八年级数学下册 17.2《一元二次方程的解法》直接开平方法教案 (新版)沪科版
新沪科版八年级数学下册《17章 一元二次方程 17.2 一元二次方程的解法 直接开平方法》教案_6
1.如果x2 4 ，则 x ___2___ 2.如果a2 3 ，则 a ____3__
自学预习中反映的问题
问题1：一桶油漆可刷的面积为 1500dm 2 ，
李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形 状的盒子的全部外表面，求这些正方体的棱长
解： 设正方体的棱长为 x dm，
解一元二次方程
——直接开平方法
学习目标
1.初步学会用直接开平方法解形如 x 2 p( p 0) 或 (mx n)2 p( p 0) 的一元二次方程.
2.通过自学、独立思考，合作探究，理解一元二次方 程“降次”——转化的数学思想.
3.全力以赴，积极参与，养成细致、严谨的学习品质
如果 x2 p( p 0) ，则 x 叫做 p 的 平方根
自学预习中反映的问题
解下列方程
（3） (x 2)2 16
解： x 2 4
即
x 2 4,或x 2 4
x 6,或x 2
即
x1 6, x2 2
a2 16
解： a 4
自学预习中反映的问题
解下列方程
（3）(x 2)2 16
解： x 2 4
（4） (2x 1)2 25 0
4(x 5)2 64
(x 5)2 16
x 5 4
即 x1 1, x2 9
拓展提升
1、关于x 的一元二次方程(m 3)x2 3x m2 9 0
有一个根为0，求 m 的值
课堂小结
把一元二次方程x_2 ___p_(_p___0_)_或 _(_m__x__n_)_2___p_(_p___0_)____的形式，才能运用直接开
10×6 x2=1500
x2=25
x=±5
即
八年级数学下册 17.2《一元二次方程的解法》配方法教案 (新版)沪科版
17.2 一元二次方程的解法教学目标：1、会用配方法解简单系数的一元二次方程；2、熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤；教学的重难点重点：配方法解一元二次方程的步骤难点：掌握配方法与配方法的技巧教学方法：启发式教学法教学过程分析1、复习旧知识⑴、回忆上节课讲的内容，什么是一元二次方程；⑵、回忆完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2⑶、填空：x2-2x+( )2=(x- )2y2+3y+( )2=(y+ )22、讲解新课⑴、解简单的一元二次方程，由学生回答①、x2＝4 ②、(x-1)2＝2 ③、(x-1)2+1＝2⑵、师生探讨：由上面的题目能否得到什么启示？如何解方程x2+6x-16=0显然，这个方程不能直接用开平方法解，那能否把这个方程化成可用开平方法来解的形式？即(x+a)2=b的形式。
我们可以这样变形：把常数项移到右边，得x2+6x=16对等号左边进行配方，即两边都加上9（即）得x2+6x+9=16+9(x+3)2=25①方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项，得②配方，即两边都加上9（即）得x2+6x+9=16+9这样，就把原方程化为与上面方程一样的形式了。
像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后（即化为（x+a）2=b,b≥0的形式），再用开平方来解的方法叫配方法。
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
④用直接开平方法求出方程的根。
⑶、例题讲解例1，解一元二次方程x2-4x-1=0解：移项，得 x2+4x=1配方 x2+4x+=1+(x+2)2=5由此可得x+2=±=-2+ =-2-⑷、随堂练习①、x2－2x－7＝0 ②、x2-8x+15=03、归纳小结配方法的一般步骤（让学生总结，在黑板上板书）1、化二次项系数为12、移项3、配方（两边同加上一次项系数一半平方）4、开方其中“化、移、配、开”及“一半平方”用彩色粉笔标出。
4、布置作业课本P25 练习 1、 2思考：若二次项系数不为1的时候，又应该如何利用配方法解呢？如：2x2－4x－1＝0中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
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解一元二次方程（复习课）教案教学设计：本课上课时间拟定6月上旬，此时已经授完全本教材课程，此课属于复习课。
考虑到学生对基础知识掌控程度不够扎实的实际情况，本课拟将解一元二次方程的配方法和公式法结合起来教学。
因为两者有一定的因果关系，即公式法可由配方法导出。
结合两者授课，可让学生更好地了解和牢记公式法的来源及运用。
教学目的：让学生了解解一元二次方程的配方法和公式法的原理，并能运用公式法解决常见的一元二次方程。
重点：从配方法导出公式法难点：配方法的配方教学步骤：1、导入:《淮南子﹒说林训》“临渊羡鱼不如归家网织”，演变为：“授人以鱼不如授人以渔”，说明这样一个道理：过程比结果重要。
仅仅知道结果，但不懂得结果如何而来，不算好。
2、练习：解方程：（1）x２＝9；（2）x２＝4解：（1）因为3２＝9，（－3）２＝9，所以x=3,或x=－3小结：这是最简单的一元二次方程，利用口算即可求出结果。
3、解方程：（3）x２－0.81=0;（4）3（x=1）２＝48解：（3）原方程变形为：x２=0.81因为0.9２=0.81，（－0.9）２=0.81所以x=0.9或x=－0.9解：（4），原方程变形为：x２=16因为4２=16，（－4）２=16所以x=4或x=－4小结：这是比较简单的一元二次方程，根据等式性质稍加变形后，就能变为最简单的一元二次方程。
4、解方程：2x２－5x＋1＝０解：析：这是一个最普通的一元二次方程，能不能变为A２=B的形式从而解之呢？根据等式的性质进行变形：2x２－5x＋1＝０→A２=B的形式从而解之x２－5/2x＋1/2＝０→x ２－5/2x=－1/2→x２－5/2x+（5/4）２=－1/2+（5/4）２到此时，可以看得出，等式左边是一个整式的平方，即：（x－5/4）２=－1/2+（5/4）２右边整理之后，得：（x－5/4）２=17/16即：x－5/4=＋217/16 , x－5/4=－217/16解之得：x1=（5＋217 ）/4, x2=（5－217 ）/4小结：从解上述方程可有什么结论？答：一般一元二次方程，都可以用配方法，转化为A２=B的形式从而解之。
八年级数学下册第17章一元二次方程17.2一元二次方程的解法第1课时直接开平方法教案新版沪科版
