高三数学摸底联考试题理

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河南省名校联盟2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题(含答案)

2025届高三开学摸底联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则（）A ．B ．C ．D ．2．若复数满足,则（）ABCD3．抛物线的焦点坐标为（）A ．B ．C ．D ．4．双曲线的离心率为（）ABCD ．5．将正整数1，2，3，…按从小到大的顺序分组，第组含个数，分组如下：,则2025在第（）组．A ．9B ．10C ．11D ．126．在中，内角的对边分别为，，，且的面积，若的平分线交于点，则（）{}{}03,2,1,0,1,2A x x B =<<=--A B =∩{}0,1,2{}1,2{}2,2-{}2,1,1,2--z 3i1iz +=+z =24y x =1,016⎛⎫⎪⎝⎭10,16⎛⎫⎪⎝⎭()0,1()1,0()22103x y t t t-=>n 12n -()()()1,2,3,(4,5,6,7),8,9,10,11,12,13,14,15, ABC △,,A B C ,,a b c 3a =4c =ABC △)222S a c b =+-ABC ∠AC D BD =ABC ．D ．7．已知面积为的正三角形的所有顶点都在球的球面上，若三棱锥的体积为，则球的表面积为（）A ．B ．C．D ．8．已知函数，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，若在上的值域为,则函数在上的零点个数为（）A ．4B ．6C ．8D ．10二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

高三摸底考试理科数学(附答案)

高三摸底考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试用时120分.第Ⅰ卷（共60分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A)·P(B)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。

1．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合},,|{Q b P a ab z z Q P ∈∈==*，若P={－1，0，1}，Q={－2，2}，则集合Q P *中元素的个数是A ．3B ．4C ．5D ．62．已知ni im-=+11，其中m ，n 是实数，是m+n i 等于A ．1+2iB ．1－2iC ．2+iD ．2－i3．若,011<<b a 则下列不等式：①ab b a <+ ②||||b a >③b a < ④2>+baa b 中，正确的不等式有A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④4．若)2,4(412sin ππαα∈=且，则ααsin cos -的值是A ．23 B ．43 C ．－23 D ．－43 5．若数列{a n }满足nn a a a 11,211-==+，则a 2007的值A ．1B ．－1C ．21 D ．26．已知0,2||,1||=⋅==OB OA OB OA ，点C 在∠AOB 内，且∠AOC=45°，设),(R n m OB n OA m OC ∈+=，则nm等于A ．21 B ．22 C ．2D ．27．把函数)2||,0)(sin(πϕωϕω<>+=x y 的图象按向量)0,3(π-=a 平移，所得曲线的一部分如图所示，则ω，ϕ的值分别是A ．1，3π B ．1，－3πC ．2，3π D ．2，－3π8．已知向量a 、b 满足||,6||,2||,1||b a b a b a -=+==则等于A ．2B ．3C ．21 D ．33 9．已知实数a ，b 满足等式b a 32log log =，下列五个关系式：①1<a <b ；②1<b< a ；③b< a <1；④a <b<1；⑤a =b ，其中不可能成立的关系有A ．4B ．3C ．2D ．110．下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是A ．x x f sin )(=B ．|1|)(+-=x x fC ．)(21)(x xa a x f -+=D ．xxx f +-=22ln)( 11．在△OAB 中，O 为坐标原点，)1,(sin ),cos ,1(θθB A ，其中)2,0(πθ∈，则当△OAB 的面积达到最小值时，θ的值A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 12．同时满足条件：①函数图象成中心对称图形；②对任意a 、b ∈[0，1]，若b a ≠，有)2(2)()(ba fb f a f +<+的函数是A ．||log x y a =B ．x y 2cos =C ．)3tan(π-=x y D ．3x y =第Ⅱ卷（共90分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。

2024届江苏省百师联盟高三下学期开年摸底联考数学试题及答案

2024届高三开年摸底联考数学试题1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号，座位号、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合210,14A x x B −≤=≥=，则A B = （） A ．10,2B ．10,2C ．(]0,1D ．[]0,12．复数()32i2ia a z−∈R 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．命题“221,log 0x x ∀<−>”的否定为（） A ．221,log 0x x ∀<−≤B ．221,log 0x x ∀≥−>C ．221,log 0x x ∃≥−>D ．221,log 0x x ∃<−≤4．若双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的实轴长为2，则双曲线的左焦点F 到一条渐近线的距离为（）AB ．C ．1D ．25．，下底面半径为的圆台存在内切球（与上、下底面及侧面都相切的球），则该圆台的体积为（）A ．B ．56πC D ．563π6．已知实数,m n 满足10m n >>>，设ln ln ln ,,n m n a m b n c n ==，则（）A ．a b c =>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c a b >=7．在ABC △中，D 为边BC 上一点，2,4,23DAC AD AB BD π∠===，且ADC △的面积为sin ABD ∠=（）A B C D 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若m n ≠，且221122,m nn m a a a a nm +=+=，则m n S +=（） A ．2()m n +B ．2()m n −+C ．22m n −D ．22n m −二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A ．若随机变量()2,0.2XB ∼，则()20.2P X ==B ．若经验回归方程 y x ba =+ 中的0b > ，则变量x 与y 正相关 C ．若随机变量()20,N ξσ∼，且12P p ξ <−= ，则11022P p ξ<<=−D ．若事件A 与B 为互斥事件，则A 的对立事件与B 的对立事件一定互斥10．已知函数()22sin cosf x x = ） A ．π为()f x 的一个周期B ．()f x 在3,22ππ−上有2个零点C ．()f x 在3x π=−处取得极小值D ．对()()1221,,f x f x x x ≤−∀∈R11．已知定义在R 上的函数()22yf x +为奇函数，且对x ∀∈R ，都有1322f x f x+=−，定义在R 上的函数()f x ′为()f x 的导函数，则以下结论一定正确的是（） A ．()2f x +为奇函数B ．1722f f=C ．1322f f =− ′′D ．()f x ′为偶函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．小明上学要经过两个有红绿灯的路口，已知小明在第一个路口遇到红灯的概率为14，若他在第一个路口遇到红灯，第二个路口没有遇到红灯的概率为34，在第一个路口没有遇到红灯，第二个路口遇到红灯的概率为14，则小明在第二个路口遇到红灯的概率为_______． 13．已知,0,2παβ∈，若sin sin2cos cos P αβαβ=+，则P 的最大值为_______．14．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于点P （异于坐标原点O ），与x 轴交于点Q ，若2,1PF FQ ==，则p =_______；向量FP 与PQ的夹角为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数()1e xf x ax =+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若直线1y =与曲线()y f x =相切，求a 的值．（15分）如图，在三棱台111ABC B C −中，11122AB AC A B AA ====，113A AB A AC π∠=∠=，2BAC π∠=．（1）证明：111A A B C ⊥；（2）求直线1BB 与平面1A ACC 所成角的正弦值．17．（15分）某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，…，10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：若3个数的积为3的倍数且不为5的倍数时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍数，且为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖．（1）随机抽取一张彩票，求这张彩票中奖的概率；（2）假设每张彩票售价为()*a a ∈N元，且三、二、一等奖的奖金分别为5元，10元，50元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求a 的最小值．18．（17分）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为,F A 为椭圆上一点，O 为坐标原点，直线OA 与椭圆交于另一点B ，直线AF 与椭圆交于另一点D （点B D 、不重合）．（1）设直线,AD BD 的斜率分别为,AD BD k k ，证明：34AD BD k k ⋅=−；（2）点P 为直线4x =上一点，记,,PA PF PD 的斜率分别为123,,k k k ，若12324k k k ++=，求点P 的坐标． 19．（17分）在数列{}n a 中，若存在常数t ，使得()*1123n n a a a a a t n +=+∈N 恒成立，则称数列{}na 为“()H t 数列”．（1）若11n c n=+，试判断数列{}n c 是否为“()H t 数列”，请说明理由；（2）若数列{}n a 为“()H t 数列”，且12a =，数列{}n b 为等比数列，且2121log nin n i aa b t +==+−∑，求数列{}n b 的通项公式；（3）若正项数列{}n a 为“()H t 数列”，且11,0a t >>，证明：ln 1n n a a <−．2024届高三开年摸底联考数学参考答案及评分意见1．B 【解析】(]11,,0,122A B=−=，所以10,2A B=．故选B ． 2．C 【解析】1332i 2i 2i 2a a z −−=−−=，因为120a −>，所以复数z 在复平面内对应的点在第三象限．故选C ．3．D 【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，所以“221,log 0x x ∀<−>”的否定为“221,log 0x x ∃<−≤”．故选D ．4．A 【解析】设双曲线的焦距为2c，由题，1,ca e a===，得c =，故2222b c a =−=，所以()F ，不妨取渐近线y =，则左焦点F到渐近线y =．故选A ． 5．D 【解析】由题可得圆台的母线长为4h，所以该圆台的体积(15642833V πππ=××++=，故选D ． 6．D 【解析】因为10m n >>>，所以ln ln m n >，又x y n =为减函数，所以ln ln mn nn <，即b c <，又ln ln ln ln ln ln ,ln ln ln ln n m a m m n b n m n ==⋅==⋅，故a b =，所以c a b >=，故选D ． 7．A【解析】11sin 422ADC S AD AC DAC AC =×××∠=××△，解得4AC =，所以ADC △为等腰三角形，6ADC π∠=，故56ADB ABD π∠=⋅△中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD=∠∠，即21sin 2BDBD BAD =∠，得1sin 4BAD ∠=．因为56ADB π∠=，所以BAD ∠为锐角，故cos BAD ∠()1sin sin sin cos 26ABD ADC BAD BAD BAD BAD π =−=∠∠==−∠−∠∠∠．故选A ．8．B 【解析】由题，()()2211,22n m n m n a a m a a m S n S ++====，所以()2112m m d n a m −+=①，()2112n n d m a n −+=②，两式作差得()222212m n m n a m n d n m −−+−+=−，化简得()112m n a d m n +−+=−+，即()()()211()2m n m n a m n d m n ++−++=−+，所以2()m n S m n +=−+，故选B ．9．BC 【解析】222(2)C (0.2)0.04P X ===，A 错误；若经验回归方程 y bx a =+ 中斜率0b > ，则变量x 与y 正相关，B 正确；易得正态曲线关于直线0x =对称，故1(0)2P x >=，又1122P P p ξξ >=<−=，所以11022P p ξ <<=−，C 正确；掷一枚骰子，设事件:A 出现的点数为1，事件:B 出现的点数为2，则A 与B 互斥，但A 与B 不互斥，D 错误．故选BC ．10．BC 【解析】()()()222sin cos 2sin sin 22x x f x x x f x πππ+ ++=≠=−，A 错误；令()0f x =，得sin 0x =或cos02x =，当3,22x ππ ∈− 时，解得0x =或x π=，故()f x 在3,22ππ−上有2个零点，B 正确；()()222sin cossin sin cos ,2cos cos 12xf x x x x x f x x x ==+=+−′，令()0f x ′=，得cos 1x =−或1cos 2x =，且当,3x ππ ∈−− 时，()()0,f x f x ′<单调递减，当,03x π∈−时，()()0,f x f x ′>单调递增，所以()f x 在3x π=−处取得极小值，C 正确；可知()f x 的极大值为23f k k ππ+=∈Z ，这个极大值即为函数的最大值，()f x 的极小值为23f k k ππ−∈Z ，这个极小值即为函数的最小值，故()()1221,,f x f x x x −∀∈≤R ，D 错误．故选BC ． 11．ACD 【解析】因为()22f x +为奇函数，所以()()2222f x f x −+=−+，所以()()22f x f x −+=−+，故()2f x +为奇函数，A 正确；又1322f x f x +=−，故()()11f x f x +=−，所以()()()22f x f x f x =−=−+，故()()4f x f x +=，所以()f x 是以4为周期的周期函数，所以1722f f=− ，且不能确定1122f f=−一定成立，故B 错误；因为()()11f x f x +=−，所以()()11f x f x +=−′−′，所以1322f f=− ′′，C 正确；因为()()22f x f x −+=−+，所以()()22f x f x −+=′+′，故()()4f x f x ′′−=+，又()()4f x f x ′′=+，所以()()f x f x ′−=′，所以()f x ′为偶函数，D 正确，故选ACD ． 12．14【解析】记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A ，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B ，则()()31,44P AP B B A ==，又()()31,44A P P A ==，所以()()()PB P A P B A =+()()P A P B A =1131144444×+×=． 13．54【解析】()P αϕ+，其中cos 1tan sin22sin βϕββ==，所以()sin αϕ+的最大值为1，设t 25cos 8β=时，t 取得最大值54，所以P 的最大值为54． 14．1；56π 【解析】由题得0,2p F ，设2,2t P t p，由22x py =得22x y p =，求导得x y p ′=，所以直线l 的斜率t k p =，则直线l 的方程为()22t ty x t p p −−，易得,02t Q ，所以22,122t pPF FQ p +，解得1,p t ==．当t =时，)3,2FP PQ =−，则cos ,FP PQ FP PQ PQ FP ⋅==[],0,FP PQ π∈，故向量FP 与PQ 的夹角为56π，当t =56π．（第一空2分，第二空3分） 15．解：（1）()f x 的定义域为()1,e xf x a =−′R ，当0a ≤时，()()0,f x f x ′<单调递减；当0a >时，令()0f x ′=，得ln x a =−，当(),ln x a ∈−∞−时，()()0,f x f x ′<单调递减；当()ln ,x a ∈−+∞时，()()0,f x f x ′>单调递增．综上，当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a −∞−上单调递减；在()ln ,a −+∞上单调递增．（2）由题，()1e xf x a −′=，设切点为()()00,x f x ，则()0010ex f x a =−=′，易知0a >，故0ln x a =−．又()01f x =，即0011e x ax +=，将0ln x a =−代入，得ln 10a a a −−=．设()ln 1(0)h x x x x x =−−>，则()ln h x x ′=−．当()0,1x ∈时()()0,h x h x ′>单调递增；当()1,x ∈+∞时()()0,h x h x ′<单调递减．所以()()10h x h ≤=，所以1a =．16．（1）证明：取BC 中点D ，连接111,,,A B AC A D AD ．因为AB AC =，所以AD BC ⊥．因为11,3A AB A AC AB AC π∠=∠==，且1A A 是公共边，所以()11SAS A AB A AC △≌△，所以11AC A B =，所以1A D BC ⊥．因为11,,AD A D D AD A D =⊂ 平面1A AD ，所以BC ⊥平面1A AD ．又因为1A A ⊂平面1A AD ，所以1A A BC ⊥．又11BC B C ∥，所以111A A B C ⊥（2）解：如图，过点1A 作AD 的垂线，垂足为O ，过点O 作OF 垂直于AB ，垂足为F ，连接1A F ．不难得出，11,O AB AO OF AO ⊥= ，则AB ⊥平面1AOF ．又1A F ⊂平面1AOF ，则1AB A F ⊥．由1,32A AF BAC ππ∠=∠=，可得12,2,4AF OF AO AO OD BD ======．过点O 作BC 的平行线，交AB 于点E ，由（1）得1,,OE OD OA 三条直线两两垂直，分别以1,,OE OD OA 为x ，,y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()110,2,0,4,2,0,0,0,2,4,2,0,2,2,2A C A B B −−，()()()111110,2,2,4,4,0,2,0,2AA AC BB BA AA A B ==−=++=−．设平面11A ACC 的一个法向量为(),,m x y z =，则10,0,m AA m AC ⋅= ⋅=即220,440.y z x y += −+= 令1x =，得1,1y z ==−，所以()1,1,1m =− ．又直线1BB 的一个方向向量()2,0,2n =−，所以cos ,m nm n nm ⋅===⋅，所以直线1BB 与平面1A ACC．17．解：（1）获得三等奖的概率()321111233522343310C C C C C 1C C 13C 40P ++++==；获得二等奖的概率122125252310C C C C 5C 24P +==；获得一等奖的概率1111111221141310C C C C C C 1C 15P +==．所以随机抽取一张彩票，这张彩票中奖的概率12379120P P P P =++=．（2）一张彩票的奖金ξ的取值可能为0，5，10，50元，其分布列为：所以ξ的期望()21351169051050540241524E ξ=×+×+×+×=．若盈利，需()16924a E ξ>=，因为*a ∈N ，故a 的最小值为818．（1）证明：设()()0011,,,D x y A x y ，则()11,B x y −−，则2210101022010101AD BD y y y y y y k k x x x x x x −+−=×⋅=−+−．又222211001,14343x y x y +=+=，两式作差得：22220101043x x y y −−+=，即2201220134y y x x −=−−，所以34AD BD k k ⋅=−，得证．（2）解：由题，A 不与长轴两端点重合，设()4,,0P m m ≠，直线:1AF x ty =+，与椭圆方程联立，并消去x 得()2234690t y ty ++−=．设()()1122,,,A x y D x y ，则12122296,3434t y y y y t t −−+==++，所以20413m m k −==−， ()()()()()()211212131212444444x m y x m y m y m y k k x x x x −−+−−−−+=+=−−−−．又11221,1x ty x ty =+=+，代入上式化简得()()()()22212121322221212223618663222234341899333393434tm t t m m tm y y ty y mt m m t t k k t t t y y t y y t t t +×+−++−+++++====−++++−++，所以1234243m k k k ++==．故3m =，所以点P 的坐标为()4,3．19．（1）解：数列{}n c 不是“()H t 数列”．理由如下：因为111n n c n n +=+=，所以121n n c n ++=+．又1223411123n n c c c n n+=××××=+ ，所以()11221111n nn c c c c n n n n ++=−−+=−++ ，因为11n n −+不是常数，所以数列{}n c 不是“()H t 数列”．（2）解：因为数列{}n a 为“()H t 数列”，由2121log n i n n i aa b t +==+−∑，得21221log ni n n i a a a a b ==+∑ ，所以12121121log n i n n n i a a a a a b +++==+∑ ，两式作差得：()21111221log n n n n n b a a a a a b +++=−+ ．又数列{}n a 为“()H t 数列”，故112n n a t a a a +−= ．设数列{}n b 的公比为q ，所以()()211121log n n n a a a t q +++=−−+，即()()121log 0n t a t q ++−+=对*n ∀∈N 成立，则210,log 0,t t q += +=得1,2t q =−=．又2111212,log a a a b ==+，得14b =，所以11422n n n b −+=×=，所以数列{}n b 的通项公式为12n n b +=．（3）证明：设函数()ln 1f x x x =−+，则()111x f x x x−=−=′，当()1,x ∈+∞时，()0f x ′<，则()f x 在()1,+∞上单调递减，且()()10f x f <=．因为数列{}n a 为“()H t 数列”，则()*112n n a a a a t n +−=∈N ．因为11,0a t >>，则2111a a t a =+>>，故312121a a a t a a =+>>，以此类推，可得对*,1n n a ∀∈>N ，所以()()10n f a f <=，即ln 10n n a a −+<，所以ln 1n n a a <−．得证．。

