任意角的概念
角的概念与弧度制
1、任意角的概念：设角的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半 轴重合，终边在坐标平面内， (1)从运动的角度看，可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． 象限角：若角 的终边落在第 k 象限，则称 为第 k 象限角； 注：若角 的终边在坐标轴上，则角 不属于任何象限角； (3)若 α 与 β 角的终边相同， 则 β 用 α 表示为 β＝α＋2kπ(k ∈Z)．
)
练习 1： （1）给出下列四个命题： ①－
5 12
是第四象限角；
② 5 是第三象限角；
4
③475°是第二象限角； 其中正确的命题有
④－ 7 是第一象限角；
4
9π (2)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是( 4 A．2kπ＋45° (k∈Z) C．k· 360° －315° (k∈Z) 9π B．k· 360° ＋ (k∈Z) 4 9π D．kπ＋ (k∈Z) 4
)
例 2、分别写出终边在四个象限的角的集合
练习 2、已知角 是第二象限角，求： （1）角 是第几象限的角；
2
（2）角 2 终边的位置。
例 3、已知扇形的圆心角是 α，半径为 R，弧长为 l. (1)若 α＝60° ，R＝10 cm，求扇形的弧长 l 及该弧所在弓形的 面积； ； (2)若扇形的周长为 20 cm， 当扇形的圆心角 α 为多少弧度时， 这个扇形的面积最大；
弧长 l＝|α|r 1 1 S＝ lr＝ |α|r21)锐角是第一象限角，反之亦然．( (2)终边在 x )
.(
π 轴上的角的集合是 αα＝kπ＋2，k∈Z
)
π (3)将分针拨快 10 分钟，则分针转过的角度是 .( 3 (4)第一象限的角一定不是负角．( )
任意角完整公开课PPT课件
任意角的度量
度量单位
角度的度量单位是度（°），弧度（rad）和密位（mil）。
度量工具
量角器、圆规、直尺等。
度量方法
通过量角器或使用三角函数值进行计算。
象限角与轴线角
象限角
在平面直角坐标系中，按逆时针方向，第一象限角为0°~90° ，第二象限角为90°~180°，第三象限角为180°~270°，第四 象限角为270°~360°。
、航向和航速。
04
THANKS
感谢观看
和差公式的应用
在解决涉及两角和与差的三角函数问题时，和差公式是必不可少的工 具。
04
三角函数的图像与性质
正弦函数的图像与性质
其图像是周期函数，呈现波浪
形。
正弦函数的性质包括：在每个 周期内，函数值从0增加到最 大值，然后又减小到0，如此
往复。
正弦函数的图像在y轴两侧对 称，其周期为360度。
01 02
任意角三角函数的定义
三角函数是描述三角形边与角之间关系的数学工具。对于任意角α，其 正弦函数sinα定义为“对边长度除以斜边长度”，余弦函数cosα定义 为“邻边长度除以斜边长度”，正切函数tanα定义为“对边长度除以 邻边长度”。
单位圆定义法
通过单位圆上点的坐标来表示三角函数值，其中正弦值等于y坐标，余 弦值等于x坐标，正切值等于y坐标除以x坐标。
正弦函数在每个周期内的变化 率是不同的，变化率最大的点
是函数的极值点。
余弦函数的图像与性质
余弦函数是三角函数的另一种形式， 其图像也是周期函数，呈现波浪形。
余弦函数的图像在y轴两侧对称，其 周期也为360度。
余弦函数的性质包括：在每个周期内 ，函数值从最大值减小到0，然后再 增加到最小值，如此往复。
知识讲解_任意角和弧度制_基础
任意角和弧度制【学习目标】1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。
2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算.3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。
【要点梳理】 要点一：任意角的概念1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为{}|360k k Z βββα∈=+∈，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍. 3．常用的象限角α是第一象限角，所以(){}|36036090,k k k Z αα<<+∈ α是第二象限角，所以(){}|36090360180,k k k Z αα+<<+∈ α是第三象限角，所以(){}|360180360270,k k k Z αα+<<+∈ α是第四象限角，所以(){}|360270360360,k k k Z αα+<<+∈要点二：弧度制 1．弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算弧度与角度互换公式： 180rad π︒=1rad=0180π⎛⎫ ⎪⎝⎭≈57.30°=57°18′，1°=180π≈0.01745(rad) 3．弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：2||2121r r l S α==. 要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【典型例题】类型一：角的概念的理解例1．下列结论：①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角。
高考数学复习：任意角和弧度制及任意角的三角函数
当m=- 5 时,r=2 2,点P的坐标为 （ 3, 5）,
所以cos x 3 6 ，tan y 5 15 ,
r 22 4
x 3 3
综上可知,cos θ=- ,t6an θ=- 或c1o5 s θ=- , 6
2
2.若圆弧长度等于圆内接正方形的边长,则该圆弧所对
圆心角的弧度数为 ( )
A.
B.
C. 2
D. 2
4
2
2
【解析】选D.设圆的直径为2r,则圆内接正方形的边长 为 2r, 因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长, 所以圆弧的长度为 2r, 所以圆心角弧度为 2r 2.
r
考点三 任意角三角函数的定义及应用 【明考点·知考法】
【典例】函数y= sin x 3 的定义域为________.
2
世纪金榜导学号
【解析】由题意可得sin x- ≥30,即sin x≥ .作 3
2
2
直线y= 3交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围
2
成的区域(图中阴影部分含边界)即为角x的终边的范围,
故满足条件的角x的集合为
{x|2k x 2k 2 , k Z}.
2
答案:6π
题组二:走进教材
1.(必修4P5T4改编)下列与 9 的终边相同的角的表达
4
式中正确的是 ( )
A.2kπ+45°(k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z)
B.k·360°+ 9 π(k∈Z)
4
D.kπ+ 5 (k∈Z)
4
【解析】选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能
同时出现角度和弧度,应为 +2kπ或k·360°+45°
047-任意角
7.1.1任意角学习目标1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.了解象限角的概念．知识点一任意角1．角的概念：角可以看成平面内一条绕着它的端点所成的．2．角的表示：如图，OA是角α的，OB是角α的，O是角α的．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．思考角的概念中主要包含哪些要素？3．角的分类：知识点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β. (2)α－β：α－β＝α＋(－β)．知识点三象限角和轴线角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在，就认为这个角不属于任何一个象限．如果角的终边在，就叫轴线角．思考“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？知识点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．思考终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？1．判断正误.（1）第二象限角是钝角．( )（2）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．( )（3）终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．()2.下列说法正确的是()A．终边相同的角相等B．相等的角终边相同C．小于90°的角是锐角D．第一象限的角是正角一、任意角的概念例1下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角为锐角；④钝角比第三象限角小；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．跟踪训练1若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A．120° B．－120° C．－60° D．60°二、终边相同的角及象限角例2将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.跟踪训练2(1)在四个角20°，－30°，100°，220°中，第二象限角的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3(2)与－460°角终边相同的角可以表示成()A．460°＋k·360°，k∈Z B．100°＋k·360°，k∈ZC．260°＋k·360°，k∈Z D．－260°＋k·360°，k∈Z三、区域角的表示例3已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围．跟踪训练3如图所示，写出顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．1．与－30°终边相同的角是()A．－330° B．150° C．30° D．330°2．－240°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．下列说法正确的是()A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角4．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}5.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α的取值范围是．1．知识清单：(1)任意角的概念．(2)终边相同的角与象限角．(3)区域角的表示．2．方法归纳：数形结合，分类讨论．3．常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.1．－870°角的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．与－457°角的终边相同的角的集合是()A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}3．下面各组角中，终边相同的是()A．390°，690° B．－330°，750°C．480°，－420° D．3 000°，－840°4．下面说法正确的个数为()①第二象限角大于第一象限角；②终边在x轴非负半轴上的角是零角；③钝角是第二象限角．5．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是．7．与－2 019°角终边相同的最小正角是_______．8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________ ．9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)250° ；(3)－50°；(4)650°.10．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．11．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限12．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )A ．90°－αB ．90°＋αC ．360°－αD ．180°＋α13．若角α与240°相同的始边与终边，则2是第几象限的角？。
高中数学 1.1.1任意角 新人教A版必修4(2)
【解】 终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为 S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角 的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k ∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为 {α|α＝30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一 个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边 相同的角，都可以表示成角α与 整数个周角 的和．
5．终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ 答：终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数 倍；相等的角，终边相同．
1．解读任意角的概念 (1)用运动的观点来定义角，就可以把角的概念推广到 任意角，包括任意大小的正角、负角和零角． (2)对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字． ①要明确旋转的方向； ②要明确旋转的大小； ③要明确射线未作任何旋转时的位置．
2．终边相同的角的关注点 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子 k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点： (1)k是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角． (3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成 k·360°＋(－30°)，k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数 个，它们相差周角的整数倍．相等的角终边一定相同．
课堂篇02
合作探究
终边相同的角及象限角
【例1】 将下列各角表示为k·360°＋α(k∈ Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.