17.2 一元二次方程的解法第1课时直接开平方法【知识与技能】认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解.【过程与方法】培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力.【情感态度】通过两边同时开平方，将二次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知. 【教学重点】用直接开平方法解一元二次方程.【教学难点】（1）认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法;（2）一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解.一、创设情境，导入新课1.口答题：4 的平方根是，81的平方根是， 81的算术平方根是 .2.我们曾学习过平方根的意义及其性质，回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?学生回答：（1）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根.用式子表示：若x2＝a，则x叫做a的平方根.（2）平方根有下列性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；②零的平方根是零；③负数没有平方根.【教学说明】 以上问题让学生自主完成，教师归纳总结，重点强调正数有两个平方根，负数没有平方根.为后面的学习奠定基础.二、合作探究，探索新知1.教师设问：如何求出适合等式x 2＝4的x 的值呢?学生思考，尝试解答2.根据平方根的定义，由x 2＝4可知，x 就是4的平方根，因此x 的值为2和－2 即根据平方根的定义，得x 2＝4,x ＝±2即此一元二次方程的解为： x 1＝2，x 2 ＝-23.小结：这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.【教学说明】根据平方根的求法得到方程的解，让学生将它们对应起来，然后教师将这种方法进行总结，注意方程解的写法.4.提问：怎样解方程(x+1)2=256?让学生说出解法，教师板书.解:直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x 1＝15，x 2＝－175.教师小结：对于形如x 2=a （a ≥0)或（x+h ）2=a(a ≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解.解一元二次方程的基本思想是降次，将一元二次方程转化为一元一次方程.【教学说明】 这里教师要对式子进行分析，然后类比上面的解法，进行求解，最后进行总结，用字母的式子表示，便于学生理解和记忆.三、示例讲解，掌握新知例1 解下列方程：（1）x 2＝2； （2）4x 2－1＝0.【分析】第1题直接用开平方法解；第2题可先将－1移项，再将两边同时除以4化为x 2＝a 的形式，再用直接开平方法解之.【教学说明】形如方程ax 2-k=0(a k ≥0)可变形为x 2=a k (ak ≥0)的形式，即方程左边是关于x 的一次式的平方，右边是一个非负常数，可用直接开平方法解此方程.例2 解下列方程：（1）（x ＋1）2＝2;（2）（x －1）2－4 ＝0;（3）12（3－x ）2－3 ＝0.【分析】 第1小题中只要将（x ＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样的解法；第3小题先将－3移到方程的右边，再两边同除以12，再同第1小题一样去解即可.【教学说明】（1）解形如（x+h ）2=k(k ≥0)的方程时，可把（x+h ）看成整体，然后直接开平方；（2）注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数；（3）如果变形后形如（x+h ）2=k 中的k 是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根；（4）如果变形后形如(x+h)2=k 中的k ＝0这时可得方程两根相等.四、练习反馈，巩固提高1.若8x 2-16=0，则x 的值是 .2.如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是 .3.如果a 、b 为实数，满足43 a +b 2-12b+36=0，那么ab 的值是 .4.用直接开平方法解下列方程：（1）x2＝169；（2）45－x2＝0；（3）4x2-16＝0;（4）（x＋2）2－16＝0【答案】1.±2 2.9或-3 3.-8【教学说明】学生易错的是开方时应该是两种情况，学生可能只写一种，所以教师要进行强调.第2题应该先两边除以2，再进行开方求解.五、师生互动，课堂小结1.如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）.2.平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用.两边开平方实际上是二次方程由二次转化为一次，实现了由未知向已知的转化，由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径.3.一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解.【教学说明】教师引导学生自主总结，教师适当渗透相关的解题思想并进行总结，为后面的学习奠定基础.完成同步练习册中本课时的练习.一元二次方程的求解是初中数学学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视.“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元”、“转化”等重要的数学思想方法.因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课.教学过程中，在合作探究过程中给学生较充分的时间进行独立思考、小组交流，让学生的思维互相启发互相碰撞，让个人智慧与集体智慧充分交融.在探究过程中适当巡视，适时指导点拨，保证各小组探究学习的有效性.同时，及时评价.对学生发现了不同解法时首先给予表扬和肯定，从而激发学生的求知欲.。
新沪科版八年级下册初中数学 17.2 一元二次方程的解法 教案
17.2 .1 配方法课题17.2 一元二次方程的解法—配方法教学目标1．巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤；2．会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程。
教学设想1．教学的重点是用配方法解二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程。
2．当二次项系数为小数或分数时，用配方法解一元二次方程是本节教学的难点。
教学程序与策略一、认识解方程提问，板演 (观察学生怎么解决)。
为以后认识一元二次方程开平方法和配方法（a=1）解法的区别与联系（思考与领悟）做铺垫。
1.开平方法：形如。
2.①先把移项得；②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得，即，当时，就可以通过开平方法求出方程的根。
二、新课教学1.引例（当a=1时）解方程.观察与思考，小组讨论：领悟配方法解方程的数学思想。
2.例1 用配方法解下列一元二次方程（1）；（2）。
（补充）例用配方法解方程2x2＋12x+9=0。
引导学生总结用配方法解一元二次方程的步骤。
课堂练习（课件展示）3．课本课内练习1、2学生完成解题后出示答案。
4．增加二次项系数为小数与分数的方程：用配方法解下列方程：（1）；（2）。
