河北省武邑中学2017届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题(扫描版)
【全国百强校word】河北省武邑中学2017届高三下学期第三次模拟考试理数试题
A, B,C, D 直线 l 上 M , N 分别是线段 AB,CD 的中点，下列判断正确的是（ ）
A．当 CD 2 AB 时， M , N 两点不可能重合
B． M , N 两点可能重合，但此时直线 AC 与 l 不可能相交
C. 当 AB 与 CD 相交，直线 AC 平行于 l 时，直线 BD 可以与 l 相交 D．当 AB,CD 是异面直线时，直线 MN 可能与 l 平行
x
3x
斜率为-1；
③设随机变量 服从正态分布 N , 7 ，若 P 2 P 4 ，则 与 D 的值分别为 3, D 7 ；
A．0
B． 1
C. 2
D．3
11.如图，平面 平面 ， 直线 l ， A,C 是 内不同的两点， B, D 是 内不同的两点，且
河北武邑中学 2016-2017 学年高三年级第三次模拟考试
数学试题（理科）
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1.设全集U R ，集合 M x | x 1, p x | x 2 1 ，则下列关系中正确的是（ ）
3
次各增加一个物体，最下层成为长为 c 个物体，宽为 d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为
S
n 6
2b
d
a
b
2d
c
n 6
c
a
.已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图
所示，则该垛积中所有小球的个数为
．
16.数列an
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试卷第1页，共21页绝密★启用前【全国百强校word 】河北省武邑中学2017届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：71分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】试题分析：由题意可得：故选择A考点：向量线性运算 2、已知函数，则“”是“函数在上为增函数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件试卷第2页，共21页C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 试题分析：，即在区间上恒成立，则，而，故选A.考点：充分必要条件3、设函数，若方程恰有两个不相等的实根，则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】令g （x ）=f （f （x ））=，∵y=f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在(0，+∞）上单调递增，∴g （x ）=f （f （x ））在（﹣∞，0）上单调递减，在(0，+∞）上单调递增． 做出g （x ）=f （f （x ））的函数图象如图所示：∵方程f （f （x ））=a （a ＞0）恰有两个不相等的实根x 1，x 2， 不妨设x 1＜x 2，则x 1≤﹣1，x 2≥0，且f （x 1）=f （x 2），即x 12=．∴，试卷第3页，共21页令h （x 1）=，则h′（x 1）=，∴当x 1＜﹣2时，h′（x 1）＞0，当﹣2＜x 1＜﹣1时，h′（x 1）＜0， ∴h （x 1）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减，∴当x 1=﹣2时，h （x 1）取得最大值h （﹣2）=．故选C ．点睛：本题属于复合函数的零点问题，需要先将解析式写出，再数形结合找到两个根，建立根之间的等量关系，找到要求的变量表示，构造函数求最值即可. 4、如图，平面平面，直线，是内不同的两点，是内不同的两点，且直线上分别是线段的中点，下列判断正确的是（ ）A ．当时，两点不可能重合B ．两点可能重合，但此时直线与不可能相交C ．当与相交，直线平行于时，直线可以与相交D ．当是异面直线时，直线可能与平行【答案】B【解析】由位置关系判断就可，本题宜用直接法来进行判断，B 项正确易证解答：对于A 选项，当|CD|=2|AB|时，若A ，B ，C ，D 四点共面AC ∥BD 时，则M ，N 两点能重合．故A 不对；对于B 选项，若M ，N 两点可能重合，则AC ∥BD ，故AC ∥l ，此时直线AC 与直线l 不可能相交，故B 对；对于C 选项，当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 平行，故C 不对；对于D 选项，当AB ，CD 是异面直线时，MN 不可能与l 平行， 故选B ．试卷第4页，共21页点睛：在空间立体几何中常用的判断线线平行的方法：中位线定理；平行四边形；相似比；由线面平行得线线平行；由面面平行得线线平行，两直线垂直于同一面时平行等. 5、下列有关结论正确的个数为（ ）①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件=“4个人去的景点不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，则；②设函数存在导数且满足，则曲线在点处的切线斜率为-1；③设随机变量服从正态分布，若，则与的值分别为； A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】①小赵独自去一个景点，则有3个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为3×3×3=27种.所以小赵独自去一个景点的可能性为4×27=108种 因为4个人去的景点不相同的可能性为4×3×2×1=24种，所以，正确；②根据导数的定义及导数的几何意义知正确； ③随机变量服从正态分布，，所以，，正确.故选D.6、已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点.若双曲线的离心率为2，的面积为，则（ ）试卷第5页，共21页A ．1B ．C ．2D ．3【答案】C【解析】求出双曲线的渐近线，利用三角形面积建立方程求解。
河北省武邑中学高三数学下学期周考试题理(2.12,扫描版)
河北省武邑中学2017届高三数学下学期周考试题理（2。
12，扫描版)
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河北省武邑中学2017届高三下学期第三次模拟考试(理数)
河北省武邑中学2017届高三下学期第三次模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}{}2|1,|1M x x p x x =>=>，则下列关系中正确的是（ ）A ．M P =B ．P M ⊄C ．M P ⊄D ．()U C M P =∅ 2.已知函数 ()2af x x x=+，则“02a <<”是“函数()f x 在()1,+∞上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.运行如图所示框图的相应程序，若输入,a b 的值分别为4log 3和3log 4，则输出M 的值是 （ ）A ． 0B ． 1C ． -1D ． 34.已知正项等比数列{}n a 中，n S 为其前项和，且2431,7a a S ==则5S =（ ） A ．152 B ．314 C. 334D ．172 5.函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的简图是（ ）A ．B ．C. D ．6. 定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，则 （ ）A ．()()()258f f f <<B ．()()()825f f f << C. ()()()528f f f << D ．()()()582f f f <<7. 设,,D E F 分别为ABC ∆的三边,,BC CA AB 的中点，则EB FC +=（ ）A ．ADB ．12AD C. 12BCD ．BC8.设D 为不等式组12121x y x y x y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，点(),B a b 为第一象限内一点，若对于区域D 内的任一点(),A x y 都有1OA OB ≤成立，则a b +的最大值等于 （ ）A ． 0B ． 1 C. 2 D ．39. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于A B 、两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，AOB ∆则p =（ ）A ． 1 B． C. 2 D ．3 10.下列有关结论正确的个数为（ ）①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点不相同”，事件B =“小赵独自去一个景点”，则()2|9P A B ==； ②设函数()f x 存在导数且满足()()223lim13x f f x x∆→∞--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线斜率为-1；③设随机变量ξ服从正态分布(),7N μ，若()()24P P ξξ<=>，则μ与D ξ的值分别为3,7D μξ==；A ．0B ． 1 C. 2 D ．311.如图，平面α⊥平面β，αβ= 直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l 上,M N 分别是线段,AB CD 的中点，下列判断正确的是（ ）A ．当2CD AB =时，,M N 两点不可能重合 B ．,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交C. 当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 D ．当,AB CD 是异面直线时，直线MN 可能与l 平行12. 设函数()2,0,0x e x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，若方程()()()0f f x a a =>恰有两个不相等的实根12,x x ，则12xxe e 的最大值为（ ） A ．21e B ．()2ln 21- C. 24e D ．ln 21- 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. 设11z i i=++，则z = ．14.二项式()30ax a ⎛-> ⎝⎭的展开式的第二项的系数为-22a x dx -⎰的值为 ．15.北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积.设隙积共n 层，上底由长为a 个物体，宽为b 个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层成为长为c 个物体，宽为d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为()()()2266n nS b d a b d c c a =++++-⎡⎤⎣⎦.已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为 ．16.数列{}n a 中，()()()*111,211n n n na a a n N n na +==∈++，若不等式2310n ta n n ++≥恒成立，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，在ABC ∆中，4B π=，角A 的平分线AD 交BC 于点D，设,sin BAD αα∠==（1）求sin C ；（2）若28BA BC = ，求AC 的长.18.某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A B 、两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将A 队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家B 队的平均分比A 队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”.（1）根据茎叶图中的数据，求出A 队第六位选手的成绩；（2）主持人从A 队所有选手成绩中随机抽2个，求至少有一个为“晋级”的概率； （3）主持人从A B 、两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.19. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形，底面ABC ∆是等腰直角三角形，01190,BAC A B BC ∠=⊥.（1）求证：直线AC ⊥直线1BB ；（2）若直线1BB 与底面ABC 成的角为60°，求二面角1A BB C --的余弦值．20. 已知A 为椭圆()222210x y a b a b +=>>上的一个动点，弦,AB AC 分别过左右焦点12,F F ，且当线段1AF 的中点在y 轴上时，121cos 3F AF ∠=．（1）求该椭圆的离心率；（2）设111222,A F FB A F FC λλ==，试判断12λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．21. 已知函数()()22ln f x x a x a x =-++，其中常数0a >．（1）当2a >时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）设定义在D 上的函数()y h x =在点()()00,P x h x 处的切线方程为():l y g x =，若()()0h x g x x x ->-，在D 内恒成立，则称P 为函数()y h x =的“类对称点”．当4a =时，试问()y f x =是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知圆1C 的参数方程为1cos 2sin x y φφ=+⎧⎨=+⎩（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为cos 20ρθ+=． （1）求1C 的极坐标方程与2C 的直角坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设3C 与1C 的交点为,,M N P 为2C 上的一点，且PMN ∆的面积等于1，求P 点的直角坐标．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21,f x x x R =-∈．（1）解不等式()21f x x ≥-+；（2）若对于,x y R ∈，有113x y --≤，1216y +≤，求证：()1f x <数学（理科）参考答案一、选择题1-5: CACBA 6-10: DACCD 11、12：BC二、填空题13.214. 3 15. 85 16. 152t ≥-三、解答题17.解：（1）∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 5α==∴cos α==则4sin sin 22sin cos 25BAC ααα∠====， ∴243cos 2cos 12155BAC α∠=-=⨯-=，∴34sin sin 2sin 2cos 224422252510C πππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+=+=+=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．（2）由正弦定理，得sin sin AB BC C BAC =∠45BC =，∴8AB BC =， 又28BA BC =，∴28AB BC =，由上两式解得BC =又由sin sin AC BC B BAC =∠452BC=，∴5AC =．18.解：（1）设A 队第六位选手的成绩为x ， 由题意得：()()11911132431111221252736466x +++++=+++++-， 解得20x =，∴A 队第六位选手的成绩为20．