【解】 (1)420°＝360°＋60°， 而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角． (2)－510°＝－2×360°＋210°， 而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角． (3)用1 020°除以360°的商为2，余数为300°， 即1 020°＝2×360°＋300°， 而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角．
高中数学1.1.1任意角讲义苏教版必修4
1.1.1 任意角一、任意角的概念1．角的概念：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：[提示]不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．二、象限角与轴线角1．象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．2．轴线角：终边在坐标轴上的角．三、终边相同的角与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．思考2：终边相同的角一定相等吗？其表示法唯一吗？[提示]终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角的表示方法不唯一．1．思考辨析(1)180°是第二象限角．( )(2)－30°是第四象限角．( )(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角．( )[解析](1)×.180°是轴线角．(2)√.(3)×.如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角．[答案](1)×(2)√(3)×2．如图，则α＝________，β＝________.240°－120°[α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°.]3．与－215°角终边相同的角的集合可表示为________．{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}[由终边相同角的表示可知与－215°角终边相同的角的集合是{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}．]4．将－885°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．(－3)×360°＋195°[设－885°＝k·360°＋α，易得－885°＝(－3)×360°＋195°.]角的概念辨析【例1】(1)下列结论：①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③始边和终边重合的角是零角；④钝角是第二象限角；⑤小于90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不是负角．其中正确的结论是________(填序号)．(2)将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．思路点拨：(1)根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角．(2)由正负角的概念可得角的大小．(1)②④(2)－25°395°[(1)①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③不正确，因为360°角的始边和终边也重合；④钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于90°的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角是负角，故⑥不正确．(2)由角的定义可知，将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为35°－60°＝－25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为35°＋360°＝395°.]1．解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．2．判断结论正确与否时，若结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可．1．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________．－100° －1 200° [时针每小时转30°，分针每小时转360°，由于旋转方向均为顺时针方向，故转过的角度均为负值，又3小时20分等于313小时，故时针转过的角度为－313×30°＝－100°；分针转过的角度为－313×360°＝－1 200°.]终边相同的角与象限角【例2】 已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.思路点拨：(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式后，判断β所在的象限即可．(2)将θ写成θ＝β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，用观察法验证k 的不同取值即可．[解] (1)法一：∵－1 910°＝－6×360°＋250°，∴－1 910°角与250°角终边相同，∴α＝－6×360°＋250°，它是第三象限的角．法二：设α＝β＋k ·360°(k ∈Z )，则β＝－1 910°－k ·360°(k ∈Z )．令－1 910°－k ·360°≥0，解得k ≤－1 910360＝－51136. k 的最大整数解为k ＝－6，相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)由(1)知令θ＝250°＋k ·360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.1．把任意角化为k·360°＋α(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．3．终边相同的角常用的三个结论：(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．提醒：k∈Z，即k为整数这一条件不可少．2．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.[解](1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．区域角的表示[探究问题]1．第一象限内的角的集合能否用{α|0°＜α＜90°}表示？为什么？提示：不能，第一象限内的角未必是(0°，90°)的角，也可能是负角，也可能是大于360°的角，其表示为{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}．2．终边落在x轴上的角如何表示？提示：{α|α＝k·180°，k∈Z}．3．若角α，β满足β＝α＋k·180°，k∈Z，则角α，β的终边存在怎样的关系？提示：角α，β的终边落在同一条直线上．【例3】写出终边落在如图所示阴影部分的角的集合．思路点拨：法一：先写出与30°及105°终边相同角的集合，再写出其对称区域内角的集合，最后合并便可．法二：分别写出与30°及105°的终边在同一直线上的角的集合，合并求解便可．[解]法一：设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}，∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}．法二：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}．解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简形式.提醒：求解这类问题要注意实线边界与虚线边界的差异.教师独具1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是n α及αn所在象限的判定．2．本节课要重点掌握以下规律方法(1)求终边相同的角及区域角的表示．(2)象限角及n α、αn所在象限的判断． 3．本节课的易错点有以下几点(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角．(2)把任意角化为α＋k ·360°(k ∈Z ，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k ，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k ·360°，得到所求．1．－210°角的终边所在象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [－210°＝(－1)×360°＋150°，∵150°是第二象限角，∴－210°也是第二象限角．]2．已知－990°<α<－630°，且角α与120°角的终边相同，则α＝________. －960° [∵角α与120°角的终边相同，∴α＝k ·360°＋120°，k ∈Z .又∵－990°<α<－630°，∴－990°<k ·360°＋120°<－630°，k ∈Z ，即－1110°<k ·360°<－750°，k ∈Z ，∴k ＝－3.当k ＝－3时，α＝(－3)×360°＋120°＝－960°.]3．如图，射线OA 先绕端点O 逆时针方向旋转60°到OB 处，再按顺时针方向旋转820°至OC 处，则β＝________.－40° [∠AOC ＝60°＋(－820°)＝－760°，β＝－(760°－720°)＝－40°.]4．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上．(1)写出角β的集合S ；(2)写出S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素．[解] (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合为：S 1＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }，S 2＝{β|β＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝2k ·180°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝(2k ＋1)·180°＋60°，k ∈Z }＝{β|β＝n ·180°＋60°，n ∈Z }．(2)由于－360°≤β＜720°，即－360°≤60°＋n ·180°＜720°，n ∈Z ，解得－73≤n ＜113，n ∈Z ， 所以n ＝－2，－1,0,1,2,3.所以S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素为：－2×180°＋60°＝－300°；－1×180°＋60°＝－120°；0×180°＋60°＝60°；1×180°＋60°＝240°；2×180°＋60°＝420°；3×180°＋60°＝600°.。
1.1.2弧度制
弧度的概念
思考：在平面几何中，1°的角是怎样定义的？
将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心 角就是1°的角.
即：规定把周角的
1 360 作为1度的角，
用度做单位来度量角的制度叫做角度制．
弧度制定义：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做１弧度的角。 用弧度来度量角的单位制叫做弧度制． rad 符号： 读作：弧度。
π ∴ 1°= —— rad ≈ 0．01745 rad 180
周角的弧度数是2π 角度制下的度数是360° ∴ 360°= 2π rad； 180°= π rad.
