3.1.2 两条直线平行与垂直的判定删减版文库素材
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3.1.2 两条直线平行与垂直的判定题型全归纳
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定题型全归纳【归纳总结】判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；两直线斜率相等时，三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行．题型一 两直线平行例1：已知A (m,3)，B (2m ，m ＋4)，C (m ＋1,2)，D (1,0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．0或2D ．0或1 变式1：7．已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2∥l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为________．题型二 两直线垂直例2：已知△ABC 的顶点坐标为A (5，－1)，B (1,1)，C (2，m )，若△ABC 为直角三角形，试求m 的值．变式1：已知△ABC 三个顶点坐标分别为A (－2，－4)，B (6,6)，C (0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率．变式2：已知△ABC 的顶点B (2,1)，C (－6,3)，其垂心为H (－3,2)，则其顶点A 的坐标为________．变式3：直线l 过点A (0,1)和B (－2,3)，直线l 绕点A 顺时针旋转90°得直线l 1，那么l 1的斜率是_______；直线l 绕点B 逆时针旋转15°得直线l 2，则l 2的斜率是_______.变式4：已知两点A (2,0)、B (3,4)，直线l 过点B ，且交y 轴于点C (0，y )，O 是坐标原点，且O 、A 、B 、C 四点共圆，那么y 的值是( ) A ．19 B ．194C ．5D ．4题型三两直线平行、垂直综合应用例3：直线l1经过点A(m,1)，B(－3,4)，直线l2经过点C(1，m)，D(－1，m＋1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值．变式1：直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝_________；若l1∥l2，则b＝_________.变式2：已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．3.1.2 两条直线平行与垂直的判定题型全归纳参考答案题型一 两直线平行 例1：D 变式1：4 题型二 两直线垂直例2：解 k AB ＝－1－15－1＝－12，k AC ＝－1－m 5－2＝－m ＋13，k BC ＝m －12－1＝m －1．若AB ⊥AC ，则有－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋13＝－1， 所以m ＝－7．若AB ⊥BC ，则有－12·(m －1)＝－1，所以m ＝3．若AC ⊥BC ，则有－m ＋13·(m －1)＝－1，所以m ＝±2．综上可知，所求m 的值为－7，±2,3．变式1：k AB ＝6－－6－－＝54， k BC ＝6－66－0＝0，k AC ＝6－－0－－＝5．由k BC ＝0知直线BC ∥x 轴，∴BC 边上的高线与x 轴垂直，其斜率不存在． 设AB 、AC 边上高线的斜率分别为k 1、k 2， 由k 1·k AB ＝－1，k 2·k AC ＝－1，即k 1·54＝－1，k 2·5＝－1，解得k 1＝－45，k 2＝－15．∴BC 边上的高所在直线斜率不存在；AB 边上的高所在直线斜率为－45；AC 边上的高所在直线斜率为－15．变式2：(－19，－62) 变式3：1，－33变式4： B题型三 两直线平行、垂直综合应用 例3：当l 1∥l 2时，由于直线l 2的斜率存在，则直线l 1的斜率也存在， 则k AB ＝k CD ，即4－1－3－m ＝m ＋1－m－1－1，解得m ＝3；当l 1⊥l 2时，由于直线l 2的斜率存在且不为0，则直线l 1的斜率也存在，则k AB k CD ＝－1， 即4－1－3－m ·m ＋1－m －1－1＝－1，解得m ＝－92.综上，当l 1∥l 2时，m 的值为3；当l 1⊥l 2时，m 的值为－92.变式1： 2 －98变式2： (1)如下图，当∠A ＝∠D ＝90°时，∵四边形ABCD 为直角梯形， ∴AB ∥DC 且AD ⊥AB ． ∵k DC ＝0，∴m ＝2，n ＝－1. (2)如下图，当∠A ＝∠B ＝90°时， ∵四边形ABCD 为直角梯形，∴AD ∥BC ，且AB ⊥BC ，∴k AD ＝k BC ，k AB k BC ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n －2m －2＝2－－4－5，n ＋1m －5·2－－4－5＝－1，解得m ＝165，n ＝－85.综上所述，m ＝2，n ＝－1或m ＝165，n ＝－85.。
【精品专区】3.1.2两条直线平行与垂直的判定
解 : k BA k PQ 30 2 (4) 2 1 1 ( 3) 1 2 1 2
B
Q P
O x y
A
k BA k PQ
BA ∥ PQ
例题讲解 例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0， 0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试 判断四边形ABCD的形状，并给出证明。
E、若直线l1 ⊥ l2，则它们的斜率之积为-1；
例题讲解
例3、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
解 : k AB k PQ 63 3 (6) 63 60 2 3 3 2
k AB k PQ -1 BA PQ
解 : k AB 1 0 20 1 2
k BC
2 ( 1) 42 1
2
y
3 2
3 2
D C A
O
k CD
k DA
k AB k CD , k BC k DA AB ∥CD , BC ∥ DA 因此四边形 ABCD 是平行四边形 .