（2）由（1）知A 队6位选手中成绩不少于21分的有2位，即A 队6位选手中有2人获得“晋级”，主持人从A 队所有选手成绩中随机抽2个，基本事件总数2615n C ==， 至少有一个为“晋级”的概率2426215C p C =-=．（3）由题意A 队6位选手中有2人获得“晋级”，B 队6位选手中有4人获得“晋级”，主持人从A B 、两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，3，4，………()2242226660225C C P C C ξ==⨯=， ()11221142244222226666561225C C C C C C P C C C C ξ==⨯+⨯=， ()22111122224242442222226666661012225C C C C C C C C P C C C C C C ξ==⨯+⨯+⨯=， ()21111224242422226666563225C C C C C C P C C C C ξ==⨯+⨯=， ()2224226664225C C P C C ξ==⨯=， ∴ξ的分布列为：()012342225225225225225E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．19.解：（1）证明：连接1AB ，因为，侧面11AA B B 为菱形， 所以11AB A B ⊥，又1AB 与1BC 相互垂直，111AB B C B = ， ∴1A B ⊥平面1ABC ，∴1A B AC ⊥，又1,AC AB AB A B B ⊥= ， ∴AC ⊥平面11AA B B ，∵1BB ⊂平面11AA B B ，所以直线AC ⊥直线1BB ． （2）由（1）知，平面ABC ⊥平面11AA B B ，由1B 作AB 的垂线，垂足为D ，则BD ⊥平面ABC ， ∴0160B BA ∠=， ∴D 为AB 的中点，过A 作1DB 的平行线，交11A B 于E 点，则AE ⊥平面ABC ， 建立如图所示的空间直角坐标系，设2AB =，则()0,2,0AC =为平面1AB B 的一个法向量，则()()2,0,0,0,2,0B C ，()(12,2,0,0,BC BB =-=-，设平面1AB B 的法向量(),,n x y z =，220BC n x y =-+=，10BB n y =-= ，取)n =，cos ,AC n AC n AC n===， 二面角1A BB C --的余弦值为7． 20.解：（1）当线段1AF 的中点在y 轴上时，AC 垂直于x 轴，12AF F ∆为直角三角形， 因为121cos 3F AF ∠=，所以123AF AF =， 易知22b AF a=，由椭圆的定义可得122AF AF a +=，则242b a a = ，即()222222a b a c ==-；即222a c =，即有c e a ==；（2）由（1）得椭圆方程为22222x y b +=，焦点坐标为()()12,0,,0F b F b -， ①当,AB AC 的斜率都存在时，设()()()001122,,,,,A x y B x y C x y ， 则直线AC 的方程为()00y y x b x b=--，代入椭圆方程得： ()()222200003220bbx y by x b y b y -+--=，可得22012032b y y y b bx =--，又20022232AF y b x y b F C λ-===-， 同理0132b x bλ+=，可得126λλ+=； （2）若AC x ⊥轴，则21λ=，1325b bbλ+==，这时126λλ+=； 若AB x ⊥轴，则121,5λλ==，这时也有126λλ+=； 综上所述，12λλ+是定值6．21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，∵()()22ln f x x a x a x =-++，∴()()()()22122222a x x x a x a a f x x a x x x⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭'=-++==，∵2a >，∴12a>， 令()0f x '>，即()2120a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭>，∵0x >，∴01x <<或2a x >， 所以函数()f x 的单调递增区间是()0,1,,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （2）当4a =时，()2264x x f x x-+'= ，所以在点P 处的切线方程()()22000000026464ln x x g x x x x x x x -+=-+-+，若函数()264ln f x x x x =-+存在“类对称点”()()00,P x f x ，则等价于当00x x <<时，()()f x g x <，当0x x >时，()()f x g x >恒成立， ①当00x x <<时，()()f x g x <恒成立，等价于()222000000026464ln 64ln x x x x x x x x x x x -+-+<-+-+恒成立，即当00x x <<时，()2230000000244ln 44ln x x x x x x x x x -++++-，则()00x φ=，要使()00x φ<在00x x <<恒成立，只要()x φ在()00,x 单调递增即可． 又∵()()()()0022000224224x x x x x x x x x x xφ--'=-++=，… ∴002x x ≤，即00x <≤； ②当0x x >时，()()f x g x >恒成立时，0x ≥…，∴0x = 所以()y f x =存在“类对称点”，其中一个“类对称点”22.解：（1）1C 的普通方程为()()22121x y -+-=，即222440x y x y +--+=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，2C 的直角坐标方程为2x =-；（2）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=得12ρρ=，所以MN =因为PMN ∆的面积等于1，所以P 点到直线4πθ=即0x y -=设()2,P y -22,0y y =+==或-4，P 点坐标为()2,0-或()2,4--．23.（1）解：不等式化为1212x x ++-≥，①当12x ≥时，不等式为32x ≥，解得23x ≥，故23x ≥； ②当112x -≤<时，不等式为22x -≥，解得0x ≤，故10x -≤≤；③当1x <-时，不等式为32x -≥，解得23x ≤-，故1x <-，综上，原不等式的解集为2|03x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或； （2）()()()1152121212212121366f x x x y y x y y =-=--++≤--++≤⨯+=<．。
2017届河北衡水武邑中学高三数学(理)一模试题和答案详细解析
2017届河北衡水武邑中学高三数学（理）一模试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A={x|x≥k}，B={x|＜1}，若A⊆B，则实数k的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（）A．3 B．6 C．9 D．123．在等差数列{an }中，若a2=1，a8=2a6+a4，则a5的值是（）A．﹣5 B． C．D．4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）A．B．C．D．5．将6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，则不同的安排方法数为（）A．120 B．150 C．35 D．556．若不等式|x﹣t|＜1成立的必要条件是1＜x≤4，则实数t的取值范围是（）A．[2，3] B．（2，3] C．[2，3）D．（2，3）7．在区间[﹣1，1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2﹣1的概率是（）A．B．C．D．8．如图所示，一个几何体的三视图中四边形均为边长为4的正方形，则这个几何体的体积为（）A．B．64﹣16πC．D．9．如图：M（xM ，yM），N（xN，yN）分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y=m，l2：y=﹣m（A≥m≥0）的两个交点，记S=|xN﹣xM|，则S（m）图象大致是（）A．B．C．D．10．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是（）A．﹣20 B．20 C．﹣540 D．54011．如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆（x ﹣2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）A．（6，10）B．（8，12）C．[6，8] D．[8，12]12．设函数f （x ）在R 上存在导数f′（x ），∀x ∈R ，有f （﹣x ）+f （x ）=x 2，在（0，+∞）上f′（x ）＜x ，若f （4﹣m ）﹣f （m ）≥8﹣4m ．则实数m 的取值范围为（ ） A ．[﹣2，2] B ．[2，+∞） C ．[0，+∞） D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为 ．14．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD'上运动，则异面直线CP 与BA'所成的角θ的取值范围是 ．15．对于|q|＜1（q 为公比）的无穷等比数列{a n }（即项数是无穷项），我们定义S n （其中S n 是数列{a n }的前n 项的和）为它的各项的和，记为S ，即S=S n =，则循环小数0. 的分数形式是 ．16．对于定义在D 上的函数f （x ），若存在距离为d 的两条直线y=kx+m 1和y=kx+m 2，使得对任意x ∈D 都有kx+m 1≤f （x ）≤kx+m 2恒成立，则称函数f （x ）（x ∈D ）有一个宽度为d 的通道．给出下列函数： ①f （x ）=； ②f （x ）=sinx ； ③f （x ）=；④f （x ）=其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有 （写出所有正确的序号）．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin2=1．（1）求角A的大小和BC边的长；（2）若点P在△ABC内运动（包括边界），且点P到三边的距离之和为d，设点P到BC，CA的距离分别为x，y，试用x，y表示d，并求d的取值范围．18．某权威机构发布了2014年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”．随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．20．已知椭圆C1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆C1交于A，B两点，且点A的坐标为，点P是椭圆C1上的任意一点，点Q满足，．（1）求椭圆C1的方程；（2）求点Q的轨迹方程；（3）当A，B，Q三点不共线时，求△ABQ面积的最大值．21．已知函数f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0）（1）当a=时，求f（x）的极值；（2）若a∈（，1），f（x）存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2）与f（0）的大小（3）求证e＞n!（n≥2，n∈N）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ACED是圆内接四边形，延长AD与CE的延长线交于点B，且AD=DE，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=2，BC=4时，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（ I）求曲线C2的直角坐标系方程；（ II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．[选修4-5不等式选讲]24．已知a是常数，对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：2m+≥2n+a．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A={x|x≥k}，B={x|＜1}，若A⊆B，则实数k的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】化简集合A，B；再由A⊆B可求得实数k的取值范围．【解答】解：B={x|＜1}=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），A={x|x≥k}=[k，+∞），又∵A⊆B，∴k＞2；故选C．2．若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为a+bi的形式，利用复数的实部与虚部相等，求解a即可．【解答】解：复数z===．由条件复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，解得a=3．故选：A．3．在等差数列{an }中，若a2=1，a8=2a6+a4，则a5的值是（）A．﹣5 B． C．D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{an }的公差为d，由题意可得a1和d的方程组，解方程组代入等差数列的通项公式可求．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a2=1，a8=2a6+a4，∴a1+d=1，a1+7d=2（a1+5d）+a1+3d联立解得a1=，d=﹣，∴a5=a1+4d=+4（﹣）=故选：B4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=﹣x，则它的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得b=a，再由离心率公式及a，b，c的关系，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，由一条渐近线为y=﹣x，可得=，即b=a，即有e====．故选A．5．将6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，则不同的安排方法数为（）A．120 B．150 C．35 D．55【考点】计数原理的应用．【分析】6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，分两类，青岛安排3人，济南安排3人或青岛安排4人，济南安排2人，根据分类计数原理可得答案．【解答】解：6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，分两类，3=20种，第一类，青岛安排3人，济南安排3人，有C64=15种，第二类，青岛安排4人，济南安排2人，有C6根据分类计数原理可得20+5=35种．故选：C．6．若不等式|x﹣t|＜1成立的必要条件是1＜x≤4，则实数t的取值范围是（）A．[2，3] B．（2，3] C．[2，3）D．（2，3）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出不等式|x﹣t|＜1的解集，再根据充分条件的定义，建立关于t 的不等式组，解之从而确定t的取值范围．【解答】解：不等式|x﹣t|＜1，则t﹣1＜x＜t+1，∵不等式|x﹣t|＜1成立的必要条件是1＜x≤4，∴，解得2≤t≤3故选：A7．在区间[﹣1，1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2﹣1的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．