三、课堂小结问：这一节课学习了什么？四、布置作业习题17.2第1、2、3题教后反思录17.2.2 公式法知识与技能目标1.让学生熟练应用一元二次方程求根公式解一元二次方程；2.通过公式的引入，培养学生抽象思维能力．过程与方法目标1.让学生经历一元二次方程求根公式的推导过程，感受分类思想；2.让学生在实践中运用公式法解一元二次方程，体会求根公式的结构特点．情感态度与价值观1.通过一元二次方程求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想；2.培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．重点和难点重点：让学生掌握一元二次方程求根公式解一元二次方程；难点：对一元二次方程的一般式进行配方，推导一元二次方程求根公式．教具准备多媒体课件教学过程一、创设情境，导入新课问题思考如何用配方法解下列方程？二、探究归纳，讲解新课让学生独立解决问题，并思考：用配方法解一元二次方程的步骤怎样？关键是什么？用配方法解一元二次方程的步骤：(1)化二次项系数为1；(2)移项；(3)配方：方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）开方：如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．让学生仿照问题(1)，讨论尝试求解问题(2)；当二次项系数不为1时，如何应用配方法？指出当二次项系数不为1时，只要在方程两边同除以二次项的系数，将方程转化为二次项系数为1的方程．探索我们来讨论一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解．用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．因为a≠0，所以可以把方程的两边都除以二次项的系数a，得，移项，得，配方，得，即．因为a≠0，所以4a2＞0，当b2-4ac≥0时，得，即．所以，即．上面的式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．从上面的结论可以发现：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入(b2-4ac≥0)中，可求得方程的两个根．思考当 b2-4ac＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根怎样？三、实践应用，讲解例题例1解方程：。
新沪科版八年级数学下册《17章 一元二次方程 17.2 一元二次方程的解法 直接开平方法》教案_3
一、教案内容说明：首先“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；其次，在一元二次不等式的求解及求二次函数与x轴交点等问题中都必须应用一元二次方程的解法；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元、转化、类比等重要的数学思想方法。
因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课。
二、本节课的指导思想：新课标指出：数学教学应该实现人人学必需的数学，人人学有价值的数学，不同的人在数学上有不同的发展。
同时数学教学活动应建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础上，为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识技能、数学思想方法，提高数学学习兴趣和问题解决能力。
三、教学目标设计知识与技能目标：1、使学生知道形如x2=a (a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解；2、使学生知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方；3、使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解。
过程与方法目标：在学习与探究中使学生体会“化归”、“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法。
情感、态度、价值观：使学生在学习中体会愉悦与成功感，感受数学学习的价值。
重点: 使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解。
难点: 探究( x－m)2=a的解的情况,培养分类讨论的意识。
四、教学方法和教学手段的选择教学方法：教师启发引导下的学生自主探究、小组合作学习以及分层教学、分层评价说明：基于学生对“数的平方根”及“一元二次方程的概念”掌握较好，本节以教师引导，学生合作探究、分层教学、分层评价的学习方式为主。
为了保证交流与探究的有效性，我首先将学生以6人一组分为6个小组，每组中均照顾了优中低各个水平的学生，任命优类同学或组织能力较强的同学为组长，便于学生在交流中相互启发，互相帮助。
新沪科版八年级数学下册《17章 一元二次方程 17.2 一元二次方程的解法 直接开平方法》教案_8
17.2一元二次方程的解法教学目标知识技能1、 理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些问题.2、 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程02=+c ax ，根据平方根的意义解出这个方程，然后将知识迁移到解0)(2=++c n mx a 型的一元二次方程.经历对直接开平方法解一元二次方程的认识过程，培养学生发现问题、解决问题的能力. 情感、态度与价值观通过生活学习数学，并通过用数学知识解决生活中的问题来激发学生的学习热情. 教材分析学情学生已经学习一元一次方程的解法和平方根的知识，为学好直接开平方解一元二次方程打下了良好的基础；重点运用开平方法解形如)0()(2≥=+a a m x 的方程，并领会“降次”——转化的数学思想. 难点根据平方根的意义解形如)0(2≥=a a x 的方程，并将知识迁移到根据平方根的意义解形如)0()(2≥=+a a m x 的方程.教学准备多媒体课件.教学方法讲练结合.教学过程一、 复习引入一个数x 的平方等于a ，这个数叫做a 的什么？（提问学生）即 )0(2≥=a a x ，x 叫做a 的平方根，表示为：a x ±=.练一练：下列各数有平方根吗？若有，你能求出它的平方根吗？25，0，1625 ，2，-3，43. 二、 探究新知1、 直接开平方法的概念：一般地，形如a x =2)0(≥a 的方程，根据平方根的定义，可解得a x a x -==21,，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
2、 例题解析：例1、 解方程 092=-x解：92=x 9±=x3±=x3,321-==∴x x练习1：用直接开平方法解下列方程：（1） y ²-121=0，（2）022=-x ，（3）025162=-x ，（4）04122=-x . 小结：以上用直接开平方法解的方程应将方程化为)0(2≥=a a x 的形式，再求解。
2020年沪科版八年级数学下册：17.2 一元二次方程的解法 第1课时 直接开平方法
17.2 一元二次方程的解法
第17章 一元二次方程
第1课时 直接开平方法
目标突破 总结反思
Hale Waihona Puke 第1课时 直接开平方法目标突破
目标 会用直接开平方法解一元二次方程
例 1 [教材补充例题] 解方程:
(1)x2-49=0;
(2)2(x-1)2-32=0.