180 1 rad =（——）°≈ 57．30°= 57°18′ π
常规写法 ① 用弧度数表示角时，常常把弧度数
写成多少的形式，不必写成小数．
练习：将弧度转化为角度，角度转化为弧度
7 （ 1） = 15 ° （2） =－157° 30 ′； 8 12
13 （ 3） = 390 ° （4）36°= 6 5
7π （6）37°30′= （5）－105°= 12
5π 24
练习：与角－1825º 的终边相同，且绝对值最
5 － 25º 小的角的度数是＿＿＿，即＿＿＿弧度。 36
随堂练习
1、 直径为20cm的圆中，求下列各圆
4π 心所对的弧长⑴ 3
⑵ 165o
解： r = 10cm
4π 40π （1）l = α ×r = ´ 10 = (cm) 3 3
π 11π （2） 165 = ´ 165(rad) = rad 180 12
o
11π 55π 所以l = ´ 10 = (cm) 12 6
② 弧度与角度不能混用．
特殊角的弧度数
任意角的的概念
任意角的的概念任意角是指不限于特定范围的角度，可以是任意大小的角。
在几何学中，角度是用来衡量物体之间的旋转程度，通常使用度数或弧度作为单位。
而任意角则没有特定的角度范围，可以是0度到360度之间的任何角度。
在直角坐标系中，任意角通常以顺时针方向为正，逆时针方向为负，角度范围为-180度到180度。
如果角度大于180度，可以通过减去或加上360度来得到对应的角度。
同样地，如果角度小于-180度，也可以通过减去或加上360度来得到对应的角度。
任意角可以通过向量来表示。
向量是有大小和方向的量，可以把他们看作是从原点指向另一个点的有向线段。
在直角坐标系中，可以用两个有序数对（x，y）表示一个向量，其中x表示水平方向上的位移，y表示垂直方向上的位移。
向量的方向可以通过终点相对于起点的位置来确定，可以是正的、负的或零。
为了计算任意角的三角函数，我们可以使用单位圆的概念。
单位圆是半径为1的圆，以原点为中心。
在单位圆上，角的弧度等于以单位圆的半径作为圆心所围成的弧长。
角的正弦、余弦和正切可以通过单位圆上的点来确定。
以角的顶点为原点，将角的边延长，与单位圆相交于一点。
这个点的坐标就是角的正弦和余弦。
而角的正切则是纵坐标与横坐标的比值。
对于任意角来说，其正弦、余弦和正切的值可能是正、负或零。
正弦的值等于纵坐标与单位圆半径的比值，余弦的值等于横坐标与单位圆半径的比值，而正切的值等于纵坐标与横坐标的比值。
这些值可以通过查表或使用计算器来得到。
除了三角函数，还有其他与任意角相关的概念。
例如，辅助角是与任意角互补或补角的角度。
互补角是两个角的度数之和等于90度（或π/2弧度），补角是两个角的度数之和等于180度（或π弧度）。
通过求补角或互补角，可以方便地计算任意角的三角函数的值。
此外，在几何学中，任意角还可以用于描述旋转、转角等概念。
例如，两条线之间的夹角可以是任意角，用来表示这两条线之间的旋转程度。
总之，任意角是指不限于特定范围的角度，可以是任何大小的角。
任意角的概念
α =45º α = -30º
B
O
α =0º
A
O
B
O 正角 2021/6/30
A
负角
B
零角
5
画出750°、210°、－150°、－660°角
2021/6/30
6
2021/6/30
7
二 象限角 终边
y
终边 x
Ⅰ Ⅱ
o 始边 Ⅲ Ⅳ
终边
终边
要点 1)置角的顶点于原点
2)始边重合于X轴的非负半轴 终边落在第几象限就是第几象限角
终边落在Y轴上的集合：S={β/ β =90º+K·180º,K∈Z};
终边落在坐标轴上的集合：S={β/ β =0º+K·90º,K∈Z};
2021/6/30
11
练习：
1、锐角是第几象限的角？
答：锐角是第一象限的角。
2、第一象限的角是否都是锐角？举例 说明 答：第一象限的角并不都是锐角。
3、小于90°的角都是锐角吗？
答：小于90°的角并不都是锐角，
它也有可能是零角或负角。
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12
练习
以下四个命题:
①第一象限的角一定不是负角
②小于90°的角是锐角
③锐角一定是第一象限的角
④第二象限的角是钝角
其中不正确的命题个数是（
）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2021/6/30
13
在直角坐标系中画出30°、390°、－330°角
2021/6/30
8
合作探究
第一象限角的集合：
S={β/ 0º+K·360º＜ β ＜ 90º+K·360º,K∈Z};
任意角的三角函数及诱导公式
——任意角的三角函数及诱导公式1．任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α。
旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点。
为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．终边相同的角、区间角与象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。
终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2k π(k ∈Z)，即β∈{β|β=2k π+α，k ∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|6π≤α≤65π}=[6π，65π]。
3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。
角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径。
角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π︒=。
弧度与角度互换公式：1rad ＝π180°≈57.30°=57°18ˊ、1°＝180π≈0.01745（rad ）。
弧长公式：r l ||α=（α是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：2||2121r r l S α==。
4．三角函数定义利用单位圆定义任意角的三角函数，设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=；（2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； （3）yx 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x xα=≠。
任意角概念及练习题
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2．－378°是第________象限角( )
A．一
B．二
C．三
D．四
解析 －378°＝－360°－18°，因为－18°是第四象限
角，所以－378°是第四象限角．
答案 D
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3．把－936°化为α＋k·360°(0°≤α<360°，k∈Z)的形式为 ________． 解析 －936°＝－3×360°＋144°，故－936°化为α＋ k·360°(0°≤α<360° ， k∈Z) 的 形 式 为 144° ＋ ( － 3)×360°． 答案 144°＋(－3)×360°
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1．下列说法正确的是( ) A．三角形的内角一定是第一、二象限角 B．钝角不一定是第二象限角 C．终边相同的角之间相差180°的整数倍 D．钟表的时针旋转而成的角是负角
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解析 A错，如90°既不是第一象限角，也不是第二象限 角； B错，钝角在90°到180°之间，是第二象限角； C错，终边相同的角之间相差360°的整数倍； D正确，钟表的时针是顺时针旋转，故是负角． 答案 D
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5．已知，如图所示，
(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
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解 (1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋ 210°，k∈Z}． 终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°， k∈Z}． (2) 终 边 落 在 阴 影 部 分 ( 含 边 界 ) 角 的 集 合 是 {α|k·360° ＋ 210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．
新人教A版必修四第一章1.1.1任意角知识梳理及重难点题型(含解析版)
.1.1.1 任意角重难点题型【举一反三系列】知识链接【知识点 1 任意角的概念】1.任意角定义构成要素表示2.角的分类分类正角负角零角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 始边、顶点、终边常用大写字母 A ，B ，C 等表示腊字母 α，β，γ 等表示；特别的，当角作为变量时，常用字母 x 表示.定义按逆时针方向旋转形成的角叫做正角按顺时针方向旋转形成的角叫做负角一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角【知识点 2 象限角与非象限角】1.象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，则角的终边（除端点外）在第几象限，就称这个角为第几象限角.2.象限角的集合表示象限角集合表示第一象限角{x | k ⋅ 360o < α < k ⋅ 360o + 90o , k ∈ Z }第二象限角{x | k ⋅ 360o + 90o < α < k ⋅ 360o + 180o , k ∈ Z }第三象限角{x | k ⋅ 360o + 180o < α < k ⋅ 360o + 270o , k ∈ Z }第四象限角{x | k ⋅ 360o + 270o < α < k ⋅ 360o + 360o , k ∈ Z }3.非象限角βββββ β{ }当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.4.非象限角的集合表示 角的终边位置x 轴的非负半轴集合表示{ | β = k ⨯ 360 , k ∈ Z }x 轴的非正半轴{ | β = k ⨯ 360+ 180, k ∈ Z }x 轴上{ | β = k ⨯180 , k ∈ Z }y 轴非负半轴y 轴非正半轴{ | β = k ⨯ 360{ | β = k ⨯ 360+ 90 , k ∈ Z }- 90 , k ∈ Z}y 轴上{ | β = k ⨯180+ 90, k ∈ Z }【知识点 3 终边相同的角】一般地，所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S = β | β = α + k ⋅ 360 , k ∈ Z ，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整个周角的和.举一反三【考点 1 象限角与集合间的基本关系】【例 1】（2019 春•杜集区校级月考）设 A ＝{小于 90°的角}，B ＝{第一象限角}，则 A ∩B 等于（）A ．{锐角}B ．{小于 90°的角}C ．{第一象限角}D ．{α|k •360°＜α＜k •360°+90°（k ∈Z ，k ≤0）}【考点 3 已知 α 终边所在象限求 2α， α， 】【变式 1-1】（2019 秋•钦南区校级月考）已知 A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于 90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（） A ．