【解答】解：由题意可得，的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足y≥x2﹣1的区域为图中阴影部分，面积为2+=∴满足y≥x2﹣1的概率是=．故选：D．8．如图所示，一个几何体的三视图中四边形均为边长为4的正方形，则这个几何体的体积为（）A．B．64﹣16πC．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方体挖去两个圆锥所得的组合体，分别求出体积，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方体挖去两个圆锥所得的组合体，由正方体的棱长为4，故正方体的体积为：4×4×4=64，圆锥的体积为：2×=，故这个几何体的体积为64﹣，故选：C．9．如图：M（xM ，yM），N（xN，yN）分别是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象与两条直线l1：y=m，l2：y=﹣m（A≥m≥0）的两个交点，记S=|xN﹣xM|，则S（m）图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】从已知条件及所给函数的图象出发，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故xN ﹣xM=，则在一个周期内S=|xN﹣xM|=常数，只有C符合．【解答】解：由已知条件及所给函数的图象知，图象从M点到N点的变化正好是半个周期，故xN ﹣xM=，则在一个周期内S=|xN﹣xM|=常数，只有C符合，故选：C．10．已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是（）A．﹣20 B．20 C．﹣540 D．540【考点】程序框图．【分析】首先，根据程序框图的运算结果，得到参数b的值，然后根据二项式展开式，写出通项公式，然后，确定其展开式的常数项．【解答】解：根据程序框图，得初始值：a=1，b=1，第一次循环：b=3，a=2第二次循环：b=5，a=3，第三次循环：b=7，a=4第四次循环：b=9，a=5，∵a=5＞4，跳出循环，输出b=9，∴二项式（﹣）6的可以化为：，=Tr+1=36﹣r（﹣1）r•x3﹣r令3﹣r=0，得r=3，∴展开式中的常数项是33••（﹣1）3=﹣540，故选：C．11．如图所示点F是抛物线y2=8x的焦点，点A、B分别在抛物线y2=8x及圆（x ﹣2）2+y2=16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围是（）A．（6，10）B．（8，12）C．[6，8] D．[8，12]【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线定义可得|AF|=xA +2，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+（xB ﹣xA）+4=6+xB，确定B点横坐标的范围，即可得到结论．【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣2，焦点F（2，0），由抛物线定义可得|AF|=xA+2，圆（x﹣2）2+y2=16的圆心为（2，0），半径为4，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA +2+（xB﹣xA）+4=6+xB，由抛物线y2=8x及圆（x﹣2）2+y2=16可得交点的横坐标为2，∴xB∈（2，6）∴6+xB∈（8，12）故选B．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g（m），可得 4﹣m≤m，由此解得a的范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件，可得出在方向上的投影为，从而求出投影的值．【解答】解：根据条件，在方向上的投影为：．故答案为：．14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD'上运动，则异面直线CP与BA'所成的角θ的取值范围是 ．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由A'B ∥D'C ，得CP 与A'B 成角可化为CP 与D'C 成角，由此能求出异面直线CP 与BA′所成的角θ的取值范围． 【解答】解：∵A'B ∥D'C ，∴CP 与A'B 成角可化为CP 与D 1C 成角． ∵△AD'C 是正三角形可知当P 与A 重合时成角为，∵P 不能与D'重合因为此时D'C 与A'B 平行而不是异面直线， ∴．故答案为：．15．对于|q|＜1（q 为公比）的无穷等比数列{a n }（即项数是无穷项），我们定义S n （其中S n 是数列{a n }的前n 项的和）为它的各项的和，记为S ，即S=S n =，则循环小数0. 的分数形式是．【考点】数列的极限． 【分析】利用S=S n =，即可求出循环小数0. 的分数形式．【解答】解：0. = + +…+==，故答案为：．16．对于定义在D上的函数f（x），若存在距离为d的两条直线y=kx+m1和y=kx+m2，使得对任意x∈D都有kx+m1≤f（x）≤kx+m2恒成立，则称函数f（x）（x∈D）有一个宽度为d的通道．给出下列函数：①f（x）=；②f（x）=sinx；③f（x）=；④f（x）=其中在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1的函数有①③④（写出所有正确的序号）．【考点】函数恒成立问题．【分析】对4个函数逐个分析其值域或者图象的特征，即可得出结论．【解答】解：函数①，在区间[1，+∞）上的值域为（0，1]，满足0≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；函数②，在区间[1，+∞）上的值域为[﹣1，1]，满足﹣1≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为2；函数③，在区间[1，+∞）上的图象是双曲线x2﹣y2=1在第一象限的部分，其渐近线为y=x，满足x﹣1≤f（x）≤x，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；函数④，在区间[1，+∞）上的值域为[0，]，满足0≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1．故满足题意的有①③④．故答案为①③④．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin2=1．（1）求角A的大小和BC边的长；（2）若点P在△ABC内运动（包括边界），且点P到三边的距离之和为d，设点P到BC，CA的距离分别为x，y，试用x，y表示d，并求d的取值范围．【考点】简单线性规划；二倍角的余弦．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式化简，求出A，然后利用余弦定理求得BC的长；（2）利用三角形的面积相等用x，y表示d，然后利用线性规划知识求得d的取值范围．【解答】解：（1）∵cos2A+2sin2=1，∴1﹣2sin2A+2sin2=1，∴sinA=，即A=，∴3A=π，A=．由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cosA=22+12﹣2×2×1×cos=3，∴BC=；（2）由（1）知，△ABC为以C为直角的直角三角形，如图，设P到AB的距离为m，由等积法可得：，得．∴，化目标函数为，由题意得：d在P与C点重合时最小，为；当直线过点B（0，）时d有最大值为．∴d的取值范围为[]．18．某权威机构发布了2014年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”．随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）众数：8.6；中位数：．（2）设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则P（A）=P（A0）+P（A1）=+．（3）ξ的可能取值为0，1，2，3．ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B，P（ξ）=，（k=0，1，2，3）．即可得出．【解答】解：（1）众数：8.6；中位数： =8.75．（2）设Ai表示所取3人中有i个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A，则P（A）=P（A0）+P（A1）=+=．（3）ξ的可能取值为0，1，2，3．ξ的可能取值为0，1，2，3．则ξ～B，P（ξ）=，（k=0，1，2，3）．∴E（ξ）==0.75．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥PA，BC=2AB=2AD=4BE，平面PAB⊥平面ABCD，（Ⅰ）求证：平面PED⊥平面PAC；（Ⅱ）若直线PE与平面PAC所成的角的正弦值为，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（I）由面面垂直的性质定理证出PA⊥平面ABCD，从而得到AB、AD、AP 两两垂直，因此以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立坐标系o﹣xyz，得A、D、E、C、P的坐标，进而得到、、的坐标．由数量积的坐标运算公式算出且，从而证出DE⊥AC且DE⊥AP，结合线面垂直判定定理证出ED⊥平面PAC，从而得到平面PED⊥平面PAC；（II）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，算出、夹角的余弦，即可得到直线PE与平面PAC所成的角θ的正弦值，由此建立关于θ的方程并解之即可得到λ=2．利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组算出=（1，﹣1，﹣1）是平面平面PCD的一个法向量，结合平面PAC的法向量，算出、的夹角余弦，再结合图形加以观察即可得到二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AB⊥PA ∴PA⊥平面ABCD结合AB⊥AD，可得分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz，如图所示…可得A（0，0，0）D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ）（λ＞0）∴，，得，，∴DE⊥AC且DE⊥AP，∵AC、AP是平面PAC内的相交直线，∴ED⊥平面PAC．∵ED⊂平面PED∴平面PED⊥平面PAC（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PAC的一个法向量是，设直线PE与平面PAC所成的角为θ，则，解之得λ=±2∵λ＞0，∴λ=2，可得P的坐标为（0，0，2）设平面PCD的一个法向量为=（x0，y，z），，由，，得到，令x0=1，可得y=z=﹣1，得=（1，﹣1，﹣1）∴cos＜，由图形可得二面角A﹣PC﹣D的平面角是锐角，∴二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为．20．已知椭圆C1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆C1交于A，B两点，且点A的坐标为，点P是椭圆C1上的任意一点，点Q满足，．（1）求椭圆C1的方程；（2）求点Q的轨迹方程；（3）当A，B，Q三点不共线时，求△ABQ面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用双曲线的标准方程及其性质与椭圆的定义、标准方程及其性质即可得出．（2）利用椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、数量积运算性质可得点P坐标，代入椭圆C1方程即可得出．（3）点Q（x，y）到直线AB：的距离为．△ABQ的面积为=．利用基本不等式的性质可得最大值．再与椭圆的标准方程联立即可得出．【解答】解：（1）∵双曲线的顶点为，，∴椭圆C1两焦点分别为，．设椭圆C1方程为，∵椭圆C1过点，∴2a=|AF1|+|AF2|=4，得a=2．∴．∴椭圆C1的方程为．（2）设点Q（x，y），点P（x1，y1），由及椭圆C1关于原点对称可得，∴，，，．由，得，即．①同理，由，得．②①×②得．③由于点P在椭圆C1上，则，得，代入③式得．当时，有2x2+y2=5，当，则点或，此时点Q对应的坐标分别为或，其坐标也满足方程2x2+y2=5，∴点Q的轨迹方程为2x2+y2=5．（3）点Q（x，y）到直线AB：的距离为．△ABQ的面积为=．而（当且仅当时等号成立），∴．当且仅当时，等号成立．由解得或，∴△ABQ的面积最大值为，此时，点Q的坐标为或．21．已知函数f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0）（1）当a=时，求f（x）的极值；（2）若a∈（，1），f（x）存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2）与f（0）的大小（3）求证e＞n!（n≥2，n∈N）【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的定义域，求出导数，求得单调区间，即可得到极值；（2）求出导数，求得极值点，再求极值之和，构造当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2，运用导数，判断单调性，即可得到结论；（3）当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2＞0恒成立，即lnt+﹣1＞0恒成立，设t=（n≥2，n∈N），即ln+n﹣1＞0，即有n﹣1＞lnn，运用累加法和等差数列的求和公式及对数的运算性质，即可得证．【解答】解：（1）f（x）=ln（1+x）﹣，定义域解得x＞﹣2，f′（x）=﹣=，即有（﹣2，2）递减，（2，+∞）递增，故f（x）的极小值为f（2）=ln2﹣1，没有极大值．（2）f（x）=ln（1+ax）﹣（a＞0），x＞﹣，f′（x）=﹣=由于＜a＜1，则a（1﹣a）∈（0，），﹣＜﹣ax2﹣4（1﹣a）=0，解得x=±，f（x1）+f（x2）=ln[1+2]+ln[1﹣2]﹣﹣即f（x1）+f（x2）=ln[（1﹣2a）2]+ =ln[（1﹣2a）2]+﹣2设t=2a﹣1，当＜a＜1，0＜t＜1，则设f（x1）+f（x2）=g（t）=lnt2+﹣2，当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2，g′（t）=﹣=＜0g（t）在0＜t＜1上递减，g（t）＞g（1）=0，即f（x1）+f（x2）＞f（0）=0恒成立，综上述f（x1）+f（x2）＞f（0）；（3）证明：当0＜t＜1时，g（t）=2lnt+﹣2＞0恒成立，即lnt+﹣1＞0恒成立，设t=（n≥2，n∈N），即ln+n﹣1＞0，即有n﹣1＞lnn，即有1＞ln2，2＞ln3，3＞ln4，…，n﹣1＞lnn，即有1+2+3+…+（n﹣1）＞ln2+ln3+ln4+…+lnn=ln（2×3×4×…×n）=ln（n!），则＞ln（n!），故e＞n!（n≥2，n∈N）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ACED是圆内接四边形，延长AD与CE的延长线交于点B，且AD=DE，AB=2AC．（Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=2，BC=4时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）根据圆内接四边形的性质证出∠BDE=∠BCA且∠DBE=∠CBA，可得△BDE∽△BCA，从而得到AB：AC=BE：DE，结合AB=2AC、AD=DE可得BE=2AD；（II）根据切割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB﹣AD）•BA=2AD•BC，代入数据得到关于AD的方程，解之可得AD=．