河南省洛阳市强基联盟2023届新高三摸底大联考数学(理科)试题含答案

强基联盟23届新高三摸底大联考数学（理科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫来黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一个电路中含有（1）（2）两个零件，零件（1）含有A ，B 两个元件，零件（2）含有C ，D ，E 三个元件，每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作，则该电路能正常工作的线路条数为（）A.9B.8C.6D.52.若复数：()i 32i z =-（i 是虚数单位），则z =（）A.23i-+ B.23i+ C.32i+ D.32i-3.下面几种推理是类比推理的是（）A.由“周长为定值的长方形中，正方形的面积最大”，推测“在表面积为定值的长方体中，正方体的体积最大”B.三角形中大角对大边，若ABC 中，ABC BAC ∠>∠，则AC BC >C.由332123+=，33321236++=，…，得到333333212345621+++++=D.一切偶数都能被2整除，20222是偶数，所以20222能被2整除4.已知随机变量()2~5,X N σ，若()80.36P X ≥=，则()2P X >=（）A.0.36B.0.18C.0.64D.0.825.“1133a b <”是“ln ln a b <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =1cos 4A =-，sin 2sinBC =，则c =（）A.1B.2C.3D.47.已如实数x ，y 满足约束条件1,2,30.x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2x y +的最小值是（）A.72B.3C.73D.28.3nx ⎛⎝的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（）A.-540B.135C.18D.12159.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A 表示选出的三种药方中至少有一药，事件B 表示选出的三种药方中至少有一方，则()|P A B =（）A.1920B.910C.919 D.181910.对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和：311=，3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，根据上述规律，325的分解式中等号右边的所有数中最大的数为（）A.325B.323C.649D.64711.随机变量ξ的概率分布列为()2cP k k kξ==+，k ＝1，2，3，其中c 是常数，则()93D ξ-的值为（）A.10B.117C.38D.3512.已知函数()32183833f x x x x =-+-，()ln g x x x =-，若()120,3x x ∀∈，，()()12g x k f x +≥恒成立，则实数k 的取值范围是（）A.[)2ln 2,++∞ B.[)3,∞-+C.5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.[)3,+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线e 22x y x x =+-在0x =处的切线方程是________．14.奶茶店老板对本店在2021年12月份出售热饮的杯数y 与当天的平均气温/℃x 进行线性回归分析，随机收集了该月某4天的相关数据（如下表），并由最小二乘法求得回归方程为ˆ452=-yx .气温/℃x 10622-售出热饮的杯数y243448表中有一个数据看不清楚，请你推断出该数据的值为___________.15.已知随机变量()~4,X B p ，若()65181P X ≥=，则DX =______．16.已知F 是椭圆1C ：22221x ya b+=（0a b >>）的右焦点，A 为椭圆1C 的下顶点，双曲线2C ：22221x y m n-=（0m >，0n >）与椭圆1C 共焦点，若直线AF 与双曲线2C 的一条渐近线平行，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1212e e +的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且629S S =，3634a a -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AD CD ⊥，12AD CD DD ===，1AB =．（1）求证：111AD B C ⊥；（2）求二面角11D AC B --的余弦值．19.司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门随机调查了100名司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．（1）完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；（2）采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X 为开车时不使用手机的男性司机人数，求X 的分布列和数学期望．参考数据：()2P k χ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．20.已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，且抛物线C 经过点(2,1)P ．（1）求抛物线C 的方程；（2）A ，B 是抛物线C 上异于点P 的两个动点，记直线PA 和直线PB 的斜率分别为()1212,0k k k k ≠，若12112k k +=，求证：直线AB 过定点．21.已知函数()()e ln 0xa x ax a x xf =+-<．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式()()e 1e xx f x x b x x≥+--在[)1,x ∞∈+上恒成立，求实数b的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C 的普通方程；（2）已知点P 的直角坐标为()1,2-，过点P 作C 的切线，求切线的极坐标方程．选修4-5：不等式选讲23.已知函数())f x x a x a =++-∈R ．（1）若2a =，求不等式()9f x ≥的解集；（2）若x ∀∈R ，不等式()22f x a a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．强基联盟23届新高三摸底大联考数学（理科）考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫来黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一个电路中含有（1）（2）两个零件，零件（1）含有A ，B 两个元件，零件（2）含有C ，D ，E 三个元件，每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作，则该电路能正常工作的线路条数为（）A.9B.8C.6D.5【答案】C 【解析】【分析】根据分步乘法计数原理即可求得【详解】由分步乘法计数原理易得，该电路能正常工作的线路条数为236⨯=条．故选：C ．2.若复数：()i 32i z =-（i 是虚数单位），则z =（）A.23i-+ B.23i + C.32i + D.32i-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的乘法，可直接得出结果.【详解】()2i 32i 3i 2i 23iz =-=-=+故选：B3.下面几种推理是类比推理的是（）A.由“周长为定值的长方形中，正方形的面积最大”，推测“在表面积为定值的长方体中，正方体的体积最大”B.三角形中大角对大边，若ABC 中，ABC BAC ∠>∠，则AC BC >C.由332123+=，33321236++=，…，得到333333212345621+++++=D.一切偶数都能被2整除，20222是偶数，所以20222能被2整除【答案】A【解析】【分析】由类比推理、演绎推理、归纳推理的定义依次判断即可.【详解】对于A ，由平面图形的性质推测出空间几何体的性质，为类比推理，A 正确；对于B ，为演绎推理，B 错误；对于C ，为归纳推理，C 错误；对于D ，为演绎推理，D 错误．故选：A .4.已知随机变量()2~5,X N σ，若()80.36P X ≥=，则()2P X >=（）A.0.36 B.0.18C.0.64D.0.82【答案】C 【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】因为()2~5,X N σ，所以()()280.36P X P X ≤=≥=，所以()20.64P X >=．故选:C ．5.“1133a b <”是“ln ln a b <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】.【详解】解：由ln ln a b <，可得0a b <<，所以1133a b <时，所以必要性成立；当1133a b <时，在0a b <<的情况下，ln ln a b <不成立，所以充分性不成立．故“1133a b <”是“ln ln a b <”的必要不充分条件．故选：B ．6.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =1cos 4A =-，sin 2sinBC =，则c =（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】由sin 2sin B C =，利用正弦定理得2b c =，然后结合已知条件利用余弦定理可求出c【详解】sin 2sin B C =．由正弦定理可得2b c =．又∵a =1cos 4A =-，∴由余弦定理2222cos a c b cb A =+-，可得22222112424242c b cb c c c ⎛⎫=+-⋅-=++⨯ ⎪⎝⎭，解得2c =或2c =-（舍去）．故选：B ．7.已如实数x ，y 满足约束条件1,2,30.x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2x y +的最小值是（）A.72B.3C.73D.2【答案】C 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】作出满足约束条件1,2,30x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩的可行域如图阴影部分所示：联立301x y x -=⎧⎨=⎩，解得11,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令2z x y =+，得2y x z =-+，由图可知，当直线2y x z =-+过11,3A ⎛⎫⎪⎝⎭时，直线在y 轴上的截距最大，z 有有最小值，所以1722133z x y =+=⨯+=，故选C .8.3nx ⎛⎝的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为（）A.-540B.135C.18D.1215【答案】B 【解析】【分析】由题意得264n =，求出6n =，从而可求出二项展开式的通项公式，然后令x 的次数为零，求出r ，从而可求出结果【详解】由题意得264n =，所以6n =，所以63x ⎛- ⎝展开式的通项()()36662166C 31C 3rr rr rr r r T x x---+⎛==-⋅⋅⋅ ⎝，令3602r -=，得4r =，所以展开式中的常数项为()44261C 3135-⋅⋅=．故选：B ．9.我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出三种药方，事件A 表示选出的三种药方中至少有一药，事件B 表示选出的三种药方中至少有一方，则()|P A B =（）A.1920B.910C.919D.1819【答案】D 【解析】【分析】利用古典概型公式求出()P B 和()P AB ，再利用条件概率公式计算即可得到本题答案.【详解】由题可得，333619()120C P B C =-=，12213333369()10C C C C P AB C +==，所以()()()1819P AB P AB P B ==｜．故选：D10.对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和：311=，3235=+，337911=++，3413151719=+++，…，根据上述规律，325的分解式中等号右边的所有数中最大的数为（）A.325 B.323C.649D.647【答案】C【解析】【分析】直接由题目所给数据总结规律，按照规律即可求解.【详解】观察可知，等号右边的所有数中最大的数依次为1，5，11，19，满足22221,21,32,43+++，由规律可知，325的分解式中等号右边的所有数中最大的数为22524649+=．故选：C ．11.随机变量ξ的概率分布列为()2cP k k kξ==+，k ＝1，2，3，其中c 是常数，则()93D ξ-的值为（）A .10B.117C.38D.35【答案】C 【解析】【分析】根据分布列性质求出m ，再计算随机变量ξ的期望方差，利用方差性质计算()93D ξ-.【详解】()2cP k k kξ==+ ，k ＝1，2，3，12612c c c ∴++=，解得43c =，22113()1233999E ξ∴=⨯+⨯+⨯=，22213213213138()(1(2)(3)93999981D ξ∴=-⨯+-⨯+-⨯=，()()()29398138D D D ξξξ∴-===.故选：C12.已知函数()32183833f x x x x =-+-，()ln g x x x =-，若()120,3x x ∀∈，，()()12g x k f x +≥恒成立，则实数k 的取值范围是（）A.[)2ln 2,++∞ B.[)3,∞-+C.5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.[)3,+∞【答案】D 【解析】【分析】利用导数判断单调性，根据单调性求解最值，根据两个函数最值之间的关系即可求解.【详解】()()()26824f x x x x x '=-+=--，当()0,2x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()2,3x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在()0,3上的最大值是()24f =．()111x g x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,3x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()g x 在()0,3上的最小值是()11g =，若1x ∀，()20,3x ∈，()()12g x k f x +≥恒成立，则()()max min g x k f x +≥⎡⎤⎣⎦，即14k +≥，所以3k ≥，所以实数k 的取值范围是[)3,+∞．故选:D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.曲线e 22xy x x =+-在0x =处的切线方程是________．【答案】320x y --=【解析】【分析】利用导数的几何意义求解即可【详解】由e 22x y x x =+-，得e e 2x x y x '=++，当0x =时，2y =-，3y ¢=，所以切线方程为()23y x --=，即320x y --=．故答案为：320x y --=14.奶茶店老板对本店在2021年12月份出售热饮的杯数y 与当天的平均气温/℃x 进行线性回归分析，随机收集了该月某4天的相关数据（如下表），并由最小二乘法求得回归方程为ˆ452=-yx .气温/℃x 10622-售出热饮的杯数y243448表中有一个数据看不清楚，请你推断出该数据的值为___________.【答案】42【解析】【分析】由最小二乘法求得回归直线方程经过样本的中心点(),x y ，设出看不清楚的数据，表示出平均值，代入到回归直线方程即可求解.【详解】设看不清的这个数据为m ，则2434481064,44++++===m mx y ，由于回归直线必过平均值点1064,4+⎛⎫⎪⎝⎭m ，所以10645244+=-⨯m，解得42m =.故答案为：42.15.已知随机变量()~4,X B p ，若()65181P X ≥=，则DX =______．【答案】89【解析】【分析】()~4,X B p ，二项分布的性质，算出13p =，在使用()1DX np p =-即可.【详解】因为()~4,X B p ，()65181P X ≥=，所以()6516018181P X ==-=，所以()4416181C p p -=，所以213p -=，所以13p =，所以11841339DX ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．答案为：8916.已知F 是椭圆1C ：22221x ya b+=（0a b >>）的右焦点，A 为椭圆1C 的下顶点，双曲线2C ：22221x y m n-=（0m >，0n >）与椭圆1C 共焦点，若直线AF 与双曲线2C 的一条渐近线平行，1C ，2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1212e e +的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据直线AF 与2C 的一条渐近线平行，得到=b nc m，再结合双曲线与椭圆共焦点得到121e e =，再利用基本不等式求解.