A ∩C ＝CB ．B ⊆CC ．B ∪A ＝CD ．A ＝B ＝C【变式 1-2】（2019 秋•黄陵县校级月考）设 A ＝{θ|θ 为锐角}，B ＝{θ|θ 为小于 90°的角}，C ＝{θ|θ 为第一象限的角}，D ＝{θ|θ 为小于 90°的正角}，则下列等式中成立的是（）A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D【变式 1-3】（2019 秋•宜昌月考）设 M ＝{α|α＝k •90°，k ∈Z }∪{α|α＝k •180°+45°，k ∈Z }，N ＝{α|α＝k•45°，k ∈Z }，则（） A ．M ⊆NB ．M ⊇NC ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅【考点 2 求终边相同的角】【例 2】（2019 春•娄底期末）下列各角中与 225°角终边相同的是（）A ．585°B ．315°C ．135°D ．45°【变式 2-1】（2018 春•武功县期中）下列各组角中，终边相同的角是（）A ．﹣398°，1042°C ．﹣398°，38° B ．﹣398°，142°D ．142°，1042°【变式 2-2】（2018 春•武邑县校级期末）与﹣457°角终边相同角的集合是（）A ．{α|α＝k •360°+457°，k ∈Z }C ．{α|α＝k •360°+263°，k ∈Z } B ．{α|α＝k •360°+97°，k ∈Z }D ．{α|α＝k •360°﹣263°，k ∈Z }【变式 2-3】（2018 春•林州市校级月考）在 0°～360°范围内，与﹣853°18'终边相同的角为（）A ．136°18'B ．136°42'C ．226°18'D ．226°42'α2 3【例 3】（2018 秋•宜昌期末）已知 α 为锐角，则 2α 为（）2是（A．第一象限角C．第一或第二象限角B．第二象限角D．小于180°的角【变式3-1】（2018•徐汇区校级模拟）若α是第二象限的角，则α的终边所在位置不可能是（）3A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．笫象限【变式3-2】（2019春•北碚区校级期中）已知α为第二象限角，则α所在的象限是（）2A．第一或第二象限C．第一或第三象限B．第二或第三象限D．第二或第四象限【变式3-3】（2019秋•宜城市校级月考）如果α是第三象限角，则-α）A．第一象限角C．第一或第三象限角B．第一或第二象限角D．第二或第四象限角【考点4终边对称的角的表示法】【例4】（2019春•南京期中）若角α＝m•360°+60°，β＝k•360°+120°，（m，k∈Z），则角α与β的终边的位置关系是（）A．重合C．关于x轴对称B．关于原点对称D．关于y轴对称【变式4-1】若角α的终边与45°角的终边关于原点对称，则α＝．【变式4-2】若角α和β的终边关于直线x+y＝0对称，且α＝﹣60°，则角β的集合是．【变式4-3】已知α＝﹣30°，若α与β的终边关于直线x﹣y＝0对称，则β＝；若α与β的终边关于y轴对称，则β＝；若α与β的终边关于x轴对称，则β＝．（2）集合 M = ⎨ x | x = ⨯180︒ + 45︒, k ∈ Z ⎬ ，N = ⎨ x | x = ⨯180︒ + 45︒, k ∈ Z ⎬ 那么两集合的关系是什么？k k 2 4【考点 5 已知终边求角】【例 5】（2019 春•凉州区校级月考）已知 α＝﹣1910°．（1）把角 α 写成 β+k •360°（k ∈Z ，0°≤β＜360°）的形式，指出它是第几象限的角；（2）求出 θ 的值，使 θ 与 α 的终边相同，且﹣720°≤θ＜0°．【变式 5-1】若角 α 的终边落在直线 x +y ＝0 上，求在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角 α．【变式 5-2】已知 α、β 都是锐角，且 α+β 的终边与﹣280°角的终边相同，α﹣β 的终边与 670°角的终边相同，求∠α、∠β 的大小．【变式 5-3】（2018 春•武功县期中）已知角 α＝45°；（1）在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角 α 有相同终边的角 β；⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭【考点 6 已知角终边的区域确定角】【例 6】写出角的终边在阴影中的角的集合．【变式 6-1】如图所示；（1）分别写出终边落在 0A ，0B 位置上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【变式6-2】用集合表示顶点在原点，始边重合于x轴非负半轴，终边落在阴影部分内的角（不含边界）．【变式6-3】已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．1.1.1任意角重难点题型【举一反三系列】知识链接【知识点1任意角的概念】1.任意角.β定义构成要素表示2.角的分类分类正角负角零角角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 始边、顶点、终边常用大写字母 A ，B ，C 等表示腊字母 α，β，γ 等表示；特别的，当角作为变量时，常用字母 x 表示.定义按逆时针方向旋转形成的角叫做正角按顺时针方向旋转形成的角叫做负角一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角【知识点 2 象限角与非象限角】1.象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，则角的终边（除端点外）在第几象限，就称这个角为第几象限角.2.象限角的集合表示象限角集合表示第一象限角{x | k ⋅ 360o < α < k ⋅ 360o + 90o , k ∈ Z }第二象限角{x | k ⋅ 360o + 90o < α < k ⋅ 360o + 180o , k ∈ Z }第三象限角{x | k ⋅ 360o + 180o < α < k ⋅ 360o + 270o , k ∈ Z }第四象限角{x | k ⋅ 360o + 270o < α < k ⋅ 360o + 360o , k ∈ Z }3.非象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.4.非象限角的集合表示 角的终边位置x 轴的非负半轴集合表示{ | β = k ⨯ 360 , k ∈ Z }ββββ β{ }x 轴的非正半轴{ | β = k ⨯ 360+ 180, k ∈ Z }x 轴上{ | β = k ⨯180 , k ∈ Z }y 轴非负半轴y 轴非正半轴{ | β = k ⨯ 360{ | β = k ⨯ 360+ 90 , k ∈ Z }- 90 , k ∈ Z}y 轴上{ | β = k ⨯180+ 90, k ∈ Z }【知识点 3 终边相同的角】一般地，所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S = β | β = α + k ⋅ 360 , k ∈ Z ，即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整个周角的和.举一反三【考点 1 象限角与集合间的基本关系】【例 1】（2019 春•杜集区校级月考）设 A ＝{小于 90°的角}，B ＝{第一象限角}，则 A ∩B 等于（）A ．{锐角}B ．{小于 90°的角}C ．{第一象限角}D ．{α|k •360°＜α＜k •360°+90°（k ∈Z ，k ≤0）}【分析】先求出 A ＝{锐角和负角}，B ＝{α|k •360°＜α＜k •360°+90°，k ∈Z }，由此利用交集的定义给求出 A ∩B ．【答案】解：∵A ＝{小于 90°的角}＝{锐角和负角}，B ＝{第一象限角}＝{α|k •360°＜α＜k •360°+90°，k ∈Z }，∴A ∩B ＝{α|k •360°＜α＜k •360°+90°（k ∈Z ，k ≤0）}．D故选：D ．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意任意角的概念的合理运用．【变式 1-1】（2019 秋•钦南区校级月考）已知 A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于 90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（） A ．A ∩C ＝CB ．B ⊆CC ．B ∪A ＝CD ．A ＝B ＝C【分析】分别判断，A ，B ，C 的范围即可求出【答案】解解：∵A ＝{第一象限角}＝（k •360°，90°+k •360°），k ∈Z ；B ＝{锐角}＝（0，90°），C ＝{小于 90°的角}＝（﹣∞，90°）∴B ⊆C ，故选：B ．【点睛】本题考查了任意角的概念和角的范围，属于基础题．【变式 1-2】（2019 秋•黄陵县校级月考）设 A ＝{θ|θ 为锐角}，B ＝{θ|θ 为小于 90°的角}，C ＝{θ|θ 为第一象限的角}，D ＝{θ|θ 为小于 90°的正角}，则下列等式中成立的是（）A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D【分析】根据 A ＝{θ|θ 为锐角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，D ＝{θ|θ 为小于 90°的正角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，可得结论．【答案】解：根据 A ＝{θ|θ 为锐角}＝{θ|0°＜θ＜90°}， ＝{θ|θ 为小于 90°的正角}＝{θ|0°＜θ＜90°}，可得 A ＝D ．故选：D ．【点睛】本题考查象限角和任意角，考查学生对概念的理解，比较基础．【变式 1-3】（2019 秋•宜昌月考）设 M ＝{α|α＝k •90°，k ∈Z }∪{α|α＝k •180°+45°，k ∈Z }，N ＝{α|α＝k•45°，k ∈Z }，则（ ）A．M⊆N B．M⊇N C．M＝N D．M∩N＝∅【分析】讨论k为偶数和k为奇数时，结合N的表示，从而确定N与M的关系．【答案】解：∵N＝{α|α＝k•45°，k∈Z}，∴当k为偶数，即k＝2n时，n∈Z，α＝k•45°＝2n•45°＝n•90°，∴当k为奇数，即k＝2n+1时，n∈Z，α＝k•45°＝（2n+1）•45°＝n•90°+45°，又M＝{α|α＝k•90°，k∈Z}∪{α|α＝k•180°+45°，k∈Z}，∴M⊆N．故选：A．【点睛】本题主要考查了集合之间的关系与应用问题，是基础题．【考点2求终边相同的角】【例2】（2019春•娄底期末）下列各角中与225°角终边相同的是（）A．585°B．315°C．135°D．45°【分析】写出与225°终边相同的角，取k值得答案．【答案】解：与225°终边相同的角为α＝225°+k•360°，k∈Z，取k＝1，得α＝585°，∴585°与225°终边相同．故选：A．【点睛】本题考查终边相同角的表示法，是基础题．【变式2-1】（2018春•武功县期中）下列各组角中，终边相同的角是（）A．﹣398°，1042°C．﹣398°，38°B．﹣398°，142°D．142°，1042°【分析】根据终边相同的角的定义，化﹣398°和1042°为α+k•360°，k∈Z的形式，再判断即可．【答案】解：由题意，﹣398°＝322°﹣2×360°，1042°＝322°+2×360°，142°，38°；这四个角中，终边相同的角是﹣398°和1042°．故选：A．【点睛】本题考查了终边相同角的概念与应用问题，是基础题．）【变式2-2】（2018春•武邑县校级期末）与﹣457°角终边相同角的集合是（A．{α|α＝k•360°+457°，k∈Z}B．{α|α＝k•360°+97°，k∈Z}C．