河南省漯河高中2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
河南省漯河市高级中学2017-2018学年高三模拟测试理科综合试题 Word版含答案 (4)
2017-2018学年理科综合模拟测试（十三）第Ⅰ卷（选择题，共126分）说明：1．化学课代表为理综课代表，12：00收卷，12：10前试卷交物理教研室。
2．得理综者得高考！自本周起，按照理综模式进行周测训练。
请同学们积累经验，提高理综应试技巧。
本试卷共40题（含选考题）。
全卷满分300分。
3．可能用到的相对原子质量：H－1 C－12 N－14 O－16 Na－23 Si—28 S－32 Cl－35．5 K－39 Ca－40 Fe－56 Cu－64 Ag—108 Ba－137 N—14 Al—27第Ⅰ卷（选择题，共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将答案填涂在机读卡上，否则不给分。
1．下列有关实验和研究方法，叙述正确的是A．绿叶中色素提取的原理是色素在层析液中溶解度越大，在滤纸上扩散越快B．盐酸在“观察根尖分生组织细胞的有丝分裂”和“低温诱导植物染色体数目的变化”中的作用原理相同C．萨顿用假说演绎法证实了基因在染色体上D．探究酵母菌的呼吸方式可以用是否产生二氧化碳予以确定2．“膜流”是指细胞的各种膜结构之间的联系和转移，下列有关叙述正确的是A．质壁分离现象是“膜流”现象的例证B．蛋白质和RNA进出细胞核发生膜流现象C．胰岛素的分泌过程发生膜流现象D．枯草杆菌和酵母菌都能发生膜流现象3．Akita小鼠是一种糖尿病模型小鼠，该小鼠由于胰岛素基因突变干扰了胰岛素二硫键的形成，大量错误折叠的蛋白质累积在内质网中，导致相关细胞的内质网功能持续紊乱，并最终启动该细胞的凋亡程序，下列叙述不正确的是A．胰岛素空间结构的形成离不开内质网的加工B．内质网功能紊乱会诱发某些特定基因的表达C．Akita小鼠胰岛A细胞和胰岛B细胞大量凋亡D．Akita小鼠体内肝脏细胞合成糖原的速率减慢4．已知与人体血红蛋白合成有关的一对等位基因是Hb A和Hb S。
只有纯合子（Hb S Hb S）患镰刀型细胞贫血症，患者大多于幼年期死亡。
河南省漯河市高级中学2017-2018学年高三周测数学(理)试题Word版含答案 (2)
漯河高中2017-2018学年高三数学（理）周测试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，分别答在答题卡上（I 卷）和答题卷（II 卷）上，答在试卷上的答案无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设复数z 1＝1－i ，z 2i ，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为 A．14 B．14 C．14i D．142．记数列{n a }的前n 项和为n S ，且n S ＝2（n a －1），则a 2等于 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 3．“m ＞0”是“函数f （x ）＝m ＋2log x （x ≥1）不存在零点”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知点P （x ，y ）的坐标满足条件,1,350,x x x y ⎧⎪⎨⎪⎩≥1y ≥－＋－≤那么点P 到直线3x －4y －13＝0的距离的最小值为 A ．115 B ．2 C ．95D ．1 5．已知双曲线221x y k －＝（k ＞0）的一条渐近线与直线x －2y －3＝0平行，则双曲线的离心率是 A．2BC ．D6．一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为ABC． D7．已知函数f （x ）＝sin （x ＋6π），其中x ∈[－3π，a]，若f （x ）的值域是[－12，1]，则实数a 的取值范围是A ．（0，3π] B ．[3π，2π] C ．[2π，23π] D ．[3π，π]8．抛物线2y ＝2px （p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则AB MN的最小值为A ．3 B ．3C ．1D 9．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x ，当x ＞0时，f （x ＋1）＝f （x ）＋f （1），若直线y ＝kx 与函数y ＝f （x ）的图象恰有7个不同的公共点，则实数k 的取值范围为A ．（2，4）B ．2C ．（2，4）D ．（4，8）10．设函数f （x ）＝xe ＋2x －4，g （x ）＝lnx ＋22x －5，若实数a ，b 分别是f （x ），g （x ）的零点，则A ．g （a ）＜0＜f （b ）B ．f （b ）＜0＜g （a ）C ．0＜g （a ）＜f （b ）D ．f （b ）＜g （a ）＜011．在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝3，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN 则CM uuu r ·CN u u u r的取值范围为A ．[2，52] B ．[2，4] C ．[3，6] D ．[4，6] 12．设函数f 1（x ）＝x ，f 2（x ）＝2015log x ，i a ＝2015i（i ＝1，2，…，2015），记k I ＝｜2()k f a －1()k f a ｜＋｜3()k f a －2()k f a ｜＋…＋｜2015()k f a －2014()k f a ｜， k ＝1，2，则A ．1I ＜2IB ．1I ＝2IC ．1I ＞2ID ．无法确定第Ⅱ卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中横线上． 13．已知等比数列{n a }，前n 项和为n S ，a 1＋a 2＝34，a 4＋a 5＝6，则S 6＝_________． 14．设函数y ＝f （x ）的定义域为D ，若对于任意x 1、x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f （x 1）＋f （x 2）＝2b ，则称点（a ，b ）为函数y ＝f （x ）图像的对称中心．研究函数f （x ）＝3x ＋sin πx ＋2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f （－1）＋f （－1920）＋…＋f （1920）＋f （1）＝__________． 15．给定方程：1()2x＋sinx －1＝0，下列中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（－∞，0）内有且只有一个实数解；④若x 0是该方程的实数解，则x 0＞－1．正确是_______________．16．有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a （m ，k ＝1，2，3，…，n ，n ≥3），公差为m d ，并且1n a ，2n a ，3n a ,…，nn a 成等差数列．若m d ＝11p d ＋22p d （3≤m ≤n ，1p ，2p 是m 的多项式），则1p ＋2p ＝_____________． 三．解答题：本大题共6小题，共70分. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a b c ＋＝cos()cos A C＋C ． （1）求角C 的大小．（2）若c ＝2，求使△ABC 面积最大时，a ，b 的值．18．（本小题满分12分）已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且PD ⊥底面ABCD ，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点． （1）证明：DC ⊥平面PDE ；（2）若PD ，求平面DEP 与平面BCP 所成二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足111,||,.n n n a a a p n N *+=-=∈（1）若{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值； （2）若12p =，且21{}n a -是递增数列，2{}n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式. 20．（本小题满分12分）已知动点P 到定点F （1，0）和到直线l ：x ＝2的距离之比为2，设动点P 的轨迹为 曲线E ，过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A 、B 两点，直线l ：y ＝mx ＋n 与 曲线E 交于C 、D 两点，与线段AB 相交于一点（与A 、B 不重合）． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）当直线l 与圆221x y ＋＝相切时，四边形ABCD 的面积是否有最大值，若有，求出 其最大值及对应的直线l 的方程；若没有，请说明理由． 21．（本小题满分12分） 已知函数f （x ）＝（2x －2x ）·lnx ＋a 2x ＋2．（Ⅰ）当a ＝－1时，求f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）当a ＞0时，设函数g （x ）＝f （x ）－x －2，且函数g （x ）有且仅有一个零点，若e －2＜x ＜e ，g （x ）≤m ，求m 的取值范围．请考生在第（22）、（23）二题中任选一题做答。
2018年河南省高考数学一模试卷(理科)-(含解析)
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题1.已知集合，，则集合中元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 52.若复数i为虚数单位是纯虚数，则实数a的值为A. B. 13 C. D.3.已知，命题p：，，则A. p是假命题，￢：，B. p是假命题，￢：，C. p是真命题，￢：，D. p是真命题，￢：，4.已知程序框图如图，则输出i的值为A. 7B. 9C. 11D. 135.2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中班、班，班、班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学乘同一辆车的4名同学不考虑位置，其中班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有A. 18种B. 24种C. 48种D. 36种6.《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为A.B.C.D.7.设不等式组表示的平面区域为D，若圆C：不经过区域D上的点，则r的取值范围为A. B.C. D.8.若等边三角形ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为A. B. C. 2 D.9.关于函数，下列命题正确的是A. 由可得是的整数倍B. 的表达式可改写成C. 的图象关于点对称D. 的图象关于直线对称10.设函数，若对于，恒成立，则实数m的取值范围为A. B. C. D.11.设双曲线的方程为，若双曲线的渐近线被圆M：所截得的两条弦长之和为12，已知的顶点A，B分别为双曲线的左、右焦点，顶点P在双曲线上，则的值等于A. B. C. D.12.已知定义在R上的函数和分别满足，，，则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.13.设，则二项式的展开式中含项的系数为______．14.若函数为奇函数，则的值为______．15.已知三棱柱的底面是正三角形，侧棱底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则的长度为______．16.如图，OA，OB为扇形湖面OAB的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区区域I和区域Ⅱ，点C在上，，，其中，半径OC 及线段CD需要用渔网制成若，，则所需渔网的最大长度为______．三、解答题17.已知为数列的前n项和，且，，，．求数列的通项公式；若对，，求数列的前2n项的和．18.如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且求证：；线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19.某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩均为整数的频率分布直方图如图所示．估计这次考试数学成绩的平均分和众数；假设在段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为，求的分布列及数学期望．20.已知椭圆：的离心率为，右焦点F是抛物线：的焦点，点在抛物线上求椭圆的方程；已知斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，，直线AM与BM的斜率乘积为，若在椭圆上存在点N，使，求的面积的最小值．21.已知函数，其导函数为当时，若函数在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；设，点是曲线上的一个定点，是否存在实数使得成立？并证明你的结论．22.在直角坐标系xOy中，已知直线：为参数，：为参数，其中，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．写出，的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；设，分别与曲线C交于点A，非坐标原点，求的值．23.设函数．当时，解不等式；已知的最小值为3，且，求的最小值．答案和解析【答案】1. C2. A3. C4. D5. B6. C7. A8. B9. D10. D11. C12. C13. 19214.15.16.17. 解：，．时，，化为：，，，时，，且，解得．数列是等差数列，首项为1，公差为3．．．．数列的前2n项的和．18. 证明：，，，，E为AD的中点，，≌ ，，，，，又平面ABCD，平面ABCD，，又，且PH，平面PEC，平面PEC，又平面PEC，．解：由可知 ∽ ，由题意得，，，，，，，、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，0，，0，，4，，0，，0，，假设线段PC上存在一点F满足题意，与共线，存在唯一实数，，满足，解得，设向量y，为平面CPD的一个法向量，且，，，取，得，二面角的余弦值是，，由，解得，，，线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．19. 解：分，众数为75分．分以上的人数为人．的可能取值为2，3，4，，，．的数学期望是．20. 解：点在抛物线上，，解得，椭圆的右焦点为，，椭圆：的离心率为，，，，椭圆的方程为，设直线l的方程为，设，，由，消y可得，，，，直线AM与BM的斜率乘积为，，解得，直线l的方程为，线段AB的中点为坐标原点，由弦长公式可得，，垂直平分线段AB，当时，设直线ON的方程为，同理可得，，当时，的面积也适合上式，令，，，则，当时，即时，的最小值为．21. 解：当时，，，，，由题意得，即，令，则，解得，当时，，单调弟增，当时，，单调递减，，当时，，当时，，由题意得当或时，在R上有且只有一个零点．由，得，假设存在，则有，即，，，即，，，令，则，两边同时除以，得，即，令，，令在上单调递增，且，对于恒成立，即对于恒成立，在上单调递增，，对于恒成立，不成立，同理，时，bngidnuu，不存在实数使得成立．22. 解：，的极坐标方程为，．曲线C的极坐标方程方程为即得，利用，得曲线C的直角坐标方程为．因为，，所以，所以的值为．23. 解：当时，，得，故，当时，，得，故，综上，不等式的解集是；的最小值是3，，故，，当且仅当即，时取“”．【解析】1. 解：，或；；1，2，．可先求出集合，或，然后进行交集、补集的运算即可．考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念，交集和补集的运算．2. 解：由复数是纯虚数，则，解得．故选：A．利用复数的除法运算化简为的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a 的值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．3. 解：，，当时，，命题p：，，是真命题，命题p：，，则￢：，．故选：C．利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4. 解：当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，不满足退出循环的条件，故，；当时，满足退出循环的条件，故输出的，故选：D．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5. 解：由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为，故有种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为，这时共有种，根据分类计数原理得，共有种不同的乘车方式，故选：B．分类讨论，第一类，一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．6. 解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱底面ABCD，且侧棱，四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且，四棱锥的表面积为．底面故选：C．由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积．本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7. 解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，其中，，圆C：表示以为圆心，半径为r的圆，由图可得，当半径满足或时，圆C不经过区域D上的点，，当或时，圆C不经过区域D上的点，故选：A．作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的及其内部，而圆C表示以为圆心且半径为r的圆观察图形，可得半径或时，圆C不经过区域D上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r的取值范围．本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r的取值范围着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．8. 解：等边三角形ABC的边长为3；；；；，；．故选：B．根据条件可先求出，而由即可得出，这样即可用分别表示出，然后进行数量积的运算即可．考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义．9. 解：函数，周期，对于A：由，可能与关于其中一条对称轴是对称的，此时不是的整数倍；不对．对于B：由诱导公式，不对．对于C：令，可得，不对，对于D：当时，可得，的图象关于直线对称．故选：D．根据函数，结合三角函数的性质即可判断各选项．本题主要考查利用的信息特征，判断各选项的正误，属于中档题．10. 解：由题意，，可得．当时，，不等式等价于．当时，的最小值为，若要不等式恒成立，则必须，因此，实数m的取值范围为，故选：D．利用分离参数法，再求出对应函数在上的最大值，即可求m的取值范围．本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．11. 解：双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的渐近线被圆M：，即所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d，则，，即，即，，，由正弦定理可得，，，，，故选：C．根据垂径定理求出圆心到直线的距离为，再根据点到直线的距离公式可得，得到，即可求出，根据正弦定理可得本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题12. 解：，令，则．，令，则，解得．．，．令，，，函数在R上单调递减，，，可得：．．故选：C．，令，则由，令，可得进而得出，，令，及其已知，可得，利用函数在R上单调递减，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13. 解：由于，的通项公式为，令，求得，故含项的系数为．故答案为：192根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14. 解：函数为奇函数，故恒成立，故即，，，故答案为：．由已知中函数为奇函数，恒成立，可得a，b的值，进而可得的值．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档．15. 解：由题意，的外接圆即为球的大圆，，设底面外接圆圆心G，即，从而正三角形ABC边长，设球心O，由题意，E、F在球面上，，F为DE中点，则，，在中，，，，，．故答案为：．由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出的长度．本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．16. 解：由，，，得，，；在中，由正弦定理，得，，设渔网的长度为，可得，所以，因为，所以，令，得，所以，所以．所以故所需渔网长度的最大值为．确定，在中利用正弦定理求得CD的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了函数模型的构建与最值应用问题，是难题．17. ，时，，化为，由，可得，时，，且，解得利用等差数列的通项公式可得．利用分组求和即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. 推导出 ≌ ，，从而，由平面ABCD，得，由此能证明平面PEC，从而．推导出PH、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是．本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19. 把组中值看作各小组的平均数，根据加权平均数公式计算；根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列．本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．20. 先求出p的值，即可求出c的值，根据离心率求出a的值，即可得到椭圆方程，设直线l的方程为，设，，由，根据直线AM与BM的斜率乘积为，求出，再根据弦长公式求出和，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与二次函数函数的应用，考查计算能力，属于难题．21. 当时，，，，，由题意，令，则，解得，由此能求出当或时，在R上有且只有一个零点．由，得，假设存在，则，利用导数性质推导出不存在实数使得成立．本题考查利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、满足条件的实数是否存在的判断与证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识，是中档题．22. 考查直线，参数方程与极坐标方程的互化，曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化重点都是消去参数t．利用，极坐标方程，结合余弦定理，计算出的长度．考查极坐标方程与参数方程，普通方程的互化记准互化公式和原则是关键，属于中档题目．23. 通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；根据绝对值不等式的性质求出a的值，结合基本不等式的性质求出的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．。
河南省漯河市高级中学2017-2018学年高三模拟测试理科综合试题 Word版含答案
2017-2018学年理科综合模拟测试（四）第Ⅰ卷（选择题，共126分）说明：1．化学课代表为理综课代表，9：30收卷，9：40前试卷交化学教研室。
2．得理综者得高考！自本周起，按照理综模式进行周测训练。
请同学们积累经验，提高理综应试技巧。
本试卷共40题（含选考题）。
全卷满分300分。
3．可能用到的相对原子质量：H－1 C－12 N－14 O－16 Na－23 Si—28 S－32 Cl－35．5 K－39 Ca－40 Fe－56 Cu－64 Ag—108 Ba－137第Ⅰ卷（选择题，共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请将答案填涂在机读卡上，否则不给分。
1．关于蛋白质和核酸的叙述正确的是A．氨基酸可含有S、P等元素，并且存在于羧基中B．某种可水解肽链末端肽键的肽酶最终导致多肽链分解为若干短肽C．DNA和RNA所含有的碱基种类完全不同D．一个tRNA分子中只有一个反密码子2．如图是细胞膜的亚显微结构模式图，①～③表示构成细胞膜的物质,有关说法错误的是A．图中①、②、③共同为细胞的生命活动提供相对稳定的内部环境B．葡萄糖、氨基酸、性激素、苯进入细胞需要②协助C．①可能作为气味分子的受体并完成信息的传递D．如果将细胞放进高浓度的生理盐水中，③中的分子间隙会减小3．下列有关教材中的实验叙述正确的是A．经健那绿一吡罗红染色的洋葱鳞片叶内表皮细胞，可以观察到绿色的细胞核B．观察洋葱根尖细胞有丝分裂时，可用洋葱鳞片叶内表皮细胞代替根尖细胞C．在观察质壁分离与复原的实验中，需要三次用显微镜观察细胞形态D．在低温诱导分生组织细胞染色体加倍的实验中，改良的苯酚品红溶液起固定作用4．如图表示某植物在I阶段处于较为适宜的环境条件下培养，在200s时，突然增大光照强度，叶片暗反应中C3和C5化合物变化趋势，下列相关叙述正确的是A．图中甲表示C3化合物，乙表示C5化合物．B．在200s～300s，[H]的生成速率增大，ATP的生成速率减小C．在200s时突然降低CO2浓度也可以达到类似的结果D．暗反应过程只能在有光条件下进行5．下列各项的结果中，不可能出现1：1比值的是A．双链DNA分子中嘌呤和嘧啶之比B．15N标记的DNA在14N培养液中复制两次后，含15N与含14N的DNA数量之比C．高茎豌豆（Dd）与矮茎豌豆（dd）杂交后，子代高茎与矮茎之比D．基因型为AaX B Y的某动物的一个精原细胞经减数分裂形成的精子的基因型之比6．某基因发生了突变，导致蛋白质中氨基酸数目比原来少了一个，则下列说法错误的是A．该基因可能发生了碱基对的替换B．突变后翻译过程可能提前终止C．突变后的基因中A与C的含量不可能占该基因碱基总数的一半D．突变后蛋白质的功能可能会发生改变7．为建设“蓝天常在、青山常在、绿水常在”的美丽中国，2015年4月16日国务院颁布了《水污染防治行动计划》。
河南省漯河市高级中学2018届高三上学期第三次模拟考试(期中)数学(理)试题
