第1部分第七章第7节课时跟踪训练

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高中物理学习材料桑水制作[课时跟踪训练]一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．关于自由落体运动，下列说法中正确的是( )A．质量大的物体加速度大B．从水平飞行着的飞机上释放的物体将做自由落体运动C．雨滴下落的过程是自由落体运动D．从水龙头上滴落的水滴的下落过程，可近似看成自由落体运动解析：所有物体在同一地点的重力加速度相等，与物体质量的大小无关，故A错；从水平飞行着的飞机上释放的物体，由于惯性具有水平初速度，不是自由落体，故B错；雨滴下落过程所受空气阻力与速度大小有关，速度增大时阻力增大，雨滴速度增大到一定值时，阻力与重力相比不能忽略，不能认为是自由落体运动，故C错；水龙头上滴落的水滴所受空气阻力与重力相比可忽略不计，可认为只受重力作用，故选项D正确。

答案：D2．科学研究发现在月球表面：①没有空气，②重力加速度约为地球表面的1/6，③没有磁场。

若宇航员登上月球后在空中从同一高度同时释放氢气球和铅球，忽略地球和其他星球对月球的影响，下列说法正确的是( )A．氢气球将向上加速上升，铅球自由下落B．氢气球和铅球都将静止C．氢气球和铅球都将下落，但铅球先落到地面D．氢气球和铅球都将下落，且同时落地解析：氢气球和铅球在月球上由于仅受月球的重力作用而做自由落体运动，两者的加速度相同，运动的快慢相同，所以选项D正确。

答案：D3．关于上海、济南、长春三地的重力加速度大小的比较，正确的是( )A．g上海>g济南>g长春B．g济南>g上海>g长春C．g长春>g济南>g上海D．g长春>g上海>g济南解析：地面上不同位置，重力加速度大小一般不同，随地球纬度的增大，重力加速度越来越大，故有g长春>g济南>g上海，C正确。

答案：C4．一个小石块从空中a点自由落下，先后经过b点和c点。

不计空气阻力，已知它经过b点时的速度为v，经过c点时的速度为3v。

则ab段与ac段位移之比为( ) A．1∶3 B．1∶5C．1∶8 D．1∶9解析：由v＝gt可知小石块在ab段运动时间与ac段运动时间之比为1∶3，由匀变速直线运动的平均速度公式可知小石块在ab段运动的平均速度与ac段运动的平均速度之比为1∶3，则ab段与ac段位移之比为1∶9。

第一章第一、二节课时跟踪训练

[课时跟踪训练](满分50分时间25分钟)一、选择题(每小题3分，共24分)1．二战以来，世界粮食生产发展的总趋势是()A．粮食生产发展较慢，粮食生产的增长率低于人口的增长率B．粮食生产发展很快，粮食生产的增长率高于人口的增长率C．粮食生产发展很快，随着人口的增加使得世界人均粮食呈现稳定趋势D．粮食生产发展很快，随着人口的增加使得世界人均粮食呈现下降趋势解析：二战以后，世界粮食生产发展迅速，粮食生产的增长速率快于人口增长速率。

答案：B2．转基因技术在植物品种改良方面应用广泛，其中一项转基因技术是改造CO2固定酶，其目的是()A．提高光合作用效率B．延长果实的储藏期C．培育新作物品种D．提高植物的抗性解析：改造CO2固定酶，能提高植物对CO2的固定效率，从而提高光合作用效率。

通过转基因技术抑制乙烯形成酶基因的表达可以延长果实的储藏期。

提高植物的抗性是通过将抗性基因(抗虫、抗除草剂、抗旱、抗涝、抗盐等基因)转入植物，并使之表达来实现的。

答案：A3．达尔文根据克格伦岛上的甲虫有近半数是无翅或残翅的，得出海风对甲虫有“选择”作用的结论。

达尔文运用的研究方法主要有()A．分类、观察B．观察、建立模型C．观察、推理D．观察、交流解析：达尔文有目的的、有计划地收集了关于克格伦岛上甲虫翅的信息，属于观察；在观察之后，他又将岛上甲虫翅的特异现象和海风联系起来，这是推理。

答案：C4．把某些特征相似的物体归类到一起的逻辑方法称作()A．比较B．归纳C．分类D．求异解析：将某些特征相似的物体归类到一起的逻辑方法称作分类。

答案：C5．右图是按照不同的标准对四种生物进行的不同分类，其中分类标准不．正确的是()A．有无染色体B．有无细胞壁C．有无核糖体D．有无线粒体解析：本题考查对分类方法的理解和运用。

无论是真核细胞还是原核细胞，细胞内都能合成蛋白质，所以它们都有核糖体。

答案：C6．下列属于科学思维中的建立模型过程的是()A．将化石按年代排放B．开会提出研究的设想C．绘制生态系统组成示意图D．达尔文发现甲虫无翅或翅不发达解析：建立模型是用来显示事物或过程的表现手段，如画图、列表等。

人教版高中物理必修二第1部分第七章第8节课时跟踪训练

（精心整理，诚意制作）[课时跟踪训练](时间30分钟满分50分)一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分，每小题至少有一个选项正确) 1．下列运动中满足机械能守恒的是( )A．手榴弹从手中抛出后的运动(不计空气阻力)B．细绳一端固定，另一端拴着一个小球，使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动C．物体沿光滑圆弧面从下向上滑动D．降落伞在空中匀速下降解析：手榴弹从手中抛出后，在不计空气阻力的情况下，只受重力的作用，机械能守恒，A正确；小球在光滑的水平面上运动，受到重力、水平面对小球的支持力，还有细绳对小球的拉力，这些力皆与小球的运动方向垂直，不做功，所以小球在运动过程中无能量转化，保持原有的动能不变，即机械能守恒，B正确；物体沿光滑圆弧面向上运动时，除重力做功外，弧面对物体的弹力不做功，故机械能守恒，C正确；降落伞在空中匀速下降，除受重力外，还受与重力大小相等、方向相反的空气阻力的作用，空气阻力对降落伞做负功，故它的机械能不守恒，D错误。

答案：ABC2．如图1所示，桌面高为h，质量为m的小球从离地面高H处自由落下，不计空气阻力，以桌面处为零势能位置，则小球落到地面前瞬间的机械能为()图1A．mgh B．mgHC．mg(H－h) D．－mgh解析：由于小球在下落过程中只受重力作用，所以机械能守恒，也就是说小球在任一位置时的机械能都相等，并且都等于刚释放时的机械能，E＝mg(H －h)，故正确选项为C。