{α|α＝k•360°+263°，k∈Z}D．{α|α＝k•360°﹣263°，k∈Z}【分析】终边相同的角相差了360°的整数倍，又263°与﹣457°终边相同．【答案】解：终边相同的角相差了360°的整数倍，设与﹣457°角的终边相同的角是α，则α＝﹣457°+k•360°，k∈Z，又263°与﹣457°终边相同，∴{α|α＝263°+k•360°，k∈Z}，故选：C．【点睛】本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．）【变式2-3】（2018春•林州市校级月考）在0°～360°范围内，与﹣853°18'终边相同的角为（A．136°18'B．136°42'C．226°18'D．226°42'【分析】直接由﹣853°18'＝﹣3×360°+226°42′得答案．【答案】解：由﹣853°18'＝﹣3×360°+226°42′，可得，在0°～360°范围内，与﹣853°18'终边相同的角为226°42′，2，3】3的终边所在位置不可能是（故选：D．【点睛】本题考查终边相同的角的表示法，是基础题．【考点3已知α终边所在象限求2α，αα【例3】（2018秋•宜昌期末）已知α为锐角，则2α为（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．小于180°的角【分析】写出α的范围，直接求出2α的范围，即可得到选项．【答案】解：α为锐角，所以α∈（0°，90°），则2α∈（0°，180°），故选：D．【点睛】本题考查象限角与轴线角，基本知识的考查，送分题．【变式3-1】（2018•徐汇区校级模拟）若α是第二象限的角，则αA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．笫象限【分析】写出第二象限的角的集合，得到的范围，分别取k值得答案．【答案】解：∵α是第二象限角，∴90°+k•360°＜α＜180°+k•360°，k∈Z．则30°+k•120°＜＜60°+k•120°，k∈Z．当k＝0时，30°＜＜60°，α为第一象限角；当k＝1时，150°＜＜180°，α为第二象限角；当k＝2时，270°＜＜300°，α为第四象限角．）2是（由上可知，的终边所在位置不可能是第三象限角．故选：C．【点睛】本题考查象限角及轴线角，考查终边相同角的集合，是基础题．【变式3-2】（2019春•北碚区校级期中）已知α为第二象限角，则α所在的象限是（）2A．第一或第二象限C．第一或第三象限B．第二或第三象限D．第二或第四象限【分析】用不等式表示第二象限角α，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定角的终边在的象限．【答案】解：∵α是第二象限角，∴k•360°+90°＜α＜k•360°+180°，k∈Z，则k•180°+45°＜＜k•180°+90°，k∈Z，令k＝2n，n∈Z有n•360°+45°＜＜n•360°+90°，n∈Z；在一象限；k＝2n+1，n∈z，有n•360°+225°＜＜n•360°+270°，n∈Z；在三象限；故选：C．【点睛】本题考查象限角的表示方法，不等式性质的应用，通过角满足的不等式，判断角的终边所在的象限【变式3-3】（2019秋•宜城市校级月考）如果α是第三象限角，则-αA．第一象限角B．第一或第二象限角）C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角【分析】由α是第三象限角，得到180°+k•360°＜α＜270°+k•360°，k∈Z，从而能求出﹣的取值范围，由此能求出﹣所在象限．【答案】解：∵α是第三象限角，∴180°+k•360°＜α＜270°+k•360°，k∈Z，∴﹣135°﹣k•180°＜﹣＜﹣90°﹣k•180°，∴﹣是第一或第三象限角．故选：C．【点睛】本题考查角所在象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意第三象限角的取值范围的合理运用．【考点4终边对称的角的表示法】【例4】（2019春•南京期中）若角α＝m•360°+60°，β＝k•360°+120°，（m，k∈Z），则角α与β的终边的位置关系是（）A．重合C．关于x轴对称B．关于原点对称D．关于y轴对称【分析】结合角的终边相同的定义进行判断即可．【答案】解：α的终边和60°的终边相同，β的终边与120°终边相同，∵180°﹣120°＝60°，∴角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称，故选：D．【点睛】本题主要考查角的终边位置关系的判断，结合角的关系是解决本题的关键．【变式4-1】若角α的终边与45°角的终边关于原点对称，则α＝．【分析】角α的终边与45°角的终边关于原点对称，可得α＝k•360°+225°，（k∈Z）．【答案】解：∵角α的终边与45°角的终边关于原点对称，∴α＝k•360°+225°，（k∈Z）．故答案为：α＝k•360°+225°，（k∈Z）．【点睛】本题考查了终边相同的角，属于基础题．【变式4-2】若角α和β的终边关于直线x+y＝0对称，且α＝﹣60°，则角β的集合是．【分析】求出β∈[0°，360°）时角β的终边与角α的终边关于直线y＝﹣x对称的值，再根据终边相同的角写出角β的取值集合．【答案】解：若β∈[0°，360°），则由角α＝﹣60°，且角β的终边与角α的终边关于直线y＝﹣x对称，可得β＝330°，所以当β∈R时，角β的取值集合是{β|β＝330°+k•360°，k∈Z}．故答案为：{β|β＝330°+k•360°，k∈Z}．【点睛】本题主要考查了终边相同的角的定义和表示方法，是基础题．【变式4-3】已知α＝﹣30°，若α与β的终边关于直线x﹣y＝0对称，则β＝；若α与β的终边关于y轴对称，则β＝；若α与β的终边关于x轴对称，则β＝．【分析】由题意画出图形，然后利用终边相同角的表示法得答案．【答案】解：如图，设α＝﹣30°所在终边为OA，则关于直线x﹣y＝0对称的角β的终边为OB，终边在OB上的最小正角为120°，故β＝120°+k•360°，k∈Z；关于y轴对称的角β的终边为OC，终边在OC上的最小正角为210°，故β＝210°+k•360°，k∈Z；关于x轴对称的角β的终边为OD，终边在OD上的最小正角为30°，故β＝30°+k•360°，k∈Z．故答案为：120°+k•360°，k∈Z；210°+k•360°，k∈Z；30°+k•360°，k∈Z．【点睛】本题考查终边相同角的表示法，数形结合使问题更加直观，是基础题．【考点5已知终边求角】【例5】（2019春•凉州区校级月考）已知α＝﹣1910°．（1）把角α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，指出它是第几象限的角；（2）求出θ的值，使θ与α的终边相同，且﹣720°≤θ＜0°．【分析】（1）利用终边相同的假的表示方法，把角α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，然后指出它是第几象限的角；（2）利用终边相同的角的表示方法，通过k的取值，求出θ，且﹣720°≤θ＜0°．【答案】解：（1）∵﹣1910°＝﹣6×360°+250°，180°＜250°＜270°，∴把角α写成β+k•360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式为：﹣1910°＝﹣6×360°+250°，它是第三象限的角．（2）∵θ与α的终边相同，∴令θ＝k•360°+250°，k∈Z，k＝﹣1，k＝﹣2满足题意，得到θ＝﹣110°，﹣470°．【点睛】本题考查终边相同角的表示方法，基本知识的考查．【变式5-1】若角α的终边落在直线x+y＝0上，求在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角α．【分析】求出角α的终边相同的角，然后求解在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角α．【答案】解：角α的终边落在直线x+y＝0上，则直线的倾斜角为：45°，角α的终边的集合为：{α|α＝k•180°+45°，k∈Z}．当k＝﹣2时，α＝﹣315°，k＝﹣1时，α＝﹣135°，k＝0时，α＝45°，k＝1时，α＝225°，在[﹣360°，360°]内的所有满足条件的角α：﹣315°，135°，45°，225°．【点睛】本题考查终边相同角的表示，考查计算能力．【变式5-2】已知α、β都是锐角，且α+β的终边与﹣280°角的终边相同，α﹣β的终边与670°角的终边相同，求∠α、∠β的大小．【分析】按照终边相同角的表示方法将α+β、α﹣β表示出来，然后解出α、β，由α、β都是锐角得到所求．【答案】解：因为α+β的终边与﹣280°角的终边相同，α﹣β的终边与670°角的终边相同，所以α+β＝﹣280°+360°k；α﹣β＝670°+360°k；k∈Z；（2）集合 M = ⎨ x | x = ⨯180︒ + 45︒, k ∈ Z ⎬ ，N = ⎨ x | x = ⨯180︒ + 45︒, k ∈ Z ⎬ 那么两集合的关系是什么？k k 2 4 两式相加，2α＝390°+720°k ＝360°+30°+720°k ＝30°+720°k ；α＝15°+360°k ；因为 α，β 是锐角，所以 α＝15°；β＝65°．【点睛】本题考查了终边相同角的表示，利用方程组的思想求两角，属于基础题．【变式 5-3】（2018 春•武功县期中）已知角 α＝45°；（1）在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角 α 有相同终边的角 β；⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭【分析】（1）所有与角 α 有相同终边的角可表示为 45°+k ×360°（k ∈Z ），列出不等式解出整数 k ，即得所求的角．（2）先化简两个集合，分整数 k 是奇数和偶数两种情况进行讨论，从而确定两个集合的关系．【答案】解析：（1）由题意知：β＝45°+k ×360°（k ∈Z ），则令﹣720°≤45°+k ×360°≤0°，得﹣765°≤k ×360°≤﹣45°，解得 ，从而 k ＝﹣2 或 k ＝﹣1，代回 β＝﹣675°或 β＝﹣315°．（2）因为 M ＝{x|x ＝（2k +1）×45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合 N ＝{x|x ＝（k +1）×45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：M ⊊N ．k 【点睛】（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角 α 有相同终边的角，然后列出一个关于 k 的不等式，找出相应的整数 k ，代回求出所求解；（2）可对整数 k 的奇、偶数情况展开讨论．【考点 6 已知角终边的区域确定角】【例 6】写出角的终边在阴影中的角的集合．【分析】利用象限角的表示方法、终边相同的角的集合性质即可得出．【答案】解：图 1：角的集合为{α|30°+k ×360°≤α≤120°+k •360°，k ∈Z }；图 2：角的集合为{α|﹣210°+k •360°≤α≤30°+k •360°，k ∈Z }；图 3：角的集合为{α|﹣45°+k •360°≤α≤30°+k •360°，k ∈Z }；图 4：角的集合为{α|60°+k •360°≤α≤120°+k •360°， ∈Z }∪{α|240°+k •360°≤α≤300°+k •360°， k ∈Z }．【点睛】本题考查了象限角的表示方法、终边相同的角的集合性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【变式 6-1】如图所示；（1）分别写出终边落在 0A ，0B 位置上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．k【分析】（1）直接由终边相同角的表示法写出终边落在 0A ，0B 位置上的角的集合；（2）结合（1）中写出的终边落在 0A ，0B 位置上的角的集合，利用不等式表示出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】解：（1）如图，终边落在 OA 上的角的集合为{α|α＝150°+k •360°，k ∈Z }．终边落在 OB 上的角的集合为{α|α＝﹣45°+k •360°，k ∈Z }；（2）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为{β|﹣45°+k •360°≤β≤150°+k •360°， ∈Z }．【点睛】本题考查象限角和轴线角，考查了终边相同角的概念，是基础题．【变式 6-2】用集合表示顶点在原点，始边重合于 x 轴非负半轴，终边落在阴影部分内的角（不含边界）．【分析】直接利用所给角，表示角的范围即可．【答案】解：图 1 所表示的角的集合：{α|k •360°﹣30°＜α＜k •360°+75°，k ∈Z }．图 2 终边落在阴影部分的角的集合．{α|k •360°﹣135°＜α＜k •360°+135°，k ∈Z }【点睛】本题考查角的表示方法，是基础题．【变式6-3】已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．【分析】直接利用所给角，表示角的范围即可．【答案】解：图（1）所表示的角的集合：{α|k•360°﹣135°≤α≤k•360°+135°，k∈Z}．图2终边落在阴影部分的角的集合{α|k•180°+30°≤α≤k•180°+60°，k∈Z【点睛】本题考查角的表示方法，是基础题．。