漯河高中2017—2018学年（上）高三第三次模拟考试数学试题（理） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设i 是虚数单位，复数1a i i-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．12 D ．2-2.已知集合{1,2},{(,)|,,}A B x y x A y A x y A ==∈∈-∈，则B 的子集共有 （ ） A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．8个3.在不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域内任取一个点(,)P x y ，则1x y +≤ 的概率为（ ） A ．12B ．14C ．18D ．1124. 正项等比数列{}n a 中的24034,a a 是函数()3211(1)3f x x m x x m =-++<-的极值点，则2018ln a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．与m 的值有关5.已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为 （ ）A．．5 D ．66.若3s in (),5παα+=是第三象限角，则s inc o s 22s inc o s22παπαπαπα++-=---（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．2-7. 若()f x 是奇函数，且0x 是()xy f x e =+的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ）A ．()1xy f x e =-- B ．()1xy f x e-=+ C ．()1xy fx e=- D ．()1xy fx e=+8. 设函数()2sin c o s 22c o s m x x m x xf x x++=++，若()f x 在[,]n n -上的值域为[],a b ，其中,,,a b m n R ∈，且0n >，则a b += （ ）A ．0B ．2C ．4D ．2m9. 如图所示，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A ．9 B ．272C ．18D ．2710. 设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于两点,P Q ，若01160,F P Q P F P Q ∠==，则椭圆的离心率为（ ）A．3B ．23C．3D ．1311. 已知函数()lo g 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且()()()()1234fx fx fx fx ===，则12341111x x x x +++=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．随a 值变化 12. 设121sin,25n n n n a S a a a n π==+++，则12,,,n S S S 中，正数的个数是（ ）A ．25B ．50C ．75D ．100第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面直角坐标系中，(1,0),(1,0)A B -，若曲线C 上存在一点P ，使0P A P B ⋅<，则称曲线C 为“合作曲线”，有下列曲线①2212x y +=；②21y x =+；③2221y x -=；④2231x y+=；⑤24x y +=，其中“合作曲线”是 ．（填写所有满足条件的序号）14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，令()()()2017F x x b f x b =--+，若b 是,a c 的等差数列，则()()F a F c += ．15.已知圆222:(1)C x y r +-=与曲线s in y x =有唯一的公共点，且公共点的横坐标为α， 若2sin 24cos ααλα-=⋅，则α ． 16. 已知椭圆22221(0),,x y a b A B ab+=>>是椭圆上的两点，线段A B 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ，则0x 的取值范围是 ．（用,a b 表示）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数都有1(0,1)n n a S λλ-=≠.（1）求证：{}n a 为等比数列； （2）若12λ=，且4411lo g lo g n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 已知,,A B C 是A B C ∆的三个内角，若向量5(1co s(),co s),(,co s)282A B A B m A B n --=-+=，且98m n ⋅=.（1）求证：1ta n ta n 9A B ⋅= ；（2）求222sin a b C a b c+-的最大值.19.如图，四边形A B E F 和四边形A B C D 均是直角梯形，090F A B D A B ∠=∠= 二面角F A B D --是直二面角，//,//,2,1B E A F B C A D A F A B B C A D ====.（1）证明：在平面B C E 上，一定存在过点C 的直线l 与直线D F 平行； （2）求二面角F C D A --的余弦值.20. 在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆22:13xC y+=，如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于两点,A B ，线段A B 的中点为E ，射线O E 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -. （1）求22m k +的最小值； （2）若2O GO D O E =⋅，求证：直线l 过定点.21.已知函数()1(xf x e a x a =--为常数），曲线()y f x =在与y 轴的交点A 处的切线斜率为1-.（1）求a 的值及函数()y f x =的单调区间；（2）若12ln 2,ln 2x x <>，且12()()f x f x =，试证明：122ln 2x x +<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为24(c o s s in )3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的参数方程；（2）在直线坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.23.若关于x 的不等式32310x x t ++--≥的解集为R ，记实数t 的最大值为a . （1）求a ；（2）若正实数,m n 满足45m n a +=，求14233y m nm n=+++的最小值.试卷答案一、选择题1-5: AACCC 6-10: BCCAA 11、A 12：D 二、填空题13. ①③④ 14. 4034 15. 4- 16.2222(,)a b a b aa---三、解答题17.解：（1）证：当1n =时，1111a S a λ-==，因为1λ≠，解得，111a λ=-，当2n =时，11111n n n n n n n a a a a a S S λλλ------=-=-=，所以111n n a a λ-=-，所以数列是以11λ-为首项，11λ-为公比的等比数列，所以1(),()1n n a n N λ+=∈-.（2）由（1）知，12λ=时，2nn a =，所以44114111()lo g lo g (1)41n n n b a a n n nn +===-⋅++，所以121111144(1)22311n n n T b b b nn n =+++=-+-++-=++.18.解：（1）由已知得259[1c o s ()]c o s828A B A B --+⋅+=, 即519(1c o s c o s sin sin )[1c o s()]828A B A B A B -+++-=,故5551119c o s c o s s in s in c o s c o s s in s in 8882228A B A B A B A B -++++=，整理得s in s in 19s in s in c o s c o s c o s c o s 9A B A B A B A B=⇒=，即1ta n ta n 9A B =.（2）因为222222s in s in 11c o s ta n ta n ()22c o s 22a b ca b C C C C A B a ba b cC+-=⇒===-++-1ta n ta n 1ta n ta n 9(ta n ta n )121ta n ta n 21619A BA BA B A B++=-⋅=-⋅=-+--，因为,A B 为三角形内角，1ta n ta n 09A B +=>，所以tan 0,tan 0A B >>，所以2ta n ta n 3A B +≥=，当且仅当1ta n ta n 3A B ==时取等号，故222sin 923()1638a b C a b c≤-⨯=-+-，所以222s in a b C a b c+-的最大值为38-.19.解：（1）证明：由已知得//,B E A F A F ⊂平面,A F D B E ⊄平面A F D ， 所以//B E 平面A F D ，同理可得//B C 平面A F D ， 又B EB C B =,所以平面//B C E 平面A F D ,设平面D F C 平面B C E l =，则l 过点C ，因为平面//B C E 平面A D F ，平面D C F 平面B C E l =，平面D F C平面A F D D F =，所以//D F l ，即在平面B C E 上一定存在过点C 的直线l ，使得//D F l . （2）因为平面,A B E F A B C D F A ⊥⊂平面A B E F ,平面A B C D 平面A B E F A B =,又090F A B ∠=，所以A F A B ⊥，所以A F ⊥平面A B C D ， 因为A D ⊂平面A B C D ，所以A F A D ⊥， 因为090D A B ∠=,所以A D A B ⊥，以A 为坐标原点，,,A D A B A F 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，由已知得(1,0,0),(2,2,0),(0,0,2)D C F , 所以(1,0,2),(1,2,0)D F D C =-=,设平面D F C 的法向量为(,,)n x y z=，则0220n D F x z x y n D C ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=⎩⎪⎩，不妨设1z =，则(2,1,1)n =-，不妨取平面A C D 的一个法向量为(0,0,1)m=，所以1c o s ,66m n m n m n⋅===⋅，由于二面角F C D A --为锐角，因此二面角F C D A --的余弦值为6.20.解：（1）设直线l 的方程为(0)y k x t k =+>，由题意，0t >，由方程组2213y k x tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(31)6330k x k tx t +++-=， 由题意0∆>，所以2231k t +>， 设1122(,),(,)A x y B x y ， 由根与系数的关系得122631k t x x k+=-+，所以122231t y y k +=+， 由于E 为线段A B 的中点，因此223,3131E E k t tx y kk =-=++，此时13E O E Ey k x k==-，所以O E 所在直线的方程为13y x k=-，又由题意知(3,)D m -，令3x =-，得1m k=，即1m k =，所以2222m k m k +≥=，当且仅当1m k ==时上式等号成立，此时由0∆>得02t <<，因此当1m k ==且02t <<时，22m k +取最小值2. （2）证明：由（1）知D 所在直线的方程为13y x k =-，将其代入椭圆C 的方程，并由0k >，解得(G -， 又1((3,)E D k--，由距离公式及0t >得2222291(31k O Gk +=-+=+，O D k==，231O E k==+，由2O GO D O E =⋅，得t k =，因此直线l 的方程为(1)y k x =+，所以直线l 恒过定点(1,0)-.21.解：（1）由()1x f x e a x =--，得()xf x e a '=-，因为曲线()y f x =在与y 轴的焦点A 处的切线斜率为1-， 所以()011f a '=-=-，所以2a =，所以()()212x xf x e x f x e '=--⇒=-，由()20xf x e '=->，得ln 2x >，由()20xf x e '=-<，得ln 2x <，所以函数()y f x =的单调递减区间为(,ln 2)-∞，单调递增区间为(ln 2,)+∞. （2）证明:设ln 2x >，所以2ln 2ln 2x -<，2ln 24(2ln 2)2(2ln 2)1204ln 21xxf x ex x e--=---=+-，令()()4(2ln 2)44ln 2(ln 2)xxg x f x f x e x x e=--=--+>所以()440x x g x e e -'=+-≥， 当且仅当ln 2x =时，等号成立，所以()()(2ln 2)g x f x f x =--在(ln 2,)+∞上单调递增，又()ln 20g =，所以当ln 2x >时，()()(2ln 2)(ln 2)0g x f x f x g =-->=， 即()(2ln 2)f x g x >-，所以()22(2ln 2)f x g x >-， 又因为()12()f x f x =，所以()12(2ln 2)f x f x >-， 由于2ln 2x >，所以22ln 2ln 2x -<，因为1ln 2x <，由（1）知函数()y f x =在区间(,ln 2)-∞上单调递增， 所以122ln 2x x <-，即122ln 2x x +<.22.解：（1）因为24(c o s s in )3ρρθθ=+-，所以224430x y x y +--+=， 即22(2)(2)5x y -+-=为圆C 的直角坐标方程，所以圆C的参数方程为2o s (2in x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数）.（2）设2x y t +=，得2x t y =-，代入224430x y x y +--+=，整理得2254(1)430y t y t t +-+-+=， 则关于y 的方程必有实数根，所以2216(1)20(43)0t t t ∆=---+≥， 化简得212110t t -+≤，解得111t ≤≤，即2x y +的最大值为11， 将11t =代入方程得28160y y -+=， 解得4y =，代入211x y +=，得3x =，故2x y +的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4).23.解：（1）因为32310x x t ++--≥，所以32311x x ++-≥， 又因为3231(32)(13)3x x x x ++-≥++-=，所以3t ≤，从而实数t 的最大值3a =. （2）因为1414()(45)()[(2)(33)]233233m n m n m n m n m nm nm n++=++++++++29≥=，所以143()9233m nm n+≥++，从而3y ≥，当且仅当14233m n m n =++，即13m n ==时等号成立，所以14233y m nm n=+++的最小值为3.。
河南省2017-2018学年高三普通高等学校招生全国统一考试数学(理)押题卷一 Word版含答案
2017-2018学年数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集R U =，集合{}1-<=x x A ，{}0≥=x x B ，则集合=)(B A C U （ ） A ．),1[+∞- B ．)0,(-∞ C ．]0,1(- D ．)0,1[- 2.已知i 是虚数单位，若i zi-=+13，则z 的共轭复数为（ ） A ．1-2i B ．2-4i C ．1+2i D ．2+4i3.某书法社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生.（1）该抽样一定不是系统抽样；（2）该抽样可能是随机抽样；（3）该抽样不可能是分层抽样；（4）男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率.其中说法正确的为（ ） A ．（1）（2）（3） B ．（2）（3） C ．（3）（4） D ．（1）（4）4.已知点P 是△ABC 内一点，且6=+，则=∆∆ACPABPS S （ ） A ．21 B ．31 C ．41 D ．51 5.已知函数xa x f =)(，则“410≤<a ”是“对任意21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f 成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6.在等比数列{}n a 中，153,a a 是方程0862=+-x x 的根，则9171a a a 的值为（ ） A ．22 B ．4 C ．-22或22 D ．-4或4 7.执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为（ ） A ．51 B ．52 C ．53 D ．548.设函数)2)(2cos()2sin(3)(πϕϕϕ<+++=x x x f 的图象关于直线x=0对称，则（ ）A ．y=f(x)的最小正周期为π，且在)2,0(π上为增函数 B ．y=f(x)的最小正周期为π，且在)2,0(π上为减函数C ．y=f(x)的最小正周期为2π，且在)4,0(π上为增函数 D ．y=f(x)的最小正周期为2π，且在)4,0(π上为减函数9.若关于x 的不等式0232≤++b ax x 在区间[-1,0]上恒成立，则122-+b a 的取值范围是（ ） A ．),49[+∞ B ．]49,1(- C ．),54[+∞ D ．]54,1(-10.某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案共有（ ） A ．150种 B ．300种 C ．600种 D ．900种11.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为)0,(2c F ，设A 、B 是双曲线上关于原点对称的两点，22F B AF 、的中点分别为M 、N ，已知以MN 为直径的圆经过原点，且直线AB的斜率为773，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．5 C ．2 D ．2212.设函数)0(2)(,)(2>-+=+-=k c kx x g c x b x x f ，函数)()()(x g x f x h -=，若f(-4)=f(0),f(-2)=-2，则当函数h(x)的零点个数为2时，k 的取值范围为（ ） A ．),22(+∞ B ．),224(+∞- C ．),4(+∞ D ．),224(+∞+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______.14.设甲，乙两个圆柱的底面积分别为21,S S ，体积分别为21,V V ，若它们的侧面积相等且2321=V V ，则21S S的值是______. 15.在RT △ABC 中，AB=AC=1，如果椭圆经过A ，B 两点，它的一个焦点为C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为______.16.在等差数列{}n a 中，21,562==a a ，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为nS ，若1512mS S n n ≤-+对任意的*∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图所示，在四边形ABCD 中，已知32,22,26==+=DC AD AC ，AD ∥BC. （1）求∠DAC 的值；（2）当ABC BAC ∠+∠sin sin 取得极大值时，求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程∧∧∧+=a x b y ，并判断该线性回归方程是否可靠（若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的）.参考公式：∑∑==∧--=ni ini ii xn xy x n yx b 1221.19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，BA ⊥CA ，60=∠ACB ，AC=1，231=AA ，点D ，1D 分别是11,C B BC 的中点.（1）求证：1DC ∥平面1ABD ；（2）求二面角D AB D --1的大小.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 于y 轴的正半轴相交于点M ，点21,F F 为椭圆的焦点，且21F MF ∆是边长为2的等边三角形，若直线32:+=kx y l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B.（1）直线MA ，MB 的斜率之积是否为定值；若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； （2）求△ABM 面积的最大值. 21.（本小题满分12分） 已知函数)0(2ln )1()(2≠-+-=m nx x m x m x f 在点(1,f(1))处的切线与x 轴平行. （1）求实数m 的值；（2）若存在),1[0+∞∈x ，使得mx f 11)(0-<成立，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB=2AC. （1）求证：BE=2AD ；（2）当AC=1，EC=2时，求AD 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P 的极坐标为)4,2(π，直线l 过点P ，且倾斜角为32π，方程1163622=+y x 所对应的曲线经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 21,31后的图形为曲线C. （1）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PB PA ⋅的值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数)0(1)(>-++=a a x ax x f .（1）讨论函数f(x)的单调性，并写出)(x f 的最小值)(a g ；（2）证明：若对任意]2,0(∈a ，存在实数0x ，使得m x f ≤)(0，求实数m 的取值范围.参考答案1.D 因为{}01≥-<=x x x B A 或 ，所以{}01)(<≤-=x x B A C U . 2.A 由i z i -=+13可得，i ii i i i i i z 21242)1)(1()1)(3(13+=+=+-++=-+=，所以i z 21-=. 3.B 该抽样可能是系统抽样、随机抽样，但一定不是分层抽样，所以（1）错误，（2）正确，（3）正确，抽到男生的概率等于抽到女生的概率，（4）错误，故说法正确的为（2）（3）. 4.C 设点D 为AC 的中点，在△ABC 中，BD BC BA 2=+，即BP BD 62=，所以BP BD 3=，0<a<1，显然“410≤<a ”是“对任意21x x ≠，都有0)()(2121<--x x x f x f 成立”的充分不必要条件.6.A ∵153,a a 是方程0862=+-x x 的根，∴6,8153153=+=a a a a ，因而153,a a 均为正，由等比数列的性质知，815329171===a a a a a ，∴229=a ，9171a a a =22. 7.D 由程序框图知，51=a ，满足210≤≤a ，所以第一次循环211,52512=+==⨯=i a ； 第二次循环312,54522=+==⨯=i a ；第三次循环413,531542=+==-⨯=i a ；第四次循环514,511532=+==-⨯=i a .故输出数值的周期为4，当i=2015时，退出循环体，共循环2014次，所以输出的a 的值为54.8.B )62sin(2)2cos()2sin(3)(πϕϕϕ++=+++=x x x x f ，∵函数f(x)的图象关于直线x=0对称，∴函数f(x)为偶函数，∴3πϕ=，∴f(x)=2cos2x ，∴ππ==22T ，当20π<<x 时，0<2x<π，∴函数f(x)在)2,0(π上为减函数.9.C 由0232≤++b ax x 在区间[-1,0]上恒成立，得⎩⎨⎧≤≤+-0,023b b a ，把(a,b)看作点的坐标，则上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.根据122-+b a 的几何意义得，最小值就是坐标原点到直线3-2a+b=0的距离的平方减1，即54.10.C 分两步.第一步，先选4名教师，分两类，第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有1025=C 种选法；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有1546=C 种选法.所以不容的选法有10+15=25种.第二步，4名教师去4个边远地区支教，有2444=A 种不同方法.最后，两步方法数相乘，得不同的选派方案共有25×24=600种.11.C 由已知，直线AB 的方程为y=773x ，不妨设点A 在左支上，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=1,7732222b y a x x y 得 ),973,977(),973,977(22222222ab ab ab ab B ab ab ab ab A ------由已知可得22BF AF ⊥，因而022=⋅F F ，整理得01632724=+-e e ， 又e>1，解得e=2.12.B 当0≤x 时，c bx x x f ++=2)(，因为f(-4)=f(0)，f(-2)=-2，所以⎩⎨⎧-=+-⨯+-=+-⨯+-,2)2()2(,)4()4(22c b c c b 解得⎩⎨⎧==,2,4c b 所以kx x g x x x f =+-=)(,24)(2，又k>0， 函数h(x)的零点个数为2，所以g(x)=kx 与24)(2+-=x x x f 的右支恰有两个交点，当与左支相切时，有3个公共点，与左支相切时，由kx x x =++242变形得02)4(2=+-+x k x ，由0=∆得224±=k ，又与左支相切，所以224-=k ，结合图象，得k 的取值范围为224->k . 13.24 由三视图可知该几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱的一部分，如图中111C B A ABC -所示，其中 90=∠BAC ，侧面11A ACC 是矩形，其余两个侧面试直角梯形，连接C B AB 11,，由于AC ⊥AB ，平面ABC ⊥平面11A ACC ，所以AB ⊥平面11A ACC ，所以几何体的体积为244533124321311111=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+=--A ACC B ABC B V V V .14.49设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为21,r r ，高分别为21,h h ，则有221122h r h r ππ=，即2211h r h r =，又22212121h r h r V V ππ=，∴2121r r V V =，∴2321=r r ，则49)(22121==r r S S .15.36- 设椭圆的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，建立如图所示的平面直角坐标系，则RT △ABC 的周长为4a ，即222114+=++=a ，则422+=a . 