2021年高考数学一轮复习第1章选4系列1.1坐标系课后作业理
2021年高考数学大一轮复习 第一节 坐标系课时作业 理(选修4-4)
2021年高考数学大一轮复习 第一节 坐标系课时作业 理（选修4-4）一、填空题1．在直角坐标系中，点P 的坐标为(－1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：ρ＝－12＋－32＝2，⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－32cos θ＝－12∴θ＝43π，即P (2，43π)．答案：(2，43π)2．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________(填序号)． ①⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2；②⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2；③(1,0)；④(1，π)解析：圆的方程可化为ρ2＝－2ρsin θ，由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心为(0，－1)， 化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.答案：②3．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是________(填序号)．①两个圆；②两条直线；③一个圆和一条射线；④一条直线和一条射线． 解析：由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox 反向的射线．答案：③4．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为________．解析：曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，y －x ＝1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，π25．在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6到圆心C 的距离是________．解析：将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6的直角坐标为(23，2)，故点A 到圆心的距离为0－232＋2－22＝2 3.答案：236．极坐标系下，直线ρcos(θ－π4)＝2与圆ρ＝2的公共点个数是________．解析：将已知直线和圆的极坐标方程分别化为普通方程为x ＋y ＝2，x 2＋y 2＝4，由于圆心到直线的距离d ＝2<2，故直线与圆相交，即公共点个数共有2个．答案：27．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，则线段AB ＝________.解析：曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由⎩⎨⎧ρ＝2cos θ，θ＝π4得⎩⎨⎧ρ＝2，θ＝π4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB ＝ 2.答案：28．在极坐标系中，P ，Q 是曲线C ：ρ＝4sin θ上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为________．解析：由曲线C ：ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，x 2＋y 2－4y ＝0，x 2＋(y －2)2＝4，即曲线C ：ρ＝4sin θ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ 长度的最大值是4.答案：49．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．解析：θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1三直线对应的直角坐标方程分别为：y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，作出图形得围成图形为如图△OAB ，S ＝3－34. 答案：3－34二、解答题10．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.11．在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1.(1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝32>1，所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点．(2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎨⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎨⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.①因为点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π3＝1，② 将①代入②，得2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1，即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1，因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32为圆心，1为半径的圆．1．(xx·江西卷)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式得ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)．整理得ρ＝1sin θ＋cos θ.(0≤θ≤π2)．故选A.答案：A2．(xx·湖南卷)在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)交于A ，B 两点，且|AB |＝2，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是________．解析：曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，设直线l 的方程为y ＝x ＋b ，因为弦长|AB |＝2，所以圆心(2,1)到直线l 的距离d ＝0，所以圆心在直线l 上，故y ＝x －1⇒ρsin θ＝ρcos θ－1⇒ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－22，故填ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－22.⎝⎭3．(xx·重庆卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.解析：直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，曲线C 的平面直角坐标方程y 2＝4x .∴公共点为(1,2)，∴ρ＝ 5.答案：54．(xx·辽宁卷)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1y ＝2y 1，由x 21＋y 21＝1得x 2＋(y2)2＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos ty ＝2sin t(t 为参数)．(2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝12x ＋y －2＝0，解得：⎩⎨⎧x ＝1y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝0y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.29680 73F0 珰 36462 8E6E 蹮37801 93A9 鎩34507 86CB蛋28702 701E 瀞f36015 8CAF 貯33783 83F7 菷>25215 627F 承34229 85B5 薵 25130 622A 截。
2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略课件：选修4-4 1第一节 坐 标 系
()
－3
(2,－ ) 3
提示:(1) ×.
x 2x 2，
所所(2)以以×.原在来平点xy面的直坐1－角，标8坐，为标(系1,-y内8)的. 点－与12坐y标是4一，一对应关系,而极坐标系中的点的坐
标可以有很多个不同答案.
(3)√.点P的直角坐标为(1, ),
所以
－3
12 (－3)2 2，
(1)已知伸缩变换φ:
经φ变换得到点A′(2,4),则原来点的坐标为
A(也(23())4是在若,-一平点2).一P面( 的对直直应角)角关坐坐系标标.系为内(1的, 点(与),则坐点标)xyP是＝＝的一2一－x一个，12对极y应坐，关标系是,在极坐. 标系中(的点)与坐标
(4)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.
标可以有_____.
多个
极点 极轴 长度单位 角度单位以及它的正方向
极径 极角
多值性
只有一个
3.极坐标与直角坐标的互化 点M的直角坐标(x,y)与极坐标(ρ,θ)之间的相互转化公式:
4.简单2＝曲_线x_2_＋的__y极_2_坐，标方程 (若_1_)_圆圆__ta心_的n__为极_＝_M坐_xy_(_标ρ(_x0_,方_θ_0_0程)_,)半_. __径__为__r_的__.圆的极坐标方程为:
x＝cos， y＝__s_i_n___ ；
ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ 02 -r2=0
(2)直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则直线方程为:_____________
_______________.
ρsin(θ-α)
=ρ0sin(θ0-α)
【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)
2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书：选修4-4 第1讲 坐标系 Word版含答案
第1讲坐标系一、知识梳理 1．坐标系 (1)伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．(2)极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）.3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ． (3)直线过点M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b ． 4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r .(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ． (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ． 常用结论 1．明辨两个坐标伸缩变换关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），点(x ，y )在原曲线上，点(x ′，y ′)在变换后的曲线上，因此点(x ，y )的坐标满足原来的曲线方程，点(x ′，y ′)的坐标满足变换后的曲线方程．2．极坐标方程与直角坐标方程互化(1)公式代入：直角坐标方程化为极坐标方程公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简． (2)整体代换：极坐标方程化为直角坐标方程，变形构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．二、习题改编1．(选修4-4P15T2改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，π2 B.⎝⎛⎭⎫1，－π2 C ．(1，0)D ．(1，π)解析：选B.由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2.故选B. 2．(选修4-4P15T2改编)圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，且圆C 经过极点．求圆C 的极坐标方程．解：圆心C 的直角坐标为(2，2)，则设圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝r 2，依题意可知r 2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，故圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sin θ＋cos θ)＝0，即ρ＝22(sin θ＋cos θ)．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、易错纠偏常见误区(1)对极坐标几何意义不理解； (2)极坐标与直角坐标的互化致误．1．在极坐标系中，已知两点A ⎝⎛⎭⎫3，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，π2，则|AB |＝ ． 解析：设极点为O .在△OAB 中，A ⎝⎛⎭⎫3，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，π2，由余弦定理，得AB ＝32＋（2）2－2×3×2×cos ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝ 5. 答案： 52．确定极坐标方程ρ2cos 2θ－2ρcos θ＝1表示的曲线． 解：由极坐标方程ρ2cos 2θ－2ρcos θ＝1，得 ρ2(cos 2θ－sin 2θ)－2ρcos θ＝1. 由互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，得x2－y2－2x＝1，即(x－1)2－y2＝2.故此方程表示以(1，0)为中心，F1(－1，0)，F2(3，0)为焦点的等轴双曲线．平面直角坐标系中的伸缩变换(师生共研)(1)曲线C ：x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C ′，则曲线C ′的方程为 ． (2)曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为 ．【解析】 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入曲线C 的方程得C ′：x ′24＋y ′2＝1.(2)根据题意，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则(2x )2＋(3y )2＝1， 即4x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为4x 2＋9y 2＝1. 【答案】 (1)x ′24＋y ′2＝1 (2)4x 2＋9y 2＝11．平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，整理得y ′＝h (x ′)即为所求．2．解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解．1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，则点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过变换后所得的点A ′的坐标为 ．