切线的判定2010公开课

D
A B
O
C
因为AC是⊙O的直径 所以 BD是⊙O的切线
例1、如图，以等腰三角形ABC的
腰AB为直径的⊙O交底边BC于点D， 过D作DE⊥AC于点E.求证：DE是 ⊙O的切线。
2.已知：△ABC内接于⊙O，AB是⊙O 的弦，∠1=∠B，判断直线AD与⊙O 的位置关系，并说明理由.
B A D
2
O
E
练习1： AB是⊙O的直径,TB=AB, ∠TAB=45°
直线BT是⊙O的切线吗？为什么？ 解: 直线BT是⊙O的切线．
因为TB＝AB，且∠TAB＝45°， 所以∠ATB＝45°，∠ABT＝90 ° 根据经过半径的外端且垂直 于这条半径的直线是圆的切线 所以直线TB是⊙O的切线
T
A
.
O
B
练习2、如图已知直线AB过⊙O上的点C，并
D
O
F
B
E
C
变:把”梯形ABCD”改为”等腰三角形ABC,AB=AC”
（2010 德州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE 平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F． （1）求证：BC与⊙O相切； （2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．
O B
A 2 1 D
C
练 习
已知：AB是⊙O的直径，点D在 AB的延长线上，BD=OB，点C在 圆上， ∠CAB=30°求证：DC是 ⊙O的切线
C A
O
B
D
2、如图，已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上 一点，且AC平分 ∠DAB,过C作CD⊥AD, 垂足为D， （1）CD是⊙O的切线吗？说说你的理由。 （2）延长DC与AB的延长线相交于E，若 AC=CE，则∠E= 。
如图,已知：AB=AC=５,BC=８，以A为圆心，
以3为半径的圆与直线BC相切吗？为什么？
A
B
D
C
归纳总结
比较例1与变式的不同：
A A
B
D
C
B
C
(1) 确定直线与圆公共点的位置；
简记为：连半径,证垂直。
(2) 不确定直线与圆公共点的位置。
简记为：作垂直,证半径。 (d) (d=r)
例２、如图：点O为∠ABC平分线上一点， OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆。 A 求证：BC是⊙O 的切线。 证明： 作OE⊥BC于E ∵ 点O为∠ABC平分线上一点 OD⊥AB于D ∴ OE＝OD 又∵ OD为⊙O半径 圆心Ｏ到直线BC的距离等于半径， 所以BC与⊙O相切
1
C
例2、如图(1)AB为⊙O的直径，△ABC内接
于⊙O，且∠CAE＝∠B 1、试说明AE与⊙O相切。 2、如图(2),若AB是⊙O的非直径的弦， 且∠CAE＝∠B，AE与⊙O还相切吗？ 说明你的理由。
D
（2010山东聊城）如图，已知Rt△ABC，
∠ABC＝90º ，以直角 边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连 结BD．取BC的中点E， 连结ED。求证：DE是⊙O的切线
1
E F
3
A
2O
B
1、切线的判定方法有哪些？ 2、切线的证明相关的辅助线是怎样添加的？
3、你学会了哪些证明两线垂直或相等的方法？
祝同学们学习进步！
下雨天转动雨伞时飞出的水，在砂轮上打磨工 件飞出的火星，这些均沿着圆的切线的方向飞出．
2、已知：如图A是⊙O外一点，AO的延长线交⊙O 于点C，点B在圆上，且AB=BC，∠A=30O。求证： 直线AB是⊙O的切线。
且OA＝OB，CA＝CB Ｂ是⊙O的切线
证明：连结OC ∵ OA=OB，CA=CB
求证：直线Ａ
Ｏ
A
C
B
∴ OC是等腰三角形OAB底 边AB上的中线 ∴ AB⊥OC 因为直线AB经过半径OC的外端C， 并且垂直于半径OC， 所以AB是⊙O的切线
证明一条直线是圆的切线时：直线与圆 有公共点时，连接经过公共点的半径， 证明垂直关系.