记AB 上的另一个焦点为D ，则222=-=AC a AD ，在RT △ACD 中，22,1,90===∠AD AC A ，则262112=+==CD c ，则46=c ，则椭圆的离心率3642246-=+==a c e . 16.5 在等差数列{}n a 中，21,562==a a ，所以公差42626=--=a a d ， 所以数列{}n a 的通项公式为34)2(45-=-+=n n a n ，所以3411-=n a n . 因为322213232122113212111)111()111()()(++++++++++++--=+⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++=---n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a S S S S0)981281()581281(981581141>+-+++-+=+-+-+=n n n n n n n ， 所以数列{}n n S S -+12)(*∈N n 是递减数列，所以数列{}n n S S -+12)(*∈N n 的最大项为4514915113=+=-S S ，所以只需154514m ≤，变形可得314≥m ，又m 为正整数，所以m 的最小值为5.17.解：（1）由已知条件和余弦定理，得21)26(222)32()26()22(cos 222=+⨯⨯-++=∠DAC ，所以3π=∠DAC .（2）因为AD ∥BC ，所以3π=∠ACB ，故)320(32ππ<∠<∠-=∠BAC BAC ABC ，于是 =∠+∠=∠-+∠=∠+∠BAC BAC BAC BAC ABC BAC cos 23sin 23)32sin(sin sin sin π)6sin(3π+∠BAC ，所以当26ππ=+∠BAC ，即3π=∠=∠ABC BAC 时，ABC BAC ∠+∠sin sin 取得最大值，此时33626(4332622212+=++⨯+⨯⨯=））（四边形πsin S ABCD .18.解：（1）设选取的2组数据不相邻为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻2组数据的情况有4种，所以531041)(=-=A P . （2）由题中所给数据，求得123121311=++=x ，273263025=++=y ，由参考公式，求得3,25-=-==∧∧∧x b y a b .所以y 关于x 的线性回归方程为325-=∧x y .当x=10时，22322,2231025<-=-⨯=∧y ；同理当x=8时，21617,173825<-=-⨯=∧y .所以该农科所得到的线性回归方程是可靠的.19.（1）证明：∵11C B BC ∥，11C B BC =，D ，1D 分别是11,C B BC 的中点， ∴11D C BD ∥，11D C BD =，所以四边形11D C BD 为平行四边形，∴11BD C D ∥. 又⊄1C D 平面1ABD ，⊂1BD 平面1ABD ，∴∥1C D 平面1ABD . （2）如图，过D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接11,DD E D .由题意知⊥D D 1平面ABC ，∴⊥D D 1AB.又D DE D D = 1，∴AB ⊥平面DE D 1，AB E D ⊥1， ∴ED D 1∠是二面角D AB D --1的平面角.在RT △ABC 中，∵60=∠ACB ，AC=1，∴AD=BD=1， ∴E 是AB 的中点，2121==AC DE . 在DE D RT 1∆中，32123tan 11===∠DEDD DE D ，∴601=∠DE D ，即二面角D AB D --1的大小为60°.20.解：（1）因为21F MF ∆是边长为2的等边三角形，所以2,3,22===a c b c ，所以3,2==b a ，所以椭圆134:22=+y x E ，点)3,0(M . 将直线32:+=kx y l 代入椭圆E 的方程，整理得036316)43(22=+++kx x k （※）. 设),(),,(2211y x B y x A ，则由（※）式可得0)94(4836)43(4)316(222>-=⨯+-=∆k k k ，所以),23()23,(+∞--∞∈ k ，2212214336,43316kx x k k x x +=+-=+. 所以直线MA ，MB 的斜率之积21212212122113)(3)3)(3(33x x x x k k x x kx kx x y x y k k MB MA +++=++=-⋅-=⋅ 413636943363)43316(322222=-+=+++-⋅+=k k k k kk k ，所以直线MA ，MB 的斜率之积是定值41.（2）记直线32:+=kx y l 与y 轴的交点为)32,0(N ， 则1221x x MN S S S BNM ANM ABM -⋅=-=∆∆∆ 2394129464394643364)43316(234)(23222222221221≤-+-=+-=+⋅-+-=-+=k k k k k k x x x x ，当且仅当12942=-k ，即),23()23,(221+∞--∞∈±= k 时等等号成立， 所以△ABM 的面积的最大值为23. 21.解：（1）函数f(x)的定义域为),0(+∞，n mx xmx f -+-='1)(，依题意知01)1(=-+-='n m m f ，解得n=1.（2）由（1）知)1)(1(11)(---=-+-='x m mx x m mx x m x f ， 令0)(='x f ，解得1,121=-=x m mx . ①若m<0，则011<-=m mx ，故当1≥x 时，0)(≤'x f ，因此f(x)在),1[+∞上单调递减， m m f x f 1112)1()(-<-=≤恒成立，即存在),1[0+∞∈x ，使得mx f 11)(0-<成立，从而m<0符合题意； ②若210<<m ，则111>-=m m x ，故当)1,1(m m x -∈时，0)(<'x f ；当),1(+∞-∈mmx 时，0)(>'x f ， 即f(x)在)1,1(m m -上单调递减，在),1(+∞-mm 上单调递增， 所以mm m m m m m m m f x f 11112)1(1ln )1()1()(2min->-+-+--=-=，因此当210<<m 时，不存在),1[0+∞∈x ，使得m x f 11)(0-<成立； ③若21≥m ，则111≤-=mmx ，故当1≥x 时，0)(≥'x f ，因此f(x)在),1[+∞上单调递增，故12)1()(min -==m f x f ，所以存在),1[0+∞∈x ，使得mx f 11)(0-<成立的充要条件为mm 1112-<-， 解得2222+<<-m ，所以当21≥m 时，存在),1[0+∞∈x ，使得mx f 11)(0-<成立的实数m 的取值范围是2222+<<-m .综上所述，实数m 的取值范围是)22,22(),(+--∞ .22.解：（1）连接DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，所以∠BDE=∠BCA. 又∠DBE=∠CBA ，所以△DBE~△CBA ，即有CADEBA BE =， 又AB=2AC ，所以BE=2DE.又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD=DE ，从而BE=2AD. （2）由条件得AB=2AC=2，设AD=t ，根据割线定理得BC BE BA BD ⋅=⋅，即)2(2)(EC AD AD BA AD AB +⋅=⋅-. 所以)22(22)2(+=⨯-t t t ，即02322=-+t t ， 解得21=t 或t=-2（舍去），即21=AD . 23.解：（1）点P 的直角坐标为(1,1)，∵直线l 过点P ，且倾斜角为32π，∴直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 231211（t 为参数）.∵伸缩变换为⎪⎩⎪⎨⎧='=',21,31y y x x ∴⎩⎨⎧'='=,2,3y y x x 代入1163622=+y x ，可得116)2(36)3(22='+'y x ， 即422='+'y x ，∴曲线C 的直角坐标方程为422=+y x .（2）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 231211（t 为参数），代入曲线C 可得02)13(2=--+t t ，设方程的根为21,t t ，则2,312121-=-=+t t t t ，∴221==⋅t t PB PA . 24.解：（1）将原函数化为分段函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-++≤<-++--≤-++-=,,1)1(,1,1)1(,1,1)1()(a x a x a a x a a x a a x a x a x f①当0<a<1时，f(x)在],(a -∞上是减函数，在),(+∞a 上是增函数，则1)()(2min +==a a f x f ；②当a=1时，f(x)在]1,(--∞上是减函数，在]1,1(-上是常数函数，在),1(+∞上是增函数，则2)(min =x f ；③当a>1时，f(x)在]1,(a --∞上是减函数，在),1(+∞-a上是增函数，则aa a f x f 1)1()(min +=-=,因此⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<+==)1(1)10(1)()(2mina a a a a a g x f . （2）对任意]2,0(∈a ，存在实数0x ，使得m x f ≤)(0等价于min )(x f m ≥对任意]2,0(∈a 恒成立，即25)(])([max max min ==≥a g x f m ，故实数m 的取值范围是),25[+∞.。
河南省2017-2018学年 高三最后一次模拟考试卷理科数学试题(精编含解析)
高三数学考试卷(理科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，求出其补集，利用交集的定义求解即可.详解：因为，或，所以又因为，，故选C.点睛：本题考查集合的补集，交集运算，考查运算求解能力.研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.2. 已知复数,是它的共轭复数,则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用复数除法的运算法则，化简复数，求出，利用复数运算的乘法法则求解即可.详解：,,，故选B.点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和以及运算的准确性，否则很容易出现错误.3. 如图,在正六边形内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：设正六边形的边长为,分别求得阴影部分的面积和正六边形的面积，然后结合面积型几何概型计算公式即可求得最终结果.详解：设正六边形的边长为,与的交点为,易知,,所以,所求的概率为.本题选择D选项.点睛：本题主要考查几何概型计算公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 已知点是函数的图象上的两个点,若将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则函数的图象的一条对称轴的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由题意首先求得函数的解析式，然后结合函数的解析式求解三角函数的对称轴即可.详解：因为,,所以.由，得，，所以.则，又,则函数的对称轴满足：，解得：，令可得函数的一条对称轴为：.本题选择A选项.点睛：本题主要考查三角函数解析式的确定，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 设数列得前项和为，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由可得，两式相减得，从第二项起构成公比为的等比数列，从而可得结果.详解：，①，而当时，，②两式相减得，从第二项起构成公比为的等比数列，，故选C.点睛：已知数列前项和与第项关系，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.6. 《孙子算经》中有一道题:“今有木不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳[开始度之,不足一尺,木长几何?”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余尺;将绳子对折再量木条,木条剩余尺,问木条长多少尺?解决本题的程序框图如图所示,则输出的（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：；；；；，输出，故选D.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7. 如图为一个半圆柱,是等腰直角三角形,是线段的中点,,该半圆柱的体积为,则异面直线与所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先求得底面半径，然后找到异面直线所成的角，最后利用三角函数的定义求解异面直线所成角的正弦值即可.详解：设上底半圆的半径为,由,得.因为,所以.又异面直线与所成的角为，所以.本题选择B选项.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8. 函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由题意结合函数的奇偶性和函数的符号排除错误选项即可求得最终结果.详解：因为,所以是奇函数,排除.当时, ,所以；当时, ，,所以，排除B选项.本题选择C选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由一个直四棱柱挖去一个直三棱柱，根据三视图中的数据，可求得该几何体的表面积.详解：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由一个直四棱柱挖去一个直三棱柱，该几何体的形状如图所示，于是，，，，所以表面积，故选A.10. 在平面直角坐标系中,已知三点,为坐标原点若向量与在向量方向上的投影相等,则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由题意首先确定点的轨迹方程，然后结合目标函数的几何意义即可求得最终结果.详解：因为向量与在向量方向上的投影相同,所以，即：,整理可得.即点在直线上.的最小值为原点到直线的距离的平方,因为，所以的最小值为.本题选择B 选项.11. 已知椭圆,作倾斜角为的直线交椭圆于两点,线段的中点为为坐标原点与的夹角为,且，则()A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设，利用“点差法”可得，设直线的倾斜角为，则或，又，由，从而可得结果.详解：设，则，两式作差得，，即，设直线的倾斜角为，则或，又，由，解得，即，故选B.点睛：本题考查椭圆的性质，点差法和运算求解能力.对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.12. 若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：函数在上恰有两个极值点，等价于，有两个根，分离参数，只需有两个零点，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得结果.详解：，，令，得，再令，函数在上恰有两个极值点，有两个零点，又，令，得，且；令，得，函数在上单调递增，在上单调递减，由于，因为与有两个交点，根据数形结合法可得，，即，故选D.点睛：本题考查导数与极值问题，考查转化与化归，函数与方程的数学思想以及运算求解能力和推理论证能力，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上.13. 设实数满足约束条件,则的最大值为__________．【答案】11【解析】分析：作出可行域，变变形为，，平移直线，由图可知当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，将点代入，即可得结果.详解：作出约束条件表示的可行域，由可得，变变形为，，平移直线，由图可知当直线经过点时，直线在轴上的截距最大，将点代入，可得取得最大值，故答案为.点睛：本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14. 在的展开式中，含项的系数是__________．【答案】-44【解析】分析：,求出展开式中的系数，从而可得结果.详解：,分别求出展开式中的项，所以含项为，含项的系数是，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.15. 设数列对都满足，且，则__________．【答案】【解析】分析：由可得，则，利用“累加法”可求得，利用裂项相消法求解即可.详解：由可得，且，则，那么，，，因此，，故答案为.点睛：本题考查等差数列的前项和的计算以及用裂项法求和的方法. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.16. 设分别是双曲线的左右焦点,为过的弦(在双曲线的同一支上),若,,则此双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】分析：设，，由余弦定理结合，可得，即，又，由得，从而可得结果.详解：，，，设，，则，，两式相加并化简得，即，又，由得，从而，故答案为.点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17. 已知的内角的对于边分别为,且.(1)求；(2)若,线段的垂直平分线交于点,求的长.【答案】(1)；(2).【解析】分析：(1) 因为,由正弦定理可得，利用余弦定理得，从而可得结果；（2）由（1）知,根据余弦定理可得.由正弦定理得，从而，由直角三角形的性质可得，利用中垂线的性质可得结果.详解：(1) 因为,所以.由余弦定理得，又，所以.（2）由（1）知,根据余弦定理可得，所以.由正弦定理得，即，解得.从而.设的中垂线交于点,因为在中,，所以，因为为线段的中垂线，所以.点睛：在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18. 某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：（1)根据数据可知与之间存在线性相关关系(i)求出关于的线性回归方程(系数精确到);(ii)若2018年6月份研发投人为25百万元,根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；（2）为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以(单位:万台)表示日销量,,则每位员工每日奖励元；,则每位员工每日奖励元；,则每位员工每日奖励元现已知该公司9月份日销量 (万台)服从正态分布,请你计算每位员工当月(按天计算)获得奖励金额总数大约多少元.参考数据:，.参考公式:对于一组数据,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:，.若随机变量服从正态分布,则.【答案】(1)(i);(ii)6.415万台；(2)7839.3元.【解析】分析：(1) (i)根据表格中数据及平均数公式可求出与的值从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式中所需数据，求出，再结合样本中心点的性质可得，进而可得关于的回归方程；(ii)将代入所求回归方程即可得结果；（2）由正态分布可得日销量，的概率，从而可得结果.详解：(1)(i)因为,所以，，所以关于的线性回归方程为.(ii)当时, (万台).（注:若，当时, (万台).(2)由题知月份日销量 (万台)服从正态分布,则,,日销量的概率为,日销量的概率为，日销量的概率为，所以每位员工当月的奖励金额总数为元.点睛：本题主要考查正态分布与线性回归方程，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19. 如图,在三棱柱中,四边形是矩形,,平面平面.(1)证明:；(2)若,，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：(1)先证明四边形是平行四边形，再证明，从而可得四边形是菱形,进而可得；（2）以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面的法向量，结合平面的法向量为，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：(1)证明:在三棱柱中,，.又.平面.设与相交于点,与相交于点,连接，四边形与均是平行四边形，,平面，，，是平面与平面所成其中一个二面角的平面角.又平面平面,四边形是菱形,从而.(2)解:由(1)及题设可知四边形是菱形,，.以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,,,，，.设平面的法向量，即令,可得.又由(1)可知平面,可取平面的法向量为，。
河南省漯河市高级中学高三上学期第三次模拟考试(期中)
漯河高中2017—2018学年（上）高三第三次模拟考试数学试题（理） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．12D ．2- 2.已知集合{1,2},{(,)|,,}A B x y x A y A x y A ==∈∈-∈，则B 的子集共有 （ ） A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．8个 3.在不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域内任取一个点(,)P x y ，则1x y +≤ 的概率为（ ） A ．12 B ．14 C ．18 D ．1124. 正项等比数列{}n a 中的24034,a a 是函数()3211(1)3f x x mx x m =-++<-的极值点，则2018ln a 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．与m 的值有关5.已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为 （ ）A．．5 D ．66.若3sin(),5παα+=是第三象限角，则sincos22sin cos 22παπαπαπα++-=---（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．2- 7. 若()f x 是奇函数，且0x 是()xy f x e =+的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ）A ．()1xy f x e =-- B ．()1xy f x e-=+ C ．()1x y f x e =- D ．()1x y f x e =+8. 设函数()2sin cos 22cos mx x mx xf x x++=++，若()f x 在[,]n n -上的值域为[],a b ，其中,,,a b m n R ∈，且0n >，则a b += （ ）A ．0B ．2C ．4D ．2m9. 如图所示，在边长为1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A ．9 B ．272C ．18D ．2710. 设12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于两点,P Q ，若01160,F PQ PF PQ ∠==，则椭圆的离心率为（ ）A．3 B ．23 C．3 D ．1311. 已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．随a 值变化 12. 设121sin ,25n n n n a S a a a n π==+++，则12,,,n S S S 中，正数的个数是（ ）A ．25B ．50C ．75D ．100第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面直角坐标系中，(1,0),(1,0)A B -，若曲线C 上存在一点P ，使0PA PB ⋅<，则称曲线C 为“合作曲线”，有下列曲线①2212x y +=；②21y x =+；③2221y x -=；④2231x y +=；⑤24x y +=，其中“合作曲线”是 ．（填写所有满足条件的序号）14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，令()()()2017F x x b f x b =--+，若b 是,a c 的等差数列，则()()F a F c += ．15.已知圆222:(1)C x y r +-=与曲线sin y x =有唯一的公共点，且公共点的横坐标为α， 若2sin 24cos ααλα-=⋅，则α ．16. 已知椭圆22221(0),,x y a b A B a b+=>>是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ，则0x 的取值范围是 ．（用,a b 表示）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数都有1(0,1)n n a S λλ-=≠.（1）求证：{}n a 为等比数列； （2）若12λ=，且4411log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 已知,,A B C 是ABC ∆的三个内角，若向量5(1cos(),cos),(,cos )282A B A Bm A B n --=-+=，且98m n ⋅=.（1）求证：1tan tan 9A B ⋅= ；（2）求222sin ab Ca b c+-的最大值. 19.如图，四边形ABEF 和四边形ABCD 均是直角梯形，090FAB DAB ∠=∠= 二面角F AB D --是直二面角，//,//,2,1BE AF BC AD AF AB BC AD ====.（1）证明：在平面BCE 上，一定存在过点C 的直线l 与直线DF 平行； （2）求二面角F CD A --的余弦值.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=，如图所示，斜率为(0)k k >且不过原点的直线l 交椭圆C 于两点,A B ，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -. （1）求22m k +的最小值；（2）若2OG OD OE =⋅，求证：直线l 过定点.21.已知函数()1(xf x e ax a =--为常数），曲线()y f x =在与y 轴的交点A 处的切线斜率为1-.（1）求a 的值及函数()y f x =的单调区间；（2）若12ln 2,ln 2x x <>，且12()()f x f x =，试证明：122ln 2x x +<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为24(cos sin )3ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的参数方程；（2）在直线坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上的动点，试求2x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.23.