人教A版必修1 第1章集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算单元测试卷(解析版)

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高中数学人教A版(2019)必修第一册知识点总结

高中数学新教材必修第一册知识点总结第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.集合的描述：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.2.集合的三个特性：（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明.（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体.（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等. 3.集合中元素的三个特性：（1）确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准（不能是模棱两可的）判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一. （2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的.（3）无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变.4.集合的符号表示通常用大写的字母A ，B ，C ，…表示集合，用小写的字母a ，b ，c 表示集合中的元素. 5.集合的相等当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等.集合A 与集合B 相等记作A B =.6.元素与集合之间的关系（1）属于：如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈，读作a 属于A . （2）不属于:如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉，读作a 不属于A .7.集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程21x =的实数根组成的集合. （2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式10x ->的解组成的集合. 8.常用数集及其记法（1）正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作*N 或N +. （2）自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作N . （3）整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z . （4）有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q .（5）实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作R . 9.集合表示的方法（1）自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，三角形的集合.（2）列举法：把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元素一一列举出来并用逗号隔开，然后用花括号括起来.例如，我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}，把“方程(1)(2)0x x -+=的所有实数根”组成的集合表示为{1,2}-.（3）描述法：通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为{()}x p x ，其中x 是集合中的元素代表，()p x 则表示集合中的元素所具有的共同特征.例如，不等式73x -<的解集可以表示为{73}{10}x R x x R x ∈-<=∈<.1.2集合间的基本关系1. 子集一般地，对于两个集合A ,B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记为A B 或（B A ）读作集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ）. 集合A 是集合B 的子集可用Venn 图表示如下：或关于子集有下面的两个性质：（1）反身性：A A ⊆；（2）传递性：如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆. 2.真子集如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，我们称集合A是集合B 的真子集，记为A B ⊂≠（或B A ⊃≠），读作集合A 真包含于集合B （或集合B 真包含集合A ）. 集合A 是集合B 的真子集可用Venn 图表示如右.3.集合的相等如果集合A B ⊆，且B A ⊆，此时集合A 与集合B 的元素是一样的，我们就称集合A 与集合B 相等，记为 A B =.集合A 与集合B 相等可用Venn 图表示如右. 4.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.我们规定空集是任何一B AA (B )A (B )个集合的子集，空集是任何一个非空集合的真子集，即（1）A ∅⊆（A 是任意一个集合）；（2）A ⊂∅≠（A ≠∅）.1.3集合的运算1.并集自然语言：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A B ⋃（读作“A 并B ”）.符号语言： {,}A B x x A x B ⋃=∈∈或. 图形语言：(5) A =BA (4)B B（3）A (2)A 与B 没有有公共元素(1)A 与B 有公共元素，相互不包含理解：x A ∈或x B ∈包括三种情况：x A ∈且x B ∉；x B ∈且x A ∉；x A ∈且x B ∈. 并集的性质：（1）A B B A ⋃=⋃；（2）A A A ⋃=；（3）A A ⋃∅=；（4）()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃；（5）A A B ⊆⋃，B A B ⊆⋃；（6）A B B A B ⋃=⇔⊆. 2.交集自然语言：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ⋂（读作“A 交B ”）. 符号语言： {,}A B x x A x B ⋂=∈∈且. 图形语言：BA(5)A=B,A B=A=B(4)B A,A B=B(3)A B,A B=AA B（2）A 与B 没有公共元素,A B=（1）A 与B 有公共元素，且互不包含理解：当A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，只能说A 与B 的交集是∅. 交集的性质：（1）A B B A ⋂=⋂；（2）A A A ⋂=；（3）A ⋂∅=∅；（4）()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂；（5）A B A ⋂⊆，A B B ⋂⊆；（6）A B A A B ⋂=⇔⊆.3.补集（1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U . （2）补集的概念自然语言：对于一个集合A ，由属于全集U 且不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记为UA .符号语言： {,}UA x x U x A =∈∉且图形语言：补集的性质（1）()UA A ⋂=∅；（2）()UA A U ⋃=；（3）()()()UU UA B A B ⋃=⋂；（4）()()()U U UA B A B ⋂=⋃.1.4充分条件与必要条件1.充分条件与必要条件一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. 在生活中， q 是p 成立的必要条件也可以说成是: q ⌝⇒p ⌝（q ⌝表示q 不成立），其实，这与p q ⇒是等价的.但是，在数学中，我们宁愿采用第一种说法. 如果“若p ，则q ”为假命题，那么由p 推不出q ，记作/p q ⇒.此时，我们就说p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件. 2.充要条件如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q 则p ”均是真命题，即既有p q ⇒，又有q p⇒就记作p q ⇔.此时，我们就说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件.概括地说，如果p q ⇔，那么p 与q 互为充要条件. “p 是q 的充要条件”,也说成“p 等价于q ”或“q 当且仅当p ”等.1.5全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词（1）全称量词短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.全称量词命题“对M 中的任意一个x ，有()p x 成立”可用符号简记为x M ，()p x ，读作“对任意x 属于M ，有()p x 成立”.（2）存在量词短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.常见的存在量词还有“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等. 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M 中的元素x ，使()p x 成立”可用符号简记为x M ∃∈，()p x ，读作“存在M 中的元素x ，使()p x 成立”. 2.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：x M ，()p x ，它的否定：x M ∃∈，()p x ⌝.全称量词命题的否定是存在量词命题. （2）存在量词命题的否定存在量词命题：x M ∃∈，()p x ，它的否定：x M ，()p x ⌝.存在量词命题的否定是全称量词命题.第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质1.比较原理0a b a b >⇔->； 0a b a b =⇔-=； 0a b a b <⇔-<.2.等式的基本性质性质1 如果a b =，那么b a =；性质2 如果a b =，b c =，那么a c =；性质3 如果a b =，那么a c b c ±=±；性质4 如果a b =，那么ac bc =；性质5 如果a b =，0c ≠，那么a b c c=. 3.不等式的基本性质性质1 如果a b >，那么b a <；如果b a <，那么a b >.即a b b a >⇔<性质2 如果a b >，b c >，那么a c >.即a b >，b c >a c ⇒>.性质3 如果a b >，那么a c b c +=+.由性质3可得，()()a b c a b b c b a c b +>⇒++->+-⇒>-.这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.性质4 如果a b >，0c >，那么ac bc >；如果a b >，0c <，那么ac bc <. 性质5 如果a b >，c d >，那么a c b d +>+. 性质6 如果0a b >>，0c d >>，那么ac bd >. 性质7 如果0a b >>，那么nna b >（n N ∈，2n ≥）.2.2 基本不等式1.