人教A版【选修1-1】课时教案：2.2.1双曲线及标准方程

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高中数学新课标人教A版选修1-1《2.2.1双曲线及其标准方程》教案

（学生演板——教师点评）
教
学
过
程
例5点与定点的距离和它到直线的距离之比是常数，求点的轨迹.
（教师分ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ——示范书写）
三、课堂练习：
①比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？
⑴ 与 ⑵ 与（学生口答，并说明原因）
②求适合下列条件的椭圆的标准方程.
⑴经过点
⑵长轴长是短轴长的倍，且经过点
⑶焦距是，离心率等于
（学生演板，教师点评）
③作业：第4题.
4.离心率：刻画椭圆的扁平程度.把椭圆的焦点与长轴长的比称为离心率.记 .
可以理解为在椭圆的长轴长不变的前提下，两个焦点离开中心的程度.
5.例题
例4求椭圆的长轴和短轴的长，离心率，焦点和定点坐标.
提示：将一般方程化为标准方程.
（学生回答——老师书写）
练习：求椭圆和椭圆的长轴和短轴长，离心率，焦点坐标，定点坐标.
2.椭圆的标准方程.
二、讲授新课：
1.范围——变量的取值范围，亦即曲线的取值范围：横坐标；纵坐标 .
方法：①观察图像法；②代数方法.
2.对称性——既是轴对称图形，关于轴对称，也关于轴对称；又是中心对称图形.
方法：①观察图像法；②定义法.
3.顶点：椭圆的长轴，椭圆的短轴，
椭圆与四个对称轴的交点叫做椭圆的顶点， .
上课时间
第周星期第节
课型
课题
2.2椭圆的简单几何性质
教学目的
根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图.
教学设想
教学重点：通过几何性质求椭圆方程并画图.

新版高中数学人教A版选修1-1课件2.2.1双曲线及其标准方程

【做一做 2】 (1)已知双曲线��4��2 − 1��22=1,则其焦点坐标为
.
(2)若双曲线焦点坐标为(0,5),a=3,则其标准方程为
.
解析:(1)双曲线焦点在 x 轴上,且 c2=4+12=16,所以 c=4,故焦点
坐标为(±4,0).
(2)依题意,设双曲线标准方程为��22 − ��22=1(a>0,b>0), 则 c=5,a=3,b2=c2-a2=16,故方程为��9��2 − 1��62=1.
(3)若方程表示椭圆,求实数m的取值范围.
思路点拨:根据双曲线与椭圆的标准方程的特征建立不等式(组)
求解.
自主解答:(1)依题意有(m-1)(m2-4)>0,即(m-1)(m+2)(m-2)>0,解得-
2<m<1或m>2.
(2)依题意有 ��2-4 < 0,解得-2<m<1. ��-1 < 0,
答案:A
-12-
2.2.1 双曲线及其标准方程
首页
课前预习案新知导学
课堂探究案答疑解惑
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
对双曲线标准方程的理解
【例2】已知曲线方程
��2 ��-1
−
��2��2-4=1
.
(1)若方程表示双曲线,求实数m的取值范围;
(2)若方程表示焦点在y轴上的双曲线,求实数m的取值范围;
9 4
,5
;
(4)与双曲线1��62 − ��4��2=1 有相同的焦点,且经过点(3√2,2).

人教课标版高中数学选修1-1：《双曲线及其标准方程(第1课时)》教案-新版

2.2.1双曲线及标准方程（第1课时）一、教学目标 1.核心素养发展数学抽象、直观想象素养,培养解析法解题能力,提高数学运算素养. 2.学习目标（1）了解双曲线的定义、图象、标准方程,会求双曲线的标准方程.（2）进一步理解坐标法的应用,并在研究双曲线的过程中注意与椭圆比较,明确两者的联系与区别. 3.学习重点双曲线的定义及其标准方程. 4.学习难点双曲线与椭圆的联系与比较. 二、教学设计（一）课前预习 1.预习任务任务1 预习教材4548P P -,双曲线的定义应该注意什么?双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有那些区别?双曲线的,,a b c 与椭圆的,,a b c 有何区别? 任务2 完成48P 相应练习题 2.预习自测1.已知两定点1(5,0)F -、2(5,0)F ,动点P 满足122PF PF a -=,则当3a =和5时,P 点的轨迹为（） A.双曲线与一条直线B.双曲线与一条射线C.双曲线一支和一条直线D.双曲线一支和一条射线答案:D解析:考查双曲线定义2. 已知点(,)P x y 的坐标满足2222(1)(1)(3)(3)4x y x y -+--+++=±,则动点P 的轨迹为（）A.椭圆B.双曲线C.两条射线D.以上都不对答案:B解析:考查双曲线定义3. 已知两定点1(5,0)F -、2(5,0)F ,求与两定点1F 、2F 的距离差的绝对值等于6的点的轨迹方程______________.答案:221916x y -= 解析:由题意可知,所求点的轨迹是双曲线,其方程可设为22221x y a b -=,这里26a =,210c =,∴3a =,5c =,由此得4b =.从而求得双曲线的方程为221916x y -=.（二）课堂设计 1.知识回顾(1)已知点()111222,,(,)P x y P x y 则()()22121212PP x x y y =-+-(2)我们预习本课的双曲线的标准方程得两种形式是怎样的? 2.问题探究问题探究一双曲线的定义●活动一什么是双曲线?与之相关的概念有哪些?在平面内到两个定点21,F F 距离之差的绝对值等于定值a 2(大于0且小于||21F F )的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.●活动二 12F F 与a 之间有何大小关系?去掉定义中“绝对值”三个字,对结论有影响吗?在双曲线的定义中,条件||2021F F a <<不应忽视,若||221F F a =,则动点的轨迹是两条射线;若｜21|2F F a >,则动点的轨迹不存在.双曲线定义中应注意关键词“绝对值”,若去掉定义中“绝对值”三个字,动点轨迹只能是双曲线一支. 问题探究二双曲线的标准方程●活动一焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b-=>>其中a 、b 、c 的关系为222c a b =+●活动二椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系. 椭圆双曲线定义a MF MF 2||||21=+定义a MF MF 2||||21±=-0a c >>,222(0)a c b b ∴-=>0a c <<Q ,222(0)c a b b ∴-=>2222222211(0)x y y xa b a b a b 或+=+=>> 2222222211x y y x a b a b 或-=-= (a b a ,0,0>>不一定大于b )★▲问题探究三确定双曲线的标准方程,掌握运用待定系数法,定义法求双曲线的标准方程例1.过双曲线22144x y -=左焦点1F 的直线交双曲线的左支于,M N 两点,2F 为其右焦点,则22MF NF MN +-=________. 【知识点:双曲线的定义及标准方程】分析: 由双曲线定义及条件知212124MF NF NF NF a -=-==. 详解: 根据双曲线的定义,有22MF NF MN +-2221=()()=2248MF NF NF NF a a a -+-+==例2.（1）双曲线的一个焦点坐标是），（60-,经过点)6,5(-A , 求双曲线的标准方程.【知识点:双曲线的定义及标准方程】(1) 详解一:由已知得,6=c ,且焦点在y 轴上,则另一焦点坐标是()0,6.因为点)6,5(-A 在双曲线上,所以点A 与两焦点的距离的差的绝对值是常数a 2,即2222222222|(5)(66)(5)(66)||135|8,4,6420.a abc a =-++--+-=-=∴==-=-=因此,所求的双曲线标准方程是221.1620x y -= 详解二:由焦点坐标知,36,6c 22=+∴=b a∴双曲线方程为22221.36y x a a -=- ∵双曲线过点)6,5(-A ,222236251,16,20.36a b a a∴-=∴==- 双曲线方程为221.1620y x -= （2）已知双曲线通过(1,1)M 、(2,5)N -两点,求双曲线的标准方程. 【知识点:双曲线的定义及标准方程】详解一:若焦点在x 轴上,则设双曲线的标准方程为22221x y a b-=.∵(1,1)M 、(2,5)N -在双曲线上,∴222222111(2)51a b a b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩,解得22787a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 若焦点在y 轴上,设双曲线的标准方程为22221y x a b -=.同理有2222221115(2)1a b a b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩,解得22778a b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩,舍去. 故所求双曲线的标准方程为221778x y -=.详解二:设所求双曲线的方程为()2210Ax By AB +=<. 将点(1,1)M 、(2,5)N -代入上述方程,得14251A B A B +=⎧⎨+=⎩,解得:8717A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 故所求双曲线的标准方程为221778x y -=. 点拔:求双曲线的标准方程时,可以根据其焦点位置设出标准方程的形式,然后用待定系数法求出a ,b 的值;若双曲线的焦点位置难以确定,可设出双曲线方程的一般式()2210Ax By AB +=<,利用条件,通过待定系数法求出系数的值,从而可写出双曲线的标准方程.例3.求与双曲线221164x y -=共焦点,且过点(32,2)的双曲线方程【知识点:双曲线的定义及标准方程】详解:由于所求的双曲线与已知双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为221164x y k k-=-+. 由于点(32,2)在所求的双曲线上,从而有1841164k k-=-+. 整理得210560k k +-=,∴4k =或14k =-. 又160,40k k ->+>,∴416k -<<.从而仅有4k =.故所求双曲线的方程为221128x y -=. 点拔:与22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为()2222221x y b k a a k b k -=-<<-+,然后根据条件确定待定系数k 即可. 3.课堂总结【知识梳理】（1）平面内点M 到两定点12,F F 的距离之差的绝对值为常数,即122MF MF a -=当122a F F <时,点M 的轨迹是双曲线; 当122=a F F 时,点M 的轨迹是两条射线; 当122a F F >时,点M 的轨迹不存在（2）双曲线()222210,0x y a b a b-=>>,()222210,0y x a b a b -=>>的相同点为它们的形状、大小都相同,都有222c a b =+,不同点为它们在坐标系中位置不同,焦点坐标也不相同。