第1课时 直接开平方法
解: (1)∵x2-49=0, ∴x2=49, ∴x1=7,x2=-7. (2)移项,得2(x-1)2=32. 方程两边都除以2,得(x-1)2=16. 两边开平方,得x-1=±4. ∴x-1=4或x-1=-4. 解得x1=5,x2=-3.
谢 谢 观 看！
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第1课时 直接开平方法
小王说:“关于 x 的一元二次方程(x-1)2+k=0,当 k>0 时方程的解 为 x=1± -������.”你认为小王的说法正确吗?请说明理由. [反思] 小王的说法不正确.理由如下:直接开平方法要求被开 方数是非负数,将k移到方程右边后为-k,当k>0时,-k<0,故方程 无实数根.
第1课时 直接开平方法
总结反思
知识点 直接开平方法 如果方程的一边可化为含未知数的代数式的 平方 ,另一边 是 非负数 ,那么我们可以用直接开平方法解这类方程.适合用直接 开平方法解的一元二次方程有以下三种常见类型: (1)x2=n(n≥0); (2)(x+m)2=n(n≥0); (3)a(x+m)2=n ������≥0,a≠0 .
第1课时 直接开平方法
【归纳总结】用直接开平方法解一元二次方程的步骤: (1)把一元二次方程化为(x+m)2=n(n≥0)的形式; (2)对方程两边同时开平方,得 x=-m± ������.
【最新沪科版精选】沪科初中数学八下《17.2一元二次方程的解法》word教案 (2).doc
17.2 一元二次方程的解法教学内容：求根公式法解一元二次方程学习目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；3.经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力；4.通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。
学习重点：求根公式的推导和公式法的应用学习难点：一元二次方程求根公式的推导教学过程（一）创设情境，导入新课：前面我们己学习了用配方法解一元二次方程，想不想再探索一种比配方法更简单，更直接的方法？大家一定想，那么这节课我们一同来研究。
教师；下面我们先用配方法解下列一元二次方程学生；（每组一题，每组派一名同学板演）1．2x2-4x-1=02.x2+1.5=-3x完成后小组内进行交流，并进行反馈矫正。
学生:总结用配方法解一元二次方程的步骤教师板书：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．教师：通过以上四个方程的求解，你能试着猜想一下上述问题的求解的一般规律吗？学生：独立思考（二）新知探索教师：作进一步引导，如果每一个一元二次方程都通过配方法解，那么计算就较繁杂，针对于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）能否也用配方法导出一般求解模式呢？动手试一试。
学生：动手亲自解方程ax2+bx+c=0（a≠0）找一名同学板演。
教师：巡视，作个别点评，辅导。
教师：现在我们大家共同观察黑板上的探索过程x2+bx+c=0（a≠0）ax2+bx=-c移项X2+ba x=-ca将二次项的系数化为1x2+ba x+（2ba）2=-ca+（2ba）2即（x+2ba ）2=2244b ac a -配方开平方运算思考：有条件限制吗？学生:有当2244b aca -≥0时,才可以开平方 教师：在什么2244b aca -才能大于或等于0？学生：（思考、回答）因为a ≠0所以４a 2＞0，如果使2244b aca -≥0，那么只有b 2-4ac ≥0教师：如果b 2-4ac<0时，可以进行开平方运算吗？学生：不可以，因为负数没有平方根 教师：同学们推导的都很好，那么我们来总结一下，在用配方法解ax 2+bx+c=0（a ≠0）时，需注意什么？学生：畅所欲言归纳总结：对于ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，在这里我们把称为一元二次方程的求根公式，用公式可以直接解一元二次方程。
八年级数学下册 17.2 一元二次方程的解法(第2课时)教
一元二次方程的解法1．一元二次方程的求根公式及推导 (1)求根公式的定义一般地，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，它的根是x ＝－b ±b 2－4ac2a.这个式子称为一元二次方程的求根公式．(2)求根公式的推导一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的过程．具体推导过程如下：由于a ≠0，在方程两边同除以a ，得x 2＋b a x ＋c a＝0. 移项，得x 2＋b a x ＝－c a.方程两边同加上(b 2a )2，得x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2，即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a2. 由于4a 2＞0，所以当b 2－4ac ≥0时，可得x ＋b 2a ＝±b 2－4ac2a.所以x ＝－b ±b 2－4ac2a.(1)配方法是推导求根公式的基础．(2)由于4a 2＞0，所以只有当b 2－4ac ≥0时，式子b 2－4ac4a2才是非负常数，方程才能开方． (3)由此可见，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根是由方程的系数a ，b ，c 确定的，只要确定了系数a ，b ，c 的值，代入公式就可求得方程的根．