重要不等式,a b R ∀∈，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立. 2.基本不等式如果0a >，0b >，则2a b+≤，当且仅当a b =时，等号成立.2a b+叫做正数a ，b 的算术平均数叫做正数a ，b 的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.与基本不等式相关的不等式（1）当,a b R ∈时，有22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立.（2）当0a >，0b >时，有211a b≤+当且仅当a b =时，等号成立. （3）当,a b R ∈时，有22222a b a b++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立.4.利用基本不等式求最值已知0x >，0y >，那么（1）如果积xy 等于定值P ，那么当x y =时，和x y +有最小值；（2）如果和x y +等于定值S ，那么当x y =时，积xy 有最大值214S . 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示1.函数的概念设A ,B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的的数y 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作()y f x =,x A ∈.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{|(})f x x A ∈叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集. 2.区间：设a ,b 是两个实数，而且a b <，我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ；（2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ；（3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为：[,)a b , (,]a b .这里的实数a ，b 都叫做相应区间的端点.（4）实数集R 可以表示为(,)-∞+∞,“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞” 读作“正无穷大”.满足x a ≥，x a >，x b ≤，x b <的实数x 的集合，用区间分别表示为[,)a +∞ ，(,)a +∞(,]b -∞，(,)b -∞.这些区间的几何表示如下表所示.注意：（1）“∞”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远达不到，不是一个数. （2）以“-∞”或“+∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号. 3.函数的三要素（1）定义域；（2）对应关系；（3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定. 4.函数的相等如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数. 5.函数的表示方法（1）解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.解析法是表示函数的一种重要的方法，这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系. （2）图象法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势，从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系.说明：将自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值0()f x 作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点00(,())x f x .当自变量取遍函数的定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象.函数()y f x =的图象在x 轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在y 轴上的射影构成的集合就是函数的值域. 函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等. （3）列表法通过列表来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如，初中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的. 6.分段函数（1）分段函数的概念有些函数在其定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如（1）,0,(),0x x f x x x x -<⎧==⎨≥⎩ ，（2）22,0,(),0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩.说明：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围.③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式.④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集. （2）分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象.3.2 函数的基本性质函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性. 1.单调性与最大（小）值（1）增函数设函数()f x 的定义域为I ,区间D ⊆I .如果∀1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x <,那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增.特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.（2）减函数设函数()f x 的定义域为I ，区间D ⊆I.如果∀1x ，2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x >,那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增.特别地，当函数()f x 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. （3）单调性、单调区间、单调函数如果函数()y f x =在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数()y f x =在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间.如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数. （4）证明函数()f x 在区间D 上单调递增或单调递减，基本步骤如下： ①设值：设12,x x D ∈，且 12x x <；②作差：12()()f x f x - ；③变形：对12()()f x f x -变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心，要注意变形到底；④判断符号，得出函数的单调性. （5）函数的最大值与最小值①最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足: （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =. 那么我们称M 是函数()y f x =的最大值.②最小值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足:（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =. 那么我们称m 是函数()y f x =的最小值. 2.奇偶性（1）偶函数设函数()f x 的定义域为I ，如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数.关于偶函数有下面的结论：①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；②偶函数的图象关于y 轴对称.反之也成立； ③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反. （2）奇函数设函数()f x 的定义域为I ，如果x I ∀∈，都有x I -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数.关于奇函数有下面的结论：①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；③如果奇函数当0x =时有意义，那么(0)0f =.即当0x =有意义时，奇函数的图象过坐标原点；④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.3.3幂函数1.幂函数的概念一般地，形如y x α=（R α∈，α为常数）的函数称为幂函数. 对于幂函数，我们只研究1α=，2，3，12，1-时的图象与性质. 2.五个幂函数的图象和性质3.4函数的应用（一）略.第四章指数函数与对数函数4.1 指数1.n 次方根与分数指数幂（1）方根如果nx a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中1n >，且*n N ∈.①当n 是奇数时，正数的n 次方根是正数，负数的n 方根是负数.这时，a 的n 表示.②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a 的正的n 次表示，负的n 次方根用符号. 正的n 次方根与负的n 次方根可以合x 12xx -1并写成n a ±（0a >）. 负数没有偶次方根.0的任何次方根都是0，记作00n =.式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 关于根式有下面两个等式：()n n a a =；,,nna n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数..2.分数指数幂（1）正分数指数幂mn m n a a =（0a >，m ，*n N ∈，1n >）.0的正分数指数幂等于0.（2）负分数指数幂1m nmnmnaaa-=0a >，m ，*n N ∈，1n >）.0的负分数指数幂没有意义. （3）有理数指数幂的运算性质①r s r s a a a+=（0a >，r ，s Q ∈）；②()r srs a a =（0a >，r ，s Q ∈）；③()rrrab a b =（0a >，0b >，r Q ∈）.3. 无理数指数幂及其运算性质（1）无理数指数幂的概念当x 是无理数时，xa 是无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.当x的不足近似值m 和过剩近似值n 逐渐逼近x 时，m a 和n a 都趋向于同一个数，这个数就是xa .所以无理数指数幂xa （0a >，x 是无理数）是一个确定的数.（2）实数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数r ，s ，均有下面的运算性质.