O
l
(1) (2)
直线经过半径的外端;
直线与这半径垂直。
切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半径的 直线是圆的切线。
定理的几何符号表达 ： O
O r A
A
∵ OA是半径，l l ⊥ OA于A A ∴ l是⊙O的切线。
r
l
判定直线与圆相切有哪些方法？
①直线与圆有唯一公共点； ②圆心到直线的距离(d)等于该圆的半径(r)； ③切线的判定定理．即
E
练习5、如图，线段AB经过圆心O，交
⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B＝30°，边BD 交圆于点D.，BD是⊙O的切线吗？为什么？ 解：连结OD BD是⊙O的切线 BAD 30 OA OD 因为 所以 DOB 60 因为 B 30 所以 ODB 90 即 BD OD
C D
Ｏ
B
E
练习2、如图已知直线AB过⊙O上 的点C，并且OA＝OB，CA＝CB 求证：直线ＡＢ是⊙O的切线 Ｏ B
例２、如图：点O为∠ABC平分 线上一点，OD⊥AB于D，以O 为圆心，OD为半径作圆。 求证：BC与作⊙O相切。 A
D
Ｏ B
A
C
连结OC
C
E 作OE⊥BC于E
当已知条件中直线与圆已有 当已知条件中没有明确直线与 一个公共点时 圆是否有公共点时 辅助线：是连结圆心和这 个公共点。 再证明这条半径与直线垂直。 辅助线：是过圆心作这条 直线的垂线段。
练习3、如图，⊙O的半径为8厘米，圆内的弦AB 为8 3 厘米，以O为圆心，4厘米为半径作 小圆，求证：小圆与直线ＡＢ相切。 证明： 作OE⊥AB于E 则AE=BE 连结OA ∵ AB=8 3 ∴ AE= 4 3
O A
E
B
∴ OE OA2 AE 2 82 (4 3) 2 4 又∵ 小⊙O半径为4厘米 圆心Ｏ到直线AB的距离等于半径 所以AB是⊙O的切线
半为半径的圆，与两条直角边相切。 (6)和圆有一个公共点的直线是圆的切线 （
） （ ）
例1、如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上 一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂 足为D． 求证：AC平分∠DAB．证明： Nhomakorabea结OC．
∴AC平分∠DAB．
例1、已知AB是⊙O的直径，BC是 ⊙O的切线，切点为B，OC平行于 弦AD． 求证：DC是⊙O的切线．
再证明这条垂线段的长等于 半径。
4．运用切线的性质和判定定理解决简单问题
例 已知：△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D. 求证： AC 是⊙O 的切线．
A D B O C
1.已知：△ABC内接于⊙O，AB是 ⊙O的直径，∠1=∠B，判断直线 AD与⊙O的位置关系，并说明理由.
• 例2、如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦AB和CD 相等，且AB与小圆相切于点E， • 求证：CD与小圆相切
证明：连结OE，过O作OF⊥CD，垂足为 F． • ∵AB与小圆O切于点点E， ∴OE⊥AB． • 又∵AB=CD， • ∴OF=OE，又OF⊥CD， • ∴CD与小圆O相切．
义务教育课程标准苏教版九年级数学上册
直线与圆的位置关系(2)
1、直线与圆有哪些位置关系？
相离
O
相切
O
相交
O
2、你有哪些方法判定直线与圆的位置关系？ （1）公共点的个数 （2）圆心到直线的距离d与r的比较
点A是⊙O上任意一点，你能过这一点作出⊙O的 切线吗？
O
l
A
直线须具备哪些条件才是圆的切线？
练习6．判断：
(1)经过半径的一个端点，并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线 （
）
(2)若一条直线与圆的半径垂直，则这条直线是圆的切
） (3)过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线（ ） (4)以直角边为半径的圆一定与另一条直角边相切。 （ ）
线。 （
(5)以等腰直角三角形斜边的中点为圆心，直角边的一
经过半径的外端并且垂直这条半径的直 线是圆的切线
如右图，如果直线 l 是⊙O 的切线，点A为切点，那么半径 OA与 l 垂直吗？ 由于 l 是⊙O的切线，圆心O到 直线 l 的距离等于半径，所以OA 是圆心O到AB的距离，因此 l AB
。
]
图 23.2.8
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的 半径。
例3、已知：AB是半⊙O直径， CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点 求证：CE=CF
• 证明：连结OE • ∵BE=BO∴∠3=∠B • ∵CE切⊙O于E • ∴OE⊥CE ∠2+∠3=90° • ∵CD⊥AB ∴∠4+∠B=90° • ∴∠2=∠4 • ∵∠1=∠4 ∴∠1=∠2 • ∴CE=CF
C
D G A E B
O 第24题图
F
1、以Rt△ABC的直角边BC为直径作半圆O,交斜
边于D,OE∥AC交AB于E,求证:DE是⊙O的切线.
C O
D
A
E
B
中考链接
2010北京中考试题
3、如图：在∆ABC中，AB=AC，AE平分∠BAC， BM平分∠ABC交AE于点M，经过B 、M两点的⊙O交 BC于点G，交AB于点F，FB恰好为⊙O的直径. C 求证：AE与⊙O相切.
例2. 已知：如图，AB是⊙O的直径， AC⊥l，BD⊥l，C、D是垂足，且 AC+BD=AB． 求证：DC是⊙O的切线．
E
2、(2010福建德化)如图，在矩形ABCD 中，点O在对角线AC上，以OA的长为半 径的圆O与AD、AC分别交于点E、F， 且∠ACB=∠DCE．判断直线CE与⊙O 的位置关系， D C 并证明你的结论；
例2、如图，等腰三角形ABC,AB=AC,O为AB上一