任意角和弧度制及任意角的三角函数
任意角和弧度制及任意角的三角函数‖知识梳理‖1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.(2)公式|α|＝l r3.三角函数线有向线段MP 为正弦线，有向线段OM 为余弦线，有向线段AT 为正切线| 微 点 提 醒 |1．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α>α>sin α. 2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(×) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关．(√) (3)不相等的角终边一定不相同．(×) (4)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√) (5)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α>sin α.(√) (6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(√)‖自主测评‖1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．2k π－45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )解析：选C 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C 正确．故选C.2．(教材改编题)若θ满足sin θ<0，cos θ>0，则θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 由sin θ<0，θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合，cos θ>0，θ的终边可能位于第一象限，也可能位于第四象限，也可能与x 轴的非负半轴重合，故θ的终边在第四象限．3．(教材改编题)角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：C4．(教材改编题)已知角θ的终边过点P (12，－5)，则cos θ的值为________． 解析：因为x ＝12，y ＝－5，所以r ＝x 2＋y 2＝13，所以cos θ＝x r ＝1213.答案：12135．(教材改编题)扇形弧长为20 cm ，中心角为100°，则该扇形的面积为________cm 2. 解析：由弧长公式l ＝|α|r ，得r ＝20100π180＝36π(cm)，所以S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π(cm 2)．答案：360π…………考点一 象限角及终边相同的角…………………|自主练透型|……………|典题练全|1．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限 解析：选A 当k ＝2n (n ∈Z )时，α＝2n ·180°＋45°＝n ·360°＋45°，α为第一象限角； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α＝(2n ＋1)·180°＋45°＝n ·360°＋225°，α为第三象限角，所以α为第一或第三象限角．故选A.2．若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角解析：选C ∵α是第二象限角，∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．∴α2是第一或第三象限角． 3．(一题多解)设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝xx ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：选B 解法一：由于M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}， N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .解法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，2k ＋1是奇数；而N 中，x＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N . 4．集合⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，n ∈Z ，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样，当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．5．终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．解析：如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 1.终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0,2π]内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合． 2．判断象限角的2种方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 3．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在的位置．…………考点二 扇形的弧长、面积公式…………|重点保分型|……………|研透典例|【典例】 已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ [解] (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R ，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25， 此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． [提醒]运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制.|变式训练|1．若某圆弧长度等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数为( ) A.π6 B.π3 C ．3D.3解析：选D 如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，所以AM ＝32r ，AB ＝3r ， 所以l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr＝ 3.2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C.2sin1D ．2sin1解析：选C 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交AB ︵于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度， 且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中， AO ＝AC sin ∠AOC ＝1sin1，即r ＝1sin1，从而AB ︵的长为l ＝α·r ＝2sin1.故选C.………………考点三 三角函数的定义………………|多维探究型|……………|多角探明|角度一 利用三角函数的定义求值【例1】 已知α是第二象限的角，其终边的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，则tan α＝( ) A.155B.153C ．－155D ．－153[解析] 因为α是第二象限的角，其终边上的一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，所以x <0，cos α＝x x 2＋5＝24x ，解得x ＝－3，所以tan α＝5－3＝－153.[答案] D角度二 判断三角函数值的符号 【例2】 (1)sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0D ．不存在(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] (1)因为π2<2<3<π<4<3π2，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0. 所以sin2·cos3·tan4<0，所以选A. (2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角. [答案] (1)A (2)C角度三 利用三角函数线比较大小或解不等式【例3】 (1)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α(2)函数y ＝sin x －32的定义域为________． [解析] (1)如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可得，AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.故选C.(2)由题意，得sin x ≥32，作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角x 的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .[答案] (1)C (2)⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋2π3，k ∈Z 角度四 以三角函数定义为背景的创新题【例4】 如图所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )[解析] 因为P 0(2，－2)，所以∠P 0Ox ＝－π4.因为角速度为1，所以按逆时针旋转时间t 后，得∠POP 0＝t ，所以∠POx ＝t －π4.