①r s r s a a a+=（0a >，r ，s R ∈）；②()r srs a a =（0a >，r ，s R ∈）； ③()rrrab a b =（0a >，0b >，r R ∈）.4.2 指数函数1.指数函数的概念函数xy a =（0a >，且1a ≠）叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R .2.指数函数的图象和性质一般地，指数函数xy a =（0a >，且1a ≠）的图象和性质如下表所示：4.3 对数1.对数的概念一般地，如果xa N =(0,1)a a >≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.当0a >，且1a ≠时，log N xa a N x =⇔=.2. 两个重要的对数（1）常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把10log N 记为lg N .（2）自然对数：以e （e 是无理数， 2.71828e =…）为底的对数叫做自然对数，并把log e N 记作ln N .3. 关于对数的几个结论（1）负数和0没有对数；（2）log 10a =；（3）log 1a a =.4. 对数的运算如果0a >，且1a ≠，0M >，0N >，那么（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log log a a a M M N N=-；（3）log log na a M n M =（n R ∈）.5. 换底公式log log log c a cbb a =（0a >，且1a ≠，0b >，0c >，1c ≠）.4.4 对数函数1. 对数函数的概念一般地，函数log a y x =（0a >，且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0,)+∞.2.对数函数的图象和性质3. 反函数指数函数xy a =（0a >，且1a ≠）与对数函数log a y x =（0a >，且1a ≠）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称. 4. 不同函数增长的差异对于对数函数log a y x =（1a >）、一次函数y kx =（0k >）、指数函数xy b =（1b >）来说，尽管它们在(0,)+∞上都是增函数，但是随着x 的增大，它们增长的速度是不相同的.其中对数函数log a y x =（1a >）的增长速度越来越慢；一次函数y kx =（0k >）增长的速度始终不变；指数函数xy b =（1b >）增长的速度越来越快.总之来说，不管a （1a >），k （0k >），b （1b >）的大小关系如何，xy b =（1b >）的增长速度最终都会大大超过y kx =（0k >）的增长速度；y kx =（0k >）的增长速度最终都会大大超过log a y x=（1a >）的增长速度.因此，总会存在一个0x ，当0x x >时，恒有log x a b kx x >>.4.5 函数的应用（二）1. 函数的零点与方程的解（1）函数零点的概念对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数解，也是函数()y f x =的图象与x 轴的公共点的横坐标.所以方程()0f x =有实数解⇔函数()y f x =有零点⇔函数()y f x =的图象与x 轴有公共点.（2）函数零点存在定理如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的解. 2. 用二分法求方程的近似解对于在区间[,]a b 上图象连续不断且()()0f a f b <的函数()y f x =，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.给定精确度ε，用二分法求函数()y f x =零点0x 的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点0x 的初始区间[,]a b ，验证()()0f a f b <. （2）求区间(,)a b 的中点c .（3）计算()f c ，并进一步确定零点所在的区间：①若()0f c =（此时0x c =），则c 就是函数的零点； ②若()()0f a f c <（此时0(,)x a c ∈），则令b c =； ③若()()0f c f b <（此时0(,)x c b ∈），则令a c =.（4）判断是否达到精确度ε：若a b ε-<，则得到零点的近似值a （或b ）；否则重复步骤（2）~（4）.由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解. 3. 函数模型的应用用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.第五章三角函数5.1 任意角和弧度制1.任意角（1）角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 射线的端点叫做角的顶点，射线在起始位置和终止位置分别叫做角的始边和终边. （2）正角、负角、零角按逆时针方向旋转所成的角叫正角；按顺时针方向旋转所成的角叫负角；一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角. （3）象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限.（4）终边相同的角A BO所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅︒∈即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍；象限角的表示：第一象限角的集合{}|36090360,k k k Z αα⋅︒<<︒+⋅︒∈第二象限角的集合{}|90360180360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈第三象限角的集合{}|180360270360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈第四象限角的集合{}|270360360360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈终边落在坐标轴上的角在以后的学习中很重要，它们的表示如下表.2. 弧度制（1）弧度的概念长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为αrad ，那么l rα=.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. （2）弧度与角度的换算（3）关于扇形的几个公式设扇形的圆心角为α（rad ），半径为R ，弧长为l ，则有①l R α=； ②212S R α=； ③12S lR =. 5.2 三角函数的概念1. 三角函数的概念（1）三角函数的定义一般地，任意给定一个角R α∈，它的终边OP 与单位圆相交于点(,)P x y .把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin y α=；把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作 cos α，即cos x α=；把点P 的纵坐标与横坐标的比值yx 叫做α的正切函数，记作tan α，即 tan yxα=（0x ≠）. 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数 sin y α=，x R ∈；余弦函数 cos y α=，x R ∈；正切函数 tan y α=，2x k ππ≠+（k Z ∈）.设α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点重合）的坐标为(,)x y ，点P 与原点的距离为r =可以证明：sin y r α=； cos xr α=；tan yx α=.（2）几个特殊角的三角函数值0，π，π，3π的三角函数值如下表所示：（3）三角函数值的符号tan αcos αsin α（4）诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数值相等.sin(2)sin k απα+⋅=， cos(2)cos k απα+⋅=， tan(2)tan k απα+⋅=，其中k Z ∈.2. 同角三角函数间的基本关系（1）平方关系22sin cos 1αα+=.（2）商数关系sin tan cos ααα=. 作用：（1）已知α的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；（2）化简三角函数式；（3）证明三角函数恒等式.5.3 诱导公式1. 公式二sin()sin παα+=-，cos()cos παα+=-，tan()tan παα+=.2. 公式三sin()sin αα-=-， cos()cos αα-=， tan()tan αα-=-.3. 公式四sin()sin παα-=，cos()cos παα-=-，tan()tan παα-=-.小结：（1）2k απ+⋅（k Z ∈），πα+，α-，πα-的三角函数，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时原三角函数值的符号.（2）利用公式一∼公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：4. 公式五sin()cos 2παα-=，cos()sin 2παα-=.5. 公式六sin()cos 2παα+=，cos()sin 2παα+=-.小结：2πα-，2πα+的正弦（余弦），等于α的余弦（正弦），前面加上把α看成锐角时原三角函数值的符号.5.4 三角函数的图象与性质1.正弦函数、余弦函数的图象（1）正弦函数sin y x =的图象. ①画点00(,sin )T x x在直角坐标系中画出以原点O 为圆心的单位圆，O 与x 轴正半轴的交点为(1,0)A .在单位圆上，将点A 绕着点O 旋转0x 弧度至点B ，根据正弦函数的定义，点B 的纵坐标00sin y x =.由此，以0x 为横坐标，0y 为纵坐标画点，即得到函数图象上的点00(,sin )T x x .② 画sin yx （[0,2]x π∈）的图象把x 轴上从0到2π这一段分成12等份，使0x 的值分别为0，6π，3π，2π，…，2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等份，再按上述画点00(,sin )T x x 的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点.然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得sin yx （[0,2]x π∈）的图象.③sin yx （x R ∈）的图象由诱导公式一可知，函数sin y x ，[2,2(1))x k k ，kZ 且0k的图象，与函数sin yx ，[0,2)x 的图象形状完全一样.因此将函数sin y x ，[0,2)x 的图象不断向左、向右平行移动（每次2个单位长度），就可以得到正弦函数 sin y x ，x R 的图象（如下图）.正弦函数的图象叫做正弦曲线. ④五点作图法在函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象上，有以下五个关键点：(0,0)，(,1)2π，(,0)π，3(,1)2π-，(2,0)π.画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图.这种作图的方法称为”五点作图法”. （2）余弦函数的图象因为cos sin()2y x x π==+，所以可将正弦函数sin y x =，x R ∈的图象向左平移2π个单位长度即得余弦函数cos y x =，x R ∈的图象.x,x。