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ACED为圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∵∠DBE=∠CBA，∴△BDE∽△BCA，则．∵AB=2AC，∴BE=2DE，结合AD=DE，可得BE=2AD．（II）根据题意，AB=2AC=4，由切割线定理得BD•BA=BE•BC，即（AB﹣AD）•BA=2AD•4，可得（4﹣AD）•4=2AD•4，解得AD=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．（ I）求曲线C2的直角坐标系方程；（ II）设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把变形，得到ρ=ρcosθ+2，结合x=ρcosθ，y=ρsinθ得答案；（Ⅱ）由（t为参数），消去t得到曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0，由M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，把|M1M2|的最小值转化为M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），然后由点到直线的距离公式结合配方法求解．【解答】解：（I）由可得ρ=x﹣2，∴ρ2=（x﹣2）2，即y2=4（x﹣1）；（Ⅱ）曲线C1的参数方程为（t为参数），消去t得：2x+y+4=0．∴曲线C1的直角坐标方程为2x+y+4=0．∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，∴|M1M2|的最小值等于M2到直线2x+y+4=0的距离的最小值．设M2（r2﹣1，2r），M2到直线2x+y+4=0的距离为d，则d==≥．∴|M1M2|的最小值为．[选修4-5不等式选讲]24．已知a是常数，对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：2m+≥2n+a．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式求最值，即可求a的值；（Ⅱ）作差，利用基本不等式证明结论．【解答】（Ⅰ）解：|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3，3=|x+1+2﹣x|≤|x+1|+|2﹣x|∵对任意实数x，不等式|x+1|﹣|2﹣x|≤a≤|x+1|+|2﹣x|都成立，∴a=3；（Ⅱ）证明：2m+﹣2n=（m﹣n）+（m﹣n）+，∵m＞n＞0，∴（m﹣n）+（m﹣n）+≥3=3，∴2m+﹣2n≥3，即2m+≥2n+a．。
河北省武邑县高三数学下学期第三次模拟考试试题文(扫描版)
河北省武邑县2017届高三数学下学期第三次模拟考试试题文(扫描版）
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。
This article is collected and compiled by my colleagues and I in our busy schedule. We proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. If there are omissions, please correct them. I hope this article can solve your doubts and arouse your thinking. Part of the text by the user's care and support, thank you here! I hope to make progress and grow with you in the future.。
河北省武邑县高三数学下学期一模考试试题文(扫描版)
河北省武邑县2017届高三数学下学期一模考试试题文(扫描版）
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
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河北省武邑中学高三下学期一模考试数学(理)试题 Word版含答案
河北省武邑中学2017届高三下学期一模考试数学（理）试题第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|M x y ==，(){}2|log 2N x y x ==-，则()R C MN =（ ）A ．[)1,2B ．()[),12,-∞+∞ C ．[]0,1 D ．()[),02,-∞+∞2.设复数z 满足()1|1|i z i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1i + B ．1i - CD3.下列函数中，既是偶函数，又在区间[]0,1上单调递增的是（ ） A ．cos y x = B ．2y x =- C ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．|sin |y x =4. sin 2xdx ππ⎰的值为（ ）A ．2π B ．π C ．12D ．1 5.若变量,x y 满足不等式组21y x y x y a ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，且3z x y =-的最大值为7，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．7 C. -1 D ．-76.甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（ ）A ． 144种B ．180种 C. 288种 D ．360种 7.在Rt ABC ∆中，90A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =,4AC =,()0,0AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时，AD 的值为( ) A ．72 B ． 3 C. 52 D ．1258.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,a b 分别为17,14，则输出的a =( )A ． 4B ．3 C. 2 D ．19.已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则该几何体的表面积为（ ）A ．2448π+B ．2490π++ 4848π+ D ．2466π++ 10.在区间[],ππ-内随机取两个数分别记为,a b ,则函数()2222f x x ax b π=+-+有零点的概率（ ） A ．18π-B ．14π-C.34 D ．4π11.在平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C y px p =>交于点,,O A B ,若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为（ ）A ．32B C. D12.定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<满足，()()()1f b f a f x b a-'=-，()()()2f b f a f x b a -'=-则称函数()f x 是[],a b 上的“中值函数”.已知函数()321132f x x x m =-+是[]0,m 上的“中值函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知角a 的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线()4300x y x -=≤上,则cos sin a a -= ．14.8x y ⎛ ⎝的展开式中2x 的系数为 ．（用数字作答） 15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8......,该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()()()222132243354a aa a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅()2201520172016a a a +-=．16.已知()42,4,a x x a x f x x x a x ⎧⎛⎫-+< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-≥⎪⎩①当1a =时，()3f x =,则x = . 当1a ≤-时，若()3f x =有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a =___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 中，11a =其前n 项和为n S ，且满足()21n n S n a =+，()n N *∈. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记23n n n b a λ=-，若数列{}n b 为递增数列，求λ的取值范围.18. 某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间(]0,50内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按(]0,10，(]10,20，(]20,30，(]30,40，(]40,50分组，整理如下图：(1)写出频率分布直方图（图乙）中a 的值：记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售的方差分别为21S ，22S ，试比较21S 与22S 的大小（只需写出结论）；(2)从甲种酸奶机日销量在区间(]0,20的数据样本中抽取3个，记在(]0,10内的数据个数为X ，求X 的分布列；(3)估计1200个日销售量数据中，数据在区间(]0,10中的个数.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值： （3）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点()0,1.（1）求椭圆E 的方程； （2）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B 、N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.21.设函数()()2ln 11f x x ax x =-+++，()()21x g x x e ax =-+，a R ∈. （1）当1a =时，求函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程；（2）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围； （3）证明()()f x g x ≤.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为cos 4p πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标. 23.选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|3|||2x x m m +++≥的解集为R . （1）求m 的最大值；（2）已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=,求222234a b c ++的最小值及此时a ，b ，c 的值.试卷答案一、选择题1-5:BDDDA 6-10:CCDDB 11、12：CB二、填空题13.15 14.70 15.1 16. 4，116- 三、解答题17.解：（1）()21n n S n a =+，()1122n n S n a ++=+∴，()121n n a n a +=+∴，11n na a n n+=+∴， 11111n n a a a n n -==⋅⋅⋅==-∴()n a n nN *=∈∴. （2）23n n b n λ=-，()()()21213132321n n n n n b b n n n λλλ++-=-+--=⋅-+，数列{}n b 为递增数列，()23210nn λ⋅-+>∴，即2321n n λ⋅<+.令2321nn c n ⋅=+，则112321631232323n n n n c n n c n n ++⋅++=⋅=>+⋅+， {}n c ∴为递增数列，12c λ<=∴，即λ的取值范围为(),2-∞.18.解（1）由图（乙）知，()100.020.030.0250.0151a ++++=解得0.01a =，2212s s >.（2）X 的所有可能取值1，2，3.则()124236115C C P X C ===，()214236325C C P X C ===，()304236135C C P X C ===， 其分布列如下：(1)由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2345620++++=个，其中有4个数据在区间(]0,10内，又因为分层抽样共抽取了1200560%=⨯个数据， 乙种酸奶的数据共抽取602040-=个，由（I ）知，乙种酸奶的日销量数据在(]0,10内的频率为0.1, 故乙种酸奶的日常销量数据在区间(]0,10内有400.14⨯=个. 故抽取的60个数据，共有448+=个数据在区间(]0,10内. 所以，在1200个数据中，在区间(]0,10内的数据有160个.19.（1）因为四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥.又PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC.（2）设AC BD O =.因为60BAD ∠=,2PA AB ==.所以1BO =，AO CO ==以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,P ，()0,A ，()1,0,0B ，()C 所以，()2PB =-，()AC =.设PB 与AC 所成角为θ，则cos ||||||2PB AC PB AC θ⋅===.（3）由（2）知()BC =-，设()()0,0P t >.则()1,BP t =-，设平面PBC 的法向量(),y,z m x =，则0,0BC m BP m ⋅=⋅=，所以0x x tz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令y =，则3x =，6z t =，所以6m t ⎛⎫= ⎪⎝⎭.同理，平面PDC 的法向量63,3,n t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为平面PBC ⊥平面PDC ，所以0m n ⋅=，即23660t -+=，解得t =所以PA 20.解：（1）设椭圆的半焦距为c .因为点()0,1在椭圆E 上，所以1b =.故221a c +=.又因为c e a ==c =，2a =.所以椭圆E 的标准方程为：2214x y +=.（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,C x y ，线段AC 中点为()00,y M x . 联立12y x m =+ 和22440x y +-=，得：222220x mx m ++-=.由()()2222422840m m m ∆=--=->，可得m <<.所以122x x m +=-，21222x x m =-. 所以AC 中点为1,2M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.弦长AC =又直线l 与x 轴的交点()2,0N m -，所以MN =.所以222221542BN BM MN AC MN =+=+=.所以B 、N . 21.