B
设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 （ α1、α2≠90°）.
例题讲解
例4、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三 点，试判断△ABC的形状。
解 : k AB k BC 1 ( 1) 1 5 3 1 2 1 2
B
O
0
1 2
y
C
k AB k BC 1 AB BC 即 ABC 90 .
x
y
l2 l1
条件：都有斜率
α1
B
Q P
O x y
A
k BA k PQ
BA ∥ PQ
例题讲解 例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0， 0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试 判断四边形ABCD的形状，并给出证明。
E、若直线l1 ⊥ l2，则它们的斜率之积为-1；
例题讲解
例3、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
解 : k AB k PQ 63 3 (6) 63 60 2 3 3 2
k AB k PQ -1 BA PQ
解 : k AB 1 0 20 1 2
k BC
2 ( 1) 42 1
2
y
3 2
3 2
D C A
O
k CD
k DA
k AB k CD , k BC k DA AB ∥CD , BC ∥ DA 因此四边形 ABCD 是平行四边形 .
B
设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 （ α1、α2≠90°）.
例题讲解
例4、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三 点，试判断△ABC的形状。
解 : k AB k BC 1 ( 1) 1 5 3 1 2 1 2
B
O
0
1 2
y
C
k AB k BC 1 AB BC 即 ABC 90 .
x
y
l2 l1
条件：都有斜率
α1
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
关系，并证明你的结论.
画图
例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0, 0), B(2, －1), C(4, 2), D(2, 3)，试判
断四边形ABCD的形状，并给出证明.
画图
变式练习1：已知A(2, 3), B(-4, 0), Ｃ(0, 2), 判断直线AB、BC的位置关系？
画图
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讲授新课
（ 一 ）两条直线互相平行(不重合) 设两条直线l1，l2的斜率分别为k1 ， k2 问题1 ：同学们在直角坐标系画两条平行线， 观察l1，l2的倾斜角关系：α1 = α2． 斜率关系： k1 = k2． l1∥l2 k1 = k2
讲授新课
问题2 ：如果两条直线的斜率相等，那么两条 直线l1∥l2吗？
复习引入
1、定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基 准，x轴 正向 与直线l 向上 方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角。 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 o O 0 ，当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为 90 。 2、倾斜角的范围是 . 3、一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜 率。斜率常用小写字母k来表示，即k = ， 倾斜角为90o的直线斜率 4、经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线 的斜率公式为k = .
复习引入
1、定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基 准，x轴 正向 与直线l 向上 方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角。 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 o O 0 ，当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为 90 。 O 2、倾斜角的范围是 0O≤ ＜180 . 3、一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜 率。斜率常用小写字母k来表示，即k = ， 倾斜角为90o的直线斜率 4、经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线 的斜率公式为k = .
画图
例2.已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0, 0), B(2, －1), C(4, 2), D(2, 3)，试判
断四边形ABCD的形状，并给出证明.
画图
变式练习1：已知A(2, 3), B(-4, 0), Ｃ(0, 2), 判断直线AB、BC的位置关系？
画图
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（ 一 ）两条直线互相平行(不重合) 设两条直线l1，l2的斜率分别为k1 ， k2 问题1 ：同学们在直角坐标系画两条平行线， 观察l1，l2的倾斜角关系：α1 = α2． 斜率关系： k1 = k2． l1∥l2 k1 = k2
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问题2 ：如果两条直线的斜率相等，那么两条 直线l1∥l2吗？
复习引入
1、定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基 准，x轴 正向 与直线l 向上 方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角。 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 o O 0 ，当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为 90 。 2、倾斜角的范围是 . 3、一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜 率。斜率常用小写字母k来表示，即k = ， 倾斜角为90o的直线斜率 4、经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线 的斜率公式为k = .