解析：设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .由于点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，所以A ′的坐标为(1，－1)． 答案：(1，－1) 2．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1的一个伸缩变换公式为φ：⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax （a >0），Y ＝by （b >0），求a ，b 的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax ，Y ＝by 得⎩⎨⎧x ＝1a X ，y ＝1b Y ，代入x 2＋y 2＝1中得X 2a 2＋Y2b 2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4，因为a >0，b >0，所以a ＝3，b ＝2.极坐标与直角坐标的互化(师生共研)(1)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离． (2)把曲线C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0化为极坐标方程．【解】 (1)由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1. 由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以d ＝|2＋2＋1|2＝522. 即点A 到直线l 的距离为522.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．1．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线上，求a 的值及直线的直角坐标方程．解：因为点A (2，π4)在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上，所以a ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝2， 所以直线的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2， 从而直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.2．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22， 即ρsin θ－ρcos θ＝1，故直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1， 即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2即为所求．求曲线的极坐标方程(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当点M 在C 上运动且点P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【解】 (1)因为M (ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除点P 外的任意一点．连接OQ ， 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝|OP |＝2. 经检验，点P ⎝⎛⎭⎫2，π3在曲线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2上． 所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2. (2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ， 故θ的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2.求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．1．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON ，交圆C 于点N .求ON 的中点M 的轨迹的极坐标方程． 解：设M (ρ，θ)，N (ρ1，θ1)．因为N 点在圆ρ＝8cos θ上，所以ρ1＝8cos θ1.①因为M 是ON 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ，代入①式得2ρ＝8cos θ，故点M 的轨迹的极坐标方程是ρ＝4cos θ.2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得 ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)由(1)知，M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．曲线极坐标方程的应用(师生共研)(2020·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.【解】 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )(tan θ＝3)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，所以1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．1．(2020·昆明市诊断测试)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝sin t (t 为参数)．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．(1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C 2的极坐标方程为ρ＋8cos θ＝0，直线l 与曲线C 1在第一象限的交点为A ，与曲线C 2的交点为B (异于原点)，求|AB |.解：(1)消去参数t 得曲线C 1的普通方程为x 2＋9y 2＝9，故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＋8ρ2sin 2θ－9＝0.(2)因为A ，B 两点在直线l 上，所以可设A ⎝⎛⎭⎫ρ1，π6，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，π6. 把点A 的极坐标代入C 1的极坐标方程得，ρ21＋8ρ21sin 2π6－9＝0，解得ρ1＝±3. 已知A 点在第一象限，所以ρ1＝ 3.因为B 异于原点，所以把点B 的极坐标代入C 2的极坐标方程得， ρ2＋8cos π6＝0，解得ρ2＝－4 3.所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝|3＋43|＝5 3.2．(2020·安徽五校联盟第二次质检)在直角坐标系xOy 中，直线l 1：x ＝0，圆C ：(x －1)2＋(y －1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 1和圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设l 1，l 2与圆C 的公共点分别为A ，B ，求△OAB的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，所以直线l 1的极坐标方程为ρcos θ＝0，即θ＝π2(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0. (2)将θ＝π2代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋ 2.将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsinθ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0， 解得ρ2＝1＋ 2.故△OAB 的面积为12×(1＋2)2×sin π4＝1＋324.[基础题组练]1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，所以4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1.所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．2．在极坐标系中，圆C 是以点C ⎝⎛⎭⎫2，11π6为圆心，2为半径的圆． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)求圆C 被直线l ：θ＝7π12(ρ∈R )所截得的弦长．解：(1)圆C 是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6. (2)将θ＝－5π12代入圆C 的极坐标方程ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，得ρ＝22， 所以，圆C 被直线l ：θ＝7π12，即直线θ＝－5π12所截得的弦长为2 2.3．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：ρ＝4cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ<π2，C 2：ρcos θ＝3. (1)求C 1与C 2的交点的极坐标；(2)设点Q 在C 1上，OQ →＝25OP →，求动点P 的极坐标方程．解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，得cos θ＝±32，因为0≤θ<π2，所以θ＝π6，ρ＝23，所以交点坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. (2)设P (ρ，θ)，Q (ρ0，θ0)，则ρ0＝4cos θ0，θ0∈⎣⎡⎭⎫0，π2， 由OQ →＝25OP →，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝25ρ，θ0＝θ，所以25ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎡⎭⎫0，π2， 所以点P 的极坐标方程为ρ＝10cos θ，θ∈⎣⎡⎭⎫0，π2. 4．(2020·黑龙江哈尔滨三中一模)已知曲线C 1：x ＋3y ＝3和C 2：⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)把曲线C 1和C 2的方程化为极坐标方程；(2)设C 1与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P .若射线OP 与C 1，C 2交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．解：(1)因为C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，所以其普通方程为x 26＋y 22＝1，又C 1：x ＋3y ＝3，所以可得极坐标方程分别为C 1：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32，C 2：ρ2＝61＋2sin 2θ. (2)易知M (3，0)，N (0，1)，所以P ⎝⎛⎭⎫32，12，所以OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )，把θ＝π6代入ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝32， 得ρ1＝1，P ⎝⎛⎭⎫1，π6， 把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin 2θ，得ρ2＝2，Q ⎝⎛⎭⎫2，π6， 所以|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1， 即P ，Q 两点间的距离为1.5．直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.(1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 为参数)，ρsin 2θ＝2cos θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的直角坐标方程得y 2＝2x .(2)把直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得 t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1t 2＝20sin 2α，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2α＝40，得α＝π4或α＝3π4. 又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α>0，所以α＝π4.6．(2020·江淮十校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知A ，B 是曲线C 上任意两点，且∠AOB ＝π3，求△OAB 面积的最大值．解：(1)消去参数α，得到曲线C 的普通方程为 (x －2)2＋y 2＝4，故曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(2)在极坐标系中，不妨设A (ρ1，θ0)，B (ρ2，θ0＋π3)，其中ρ1>0，ρ2>0，－π2<θ0<π2，由(1)知，ρ1＝4cos θ0，ρ2＝4cos(θ0＋π3)．△OAB 面积S ＝12ρ1ρ2sin π3＝43cos θ0cos(θ0＋π3)，S ＝23cos 2θ0－6sin θ0cos θ0＝3(1＋cos 2θ0)－3sin 2θ0＝23cos ⎝⎛⎭⎫2θ0＋π3＋3， 当2θ0＋π3＝0时，即θ0＝－π6时，cos ⎝⎛⎭⎫2θ0＋π3有最大值1.此时S max ＝3 3. 故△OAB 面积的最大值为3 3.[综合题组练]1．(2020·长沙市统一模拟考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φy ＝1＋sin φ(φ为参数)， 过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A ，B 两点．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当α∈⎝⎛⎦⎤0，π4时，求|OA |＋|OB |的取值范围．解：(1)由题意可得，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 曲线M 的普通方程为()x －12＋(y －1)2＝1， 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，所以M 的极坐标方程为ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0. (2)设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，且ρ1，ρ2均为正数， 将θ＝α代入ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0， 得ρ2－2(cos α＋sin α)ρ＋1＝0， 当α∈⎝⎛⎦⎤0，π4时，Δ＝4sin 2α>0， 所以ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)，根据极坐标的几何意义，|OA |，|OB |分别是点A ，B 的极径． 从而|OA |＋|OB |＝ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. 当α∈⎝⎛⎦⎤0，π4时，α＋π4∈⎝⎛⎦⎤π4，π2， 故|OA |＋|OB |的取值范围是(2，22]．2．在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2.(1)求曲线C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 2上的点到直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2距离的最大值． 解：(1)设P (ρ1，θ)，M (ρ2，θ)， 由|OP |·|OM |＝4，得ρ1ρ2＝4，即ρ2＝4ρ1.因为M 是C 1上任意一点，所以ρ2sin θ＝2， 即4ρ1sin θ＝2，ρ1＝2sin θ. 所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 即x 2＋y 2－2y ＝0，化为标准方程为x 2＋(y －1)2＝1，则曲线C 2的圆心坐标为(0，1)，半径为1， 由直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，得ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝2，即x －y ＝2，圆心(0，1)到直线x －y ＝2的距离为 d ＝|0－1－2|2＝322，所以曲线C 2上的点到直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2距离的最大值为1＋322.。
