九年级数学上册 3.2 确定圆的条件 反证法应用例析素材 (新版)青岛版
青岛九年级上册数学教案3-2确定圆的条件
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3．2 确定圆的条件目标导引1. 理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用2.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念3.了解反证法重点不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用难点反证法的证明思路一、新课导入长沙马王堆一号汉墓的发掘，是我国考古界惊人的发现，在世界考古学史上，也产生了深远的影响．一位考古学家在马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助这位考古学家将这个破损的圆形瓷器复原，以便于进行深入的研究吗？二、教学建议1．过平面内的点作圆建议：引导学生分类探究，循序渐进，在教学时，注意以下几个方面的问题：(1)从圆的定义出发，分析过已知点作圆时，要抓住对圆心和半径的探究．由于作圆要过已知点，圆心确定了，半径也就确定了，因此作圆的关键是找圆心．(2)经过三点作圆的问题，关键在于能否找到一个点，使它到三个已知点的距离相等．引导学生联系线段垂直平分线的性质，同时探究讨论对比三点在同一直线及不在同一直线上时能否作圆的问题，了解反证法的基本思路和证明的一般步骤．(3)了解三角形的外接圆和三角形外心的概念，让学生明确“接”的含义，结合图形考虑“内”“外”关系即可，对外心的性质要加强训练．2．反证法建议：(1)通过对简单例子的分析，引导学生了解反证法也是一种重要的证明方法，激发学生学习反证法的兴趣．(2)引导学生分析如何用反证法证题，掌握用反证法证题的三个步骤．(3)用反证法证题时，必须考虑结论的反面出现的可能情况．如果结论的反面只有一种情况，只需否定这种情况就可以了；如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能情况全部列举出来，并且一一否定．(4)引导学生知道，用反证法证题的关键是经过逻辑推理推出矛盾(与公理、已证定理、定义或已知条件相矛盾).三、本课小结1．不在同一直线上的三个点确定一个圆．2．三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆．3．三角形的外心：三角形三条边垂直平分线的交点．4．反证法：假设命题不成立→推出矛盾→原命题成立．关闭Word文档返回原板块。
【青岛版九年级数学上册教案】3.2确定圆的条件
3.2确定圆的条件教学目标【知识与能力】1．了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法；2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．【过程与方法】1．经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．2．通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．【情感态度价值观】形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．教学重难点【教学重点】确定圆的条件．【教学难点】学会利用反证法证明.课前准备多媒体课件教学过程第一环节：引入新课确定直线的条件：（1）经过一点、两点、三点你能否画出一条直线吗？若能，可以画出几条直线？（2）通过以上问题的回答，你有什么体会？（3）已知线段AB，求作线段AB的中垂线？第二环节：讲授新课探究一：①作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？为什么有这样多个圆？作图并从从图中可以观察到：圆可以有无数个，而且无规律②作圆，使它经过已知点A、B，你是如何做的？依据是什么？你能作出几个这样的圆？其圆心分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？步骤1：连接两点，画出中垂线步骤2：以任意一点为圆心，都可以画出一个圆通过两点结论：过已知点A，B作圆，可以作无数个圆．③作圆，使它经过不在同一直线的已知点A、B、C，你是如何做到的．你能作出几个这样的圆？为什么？思路点拨：1．能否转化为2的情况：经过两点A，B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上．2．经过两点B，C的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上．3．经过三点A，B，C的圆的圆心应该这两条垂直平分线的交点O的位置．作图步骤：步骤1：连接AB、BC步骤2：分别做线段AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE与FG相交于点O步骤3：以O为圆心，以OB为半径做圆，圆O就是所要求的圆结论：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由此可知：1．三角形的三个顶点确定一个圆，这圆叫做三角形的外接圆．这个三角形叫做圆的内接三角形．2．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．探究二：师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？生：共分三步：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.师：反证法是一种间接证明命题的基本方法.在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明.思考：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2+b2＝c2.问题：若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C≠90°”，请问结论a2+b2≠c2成立吗？请说明理由.分析：假设a2+b2＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾.假设不成立，从而说明原结论a2+b2≠c2成立.这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确.像这样的证明方法叫做反证法.第三环节：例题解析例1、证明平行线的性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.例2、证明：平行与同一条直线的两条直线平行.第四环节：习题巩固（1）分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并说明它们外心的位置情况．（2）判断题：①经过三点一定可以作圆．（）②任意一个三角形有且只有一个外接圆．（）③三角形的外心是三角形三边中线的交点．（）④三角形外心到三角形三个顶点的距离相等．（）（3）两直角边分别为15和20的直角三角形的外接圆半径为（）A．12．5 B．25C．20 D．10（4）．三角形外心具有的性质是（）A．到三个顶点距离相等B．到三边距离相等C．外心必在三角形外第五环节：课堂小结1．确定圆的条件：不在同一直线上的三点；圆心、半径2．外心的位置：（1）锐角三角形外心在三角形的内部（2）直角三角形的外心在斜边上（3）钝角三角形的外心在三角形的3.反证法。