【2019版新教材】高中数学A版必修第一册第一章全章节教案教学设计+课后练习及答案(名师推荐精编版)

【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108 好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5 个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素，或者不是集合 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．一元素.（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．(b)不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系；(a)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如：A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．(a)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”。

人教版高中数学必修一第一章知识点

第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。

数学人教A版(2019)必修第一册1.2集合间的基本关系(共20张ppt)

（2）点集、数集（重点：代表元素）
5.常用数集： N , N（ * N ), Z , Q, R
梦里能达到的地方，总有一天，脚步也能达到
学习目标： 1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 2. 理解子集、真子集、空集的概念； 3. 能使用 Venn 图表达集合间的关系，体会数形结合的思想. 教学重点：集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念，空集的概念. 教学难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别.
们学习集合这一章的辅助手段。
子集
梦里能达到的地方，总有一天，脚步也能达到
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B
中的元素，就称集合A为集合B的子集。
记作: A B(或B A）读作： “A含于B” (或“B包含A”)
符号语言：对任意x A, 有 x B,则 A B。
集合和集合的关系
梦里能达到的地方，总有一天，脚步也能达到
已知集合A={x|-2≤x≤5}.(1)若B⊆A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数m的取值范围;(2)若A⊆C且C⊆B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围.
集合和集合的关系
梦里能达到的地方，总有一天，脚步也能达到
【情景导入】
梦里能达到的地方，总有一天，脚步也能达到
问题1 上一节我们学习了集合，对于这个新的研究对象，接下来该如何研究呢？比如要研究些什么？用什么方法研究？
实数有相等关系
实数有大小关系
如：5=5
如：5<7,5>3
类比 “实数” ➢ 回顾实数研究了哪些内容：实数间的关系、实数的运算等
集合与集合之间呢？
Venn图（1）用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．（2）上述集合A与B之间的关系用Venn图可表示为：

高中数学人教A版必修一第一章1.1.2集合间的基本关系

用⊆，或，或连结.
, a与A是元素与集合的关系，用
或连结.
A={x|x是高一(3)班的学生}, B={x|x是高一年级的学生}， C={x|x是本校学生}；
若A ⊆B，B ⊆C，则A ⊆C
一个集合是它本身的子集.
空集是任何集合的子集. 空集是任何非空集合的真子集.
若A ⊆B，B ⊆C，则A ⊆C.
(2)、A={1,5,7}, B={1,2,3,5,7}； (3)、A={2,4,6,8},
B={2x ,|4x,6是,8大}；于0小于10的偶数}； (4)、A={1,4,5,6},
B={1,2,3,4,5}；
判断下列两个集合之间的关系.
(1)、 A={1,3,5,7}， B={1,2,3,4,5,6,7,} ；
① A≠B
联系：AA⊆⊆BB 区别
② A=B
(3)、A={2,4,6,8}, B={2,4,6,8}；
(1)、 A={1,3,5,7}， B={1,2,3,4,5,6,7,} ； (2)、A={1,5,7}, B={1,2,3,5,7}；
真子集
如果A ⊆B，但存在x B，且x A，
称集合A是集合B的真子集.
B={2,4,6,8}； (4)、A={1,4,5,6},
B={1,2,3,4,5}；
(3)、A={2,4,6,8}, B={2,4,6,8}；
若A ⊆B,B ⊆A,则A=B
一个集合是它本身的子集.
判断下列两个集合之间的关系.
(1)、 A={1,3,5,7}， B={1,2,3,4,5,6,7,} ；
B={1,2,3,4,5}；
(4)、A={1,4,5,6}, B={1,2,3,4,5}；
如果集合A中存在某个元素(6)，这个元素不属于B，则称A不包

(2019新版)人教A版高中数学必修一第一章第3节集合间的基本关系

课后练习：
1. 指出下列各对集合之间的关系（1）A＝{北京市．上海市．天津市，重庆市}，B＝{重庆市}；（2）C＝{6}，D＝{x|x＜7}；（3）M＝{正三角形}，N＝{三角形}；（4）P＝{交通工具}，Q＝{摩托车}．
例 2：若集合 A={﹣1，2}，B={0，1}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}的子集共有（）
A．2 个
B．4 个
C．8 个 D．16 个
解：A={﹣1，2}，B={0，1}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}={﹣1，0，2，3}，其子集的个数是 24=16，故选：D．
练习：集合 M＝{y∈N|y＝﹣x2+5，x∈Z}的真子集个数是（） A．5 B．6 C．7 D．
解析：∵A＝{x|x2－5x－6＝0}＝{－1,6}．又 B⊆A，∴B＝∅或 B＝{－1}或 B＝{6}．当 B＝∅时，m＝0；当 B＝{－1}时，m＝1；当 B＝{6}时，m＝－16；综上，m 的值为 0,1，－16 答案：0,1，－16
练习：设集合 A={﹣1，1}，集合 B={x|ax=1，a∈R}，则使得 B A 的 a 的所有取值构成的集合是（） A．{0，1} B．{0，﹣1} C．{1，﹣1} D．{﹣1，0，1}
A．1
B．－1
C．2
D．－2
解析：选 C ∵ba中，a≠0，∴a＋b＝0.当 b＝1 时，a＝－1，这时ba＝－1，符合题意；当ba ＝1 时，a＝0 不合题意．故 b－a＝1－(－1)＝2.
练习：已知集合 A＝{2，a，b}，集合 B＝{2a,2，b2}．若 A＝B，求 a，b 的值．
[ 精解详析]
A．{0，1}
B．{1，3}

