江西省信丰中学高中数学 等差数列的前n项和2课件 新人教A版必修5
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人教版高中数学必修5(A版) 等差数列的前n项和 PPT课件
10 9 S10 10 500 50 7250 (万元 ) 2
答：从2001到2010年，该市在“校校通”工程中的总投入 是7250元。
等差数列的前 n 项和公式：
n（a1 an ) Sn 2 n（n 1) S n na1 d 2
问题：1.两个公式中共有几个量？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn, 其中p, q为常数， 且p 0, 那么这个数列一定是等 差数列吗？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn r (r 0), 其中p, q 为常数，且 p 0, 那么这个数列一定是等 差数列吗？
小结：
1.知识点小结：1）等差数列的前
例1：2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校
校通”工程的通知》，某市计划从2001年起用10年的时间，在 全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施， 计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起 的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？ 解：由题可知，从2001年起各年投入的资金构成等差数列， 设为{an }，则 a1 500, d 50 则到2010年，投入的资金总额为
16
等差数列的前 n 项和公式：
n（n 1) S n na1 d 2
d 2 d n (a1 )n 2 2
当
d 0 时， Sn 是 n的二
次函数形式，且常数项为 0
例2：已知一个等差数列{an }前10项的和是310，前20项的和是
解：由题意知 代入公式 得
1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
高中数学 2.3.2等差数列的前n项和课件 新人教A版必修5
＝199＋195＋…＋7＋3＝（1992＋3）×50
栏
目
＝101×50＝5 050.
链
接
点评：裂项相消法——把数列的通项裂成两项之差后求和，正负
项相消，剩下首尾若干项．使用此方法时必须搞清楚消去了哪些项，
保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点n 是等差数列{an}的前 n 项和，bn＝S1n，且 a3b3＝12，S3＋a15
栏
(2)(1002－992)＋(982－972)＋…＋(42－32)＋(22－12)．
目
链
解析：(1)an＝1＋2＋31＋…＋n
接
＝n（n2＋1）＝2n1－n＋1 1，
Sn＝21－12＋12－31＋…＋n1－n＋1 1
＝21－n＋1 1＝n2＋n1.
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5
(2)(1002－992)＋(982－972)＋…＋(42－32)＋(22－12)
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8
题型2 求数列通项公式
例 2 已知 a1＝3 且 an＝Sn－1＋2n(n≥2，n∈N*)，求 an 及 Sn.
解析：∵an＝Sn－Sn－1，an＝Sn－1＋2n(n≥2，n∈N*)，
∴Sn－2Sn－1＝2n，∴S2nn－S2nn－－11＝1(n≥2 且 n∈N*)．
栏 目
链
设 bn＝S2nn，则{bn}是公差为 1 的等差数列，
接
∴bn＝b1＋n－1.
又∵b1＝S21＝a21＝32，
∴S2nn＝n＋12，∴Sn＝(2n完＋整1)版2np－p1t .