【详解】解：设1C 的半焦距为c （0c >），则(),0F c ，又()0,A b -，所以AF bk c=，又直线AF 与2C 的一条渐近线平行，所以=b n c m ，所以2222=b n c m ，所以222222a c c m c m --=，所以2222=a c c m，所以121e e =，又212112122122e e e e e e e e ++==+≥=，当且仅当212e e =，即12e =，2e =时等号成立，即1211e e +的最小值为．故答案为：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且629S S =，3634a a -=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =-，（n ∈+N ）.（2）221=+n nT n ，（n ∈+N ）.【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式和前n 项和，结合已知条件联立方程可求出1a 和d ，即可求出通项公式.（2）表示出{}n b ，裂项相消求和即可.【小问1详解】解：由题可知，6236934S S a a =⎧⎨-=⎩，即112024a d a d -=⎧⎨+=⎩，解得11a =，2d =，所以21n a n =-，（n ∈+N ）.【小问2详解】由（1）知，12211(21)(21)2121n n n b a a n n n n +===--+-+，所以1211111111133523212121n n n T b b b b n n n n -=+++=-+-++-+----+ 1212121n n n =-=++，所以221=+n nT n ，（n ∈+N ）.18.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AD CD ⊥，12AD CD DD ===，1AB =．（1）求证：111AD B C ⊥；（2）求二面角11D AC B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）33【解析】【分析】（1）证明DA ，DC ，1DD 两两垂直，建立空间直角坐标系，求出11,AD B C，由110AD B C ⋅=即可证明；（2）求出平面1ACD 和平面1ACB 的法向量，由向量夹角公式求出余弦值即可.【小问1详解】因为1DD ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ．所以1DD AD ⊥，1DD CD ⊥．又AD CD ⊥，所以DA ，DC ，1DD 两两垂直，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()0,2,0C ，()10,0,2D ，()12,1,2B ．所以()12,0,2AD =- ，()12,1,2B C =--．所以()()()112201220AD B C ⋅=-⨯-+⨯+⨯-=，所以11AD B C ⊥．【小问2详解】()2,2,0AC =- ，设向量()111,,m x y z = 为平面1ACD 的一个法向量，则100m AC m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1111220,220,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令11x =，得()1,1,1m = ，设向量()222,,n x y z = 为平面1ACB 的一个法向量，则100n AC n B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22222220,220,x y x y z -+=⎧⎨-+-=⎩令22x =，得()2,2,1n =-．所以3cos 3m n m n m n⋅⋅==．设二面角11D AC B --的大小为θ，由图可知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 3θ=．所以二面角11D AC B --的余弦值为3．19.司机在开车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门随机调查了100名司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．（1）完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数女性司机人数合计（2）采用分层抽样从开车时不使用手机的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记X 为开车时不使用手机的男性司机人数，求X 的分布列和数学期望．参考数据：()2P k χ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）填表见解析；有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关（2）分布列见解析；期望为98【解析】【分析】（1）根据题意补全列联表，计算卡方并比较即可；（2）根据超几何分布相关知识即可求得X 的分布列和数学期望.【小问1详解】由已知数据可得22⨯列联表如下：开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数401555女性司机人数202545合计6040100提出假设0:H 开车时使用手机与司机的性别无关，因为()22100402515208.2497.87960405545χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关．【小问2详解】开车时不使用手机的男性司机人数为：15831525⨯=+人；开车时不使用手机的女性司机人数为：25515825=+⨯人．由题意可知：X 的所有可能取值为0，1，2，3，因为()3538C 50C 28P X ===；()123538C C 151C 28P X ===；()213538C C 152C 56P X ===；()3338C 13C 56P X ===．则X 的分布列为：X0123P52815281556156则()51515190123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．20.已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，且抛物线C 经过点(2,1)P ．（1）求抛物线C 的方程；（2）A ，B 是抛物线C 上异于点P 的两个动点，记直线PA 和直线PB 的斜率分别为()1212,0k k k k ≠，若12112k k +=，求证：直线AB 过定点．【答案】（1）24x y=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题设抛物线C 的方程为22()=∈R x py p ，代入点(2,1)P 即求；（2）由题可设直线AB 的方程为y kx b =+，利用韦达定理及条件可得1b =-，即证.【小问1详解】由题意，设抛物线C 的方程为22()=∈R x py p ．因为抛物线经过点(2,1)P ，所以222p =，解得2p =．所以抛物线C 的方程为24x y =．【小问2详解】由题意可知，直线AB 的斜率一定存在，不妨设直线AB 的方程为221212,,,,44⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x y kx b A x B x ．联立24,,x y y kx b ⎧=⎨=+⎩得2440x kx b --=．其中216160k b ∆=+>，即20k b +>，∴12124,4x x k x x b +==-．∴()()1212221212121212416112244222241144++--+=+=+==+++++--x x x x x x k k x x x x x x ，即1244162244k x x k ⨯+=+⨯+，所以1244=-=x x b ，解得1b =-．所以直线AB 的方程为1y kx =-，恒过定点(0,1)-．21.已知函数()()e ln 0xa x ax a x xf =+-<．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式()()e 1e xx f x x b x x≥+--在[)1,x ∞∈+上恒成立，求实数b的取值范围．【答案】（1）()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；（2）1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求定义域，求导，求出导函数大于0和小于0的解集，求出单调性；（2）变形为()ln 1e xx b x ≤-在[)1,x ∞∈+上恒成立，构造()()ln 1e xg x x b x =--，求导，研究其单调性，对b 分类讨论，得到1eb ≥时满足题意，其他情况均不合题意，求出答案.【小问1详解】()f x 定义域为()0,∞+，()()()()()2211e e 0x x x aa a x f x ax x xx -=-+-='-<，因为e 0x ax ->恒成立，所以当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；【小问2详解】当1a =-时，()e ln xx x xf x =-+，()e e ln 1e x x x x x x b x x x-+≥+--，整理得：()ln 1e xx b x ≤-，即()ln 1e xx b x ≤-在[)1,x ∞∈+上恒成立，令()()ln 1e xg x x b x =--，[)1,x ∞∈+，若0b ≤，则()()ln 01e xg x x b x --≥=恒成立，不合题意，若0b >，则()1e x g x bx x'=-，令()1e x h x bx x=-，[)1,x ∞∈+，则()()211e 0x h x b x x'=--<+在[)1,x ∞∈+恒成立，所以()1e x h x bx x=-在[)1,x ∞∈+上单调递减，当1eb ≥时，()()11e 0h x h b ≤=-≤，即()0g x '≤所以()()ln 1e x g x x b x =--在[)1,x ∞∈+上单调递减，故()()()ln 0e 11xg x x b x g =--≤=，即()ln 1e x x b x ≤-在[)1,x ∞∈+上恒成立，满足题意；当10e b <<时，()11e 0g b '=->，11e 1e 0b g b b ⎛⎫'=-<-< ⎪⎝⎭，所以存在01x >，使()00g x '=，当()01,x x ∈时，()00gx '>，当()0,x x ∈+∞时，()00g x '<，所以()g x 在()01,x x ∈上单调递增，在()0,x x ∈+∞上单调递减，所以存在()01,x x ∈使得()()10g x g >=，不合题意，综上：实数b 的取值范围是1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【点睛】导函数求解参数的取值范围问题，要结合函数与导函数的特征，对参数进行分类讨论，结合单调性，极值和最值等进行求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy C 的参数方程为1cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C 的普通方程；（2）已知点P 的直角坐标为()1,2-，过点P 作C 的切线，求切线的极坐标方程．【答案】（1）()()22121x y -+-=（2）π1cos 32ρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭π1cos 32ρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）直接根据圆的参数方程求解即可得答案；（2）由题设切线方程为()21y k x -=+，进而结合直线与圆的位置关系得3k =±，再将切线的直角方程化为极坐标方程即可得答案.【小问1详解】解：曲线C 的参数方程为1cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），所以C 的普通方程是()()22121x y -+-=．【小问2详解】解：由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为()21y k x -=+，即20kx y k -++=，1=，解得33k =±．360y -++=360y ++-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，化简得π1cos 32ρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭π1cos 32ρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．所以切线的极坐标方程为π1cos 32ρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭π1cos 32ρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭选修4-5：不等式选讲23.已知函数()()f x x a x a a =++-∈R ．（1）若2a =，求不等式()9f x ≥的解集；（2）若x ∀∈R ，不等式()22f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）99,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）[]0,4【解析】【分析】（1）根据题意，分2x -≤，22x -<<，2x ≥三种情况讨论求解即可；（2）由绝对值三角不等式得222a a a ≥-恒成立，进而分0a ≥和0a <两种情况求解即可.【小问1详解】解：若2a =，()22f x x x =++-．当2x -≤时，()2229f x x x x =--+-=-≥，解得92x ≤-，所以92x ≤-；当22x -<<时，()224f x x x =++-=，无解；当2x ≥时，()2229f x x x x =++-=≥，解得92x ≥，所以92x ≥．综上，不等式()9f x ≥的解集是99,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．【小问2详解】解：因为()()()2f x x a x a x a x a a =++-≥+--=，当且仅当a x a -≤≤时等号成立，若x ∀∈R ，不等式()22f x a a ≥-恒成立，只需222a a a ≥-．当0a ≥时，222a a a ≥-，解得04a ≤≤；当0a <时，222a a a -≥-，此时满足条件的a 不存在．综上，实数a 的取值范围是[]0,4．。

陕西省“天一大联考”2025届高三上学期开学学情摸底考试数学试题(含答案)

陕西省“天一大联考”2025届高三上学期开学学情摸底考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.甲、乙两支足球队比赛，两队踢平的概率为16，甲队获胜的概率为12，则乙队获胜的概率为( )A. 23B. 12C. 13D. 162.已知复数z =−1−2i ，则z 2+2z =( )A. 3−8iB. 3C. −5−8iD. −53.已知实数x ，y 满足x 2+y 2=6x ，则y 的最小值为( )A. −3B. −2C. 0D. 34.在(2−1x )5的展开式中，1x 的系数为( )A. 160B. 80C. −80D. −1605.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c sin B +b cos C =a ，则B =( )A. π4B. π3C. 2π3D. 3π46.在数列{a n }中，a 1=1，a n +1a n =n ，记{a n }的前n 项和为S n ，则S 6−2S 5+S 4=( )A. 80B. 96C. 112D. 1287.设a =81，b =4π，c =π4，已知log 23>1.58，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a8.已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F ，准线l 交x 轴于E 点，A ，B 分别为C 与l 上的点，且|AF|=|BF|，|BE|=4 3，则△AEF 与△BEF 的面积的比值为( )A. 1B.32 C.2 33D. 32二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.如图所示，正六边形的中心与圆的圆心重合，正六边形的边长为4，圆的半径为1，AB 是圆的一条动直径，P 为正六边形边上的动点，则PA ⋅PB 的可能取值为( )A. 9B. 11C. 13D. 1510.已知函数f(x)=e x −x ，g(x)=x−ln x ，则( )A. f(x)在(0,+∞)上单调递增B. g(x)在(0,+∞)上单调递增C. ∀x∈(1,+∞)，f(x)−g(x)>0D. ∀x∈(0,+∞)，f(x)+g(x)>211.已知椭圆C:x28+y24=1的左焦点为F，左、右顶点分别为A1，A2，直线l:x=t(|t|<22)与C交于P，Q两点，与x轴交于点D，则( )A. 满足∠A1PA2=2π3的点P有4个B. DA1⋅DA2=2DP⋅DQC. 当FP⋅FQ取最小值时，|DF|=13D. 当△PFQ的周长最大时，|PQ|=22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