高中数学(人教A版)选修1-1教案：2.2.1双曲线及其标准方程教案

河北省保定市物探中心学校第一分校高中数学《2.2.1 双曲线及其标准方程》教案新人教A版选修1-1◆◆知识与技能目标理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法．◆过程与方法目标（1）预习与引入过程预习教科书56 页至60 页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P56 页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗§2．2．1 双曲线及其标准方程．（2）新课讲授过程（i ）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．〖板书〗把平面内与两个定点F，F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2 ）的1点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P M MF1 MF2 2a ．（ii ）双曲线标准方程的推导过程提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b, c 的关系有明显的几何意义．类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程2 2y x2 2 1 0, 0a bb a．（iii ）例题讲解、引申与补充例1 已知双曲线两个焦点分别为F，1 5,0 F2 5,0 ，双曲线上一点P 到F，F2 距1离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b, c ．补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：①与⊙C ： 2 2x 2 y 2 内切，且过点A 2,0 ；②与⊙ 2 22 1 1 2 1 4C ：x y 和⊙C2 ：x y 都外切；③与⊙C1 ：12 2x 3 y 9外切，且与⊙C2 ：2 2x 3 y 1内切．解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆M 的半径为r ．①∵⊙ C 与⊙M 内切，点 A 在⊙ C 外，∴MC r 2 ，MA r ，因此有MA MC 2 ，∴点M 的轨迹是以 C 、A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是22 2y2 1 2x x ；7②∵⊙M 与⊙C、⊙C2 均外切，∴MC1 r 1，MC2 r 2 ，因此有1MC2 MC1 1，∴点M 的轨迹是以C、2 C 为焦点的双曲线的上支，∴M 的轨迹方程1是 22 4x 34 13 4y y ；③∵M 与 C 外切，且M 与C2 内切，∴MC1 r 3 ，MC2 r 1，因1此M C1 MC2 4，∴点M 的轨迹是以C、C2 为焦点的双曲线的右支，∴M 的轨迹1方程是2 2x y4 51 x2 ．例 2 已知A ，B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s，且声速为340m / s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A ，B 两地听到爆炸声的时间差，即可知 A ，B 两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s．已知各观察点到该中心的距离都是1020m．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为340m / s；相关点均在同一平面内）．解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 A 、B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 ，。

人教A版【选修1-1】课时教案：2.2.2双曲线的几何性质(2)

x 轴有两个交点
A (a,0) A2 (a,0) ，他们是双曲线
x2 y2 1 的顶点。 a2 b2
令 x 0 ，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段 A A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a, a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段 B B2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b, b 叫做双曲线的虚半轴长。在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。 2、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。在初中学习反比例函数 y 三角函数 y
c ，叫双曲线的离心率. a
感悟二： 4 有共同渐近线，且过点 M (2, 2) 的双曲
2 2
线的方程。
三、感悟方法练习：
1、双曲线的性质：
椭标准方程图范顶象围点感悟三：圆双曲线不同点
对称性渐近线 1、课本 P 58 练习第 1，2 题
x2 y2 1 a2 b2
tan x ，渐近线是 x k (k Z ) 。
2
k 时提到 x 轴 y 轴都是它的渐近线。高中 x
所谓渐近，既是无限接近但永不相交。 3、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e= 说明：①由 c>a>0 可得 e>1； ②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.
课型：新授课
时间：月
日
学习札记
〖学习目标及要求〗：

高中数学人教A版(选修1-1)课时同步教案：2.2.1双曲线及标准方程

教学目标：1.通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，体会双曲线标准方程的探索推导过程.2. 使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用坐标法建立曲线方程，培养学生等价转化、数形结合等数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力.3. 通过对定义与方程的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生运动变化、辨证统一的思想.教学重点与难点双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点.定义中“差的绝对值”、a与c的大小关系的理解与标准方程的建立是难点.教学方法：实验发现法、电化教学法、启导法、类比教学法教学用具：CAI课件、演示教具课时安排：一课时教学过程：一、课题导入师：椭圆的定义是什么?(学生口述椭圆的定义，教师利用CAI课件把椭圆的定义和图象放出来.)师：椭圆定义是由轨迹的问题引出来的，我们把满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)（2a>｜F1F2｜）的动点P的轨迹叫椭圆.下面，我们来做这样一个实验：（同学分组实验：利用拉链演示双曲线的生成过程，导入课题）师：通过这个实验，我们发现笔尖画出了这样两条特殊的曲线，这是一类什么曲线呢？这就是我们今天要研究的“双曲线及其标准方程”（板书课题）二、定义探究师：我们知道满足几何条件｜PF1｜+｜PF2｜=2a(常数)的动点P的轨迹是椭圆，那双曲线应该是点P满足什么几何条件的轨迹呢？（引导学生从刚才的演示实验中寻找答案：｜PF1｜-｜PF2｜=2a或｜PF2｜-｜PF1｜=2a）师：是不是有以上规律呢？为了更直观的体现我们刚才的实验过程，下面我们来验证一下.(播放双曲线flash生成动画，验证几何条件)师：实验证明当点P满足以上几何条件时，我们得到的轨迹确实是双曲线，如果｜PF1｜＞｜PF2｜,则得到曲线的右支，如果｜PF2｜＞｜PF1｜则得到曲线的左支，能否用一个等式将两几何条件统一起来呢？三、方程推导师：平面解析几何的基本思想是利用代数的方法来研究几何问题，借助于曲线的方程来揭示曲线的性质.下面我们来探究双曲线的方程.首先请回忆椭圆的标准方程是什么？（学生口述教师板书椭圆的标准方程）师：椭圆的标准方程我们是借助于椭圆的定义用坐标法建立起来的，在此我们完全可以仿效求椭圆标准方程的方法探求双曲线方程.(学生在草稿纸上试着完成，教师板书方程的推导过程)建立直角坐标系，设双曲线上任意一点的坐标为P(x 、y),｜F 1F 2｜=2c ，并设F 1(-c,0),F 2(c,0).由两点间距离公式，得｜PF 1｜=22)(y c x ++,｜PF 2｜=22)(y c x +-由双曲线定义，得｜PF 1｜-｜PF 2｜=±2a 即22)(y c x ++-22)(y c x +-=±2a化简方程22)(y c x ++=±2a+22)(y c x +-两边平方，得(x+c)2+y 2=4a 2±4a 22)(y c x +-+(x-c)2+y 2化简得：cx-a 2=±22)(y c x +-两边再平方，整理得(c 2-a 2)x 2-a 2y 2=a 2 (c 2-a 2)(为使方程简化，更为对称和谐起见)由2c-2a ＞0，即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0设c 2-a 2=b 2 (b ＞0)，代入上式，得b 2x 2-a 2y 2=a 2b2也就是x 2/a 2-y 2/b 2=1师：利用椭圆标准方程推导类比地推导出双曲线的标准方程，它同样具有方程简单、对称，具有和谐美的特点，便于我们今后研究双曲线的有关性质.这一简化的方程称为双曲线的标准方程.结合图形再一次理解方程中a ＞0，b ＞0的条件是不可缺少的.b 的选取不仅使方程得到了简化、和谐，也有特殊的几何意义.具有c 2=a 2+b 2，区别其与椭圆中a 2=b 2+c 2的不同之处.（师生共析：双曲线的方程右边为1，左边是两个完全平方项，符号一正一负，为正的项相应的坐标轴为焦点所在坐标轴.用一句话概括“以正负定焦点”）四、巩固内化例：已知两定点())0,5(,0,521F F -，求到这两点的距离之差的绝对值为8的点的轨迹方程。

高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《2.2.1双曲线及其标准方程》教案2.doc

潮阳市西元中学数学科教案上课时间第周星期第节课型课题 2.2.1 双曲线及其标准方程教学目的学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导教学设想教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程.教学难点：在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力：教学过程—、新课导入：1.提问：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)2 22.在椭圆的标准方程冷+与=1中，a,b,c有何关系，若o = 5,b = 3,贝吒=?写a b出符合条件的椭圆方程。

二、讲授新课：1.双曲线的定义：提问：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23,定点片,▲是两个按钉，MN是一个细套…管，两条细绳分别拴在按钉上但穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出一条曲线；由|MF2|-|MF1| fV( 佥是同一常数，可以画出另一支. y V定义：平面内与两定点耳，耳的距离的差的绝对值等图2-23于常数(小于|耳笃|)的点的轨迹叫做双曲线。