高考一轮作业：选修4-4-1坐标系(含答案)
时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、填空题1．在极坐标系中，直线ρsin(θ－π4)＝22与圆ρ＝2cos θ的位置关系是________． 解析：直线的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，其圆心C(1,0)，半径r ＝1.因为圆心到直线的距离d ＝22＝2＞1，故直线与圆相离．答案：相离2．(2018·汕头第一次学业水平测试)在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，过极点的一条直线l 与圆相交于O ，A 两点，且∠AOx ＝45°，则|OA|＝________.解析：圆C 的直角坐标系方程为：x 2＋(y －1)2＝1，圆心(0,1)到直线OA ：y ＝x 的距离为22，则弦长|OA|＝ 2.答案： 23．在极坐标系中，ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1(0≤θ＜2π)的交点的极坐标为________． 解析：∵ρ＝2sin θ， ∴ρ2＝2ρsin θ. ∴x 2＋y 2－2y ＝0.又ρcos θ＝－1，∴x ＝－1， 将x ＝－1代入x 2＋y 2－2y ＝0得y ＝1. ∴两曲线的交点为(－1,1)． 又∵0≤θ＜2π.∴所求交点的极坐标为(2，3π4)．答案：(2，3π4)4．(2018·西安八校联考)在极坐标系中，点A 的坐标为(22，π4)，曲线C 的方程为ρ＝4sin θ，则OA(O为极点)所在直线被曲线C 所截弦的长度为________．解析：将直线OA 的极坐标方程θ＝π4代入ρ＝4sin θ，得交点坐标A(22，π4)，又O 显然为直线OA 与曲线C 的一个交点，∴弦长为|OA|＝2 2.答案：2 25．(2018·广东惠州第一次调研)设点A 的极坐标为(22，π4)，直线l 过点A 且与极轴垂直，则直线l 的极坐标方程为________．解析：点A 的直角坐标为(2,2)，故直线l 在直角坐标系下的方程为x ＝2，故其极坐标方程为ρcos θ＝2. 答案：ρcos θ＝26．若点P(2，－1)为曲线(极坐标系下的方程)ρ2－2ρcos θ－24＝0(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线的直角坐标方程为________．解析：ρ2－2ρcos θ－24＝0化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －24＝0，即(x －1)2＋y 2＝25，圆心坐标为(1,0)，故弦的垂直平分线斜率为k ＝－12－1＝－1，故弦所在直线的斜率为1，因此弦所在直线的方程为x －2＝y＋1，即x －y －3＝0.答案：x －y －3＝07．在极坐标系中，O 为极点，设点A(4，π3)，B(5，－5π6)，则△OAB 的面积为________．解析：点B(5，－5π6)即B(5，7π6)，且点A(4，π3)，∴∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以△OAB 的面积为S ＝12·|OA|·|OB|·sin∠AOB ＝12×4×5×sin 5π6＝12×4×5×12＝5.答案：58．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为________．解析：直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，极坐标(1,0)的直角坐标为(1,0)，点(1,0)到该直线的距离为d ＝|1＋0－2|2＝22.答案：229．(2018·陕西西安调研)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．解析：直线2ρcos θ＝1即为2x ＝1，圆ρ＝2cos θ，即为(x －1)2＋y 2＝1，由此可求得弦长为 3. 答案： 310．(2018·湖南长沙模拟)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a(a ＞0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：把曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1化成直角坐标方程，得2x ＋y ＝1； 把曲线C 2：ρ＝a(a ＞0)化成直角坐标方程，得x 2＋y 2＝a 2. ∵C 1与C 2的一个交点在极轴上， ∴2x ＋y ＝1与x 轴交点(22，0)在C 2上， 即(22)2＋0＝a 2.又∵a ＞0，∴a ＝22. 答案：22二、解答题11．(2018·江苏模拟)[选修4－4：坐标系与参数方程]已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(Ⅱ)将曲线C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 距离的最小值．解：(Ⅰ)对于曲线C ：ρ＝4cos θ，左右两边同乘ρ，得ρ2＝4ρcos θ， 又∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝4x ，∴曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4. 对于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋22t ， ①y ＝5＋22t ， ②①－②得x －y ＝－25，∴直线l 的普通方程是x －y ＋25＝0.(Ⅱ)将曲线C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线C 1的方程为4x 2＋y 2＝4，设曲线C 1上的任意点(cos θ，2sin θ)到直线l 的距离 d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5θ－φ2⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，又sin(θ－φ)∈[－1,1]，∴曲线C 1上的点到直线l 距离的最小值为10212．(2018·东北四校一模)在极坐标系中，曲线L ：ρsin 2θ＝2cos θ，过点A(5，α)(α为锐角且tan α＝34)作平行于θ＝π4(ρ∈R)的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点． (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同的单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(2)求|BC|的长．解：(1)由题意得，点A 的直角坐标为(4,3)， 曲线L 的普通方程为y 2＝2x ， 直线l 的普通方程为y ＝x －1. (2)设B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ， ①y ＝x －1. ②把②式代入①式并整理得x 2－4x ＋1＝0. 由韦达定理得x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝1. 由弦长公式得|BC|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2 6.13．(2018·南京二模)在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos(θ＋π3)＝1. (1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP|·|OQ|＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝32＞1，所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点．(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.①因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos(θ0＋π3)＝1，② 将①代入②，得2ρcos(θ＋π3)＝1，即ρ＝2cos(θ＋π3)为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为(x －12)2＋(y ＋32)2＝1，因此点P 的轨迹是以(12，－32)为圆心，1为半径的圆．。
【2021】高考数学一轮复习学案：选修4-4.1 坐 标 系
系列4部分选修4-4 坐标系与参数方程第一节 坐 标 系知识体系必备知识1.伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:{x '=λ·x ,(λ>0),y '=μ·y ,(μ>0)的作用下,点P(x,y)对应到点P ′(x ′,y ′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换. 2.极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系(2)点的极坐标:M (ρ,θ). 3.直角坐标与极坐标的互化(1)前提:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式:设M 是平面内任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则{x =ρcosθ,y =ρsinθ,{ρ2=x 2+y 2,tanθ=y x(x ≠0).4.直线的极坐标方程 (1)一般位置.若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴与此直线所成的角为α,则它的极坐标方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). (2)特殊位置. 直线极坐标方程图形过极点,倾斜角为α θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)(θ=α和θ=π+α(ρ≥0))过点(a,0),与极轴垂直 ρcos __θ=a(-π2<θ<π2)过点 a,π2,与极轴平行 ρsin __θ=a(0<θ<π)5.圆的极坐标方程(1)一般位置.若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则该圆的方程为: ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0.(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程.①圆心位于极点,半径为r:ρ=r;②圆心位于M(a,0),半径为a:ρ=2acos__θ;③圆心位于M(a,π2),半径为a:ρ=2asin__θ.基础小题1.在平面直角坐标系中,方程2x+3y=0经过伸缩变换{X=2x,Y=3y后的图形为________.【解析】由{X=2x,Y=3y,得{x=X2,y=Y3,①将①代入2x+3y=0,得X+Y=0,因此直线2x+3y=0变换成直线X+Y=0,即x+y=0. 答案:平面直角坐标系的二、四象限的角平分线2.已知圆C的极坐标方程为ρ2+2√2ρsin(θ-π4)-4=0,则圆C的直角坐标方程为____________.【解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2+2√2ρ(√22sinθ-√22cosθ)-4=0,化简,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ -4=0.则圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6. 答案:(x-1)2+(y+1)2=63.在极坐标系中,圆ρ=8sin θ上的点到直线θ=π3(ρ∈R)距离的最大值是________.【解析】圆ρ=8sin θ即ρ2=8ρsin θ,化为直角坐标方程为x 2+(y-4)2=16,直线θ=π3,则tan θ=√3,化为直角坐标方程为√3x-y=0,圆心(0,4)到直线的距离为√4=2,所以圆上的点到直线距离的最大值为2+4=6. 答案:64.求在极坐标系中,过点(2,π2)且与极轴平行的直线方程.【解析】点(2,π2)在直角坐标系下的坐标为(2cos π2,2sin π2),即(0,2).所以过点(0,2)且与x 轴平行的直线方程为y=2. 即为ρsin θ=2.5.在极坐标系中,已知两点A,B 的极坐标分别为(3,π3),(4,π6),求△AOB(其中O 为极点)的面积.【解析】由题意知A,B 的极坐标分别为(3,π3),(4,π6),则△AOB 的面积 S △AOB =12OA ·OBsin ∠AOB=12×3×4×sin π6=3.。
2021高考数学一轮复习统考选修4_4坐标系与参数方程第1讲坐标系学案(含解析)北师大版选修4_4