高三数学摸底考试试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学摸底考试试题理〔含解析〕第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．z 满足()1i z i +=〔i 是虚数单位〕，那么z 的虚部为〔〕A.12 B.12-C.12i D.12i -【答案】A 【解析】【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的一共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部. 【详解】因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-,所以复数z 的虚部为12. 应选A.【点睛】此题考察了复数的除法运算和复数的概念,属于根底题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的一共轭复数,转化为乘法运算.{1234}A =，，，，{}260B x x x =--≤，那么AB =〔〕A.{1}B.{12}，C.{2,3}D.{12,3}，【答案】D 【解析】{}60,23,1,2,3x x x A B --≤∴-≤≤⋂=,选D .〕 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.11151720222224323319699x ++++++++==甲，乙的平均分为8111216182022223116099x ++++++++==乙【点睛】此题考察了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考察根本概念，根本计算的，属于根底题型.,x y 满足约束条件220,10,0.x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，那么2z x y =-的最小值为〔〕 A.0 B.2C.4D.6【答案】A 【解析】【分析】画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩表示的平面区域，如下列图．由2zx y =-可得1122y x z =-，那么12z -表示直线1122y x z =-在y 轴上的截距，纵截距越大，z 越小．作直线20x y-=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点B 时，12z -最大，z 最小．由2201x y x +-=⎧⎨=⎩可得1(1,)2B ，此时0z =，应选：A ．【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决此题的关键．{}n a 的各项均为正数，假设3132312log log log 12a a a ++⋯+=，那么67a a ＝〔〕A.1B.3C.6D.9【答案】D 【解析】【分析】首先根据对数运算法那么，可知()31212log (12)a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=，可得31212log 12a a a =，进而可得()6121212673a a a a a ==，679a a ∴=.【点睛】此题考察了对数运算法那么和等比数列性质，属于中档题型，意在考察转化与化归和计算才能.()sin ,0,621,0.x x x f x x ππ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩那么()()21f f -+=()A.62+B.62- C.72D.52【答案】C【解析】【分析】结合分段函数的表达式，利用代入法进展求解即可．【详解】解：1(2)sin(2)sin 662f πππ-=-+==，f〔1〕1213=+=，∴17(2)(1)322f f -+=+=，应选：C ．【点睛】此题主要考察函数值的计算，利用代入法是解决此题的关键．属于根底题． 7.ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．假设向量(),cos m a A =-，()cos n C c=-，且0m n ⋅=，那么角A 的大小为〔〕A.6πB.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】【分析】利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角A 的方程，得解．【详解】由0m n =得，0(,cos )(cos ,2)cos )cos a A C c a C c A =--=--，由正弦定理得，sin cos cos sin cos 0A C B A C A +=，化为sin()cos 0A C B A +-=，即sin cos 0B B A =，由于sin 0B ≠，∴cos 2A =()0,A π∈∴4A π=，应选：B ．【点睛】此题主要考察平面向量的数量积和正弦定理，考察和角的正弦公式的应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.8.执行如下列图的程序框图，那么输出的m 的值是〔〕 A.5 B.6C.7D.8【答案】B 【解析】【分析】由中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算S 的值并输出变量m 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得应选：B ．【点睛】此题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是根底题．ABCD 的对角线交点为O '，周长为O 的外表上，且OO '=，那么球O的外表积的最小值为〔〕A.3B.3C.32πD.48π【答案】C 【解析】【分析】首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用根本不等式求出球的半径，进一步求出球的外表积的最小值．【详解】如图，设矩形ABCD 的两邻边分别为a ，b ，那么a b +=，且外接圆O '的半径r =由球的性质得，OO '⊥平面ABCD ，所以球O 的半径R =由均值不等式得，2222a ba b ++222()202a b a b ++=，所以22034R =+a b == 所以球O 的外表积的最小值为2432R ππ=，应选：C ．【点睛】此题考察的知识要点：球的外表积公式的应用，根本不等式的应用，主要考察学生的运算才能和转换才能及思维才能，属于根底题型．()()221x f x x a x e =++，那么“a =()f x 在-1x =处获得极小值〞的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出原函数的导函数，分析函数()f x 在1x =-处获得极小值时的a 的范围，再由充分必要条件的断定得答案．【详解】解：假设()f x 在1x =-获得极小值，2222()[(2)1](1)(1)x x f x x a x a e x x a e '=++++=+++．令()0f x '=，得1x =-或者21x a =--．①当0a=时，2()(1)0x f x x e '=+．故()f x 在R 上单调递增，()f x 无最小值； ②当0a ≠时，211a --<-，故当21x a <--时，()0f x '>，()f x 单调递增；当211a x --<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增．故()f x 在1x =-处获得极小值．综上，函数()f x 在1x =-处获得极小值0a ⇔≠．∴“a =()f x 在1x =-处获得极小值〞的充分不必要条件．应选：A ．【点睛】此题考察利用导数研究函数的极值，考察充分必要条件的断定，属于中档题．2222C :1(0,b 0)x y a a b-=>>的左、右焦点分别为()10F c －，，()20F c ，，点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．假设双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+，那么双曲线C 的离心率的取值范围为()A.3⎛⎝B.C.1,(5,)3⎛+∞ ⎝⎭D.(13,)+∞【答案】C 【解析】【分析】首先根据双曲线的定义，212MF MF a=+，转化为124MF MN a b++>，即()1min24MFMNa b ++>，根据数形结合可知，当点1,,M F N 三点一共线时，1MF MN+最小，转化为不等式23242b a b a+>，最后求离心率的范围.【详解】由可得212MF MF a -=，假设2||4MF MN b +>，即1|||24MF MN a b ++>‖，左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>，如下列图，当点M 位于H 点时，1||MF MN +最小，故23242b a b a +>，即22348b a ab +>, 223840,(2)(23)0b ab a a b a b ∴-+>∴-->,23a b ∴>或者222,49a b a b <∴>或者22224,913a b c a <∴<或者225,1c c a a >∴<<或者ca >∴双曲线C 的离心率的取值范围为1,(5,)3⎛+∞ ⎝⎭. 【点睛】此题考察离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考察化归和计算才能，关键是根据几何关系分析1|||MF MN +‖的最小值，转化为,a b 的代数关系，最后求ca的范围.x 的不等式ln 210x x kx k -++>在()2,+∞内恒成立，那么满足条件的整数k 的最大值为()A.2B.3C.4D.5【解析】【分析】由题意知别离参数得到ln 12x x k x +<-，通过研究()ln 12x x g x x +=-的()g x '虚设零点0x ，利用零点存在性定理得()06,7x ∈并回带零点得到()min g x 的范围，进而得到对应整数k 的最大值．【详解】解：根据题意，()2ln 1k x x x -<+对于2x >恒成立令()ln 12x x g x x +=-，只需()mink g x <即可令()2ln 3hx x x =-+-()h x ∴在()2,+∞递增，()()3632ln 62ln 62ln ln 602h ⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭，()()2742ln 72ln ln 70h e =-=->，故存在()06,7x ∈，使得()00h x =， 002ln 3=0x x ∴-+-即003ln =2x x -，而()g x 在()02x ，递减，()0x +∞，递增，由()06,7x ∈，()min K g x <故整数k 的最大值为2，应选：A ．【点睛】此题考察了利用导数研究函数的单调性，考察了零点存在性定理，属于中档题．第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在答题卡上．y 与宣传费用x 之间的关系如表：销售额y 与宣传费用x 具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为9y bx =+，那么b 的值是【答案】6.5 【解析】【分析】由表中数据计算平均数，代入回归直线方程中求得回归系数．【详解】由表中数据，计算0123425x++++==，10152030351102255y ++++===，又归直线方程为ˆˆ9y bx =+过样本中心点(2,22)得， ˆ2229b=+，解得13ˆ 6.52b==．故答案为：．【点睛】此题考察了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是根底题．C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕．假设点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线l ：20x y +-=上的动点，那么PQ 的最小值为__________．【答案】5【解析】【分析】先表示出曲线C 上的点到直线间隔，再利用三角函数的图像和性质求|PQ|的最小值.【详解】表示曲线2cos ,:(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数〕上任意点(2cos ,sin )P θθ到直线:20l x y +-=的间隔d ==当sin()1θα+=时，||min min PQ d ==故答案为：5【点睛】此题考察的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的间隔公式的应用，主要考察学生的运算才能和转换才能，属于根底题型．15.()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，其导函数为()f x '，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭x 0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 22()cos 20f x x f x x '+>，那么不等式()21f x sin x ＜的解集为______．【答案】,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【解析】【分析】首先根据构造函数，()()sin 2g x f x x=⋅，根据导数可知函数()g x 单调递增，即()()sin 218f x x g x g π⎛⎫⋅<⇔< ⎪⎝⎭，再结合奇偶性得到不等式的解集.【详解】令()() 2g x f x sin x =，那么()()()' 22 2gx f x sin x f x cos x =+当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0g x g x >，单调递增，且sin 18842g f πππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为()sin 21f x x <等价于()sin 2sin 288f x x f ππ⎛⎫⎛⎫<⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即g(x)<g(8π)，又()()sin 2g x f x x =为偶函数，所以8x π<，故88x ππ-<<，故不等式()21f x sin x <的解集为,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】此题考察了函数的奇偶性，函数与方程，函数与不等式，导数的应用，涉及函数与方程思想，数形结合思想和转化化归思想，考察逻辑思维才能，等价转化才能，运算求解才能，综合性较强，此题的关键是构造函数()() 2gx f x sin x =，根据导数分析函数的单调性，并且判断()g x 是偶函数.()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l 。

中学高三数学摸底联考试题理

〔全国卷〕河北省衡水中学2021届高三数学摸底联考试题理第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求.1. 假设集合{}|0B x x =≥，且A B A =，那么集合A 可能是〔〕A ． {}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R2. 复数共轭复数在复平面上对应点在〔〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 平面向量,a b 满足()5a a b +=，且2,1a b ==，那么向量a 与b 夹角余弦值为〔〕 A ． 32 B ． 32- C ．12D ．12-4. 执行如下图程序框图，假设输人a 值为1，那么输出k 值为〔〕A ． 1B ． 2C ．3D ．45. 数列{}n a 中，()111,21,n n n a a a n N S *+==+∈为其前n 项与，5S 值为〔〕 A ．57 B ．61 C ．62 D ．636. 某几何体三视图如下图，其中俯视图为扇形，那么该几何体体积为〔〕A ．23πB ．3πC ．29πD ．169π7. 为了得到cos 2y x =，只需将作如下变换〔〕A ．向右平移3π个单位B ．向右平移6π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向右平移12π个单位8. 假设A 为不等式组，表示平面区域，那么当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A中那局部区域面积为〔〕A ．1B ．32C ．34D ．749. 焦点在x 轴上椭圆方程为，短轴一个端点与两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆半径为3b ，那么椭圆离心率为〔〕A ．14B ．13C ．12D ．2310. 在四面体S ABC -中，,2,2AB BC AB BC SA SC ⊥=====，二面角S AC B --余弦值是3〕 A ．86π B ．6π C ．24π D 6π11. 函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，那么关于x 方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个12. 函数()()sin 2,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭局部图象如下图，且()()0f a f b ==，对不同[]12,,x x a b ∈，假设()()12f x f x =，有()123f x x += 〕A ．()f x 在上是减函数B ．()f x 在上是增函数C ．()f x 在上是减函数D ．()f x 在上增减函数第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕 13. 展开式中2x 项系数为．14. 抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点距离为5，双曲线左顶点为A ，假设双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，那么实数a = ．15. 如图，为测量出山高MN ，选择A 与另一座山山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点仰角60,MAN C ∠=点仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=，从C 点测得60MCA ∠=，山高100BC m =，那么山高MN = m ．16. 设函数()()21,x x xf xg x x e+==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式恒成立，那么正数k 取值范围是．三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17. 〔本小题总分值12分〕中国人口已经出现老龄化与少子化并存构造特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快国家之一，再不实施“放开二胎〞新政策，整个社会将会出现一系列问题，假设某地区2021 年人口总数为45万，实施“放开二胎〞新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2021年开场到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开场到2035年每年人口为上一年0099.〔1〕求实施新政策后第n 年人口总数n a 表达式〔注：2021年为第一年〕; 〔2〕假设新政策实施后2021年到2035年人口平均值超过49万，那么需调整政策，否那么继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？〔说明:()10100.9910.010.9=-≈〕.18. 〔本小题总分值12分〕如图, 矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP .〔1〕设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？假设存在, 请证明, 假设不存在, 说明理由; 〔2〕求二面角D PE A --余弦值.19. 〔本小题总分值12分〕某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次1,2,...8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .甲厂执行标准A 生产该产品，产品零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品，产品零售价为4元/件，假定甲、乙两厂产品都符合相应执行标准.〔1〕甲厂产品等级系数1X 概率分布列如下所示：1X5 67 8 P0.4ab0.1且1X 数学期望()16E X =,求,a b 值;〔2〕为分析乙厂产品等级系数2X ，从该厂生产产品中随机抽取30件，相应等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 数学期望；〔3〕在〔1〕、〔2〕条件下，假设以“性价比〞为判断标准，那么哪个工厂产品更具可购置性？说明理由. 注：① 产品“性价比〞；②“性价比〞大产品更具可购置性.20. 〔本小题总分值12分〕椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>短轴两个顶点与右焦点连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆()222x y b a +-=相切.〔1〕求椭圆C 方程;〔2〕椭圆C 左顶点A 两条直线12,l l 分别交椭圆C 于,M N 两点, 且12l l ⊥,求证: 直线MN 过定点, 并求出定点坐标；(3) 在(2) 条件下求AMN ∆面积最大值.21. 〔本小题总分值12分〕函数()()()1x f x a x e a =--(常数0a R a ∈≠且). 〔1〕证明: 当0a >时, 函数()f x 有且只有一个极值点; 〔2〕假设函数()f x 存在两个极值点12,x x ,证明:()()12224400f x f x e e <<<<且. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做第一题记分. 22.〔本小题总分值10分〕选修4-1：几何证明选讲如图,,,,A B C D 四点在同一个圆上，BC 与AD 延长线交于点E ,点F 在BA 延长线上. 〔1〕假设,求DCAB值; 〔2〕假设2EF FA FB =,证明:EF CD .23. 〔本小题总分值10分〕选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系极点在直角坐标系原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 参数方程为:为参数), 曲线C 极坐标方程为:4cos ρθ=.〔1〕写出曲线C 直角坐标方程与直线l 普通方程; 〔2〕设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点, 求PQ 值. 24. 〔本小题总分值10分〕选修4-5：不等式选讲函数()()223,12f x x a x g x x =-++=-+. 〔1〕解不等式()5g x <;〔2〕假设对任意1x R ∈,都有2x R ∈,使得()()12f x g x =成立, 求实数a 取值范围. 河北省衡水中学2021届高三摸底联考〔全国卷〕数学〔理〕试题参考答案一、选择题：每题5分，共60分，每题所给选项只有一项符合题意.ADCBA DCDCB DB二、填空题：每题5分，共20分.13. 2 14. 1415. 150 16. 三、解答题17.此题总分值12分解：〔1〕当10n ≤时，数列{}n a 是首项为45.5，公差为0.5等差数列，因此，新政策实施后第n 年人口总数n a 〔单位：万〕表达式为〔2〕设n S n S 为数列{}n a 前n 项与，那么从2016 年到2035年共20年，由等差数列及等比数列求与公式得：()()102010111220...477.5495010.99972.5S S a a a =++++=+⨯-≈ 万∴新政策实施到2035年年人口均值为故到2035年不需要调整政策． 18．此题总分值12分解：〔1〕连接AC ，BD 交于点N ，连接MN ，那么⊥MN 平面ABCD 证明： M 为PD 中点，N 为BD 中点MN ∴为PDB ∆中位线，PB MN //∴又平面⊥ABCD 平面ABPE平面ABCD 平面ABPE =AB ,⊂BC 平面ABCD ,AB BC ⊥⊥∴BC 平面ABPE又AB PB ⊥，B BC AB =⋂⊥∴PB 平面ABCD所以⊥MN 平面ABCD 〔2〕以A 为原点，AE ，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，⊥AD 平面PEA∴平面PEA法向量)1,0,0(1==AD n另外)1,0,0(D ，)0,0,1(E ，)0,2,2(P)1,0,1(-=∴DE ，)1,2,2(-=DP ,设平面DPE 法向量),,(2z y x n =，那么，令1=x ，得又A PE D --为锐二面角,所以二面角A PE D --余弦值为3219．此题总分值12分解：〔1〕16,50.46780.16EX a b =⨯+++⨯= ，即67 3.2a b += ① 又由1X 概率分布列得0.40.11,0.5a b a b +++=+= ② 由① ② 得〔2〕由得，样本频率分布表如下：2X3 4 5 6 7 8 f0.30.20.20.10.10.1用这个样本频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2概率分布列如下：2X3 4 5 6 7 8 p0.30.20.20.10.10.1所以，230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=即乙厂产品等级系数数学期望等于4.8. 〔3〕乙厂产品更具可购置性，理由如下：因为甲厂产品等级系数数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为616= 因为乙厂产品等级系数期望等于4.8 ，价格为4 元/件，所以其性价比为据此，乙厂产品更具可购置性。