若关于x 的不等式32310x x t ++--≥的解集为R ，记实数t 的最大值为a . （1）求a ；（2）若正实数,m n 满足45m n a +=，求14233y m n m n=+++的最小值.试卷答案一、选择题1-5: AACCC 6-10: BCCAA 11、A 12：D 二、填空题13. ①③④ 14. 4034 15. 4- 16.2222(,)a b a b a a--- 三、解答题17.解：（1）证：当1n =时，1111a S a λ-==，因为1λ≠，解得，111a λ=-， 当2n =时，11111n n n n n n n a a a a a S S λλλ------=-=-=， 所以111n n a a λ-=-，所以数列是以11λ-为首项，11λ-为公比的等比数列， 所以1(),()1nn a n N λ+=∈-. （2）由（1）知，12λ=时，2nn a =，所以44114111()log log (1)41n n n b a a n n n n +===-⋅++，所以121111144(1)22311n n nT b b b n n n =+++=-+-++-=++.18.解：（1）由已知得259[1cos()]cos 828A B A B --+⋅+=, 即519(1cos cos sin sin )[1cos()]828A B A B A B -+++-=, 故5551119cos cos sin sin cos cos sin sin 8882228A B A B A B A B -++++=， 整理得sin sin 19sin sin cos cos cos cos 9A B A B A B A B =⇒=，即1tan tan 9A B =.（2）因为222222sin sin 11cos tan tan()22cos 22a b c ab C C C C A B ab a b c C +-=⇒===-++- 1tan tan 1tan tan 9(tan tan )121tan tan 21619A B A B A B A B ++=-⋅=-⋅=-+--，因为,A B 为三角形内角，1tan tan 09A B +=>，所以tan 0,tan 0A B >>，所以2tan tan 3A B +≥=，当且仅当1tan tan 3A B ==时取等号，故222sin 923()1638ab C a b c ≤-⨯=-+-，所以222sin ab C a b c +-的最大值为38-. 19.解：（1）证明：由已知得//,BE AF AF ⊂平面,AFD BE ⊄平面AFD ， 所以//BE 平面AFD ，同理可得//BC 平面AFD ， 又BEBC B =,所以平面//BCE 平面AFD ,设平面DFC平面BCE l =，则l 过点C ，因为平面//BCE 平面ADF ，平面DCF 平面BCE l =，平面DFC平面AFD DF =，所以//DF l ，即在平面BCE 上一定存在过点C 的直线l ，使得//DF l . （2）因为平面,ABEF ABCD FA ⊥⊂平面ABEF ,平面ABCD 平面ABEF AB =,又090FAB ∠=，所以AF AB ⊥，所以AF ⊥平面ABCD ， 因为AD ⊂平面ABCD ，所以AF AD ⊥， 因为090DAB ∠=,所以AD AB ⊥，以A 为坐标原点，,,AD AB AF 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，由已知得(1,0,0),(2,2,0),(0,0,2)D C F , 所以(1,0,2),(1,2,0)DF DC =-=,设平面DFC 的法向量为(,,)n x y z =，则0220n DF x zx y n DC ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨=-⋅=⎩⎪⎩，不妨设1z =，则(2,1,1)n =-，不妨取平面ACD 的一个法向量为(0,0,1)m =，所以cos ,66m n m n m n⋅===⋅，由于二面角F CD A --为锐角，因此二面角F CD A --的余弦值为6.20.解：（1）设直线l 的方程为(0)y kx t k =+>，由题意，0t >，由方程组2213y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(31)6330k x ktx t +++-=， 由题意0∆>，所以2231k t +>， 设1122(,),(,)A x y B x y ，由根与系数的关系得122631kt x x k +=-+，所以122231ty y k +=+， 由于E 为线段AB 的中点，因此223,3131E E kt tx y k k =-=++，此时13E OE E y k x k ==-，所以OE 所在直线的方程为13y x k=-，又由题意知(3,)D m -，令3x =-，得1m k=，即1mk =， 所以2222m k mk +≥=，当且仅当1m k ==时上式等号成立，此时由0∆>得02t <<，因此当1m k ==且02t <<时，22m k +取最小值2. （2）证明：由（1）知D 所在直线的方程为13y x k=-， 将其代入椭圆C 的方程，并由0k >，解得(G ，又1((3,)E D k -，由距离公式及0t >得2222291(31k OG k +=+=+，OD k ==，OE ==， 由2OG OD OE =⋅，得t k =，因此直线l 的方程为(1)y k x =+，所以直线l 恒过定点(1,0)-.21.解：（1）由()1x f x e ax =--，得()x f x e a '=-，因为曲线()y f x =在与y 轴的焦点A 处的切线斜率为1-， 所以()011f a '=-=-，所以2a =， 所以()()212xxf x e x f x e '=--⇒=-，由()20xf x e '=->，得ln 2x >，由()20xf x e '=-<，得ln 2x <，所以函数()y f x =的单调递减区间为(,ln 2)-∞，单调递增区间为(ln 2,)+∞. （2）证明:设ln 2x >，所以2ln 2ln 2x -<，2ln 24(2ln 2)2(2ln 2)1204ln 21x xf x e x x e --=---=+-，令()()4(2ln 2)44ln 2(ln 2)xxg x f x f x e x x e =--=--+> 所以()440x x g x e e -'=+-≥， 当且仅当ln 2x =时，等号成立，所以()()(2ln 2)g x f x f x =--在(ln 2,)+∞上单调递增，又()ln 20g =，所以当ln 2x >时，()()(2ln 2)(ln 2)0g x f x f x g =-->=， 即()(2ln 2)f x g x >-，所以()22(2ln 2)f x g x >-， 又因为()12()f x f x =，所以()12(2ln 2)f x f x >-， 由于2ln 2x >，所以22ln 2ln 2x -<，因为1ln 2x <，由（1）知函数()y f x =在区间(,ln 2)-∞上单调递增， 所以122ln 2x x <-，即122ln 2x x +<.22.解：（1）因为24(cos sin )3ρρθθ=+-，所以224430x y x y +--+=， 即22(2)(2)5x y -+-=为圆C 的直角坐标方程，所以圆C的参数方程为2(2x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）. （2）设2x y t +=，得2x t y =-，代入224430x y x y +--+=，整理得2254(1)430y t y t t +-+-+=， 则关于y 的方程必有实数根，所以2216(1)20(43)0t t t ∆=---+≥， 化简得212110t t -+≤，解得111t ≤≤，即2x y +的最大值为11， 将11t =代入方程得28160y y -+=， 解得4y =，代入211x y +=，得3x =，故2x y +的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4).23.解：（1）因为32310x x t ++--≥，所以32311x x ++-≥， 又因为3231(32)(13)3x x x x ++-≥++-=，所以3t ≤，从而实数t的最大值3a=.（2）因为1414()(45)()[(2)(33)] 233233m n m n m n m n m n m n m n++=++++ ++++29≥=，所以143()9233m n m n+≥++，从而3y≥，当且仅当14233m n m n=++，即13m n==时等号成立，所以14233ym n m n=+++的最小值为3.。
2018年河南省高考数学一诊试卷(理科)
2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知a ∈R ，复数z =(a−i)(1+i)i，若z =z ，则a =( )A.1B.−1C.2D.−22. 已知集合M ={x|x−3x−1≤0}，N ={x|y =log 3(−6x 2+11x −4)}，则M ∩N =( ) A.[1, 43]B.(12, 3]C.(1, 43)D.(43, 2)3. 某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：∘C ）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A.最低气温与最高气温为正相关B.10月的最高气温不低于5月的最高气温C.月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D.最低气温低于0∘C 的月份有4个4. 在等比数列{a n }中，若a 2=√22,a 3=√43，则a 1+a 15a 7+a 21=( )A.23B.12C.32D.25. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为( ) A.128π平方尺 B.138π平方尺 C.140π平方尺 D.142π平方尺6. 定义[x]表示不超过x 的最大整数，(x)=x −[x]，例如[2.1]=2，(2.1)=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x =5.8，则输出的z =( )A.−1.4B.−2.6C.−4.6D.−2.87. 若对于任意x ∈R 都有f(x)+2f(−x)=3cosx −sinx ，则函数f(2x)图象的对称中心为（ ）A.(kπ−π4,0)(k ∈Z) B.(kπ−π8,0)(k ∈Z) C.(kπ2−π4,0)(k ∈Z)D.(kπ2−π8,0)(k ∈Z)8. 设x ，y 满足约束条件{2x −y ≥0x +13y ≤1y ≥0，若z =−ax +y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A.2或−3B.3或−2C.−13或12D.−13或29. 函数f(x)=x(e −x −e x )4x 2−1的部分图像大致是( )A.B.C.D.10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.20+12√2+2√14B.20+6√2+2√14C.20+6√2+2√34D.20+12√2+2√3411. 设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(1, 0)，点A(−1, 1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|+|PF|＝9，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A.[12,1) B.[13,12] C.[15,14] D.[12,23]12. 已知函数f(x)=lnx+(2e2−a)x−b2，其中e是自然对数的底数，若不等式f(x)≤0恒成立，则ba的最小值为（）A.−1e2B.−2e2C.−1eD.−2e二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）在△ABC中，|AB→+AC→|=|AB→−AC→|，|AB→|=2，则AB→⋅BC→=________已知(1+x)(a−x)6=a0+a1x+a2x2+...+a7x7，a∈R，若a0+a1+a2+...+a6+ a7=0，则a3=________．已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，当n≥2时，恒有ka n=a n S n−S n2成立，若设F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A(m, 18)在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=4，b=2，2ccosC=b，D，E分别为线段BC上的点，且BD=CD，∠BAE=∠CAE．（1）求线段AD的长；（2）求△ADE的面积．某班为了活跃元旦气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取得标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1，2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取得一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品．已知同学甲参加了该游戏．(1)求甲获得奖品的概率；(2)设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望．如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90∘．（1）证明：B1C // 平面A1DE；（2）求二面角A−BB1−C的正弦值．已知抛物线E:y2=2px(p>0)，斜率为k且过点M(3, 0)的直线l与E交于A，B两点，（1）求抛物线E 的方程；（2）设点N(−3, 0)，记直线AN ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明：1k 12+1k 22−2k 2为定值．已知函数f(x)=(x +1)e ax (a ≠0)，且x =2a 是它的极值点．（1）求a 的值；（2）求f(x)在[t −1, t +1]上的最大值；（3）设g(x)=f(x)+2x +3xlnx ，证明：对任意x 1，x 2∈(0, 1)，都有|g(x 1)−g(x 2)|<2e 3+3e +1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m 3k （m 为参数），设直线l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C 1．（1）求出曲线C 1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2，点Q 为曲线C 1的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]已知f(x)=|x +a|(a ∈R)．（1）若f(x)≥|2x +3|的解集为[−3, −1]，求a 的值；（2）若∀x ∈R ，不等式f(x)+|x −a|≥a 2−2a 恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年河南省高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】复数的运算【解析】根据复数的基本运算进行化简，结合z=z，进行求解即可．【解答】解:z=(a−i)(1+i)i =a+1+(a−1)ii=a+1i+a−1=(a−1)−(a+1)i，则z=(a−1)+(a+1)i，∵z=z，∴a+1=0，得a=−1，故选B.2.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】求解分式不等式化简集合M，求解一元二次不等式化简集合N，再由交集运算性质得答案．【解答】∵集合M={x|x−3x−1≤0}={x|1<x≤3}，N={x|y=log3(−6x2+11x−4)}={x|−6x2+11x−4>0}={x|12<x<43}，∴M∩N={x|1<x≤3}∩{x|12<x<43}=(1, 43)．3.【答案】D【考点】频率分布折线图、密度曲线由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：∘C）的数据的折线图，得最低气温低于0∘C的月份有3个．【解答】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：∘C）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0∘C的月份有3个，故D错误．4.【答案】B【考点】等比数列的通项公式【解析】利用等比数列通项公式先求出公比q=a3a2=√43√2=216，再由a1+a15a7+a21=a1+a15q6(a1+a15)=1q6，能求出结果．【解答】∵在等比数列{a n}中，若a2=√2，a3=√43，∴公比q=a3a2=√43√2=216，∴a1=a2q =√2216=213，∴a1+a15a7+a21=a1+a15q6(a1+a15)=1q6=12．5.【答案】B【考点】球内接多面体球的体积和表面积【解析】构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由此能求出这个四棱锥的外接球的表面积．【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R=√72+52+822=√1382（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积S=4π×R2=4π×1384=138π（平方尺）．6.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量z的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得x=5.8y=5−1.6=3.4x=5−1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1−1.4=−0.4，x=1−1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=−0.2，y=−1−1.6=−2.6，x=−1−1=−2不满足条件x≥0，退出循环，z=−2+(−2.6)=−4.6．输出z的值为−4.6．7.【答案】D【考点】正弦函数的图象【解析】根据题意求出函数f(x)的解析式，再化f(x)为正弦型函数，可得函数f(2x)的解析式，根据正弦函数的对称性，求出f(2x)图象的对称中心．【解答】∵对任意x∈R，都有f(x)+2f(−x)=3cosx−sinx①，用−x代替x，得f(−x)+2f(x)=3cos(−x)−sin(−x)②，即f(−x)+2f(−x)=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f(x)=sinx+cosx，∴f(x)=√2sin(x+π4)，∴f(2x)=√2sin(2x+π4)．令2x+π4=kπ，k∈Z，求得x=kπ2−π8，故函数f(2x)图象的对称中心为(kπ2−π8, 0)，k∈Z，8.【答案】A【考点】含参线性规划问题简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB），由z=y−ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a>0，目标函数y=ax+z的斜率k=a>0，要使z=y−ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x−y=0平行，此时a=2，若a<0，目标函数y=ax+z的斜率k=a<0，要使z=y−ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+13y=1平行，此时a=−3，综上a=−3或a=2.故选A.9.【答案】B【考点】函数的图象变化【解析】此题暂无解析【解答】解：∵函数f(x)的定义域为{x|x≠±12}，关于原点对称，f(−x)=−x(e x−e−x) 4x2−1=x(e−x−e x)4x2−1=f(x)，∴f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称，故排除选项A.令f(x)=0，即x(e −x−e x)4x2−1=0，解得x=0，∴函数f(x)只有一个零点，故排除选项D.当x=1时，f(1)=1e−e3<0，故排除选项C.故选B．10.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】【解答】由三视图可知该几何体为侧放的四棱柱，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．S ABCD=3×4√2=12√2，S△PBC=12×4×4=8，S△PCD=S△PBA=12×3×4=6，△PAD中AP=PD=5，AD=4√2，∴AD边上的高为√25−8=√17，∴S△PAD=12×4√2×√17=2√34，则该几何体的表面积为12√2+8+6+6+2√34=12√2+20+2√34，11.【答案】C【考点】椭圆的离心率【解析】通过记椭圆的左焦点为F1(−1, 0)，则|AF1|＝1，利用|PF1|≤|PA|+|AF1|可知a≤5；利用|PF1|≥|PA|−|AF1|可知a≥4，进而可得结论4≤a≤5．【解答】记椭圆的左焦点为F1(−1, 0)，则|AF1|＝1，∵|PF1|≤|PA|+|AF1|，∴2a＝|PF1|+|PF|≤|PA|+|AF1|+|PF|≤1+9＝10，即a≤5；∵|PF1|≥|PA|−|AF1|，∴2a＝|PF1|+|PF|≥|PA|−|AF1|+|PF|≥9−1＝8，即a≥4，∴4≤a≤5，∴ca ∈[15,14]12.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性导数求函数的最值【解析】求得f(x)的导数，讨论a≤2e2时，不恒成立；a>2e2时，求得f(x)的最大值，12b≥−1−ln(a−2e2)，可得12⋅ba≥−1−ln(a−2e2)a(a>2e2)，令F(x)=−1−ln(x−2e2)x，x>2e2，求得导数和单调区间，可得F(x)的最小值，即可得到所求最小值．【解答】∵函数f(x)=lnx+(2e2−a)x−b2，其中e为自然对数的底数，∴f′(x)=1x+(2e2−a)，x>0，当a≤2e2时，f′(x)>0，∴ f(x)≤0不可能恒成立， 当a >2e 2时，由f′(x)=0，得x =1a−2e 2，∵ 不等式f(x)≤0恒成立，∴ f(x)的最大值为0， 当x ∈(0, 1a−2e 2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 当x ∈(1a−2e 2, +∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， ∴ 当x =1a−2e 2时，f(x)取最大值， f(1a−2e 2)=−ln(a −2e 2)−12b −1≤0，∴ ln(a −2e 2)+12b +1≥0， ∴ 12b ≥−1−ln(a −2e 2)， ∴ 12⋅ba ≥−1−ln(a−2e 2)a(a >2e 2)，令F(x)=−1−ln(x−2e 2)x，x >2e 2，F′(x)=−xx−2e 2+1+ln(x−2e 2)x 2=(x−2e 2)ln(x−2e 2)−2e 2(x−2e 2)x 2，令H(x)=(x −2e 2)ln(x −2e 2)−2e 2， H′(x)=ln(x −2e 2)+1， 由H′(x)=0，得x =2e 2+1e ，当x ∈(2e 2+1e , +∞)时，H′(x)>0，H(x)是增函数， x ∈(2e 2, 2e 2+1e )时，H′(x)<0，H(x)是减函数，∴ 当x =2e 2+1e 时，H(x)取最小值H(2e 2+1e )=−2e 2−1e ， ∵ x →2e 2时，H(x)→0，x >3e 2时，H(x)>0，H(3e 2)=0， ∴ 当x ∈(2e 2, 3e 2)时，F′(x)<0，F(x)是减函数， 当x ∈(3e 2, +∞)时，F′(x)>0，F(x)是增函数， ∴ x =3e 2时，F(x)取最小值，F(3e 2)=−1−23e 2=−1e2，∴ 12⋅ba 的最小值为−1e 2，即有ba 的最小值为−2e 2．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 −4【考点】【解析】运用向量的平方即为模的平方，对等式两边平方，可得A 为直角，再由向量数量积的定义和解直角三角形，即可得到所求值． 【解答】在△ABC 中，|AB →+AC →|=|AB →−AC →|， 可得|AB →+AC →|2=|AB →−AC →|2，即有AB →2+AC →2+2AB →⋅AC →=AB →2+AC →2−2AB →⋅AC →， 即为AB →⋅AC →=0，则△ABC 为直角三角形，A 为直角， 则AB →⋅BC →=−BA →⋅BC →=−|BA →|⋅|BC →|⋅cosB =−|BA →|2=−4．【答案】 −5【考点】二项式定理的应用 【解析】在二项式展开式中，令x =1得a 0+a 1+...+a 7的值，从而求得a 的值，再由a 3表示x 3的系数求得a 3的值． 【解答】(1+x)(a −x)6=a 0+a 1x +a 2x 2+...+a 7x 7中， 令x =1得，a 0+a 1+...+a 7=2⋅(a −1)6=0， 解得a =1，而a 3表示x 3的系数，所以a 3=C 63⋅(−1)3+C 62⋅(−1)2=−5． 【答案】 2【考点】 数列的求和 【解析】由题意可得(k −S n )(S n −S n−1)=−Sn 2，化为1S n−1Sn−1=1k ，再利用等差数列的通项公式即可得出k 的值． 【解答】当n ≥2时，恒有ka n =a n S n −S n 2成立， 即为(k −S n )(S n −S n−1)=−S n 2， 化为1S n−1Sn−1=1k ，可得1S n=1+n−1k，由S99=150，可得150=kk+98，解得k=2．【答案】2√21【考点】双曲线的离心率【解析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120∘，利用余弦定理算出c2=7a2，b2=6a2，结合双曲线的第二定义，可得m，A在双曲线上，代入双曲线的方程，即可得出a，即有实轴长．【解答】根据双曲线的定义，可得|AF1|−|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，∴|BF1|=2a，又∵|BF2|−|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120∘，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2−2|BF1|⋅|BF2|cos120∘，即4c2=4a2+16a2−2×2a×4a×(−12)=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得ca =|AF2|m−a2c=4am−a√7=√7，则m=√7，由A在双曲线上，可得257−1826a2=1，解得a=√21，则2a=2√21．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】根据题意，b=2，c=4，2ccosC=b，则cosC=b2c =14；又由cosC=a2+b2−c22ab =4+a2−162×2×a=14，解可得a=4，即BC=4，则CD=2，在△ACD中，由余弦定理得：AD2=AC2+CD2−2AC⋅CDcosC=6，则AD=√6；根据题意，AE平分∠BAC，则CEBE =ACAB=12，cosC =14，则sinC =√1−(14)2=√154，S △ADE =S △ACD −S △ACE =12×2×2×√154−12×2×43×√154=√156． 