【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域是()1,+∞，()()2211x ax a f x x -+'=-.当1a =时，()2426f a '=+=，()2437f a =+=.所以函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程为()762y x -=-. 即65y x =-.（Ⅱ）函数()g x 的定义域为R ，由已知得()()2x g x x e a '=+. ①当0a =时，函数()()1x g x x e =-只有一个零点； ②当0a >，因为20x e a +>，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>. 所以函数()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增. 又()01g =-，()1g a =，因为0x <，所以10x -<，1x e <所以()11x e x x ->-，所以()21g x ax x >+-取0x 00x <且()00g x >所以()()010g g <，()()000g x g <.由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.③当0a <时，由()()20x g x x e a '=+=，得0x =，或()12x n a =-. )i 当12a <-，则()120n a ->.当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：注意到()01g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.)ii 当12a =-，则()120n a -=，()g x 在(),-∞+∞单调递增，函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.若12a >-，则()120n a -≤.当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：注意到当0x <，0a <时，()()210x g x x e ax =-+<，()01g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.综上，a 的取值范围是()0,+∞.（Ⅲ）证明：()()()()1111x g x f x x e n x x -=-----.设()()()1111x h x x e n x x =-----，其定义域为()1,+∞，则证明()0h x ≥即可.因为()111t x x x h x xe x e x x ⎛⎫=-=- ⎪--⎝⎭，取311X e -=+，则()()1310x t h x x e e =-<，且()20t h >.又因为()()()21101tt x h x x e x =++>-，所以函数()t h x 在()1,+∞上单增.所以()0t h x =有唯一的实根()01,2x ∈，且0011x e x =-. 当01x x <<时，()0t h x <；当0x x >时，()0t h x >. 所以函数()h x 的最小值为()0h x .所以()()()()00000001111110x h x h x x e n x x x x ≥=-----=+--=. 所以()()f x g x ≤.22.解：（1）1C 的普通方程为2213y x +=，2C 的直角坐标方程为60x y +-=.（2）由题意，可设点P的直角坐标为()cos αα，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()36d παα⎛⎫==+- ⎪⎝⎭.当且仅当()23k k Z παπ=+∈时，PQ取得最小值，最小值为P 的直角坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 23.解：（1）因为()()333x x m x x m m +++≥+-+=-， 当3x m -≤≤-或3m x -≤≤-时取等号， 令32m m -≥所以32m m -≥或32m m -≤-. 解得3m ≤-或1m ≤， m ∴的最大值为1.（2）1a b c ++=.由柯西不等式，()()22221112341234a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭，2221223413a b c ++≥∴，等号当且仅当234a b c ==，且1a b c ++=时成立.即当且仅当613a =，413b =，313c =时，2222342a b c ++的最小值为1213.精品文档试卷。
河北省衡水市武邑中学2016-2017学年高考理数三模考试试卷及解析
外…………○…………装…………○…学校:___________姓名：___________班级：内…………○…………装…………○…河北省衡水市武邑中学2016-2017学年高考理数三模考试试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题M={x|x ＞1}，p={x|x 2＞1}，则下列关系中正确的是（ ） A.M=P B.P ⊂M C.M ⊂PD.（∁U M ）∩P=∅2.已知函数f （x ）=x 2+ ax ，则“0＜a ＜2”是“函数f （x ）在（1，+∞）上为增函数”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.运行如图所示框图的相应程序，若输入a ，b 的值分别为log 43和log 34，则输出M 的值是（ ） A.0 B.1 C.3 D.﹣14.已知正项等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 2a 4=1，S 3=7则S 5=（ ） A.152 B.314答案第2页，总18页……装…………○…………订…………○…………线…※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……装…………○…………订…………○…………线…C.334 D.1725.函数y=sin （2x ﹣ π3 ）在区间[﹣ π2 ，π]的简图是（ ）A.B.C.D.6.已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ﹣4）=﹣f （x ），且在区间[0，2]上是增函数，则（ ）A.f （2）＜f （5）＜f （8）B.f （5）＜f （8）＜f （2）C.f （5）＜f （2）＜f （8）D.f （8）＜f （2）＜f （5）7.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则 EB →+ FC →=（ ） A.AD →B.12AD →…………外…………………内……… C.BC →D.12BC →8.设D 为不等式组 {x +y ≤12x −y ≥−1x −2y ≤1，表示的平面区域，点B （a ，b ）为第一象限内一点，若对于区域D 内的任一点A （x ，y ）都有 OA →⋅OB →≤1 成立，则a+b 的最大值等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.39.已知双曲线 x 2a 2 ﹣ y 2b2 =1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线分别交于O 、A 、B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为 √3 ，则p=（ ） A.1 B.32C.2D.310.下列有关结论正确的个数为（ ） ①小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则 P =(A|B)=29 ；②设函数f （x ）存在导数且满足 lim△x→∞f(2)−f(2−3△x)3△x =−1 ，则曲线y=f （x ）在点（2，f（2））处的切线斜率为﹣1；③设随机变量ξ服从正态分布N （μ，7），若P （ξ＜2）=P （ξ＞4），则μ与Dξ的值分别为μ=3，Dξ=7． A.0 B.1 C.2 D.311.如图，平面α⊥平面β，α∩β=直线l ，A ，C 是α内不同的两点，B ，D 是β内不同的两点，且A ，B ，C ，D ∉直线l ，M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．下列判断正确的是（ ）答案第4页，总18页……外…………○…………装…………○…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※……内…………○…………装…………○…B.M ，N 两点可能重合，但此时直线AC 与直线l 不可能相交C.当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交D.当AB ，CD 是异面直线时，MN 可能与l 平行 12.设函数f （x ）= {e x ，x ≥0x 2，x <0，若方程f （f （x ））=a （a ＞0）恰有两个不相等的实根x 1 ， x 2 ， 则e x 1 •e x 2 的最大值为（）A.1e 2B.2（ln2﹣1）C.4e 2D.ln2﹣1第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.设z= 11+i +i ，则|z|= ．14.二项式（ax ﹣ √36 ）3（a ＞0）的展开式的第二项的系数为﹣√32，则 ∫−2a x 2dx= ．15.北宋数学家沈括的主要数学成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层，上底由长为a 个物体，宽为b 个物体组成，以下各层的长、宽依次各增加一个物体，最下层成为长为c 个物体，宽为d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为S= n6[(2b +d)a +(b +2d)c]+n6(c −a) ．已知由若干个相同小球粘黏组成的几何体垛积的三视图如图所示，则该垛积中所有小球的个数为 ．16.数列{a n }中， a 1=12，a n+1=nan(n+1)(nan+1)(n ∈N ∗) ，若不等式 3n 2+1n +ta n ≥0 恒成立，则实数t 的取值范围是 ．………○…………装…………○…………订…………○…………线…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………装…………○…………订…………○…………线…………三、解答题（题型注释）17.如图，在△ABC 中， B =π4，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设∠BAD=α， sinα=√55．（Ⅰ）求sinC ；（Ⅱ）若 BA →⋅BC →=28 ，求AC 的长．18.某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A 、B 两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将A 队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家B 队的平均分比A 队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”．（1）根据茎叶图中的数据，求出A 队第六位选手的成绩；（2）主持人从A 队所有选手成绩中随机抽2个，求至少有一个为“晋级”的概率； （3）主持人从A 、B 两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．19.如图，斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 为菱形，底面△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A 1B⊥B 1C ．（1）求证：直线AC⊥直线BB 1；（2）若直线BB 1与底面ABC 成的角为60°，求二面角A ﹣BB 1﹣C 的余弦值． 20.已知A为椭圆 x 2a 2+y 2b2 =1（a ＞b ＞0）上的一个动点，弦AB ，AC 分别过左右焦点F 1 ， F 2 ，且当线段AF 1的中点在y 轴上时，cos∠F 1AF 2= 13 ． （Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设 AF 1→=λ1F 1B →，AF 2→=λ2F 2C →，试判断λ1+λ2是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由．答案第6页，总18页21.在直角坐标系xOy 中，已知圆C 1的参数方程为 {x =1+cosϕy =2+sinϕ（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρcosθ+2=0． （1）求C 1的极坐标方程与C 2的直角坐标方程；（2）若直线C 3的极坐标方程为 θ=π4(ρ∈R) ，设C 3与C 1的交点为M ，N ，P 为C 2上的一点，且△PMN 的面积等于1，求P 点的直角坐标． 22.已知函数f （x ）=|2x ﹣1|，x∈R． （1）解不等式f （x ）≥2﹣|x+1|；（2）若对于x ，y∈R，有 |x −y −1|≤13， |2y +1|≤16，求证：f （x ）＜1．…………外…………内参数答案1.C【解析】1.解：∵全集U=R ，集合M={x|x ＞1}， p={x|x 2＞1}={x|x ＞1或x ＜﹣1}，∴M ⊂P ，（∁U M ）∩P={x|x≤1}∩{x|x＞1或x ＜﹣1}={x|x ＜﹣1}， 故选：C ． 2.A【解析】2.解：f′（x ）=2x ﹣ ax 2 ≥0，即2x 3≥a 在区间（1，+∞）上恒成立， 则a≤2，而0＜a ＜2⇒a≤2， 故选：A ． 3.D【解析】3.解：∵log 34＞1，0＜log 43＜1， ∴log 34＞log 43，∴M=log 34•log 43﹣2=﹣1， 故选：D ．【考点精析】通过灵活运用程序框图，掌握程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要文字说明即可以解答此题． 4.B【解析】4.解：由已知得：{a 1q ⋅a 1q 3=1a (1−q 3)11−q=7q >0，解得a 1=4，q= 12 ， ∴ S 5=a 1(1−q 5)1−q=4(1−125)1−12= 314 ．故选：B ． 【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的前n 项和公式的相关知识，掌握前项和公式：．5.B答案第8页，总18页……○…………装…※※请※※不※※要※……○…………装…【解析】5.解：当x=﹣ π2 时，y=sin[（2× (−π2) ﹣ π3 ]=﹣sin （ π+π3）=sin π3 = √32 ＞0，故排除A ，D ；当x= π6 时，y=sin （2× π6 ﹣ π3 ）=sin0=0，故排除C ；故选：B ． 6.B【解析】6.解：∵f（x ）满足f （x ﹣4）=﹣f （x ）， ∴取x=5，得f （1）=﹣f （5），即f （5）=﹣f （1）取x=8，得f （4）=﹣f （8）．再取x=4，得f （0）=﹣f （4），可得f （8）=f （0） ∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数 ∴f（0）=0，得f （8）=0∵函数f （x ）在区间[0，2]上是增函数， ∴f（0）＜f （1）＜f （2），可得f （1）是正数，f （5）=﹣f （1）＜0，f （2）＞0， 因此f （5）＜f （8）＜f （2） 所以答案是：B【考点精析】掌握奇偶性与单调性的综合是解答本题的根本，需要知道奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性． 7.A【解析】7.解：∵D，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，∴ EB →+ FC →=（ EF →+ FB →）+（ FE →+ EC →）= FB →+ EC →= 12 （ AB → + AC → ）= AD →，故选：A8.C【解析】8.