新人教A版新教材学高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语集合间的基本关系讲义

最新课程标准：（１）在具体情境中，了解空集的含义．（２）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.知识点一子集文字语言符号语言图形语言对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集对任意元素x∈A，必有x∈B，则A⊆B（或B⊇A），读作A包含于B或B包含A错误!“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈Ｂ．知识点二集合相等文字语言：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.符号语言：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.错误!１．若A ⊆B，又B ⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A ⊆B，且B ⊆Ａ．２．若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．知识点三真子集文字语言：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集（proper subset）．符号语言：A B（或B A）．错误!在真子集的定义中，A B首先要满足A ⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉Ａ．知识点四空集不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.规定：空集是任何集合的子集．知识点五子集的性质１．任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.２．对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.[教材解难]教材P8思考{a}表示含有一个元素a的集合，{a}⊆A表示集合A包含{a}，这是两个集合之间的关系；a∈A，表示a是A的一个元素，这是元素与集合之间的关系．[基础自测]１．下列四句话中：１∅＝{0}；２空集没有子集；３任何一个集合必有两个或两个以上的子集；４空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（）Ａ．0个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．３个解析：由空集的性质可知，只有４正确，１２３均不正确．答案：B２．集合{0,１}的子集有（）Ａ．１个Ｂ．２个Ｃ．３个Ｄ．４个解析：集合{0,１}的子集为∅，{0}，{１}，{0,１}．答案：D３．已知集合A＝{x|—１—x<0}，则下列各式正确的是（）Ａ．0⊆AＢ．{0}∈AＣ．∅∈AＤ．{0}⊆A解析：集合A＝{x|—１—x<0}＝{x|x>—１}，所以0∈A，{0}⊆A，D正确．答案：D４．已知集合A＝{—１,３,２m—１}，集合B＝{３，m２}，若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，∴２m—１＝m２，∴m＝１．答案：１题型一集合间关系的判断[经典例题]例１（１）下列各式中，正确的个数是（）１{0}∈{0,１,２}；２{0,１,２}⊆{２,１,0}；３∅⊆{0,１,２}；４∅＝{0}；５{0,１}＝{（0,１）}；⑥0＝{0}．Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（２）指出下列各组集合之间的关系：１A＝{—１,１}，B＝{（—１，—１），（—１,１），（１，—１），（１,１）}；２A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；３M＝{x|x＝２n—１，n∈N*}，N＝{x|x＝２n＋１，n∈N*}．【解析】（１）对于１，是集合与集合的关系，应为{0}{0,１,２}；对于２，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于３，空集是任何集合的子集；对于４，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于５，{0,１}是含有两个元素0与１的集合，而{（0,１）}是以有序数组（0,１）为元素的单元素集合，所以{0,１}与{（0,１）}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故２３是正确的，应选Ｂ．（２）１集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．２等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.３方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“１”，而集合N不含元素“１”，故N M.方法二由列举法知M＝{１,３,５,7，…}，N＝{３,５,7,9，…}，所以N M.【答案】（１）B （２）见解析根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断１２３４⑥，对于５应先明确两个集合中的元素是点还是实数．方法归纳判断集合间关系的方法（１）用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.（２）数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．跟踪训练１（１）若集合M＝{x|x２—１＝0}，T＝{—１，0,１}，则M与T的关系是（）Ａ．M TＢ．M TＣ．M＝TＤ．M T（２）用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．解析：（１）因为M＝{x|x２—１＝0}＝{—１,１}，又T＝{—１,0,１}，所以M T.（２）根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图答案：（１）A （２）见解析错误!（２）学习完知识点后，我们可以得到B ⊆A，C ⊆A，D ⊆A，D ⊆B，D ⊆Ｃ．题型二子集、真子集及个数问题[教材P8例１、２]例２（１）写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．（２）判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：１A＝{１,２,３}，B＝{x|x是8的约数}；２A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．【解析】（１）集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}．真子集为∅，{a}，{b}．（２）１因为３不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集．２因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集．错误!（１）题写出集合的子集时易忘∅，真子集是在子集的基础上去掉自身．（２）题先确定集合A，B中的元素，再根据子集的定义判断.教材反思１．求集合子集、真子集个数的三个步骤２．若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为２n，真子集的个数为２n—１，非空真子集的个数为２n—２．跟踪训练２（１）已知集合A＝{x∈R|x２—３x＋２＝0}，B＝{x∈N|0<x<５}，则满足条件A C B的集合C的个数为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４（２）已知集合A＝{x∈R|x２＝a}，使集合A的子集个数为２个的a的值为（）Ａ．—２Ｂ．４Ｃ．0 Ｄ．以上答案都不是解析：（１）由x２—３x＋２＝0，得x＝１或x＝２，所以A＝{１,２}．由题意知B＝{１,２,３,４}，所以满足条件的C可为{１,２,３}，{１,２，４}．（２）由题意知，集合A中只有１个元素，必有x２＝a只有一个解；若方程x２＝a只有一个解，必有a＝0．答案：（１）B （２）C错误!（１）先用列举法表示集合A，B，然后根据A C B确定集合Ｃ．（２）先确定关于x的方程x２＝a解的个数，然后求a的值．题型三根据集合的包含关系求参数[经典例题]例３已知集合A＝{x|１<ax<２}，B＝{x|—１<x<１}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．【解析】（１）当a＝0时，１A＝∅，满足A⊆B.（２）当a>0时，A＝错误!.又∵B＝{x|—１<x<１}，且A⊆B，∴错误!２∴a≥２．（３）当a<0时，A＝错误!.３∵A⊆B，∴错误!∴a≤—２．综上所述，a的取值范围是{a|a＝0，或a≥２，或a≤—２}．错误!１欲解不等式１<ax<２，需不等号两边同除以a，而a的正负不同时，不等号的方向不同，因此需对a分a＝0，a>0，a<0进行讨论．２A ⊆B用数轴表示如图所示：（a＞0时）由图易知，错误!和错误!需在—１与１之间．当错误!＝—１，或错误!＝１时，说明A 与B的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如错误!＝１时，A＝错误!，x 取不到１．３a<0时，不等式两端除以a，不等号的方向改变．方法归纳（１）分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．（２）此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．（３）此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．跟踪训练３设集合A＝{x|x２—8x＋１５＝0}，B＝{x|ax—１＝0}．（１）若a＝错误!，试判定集合A与B的关系．（２）若B⊆A，求实数a的取值集合．解析：（１）由x２—8x＋１５＝0得x＝３或x＝５，故A＝{３,５}，当a＝错误!时，由ax—１＝0得x＝５．所以B＝{５}，所以B A.（２）当B＝∅时，满足B⊆A，此时a＝0；当B≠∅，a≠0时，集合B＝错误!，由B ⊆A得错误!＝３或错误!＝５，所以a＝错误!或a＝错误!.综上所述，实数a的取值集合为错误!错误!（１）解方程x２—8x＋１５＝0，求出A，当a＝错误!时，求出B，由此能判定集合A与B的关系．（２）分以下两种情况讨论，求实数a的取值集合．１B＝∅，此时a＝0；２B≠∅，此时a≠0．易错点忽略空集的特殊性致误例设M＝{x|x２—２x—３＝0}，N＝{x|ax—１＝0}，若N⊆M，求所有满足条件的a 的取值集合．【错解】由N⊆M，M＝{x|x２—２x—３＝0}＝{—１,３}，得N＝{—１}或{３}．当N＝{—１}时，由错误!＝—１，得a＝—１．当N＝{３}时，由错误!＝３，得a＝错误!.故满足条件的a的取值集合为错误!.【正解】由N⊆M，M＝{x|x２—２x—３＝0}＝{—１,３}，得N＝∅或N＝{—１}或N＝{３}．当N＝∅时，ax—１＝0无解，即a＝0．当N＝{—１}时，由错误!＝—１，得a＝—１．当N＝{３}时，由错误!＝３，得a＝错误!.故满足条件的a的取值集合为错误!.【易错警示】错误原因纠错心得错解忽略了N＝∅这种情况空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则课时作业２一、选择题１．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤１}和集合N＝{x∈R|x２＝x}关系的Venn图是（）解析：N＝{x∈R|x２＝x}＝{0,１}，M＝{x|x∈R且0≤x≤１}，∴N M.答案：B２．已知集合A＝{１,２,３}，B＝{３，x２,２}，若A＝B，则x的值是（）Ａ．１Ｂ．—１Ｃ．±１Ｄ．0解析：由A＝B得x２＝１，所以x＝±１，故选Ｃ．答案：C３．已知集合A＝{—１,0,１}，则含有元素0的A的子集的个数为（）Ａ．２Ｂ．４Ｃ．6 Ｄ．8解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,１}，{0，—１}，{—１,0,１}，共４个．答案：B４．设A＝{x|２<x<３}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是（）Ａ．m>３Ｂ．m≥３Ｃ．m<３Ｄ．m≤３解析：因为A＝{x|２<x<３}，B＝{x|x<m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥３．答案：B二、填空题５．已知集合：（１）{0}；（２）{∅}；（３）{x|３m<x<m}；（４）{x|a＋２<x<a}；（５）{x|x２＋２x＋５＝0，x∈R}．其中，一定表示空集的是________（填序号）．解析：集合（１）中有元素0，集合（２）中有元素∅，它们不是空集；对于集合（３），当m<0时，m>３m，不是空集；在集合（４）中，不论a取何值，a＋２总是大于a，故集合（４）是空集；对于集合（５），x２＋２x＋５＝0在实数范围内无解，故为空集．答案：（４）（５）6．已知集合A＝{１,３,５}，则集合A的所有子集的元素之和为________．解析：集合A的子集分别是：∅，{１}，{３}，{５}，{１,３}，{１,５}，{３,５}，{１,３,５}．注意到A中的每个元素出现在A的４个子集，即在其和中出现４次．故所求之和为（１＋３＋５）×４＝３6．答案：３67．若集合A{１,２,３}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．解析：若A中含有一个奇数，则A可能为{１}，{３}，{１,２}，{３,２}；若A中含有两个奇数，则A＝{１,３}．答案：５三、解答题8．已知{１,２}⊆A{１,２,３,４}，写出所有满足条件的集合A.解析：∵{１,２}⊆A，∴１∈A,２∈A.又∵A{１,２,３,４}，∴集合A中还可以有３,４中的一个，即集合A可以是{１,２}，{１,２,３}，{１,２,４}．9．已知M＝{２，a，b}，N＝{２a,２，b２}，且M＝N，试求a与b的值．解析：方法一根据集合中元素的互异性，有错误!或错误!解得错误!或错误!或错误!再根据集合中元素的互异性，得错误!或错误!方法二∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．∴错误!即错误!∵集合中的元素互异，∴a，b不能同时为零．当b≠0时，由２得a＝0或b＝错误!.当a＝0时，由１得b＝１或b＝0（舍去）．当b＝错误!时，由１得a＝错误!.当b＝0时，a＝0（舍去）．∴错误!或错误![尖子生题库]１0．已知集合A＝{x|—３≤x≤４}，B＝{x|２m—１<x<m＋１}，且B⊆A.求实数m的取值范围．解析：∵B⊆A，（１）当B＝∅时，m＋１≤２m—１，解得m≥２．（２）当B≠∅时，有错误!解得—１≤m<２．综上得m≥—１．即实数m的取值范围为[—１，＋∞）．。