【考点】 余弦定理 【解析】（1）在△ABC 中，利用余弦定理计算BC ，再在△ACD 中利用余弦定理计算AD ； （2）根据角平分线的性质得出CE ，于是S △ADE =S △ACD −S △ACE ． 【解答】根据题意，b =2，c =4，2ccosC =b ，则cosC =b2c =14； 又由cosC =a 2+b 2−c 22ab=4+a 2−162×2×a=14，解可得a =4，即BC =4，则CD =2， 在△ACD 中，由余弦定理得：AD 2=AC 2+CD 2−2AC ⋅CDcosC =6， 则AD =√6；根据题意，AE 平分∠BAC ， 则CEBE =ACAB =12，变形可得：CE =13BC =43，cosC =14，则sinC =√1−(14)2=√154，S △ADE =S △ACD −S △ACE =12×2×2×√154−12×2×43×√154=√156． 【答案】解：(1)设甲获得奖品为事件A ，在每轮游戏中， 甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关， 则P(A)=612×36×23×12=112．(2)随机变量X 的取值可以为1，2，3，4． P(X =1)=612=12， P(X =2)=612×36=14， P(X =3)=612×36×13=112， P(X =4)=612×36×23=16． 随机变量X 的概率分布列为：所以数学期望E(X)=1×12+2×14+3×112+4×16=2312．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列古典概型及其概率计算公式【解析】（1）甲获得奖品的事件为A，在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲拿到礼物的概率．（2）随机变量X的所有可能取值是1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的概率分布列及数学期望．【解答】解：(1)设甲获得奖品为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则P(A)=612×36×23×12=112．(2)随机变量X的取值可以为1，2，3，4．P(X=1)=612=12，P(X=2)=612×36=14，P(X=3)=612×36×13=112，P(X=4)=612×36×23=16．随机变量X的概率分布列为：所以数学期望E(X)=1×12+2×14+3×112+4×16=2312．【答案】因为A1B1 // AB，AB=2A1B1，D为棱AB的中点，所以A1B1 // BD，A1B1=BD，所以四边形A1B1BD为平行四边形，从而BB1 // A1D．又BB1平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，所以B1B // 平面A1DE，因为DE是△ABC的中位线，所以DE // BC，同理可证，BC // 平面A1DE．因为BB1∩BC=B，所以平面B1BC // 平面A1DE，又B1C⊂平面B1BC，所以B1C // 平面A1DE．以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E−设平面ABB 1的一个法向量m =(x 1,y 1,z 1)， 则{m →⋅AB 1→=0m →⋅AB →=0 ，即{ay 1+√3az 1=0ax 1+2ay 1=0， 取z 1=1，得m →=(2√3,−√3,1)．同理，设平面BB 1C 的一个法向量n →=(x,y,z)， 又CB 1→=(0,−a,√3a)，BC →=(−a,0,0)， 由{n →⋅BC →=0n →⋅CB 1→=0 ，得{−ax =0−ay +√3az =0 ， 取z =−1，得n →=(0,−√3,−1)， 所以cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=14，故二面角A −BB 1−C 的正弦值为：√1−(14)2=√154．【考点】直线与平面平行二面角的平面角及求法 【解析】（1）推导出四边形A 1B 1BD 为平行四边形，从而BB 1 // A 1D ，进而B 1B // 平面A 1DE ，由DE 是△ABC 的中位线，得DE // BC ，从而BC // 平面A 1DE ．进而平面B 1BC // 平面A 1DE ，由此能证明B 1C // 平面A 1DE ．（2）以ED ，EC ，EB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E −xyz ，利用向量法能求出二面角A −BB 1−C 的正弦值． 【解答】因为A 1B 1 // AB ，AB =2A 1B 1，D 为棱AB 的中点， 所以A 1B 1 // BD ，A 1B 1=BD ，所以四边形A 1B 1BD 为平行四边形，从而BB 1 // A 1D ． 又BB 1平面A 1DE ，A 1D ⊂平面A 1DE ， 所以B 1B // 平面A 1DE ，因为DE 是△ABC 的中位线，所以DE // BC ， 同理可证，BC // 平面A 1DE ．因为BB 1∩BC =B ，所以平面B 1BC // 平面A 1DE ， 又B 1C ⊂平面B 1BC ，所以B 1C // 平面A 1DE ．以ED ，EC ，EB 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系E −xyz ，设平面ABB 1的一个法向量m =(x 1,y 1,z 1)， 则{m →⋅AB 1→=0m →⋅AB →=0 ，即{ay 1+√3az 1=0ax 1+2ay 1=0， 取z 1=1，得m →=(2√3,−√3,1)．同理，设平面BB 1C 的一个法向量n →=(x,y,z)， 又CB 1→=(0,−a,√3a)，BC →=(−a,0,0)， 由{n →⋅BC →=0n →⋅CB 1→=0 ，得{−ax =0−ay +√3az =0 ， 取z =−1，得n →=(0,−√3,−1)， 所以cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →|⋅|n →|=14，故二面角A −BB 1−C 的正弦值为：√1−(14)2=√154．【答案】根据题意，设直线l 的方程为y =k(x −3)，联立方程组{y 2=2pxy =k(x −3)得y 2−2p k y −6p =0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 所以y 1+y 2=2p k，y 1y 2=−6p ，又OA →∗OB →=x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)24p 2+y 1y 2=9−6p =−3，所以p =2，从而抛物线E 的方程为y 2=4x ．证明：因为k 1=y1x 1+3=y1y 1k+6，k 2=y2x 2+3=y2y 2k+6，所以1k 1=1k +6y 1，1k 2=1k +6y 2，因此1k 12+1k 22−2k 2=(1k +6y 1)2+(1k +6y 2)2−2k 2=2k 2+12k∗(1y 1+1y 2)+36(1y 12+1y 22)−2k 2=12k∗y 1+y 2y 1y 2+36×(y 1+y 2)2−2y 1y 2y 12y 22，又y 1+y 2=2p k=4k ，y 1y 2=−6p =−12，16即1k 12+1k 22−2k 为定值．【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】（1）根据题意，设直线l 的方程为y =k(x −3)，联立直线与抛物线的方程，得y 2−2p ky −6p =0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，利用根与系数的关系分析用p 表示OA →∗OB →+3=0，解可得p 的值，即可得抛物线的标准方程；（2）根据题意，由两点间连线的斜率公式可得k 1、k 2的值，将其值代入1k 12+1k 22−2k 2中，结合抛物线的焦点弦公式分析可得结论． 【解答】根据题意，设直线l 的方程为y =k(x −3)，联立方程组{y 2=2pxy =k(x −3)得y 2−2p k y −6p =0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 所以y 1+y 2=2p k，y 1y 2=−6p ，又OA →∗OB →=x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)24p 2+y 1y 2=9−6p =−3，所以p =2，从而抛物线E 的方程为y 2=4x ．证明：因为k 1=y 1x 1+3=y 1y 1k+6，k 2=y 2x 2+3=y2y 2k+6，所以1k 1=1k +6y 1，1k 2=1k +6y 2，因此1k 12+1k 22−2k 2=(1k +6y 1)2+(1k +6y 2)2−2k 2=2k 2+12k∗(1y 1+1y 2)+36(1y 12+1y 22)−2k 2=12k∗y 1+y 2y 1y 2+36×(y 1+y 2)2−2y 1y 2y 12y 22，又y 1+y 2=2p k=4k ，y 1y 2=−6p =−12，所以1k 12+1k 22−2k 2=12k×(−1)3k+36×16k 2+24144=6，即1k 12+1k 22−2k 2为定值．【答案】f(x)=(x +1)e ax (a ≠0)的导数f′(x)=e ax +a(x +1)e ax =(ax +a +1)e ax ， 因为x =2a 是f(x)的一个极值点， 所以f ′(2a )=(a +3)e 2=0，所以a =−3．由（1）知f(x)=(x +1)e −3x ，f′(x)=(−3x −2)e −3x ，当t −1≥−23，即t ≥13时，f(x)在[t −1, t +1]上递减，f(x)max =f(t −1)=te −3(t−1)；当t −1<−23<t +1，即−53<t <13时，f(x)max =f(−23)=e 23．证明：g(x)=(x +1)e −3x +2x +3xlnx ， 设g(x)=m 1(x)+m 2(x)，x ∈(0, 1)，其中m 1(x)=(x +1)e −3x +2x ，m 2(x)=3xlnx ，则m 1′(x)=(−3x −2)e −3x +2，设ℎ(x)=(−3x −2)e −3x +2，则ℎ′(x)=(9x +3)e −3x >0，可知m 1′(x)在(0, 1)上是增函数， 所以m 1′(x)>m 1′(0)=0，即m 1(x)在(0, 1)上是增函数， 所以1<m 1(x)<2+2e 3．又m 2′(x)=3(1+lnx)，由m 2′(x)>0，得x >1e ；由m 2′(x)<0，得0<x <1e ， 所以m 2(x)在(0,1e )上递减，在(1e ,1)上递增，所以−3e ≤m 2(x)<0，从而1−3e <m 1(x)+m 2(x)<2+2e 3．所以，对任意x 1，x 2∈(0, 1)，|g(x 1)−g(x 2)|<(2+2e 3)−(1−3e )=2e 3+3e +1． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 【解析】（1）求得f(x)的导数，可得f′(2a )=0，解方程可得a 的值；（2）由（1）可得极值点，讨论区间与极值点的关系，结合单调性，即可得到所求最大值；（3）g(x)=(x +1)e −3x +2x +3xlnx ，设g(x)=m 1(x)+m 2(x)，x ∈(0, 1)，其中m 1(x)=(x +1)e −3x +2x ，m 2(x)=3xlnx ，分别求得导数和单调性，可得它们的取值范围， 即可得证． 【解答】f(x)=(x +1)e ax (a ≠0)的导数f′(x)=e ax +a(x +1)e ax =(ax +a +1)e ax ， 因为x =2a 是f(x)的一个极值点， 所以f ′(2a )=(a +3)e 2=0，所以a =−3．由（1）知f(x)=(x +1)e −3x ，f′(x)=(−3x −2)e −3x ，当t −1≥−23，即t ≥13时，f(x)在[t −1, t +1]上递减，f(x)max =f(t −1)=te −3(t−1)；当t −1<−23<t +1，即−53<t <13时，f(x)max =f(−23)=e 23．证明：g(x)=(x +1)e −3x +2x +3xlnx ， 设g(x)=m 1(x)+m 2(x)，x ∈(0, 1)，其中m 1(x)=(x +1)e −3x +2x ，m 2(x)=3xlnx ，则m 1′(x)=(−3x −2)e −3x +2，设ℎ(x)=(−3x −2)e −3x +2，则ℎ′(x)=(9x +3)e −3x >0，可知m 1′(x)在(0, 1)上是增函数， 所以m 1′(x)>m 1′(0)=0，即m 1(x)在(0, 1)上是增函数， 所以1<m 1(x)<2+2e 3．又m 2′(x)=3(1+lnx)，由m 2′(x)>0，得x >1e ；由m 2′(x)<0，得0<x <1e ， 所以m 2(x)在(0,1e )上递减，在(1e ,1)上递增，所以−3e ≤m 2(x)<0，从而1−3e <m 1(x)+m 2(x)<2+2e 3．所以，对任意x 1，x 2∈(0, 1)，|g(x 1)−g(x 2)|<(2+2e 3)−(1−3e )=2e 3+3e +1． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】∵ 直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），∴ 直线l 1的普通方程为y =k(x +√3)，①∵ 直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m 3k （m 为参数），∴ 直线l 2的普通方程为y =13k (√3−x)，② ①×②，消k ，得：x 23+y 2=1．∵ k ≠0，∴ y ≠0，∴ 曲线C 1的普通方程为x 23+y 2=1(y ≠0)．∵ 直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2， ∴ 直线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0， 由（1）知曲线C 1与直线C 2无公共点，∵ 曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα ，(α为参数，α≠kπ，k ∈Z)，∴ 曲线C 1上的点Q(√3cosα, sinα)到直线的距离为： π∴ 当sin(α+π3)=1时，d 取最小值3√2．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）求出直线l 1的普通方程为y =k(x +√3)，①，直线l 2的普通方程为y =13k (√3−x)，②，①×②，消k ，能求出曲线C 1的普通方程． （2）直线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0，曲线C 1上的点Q(√3cosα, sinα)到直线的距离为：d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，当sin(α+π3)=1时，d 取最小值3√2． 【解答】∵ 直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt（t 为参数）， ∴ 直线l 1的普通方程为y =k(x +√3)，①∵ 直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m 3k（m 为参数）， ∴ 直线l 2的普通方程为y =13k (√3−x)，②①×②，消k ，得：x 23+y 2=1．∵ k ≠0，∴ y ≠0，∴ 曲线C 1的普通方程为x 23+y 2=1(y ≠0)． ∵ 直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2，∴ 直线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0，由（1）知曲线C 1与直线C 2无公共点，∵ 曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα，(α为参数，α≠kπ，k ∈Z)， ∴ 曲线C 1上的点Q(√3cosα, sinα)到直线的距离为： d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2， ∴ 当sin(α+π3)=1时，d 取最小值3√2．[选修4-5：不等式选讲]【答案】f(x)≥|2x +3|即|x +a|≥|2x +3|，平方整理得：3x 2+(12−2a)x +9−a 2≤0，所以−3，−1是方程 3x 2+(12−2a)x +9−a 2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到{12−2a −3=−49−a 23=3 ...4分解得a =0...5分因为f(x)+|x −a|≥|(x +a)−(x −a)|=2|a|...7分 所以要不等式f(x)+|x −a|≥a 2−2a 恒成立只需2|a|≥a 2−2a...8分 当a ≥0时，2a ≥a 2−2a 解得0≤a ≤4，当a <0时，−2a ≥a 2−2a 此时满足条件的a 不存在，综上可得实数a 的范围是0≤a ≤4...10分【考点】绝对值三角不等式【解析】（1）根据二次函数的性质得到关于a 的方程组，解出即可； （2）问题转化为2|a|≥a 2−2a ，通过讨论a 的范围，得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】f(x)≥|2x +3|即|x +a|≥|2x +3|，平方整理得：3x 2+(12−2a)x +9−a 2≤0，所以−3，−1是方程 3x 2+(12−2a)x +9−a 2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到{12−2a −3=−49−a 23=3 ...4分解得a =0...5分因为f(x)+|x −a|≥|(x +a)−(x −a)|=2|a|...7分 所以要不等式f(x)+|x −a|≥a 2−2a 恒成立只需2|a|≥a 2−2a...8分 当a ≥0时，2a ≥a 2−2a 解得0≤a ≤4，当a <0时，−2a ≥a 2−2a 此时满足条件的a 不存在， 综上可得实数a 的范围是0≤a ≤4...10分。
河南省高考数学一模试卷理科含解析
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）一、选择题1.已知集合A={x|x2−2x−3>0}，B=N，则集合(∁R A)∩B中元素的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 52.若复数a+3i1+2i(a∈R,i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为()A. −6B. 13C. 32D. √133.已知f(x)=sinx−tanx，命题p：∃x0∈(0,π2)，f(x0)<0，则()A. p是假命题，￢p：∀x∈(0,π2)，f(x)≥0B. p是假命题，￢p：∃x0∈(0,π2)，f(x0)≥0C. p是真命题，￢p：∀x∈(0,π2)，f(x)≥0D. p是真命题，￢p：∃x0∈(0,π2)，f(x0)≥04.已知程序框图如图，则输出i的值为()A. 7B. 9C. 11D. 135.2018年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班，(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有()A. 18种B. 24种C. 48种D. 36种1 / 16. 《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( ) A. 1+√2 B. 1+2√2 C. 2+√2 D. 2+2√27. 设不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域为D ，若圆C ：(x +1)2+y 2=r 2(r >0)不经过区域D 上的点，则r 的取值范围为( ) A. (0,√5)∪(√13,+∞) B. (√13,+∞) C. (0,√5) D. [√5,√13]8. 若等边三角形ABC 的边长为3，平面内一点M 满足6CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A. −152B. −2C. 2D. 1529. 关于函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，下列命题正确的是( )A. 由f(x 1)=f(x 2)=1可得x 1−x 2是π的整数倍B. y =f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos(2x +π6)+1 C. y =f(x)的图象关于点(3π4,1)对称 D. y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称10. 设函数f(x)=mx 2−mx −1，若对于x ∈[1,3]，f(x)<−m +4恒成立，则实数m的取值范围为( )A. (−∞,0]B. [0,57)C. (−∞,0)∪(0,57)D. (−∞,57)11. 设双曲线的方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，若双曲线的渐近线被圆M ：x 2+y 2−10x =0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sinP||sinA−sinB|的值等于( )A. 35B. √73C. 53D. √712. 已知定义在R 上的函数f(x)和g(x)分别满足f(x)=f′(1)2，e 2x−2+x 2−2f(0)⋅x ，g′(x)+2g(x)<0，则下列不等式恒成立的是( ) A. g(2016)<f(2)⋅g(2018) B. f(2)⋅g(2016)<g(2018) C. g(2016)>f(2)⋅g(2018) D. f(2)⋅g(2016)>g(2018) 二、填空题1 / 113. 设a =∫(π0cosx −sinx)dx ，则二项式(a √x −√x )6的展开式中含x 2项的系数为______．14. 若函数f(x)={ax(x +2),x <0x(x−b),x≥0(a,b ∈R)为奇函数，则f(a +b)的值为______． 15. 已知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA 1的长度为______．16. 如图，OA ，OB 为扇形湖面OAB 的湖岸，现欲利用渔网和湖岸在湖中隔出两个养殖区−区域I 和区域Ⅱ，点C 在AB ⌢上，∠COA =θ，CD//OA ，其中AC ⌢，半径OC 及线段CD 需要用渔网制成.若∠AOB =π3，OA =1，则所需渔网的最大长度为______．三、解答题17. 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1<2，a n >0，6S n =a n 2+3a n +2，n ∈N ∗．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对∀n ∈N ∗，b n =(−1)n a n 2，求数列{b n }的前2n 项的和T 2n ．18. 如图所示，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB//CD ，∠BAD =90∘，DC =DA =2AB =2√5，点E 为AD 的中点，BD ∩CE =H ，PH ⊥平面ABCD ，且PH =4. (1)求证：PC ⊥BD ；(2)线段PC 上是否存在一点F ，使二面角B −DF −C的余弦值是√1515？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．19.某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，其数学组成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示．(1)估计这次考试数学成绩的平均分和众数；(2)假设在(90,100]段的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同.现从90分以上的学生中任取4人，不同分数的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．20.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，右焦点F是抛物线C2：y2=2px(p>0)的焦点，点(2,4)在抛物线C2上.(1)求椭圆C1的方程；(2)已知斜率为k的直线l交椭圆C1于A，B两点，M(0,2)，直线AM与BM的斜率乘积为−12，若在椭圆上存在点N，使|AN|=|BN，求△ABN的面积的最小值．21.已知函数f(x)=ae x+x2−bx(a,b∈R)，其导函数为y=f′(x).(1)当b=2时，若函数y=f′(x)在R上有且只有一个零点，求实数a的取值范围；(2)设a≠0，点P(m,n)(m,n∈R)是曲线y=f(x)上的一个定点，是否存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)−n=f′(x0+m2)(x0−m)成立？并证明你的结论．1 / 122. 在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：{y =tsinαx=tcosα(t 为参数)，l 2：{x =tcos(α+π4)y =tsin(α+π4)(t为参数)，其中α∈(0,3π4)，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ−4cosθ=0． (1)写出l 1，l 2的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设l 1，l 2分别与曲线C 交于点A ，B(非坐标原点)，求|AB|的值．23. 设函数f(x)=|x −a|(a >0)．(1)当a =2时，解不等式f(x)≥1−2x ； (2)已知f(x)+|x −1的最小值为3，且m 2n =a(m >0,n >0)，求m +n 的最小值．答案和解析【答案】 1. C 2. A 3. C 4. D 5. B 6. C7. A8. B 9. D 10. D 11. C 12. C13. 192 14. −1 15. 2√316. π+6+2√3617. 解：(1)6S n =a n2+3a n +2，n ∈N ∗． n ≥2时，6a n =6S n −6S n−1=a n 2+3a n +2−(a n−12+3a n−1+2)，化为：(a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0， ∵a n >0，∴a n −a n−1=3，n =1时，6a 1=a 12+3a 1+2，且a 1<2，解得a 1=1．∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为3． ∴a n =1+3(n −1)=3n −2．(2)b n =(−1)n a n 2=(−1)n (3n −2)2．∴b 2n−1+b 2n =−(6n −5)2+(6n −2)2=3(12n −7)=36n −21．∴数列{b n }的前2n 项的和T 2n =36(1+2+⋯…+n)−21n =36×n(n+1)2−21n =18n 2−3n ．18. 