【例1】方程3x 2－8＝7x 化为一般形式是________，其中a ＝________，b ＝________，c ＝________，方程的根为________．解析：将方程移项可化为3x 2－7x －8＝0.其中a ＝3，b ＝－7，c ＝－8.因为b 2－4ac ＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x ＝7±1456.答案：3x 2－7x －8＝0 3 －7 －87±14562．公式法解一元二次方程(1)定义：用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法．(2)公式法是解一元二次方程的一般方法，对于任何一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出来．(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤：①将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，确定a ，b ，c 的值．②计算b 2－4ac 的值，从而确定原方程是否有实数根．③若b 2－4ac ≥0，则把a ，b ，c 及b 2－4ac 的值代入求根公式，求出x 1，x 2；若b 2－4ac ＜0，则方程没有实数根．(1)此求根公式是指一元二次方程的求根公式，只有确认方程是一元二次方程时，方可使用．(2)“b 2－4ac ≥0”是一元二次方程求根公式的重要组成部分，是公式成立的前提条件，当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．(3)用公式法解一元二次方程时，一定先将方程化为一般形式，再确定a ，b ，c 的值，并注意它们的符号．(4)当b 2－4ac ＝0时，应把方程的根写成x 1＝x 2＝－b2a，从而说明一元二次方程有两个相等的实数根，而不是一个根． 【例2】用公式法解下列方程：(1)2x (x ＋2)＋1＝0；(2)x 2＋4x －1＝10＋8x .分析：用公式法解一元二次方程时，先将一元二次方程写成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的形式，然后判断b 2－4ac 的值是大于等于0，还是小于0.若b 2－4ac ≥0，把a ，b ，c 的值代入求根公式求解；若b 2－4ac ＜0，则原方程没有实数根． 解：(1)原方程可化为2x 2＋22x ＋1＝0. 因为a ＝2，b ＝22，c ＝1，所以b 2－4ac ＝(22)2－4×2×1＝0. 所以x ＝－22±02×2＝－22.所以x 1＝x 2＝－22. (2)将原方程化为一般形式，得x 2－4x －11＝0. 因为a ＝1，b ＝－4，c ＝－11，所以b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－11)＝16＋44＝60. 所以x ＝4±602×1＝4±2152.所以x 1＝2＋15，x 2＝2－15.点拨：用公式法解一元二次方程时，必须满足b 2－4ac ≥0，才能将a ，b 及b 2－4ac 的值代入求根公式求解．当b 2－4ac ＜0时，原方程没有实数根． 3．因式分解法(1)定义：通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法．(2)因式分解法的理论依据：若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0.(3)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．用因式分解法解一元二次方程的关键：一是要将方程右边化为0；二是方程左边要能分解为两个含未知数的一次因式的积． 【例3】解下列方程： (1)x －3＝x (x －3)；(2)(x －2)2＝(2x ＋3)2； (3)x 2－23x ＝－3. 分析：⑴ 移项 右 边 为 0左边能提取公因式(x －3) ⑵ 移项 左边能用平方差公式进行分解 ⑶ 移项左边正好是一个完全平方式解：(1)原方程可化为(x －3)－x (x －3)＝0. ∴(x －3)(1－x )＝0.∴x －3＝0，或1－x ＝0. ∴x 1＝3，x 2＝1.(2)原方程可化为(x －2)2－(2x ＋3)2＝0.∴[(x －2)＋(2x ＋3)][(x －2)－(2x ＋3)]＝0， 即(3x ＋1)(－x －5)＝0. ∴3x ＋1＝0，或－x －5＝0. ∴x 1＝－13，x 2＝－5.(3)原方程可化为x 2－23x ＋3＝0，即 x 2－23x ＋(3)2＝0.∴(x －3)2＝0.∴x 1＝x 2＝ 3. 4．因式分解法的两种类型一元二次方程右边化为0后，左边在因式分解时，可分为两种类型：(1)有公因式可提：把多项式的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式． 例如，解方程x －3－x (x －3)＝0，可通过提公因式(x －3)，原方程变形为(x －3)(1－x )＝0.(2)能运用公式①平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )；②完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2.运用完全平方公式解一元二次方程，实质上与用配方法是一致的，是配方法的特殊形式.例如，解方程x 2－4＝0，利用平方差公式变形为(x ＋2)(x －2)＝0；解方程x 2－4x ＋4＝0，利用完全平方公式变形为(x －2)2＝0.