复习引入
1、定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴为基 准，x轴 正向 与直线l 向上 方向之间所成的 角叫做直线l的倾斜角。 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 o O 0 ，当直线l与x轴垂直时，它的倾斜角为 90 。 O 2、倾斜角的范围是 0O≤ ＜180 . 3、一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜 率。斜率常用小写字母k来表示，即k = ， 倾斜角为90o的直线斜率 4、经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线 的斜率公式为k = .
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
,
������ -1 ������ -0
=
3-0 4-1
,
解得
������ = 3, ������ = 4.
所以顶点 D 的坐标为(3,4).
反思解决与平行有关的问题时,常借助于它们的斜率之间的关系 来解决,即不重合的两条直线l1与l2平行⇒k1=k2或k1与k2都不存在.
-14-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
关系 都不为零)⇔k1k2=-1
为 0⇒l1⊥l2
-6-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
12
目标导航
知识梳理
重难聚焦
典例透析
【做一做2】 已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1=5,l1⊥l2,则
k2=
.
解析:∵l1⊥l2,∴k1k2=-1.
∵k1=5,∴5k2=-1,∴k2=−
1.
-12-
3.1.2 两条直线平行 与垂直的判定
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典例透析
题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练1】 顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组
成的图形是( )
A.平行四边形 B.直角梯形
C.等腰梯形
D.以上都不对
解析:因为
kAB=
5-3 2-(-4)
=
13,kCD=
0-3 -3-6
=
1,
3
所以 AB∥CD.
又
kAD=
0-3 -3-(-4)
=
−3,kBC=
3-5 6-2
=
−
1,
2
所以 kAD≠kBC,kAD·kCD=-1,
必修2课件3.1.2两条直线平行与垂直的判定
两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k 2 则l1 l2 k1 k 2 =-1
例1：已知四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1:13:4,直线l2过点P:(1,0), : 3 Q:(2, )，求这四条直线的斜率？ 3
3 3 , , 不存在, 3 3 3
例2：过点m: 2,)，作直线l，分别交x轴,y轴的正半轴于A、B两点， ( 1 1：当 AOB面积S最小时，求l方程 2：当 MA MB 最小时，求l方程
例4：l：(2m +m-3)x+(m -m)x-4m+1=0,在下列 条件下分别求m的值：
2
2
1：直线l与2x-3y-5=0垂直？ 2：直线l与2x-3y-5=0平行？ 例5：l1: x-2y=1, l2: 2x+ty-3=0, l3:3tx+4y=5, 三线不能构成三角形，求t的值
3 2 6 4, , , 2 2 3
D
y
E F
C
B A 30
0
O
x
斜率存在， 且两直线不重合
两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k 2 则l1 // l2 k1 =k 2
问题： 1 l1：y k1x b1 , l2 : y k 2 x+b 2 , 则l1//l2 :
k1 =k 2 b b 1 2
2：直线l1，l2平行时，则l1与l2的斜率相等吗？
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
1. 倾斜角的定义
2： 一条直线倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率， 常用k来表示.