9
7
解得ad＝＝11，. 所以 an＝n(n∈N*)，
Sn＝（1＋2n）n，
栏
bn＝n（n2＋1）＝2n1－n＋1 1(n∈N*)，
高中数学 等差数列前n项和(2)课件 新人教版必修5
等差数列通项公式：
an a1 (n 1)d
等差数列前n项和公式：
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1)d S n na1 2
练习1：已知某等差数列，前4项和是24，前5项 和与前2项和的差是27 ，求这个等差数列的通 项公式。
练习2：已知 a3 a15 40，求
练习：已知数列是等差数列，Sn是其前n项和， S10=40，S20=100，求S30的值 分析：S10 ， S20 - S10，S30 – S20成等差数列
2 4 例5 已知等差数列 5， 4 ， 3 ， 7 7 的前n项的和为S n , 求使得S n最大的序号n的值。
一般地，等差数列 {an }中， d 0时，S n有最小值；d 0时，S n有最大值； 都是为项变号时的前 n项和。
练习：a1=13，S3=S11，求Sn的最大值；
p45练习2、p46习题5
(2) Sn 2n 50n
2
(是 )
P45探究
例4、已知数列前n项和Sn=3n2+2n，求通项公 式an，判断此数列是否是等差数列？由此， 你得出什么结论？
分析：若数列前 n项和为S n a1 a2 an (n 1) S1 则，an S n S n 1 (n 2)
补充 ：已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-25n, （1）证明数列{an}是等差数列； （2）数列中有多少项为负数？
（3）n为何值时， Sn有最小值，并求出最小 值。
例6：已知数列是等差数列，Sn是其前n项和， 求证：S6，S12-S6，S18-S12成等差数列，设 k N , S k , S 2k S k , S3k S 2k 成等差数列 吗？
an a1 (n 1)d
等差数列前n项和公式：
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1)d S n na1 2
练习1：已知某等差数列，前4项和是24，前5项 和与前2项和的差是27 ，求这个等差数列的通 项公式。
练习2：已知 a3 a15 40，求
练习：已知数列是等差数列，Sn是其前n项和， S10=40，S20=100，求S30的值 分析：S10 ， S20 - S10，S30 – S20成等差数列
2 4 例5 已知等差数列 5， 4 ， 3 ， 7 7 的前n项的和为S n , 求使得S n最大的序号n的值。
一般地，等差数列 {an }中， d 0时，S n有最小值；d 0时，S n有最大值； 都是为项变号时的前 n项和。
练习：a1=13，S3=S11，求Sn的最大值；
p45练习2、p46习题5
(2) Sn 2n 50n
2
(是 )
P45探究
例4、已知数列前n项和Sn=3n2+2n，求通项公 式an，判断此数列是否是等差数列？由此， 你得出什么结论？
分析：若数列前 n项和为S n a1 a2 an (n 1) S1 则，an S n S n 1 (n 2)
补充 ：已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-25n, （1）证明数列{an}是等差数列； （2）数列中有多少项为负数？
（3）n为何值时， Sn有最小值，并求出最小 值。
例6：已知数列是等差数列，Sn是其前n项和， 求证：S6，S12-S6，S18-S12成等差数列，设 k N , S k , S 2k S k , S3k S 2k 成等差数列 吗？
人教A版高中数学必修五2.3等差数列的前n项和第2课时课件
1+2+3+······+100=？
S100 = 1+2+3+ ······+100 = 101×50 = 5050
=(1+100) ·100
2
100 (a1 a ) 100 ·
2
问题2
由问题1可猜测：
Sn 1 2 3 ... n n 想：探求三角形面积情景
(1 n) 2
怎么计算呢？
将它们从小到大排列得：
7 0,7 1, 7 2, , 714.即7,14,21,,98.
共有15个元素, 构成一个等差数列 ,记为an,
a1 0, a15 98
S15
15 (0 2
98)
735
答 : 集合M共有15个元素,和等于735 .
Sn
d 2
n2
(a1
d 2
)n,
即Sn
an2
bn
2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与运用.
Sn
n(a1 2
an )
an=a1+(n-1)d
n(n 1) Sn na1 2 d
练习2： 1.（1）在小于100 的正整数中共有多少个 能被3整除的数？这些数的和是多少？
（2）在小于100 的正整数中共有多少个 能被3除余2的数？这些数的和是多少？
6
a1=4 d=6
3n2 n
例3：在等差数列{an}中，
（1）已知a2+a5+a12+a15=36,求a16; （2）已知a6=20, 求S11.
〖解〗 （1）∵a2+a15=a5+a12=a1+a16=18 ∴S16=(a1+a16)16/2=18×8=144.
高中数学 2.3.2等差数列的前n项和课件 新人教A版必修5
（a＋2d）×3a＋1 3d＝21， （3a＋3d）＋（a＋14d）＝21.
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
解得ad＝＝11，. 所以 an＝n(n∈N*)，
Sn＝（1＋2n）n，
栏
bn＝n（n2＋1）＝2n1－n＋1 1(n∈N*)，
目 链 接
Tn ＝ b1 ＋ b2 ＋ b3 ＋ … ＋ bn ＝ 2 11－21 ＋ 2 12－31 ＋ 2 13－14 ＋ … ＋
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
13
谢谢欣赏！
学习目标 预习导学 典例精析
2n－1 1－n1＋2n1－n＋1 1＝21－n＋1 1＝n2＋n1.