九年级数学上册 3.2 确定圆的条件 反证法就是举反例吗素材 (新版)青岛版
反证法就是举反例吗首先要说明的是反证法不是举反例。
下面我们来剖析一下二者，帮同学们提高。
举反例是用来说明一个命题是假命题，所谓举反例就是要使所举的例子满足命题的条件而不满足命题的结论，这样就说明一个命题是假命题。
例如右图，a∥b,则∠1+∠2=180°，这两个角满足条件，但是∠1与∠2不是邻补角。
这样就说明了这个命题是假命题。
反证法是采用了“正难则反”的思想，当一个真命题用直接证法困难时，我们常常假设结论不成立，然后从结论出发推出与已知定义，定理相矛盾，从而判定原结论成立，例：用反证法证明，“一个三角形中不能有两个角是直角”已知：△ABC。
求证：。
∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角分析：按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角” 不成立，即它的反面“∠A、∠B、∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾。
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立。
∴一个三角形中不能有两个角是直角。
反证法是先假设命题结论的反面是正确的；从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理，已知的定理，定义或已知条件矛盾。
由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的。
怎么样？同学们通过以上的剖析，你分清反证法和举反例了吗？反证法是一种重要的间接证明方法，下面加以系统归纳，供参考．1．宜用反证法证明的题型①易导出与已知矛盾的命题；②否定性命题；③惟一性命题；④至少至多型命题；⑤一些基本定理；⑥必然性命题等．2．步骤①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论）．3．典例分析例 求证：a 、b 、c 为正实数的充要条件是0a b c ++>，且0a b b c c a ++>和0abc >． 分析：由a 、b 、c 是正实数，显然易得0a b c ++>，0ab bc ca ++>，0abc >．即“必要性”的证明用直接证法易于完成，并不需要用反证法．证明“充分性”时，要综合三个不等式推出a 、b 、c 是正实数，有些难度，于是，试试反证法．证明：（1）证必要性．（略）（2）证充分性．假设a 、b 、c 不全为正实数（原结论是a 、b 、c 都是正实数），由于0abc >，则它们只能是二负一正．不妨设0a <且0b <且0c >，又由于0()0ab bc ac a b c bc ++>⇒++>，∵0bc <，∴()0a b c +>．①又∵0a <，∴0b c +<．②而0()0a b c a b c ++>⇒++>，∴0a >，与0a <的假设矛盾．∴假设不成立，原结论成立，即a 、b 、c 均为正实数．说明：如果从①处开始，如下进行推理：∵0a b c ++>，即()0a b c ++>，又0a <，∴0b c +>．则()0a b c +<，与①式矛盾．这样，矛盾的焦点就发生在两部分推理的结论上了，即自相矛盾；还可以让矛盾的焦点发生在已知条件上，从②处开始，于是0a b c ++<，与已知0a b c ++>矛盾，这个途径最简捷．评注：反证法矛盾的焦点，可以是和“已知条件”或“定义”、“公理”、“定理”、“反面假设”矛盾，也可以自相矛盾（即两部分推理的结果）．其本质是，先利用的和剩余者之间的矛盾．究竟先利用哪些好，应根据题目的具体情况决定．顺其自然，因势利导，不必拘泥于一格．。
青岛版-数学-九年级上册-3-2 确定圆的条件(第2课时)
10、请说出下列结论的反面:（1）d是正数; （2）a≥0; （3）a<5．
11、如下左图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．
证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有_____条直线，这与“过两点_______”矛盾，所以假设不成立，则________．
12、完成下列证明．
如上右图，在△ABC中，若∠C是直角，那么∠B 一定是锐角．
证明：假设结论不成立，则∠B是______或______．当∠B是____时，则_________，这与________矛盾；
当∠B是____时，则_________，这与________矛盾．综上所述，假设不成立．
∴∠B一定是锐角．
13、用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，•应先假设这个三角形中（）
A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°
14、若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应假设_______________．
15、已知：如图，设点A、B、C在同一条直线l上.
求证：经过A、B、C三点不能作一个圆.。
青岛版九年级数学上册确定圆的条件课件(共16页)
1.分别连接AB、BC；
2. 分别作出线段AB，BC的垂直平分线l1
和l2，设他们的交点为O ，则 OA=OB=OC；
l1
3.以点O为圆心，OA为半径作圆.
圆O就是所求作的经过A,B,C三点
的圆.
B
A
·O C
l2
A
O
B
C
经过一个三角形三个顶点的圆 叫做三角形的外接圆; ＿＿外＿＿接＿圆＿＿的＿圆＿＿心＿＿ 叫做这个三角形的外心;
(1)经过一个已知点能作多少个圆? 经过一个已知点能作无数个圆!
A
(2)经过两个已知点A,B能作多少个圆? 经过两个已知点A,B能作无数个圆!
思考：经过已
A
B
知点A,B所作的
圆的圆心在什
么位置?
线段AB的垂直平分线上
尺规作图-----垂直平分线
0 1
C
2
3
4
5
A
6
B
7
8
9
10
D
(3)经过在同一条直线上的三个点一定能作 出一圆吗?
，
B
若 AC=12，BC=5， 13
求外接圆半径.
2
C A
作业
课本第81页 第7题 要求：画坐标系，点要准确， 必做（1）（3） 选做（2）
3.2 确定圆的条件 （1）
学习目标
1.理解并掌握确定圆的条件， 2.理解并掌握三角形的外接圆、外心、内
接三角形等概念，知道不同三角形外心 的位置.
问题： 小明不谨慎打碎了一块圆形玻璃, 现在他要重新去买一块,但需要确 定圆形玻璃的大小.他从破碎的玻 璃中挑了较完整的一块(如图),请 问能根据这块玻璃来确定圆形玻 璃的大小吗?