由三角函数定义，知点P 的纵坐标为2sin ⎝⎛⎭⎫t －π4，因此d ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫t －π4. 令t ＝0，则d ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝ 2. 当t ＝π4时，d ＝0，故选C.[答案] C『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津| 1.定义法求三角函数值的三种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．2．三角函数值的符号及角的位置的判断已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．[提醒]若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．3．利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤 (1)用边界值定出角的终边位置． (2)根据不等式(组)定出角的范围． (3)求交集，找单位圆中公共的部分． (4)写出角的表达式．|变式训练|1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意知tan α<0，cos α<0，故sin α>0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.2．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( ) A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1,1)解析：选D 设点P 的坐标为(x ，y )， 则由三角函数的定义得⎩⎨⎧ sin π4＝y 2，cos π4＝x 2， 即⎩⎨⎧ x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1.故点P 的坐标为(1,1)．3．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m 4，求cos α，tan α的值． 解：设P (x ，y )．由题设知x ＝－3，y ＝m ，所以r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2，所以sin α＝m r ＝2m 4＝m 22， 所以r ＝3＋m 2＝22，3＋m 2＝8，解得m ＝± 5.当m ＝5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝－153； 当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153. 【典例】 在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？[解] 因为△AOB 是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，所以A ＝B ＝30°＝π6，AM ＝BN ＝1，AD ＝2， 所以方案一中扇形的弧长＝2×π6＝π3；方案二中扇形的弧长＝1×2π3＝2π3； 方案一中扇形的面积＝12×2×2×π6＝π3，方案二中扇形的面积＝12×1×1×2π3＝π3. 由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．[点评] 通过对废料充分利用中扇形面积与弧长的计算，分析比较出最优方案，体现了在解决实际问题中利用数学知识建立数学模型解决问题的素养．。
高中数学必修四课件：《任意角的概念》课件
R
解得 R 2 L 4 故该扇形的圆心角 的弧度数为
L 4 2 R 2
4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系：
正角 正实数 对应角的 弧度数
零角
负角
零
负实数
角的集合
实数集R
练习 如图 ,已知角的终边区域 , 求出角的范围 .
y
0 (1) y
45
1770=305×360 (k=－5)
⑶ 结论： 所有与终边相同的角连同在内可以构 成一个集合：{β| β=α+k· 360º ， k∈Z} 即：任何一个与角终边相同的角，都可 以表示成角与整数个周角的和。
所有与终边相同的角连同在内可 以构成一个集合： ⑷注意以下四点： {β| β=α+k·360º ， k∈Z} ① k∈Z， 即：任何一个与角终边相同的角，都 可以表示成角与整数个周角的和。 K > 0，表示逆时针旋转， K < 0,表示顺时针旋转. ② 是任意角；
+K · 360° 90 ° y
180°+K·360° o
+ K · 360 ° 0 ° x 或360°+ K · 360°
270° +K·360°
• 第一象限的角表示为 {|k360<< 90 + k360,kZ}； • 第二象限的角表示为 {| 90 + k360<<180 +k360，kZ}； • 第三象限的角表示为 {| 180 + k360<< 270 + k360，kZ} • 第四象限的角表示为 {| 270 + k360<< 360 + k360，kZ}
任意角的概念与弧度制
任意角的概念与弧度制1、角的概念的推广：角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.正角:按逆时针方向旋转所形成的角.负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.3、终边相同的角与象限角：与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．知识点二：弧度制弧度制(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).(2)弧度与角度互换公式：1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)(3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.3、弧度制的概念及换算：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写.在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为，则所以，rad，(rad)，1(rad).4、弧度制下弧长公式：；弧度制下扇形面积公式.类型一：象限角1．已知角；(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；(2)集合，,那么两集合的关系是什么？解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：，则令，得解得，从而或代回或.(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：.总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论.2．已知“是第三象限角，则是第几象限角?思路点拨：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为(n∈N*)的终边所在的区域.解法一：因为是第三象限角，所以，∴，∴当k=3m(m∈Z)时，为第一象限角；当k=3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角，当k=3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角，故为第一、三、四象限角.解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域.由图可知，是第一、三、四象限角.总结升华：(1)要分清弧度制与角度制象限角和终边在坐标轴上的角；(2)讨论角的终边所在象限，一定要注意分类讨论，做到不重不落，尤其对象限界角应引起注意.举一反三：【变式1】集合，，则( )A、B、C、D、【答案】C思路点拨：( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4(法二)在平面直角坐标系中，数形结合(法三)集合M变形，集合N变形，是的奇数倍，是的整数倍，因此.【变式2】设为第三象限角，试判断的符号.解析：为第三象限角，当时，此时在第二象限.当时，此时在第四象限.综上可知：类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题3．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是依题意，得≈≈总结升华：弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：举一反三：【变式1】一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积.思路点拨：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.解：设扇形的半径为，则弧长为，于是扇形的面积当时，(弧度)，取到最大值，此时最大值为.故当扇形的圆心角等于2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积是.总结升华：求扇形最值的一般方法是根据扇形的面积公式，将其转化为关于半径(或圆心角)的函数表达式，进而求解.1、角度制与弧度制的互化：(1)；(2).解：为第三象限；为轴上角为第二象限；为第三象限角小结：[1]用弧度表示角时，“弧度”两字不写，可写“”；[2]角度制化弧度时，分数形式，且“”不取近似值.2、用角度和弧度分别写出分别满足下列条件的角的集合：(1)第一象限角；(2)锐角；(3)小于的角；(4)终边与角的终边关于轴对称的角；(5)终边在直线上的角.解：(1)或；(2)或；(3)或；(4)分析：因为所求角的终边与角的终边关于轴对称，可以选择代表角，因此问题转化为写出与角的终边相同的角的集合即；(5)或.注意：角度制与弧度制不能混用！3、若是第二象限角，则是第几象限角？反之，是第二象限角，是第几象限角？解：若是第二象限角，则，两边同除以2，得当为奇数时，是第三象限角；当为偶数时，是第一象限角反之，若是第二象限角，则两边同乘以2，得所以是第一或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴上角.注意：数形结合.。
任意角的概念
例3写出终边分别落在四个象限的角的集合.
终边落在坐标 轴上的情形
90 ° +K · 360° y
180° +K·360°
o
+ K · 360 ° 0 ° x 或360°+ K · 360°
270° +K·360°
• 第一象限的角表示为 {α|k· 360º <α< 90º+ k· 360º ,k Z}； ∈ • 第二象限的角表示为 {α| 90º+ k· 360º <α<180º+k· 360º ，k Z}； ∈ • 第三象限的角表示为 {α| 180º+ k· 360º <α< 270º+ k· 360º ，k Z} ∈ • 第四象限的角表示为 {α| 270º+ k· 360º <α< 360º+ k· 360º ，k Z} ∈
R
解得 R = 2 L = 4 故该扇形的圆心角 α的弧度数为
L 4 =2 α= = R 2
4、用弧度来度量角，实际上角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系：
正角 正实数 对应角的 弧度数
零角
负角
零
负实数
角的集合
实数集R
练习 如图 ,已知角的终边区域 , 求出角的范围 .
y
0 (1)
45
0
x
（3）旋转量：
当旋转超过一周时，旋转量即超过360º ， 角度的绝对值可大于360º .于是就会出现 720º ， － 540º 等角度.