选修4－4 坐标系与参数方程第1讲 坐标系 基础知识整合1．坐标变换平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧01x ′＝λ·x λ>0，02y ′＝μ·y μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标与直角坐标(1)极坐标系：在平面内取一个定点O ，叫做03极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做04极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，就建立了极坐标系．(2)点的极坐标：对于极坐标系所在平面内的任一点M ，若设|OM |＝ρ(ρ≥0)，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角为θ，则点M 可用有序数对05(ρ，θ)表示．(3)极坐标与直角坐标的互化公式：在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，射线Ox 的正方向为极轴方向，取相同的长度单位，建立极坐标系．设点P 的直角坐标为(x ，y )，它的极坐标为(ρ，θ)，则相互转化公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝06ρcos θ，y ＝07ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝08x 2＋y 2，tan θ＝09y xx ≠0.3．常用简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程 圆心在极点，半径为r 的圆10ρ＝r(0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆11ρ＝2r cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2圆心为⎝⎛⎭⎪⎫r，π2，半径为r的圆12ρ＝2r sinθ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线(1)13θ＝α(ρ∈R)或14θ＝π＋α(ρ∈R)(2)15θ＝α和16θ＝π＋α过点(a,0)，与极轴垂直的直线17ρcosθ＝a⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2过点⎝⎛⎭⎪⎫a，π2，与极轴平行的直线18ρsinθ＝a(0≤θ≤π) 1．由极坐标系上点的对称性可得到极坐标方程ρ＝ρ(θ)的图形的对称性：若ρ(θ)＝ρ(－θ)，则相应图形关于极轴对称；若ρ(θ)＝ρ(π－θ)，则图形关于射线θ＝π2所在的直线对称；若ρ(θ)＝ρ(π＋θ)，则图形关于极点O对称．2．由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．1．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( )A．两个圆B．两条直线C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线答案 C解析因为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)．ρ＝1⇒x2＋y2＝1，得x2＋y2＝1，表示圆心在原点的单位圆；θ＝π(ρ≥0)表示x轴的负半轴，是一条射线．2．在极坐标系中，极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6的点到极点和极轴的距离分别为( ) A．1,1 B．1,2C．2,1 D．2,2答案 C解析点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sinθ|，所以点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到极点和极轴的距离分别为2,2sinπ6＝1. 3．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3到圆ρ＝－2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B ．4＋π29C ．9＋π9D ．7答案 D解析 在直角坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3的直角坐标为(1，－3)，圆ρ＝－2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2x ，即(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1,0)，所以所求距离为1＋12＋－3－02＝7.故选D.4．曲线ρ＝－2cos θ与ρ＋4ρ＝42sin θ的位置关系为( )A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切答案 B解析 曲线方程ρ＝－2cos θ化为直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，ρ＋4ρ＝42sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －22)2＝4，两圆圆心距为－12＋222＝3＝1＋2，所以两圆外切．5．在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3C ．⎝⎛⎭⎪⎫4，π6 D ．⎝⎛⎭⎪⎫4，π3 答案 A解析 ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6.故选A.6．(2018·北京高考)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________.答案 1＋ 2解析 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 由ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)，得x ＋y ＝a (a >0)， 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ， 即x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，因为直线与圆相切，所以|1－a |2＝1，所以a ＝1±2，又因为a >0，所以a ＝1＋ 2.核心考向突破考向一 平面直角坐标系下的坐标变换例1 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设点(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线的斜率k ＝12，于是所求的直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程并整理，得2ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0.平面直角坐标系下图形的变换技巧平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·xλ>0，y ′＝μ·y μ>0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．[即时训练] 1.求椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. 考向二 极坐标与直角坐标的互化例2 在极坐标系中，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22. (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解 (1)由ρ＝cos θ＋sin θ，得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，把⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y代入ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，得圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0.由l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，得ρsin θ－ρcos θ＝1，因为⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，进而，由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1，tan θ不存在，因为θ∈(0，π)，所以θ＝π2，故公共点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.直角坐标方程与极坐标方程互化的方法直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．[即时训练] 2.(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)，知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设，知C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线，曲线C 1的方程为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≥0，－kx ＋2，x <0.记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.考向三 极坐标方程及其应用例3 (1)(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直，垂足为P .①当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；②当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解 ①因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知，得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点． 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.②设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. (2)(2019·南宁模拟)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，⊙C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点、x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．①求C 1，C 2的极坐标方程；②若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 ①∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.②将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于⊙C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，用极坐标法使问题变得简单、直接，解题的关键是极坐标选取要得当，这样可以简化运算过程．如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标转化为直角坐标来求解．[即时训练] 3.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ，曲线M 2是弧BC ，曲线M 3是弧CD .(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标． 解 (1)由题设可得，弧AB ，BC ，CD 所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4， M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)，知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.4．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)设M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设，知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设，知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积为S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.。
高考数学一轮复习教案(含答案)：选修4-4第1节坐标系
逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标 ①极径：设 M 是平面内一点， 极点 O 与点 M 的距离 |OM|叫做点 M 的极径， 记为 ρ. ②极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角， 记为 θ. ③极坐标：有序数对 (ρ，θ)叫做点 M 的极坐标，记为 M(ρ， θ)．一般不作特 殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ可取任意实数．
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3．极坐标与直角坐标的互化
设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 (x，y)，极坐标是 (ρ，θ)，则它们
x＝ρcos θ， 之间的关系为：
y＝ρsin θ；
ρ2＝ x2＋y2， y
tan θ＝x x≠0 .
4．简单曲线的极坐标方程
曲线
极坐标方程
圆心为极点，半径为 r 的圆
ρ＝ r(0≤θ＜2π）
(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．
()
(4)极坐标方程 θ＝πρ（≥0)表示的曲线是一条直线．
()
[答案 ] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改编 )在极坐标系中，圆 ρ＝－ 2sin θ的圆心的极坐标是 ( )
π A. 1， 2
π B. 1，－ 2
C．(1,0)
D．(1， π）
则曲线 C1 和 C2 的交点的直角坐标为 ________．
(1,1) [由 ρsin2θ＝cos θ? ρ2sin2θ＝ρcos θ? y2＝x，又由 ρsin θ＝ 1? y＝1，联
y2＝ x，
x＝1，
立
?
故曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为 (1,1)．]
y＝1
y＝1.
π 5．在极坐标系中，圆 ρ＝ 8sin θ上的点到直线 θ＝3(ρ∈R)距离的最大值是
2021版高考数学一轮复习选修4-4坐标系与参数方程1坐标系练习理北师大版