九年级数学上册 3.2 确定圆的条件教案 (新版)青岛版
3.2 确定圆的条件【教学目标】1.通过“实验与探究”活动探索确定圆的条件，会利用尺规过不在同一直线上的三点作圆.2.了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念及外心的性质.3.树立探究数学问题的意识，从问题的解决中获得成功的体验，学会与他人合作，并能交流思维的过程和结果.【教学重难点】重点：掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法.难点：确定圆的条件的思维过程．【教学过程】一、导入环节（一）导入新课，板书课题导入语：导入语：经过七年级的学习，我们已经知道了已知圆心和半径能做一个圆，现在有一个残破的古代瓷器碎片（课件展示），你能将它复原吗？怎样确定这个圆盘所在的圆心和半径呢？这节课我们学习确定圆的条件.请同学们看一下这节课的学习目标.（二）出示教学目标课件展示教学目标，让学生识记学习目标，教师点拨学习目标.过渡语：让我们带着学习目标，开始本节课的学习.首先请按照自学指导的要求进行自学.二、先学环节（一）出示自学指导自学课本76-77页的内容，并按照以下要求画图，思考解答以下问题：（1）已知一个点A ，经过点A 能作圆吗？你能作出多少个圆？（2）已知两个点A 与B ，经过A ，B 两点能作圆吗？你能作出多少个圆？这些圆的圆心分布有什么规律？（3）已知不在同一直线上的三个点A ，B ，C ，经过这三点能作圆吗？如果能，请你作出经过这三点的圆.并总结作图的步骤.（4）如果A ，B ，C 三点在同一条直线上，过这三点能作出一个圆吗？A. A. .B(二)自学检测反馈过渡语：通过自学和同学的帮助你感到学的怎么样？那么我们通过自学检测来检验一下.请合上课本.1.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 .2.三角形的外心是 的圆心，是三角形 的交点，外心到三角形A的距离相等.（三）质疑问难：你在自主学习环节还有哪些疑惑？请记录在学案上，准备交流释疑.三、后教环节 过渡语：针对自学中存在的问题，小组同学展开交流互助.请将你们组的疑惑提出来让大家帮你解决吧！（一）学习任务和指导1.将自主学习和自学检测中疑难问题进行交流.组长掌握组内的情况，记录没能解决的问题.2.独立思考探究题目探究：请同学们作出下列三角形的外接圆.并根据作图回答以下问题：问题1：比较上面三个三角形外心的位置，你有什么发现？写下来与同组同学分享.问题2：在Rt △ABC 中，若直角边AC=5，BC=12，则它的外接圆的半径是多少？（二）预设生成和点拨1.通过学生作图，引导学生发现不同的三角形外心位置的不同，明确任何三角形有且只有一个外接圆，但是一个圆却有无数个内接三角形.2.直角三角形的外心的位置以及外接圆半径与边长的关系，并引导学生用这个结论解决问题. 学生在探究过程中，动手作图，作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，感受三角形外心的位置及性质.根据得到的结论：直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，利用这个结论解决问题.四、训练环节过渡语：下面请认真规范完成当堂训练题目.认真规范完成训练题目，书写认真，步骤规范，成绩计入小组量化.1.下列命题不正确的是（ D ）A.过一点可画无数多个圆；B. 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；C.任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；D. 过三点可以画一个圆.2．一个三角形的外心在它的内部，则这个三角形一定是 （ C ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形3.已知如图，在直角坐标系中，已知点A （0，4）B(4,4)和点C （6，2）.(1) 点A 、B 、C 能确定一个圆吗？说明理由；（2）如果能，用尺规作图的方法，作出过这三点的圆的圆心P ；（3）写出圆心P的坐标，并求出⊙0的半径.学生独立完成后，用展台展示学生答案，交流问题.课堂总结：请同学们谈一下这节课的收获与反思。
【青岛版九年级数学上册教案】3.2确定圆的条件
3.2 确立圆的条件教课目的【知识与能力】1．认识不在同向来线上的三个点确立一个圆，以及过不在同向来线上的三个点作圆的方法；2．认识三角形的外接圆、三角形的外心等观点．【过程与方法】1．经历不在同向来线上的三个点确立一个圆的研究过程，培育学生的研究能力．2．经过研究不在同向来线上的三个点确立一个圆的问题，进一步领会解决数学识题的策略．【感情态度价值观】形成解决问题的基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．教课重难点【教课要点】确立圆的条件．【教课难点】学会利用反证法证明.课前准备多媒体课件教课过程第一环节：引入新课确立直线的条件：（1）经过一点、两点、三点你可否画出一条直线吗？若能，能够画出几条直线？（2）经过以上问题的回答，你有什么领会？（3）已知线段AB，求作线段AB的中垂线？第二环节：讲解新课研究一：①作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？为何有这样多个圆？作图并从从图中能够察看到：圆能够有无数个，并且无规律②作圆，使它经过已知点A、B，你是怎样做的？依照是什么？你能作出几个这样的圆？其圆心散布有什么特色？与线段AB有什么关系？为何？步骤 1：连结两点，画出中垂线步骤 2：以随意一点为圆心，都能够画出一个圆经过两点结论：过已知点A，B 作圆，能够作无数个圆．③作圆，使它经过不在同向来线的已知点 A、 B、 C，你是怎样做到的．你能作出几个这样的圆？为何？思路点拨：1．可否转变为 2 的状况：经过两点A，B 的圆的圆心在线段AB的垂直均分线上．2．经过两点B， C的圆的圆心在线段BC的垂直均分线上．3．经过三点A， B，C的圆的圆心应当这两条垂直均分线的交点O的地点．作图步骤：步骤 1：连结AB、BC步骤 2：分别做线段AB、 BC的垂直均分线DE和 FG， DE与 FG订交于点 O步骤 3：以O为圆心，以OB为半径做圆，圆O就是所要求的圆结论：不在同一条直线上的三个点确立一个圆．由此可知：1．三角形的三个极点确立一个圆，这圆叫做三角形的外接圆．这个三角形叫做圆的内接三角形．2．外接圆的圆心是三角形三边垂直均分线的交点，叫做三角形的外心．研究二：师：经过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，进而证明原命题建立，这样的证明方法叫做反证法 . 师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？生：共分三步：(1)假定数题的结论不建立，即假定结论的反面建立；(2)从假定出发，经过推理，得出矛盾；(3)由矛盾判断假定不正确，进而必定数题的结论正确.师：反证法是一种间接证明命题的基本方法. 在证明一个数学命题时，假如运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明.思虑：在△ ABC中， AB=c， BC=a， AC=b，假如∠ C=90°， a、 b、 c三边有何关系？