两定点F X,F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离冈叫做双曲线的焦距。

(理科)类比椭圆标准方程的建立过程推导出双曲线的标谁方程。

(文科)简单讲解推导给出标准方程。

2 2标准方程：—2—=1,(^ >0,/? >0,c_= a~ +b~)(焦点F x(―c,0),F,(c,0)在xa b ~车由)思考：若焦点在y轴，标准方程又如何？例1、P5S分析:由双曲线的标准方程知,只要求出a,b即可得方程;练习：1、已知双曲线的两焦点为耳(-8,0)迅(8,0),双曲线上任意点到耳迅的距离的差的绝对值等于10,求此双曲线的标准方程。

2、双曲线的两焦点分别为许(-3,0),厲(3,0),①若a = 2,则X_;②若b -1,贝Ua = _ ;3、双曲线的两焦点分别为对(-10,0),竹(10,0)，点(8,0)在双曲线上求双曲线的标准方程。

人教A版选修1-1第二章第2节《双曲线及其标准方程》的教学设计

双曲线及其标准方程（人教A版选修1－1第二章第2节）一、教学设计教学内容与内容解析本节课为《普通高中课程标准实验教科书数学·选修1—1》(人教A版)第二章“圆锥曲线与方程”中第二节双曲线的第一课时．本节课是在学生学习了直线、圆和椭圆的基础上进一步研究学习的，为后面的抛物线及其标准方程做铺垫．双曲线是继椭圆之后的另一种圆锥曲线，无论是定义的探索或是问题的解决或是学生的学法、教师的教法等等方面，这两者都具有极强的相似性，是渗透学法指导（如类比学习）的良好载体．新课程强调教师要创造性使用教材，这就需要教师对教材的精心解读．由椭圆的距离之和引发对距离之差的思考，再对常数的考虑，引起学生对教材双曲线定义不严密性．．．．．．．．（常数必须大于．．．0．）．的思考，培养学生思维的缜密．解析几何的教育价值在于通过坐标法，利用代数方法解决几何问题，为此，在推导双曲线的标准方程时，仍需让学生类比思考：怎样建立坐标系，为什么这样建立，这对文科的学生而言，“知其所以然”是需要反复强调，方可内化的．教学目标与目标解析1．学生能了解双曲线的定义、双曲线标准方程的推导及化简过程．2．在定义的探索或问题的解决中，学生能类比椭圆进行双曲线的学习．3．学生在经历双曲线定义的获得过程，能类比发现问题、不断完善、解决问题．教学问题诊断分析1．学生的知识储备分析:学生已经学习直线、圆和椭圆,基本掌握了求曲线方程的一般方法,能对含有两个根式的方程进行化简，对分类讨论、类比推理的思想方法有一定的体会．2．学生的数学能力分析:通过一年多的高中学习,学生已具备了一定的观察事物的能力,积累了一些研究问题的经验,在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力．但是他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展,仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系．3．本节课是一节2012年泉州市“送教送研下乡”活动中的一节公开课，由于借班上课，拿不准永春侨中高二年文科的学生的水平．“以不变应万变”，本节课重点在于“类比”学习双曲线，考虑文科学生计算能力相对弱，故难点在于双曲线标准方程的推导．教学支持条件分析课本以拉链问题呈现双曲线的定义，虽然直观，但实际操作性难．，于是弃之不用，选择当场制作课件，让学生直接感受．同时通过列表的形式，让学生更为直观理解椭圆与双曲线的差异，且通过对题目合理变式让学生明白椭圆与双曲线不仅定义可类比、解题同样可以类比，对学生学法指导（如“类比”学习）做了很好的铺垫与引导．教学过程设计（一）复习引入1．椭圆的定义:平面内与两个定点12F ,F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．设M 是椭圆上的动点，则需满足()121222MF MF a a F F =>＋2．椭圆的标准方程: (1) 焦点在x 轴：()222210x y a b a b+=>>． (2) 焦点在y 轴：(222210y x a b a b+=>> 其中222c a b =-． 3．导入新课:问题：我们知道，差是和的逆运算，那么，平面内与两个定点12F ,F 距离的差等于常数的点的轨迹是什么呢？为了研究方便，设动点M ，则问题即为研究满足12MF MF -=常数C 的轨迹问题．解析：实数C 可以分为000C ,C ,C =><．【学情预设】由于学生事先有预习，所以急着给出答案：双曲线．果真是双曲线吗？一石激起千层浪！【设计意图】从“差是和的逆运算”，引导学生思考问题，过渡自然，且在“发现问题”做了较好的引导．对学生的答案及时加以肯定，但“果真是双曲线吗？”，又引起学生对实数C 的讨论，渗透分类讨论思想．（二）新课学习1．展示知识形成过程（几何画板揭示动点轨迹形成）在()120MF MF C C -=>的解决中，关键在于M 动，但12MF MF -定，为此，可联想到圆的性质，圆上任一点到圆心的距离相等，可构造两相交圆．（教师当场利用几何画板作图，如图1，2）教师借助直观，说明作图依据：如图1，设两定点12A ,A ，B 为以2A 为端点的射线上的一点，则有1212AB A B A A -=＝定值．以1F 为圆心，1A B 为半径作圆，以2F 为圆心，2A B 为半径作圆，设两圆的交点为M ，则121212MF MF A B A B A A -=-=＝常数．【学情预设】学生对“轨迹的形成”充满好奇，却不知其原因，对知识形成充满好奇．【设计意图】教师当场利用几何画板作图，可以让学生直观感受双曲线定义的形成，深刻理解定义的形成过程，避免出现学生“知其然，不知其所以然”的局面．（2）“形”“数”两方面揭示定义从形．的方面，我们可以看到图2中的两条曲线有完美的对称性（关于线段12F F 的中垂线对称），我们把这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．从数．的方面，可以统一为： 1212MF MF A A -=，类比椭圆，不妨记为()1220MF MF a a -=>【设计意图】虽然解析几何强调坐标法，但对形的认识也是必不可少的，借助几何画板，可以直观展示双曲线定义形成过程．从形的直观提炼数的特征再到定义的归纳（即图形语言、符号语言、文字语言之间的转化）又是学生认识的一个提升．2．尝试、完善双曲线的定义（1）类比椭圆定义，获得双曲线定义：把平面内与两个定点1F ,2F 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．即双曲线上的动点M 满足()1212202MF MF a a F F -=<<．注：容易忽略的地方:① “距离的差的绝对值”；② “常数小于21F F ”．思考：若122a F F =：两条射线；若122a F F >：无轨迹．（2）师生共同阅读课本让学生解释拉链问题．【学情预设】学生是有能力类比椭圆的定义得到双曲线的定义，但对“距离的差的绝对值”；“常数小于21F F ”认识不够，常忽视！【设计意图】让学生尝试、完善双曲线的定义，培养学生思维的慎密．3．探究双曲线的标准方程(1)回顾椭圆标准方程的推导过程:“建系、设点、列式、化简”（为了使学生更好类比椭圆标准方程的推导，教师引导学生回归课本，再次熟悉课本推导过程）【设计意图】引导学生回归课本，再次熟悉椭圆标准方程的推导过程，是为了更好地类比到双曲线！