答案：C3．一物体由h高处自由落下，当物体的动能等于势能时，物体经历的时间为( )A.2hgB.hgC. h2gD．以上都不对解析：设物体动能等于势能时，速度为v，则12m v2＋E p＝mgh，即m v2＝mgh，v＝gh，又物体做自由落体运动，v＝gt，所以gh＝gt，t＝hg，B正确。

答案：B4．两个质量不同的小铁块A和B，分别从高度相同的都是光滑的斜面和圆弧斜面的顶点滑向底部，如图2所示。

如果它们的初速度都为零，则下列说法正确的是( )图2A．下滑过程中重力所做的功相等B．它们到达底部时动能相等C．它们到达底部时速率相等D．它们在下滑过程中各自机械能不变解析：小铁块A和B在下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒，由mgH＝12m v2得v＝2gH，所以A和B到达底部时速率相等，故C、D均正确。

课时跟踪训练50

课时跟踪训练(五十)[根底稳固]一、选择题1．(2021·辽宁师大附中期中)过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，那么k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12[解析] 由过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆的方程，化简得(2k 21＋1)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，∴P 的横坐标为－4k 212k 21＋1，P 的纵坐标为k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1＋2＝2k 12k 21＋1，即点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1，∴直线OP 的斜率k 2＝－12k 1，∴k 1k 2＝－12.应选D.[答案] D2．如图，F (c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，A ，B 为椭圆的上、下顶点，P 为直线AF 与椭圆的交点，那么直线PB 的斜率k PB ＝( )A.c a 2B.b a 2C.b ＋c a 2D.bca 2[解析] 直线AF 的方程为x c ＋y b ＝1，把y ＝－b c x ＋b 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2c x ＝0，∴x P ＝2a 2ca 2＋c 2，y P ＝c 2b －a 2b a 2＋c 2，∴k PB ＝c 2b －a 2ba 2＋c 2＋b 2a 2ca 2＋c 2＝bca 2. [答案] D3．(2021·河北唐山统考)平行四边形ABCD 内接于椭圆x 24＋y 22＝1，直线AB 的斜率k 1＝1，那么直线AD 的斜率k 2＝( )A.12 B ．－12 C ．－14 D ．－2[解析] 解法一：设AB 的中点为G ，由椭圆与平行四边形的对称性知O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，那么GO ∥AD .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式相减是(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)2，整理得x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k 1＝－1，即y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12.又G ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以k OG ＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝－12，即k 2＝－12，应选B.解法二：设直线AB 的方程为y ＝x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，利用椭圆与平行四边形的对称性可得D (－x 2，－y 2)．那么直线AD 的斜率k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝x 1＋x 2＋2t x 1＋x 2＝1＋2tx 1＋x 2.联立⎩⎨⎧y ＝x ＋t ，x 2＋2y 2－4＝0，消去y得3x 2＋4tx ＋2t 2－4＝0，那么x 1＋x 2＝－4t3，∴k 2＝1＋2t －43t ＝－12.应选B.[答案] B 二、解答题4．(2021·河北涞水波峰中学、高碑店三中联考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且椭圆C 与圆M ：x 2＋(y －3)2＝4的公共弦长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，过椭圆C 的右顶点A 作直线l 与圆x 2＋y 2＝85相切并交椭圆C 于另一点B ，求OA →·OB →的值．[解] (1)∵椭圆C 与圆M 的公共弦长为4，∴椭圆C 经过点(±2,3)，∴4a 2＋9b 2＝1，又c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝16，b 2＝12，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)右顶点A (4,0)，∵直线l 与圆x 2＋y 2＝85相切，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，∴|4k |1＋k 2＝85，∴9k 2＝1，∴k ＝±13.联立y ＝±13(x －4)与x 216＋y 212＝1，消去y ，得31x 2－32x －368＝0.设B (x 0，y 0)，那么由根与系数的关系得4x 0＝－36831，∴OA →·OB →＝4x 0＝－36831.5．(2021·吉林长春外国语学校期中)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上任意一点，且|PF 1|＋|PF 2|＝22，它的焦距为2.(1)求椭圆C 的方程．(2)是否存在正实数t ，使直线x －y ＋t ＝0与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝56上？假设存在，求出t 的值；假设不存在，请说明理由．[解] (1)∵F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，且|PF 1|＋|PF 2|＝22，∴a ＝ 2.∵2c ＝2，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋t ＝0，x 22＋y 2＝1，化简得3x 2＋4tx ＋2t 2－2＝0.①由①知x 1＋x 2＝－4t 3，∴y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2t ＝2t3. ∵线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝56上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2t 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 32＝56，解得t ＝62(负值舍去)，故存在t ＝62满足题意．6．椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，假设AM →＝2MB →，求直线l 的方程．[解] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)，因为c ＝1，c a ＝12，所以a ＝2，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，那么由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，且Δ＝192k 2＋96>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么由AM →＝2MB →得x 1＝－2x 2.又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8k 3＋4k 2，x 1·x 2＝－83＋4k 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＝－8k 3＋4k 2，－2x 22＝－83＋4k 2，消去x 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫8k 3＋4k 22＝43＋4k 2，解得k 2＝14，k ＝±12. 所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋1，即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.[才能提升]7．(2021·河南考前预测)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点是F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)假设过椭圆右焦点F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求|AF 2|·|F 2B |的取值范围．[解] (1)因为椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝12，2c ＝2，解得a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为F 2(1,0)，所以①当直线l 的斜率不存在时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，那么|AF 2|·|F 2B |＝94. ②当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1消去y ，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1，x 2是方程(*)的两个根，所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2. 所以|AF 2|＝(x 1－1)2＋y 21＝1＋k 2·|x 1－1|， |F 2B |＝(x 2－1)2＋y 22＝1＋k 2·|x 2－1|，所以|AF 2|·|F 2B |＝(1＋k 2)·|x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1|＝(1＋k 2)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1 ＝(1＋k 2)·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－93＋4k 2 ＝(1＋k 2)·93＋4k2＝94⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋13＋4k 2.当k 2＝0时，|AF 2|·|F 2B |取最大值3，所以|AF 2|·|F 2B |的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤94，3. 由①②知|AF 2|·|F 2B |的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤94，3. 8．(2021·河北百校联盟期中)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，假设四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．[解] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，那么x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3. 因此a 2＝6，b 2＝3. 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3＋x 4＝－4n3，x 3·x 4＝2n 2－63. 因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由，四边形ACBD 的面积 S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2.当n ＝0时，S 获得最大值，最大值为863. 所以四边形ACBD 面积的最大值为863.9．设焦点在x 轴上的椭圆M 的方程为x 24＋y 2b 2＝1(b >0)，其离心率为22.(1)求椭圆M 的方程；(2)假设直线l 过点P (0,4)，那么直线l 何时与椭圆M 相交？ [解] (1)因为椭圆M 的离心率为22，所以4－b 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，得b 2＝2.所以椭圆M 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①过点P (0,4)的直线l 垂直于x 轴时，直线l 与椭圆M 相交． ②过点P (0,4)的直线l 与x 轴不垂直时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 24＋y 22＝1，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋28＝0.因为直线l 与椭圆M 相交，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×28＝16(2k 2－7)>0，解得k <－142或k >142.综上，当直线l 垂直于x 轴或直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－142∪⎝ ⎛⎭⎪⎫142，＋∞时，直线l 与椭圆M 相交． 10．(2021·广东惠州调研)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523.(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线y ＝k (x ＋1)与椭圆C 相交于A ，B 两点．①假设线段AB 中点的横坐标为－12，求斜率k 的值；②点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0，求证：MA →·MB →为定值． [解] (1)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2，又c a ＝63，12×b ×2c ＝523，解得a 2＝5，b 2＝53，那么椭圆方程为x 25＋3y 25＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．①将y ＝k (x ＋1)代入x 25＋3y 25＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0，∴Δ＝48k 2＋20>0，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1， ∵AB 中点的横坐标为－12，∴－3k 23k 2＋1＝－1，解得k ＝±33. ②证明：由①知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1， ∴MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73，y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73＋y 1y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋k 2(x 1＋x 2)＋499＋k 2 ＝(1＋k 2)3k 2－53k 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－6k 23k 2＋1＋499＋k 2 ＝－3k 4－16k 2－53k 2＋1＋499＋k 2 ＝49(定值)．。