y2 y1 A k tan x2 x1 B （其中l : Ax+By+C=0）
( x1 x2 )
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
3．1.2 两条直线平行与垂直的判定
1.理解两条直线平行或垂直的判断条件．(重点) 2.会利用斜率判断两条直线平行或垂直．(难点) 3.利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．(易错点)
预习检测
1.两条直线平行与斜率之间的关系：设两条不重合的直线 l1、l2，倾斜角 分别为α1、α2，斜率存在时斜率分别为 k1、k2.则对应关系如下：
图示关系
对应关系 l1⊥l2⇔__k_1_k_2＝__－__1_
l1⊥l2⇔一_个__斜__率__为_0_,_另_一__个__斜__率_不__存__在
练习：已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，若l1⊥l2，则k2 ＝________．
3
探究展示
『问题』已知 A(－3，4)，B(3，2)，P(1，0)，若过点 P 的直线 l 与线段 AB 有公共点． (1)求直线 l 的倾斜角α的取值范围； (2)求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
图示关系
对应关系
l1∥l2⇔ _k_1_＝_k_2_
_l_1_∥_l_2 _⇔两直线斜率都不存在
• 【思考】 一般地，l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提是什么？ • 【提示】 ①两条直线的斜率都存在．②这两条直线不重合．
2
2.两条直线垂直与斜率的关系：设两条不重合的直线 l1、l2，倾斜角分别 为α1、α2，斜率存在时斜率分别为 k1、k2.则对应关系如下： 前提条件 α1 与α2 都不为 0°和 90° α1 与α2 一个为 0°，一个为 90°
C．3 个
D．4 个
2.直线 l1，l2 的斜率是方程 x2－3x－1＝0 的两根，则 l1 与 l2 的位置关系是( D )
1.理解两条直线平行或垂直的判断条件．(重点) 2.会利用斜率判断两条直线平行或垂直．(难点) 3.利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论．(易错点)
预习检测
1.两条直线平行与斜率之间的关系：设两条不重合的直线 l1、l2，倾斜角 分别为α1、α2，斜率存在时斜率分别为 k1、k2.则对应关系如下：
图示关系
对应关系 l1⊥l2⇔__k_1_k_2＝__－__1_
l1⊥l2⇔一_个__斜__率__为_0_,_另_一__个__斜__率_不__存__在
练习：已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，若l1⊥l2，则k2 ＝________．
3
探究展示
『问题』已知 A(－3，4)，B(3，2)，P(1，0)，若过点 P 的直线 l 与线段 AB 有公共点． (1)求直线 l 的倾斜角α的取值范围； (2)求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
图示关系
对应关系
l1∥l2⇔ _k_1_＝_k_2_
_l_1_∥_l_2 _⇔两直线斜率都不存在
• 【思考】 一般地，l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提是什么？ • 【提示】 ①两条直线的斜率都存在．②这两条直线不重合．
2
2.两条直线垂直与斜率的关系：设两条不重合的直线 l1、l2，倾斜角分别 为α1、α2，斜率存在时斜率分别为 k1、k2.则对应关系如下： 前提条件 α1 与α2 都不为 0°和 90° α1 与α2 一个为 0°，一个为 90°
C．3 个
D．4 个
2.直线 l1，l2 的斜率是方程 x2－3x－1＝0 的两根，则 l1 与 l2 的位置关系是( D )
21-22版：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定(步步高)
11. 已 知 点 A( － 3 ， － 2) ， B(6,1) ， 点 P 在 y 轴 上 ， 且 ∠BAP ＝ 90° ， 则 点 P 的 坐 标 是 _(0_，__－__1_1_)_.
l1的斜率不存在，l2的斜率为0 ⇒__l1_⊥__l2__
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行.( × ) 2.若l1∥l2，则k1＝k2.( × )
3.若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线
解 ∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合， ∴l1∥l2.
题型二 两条直线垂直的判定
例2 判断下列各题中l1与l2是否垂直. (1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3，1)； 解 k1＝13－－－－34＝74，k2＝13－ －－ －34＝47， k1k2＝1，∴l1与l2不垂直.
PART ONE
知识点一 两条直线(不重合)平行的判定
类型 前提条件
对应关系
斜率存在 α1＝α2≠90°
l1∥l2⇔_k_1_＝__k_2_
斜率不存在 α1＝α2＝90°
l1∥l2⇐两直线的斜率都不存在
图示
知识点二 两条直线垂直的判定
图示
对应关系
l1⊥l2(两直线的斜率都存在) ⇔_k_1_k_2＝__－__1__
m的值为
A.58
√B.－58
C.－14
D.14
解析 由题意知AB的斜率存在且不为0， 则 kAB·kPQ＝－1，即0－5－－22×－－1m－－21m＝－1，解得 m＝－58.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
复习
倾斜角 斜率
经过P1 (x1 , y1 ) , P2 (x2 , y 2 ) 的直线斜率公式
k
y2 x2
y1 x1
(x1
x2 )
平面上两条直线位置关系
y
o x
有平行,相交两种
如果两条直线互相平行，它们的倾斜 角满足什么关系？
它们的斜率呢？
y
L1 L2
o
x
前提:两条直线不重合
←→ L1// L2
【解】 (1)k1＝21－ －－ －21＝2, k2＝12－ －－ －12＝12, k1k2＝1, ∴l1 与 l2 不垂直. (2)k1＝－10, k2＝230－－210＝110, k1k2＝－1, ∴l1⊥l2. (3)l1 的倾斜角为 90°, 则 l1⊥x 轴, k2＝104－0－－4010＝0, 则 l2∥x 轴, ∴l1⊥l2.