(2) 教师引导学生类比椭圆推导双曲线的标准方程建系:取过焦点21F F ，的直线为x 轴,线段21F F 的垂直平分线为y 轴设点:设()M x,y 为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c (0>c )则 )0,(),0,(21c F c F -,1MF =，2MF =列式: ()1220MF MF a a -=> ，122MF MF a ∴-=±a y c x y c x 2)()(2222±=+--++∴,2a =± 整理得： )()(22222222a c a y a x a c -=--，由定义c a 22<022>-∴a c ，令222c a b -=代入,得:222222b a y a x b =-，两边同除22b a 得:12222=-b y a x ，此即为双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点在x 轴上,焦点是)0,(),0,(21c F c F -,其中222b a c +=【学情预设】学生对方程的整理还是存在一定的困难，需要一定的时间处理问题．【设计意图】让学生再次熟悉课本椭圆标准方程推导过程，不仅可以回顾旧知，而且可以较顺利解决新知．让学生尝试推导双曲线标准方程，能进一步落实计算处理．（3）若坐标系的选取不同,可得到双曲线的不同的方程．类比焦点在y 轴上的椭圆方程以及类比刚才的推导过程，如图可得到：焦点在y 轴上则焦点是),0(),,0(21c F c F -,将y x ,互换,得到12222=-b x a y ，此也是双曲线的标准方程【设计意图】呈现焦点在y 轴上双曲线的形状，从形帮助学生的理解．4．找不同（让学生发现椭圆、双曲线标准方程的不同点）【设计意图】把信息表格化，能直观区分椭圆与双曲线的差异，能快速建立新知与旧知的联系．5．演练反馈1．判断下列方程是否表示双曲线？若是,求出c b a ,,及焦点坐标．（1）22142x y -= （2）22148x y -=-【设计意图】强调双曲线标准方程（尤其（2）：把非标准方程化为标准方程）及基本量c b a ,,的计算．2．课本第47页例1：已知双曲线两个焦点分别为()()125050F ,,F ,-，双曲线上一点P 到12F ,F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．变式：已知双曲线两个焦点分别为()()125050F ,,F ,-，(6P ,在双曲线上，求双曲线的标准方程．解法一：因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：()2222100x y a ,b a b -=>>．则有2236481a b-=，即22223648b a a b -=，又2225a b +=，代入消去2b 有4210936250a a -+⨯=，即()()2210090a a --=，所以29a =（舍去2100a =）．即所求双曲线的标准方程为221916x y -=．解法二：（教师先引导学生把课本翻到第34页，共同回顾例1的解题过程）因为双曲线的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：()2222100x y a ,b a b -=>>由双曲线的定义有122a MF MF =-=137=-=6所以3a =，又因为5c =，所以22216b c a =-=，因此，所求双曲线的标准方程为221916x y -=．【解题反思】求标准方程常见方法有二：①待定系数法，立足基本量的运算：设方程、代入、消参；②利用定义，注意：两焦点，用定义．【学情预设】多数的学生会采用解法一：待定系数法，涉及基本量的计算，解法二对学生的理解要求较高，学生比较难以第一时间想到，让他们回顾椭圆中的解法，有利于建立新知与旧知的联系．【设计意图】解法二的介绍目的在于让学生明白椭圆与双曲线不仅定义可类比、解题同样可以类比．解完题，及时引导学生进行反思，有利知识的梳理与深化．（三）课堂小结（1）通过表格总结椭圆与双曲线的定义和标准方程．（2）关注双曲线与椭圆之间的类比学习,如定义、方程推导、解题等．（四）课后作业课本第48页：练习1、2；课本第54页：A 组1、2．二、教学实践心得基于解析几何教学价值的学法指导“高中数学课程应注重学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一．人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比……等思维过程”．只有学生掌握了一定的数学学习方法，才有可能从繁杂多样的“题海”中解脱，才有可能实现“减负”，因此，注重学生学法的指导是课堂教学的一个重要、长期的教学任务．这也就要求教师在日常的教学中，能善于抓住教学时机，对学生渗透学习方法的指导，并逐渐实现潜移默化，使教学效率得以提高．1．学法指导要有针对性即要结合数学学科的特征、学习内容，针对学生的实际情况进行指导，这是学法指导的根本原则．比如双曲线与椭圆，无论是定义的探索或是问题的解决或是学生的学法、教师的教法等等方面，这两者都具有极强的相似性，这样无论是双曲线在定义形成、标准方程的推导、解题方法，都适合与椭圆进行类比，当然这种类比在抛物线的学习同样适用．2．学法指导要有实用性学法指导的最终目的是通过让学生掌握科学的学习方法，提高学习能力，培养良好的学习习惯，增强学习效果．所以，学法指导应避免摆花架子，不切实际，死搬硬套，要立足日常的课堂教学，以常规的学习方法为重点．椭圆、双曲线、抛物线是进行学法指导的良好载体，因此在双曲线（抛物线）的定义形成、方程推导、解题的学习要让学生体会“通过类比，可以解决诸如此类的问题”，让他们学以致用，用以生效．更深层次可以引导学生归纳提炼它们的解决都是围绕着“练、思、算”，即圆锥曲线学习离不开“一定量的练习、勤于反思总结类比、合理简化运算”三步曲．3．学法指导要循序渐进学法指导过程中，要按照数学学科的逻辑系统和学生认知发展的规律，结合学法指导的内在规律，持续、连贯、有系统地进行指导，要循序渐进、逐步提高．三种圆锥曲线适合类比学习，但并不意味着学生类比学习就能把它们学好，在一些具体的环节上仍需教师加以引导，比如为什么椭圆要求122a F F >，而双曲线则要求122a F F <，再如直线代入椭圆方程一般只须考虑判别式∆，而双曲线除了考虑判别式∆，还要考虑二次项前面的系数是否为0等等．因此，师生对学习方法的掌握过程要有一定的“心理价位”，不可操之过急．三、专家点评本节课作为新授课的教学，能凸显概念教学中重要而有效的突破点：经历概念的发生发展过程，提炼概念本质．圆锥曲线的学习中，不仅要让学生深深体会、理解“坐标法”的核心思想，同时要让学生掌握学习的方法，即三种圆锥曲线之间的类比学习，本节课在学法指导方面下足功夫，教学顺畅，体现了授课教师很好的业务素质，教学效果良好，学生能得到很好的启发与引导．本节课有如下几个亮点：1．体现学科教育价值授课教师教学过程中能落实数学教育的任务．数形结合思想是解析几何的重要思想之一，本节课在双曲线标准的推导中，能引导学生类比椭圆标准方程的推导，思考如何建系，如何整理方程，并通过表格使得椭圆与双曲线的差异直观呈现．其次，教学中，教师舍得花时间让学生进行演算（而非直接给出双曲线的标准方程，计算能力的突破是解析几何教学的难点），能较好落实学生的计算能力的提升．2．能注重学法指导授课教师在双曲线定义的呈现上，以几何画板当场呈现，让学生直观感受动点轨迹的形成；在例题、习题上设置上能凸显教学目标，凸显对学生学法的指导，可见授课教师在备课上下足了功夫，能很好的研读教材，能理清教材内容之间的纵横联系，并且在教学的过程中，能有所取舍（舍去拉链问题的操作，突出对拉链问题背后的数学说理，强化学生对双曲线定义的理解），突出教学重点，化解教学难点．同时，在例题1的讲解上，能进行适当的变式，能以此为契机，让学生明白双曲线与椭圆的类比不仅仅是定义、方程的类比，也可以是解题方法上的类比，对学生及时进行学法的指导，实现“授之以渔”的教育目标．（洪丽敏）。