2021-2022年高三毕业班上学期摸底联考数学(理)

2021-2022年高三毕业班上学期摸底联考数学（理）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，集合，则下列关系中正确的是（）A． B． C． D．2．已知（是虚数单位），那么复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．等差数列中，，则的前9项和等于（）A． B．27 C．18 D．4．的展开式中项的系数为（）A．80 B． C． D．485．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．6．如图，函数（，）的图象过点，则的函数解析式为（）A． B．C． D．7．执行如图的程序框图，那么输出的的值是（）A． B． C．2 D．18．三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的体积为（）A． B． C． D．9．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人10．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．11．已知是内部一点，，且，则的面积为（）A． B． C． D．12．设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知满足约束条件，则的最大值为．14．在等比数列中，，，则．15．已知函数，，则的取值范围是．16．如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是（将符合题意的选项序号填到横线上）．①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在中，角的对边分别为，已知.（1）求证：；（2）若，的面积为，求.18．某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成，该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度，随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有25人持不赞成意见，如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图．（1）根据已知条件与等高条形图完成下面的列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”？注：，其中.（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为，试求的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，，．（1）求证：直线平面；（2）求二面角的余弦值20．已知抛物线上一点到焦点的距离为．（l）求抛物线的方程；（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值．21．设.（l）若对一切恒成立，求的最大值；（2）是否存在正整数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，直线的直角坐标方程为．（l）求曲线和直线的极坐标方程；（2）已知直线分别与曲线、曲线交异于极点的，若的极径分别为，求的值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数，．（l）求的解集；（2）若对任意的，，都有.求的取值范围.xx高三毕业班摸底联考理科数学参考答案一、选择题1-5:AABBD 6-10:BCBCC 11、12：AD二、填空题13．6 14．1 15． 16．①③④三、解答题17．解：（1）∵.∴由正弦定理可得：，可得：，∴.∴.（2）∵，的面积为，∴∴.∵由余弦定理可得：.∵，∴可得：，解得：.18．解：（1）完成列联表，如下：代入公式，得观测值：.∴我们没有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”.（2）用样本的频率估计概率，随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为0.6. 抽中农村户口家长的概率为0.4，的可能取值为0，1，2，3.，，，.∴的分布列为：.19．解：（1）在上取一点，使，连接，，∵，，∴，，，.∴，.∴为平行四边形.即.又平面，∴直线平面.（2）取中点，底面是菱形，，∴.∵，∴，即.又平面，∴.又，∴直线平面.故相互垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系.则，，，，，.易知平面的法向量，设面的法向量，由，得.∴.故二面角的余弦值为.20．解：（1）由抛物线的定义可知，则，由点在抛物线上，则，∴，则，由，则，∴抛物线的方程.（2）∵点在抛物线上，且.∴∴，设过点的直线的方程为，即，代入得，设，，则，，所以.21．解：（1）∵，∴，∵，的解为.∴，∵对一切恒成立，∴，∴，∴.（2）设，则，令得.在时，递减；在时，递增.∴最小值为，故，取，，得，即.累加得. ∴.故存在正整数，使得.当时，取，有，不符合.故.22．解：（1）曲线的参数方程为（为参数），极坐标方程为，∵直线的直角坐标方程为，故直线的极坐标方程为.（2）曲线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为，将代入的极坐标方程得，将代入的极坐标方程得，∴.23．解：（1）∵函数，故，等价于.等价于①，或②，或③.解①求得，解②求得，解③求得.综上可得，不等式的解集为.（2）若对任意的，，都有，可得.精品文档∵函数，∴.∵，故.∴，∴，或，求得或.故要求的的范围为或.i-24545 5FE1 忡o31327 7A5F 穟24991 619F 憟H-28478 6F3E 漾 Hk20080 4E70 买21419 53AB 厫z实用文档。

高三数学摸底测试试题理含解析试题

2021届高三数学摸底测试试题理〔含解析〕本套试卷分为A 卷和B 卷两局部,A 卷1至4页,满分是100分；B 卷5至6页，满分是60分。

全卷满分是160分,考试时间是是120分钟。

第一卷(选择题,一共60分)一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.{}2,1,0,1,2P =--,{}220Q x x x =+- ,那么P Q =〔〕A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D.{0,1,2}【答案】B 【解析】分析：由不等式220x x +->求出x 的范围，得出集合Q ，再求出PQ 。

详解：由220x x +->有220x x --<，12x -<<，所以}{12Q x x =-<<，故{}0,1P Q ⋂=，选B.点睛：此题主要考察了不等式的解集及集合间的交集运算，属于容易题。

31iz i+=+ (i 为虚数单位)在复平面内表示的点的坐标为〔〕 A. (2,1)- B. (1,1)-C. (1,2)D. ()2,2【答案】A【解析】分析：求出复数z 的代数形式，再写出在复平面内表示的点的坐标。

详解：复数3(3)(1)4221(1)(1)2i i i iz i i i i ++--====-++-，所以复数z 在复平面内表示的点的坐标为(2,1)-，选A.点睛：此题主要考察了复数的四那么运算，以及复数在复平面内所表示的点的坐标，属于容易题。

,x y 满足约束条件40400x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，那么2z x y =+的最大值为〔〕A. -4B. 0C. 4D. 8【答案】D 【解析】分析：由线性约束条件，作出可行域，利用目的函数的几何意义，采用数形结合求出目的函数的最大值。

详解：作出不等式组所对应的平面区域〔阴影局部ABC ∆〕，令0z =，那么2y x =-，表示经过原点的直线，由2z x y =+有2y x z =-+，当此直线的纵截距有最大值时，z 有最大值，由图知，当直线经过A 点时，纵截距有最大值，由4040x y x y +-=⎧⎨--=⎩有4x y =⎧⎨=⎩，即(4,0)A ，此时2408z =⨯+=，选D.点睛：此题主要考察了简单的线性规划，考察了数形结合的解题方法，属于中档题。

高三数学上学期开学摸底联考试题理含解析试题

点睛：函数零点的求法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，假如能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．
，即，解得．故答案为．
【点睛】函数零点问题，恒成立与存在性问题，假设能别离参数，那么通过别离参数可得出参数的范围，假设不能别离参数，那么将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也表达了数形结合思想的应用.
三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤．
【答案】A
【解析】
【分析】
命题p：可得，命题q：可得，根据充分条件、必要条件的定义进展判断即可.
【详解】函数在上是增函数，
;
函数是减函数，
，
，，即p是q的必要不充分条件
应选A.
【点睛】此题考察绝对值函数和指数函数的根本性质和单调性，考察了必要条件、充分条件的定义，属于根底题.
充要关系的几种判断方法：
的导函数为，且满足，当时，，那么使得成立的的取值范围是〔〕
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数设函数，利用导数得到，g〔x〕在〔0，+∞〕是减函数，再根据f〔x〕为偶函数，根据f〔1〕=0，解得f〔x〕＞0的解集．
【详解】根据题意，设函数，
当x＞0时，，
所以函数g〔x〕在〔0，+∞〕上单调递减，

高三数学摸底考试试题理

卜人入州八九几市潮王学校第二2021届高三数学摸底考试试题理本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，总分值是150分。

考试时间是是为120分钟。

本卷须知：2.答复第I 卷时，选出每一小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮撒干净后，再选涂其它答案标号。

写在套本套试卷上无效。

3.答复第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在套本套试卷上无效。

4.请保持答题卡平整，不能折叠。

考生完毕以后，监考教师将试题卷、答题卡一并收回。

第I 卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

1.函数()lg(1)f x x =-的定义域为M ，函数1()g x x=的定义域为N ，那么M∩N = A.{1}x x ≤ B.{10}x x x ≤≠且 C.{1}xx > D.{10}x x x <≠且21iz i=-〔i 是虚数单位〕，那么z 的一共轭复数z = ＋i －iC.－1＋iD.－1－i61)x的展开式中的常数项为A.－15B.20C.15D.－204.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率的近似值，首创“割圆术〞。

利用“割圆术〞，刘徽得到了圆周率准确到小数点后两位的近似值4，这就是著名的“徽率〞。

如图是利用刘徽的“割圆术〞思想设计的程序框图，那么输出的n 值为〔参考数据：°≈，sin15°≈〕5.实数x ，y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，那么z ＝3x ＋y 的最小值为B.9 6.“43m=〞是“直线x －my ＋4m －2＝0与圆224x y +=相切〞的 7.某星期一至星期五每天上午一共安排五节课，每节课的时间是为40分钟，第一节课上课的时间是为7：50～8：30，课间休息10分钟。

