥=A 1PO 1=62×2=24(m 3);13·B 21·13×正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积V 柱=AB 2·O 1O=62×8=288(m 3).所以仓库的容积V=V 锥+V 柱=24+288=312(m 3).(2)设A 1B 1=a m,PO 1=h m,则0<h<6,O 1O=4h.连接O 1B 1.因为在Rt△PO 1B 1中,O 1+P =P ,所以+h 2=36,即a 2=2(36-h 2).B 21O 21B 21(2a 2)2于是仓库的容积V=V 柱+V 锥=a 2·4h+a 2·h=a 2h=(36h-h 3),0<h<6,13133263从而V'=(36-3h 2)=26(12-h 2).令V'=0,得h=2或h=-2(舍).26333当0<h<2时,V'>0,V 是单调增函数;当2<h<6时,V'<0,V 是单调减函数.33故h=2时,V 取得极大值,也是最大值.因此,当PO 1=2 m 时,仓库的容积最大.3310.解 (1)因为矩形纸板ABCD 的面积为3 600平方厘米,故当a=90时,b=40,所以纸盒的侧面积S=2×x (90-2x )+2×x (40-2x )=-8x 2+260x ,x ∈(0,20).因为S=-8x 2+260x=-8,(x -654)2+4 2252故当x=时,侧面积最大,最大值为平方厘米.6544 2252(2)纸盒的体积V=(a-2x )(b-2x )x=x [ab-2(a+b )x+4x 2],x ,b ≤60.∈(0,b2)V=x [ab-2(a+b )x+4x 2]≤x (ab-4x+4x 2)ab =x (3 600-240x+4x 2)=4x 3-240x 2+3 600x.当且仅当a=b=60时等号成立.设f (x )=4x 3-240x 2+3 600x ,x ∈(0,30).则f'(x )=12(x-10)(x-30).于是当0<x<10时,f'(x )>0,所以f (x )在(0,10)内单调递增;当10<x<30时,f'(x )<0,所以f (x )在(10,30)内单调递减.因此当x=10时,f (x )有最大值f (10)=16 000,此时a=b=60,x=10.故当a=b=60,x=10时纸盒的体积最大,最大值为16 000立方厘米.。