2024届高考语文一轮总复习课时跟踪练7

课时跟踪练7(40分钟32分)一、阅读下面的文字，完成1～4题。

(16分)凤凰嘴范子平①那是个油菜花灿灿的明媚春天，在交通运输公司宣教科的几个女人，一个比一个漂亮的女人们，就热热闹闹地呱嗒呱嗒地侃起了大山。

②张珍妮的丈夫是自来水公司的副经理，张珍妮说，她的先生天生爱吃，在家里三天两头是买肉做肉，烘烤、清蒸、红焖，啥都做得像模像样、色香味俱全，业余时间都花这上边去了，上个星期天，她爱人专门到市委招待所里跟厨师学做烤全羊。

③毛蓁蓁的丈夫在供电公司宣传处当副处长，毛蓁蓁接着说，她的那位光吃不做，可吃得上心，上一周为了吃一盘正宗的清炖野甲鱼，专门领她跑到一百多里外的万弦湖风景区。

④俗话说最后出台的是压轴戏，生来啥事都不好落到人后头的姜芸芸对这个话题最后说话，但她不鸣则已，一鸣惊人。

她说，现在条件好了谁不爱吃爱喝？俺家的先生每逢过星期、节假日就领着全家到省城吃大餐，省城有名的饭店都吃遍了。

眼下吃惯了省城大饭店的鲍鱼米饭，生生上了瘾，三天不吃鲍鱼就胃痒痒。

⑤女人们就是争强好胜，但这场呱嗒嘴之后，张珍妮的丈夫做烤全羊的话，毛蓁蓁的丈夫领着她吃清炖甲鱼的话，都随着风吹走了，只有姜芸芸全家成天到省城吃大餐的话迅速传遍全城。

特别是她撇着小嘴说的那句“三天不吃鲍鱼就胃痒痒”，一时成了全城的名言。

这也难怪，吃烤全羊、吃野生甲鱼毕竟不稀罕，但吃鲍鱼在这个县城里还是较为少见的，更重要的是三个女人中，只有姜芸芸的丈夫有实权，是县交通局的一把手，正局长，咋能不引起人们的注意呢？⑥这话传来传去终于传出了事情。

听说是交通局内部也有人写信反映，县纪委来调查姜芸芸丈夫公款吃喝的事情。

直到这时，她的丈夫才知道她在外面吹牛吃鲍鱼的事情，气得他到家逮住姜芸芸就是一顿臭骂。

其实姜芸芸一共就吃过一次鲍鱼，还是她在省建筑公司的同学请客。

虽说交通局局长并没有领着全家用公款大吃大喝，但这公款吃喝的名声还是在小县城传了好长一段时间，更为严重的是，拔出萝卜带出泥，纪委来调查的结果，把交通局小金库的事情捅了出来，几十万的小金库全部没收入国库，而且给局长来了个行政警告处分。

第一章第一、二节课时跟踪训练 (1)

[课时跟踪训练](满分50分时间25分钟)一、选择题(每小题2分，共20分)1．近十几年，癌症患者的发病率和死亡率上升的原因是()①人口老龄化②吸烟③不健康的生活方式④缺乏体育锻炼A．①②B．②C．①②③④D．②④解析：癌症的发生与多种原因有关，如年龄、遗传、过多接触致癌因子、吸烟、缺乏体育锻炼以及不健康的生活方式等，都可能导致癌症。

答案：C2．二次世界大战后，在日本广岛生活的人癌症发病率很高，原因是受________的作用() A．物理致癌因子B．化学致癌因子C．病毒致癌因子D．煤焦油解析：二次世界大战中，日本广岛遭受过美国军队投放的原子弹的轰炸，原子弹爆炸产生核辐射，残留的核辐射使当地居民患癌症，核辐射属于物理致癌因子。

答案：A3．下列疾病中属于传染病的有() A．癌症B．艾滋病C．坏血病D．骨折解析：传染病一定有特异的病原体。

艾滋病有特异的病原体，其病原体名称为HIV(一种病毒)，属于传染病。

癌症、坏血病和骨折因无特异的病原体，故均不属于传染病，坏血病是由机体缺乏维生素C引起的。

答案：B4．下列疾病中不能应用基因诊断技术诊断的是() A．镰刀型细胞贫血症B．癌症C．乙型肝炎D．地方性甲状腺肿解析：基因诊断通过从患者体内提取样本，用基因检测方法来判断患者是否有基因异常或携带病原微生物。

目前，基因诊断检测的疾病主要有三大类：感染性疾病的病原体诊断、各种肿瘤的生物学特性的判断、遗传病的基因异常分析。

地方性甲状腺肿大多是缺碘引起的。

答案：D5．基因治疗是治疗疾病的新途径，可分为体外和体内两种途径，两种治疗途径中不同的是() A．是否需要载体B．是否转移目的基因C．是否利用转基因技术D．是否在体外形成重组受体细胞解析：基因治疗都需要载体、目的基因，利用的技术均为转基因技术。