坐标系考点一伸缩变换1.曲线C:x2+y2=1经过伸缩变换得到曲线C′,求曲线C′的方程.2.曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x′2+y′2=1,求曲线C的方程.3.将圆x2+y2=1变换为椭圆+=1的一个伸缩变换公式φ:(λ,μ>0),求λ和μ的值. 【解析】1.因为所以代入曲线C的方程得C′:+y′2=1.2.根据题意,曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x′2+y′2=1,则(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1,所以曲线C的方程为4x2+9y2=1.3.将变换后的椭圆+=1改写为+=1,把伸缩变换公式φ:(λ,μ>0)代入上式,得+=1,即x2+y2=1,与x2+y2=1比较系数,得所以1.应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x,y)与变换后的坐标(x′,y′).2.平面上的曲线y=f(x)在变换φ:的作用下得到的方程的求法是将代入y=f(x),得=f,整理之后得到y′=h(x′),即为变换之后的方程.考点二极坐标与直角坐标的互化【典例】(2020·乌鲁木齐模拟)已知曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,C2的方程为x+y=3,C3是一条经过原点且斜率大于0的直线.(1)以直角坐标系原点O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,求C1与C2的极坐标方程.(2)若C1与C3的一个公共点为A(异于点O),C2与C3的一个公共点为B,当|OA|+=时,求C3的直角坐标方程.【解析】(1)曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,整理得x2+y2-2x=0,转换为极坐标方程为ρ=2cosθ.曲线C2的方程为x+y=3,转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ-3=0,(2)设曲线C3是一条经过原点且斜率大于0的直线,则极坐标方程为θ=α,由于C1与C3的一个公共点A(异于点O),故,所以|OA|=2cosα,C2与C3的一个公共点为B,所以所以|OB|=.由于|OA|+=,所以2cosα+cosα+sinα=,即3cosα+sinα=sin(α+β)=,当sinα=,cosα=时,tan α=,故曲线C3的直角坐标方程为y=x.1.极坐标与直角坐标的互化依据是x=ρcosθ,y=ρsinθ.2.互化时要注意前后的等价性.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cosθ+sinθ和直线l:ρsinθ-=(ρ≥0,0≤θ<2π).(1)求圆O和直线l的直角坐标方程.(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.【解析】(1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,故圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0,直线l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos θ=1,则直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程,将两方程联立得解得即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1),转化为极坐标为,故直线l与圆O的公共点的极坐标为.考点三极坐标方程的应用命 1.考什么:(1)考查直线与曲线的位置关系、距离及取值范围的问题.题精解读(2)考查学生数学运算、逻辑推理等核心素养及数形结合、转化化归等数学方法.2.怎么考:极坐标与直线、圆、三角函数等数学知识相结合,考查学生的综合运用能力.3.新趋势:以极坐标为载体,与其他数学知识交汇考查.学霸好方法求取值范围的解题思路:(1)将极坐标方程与普通方程互化,弄清题目考查知识点;(2)与三角函数结合,根据三角函数的取值范围求题目所要求的问题的取值范围.位置关系问题【典例】在极坐标系中,直线ρcos =1与曲线ρ=r(r>0)相切,求r的值.【解析】直线ρcos =1转化为x-y-2=0,曲线ρ=r(r>0)转化为x2+y2=r2,由于直线和圆相切,则圆心到直线的距离d==1=r.距离问题【典例】(2019·江苏高考)在极坐标系中,已知两点A,B,直线l的方程为ρsin=3.(1)求A,B两点间的距离.(2)求点B到直线l的距离.【解析】(1)设极点为O.在△OAB中,A,B,由余弦定理,得AB==.(2)因为直线l的方程为ρsin=3,则直线l过点,倾斜角为.又B,所以点B到直线l的距离为(3-)×sin=2.取值范围问题【典例】(2020·黄冈模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos=2.已知点Q为曲线C1上的动点,点P在线段OQ上,且满足|OQ|·|OP|=4,动点P的轨迹为C2.(1)求C2的直角坐标方程.(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△AOB面积的最大值.【解析】(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),Q的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0),由题意知|OP|=ρ,|OQ|=ρ1=.由|OQ|·|OP|=4得C2的极坐标方程为ρ=2cos(ρ>0),化简得ρ=cos θ+sin θ,因此C2的直角坐标方程为+=1,但不包括点(0,0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0),由题意知,|OA|=2,ρB=2cos,于是△AOB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=2cos·=2≤.当α=0时,S取得最大值.所以△AOB面积的最大值为.。
2021届新课标数学一轮复习讲义_选修4-4_第1讲_坐标系
第1讲 坐标系1．坐标系(1)坐标变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0）y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为坐标系中的伸缩变换． (2)极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)． 2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yx（x ≠0）. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos_θ＝a ； (3)直线过M (b ，π2)且平行于极轴：ρsin_θ＝b ．4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos_θ； (3)当圆心位于M (a ，π2)，半径为a ：ρ＝2a sin_θ．考点一__平面直角坐标系中的伸缩变换__________求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y变换后所得曲线C ′的焦点坐标． [解] 设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)为所求． [规律方法] 平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．1.在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），代入第二个方程，得2λx －μy ＝4，与x －2y ＝2比较系数得λ＝1，μ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y .因此，经过变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝4y后，直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4. 考点二__极坐标与直角坐标的互化______________在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求a 的值．[解] 由ρ＝4sin θ，可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由ρsin θ＝a ，可得y ＝a . 设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形， 如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a .在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫33a ，a .又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴⎝⎛⎭⎫33a 2＋a 2－4a ＝0，即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.[规律方法] 极坐标与直角坐标互化的注意点：(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一． (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．2.在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22.(ρ≥0，0≤θ<2π) (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，即为所求． 考点三__曲线极坐标方程的应用______________在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．[解] (1)圆C 的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝1，θ1＝π3.设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2（sin θ2＋3cos θ2）＝33，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝3，θ2＝π3.由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝2，所以线段PQ 的长为2.[规律方法] 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．3.在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3、⎝⎛⎭⎫4，π6，求△AOB (其中O 为极点)的面积．解：由题意知A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫3，π3、⎝⎛⎭⎫4，π6， 则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ·OB ·sin ∠AOB ＝12×3×4×sin π6＝3.1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12xy ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′y ＝3y ′，∴4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1.∴曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．2．求经过极点O (0，0)，A ⎝⎛⎭⎫6，π2，B ⎝⎛⎭⎫62，9π4三点的圆的极坐标方程． 解：将点的极坐标化为直角坐标，点O ，A ，B 的直角坐标分别为(0，0)，(0，6)，(6，6)，故△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3，3)，半径为32， 圆的直角坐标方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18，即x 2＋y 2－6x －6y ＝0， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上述方程，得ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0， 即ρ＝62cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ<2π)，求直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ.解：参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t 化为普通方程为y ＝x ＋1.由ρsin 2θ－4cos θ＝0，得ρ2sin 2θ－4ρcos θ＝0，其对应的直角坐标方程为y 2－4x ＝0，即y 2＝4x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝4x 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故直线和抛物线的交点坐标为(1，2)，故交点的极径为12＋22＝ 5.4．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A ⎝⎛⎭⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标； (2)点B 经过φ变换得到点B ′⎝⎛⎭⎫－3，12，求点B 的坐标； (3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得到的直线l ′的方程．解：(1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫13，－2， 于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)即为所求．(2)设B (x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′.由于点B ′的坐标为⎝⎛⎭⎫－3，12，于是x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1， ∴B (－1，1)即为所求．(3)由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′.代入直线l ：y ＝6x ，得到经过伸缩变换后的方程y ′＝x ′，因此直线l ′的方程为y ＝x . 5．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4； 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22.6．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数．证明：建立如图所示的极坐标系，设抛物线的极坐标方程为ρ＝p1－cos θ(p >0)．PQ 是抛物线的弦，若点P 的极角为θ， 则点Q 的极角为π＋θ， 因此有|FP |＝p1－cos θ，|FQ |＝p 1－cos （π＋θ）＝p1＋cos θ.所以1|FP |＋1|FQ |＝1－cos θp ＋1＋cos θp ＝2p(常数)．原命题得证．1．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为 C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2，得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．2．已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1， 从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)． θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)由(1)得点M 的直角坐标为(2，0)，点N 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．4．在平面直角坐标系中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，且曲线C 1上的点M (2，3)对应的参数φ＝π3.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π4与曲线C 2交于点D (2，π4)．(1)求曲线C 1的普通方程，C 2的极坐标方程；(2)若A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)是曲线C 1上的两点，求1ρ21＋1ρ22的值．解：(1)将M (2，3)及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，得⎩⎨⎧2＝a cosπ33＝b sinπ3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝2， ∴曲线C 1的普通方程为x 216＋y 24＝1，设圆C 2的半径为R ，则圆C 2的方程为ρ＝2R cos θ，将点D (2，π4)代入得2＝2R ·22，解得R ＝1，∴圆C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ16＋ρ2sin 2θ4＝1，将A (ρ1，θ)，B (ρ2，θ＋π2)代入得ρ21cos 2 θ16＋ρ21sin 2 θ4＝1，ρ22sin 2 θ16＋ρ22cos 2θ4＝1，∴1ρ21＋1ρ22＝⎝⎛⎭⎫cos 2θ16＋sin 2θ4＋⎝⎛⎭⎫sin 2θ16＋cos 2θ4＝516.。
高考数学一轮复习 第1节 坐标系教学案 理(含解析)北师大版选修4-4-北师大版高三选修4-4数学教