高三数学上学期摸底考试试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学上学期摸底考试试题理〔含解析〕一．选择题〔60分〕 1.集合{}=|10A x x -<，2{|20}B x xx =-<，那么A B =〔〕A.{}|0x x <B.{}|1x x <C.{}1|0x x <<D.{}|12x x <<【答案】C 【解析】【分析】求得集合={|1}A x x <，{|02}B x x =<<，再根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}=|10{|1}A x x x x -<=<，2{|20}{|02}B x x x x x =-<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<<，应选C.【点睛】此题主要考察了集合的运算，其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 2.p ，q ∈R ，1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，那么p q ⋅=〔〕A.4-B.0C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】由1i +是关于x 的方程20xpx q ++=的一个根，代入方程化简得(2)=0p q p i +++，根据复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解. 【详解】依题意，复数1i +是关于x 的方程20xpx q ++=的一个根，可得21)(1)=0i p i q +++（＋，即：(2)=0p q p i +++，所以020p q p +=⎧⎨+=⎩，解得22p q =-⎧⎨=⎩，所以4p q ⋅=-，应选A.【点睛】此题主要考察了复数方程的应用，以及复数相等的充要条件的应用，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 3.ln3a =，3log 10b =，lg 3c =，那么a ，b ，c 的大小关系为〔〕A.c b a <<B.a c b <<C.b c a<<D.c a b <<【答案】D 【解析】【分析】根据对数的单调性，分别求得,,a b c 的范围，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据对数的单调性，可得2ln ln 3ln e e <<，即12a <<，333log 9log 10log 27<<，即23b <<，lg3lg101c =<=，即1c <，所以c a b <<，应选D.【点睛】此题主要考察了对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，合理求解,,a b c 得范围是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.4.函数()21x f x x-=的图象大致为〔〕A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数的解析式，得到()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；再由函数的单调性，排除A ，即可得到答案.【详解】由题意，函数()21x f x x -=，可得()()22()11x x f x f x x x----===-，即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；当0x >时，()211x f x x x x-==-，那么21'()1f x x =+＞0，所以函数在0∞（，＋）上递增，排除A ，应选D .【点睛】此题主要考察了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中纯熟应用函数的奇偶性和单调性，进展合理排除是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题.5.以下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影局局部别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，那么〔〕A.()()P A P M >B.()()P A P M <C.()()PA P M =D.()PA 与()P M 的大小关系与半径长度有关【答案】C 【解析】【分析】利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影局部的面积，得到阴影局部A 的面积＝阴影局部M 的面积，即可求解.【详解】由题意，设四分之一圆的半径为R ，那么半圆的半径为2R ，阴影局部A 的面积为212R ，空白局部的面积为221142R R π-，阴影局部M 的面积为：2222111122422R R R R ππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，阴影局部A 的面积＝阴影局部M 的面积，所以PA P M （）＝（），应选C. 【点睛】此题主要考察了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影局部的面积是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.6.以下图是判断输入的年份x 是否是闰年的程序框图，假设先后输入1900x =，2400x =，那么输出的结果分别是〔注：xMODy 表示x 除以y 的余数〕〔〕A.1900是闰年，2400是闰年B.1900是闰年，2400是平年C.1900是平年，2400是闰年D.1900是平年，2400是平年【答案】C 【解析】【分析】由给定的条件分支构造的程序框图，根据判断条件，准确计算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，输入1900x =时，190040a MOD == ，输出1900是平年，输入2400x =时，240040a MOD == 输出2400是润年，应选C【点睛】此题主要考察了条件分支构造的程序框图的计算结果的输出，其中解答中根据条件分支构造的程序框图，准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 7.假设sin 78m =，那么sin 6=〔〕【答案】B 【解析】【分析】由三角函数的诱导公式，求得12sin 78cos m ==，再由余弦的倍角公式，即可求解，得到答案.【详解】由三角函数的诱导公式，可得12sin(9012)sin 78cos m =-==，又由余弦的倍角公式，可得2126sin m -=，所以1sin 6-=B. 【点睛】此题主要考察了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中纯熟应用三角函数的根本公式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.8.等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，假设3S ，9S ，27S 成等比数列，那么93SS =〔〕A.3B.6C.9D.12【答案】C 【解析】【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+，应选C.【点睛】此题主要考察了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中纯熟应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.9.双曲线222:1(0)x C y a a-=>的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点，假设PO PF =，那么OPF S ∆的最小值为〔〕A.14B.12C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】求得双曲线222:1(0)x C y a a -=>的一条渐近线为1y x a =，由PO PF =，得到点P 的坐标为,22c c a ⎛⎫⎪⎝⎭，利用三角形的面积公式和根本不等式，即可求解.【详解】由题意，双曲线222:1(0)x C y a a-=>的一条渐近线为1y x a =，设0F c （，），因为PO PF=，可得点P 的横坐标为2x c=，代入渐近线1y x a =，可得2y c a =，所以点P 的坐标为,22c c a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22112244OPFc c a Sc a a a+=⨯⨯===11442a a +≥=，当且仅当144a a =时，即1a =时，等号成立，即OPF S ∆的最小值为12. 应选B.【点睛】此题主要考察了双曲线的HY 方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，利用根本不等式准确计算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题. 10.在5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数是〔〕A.10B.0C.10D.20【答案】B 【解析】【分析】由二项的展开式的通项为515(1)k k k k k T C x y -+=-，进而可求得展开式的33x y 的系数，得到答案.【详解】由题意，二项式5()x y -的展开式的通项为515(1)k k k k k T C x y -+=-，所以5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数为：332255101(0)(1)01C C =-++--=,应选B. 【点睛】此题主要考察了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.11.直线0x +=经过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F ，交椭圆于,A B 两点，交y 轴于C 点，假设2FC CA =，那么该椭圆的离心率是〔〕1C.21【答案】A 【解析】【分析】由直线0x +=过椭圆的左焦点F ，得到左焦点为(F ，且223a b -=，再由2FC CA =，求得322A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入椭圆的方程，求得262a =，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，直线0x -+=经过椭圆的左焦点F ，令0y =，解得x所以c =(F ，且223a b -=①直线交y 轴于(0,1)C ，所以，1,2OF OC FC ===，因为2FCCA =，所以3FA =，所以32A ⎫⎪⎪⎝⎭，又由点A 在椭圆上，得22394a b +=②由①②，可得2242490a a -+=，解得262a =，所以)222241c e a ===-=，所以椭圆的离心率为1e =.应选A.【点睛】此题考察了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或者范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式cea=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．12.设函数()()(ln )x m f x e ax x ax -=--，假设存在实数a 使得()0f x <恒成立，那么m 的取值范围是〔〕 A.(],0-∞B.[)0,2C.()2+∞，D.(),2-∞【答案】D 【解析】【分析】由存在实数a使得()0f x <恒成立，转化为ln ()()0,0x m e xa a x x x---<>恒成立，得到ln ln min{,}max{,}x m x m e x e xa x x x x--<<，构造新函数，利用导数求得函数的最值，得出关于m 的不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数()()(ln )x m f x e ax x ax -=--的定义域为(0,)x ∈+∞，要使得存在实数a 使得()0f x <恒成立，即()(ln )0x m e ax x ax ---<恒成立，只需ln ()()0x m e x a a x x ---<恒成立，即ln ()()0x m e x a a x x ---<恒成立，即ln ln min{,}max{,}x m x m e x e x a x x x x--<<设()ln x gx x =，那么()21ln xg x x-'=，当(0,)x e ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以当xe =时，函数()g x 获得最大值，最大值为1e，即ln 1x x e ≤，设(),0x m e h x x x -=>，那么()22(1)x m x m x m e x e e x h x x x---⋅-⋅-'== 当(0,1)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，所以当1x =时，函数()gx 获得最小值，最小值为1me-，即1x m m e e x--≥，所以只需11me e->，解得2m <，即实数m 的取值范围是(),2-∞，应选D.【点睛】此题主要考察了导数的综合应用，其中解答中把存在实数a 使得()0f x <恒成立，转化为ln ()()0x m e x a a x x ---<恒成立，进而得得到ln ln min{,}max{,}x m x m e x e x a x x x x--<<是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于中档试题. 二、填空题〔一共20分〕13.假设,x y 满足约束条件20210220x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≤⎩，那么3z x y =-的最大值为______.【答案】0 【解析】【分析】作出约束条件表示的平面区域，结合图象，确定目的函数的最优解，代入目的函数，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出约束条件20210220x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≤⎩所表示的平面区域，如以下图，目的函数3zx y =-可化为直线3y x z =-，当直线3y x z =-过点C 时，此时目的函数获得最大值，又由20210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得1,3x y ==，即1,3C （），所以目的函数的最大值为3130z =⨯-=.【点睛】此题主要考察简单线性规划求解目的函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求〞，确定目的函数的最优解是解答的关键，着重考察了数形结合思想，及推理与计算才能，属于根底题．14.12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，1212,2a e e b e e =-=-，那么a b ⋅=_____.【答案】32【解析】【分析】根据平面向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解，得到答案. 【详解】由向量的数量积的运算公式，可得2212121212()(2)23e e e b e e e a e e -⋅-=+-⋅=123123||||cos602e e +-⨯︒=＝. 【点睛】此题主要考察了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题.15.函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，假设()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点，那么ω的取值范围是______.【答案】91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭, 【解析】【分析】根据三角函数的图象与性质，求得函数的极值点为()14x k k Z πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，再由()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点，得到1122344πππωω⎛⎫⎛⎫+<≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解. 【详解】由题意，令()sin 14f x x πω⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，即()42x k k Z ππωπ+=+∈，解得()14x k k Z πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的极值点为()14x k k Z πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点，所以这三个极值点只能是在0,1,2kk k ===，所以有1122344πππωω⎛⎫⎛⎫+≤<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得98138ω<≤. 所以实数ω的取值范围是91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,. 故答案为91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,. 【点睛】此题主要考察了三角还函数的图象与性质的应用，以及函数极值点的定义的应用，其中解答纯熟应用三角函数的图象与性质，得到关于实数ω的不等式是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于中档试题.16.在三棱锥P ABC -中，60ABC ∠=，90PBA PCA ∠=∠=，PB PC ==P 到底面ABC P ABC -的外接球的外表积为________.【答案】6π 【解析】【分析】由90PBA PCA ∠=∠=，可知PA 为三棱锥P ABC -的外接球的一条直径，过点P 作PE⊥平面ABC ，可知AE 为ABC ∆外接圆的一条直径，计算出AE 的长度，再利用勾股定理计算出PA 的长度，即可得出该球的直径，再利用球体外表积公式可得出结果. 【详解】设PA 的中点为点O ，90PBA PCA ∠=∠=，12OA OB OC OP PA ∴====， PA ∴为三棱锥P ABC -的外接球O 的一条直径，过点P 作PE⊥平面ABC ，垂足为点E ，BE 、CE 、AE ⊂平面ABC ，PE BE ∴⊥，PE CE ⊥，PE AE ⊥，PB PC ==，PE =，由勾股定理可得1BE CE ==，同理可知AC BC =， 60ABC ∠=，ABC ∆∴为等边三角形，设ABC ∆的外接圆圆心为点F ，连接OF ，那么//OF PE ，且122OFPE ==，由中位线的性质可知点F 为AE 的中点，AE ∴为圆F 的一条直径，所以，90ABEACE ∠=∠=，由圆的内接四边形的性质可知，120BEC∠=，30BCE CBE ∴∠=∠=，由正弦定理可得12sin sin 30BE AE BCE ===∠，PA ∴=O 的外表积为26PA ππ⨯=，故答案为6π.【点睛】此题考察多面体的外接球外表积的计算，解题时要充分分析多边形的形状，找出球心的位置，考察推理才能与计算才能，属于中等题. 三．〔解答题，一共70分〕17.ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC △的面积为21tan 6S b A =.()1证明：3cos b c A =； ()2假设tan 2,A a ==求S .【答案】〔1〕证明见解析〔2〕3 【解析】【分析】〔1〕由三角形的面积公式化简得3csinA btanA =，进而得到sin 3cos b AcsinA A=，即可作出证明；〔2〕因为2tanA =，求得5cosA =，由〔1〕得222,33b bccosAc ==，利用余弦定理求得29b =，再由面积公式，即可求解.【详解】〔1〕由三角形的面积公式，可得21126SbcsinA b tanA ==，即3csinA btanA =，又因为sin cos A tanA A =，所以sin 3cos b AcsinA A=，又因为0A π<<，所以0sinA ≠，所以3b ccosA =.〔2〕因为2tanA =，由三角函数的根本关系式，可得5cosA =，由〔1〕得222,33b bccosAc ==，由余弦定理得22222282)33b bc bccosA b =+-=++，解得29b =，所以2111sin tan 923266Sbc A b A ===⨯⨯=. 【点睛】此题主要考察了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.18.某音乐院校举行“校园之星〞评选活动，评委由本校全体学生组成，对,A B 两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：()1通过茎叶图比较,A B()2校方将会根据评分记过对参赛选手进展三向分流：记事件C “A 获得的分流等级高于B 〞，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 发生的概率.【答案】〔1〕详见解析〔2〕137400【解析】【分析】〔1〕通过茎叶图可以看出，A B A 比较集中，B 比较分散；〔2〕记1A C 表示事件:“A 选手直接晋级〞2A C 表示事件:“A 选手复赛待选〞1BC 表示事件:“B 选手复赛待选〞2B C 表示事件:“B 选手淘汰出局利用HY 事件的概率乘法公式，即可求解. 【详解】〔1〕通过茎叶图可以看出，A BA 比较集中，B 比较分散.〔2〕记1A C 表示事件:“A 选手直接晋级〞2A C 表示事件:“A 选手复赛待选〞1B C 表示事件:“B 选手复赛待选〞2B C 表示事件:“B 选手淘汰出局那么1A C 与1B C HY ，2A C 与2B C HY ，1A C 与2A C 互斥，那么()()()111222A B A B A B CC C C C C C =⋃⋃，由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的频率分别为811103,,,20202020. 故()1820A PC =，()21120A P C =，()11020B P C =，()2320B P C =，所以()81083113137202020202020400PC ⨯+⨯+⨯==. 【点睛】此题主要考察了茎叶图的应用，以及互相HY 事件的概率的计算，其中解答中正确理解题意，准确利用HY 事件的概率乘法公式计算是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是PC 的中点.()1求证：//PA 平面BDE ；()2假设直线BD 与平面PBC 所成角为30，求二面角C PB D --的大小.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕60︒ 【解析】【分析】〔1〕连接AC 交BD 于O ，连接OE ，利用线面平行的断定定理，即可证得//PA 平面BED ；()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设1PD CD ==，AD a =，分别求得平面PBC 和平面PBD 的一个法向量n 和m ，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】〔1〕连接AC 交BD 于O ，连接OE ，由题意可知，,PEEC AO OC ==，//PA EO ∴，又PA 在平面BED 外，EO ⊂平面BED ，所以//PA 平面BED .()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，设1PD CD ==，AD a =，那么(,0,0)A a ，(,1,0)(0,1,0)B a C ，，1(0)0,P ，， (,1,0)DB a =，(,)1,1PB a =-，()0,1,1PC =-，设平面PBC 的法向量(,)nx y z =，，由·0·0PB n PC n ⎧=⎨=⎩，得0ax y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取(0,1,1)n =，又由直线BD 与平面PBC 所成的角为30，得1cos ,2DB n DB n DB na ===，解得1a =，同理可得平面PBD 的法向量1,)0(1,m =-，由向量的夹角公式，可得11cos ,22n m n m n m===⨯，又因为二面角C PB D --为锐二面角，所以二面角C PB D --的大小为60︒.【点睛】此题考察了线面平行的断定与证明，以及空间角的求解问题，意在考察学生的空间想象才能和逻辑推理才能，解答中熟记线面位置关系的断定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系断定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.F 为抛物线2:4Tx y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1假设1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，假设CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】〔1〕10〔2〕3240x y +-= 【解析】【分析】〔1〕联立方程组224y kx x y =+⎧⎨=⎩，利用根与系数的关系和抛物线的定义，即可求解.()2由CFA CFB ∠=∠，可得cos,cos ,FA FC FB FC=，利用向量的夹角公式，联立方程组，求得32k=-，即可求得直线的方程. 【详解】〔1〕由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，那么124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.〔2〕由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--，由CFA CFB ∠=∠，可得cos,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，那么FA FC FB FC FA FC FB FC =，整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-，所以直线l 的方程为3240x y +-=.【点睛】此题主要考察了直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进展求解，此类问题易错点是复杂式子的变形才能缺乏，导致错解，能较好的考察考生的逻辑思维才能、运算求解才能、分析问题解决问题的才能等. 21.函数()sin f x x x =，(0,)x π∈，()f x '为()f x 的导数，且()()g x f x '=.证明：()1()g x 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点； ()2()2f x .〔参考数据：sin 20.9903≈，cos20.4161≈-，tan 2 2.1850≈- 1.4142≈， 3.14π≈〕【答案】〔1〕证明见解析〔2〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕由题意，得()()'g x f x xcosx sinx ==+，分别求得在区间0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦和,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，利用零点的存在定理，即可求解；〔2〕由〔1〕得，求得函数的单调性，得到()f x 的最大值为()f t tsint =，再由()0f t '=得t tant =-，得到()tan f t t sint =-，利用作差比较，即可求解.【详解】〔1〕由题意，函数()sin f x x x =，那么()sin cos f x x x x '=+所以()()'g x f x xcosx sinx ==+，当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，可得()0gx >，即()g x 在0,2x π⎛⎤∈⎥⎝⎦内没有零点，当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()2sin g x cosx x x '=-，因为cos 0,sin 0x x x<>，所以()'0g x <，所以()g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又()()22tan 220gcos =+>，且20332g ππ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，所以()gx 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点t . 〔2〕由〔1〕得，当,()0x t ∈时，()0g x >，所以()'0f x >，即()f x 单调递增；当,()x t π∈时，()0g x <，所以()0f x <，即()f x 单调递减，即()f x 的最大值为()f t tsint =，由()cos 0f t t t sint '=+=得t tant =-，所以()f t tant sint =-，因此()2sin 2cos 2cos t t f t t ---=2cos 2cos 1cos t t t --=()2cos 12cos t t--=，因为22,3t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1,cos 22cost ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭从而()222212 1.4160(1)cos --=-->，即()2cos 120cos t t--<，所以()20f t -<，故()2f x <.【点睛】此题主要考察导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考察了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理才能与计算才能，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可别离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．〔二〕选考题：一共10分.请考生在第〔22〕，〔23〕题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题计分.22.在极坐标系中，圆:4cos C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，直线l 经过点(1,M--且倾斜角为α.()1求圆C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；()2直线l 与圆C 交与A ，B ，满足A 为MB 的中点，求α.【答案】〔1〕()2224x y-+=，1x tcos y tsin αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，(t 为参数，0a π≤<).〔2〕3πα=【解析】【分析】〔1〕利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可求解圆C 的直角坐标方程，根据直线参数方程的形式，即可求得直线的参数方程；()2将直线l 的方程代入圆C 的方程，利用根与系数的关系，求得A B t t +，A B t t ，由A 为MB 的中点，得到2BA t t =，求得,AB t t ，即可求得A B t t 的表达式，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】〔1〕由题意，圆:4C cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以224xy x +=，即()2224x y -+=，根据直线的参数方程的形式，可得直线l:1x tcos y tsin αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，(t 为参数，0a π≤<).()2设, A B 对应的参数分别为, A B t t ，将直线l 的方程代入C，整理得2620)3t t cos αα-++=，所以6)A B t t cos αα+=+，32A B t t =，又A 为MB 的中点，所以2B A t t =，因此)246At cos sin πααα⎛⎫ ⎪⎝=++⎭=， 8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以232sin 326AB t t πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即2sin 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为0a π≤<，所以7666πππα≤+<，从而=62ππα+，即3πα=.【点睛】此题主要考察了极坐标方程与直角坐标方程，直线参数方程的求解，以及直线参数方程的应用，其中解答中合理利用直线参数中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题.23.设函数()211f x x x =-++.()1画出()y f x =的图像；()2假设()f x m x n ≤+，求m n +的最小值.【答案】〔1〕画图见解析〔2〕5【解析】【分析】()f x 的解析式，进而作出函数的图象；〔2〕由不等式()f x m x n ≤+，可得()0f n ≤，解得2n ≥，再由绝对值的三角不等式，求得当且仅当3m ≥，且2n ≥时，() f x m x n ≤+成立，即可求解m n +的最小值.【详解】()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，所以()y f x =的图象如以下图：〔2〕由()f x m x n ≤+，可得()0f n ≤，解得2n ≥，又因为()()21|()31f x x x x ≥++=-，所以3m x n x +≥.(※)假设3m ≥，(※)式明显成立；假设3m <，那么当3n x m>-时，(※)式不成立，由图可知，当3m ≥，且2n ≥时，可得()f x m x n ≤+，所以当且仅当3m ≥，且2n ≥时，() f x m x n ≤+成立，的最小值为5.因此m n【点睛】此题主要考察了绝对值的定义及应用，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中利用绝对值的定义去掉绝对值号，以及合理利用绝对值不等式是解答的关键，着重考察了数形结合思想，以及推理与计算才能，属于根底题.。