在利用提公因式法、完全平方公式及平方差公式分解因式时，公因式可能是多项式，公式中的字母也可能代表多项式，因此，要注意从整体上观察，切不可盲目地去化简整理．【例4】解下列方程：(1)4(x －3)2－25(x －2)2＝0；(2)(2x ＋1)2＋4(2x ＋1)＋4＝0； (3)(x ＋3)(x －1)＝4x －4.分析：解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．(1) 右边为0 左边可整体利用平方差公式分解因式 (2) 右边为0将2x ＋1作为一个整体，左边可利用完全平方公式进行因式分解(3)移项后把右边化为0变形后能提公因式(x －1)解：(1)原方程可变形为[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0，即(2x －6)2－(5x －10)2＝0.∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0， 即(7x －16)(－3x ＋4)＝0. ∴7x －16＝0，或－3x ＋4＝0. ∴x 1＝167，x 2＝43.(2)原方程可变形为(2x ＋1＋2)2＝0， 即(2x ＋3)2＝0.∴2x ＋3＝0. ∴x 1＝x 2＝－32.(3)原方程可变形为(x ＋3)(x －1)－4(x －1)＝0.∴(x －1)2＝0.∴x 1＝x 2＝1.5．利用因式分解法解一元二次方程的误区 应用因式分解法解方程时，常有以下误区：(1)对因式分解法的基本思想不理解，没有将方程化为a ·b ＝0的形式就急于求解．对此要认真审题，看方程的一边是否是0，若不是0，应先化为0.(2)产生丢根现象．对于丢根现象，往往是因为在解方程过程中，出现方程两边不属于同解变形的步骤．避免这一错误的方法主要是注意方程两边不能同除以含有未知数的项． 【例5】解方程：(1)(x －2)(x －3)＝6. (2)2x (x ＋1)＝3(x ＋1)． 解：解答 顾问点评(1)错解 x －2＝0，或x －3＝0，得x 1＝2，x 2＝3.用因式分解法时，右边必须是0，而本题中右边不是0正解整理，得x 2－5x ＝0，∴x (x －5)＝0.∴x＝0，或x －5＝0.∴x 1＝0，x 2＝5.先整理成一般形式，再选择适当的方法(2)错解方程两边同时除以(x ＋1)，得2x ＝3，解得x ＝32.出现两边同除以(x ＋1)的错误正解移项，得2x (x ＋1)－3(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(2x －3)＝0.∴x ＋1＝0，或2x －3＝0.解得x 1＝－1，x 2＝32.移项后可提公因式(x ＋1)6．选择适当的方法解一元二次方程(1)一元二次方程一般有四种解法，四种解法对照如下：解法 适合类型 注意事项直接开平方法 (x ±m )2＝nn ≥0时，有解；n ＜0时，无解配方法x 2＋px ＋q ＝0二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方公式法ax2＋bx＋c＝0(a≠0)先化为一般形式再用公式．b2－4ac≥0时，方程有解；b2－4ac＜0时，方程无解因式分解法方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式(2)选择的原则：首先要看因式分解法或直接开平方法是否可行，接着考虑配方法，最后考虑公式法．①因式分解法和直接开平方法虽然简便，但并非所有的方程都适用；②配方法适用于任何一个一元二次方程，但过程比较麻烦；③公式法是在配方法的基础上，利用其导出的求根公式直接求解．因此，在解一元二次方程时，为了提高解题速度和准确率，应先观察方程特点，灵活选择适当的方法进行解题．____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________【例6－1】选择适当的方法解下列方程：(1)3x(x－1)＝1－x；(2)x2－2x－11＝0；(3)2x2－5x－1＝0.分析：(1)将方程右边的“1－x”移到方程左边，则变为“x－1”，此时有公因式“x－1”可提.因式分解法(2)仔细观察不难发现二次项系数与一次项系数的特点，“x2－2x”易于配方，可选用配方法求解.配方法(3)公式法适用于任何一元二次方程，此题是一元二次方程的一般形式，确定a，b，c的值，就可以直接代入公式求解.公式法解：(1)∴(x－1)(3x＋1)＝0.∴x－1＝0，或3x＋1＝0.∴x1＝1，x2＝－13.(2)移项，得x2－2x＝11，配方，得x2－2x＋1＝11＋1，即(x－1)2＝12.∴x－1＝±23，即x＝±23＋1.∴x1＝23＋1，x2＝－23＋1.(3)∵a＝2，b＝－5，c＝－1，b 2－4ac ＝(－5)2－4×2×(－1)＝33＞0，∴x ＝－(－5)±(－5)2－4×2×(－1)2×2＝5±334.∴x 1＝5＋334，x 2＝5－334.【例6－2】用适当的方法解下列方程： (1)9(x ＋2)2＝16；(2)(x －1)2－(x －1)－6＝0；(3)4x 2－42x ＋1＝0；(4)(3x －4)2＝9x －12.分析：(1)题利用直接开平方法解较好．(2)题利用因式分解法解较好．(3)题利用求根公式法解较好．(4)题利用因式分解法解较好． 解：(1)原方程变形为(x ＋2)2＝169，所以x ＋2＝±43，即x ＝±43－2.所以x 1＝－23，x 2＝－103.(2)原方程变形为(x －1＋2)(x －1－3)＝0，即(x ＋1)(x －4)＝0，所以x ＋1＝0或x －4＝0.所以x 1＝－1，x 2＝4. (3)因为a ＝4，b ＝－42，c ＝1，所以b 2－4ac ＝(－42)2－4×4×1＝16. 