解：∵点B （a ，b ）为第一象限内一点，∴a＞0，b ＞0， 又区域D 内的任一点A （x ，y ）， ∴z= OA →⋅OB →=ax +by ，由约束条件 {x +y ≤12x −y ≥−1x −2y ≤1作出可行域如图：装…………○………线…………○…_姓名：___________班级：__装…………○………线…………○…化z=ax+by 为y= −abx +zb，由图可知，当 −ab≤−1 ，即a≥b 时，直线y= −a bx +zb过A （1，0）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为a ，则a≤1；当 −1<−a b<0 ，即a ＜b 时，直线y= −a bx +zb过C （0，1）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为b ，则b≤1．∴点B （a ，b ）满足 {0<a ≤1b >0a ≥b 或 {a >00<b ≤1a <b．作出可行域如图：令t=a+b ，化为b=﹣a+t ，由图可知，当直线b=﹣a+t 过D （1，1）时，直线在b 轴上的截距最大，t 有最大值为1+1=2． 故选：C ． 9.C【解析】9.解：∵双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 ，∴双曲线的渐近线方程是y=± ba x又抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线方程是x=﹣ p2 ，故A ，B 两点的纵坐标分别是y=± pb2a ，双曲线的离心率为2，所以 ca =2 ，∴ b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1=3 则 ba =√3 ，答案第10页，总18页A ，B 两点的纵坐标分别是y=± pb 2a = ±√3p 2，又，△AOB 的面积为 √3 ，x 轴是角AOB 的角平分线 ∴ 12×√3p ×p2=√3 ，得p=2．故选C ．10.D【解析】10.解：对于①，设事件A=“4个人去的景点不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”， 则P （A ）= 4!44 = 332 ，P （B ）= 4⋅3344 = 2764 ，P （AB ）= 4×3!44 = 332 ，则P （A|B ）= P(AB)P(B) = 29 ，故①错；对于②，设函数f （x ）存在导数且满足 lim △x→∞f(2)−f(2−3△x)3△x =−1 ，可得f′（2）= lim3△x→∞f(2)−f(2−3△x)3△x =﹣1，则曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线斜率为f′（2）=﹣1，故②正确；对于③，设随机变量ξ服从正态分布N （μ，7），若P （ξ＜2）=P （ξ＞4），则曲线关于x=3对称，则μ与Dξ的值分别为μ=3，Dξ=7．故③正确． 其中正确的个数为3． 故选：D ．【考点精析】根据题目的已知条件，利用命题的真假判断与应用的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 11.B【解析】11.解：对于A 选项，当|CD|=2|AB|时，若A ，B ，C ，D 四点共面AC∥BD 时，则M ，N 两点能重合．故A 不对对于B 选项，若M ，N 两点可能重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC 与直线l 不可能相交，故B 对对于C 选项，当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 平行，故C 不对 对于D 选项，当AB ，CD 是异面直线时，MN 不可能与l 平行， 故选B ．【考点精析】掌握异面直线是解答本题的根本，需要知道不同在任何一个平面内，没有公共点． 12.C【解析】12.解：令g （x ）=f （f （x ））= {e e x，x ≥0e x 2，x <0，∵y=f（x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增，外…………装………………○…………线…………_姓名：_________________内…………装………………○…………线…………∴g（x ）=f （f （x ））在（﹣∞，0）上单调递减，在[0，+∞）上单调递增． 做出g （x ）=f （f （x ））的函数图象如图所示：∵方程f （f （x ））=a （a ＞0）恰有两个不相等的实根x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2，则x 1≤﹣1，x 2≥0，且f （x 1）=f （x 2），即x 12=e x 2 ． ∴e x 1 •e x 2 =e x 1 •x 12，令h （x 1）=e x 1 •x 12，则h′（x 1）=e x 1 （x 12+2x 1）=e x 1 •x 1•（x 1+2）， ∴当x 1＜﹣2时，h′（x 1）＞0，当﹣2＜x 1＜﹣1时，h′（x 1）＜0， ∴h（x 1）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减， ∴当x 1=﹣2时，h （x 1）取得最大值h （﹣2）= 4e 2 ． 故选C ．13.【解析】13.解：z= 11+i +i= 1−i(1+i)(1−i) +i= 12+12i ．|z|= √(12)2+(12)2= √22 ．所以答案是： √22 ．【考点精析】解答此题的关键在于理解复数的模（绝对值）的相关知识，掌握复平面内复数所对应的点到原点的距离，是非负数，因而两复数的模可以比较大小；复数模的性质：(1) (2)(3)若为虚数,则．14.3【解析】14.解：二项式（ax ﹣ √36 ）3（a ＞0）的展开式的第二项的系数为 C 31 •a 2•（﹣ √36 ）=﹣ √32 ，答案第12页，总18页…○……订………内※※答※※题…○……订………∴a2=1，∴a=1，∴ ∫−2a x 2dx= ∫−21 •x 2•dx= x 33|−21 = 13 ﹣ −83 =3，所以答案是：3．15.85【解析】15.解：由题意，a=3，b=1，c=7，d=5，n=5，∴S= n 6 [（2b+d ）a+（b+2d ）c]+ n 6 （c ﹣a ）= 56 [3×（2+5）+7×（1+10）]+ 56 （7﹣3）=85，所以答案是：85．【考点精析】解答此题的关键在于理解归纳推理的相关知识，掌握根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理． 16.[﹣ ,+∞）【解析】16.解：∵a n+1= nan(n+1)(nan+1)（n∈N *）， ∴ 1an+1=(n+1)na n +(n+1)na n =（n+1）+ n+1na n，即 1(n+1)an+1﹣ 1na n=1，又 11⋅a 1=2，∴数列{ 1na n}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴ 1na n=2+（n ﹣1）=n+1，∴a n = 1n(n+1) ．∵不等式 3n 2+1n +ta n ≥0 化为：t≥﹣（n+ 3n +4）． ∵n+ 3n +4≥2 √n ×3n +4=4+2 √3，当且仅当n= 3n 时取等号， 由n∈N*，则当n=2时，n+ 3n +4取最小，最小值为 152 ∴t≥﹣ 152 ，所以答案是：[﹣ 152 ，+∞）．【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果数列a n 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．17.解：（Ⅰ）∵α∈（0， ），sinα ，外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…∴cosα= = ，∴sin∠BAC=sin2α=2sinαcosα=2× × = ，cos∠BAC=cos2α=2cos 2α﹣1=2× ﹣1= ，∴sinC=sin[π﹣（ +2α）]=sin （ +2α）= （cos2α+sin2α）= ×（+ ）= ；（Ⅱ）由正弦定理，得 = ，即 = ，∴AB= BC ， 又•=28，∴AB×BC× =28，由上两式解得：BC=4，由 = ，得： = ，∴AC=5．【解析】17.（Ⅰ）由α为三角形BAD 中的角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin∠BAC 与cos∠BAC 的值，即为sin2α与cos2α的值，sinC 变形为sin[π﹣（ π4 +2α）]，利用诱导公式，以答案第14页，总18页…………外…………○…………装……○………………○………线…………○※※请※※不※※※※装※※订※※线※※题※※…………内…………○…………装……○………………○………线…………○及两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出sinC 的值； （Ⅱ）利用正弦定理列出关系式，将sinC 与sin∠BAC 的值代入得出AB=7√28BC ，利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，将表示出的AB 代入求出BC 的长，再利用正弦定理即可求出AC 的长．【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义的相关知识点，需要掌握正弦定理:才能正确解答此题．18.（1）解：设A 队第六位选手的成绩为x ， 由题意得：（9+11+13+24+31+x=（11+12+21+25+27+36），解得x=20，∴A 队第六位选手的成绩为20．（2）解：由（1）知A 队6位选手中成绩不少于21分的有2位，即A 队6位选手中有2人获得“晋级”．主持人从A 队所有选手成绩中随机抽2个，基本事件总数n==15，至少有一个为“晋级”的概率p=1﹣ = ．（3）解：由题意A 队6位选手中有2人获得“晋级”，B 队6位选手中有4人获得“晋级”，主持人从A 、B 两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ， 则ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P （ξ=0）= = ，P （ξ=1）= + = ，P （ξ=2）= + + = ，P （ξ=3）= + = ，P （ξ=4）= = ，∴ξ的分布列为：…………外…………○线………学…………内…………○线………Eξ=+3×+4×=2．【解析】18.（1）设A 队第六位选手的成绩为x ，利用茎叶图及平均数的定义能求出A 队第六位选手的成绩．（2）A 队6位选手中有2人获得“晋级”．主持人从A 队所有选手成绩中随机抽2个，先求出基本事件总数，再由对立事件概率计算公式能求出至少有一个为“晋级”的概率．（3）由题意A 队6位选手中有2人获得“晋级”，B 队6位选手中有4人获得“晋级”，则ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．【考点精析】根据题目的已知条件，利用频率分布直方图和离散型随机变量及其分布列的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息；在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x1,x2,.....,xi ,......,xn ，X 取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列． 19.（1）解：证明：连接AB 1， ∵侧面AA 1B 1B 为菱形， ∴AB 1⊥A 1B ，又AB 1与BC 1相互垂直，AB 1∩B 1C=B 1， ∴A 1B⊥平面AB 1C ，∴A 1B⊥AC，又AC⊥AB，AB∩A 1B=B ， ∴AC⊥平面AA 1B 1B ，∵BB 1⊂平面AA 1B 1B ，∴直线AC⊥直线BB 1；（2）解：由（1）知，平面ABC⊥平面AA 1B 1B ，由B 1作AB 的垂线，垂足为D ，则BD⊥平面ABC ，∴∠B 1BA=60°，得D 为AB 的中点，答案第16页，总18页…………外…………○……订…………○…………线………※线※※内※※答※※题※※…………内…………○……订…………○…………线………过A 作DB 1的平行线，交A 1B 1于E 点，则AE⊥平面ABC ， 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2， 则为平面AB 1B 的一个法向量，则B （2，0，0），C （0，2，0）， ，设平面AB 1B 的法向量，由 ，取x= ，得 ，∴cos＜ ＞= ，故二面角A ﹣BB 1﹣C 的余弦值为 ．【解析】19.（1）连接AB 1，由已知可得AB 1⊥A 1B ，进一步得到A 1B⊥平面AB 1C ，可得A 1B⊥AC，结合AC⊥AB，利用线面垂直的判定可得AC⊥平面AA 1B 1B ，则直线AC⊥直线BB 1；（2）由（1）知，平面ABC⊥平面AA 1B 1B ，由B 1作AB 的垂线，垂足为D ，则BD⊥平面ABC ，可得∠B 1BA=60°，得D 为AB 的中点，过A 作DB 1的平行线，交A 1B 1于E 点，则AE⊥平面ABC ，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2，可得 AC →=(0，2，0) 为平面AB 1B 的一个法向量，再求出平面AB 1B 的法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角A ﹣BB 1﹣C 的余弦值． 【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．20.解：（Ⅰ）当线段AF 1的中点在y 轴上时，AC 垂直于x 轴，△AF 1F 2为直角三角形．因为cos∠F 1AF 2= ，所以|AF 1|=3|AF 2|，易知|AF 2|= ，由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=2a ，则4• =2a ，即a 2=2b 2=2（a 2﹣c 2），即a 2=2c 2，即有e= = ；（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2，焦点坐标为F 1（﹣b ，0），F 2（b ，0）， ⑴当AB ，AC 的斜率都存在时，设A （x 0，y 0），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），○…………外…………○……………○…………线…………○…学校:_____________○…………内…………○……………○…………线…………○…则直线AC 的方程为y= （x ﹣b ），代入椭圆方程得（3b 2﹣2bx 0）y 2+2by 0（x 0﹣b ）y ﹣b 2y 02=0，可得y 0y 2=﹣ ，又λ2= = = ，同理λ1= ，可得λ1+λ2=6；⑵若AC⊥x 轴，则λ2=1，λ1= =5，这时λ1+λ2=6；若AB⊥x 轴，则λ1=1，λ2=5，这时也有λ1+λ2=6； 综上所述，λ1+λ2是定值6．【解析】20.（Ⅰ）当线段AF 1的中点在y 轴上时，AC 垂直于x 轴，△AF 1F 2为直角三角形．运用余弦函数的定义可得|AF 1|=3|AF 2|，易知|AF 2|= b 2a ，再由椭圆的定义，结合离心率公式即可得到所求值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2，焦点坐标为F 1（﹣b ，0），F 2（b ，0），（1）当AB ，AC 的斜率都存在时，设A （x 0，y 0），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），求得直线AC 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量共线定理，可得λ1+λ2为定值6；若AC⊥x 轴，若AB⊥x 轴，计算即可得到所求定值． 21.（1）解：C 1的普通方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1，即x 2+y 2﹣2x ﹣4y+4=0，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C 1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0，C 2的直角坐标方程为x=﹣2；（2）解：将 代入ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0， 得 得，所以，因为△PMN 的面积等于1，所以P 点到直线 即x ﹣y=0距离为 ，设P （﹣2，y ），则或﹣4，答案第18页，总18页……装…………○…………订…………○…※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……装…………○…………订…………○…【解析】21.（1）消调参数θ，即可得到普通方程，由极坐标方程即可直接得到普通方程；（2）将 θ=π4 代入ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0，根据韦达定理，即可求出|MN|的值，根据三角形的面积公式可得P 点到直线 θ=π4距离为 √2，设P （﹣2，y ），即可求出答案 22.（1）解：不等式化为|x+1|+|2x ﹣1|≥2， ①当时，不等式为3x≥2，解得，故；②当 时，不等式为2﹣x≥2，解得x≤0，故﹣1≤x≤0；③当x ＜﹣1时，不等式为﹣3x≥2，解得 ，故x ＜﹣1，综上，原不等式的解集为 ；（2）解：证明：f （x ）=|2x ﹣1|=|2（x ﹣y ﹣1）+（2y+1|≤2|x﹣y ﹣1|+|2y+1|≤2× += ＜1．【解析】22.（1）通过讨论x 的范围，解不等式，取并集即可；（2）根据绝对值的性质证明即可．【考点精析】利用绝对值不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．。