不同的基因治疗的区别在于重组细胞的形成部位，在体外形成重组受体细胞叫体外途径，在体内形成重组受体细胞叫体内途径。

答案：D6．下列属于基因治疗的是() A．给肝功能衰竭的病人进行肝脏移植B．给肾功能衰竭的病人做血液透析C．给失血过多的病人输血D．把正常人控制合成胰岛素的基因移植给糖尿病病人解析：基因治疗是将正常基因导入有缺陷的病人体内，以代替缺陷基因的功能。

人教版高中物理必修二第1部分第七章第10节课时跟踪训练

A．子弹减少的机械能等于木块增加的机械能B．子弹和木块组成的系统机械能的损失量等于系统内能的增加量C．子弹减少的机械能等于木块增加的动能和内能之和D．子弹减少的动能等于木块增加的动能与子弹和木块系统增加的内能之和解析：由于子弹穿过木块的过程中，子弹与木块有相对位移，由能量守恒定律可得：子弹减少的动能转化为木块的动能和子弹与木块系统增加的内能，选项A、C错误，B、D正确。

答案：BD4.一质量均匀不可伸长的绳索，重为G，A、B两端固定在天花板上，如图1所示。

今在最低点C施加一竖直向下的力，将绳索拉至D点。

在此过程中，绳索AB的重心位置将( )A．升高B．降低图1C．先降低后升高D．始终不变解析：物体的重心不一定在物体上，对于一些不规则的物体要确定重心是比较困难的，本题绳子的重心是不容易标出的，因此，要确定重心的变化，只有通过别的途径确定。

当用力将物体缓慢地从C点拉到D点，外力在不断的做功，而物体的动能不增加，因此外力做功必定使物体的重力势能增加，故物体的重心将升高。

答案：A5.市面上出售一种装有太阳能电扇的帽子(如图2所示)。

在阳光的照射下，小电扇快速转动，能给炎热的夏季带来一丝凉爽。

该装置的能量转化情况是( )图2A．太阳能→电能→机械能B．太阳能→机械能→电能C．电能→太阳能→机械能D．机械能→太阳能→电能解析：电池板中太阳能转化为电能，小电动机中电能转化为机械能。

答案：A6．我国居民有在房前种树的习惯，夏天大树长出茂密的叶子，为人们挡住炎炎烈日，冬天树叶又会全部掉光，使温暖的阳光进入屋内，可以起到冬暖夏凉的作用，被人们称为天然空调。

炎热的夏天，我们在经过有树的地方时，也会感到很明显的凉意。

关于树木周围比较凉爽的现象，下列说法正确的是( )A ．树木把大部分太阳光反射出去，使地面温度降低B ．树木吸收太阳能，使自己温度升高，周围温度降低C ．树木吸收太阳能，将太阳光的能量转化为化学能，使环境温度降低D ．白天树木将热量存起来，晚上再将热量放出来，所以白天在树林里感到凉爽而晚上感到热解析：树木进行光合作用，将太阳能转化成树木生长所需的化学能，因此能使环境温度降低，并不是将能量反射或使自己温度升高，故正确答案为C 。

人教版高中物理必修二第1部分第七章第7节课时跟踪训练.docx

高中物理学习材料唐玲收集整理[课时跟踪训练] (时间30分钟满分50分)一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分，每小题至少有一个选项正确) 1．两个物体质量比为1∶4，速度大小之比为4∶1，则这两个物体的动能之比( ) A ．1∶1 B ．1∶4 C ．4∶1D ．2∶1解析：若设物体m 1＝m ，则m 2＝4m ，v 1＝4v ，v 2＝v ，则动能E k1＝12m 1v 21＝8mv 2，E k2＝12m 2v22＝2mv 2，故E k1∶E k2＝4∶1，C 对。

答案：C2.如图1所示，一个质量是25 kg 的小孩从高为2 m 的滑梯顶端由静止滑下，滑到底端时的速度为2 m/s(取g ＝10 m/s 2)。

关于力对小孩做的功，以下结果正确的是( )图1A ．重力做的功为500 JB ．合外力做功为50 JC ．克服阻力做功为50 JD ．支持力做功为450 J解析：重力做功与路径无关，W G ＝mgh ＝25×10×2 J ＝500 J ，A 项正确；合外力做功有W ＝ΔE k ＝12mv 2＝12×25×22J ＝50 J ，B 项正确；W ＝W G ＋W 阻＝50 J ，所以W 阻＝－450 J ，即克服阻力做功为450 J ，C 项错误；支持力始终与速度垂直，不做功，D 项错误。

答案：AB3．假设汽车紧急制动后所受的阻力的大小与汽车所受重力的大小差不多。

当汽车以20 m/s 的速度行驶时，突然制动，它还能继续滑行的距离约为( )A ．40 mB ．20 mC ．10 mD ．5 m解析：对汽车运动的全过程由动能定理得－mgl ＝0－12mv 02，故l ＝v 022g＝20 m 。

答案：B4．速度为v 的子弹，恰可穿透一块固定的木板。

如果子弹速度为2v ，子弹穿透木板时所受阻力视为不变，则可穿透同样的固定木板( )A ．2块B ．3块C ．4块D ．8块解析：设木板的厚度为d ，子弹的速度为v 时，由动能定理知：－F f d ＝0－12mv 2。

高中地理总复习中图版课时跟踪训练7 大气层结构、大气受热过程及热力环流含答案

课时跟踪训练7大气层结构、大气受热过程及热力环流(2021·山东济宁高三模拟)无动力翼装飞行是指运动员穿戴着拥有双翼的飞行服装和降落伞设备,从飞机、热气球、悬崖绝壁、高楼大厦等高处一跃而下,用肢体动作来掌控滑翔方向,用身体进行无动力空中飞行的运动,到达安全极限的高度后,运动员将打开降落伞平稳着落。

无动力翼装飞行进入理想飞行状态后,飞行时速通常可达到200千米,翼装飞行的滑降比约3∶1,即在每下降1米的同时前进约3米。

据此完成1~3题。

1.运动员从中纬度30千米高空下降到对流层,滑行的水平距离约为()A.18千米B.33千米C.48千米D.54千米2.运动员在下滑过程中,感觉到水平滑行距离比理论值偏大,可能进入了()A.高层大气B.平流层C.电离层D.对流层3.运动员在滑行过程中,与A、B两层相比,在C层最需要的是()A.防辐射衣B.御寒服D.雨衣2.B3.A1题,中纬度对流层高度约为12千米,根据材料信息可知,每下降1米的同时前进约3米,运动30千米高空下降至对流层,约下降了18千米,因此滑行的水平距离约54千米,故选D项。