证明：(1)∵AB//CD ，∠BAD =90∘，∴∠EDC =∠BAD =90∘，∵DC =DA =2AB ，E 为AD 的中点，∴AB =ED ， ∴△BAD≌△EDC ，∴∠DBA =∠DEH ，∵∠DBA +∠ADB =90∘，∴∠DEH +∠ADB =90∘，∴BD ⊥EC ，又∵PH ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PH ， 又∵PH ∩EC =H ，且PH ，EC ⊄平面PEC ，∴BD ⊥平面PEC ，又∵PC ⊂平面PEC ，∴PC ⊥BD ． 解：(2)由(1)可知△DHE∽△DAB ，由题意得BD =EC =5，AB =DE =√5， ∴DH DA=EH BA=DE DB，∴EH =1，HC =4，DH =2，HB =3， ∵PH 、EC 、BD 两两垂直，建立以H 为坐标原点，HB 、HC 、HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴的坐标系， H(0,0，0)，B(3,0，0)，C(0,4，0)，D(−2,0，0)，P(0,0，4)， 假设线段PC 上存在一点F 满足题意， ∵CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，∴存在唯一实数λ，(0≤λ≤1)，满足CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 解得F(0,4−4λ,4λ)，设向量n ⃗ =(x,y ，z)为平面CPD 的一个法向量，且CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4,4)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−4,0)，∴{n ⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4y +4z =0n⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −2y =0，取x =2，得n⃗ =(2,−1,−1)， 同理得平面CPD 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(0,λ,λ−1)，1 / 1∵二面角B −DF −C 的余弦值是√1515，∴|cos <n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√6⋅√2λ2−2λ+1=√1515， 由0≤λ≤1，解得λ=34， ∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =34CP⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵CP =4√2，∴线段PC 上存在一点F ，当点F 满足CF =3√2时，二面角B −DF −C 的余弦值是√1515．19. 解：(1)x =45×0.005×10+55×0.015×10+65×0.02×10+75×0.03×10+85×0.025×10+95×0.005×10=72(分)， 众数为75分．(2)90分以上的人数为160×0.005×10=8人． ∴ξ的可能取值为2，3，4， P(ξ=2)=C 33⋅C 51+C 32⋅C 22C 84=435，P(ξ=3)=C 32⋅C 21⋅C 31+C 31⋅C 22⋅C 31+C 32⋅C 32+C 22⋅C 32C 84=3970，P(ξ=4)=C 32⋅C 31⋅C 21+C 33⋅C 51C 84=2370．∴ξ的数学期望是E(ξ)=2×435+3×3970+4×2370=4514．20. 解：(1)∵点(2,4)在抛物线y 2=2px 上，∴16=4p ，解得p =4，∴椭圆的右焦点为F(2,0)， ∴c =2， ∵椭圆C 1：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，∴ca =√22， ∴a =2√2，∴b 2=a 2−c 2=8−4=4， ∴椭圆C 1的方程为x 28+y 24=1，(2)设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由{x 2+2y 2=8y=kx+m，消y 可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， ∴x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，∴y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =2m1+2k 2，y 1y 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=m 2−8k 21+2k 2∵M(0,2)，直线AM与BM的斜率乘积为−12，∴k1⋅k2=y1−2x1⋅y2−2x2=y1y2−2(y1+y2)+4x1x2=m−22(m+2)=−12，解得m=0，∴直线l的方程为y=kx，线段AB的中点为坐标原点，由弦长公式可得|AB|=√1+k2√(x1+x2)2−4x1x2=√32(k2+1)1+2k2，∵|AN|=|BN|，∴ON垂直平分线段AB，当k≠0时，设直线ON的方程为y=−1kx，同理可得|ON|=12√32(1k2+1)2×1k2+1=12√32(k2+1)k2+2，∴S△ABN=12|ON|⋅|AB|=8√(k2+1)2(k2+2)(2k2+1)，当k=0时，△ABN的面积也适合上式，令t=k2+1，t≥1，0<1t≤1，则S△ABN=8√t2(t+1)(2t−1)=8√1−1t2+1t+2=8√1−(1t−12)2+94，∴当1t =2时，即k=±1时，S△ABN的最小值为163．21. 解：(1)当b=2时，f(x)=ae x+x2−2x，(a∈R)，f′(x)=ae x+2x−2，(a∈R)，由题意得ae x+2x−2=0，即a=2−2xe x，令ℎ(x)=2−2xe x ，则ℎ′(x)=2x−4e x=0，解得x=2，当x<2时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调弟增，当x>2时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递减，∴ℎ(x)min=ℎ(2)=−2e2，∵当x=−1时，ℎ(−1)=4e>0，当x>2时，ℎ(x)=2−2xe x<0，由题意得当a=−2e2或a∈[0,+∞)时，f′(x)在R上有且只有一个零点．(2)由f(x)=ae x+x2−bx，得f′(x)=ae x+2x−b，假设存在x0，则有f(x0)=f′(x0+m2)(x0−m)+n=f′(x0+m2)(x0−m)+f(m)，即f(x0)−f(m)x0−m =f′(x0+m2),(x0≠m)，∵f′(x0+m2)=ae x0+m2+2⋅x0+m2−b，f(x0)−f(m)x0−m =a(e x0−e m)+(x02−m2)−b(x0−m)x0−m=a(e x0−e m)x0−m+(x0+m)−b，∴ae x0+m2+2⋅x0+m2−b=a(e x0−e m)x0−m+(x0+m)−b，即ae x0+m2=a(e x0−e m)x0−m，∵a≠0，∴ex0+m2=e x0−e mx0−m，令t=x0−m>0，则e t2−m=e t+m−e mt，两边同时除以e m，得e t2=e t−1t，即te t2=e t−1，令g(t)=e t−te t2−1，∴g′(t)=e t−(e t2+t2e t2)=e t2(e t2−t2−1)，令ℎ(t)=e t2−t2−1在(0,+∞)上单调递增，且ℎ(0)=0，∴ℎ(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立，即g′(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立，∴g(e)在(0,+∞)上单调递增，g(0)=0，∴g(t)>0对于t∈(0,+∞)恒成立，∴ae x0+m2=a(e x0−e m)x0−m不成立，同理，t=x0−m<0时，bngidnuu，∴不存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)−n=f′(x0+m2)(x0−m)成立．22. 解：(1)l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R)，θ2=α+π4(ρ∈R)．曲线C的极坐标方程方程为ρ−4cosθ=0.即得ρ2−4ρcosθ=0，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．(2)因为ρ1=4cosα，ρ2=4cos(α+π4)，所以|AB|2=ρ12+ρ22−2ρ1.ρ2cosπ4=16[cos2α+cos2(α+π4)−√2cosαcos(α+π4)]=16[cos2α+12(cosα−sinα)2−cosα(cosα−sinα)]=8，所以|AB|的值为2√2．23. 解：(1)当x≥2时，x−2≥1−2x，得x≥1，故x≥2，当x<2时，2−x≥1−2x，得x≥−1，故−1≤x<2，综上，不等式的解集是{x|x≥−1}；(2)∵f(x)+|x−1|的最小值是3，∴f(x)+|x−1|≥|x−a−(x−1)|=|a−1|=3，故a=4，∵m+n=m2+m2+n≥33m2⋅m2⋅n=3，当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”．【解析】1. 解：A={x|x<−1，或x>3}；∴∁R A={x|−1≤x≤3}；∴(∁R A)∩B={0,1，2，3}．故选：C．1 / 1可先求出集合A ={x|x <−1，或x >3}，然后进行交集、补集的运算即可． 考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念，交集和补集的运算．2. 解：由复数a+3i 1+2i =(a+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=(a+6)+(3−2a)i5=a+65+3−2a 5i 是纯虚数，则{a+65=03−2a5≠0，解得a =−6．故选：A ．利用复数的除法运算化简为a +bi(a,b ∈R)的形式，由实部等于0且虚部不等于求解a 的值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．3. 解：f(x)=sinx −tanx ，x ∈(0,π2)，当x =π4时，∴f(x)=√22−1<0，命题p ：∃x 0∈(0,π2)，f(x 0)<0，是真命题，命题p ：∃x 0∈(0,π2)，f(x 0)<0，则￢p ：∀x ∈(0,π2)，f(x)≥0．故选：C ．利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查． 4. 解：当S =1时，不满足退出循环的条件，故S =1，i =3； 当S =1时，不满足退出循环的条件，故S =3，i =5； 当S =3时，不满足退出循环的条件，故S =15，i =7； 当S =15时，不满足退出循环的条件，故S =105，i =9； 当S =105时，不满足退出循环的条件，故S =945，i =11； 当S =945时，不满足退出循环的条件，故S =10395，i =13； 当S =10395时，满足退出循环的条件， 故输出的i =13， 故选：D ．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5. 解：由题意，第一类，一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C 32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C 21C 21=4，故有3×4=12种．第二类，一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C 31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C 21C 21=4，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式， 故选：B ．分类讨论，第一类，一班的2名同学在甲车上；第二类，一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．1 / 16. 解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， ∴四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD ⊥底面ABCD ，且侧棱AD =1，∴四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且PA =PC =√2， ∴四棱锥的表面积为S =S 底面ABCD +2S △SAD +2S △SAB =1+2×12×1×1+2×12×1×√2=2+√2． 故选：C ．由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥， 画出图形结合图形求出它的表面积．本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题． 7. 解：作出不等式组{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0表示的平面区域， 得到如图的△MNP 及其内部，其中M(1,1)，N(2,2)，P(1,3)∵圆C ：(x +1)2+(y +1)2=r 2(r >0)表示以C(−1,−1)为圆心，半径为r 的圆，∴由图可得，当半径满足r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点，∵CM =√(1+1)2+(1+1)2=2√2，CP =√(1+1)2+(3+1)2=2√5∴当0<r <2√2或r >2√5时，圆C 不经过区域D 上的点， 故选：A ．作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△MNP 及其内部，而圆C 表示以(−1,−1)为圆心且半径为r 的圆.观察图形，可得半径r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点，由此结合平面内两点之间的距离公式，即可得到r 的取值范围． 本题给出动圆不经过已知不等式组表示的平面区域，求半径r 的取值范围.着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题．8. 解：等边三角形ABC 的边长为3； ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60∘=92； 6CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB⃗⃗⃗⃗⃗=−12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−94+94−2=−2． 故选：B ．根据条件可先求出CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =92，而由6CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，这样即可用CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示出AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后进行数量积的运算即可． 考查向量数量积的运算及计算公式，以及向量的数乘运算，向量加法的几何意义．9. 解：函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，周期T =2π2=π，对于A ：由f(x 1)=f(x 2)=1，可能x 1与x 2关于其中一条对称轴是对称的，此时x 1−x 2不是π的整数倍；∴A 不对． 对于B ：由诱导公式，3sin(2x −π3)+1=3cos[π2−(2x −π3)]+1=3cos(2x −5π6)+1.∴B 不对． 对于C ：令x =3π4，可得f(3π4)=3sin(2×3π4−π3)+1=3×(−12)−1=−52，∴C 不对， 对于D ：当x =−π12时，可得f(−π12)=3sin(−π6−π3)+1=−1×3+1=−2， f(x)的图象关于直线x =−π12对称． 故选：D ．根据函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，结合三角函数的性质即可判断各选项． 本题主要考查利用y =Asin(ωx +φ)的信息特征，判断各选项的正误，属于中档题．10. 解：由题意，f(x)<−m +4，可得m(x 2−x +1)<5． ∵当x ∈[1,3]时，x 2−x +1∈[1,7]， ∴不等式f(x)<0等价于m <5x 2−x+1． ∵当x =3时，5x 2−x+1的最小值为57， ∴若要不等式m <5x 2−x+1恒成立， 则必须m <57，因此，实数m 的取值范围为(−∞,57)，故选：D ．利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1,3]上的最大值，即可求m 的取值范围．本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，解题的关键是分离参数，正确求最值，属于中档题．11. 解：双曲线的一条渐近线方程为y=bax，双曲线的渐近线被圆M：x2+y2−10x=0，即(x−5)2+y2=25所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d，则d=√25−9=4，∴√a2+b2=4，即5b=4c，即b=45c∵a2=c2−b2=925c2，∴a=35c，∴|AP−BP|=2a，由正弦定理可得APsinB =PBsinA=ABsinP=2R，∴sinB=AP2R ，sinA=BP2R，sinP=2c2R，∴|sinP||sinA−sinB|=2c2R|BP2R−AP2R|=2c2a=53，故选：C．根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d=4，再根据点到直线的距离公式可得5b√a2+b2=4，得到5b=4c，即可求出a=35c，根据正弦定理可得|sinP||sinA−sinB|=2c2R|BP2R−AP2R|=2c2a=53本题考查了双曲线的简单性质以及圆的有关性质和正弦定理，属于中档题12. 解：f(x)=f′(1)2e2x−2+x2−2f(0)⋅x，令x=0，则f(0)=f′(1)2e2．∵f′(x)=f′(1)⋅e2x−2+2x−2f(0)，令x=1，则f′(1)=f′(1)+2−2f(0)，解得f(0)=1．∴f′(1)=2e2．∴f(x)=e2x+x2−2x，∴f(2)=e4．令ℎ(x)=e2x g(x)，∵g′(x)+2g(x)<0，∴ℎ′(x)=e2x g′(x)+2e2x g(x)=e2x[g′(x)+2g(x)]<0，∴函数ℎ(x)在R上单调递减，∴ℎ(2016)>ℎ(2018)，∴e2016×2g(2016)>e2018×2g(2018)，可得：g(2016)>e4g(2018)．∴g(2016)>f(2)g(2018)．故选：C．1 / 1f(x)=f′(1)2e 2x−2+x 2−2f(0)⋅x ，令x =0，则f(0)=f ′(1)2e 2.由f′(x)=f′(1)⋅e 2x−2+2x −2f(0)，令x =1，可得f(0).进而得出f′(1)，f(x)，f(2).令ℎ(x)=e 2x g(x)，及其已知g′(x)+2g(x)<0，可得ℎ′(x)=e 2x [g′(x)+2g(x)]<0，利用函数ℎ(x)在R 上单调递减，即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、构造法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13. 解：由于a =∫(π0cosx −sinx)dx =(sinx +cosx)| 0π=−1−1=−2，∴(−2√x −1√x)6=(2√x +1√x)6的通项公式为T r+1=26−r C 6r⋅x 3−r ，令3−r =2，求得r =1，故含x 2项的系数为26−1C 61=192． 故答案为：192根据微积分基本定理首先求出a 的值，然后再根据二项式的通项公式求出r 的值，问题得以解决．本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14. 解：∵函数f(x)={ax(x +2),x <0x(x−b),x≥0={ax 2+2ax,x <0x 2−bx,x≥0为奇函数，故f(−x)=−f(x)恒成立， 故{−b =2a a=−1.即{b =2a=−1， ∴f(x)={−x 2−2x,x <0x 2−2x,x≥0，∴f(a +b)=f(1)=1−2=−1， 故答案为：−1．由已知中函数f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)恒成立，可得a ，b 的值，进而可得f(a +b)的值．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数求值，难度中档． 15. 解：由题意，△ABC 的外接圆即为球的大圆，r =2， 设底面△ABC 外接圆圆心G ，即GA =GB =GC =2，从而正三角形ABC 边长2√3， 设球心O ，由题意，E 、F 在球面上，OE =OD =2， F 为DE 中点，则OF ⊥DE ，OF =GD =12GC =1，在Rt △OEF 中，OE =2，OF =1，∴EF =√3， ∴DE =2√3， ∴AA 1=2√3． 故答案为：2√3．由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA 1的长度．本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．16. 解：由CD//OA ，∠AOB =π3，∠AOC =θ，得∠OCD =θ，∠ODC =2π3，∠COD =π3−θ； 在△OCD 中，由正弦定理，得CD =√3sin(π3−θ)，θ∈(0,π3)， 设渔网的长度为f(θ)，可得f(θ)=θ+1+√3sin(π3−θ)，1 / 1所以f′(θ)=1−√3cos(π3−θ)，因为θ∈(0,π3)， 所以π3−θ∈(0,π3)，令f′(θ)=0，得cos(π3−θ)=3，所以π3−θ=π6，所以θ=π6．所以f(θ)∈(2,π+6+2√36]. 故所需渔网长度的最大值为π+6+2√36． 确定∠COD ，在△OCD 中利用正弦定理求得CD 的长度，根据所需渔网长度，即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，求得所需渔网长度的最大值．本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了函数模型的构建与最值应用问题，是难题．17. (1)6S n =a n2+3a n +2，n ∈N ∗.n ≥2时，6a n =6S n −6S n−1，化为(a n +a n−1)(a n −a n−1−3)=0，由a n >0，可得a n −a n−1=3，n =1时，6a 1=a 12+3a 1+2，且a 1<2，解得a 1.利用等差数列的通项公式可得a n ．(2)b n =(−1)n a n 2=(−1)n (3n −2)2.b 2n−1+b 2n =−(6n −5)2+(6n −2)2=3(12n −7)=36n −21.利用分组求和即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的定义通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18. (1)推导出△BAD≌△EDC ，∠DBA =∠DEH ，从而BD ⊥EC ，由PH ⊥平面ABCD ，得BD ⊥PH ，由此能证明BD ⊥平面PEC ，从而PC ⊥BD ．(2)推导出PH 、EC 、BD 两两垂直，建立以H 为坐标原点，HB 、HC 、HP 所在直线分别为x ，y ，z 轴的坐标系，利用向量法能求出线段PC 上存在一点F ，当点F 满足CF =3√2时，二面角B −DF −C 的余弦值是√1515．本题考查线线垂直垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 19. (1)把组中值看作各小组的平均数，根据加权平均数公式计算； (2)根据组合数公式计算各种情况的概率，得出分布列．本题考查了频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．20. (1)先求出p 的值，即可求出c 的值，根据离心率求出a 的值，即可得到椭圆方程， (2)设直线l 的方程为y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 2+2y 2=8y=kx+m，根据直线AM 与BM 的斜率乘积为−12，求出m =0，再根据弦长公式求出|AB|和|ON|，表示出三角形的面积来，再利用二次函数的性质即可求出最小值．本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆与二次函数函数的应用，考查计算能力，属于难题．21. (1)当b =2时，f(x)=ae x +x 2−2x ，(a ∈R)，f′(x)=ae x +2x −2，(a ∈R)，由题意a =2−2x e x，令ℎ(x)=2−2x e x，则ℎ′(x)=2x−4e x=0，解得x =2，由此能求出当a =−2e 2或a∈[0,+∞)时，f′(x)在R上有且只有一个零点．= (2)由f(x)=ae x+x2−bx，得f′(x)=ae x+2x−b，假设存在x0，则f(x0)−f(m)x0−m ),(x0≠m)，利用导数性质推导出不存在实数x0(x0≠m)使得f(x0)−n=f′(x0+m2f′(x0+m)(x0−m)成立．2本题考查利用导数研究函数的性质及实数的最值范围的求法、满足条件的实数是否存在的判断与证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力、推理论证能力，考查创新意识，是中档题．22. (1)考查直线l1，l2参数方程与极坐标方程的互化，曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化.重点都是消去参数t．(2)利用l1，l2极坐标方程，结合余弦定理，计算出|AB|的长度．考查极坐标方程与参数方程，普通方程的互化.记准互化公式和原则是关键，属于中档题目．23. (1)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(2)根据绝对值不等式的性质求出a的值，结合基本不等式的性质求出m+n的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质以及基本不等式的性质，是一道中档题．。
河南省2018年高考数学一模试卷(理科)Word版含解析
2018年河南省高考数学一模试卷（理科）选择题1.A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】故选【点睛】本题主要考查了集合的交集，补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解题的关键，属于基础题。
2.）A. -6B. 13C.D.【答案】A【解析】解答：a=−6.本题选择A选项.3.已知pA. p，B. pC. p，D. p【答案】C【解析】【分析】利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果。
命题：，是真命题【点睛】本题主要考查了命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，属于基础题。
4.已知程序框图如图，则输出iA. 7B. 9C. 11D. 13【答案】D【解析】【分析】运行过程，可得答案．【点睛】本题主要考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答。