人教A版高中数学选修1 1第二章双曲线及其标准方程教学设计

人教A版高中数学选修1-1第二章《双曲线及其标准方程》教学设计
一、教学目标
1、知识与技能目标：了解双曲线的定义，几何图形和标准方程，并能初步应用。

2、过程与方法目标：本次课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程有一个比较深刻的认识。

3、情感、态度与价值观目标：在类比研究过程中激发学生的求知欲，培养他们浓厚的学习兴趣、培养学生认真参与积极交流的主题意识，锻炼学生善于发现问题的规律和解决问题的态度。

通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

二、重点
双曲线的定义及其标准方程和简单应用。

三、难点
对双曲线定义的理解，推导双曲线的标准方程。

四、教学方法
从学生的认知规律出发，让学生自主学习，运用探究性教学法、启发式教学法等充分调动学生的积极性，通过教师的组织，让学生对双曲线及其标准方程加以理解与记忆。

人教A版高中数学选修1-1《双曲线及其标准方程》教学设计新部编版

精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan教师学科教课方案[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan人教 A 版高中数学选修 1-1《双曲线及其标准方程》教课方案一设计思想：本课为分析几何内容，充足表现认识析法的应用．学好观点是本课的关键，在协助媒体的采用上我选择了实物投影和课件共用．让学生疏组着手实验，领会双曲线的图形形成，借助于几何画板再一次演示双曲线的形成，课件表现图表类比，对照椭圆与双曲线的异同．本课将经过让学生着手演示，动口表达，动脑编题等方式，充足调换学生的思想，形成以学生为主体的课堂氛围．二教材分析：本内容选自人教 A 版一般高中课程标准实验教科书选修2-1第2章第3节双曲线的第一课时，双曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，传统的办理方法是先学习椭圆，再学习双曲线，这充足考虑了密切联系知识系统和由易到难的教课要求，切合学生的学习，在新课程教材中持续保存，前方有椭圆知识及学习方法的铺垫，后边有抛物线学习的综合增强，有益于学生掌握和稳固．本课的主要学习内容有：①研究轨迹（双曲线）②学习双曲线的观点③推导双曲线标准方程④学习标准方程的简单求法三学情分析：学生先前已经学习了椭圆，基本掌握了椭圆的相关问题及研究方法，而双曲线问题，它与椭圆问题有近似性，知识的正迁徙作用可在本节课中充足显示．也就是说，学生在经过先期分析几何的系统学习，已初步掌握认识析法思想和分析研究的能力，学习本课已具备必定的基础．在学习过程，较椭圆而言，从直观图形轨迹到抽象观点的形成，中间一些细节问题的办理要求学生有更仔细入微的分析和更强的意会性，所以学生归纳起来有更高的难度．特别是关于为何需要加绝对值， c 与 a 的有怎么样大小关系，为何是这样的等等．此外，与椭圆除了自己内容的差别以外，初中所学的“反比率精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan函数图象”在学生的脑筋里有一个原有认知，而这个认知关于此刻的学习会产生必定帮助的同时，其方程形式的不一样也会带来必定的认知矛盾．四教课目的：△经过双曲线轨迹的研究过程，体验双曲线的特点，研究总结双曲线的定义；△经过类比椭圆的标准方程，推导并掌握双曲线的标准方程；△经过对双曲线观点和标准方程的研究，培育学生察看分析抽象的能力，体验分析思想，激发学生研究事物运动规律，进一步认清事物的实质特点的兴趣；五重点难点：△重点：双曲线的定义及其标准方程；△难点：正确理解表述双曲线的定义，标准方程的推导六课前准备：△教具准备：①全班按分红7 个组，每组准备 8K 纸一张，拉链一根②教师准备小木板一块，长拉链一根，图钉两枚，美工笔一支．③实物投影仪，几何画板．△教法准备：在教师的指导下研究学习，经过作图——原理分析——定义——方程推导的研究，深入对双曲线的认识，并注意与椭圆的类比．七教课过程：（一）回首椭圆，追求引领方法问题 1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是怎么样的？怎么推导而来？问题 2：将椭圆定义中的“和”改变成“差”会是什么样的曲线呢？（二）着手演示，感觉双曲线形成在椭圆定义中，到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定值，则曲线的轨迹又会如何？可否利用手头的工具来演示获得知足这样条件的曲线呢？（师生共同研究研究作图方案，主要解决如何来实现距离之差为定值）总结方法：取拉链，拉开一部分，在拉开的一边上取其M端点，在另一边的中部地点取一点分别固定在纸上的两F1F2个定点 F1和 F2处，（注意 F1F2的距离要比拉链两点的差要大），把笔尖搭在拉链头 M 处，跟着拉链的拉开或闭合，笔尖就画出一条曲线．（学生着手，老师指导，而后在讲台演出示）M （三）分析特点，提炼双曲线定义F1F23.1分析演示结果展现学生绘图结果一：拉链在拉开闭拢的过程中，拉开的两边长一直相等，即 |MF1|=|MF2|+|F1F2|．动点 M 变化时， |MF1|与|MF2|在不停变化，但总有 |MF1|-|MF2|=|F1F2|，而 |F1F2|为定长，所以点 M 到两定点 F1和 F2的距离之差为常数，记为2a，即 |MF1|-|MF2|=2a展现学生绘图结果二：M画出来的曲线张口向左侧F1F2（把学生的图在实物投影下展现，发现存在的差别，议论点 M 到 F1 与 F2 两点的距离的差切实如何表示？）展现学生绘图结果三：拉链头拉不到 F2 点，图画不出来M（引起学生思虑为何会画不出来？||MF1|-|MF2||.F1F2与 |F1F2|有何关系？）3.2 双曲线定义：（指引学生归纳出双曲线的定义）平面内与两个定点 F 1、F 2 的距离的差的绝对值等于常数（小于 <|F 1F 2 |）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．数学简记： || MF 1 | | MF 2 ||2a （ 0 2a 2c | F 1 F 2 | ）（直观感觉双曲线有“两条” （两支），每一支“有点象”抛物线．以前学过的反比率函数图象是双曲线．那么双曲线就是反比率函数图象？答，不是的，反比率函数图象是双曲线，但双曲线所对应的表达式不必定是反比率函数的形式，下边我们就研究双曲线的方程）（四）类比椭圆，推导标准方程4.1 推导回想椭圆的标准方程的推导步骤，来推导双曲线的标准方程．（教师提示步骤，叫一学生登台板演，其他学生自己推导，教师个别指导）整理改正板演学生的结果：设 M ( x, y) ， F 1( c,0) ， F 2 (c,0) ，由|MF 1| |MF 2 |2 a ，得 ( x c)2y 2(x c) 2 y 22a( x c) 2y 2(x c)2 y 22a( x c)2 y 2 ( x c)2y 24a ( x c)2 y 24a 2cx a 2a ( x c)2 y 2(cx a 2 ) 2 a 2 [( x c)2 y 2](c 2a 2 ) x 2 a 2 y 2a 2 (c 2 a 2 ) ，x 22 令 c 2a 2b 2（ b 0 ），得 b 2x 2a 2y 22 b 2 ，即y 1 ．a2b 2a（议论：推导的过程是一个等价变形的过程吗？）4.2标准方程①双曲线的标准方程当焦点在 x 轴上，中心在原点时，方程形式：x 2 y21a 2b 2精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan 当焦点在 y 轴上，中心在原点时，方程形式：y2x2a 2b 21②参数 a,b,c 的关系c2 a 2b20 ）|MF | |MF| 2a| F F | 2c（ a, b, c12（实轴长） 1 2（焦距）③与椭圆的对照(从定义论述，方程构造特点，a,b,c 之间的关系，焦点坐标的判断着手分析同样点和不一样点，并用课件表格的形式表现)（五）应用解题，稳固知识重点例 1 例 1.已知双曲线的两个焦点分别为（ - 5,0），（5,0），双曲线上一点 P F1F2到 F1 , F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程 .（学生自己解答，稳固标准方程及此中相应的数目关系，做出相应的变式训练）变式 1：已知双曲线的两个焦点分别为（0，-5），（0,5），双曲线上一点 P 到F1F2F1 , F2距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程 .变式 2:已知双曲线的两个焦点分别为（ - 5,0），（5,0），双曲线上一点 P 到F1F2F1 , F2距离差等于6，求双曲线的标准方程.变式 3:已知平面内两点分别为（ - 5,0），（5,0），一动点 P到F1, F2距离差的F1F2绝对值等于 10，求轨迹方程方程 .（ - 5,0），（5,0），精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan绝对值等于 12，求轨迹是什么？ .（六）对照总结，整合新学知识1．应用双曲线和椭圆的对照图表，总结整理双曲线定义的重点，标准方程的形式2．课本练习P60 1，2，33．思虑（1）当0时，方程x2sin y 2 cos1表示什么曲线？（ 2）反比率函数图象是特别的双曲线，为何其方程和标准方程不同？八板书设计 :双曲线的定义及标准方程1、双曲线的定义 3.例 1 解题过程2、标准方程的推导y4. 例 2 解题过程焦点在 x 轴上Mx2FO 1F 5. 例 3 解题过程标准方程焦点在 y 轴上x2F标准方程O y1FM问题商讨：本节课设计源于自己讲堂教课的一个真切事例．在教课思想上，以“问题引导，研究沟通”为主，兼容解说、演示、合作等多种方式，力争灵巧运用．在教学目标上，以突出分析思想为主，容知识与技术、过程与方法、感情与体验为一体，力争多元价值取向．在多媒体应用上，力争灵巧适用，不跟着课件走，使得多媒体真切做到为讲堂有效服务．整堂课下来充分流利，讲堂氛围姣好．但也存在几个值得反省和议论的问题：1．让学生着手演示比较费时间，所以在着手以前教师应当把重点正确的分析到位．2．在标准方程的推导过程中，议论推导的过程能否为一个等价变形的过程，比较复杂，学生理解起来不是很清楚，这里存在如何能恰到利处的办理这一问题，精选教课教课方案设计| Excellent teaching plan 有待进一步的思虑和商讨.。

