利用轴对称求最短距离教案

用轴对称求最短距离问题学案复习要点:
用轴对称求最短距离问题，原型题是“将军饮马问题”，经常求两条线段的和最小的应用，解题思路是找点关于直线的对称点，实现由“折”转“直”，根据“两点之间线段最短”的性质来解决，
“将军饮马”问题
题目是：古希腊一位将军要从A地出发到河边（如下图MN）去饮马，然后再回到驻地B。

问怎样选择饮马地点，才能使路程最短？
利用轴对称性求最短距离在几何中的应用（1）以矩形为载体求最短距离问题
例3如图所示，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为为边CD中点，P为边BC上的任一点，求PA+EP的最小值。

（2）以菱形为载体的最短距离问题：
例4如图所示，菱形ABCD 中，∠ BAD=60°，AB=4，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB 的最小值是_________。

（3）以正方形为载体的最短距离问题：
例5如图所示，，正方形ABCD的边长为2，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上找一点P,使PD+PE最小，则这个最小值为_________.
(4) 以圆形为载体的最短距离问题：
例6如图所示，AB、CD是半径为5的⊙O
的两条弦，AB = 8，
CD = 6，MN是直径，
AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF
上的任意一点，则P A+PC的最小值
为.
例7如图所示一次函数y=kx＋b的图象与x、
y轴分别交于点A(2，0)，B(0，4)．
(1)求该函数的解析式；
(2)O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为
C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最
小值，并求取得最小值时P点的坐标．图1
F
E
B
A
2E
D
C
B
D
C
A
N
4
2
（6）以二次函数为载体的最短距离问题：
例8如图所示二次函数2y ax bx c =++与x 轴交于A(-1，0),B(3，0)两点，与y 轴交于点C （0,3）点
(1) 求该函数的解析式；
(2) 试在抛物线的对称轴上求出点P ，使得
PA+PC 最短，并求出最短长度。

延伸拓展： 作图：1. 一牧马人从A 点出发，到草地MN 放牧，
在傍晚到帐篷B 之前，先带马群到河边PQ 给马饮
水，试问：牧马人应该走哪条线路才能使整个路程 最短？
2 两条公路OA 、OB 相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P ，如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，
把两个加油站设在何处，可使运油车从油 库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.
（3）如图3，设A ，B 是直线L 同侧的两定
点，定长线段PQ 在直线L 上滑动，问PQ 停在直线L 上什么位置时，AP+PQ+QB 的长度最短？
应用：已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点A (0，3)，与x 轴分别交于B (1，0)，C (5，0)两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；
(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点(设为点E )，再到达抛物线的对称轴上的某点(设点为F )，最后沿直线运动到点A 求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．
B
Q P N M
图2。