河北省武邑中学2017届高三下学期第三次质检考试数学文
河北省武邑中学2016—2017学年高三第三次质量检测数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知3{|},{|1}1A x x kB y x =≥=≤+，若A B ⊆，则实数k 的取值范围为 A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞-C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞ 2、若复数63aii+-（其中,a R i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则a = A ．3 B ．6 C ．9 D ．123、在等差数列{}n a 中，若28641,2a a a a ==+，则5a 的值是 A ．-5 B ．12-C ．12D ．524、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线为y x =，则它的离心率为A ．32 B ．23 C ．5 D ．25、将6名留学归国人员分配到甲乙两地工作，若甲地至少安排2人，乙地至少安排3人，则不同的安排方法数为A ．120B ．150C ．55D ．356、若不等式1x t -<成立的必要条件是14x <≤，则实数t 的取值范围是 A ．[]2,3 B ．(2,3] C ．[2,3) D ．(2,3)7、在区间[]1,1-内随机取两个实数,x y ，则满足21y x ≥- 的概率为A ．29 B ．79C ．16D ．568、如图所示，一个几何体的三视图中四边形均为边长为4的正方形，则这个几何体的体积为 A ．32643π- B ．6416π- C ．16643π- D ．8643π-9、如图，(,),(,)M M N N M x y N x y 分别是函数()sin()(0,0)f x A wx A w ϕ=+>>的一条图象与两条直线12:,:l y m l y m ==-(0)A m ≥≥的两个交点， 记N M S x x =-，则()S m 图象大致是10、已知b 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6的展开式中常数项是 A ．20 B ．-20 C ．540 D ．-54011、如图所示点F 是抛物线28y x =的焦点，点A 、B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围是A ．(6,10)B ．(8,12)C ．[6,8]D ．[]8,1212、设函数()f x 在R 上存在导数(),f x x R '∀∈，有()()2f x f x x -+=，在(0,)+∞上()f x x '<，若(4)()84f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为A ．[2,)+∞B ．[]2,2-C ．[0,)+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、已知向量a 的b 夹角为2,23a π=，则a 在b 方向上的投影为 14、在正方体1111ABCD A B C D P -中，点P 在线段1AD 上运动， 则异面直线CP 与1BA 所成角的角θ 的取值范围是15、对于1q <为公比）的无穷等比数列{}n a （即项数是无穷项），我们定义0lim nn S →（其中n S 是数列{}n a 的前n 项和）为它的各项和，记为S ，即1l i m 1n a S S q→==-，则循环小数0.72的分数形式是16、对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有12kx m kx m +≤+恒成立，则称函数()f x （x D ∈）有一个宽度为d 的通道，给出下列函数：①()1f x x=；②()s i n f x x =；③()f x =④()ln xf x x=.其中区间[1,)+∞上通道宽度可以为1的函数有 （写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知,1AB AC ==，且2cos 22sin 12B CA ++= （1）求角A 的大小和BC 边的长；（2）若点P 在ABC ∆内运动（包括边界），且点P 到三遍的距离之和为d ，设点P 到BC 、CA 的距离分别为,x y ，试用,x y 表示d ，并求d 的取值范围.18、（本小题满分12分）某权威机构发布了2014年度“城市居民幸福排行榜”，某市称为本年度城市最“幸福城”，随后，该是某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人民的幸福度.现从幸福分数（以小数点钱的一位数字为茎，系数点后的一位数字为叶） （1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”，求从这16任中随机随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望.19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//,,,224AD BC AB AD AB PA BC AB AD BE ⊥⊥===， 平面PAB ⊥平面APC .（1）求证：平面PED ⊥平面APC ；（2）若直线PE 与平面PAC 求二面角A PC D -- 的余弦值.20、（本小题满分12分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0x =与椭圆1C 交于A 、B 两点，且点的坐标(，点P 是椭圆1C 上的任意一点，点Q 满足0,0AQ AP BQ BP ⋅=⋅=.（1）求椭圆1C 的方程； （2）求点Q 的轨迹方程.（3）当,,A B Q 三点不共线时，求面积的最大值.21、（本小题满分12分） 已知函数()2ln(1)(0)2xf x ax a x =+->+.（1）当12a =时，求()f x 的极值； （2）若()1(,1),2a f x ∈，存在两个极值点12,x x ，试比较()()12f x f x +与(0)f 的大小；（3）求证：(1)2!(2,)n n e n n n N ->≥∈.22、（本小题满分12分） 选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ACED 是圆内接四边形，AD 、CE 的延长线交于点B ，且AD=DE ，AB=2AC. （1）求证：2BE AD =；（2）当2,4AC BC ==时，求AD 的长.。
河北省武邑中学2017届高三下学期第三次质检(理数)-特立独行的喵咪(1)
河北省武邑中学2017届高三下学期第三次质检数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数z 的实部为1，且2z =，则复数z 的虚部是A ．B ．C ．D 【答案】B 【分值】5【解析】由题意设2,1=+=z bi z ，可得,212=+b 解得3±=b ，故选B. 【解题思路】设出复数，然后利用复数的模求解即可.【考查方向】本题考查了复数的概念，每年全国一卷二卷必出题. 【易错点】容易漏解. 2.设函数152)(2+--=x x x f ，集合()(){|},{|}A x y f x B y y f x ====，则右图中中阴影部分表示的集合为A ．[]0,3B ．(0,3)C ．(5,0][3,4)-D ．[5,0)(3,4]- 【答案】D 【分值】5【解析】由01522≥+--x x 得},35{≤≤-=x x A ()]4,0[161152)(22∈++-=+--=x x x x f ，故],4,0[=B 从而]3,0[],4,5[=-=B A B A ,阴影部分表示在B A 内且不在B A 内的元素构成的集合，故答案D.【解题思路】分别求出函数)(x f 的定义域和值域，求出集合A 和B 后，分析韦恩图表示的含义，即可得到结果.【考查方向】本题考查了集合的运算以及定义域和值域的求法，高考必有一题. 【易错点】函数值域忽略大于等于0.3.命题“函数(),()y f x x M =∈是偶函数”的否定是 A ．()(),x M f x f x ∃∈-≠ B ．()(),x M f x f x ∀∈-≠ C ．()(),x M f x f x ∃∈-= D ．()(),x M f x f x ∀∈-= 【答案】A 【分值】5【解析】如果函数)(x f y =（M x ∈）是偶函数，则)()(,x f x f M x =-∈∀，所以命题的否定是)()(,x f x f M x ≠-∈∃，故答案A 【解题思路】根据偶函数的定义得出结论.【考查方向】本题考查了偶函数的概念，高考时和其它函数的性质结合出题. 【易错点】命题的否定和否命题容易混淆. 4.已知,3sin 22cos 2παπαα<<=，则cos()απ-= A ．23BCD．2【答案】C 【分值】5 【解析】,cos 2cos sin 6,cos 22sin 3,2αααααπαπ=∴=<<解得,322cos ,31sin -=∴=αα故,322cos )cos()cos(=-=-=-ααππα故答案C.【解题思路】由条件利用二倍角公式求得正弦，再利用同角三角函数基本关系式求出余弦，再利用诱导公式求出答案.【考查方向】本题考查了同角三角函数基本关系式和诱导公式，高考常与三角形结合出题. 【易错点】三角函数符号容易出错.5.实数,x y 满足条件402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则2x y-的最小值为A ．16B ．4C ．1D ．12【答案】D 【分值】56C ．330cm D ．340cm【答案】B【分值】5【解析】由三视图知几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，如图，棱柱的高为5；底面为直角三角形且两直角边长分别为3,4，∴几何体的体积)205432131-543213cm V （=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=,故答案B. 【解题思路】由三视图知几何体为直三棱柱削去一个三棱锥，画出其直观图，计算三棱柱与三棱锥的体积，再求差可得答案.【考查方向】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据对应的几何量.是高考必考知识点.【易错点】判断几何体的形状及数据对应的几何量.7.已知等比数列{}n a 的公比2q =，且462,,48a a 成等差数列，则{}n a 的前8项和为 A ．127 B ．255 C ．511 D ．1023 【答案】B 【分值】58.已知函数()f x 的定义在R 上的奇函数，当0x >时，满足()()()2f x xf x xf x '+>，则在区间[]1,1-内 A ．没有零点 B ．恰有一个零点 C ．至少一个零点D ．至多一个零点 【答案】B 【分值】5【解析】当0>x 时，两边同乘以x 得),()(')(222x f x x f x x xf >+即0)()]'([22>-x f xx f x ，则[]0)(')(22>-x e x f x x f x，令xe xf x xg )()(2=，则)(x g 是增函数，当0>x 时，x ex f x )(2>0,0)(>∴x f ，∵)(x f 是奇函数，当0<x 时0)(<x f ，因为0)0(=f 所以）x f (在[]1,1-只有一个零点.故答案B.【解题思路】当0>x 时，两边同乘以x 得),()(')(222x f x x f x x xf >+构造xe xf x xg )()(2=判断)(x f 的符号，因为()x f 是奇函数，可以判断()x f 零点个数.【考查方向】本题考查了函数的奇偶性与单调性之间的关系，是一道函数综合题.【易错点】构造函数xe xf x xg )()(2=.9.定义：(),(0,0)xF x y y x y =>>，已知数列{}n a 满足：(,2)()(2,)n F n a n N F n +=∈，若对任意正整数，都有()n k a a k N +≥∈成立，则k a 的值为 A ．12B ．2C ．89D ．98【答案】C 【分值】5【解析】2212)1(2),(2),2()2,(+=∴∈==+n n a a N n n n F n F a n n n n ,∵2n 2-（n+1）2=（n-1）2-2，当n≥3时，（n-1）2-2＞0，∴当n≥3时a n+1＞a n ；当n ＜3时，（n-1）2-2＜0，所以当n ＜3时a n+1＜a n ．2-2，进而可知当当n ≥3时，（n-1）2-2＞0，推断出当n ≥3时数列单调增，n ＜3时，数列单调减，进而可知n=3时a n 取到最小值求得数列的最小值，进而可知k a 的值．【考查方向】本题主要考查了数列和不等式的综合运用．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．【易错点】判断数列的单调性.10.如图，正方体1111ABCD A BC D -A 为球心， 2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于A.56πB ．23πC ．πD ．76π 【答案】A 【分值】511.当(0,1)x ∈时，某函()f x 数满足：①()0f x '>；②()f x x > ；③对任意12,(0,1)x x ∈有()()1212()22f x f x x x f ++≤，则()f x 可以是下列函数中的 A ．()3f x x = B ．()12f x x=C ．()sin f x x =D ．()tan f x x = 【答案】D 【分值】5【解析】排除法，符合2)()()2(2121x f x f x x f +<+的函数图形是凹图像，对于A 不满足②；B 不满足③，C 不满足②，故答案D.【解题思路】本题结合不等式的解法和函数的图象和性质进行排除. 【考查方向】本题考查了函数性质的综合应用，高考常以选择题压轴题出现. 【易错点】2)()()2(2121x f x f x x f +<+和正切函数线的应用. 12.在平面直角坐标系xOy 中，点(5,0)A ，对于某个正实数k ，存在函数()2(0)f x ax a =>，使得(),(O A O Q OP OA OQ λλ=⋅+为常数），这里点,P Q 的坐标分别为(1,(1)),(,())P f Q k f k ，则k 的取值范围是A ．(2,)+∞B ．(3,)+∞C ．[4,)+∞D ．[8,)+∞ 【答案】A 【分值】5【解析】由题设知，点P （1，a ），Q （k ，ak 2），A （5，0），A.【考查方向】本题考查平面向量的综合运算，考查了化归转化思想. 【易错点】运算方面容易出错.