点评：本题中的条件较多，通过分析找出基本量，简化条件，
栏
同时明确解题方向．求数列{bn}的前 n 项和 Tn 使用的是裂项法．
目 链
接
学习目标 预习导学 典例精析
题型2 求数列通项公式
学习目标
栏
目 链
预习导学
接
典例精析
解得ad＝＝11，. 所以 an＝n(n∈N*)，
Sn＝（1＋2n）n，
栏
bn＝n（n2＋1）＝2n1－n＋1 1(n∈N*)，
目 链 接
Tn ＝ b1 ＋ b2 ＋ b3 ＋ … ＋ bn ＝ 2 11－21 ＋ 2 12－31 ＋ 2 13－14 ＋ … ＋
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
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学习目标 预习导学 典例精析
2n－1 1－n1＋2n1－n＋1 1＝21－n＋1 1＝n2＋n1.
点评：本题中的条件较多，通过分析找出基本量，简化条件，
栏
同时明确解题方向．求数列{bn}的前 n 项和 Tn 使用的是裂项法．
目 链
接
学习目标 预习导学 典例精析
题型2 求数列通项公式
2014年江西省信丰中学高二数学课件《等比数列的前n项和》2(新人教A版必修5)
次函数。
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，
那么A叫做a与b的等差中项。
等差数列 an 的前n项和
A ab 2
Sn
n（a1 an ) 2
Sn
na1
n（n 1) d 2
当公差d=0时，Sn na1 ，
当d≠0时，Sn
d 2
n2
(a1
d 2
)n
,
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等
于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
an1 an d (是与n无关的数或式子）
等差数列 an 的通项公式为
当d≠0时，这是 关于n的一个一
an a1 (n 1)d
(a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn )
a1 a1qn a1(1 qn ) (1 q)Sn a1(1 qn )
当q=1时，等 比数列的前n 项和是什么？
当q≠1时，
Sn
a1(1 qn ) 1 q
Sn na1
等比数列的前n项和公式的其它形式
等比数列的 前n项和
复习数列的有关概念1
按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列中的各项依次叫做这个数列的
第1项（或首项）用 a1表示，
第2项用 a2 表示， …，第n项用 an 表示， …，
数列的一般形式可以写成：
a1, a2 , a3 ,…， an , …，
简记作： an
30万吨（保留到个位）.
数学人教A版必修五 等差数列前n项和(2) 上课课件
基 本 量 思 想
例3：等差数列 {an }满足a6 10, 求S11 . 解：
练1.等差数列{an }满足a2 a5 a12 a15 24, 求S16
2.3 等差数列的前 n项和(1)
n(a1 an ) 公式1 Sn 2 n( n 1) d 公式2 S n na1 2
{an }为等差数列 Sn An2 Bn, 其中A, B为常数
家庭作业
电子作业，等差数列前n项和(1)活页 下周二习题讲评！
重要性质： m, n, l , p, q N 性质1： {an }为等差数列，若 2n m l，则2an am al 性质2： {an }为等差数列，若 m n p q，则am an a p aq
n ( a a ) 1 n 前n项和公式： Sn 2 n( n 1) S n na1 d 2 基本量思想，方程思想
桥梁 an a1 ( n 1)d
重要方法：倒序相加法，知三求二
重要思想：方程思想， 基本量思想
2.3 等差数列的前 n项和( 2) 递推公式： 一阶 an an1 d ( n 2) 二阶 2an an1 an1 ( n 2) an a1 ( n 1)d 通项公式： an am ( n m )d an pn q
Sn
(4, S4 )
an
y 3 x 23 x
2
y 6 x 26
(4, a4 )
n
n对
23 6
