上海市八区2008年联考高考模拟测试题

上海市八区2008年联考高考模拟测试题数学(理科)试题 2008.04.03完卷时间：120分钟一、填空题(本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、设全集U ={a 、b 、c 、d 、e }, 集合A={a 、b }，B ={b 、c 、d }，则A ∩C U B =________。

2、已知f (x ))(212R x xx∈+=，则)31(1-f ＝____________。

3、向量a 、b 满足|a |=2，|b |=3，且|a +b |=7，则a .b = 。

4、在公差不为零的等差数列{a n }中，S m =S n (m≠ n )，则S m+n 值是 。

5、现有性状特征一样的若干个小球，每个小球上写着一个两位数，一个口袋里放有标着所有不同的两位数的小球，现任意取一个小球，取出小球上两位数的十位数字比个位数字大的概率是 。

6、方程2cos (2x –3π) = 1的解是 。

7、设A (2,32π)，B (3,3π)是极坐标系上两点，则|AB |= _。

8、圆(x+2)2+(y –1)2 = 5关于直线y=x 对称的圆的方程为 。

9、设方程x 2–2x+m =0的两个根为α、β，且|α–β|=2，则实数m 的值是 。

10、给出下列命题：(1)常数列既是等差数列，又是等比数列；(2)实数等差数列中，若公差d<0，则数列必是递减数列；(3)实数等比数列中，若公比q >1，则数列必是递增数列；(4)1)4142(lim =-+∞→n n n n ；(5)首项为a 1，公比为q 的等比数列的前n 项和为S n =qq a n --1)1(1。

其中正确命题的序号是 。

11、若在nxx )1(2-展开式中，x 的一次项是第六项，则n = 。

12、若在由正整数构成的无穷数列{a n }中，对任意的正整数n ，都有a n ≤ a n +1，且对任意的正整数k ，该数列中恰有2k –1个k ，则a 2008=二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必本大题满分16分）须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。

13、下列函数图象中，正确的是 ( )14、已知点P (3, m )在以点F 为焦点的抛物线⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 442(t 为参数)上，则|PF |的长为 ( )(A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 4 15、若12)21(lim +∞→+n n rr 存在，则r 的取值范围是 ( ) (A ) r ≥–31或r ≤–1 (B ) r >–31或r <–1 (C ) r>–31或r ≤ –1 (D ) –1≤ r ≤ –31 16、异面直线a ，b 成80o 角，点P 是a ，b 外的一个定点，若过P 点有且仅有2条直线与a ，b 所成的角相等且等于θ，则θ属于集合 ( ) (A ){θ|0o <θ<40o } (B ){θ|40o <θ<50o } (C ){θ|40o <θ<90o } (D ){θ|50o <θ<90o } 三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、(本小题满分12分)解不等式：1)1(log )2(log 21221-->--x x x 。

xa xax (B ) (C ) (D )18、(本小题满分12分)在ΔABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知tan C=3，c=7，又ΔABC的面积为SΔABC =233，求a+b的值。

19、（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2、3小题满分各5分）已知边长为6的正方形ABCD所在平面外一点P，PD⊥平面ABCD，PD=8，(1)连接PB、AC，证明：PB ⊥AC；(2)连接PA，求PA与平面PBD所成的角的大小；(3)求点D到平面PAC 的距离。

C20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案。

第一种方案是每年年末(12月底)加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000元；第二种方案是每半年(6月底和12月底)各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300元，请选择一种。

根据上述条件，试问：(1)如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？(说明理由)(2)如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a元，那么a在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？21、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设有抛物线C ：y= –x 2+29x –4，通过原点O 作C 的切线y=mx ，使切点P 在第一象限。

(1)求m 的值，以及P 的坐标；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q ；(3)设C 上有一点R ，其横坐标为t ，为使∆OPQ 的面积小于∆PQR 的面积，试求t 的取值范围。

22、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分）由函数y=f (x )确定数列{a n }，a n =f (n )，函数y=f (x )的反函数y=f –1(x )能确定数列{b n }，b n = f –1(n )，若对于任意n ∈N *，都有b n =a n ，则称数列{b n }是数列{a n }的“自反数列”。

(1)若函数f (x )=11++x px 确定数列{a n }的自反数列为{b n }，求a n ； (2)已知正数数列{c n }的前n 项之和S n =21(c n +nc n )。

写出S n 表达式，并证明你的结论； (3)在(1)和(2)的条件下，d 1=2，当n ≥2时，设d n =21nn S a -，D n 是数列{d n }的前n 项之和，且D n >log a (1–2a )恒成立，求a 的取值范围。