第2题,运动员在下滑的过程中,感觉到水平滑行的距离比理论值偏大,表明空气水平阻力相对较小,空气以水平运动为主,最可能进入了平流层,B项正确。

第3题,与A、B两层相比,C层高度更高,受太阳辐射更强,需要防辐射衣,A项正确;注意关键词“和A、B两层相比”,A层中上部以及B层气温均较低,氧气含量低,也需要御寒服和氧气瓶,B、C两项错误;降雨属于对流层的天气现象,C层无需雨衣,D项错误。

雷电现象一般发生在由于大气对流旺盛而产生的积雨云中。

由于我国南北跨度大,每年初雷始鸣的时间有差异。

读我国初雷平均月份分布图,完成4~5题。

4.电闪雷鸣等天气现象发生时()A.近地面多雾霾天气B.雷电发生在电离层C.大气上升运动强烈D.高空逆温现象显著5.新疆东部和甘肃西北部地区初雷日最晚,主要原因为()A.海拔高,大气密度较小B.大陆性强,昼夜温差大C.大风日多,大气不稳定,云量少5.D4题,由材料可知,雷电一般产生于对流旺盛的积雨云中,所以电闪雷鸣发生时,大气对流运动;近地面出现雾霾天气和高空出现逆温现象时大气层结构稳定,不会产生电闪雷鸣;电离层位于高层大气,而天气现象发生在对流层。

第1部分第七章第1、2节课时跟踪训练

[课时跟踪训练](满分50分时间30分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分，每小题至少有一个选项正确)1．一个质量为m的物体，在水平拉力F的作用下，在粗糙的水平面上运动，下列哪些说法是正确的()A．如果物体做加速直线运动，F一定对物体做正功B．如果物体做减速直线运动，F一定对物体做负功C．如果物体做减速直线运动，F也可能对物体做正功D．如果物体做匀速直线运动，F一定对物体做正功解析：在水平拉力F的作用下，物体在粗糙的水平面上做加速运动时，拉力F与物体发生的位移同向，因此，F一定对物体做正功，选项A正确；物体做减速直线运动时，拉力F也可能与物体发生的位移同向，即F也可能对物体做正功，故选项B错误、C正确；物体做匀速直线运动时，水平拉力F一定与物体发生的位移同向，即F一定对物体做正功，故选项D正确。

答案：ACD2．一物块置于水平地面上，在10 N的水平拉力作用下向前移动了5 m，撤去外力后又向前滑行了3 m。

在此过程中，拉力所做的功为()A．20 J B．30 JC．50 J D．80 J解析：公式W＝Fl cos α中的l cos α为物体在力F方向上发生的位移，此题中α＝0°，l ＝5 m，将其代入公式得W＝10×5×cos 0° J＝50 J，答案为C。

答案：C3.如图1所示，物体A、B叠放着，A用绳系在固定的墙上，用力F拉着B右移。

用F拉、F AB、F BA分别表示绳中拉力、A对B的摩擦力和B对A的摩擦力，则下面叙述中正确的是()图1 A．F做正功，F AB做负功，F BA做正功，F拉不做功B．F、F BA做正功，F AB、F拉不做功C．F做正功，F AB做负功，F BA和F拉不做功D．F做正功，其他力都不做功解析：由W＝Fl cos α知，力F的作用点位移不为0，且位移的方向与F的方向相同，所以F做正功；绳中拉力F拉的作用点位移为0，所以F拉不做功；F BA的作用点位移为0，则F BA不做功；F AB的作用点位移不为0，且位移的方向与F AB的方向相反，所以F AB做负功。

人教版高中物理必修二第1部分第七章第4节课时跟踪训练

（精心整理，诚意制作）[课时跟踪训练](时间30分钟满分50分)一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分，每小题至少有一个选项正确)1．如图1所示，用力将质量相同的甲、乙两物体分别沿斜面AB、DC推至平台BC上。

将甲物体推上平台做的功W甲比将乙物体推上平台做的功W乙多。

下列说法正确的是( )图1A．甲物体的重力势能大B．乙物体的重力势能大C．两个物体的重力势能一样大D．无法判断哪个物体的重力势能大解析：题目给定的条件W甲＞W乙，说明在用力将物体推上平台时，外力推甲物体时做的功多。

但判断重力势能的大小依据的是物体的质量和高度，两个质量相同的物体，位于同一高度时，它们的重力势能相同。

答案：C2.运动员跳伞将经历加速下降和减速下降两个过程，如图2所示，将人和伞看成一个系统，在这两个过程中，下列说法正确的是( )A．阻力对系统始终做负功B．系统受到的合力始终向下C ．重力做功使系统的重力势能增加图2D ．任意相等的时间内重力做的功相等解析：无论在什么情况下，阻力一定做负功，A 对。

加速下降时合力向下，减速下降时合力向上，B 错。

系统下降，重力做正功，所以它的重力势能减少，C 错。

由于系统做变速运动，系统在相等时间内下落的高度不同，所以重力做功不同，D 错。

答案：A3．升降机中有一质量为m 的物体，当升降机以加速度a 匀加速上升h 高度时，物体增加的重力势能为( )A ．mghB ．mgh ＋mahC ．mahD ．mgh －mah 解析：重力势能的增加量等于物体克服重力做的功，A 对，B 、C 、D 错。

答案：A4．如图3所示，在离地面高为H 的地方将质量为m 的小球以初速度v 0竖直上抛，取抛出位置所在的水平面为参考平面，则小球在最高点和落地处重力势能分别为( )图3A ．mg (v202g ＋H )，0B.12m v 20，－mgH C.12m v 20，mgH D.12m v 20，mgH ＋12m v 20解析：小球相对抛出点上升的最大高度h ＝v202g，故小球在最高点的重力势能为mg ·v202g ＝12m v 20，小球在落地点的重力势能为－mgH ，故B 正确。

2023新教材高中物理课时跟踪检测七向心加速度新人教版必修第二册

课时跟踪检测（七）向心加速度A组—重基础·体现综合1．关于向心加速度，以下说法中错误的是( )A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心解析：选C 因为向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向沿圆周的切线方向，所以，向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，且只改变线速度的方向；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不一定始终指向圆心。