1.1集合的概念(人教A版2019 必修第一册)

[答案]
D
[解析]
∵3－1＝2>
，∴3∉A. 又－3－1＝－4<
3
)
，∴－3∈
A.
3
（四）集合的表示
【思考4】
（1）地球上的四大洋组成的集合如何表示？
（2）方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何表示呢？
（3）通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的特点吗？
列举法：
把集合的所有元素一一列举出来，
思考：a，b与集合A分别有什么关系?
元素与集合的关系：
如果a是集合A中的元素，就说a 属于集合A，记作 a A ；
如果a不是集合A中的元素，就说a 不属于集合A，记作 a A .
（三）元素与集合的关系
元素与集合关系：
唯一性
a是不是集合A中的元素，只有属于与不属于两种关系
符号与具有方向性，左边是元素，右边是集合
使用前提
推理法
对于某些不便直接表示的集合
首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后
判断方法
判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征
即可
（三）元素与集合的关系
巩固练习1
已知集合A中的元素x满足x－1<
3，则下列各式正确的是(
A．3∈A且－3∉A
B．3∈A且－3∈A
C．3∉A且－3∉A
D．3∉A且－3∈A
R
正确
选项C，0不是正整数，所以0∈N*错误
选项D，|－5|＝5为正整数，所以|－5|∉N*错误
D. 5 N *
（三）元素与集合的关系
【类题通法】判断元素与集合关系的两种方法
直接法
使用前提

新课标人教A版高中数学必修1知识点总结

高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念【】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N*或N+表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是a M∈，或者a M∉，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集.【】集合的基本运算（8）交集、并集、补集x B ∈∅=∅B A ⊆ B B ⊆x B ∈A A =A ∅=B A ⊇ B B ⊇补集UA{|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅ 2()U A A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<<||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式0∆> 0∆= 0∆<()()()UU U A B A B =()()()UU U A B A B =24b ac∆=-二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O一元二次方程20(0) ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0) ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R20(0) ax bx c a++<>的解集12{|}x x x x<<∅∅〖〗函数及其表示【】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()f x和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a xb <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2++=，则在()0a y xb y xc y()()()0a y≠时，由于,x y为实数，故必须有2()4()()0∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．b y a yc y④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B 以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作:f A B→．②给定一个集合A到集合B的映射，且,∈∈．如果元素a和元素b对应，a Ab B那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖〗函数的基本性质【】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)>f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．y=f(X)yxo x x2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x=，令()u g x=，若()y f u=为增，()u g x=为增，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为减，()u g x=为减，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为增，()u g x=为减，则[()]y f g x=为减；若()y f u=[()]y f g x=为减．（2）打“√”函数()(0)af x x ax=+>的图象与性质()f x分别在(,]a-∞、,)a+∞]a上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．第二章基本初等函数(Ⅰ) 〖〗指数函数【】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n 为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m na a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【】指数函数及其性质（4）指数函数〖〗对数函数【】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N-=③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④logaNa N =⑤log log (0,)bn a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【】对数函数及其性质（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qp y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．〖补充知识〗二次函数（1）二次函数解析式的三种形式①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠（2）求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a=-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2b x a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2ba -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a=-时，2max 4()4ac b f x a -=．③二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点11221212(,0),(,0),||||||M x M x M M x x a =-=．（4）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k1＜x1≤x2＜k2⇔⑤有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2⇔f(k1)f(k2)<0，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2⇔此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a=++≠在闭区间[,]p q上的最值设()f x在区间[,]p q上的最大值为M，最小值为m，令01() 2x p q=+．（Ⅰ）当0a>时（开口向上）①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q =b a()M f p = 0<时)2a ()f p ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x 0x 0x第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