为何？分析：由∠ C=90°可知是直角三角形，依据勾股定理可知a2+b2＝ c2.问题：a2+b2≠ c2成若将上边的条件改为“在△ABC中， AB=c， BC=a， AC=b，∠ C≠90°”，请问结论立吗？请说明原因.剖析：假定 a2+b2＝ c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°2 2 2这类证明方法与前方的证明方法不一样，它是第一假定结论的反面建立，而后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公义矛盾的结论，进而获得原结论的正确. 像这样的证明方法叫做反证法 .第三环节：例题分析例 1、证明平行线的性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.例 2、证明：平行与同一条直线的两条直线平行.第四环节：习题稳固（1）分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，并说明它们外心的地点状况．（2）判断题：①经过三点必定能够作圆．（）②随意一个三角形有且只有一个外接圆．（）③三角形的外心是三角形三边中线的交点．（）④三角形外心到三角形三个极点的距离相等．（）（3）两直角边分别为15 和 20 的直角三角形的外接圆半径为（）A． 12． 5B．25C． 20D．10（4）．三角形外心拥有的性质是（）A．到三个极点距离相等B．到三边距离相等C．外心必在三角形外第五环节：讲堂小结1．确立圆的条件：不在同向来线上的三点；圆心、半径2．外心的地点：（1）锐角三角形外心在三角形的内部（2）直角三角形的外心在斜边上（3）钝角三角形的外心在三角形的3.反证法。
九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.2确定圆的条件教案1(新版)青岛版
确定圆的条件(1)教学目标：1．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及作圆的方法；2. 了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念，培养应用数学知识解决实际问题的能力。
教学重点：三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。
教学难点：培养学生动手作图的准确操作的能力。
预习任务：二、自学课本P76---77完成下列问题：活动一：过定点A是否可以作几个圆？画一画：活动二：过两个定点A.B是否可以作几个圆？画一画：活动三：过不在同一直线上的三点，是否可以作几个圆？画一画：归纳结论:____________________________________________________二、预习诊断：破镜重圆:利用所学知识，帮助玻璃店里的师傅找出残缺圆片所在的圆心，并把这个圆画完整.实际操作:先在圆弧上顺次取三点A.B.C.(如图)，连接AB.BC.AC，然后怎样找到圆心？你画一画，找到破镜的圆心2.判断题：（1）经过三点一定可以作圆；（）ABC（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（ ）（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（ ）（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（ ）（5）三角形的外心到三角形各顶点距离相等．（ ）3.直角三角形的外心在三角形（ ）（A ）内部 （B ）斜边中点上 （C ）外部 （D ）可能在内部也可能在外部教学过程：一、创设情境 激发兴趣：问题：小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是哪一块？二、精讲点拨：1、过一点A 可以作无数个圆；；过两个点A.B 也可以作无数个圆；经过三点不一定能作圆，不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
2、有关概念：三角形的外接圆；三角形的外心；圆内接三角形三、拓展延伸：在Rt △ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm ，BC = 4 cm ，求它的外心与顶点C 的距离O A B C C AB四、系统总结:通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑惑？五、限时作业:1．（4分）判断题：（1）三点确定一个圆（）（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆（）（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形（）（4）三角形的外心到三角形各顶点距离相等（）2．（6分）求边长为6cm的等边三角形的外接圆半径。
初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料3.2 确定圆的条件(2)_1
自学指导
1.自学课本78-79页的内容,并在自学的基
Hale Waihona Puke 础上自己推导出一元二次方程的求根公式. 熟记什么是反证法，和用反证法证明一个 命题的步骤。
2.自学课本79页例1、例2内容。
合作探究
组内交流：将自主学习和自
学检测中疑难问题进行交流. 全体同学完成以下两个探究 练习，
当堂训练
认真规范完成训练题目，书写
课前准备：
阅读课本78-79页的内容，完成导 学案自学指导的内容.
迅速反应
立即行动！
3.2 反证法
昌乐营丘镇中学 九年级数学
学习目标
1.通过命题“过共线三点不能作圆”的证明实
例介绍反证法，了解用反证法证明一个命题的 基本思路和一般步骤． 2.通过合作交流，能运用反证法证明简单的几 何命题，培养质疑，严谨的逻辑思维能力. 3.培养逆向思维能力，激发学习的兴趣和求知 欲望．
认真，步骤规范，成绩计入小组 量化. 展示要求：老师确定人员到黑 板展示
回扣目标
1.通过命题“过共线三点不能作圆”的证明实
例介绍反证法，了解用反证法证明一个命题的 基本思路和一般步骤． 2.通过合作交流，能运用反证法证明简单的几 何命题，培养质疑，严谨的逻辑思维能力. 3.培养逆向思维能力，激发学习的兴趣和求知 欲望．
2022年九年级数学上册 3.2 确定圆的条件学案(新版)青岛版
3.2确定圆的条件学习目标探索并理解确定圆的条件；会利用尺规过不在同一条直线上的三点作圆；了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念。
学习过程：【温故知新】思考并回答以下问题：⑴作一个圆的关键是确定它的 和⑵过一个点可以作几条直线？过几个点可以确定一条直线？ 【创设情境】 车间工人要将一个如图所示的破损的圆盘复原，你有办法吗？【探索新知】活动一：思考、操作1、在下面的方框中用圆规按作出符合要求的圆。