第一节 坐标系[考纲传真] 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，叫作极点，从O 点引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值． 3．极坐标与直角坐标的互化 点M直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θρ2＝x 2＋y 2 ta n θ＝yx(x ≠0)4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos_θ⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2圆心为⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin_θ(0≤θ＜π)5.直线的极坐标方程(1)直线l 过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )． (2)直线l 过点M (a,0)且垂直于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2.(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴，则直线l 的极坐标方程为ρsin_θ＝b (0＜θ＜π)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．(教材改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，π2B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2C ．(1,0)D ．(1，π)B [法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2.法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2，故选B ．]3．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.]4．在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为________．(1,1) [由ρsin 2θ＝cos θ⇒ρ2sin 2θ＝ρcos θ⇒y 2＝x ，又由ρsin θ＝1⇒y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1,1)．]5．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是________．6 [圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16，直线θ＝π3，则ta n θ＝3，化为直角坐标方程为3x －y ＝0，圆心(0,4)到直线的距离为|－4|4＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.]平面直角坐标系中的伸缩变换(题组呈现)1．求椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′. ①将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1. 2．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1的一个伸缩变换公式为φ：⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax a ＞0，Y ＝by b ＞0，求a ，b 的值．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax ，Y ＝by得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1a X ，y ＝1b Y ，代入x 2＋y 2＝1中得X 2a 2＋Y 2b2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4，即a ＝3，b ＝2. [规律方法] 平面上的曲线y ＝fx 在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ＞0，y ′＝μy μ＞0的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f x ，得y ′μ＝，整理之后得到y ′＝h x ′，即为所求变换之后的方程.,易错警示：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标x ，y 与变换后的点的坐标x ′，y ′.极坐标系与直角坐标系的互化(例题对讲)【例1】 (2019·某某质检)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． [解] (1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫233，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．[规律方法] 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法1直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可.2极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以或同除以ρ及方程两边平方是常用的变形技巧.已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． [解] (1)由ρ＝2知ρ2＝4， 所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，即ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＝2.所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.极坐标方程的应用(例题对讲)【例2】 在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[解] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.[规律方法] 在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于增加对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用.(2019·某某调研)在极坐标系中，求直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长．[解] 由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2，可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16， 圆心(0,0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|－22|2＝2，由圆中的弦长公式，得弦长l ＝2r 2－d 2＝242－22＝4 3. 故所求弦长为4 3.1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．[解] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.3．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足ta n α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .[解] (1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知ta n θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.。
2021年高考数学一轮总复习 第一节 坐标系练习 新人教A版选修4-4
一、填空题(本大题共9小题，每小题5分，共45分)1．在极坐标系中，则ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________． 解析 方法1：由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，3π2. 方法2：由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3π2. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，3π2 2．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是________． 解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，其极坐标方程为ρcos θ＝1.答案 ρcos θ＝13．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是__________．解析 圆ρ＝4sin θ，即ρ2＝4ρsin θ化为直角坐标为x 2＋(y －2)2＝4，直线θ＝π6也就是过原点且斜率为tan θ＝tan π6＝33的直线，方程为y ＝33x ，圆心到直线的距离为d ＝|2|1＋13＝ 3.答案 34．(xx·武汉市调研)在极坐标系中，与极轴垂直且相交的直线l 与圆ρ＝4相交于A 、B 两点，若|AB |＝4，则直线l 的极坐标方程为__________．解析 圆方程为x 2＋y 2＝16，圆心到直线l 的距离为d ＝16－4＝2 3.又直线l 与极轴垂直相交，故直线l 的普通方程为x ＝23，极坐标方程为ρcos θ＝2 3.答案 ρcos θ＝235．(xx·安徽联考)极坐标系下，直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2与圆ρ＝2的公共点个数是__________．解析 直线方程为x ＋y ＝2，圆的方程为x 2＋y 2＝2，圆心到直线的距离d ＝22＝2＝r ，故直线与圆相切，只有一个公共点． 答案 16．(xx·广东卷)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，C在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．解析 曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，圆的几何性质知切线l 与圆心(0,0)与(1,1)的连线垂直，故l 的斜率为－1，从而l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y ＝2化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，化简得ρsin(θ＋π4)＝ 2.答案 ρsin(θ＋π4)＝2 7．(xx·江西卷)设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析 曲线C 的普通方程为y ＝x 2，又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得ρ2cos 2θ－ρsin θ＝0，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案 ρcos 2θ－sin θ＝08．(xx·临川模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则曲线C 1与C 2的交点个数为________．解析 ∵曲线C 1参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，∴x 2＋(y －1)2＝1，是以(0,1)为圆心，1为半径的圆．∵曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，∴x －y ＋1＝0，在坐标系中画出圆与直线的图形，观察可知有2个交点． 答案 29．(xx·揭阳一模)已知曲线C 1：ρ＝22和曲线C 2：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，则C 1上到C 2的距离等于2的点的个数为________．解析 将方程ρ＝22与ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2化为直角坐标方程得x 2＋y 2＝(22)2与x －y －2＝0，知C 1为以原点为圆心，半径为22的圆，C 2为直线，因圆心到直线x －y －2＝0的距离为2，故满足条件的点的个数为3.答案 3二、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．(xx·厦门二模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(1)将C 1的方程化为普通方程；(2)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C 2的极坐标方程是θ＝π3，求曲线C 1与C 2交点的极坐标． 解 (1)C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)设C 1的圆心为A ，∵原点O 在圆上，设C 1与C 2相交于O ，B ，取线段OB 的中点C ， ∵直线OB 倾斜角为π3，OA ＝2，∴OC ＝1，从而OB ＝2.∴交点O ，B 的极坐标分别为O (0,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.11．(xx·唐山市期末)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则 由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρρ1＝ρ22. 又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．12．(xx·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos(θ－π4)＝2 2.(Ⅰ)求C 1与C 2交点的极坐标；(Ⅱ)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解 (Ⅰ)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎨⎧x 2＋y －22＝4，x ＋y －4＝0得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为(4，π2)，(22，π4)． 注：极坐标系下点的表示不唯一．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab 2＋1＝2.解得a ＝－1，b ＝2.q25973 6575 敵G<32840 8048 聈 "G•X39284 9974 饴32755 7FF3 翳28206 6E2E 渮 =。
2021年高考数学一轮总复习 1坐标系练习(选修4-4)