即－12·m2－－11＝－1, 得 m＝3; 若∠C 为直角, 则 AC⊥BC, 所以 kAC·kBC＝－1, 即m－＋31·m2－－11＝－1, 得 m＝±2. 综上可知, m＝－7 或 m＝3 或 m＝±2.
2. 已知点A(0,3), B(－1,0), C(3,0), 求点D的坐 标, 使四边形ABCD为直角梯形(A, B, C, D按 逆时针方向排列). 解:设所求点D的坐标为(x, y), 如图所示, 由于kAB＝3, kBC＝0, ∴kAB·kBC＝0≠－1, 即AB与BC不垂直, 故 AB, BC都不可作为直角梯形的直角边.
直线倾斜角相等
←它们的斜率相等吗？
前提: 两条直线不重合,斜率都存在
结论：L1// L2 k1=k2，
3. 1.2 两条直线平行与垂直的判定
1. 两条直线平行的判定
倾斜角 斜率
经过P1 (x1 , y1 ) , P2 (x2 , y 2 ) 的直线斜率公式
k
y2 x2
y1 x1
(x1
x2 )
平面上两条直线位置关系
y
o x
有平行,相交两种
如果两条直线互相平行，它们的倾斜 角满足什么关系？
它们的斜率呢？
y
L1 L2
o
x
前提:两条直线不重合
←→ L1// L2
【解】 (1)k1＝21－ －－ －21＝2, k2＝12－ －－ －12＝12, k1k2＝1, ∴l1 与 l2 不垂直. (2)k1＝－10, k2＝230－－210＝110, k1k2＝－1, ∴l1⊥l2. (3)l1 的倾斜角为 90°, 则 l1⊥x 轴, k2＝104－0－－4010＝0, 则 l2∥x 轴, ∴l1⊥l2.
即－12·m2－－11＝－1, 得 m＝3; 若∠C 为直角, 则 AC⊥BC, 所以 kAC·kBC＝－1, 即m－＋31·m2－－11＝－1, 得 m＝±2. 综上可知, m＝－7 或 m＝3 或 m＝±2.
2. 已知点A(0,3), B(－1,0), C(3,0), 求点D的坐 标, 使四边形ABCD为直角梯形(A, B, C, D按 逆时针方向排列). 解:设所求点D的坐标为(x, y), 如图所示, 由于kAB＝3, kBC＝0, ∴kAB·kBC＝0≠－1, 即AB与BC不垂直, 故 AB, BC都不可作为直角梯形的直角边.
直线倾斜角相等
←它们的斜率相等吗？
前提: 两条直线不重合,斜率都存在
结论：L1// L2 k1=k2，
3. 1.2 两条直线平行与垂直的判定
1. 两条直线平行的判定
课件3：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
【探究】根据所给条件求出两直线的斜率，根据斜率 是否相等进行判断，要注意斜率不存在及两直线重合 的情况．
(2)由题意知，k1＝tan60°＝ 3，k2＝－－2 23－－1 3＝ 3，
因为 k1＝k2，所以，l1∥l2 或 l1 与 l2 重合． (3)由题意知，l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也 不存在，恰好是 y 轴，所以 l1∥l2. (4)由题意知，k1＝－ －12－ －10＝1，k2＝23－－34＝1，所以 l1 与 l2
12 -（- 4）＝－4，所以 2-6
kAB＝kCD，kACkBD＝－1，即
AB∥CD，
AC⊥BD．
当堂检测
1．下列说法正确的有( ) ①若两直线斜率相等，则两直线平行；②若l1∥l2，则 k1＝k2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另 一条直线的斜率存在，则两直线相交；④若两直线斜 率都不存在，则两直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
当堂检测
【解析】设第四个顶点 D 的坐标为(x，y)， ∵AD⊥CD，AD∥BC， ∴kAD·kCD＝-1，且 kAD＝kBC．
∴xxyy－－－－1100＝·xy－－23－－23＝01 －1
解得xy＝＝32 ，
∴第四个顶点 D 的坐标为(2,3)．
2．垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么 它们的斜率之积等于_____-1_____；如果它们的斜率之 积等于-1，那么它们__互__相__垂__直__．
【破疑点】当直线l1⊥直线l2时，可能它们的斜率都存 在且乘积为定值-1，也可能一条直线的斜率不存在， 而另一条直线的斜率为0；较大的倾斜角总是等于较 小倾斜角与直角的和． (1)平行：倾斜角相同，所过的点不同； (2)重合：倾斜角相同，所过的点相同； (3)相交：倾斜角不同； (4)垂直：倾斜角相差90°.