人教课标版高中数学选修1-1：《双曲线及其标准方程(第2课时)》教案-新版

2.2.1双曲线及标准方程（第2课时）1.核心素养发展数学抽象、直观想象素养，培养解析法解题能力，提高数学运算素养2.学习目标（1）进一步熟悉双曲线的定义、标准方程.（2）掌握双曲线的定义在焦点三角形问题中的应用.（3）了解双曲线在实际问题中的初步应用.3.学习重点双曲线的定义4.学习难点双曲线的定义在焦点三角形问题中的应用二、教学设计（一）课前预习1.预习任务回顾双曲线的定义、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有那些区别?双曲线的,,a b c与椭圆的,,a b c有何区别?2.预习自测1. 已知方程22111x yk k-=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．11k-<<B．0k>C．0k≥D．1k>或1k<-答案：A解析：考查双曲线的定义2.在双曲线的标准方程中，已知6,10a c==，则其标准方程为（）A．221 3664x y-=B ．2213664y x -=或2216436x y -=C ．22110064x y -=D ．2213664x y -=或2213664y x -=答案：D解析：考查双曲线的标准方程（二）课堂设计 1.知识回顾(1) 平面内点M 到两定点12,F F 的距离之差的绝对值为常数，即122MF MF a -=当122a F F <时，点M 的轨迹是双曲线；(2) 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，()222210,0y x a b a b -=>>判断焦点在哪个轴上，是看x 2，y 2系数的符号，注意都有222c a b =+ 2.问题探究问题探究一进一步熟悉双曲线的定义、标准方程.例1 已知方程22152x y k k -=--表示的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（） A ．5k >B ．5k >或22k -<<C ．2k >或2<-D ．22k -<<【知识点：双曲线的标准方程】详解：∵方程的图形是双曲线，∴(5)(2)0k k -->．即：5020k k ->⎧⎪⎨->⎪⎩或5020k k -<⎧⎪⎨-<⎪⎩，解得：5k >或22k -<<．故选B ．点评：在双曲线的标准方程中，2x 项和2y 项的系数是异号的，但若中间以“－”相连，则必须是同号的．形如22Ax By C +=的方程，若0C ≠，则当且仅当0AB <时，表示双曲线．例2 已知定圆()221:51F x y ++=，定圆()222:51F x y -+=，动圆M 与定圆12,F F 都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【知识点：双曲线的定义，双曲线的标准方程】详解：设动圆圆心(),M x y ，半径为R则由已知可得1221121,43MF R MF R MF MF FF =+=+∴-=<，M ∴点的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线的左支，且22299123,5,2544a cbc a ==∴=-=-= 所以动圆圆心M 的轨迹方程为：()224410991x y x -=< 点拔：由动圆M 与定圆12,F F 的关系，得21123MF MF F F -=<，从而联想到双曲线的定义，用定义来确定方程（轨迹），达到了简化运算的目的，可见，在圆锥曲线中定义的应用十分广泛、灵活.问题探究二掌握双曲线的定义在焦点三角形问题中的应用例3 若21F F 、是双曲线221916x y -=的两个焦点，P 在双曲线上，且32||||21=⋅PF PF ，求21PF F ∠的大小．【知识点：双曲线的定义，双曲线的标准方程】详解：由双曲线的对称性，可设点P 在第一象限，由双曲线的方程，知3,4, 5.a b c ==∴=由双曲线的定义，得12||2 6.PF PF a ｜-== 上式两边平方，得,1006436||||236||||212221=+=⋅+=+PF PF PF PF 由余弦定理，得221212121212||||||100100cos 0.2||||2||||PF PF F F F PF PF PF PF PF +--∠===⋅⋅点拔：在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点．另外，还经常结合122PF PF a -=，运用平方的方法，建立它与12PF PF ⋅的联系，请同学们多加注意．一般地，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上一点12,P F F 、为双曲线的焦点，若12F PF θ∠=，求12PF F ∆的面积．解：由双曲线的定义，有122PF PF a -=，在12PF F ∆中，由余弦定理有22221212122cos 4PF PF PF PF F F c θ+-⋅==∴2221212121222cos 4PF PF PF PF PF PF F F c θ-+-⋅==（），即()22124421cos c a PF PF θ-=-21221cos b PF PF θ∴=-∴1222121sin sin 21cos tan 2PF F b S PF PF b θθθθ∆=⋅=⋅=- 问题探究三：了解双曲线在实际问题中的初步应用例4 A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 的正东方，相距6km ，C 在B 的北偏西30方向上，相距4km ，P 为敌炮阵地．某时刻A 发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 远，因此4s 后，B 、C 才同时发现这一信号（该信号的传播速度为1km/s ）．A 若炮击P 地，求炮击的方位角．【知识点：双曲线的定义，双曲线的标准方程】详解：以AB 中点为原点，BA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则(3,0)A 、(3,0)B -、(5,23)C -．∵4PB PA -=．∴点P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上．该双曲线右支方程为221(2)45x y x -=≥．① 又∵PB PC =．∴点P 在线段BC 的垂直平分线上．该直线方程为370x y -+=．②由①②得：211562560x x --=，解得：8x =或3211x =-（舍去）．∴(8,53)P ．又∵ tan 3PA k α==，∴60α=．∴点P 在点A 的北偏东30方向上，即A 炮击P 地的方位角是北偏东30．点拔：（1）有些看似与双曲线无关的实际应用问题，但依题意，通过数学建模，可以把问题转化为双曲线问题求解.（2）在此类问题时，除要准确把握题意外，还要注意使实际问题有意义. 3.课堂总结【知识回顾】（1）形如22Ax By C +=的方程，若0C ≠，则当且仅当0AB <时，表示双曲线．当且仅当0,0,A B A B >>≠时，表示椭圆.（2）一般地，已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上一点12,P F F 、为椭圆的焦点，若12F PF θ∠=，则12PF F ∆的面积122tan2PF F b S θ∆=．【重难点突破】（1）对于形如221x y m n+=的方程，能表示圆、椭圆、或双曲线，具体情况如下：当0m n =>时，表示圆；当0,0,m n m n >>≠时，表示椭圆，当0m n >>时，表示焦点在x 轴的椭圆，当0n m >>时，表示焦点在y 轴上的椭圆；当0mn <时，表示双曲线，当0,0m n ><时，表示焦点在x 轴上的双曲线，当0,0m n <>时，表示焦点在y 轴上的双曲线.（2）在椭圆的研究中我们已经体验了定义在解决有关曲线上的点到焦点距离问题中的作用，同样在双曲线中也应注意定义的应用．已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式．（3）在双曲线的实际应用中，要先建立适当的坐标系，然后将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来. 4.随堂检测1.k >9是方程x 29－k ＋y 2k －4＝1表示双曲线的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：【知识点：双曲线的标准方程】2.已知12,F F 为双曲线22:1C x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=（） A.2 B.4 C.6 D.8 答案：B解析：【知识点：双曲线的定义】（三）课后作业基础型1.双曲线2222114x y m m-=+-的焦距是（） A ．4 B ．8C ．25D ．与m 有关答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程】2．已知两定点1(2,0)F -、2(2,0)F ，在满足下列条件的平面内的动点P 的轨迹中，为双曲线的是（） A ．123PF PF -=±B ．124PF PF -=±C ．125PF PF -=±D ．122(0)PF PF a a -=> 答案：A解析：【知识点：双曲线的定义】3．双曲线2288kx ky -=的一个焦点坐标是（3, 0），则k 的值是（） A ．1B ．－1C ．653D ．－653答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程】4.如图所示，若0ab ≠，且a b ≠，则0ax y b -+=和22bx ay ab +=所表示的曲线只可能是（）答案：C解析：【知识点：双曲线的标准方程】能力型5. P为双曲线22221x ya b-=上一点，F是一个焦点，则以PF为直径的圆与圆222x y a+=的位置关系是（）A．内切B．外切C．外切或内切D．无公共点或相交答案：C解析：【知识点：双曲线的定义，圆的几何性质】6.已知双曲线2212yx-=的焦点为12,F F，点M在双曲线上且12MF MF⋅=，则点M到x轴的距离为()A. 4 3B. 5 3C. 23 3D. 3答案：C解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】7．若lg(3)x -、lg y 、lg(3)x +成等差数列，则点(,)x y 的轨迹方程是_______________．答案：229(3,0)x y x y -=>>解析：【知识点：双曲线的标准方程，等差数列】8.在平面直角坐标系y x O 中，已知ABC ∆的顶点)0,6(-A 和)0,6(C ，若顶点B 在双曲线11125x 22=-y 的左支上，则._______sin sin sin =-B C A 答案： 56解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】探究型9. 已知定点(3,0)A 和定圆C ：22(3)16x y ++=，动圆和圆C 相切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．答案：见解析解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】设P 点的坐标为(),x y ，∵圆C 与圆P 外切且过点A ． ∴4PC PA -=．∵64AC =>，∴点P 的轨迹是以C 、A 为焦点24a =的双曲线的右支． ∵2a =，3c =， ∴2225b c a =-=．∴圆心P 的轨迹方程为221(0)45x y x -=> 10.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>中，半焦距122,,c a F F =为左右焦点，P 为双曲线上的点，121260123F PF F PF S ∆∠=︒=，,求双曲线的标准方程. 答案：见解析解析：【知识点：双曲线的定义及标准方程】由双曲线的定义，有122PF PF a -=，而在12PF F ∆中，由余弦定理有 22221212122cos 604PF PF PF PF F F c +-⋅︒==∴2221212121224PF PF PF PF PF PF F F c -+-==（），即221244c a PF PF -=,2124PF PF b ∴= ∴1221213sin 60412324PF F S PF PF b ∆=⋅︒=⨯= 22222124b c a a b⎧=⎪∴⎨==+⎪⎩,24a ∴= 所以所求双曲线标准方程为221412x y -= (四)自助餐1.焦点的坐标是（－6,0）、（6,0），并且经过A （－5，2）的双曲线的标准方程为（）A.2212016x y -= B.2211620x y -= C.22110016x y -= D.22116100x y -= 答案：A解析：【知识点：双曲线的标准方程】2．已知方程22144x y k k -=-+表示双曲线，则它的焦点坐标为（） A ．(2,0)k 、(2,0)k -B ．(0,2)k 、(0,2)k -C ．(2,0)k 、(2,0)k -D ．不能确定答案：D解析：【知识点：双曲线的标准方程】3.设点P 在双曲线221916x y -=上，若12,F F 为此双曲线的两个焦点。