(5, ( n 1)( 6) 6n 26 a1 , a2 , a3 , a4 0 S1 S2 S3 S4
例3：等差数列 {an }满足a6 10, 求S11 . 解：
练1.等差数列{an }满足a2 a5 a12 a15 24, 求S16
2.3 等差数列的前 n项和(1)
n(a1 an ) 公式1 Sn 2 n( n 1) d 公式2 S n na1 2
{an }为等差数列 Sn An2 Bn, 其中A, B为常数
家庭作业
电子作业，等差数列前n项和(1)活页 下周二习题讲评！
重要性质： m, n, l , p, q N 性质1： {an }为等差数列，若 2n m l，则2an am al 性质2： {an }为等差数列，若 m n p q，则am an a p aq
n ( a a ) 1 n 前n项和公式： Sn 2 n( n 1) S n na1 d 2 基本量思想，方程思想
桥梁 an a1 ( n 1)d
重要方法：倒序相加法，知三求二
重要思想：方程思想， 基本量思想
2.3 等差数列的前 n项和( 2) 递推公式： 一阶 an an1 d ( n 2) 二阶 2an an1 an1 ( n 2) an a1 ( n 1)d 通项公式： an am ( n m )d an pn q
Sn
(4, S4 )
an
y 3 x 23 x
2
y 6 x 26
(4, a4 )
n
n对
23 6
(5, ( n 1)( 6) 6n 26 a1 , a2 , a3 , a4 0 S1 S2 S3 S4
人教A版高中数学必修五课件：2.3等差数列的前n项和(2)
王新敞
奎屯 新疆
（2）两个等差数列，它们的前n项和之比为
（3）设等差数列{ an }的前n项和为 S n ，已知 a3 12, S12 0, S13 0 指出 S1 , S2 , S3 ,S12
王新敞
奎屯 新疆
,中哪一个最大，说明理由
2 a 例3．数列 n 的前n项和 S n 100n n (n N )
(1) an 是什么数列?
(2)设
bn 的前n项和. bn an , 求数列
例4一个等差数列的前12项之和为354，前12项 中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。 等差数列{an},S偶、S奇分别为该数列的 结论: 所有偶数项之和与所有奇数项之和 （1）若{an}共有2n项， 则S2n=n(an+an+1)(an,an+1为中间项)， 并且S奇-S偶=nd，S奇/S偶=an/an+1 (2)若{an}共有2n-1时， 则S2n-1=(2k-1)an(an为中间项) S奇-S偶=an,S奇/S偶=n/n-1.
2.3等差数列前n项和(2)
一.复习回顾 1.倒序求和法：
2.等差数列的前 n
3.等差数列的前 n 4.
n(a1 a n ) 项和公式1：S n 2
d 2 d S n n (a 1 ) n 2 2
n(n 1)d 项和公式2：S n na1 2
数列 aபைடு நூலகம் 为等差数列
课后作业: P46:A组6B组1、2、3P68A组8，10
例2、已知 an 为等差数列,前10项的和为 S10 100, 前100项的和 S100 10,求前110项的和 S110 .
重要性质：
a1 an a2 an1 的应用：
奎屯 新疆
（2）两个等差数列，它们的前n项和之比为
（3）设等差数列{ an }的前n项和为 S n ，已知 a3 12, S12 0, S13 0 指出 S1 , S2 , S3 ,S12
王新敞
奎屯 新疆
,中哪一个最大，说明理由
2 a 例3．数列 n 的前n项和 S n 100n n (n N )
(1) an 是什么数列?
(2)设
bn 的前n项和. bn an , 求数列
例4一个等差数列的前12项之和为354，前12项 中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。 等差数列{an},S偶、S奇分别为该数列的 结论: 所有偶数项之和与所有奇数项之和 （1）若{an}共有2n项， 则S2n=n(an+an+1)(an,an+1为中间项)， 并且S奇-S偶=nd，S奇/S偶=an/an+1 (2)若{an}共有2n-1时， 则S2n-1=(2k-1)an(an为中间项) S奇-S偶=an,S奇/S偶=n/n-1.