3.1.2两条直线平行与垂直的判定
缺少这个前提，结论并不存立． 特殊情况下的两直线平行与垂直：
当一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直
l1 l2 k1 k2 1或l1,l2一斜率不存在另一斜率 为0
例题讲解
例5、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
A
因此ABC是直角三角形.
练习：
1.已知直线 m1 经过点 A(3，a)，B(a－2,3)，直线 m2 经过点 M(3， a)，N(6,5)，若 m1⊥m2，求 a 的值．
错解中忽略了利用斜率间关系判断两条直线的位置关 系的前提条件：两条直线的斜率存在．应对直线 AB 斜率是否 存在进行分类讨论，即分 a－2＝3 与 a－2≠3 两种情况讨论．
kDA
3 2
kAB kCD , kBC kDA
AB∥ CD, BC∥ DA
y
D
C
A
O
x
B
因此四边形ABCD是平行四边形.
【变式 1】 已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a－1,2)，另一条 直线 l2 经过点 C(1,2)，D(－2，a＋2)．若 l1∥l2，求 a 的值．
a 1或a 6
b4 a3
40
,解得
a 1
b
6
,
a 1 35
∴D(－1,6)．
A．(3,0)
B．(－3,0)
C．(0，－3)
D．(0,3)
解析 设P(0，y)，∴k2＝y－1， ∵l1∥l2，∴y－1＝2，∴y＝3，故选D. 答案 D
8．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称， 则l的倾斜角为( )． A．135° B．45° C．30° D．60°
当一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾斜角为0° 两直线互相垂直
l1 l2 k1 k2 1或l1,l2一斜率不存在另一斜率 为0
例题讲解
例5、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
A
因此ABC是直角三角形.
练习：
1.已知直线 m1 经过点 A(3，a)，B(a－2,3)，直线 m2 经过点 M(3， a)，N(6,5)，若 m1⊥m2，求 a 的值．
错解中忽略了利用斜率间关系判断两条直线的位置关 系的前提条件：两条直线的斜率存在．应对直线 AB 斜率是否 存在进行分类讨论，即分 a－2＝3 与 a－2≠3 两种情况讨论．
kDA
3 2
kAB kCD , kBC kDA
AB∥ CD, BC∥ DA
y
D
C
A
O
x
B
因此四边形ABCD是平行四边形.
【变式 1】 已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a－1,2)，另一条 直线 l2 经过点 C(1,2)，D(－2，a＋2)．若 l1∥l2，求 a 的值．
a 1或a 6
b4 a3
40
,解得
a 1
b
6
,
a 1 35
∴D(－1,6)．
A．(3,0)
B．(－3,0)
C．(0，－3)
D．(0,3)
解析 设P(0，y)，∴k2＝y－1， ∵l1∥l2，∴y－1＝2，∴y＝3，故选D. 答案 D
8．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称， 则l的倾斜角为( )． A．135° B．45° C．30° D．60°
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
(2)依据直线的斜率的定义可知: ①若不重合的两条直线l1,l2的斜率都存在,分别为k1,k2,倾斜角分别为 α 1,α 2,则l1∥l2⇔α1=α 2⇔k1=k2; ②当不重合的两条直线的斜率都不存在时,由于它们的倾斜角都是 90°,故它们也互相平行.
2.对两条直线平行的判定条件的理解 l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件有两个: (1)两条直线的斜率都存在.(2)这两条直线不重合.
综上,m的值为1或-1.
【误区警示】解答本题易漏掉直线斜率不存在的情况.
【补偿训练】直线l1的斜率k1= l1⊥l2,求实数a的值.
3 ,直线l2经过点A(3a,2),B(0,a),且 4 3 a－2 －1， 4 0－3a
【解析】由l1⊥l2可知k1k2=-1,即 解得a= － 2 .
3
4.已知点A(2,-1),B(3,2),则线段AB的垂直平分线的斜率为 【解析】直线AB的斜率为kAB= 2－(－1) =3,由于线段AB的垂直平分线
3－2
.