故A、B、D正确，C错误。

2．科幻电影《星际穿越》中描述了空间站中模拟地球上重力的装置，这个模型可以简化为如图1所示的环形实验装置，外侧壁相当于“地板”。

让环形实验装置绕O点旋转，能使“地板”上可视为质点的物体与在地球表面处有同样的“重力”，则旋转角速度应为(地球表面重力加速度为g，装置的外半径为R)( ) 图1A. gRB.RgC．2gRD.2Rg解析：选A “地板”上物体做圆周运动，其向心加速度等于重力加速度，即g＝ω2R，所以ω＝gR，故A正确。

3．如图2所示，四辆相同的小“自行车”固定在四根水平横杆上，四根横杆间的夹角均保持90°不变，且可一起绕中间的竖直轴转动。

当小“自行车”的座位上均坐上小孩并一起转动时，他们的( )A．角速度相同B．线速度相同图2C．向心加速度相同D．所需向心力大小相同解析：选A 小自行车在转动过程中，转动的周期相等，因此角速度相同，故A正确；根据v＝rω可知，线速度大小相等，但方向不同，故B错误；根据a＝rω2可知，向心加速度大小相等，但方向不同，故C错误；由于不知道小孩的质量关系，根据F向＝mrω2可知，所需向心力大小关系不确定，故D错误。

4．(多选)一个小球以大小为a n＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径r＝1 m，则下列说法正确的是( )A ．小球运动的角速度为2 rad/sB ．小球做圆周运动的周期为π sC ．小球在t ＝π4 s 内通过的位移大小为π20 mD ．小球在π s 内通过的路程为零解析：选AB 由a ＝ω2r 得角速度ω＝a r ＝2 rad/s ，故A 正确；周期T ＝2πω＝π s，故B 正确；小球在t ＝π4 s 内通过14圆周，位移大小为2r ＝ 2 m ，故C 错误；小球在π s内通过的路程为一个圆周的长度2πr ＝2π m，故D 错误。

2020年新教材高一物理课时跟踪训练(七)向心力新人教版必修第二册

课时跟踪训练（七）向心力A 级—学考达标1．关于做匀速圆周运动物体的向心力,下列说法正确的是( )A ．向心力是一种性质力B ．向心力与速度方向不一定始终垂直C ．向心力只能改变线速度的方向D ．向心力只改变线速度的大小解析：选C 物体做匀速圆周运动需要一个指向圆心的合外力,是根据力的作用效果命名的,故A 项错误；由于向心力指向圆心,与线速度方向始终垂直,所以它的效果只是改变线速度方向,不会改变线速度大小,故B 、D 项错误,C 项正确。

2．做匀速圆周运动的物体,它所受的向心力的大小必定与( )A ．线速度平方成正比B ．角速度平方成正比C ．运动半径成反比D ．线速度和角速度的乘积成正比解析：选D 因做匀速圆周运动的物体满足关系F n ＝m v 2R＝mRω2＝mvω,由此可以看出在R 、v 、ω是变量的情况下,F n 与R 、v 、ω是什么关系不能确定,只有在R 一定的情况下,向心力才与线速度的平方、角速度的平方成正比；在v 一定时,F n 与R 成反比；ω一定时,F n 与R 成正比。

故选项A 、B 、C 错误,而从F n ＝mvω看,因m 是不变的,故选项D 正确。

3.如图为某中国运动员在短道速滑比赛中勇夺金牌的精彩瞬间。

假定此时他正沿圆弧形弯道匀速率滑行,则他( )A ．所受的合力为零,做匀速运动B ．所受的合力恒定,做匀加速运动C ．所受的合力恒定,做变加速运动D ．所受的合力变化,做变加速运动解析：选D 运动员做匀速圆周运动,所受合力时刻变化,加速度时刻变化,D 正确。

4.如图所示,照片中的汽车在水平路面上做匀速圆周运动,已知图中双向四车道的总宽度约为15 m,假设汽车受到的最大静摩擦力等于车重的0.7倍,则运动的汽车( )A ．所受的合力可能为零B ．只受重力和地面支持力作用C ．最大速度不能超过25 m/sD ．所需的向心力由重力和支持力的合力提供解析：选C 汽车在水平面上做匀速圆周运动,合外力时刻指向圆心,拐弯时靠静摩擦力提供向心力,因此排除A、B、D项,所以选择C。

第1部分第七章第3节课时跟踪训练.pdf

[课时跟踪训练](时间30分钟满分50分)一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分，每小题至少有一个选项正确)1．一质量为m 的木块静止在光滑的水平面上，从t ＝0开始，将一个大小为F 的水平恒力作用在该木块上。

在t ＝t 1时刻，力F 的功率是( ) A.F 2t 12mB.F 2t 122mC.F 2t 1mD.F 2t 12m 解析：由题知物体做加速度a ＝F m 的匀加速直线运动，当t ＝t 1时，物体的速度v ＝at ＝Ft 1m，则t ＝t 1时刻力F 的功率P ＝F v ＝F 2t 1m ，故C 正确。

答案：C2．在一次举重比赛中，一名运动员在抓举比赛时，将质量为127.5 kg 的杠铃举起历时约2 s ，该运动员在举起杠铃过程中的平均功率是( )图1A ．几十瓦左右B ．一千瓦左右C ．几十千瓦左右D ．几百千瓦左右解析：抓举过程中运动员克服重力做功W ＝mgh ，杠铃上升的高度h 约为2 m ，时间t约为2 s ，则平均功率P ＝W t ＝mgh t ＝127.5×10×22W ＝1 275 W ＝1.275 kW 。

故B 正确。

答案：B3．甲、乙两个质量相同的小球，在距地面相同的高处，以不同的初速度水平抛出，速度v 甲∶v 乙＝2∶1，不计空气阻力，以下说法正确的是( )A ．从抛出到落地的过程中，重力对甲球做功的平均功率大B ．从抛出到落地的过程中，重力对两球做功的平均功率相等C ．落地时，重力对甲球做功的瞬时功率大D ．落地时，重力对两球做功的瞬时功率相等解析：从抛出到落地的过程中，重力做功相等。

W甲＝W 乙＝mgh ，下落时间相等t 甲＝t 乙＝2h g 。

由P ＝W t 可知，重力对两球做功的平均功率相等。

A 错，B 对。

落地时，两球的竖直分速度相等。

v 甲竖＝v 乙竖＝2gh 。

而重力做功的瞬时功率等于重力与物体竖直分速度的乘积，所以瞬时功率相等，C 错，D 对。

新教材高中物理课时跟踪训练(十七)力的分解(含解析)鲁科版必修第一册

课时跟踪训练(十七)力的分解A级—学考达标1．关于合力与其两个分力的关系，下列说法正确的是( )A．合力的作用效果与两个分力共同作用的效果相同B．两个分力的作用效果与它们合力的作用效果不一定相同C．两个分力的大小之和就是合力的大小D．一个力可以分解为任意大小的两个分力解析：选A 两个分力的作用效果与其合力的作用效果一定是相同的，合力可以等效替代两个分力，A正确，B错误；分力与合力的关系遵从平行四边形定则，不符合平行四边形定则的分解都是不正确的，C、D错误。