所以x ＝42±162×4＝2±12.所以x 1＝2＋12，x 2＝2－12. (4)原方程变形为(3x －4)2＝3(3x －4)， 即(3x －4)2－3(3x －4)＝0，分解因式，得(3x －4)[(3x －4)－3]＝0， 即(3x －4)(3x －7)＝0， 所以3x －4＝0或3x －7＝0. 所以x 1＝43，x 2＝73.7．用十字相乘法解一元二次方程十字相乘法能把某些二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)因式分解．这种方法的关键是把二次项的系数a 分解成两个因数a 1，a 2的积a 1·a 2，把常数项c 分解成两个因数c 1，c 2的积c 1·c 2，并使a 1c 2＋a 2c 1正好是一次项系数b ，那么可以直接写出结果：ax 2＋bx ＋c ＝(a 1x ＋c 1)(a 2x ＋c 2)．当二次项系数为1时，上述公式变为x 2＋bx ＋c ＝(x ＋c 1)(x ＋c 2)．此时解决问题的关键是将常数项分解为两个数的积，且其和等于一次项系数．例如，分解因式2x 2－7x ＋3，利用上述方法将二次项系数与常数项分解为1×2与(－1)×(－3)，则交叉相乘再相加，得1×(－1)＋2×(－3)＝－7，结果正好等于一次项系数－7，于是二次三项式2x 2－7x ＋3可分解为(x －3)(2x －1)． 【例7】用十字相乘法解下列方程：(1)x 2＋2x －8＝0；(2)6x 2＋5x －50＝0.分析：(1)此方程右边为0，二次项系数为1，常数项－8可分解为4×(－2)，而4＋(－2)＝2，于是原方程可化为(x ＋4)(x －2)＝0.(2)此方程右边为0，左边是一个二次三项式，由于6＝2×3，－50＝(－5)×10，则2×10＋3×(－5)＝5，于是原方程可化为(2x －5)(3x ＋10)＝0. 解：(1)原方程可化为(x ＋4)(x －2)＝0， ∴x ＋4＝0，或x －2＝0. ∴x 1＝－4，x 2＝2.(2)原方程可化为(2x －5)(3x ＋10)＝0， ∴2x －5＝0，或3x ＋10＝0. ∴x 1＝52，x 2＝－103.。
新沪科版八年级数学下册《17章 一元二次方程 17.2 一元二次方程的解法 直接开平方法》教案_3
直接开平方法解一元二次方程教学设计1.能力目标的方程2.过程与方法目标：经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界的数字模型。
3.情感态度目标：能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，体验类比、转化的数学思想方法。
教学难点：解形如（x + a) 2 =b (b≥0)的方程学法 : 引导探索归纳法、合作交流法教法 : 启发引导，问题驱动，讲练结合。
三教学过程温故知新；1、平方根的意义3、如何解方程x2=9学生活动： 1回顾 2分组回答 3由学生回答解：直接开平方得x＝±3设计意图：为学习本节课做准备出示概括总结一般地,对于形如x2 =a(a≥0)的方程，根据平方根的定义,可解得：这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.学生活动：阅读概括设计意图：让学生明确本节课的学习任务，抓住重点，培养学生学习数学的方法。
例1：x2－16=0学生活动：思索后由学生回答设计意图：引出新课解: 移项，得x2 = 16∴x = ± 4即此一元二次方程的根为：x1=4，x2=-4练习（1）x2 = 25（2）x2－0.18=0（3）x2－49=0（4）x2－12=0学生活动：自学、独立解决，如果不能完成可阅读教材或与人合作学习完成。
设计意图：以实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系培养学生自学的能力。
例2： 4x2－1=0探索分析，解决问题设问：怎样解这个方程？如何将方程转化为x 2 =b 的形式？学生活动：回忆如何列方程？分哪些步骤？然后进行观察、思考最后学生讨论解：移项，得 4x 2=1两边都除以4，得x 2=14∴x =± 12即：x 1 = 12 ，x 2 = - 12设计意图：指明解题思路，强化本节的中心问题分步到位，渗透模型化的思，初步渗透化归思想。
学会检验结果的正确性的习惯。
四 拓广探索，例3 ： 解方程：( x － 1 ) 2 － 4 = 0分析：本题可先将－4 移到方程的右边，再用直接开平方法来解； 解：移项，得 ( x － 1 ) 2 = 4∴ x － 1 = ±2即 x － 1 = +2 或 x － 1 = - 2∴ x 1 = 3， x 2 = -1学生活动：比较它们与前一方程的异同，从而获得解一元二次方程的思路。
新沪科版八年级数学下册《17章 一元二次方程 17.2 一元二次方程的解法 直接开平方法》教案_4
一元二次方程的解法教学目标2、能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性难点:将方程的右边化为零后，对左边进行正确的因式分解教学过程一、情境创设用不同的方法解方程：x2－x = 0二、探索活动1、你能用几种方法解方程x2－x = 0？本题既可以用配方法解，也可以用公式法来解，但由于公式法比配方法简单，一般选用公式法来解。
还有其他方法可以解吗？仔细观察方程的左边，可以发现这个等式的左边有公因式x，这时可把x提出来，左边即为两项的乘积，我们知道：两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零，这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解。