5.2018年元旦假期，高三的8各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐44班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一A. 18种B. 24种C. 48种D. 36种【答案】B【解析】【分析】组合知识，问题得以解决。
根据分类计数原理得，共有【点睛】本题考查计数原理的应用，考查组合知识，考查学生的计算能力，属于中档题．四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两【答案】C【解析】【分析】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积。
【详解】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且故选【点睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7.D，若圆C：D上的点，则r的取值范围为【答案】A【分析】表示以【详解】及其内部，其中时，圆的取值范围，着重考查了圆的标准方程、平面内两点间的距离公式、二元一次不等式组表示的平面区域等知识，属于中档题。
2017-2018年高考模拟考试数学试题(理)含答案
2017 年高考模拟考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共1/0 个小题，每题 5 分，共50 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）11}1、设会合A { x | x 2n, n N }, B { x | x 2 ，则A B2A．2 B ． 2,4 C ． 2,3,4 D ．1,2,3,42、已知复数z知足(1 i )z i ，则复数 z 在复平面内的对应点位于A．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、已知命题p ：关于随意x R ，总有 2x x2； q : “ ab 1 ”是“ a 1,b 1 ”的充足不用要条件，则以下命题为真命题的是A．p q B ．p q C ．p ( q) D ．p ( q)4、已知函数f x log a x(0 a 1) ，则函数y f ( x 1) 的图象大概为5、运转右侧的程序框图，假如输出的数是13，那么输入的正整数n 的值是A． 5B． 6C． 7D． 86、以下结论中错误的选项是A．若0 ，则 sin tan2B．若是第二象限角，则为第一或第三象限角2C．若角的终边过点 P(3k,4 k)(k 0) ，则 sin 4 5D．若扇形的周长为 6，半径为2，则此中心角的大小为 1 弧度7、某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为A．16 B ． 8C．16D ．8 3 38、已知双曲线x2 y2 1(a 0, b 0) 的一条渐近线被圆( x c)2 y24a2截得的弦长a2 b2为 2b （此中c为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为A．6B．3C．2 D ．6 2y 09、设变量x, y 知足拘束条件x y 3 0，若目标函数z a x 2 y 的最小值为6 ，x 2y 60则实数 a等于A．2 B ．1 C ．-2 D ．-110 、定义在 R 上的奇函数f x 满足 f ( 2 x ) f 2 x，当x [0,2时]，f x 4x2 8x，若在区间a, b 上，存在m(m 3) 个不一样的整数x i(i 1,2, , m) ，nf ( x i ) f ( x i 1) 72 ，则 b a 的最小值为知足i 1A． 15 B．16C ． 17 D ．18第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上..11、已知向量a, b，此中a 2, b 1，且( a b) a ，则 a 2b12、在4,4 上随机取一个数x ，则事件“x 2 x 3 7 建立”发生的概率为13、在二项式( x2 1 )5 的睁开式中，含 x4的项的系数是a，则 a x 1dxx 114、关于函数y f x ，若其定义域内存两个不一样实数x1, x2，使得 x i f( x i ) 1(i 1,2) 成立，则称函数 f x 拥有性质，若函数 f x e x拥有性质 P，则实数a的取值范围为a15、已知抛物线C : y2 4x 焦点为F，直线MN过焦点F且与抛物线C交于M、N两点，P为抛物线 C 准线l上一点且PF MN ，连结PM交y轴于Q点，过Q作 QD MF 于点D，若 MD 2FN，则 MF三、解答题：本大题共 6 小题，满分70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12 分）在ABC 中，内角A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知A为锐角，且b sin A cosCc sin A cos B3a.2（1）求角A的大小；（ 2）设函数 f x tan Asin wx cos wx1 cos 2wx (w 0) ，其图象上相邻的两条对称2轴间的距为，将函数 y f x 的图象向左平移个单位，获得函数y g x 的图象，2 4求函数 g x 在区间[, ] 上的值域.24 417、（本小题满分12 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB / /CD, ABC 900, AB 2CD , BC 3CD , APB 是等边三角形，且侧面APB 底面ABCD , E,F ，分别是 PC, AB 的中点.（1）求证：PA / /平面DEF；（ 2）求平面DEF与平面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值.18、（本小题满分12 分）甲、乙、丙三人构成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名的活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，而后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，如有一个分猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动，已知每一轮甲猜对歌名的概率是3 ，乙猜对歌名的概率是2 ，丙猜对歌名的概率是1，甲、乙、丙猜对与4 3 2互不影响 .（1）求该小组未能进入第二轮的概率；（2）记乙猜歌名的次数为随机变量，求的散布列和数学希望.19、（本小题满分12 分）已知数列a n 是等差数列，其前n 项和为S n，数列b n 是公比大于0 的等比数列，且 b12a1 2,a3 b2 1,S32b3 7 .（ 1）求数列a n和 b n的通项公式；2, n为奇数（ 2）令c n 2a n ，求数列c n的前n项和T n., n为偶数b n21、（本小题满分13 分）已知椭圆 C 与双曲线y 2 x 2有共同焦点，且离心率 6 .1 3（1）求椭圆C的标准方程；（2）设 A 为椭圆C的下极点，M , N为椭圆上异于 A 的不一样的两点，且直线 AM与 AN的斜率之积为 -3 ；①试问 M , N所在的直线能否过定点？假如，求出该定点；若不是，请说明原因；②若 P为椭圆C上异于M , N的一点，MP NP ，求MNP 的面积的最小值.21、（本小题满分14 分）设函数 f x ln x e1 x , g(x) a( x2 1) 1 .x（ 1）判断函数y f x 零点的个数，并说明原因；（ 2）记h x g x f x e x ex，议论h x 的单一性；xe x（ 3）若f x g x 在(1, ) 恒建立，务实数a 的取值范围.。
河南省漯河市数学高考理数一诊试卷
河南省漯河市数学高考理数一诊试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分） (2019高一上·武平月考) 已知集合，则下列说法正确的是（）A .B .C .D .2. （1分） (2017高一上·沙坪坝期中) 若全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，2}，N={2，3，4}，则（∁UM）∩N等于（）A . {1}B . {2}C . {3，4}D . {5}3. （1分） (2018高二下·驻马店期末) 直线与曲线相切于点 ,则（）A . 1B . 4C . 3D . 24. （1分）(2019·四川模拟) 在中，，，，点D为BC边上一点，且，则（）A .B .C . 1D . 25. （1分）(2018·广安模拟) 如图，某校一文化墙上的一幅圆形图案的半径为分米，其内有一边长为分米的正六边形的小孔，现向该圆形图案内随机地投入一飞镖(飞镖的大小忽略不计)，则该飞镖落在圆形图案的正六边形小孔内的概率为（）A .B .C .D .6. （1分）(2019·四川模拟) 已知函数图象相邻两条对称轴的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称则函数的图象（）A . 关于直线对称B . 关于直线对称C . 关于点对称D . 关于点对称7. （1分）(2018·广安模拟) 下列命题错误的是（）A . 不在同一直线上的三点确定一个平面B . 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C . 如果两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面D . 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面8. （1分）(2019·四川模拟) 的展开式中不含项的系数的和为（）A . 33B . 32C . 31D .9. （1分）(2019·四川模拟) 某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（）A . 15B . 30C . 35D . 4210. （1分） (2019·四川模拟) 已知直线与抛物线C：及其准线分别交于M ， N两点，F为抛物线的焦点，若，则m等于（）A .B .C .D .11. （1分）(2019·四川模拟) 已知正项等比数列的前n项和，满足，则的最小值为A .B . 3C . 4D . 1212. （1分）(2019·四川模拟) 已知函数，则A . 0B . 1009C . 2018D . 2019二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·杭州期中) 已知P(x，y)满足，则点构成的图形的面积为________．14. （1分）(2019·四川模拟) 已知数列中，，，则数列的通项公式 ________．15. （1分）(2019·四川模拟) 九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马” 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形若该阳马的顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为，则该“阳马”的体积为________．16. （1分）(2018·广安模拟) 某车间租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品8件和B类产品15件，乙种设备每天能生产A类产品10件和B类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A类产品100件，B类产品200件，所需租赁费最少为________元三、解答题 (共7题；共15分)17. （2分）如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且B（﹣，），∠AOB=α．（1）求的值；（2）若四边形OAQP是平行四边形，（i）当P在单位圆上运动时，求点O的轨迹方程；（ii）设∠POA=θ（0≤θ≤2π），点Q（m，n），且f（θ）=m+ n．求关于θ的函数f（θ）的解析式，并求其单调增区间．18. （2分）在一场垒球比赛中，其中本垒与游击手的初始位置间的距离为1，通常情况下，球速是游击手跑速的4倍．（1）若与连结本垒及游击手的直线成α角（0°＜α＜90°）的方向把球击出，角α满足什么条件下时，游击手能接到球？并判断当α=15°时，游击手有机会接到球吗？（2）试求游击手能接到球的概率．（参考数据 =3.88，sin14.5°=0.25）．19. （3分）(2019·四川模拟) 如图，在棱长为2的正方体中，M是线段AB上的动点．（1）证明：平面；（2）若点M是AB中点，求二面角的余弦值；（3）判断点M到平面的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．20. （2分）(2019·四川模拟) 已知椭圆C：的离心率为，长轴长为4直线与椭圆C交于A、B两点且为直角，O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）求的最大值．21. （2分）(2019·四川模拟) 已知函数，其中．（1）若是函数的极值点，求实数a的值；（2）若对任意的为自然对数的底数，都有成立，求实数a的取值范围．22. （2分）(2018·广安模拟) 已知极点与直角坐标系原点重合，极轴与轴的正半轴重合，圆的极坐标方程为（），直线的参数方程为（为参数）.（1）若，直线与轴的交点为，是圆上一动点，求的最小值；（2）若直线被圆截得的弦长等于圆的半径，求的值.23. （2分）(2018·广安模拟) 已知函数（）的一个零点为（1）求不等式的解集；（2）若，求证： .参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共15分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2017-2018学年河南省最后一次模拟 高三数学考试卷理科(含答案)
高三数学考试卷(理科)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|320}P x x x =-≥,{|4323}Q x x =-<+≤,则()R C P Q =（ ）A ．2(,0)3- B ．2(0,]3 C ．1(0,]3D ．1[0,]32. 已知复数21i(1i)z +=-,z 是它的共轭复数,则z z ⋅=（ ）A ．22 B ．12C ．1D ．23. 如图,在正六边形ABCDEF 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．12B ．25C.35D ．5124. 已知点(0,23),(,0)6A B π是函数()4sin()f x x ωϕ=+ (06,)2πωϕπ<<<<的图象上的两个点,若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度,得到函数()g x 的图象,则函数()g x 的图象的一条对称轴的方程为（ ） A ．12x π=B ．6x π=C. 3x π=D ．512x π=5.设数列{}n a 得前n 项和为n S ，若114,24n n a a S +==-，则10S =（ ）A ．102(31)- B ．102(31)+ C. 92(31)+ D ．94(31)-6. 《孙子算经》中有一道题:“今有木不知长短,引绳度之,余绳四尺五寸;屈绳[开始度之,不足一尺,木长几何?”译文大致是:“用一根绳子去量一根木条,绳子剩余4.5尺;将绳子对折再量木条,木条剩余1尺,问木条长多少尺?解决本题的程序框图如图所示,则输出的i =（ ）A ．4.5B ．5C. 6 D ．6.57. 如图为一个半圆柱, ADE ∆是等腰直角三角形, F 是线段CD 的中点, 4AB =,该半圆柱的体积为18π,则异面直线AB 与EF 所成角的正弦值为（ ）A ．3311B ．31111 C. 2211 D ．238. 函数22(1)sin 6()1x xf x x -=+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C. D ．9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（ ）A ．3442+B ．3422+ C. 3242+ D ．3622+10. 在平面直角坐标系中,已知三点(,1),(3,),(4,5)A a B b C ,O 为坐标原点若向量OA 与OC 在向量OB 方向上的投影相等,则22a b +的最小值为( ) A ．125B ．14425C.12 D ．14411. 已知椭圆222:1(02)4x y C b b +=<<,作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于,A B 两点,线段AB 的中点为,M O 为坐标原点OM 与MA 的夹角为θ,且|tan |3θ=，则b =( )A ．1B ．2 C. 3 D ．6212.若函数()1n xf x e a x =-21ax +-在(0,)+∞上恰有两个极值点，则a 的取值范围为（ ） A. 2(e ,e)--B. e (,)2-∞-C. 1(,)2-∞-D. (,e)-∞-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上.13. 设实数,x y 满足约束条件35474311x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,则2z x y =+的最大值为 ．14.在42(1)(12)x x --的展开式中，含3x 项的系数是 ．15. 设数列{}n a 对*n N ∈都满足1n n a a n a +=++，且11a =，则1211a a +++282911a a += ． 16. 设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点, AB 为过1F 的弦(,A B 在双曲线的同一支上),若11||3||BF AF =,223||||||AB AF BF =+,则此双曲线的离心率为 ．三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17. 已知ABC ∆的内角,,A B C 的对于边分别为,,a b c ,且sin sin a A b B ++2sin sin b A c C =.(1)求C ；(2)若2,22a b ==,线段BC 的垂直平分线交AB 于点D ,求CD 的长.18. 某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据：（1)根据数据可知y 与x 之间存在线性相关关系 (i)求出y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.001);(ii)若2018年6月份研发投人为25百万元,根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；（2）为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以z (单位:万台)表示日销量, [0.18,0.2)z ∈,则每位员工每日奖励200元；[0.2,0.21)z ∈,则每位员工每日奖励300元；[0.21,)z ∈+∞,则每位员工每日奖励400元现已知该公司9月份日销量z (万台)服从正态分布(0.2,0.0001)N ,请你计算每位员工当月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元. 参考数据:81347i ii x y==∑，8211308i i x ==∑.参考公式:对于一组数据1122(,),(,)x y x y ,(,)n n x y ,其回归直线y bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为: 1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-=-∑∑，a y bx =-.若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ,则()P X μσμσ-<≤+0.6826,(2P X μσ=-<≤2)0.9544μσ+=.19.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,四边形11BB C C 是矩形, 11AB B C ⊥,平面1A BC ⊥平面11AB C .(1)证明: 1AA AB =；(2)若113,4B C AB ==, 160ABB ∠=，求二面角1A A C B --的余弦值.20. 设O 是坐标原点, F 是抛物线22(0)x py p =>的焦点, C 是该抛物线上的任意一点,当FC 与y 轴正方向的夹角为60时, ||21OC =.(1)求抛物线的方程；(2)已知(0,)A p ,设B 是该抛物线上的任意一点, ,M N 是x 轴上的两个动点,且||2MN p =，||||BM BN =,当||||||||AM AN AN AM +计取得最大大值时，求BMN ∆的面积. 21. 已知函数21()1n 22f x m x x x =+-. (1)若0m <,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线在两坐标轴上的截距之和为2,求m 的值； (2)若对于任意的1[,1]2m ∈及任意的1212,[2,e],x x x x ∈≠,总有121212()()||f x f x tx x x x ->-成立,求t 的取值范围.（二）选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知倾斜角为α的直线l 经过点(2,1)A -.以坐标原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为12sin 3p p θ+=. (1)写出曲线C 的普通方程;(2)若直线l 与曲线C 有两个不同的交点,M N ，求||||AM AN +的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲 知函数()|24||2|f x x x a =++-. (1)当6a =时,求()12f x ≥的解集; (2)已知22,()a g x x >-=724ax ++，若对于[1,]2ax ∈-,都有()()f x g x ≥成立,求a 的取值范围.高三数学考试卷参考答案(理科)1.C 【解析】本题考查集合的补集、交集运算,考查运算求解能力. 因为2{|0}3R C P x x =<<,1{|2}3Q x x =-<≤,所以1(){|0}3R C P Q x x =<≤.2.A 【解析】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力. 因为21i 1i (1i)2i z ++==--1i 22=-+,所以22111()()222z z ⋅=-+=.3.D 【解析】本题考查几何概型,考查运算求解能力和应用意识.设正六边形的边长为2,AC 与BE 的交点为G ,易知21AB BG ==，,3,2AG CG CD ===,所以,所求的概率为113235212(24)3⨯⨯+⨯=+⨯. 4.A 【解析】本题考查三角函数的图象及其性质,考查运算求解能力. 因为(0)4sin 23f ϕ==,2πϕπ<<,所以23πϕ=.由2()4sin()0663f πππω=+=，得263k ππωπ+=，64(Z)k k ω=-∈，所以2ω=.又()4sin[2(g x x =-2)]4sin(2)633x πππ+=+,将选项代入验证可知12x π=是一条对称轴方程.5.C 【解析】本题考查等差数列的求和公式,考查化归与转化的思想. 因为114,24n n a a S +==-①,所以21244a a =-=,而当2n ≥时, 124n n a S -=-②,两式相减得12n n n a a a +-=，13n n a a +=， 所以, {}n a 从第二项起构成公比为3的等比数列，10123(S a a a =+++9104(31))431a -+=+-92(31)=+. 6.D 【解析】本题考查数学文化以及程序框图问题,考查运算求解能力.3,7.54; 3.5,85;i i =≠=≠4,8.56; 4.5,97;i i =≠=≠5,9.58; 5.5,109;i i =≠=≠6,10.510;i =≠6.5,1111i ==.输出 6.5i =.7.B 【解析】本题考查异面直线所成的角的知识,考查空间想象能力和运算求解能力. 设上底半圆的半径为r ,由24182r ππ⨯=,得3r =.因为32,2DE DF ==,所以22EF =.又异面直线AB 与EF 所成的角为EFD ∠所以311sin 11EFD ∠=. 8.C 【解析】本题考查函数的图象与性质,考查推理论证能力. 因为()()f x f x -=-,所以()f x -是奇函数,排除,A D .当06x π<<时, 201,sin 60x x <<>,所以()0f x >；当64x ππ<<时, 22116x π<<，sin60x <,所以()0f x <.9.A 【解析】本题考查三视图以及简单几何体的体积与表面积,考查空间想象能力和运算求解能力. 该几何体的形状如图所示，于是，=(22)2S ⨯⨯=左右 18,=422S ⨯-⨯上下(21214⨯⨯)=， 428,=S S =⨯=后前 (122(22)⨯⨯+⨯） 2442⨯=+，所以表面积8148(4S =++++42)3442=+.10.B 【解析】本题考查平面向量的坐标运算以及投影问题,考查运算求解能力.因为向量OA 与OC 在向量OB 市方向上的投影相同,所以OA OB OB OC ⋅=⋅，3125a b b +=+,即点(,)a b 在直线34120x y --=上22a b +的最小值为原点到直线34120x y --=的距离d 的平方,因为221212534d ==+，所以22a b +的最小值为14425. 11.B 【解析】本题考查椭圆的性质,考查推理论证和运算求解能力设1122(,),(,)A x y B x y ,M 00(,)M x y ,则22112222221414x y b x y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得1212()()4x x x x -++12122()()0y y y y b-+=. 因为12121y y x x -=--,所以00204x y b -=.即2004y b x =. 设直线OM 的倾斜角为α，则4πθα=+或34πθα=-，tan 1tan 1tan αθα+=±-.又200tan 4y b x α==,由22|1|43|1|4bb +=-，解得22b =,即2b =. 12.D 【解析】本题考查导数与极值问题,考查转化与化归、函数与方程的数学思想以及运算求解能力和推理论证能力.因为()1n 21xf x e a x ax =-+-,所以()2xa f x e a x '=-+.令20xa e a x-+=,得12x xe a x =-,再令()(0)12xxe g x x x =>-,因为函数()1n 21x f x e a x ax =-+-在(0,)+∞上恰有两个极值点,所以()g x a =有两个零点.又2(21)(1)()(12)x e x x g x x +-'=--(0)x >，令()0g x '>，得01x <<,所以12x ≠；令()0g x '<，得1x >，所以函数()g x 在11(0,),(,1)22上单调递增,在(1,)+∞上单调递减.由于(0)0,(1)e g g ==-,根据数形结合法可得e a <-,即(,e)a ∈-∞-.13. 11【解析】本题考查线性规划问题,考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.作出约束条件表示的可行域,当直线2z x y =+过点(5,3)时, z 取得最大值11.14. 