2．要将力F沿虚线分解为两个分力，哪些是能够分解的( )解析：选A 将一个力分解为两个分力，分力与合力构成平行四边形，按这一原则B、C、D中分力与合力不能构成平行四边形，故无法分解。

3．若将一个力F分解为两个力F1、F2，则下列说法不正确的是( )A．F是物体实际受到的力B．F1、F2不是物体实际受到的力C．物体同时受到F、F1、F2三个力的作用D．F1、F2共同作用的效果与F相同解析：选C F是物体实际受到的力，故A正确；分力不是物体所受到的力，F1、F2是两个分力，故B正确；一个力F分解为两个分力F1和F2，实际上分力并不存在，故C错误；分力的共同作用效果与合力的作用效果相同，故D正确。

4.如图所示，将光滑斜面上物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列结论正确的是( )A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的正压力B．物体受mg、N、F1、F2四个力作用C．物体只受重力mg和支持力N的作用D．力N、F1、F2三个力的作用效果跟mg的作用效果相同解析：选C 物体受到重力的施力物体是地球，支持力的施力物体是斜面，F1、F2是将重力按作用效果分解所得的两个分力，实际不存在，综上可知，C正确，A、B、D错误。

5．物体所受重力按力的效果进行分解，下列图中错误的是( )解析：选C A项中物体重力分解为垂直于斜面使物体压紧斜面的分力G1和沿斜面向下使物体向下滑的分力G2；B项中物体的重力分解为沿两条细绳使细绳张紧的分力G1和G2，A、B 项正确；C项中物体的重力应分解为垂直于两接触面使物体压紧两接触面的分力G1和G2，故C 项错误；D项中物体的重力分解为水平向左使物体压紧墙的分力G1和沿绳向下使绳张紧的分力G2，故D项正确。

课时跟踪训练49

课时跟踪训练49课时跟踪训练(四十九)[基础巩固]一、选择题1．中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为()A.x216＋y212＝1 B.x212＋y28＝1C.x212＋y24＝1 D.x28＋y24＝1[解析]因为焦距为4，所以c＝2，离心率e＝ca＝2a＝22，∴a＝22，b2＝a2－c2＝4，故选D.[答案] D2．曲线x225＋y29＝1与曲线x225－k＋y29－k＝1(k<9)的()A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等[解析]c2＝25－k－(9－k)＝16，所以c＝4，所以两条曲线的焦距相等．[答案] D3．(2019·河南开封开学考试)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A．(0，＋∞) B．(0,2)C．(1，＋∞) D．(0,1)＝∠FAB ＋∠FBA ＝90°，△FAF 1是直角三角形，所以|F 1F |＝10，故2a ＝8＋6＝14,2c ＝10，∴c a ＝57.[答案] B6．(2019·上海崇明一模)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－25，0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1 B.x 230＋y 210＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 245＋y 225＝1 [解析] 依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，右焦点为F ′，连接PF ′.由已知，半焦距c ＝2 5.又由|OP |＝|OF |＝|OF ′|，知∠FPF ′＝90°.在Rt △PFF ′中，|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝(45)2－42＝8.由椭圆的定义可知2a ＝|PF |＋|PF ′|＝4＋8＝12，所以a ＝6，于是b 2＝a 2－c 2＝62－(25)2＝16，故所求椭圆方程为x 236＋y216＝1，故选C.[答案] C 二、填空题7．(2019·北京朝阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F 构成正三角形，则此椭圆的方程为__________．[解析] 由△FMN 为正三角形，得c ＝|OF |＝32|MN |＝32×23b ＝1.解得b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆的方程为x 24＋y23＝1.[答案] x 24＋y 23＝18．(2019·湖北武汉十六中月考)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为__________．[解析] 由x 216＋y 24＝1可知椭圆的右顶点坐标为(4,0)，上、下顶点坐标为(0，±2)．∵圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴上，∴①当圆经过椭圆右顶点及短轴两端点时，设圆的圆心为(x,0)，则x 2＋4＝4－x ，解得x ＝32，∴圆的半径为52，所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.②当圆经过椭圆左顶点及短轴两端点时，同理可得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝254.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±322＋y 2＝2549．从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．[解析] 由已知，点P (－c ，y ) 在椭圆上，代入椭圆方程，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵AB ∥OP ，∴k AB ＝k OP ，即－ba ＝－b 2ac ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则ca ＝22，即该椭圆的离心率是22.[答案]22三、解答题10．(2019·湖南长沙望城一中第三次调研)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标．[解] (1)圆A 的圆心为A (－1,0)，半径等于2 2.由已知得|MB |＝|MP |，所以|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，设Γ的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，a ＝2，c ＝1，b ＝1，所以曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由点P 在第一象限，cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，223. 于是直线AP 的方程为y ＝24(x ＋1)．代入椭圆方程，消去y ，可得 5x 2＋2x －7＝0，即(5x ＋7)(x －1)＝0.所以x 1＝1，x 2＝－75.因为点M 在线段AP 上，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，22.[能力提升]11．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，22C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 [解析] 如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c . ∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1.故选C.[答案] C12．如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，5＋14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋14，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1[解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1.[答案] D13．(2019·江苏镇江期末)已知椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ，n 为常数，m >n >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点，则PF 1→·PF 2→＝________.[解析] 由题知F 1(－c,0)，F 2(c,0)，设P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝b 2，∴PF 1→·PF 2→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－c 2＝b 2－c 2＝n －(m －n )＝2n －m .[答案] 2n －m14．(2019·云南保山期末)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一个点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为________．[解析] 设⊙O 与PF 1切于点M ，连接PF 2，OM .因为M 为PF 1的中点，所以OM 綊12PF 2，得|PF 2|＝2b ，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a －2b ，|MF 1|＝a －b .在Rt △OMF 1中，由|OM |2＋|MF 1|2＝|OF 1|2，得b 2＋(a －b )2＝c 2.所以b 2＋(a －b )2＝a 2－b 2，得a ＝32b ，c ＝52b ，所以e ＝ca ＝53.[答案]5315．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率． (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．[解] (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有OA ＝OF 2，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝ca ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2①.又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－3b 2＝32，得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.16．(2019·贵州遵义模拟)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b . [解] (1)∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c .当x ＝c 时，y ＝±b 2a ，由直线MN 的斜率为34，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，即tan∠MF 1F 2＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝34，即b 2＝32ac ＝a 2－c 2，即c 2＋32ac －a 2＝0，则e 2＋32e －1＝0，即2e 2＋3e －2＝0，解得e ＝12或e ＝－2(舍去)，即e ＝12. (2)由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，设M (c ，y 0)(y 0>0)，则c 2a 2＋y 20b 2＝1，即y 20＝b 4a 2，解得y 0＝b 2a .∵OD 是△MF 1F 2的中位线，∴b 2a ＝4，即b 2＝4a ，由|MN |＝5|F 1N |，得|MF 1|＝4|F 1N |，解得|DF 1|＝2|F 1N |，即DF 1→＝2F 1N →.设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则(－c ，－2)＝2(x 1＋c ，y 1)．即⎩⎨⎧ 2(x 1＋c )＝－c ，2y 1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－32c ，y 1＝－1，代入椭圆方程得9c 24a 2＋1b 2＝1，将b 2＝4a 代入得9(a 2－4a )4a 2＋14a＝1，解得a ＝7，b ＝27. [延伸拓展]1．(2019·石家庄质检)已知两定点A (－2,0)和B (2,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( )A.2613B.22613C.21313D.41313[解析] 设点A 关于直线l 的对称点为A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ y 1x 1＋2＝－1，y 12＝x 1－22＋3，解得x 1＝－3，y 1＝1，易知|PA |＋|PB |的最小值等于|A 1B |＝26，因此椭圆C 的离心率e ＝|AB ||PA |＋|PB |＝4|PA |＋|PB |的最大值为22613. [答案] B2．(2019·上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面得一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．[解析] ∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为2cos60°＝4.∵a 2＝b 2＋c 2，∴c ＝42－22＝23，∴椭圆的焦距为4 3. [答案] 43。