解：x2-x＝0，x(x-1)＝0，于是x＝0或x-3＝0．∴x1=0，x2=3这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
2、下面哪些方程，用因式分解法求解比较简便？⑴x2－2x－3 = 0 ⑵（2x－1）2－1 = 0⑶（x－1）2－18 = 0 ⑷3（x―5）2 = 2（5―x）分析：第⑴、⑷小题用因式分解法求解比较简便。
结论：如果一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积，那么这样的一元二次方程就可以用因式分解法求解。
三、例题教学例1解下列方程：⑴x2 = －4x ⑵x＋3－x（x＋3）= 0分析：第⑴小题先化为一般形式，再提取公因式分解因式解之；第⑵小题可以将（x＋3）作为一个整体，提取公因式解之。
例2 解方程（2x－1）2－x2= 0分析：方程的左边可以用“平方差公式”分解因式，将之分解为两个一次因式的积，从而解之。
四、课堂练习1、P92 练习1、2、32、思维拓展：解方程：⑴3x（x－1）= 2（x－1）（x＋1）⑵（3x－1）2－4x2= 0五、课堂小结如何选用解一元二次方程的方法？。
沪科初中数学八年级下册《17.2一元二次方程的解法》精品教案 (5)
17.2 一元二次方程的解法教学目标1.会用直接开平方法解形如b k x a =-2)(（a ≠0,a b ≥0）的方程；2.灵活应用直接开平方法解一元二次方程。
3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用。
研讨过程一、复习导学1.什么叫做平方根?2.平方根有哪些性质？二、探索新知试一试：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流。
（1）x 2=4 （2）x 2-1=0解（1）∵x 是4的平方根∴x ＝ 即原方程的根为： x 1= ，x 2 =（2）移向，得x 2=1∵ x 是1的平方根∴x=即原方程的根为： x 1= ，x 2 =概括总结：就是把方程化为形如x 2=a （a ≥0）或b k x a =-2)(（a ≠0,a b ≥0）的形式，然后再根据平方根的意义求解的过程，叫做直接开平方法解一元二次方程。
如：已知一元二次方程mx 2+n=0(m ≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m 、n 必须满足的条件是（ ）A.n=0B.m 、n 异号C.n 是m 的整数倍D.m 、n 同号例1解下列方程（1）x 2-1.21=0 （2）4x 2-1=0解：（1）移项，得x 2= （2）移项，得4x 2=∵x 是 的平方根 两边都除以4，得∴x= ∵x 是 的平方根即原方程的根为： x 1= ，x 2 = ∴x=即原方程的根为：x 1= ，x 2 =例2解下列方程：⑴ （x ＋1）2= 2 ⑵ （x －1）2－4 = 0⑶ 12（3－2x ）2－3 = 0练一练：1.解下列方程：（1）x 2-0.81=0 （2）9x 2=42.解下列方程：（1）（x+2）2 =3 （2）（2x+3）2-5=0（3）（2x-1）2 =（3-x）24、一个正方形的面积是100cm2，求这正方形的边长是多少？课堂小结：1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明。
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17.2 一元二次方程的解法
教学目标
1.会用直接开平方法解形如（a≠0,a≥0）的方程；
2.灵活应用直接开平方法解一元二次方程。
3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用。
研讨过程
一、复习导学
1.什么叫做平方根?
2.平方根有哪些性质？
二、探索新知
试一试：
解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流。
（1）x2=4 （2）x2-1=0
解（1）∵x是4的平方根
∴x＝
即原方程的根为： x1= ，x2 =
（2）移向，得x2=1
∵ x是1的平方根
∴x=
即原方程的根为： x1= ，x2 =
概括总结：
就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或（a≠0,a≥0）的形式，然后再根据平方根的意义求解的过程，叫做直接开平方法解一元二次方程。
如：已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（）
A.n=0
B.m、n异号
C.n是m的整数倍
D.m、n同号
例1解下列方程
（1）x2-1.21=0 （2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2= （2）移项，得4x2=
∵x是的平方根两边都除以4，得
∴x= ∵x是的平方根
即原方程的根为： x1= ，x2 = ∴x=
即原方程的根为：
x1= ，x2 =
例2解下列方程：
⑴（x＋1）2= 2⑵（x－1）2－4 = 0
⑶ 12（3－2x）2－3 = 0
练一练：
1.解下列方程：
（1）x2-0.81=0 （2）9x2=4
2.解下列方程：
（1）（x+2）2 =3 （2）（2x+3）2-5=0
（3）（2x-1）2 =（3-x）2
4、一个正方形的面积是100cm2，求这正方形的边长是多少？
课堂小结：
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明。