2021年高考数学一轮总复习 1坐标系练习（选修4-4）一、填空题1．在极坐标系中，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，且过极点的圆的方程是________．解析 在圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2中，ρ＝1，θ＝π2，∴圆心的坐标为⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝0，y ＝ρsin θ＝1，即圆心坐标为(0,1)，圆心到极点的距离为1，即圆的半径为1.∴圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－2y ＝0，即ρ2－2ρsin θ＝0，解得ρ＝2sin θ.答案 ρ＝2sin θ2．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4到直线l 的距离为________．解析 A 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 34π，2sin 34π，即(－2，2)，l 的方程为x ＋y ＝1，由点到线的距离公式d ＝|－2＋2－1|12＋12＝22. 答案223．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋5cos α，y ＝2＋5sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是________．解析 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋5cos α，y ＝2＋5sin α(α为参数)，它表示以点(1,2)为圆心，以5为半径的圆，则曲线C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，化为一般方程，即x2＋y 2－2x －4y ＝0，化为极坐标方程，得ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＝0，即ρ2＝2ρcos θ＋4ρsin θ，两边约去ρ，得ρ＝2cos θ＋4sin θ.答案 ρ＝2cos θ＋4sin θ4．在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线ρ＝2cos θ－4sin θ相交于A ，B 两点，若|AB|＝23，则实数a 的值为________．解析 将直线ρ(sin θ－cos θ)＝a 化为普通方程，得y －x ＝a ，即x －y ＋a ＝0，将曲线ρ＝2cos θ－4sin θ的方程化为普通方程，得x 2＋y 2＝2x －4y ，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝5，圆心坐标为(1，－2)，半径r ＝ 5.设圆心到直线AB 的距离为d ，由勾股定理可得d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝2，而d ＝|1－－2＋a|12＋－12＝|a ＋3|2＝2，∴|a＋3|＝2，解得a ＝－5或－1.答案 －5或－15．在极坐标系中，曲线ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3与直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1的两个交点之间的距离为________．解析 把曲线方程ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3化为直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，把直线方程ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为x ＋3y －2＝0，圆心到直线的距离d ＝|1＋3×3－2|2＝1，所以弦长为2r 2－d 2＝23，即两个交点之间的距离为2 3.答案 2 36．(xx·重庆卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋ty ＝3＋t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.解析 直线的方程为x －y ＋1＝0，极坐标方程化为普通方程为y 2＝4x ，它们的交点坐标是(1,2)，所以极径是 5.答案57．(xx·安徽卷)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为________．解析 由题意得直线l 的方程为x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心到直线的距离d ＝2，故弦长＝2r 2－d 2＝2 2.答案 2 28．极坐标系中，质点P 自极点出发作直线运动到达圆：ρ＋4cos θ＝0的圆心位置后，沿顺时针方向旋转60°后的直线方向到达圆周ρ＋4cos θ＝0上，此时P 点的极坐标为________．解析 如图，由已知得圆半径OC ＝2，且∠POC＝π6，故|OP|＝23，θ＝π－∠POC＝5π6，故点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，5π6.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫23，56π9．(xx·江西卷)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为________．解析 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，y ＝1－x 可得ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝1cos θ＋sin θ，再结合线段y ＝1－x(0≤x≤1)在极坐标系中的情形，可知θ∈[0，π2]．因此线段y ＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2.答案 ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2二、解答题10．在极坐标系中定点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0(0≤θ<2π)上运动，当线段AB 最短时，求点B 的极坐标．解 ∵ρcos θ＋ρsin θ＝0， ∴cos θ＝－sin θ，tan θ＝－1.∴直线的极坐标方程化为θ＝3π4(直线如图)．过A 作直线垂直于l ，垂足为B ，此时AB 最短． 易得|OB|＝22.∴B 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4. 11．平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρsin θ－3＝0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|. 解 (1)消去参数，得直线l 的直角坐标方程为y ＝3x.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得ρsin θ＝3ρcos θ，故直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )．(也可以是θ＝π3或θ＝4π3(ρ≥0))(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2ρsin θ－3＝0，θ＝π3得ρ2－3ρ－3＝0. 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π3，则ρ1＋ρ2＝3，ρ1ρ2＝－3， ∴|AB |＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝15.12．(xx·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C 1上的点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32对应的参数φ＝π3，曲线C 2过点D ⎝⎛⎭⎪⎫1，π3.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；(2)若点A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． 解 (1)将M ⎝⎛⎭⎪⎫1，32及对应的参数φ＝π3代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a cos π3，32＝b sin π3即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1.设圆C 2的半径为R ，由题意得圆C 2的方程为ρ＝2R cos θ(或(x －R )2＋y 2＝R 2)． 将D ⎝⎛⎭⎪⎫1，π3代入ρ＝2R cos θ，得1＝2R cos π3，即R ＝1. (或由D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，代入(x －R )2＋y 2＝R 2，得R ＝1)∴曲线C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)∵点A (ρ1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2在曲线C 1上，∴ρ21cos 2θ4＋ρ21sin 2θ＝1，ρ22sin 2θ4＋ρ22cos 2θ＝1，∴1ρ21＋1ρ22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ4＋sin 2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2θ4＋cos 2θ＝54.l {31565 7B4D 筍 31203 79E3 秣4&21465 53D9 叙z,P33967 84AF 蒯ML。
2021年高考数学大一轮总复习 坐标系高效作业 理 新人教A版选修4-4
一、填空题1．在极坐标系中，直线ρsin(θ－π4)＝22与圆ρ＝2cosθ的位置关系是________．解析：直线的直角坐标方程为x－y＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，其圆心C(1,0)，半径r＝1.因为圆心到直线的距离d＝22＝2＞1，故直线与圆相离．答案：相离2．(xx·汕头第一次学业水平测试)在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，过极点的一条直线l与圆相交于O，A两点，且∠AOx＝45°，则|OA|＝________.解析：圆C的直角坐标系方程为：x2＋(y－1)2＝1，圆心(0,1)到直线OA：y＝x的距离为22，则弦长|OA|＝ 2.答案：23．在极坐标系中，ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1(0≤θ＜2π)的交点的极坐标为________．解析：∵ρ＝2sinθ，∴ρ2＝2ρsin θ. ∴x 2＋y 2－2y ＝0.又ρcos θ＝－1，∴x ＝－1，将x ＝－1代入x 2＋y 2－2y ＝0得y ＝1. ∴两曲线的交点为(－1,1)． 又∵0≤θ＜2π.∴所求交点的极坐标为(2，3π4)．答案：(2，3π4)4．(xx·西安八校联考)在极坐标系中，点A 的坐标为(22，π4)，曲线C 的方程为ρ＝4sin θ，则OA (O 为极点)所在直线被曲线C 所截弦的长度为________．解析：将直线OA 的极坐标方程θ＝π4代入ρ＝4sin θ，得交点坐标A (22，π4)，又O 显然为直线OA 与曲线C 的一个交点，∴弦长为|OA |＝2 2. 答案：225．(xx·广东惠州第一次调研)设点A 的极坐标为(22，π4)，直线l 过点A且与极轴垂直，则直线l 的极坐标方程为________．解析：点A 的直角坐标为(2,2)，故直线l 在直角坐标系下的方程为x ＝2，故其极坐标方程为ρcos θ＝2.答案：ρcos θ＝26．若点P (2，－1)为曲线(极坐标系下的方程)ρ2－2ρcos θ－24＝0(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线的直角坐标方程为________．解析：ρ2－2ρcos θ－24＝0化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －24＝0，即(x －1)2＋y 2＝25，圆心坐标为(1,0)，故弦的垂直平分线斜率为k ＝－12－1＝－1，故弦所在直线的斜率为1，因此弦所在直线的方程为x －2＝y ＋1，即x －y －3＝0.答案：x －y －3＝07．在极坐标系中，O 为极点，设点A (4，π3)，B (5，－5π6)，则△OAB 的面积为________．解析：点B (5，－5π6)即B (5，7π6)，且点A (4，π3)， ∴∠AOB ＝7π6－π3＝5π6，所以△OAB 的面积为S ＝12·|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12×4×5×sin5π6＝12×4×5×12＝5. 答案：58．在极坐标系中，点(1,0)到直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2的距离为________．解析：直线ρ(cosθ＋sinθ)＝2的直角坐标方程为x＋y－2＝0，极坐标(1,0)的直角坐标为(1,0)，点(1,0)到该直线的距离为d＝|1＋0－2|2＝22.答案：2 29．(xx·陕西西安调研)直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．解析：直线2ρcosθ＝1即为2x＝1，圆ρ＝2cosθ，即为(x－1)2＋y2＝1，由此可求得弦长为 3.答案：310．(xx·湖南长沙模拟)在极坐标系中，曲线C1：ρ(2cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a＞0)的一个交点在极轴上，则a＝________.解析：把曲线C1：ρ(2cosθ＋sinθ)＝1化成直角坐标方程，得2x＋y ＝1；把曲线C2：ρ＝a(a＞0)化成直角坐标方程，得x2＋y2＝a2.∵C1与C2的一个交点在极轴上，∴2x＋y＝1与x轴交点(22，0)在C2上，答案：22二、解答题11．(xx·江苏模拟)[选修4－4：坐标系与参数方程]已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(Ⅱ)将曲线C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 距离的最小值．解：(Ⅰ)对于曲线C ：ρ＝4cos θ，左右两边同乘ρ，得ρ2＝4ρcos θ， 又∵x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝4x ，∴曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.对于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋22t ， ①y ＝5＋22t ， ②①－②得x －y ＝－25，∴直线l 的普通方程是x －y ＋25＝0.(Ⅱ)将曲线C 横坐标缩短为原来的12，再向左平移1个单位，得到曲线C 1的方程为4x 2＋y 2＝4，设曲线C 1上的任意点(cos θ，2sin θ)到直线l 的距离d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin θ－φ|2⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，又sin(θ－φ)∈[－1,1]，∴曲线C 1上的点到直线l 距离的最小值为10212．(xx·东北四校一模)在极坐标系中，曲线L ：ρsin 2θ＝2cos θ，过点A (5，α)(α为锐角且tan α＝34)作平行于θ＝π4(ρ∈R )的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点．(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同的单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(2)求|BC |的长．解：(1)由题意得，点A 的直角坐标为(4,3)， 曲线L 的普通方程为y 2＝2x ，直线l 的普通方程为y ＝x －1. (2)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 联立⎩⎨⎧y 2＝2x ， ①y ＝x －1. ②把②式代入①式并整理得x 2－4x ＋1＝0. 由韦达定理得x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝1. 由弦长公式得|BC |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2 6.13．(xx·南京二模)在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，ρcos(θ＋π3)＝1. (1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝32＞1，所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点． (2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎨⎧ρρ0＝2，θ＝θ0，即⎩⎨⎧ρ0＝2ρ，θ0＝θ.①因为点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上， 所以ρ0cos(θ0＋π3)＝1，②将①代入②，得2ρcos(θ＋π3)＝1， 即ρ＝2cos(θ＋π3)为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为(x －12)2＋(y ＋32)2＝1，因此点P 的轨迹是以(12，－32)为圆心，1为半径的圆．39454 9A1E 騞J38730 974A 靊32926 809E 肞D24888 6138 愸s23464 5BA8 宨h23102 5A3E 娾29354 72AA 犪u。