(全国卷)高三数学开学考试摸底大联考试题理(含解析)

，为线段的中点，
，
代入双曲线方程得，得，
．
故选：A.
【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【详解】解：，
．
故答案为：．
附：，其中 .
【答案】（1）列联表见解析，有，理由见解析；（2）分布列见解析， .
【解析】
【分析】
（1）根据题意填写列联表，计算的值，对照临界值得出结论；
（2）由题意知的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求得数学期望值．
【详解】解：（1）列联表如图：
习惯使用移动支付
不习惯使用移动支付
合计（人数）
【详解】（1）证明：，分别为，的中点，，
四边形为矩形，，
又，，，平面，
平面，平面，，
取中点，连接，，，则，
点，，，同在平面内．
在中，，，为中点，
，
又，，平面，平面．
（2）由（1）知，，三条直线两两垂直且交于点，以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图．
9. 的展开式中，含项的系数为（）
A. 100B. 300C. 500D. 110
【答案】A
【解析】
【分析】
转化条件得，则可写出其通项公式，通过分别给、赋值令，即可得解.
【详解】由题意，
则其通项公式为：，
其中，，则，

高三数学理科摸底考试试题+参考答案

高三数学理科摸底考试试题一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ＝{}2log ,1y y x x =>，B ＝{}2,1xy y x -=>，则A ∪B ＝（） A ．102y y ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{}0y y >C ． ΦD ．R 2. 复数212ii+-的虚部是（） A ．0B ．iC ．1D ．-13. 设随机变量ξ服从标准正态分布()0 1N ，，在某项测量中，已知()196P.ξ<=0.950，则ξ在()1.-∞-，96内取值的概率为（） A ．0.025 B ．0.050 C ．0.950 D ．0.9754. 若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等于（）A ．63B ．31C ．15D ．75.在ABC AB BC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,02的形状是（） A ．∠C 为钝角的三角形 B ．∠B 为直角的直角三角形 C ．锐角三角形 D ．∠A 为直角的直角三角形6．关于θ的方程cos 2sin θθ=在区间[0，2π]上的解的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．47. 己知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，2)(+=x x f ，那么不等式01)(2<-x f 的解集是( )A ．5{|0}2x x <<B ．3{|2x x <-或50}2x ≤< C ．}023|{≤<-x xD ．3{|02x x -<<或50}2x << 8. 已知某一几何体的正视图与侧视图如图，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（）A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ． ①②③④9．汕尾市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为（）A.18B.24C.30D.3610．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“32S a >”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件11．直线0102=-+y x 与不等式组0024320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩表示平面区域的公共点有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 12．设()f x 是定义在（0,1）上的函数，对任意的1y x >>都有11()()()1y x f f f xy x y-=--，记21()()55n a f n N n n *=∈++,则81i i a =∑=（）A.1()2fB.1()3fC. 1()4fD. 1()5f 二. 填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.彭湃中学高一年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）. 1s ，2s 分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则1s 2s .（填“>”、“<”或“＝”）. 14．函数()ln(2)xf x x =- 的定义域为 .15. 如果1()nxx 展开式中，第四项与第六项的系数相等，则n = ______________16.已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0, b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线216y x =的焦点第13题图相同，则双曲线的渐近线方程为____.三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，已知45A =，4cos 5B =. （1）求sinC 的值；（2）若10,BC =求ABC ∆的面积.18.（本题满分12分）已知数列{}n a 中，211=a ，点()()12n n n a a n N *+-∈，在直线x y =上．（1）令11--=+n n n a ab ，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．19. （本题满分12分）广州大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知学生小张只选甲的概率为08.0，只选修甲和乙的概率是12.0，至少选修一门的概率是88.0，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. （1）求学生小张选修甲的概率；（2）记“函数ξ+=2)(x x f x 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率；（3）求ξ的分布列和数学期望。

高三数学摸底测试试题理试题

高三数学摸底测试试题理制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日本套试卷分选择题和非选择题两局部。

第I 卷〔选择题〕1至2页，第二卷〔非选择题〕3至4页，一共4页，满分是150分，考试时间是是120分钟。

考前须知：1．在答题之前，必须将本人的姓名、考籍号填写上在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使需要用2B 铅笔将答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上答题，在试题卷上答题无效。

5．在在考试完毕之后以后，只将答题卡交回。

第I 卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1．设集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =≥，那么A B =(A)}10|{≤<x x (B)}10|{<<x x (C)}21|{<≤x x(D)}20|{<<x x2．复数i ii z (22-=为虚数单位)在复平面内对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限3．函数=)(x f ⎩⎨⎧>≤-.0,ln 0|,1|x x x x ，那么1(())f f e = (A)0 (B)1 (C)1-e (D)24．为了加强全民爱眼意识，进步民族安康素质，1996年，卫生部，教育部，团HY 等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日〞．某校高=(1)班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日’’宣传活动．随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 916484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 0676假设从随机数表第6行第9列的数开场向右读那么抽取的第5名学生的学号是(A)17 (B)23 (C)35 (D)375． ‘‘3=k 〞是“直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切〞的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件6．离心率为2的双曲线22221(0x y a a b-=>，)0>b 与椭圆22184x y +=有公一共焦点，那么双曲线的方程为 (A)221412x y -=(B)221124x y -=(C)2213y x -=(D)2213x y -= 7．执行如下图的程序框图，那么输出的结果S 为(A)1- (B)2 (C)0 (D)12--8．设函数()f x 的导函数是'()f x ．假设2()'()cos f x f x x π=-，那么'()6f π= (A)12-(B)21 (C)32 (D)32- 9．如图是某几何体的三视图，假设三视图中的圆的半径均为2，那么该几何体的外表积为(A)π14 (B)π16 (C)π18 (D)π2010．在平面直角坐标系xOy 中，直线)1(:+=x k y l 与曲线θθθθ(cos sin 2sin 1:⎩⎨⎧+=+=y x C 为参数)在第一象限恰有两个不同的交点，那么实数k 的取值范围为(A))1,0((B))21,0((C)2(D)21[)211．函数||ln ||)(x x x f =．假设)2(ln f a =，)3ln (-=f b ，)(e f c =，那么c b a ,,的大小关系为A(A)b c a >> (B)b a c >> (C)a b c >> (D)a c b >>12．设,k b R ∈，假设关于x 的不等式ln(1)x x kx b -+≤+在(1,)+∞上恒成立，那么11b k --的最小值是(A)2e -(B)11e -+(C)21e-(D)1e -- 第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在答题卡上．13．呈线性相关的变量y x ,之间的关系如下表：由表中数据得到的回归直线方程为a x yˆ6.1ˆ+=．那么当8=x 时，y ˆ的值是． 14．函数32)(2+-=-x e x f 的图象在0=x 处的切线方程为．15．甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋，甲说：“我会〞；乙说：“我不会〞；丙说：“甲不会〞．假如这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是．16．点P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，1F 是椭圆的左焦点，线段1PF 的中点在圆2222b a y x -=+上．记直线1PF 的斜率为k ，假设1≥k ，那么椭圆离心率的最小值为．三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17．〔本小题满分是12分〕2021年12月，?生活垃圾分类标志?新HY 发布并正式施行，为进一步普及生活垃圾分类知识，理解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进展了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组频数第一组 [25,30) 200第二组 [30,35) 300第三组 [35,40) m第四组 [40,45) 150第五组 [45,50) n第六组 [50,55] 50合计 1000各年龄段频数分布表(I)请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中n m ,的值；(Ⅱ)现从年龄在)40,30[段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动，应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在)40,35[段中的概率．18．〔本小题满分是12分〕函数12)(23-+++=a bx ax x x f 在1-=x 处获得极值0，其中R b a ∈,．(I)求b a ,的值；(Ⅱ)当]1,1[-∈x 时，求)(x f 的最大值．19.〔本小题满分是12分〕如图①，在菱形ABCD 中， 60=∠A 且2=AB ，E 为AD 的中点，将ABE ∆沿BE 折起使2=AD ，得到如图②所示的四棱锥BCDE A -．(I)求证：平面⊥ABE 平面ABC ；(Ⅱ)假设P 为AC 的中点，求二面角C BD P --的余弦值．20.〔本小题满分是12分〕在同—平面直角坐标系xQy 中，圆422=+y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 21'':ϕ后，得到曲线C ． (I)求曲线C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，连接BO 并延长与曲线C 相交于点D ，且2||=AD ．求ABD ∆面积的最大值．21.〔本小题满分是12分〕函数ax xe x f x+=)(，R a ∈．(I)设)(x f 的导函数为)('x f ，试讨论)('x f 的零点个数；(Ⅱ)设x a x a x ax x g a )1(ln ln )(-++=．当),1(+∞∈x 时，假设)()(x g x f ≥恒成立，求a 的取值范围．22.〔本小题满分是10分〕选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (22221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 6=．(I)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)点)0,1(P ．假设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求22||1||1PB PA +的值．2021级高中毕业班摸底测试数学〔理科〕本套试卷分选择题和非选择题两局部。