高中数学第2章2.1双曲线及其标准方程教师用书教案新人教A版选修1

2.2 双曲线2.2.1双曲线及其标准方程学习目标核心素养1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点) 1．通过双曲线的学习，培养学生直观想象的素养.2.借助双曲线标准方程的推导，提升数学运算的素养.1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系c2＝a2＋b21．已知动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是() A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线D [∵|PM |－|PN |＝2＝|MN |，∴点P 在线段MN 的延长线上，即点P 的轨迹是一条射线．] 2．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．32B ．42C ．33D ．43D [c 2＝10＋2＝12，所以c ＝23，从而焦距为4 3.]3．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A ．x 225－y 224＝1B ．y 225－x 224＝1C ．x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D ．x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0C [b 2＝c 2－a 2＝72－52＝24，故选C ．]对双曲线标准方程的理解【例1】已知曲线方程x m －1－y m 2－4＝1.(1)若方程表示双曲线，求实数m 的取值范围；(2)若方程表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围； (3)若方程表示椭圆，求实数m 的取值范围．[解] (1)依题意有(m －1)(m 2－4)>0，即(m －1)(m ＋2)(m －2)>0，解得－2<m <1或m >2.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－4<0，m －1<0，解得－2<m <1.(3)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4<0，m －1>0，解得1<m <2.给出方程x 2m －y 2n ＝1，则该方程：(1)表示双曲线的条件是mn >0；(2)表示焦点在x 轴上的双曲线的条件是m >0，n >0； (3)表示焦点在y 轴上的双曲线的条件是m <0，n <0； (4)表示椭圆的条件是m >0，n <0.[跟进训练]1．(1)已知双曲线x 2a －3＋y 22－a ＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于( )A ．32B ．5C ．7D ．12(2)在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的椭圆(1)D (2)C [(1)根据题意可知，双曲线的标准方程为y 22－a －x 23－a ＝1.由其焦距为4，得c ＝2，则有c 2＝2－a ＋3－a ＝4，解得a ＝12.(2)方程mx 2－my 2＝n可化为x 2n m －y 2n m＝1.由mn <0知nm <0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．]求双曲线的标准方程(1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线经过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨] 用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．[解] (1)法一 (待定系数法)由题意知双曲线的两焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)．设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程得25a 2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4. ∴双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.法二 (定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F 1(0，－3)，F 2(0,3)且A (4，－5)在双曲线上，则2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|20－80|＝25， ∴a ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)法一若焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．因为M (1,1)，N (－2,5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧1a 2－1b 2＝1，(－2)2a 2－52b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝78，b 2＝7.若焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．同理有⎩⎪⎨⎪⎧1a 2－1b 2＝1，52a 2－(－2)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－7，b 2＝－78(不合题意，舍去)．所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.法二设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)．将点M (1,1)，N (－2,5)代入上述方程，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝87，n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x 278－y 27＝1.1．求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出a 2，b 2的值．2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)来求解．[跟进训练]2．(1)与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 23－y 2＝1C ．x 22－y 2＝1D ．x 2－y 22＝1 (2)已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1 C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1(1)C (2)B [(1)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－1b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.(2)由双曲线的焦点可知c ＝5，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为F 2，则有PF 2⊥x 轴，且PF 2＝4，点P 在双曲线右支上．所以PF 1＝(25)2＋42＝36＝6，所以PF 1－PF 2＝6－4＝2＝2a ，所以a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝4，所以双曲线的方程为x 2－y 24＝1，选B ．]双曲线定义的应用1．到两定点F 1，F 2的距离之差是常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹是双曲线的两支还是一支？提示：一支．2．若P 点是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的一动点，F 1，F 2为其左、右焦点，设∠F 1PF 2＝α，则S △F 1PF 2如何用α表示？提示：S △F 1PF 2＝b 2tan α2(可借助双曲线的定义及余弦定理推导)．【例3】 (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．(2)已知F 1，F 2分别是双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32.试求△F 1PF 2的面积．[思路点拨] (1)由两圆外切得等量关系⇒双曲线定义⇒轨迹方程． (2)双曲线的定义及余弦定理⇒∠F 1PF 2⇒面积公式求S △F 1PF 2. (1)x 2－y 28＝1(x ≤－1) [如图，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |.因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝2，这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，这里a ＝1，c ＝3，则b 2＝8，∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．] (2)[解] 因为P 是双曲线左支上的点，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.把本例(2)的条件“|PF 1||PF 2|＝32”换成“∠F 1PF 2＝60°”，求S △F 1PF 2. [解] 由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 2|－|PF 1|＝6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.1．求与双曲线有关的点的轨迹问题的方法 (1)列出等量关系，化简得到方程．(2)寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．提醒：①双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． ②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支． 2．求双曲线中的焦点三角形△PF 1F 2面积的方法(1)①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|、|PF 2|、|F 1F 2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想方法求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．(2)利用公式S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |求得面积．1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出关于a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的形式求解．1．判断正误(1)在双曲线标准方程中，a ，b ，c 之间的关系与椭圆中a ，b ，c 之间的关系相同． (2)点A (1,0)，B (－1,0)，若|AC |－|BC |＝2，则点C 的轨迹是双曲线． ( ) (3)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1中，a ＞0，b ＞0，且a ≠b .( )[答案] (1)× (2)× (3)× 2．设双曲线x 2－y 28＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上的一点，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，则△PF 1F 2的面积等于( )A ．10 3B ．8 3C ．8 5D ．165C [设|PF 1|＝3t ，则|PF 2|＝4t ，|PF 2|－|PF 1|＝t ＝2a ＝2，所以t ＝2，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋b 2＝6＝|PF 1|，所以F 1到PF 2的距离为62－42＝25，所以S △PF 1F 2＝12×8×25＝8 5.]3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3B [由题意知||PF 2|－3|＝6，即|PF 2|－3＝±6，解得|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．]4．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)；(3)以椭圆x 28＋y 25＝1长轴的端点为焦点，且经过点(3，10)．[解] (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1.(2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上．因为点A (－5,6)在双曲线上，所以 2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，则a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝62－42＝20. 所以所求双曲线的标准方程是y 216－x 220＝1.(3)由题意得，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝2 2.设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝c 2＝8，9a 2－10b2＝1，解得a 2＝3，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为x 23－y 25＝1.。

人教A版高中数学选修1-1 第二章 2.2.2双曲线及标准方程公开课教学设计

§2.2.1双曲线及其标准方程海南华侨中学王芳文1．教学背景1.1 学生特征分析我授课班级是海南侨中理科班，方法储备上，学生经过学习，已经基本适应高中数学学习规律，但是学习方法还是停留在简单模仿，反复练习层次上，对知识的生成与发展，区别与联系认识不深，缺少抽象概括及分析综合能力。

知识储备上，学生已经系统的学习了直线方程，圆的方程以及椭圆的相关知识，学生熟知椭圆的定义，会根据题目条件求简单的椭圆的标准方程。

但是由于接触学习椭圆的时间还相对较短，对椭圆的基本性质了解不深，而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与椭圆等综合问题时还存在困难。

把新问题转化为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。

1.2教师特点分析自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。

不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。

1.3 学习内容分析1、内容分析：学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。

如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。

所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。

从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。

正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。

而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。

在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。

2、例题分析：温故：帮助学生复习椭圆的定义，提出问题。

探究：如图，实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分；2.在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上；3.把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，画出一条曲线.点M在运动过程中满足什么几何条件？(如图（A）、（B）)从直观上让学生认识双曲线,分析双曲线上动点所满足的几何关系,类比椭圆定义，帮助学生归纳双曲线的定义。

人教a版选修1-1教案：2.2.1双曲线的及其标准方程(含答案)

§2．2．1双曲线的及其标准方程【学情分析】：学生已经学过椭圆，了解椭圆的定义，经历了根据椭圆的特征，建立适当的坐标系，能较熟练求椭圆的方程，也了解椭圆的简单的几何性质并能解决与椭圆的几何性质有关的问题。

本节课将通过学生的自主探究、总结来进行教学。

【教学目标】：知识与技能1、使学生掌握双曲线的定义、标准方程2、掌握焦点、焦点位置、焦距与方程关系，会求双曲线的标准方程；过程与方法1、理解双曲线标准方程的推导过程；2、认识双曲线的变化规律及与其系数之间的关系；情感态度与价值观通过运用双曲线标准方程解决一些实际问题，使学生充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的数学问题。

【教学重点】：双曲线的定义、标准方程【教学难点】：双曲线标准方程的推导过程【课前准备】：课件），则680,练习与测试：1．一动圆P 过定点M （－4，0），且与已知圆N ：(x －4)2＋y 2＝16相切，求动圆圆心P 的轨迹。

分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线，则可直接求出其轨迹方程来内切时，定圆N 在动圆P 的内部，有|PC|＝|PM|－4，外切时，有|PC|＝|PM|＋4，故点P 的轨迹是双曲线x 2/4－y 2/12＝1。

2．已知动圆P 与定圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝49,C 2：(x －5)2＋y 2＝1 都相切，求动圆圆心的轨迹的方程分析：外切有|PC 1|＝7＋r, |PC 2|＝1＋r ，∴|PC 1|－|PC 2|＝6，内切有|PC 1|＝r －7, |PC 2|＝r －1，∴|PC 2|－|PC 1|＝6故点P 的轨迹是双曲线x 2/9－y 2/16＝13．若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.解析：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k-3>0,k+3>0，所以方程表示双曲线；当方程表示双曲线时，k=-4 是可以的，这不在k>3里．故应该选A ．4．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________.解：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x 轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为5:4，即:5:4c b =，解得5,4c b ==，则双曲线的标准方程是221916x y -=5．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.1922=-y x6．已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥，2||||21=∙PF PF ，则该双曲线的方程是（）A ．13222=-y xB ．12322=-y xC ．1422=-y xD ．1422=-y x答案：C7．“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件答案：C8．与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2），求双曲线方程解：设双曲线方程为22a x －22by =1由题意易求c =25 又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1又∵a 2+b 2=（25）2， ∴a 2=12，b 2=8故所求双曲线的方程为122x －82y =1。