（1）作圆：使它经过已知点A ，怎样确定圆心和半径，你能作出几个这样的圆？（2）作圆：使它经过已知点A 、B 你是如何作的？怎样确定圆心和半径？你能作出几个这样的圆？（3）作圆：使它经过已知点A 、B 、C （A 、B 、C 三点不在同一条直线上），怎样确定圆心和半径？你能作出几个这样的圆？为什么？(1) (2) (3)结论：过已知一点可作_________个圆，过已知两点可作_________个圆， A A BA BC过_______ _个圆。
即：确定一个圆。
活动二：自学并思考：自学课本77页上面的内容，完成下面问题：1、什么叫三角形的外接圆？什么叫圆的内接三角形？什么叫三角形的外心？2、思考：⑴如何作三角形的外心⑵在空白处作锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？3、根据上图说一说三角形的外心有何性质：【巩固提升】Rt△ABC中，∠C=900，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为 cm.【课堂小结】说一说学习了哪些数学知识和数学思想，还有什么困惑？【达标检测】1、下面四个命题中真命题的个数是（）①经过三点一定可以做圆；②任意一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③任意一个圆一定有一个内接三角形，而且只有一个内接三角形；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。
A、4个B、3个C、2个D、1个2、.一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是( )A.等腰三角形B.直角三角形;C.锐角三角形D.等边三角形某三角形三边分别为25cm，24cm，7cm，则此三角形的外接圆的半径长为。
青岛版九年级上册第三章圆3.2确定圆的条件
3.２确定圆的条件学习目标1.知识与技能：①理解不在同一直线上的三个点确定一个圆；②掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法；③了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念，提高应用数学知识解决实际问题的能力。
2.过程与方法：经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程,体会归纳、类比以及由特殊到一般的数学思想方法。
3.情感态度与价值观：在探索活动中培养学生勇于探究的学习品质，体会解决问题的策略，学会数学地思考。
学习重点：理解不在同一直线上的三个点确定一个圆学习难点：了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念，提高应用数学知识解决实际问题的能力。
自学过程：（一）创设情境 激发兴趣问题1：小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是哪一块？问题2：玻璃店里的师傅，要划出一块与原来大小一样的圆形玻璃，他只要知道圆的什么就可以了？为什么？问题3：如果店里师傅仅仅知道圆的半径，他可以画出多少个这样的圆？为什么？（二）操作探究 归纳结论活动一：过定点A 是否可以作圆？如果能作？可以作几个？活动二：过两个定点A 、B 是否可以作圆？如果能作，可以作几个？活动三：过三点，是否可以作圆，如果能，可以作几个？(分两种情况讨论)归纳结论:_______________________________________________________________（三）学以致用 发展能力1．直角三角形的两条直角边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆的半径等于 .2．①破镜重圆:利用所学知识,帮助玻璃店里的师傅找出残缺圆片所在的圆心,并把这个圆画完整.②实际操作:小明发现,店里师傅先在圆弧上顺次取三点A 、B 、C.(如图),使AB=BC.并测量得:AB=BC=5dm,AC=8dm,然后师傅计算了下，就很快划出与原来一样大小的圆形玻璃,你知道他计算的是什么？CBA（四）回顾反思交流收获本节课你学到了什么？（五）达标检测1．判断题：（1）三点确定一个圆（）（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆（）（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形（）（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点（）（5）三角形的外心到三角形各顶点距离相等（）２.已知点O是△ABC的外心，∠A=500,则∠BOC的度数是（）A.500B. 1000C.1150D. 6503.２确定圆的条件1—6题每题1分，7、8每题2分一、填空题1．经过平面上一点可以画 个圆；经过平面上两点A 、B 可以作 个圆，这些圆的圆心在 ．2．经过平面上不在同一直线上的三点可以作 个圆．3．锐角三角形的外心在 ；直角三角形的外心在 ；钝角三角形的外心在 ．二、选择题4．下列命题中的假命题是（ ）A ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等B ．三角形的外心到三角形三边的距离相等C ．三角形的外心一定在三角形一边的中垂线上D ．三角形任意两边的中垂线的交点，是这个三角形的外心5．等边三角形的外接圆的半径等于边长的（ ）倍．A ．23B ．33C ．3D ．216．下列说法错误的是（ ）A ．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆B ．任意一个圆都有无数个内接三角形C ．任意一个三角形都有无数个外接圆D ．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上7．求边长是6cm 的等边三角形的外接圆的半径．8．已知线段a 、b 、c ．求作：（1）△ABC ，使BC=a ，AC=b ，AB=c ；（2）⊙O 使它经过点B 、C ，且圆心O 在AB 上．（作⊙O 不要求写作法，但要保留作图痕迹）。
【中小学资料】九年级数学上册 3.2 确定圆的条件 拓展思考 水面上的圆圈问题素材 (新版)青岛版
中小学最新教育资料
中小学最新教育资料拓展思考：水面上的圆圈问题
你一定欣赏过把一块石块丢到平静的水面上，所造成的那个圆形的波纹．而且，对于这个自然现象的解释，你知道吗？水面受到石决掷击后，激起的波浪就会以相同的速度从这一点向四外展开，因此，每一瞬间波浪的各点都是处在和波浪发生点同样距离的地方，也就是说，各个点都处在一个圆周上．
以上是说静水中的情形．那么，在流动的水中，事情有没有变化呢?在快速流动的河中由投石所激起的波浪，向四面扩展的情形，究竟仍是圆形的，还是变成一个拉长的圆形了呢？（让学生在实践中观察、发现问题，并应用所学的数学知识解决问题）
分析：仍是圆形．如图流动的水流对于这个波纹上的所有各点，都引向箭头所示的方向流去，而且所有各点的流动都沿着互相平行的方向，用相等的速度，就是移动了同样距离．而各点在“平行移动”情形下，是不会改变原来形状的．
注意：上面分析是在理想状态下，在实践中学生可能得出这样和那样的结论，都很好，因为结论并不重要，重要在实践中发现问题，并应用所学的数学知识解决问题．。
九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.2确定圆的条件教案2(新版)青岛版