与直线AB垂直,故两直线的斜率乘积等于-1,则线段AB的垂直平分线的 斜率为 － 1 . 答案: － 1
3 3
5.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6), 且l1∥l2,则x= .
3 ).
2.(2015·通辽高一检测)已知P(-2,m),Q(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若 直线PQ∥直线MN,求m的值.
【解题探究】1.典例1中判断直线l1与直线l2是否平行要从哪两个方面 分析? 提示:一是判断两条直线的斜率是否相等,二是判断两条直线是否重合. 2.典例2中由直线PQ∥直线MN,需要讨论直线PQ,MN斜率的存在性吗? 如何讨论? 提示:分当m=-2或m=-1以及m≠-2且m≠-1时进行讨论.
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
)
[解析] 当 a＝0 时，l2 斜率不存在， 1 当 a≠0 时，l2 斜率为－a，故选 D．
3．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与经过 2 点(－2,1)，斜率为－ 的直线垂直，则实数a的值是 3 ( )． 2 3 2 3 3 D. 2 A．－ 3 B．－ C. 2 解析 由于直线l与经过点(－2,1)且斜率为－ 2 的直线 3 垂直，可知a－2≠－a－2. ∵kl＝
4 (1) ∴k2＝ ＝1. 3 (2)
∴k1＝k2，∴l1与l2平行或重合． 答案 平行或重合
8．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的 倾斜角为( )． A．135° B．45° C．30° D．60° 解析 由题意知，PQ⊥l，∵kPQ＝ ∴kl＝1，即tan α＝1，∴α＝45°. 答案 B
90°
.
的直线没有
3.经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜 率公式为
y 2 y1 x 2 x1
不存在
.当x1=x2时，直线P1P2的斜率
.
4.由k的定义可知:k=0时,直线
;k>0时,直线的倾斜角为 也
增大 增大
平行
锐角
重合 x轴或与x轴______
,k值增大,直线的倾斜角 ,k值增
• 4．已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为 A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，则第四个顶点D的坐标 为________.
4．直线l1的倾斜角为45°，直线l2过A(－2，－1)， B(3,4)，则l1与l2的位置关系为________． 解析 ∵直线l1的倾斜角为45°， ∴k1＝1. 又∵直线l2过A(－2，－1)，B(3,4)，
课件4：3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
2．(1)如果直线l1与l2的斜率k1、k2满足k1·k2＝－1， 则l1 ⊥ l2. (2)如果l1⊥l2，则直线l1与l2的斜率满足
k1k2＝－1或一个为0，另一个不存在 ．
(3)直线l1经过A(x,1)、B(－2,0)，l2的斜率为2，l1⊥l2， 则x＝ －4 .
题型一 判断两条直线的平行关系
[例1] 判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)， N(－1，－1)；
(2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)， N(5,5)．
[例3] 已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A、B为直径的端点作圆与x轴 有交点C，求交点C的坐标．
[解] 以线段 AB 为直径的圆与 x 轴交点为 C， 则 AC⊥CB. 据题设条件可知 AC，BC 的斜率均存在． 设 C(x,0)，则 kAC＝x－＋31，kBC＝x－－24. ∴x－＋31·x－－24＝－1.去分母解得 x＝1 或 2. ∴C(1,0)或 C(2,0)．
则 k2＝－1－a－(a12－1－a20)＝－a－1 1. l1∥l2 时，k1＝k2，－a2＝－a－1 1，解得 a＝2，a＝－1. 当 a＝2 时，l1 的方程为 2x＋2y＋6＝0，即 x＋y＋3＝0， l2 的方程为 x＋y＋3＝0，则 l1 与 l2 重合． ∴应将 a＝2 舍去． ∴a＝－1 时，l1∥l2.
一、选择题
1．下列说法正确的是
()
A．若直线l1与l2斜率相等，则l1∥l2 B．若直线l1∥l2，则kl1＝kl2 C．若直线l1，l2的斜率都不存在，则l1∥l2 D．若两条直线的斜率存在但不相等，则两直线不平行
课件2：3.1.2 两条直线的平行与垂直的判定
第三章 直线与方程
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
相关知识:
•两条直线的位置关系 平行 (重合) 相交
•直线的斜率与倾斜角的关系
k tan ( 90 )
•三角形内角和定理及外角定理
•内角和定理:三角形的三个内角之和为180
•外角定理:三角形的一个外角等于不相邻的 两个内角之和
思考以下问题: •两条直线平行的充要条件及其证明 •两条直线平行,斜率一定相等吗?为什么? •两条直线垂直的充要条件及其证明 •两条直线垂直,它们的斜率之积一定等于-1 吗?为什么?
a=____4____.