高三数学开学摸底考试试题理含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校HY2021届高三数学开学摸底考试试题理〔含解析〕一､选择题 1.集合{}(,)|,,A x y x y y x =∈≤*N ，{}(,)|4B x y x y =+=，那么AB 中元素的个数为〔〕A.2B.3C.4D.6【答案】A 【解析】【分析】根据集合交集所表示的几何意义，即可确定交集中元素个数.【详解】由4y x x y ≤⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，可知元素为直线y x =右方(含线上)且在直线4x y +=上的点，所以有(2,2),(3,1)满足，故A B 中元素的个数为2个.应选：A.【点睛】此题主要考察求交集中元素的个数，涉及二元一次不等式组所表示的平面区域，属于根底题型. 2.复数1013i-的虚部是〔〕 A.3- B.1-C.1D.3【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法，先将复数化简，再由复数概念，即可得出结果. 【详解】因101313z i i ==+-，所以复数1013z i=-的虚部为3. 应选：D.【点睛】此题主要考察求复数的虚部，考察复数的除法运算，属于根底题型.3.假设双曲线22:13x y C m-=，那么C 的虚轴长为〔〕A.4B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】利用离心率得到关于m 的方程，求出其解后可得虚轴长.【详解】因为双曲线22:13x y C m -==，解得6m =，所以虚轴长为应选：C.【点睛】此题考察双曲线的离心率及虚轴长，注意双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>中各几何量计算公式的正确应用，如虚轴长指2b ，此题属于根底题. 4.递增等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设46a =，2a ，4，5a 成等比数列，那么6S =〔〕A.36B.32C.28D.30【答案】D 【解析】【分析】设{}n a 的公差为()0d d >，利用{}n a 的通项公式代入计算得出结果．【详解】设{}n a 的公差为()0d d >，因46a =，且2a ，4，5a 成等比数列，所以()()2562616a a d d ⋅=-⋅+=，得2d=或者5-(舍)，所以1630,22n a d a n =-==-，()60106302S +⨯==.应选:D .【点睛】此题考察等差数列的通项公式和求和公式，考察学生的计算才能，属于根底题． 5.向量()1,2a=，(),3b m =，假设()2a a b⊥-，那么a 与b 夹角的余弦值为〔〕A.10【答案】D 【解析】【分析】先求出2a b -，再根据条件()2aa b⊥-，利用向量的坐标运算，列方程求出m 的值，然后只需要利用夹角公式即可求出a 与b 夹角的余弦值.【详解】()1,2a =，(),3b m =，∴()221a b m -=-,.又()2a a b⊥-，∴220m -+=，解得4m =，即()4,3b =，故()cos,555a a a bb b⋅===⨯.应选：D.【点睛】此题考察向量垂直的坐标运算以及向量夹角公式，是根底题.6.cos 43θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，那么sin 2θ的值是〔〕A.79-B.29-C.29D.79【答案】A 【解析】【分析】将展开化简可得cos si 43n θθ-=平方后，再结合sin 22sin cos θθθ=即可解决.【详解】由，cos 43θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭化简，即()cos cos cos sin sin cos sin 44234θθθπππθθ⎛⎫+=-=-=⎪⎝⎭即cos si 43n θθ-=，平方可得：161sin 29θ-=，解得：7sin 29θ=- 应选：A.【点睛】此题考察三角函数值求三角函数值的问题，解这类题的关键是找到式与待求式之间的联络与差异，此题是一道根底题.7.等比数列{}n a 满足0n a >，且12a ，312a ，2a 成等差数列，那么35468722a a a a a a +-+-的值是〔〕A.18B.8C.2D.12【答案】A 【解析】【分析】先利用12a ，312a ，2a 成等差数列列出关于等比数列{}n a 的首项1a 和公比q 的关系式，解出公比q ，再将35468722a a a a a a +-+-化简求值.【详解】因为12a ，312a ，2a 成等差数列，那么3122a a a =+，即21112a q a a q =+，解得2q ，所以24335411157636871112211228a a a a q a q a q a a a a q a q a q q +-+-===+-+-. 应选：A【点睛】此题考察等差数列的概念、等比数列的通项公式及应用，是数列局部的根底运算题，灵敏运用通项公式是解题的关键.8.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，那么下面四种情形中，对应样本的HY 差最小的一组是〔〕 A.14230.1,0.4p p p p ==== B.14230.4,0.1p p p p ==== C 14230.2,0.3p p p p ==== D.14230.3,0.2p p p p ====【答案】A 【解析】【分析】计算出四个选项里面对应数据的平均数和方差，由此可得出HY 差最小的一组. 【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65As =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85Bs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05Cs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45Ds =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，A 选项这一组的HY 差最小. 应选：A【点睛】此题考察HY 差的大小比较，考察方差公式的应用，考察计算才能，属于根底题.9.射线测厚技术原理公式为0tI I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241〔241Am 〕低能γ射线测量钢板的厚度.假设这种射线对钢板的半价层厚度为，钢的密度为，那么这种射线的吸收系数为〔〕〔注：半价层厚度是指将射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果准确到〕 A.0.110 B.0.112C.0.114D.0.116【答案】C 【解析】【分析】根据题意知,010.8,7.6,2I tI ρ===，代入公式0t I I e ρμ-=,求出μ即可. 【详解】由题意可得,010.8,7.6,2I t I ρ===因为0t I I e ρμ-=, 所以7.60.812e μ-⨯⨯=,即ln 20.69310.1147.60.8 6.08μ==≈⨯. 所以这种射线的吸收系数为0.114. 应选:C【点睛】此题主要考察知识的迁移才能,把数学知识与物理知识相交融;重点考察指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题. 10.一个几何体的三视图如下列图，假设这个几何体的体积为 A.36π B.64πC.81πD.100π【答案】C 【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式求出四棱锥体的外接球的半径，最后求出球的外表积．【详解】解：根据几何体的三视图可以得到该几何体为四棱锥体，如下列图：该四棱锥的底面是长方形，长为6，宽为5，四棱锥的高即为PD所以1563V h =⨯⨯⨯=解得h=设四棱锥的外接球的半径为r ，所以()(2222256r =++，解得92r=，所以294812S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭球，应选：C【点睛】此题考察了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题.11.设椭圆C ：22221x y a b +=(a >0，b >0)的左､右焦点分别为1F ，2F P 是C 上一点，且1F P ⊥2F P .假设12PF F △的面积为4，那么a =〔〕A.1B.2C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆的定义，勾股定理和面积公式进展整理计算即可得到答案.【详解】3c a =，2234a c ∴=，由椭圆定义，122PF PF a +=，由1F P ⊥2F P 得()22212||2PF PF c +=，12PF F △的面积为4，那么121||42PF PF ⋅=，即12||8PF PF ⋅=，()22121224PF PF PF PF c ∴+-⋅=，即224163a a -=,解得216a =，即4a =，应选：C .【点睛】此题考察椭圆的定义，离心率以及勾股定理的应用，考察学生分析推理才能，属于根底题. 12.设3log 2a=，5log 3b =，8log 5c =，那么〔〕A.b a c <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数的性质，结合根本不等式，即可得出结果. 【详解】由对数性质，可得：(),,0,1a b c ∈，2255555l g 3l g 8l g 24log 3log 8122o o o +⎛⎫⎛⎫⋅<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5851log 3log 5log 8∴<=，即b c <；而3332log 2log log 3a==<=，5552log 3log log 3b ==>=，综上所述，a bc <<. 应选：B.【点睛】此题主要考察比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，涉及根本不等式的应用，属于常考题型. 二､填空题13.42a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含5x 的项的系数为8，那么a=__________.【答案】2 【解析】【分析】根据二项式定理，得到二项展开式的通项，再由题中条件，列出方程，即可得出结果.【详解】因为二项式42a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为：()1444283rrrr rr r a C xC x x T a +--⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝=⎭=，令835r-=，解得1r =，所以1482C aa ⋅=⇒=.故答案为：2.【点睛】此题主要考察由指定项的系数求参数，熟记二项式定理即可，属于根底题型.14.假设x ，y 满足约束条件0201x y x y x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，那么32z x y =-的最大值为_________.【答案】0 【解析】【分析】根据约束条件得到可行域，分析要使32z x y =-有最大值，等价于在可行域上有交点的情况下函数3122y x z =-与x 轴的截距最大，即可知过(0,0)O 时，z 最大【详解】由不等式组可得如下可行域(阴影局部)，而当0y =时，目的函数有3zx =∴要使32z x y =-的最大，即是目的函数在可行域内平移过程中，在可行域上有交点时，与x 轴的截距最大由上图可知，目的函数过(0,0)O 时，目的函数有最大值0z =故答案为：0【点睛】此题考察了应用线性规划求最值，首先由约束条件得到可行域，再根据目的函数在可行域内有交点的情况下确定最值 15.，，假设圆锥内某正方体的底面在圆锥的底面上，那么该正方体的最大体积为______. 【答案】1 【解析】【分析】先由圆锥的构造特征可知：圆锥内接正方体最大，设正方体边长为x ，沿内接正方体的体对角线所在的面，纵切圆锥及其内接正方体，得到轴截面，结合图形，由题中数据，列出方程求解，即可求出正方体的棱长，进而可求出体积.【详解】由圆锥的构造特征可知：圆锥内接正方体最大；，2=，设正方体棱长为x ，沿内接正方体的体对角线所在的面，纵切圆锥及其内接正方体，得到如下列图的轴截面，22x-=，解得：1x =，所以该正方体的最大体积为3max 1V x ==.故答案为：1.【点睛】此题主要考察求圆锥内接正方体的最大体积，熟记正方体和圆锥的构造特征即可，属于常考题型. 16.关于函数()1cos cos f x x x=+①()f x 的图像关于y 轴对称. ②()f x 的图像关于原点对称. ③()f x 的图像关于直线2x π=对称.④()f x 的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称.__________. 【答案】①④ 【解析】【分析】根据余弦函数的性质，由题中条件，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于①，()f x 定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，显然关于原点对称，且()()()()11cos cos cos cos x x x f x f x x =-=-++=-，所以()f x 的图象关于y对于②，532f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，532f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么33f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x对③，532f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2532f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，那么233f f ππ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于2x π= 对④，1sin 2sin f x x x π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，1sin 2sin f x x x π⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，那么22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：①④. 【点睛】三､解答题17.每个国家对退休年龄都有不一样的规定，近年我国关于延迟退休的话题一直在热议，为了理解民对“延迟退休〞的态度，现从某地民中随机选取100人进展调查，调查情况如下表：〔1〕从赞成“延迟退休〞的人中任选1人，得此年龄在[35,45)的概率为5，求出表格中m ，n 的值；〔2〕假设从年龄在[45,55)的参与调查的民中按照是否赞成“延迟退休〞进展分层抽样，从中抽取5人参与某项调查，然后再从这5人中随机抽取3人参加座谈会，记这3人中赞成“延迟退休〞的人数为X ，求X的分布列.【答案】〔1〕25m =，13n =；〔2〕分布列见解析. 【解析】【分析】〔1〕通过抽取的人数求解m ，通过赞成“延迟退休〞的人的概率，求解n ；〔2〕由得X 的可能取值为2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列. 【详解】〔1〕因为总一共抽取100人进展调查，所以10010152025525m =-----=，因从赞成“延迟退休〞的人中任选1人，其年龄在[)35,45的概率为1525nn =+，得13n =.〔2〕从年龄在[)45,55中按分层抽样抽取5人，赞成的抽取205425⨯=人，不赞成的抽取1人，再从这5人中随机抽取3人，那么随机变量X 的可能取值为2，3.那么24353(2)5C P X C ===，34352(3)5C P X C ===所以X 的分布列为【点睛】此题主要考察概率的求法，考察离散型随机变量的分布列的求法，属于中档题. 18.在△ABC 中，(2)cos cos b c A a C -=. 〔1〕求角A ；〔2〕假设c=，AD 是BAC ∠的角平分线，D 在BC 上，且2AD =.求b .【答案】〔1〕3A π=；〔2【解析】【分析】〔1〕利用正弦定理和正弦的两角和公式化简即可得到答案.〔2〕在ABD △中，由余弦定理可得BD 的长，得到ACD △为直角三角形，进而得到b 的取值. 【详解】〔1〕∵(2)cos cos b c A a C -=，2cos cos cos b A a C c A ∴=+，得2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，所以2sin cos sin()B A A C =+，那么2sin cos sin B A B =，因sin 0B ≠，故1cos 2A =，3A π=. 〔2〕由〔1〕知30BAD CAD ∠=∠=，2BD =【点睛】此题考察正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考察正弦的两角和公式，属于根底题. 19.正方体1111ABCD A B C D -的边长为4，E ，F ，G 分别在棱11,,AB BB DD 上，2AE =，1BF =，2DG =.〔1〕证明：点G 在平面1EFC 内；〔2〕求二面角A GF C --的正弦值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2. 【解析】【分析】〔1〕利用两条平行线确定一个平面，即可得证.〔2〕建立空间直角坐标系，利用平面的法向量即可得二面角的余弦值. 【详解】如图：取1BB 中点H ，连接11,,,AH C H AG C G ，由勾股定理得11===AH C H AG C G 那么四边形1AHC G 是正方形，1||AH C G ∴，由中位线得1||,||AH EF C G EF ∴那么1C G E F ，，，四点一共面，故点G 在平面1EFC 内. 〔2〕建立坐标系D xyz -如图，那么(4,0,0),(4,4,1),(0,0,2),(0,4,0)A F G C设平面AEG 和平面CEG 的法向量分别为,m n ，那么4200,,400x z m AG y z n AF ⎧-+=⎧⋅=∴⎨⎨+=⋅=⎩⎩取=(2,-1,4),m同理(1,2,4)n=-4164cos ,217m n -+<>==，那么二面角A GF C --=【点睛】此题主要考察了线面的位置关系，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题. 20.曲线C ：()220y px p =>与曲线E ：2232x y +=交于A 、B 两点，O 为原点，90AOB ∠=︒.〔1〕求p ；〔2〕曲线C 上一点M 的纵坐标为2，过点M 作直线1l 、2l ，1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，122k k +=，1l 、2l 分别交曲线C 于异于M 的不同点N ，P ，证明：直线NP 恒过定点.【答案】〔1〕2；〔2〕证明见解析. 【解析】【分析】〔1〕由对称性可知：A 、B 关于x 轴对称，根据90AOB ∠=︒可设(),Aa a ，分别代入曲线C 和曲线E ，解方程即可得出结果；〔2〕由〔1〕求得M 的坐标，设()11Nx y ,，()22,P x y ，由122k k +=化简计算可得124y y ，讨论直线的斜率是否为0，斜率不为0时设直线NP 的方程为：x my t =+，与曲线C 方程联立，利用韦达定理化简即可得出结果. 【详解】〔1〕由对称性可知：A 、B 关于x 轴对称，可设(),A a a ，那么222a pa a p =⇒=，把()2,2A p p 代入曲线C 得：22(2)(2)322p p p +=⇒=.〔2〕由〔1〕得：()1,2M，设()11N x y ,，()22,P x y ，求得设()11Nx y ,，()22,P x y ，那么11121112241214y y k y x y --===-+-，同理2242k y =+，1212124422422k k y y y y +=⇒+=⇒=++(*)，假设直线NP 斜率为0，直线NP 的方程为：0y t =，代入曲线C ，仅一解，不合题意，舍去，m 存在时，设直线NP 的方程为：x my t =+，把x my t =+代入24y x =整理得：224()440y my t y my t =+⇒--=，得：121244y y my y t+=⎧⎨=-⎩，代入(*)式，得：441t t -=⇒=-，故直线NP 的方程为：1xmy =-，恒过()1,0-.【点睛】此题考察抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系中恒过定点问题，考察韦达定理的运用，考察学生的计算才能，属于中档题.21.函数1()ln f x x a x x =-+ 〔1〕假设1()()g x f x x=-，讨论()g x 的单调性；〔2〕假设2a >，且()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--.【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕证明见解析. 【解析】【分析】〔1〕由()ln gx x a x =-，求导()1a x ag x x x-'=-=，再分0a ≤和0a >两种情况讨论求解. 〔2〕根据()f x 存在两个极值点和()221x ax f x x-+'=-，那么()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，有121=x x ，不妨设12x x <，那么21>x ，化简()()12212222ln 21--=-+--f x f x x ax x x x ，将()()12122f x f x a x x -<--，转化为22212ln 0x x x -+<，令()12ln h x x x x=-+，用导数证明即可. 【详解】〔1〕()ln gx x a x =-的定义域为()0,∞+，()1a x ag x x x-'=-=. (i )假设0a ≤，那么()0g x '≥，所以()g x 在()0,∞+单调递增.(ii )假设0a >，当()0,x a ∈时，()0g x '<；当(),x a ∈+∞时，()0g x '>.所以()gx 在()0,a 单调递减，在(),a +∞单调递增.〔2〕因为()f x 存在两个极值点，2a >.()221x ax f x x-+'=-，所以()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121=x x ，不妨设12x x <，那么21>x那么()()12121212121ln ln 1f x f x x x a x x x x x x --=--+--1221222ln ln 2ln 221x x x aax x x x --=-+=-+--，要证()()12122f x f x a x x -<--，只需证22212ln 0x x x -+<.设()12ln (1)h x x x x x =-+>，那么()22(01)h x x x-'=-<，知()hx 在()1,+∞单调递减，又()10h = 当()1,x ∈+∞时，()0h x <.故22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--.【点睛】此题主要考察导数与函数的单调性，导数与不等式证明，还考察分类讨论思想和转化化归的思想和运算求解的才能，属于较难题.22.在直角坐标系中，直线l的参数方程为,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos sin 2cos 10ρθρθρθ--+=，曲线C 与x 轴､y 轴分别交于,A B 两点，直线l 与曲线C 交于,P Q 两点.〔1〕求,A B 两点的极坐标；〔2〕求OP OQ-的值.【答案】〔1〕(1,0)A ，1,2B π⎛⎫⎪⎝⎭；〔2〕【解析】【分析】〔1〕分别令=0θ，=2πθ，即可求出两点的极坐标；〔2〕先得到曲线C 的直角坐标方程，将直线l 的参数方程代入，根据12OP OQ t t -=-，即可求出结果.【详解】〔1〕令=0θ，得221=0=1ρρρ-+∴，，故A 的极坐标为(1,0)A ；令=2πθ，得=1ρ，故B 的极坐标为(1,)2B π. 〔2〕由cos ,sin x y ρθρθ==得曲线C 的直角坐标方程为2(1)y x =-，将l的参数方程代入得250t -+=，12t t ∴+=1250t t =>那么12OP OQ t t -=-==【点睛】此题主要考察求曲线与坐标轴交点的极坐标，以及参数的方法求弦长，属于常考题型.23.x ，y ，z 均为正实数，且222111149x y z ++=．证明：〔1〕1111263xy yz xz++≤；〔2〕222499xy z ++≥．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析. 【解析】【分析】〔1〕运用根本不等式，可得221114x y xy+≥，22111493y z yz +≥，2211293x z xz+≥三式相加，结合题设条件，即可求解；〔2〕由乘“1”法，结合柯西不等式证明，即可证明.【详解】〔1〕由根本不等式，可得221114x y xy+≥，22111493y z yz +≥，2211293x z xz+≥，所以22211111224933x y z xy yz xz ⎛⎫++≥++⎪⎝⎭．当且仅当11123x y z==时等号成立，即22211111149263x y z xy yz xz++≥++，又由222111149x y z ++=，所以1111263xy yz xz++≤．〔2〕由题意知222111149x y z++=，可得()22222249491x y z x y z ++=++⨯()2222221114949x y z x y z ⎛⎫=++⋅++ ⎪⎝⎭()21119≥++=．当且仅当23x yz ==时等号成立，所以222499x y z ++≥．【点睛】此题主要考察了不等式的证明，其中解答中合理运用均值不等式和柯西不等式是解答的关键，属于中档题．。