2.3等差数列前n项和(2)
一.复习回顾 1.倒序求和法：
2.等差数列的前 n
3.等差数列的前 n 4.
n(a1 a n ) 项和公式1：S n 2
d 2 d S n n (a 1 ) n 2 2
n(n 1)d 项和公式2：S n na1 2
数列 aபைடு நூலகம் 为等差数列
课后作业: P46:A组6B组1、2、3P68A组8，10
例2、已知 an 为等差数列,前10项的和为 S10 100, 前100项的和 S100 10,求前110项的和 S110 .
重要性质：
a1 an a2 an1 的应用：
人教版A版高中数学必修5：等差数列前n项和(2)
传说陵寝中有一个三角形图案，以 相同大小的圆宝石镶饰而成，共有 100层（见左图），奢靡之程度，可 见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
问题转化
1，2，3，4，…，100
思考 是不是一个数列？一个怎样的数列？
a1 1, d 1, n 100的等差数列
定义 数列{an}中, a1 a2 a3 an表示数列{an}的前n项和， 记Sn，则Sn =a1 a2 a3 an ？ S100 1 2 3 100 高斯算法——首尾相加法
厚德笃学 知行合一 为学生终生发展奠基
等差数列的前n项和
学习目标
1、掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应 用。 2、经历公式的推导过程，体会数形结合思想， 体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归 纳、反思。 3、逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数 推理能力。
问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十 七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念 其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理 石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷， 成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石 镶饰，图案之细致令人叫绝。
小结
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想. -------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个
-------知三求二
当堂检测
根据下列条件，求相应的等差数列{ an }的有关未知数：
（1） a1 20 ， an =54， Sn 999 ，求 d 及 n；
为310,前20项的和为1220,由这些条件能 确定这个等差数列的前n项的和吗？
练习
等差数列{an}前n项和为Sn，若S12 84, S20 460， 求S28.
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
问题转化
1，2，3，4，…，100
思考 是不是一个数列？一个怎样的数列？
a1 1, d 1, n 100的等差数列
定义 数列{an}中, a1 a2 a3 an表示数列{an}的前n项和， 记Sn，则Sn =a1 a2 a3 an ？ S100 1 2 3 100 高斯算法——首尾相加法
厚德笃学 知行合一 为学生终生发展奠基
等差数列的前n项和
学习目标
1、掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应 用。 2、经历公式的推导过程，体会数形结合思想， 体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归 纳、反思。 3、逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数 推理能力。
问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十 七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念 其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理 石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷， 成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石 镶饰，图案之细致令人叫绝。
小结
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想. -------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个
-------知三求二
当堂检测
根据下列条件，求相应的等差数列{ an }的有关未知数：
（1） a1 20 ， an =54， Sn 999 ，求 d 及 n；
为310,前20项的和为1220,由这些条件能 确定这个等差数列的前n项的和吗？
练习
等差数列{an}前n项和为Sn，若S12 84, S20 460， 求S28.
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a1
d
n
an
sn
5
10
10
95
500
100
-2
50
2
2550
-38
2
15
-10 -360
14.5
0.7
26
32
604.5
例2 如图，一个堆放铅笔 的V形架的最下面一 层放1支铅笔， 往上 每一层都比它下面一 层多放一支，最上面 一层放120支.这个V 形架上共放着多少支 铅笔？
例3. 已知一个直角三角形 的三边的长成等差数列， 求证： 三边的比是3:4:5
思考题：如何求下列和？
①前100个自然数的和：
1+2+3+…+100= 5050 ；
②前n个奇数的和： 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ； ③前n个偶数的和： 2+4+6+…+2n= n(n+1) .
等差数列{an}的首项为a1，公 差为d，项数为n，第n项为an， 前n项和为Sn，请填写下表：
说明： 对于等差数列的连续项， 我们通常设连续三项为
a-d,a,a+d 连续四项为
a-3d,a-d,a+d,a+3d
例4 若两个等差数列{an} 与{bn}的前n项和之比为 Sn:Sn=(4n+1):(9n+3)， 求a20:b20.
Байду номын сангаас
例5 证明：若两个等差数列{an} 与{bn}的前n项和分别为 Sn、Sn， 则an:bn= S2n -1: S2n-1