判断长方形ABCD的三个顶点的坐标分别 为A(0,1), (1,0), C(3,2),求第四个顶点D的 坐标
(2, 3)
本节内容结束
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A. - 8 B. 0 C. 2 D. 10
两条直线垂直 l1 l2
l1 l2 k1k2 1
或一条直线斜率不存在, 同时另一条斜率等于零.
1. 判断下列直线对是否垂直
经过两点C(3, 1), D(-2, 0) 的直线 垂直
经过点M(1, - 4)且斜率为- 5的直线
2. 经过点A(1, 2)和点B(3,- 2)的直线与经 过点C(4, 5)和点(a, 7)的直线垂直,则
④若两直线斜率都不存在,则两直线平行.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
1. 判断下列直线对是否平行 平行 经过两点A( 2, 3), B(-1, 0)的直线 l1 经过点P(1,0)且斜率为1的直线 l2
2. 已知过A(-2, m)和B(m ,4)的直线与斜率
为-2的直线平行,则m的值为( A )
两条直线平行 l1 // l2
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
相关知识:
•两条直线的位置关系 平行 (重合) 相交
•直线的斜率与倾斜角的关系
k tan ( 90 )
•三角形内角和定理及外角定理
•内角和定理:三角形的三个内角之和为180
•外角定理:三角形的一个外角等于不相邻的 两个内角之和
思考以下问题: •两条直线平行的充要条件及其证明 •两条直线平行,斜率一定相等吗?为什么? •两条直线垂直的充要条件及其证明 •两条直线垂直,它们的斜率之积一定等于-1 吗?为什么?
a=____4____.
判断长方形ABCD的三个顶点的坐标分别 为A(0,1), (1,0), C(3,2),求第四个顶点D的 坐标
(2, 3)
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两条直线垂直 l1 l2
l1 l2 k1k2 1
或一条直线斜率不存在, 同时另一条斜率等于零.
1. 判断下列直线对是否垂直
经过两点C(3, 1), D(-2, 0) 的直线 垂直
经过点M(1, - 4)且斜率为- 5的直线
2. 经过点A(1, 2)和点B(3,- 2)的直线与经 过点C(4, 5)和点(a, 7)的直线垂直,则
④若两直线斜率都不存在,则两直线平行.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
1. 判断下列直线对是否平行 平行 经过两点A( 2, 3), B(-1, 0)的直线 l1 经过点P(1,0)且斜率为1的直线 l2
2. 已知过A(-2, m)和B(m ,4)的直线与斜率
为-2的直线平行,则m的值为( A )
两条直线平行 l1 // l2
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l1 // l2 k1 k2.
(二)斜率存在时两直线的平行与垂直——垂直
设直线l1和l2的斜率为k1和k2，
l1 l2 k1 k2 1
小结：两直线的平行与垂直:
(1)当两条直线中有一条直线斜率不存在时： i)当且仅当另一条直线的斜率也不存在，两直线互相平行； ii)当且仅当另一条直线的斜率为0时，则两直线互相垂直． (2)当两条直线的斜率都存在时：
3、已知M (1,3), N(5, 2)，试在x轴上找 一点P,使得 PM PN 最大。
4、已知{an}是等差数列, (1)a3 9, a9 3, 求a12
(2)S3 9, S9 3,求S12
5、已知{an}是等差数列，m n, (1)am n, an m, 求amn (2)Sm n, Sn m, 求Smn
l1 // l2 k1 k2.
l1 l2 k1 k2 1
1、若三点P(0, 角顶点的直角三角形，求a的值
2、已知A(1, 2), B(1,1),C(0,3), D(4,t). (1)若AD // BC，求t的值； (2)求ABC各边上的高所在直线的斜率
(二)斜率存在时两直线的平行与垂直——平行 设直线l1和l2的斜率为k1和k2
①如果l1∥l2 ， 那么 α1=α2 , ∴tanα1=tanα2． 即 k1=k2．
②如果k1=k2, 那么
tanα1=tanα2． 由于0°≤α1＜180°， 0°≤α2＜180°， ∴α1=α2． ∴l1∥l2．