2008年八区联考数学高考模拟测试题(理科)参考答案一、填空题1、{a }2、–13、–34、05、0.56、x =k π+3π或x =k π k ∈Z 7、7 8、(x –1)2 + (y+2)2= 5 9、2或0 10、(2)、(4) 11、8 12、45 二．选择题13、C 14、D 15、A 16、B三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、解：原不等式变形为)22(log )2(log 21221->--x x x ，…………………………2分所以，原不等式可化为⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--222010222x x x x x x ………………………………………6分 即：⎪⎩⎪⎨⎧<->->+-03010)1)(2(2x x x x x即：⎩⎨⎧<<>30,2x x ……………………………………………………………………10分故原不等式的解集为{x |2<x <3} …………………………………………………12分 18、解：在ΔABC 中，因为tan C =3，所以∠C =60o ，………………………………2分又ΔABC 的面积为S ΔABC =233，所以21ab sin C = 233………………………4分即：ab = 6……………………………………………………………………………6分 因为c=7，所以c 2 = a 2+b 2–2ab cos C ……………………………………………8分 即：a 2+b 2–ab = 7(a+b )2–3ab = 7………………………………………………………………………10分 a+b = 5………………………………………………………………………………12分19、(1)证明：连接BD ，在正方形ABCD 中，AC ⊥ BD ，又PD ⊥平面ABCD ，所以，PD ⊥AC ，………………………………………2分 所以AC ⊥平面PBD ，故PB ⊥ AC 。

…………………………………………4分(2) 解：因为AC ⊥平面PBD ，设AC 与BD 交于O ，连接PO ，则∠APO 就是PA 与平面PBD 所成的角，……………………………………6分 在∆APO 中，AO=32，AP = 10 所以 sin ∠APO =1023 ∠APO=arcsin1023………………………………8分 PA 与平面PBD 所成的角的大小为arcsin1023………………………………………9分 (3)解：连接PC ，设点D 到平面PAC 的距离为h ，…………………………………10分则有V D –PAC =V P –ACD ，即：31⨯ S ∆PAC ⨯ h =61⨯PD ⨯AD ⨯DC …………………12分 在∆PAC 中，显然PO ⊥AC ，PO=82 h =414124 所以点D 到平面PAC 的距离为414124………………………………………14分 20、解：(1)第10年末，依第一方案得1000+2000+…+10000=55000(元).………………………………………………………2分 依第二方案得300+300⨯2+300⨯3+…+300⨯20=63000(元).…………………………4分 ∵63000–55000=8000(元)∴在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪8000元。

………………6分 (2)第n 年末，依第一方案，得：1000(1+2+3+…+n )=500n (n +1)(元)…………………8分 依第二方案，得：a (1+2+3+…+2n )=an (2n +1)…………………………………………10分 由题意an (2n +1)>500n (n +1)对所有正整数恒成立……………………………………12分 即a >3100032502501225025012)1(500=+≥++=++n n n .∴当a >31000时，总是第二方案加薪多。

……………………………………………14分 21、解：设点P 的坐标为 (x 1, y 1)，则y 1=kx 1……①，y 1= –21x +29x 1 – 4 ……②，①代入②，得：21x +(k –29)x 1+4=0………………………………………………………2分 因为点P 为切点，所以 (k –29)2–16=0，得：k =217或k =21…………………………4分 当k =217时x 1= –2，y 1= –17；当k =21时，x 1= 2，y 1= 1；因为点P 在第一象限，故所求的斜率k =21，P 的坐标为 (2，1)，………………6分 (2)过 P 点作切线的垂线，其方程为：y= –2x +5…………③，代入抛物线方程，得： x 2–213x +9=0，设Q 点的坐标为 (x 2, y 2)，则2x 2=9，所以x 2=29，y 2= –4， 所以Q 点的坐标为 (29, –4)，…………………………………………………………10分 (3) 设C 上有一点R (t , –t 2+29t –4)，它到直线PQ 的距离为： d =5|5)429(2|2--+-+t t t =5|9213|2+-t t ………………………………………12分 点O 到直线PQ 的距离PO =5，S ∆OPQ =21⨯PQ ⨯OP ，S ∆PQR =21⨯PQ ⨯d ， 因为∆OPQ 的面积小于∆PQR 的面积，S ∆OPQ < S ∆PQR ， 即：OP < d ，即：|9213|2+-t t >5，…………………………………………………14分 t t 2132-+4>0或t t 2132-+14<0 解之得：t <410513-或t >410513+ 所以t 的取值范围为t <410513-或t >410513+。