2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：2.2.1 双曲线及其标准方程

2.2.1双曲线及其标准方程[学习目标] 1.掌握双曲线的定义.2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.知识点一双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.知识点二双曲线的标准方程思考(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之差等于|F1F2|时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(2)a，b的值及焦点所在的位置.题型一求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程. (1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上. 解 (1)方法一若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由于点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，∴⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9，(舍去).若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，∴双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.方法二设双曲线方程为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0).∵P 、Q 两点在双曲线上，∴⎩⎨⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)方法一依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0).则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.方法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6).∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去).∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.反思与感悟求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，从而简化求解过程. 跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8； (2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22). 解 (1)由双曲线的定义知，2a ＝8，所以a ＝4，又知焦点在x 轴上，且c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9，所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)因为焦点在x 轴上，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，将点(4，－2)和(26，22)代入方程得⎩⎨⎧16a 2－4b 2＝1， ①24a 2－8b 2＝1， ②解得a 2＝8，b 2＝4，所以双曲线的标准方程为x 28－y 24＝1.题型二双曲线定义的应用例2 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)如图，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积.解双曲线的标准方程为x 29－y216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2| ＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002×32＝0，且∠F 1PF 2∈(0°，180°)，∴∠F 1PF 2＝90°，12F PF S ∆∴＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16. 反思与感悟 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a ).(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.跟踪训练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积.解由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°，所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以12F PF S ∆＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.题型三与双曲线有关的轨迹问题例3 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.解以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0).由正弦定理得sin A ＝|BC |2R ，sin B ＝|AC |2R ，sin C ＝|AB |2R (R 为△ABC 的外接圆半径).∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2|BC |＋|AB |＝2|AC |，从而有|AC |－|BC |＝12|AB |＝22<|AB |.由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点). ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6，即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2).反思与感悟 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.跟踪训练3 如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.解圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1；圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1(x ≤－32).数形结合思想的应用例4 已知F 1、F 2是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，A 是双曲线右支上的动点.(1)若点M (5,1)，求|AM |＋|AF 2|的最小值； (2)若点M (5，n )，求|AM |＋|AF 2|的最小值. 分析画出草图，结合焦点三角形进行考虑. 解 (1)草图如图所示.由双曲线的定义，知|AM |＋|AF 2|＝|AM |＋|AF 1|－2a .由于点M 在双曲线右支的右边，故由图知当点A 在线段MF 1上时，|AM |＋|AF 1|最小，即|AM |＋|AF 2|最小. 故所求的最小值为|MF 1|－2a ＝101－8.(2)类似(1)可知，当点M 在双曲线右支的右边，即|n |＜94时，|AM |＋|AF 2|＝|AM |＋|AF 1|－2a ≥|MF 1|－2a ＝100＋n 2－8.当M 在双曲线右支的外边或其上，即|n |≥94时，|AM |＋|AF 2|≥|MF 2|＝|n |.故当|n |＜94时，|AM |＋|AF 2|的最小值为100＋n 2－8；当|n |≥94时，|AM |＋|AF 2|的最小值为|n |.解后反思解决这类综合性较强的双曲线问题时，应利用图形的形象直观的特点画图分析，并注意运用双曲线的定义，对所求解的问题进行恰当转化，使问题顺利地得到解决.1.已知F 1(3,3)，F 2(－3,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝4，则P 点的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线答案 B解析因为|PF 1|－|PF 2|＝4，且4<|F 1F 2|，由双曲线定义知，P 点的轨迹是双曲线的一支.2.若椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是( )A.±5B.±3C.5D.9答案 B解析由题意知，34－n 2＝n 2＋16， ∴2n 2＝18，n 2＝9.∴n ＝±3.3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．答案 210解析由已知，a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210.4.已知双曲线中a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为______________________. 答案 x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1解析当焦点在x 轴上时，方程为x 225－y 224＝1，当焦点在y 轴上时，方程为y 225－x 224＝1.5.P 是双曲线x 2－y 2＝16的左支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，则|PF 1|－|PF 2|＝________. 答案－8解析将x 2－y 2＝16化为标准形式为x 216－y 216＝1，所以a 2＝16,2a ＝8，因为P 点在双曲线左支上，所以|PF1|－|PF2|＝－8.1.双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a (2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号，当2a＝|F1F2|时表示两条射线.2.在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立.要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1 (mn<0)的形式求解.形.。

高中数学选修1-1教学设计-双曲线及其标准方程

2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.(难点)[基础·初探]教材整理1 双曲线的定义阅读教材P45，完成下列问题.双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线.( )(3)到两定点F1(－3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是两条射线.( )【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 双曲线的标准方程阅读教材P46～P47例1以上部分，完成下列问题.双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0) 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距|F 1F 2|＝2c ，c 2＝a 2＋b 2判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a >0，b >0且a ≠b .( )(2)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a >b .( )(3)双曲线x 2－y 23＝1的焦点在y 轴上.( )【答案】 (1)× (2)× (3)×[小组合作型]双曲线定义的应用(1)双曲线16－9＝1上一点A 到点(5,0)的距离为15，则点A 到点(－5,0)的距离为( )A.7B.23C.7或23D.5或25(2)如图221，双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点为F 1，F 2，过点F 1作直线交双曲线的左支于点A ，B ，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为________.图221【自主解答】 (1)易知双曲线的焦点坐标分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，||AF 1|－|AF 2||＝8，所以|AF 1|＝7或23.(2)因为⎩⎨⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，所以|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4a .又因为|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，所以|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋m .所以△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m . 【答案】 (1)C (2)4a ＋2m双曲线的定义是用双曲线上任意一点到两焦点的距离来描述的.定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|，包含|PF 1|－|PF 2|＝2a 和|PF 1|－|PF 2|＝－2a ，即要看到点离定点的距离的“远”与“近”.涉及双曲线上点到焦点的距离问题，或符合双曲线定义的轨迹问题可用双曲线的定义求解.[再练一题]1.已知圆M 1：(x ＋4)2＋y 2＝25，圆M 2：x 2＋(y －3)2＝1，一动圆P 与这两个圆都外切，试求动圆圆心P 的轨迹.【解】设动圆的半径是R ，则由题意知⎩⎨⎧|PM 1|＝R ＋5，|PM 2|＝R ＋1，两式相减得|PM 1|－|PM 2|＝4＜|M 1M 2|＝5，所以动圆圆心P 的轨迹是以点M 1(－4,0)、M 2(0，3)为焦点的双曲线中靠近焦点M 2(0,3)的一支.根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上； (3)a ＝4，c ＝5. 【导学号：97792021】【精彩点拨】本题主要考查用待定系数法求双曲线的标准方程，求解时注意先定位再定量.【自主解答】 (1)法一若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154和Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去).若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P ，Q 两点坐标代入可得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎨⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. 法二设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0).∵P ，Q 两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. (2)法一依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0). 依题设有⎩⎨⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. 法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6). ∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去).∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.(3)∵a ＝4，c ＝5， ∴b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， ∴所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1或y 216－x 29＝1.1.求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型并设出标准方程. (2)求出a 2，b 2的值.2.当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)来求解.[再练一题]2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上； (2)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4； (3)求经过点(3,0)，(－6，－3)的双曲线的标准方程.【解】 (1)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x2b 2＝1(a ＞0，b ＞0). 由题设知，a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，所以⎩⎨⎧a ＝25，25a 2－4b 2＝1，解得a 2＝20，b 2＝16.故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1. (2)椭圆x 227＋y236＝1的两个焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(15，4)或(－15，4).设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎨⎧42a 2－152b 2＝1，a 2＋b 2＝32，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. (3)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)， ∴⎩⎨⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13.故所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.[探究共研型]探究在解决双曲线的焦点三角形问题时，常与哪些知识点结论？【提示】双曲线的定义，正余弦定理，勾股定理等.若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积.【精彩点拨】双曲线方程――→双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝±2a ――→平方|PF 1|2＋|PF 2|2的值―――→余弦定理∠F 1PF 2＝90°―――→面积公式S △F 1PF 2【自主解答】由双曲线方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝±2a＝±6，将此式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.如图所示，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F 1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.1.本题在解题过程中运用了方程的思想，在解方程时，又运用了整体代换的思想.2.在解焦点三角形的有关问题时，一般利用两个关系式：(1)利用双曲线的定义可得|PF1|·|PF2|的关系式.(2)利用正余弦定理可得|PF1|，|PF2|的关系式，然后可以求解出|PF1|，|PF2|.但是，一般我们不直接求出|PF1|，|PF2|，而是根据需要，把|PF1|＋|PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|等看成一个整体来处理.[再练一题]3.设双曲线x24－y29＝1，F1、F2是其两个焦点，点M在双曲线上.(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积；(2)若∠F1MF2＝60°，求△F1MF2的面积.【导学号：97792022】【解】(1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝13，设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1＞r2).由双曲线定义得r1－r2＝2a＝4，两边平方得r21＋r22－2r1r2＝16，即|F1F2|2－4S△F1MF2＝16，即4S△F1MF2＝52－16，∴S△F1MF2＝9.(2)若∠F 1MF 2＝60°，在△MF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°，∴r 1r 2＝36，则S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 60°＝9 3.1.双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为( ) A.(－7，0)，(7，0) B.(0，－7)，(0，7) C.(－5,0)，(5,0)D.(0，－5)，(0,5)【解析】由双曲线的标准方程，知a ＝4，b ＝3，所以c ＝5.又由于焦点在x 轴上，故选C.【答案】 C 2.已知方程x 21＋k －y 21－k＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( )A.－1＜k ＜1B.k ＞0C.k ≥0D.k ＞1或k ＜－1【解析】方程x21＋k －y21－k＝1表示双曲线，则(1＋k )(1－k )＞0， ∴(k ＋1)(k －1)＜0， ∴－1＜k ＜1. 故选A. 【答案】 A3.设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.【解析】由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x29＝1的焦点落在y 轴上，所以m＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.【答案】 164.若点P 到点(0，－3)与到点(0,3)的距离之差为2，则点P 的轨迹方程为________.【解析】由题意并结合双曲线的定义，可知点P 的轨迹方程为双曲线的上支，且c ＝3,2a ＝2，则a ＝1，b 2＝9－1＝8，所以点P 的轨迹方程为y 2－x28＝1(y ≥1).【答案】 y 2－x 28＝1(y ≥1)5.求以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P ⎝⎛⎭⎪⎫5，94 的双曲线的标准方程.【导学号：97792023】【解】因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0). 由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0 2－－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0 2＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9，故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.。