确定圆的条件(2)教学目标：1.了解间接证明的一种基本方法---------反证法2.了解反证法的思维过程，明确反证法的证题步骤3.会用反证法进行简单的推理教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，掌握反证法证题的步骤。
教学难点：理解反证法的推理依据及方法，用反证法证明简单的命题、。
一、自学课本78页-79页，完成下列问题：1、如果A.B.C三点在同一直线上，经过这三点能不能画出一个圆，试一试后，答：2、“经过同一直线上的三点不能画出一个圆”，采用的是_____法来证明的。
写出反证法的三个步骤：（1）否定结论-----假设命题的结论_______；（2）推出矛盾-------从假设出发，经过推理，得出_______；（3）肯定结论-------由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论3、请你模仿课本78页，写出“经过同一直线上的三点不能画出一个圆”的证明过程：自学79页例1，写出证明过程：自学79页例2，写出证明过程：二、预习诊断：用反证法证明：已知：△ABC求证：△ABC中不能有两个角是直角. 教学过程:ABC一、创设情境激发兴趣：问题：我们知道：不在同一直线上的三点能画出一个圆，那么经过同一直线上的三点能不能画出一个圆呢？二、精讲点拨：1、反证法的定义注意：反证法是一种间接证明命题的基本方法。
在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
2、反证法证题的步骤（1）否定结论（作为一个条件）（2）推出矛盾（推理得出与命题的条件或已知的定义、基本事实、定理等相矛盾的结论）（3）肯定结论（否定结论不成立，从而得到原结论正确）3、例1、2解疑，强调方法如何应用。
三、拓展延伸：1、用反证法证明：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B ≠∠ C2、在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠c2 成立吗？请说明理由四、系统总结:通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑惑？五、限时作业:1、（2分）当一个命题不易用直接证法证明时，可以采用2、（4 分）写出反证法的三个步骤：3、（4分）求证：三角形中一定有一个角小于或等于60°。
九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.2确定圆的条件教学案1无答案青岛版
确定圆的条件学习目标：1.了解用反证法证明的一般步骤。
重点：用反证法证明的一般步骤。
难点：用反证法证明的一般步骤。
教学过程：【温故知新】1、如图，A.B.C三点的坐标分别为(-1，3)，(-2，-2)，(4，-2)△ABC的外心坐标是。
2、如上图，是一块圆形砂轮破碎后部分残片，小王师傅重新制作一个，一时又找不到图纸看尺寸，请帮助小王师傅确定此轮半径，再重新制作一个。
3、等腰直角三角形的外接圆半径等于( )A.腰长B.腰长的错误！不能通过编辑域代码创建对象。
倍;C.底边的错误！不能通过编辑域代码创建对象。
倍D.腰上的高【创设情境】上节课我们学习了不在同一直线上的三点确定一个圆，如三点在同一直线上能不能作圆呢？这节课我们一起来学习。
【探索新知】思考：1、如果A.B.C三点在同一条直线上，经过A.B.C三点能作出一个圆吗？试一试。
2、为什么过同一条直线上的三点不能作圆？怎样证明这个结论呢？自学：仔细看课本78页的证明过程，并了解用反证法证明的一般步骤。
总结：师生结合反证法证明的一般步骤，一起分析总结证明过程。
【巩固提升】1、学习课本79页例1，师生共同规范步骤和总结解题思路。
2、学习课本79页漫游，感受推理威力的强大。
3、课本80页练习1题。
4、学习课本79页例2，学生自己解决，师生共同纠正。
5、课本80页练习2题。
【课堂小结】说一说学习了哪些数学知识和数学思想，你感觉有哪些困惑？在小组内交流一下。
【达标检测】1、用反证法证明：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF，证明的第一步骤是( )。
A.假定CD∥EFB.假定CD不平行于EFC.假定AB∥EFD.假定AB不平行于EF2、用反证法证明：“直角三角形中的两个锐角不能都大于45度。
”第一步应假设这个三角形中( )A.每个内角都小于45度B.有一个内角大于45度C.有一个内角小于45度D.每一个内角都大于45度3、如图，直线AB，CD相交，求证AB.CD只有一个交点为，证明：假设AB.CD相交于两个交点O，O’，那么过O，O’两点就有两条直线，这与“ ________ ”矛盾，所以假设不成立，则。
[K12学习]九年级数学上册 3.2 确定圆的条件 反证法应用例析素材 (新版)青岛版
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“反证法”应用例析反证法是一种间接证题方法。
证题时，首先假设结论不成立，然后以此为出发点，通过正确的逻辑推理，推导出与已知条件、定义、公理或定理等相矛盾的结果，从而肯定假设错误，得出结论正确。
下面举例加以说明，供同学们参考。
一、证明与三角形有关的问题例题1、求证：一个三角形中不能有两个角是直角。
分析：应首先据题意画出一个三角形草图，并写出已知、求证，然后按照反证法的步骤进行推理即可。
已知：△ABC。
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角。
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90º，则∠A+∠B+∠C=90º+90º+∠C＞180º，这与三角形的内角和定理相矛盾，所以假设∠A=∠B=90º不成立，因此，一个三角形中不能有两个角是直角。
二、证明与圆有关的问题例题2、已知：如图，⊙O的两弦AB、CD相交于圆内一点，且AB、CD都不是⊙O的直径。
求证：AB与CD不能互相平分。
分析：应采用反证法。
先假设AB与CD能互相平分，再据圆的相应定理，推出与我们所学的性质相矛盾的结果即可。
证明：假设AB与CD能互相平分，并设AB与CD的交点为P，则有PA=PB,PC=PD,又∵AB、CD都不是⊙O的直径。
∴点O和点P不重合。
而由PA=PB,得OP⊥AB；由PC=PD,得OP⊥CD这与“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。
因此，非直径的两条弦AB与CD不能互相平分。
三、证明与一元二次方程有关的问题例题3、已知a＞2， b＞2，请判断关于x的方程x2-(a+b)x+ab=0与x2-abx+(a+b)=0有没有公共根；并说明理由。
分析：可用反证法，先假设两个方程有公共根，然后推导出与已知相矛盾。
解：这两个方程没有公共根。
理由如下：假设所给的这两个方程有公共根x0,根据题意，得x02-(a+b)x0+ab=0①x02-abx0+(a+b)=0②②-①得：(x0+1) (a+b-ab)=0。
青岛版九年级数学上册《确定圆的条件》
确定直线的条件
(1)经过一点可以作无数条直线； (2)经过两点只能作一条直线.