44-【解析】本题考查二项式定理的应用,考查运算求解能力.42(1)(12)x x --=42(1)(144)x x x --+，依题意有1314C (1)1x -⋅+2224C (1)(4)x x -⋅-3234C (1)x +-⋅23(4)44x x =-.15.2915【解标】本题考查等差数列的前n 项和的计算以及用裂项法求和的方法. 因为11a =,且11n n a a n a +=++,则11n n a a n +-=+,那么1(2)n n a a n n --=≥,1()n n n a a a -=-+12()n n a a ---++ 211()(1)a a a n n -+=+-(1)212n n ++++=， 因此12(1)n a n n ==+ 112()1n n -+. 所以1228111a a a ++++ 291112(122a =⨯-+-11129)3293015++-=. 16.72【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的定义和性质,考查运算求解能力和化归与转化的思想.因为21||||2AF AF a =+,21||||2BF BF a =+,所以221||||||AF BF AF +=1||4,||2BF a AB a ++=. 设11||3||3BF AF m ==,12AF F θ∠=,则2224(2)cos 22m c a m m c θ+-+=⋅,cos()πθ-=22294(2)232m c a m m c+-+⋅⋅，两式相加并化简得2230b am -=,即223b m a =.又||24AB a m ==,所以2am =.由2232b a a =得2234b a =,从而271()2b e a =+=.17.解:(1) 因为sin sin 2sin a A b B b ++ sin A c C =, 所以2222a b ab c ++=.由余弦定理得222cos 2a b c C ab+-= 22=-，又0C π<<，所以34C π=. （2）由（1）知34C π=,根据余弦定理可得2222cos c a b ab =+-222(22)2C =+-2222()202⨯⨯⨯-=， 所以25c =.由正弦定理得sin sin c b C B =，即2522sin 22B=， 解得5sin 5B =.从而25cos 5B =. 设BC 的中垂线交BC 于点E , 因为在Rt BDE ∆中, cos BE B BD =，所以cos BE BD B ==152255=， 因为DE 为线段BC 的中垂线， 所以52CD BD ==.18解:(1)(i)因为11,3x y ==,所以1221ni ii nii x y nx yb xnx ==-==-∑∑347811313088121-⨯⨯=-⨯830.244340≈，833340a y bx =-=-110.315⨯≈， 所以y 关于x 的线性回归方程为0.2440.315y x =+. (ii)当25x =时, 0.24425y =⨯+0.315 6.415= (万台).（注:若30.24411a =-⨯=0.316,0.2440.316y x =+，当25x =时, 0.24425y =⨯0.136 6.416+= (万台).(2)由题知9月份日销量z (万台)服从正态分布(0.2,0.0001)N , 则20.2,0.0001μσ==,0.01σ=,日销量[0.18,0.2)z ∈的概率为0.95440.47722=, 日销量[0.2,0.21)z ∈的概率为0.68260.34132=，日销量[0.21,)z ∈+∞的概率为10.68260.15872-=，所以每位员工当月的奖励金额总数为(2000.47723000.3413⨯+⨯+4000.1587)307839.3⨯⨯=元. 19. (1)证明:在三棱柱111ABC A B C -中,1111,BC B C AB B C ⊥∥，AB BC ∴⊥.又11,BC BB AB BB B ⊥=.BC ∴⊥平面11AA B B .设1AB 与1A B 相交于点E ,1AC 与1A C 相交于点F ,连接EF ， 四边形11AA B B 与11AAC C 均是平行四边形，EF BC ∴∥,EF ⊥平面11AA B B ，1EF AB ∴⊥，1EF A B ⊥，1AEA ∴∠是平面1A BC 与平面11AB C 所成其中一个二面角的平面角.又平面1A BC ⊥平面11AB C ,11AB A B ∴⊥∴四边形11AA B B 是菱形,从而1AA AB =.(2)解:由(1)及题设可知四边形11AA B B 是菱形, 160ABB ∠=，14AB AB ∴==.以E 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -,(0,0,0),(2,0,0)E A ∴,1(0,23,0)A -,(0,23,3)C ，1(2,23,0)AA ∴=--，(2,23,3)AC =-.设平面1AA C 的法向量(,,)m x y z =，10,0,m AA m AC ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即30,22330.x y x x ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩ 令3y =-,可得(3,3,4)m =-.又由(1)可知1AB ⊥平面1A BC ,∴可取平面1A BC 的法向量为(2,0,0)n EA ==， ∴cos ,m n =37||||14m n m n ⋅=。
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河南省漯河高中2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一．本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的．1．函数f（x）=1n（x﹣1）+的定义域为( )A．（1，2）B．[1，2）C．（1，2]D．[1，2]2．已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若，则A∪B为( )A．B．C．D．3．已知幂函数f（x）=（m2﹣3m+3）•x m+1为偶函数，则m=( )A．1 B．2 C．1或2 D．34．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( )A．B．y=﹣log2x C．y=3x D．y=x3+x5．b＞0是函数f（x）=x2+bx+c在[0，+∞）单调的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．若函数，若af（﹣a）＞0，则实数a的取值范围是( )A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）7．已知a＞1，函数y=a|x2﹣x﹣2|的图象与函数y=|log a x|的图象的交点个数是( )A．0 B．1 C．2 D．38．函数G（x）=（1+）•g（x）（x≠0）为偶函数，则函数g（x）的奇偶性为( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数9．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）为奇函数，函数f（x+3）关于直线x=1对称，则下列式子一定成立的是( )A．f（x﹣2）=f（x）B．f（x﹣2）=f（x+6）C．f（x﹣2）•f（x+2）=1 D．f（﹣x）+f（x+1）=010．已知M＞0，N＞0，log4M=log6N=log9（M+N），则的值为( )A．B．C．D．11．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则函数f（x）在[a，b]上有( )A．最小值f（a）B．最大值f（b）C．最小值f（b）D．最大值f（）12．定义域为R的函数f（x），满足f（0）=1，f′（x）＜f（x）+1，则不等式f（x）+1＜2e x 的解集为( )A．{x∈R|x＞1} B．{x∈R|0＜x＜1} C．{x∈R|x＜0} D．{x∈R|x＞0}二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中横线上．13．已知p：∃x0∈R，e＜0，则￢p是__________．14．若点（a，27）在函数y=3x的图象上，则tan的值为__________．15．已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是__________．16．已知集合A={x|x2﹣4x﹣5＞0}，B={x|ax2+bx+c≤0}，若A∩B=∅，A∪B=R，则的最小值为__________．三．解答题：本大题共6小题，共70分，.17．设m=﹣（﹣9.6）0﹣+（1.5）﹣2；n=log3+lg25+lg4+．求m+n的值．18．设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，其中x∈R，如果A∩B=B，求实数a 的取值范围．19．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．若实数x的取值满足条件，求函数的最大值与最小值．21．已知函数f（x）是单调递增的奇函数，它的定义域为[﹣1，1]，设函数g（x）=，试求g（x）的定义域和值域．22．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值．河南省漯河高中2015届高考数学一模试卷（理科）一．本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的4个选项中，只有一项是符合要求的．1．函数f（x）=1n（x﹣1）+的定义域为( )A．（1，2）B．[1，2）C．（1，2]D．[1，2]考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则，即，故1＜x＜2，即函数的定义域为（1，2），故选：A点评：本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．2．已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若，则A∪B为( )A．B．C．D．考点：子集与交集、并集运算的转换；并集及其运算．专题：计算题．分析：由集合A与B的交集求出a，b的值，再求出集合A、B和它们的并集．解答：解：由得，，，∴A={1，}，B={﹣1，}，∴A∪B={1，﹣1，}故选D．点评：本题考查了集合的交集和并集的运算，先根据交集求出参数的值，再求并集．3．已知幂函数f（x）=（m2﹣3m+3）•x m+1为偶函数，则m=( )A．1 B．2 C．1或2 D．3考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据幂函数的定义和性质建立方程关系即可求解．解答：解：∵幂函数f（x）=（m2﹣3m+3）x m+1为偶函数∴m2﹣3m+3=1，即m2﹣3m+2=0，解得m=1或m=2．当m=1时，幂函数为f（x）=x2为偶函数，满足条件．当m=2时，幂函数为f（x）=x3为奇函数，不满足条件．故选：A．点评：本题主要考查幂函数的定义和性质，根据幂函数的定义确定m的值是解决本题的关键．4．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( )A．B．y=﹣log2x C．y=3x D．y=x3+x考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：A：y=﹣在（0，+∞），（﹣∞，0）上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数；B：y=﹣log2x的定义域（0，+∞）关于原点不对称，不是奇函数；C：y=3x不是奇函数；D：y=x3+x，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x）是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增解答：解：A：y=﹣在（0，+∞），（﹣∞，0）上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故A错误B：y=﹣log2x的定义域（0，+∞）关于原点不对称，不是奇函数，故B错误C：y=3x不是奇函数，故C错误D：y=x3+x，f（﹣x）=（﹣x）3+（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x）是奇函数，且由幂函数的性质可知函数在R上单调递增，故D正确故选D点评：本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性的判断，尤其y=﹣的单调区间的求解是解答中容易出现错误的地方，要注意掌握．5．b＞0是函数f（x）=x2+bx+c在[0，+∞）单调的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：∵函数y=x2+bx+c在[0，+∞）上为单调函数∴x=﹣≤0，即b≥0．而b＞0⇒函数f（x）=x2+bx+c在[0，+∞）单调，故b＞0是函数f（x）=x2+bx+c在[0，+∞）单调的充分不必要条件．故选：A点评：本题主要考查二次函数的单调性，研究时要注意两点：一是对称轴与区间的位置关系，二是开口方向．6．若函数，若af（﹣a）＞0，则实数a的取值范围是( )A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：由已知中函数，分别讨论a＜0时和a＞0时不等式af（﹣a）＞0的解集，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：当a＜0时，﹣a＞0若af（﹣a）＞0，即f（﹣a）=log2（﹣a）＜0，解得0＜﹣a＜1∴﹣1＜a＜0当a＞0时，﹣a＜0若af（﹣a）＞0，即f（﹣a）=＞0，解得0＜a＜1综上实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）故选A点评：本题是分段函数与对数函数的综合应用，分段函数分段处理是解答分段函数最常用的方法．7．已知a＞1，函数y=a|x2﹣x﹣2|的图象与函数y=|log a x|的图象的交点个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先去绝对值，化为分段函数，再画出图象，观察图象得到结论．解答：解：令a=2，则y=2|x2﹣x﹣2|=，y=|log2x|=分别作出相对应的图象，由图象可以观察出交点有3个，故选：D点评：本题主要考查了含有绝对值函数的图象的画法，属于基础题．8．函数G（x）=（1+）•g（x）（x≠0）为偶函数，则函数g（x）的奇偶性为( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数考点：函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义进行判断即可．解答：解：∵G（﹣x）=（1+）g（﹣x）=g（﹣x）=G（x）=（1+）•g（x）=g（x），g（﹣x）=﹣g（x）．故选A．点评：本题主要考查了偶函数的定义和应用，属于基础题．9．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2﹣x）为奇函数，函数f（x+3）关于直线x=1对称，则下列式子一定成立的是( )A．f（x﹣2）=f（x）B．f（x﹣2）=f（x+6）C．f（x﹣2）•f（x+2）=1 D．f（﹣x）+f（x+1）=0考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用函数的奇偶性，以及函数的对称性，求出f（x﹣2）=f（x+6），得到结果即可．解答：解：令F（x）=f（2﹣x），∵f（2﹣x）为奇函数，∴F（﹣x）=﹣F（x），即f（2+x）=﹣f（2﹣x），∴即f（x）的图象关于点（2，0）对称，令G（x）=f（x+3），G（x）图象关于直线x=1对称，即G（1+x）=G（1﹣x），f[（1+x）+3]=f[（1﹣x）+3]，f（4+x）=f（4﹣x），即f（x）的图象关于直线x=4对称，f（x）=f[4+（x﹣4）]=f[4﹣（x﹣4）]=f（8﹣x）用x+6换表达式中的x，可得f（x﹣2）=f（x+6），故选：B．点评：本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性以及函数的对称性的应用，考查计算能力．10．已知M＞0，N＞0，log4M=log6N=log9（M+N），则的值为( )A．B．C．D．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：设log4M=log6N=log9（M+N）=k，则M=4k，N=6k，M+N=9k，从而[（）k]2+（）k﹣1=0，由此能求出．解答：解：∵M＞0，N＞0，设log4M=log6N=log9（M+N）=k，∴M=4k，N=6k，M+N=9k，∴4k+6k=9k．∴[（）k]2+（）k﹣1=0，解得=，或=．∴==（）k==．故选：B．点评：本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用．11．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则函数f（x）在[a，b]上有( )A．最小值f（a）B．最大值f（b）C．最小值f（b）D．最大值f（）考点：抽象函数及其应用；对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：先研究函数的奇偶性，可以先令x=y=0求得f（0）的值，再令y=﹣x，代入原式，可得奇偶性；再结合单调性的定义判断单调性，最后判断函数在[a，b]上的最值情况．解答：解：令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0；再令y=﹣x，代入原式得f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，所以f（﹣x）=﹣f（x），故该函数为奇函数且图象过原点；由f（x+y）=f（x）+f（y）得f（x+y）﹣f（x）=f（y），令x1＜x2，再令x1=x+y，x2=x，则y=x1﹣x2＜0，结合x＜0时，f（x）＞0，所以f（x1）﹣f（x2）=f（x1﹣x2）＞0，所以f（x1）＞f（x2），所以原函数在定义域内是减函数，所以函数f（x）在[a，b]上递减，故f（b）是最小值，f（a）是最大值．故选C．点评：本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性求最值的方法．12．定义域为R的函数f（x），满足f（0）=1，f′（x）＜f（x）+1，则不等式f（x）+1＜2e x 的解集为( )A．{x∈R|x＞1} B．{x∈R|0＜x＜1} C．{x∈R|x＜0} D．{x∈R|x＞0}考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：根据条件构造函数g（x）=，然后利用导数判断函数的单调性即可得到结论．解答：解：构造函数∵f'（x）＜f（x）+1，∴g'（x）＜0，故g（x）在R上为减函数，而g（0）=2不等式f（x）+1＜2e x化为g（x）＜g（0），解得x＞0，故选D．点评：本题主要考查导数的基本运算，利用条件构造函数是解决本题的关键，有一点的难度．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中横线上．13．已知p：∃x0∈R，e＜0，则￢p是∀x∈R，e x≥0．考点：的否定．专题：计算题；简易逻辑．分析：由特称的否定方法可得结论．解答：解：由特称的否定可知：￢p：∀x∈R，e x≥0，故答案为：∀x∈R，e x≥0．点评：本题主要考查含有量词的的否定，比较基础．14．若点（a，27）在函数y=3x的图象上，则tan的值为．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据点与曲线的关系求出a的值，然后代入即可得到三角值．解答：解：∵点（a，27）在函数y=3x的图象上，∴3a=27=33，即a=3．则tan=tan，故答案为：点评：本题主要考查函数值的计算，利用点与曲线的关系求出a的值是解决本题的关键，比较基础．15．已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（21，24）．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得log3（ab）=0，ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）时，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4 d=6、cd=24．由此求得abcd的范围．解答：解：由题意可得﹣log3a=log3b=c2﹣c+8=d2﹣d+8，可得log3（ab）=0，故ab=1．结合函数f（x）的图象，在区间[3，+∞）上，令f（x）=1可得c=3、d=7、cd=21．令f（x）=0可得c=4、d=6、cd=24．故有21＜abcd＜24，故答案为（21，24）．点评：本题主要考查对数函数、二次函数的图象、性质应用，属于中档题．16．已知集合A={x|x2﹣4x﹣5＞0}，B={x|ax2+bx+c≤0}，若A∩B=∅，A∪B=R，则的最小值为．考点：基本不等式；交集及其运算．专题：集合．分析：先根据A∩B=∅和A∪B=R可知A的端点就是B的端点值，因此可求得a，b，c的关系式，再用a把b，c表示出来，再进一步研究结论的最小值．解答：解：A={x|x2﹣4x﹣5＞0}={x|x＜﹣1或x＞5}，又因为A∩B=∅，A∪B=R，结合一元二次不等式的解法可知x=﹣1，5是方程ax2+bx+c=0的根，且a＞0，由韦达定理得，所以b=﹣4a，c=﹣5a，代入=25a+，当且仅当即a=时取等号．故答案为：．点评：A的集合可求出来，且易知A的端点就是B的解，而且a还必须大于0，那么b和c 可用a表示出来，最后用基本不等式求解即可．三．解答题：本大题共6小题，共70分，.17．设m=﹣（﹣9.6）0﹣+（1.5）﹣2；n=log3+lg25+lg4+．求m+n的值．考点：对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：利用分数指数幂和对数的性质和运算法则求解．解答：解：∵m=﹣（﹣9.6）0﹣+（1.5）﹣2=+=，n=log3+lg25+lg4+==，∴m+n==．点评：本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分数指数幂和对数的性质和运算法则的合理运用．18．设A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，其中x∈R，如果A∩B=B，求实数a 的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：先由题设条件求出集合A，再由A∩B=B，导出集合B的可能结果，然后结合根的判别式确定实数a的取值范围．解答：解：A={x|x2+4x=0}={0，﹣4}，∵A∩B=B知，B⊆A，∴B={0}或B={﹣4}或B={0，﹣4}或B=∅，若B={0}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的根0，则，∴a=﹣1，若B={﹣4}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个相等的根﹣4，则，∴a无解，若B={0，﹣4}时，x2+2（a+1）x+a2﹣1=0有两个不相等的根0和﹣4，则，∴a=1，当B=∅时，x2+2（a+1）x+a2﹣1=0无实数根，△=[2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0，得a ＜﹣1，综上：a=1，a≤﹣1．点评：本题考查集合的包含关系的判断和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理应用．19．设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考点：充分条件；的真假判断与应用．分析：（1）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．解答：解：（1）a=1时，p：x2﹣4x+3＜0⇔1＜x＜3q：⇔⇔2＜x≤3，p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2＜x＜3（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．由（1）知q：2＜x≤3，p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0⇔（x﹣a）（x﹣3a）＜0由题意a＞0，所以p：a＜x＜3a，所以，所以1＜a≤2点评：本题考查复合的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识，考查知识点较多，但难度不大．20．若实数x的取值满足条件，求函数的最大值与最小值．考点：对数函数的值域与最值．专题：计算题．分析：由已知中件，我们易求出实数x的取值范围，令，则我们可以求出U的取值范围，然后根据对数函数的单调性，即可求出满足条件的函数的最大值与最小值．解答：解：令，对称轴为，分析容易可得当x∈[0，]时，有＞0，则当时，；当时，U max=1所以，又y=log2U在上递增所以当U=1即时，y min=0当即时，点评：本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，其中利用指数函数的单调性根据已知求出满足条件的x的取值范围，是解答本题的关键．21．已知函数f（x）是单调递增的奇函数，它的定义域为[﹣1，1]，设函数g（x）=，试求g（x）的定义域和值域．考点：函数的值域；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的单调性，得到关于x的不等式组，解得即可，再根据函数为奇函数，求的值域．解答：解：∵函数f（x）是单调递增的奇函数，它的定义域为[﹣1，1]，∴f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，∴函数f（x）在[﹣1，0）上，f（﹣1）≤f（x）＜0，在[0，1]上，0≤f（x）≤f（1），要使g（x）=有意义，∴解得x=﹣2所以函数g（x）=的定义域为{﹣2}，∴g（x）===0，故函数的值域为{0}点评：本题主要考查了函数的定义域和值域的求法，属于中档题．22．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，求得f′（1），再求出f（1），然后直接由直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）直接由导函数的符号确定原函数的单调区间；（Ⅲ）由（Ⅱ）中求得的原函数的单调区间，把m分类得到函数f（x）在[m，2m]上的单调性，由单调性求得f（x）在[m，2m]上的最大值．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）==．∴，则f′（1）=1．又f（1）=﹣1，∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+1=1×（x﹣1）．整理得：x﹣y﹣2=0；（Ⅱ）（x＞0），由f′（x）＞0，得0＜x＜e；由f′（x）＜0，得x＞e．∴函数f（x）的单调减区间为（e，+∞）；单调增区间为（0，e）．（Ⅲ）当2m≤e，即m时，函数f（x）在[m，2m]上为增函数，；当m≥e时，函数f（x）在[m，2m]上为减函数，；当时，函数f（x）在[m，2m]上的最大值为．点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．。