3．象限角
为了研究方便，我们往往在平面直角坐标 系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合 于x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第 几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 （角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何 一个象限此时这种角称为：轴线角） 例如：30º 、390º 、－330º 是第一象限角， 300º 、 －60º 是第四象限角， 585º 、1300º 是第三象限角， 135º 、－2000º 是第二象限角等
专题44 高中数学任意角(原卷版)
专题44 任意角1．角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的表示如图，(1)始边：射线的起始位置OA ，(2)终边：射线的终止位置OB ，(3)顶点：射线的端点O . 这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．角的分类按旋转方向，角可以分为三类：4．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的． (3)nα所在象限的判断方法：确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． (4)αn 所在象限的判断方法：已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法： ①用不等式表示出角αn 的范围，然后对k 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是α的终边所n所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．落在的区域．如此，αn5．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．(5)终边相同的角常用的三个结论①终边相同的角之间相差360°的整数倍；②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍；③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．提示：(1)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.(2)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.题型一角的有关概念的判断1．下列说法正确的是()A．终边相同的角一定相等B．钝角一定是第二象限角C．第一象限角一定不是负角D．小于90°的角都是锐角2．给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．3．下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③钝角比第三象限角小；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．4．下列说法正确的是()A．三角形的内角一定是第一、二象限角B．钝角不一定是第二象限角C．终边与始边重合的角是零角D．钟表的时针旋转而成的角是负角5．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是() A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C6．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有() A．B C A B．B A C C．D(A∩C) D．C∩D＝B7．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个8．下列说法正确的是()A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B．第四象限的角一定是负角C．60°角与600°角是终边相同的角D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°9．下列命题正确的是()A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角10．若将钟表拨慢10分钟，则时针转了______度，分针转了________度．11．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°.②855°.③－510°.题型二终边相同的角的表示及应用1．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．2．下列各个角中与2 019°终边相同的是()A．－149°B．679°C．319°D．219°3．下面与－850°12′终边相同的角是()A．230°12′B．229°48′C．129°48′D．130°12′4．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．5．角－870°的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是()A．170°B．190°C．－190°D．－170°7．与600°角终边相同的角可表示为()A．k·360°＋220°(k∈Z) B．k·360°＋240°(k∈Z)C．k·360°＋60°(k∈Z) D．k·360°＋260°(k∈Z)8．已知角α＝－3000°，则与角α终边相同的最小正角是________．9．与2019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．10．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.11．写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．12．在－360°～360°之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限．①790°；②－20°.13．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°.14．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.15．已知角α＝2020°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.16．在与角1030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角．17．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．18．在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角β.(1)最大的负角和最小的正角；(2)[360°，720°)内的角．19．已知角β为以O为顶点，x轴为始边，逆时针旋转60°所成的角．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．20．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°，则集合中的α共有多少个？21．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．22．若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是__________．23．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在()A．x轴的非负半轴B．y轴的非负半轴C．x轴的非正半轴D．y轴的非正半轴24．已知角α的终边与角－690°的终边关于y轴对称，则角α＝___________.25．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()A．α＋β＝k·360°，k∈Z B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z D．α－β＝k·360°，k∈Z26．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________.27．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．28．终边在第一或第三象限的角的集合是________．29．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}30．终边落在直线y＝3x上的角的集合为________．31. 一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动，两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14 s时回到A 点，并且在第2 s时均位于第二象限，求α，β的值．题型三象限角的判定(任意角终边位置的确定和表示)1．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α2．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．3．若角α的终边在y轴的负半轴上，则角α－150°的终边在()A．第一象限B．第二象限C．y轴的正半轴上D．x轴的负半轴上4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是()A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D．第三或第四象限5．若β是第二象限角，则270°＋β是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角6．若α是第二象限角，则2α，α2分别是第几象限的角？7．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限8．若α是第一象限角，则2α，α2分别是第几象限角？9．(1)若α为第三象限角，试判断90°－α的终边所在的象限；(2)若α为第四象限角，试判断α2的终边所在的象限．10．若α是第一象限角，则－α2是( )A ．第一象限角B ．第一、四象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角11．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是( )A ．第一象限角B ．第一、二象限角C ．第一、三象限角D ．第一、四象限角12．已知θ为第二象限角，那么θ3是( )A ．第一或第二象限角B ．第一或第四象限角C ．第二或第四象限角D ．第一、二或第四象限角13．已知α是第一象限角，则角α3的终边可能落在________．(填写所有正确的序号)①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限题型四 区域角的表示1．已知，如图所示．分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．2．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．3．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.4．如图，终边落在阴影部分的角的集合是( ) A ．{α|－45°≤α≤120°} B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z}D ．{α|k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋315°，k ∈Z}5．写出终边落在阴影部分的角的集合．6．写出角的终边在图中阴影区域的角的集合(包括边界)．7．写出终边落在图中阴影区域内(不包括边界)的角的集合．8．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．9．如图，α，β分别是终边落在OA，OB位置上的两个角，且α＝60°，β＝315°.(1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角γ的集合；(2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在0°～360°范围内的角的集合．10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A∩B.。
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终边落在坐标轴上的集合：
18
例3：写出终边在直线y=x上的角的集合S， 并把S中 适合不等式－3600≤ ＜7200 的元素 写出来
思考：终边落在一条过原点的直线上角 的集合该如何表示？
19
作业
1、思考题：如果两个角的终边关于y轴对称，
或者关于x轴对称，或者关于原点对称，那么 这两个角是什么关系？ 2、课后练习题以及习题。
900 +Kx3600 y
x 1800 +Kx3600 O 00 +Kx3600 或3600＋KX3600
2700 +Kx3600
17
思考：
终边落在X轴的正半轴的集合：S={β | β =0º+K·360º,K∈Z}; 终边落在X轴的负半轴的集合：S={β | β =180º+K·360º,K∈Z}; 终边落在Y轴的正半轴的集合：S={β | β =90º+K·360º,K∈Z}; 终边落在Y轴的负半轴的集合：S={β | β =270º+K·360º,K∈Z}; 终边落在X轴上的集合： 终边落在Y轴上的集合：
与300终边相同的角的一般形式为300＋K· 3600，K ∈ Z
11
与 终边相同的角的集合为 o S { | k 360 , k Z} 注 : （ 1） k ∈ Z
（2） 是任意角 （3）终边相同的角不一定相等，但相等的 角终边一定相同，终边相同的角有无数多个， 它们相差360°的整数倍。
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
终边
规定： 1)角的顶点与原点重合 2)始边与X轴的非负半轴重合 则终边落在第几象限就是第几象限角
7
坐标轴上的角：（轴线角）
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为 这个角不属于任何象限。
例如：角的终边落在X轴或Y轴上。
8
口答：
锐角是第几象限角？第一象限一定是锐角吗？
12
例题：
0
（ 1）写出与 950 角终边相同的角的集合 .
（2） 在0， 360 找出终边与 950 相同的角，
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并判断它是第几象限角 ?
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思考：任意给定一个角如何判断它 是第几象限角？
当堂检测
课堂小结：
请同学们归纳本节课所学的知识点，重点以
及难点。
例2：写出终边落在x轴正半轴y轴正半轴x 轴负半轴y轴负半轴的角的集合。
再分别就直角、钝角来回答这两个问题。 同学们请就刚才画的角来判断它们是第几象 限角. 思考：任意给定一个角都能够通过画图的方 法迅速的判断出它是第几象限角吗？
在直角坐标系中画出30°、390°、－330°角
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y 三 终边相同的角 -3300 3900 o
300 x
300 =300+0x3600 3900=300+3600 =300+1x3600 -3300=300-3600 =300 -1x3600
1.1.1 任意角
1请Βιβλιοθήκη 学们自主学习并思考以下2个问题： 1、正角、负角、零角是如何规定的？它们之
间有什么区别？ 2、象限角是如何规定的？任意一个角都是象 限角吗？请举例说明。
定义：平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形 叫做角。运动观点
B 终边
顶 点
记法：角 或 ，可简记为
3
o
A
始边
逆时针 规定：
任 意 角
顺时针
正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转时形成的角 O A
α =45º
B O 正角
α = -30º
O
负角
α =0º
B 零角
A
B
4
画出750°、210°、－150°、－660°角
5
6
二 象限角 终边
y o
终边
x 始边 终边