●A
●A
●B
第三页，共十六页。
1.作圆,使它过已知点A，你能作出几个这样的圆? 2.作圆,使它过已知点A,B，你能作出几个这样的圆?
●O
●A
●O
●O
● O
●O
●O ●O
●A
●B
●O
●O
第四页，共十六页。
例：作圆,使它过已知点A、B、C(不在同一条直线上),你能作出几个这 样的圆?
成立,从这样的假设出发,经过推理得出和
已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等
矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,
即所求证的命题正确。这种证明方法叫做
反证法。
第十三页，共十六页。
反证法的证明过程：
否定结论——假设命题的结论不成立； 推出矛盾——从假设出发，经过一系列正确的推理，
得出矛盾； 肯定结论——由矛盾结果，断定反设不成立，从而
第五页，共十六页。
不在一条直线上的三个点确定一个圆.
第六页，共十六页。
F
●A
E
●O
●B
┏
●C
D
G
三角形的三个顶点确定一个圆,这圆叫做三角形的外接圆.这个三角形 叫做圆的内接三角形.
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的 的交点,叫做三角形的外心.
A
B
第七页，共十六页。
●O
CHale Waihona Puke 分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的外接圆,并说外心的位置
肯定原结论成立。
第十四页，共十六页。
已知：如图，直线a,b被直线c所截， a∥b 求证：∠1 = ∠2
九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.2确定圆的条件(2)练习(新版)青岛版
3.2 确定圆的条件（2）1．下列命题中，假命题是（）A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等 D．菱形的对角线相等且互相平分2．用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中，至多有一个锐角”的第一步是________．3．•命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是_______，这个命题是________命题．（填“真”或“假”）4．如图所示是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，依此类推，若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为_______cm．5．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．6．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB<CD，AB=10，BC=3．（1）如果M为AB上一点（如图①，且满足∠DMC=∠A，求AM的长．（2）如果点M在AB边上移动（点M与A、B不重合），且满足∠DMN=∠A，MN交BC延长线于N（如图②），设AM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．（•写x 的取值范围时，不写推理过程）7．如图所示，菱形ABCD的边长为24cm，∠A=60°，质点P从点A出发沿线路AB-BD作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿线路DC-CB-BA作匀速运动．（1）求BD的长；（2）质点P、Q运动的速度分别是4cm/s、5cm/s．经过12s后，P、Q分别到达M、•N 两点，若按角的大小进行分类，请你确定△AMN是哪一类三角形，并说明理由．（3）设题（2）中的质点P，Q分别从M，N同时沿原路返回，质点P的速度不变，质点Q 的速度改变为acm/s．经过3s后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与题（2）中的△AMN•相似，试求a的值．8．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，•启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图所示，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连结CC′，设AB=a，AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a2+b2=c2．cD'B'BAbaC'D C9．如图所示，B、C、E三点在一条直线上，△ABC•和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB．（1）求证：AE=DB；（2）如果把△DCE绕点C顺时针再旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？10．已知：如图所示，在△ABC中，D是AB边上的一点，且BD=BC，BE⊥CD于E，交AC于点F，请再添加一个条件，使四边形DMCF是菱形，•并加以证明．11．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形．•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）BAFED C12．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，F、H分别是AB、CD的中点，•FH分别交BD、AC于G、M， BD=6，ED=2，BC=10．（1）求GM的长；（2）若梯形ABCD是等腰梯形，求证：△BFG≌△CHM．BAHG MFEDC参考答案1．D2．假设三角形的三个外角中，有两个锐角．3．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真．4．85．证明：假设在一个三角形中，这两个角所对的边相等，那么根据等边对等角，它们所对的两个角也相等，这与已知条件相矛盾，说明假设不成立，•所以在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．6．解：（1）在等腰梯形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠A=∠B．又∵∠A=∠DMC，∠1+∠A+∠2=∠2+∠DMC+∠3=180°，∴∠1=∠3．∴△ADM≌△BMC．设AM=x，则3 310xx =-，∴x2-10x+9=0，∴x=1或x=9，经检验都是原分式方程的根．∴AM长为1或9．（2）同理可证△ADM∽△BMN，可得3 310xy x=+-，∴y=-13x2+103x-3（1<x<9）．7．（1）菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形．∴BD=24cm．（2）△AMN是直角三角形，确定理由如下： 12s后，点P走过的路程为4×12=48（cm），∵AB+BD=48（cm），∴点M与点D重合．点Q走过的路程为5×12=60（cm）．∵DC+CB+12AB=60（cm），∴点N是AB的中点．连结MN，∵AM=MB，AN=BN，∴MN⊥AB．∴△AMN是直角三角形．