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13.设a R ∈，函数()x x f x e ae -=-的导函数为()f x '，且()f x '是奇函数，则a = 【答案】-1 【分值】5【解析】求导数可得f′（x ）=()'xx aee --=（e x）′-a （e -x）′=e x+xae-，∵f′（x ）是奇函数，∴f′（0）=1+a=0，解得a=-1，故答案-1.【解题思路】求导数，由f′（x ）是奇函数可得f′（0）=0，解方程可得a 值． 【考查方向】本题考查导数的运算，涉及函数的奇偶性.是一道综合题. 【易错点】忽略,0)0(=f 常规运算容易出错.14.点P 是函数2sin()y wx ϕ=+的图象的最高点，M 、N 与点P 相邻的该图象与x 轴的两个交点，且(3,0)N ，若0PM PN ⋅=，则ϕ 的值为【答案】4π 【分值】515.设锐角ABC ∆的内角,,A B C 对边分别为,,a b c ，若2A B =，则b的取值范围是 【答案】()32，【分值】516.三棱锥P-ABC 的四个顶点都在体积为3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆的面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为 【答案】8 【分值】5为16π，可以得小圆的半径；由图知三棱锥高的最大值应过球心，故可以作出解答． 【考查方向】本题考查了由球的体积求半径，由圆的面积求半径，以及勾股定理的应用 【易错点】高经过球心的判断.三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 综合题分割 【学科】数学 【题型】综合题 【分值】10已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2cos cos b c Ca A-=. 17.求A 的大小. 【答案】3π【分值】4即A C C A A B cos sin cos sin cos sin 2+=，【解题思路】先利用正弦定理将边换成角，去分母，再利用两角和的正弦公式化简得到A cos ，再在ABC ∆中，考虑角A 的范围求角.【考查方向】本题主要考查解三角形中正弦定理的应用，以及利用两角和与差的正弦公式进行三角变换，考查基本运算能力.【易错点】B C A A B sin )sin(cos sin 2=+=的转换.18.当a =22b c +的取值范围. 【答案】(]6,3 【分值】6)2cos 12cos 1(2sin 4sin 42222C B C B c b -+-=+=+∴=)]120(2cos 2cos 2[2B B -︒--︒<︒-<︒-∴︒<<︒︒-+=21030230,1200),302sin(24B B b ,【解题思路】利用正弦定理将边用角来表示，利用降幂公式化简，再将C 用B 角表示，用两角差的正弦公式化简，最后化简成m x A y ++=)sin(ϕω,利用角B 的取值范围求函数的值域.【考查方向】本题主要考查解三角形中正弦定理的应用，以及利用两角和与差的正弦公式、倍角公式等公式进行三角变换，考查基本运算能力，考查分析问题解决问题的能力.是高考的必考题型.【易错点】（1）角B 的范围容易忽略.（2）转化m x A y ++=)sin(ϕω运算容易出错. 综合题分割 【学科】数学 【题型】综合题 【分值】12已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=，数列{}n b 满足11b =，且12n n b b +=+. 19.求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； 【答案】12,2-==n b a n n n 【分值】4【解析】∵S n =2a n -2，∴n=1时，a 1=2a 1-2，解得a 1=2，n≥2时，a n =S n -S n-1=（2a n -2）-（2a n-1-2）=2a n -2a n-1，∴a n =2a n-1，∴{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n．∵数列{}n b 满足b 1=1，且21+=+n n b b ,∴{}n b 是首项为1，公差为 2 的等差数列，122)1(1-=⨯-+=∴n n b n .【解题思路】由已知条件推导出{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n．{}n b 是首项为1，公差为2 的等差数列，所以n b =2n-1． 【考查方向】本题考查数列的通项公式的求法. 【易错点】当n=1时不验证.20.设1(1)1(1)22n nn n n c a b ----=-，求数列{}n c 的前2n 项的和2n T【答案】n n n ---+2122322. 【分值】8【解析】⎩⎨⎧--=为偶数，为奇数n n n c n n )12(,2，)]1473[22212n 32-+⋯++++⋯++=∴-n T n （=n n n n n n ---=-++--+2122322214341)41(2. 【解题思路】⎩⎨⎧--=为偶数，为奇数n n n c n n )12(,2，由此利用分组求和法能求出数列{}n c 的前n 2项和n T 2.【考查方向】本题考查了数列求和，考查了学生的转化能力. 【易错点】（1）数列的项数；（2）运算过程出错. 综合题分割 【学科】数学 【题型】综合题 【分值】12设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+，数列是公差为d的等差数列.21.求数列{}n a 的通项公式（用,n d 表示） 【答案】2)12(d n a n -= 【分值】6【解析】由题意知：323121132,)1()1(,0S a a a a d n a d n S S d n =⇒+=-+=-+=>,)2(])[3,)(3212121312d a a d a S S S +=-+=-⇒化简得：211211,,02d a d a d d a a =∴=∴=+⋅-,22,)1(d n S nd d n d S n n ==-+= 当2≥n 时，,)12()1(222221d n d n d n S S a n n n -=--=-=-适合1=n 的情形， 故2)12(d n a n -=.【解题思路】根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于d a ,1的方程，求出1a ，d 进而推出nS 再利用n a 与n S 的关系求出n a .【考查方向】本小题主要考查等差数列的通项. 【易错点】（1）1=n没验证；（2）运算过程出错.22.设c 为实数，对满足m n k +=且m n ≠的任意正整数,,m n k ，不等式m n k S S cS +>都成立，求c 的最大值. 【答案】29【分值】6【解析】222222222222,kn m c k c n m d ck d n d m cS S S k n m +<∴⋅>+⇒>+⇒>+恒成立. 又k n m 3=+且299)()(2,2222222>+⇒=+>+≠k n m k n m n m n m ，故29≤c ,即c 的最大值为29. 【解题思路】利用（21）的结论，对S m +S n ＞c k S 进行化简，转化为基本不等式问题求解；或求出c 的最大值的范围，利用夹逼法求出c 的值．【考查方向】本题考查了数列求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力. 【易错点】k nm 3=+的应用.综合题分割 【学科】数学 【题型】综合题 【分值】12已知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，090ACB ∠=，侧棱与底面所成角为θ，点1B 在底面上射影D 落在BC 上. 23.求证：AC ⊥平面11BB C C ； 【答案】见解析 【分值】4【解析】证明：∵点B 1在底面上的射影D 落在BC 上，∴B 1D ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴B 1D ⊥AC ，又∵∠ACB=90°，∴BC ⊥AC ，B 1D∩BC=D ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C ． 【解题思路】要证：AC ⊥平面BB 1C 1C ，只需证明B 1D ⊥AC ，BC ⊥AC 即可. 【考查方向】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了学生空间想象能力. 【易错点】射影的利用.24.若点D 恰为BC 的中点，且11AB BC ⊥，求θ的大小；【答案】︒45 【分值】4【解析】∵B 1D ⊥面ABC ，∴B 1D ⊥AC ，又∵AC ⊥BC ，∴AC ⊥面BB 1C 1C ．∵AB 1⊥BC 1， ∴由三垂线定理可知，B 1C ⊥BC 1，即平行四边形BB 1C 1C 为菱形，又∵B 1D ⊥BC ，且D 为BC 的中点，∴B 1C=B 1B ，即△BB 1C 为正三角形，∴∠B 1BC=60°，∵B 1D ⊥面ABC ，且点D 落在BC 上， ∴∠B 1BC 即为侧棱与底面所成的角，∴=θ60°．【解题思路】由题意可得：B 1D ⊥AC ，再结合题意得到：AC ⊥面BB 1C 1C ，得到平行四边形BB 1C 1C为菱形，再根据解三角形的有关知识可得：∠B 1BC=60°，进而结合线面角的定义得到答案．【考查方向】本题考查了线面角的求法. 【易错点】证明△BB 1C 为正三角形. 25.若1cos 3θ=，且当1AC BC AA a ===时，求二面角1C AB C --的大小. 【答案】︒45 【分值】4【解析】以C 点为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，过C 点且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则),322,3,0(),0,,0(),0,0,1a a C a B a A -（平面ABC 的法向量 )1,0,0(1n ，设平面1ABC 的法向量为),,,(2z y x n =由⎩⎨⎧=⋅=⋅0122C B n B A n得︒===45,,22,cos ),1,22,22(21212n n n n n， 二面角1C AB C --大小是锐二面角，∴二面角1C AB C --的大小是︒45.【解题思路】求出平面ABC 和平面1ABC 的法向量21,n n，然后求出这两个法向量所成的角，进而求出1C AB C --的大小.【考查方向】本题考查了二面角的求法以及学生的空间想象能力和运算能力. 【易错点】（1）空间直角坐标系的建立；（2）法向量的运算. 综合题分割【学科】数学 【题型】综合题 【分值】12如图所示，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数[]sin (0,0),0,4y A wx A w x =>>∈的图象，且图象的最高点为S ；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证赛道运动员的安全，限定. 26.求,A w 的值和,M P 两点间的距离； 【答案】5632===MP A ，，πω【分值】5【解析】因为图像的最高点为），（32,3S 所以32=A ,由图知x A y ωsin =的周期为，12=T 所以6πω=，所以x y 6sin32π=，所以()534-8),08(),34(22=+=MP P M ，，【解题思路】由图得到A 及周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M 的横坐标代入求出M 的纵坐标，利用两点距离公式求出MP .【考查方向】本题考查了三角函数的图像和性质，由性质求函数解析式，考查两点间的距离公式.【易错点】运算出错.27.应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？ 【答案】当角︒=30θ 【分值】7【解析】在△MNP 中，，︒=∠120MNP 故)600︒︒∈，（θ，由正弦定理得)60sin(sin 120sin 5θθ-︒==︒MN NP ，)60sin(3310,sin 3310θθ-︒==∴MN NP设使折线段赛道MNP 为L,则]sin )60[sin(3310sin 3310)60sin(3310θθθθ+-︒=+-︒=L =)60sin(3310︒+θ 所以当角︒=30θ时L 的最大值是3310. 【解题思路】利用三角形的正弦定理求出NP,MN ，求出折线MNP 的长，化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最大值.【考查方向】本题考查了三角形的正弦定理，考查了三角函数的有界性，是全国卷常考题的类型.【易错点】]sin )60[sin(3310sin 3310)60sin(3310θθθθ+-︒=+-︒=L 的化简. 【学科】数学【题型】综合题【分值】12已知函数()()()f x x x a x b =--，点(,()),(,())A s f s B t f t . 28.若0,2a b ==，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； 【答案】0=+y x 【分值】3【解析】由题意知,2)(23x x x f -=所以,1,43)('2-=∴-=k x x x f 又1)1(-=f ，∴所求的切线方程为0=+y x【解题思路】根据导数的几何意义求出的切线的斜率，根据点斜式求出切线方程. 【考查方向】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了直线方程的求法. 【易错点】运算出错29.当0b a <<时，若不等式()32ln 0f x x x x ++≥对任意的正实数恒成立，求b 的取值范围；【答案】221ee b -≤ 【分值】4【解析】当0=a 时，0ln )(232≥++-x x x b x x ，即1ln ++≤x x x b ，令1ln )(++=x x x x g ，则,2ln )('+=x x g 由,0)('=x g 得2-=e x由上表知)(x g 的最小值2221)(e e e g -=-，所以221e e b -≤.【解题思路】由0ln )(232≥++-x x x b x x 分离常数得1ln ++≤x x x b ， 转化为1ln )(++=x x x x g 的最值.【考查方向】本题考查了不等式恒成立以及利用导数求最值，高考常以压轴题出现 【易错点】（1）转化问题；(2)中间运算容易出错.30.若0b a <<，函数()f x 在x s =和x t =处取得极值，且直线OA 与直线OB 垂直（O 是坐标原点），求a b +的最小值. 【答案】32 【分值】5【解析】假设B O A O⊥,即0)()(=+=⋅t f s f st B O A O ，故()()()()[][]1)()(,122-=++-++--=----b b t s st a a t s st b t a t b s a s 又由t s ,为0)(23)('2=++-=ab x b a x x f 的两根可得，)0(3),(32a b ab st b a t s <<=+=+，从而()92=-ab b a ， ()12362494)(22=≥+=+-=+ab ab ab b a b a ，即32≥+b a当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==+ab ab b a 9432时，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=26322632b a 时取等号，所以b a +的最小值为32. 【解题思路】根据垂直时向量之间的关系列出a,b 关系式，把s ,t 用a,b 表示,根据不等式求出a+b 的最小值.【考查方向】本题考查了用基本不等式求最值，考查了转化的思想. 【易错点】（1）转化；（2）中间运算.数学（理科）参考答案21。
河北省武邑县高三数学下学期第三次质检考试试题文(扫描版)
河北省武邑县2017届高三数学下学期第三次质检考试试题文(扫描版）
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高三理综下学期第三次模拟考试试题(扫描版)(2021年整理)
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