1.2集合间的基本关系-2024-2025学年高一数学必修第一册+课件(人教A版2019)

当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.
(2)
集合
⌀
{a}
{a,b}
{a,b,c}
集合的子集
⌀
⌀,{a}
⌀,{a},{b},{a,b}
⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
子集的个数
1
2
4
8
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2 ?真子集的个数
及非空真子集的个数是2 -2.
确定集合的子集、真子集
设A={x(x-16)(x+5x+4)=0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集？
解：由(x2-16)(x2+5x+4)=0，得(x-4)(x+1)(x+4)2=0，解方程得x=-4或x=-1
或x=4.
故集合A={-4,-1,4}.由0个元素构成的子集为∅;
由1个元素构成的子集为{-4}，{-1}，{4};
由2个元素构成的子集为{-4,-1}，{-4,4}，{-1,4};
由3个元素构成的子集为{-4,-1,4}.
因此集合A的子集为∅，{-4}，{-1}，{4}，{-4,-1}，{-4,4}，{-1,4}，{4,-1,4}.
真子集为∅，{-4}，{-1}，{4}，{-4,-1}，{-4,4}，{-1,4}.
知识讲解
2.填空
一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B
的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作
A=B.
也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
3.做一做

人教高中数学A版必修1--第一单元 1.1.2《集合间的基本关系》课件PPT

第一章集合与函数概念
1.1.2 集合间的基本关系
A={0 , 1} B={0，1，2 } 任意 a∈A a∈B 集合A 是集合B的子集
第一章集合与函数概念
集合A 是集合B的子集
元素多的
A B
B A
读作：A 包含于 B 读作：B 包含 A
栏目导引
第一章集合与函数概念
集合与集合之间的关系
元素与集合之间的从属关系
解:(1)将两个集合在数轴上表示出来,如图所示,显然有 B A. (2)在集合 A 中,x=k+ 1 = 2k 1 ,k∈Z.
22 当 k∈Z 时,2k+1 是奇数,所以集合 A 中的元素是所有的奇数除以 2 所得的数. 在集合 B 中,x=2k+ 1 = 4k 1 ,k∈Z.当 k∈Z 时,4k+1 只表示了部分奇数.故 B A.
可得
a a
3 3
2a, 1
或
a 3 2a 4.
2a,
解之得 a≤-4 或 2≤a≤3.
综上可得,实数 a 的取值范围是{a|a≤-4 或 a≥2}.
栏目导引
第一章集合与函数概念
即时训练4-1:若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|x2+x+a=0},且B⊆A, 求实数a的取值范围.
22 (3)当 n∈N*时,由 x=2n-1 知 x=1,3,5,7,9,…. 由 x=2n+1 知 x=3,5,7,9,….故 A={1,3,5,7,9,…},B={3,5,7,9,…},因此 B A.
栏目导引
【备用例2】用适当的符号填空:
(1)2
{x|x2=2x},
(2){3,4,8}
Z;

人教版高中数学必修一第一章知识点

第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图AB(1)AA子集B （或A)A中的任一元素都属于B(2)A(3)若AB且BC，则AC(4)若AB且BA，则ABA(B)BA或真子集AB（或BA）AB，且B中至少有一元素不属于AA（A为非空子集）（1）(2)若AB且BC，则ACBA集合相等AB A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A(1)AB(2)BAA(B)n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集，（7）已知集合A有n(n1)个元素，则它有2n它有22非空真子集. （8）交集、并集、补集1【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图AB 交集{x|x A,且（1）AAA（2）AAB（3）ABAxB}ABBAB 并集{x|x A,或（1）AAA（2）AAAB（3）ABAxB}ABB1A(e U A)2()AeAUU补集e U A{x|xU,且xA} 痧U(A B)(U A)(?U B)痧U(AB)(U A)(?U B)【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集|x|a(a0){x|axa}|x|a(a0)x|xa或xa}把axb看成一个整体，化成|x|a，|axb|c,|axb|c(c0)|x|a(a0)型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24bac000二次函数2(0)yaxbxcaO的图象一元二次方程20(0)axbxcax1,22bb4ac2abxx122a无实根（其中x1x2)的根20(0) axbxca的解集b{x|xx或xx2}{x|x}12aR 220(0)axbxca的解集{x|xxx}12〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:AB．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设a,b是两个实数，且ab，满足a xb的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足axb的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a xb，或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b]；满足x a,xa,xb,xb的实数x的集合分别记做[a,),(a,),(,b],(,b)．注意：对于集合{x|axb}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须ab．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①f(x)是整式时，定义域是全体实数．②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤ytanx中，()xkkZ．2⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式ag(x)b解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数yf(x)可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程2a(y)xb(y)xc(y)0，则在a(y)0时，由于x,y为实数，故必须有byaycy，从而确定函数的值域或最值．2()4()()0④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的映射，记作f:AB．②给定一个集合A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质如果对于属于定义域I 内某（1）利用定义个区间上的任意两个自变量的值x2,当x ． 1、x 1．<．x ．2．时，都y y=f(X) f(x)2（2）利用已知函数的单调性有f ．(x ．．．)．<．f(．x ．．．)．，那么就说 12 f(x)在这个区间上是增函数．．．．f(x)1（3）利用函数图象（在某个区间图o x 1x 2x 象上升为增）函数的（4）利用复合函数单调性（1）利用定义如果对于属于定义域I 内某yy=f(X)（2）利用已知函数的个区间上的任意两个自变量 11、x ．<．x ．的值x2，当x ．2．时，都有f ．(x ．．12．)．，那么就说f(x) 1f(x) 2单调性（3）利用函数图象（在某个区间图f(x)在这个区间上是减函数．．．．o xx 12x象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数yf[g(x)]，令ug(x)，若yf(u)为增，ug(x)为增，则yf[g(x)]为增；若yf(u)为减，ug(x)为减，则y f[g(x)]为增；若yf(u)为增，ug(x)为减，则y f[g(x)]为减；若yf(u)为减，ug(x)为增，则yyf[g(x)]为减．a（2）打“√”函数()(0)fxxax的图象与性质 f(x)分别在(,a ]、[a ,)上为增函数，分别在ox[a,0)、(0,a]上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x I，使得f(x0)M．那么，我们称M是函数f(x)的最大值，记作0f max(x)M．5②一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)m；（2）存在x0I，使得f(x0)m．那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作f max(x)m．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质如果对于函数f(x)定义域内（1）利用定义（要先任意一个x，都有．f(．－．x．．)=．－．判断定义域是否关于f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇．函．原点对称）数．．（2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内（1）利用定义（要先任意一个x，都有f(－．x．．)=．f．(x．)．．,．．判断定义域是否关于那么函数f(x)叫做偶．函．数．．原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）②若函数f(x)为奇函数，且在x0处有定义，则f(0)0．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换yfxyfxh()h0,h()左移个单位右移|个单位h0,h|yfxyfxk()kk()0,上移个单位下移|个单位k0,k|变换②伸缩01,伸yf(x)yf(x)1,缩6yfxyAfx()0A1,缩()A1,伸③对称变换x轴yf(x)y轴yf(x)yf(x)yf(x)原点直线1yxyf(x)yf(x)yf(x)yf(x)去掉轴左边图象yyf(x)yf(|x|)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留轴上方图象yfxyfx()x|()|将轴下方图象翻折上去x（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．7。