（3）点P从M点返回3秒走过的路程为4×3=12（cm）．∵12BD=12cm，∴点E是BD的中点．点Q从N点返回3s走过的路程为3acm．∵△BEF与题（2）中的Rt△AMN相似，又∵∠EBF=∠A=60°，①若∠BFE=∠ANM=60°．a：当点F在BN上时，BF=BN-FN=12-3a．（证法1）：∵△BEF∽△AMN，∴BF BE AN AM=．∴12312 1224a-=．解得a=2．（证法2）：在Rt△BEF中，∠BEF=30°，∴BF=12BE．∴12-3a=12×12．解得a=2．b：当点F在BC上时，BF=3a-BN=3a-12．（证法1）：∵△BEF∽△AMN，∴BF BE AN AM=．∴31212 1224a-=．解得a=6．（证法2）在Rt△BEF中，∠BEF=30°，∴BF=12BE．∴3a-12=12×12．解得a=6．②若∠BEF=∠ANM=90°，即点F与点C重合，此时3a=BN+BC=36．∴a=12．综上所述，a=2或6或12．8．∵四边形BCC′D′为直角梯形，∴S梯形BCC‘D’=12（BC+C′D′）·BD ′=2()2a b+．∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′，∴∠BAC=∠B′AC′．∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°．∴S梯形BCC‘D’=S△ABC+S△CAC‘+S△D’AC‘=12ab+12c2+12ab=222c ab+．∴2()2a b+=222c ab+．∴a2+b2=c2．9．（1）证△BCD≌△ACE即可；（2）如果把△DCE绕点C顺时针再旋转一个角度，（1）•中的结论仍成立．10．添加条件DM∥AC（或ME=EF，DM=DF，DM=CF等均可）．证明：如图所示，在△ABC中，BD=BC，BE⊥CD，则DE=CE．∵DM∥AC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴△DME≌△CFE，∴DM=CF．∴四边形DMCF是平行四边形．又∵BF⊥CD，∴Y DMCF是菱形．11．（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°．∵AB=AC，∴∠B=∠C．又∵DB=DC，∴△DEB≌△DFC．∴DE=DF．（2）∠A=90°，四边形AFDE是平行四边形等．（方法很多，如∠B=45°或BC=2AB•或DE⊥DF或F为F为AC中点或DF∥AB等）．12．解：（1）∵F、H为AB、CD的中点，∴AD∥FH∥BC．∴△AED∽△CEB．∴AD EDCB EB=，∴2104AD=．∴AD=5．又∵△AED∽△MEC，∴ED AD EG MG=．∴251MG=，∴MG=52（或2.5）．（2）∵等腰梯形ABCD中F、H分别是AB、CD的中点，∴BF=CH，∠BAD=∠CDA，FH∥AD．∴∠BFG=∠CHM．∴FG=HM=12 AD．∴△BFG≌△CHM．。
2022年数学九年级上《确定圆的条件2》课件(新青岛版)
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学习目标
1.体会反证法的含义，知道证明一个命 题除用直接证法外，还有间接证法。
2.了解用反证法证明命题的一般步骤。
实验与探究
1.如果A、B、C三点在同一条直线上， 经过点A、B、C能作出一个圆吗？ 2.为什么过同一直线上的三个点不能作 圆？怎样证明这个结论？
归纳总结
在证明一个命题时,有时先假设命题不成立,从 这样的假设出发,经过推理得出和条件矛盾,或 者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题 不成立是错误的,即所求证的命题正确。这种证 明方法叫做反证法。
解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，那
么
S△ADE
1 AE DF 2
AE
2，
S△DCE 1 EC DF EC
A
2
∴ AE 2 . AC 3
D
E
又∵ DE∥BC，
B
C
∴ △ADE ∽△ABC.
∴
S△ADE S△ABC
AE
2
AC
2 3
2
4， 9
即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9.
D
E
B
F
C
随堂练习
1
1．两个相似三角形的相似比为
1
2
,
那么对应
1
高的比为__2_______, 那么对应中线的比为2
_2_._相__似__三__角. 形对应边的比为2∶3,那么对应角的
角平分线的比为_2_∶___3_.
3．两个相似三角形对应中线的比为 1 ，
1
4
那么对应高的比为_4_____ .
4.△ABC∽△DEF，BG，EH分△ABC和△DEF的角平
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“反证法”应用例析
反证法是一种间接证题方法。
证题时，首先假设结论不成立，然后以此为出发点，通过正确的逻辑推理，推导出与已知条件、定义、公理或定理等相矛盾的结果，从而肯定假设错误，得出结论正确。
下面举例加以说明，供同学们参考。
一、证明与三角形有关的问题
例题1、求证：一个三角形中不能有两个角是直角。
分析：应首先据题意画出一个三角形草图，并写出已知、求证，然后按照反证法的步骤进行推理即可。
已知：△ABC。
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角。
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，
不妨设∠A=∠B=90º，则∠A+∠B+∠C=90º+90º+∠C＞180º，
这与三角形的内角和定理相矛盾，所以假设∠A=∠B=90º不成立，
因此，一个三角形中不能有两个角是直角。
二、证明与圆有关的问题
例题2、已知：如图，⊙O的两弦AB、CD相交于圆内一点，且AB、CD都不是⊙O的直径。
求证：AB与CD不能互相平分。
分析：应采用反证法。
先假设AB与CD能互相平分，
再据圆的相应定理，推出与我们所学的性质相矛盾
的结果即可。
证明：假设AB与CD能互相平分，并设AB与CD的交点为P，
则有PA=PB,PC=PD,
又∵AB、CD都不是⊙O的直径。
∴点O和点P不重合。
而由PA=PB,得OP⊥AB；由PC=PD,得OP⊥CD
这与“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。
因此，非直径的两条弦AB与CD不能互相平分。
三、证明与一元二次方程有关的问题
例题3、已知a＞2， b＞2，请判断关于x的方程x2-(a+b)x+ab=0与x2-abx+(a+b)=0有没有公共根；并说明理由。
分析：可用反证法，先假设两个方程有公共根，然后推导出与已知相矛盾。
解：这两个方程没有公共根。
理由如下：
假设所给的这两个方程有公共根x0,根据题意，得
x02-(a+b)x0+ab=0①
x02-abx0+(a+b)=0②
②-①得：(x0+1) (a+b-ab)=0。
因为：a＞2， b＞2，所以a+b≠ab。
这样有，x0=-1。
将x0=-1代入到方程②中，得：1+ a+b+ab=0,显然这是不可能的。
故假设两个方程存在着公共根x0不成立。
因此，已知的两个方程没有公共根。
评注：应用反证法解题应首先掌握基本的解题步骤，其次熟练有关图形和代数等的基础知识，这些都是不可或缺的。
应认真体会、总结，并配合强化训练等加以融会贯通。