2021届高考数学一轮复习人教B版坐标系课时作业Word版含答案
2021届高考数学一轮复习人教B版坐标系课时作业Word版含答案【课时训练】坐标系解答题1.(10分)(2021・南京模拟)在极坐标系中，已知圆C经过点P圆心C为直线ρsin 程.【解析】方法一：在直线ρsin=-中，=-，与极轴的交点，求圆C的极坐标方令θ=0得ρ=2.所以圆C的圆心坐标为C(2，0). 因为圆C经过点P所以圆C的半径|PC|==2，，所以圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.方法二：以极点为坐标原点，极轴为x轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y=x-2，P的直角坐标为(1，)，令y=0得x=2，所=2，以C(2，0)，所以圆C的半径|PC|=所以圆C的方程为(x-2)2+(y-0)2=4，即x2+y2-4x=0，所以圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ.2.(2021・扬州模拟)在极坐标系中，直线ρcos=与极轴交于点C，求以点C为圆心且半径为1的圆的极坐标方程. 【解析】因为ρ所以ρcos θ-ρsin θ==，得x-y=2.，令y=0，则x=2，可得C(2，0)，所以以点C为圆心且半径为1的圆的方程为 (x-2)2+y2=1，即x2+y2-4x+3=0，所以所求圆的极坐标方程为ρ2-4ρcos θ+3=0. 3.(10分)(2021・遂宁模拟)点P是曲线ρ=20)，AP的中点为Q.(1)求点Q的轨迹C的直角坐标方程. (2)若C上点M处的切线斜率的取值范围是标的取值范围.【解析】(1)因为曲线ρ=2所以x2+y2=4(y≥0)，设P(x1，y1)，Q(x，y)，则x=即x1=2x-2，y1=2y，代入+=4(y≥0)，，y=，，，求点M的横坐上的动点，A(2，得(2x-2)2+(2y)2=4，所以点Q的轨迹C的直角坐标方程为 (x-1)2+y2=1(y≥0).(2)轨迹C是一个以(1，0)为圆心，1为半径的半圆，如图，设M(1+cos γ，sin γ)，设点M处切线l的倾斜角为α，因为l的斜率范围为所以≤α≤，而γ=α-，所以≤γ≤，所以≤1+cos γ≤M的横坐标的取值范围是.，，所以点4．(2021安徽芜湖质检)在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．【解】ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x－y＝2，即y＝3x－2.ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y，把y＝3x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－83x＋12＝0，即x2－23x＋3＝0，所以x＝3，y＝1.π???所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为2，6?. ??5．(2021山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝?32，点R?2 ?1＋2sin θπ?2，4?.?(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，点R的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．222【解】(1)曲线C：ρ＝，即ρ＋2ρsin θ＝3， 21＋2sin θ23ρ2cos2 θ22从而 3＋ρsin θ＝1. ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x22∴曲线C的直角坐标方程为3＋y＝1，点R的直角坐标为R(2,2)． (2)设P(3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ|＝2－3cos θ，|QR|＝2－sin θ，π??∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin ?θ＋3?，??π当θ＝6时，|PQ|＋|QR|取最小值2，∴矩形PQRS周长的最小值为4，?31?此时点P的直角坐标为?2，2?.??π????θ－6．(2021南京模拟)已知直线l：ρsin 4?＝4和圆C：ρ＝2kcos ?π???θ＋?(k≠0)．若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实4??数k的值并求圆心C的直角坐标．【解】圆C的极坐标方程可化为ρ＝2kcos θ－2ksin θ，即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2kx＋2ky＝0，?2?2?2?22即?x－k?＋?y＋k?＝k，2??2???22?所以圆心C的直角坐标为?k，－k?.2??222直线l的极坐标方程可化为ρsin θ・2－ρcos θ・2＝4，所以直线l的直角坐标方程为x－y＋42＝0，?2?2?k＋k＋42?2?2?所以2－|k|＝2.即|k＋4|＝2＋|k|，两边平方，得|k|＝2k＋3，?k>0，所以??k＝2k＋3?k<0，或??－k＝2k＋3，?22??解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为－，?.22??7．(2021河南开封模拟)已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ|・|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．【解】(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|・|OP|2＝|OR|2，得ρρ1＝ρ2.又ρ2＝2，ρ1＝，所以＝4，cos θ＋sin θcos θ＋sin θ故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．22ρ感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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2021年高考数学一轮复习第12章选4系列12.1坐标系课后作业理
1．(xx·延庆县期末)在极坐标方程中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程是( )
A ．ρsin θ＝2
B ．ρcos θ＝2
C ．ρcos θ＝4
D ．ρcos θ＝－4
答案 B
解析 ρ＝4sin θ的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4， 选项B ：ρcos θ＝2的普通方程为x ＝2.
圆x 2＋(y －2)2＝4与直线x ＝2显然相切．故选B.
2．(xx·渭滨区月考)在极坐标系中，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π2，B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫－8，11π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6，则△ABC 的形状为( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．钝角三角形 答案 C
解析 B ⎝
⎛⎭⎪⎫8，5π6，
∴OA ＝5，OB ＝8，
OC ＝3，
∴∠AOB ＝5π6－π2＝π3，∠BOC ＝7π6－5π6＝π3，∠AOC ＝7π6－π2＝2π
3，
在△AOB 中，由余弦定理可得
AB ＝
25＋64－2×5×8×1
2
＝7，
同理可得，BC ＝
64＋9－2×8×3×1
2
＝7，
AC ＝
25＋9－2×5×3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝7，
∴AB ＝BC ＝AC ，
∴△ABC 是等边三角形．故选C.
3．牛顿在1736年出版的《流数术和无穷级数》中，第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点，牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝
⎛
⎭⎪⎫θ－π4＝22.
(1)求O 和直线l 的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解 (1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0，
直线l ：ρsin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，
则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.
(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，
将两方程联立得⎩⎨
⎧
x 2＋y 2
－x －y ＝0，
x －y ＋1＝0，
解得⎩⎨
⎧
x ＝0，y ＝1，
即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，
将(0,1)转化为极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫
1，π2.
4．(xx·郑州模拟)在极坐标系中，曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝－2cos θ，
ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫
θ＋π3＝1.
(1)求曲线C 1和C 2的公共点的个数；
(2)过极点作动直线与曲线C 2相交于点Q ，在OQ 上取一点P ，使|OP |·|OQ |＝2，求点P 的轨迹，并指出轨迹是什么图形．
解 (1)C 1的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，
C 2的直角坐标方程为x －3y －2＝0，所以曲线C 2为直线，由于圆心到直线的距离为d ＝
3
2
>1，所以直线与圆相离，即曲线C 1和C 2没有公共点． (2)设Q (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则⎩⎨
⎧
ρρ0＝2，
θ＝θ0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
ρ0＝2ρ，θ0＝θ.
①
因为点Q (ρ0，θ0)在曲线C 2上，
所以ρ0cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
θ0＋π3＝1，②
将①代入②，得2ρcos ⎝
⎛
⎭⎪⎫θ＋π3＝1，
即ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3为点P 的轨迹方程，化为直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝
⎛
⎭⎪⎫y ＋322＝1，
因此点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫
12
，－32为圆心，1为半径的圆．
5．(xx·湖北模拟)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，l ：ρcos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ－π3＝
3
2
，C 与l 有且仅有一个公共点． (1)求a ；
(2)O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝
π
3
，求|OA |＋|OB |的最大值． 解 (1)曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，变形ρ2
＝2aρcos θ， 化为x 2＋y 2＝2ax ，即(x －a )2＋y 2＝a 2. ∴曲线C 是以(a,0)为圆心，a 为半径的圆．
由l ：ρcos ⎝
⎛
⎭⎪⎫θ－π3＝32，展开为12ρcos θ＋32ρsin θ＝32，∴l 的直角坐标方程为
x ＋3y －3＝0.
由题可知直线l 与圆C 相切，即|a －3|
2＝a ，解得a ＝1.
(2)不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π
3
，
则|OA |＋|OB |＝2cos θ＋2cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫θ＋π3＝3cos θ－3sin θ
＝23cos ⎝
⎛⎭⎪⎫
θ＋π6，
当θ＝－π
6
时，|OA |＋|OB |取得最大值2 3.
6．(xx·沈阳模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C 的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝
⎛
⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在圆C 上，求x ＋y 的最大值和最小值． 解 (1)由ρ2－42ρcos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0，得
ρ2－42ρ⎝
⎛
⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＋6＝0，
即ρ2
－42ρ⎝
⎛⎭
⎪⎫22cos θ＋2
2sin θ＋6＝0，
ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求圆的普通方程， 整理为圆的标准方程(x －2)2＋(y －2)2＝2， 令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α.
得圆的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝2＋2cos α，y ＝2＋2sin α
(α为参数)．
(2)由(1)得，
x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α)＝4＋2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
α＋π4，
∴当sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝1时，x ＋y 的最大值为6，
当sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π4＝－1时，x ＋y 的最小值为2.
故x ＋y 的最大值和最小值分别是6和2.。