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第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A {|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0) ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O一元二次方程20(0) ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0) ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R ()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。

高中数学人教A版必修一第一章知识点总结及题型

高中数学人教A版必修一第一章知识点总结及题型高中数学必修一第一章知识点及题型一、第一章第一单元集合---知识点总结知识点一：集合的概念集合是研究对象的统称，用小写拉丁字母a，b，c等表示元素，一些元素的集合称为集合或集，用大写拉丁字母A，B，C等表示，不含任何元素的集合称为空集，记为∅。

知识点二：集合与元素的关系如果a是集合A的元素，就称a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就称a不属于集合A，记作a∉A。

知识点三：集合的特性及分类集合元素具有唯一性、无序性和互异性。

集合可分为有限集和无限集，有限集含有有限个元素，无限集含有无限个元素。

知识点四：集合的表示方法集合的表示方法有列举法和描述法。

列举法是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法；描述法是用集合所含元素的特征表示集合的方法。

知识点五：集合与集合的关系集合A中的所有元素都是集合B中的元素时，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B；如果A是B的子集，但存在元素不属于B，则称A是B的真子集，记作A⊂B。

子集的性质包括空集是任意集合的子集、任何集合都是它本身的子集、如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。

知识点六：集合的运算集合的运算包括交集和并集。

集合A与B的并集是由A 和B中所有元素组成的集合，记作A∪B；集合A与B的交集是A和B中共有的元素组成的集合，记作A∩B。

3.交集与并集的性质交集的运算性质：A∩B = B∩A （交换律）A∩A = A （恒等律）A∩∅ = ∅（零律）A⊆B ⇔ A∩B = A （吸收律）并集的运算性质：A∪B = B∪A （交换律）A∪A = A （恒等律）A∪∅ = A （零律）A⊆B ⇔ A∪B = B （吸收律）A∪B = B∪A = {x | x∈A或x∈B} （定义）符号语言、图形语言和自然语言都可以用来表示集合的交集和并集。

4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。

数学人教A版(2019)必修第一册1.2集合间的基本关系(共28张ppt)

一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一
说集合B包含集合A，或者说集合A包含于集合B。
个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.
记作： ⊆ (或 ⊇ ) 读作：A包含于B（或B包含A）
1
集合的包含与子集
【对子集的理解】
（1）若A⊆B，则有任意，得
（2）当集合A中存在不属于集合B的元素时，我们就
B={0,1，2}
你能发现集合之间有什么关系吗？
3
集合相等
一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元
素，且集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A
和集合B相等，记作：A=B
也就是说，若 ⊆ ，且 ⊆ ，则A=B
用于证明两集合相等
【举例说明】
①若集合A：0~10之间的质数；集合B={2，3，5，7}，则A=B
【注意】①表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，
A
B
它可以是圆、矩形、椭圆、也可以是其他封闭曲线
②Venn图的优点是形象直观，缺点是公共特征不明显，画图
时要注意区分大小关系。
1.已知集合P={-1,0,1,2},Q={-1,0,1},则(
A.P∈Q
B.P⊆Q
C.Q⊆P
C
)
D.Q∈P
2.已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<1},则(
A.B⊆A
B.A⊆B
C.B<A
D.A<B
A
)
3.A和B两个集合的大小情况如图所示，则A和B的关系是（
A. ∈
C. ⊆
B. ∈
D. ⊆
B
A
D
）
01

人教A版高中数学必修第一册第一章《1.2集合间的基本关系》

{a，d，c} {a，b，c，d}，.
2、写出满足条件 M {0，1，2} 的所有M。
3、已知A＝{x | x2-3x+2≤0},
B＝{x | 1≤x ≤ a},且B≠ （1）若A B，求实数a的值. （2）若BA, 求实数a的值．
4、设集合A＝{2, a, b}，B＝{2a, 2, b2}，若A＝B，求实数a， b.
③空集是任何集合的子集.即:Φ A
④空集是任何非空集合的真子集.
即Φ A （A ≠ Φ）
⑤. N___ N ___ Z ___ Q ___ R
还可以写为：. N ___ N ___ Z ___ Q ___ R
例2在以下六个写法中
① ③ ④③①判{{{Φ断A001,，} ∈下2－}{列A01A，写，√√1{法11}}}④，②是{{否－2AΦ}②正1，{，1确,AAAA02，{}0××1}}
2.集合相等示例（3）：
C＝{ x|x是两边相等的三角形}， D＝{ x|x是等腰三角形}，有CD，DC，则C＝D.
2, 7}，B＝{1, 2, 3, 7}，
如果AB，但存在元素x∈B，且
x A，称A是B的真子集.
BA
Venn图
子集、真子集有何区别与联系？
5、已知A＝{x | x2－2x－3＝0}, B＝{x | ax－1＝0},
若BA, 求实数a的值．
课堂小结
友情，是人生一笔受益匪浅的储蓄。这储蓄，是患难中的倾囊相助，是错误道路上的逆耳忠言，是跌倒时的一把真诚搀扶，是痛苦时抹去泪水的一缕春风。拼尽全力，逼自己优秀一把，青春已所剩不多。小毛病往往可以导致大麻烦。如果你真的爱他，那么你必须容忍他部份的缺点。成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。本来，生命只有一次，对于谁都是宝贵的。今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。——裴斯泰洛齐发奋忘食，乐以忘忧，不知老之将至云尔。——《论语·述而》一个不是我们有所求的朋友才是真正的朋友，交友不是为了向对方索取什么。衣服新的好，朋友老的好。

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