课时跟踪训练47

课时跟踪训练(四十七)[根底稳固]一、选择题1．点A (1，－1)，B (－1,1)，那么以线段AB 为直径的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2＋y 2＝ 2C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝4[解析] AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. [答案] A2．(2021·豫北名校4月联考)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4[解析] 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )，那么有⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得a ＝1，b ＝3，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.应选D.[答案] D3．(2021·湖南长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2间隔的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22 D ．2＋2 2[解析] 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，那么圆心到直线x －y ＝2的间隔 d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2间隔的最大值为d ＋1＝2＋1，选A.[答案] A4．假设曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，那么a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)[解析] 曲线C 的方程可以化为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，那么该方程表示圆心为(－a,2a )，半径等于2的圆．因为圆上的点均在第二象限，所以a >2. [答案] D5．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1[解析] 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，那么x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，那么⎩⎨⎧2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2⇒⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.[答案] A6．(2021·福建厦门4月联考)假设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，那么方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，应选B.[答案] B 二、填空题7．直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，那么圆C 上各点到l 的间隔的最小值为__________．[解析] 由题意得C 上各点到直线l 的间隔的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的间隔减去半径，即|1－1＋4|2－2＝ 2.[答案]28．点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，那么y －1x －2的最大值为________．[解析] 设y －1x －2＝k ，那么k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 获得最大值与最小值．由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33. 故y －1x －2的最大值为33. [答案] 339．圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，那么圆C 的方程为________．[解析] 圆心是AB 的垂直平分线和2x －y －7＝0的交点，那么圆心为E (2，－3)，r ＝|EA |＝4＋1＝5，那么圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝r 2＝5.[答案] (x －2)2＋(y ＋3)2＝5 三、解答题10．(2021·江西南昌二中检测)在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程． [解] (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧36－6E ＋F ＝0，4－2D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1，E ＝5，F ＝－6，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－52，假设直线经过原点，那么直线l的方程为5x ＋y ＝0；假设直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，那么a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.[才能提升]11．(2021·大连统考)圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，那么|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2 D.17[解析] 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C ′1(2，－3)，那么(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C ′1C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.[答案] A12．(2021·山西运城模拟)两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，那么△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22 D.3－22[解析] l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的间隔 d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最小值为32－1.∴S △min ＝12×(22)×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.∴选A. [答案] A13．(2021·广州市高三综合测试)假设一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，那么该圆的标准方程是__________________．[解析] 抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.[答案] x 2＋(y －1)2＝214．(2021·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．假设P A →·PB →≤20，那么点P 的横坐标的取值范围是________．[解析] 此题考察平面向量数量积及其应用，圆的方程的应用及圆与圆的相交．解法一：设P (x ，y )，那么由P A →·PB →≤20可得，(－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20，即(x ＋6)2＋(y －3)2≤65，所以P 为圆(x ＋6)2＋(y －3)2＝65上或其内部一点．又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，联立得⎩⎨⎧x 2＋y 2＝50，(x ＋6)2＋(y －3)2＝65，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝7或⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝－5，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)，易知－52≤x ≤1.解法二：设P (x ，y )，那么由P A →·PB →≤20，可得(－12－x )(－x )＋(－y )(6－y )≤20，即x 2＋12x ＋y 2－6y ≤20，由于点P 在圆x 2＋y 2＝50上，故12x －6y ＋30≤0，即2x －y ＋5≤0，∴点P 为圆x 2＋y 2＝50上且满足2x －y ＋5≤0的点，即P 为圆x 2＋y 2＝50的劣弧MN 上的一点(如图)．同解法一，可得N (1,7)，M (－5，－5)，易知－52≤x ≤1. [答案] [－52，1]15．点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．[解] (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，那么CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的间隔为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为12×4105×4105＝165.16．(2021·吉林省实验中学模拟)圆M 过C (1，－1)，D (－1,1)两点，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．[解] (1)设圆M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0，解得a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)由题意知，四边形P AMB 的面积为S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12(|AM |·|P A |＋|BM |·|PB |)．又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |，而|P A |2＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，所以S ＝2|PM |2－4.因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值，即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小，所以|PM |min ＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为2|PM |2－4＝2 5.[延伸拓展]1．假设过点(1,2)总可以作两条直线与圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2－15＝0相切，那么实数k 的取值范围是__________．[解析] 由k 2＋4－4(k 2－15)>0，得－833<k <833.由题意可知，点(1,2)在圆的外部，所以1＋4＋k ＋4＋k 2－15>0，得k <－3或k >2.所以k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，833. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，－3∪⎝⎛⎭⎪⎫2，833 2．(2021·山西运城二模)圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的间隔为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，那么圆C 的方程为________．[解析] 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，那么点C 到x 轴，y轴的间隔分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.[答案](x＋1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2第 11 页。